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Dans le cas général, on observe que si $a=P(0)$, on a $P(aX)=aQ(X)$ où $Q(0)=1$. Si $Q$ a une racine -modulo $p$, il en est de même de $P$. +modulo un nombre premier $p$, il en est de même de $P$. \end{démo} \begin{corollaire2} @@ -1780,7 +1782,658 @@ $p=7$&$p^n=7$&$h_1 = X + 4$\\ \end{tabular} \end{center} +\section{Hypersurfaces diagonales ; réciprocité quadratique} + +\subsection{Dualité dans les groupes abéliens finis} + +\subsubsection{}Soit $G$ un groupe. Un morphisme $χ∈\Hom(G,𝐔)$, +où $𝐔=\{z∈𝐂, |z|=1\}≅𝐑/𝐙$, est appelé un \emph{caractère} du groupe $G$ ; +on note $\chap{G}$ leur ensemble, qui est naturellement un groupe \emph{abélien} : $(χχ')(g)=χ(g)χ'(g)$. +C'est le \emph{dual} de $G$. + +\subsubsection{}Le lecteur trouvera dans la littérature des variantes : on +aurait pu considérer $\Hom(G,𝐂^×)$ (on parle alors parfois de +\emph{quasi-caractères} ou caractères généralisés), $\Hom(G,E^×)$ (où $E$ est un corps contenant +les racines $\# G$-ème de l'unité, ou bien encore l'ensemble $\Hom(G,𝐐/𝐙)$. +Enfin, si $G$ est un groupe +topologique localement compact, %donc séparé +on pourrait considérer plutôt l'ensemble des caractères \emph{continus}. Muni de la topologie dite \emph{compacte ouverte} +c'est à nouveau un groupe topologique localement compact (dualité +de Pontryagin). Dans le cas des groupes finis, ces notions sont toutes équivalentes. +Par commodité nous préférons voir nos caractères comme à valeurs dans le cercle +unité complexe. + +\subsubsection{}Par composition des fonctions, tout morphisme $H→G$ de groupes +induit un morphisme de groupes abéliens $\chap{G}→\chap{H}$. + +\begin{lemme2}\label{lemme-Q-sur-Z-est-injectif} +Soit $K→G$ une \emph{injection} de groupes abéliens finis. +Le morphisme dual $\chap{G}→\chap{K}$ est une \emph{surjection}. +\end{lemme2} + +On note $K^{\perp}$ son noyau ; en symboles, $K^{\perp}=\{χ∈\chap{G}, χ(K)=\{1\}\}$. +Le morphisme $K^\perp→\chap{G/K}$ est une bijection : +tout caractère de $G$ trivial sur $K$ induit un caractère de $G/K$ et +réciproquement. + +\begin{démo}[Démonstration du lemme] +Soit $χ:K→\mathbf{U}$ un caractère de $K$ ; il faut montrer qu'il s'étend +à $G$, \cad qu'il existe un caractère $χ':G→\mathbf{U}$ dont la restriction +à $K$ soit $χ$. Supposons $K≠G$ sans quoi le résultat est trivial et +considérons $x∈G-K$. Soient $r$ le plus petit entier non nul tel que +$x^r∈K$ et $z$ une racine $r$-ème de $χ(x^r)$ dans $𝐂$. On +a donc $χ(x^{rα})=z^{rα}$ pour tout $α∈ℕ$. +Il en résulte immédiatement que l'application $χ':⟨K,x⟩→\mathbf{U}$, $kx^i\mapsto χ(k)z^i$ +est bien définie ; c'est un caractère du groupe $⟨K,x⟩$. +De proche en proche, on peut donc étendre le caractère initial à $G$ tout entier. +(De façon précise : procéder par récurrence sur l'indice $(G:K)$.) +\end{démo} + +L'énoncé dual est trivial : si $G→H$ est une \emph{surjection}, +le morphisme induit $\chap{H}→\chap{G}$ est une injection. (Cet +énoncé, de nature ensembliste, est vrai sans hypothèse sur $G$ ou $H$.) + +Il en résulte que pour toute suite \emph{exacte} de groupes abéliens finis $1→K→G→H→1$, +la suite $1→\chap{H}→\chap{G}→\chap{K}→1$ est également exacte. En effet, +$K^\perp:=\mathrm{Ker}(\chap{G}→\chap{K})$ est naturellement +en bijection avec $\chap{G/K}$. + +\begin{lemme2} +Soit $G$ un groupe fini abélien. Le morphisme d'évaluation +$G→\chap{\chap{G}}$, $g\mapsto \big(\mathrm{\acute{e}v}_g:χ\mapsto χ(g)\big)$ est un isomorphisme. +\end{lemme2} + +\begin{démo} +On procède à nouveau par récurrence sur $\# G$, en remarquant +que l'énoncé est trivial pour un groupe cyclique (exercice). +Dans le cas général, on considère comme précédemment le diagramme +de suites exactes : +$$ +\xymatrix{ +1 \ar[d] \ar[r] & K \ar[d] \ar[r] & G \ar[d] \ar[r] & H \ar[d] \ar[r] & 1 \ar[d] \\ +1 \ar[r] & \chap{\chap{K}} \ar[r] & \chap{\chap{G}} \ar[r] & \chap{\chap{H}} \ar[r] & 1 +} +$$ +Par hypothèse de récurrence, $K→\chap{\chap{K}}$ et $H→\chap{\chap{H}}$ sont +des isomorphismes ; il en est donc de même de $G→\chap{\chap{G}}$ +(chasse au diagramme). +\end{démo} + +\begin{proposition2} +Tout groupe abélien fini est isomorphe à un produit +de groupes cycliques. +\end{proposition2} + +\begin{démo} +Soit $ω=∏ p_i^{r_i}$ le p.g.c.d des ordres d'éléments de $G$. +Pour tout $i$, il existe un élément $g_i$ d'ordre un multiple de $p_i^{r_i}$ ; +quitte à l'élever à une puissance convenable, on peut le supposer d'ordre +exactement $p_i^{r_i}$. Le produit $g=∏g_i$ est alors d'ordre exactement $ω$. +Soient $ζ_ω$ une racine primitive $ω$-ème de l'unité dans $𝐂$ et $χ:⟨g⟩→\mathbf{U}$ +le caractère défini par $χ(g)=ζ_ω$. Il s'étend en un caractère $χ'$ de $G$. +Son noyau $\Ker(χ')$ est d'indice $ω$ (le cardinal de son image) et $\Ker(χ')⋂⟨g⟩=\{e\}$ +de sorte que $G≅⟨g⟩×\Ker(χ')$. On peut donc démontrer la proposition par +récurrence sur l'ordre du groupe. +\end{démo} + +\begin{corollaire2} +Si $G$ un groupe abélien fini il existe un isomorphisme +entre $G$ et $\chap{G}$. +\end{corollaire2} + +\begin{démo} +Le résultat étant évident pour un groupe cyclique, il suffit de vérifier +que le dual d'un produit $K×K'$ est isomorphe au produit $\chap{K}×\chap{K'}$ +des duaux. C'est immédiat. (Pour les groupes abéliens, le produit cartésien est +la somme directe (comme $𝐙$-module).) +\end{démo} + +\begin{lemme2} +\label{lemme-orthogonalite-caracteres} +Soient $G$ un groupe abélien fini et $g∈G$. +Alors, $∑_{χ∈\chap{G}} χ(g)$ est égal à $0$ si $g≠e$ et $|G|$ sinon. +\end{lemme2} + +\begin{démo} +Le résultat est trivial si $g=e$. Supposons +$g≠e$. Puisque le morphisme $G→\chap{\chap{G}}$ est un +isomorphisme, il est donc injectif : $\mathrm{\acute{e}v}_g≠e$. +En d'autres termes, il existe un caractère $χ'∈\chap{G}$ +tel que $χ'(g)≠1$. Soit $S=∑_χ χ(g)$. On a $χ'(g)S=∑_χ (χ'χ)(g)=S$. +Puisque $χ'(g)≠1$, on a bien $S=0$. +\end{démo} + +\begin{corollaire2} +\label{variante-orthogonalite-caracteres} +Soit $G$ un groupe abélien fini et $χ∈\chap{G}$. +Alors, $∑_{g∈G} χ(g)$ est égal à $0$ si $χ=1$ +et $|G|$ sinon. +\end{corollaire2} + +\begin{démo} +Cela résulte de l'égalité $∑_g χ(g)=∑_g \mathrm{\acute{e}v}_g(χ)$, +du lemme précédent, et du fait que tout caractère de $\chap{G}$ est +de la forme $\mathrm{\acute{e}v}_g$ pour un unique $g∈G$. +\end{démo} + +\subsection{Équation $X^n=g$ dans un groupe abélien fini ; application} + +Pour tout groupe abélien $G$ (en notation multiplicative) et +tout entier $n$, notons $G[n]:=\{g∈G, g^n=1\}$ et $nG=\{g^n, g∈G\}$. +La surjection $G→G/nG$ induit une \emph{injection} +$\chap{G/nG}↪\chap{G}[n]$ : un caractère composé $G→G/nG→\mathbf{U}$ +est tué par $n$. Le premier groupe a pour cardinal $(G:nG)$ ; celui de droite +$(\chap{G}:n\chap{G})$. D'après la proposition ci-dessus, $G≅\chap{G}$, +de sorte que $(\chap{G}:n\chap{G})=(G:nG)$ et, finalement, +$$ +\chap{G/nG}\iso \chap{G}[n]. +$$ + +Soit $g∈G$ et notons $\sur{g}$ son image dans $G/nG$. +Cette image est nulle \ssi pour tout $\sur{χ}∈\chap{G/nG}$, $\sur{χ}(\sur{g})=1$. +Soit $χ$ l'image de $\sur{χ}$ par l'isomorphisme précédent ; on +a par définition $χ(g)=\sur{χ}(\sur{g})$. + +\begin{corollaire2} +Soient $G$ un groupe abélien fini, $g∈G$ et $n$ un entier. +Les conditions suivantes sont équivalentes. +\begin{enumerate} +\item $g∈nG$ ; +\item $\chap{G}[n](g)=\{1\}$. +\end{enumerate} +\end{corollaire2} + +\begin{corollaire2} +Soient $G$ un groupe abélien fini, $g∈G$ et $n$ un entier. Alors, +$$ +N(X^n=g)=∑_{χ∈\chap{G}[n]} χ(g), +$$ +où $N(X^n=g)$ désigne le nombre de solution de l'équation $X^n=g$ dans $G$. +\end{corollaire2} + +\begin{démo} +Le terme de gauche est égal à $0$ si $g∉nG$ ; +il est égal à $\#G[n]$ dans le cas contraire car deux solutions +diffèrent d'un élément de $G[n]$. +Notons $\sur{g}$ l'image de $g$ dans $G/nG$. +Le terme de droite se réécrit +$$ +∑_{\sur{χ}∈\chap{G/nG}} \sur{χ}(\sur{g}). +$$ +D'après \ref{lemme-orthogonalite-caracteres}, cette somme vaut $0$ si $\sur{g}≠e$ +(\cad $g∉nG$) et $\#\chap{G/nG}$ sinon. Puisque $\chap{G/nG}≅\chap{G}[n]≅G[n]$, +l'égalité avec le terme de gauche en résulte. +\end{démo} + + + +\subsubsection{} +Soit $F$ un corps \emph{fini}. Rappelons que le groupe multiplicatif $F^×$ est \emph{cyclique} +(\ref{cyclicite-groupe-multiplicatif-corps}). +%Si $n$ est un entier, la condition $n|d$ +%du paragraphe précédent est équivalente à l'égalité $\#μ_n(F)=n$ ou encore à l'inclusion +%$μ_n(\sur{F})⊂F$. +Fixons un entier $d≥0$, des coefficients $c₀,\dots,c_d,b∈F^×$ et des exposants +$n=(n₀,\dots,n_d)$ tous non nuls. On s'intéresse dorénavant au nombre $N=N(c₀X₀^{n₀}+\cdots+c_d X_d^{n_d}=b)$ +de solution de cette équation dans $F$ et ses sur-corps. On note $A$ la $F$-algèbre $F^{d+1}$. +Soit $L$ la forme linéaire sur $A$ définie par $L(a)=∑_i c_i a_i$, où +$a=(a₀,\dots,a_d)∈F^{d+1}$. +\subsubsection{}L'égalité suivante est tautologique : +$$N=∑_{a∈A\atop L(a)=b} N(X₀^{n₀}=a₀)\cdots N(X_d^{n_d}=a_d).$$ +D'après les résultats des paragraphes précédents, chaque +entier $N(X_i^{n_i}=a_i)$ est égal à la somme +$∑_{χ∈\chap{F^×}[n_i]} χ(a_i)$. + +\begin{quote} +\emph{A priori}, cette formule n'a +de sens que pour $a_i≠0$, elle reste pourtant vraie si l'on décrète que $χ(0)$ +est nul si $χ≠1$ et égal à un sinon. +\end{quote} + +Ainsi, en développant l'expression $\big(∑_{χ₀^{n₀}=1} χ(a₀)\big)\cdots +\big(∑_{χ_d^{n_d}=1} χ(a_d)\big)$ et en sommant sur les $a∈A$ tels que $L(a)=b$, +on trouve : +$$ +(\star)\ N=(\# F)^d+∑_{χ=(χ₀,\dots,χ_d)≠1} \big(∑_{a∈A\atop L(a)=b} χ₀(a₀)\cdots χ_d(a_d)\big), +$$ +où la première somme porte sur les caractères comme ci-dessus, supposés +non tous triviaux. En effet, la contribution de $χ₀=\cdots=χ_d=1$ +est égale au cardinal de l'hyperplan affine $L^{-1}(b)$. + +Par commodité, on notera par la suite $χ₀(a₀)\cdots χ_d(a_d)=:χ(a)$. + +\begin{lemme2} +Si certains des $χ_i$ sont triviaux, mais pas tous, la somme +$$∑_{a∈A\atop L(a)=b} χ₀(a₀)\cdots χ_d(a_d)$$ est \emph{nulle}. +\end{lemme2} + +\begin{démo} +Soit $χ=(χ₀,\dots,χ_d)$ comme dans l'énoncé et considérons +l'algèbre quotient $A↠A'$ de $A$ correspondant aux facteurs non triviaux. +Tautologiquement, $χ(a)=χ'(a')$ où $a'$ est l'image de $a$ dans $A'$ et $χ'$ +est la famille de caractères (tous) non triviaux correspondante. +La somme à évaluer est donc égale à $∑_{a∈A\atop L(a)=b} χ'(a')$. +Elle est égale à $∑_{a'∈A'} \big(χ'(a')\cdot \#\{a∈A,a\mapsto a', L(a)=b\}\big)$. +Puisque pour tout $a'$, $\{a∈A,a\mapsto a', L(a)=b\}$ est un espace +affine non vide (car $A'≠A$) de dimension donc de cardinal indépendants de $a'$, +il suffit de montrer que $∑_{a'∈A'} χ'(a')=0$. +Puisque les constituants de $χ'$ sont tous non triviaux, elle +est égale à $∑_{a'∈{A'}^×} χ'(a')$. D'après +\ref{variante-orthogonalite-caracteres}, cette somme est nulle. +\end{démo} + +\subsubsection{Nouveaux caractères}Soit $A↠A'$ comme dans la démonstration. En passant aux unités, +on obtient un morphisme induit $A^×↠{A'}^×$ d'où une injection +$\chap{{A'}^×}↪\chap{A^×}$. La proposition précédente affirme +que la contribution d'un caractère de l'image est nulle. +En d'autres termes, seuls contribuent les caractères qui ne sont pas induits +par une sous-algèbre quotient \emph{stricte}. +(On a vu en \ref{algebre-diagonalisable} que tous ces quotients sont du type +envisagé dans la démonstration.) + +On note $\chap{A^×}^{\mathrm{nouv}}$ l'\emph{ensemble} de ces caractères (par oppositions +aux \emph{anciens}, provenant d'une plus petite algèbre). +Généralisant quelque peu la notation habituelle, +on pose $\chap{A^×}[n]:=\{χ=(χ₀,\dots,χ_d)∈\chap{A^×}, χ_i^{n_i}=1\}$. +(Si $n₀=\dots=n_d$, on retombe sur la définition précédente.) +Enfin, si $E⊂\chap{A^×}$, on note $E[n]$ (resp. $E^{\mathrm{nouv}}$ resp. +$E^{\mathrm{nouv}}[n]$) son intersection avec le sous-ensemble correspondant +de $\chap{A^×}$. +Remarquons que si $d+1=\dim_F(A)>1$, tout nouveau caractère de $A^×$ est non +trivial. + +\subsubsection{Réécriture de l'égalité ($\star$)} +Si l'on pose $a'=ca$ (\cad $a'_i=c_i a_i$ pour $0≤i≤d$), on a bien sûr +$χ(a)=χ(c)^{-1}χ(a')$, ce qui complique un peu les choses, +mais la condition $L(a)=b$ s'écrit $∑_i a'_i=b$, \cad $\Tr_{A/F}(a')=b$. + +Utilisant cette remarque et le lemme précédent, on peut donc +écrire : + +$$ +N=(\# F)^d+∑_{χ∈\chap{A^×}^{\mathrm{nouv}}[n]\atop χ≠1} χ^{-1}(c)\big( ∑_{a∈A^×\atop \Tr(a)=b} +χ(a)\big). +$$ + +Rappelons que le terme $(\# F)^d$ correspond au caractère $χ=1$. + +Notons $χ_{|F^×}$ la restriction d'un caractère $χ$ de $A^×$ au sous-groupe $F^×$ +plongé diagonalement, de sorte que $χ_{|F^×}(x)=∏_i χ_i(x)$. +En écrivant $a_i=a₀a'_i$ ($0<i≤d$), on trouve immédiatement, +pour tout caractère $χ$ de $A^×$ : +$$ +∑_{a∈A^×\atop \Tr(a)=b} χ(a)=∑_{x∈F^×} \Big(χ_{|F^×}(x) \big(∑_{a'∈{A'}^×\atop +\Tr(a')=\frac{b}{x}-1} χ'(a')\big)\Big), +$$ +où $χ'=(χ₁,\dots,χ_d)$. + +Supposons $b=0$. La somme sur $a'$ ne dépend pas de $x$ et +$∑_{a∈A^×\atop \Tr(a)=0} χ(a)$ est un multiple de $∑_{x∈F^×} χ_{|F^×}(x)$, +nul si $χ_{|F^×}$ est non trivial. On peut donc se restreindre pour le calcul de $N$ +aux caractères de $A^×$ \emph{diagonalement triviaux}, \cad +aux caractères de $A^×/F^×$. + +La condition $\Tr(a)=0$ ($a∈A^×$) étant invariante par multiplication +par un scalaire $λ∈F^×$, il est licite de considérer la condition +$\Tr(x)=0$ dans $A^×/F^×$. + +Nous avons établi la proposition suivante. + +\begin{proposition2} +Soient $F$ un corps fini de cardinal $q$, $d≥0$ un entier, $c₀,\dots,c_d∈F^×$, et $n₀,\dots,n_d≥1$. +Alors, +$$ +N(∑_i c_i X_i^{n_i}=0)=q^d+(q-1)∑_{x∈A^×/F^×,\Tr(a)=0 \atop +χ∈\chap{A^×/F^×}^{\mathrm{nouv}}[n], χ≠1} χ(c)χ^{-1}(x). +$$ +\end{proposition2} + +Le facteur $(q-1)$ provient du fait que chaque $x∈A^×/F^×$, +a exactement $(q-1)$ antécédents dans $A^×$. + + +\subsection{Sommes de Jacobi, sommes de Gauß} + +Dans tout ce paragraphe, $F$ désigne un corps fini, de cardinal $q$. +Nous dirons qu'une $F$-algèbre isomorphe à un produit fini de corps +finis est une « $F$-algèbre étale ». Ceci est conforme +avec la terminologie introduite en \refext{Alg}{etale}. + +\begin{définition2}\label{definition-somme-Jacobi} +Soit $A$ une $F$-algèbre \emph{étale} de rang $d+1$. +Pour tout caractère non trivial $χ∈\chap{A^×/F^×}$, on pose +$$ +J(χ)=(-1)^{d-1}∑_{x∈A^×/F^×\atop \Tr(x)=0} χ^{-1}(x). +$$ +\end{définition2} + +Une telle somme est appelée \emph{somme de Jacobi}. + +Le cas qui nous intéresse particulièrement ici est le cas où $A=F^{d+1}$. +À $χ$ correspondent $d+1$ caractères $(χ₀,\dots,χ_d)$ de $F^×$, non tous triviaux, +de produit trivial. Dans ce cas, +$$ +J(χ)=(-1)^{d-1}∑_{x₁,\dots,x_d∈F^×\atop ∑_i x_i=-1} χ₁^{-1}(x₁)\cdots +χ_d^{-1}(x_d). +$$ + +Dans ce langage, la proposition précédente (où l'on suppose $b=0$) se +reformule : +$$ +N=q^d+(-1)^{d-1}(q-1)∑_χ χ(c)J(χ), +$$ +où $χ$ parcourt le sous-ensemble $\chap{A^×/F^×}^{\mathrm{nouv}}[n]$. + +\subsubsection{Le cas $b$ quelconque}\label{formule-b-quelconque} +Comme pour $x∈F^×$, on a $x^{q-1}=1$, il vient : +$$ +N(c₀X₀^{n₀}+\cdots+c_{d}X_d^{n_d}-bX_{d+1}^{q-1}=0)= +(q-1)N(c₀X₀^{n₀}+\cdots+c_{d}X_d^{n_d}=b)+N(c₀X₀^{n₀}+\cdots+c_{d}X_d^{n_d}=0). +$$ + +D'où (pour $b$ non nul) +$$ +N=q^d+(-1)^d\big(∑_{χ'} χ'(c,-b)J(χ')-∑_χ χ(c)J(χ)\big), +$$ +où la première somme se fait relativement à l'algèbre $A'=A×F$, +$χ'$ parcourt l'ensemble $\chap{{A'}^×/F^×}^{\mathrm{nouv}}[(n,q-1)]$ +et $χ$ parcourt l'ensemble $\chap{A^×/F^×}^{\mathrm{nouv}}[n]$. + +(Remarquer que $q^{d+1}-q^d=(q-1)q^d$.) + +\begin{lemme2} +Soit $ζ_p$ une racine primitive $p$-ème de l'unité. +Pour tout caractère \emph{additif} $ψ$ de $F$, il existe +un unique $a∈F$ tel que $ψ(x)=ζ_p^{\Tr_{F/\FF_p}(ax)}$. +\end{lemme2} + +\begin{démo} +On se ramène immédiatement à montrer que toute forme linéaire $f:F→\FF_p$ est +de la forme $x\mapsto \mathrm{Tr}_{F/\FF_p}(ax)$. Cela résulte du fait que +la trace est non-dégénérée (l'extension $F/\FF_p$ est étale ; cf. +\refext{Alg}{pot-diag=geom-red=f-net} (v)). +% si $\mathrm{Tr}_{F/\FF_p}(ax)=0$ pour tout $x∈F$, alors, $a=0$. +%Ce dernier point résulte à son tour du fait que la trace est surjective +%et, de façon équivalente, non nulle : le polynôme $X+X^p+\cdots+X^{p^{r-1}}$, +%qui a au plus $p^{r-1}$ racines dans $F$ (supposé de degré $r$ sur $\FF_p$), +%ne peut donc s'annuler identiquement sur $F$. (C'est vrai plus généralement pour +%toute extension finie séparable de corps.) +\end{démo} + + +\begin{définition2}\label{definition-somme-Gauss} +Soit $A$ une $F$-algèbre étale de rang $d$, $ψ$ un caractère +(\emph{additif}) non trivial de $F$ et $χ$ un caractère de $A^×$. +On pose +$$ +g(χ,ψ)=(-1)^{d}∑_{a∈A^×} ψ\big(\Tr_{A/F}(a)\big)χ^{-1}(a). +$$ +\end{définition2} + +Une telle somme est appelée \emph{somme de Gauß}. Elles semblent +avoir été introduites par Cauchy. +Par la suite, nous noterons $ψ_A$ le caractère (additif) $ψ\circ \Tr_{A/F}$. + +Remarquons que $g(χ,ψ)∈𝐐(ζ_p,ζ_{q-1})$. + +\subsubsection{}\label{factorisation-somme-Gauss}Si $A$ est un produit de corps $K_i$, de degré $d_i$ sur $F$, on montre immédiatement l'égalité +$$ +g(χ,ψ)=ε(A)∏_i g(χ_i,ψ_{K_i}), +$$ +où $ε(A)=(-1)^{∑_i (d_i+1)}$. + +Le lien entre sommes de Jacobi et sommes de Gauß est donné par la formule +suivante, qui nous permettra bientôt de calculer le module +des sommes de Jacobi. Rappelons que si $A$ est une $F$-algèbre, tout caractère +de $A^×/F^×$ peut-être vu comme un caractère de $A^×$. + +\begin{proposition2}\label{proposition-Gauss-Jacobi} +Soient $A$ une $F$-algèbre étale +Pour tout un caractère non trivial $χ$ de $A^×/F^×$, +et tout caractère (additif) non trivial $ψ$ de $F$, +on a l'égalité suivante : +$$ +qJ(χ)=g(χ,ψ). +$$ +\end{proposition2} + +\begin{démo} +On a : +$$ +g(χ,ψ)=(-1)^{\dim_F(A)}∑_{x∈A^×/F^×} \big(χ^{-1}(x)∑_{a\mapsto x} ψ_A(a)\big), +$$ +où $a$ parcourt l'ensemble des relèvements de $x$ à $A^×$. +Si $\Tr(x)=0$, $∑_{a\mapsto x} ψ_A(a)=(q-1)$ ; dans le +cas contraire, elle vaut $∑_{t∈F^×} ψ(t)=-1$ (car $∑_{t∈F} ψ(t)=0$). +Ainsi, +$$ +g(χ,ψ)=(-1)^{\dim_F(A)}\big(q ∑_{x∈A^×/F^×\atop \Tr(x)=0} χ^{-1}(x) - +\underbrace{∑_{x∈A^×/F^×} χ^{-1}(x)}_{0}\big). +$$ +\end{démo} + +\begin{proposition2} +Soient $A$ une $F$-algèbre étale, $ψ$ un caractère (additif) non trivial +de $F$ et $χ∈\chap{A^×}^{\mathrm{nouv}}$ non trivial. +Alors, +$$ +|g(χ,ψ)|=\sqrt{\# A}. +$$ +\end{proposition2} + +\begin{démo} +En faisant le changement de variable $y=xz$ dans la +formule +$$ +|g(χ,ψ)|²=g(χ,ψ)\sur{g(χ,ψ)}=∑_{x,y∈{A'}^×}χ(\frac{y}{x})ψ\big(\mathrm{Tr}_{A'/F}(x-y)\big), +$$ +on trouve immédiatement +$$ +|g(χ,ψ)|^2=∑_{x,z∈{A'}^×} χ(z)ψ(x(1-z))=∑_z χ(z)\Big(∑_x ψ\big(x(1-z)\big)\Big). +$$ +Si $z=1$, la somme $∑_x ψ\big(x(1-z)\big)=∑_x 1$ vaut $\# {A'}^×$. +Si $A'$ est un \emph{corps} et $z≠1$, elle vaut $∑_{y∈{A'}^×} +ψ(y)=\big(∑_{y∈A'}ψ(y)\big)-1=-1$. Finalement, si $A'$ est un corps, +$$ +|g|²=\# {A'}^× - ∑_{z≠1\atop z∈{A'}^×} χ(z)=\# {A'}^×+1=\# A'. +$$ +Le cas général se ramène à ce cas particulier grâce à la formule +\ref{factorisation-somme-Gauss}. +\end{démo} + +\begin{corollaire2} +$$ +|N(a₀X₀^{n₀}+\cdots+a_d X_d^{n_d}=0)-q^d|≤C_n q^{\frac{d+1}{2}}, +$$ +où $C_n$ est une constante explicite ne dépendant que de $n$. +De plus, $C_n≤∏_i n_i$. +\end{corollaire2} + +\begin{démo} +Les deux propositions précédentes montrent que pour $A$ de dimension $d+1$ sur $F$, +et tout nouveau caractère non trivial, $|qJ(χ)|=q^{\frac{d+1}{2}}$. +La constante $C_n$ n'est autre que le cardinal des nouveaux +caractères de ${F^{d+1}}^×/F^×$ tués par $n$ et non triviaux. +C'est aussi le nombre de $(d+1)$-uplets de rationnels $0<α_i<1$ +tels que $n_i α_i∈𝐙$ et $∑_i α_i∈𝐙$. +\end{démo} + +Le lecteur exhibera sans peine une majoration semblable dans +le cas $b≠0$. + +\subsubsection{}À faire : + +— Lien Gauß ↔ transformée de Fourier discrète. Parseval. \XXX + +— Montrer que transformée de Gauß puissance $n$ = somme de Kloosterman + +— Hasse-Davenport \XXX + +\begin{théorème2}[Hasse-Davenport] +\label{Hasse-Davenport} +Soit $F'$ une extension finie de $F$ de degré $r$. Alors, +$$ +g(χ_{F'},ψ_{F'})=g(χ,ψ)^r. +$$ +\end{théorème2} + +\begin{démo} +Cf. \cite[chap. 11, §4]{Ireland-Rosen}, +ou, mieux, SGA4½, [Sommes trigonométriques], ¶1.15. +\end{démo} + +\subsection{Applications : cardinal des sphères, polygones réguliers et +réciprocité quadratique} + +\subsubsection{Notations} + +Soit $F$ un corps fini cardinal $q$ et de caractéristique $p≠2$. Le groupe $F^×$ a donc un unique +sous-groupe d'indice deux ; on note $χ_{\mathrm{quad}}$ le caractère +correspondant. On a donc $χ_{\mathrm{quad}}(x)=1$ si $x∈{F^×}²$ et $-1$ sinon. + +C'est le seul caractère non trivial de $2$-torsion, de sorte que l'ensemble +des nouveaux caractères de $2$-torsion de $F^d$ est soit vide soit réduit à un seul +élément, suivant la parité de $d$. + +Dans tout ce paragraphe, nous fixons une racine primitive $p$-ème +de l'unité $ζ_p$ et considérons le caractère additif non trivial associé : +$ψ(x)=ζ_p^{\Tr_{F/\FF_p}(x)}$. Nous notons $g_{\mathrm{quad}}$ la +somme de Gauß associée à ce caractère additif et au caractère (multiplicatif) quadratique. + +\begin{proposition2} +\label{proposition-cardinal-spheres} +Soient $d≥0$ un entier et $N$ le nombre de solutions de l'équation +$X₀²+\cdots+X_d²=1$. +\begin{enumerate} +\item $g_{\mathrm{quad}}²=qχ_{\mathrm{quad}}(-1)$ ; +\item $χ_{\mathrm{quad}}(-1)=(-1)^{\frac{q-1}{2}}$ ; +\item $N=q^d+χ_{\mathrm{quad}}(-1)^{\frac{d}{2}} q^{\frac{d}{2}}$ si $d$ est +pair ; +\item $N=q^d+χ_{\mathrm{quad}}(-1)^{\frac{d+1}{2}} q^{\frac{d-1}{2}}$ si $d$ est +impair. +\end{enumerate} +\end{proposition2} + +Rappelons que $χ_{\mathrm{quad}}(-1)^n=χ_{\mathrm{quad}}\big((-1)^n\big)$ vaut +$1$ si $(-1)^n$ est un carré dans $F$, $-1$ sinon. + +\begin{démo} +(i) résulte de la formule générale : +$$g(χ,ψ)g(\sur{χ},ψ)=χ(-1)^{-1}g(χ,ψ)\sur{g(χ,ψ)}=χ(-1)q.$$ +(ii) Si $x∈{F^×}²$, $x^{\frac{q-1}{2}}=1$ et vice-versa pour des raisons +de cardinalité. Ainsi, $χ_{\mathrm{quad}}(x)=x^{\frac{q-1}{2}})$, +égalité ayant lieu dans $\{±1\}$, plongé dans $\mathbf{U}$ (terme +de gauche) et $F^×$ (terme de droite). +(iii) et (iv) résultent de la formule générale exprimant $N$ comme +une somme, de l'égalité $qJ=g$. +Pour (iii), on utilise également l'égalité +$χ_{\mathrm{quad}}(-1)\frac{g_{\mathrm{quad}}^{d+2}}{p}=χ_{\mathrm{quad}}(-1)^{\frac{d}{2}}q^{\frac{d}{2}}$, +qui découle de (i). L'égalité (iv) est semblable et laissée au lecteur. +\end{démo} + +\begin{remarque2} +Insistons sur le caractère élémentaire de ces formules. +Puisque $N(X²=a)=1+χ_{\mathrm{quad}}(a)$, en tire +$N=q^d+∑_{a₀+\cdots+a_d=1} ∏_i χ_{\mathrm{quad}}(a_i)$. Le second +terme est, au signe près, une somme de Jacobi. +Ce calcul a été fait bien avant le cas d'une hypersurface diagonale +générale, dû à Weil. +\end{remarque2} + + +Généralisation : hypersurface diagonale. +$N_r$ est une somme de puissance $r$-ièmes. \XXX. +On verra en \refext{AC}{} une application à la rationalité +de la fonction $ζ$. + +\subsubsection{Constructiblité des polygones réguliers} + +Dans ce court paragraphe, on donne une démonstration élémentaire +de la constructiblité à la règle et au compas des polygones réguliers +à $p$ côtés si $p-1$ est une puissance de deux : +nous allons démontrer qu'il existe sous cette hypothèse une +suite d'extensions $𝐐=K₀⊂\cdots ⊂K_i ⊂ K_{i+1} ⊂\cdots ⊂K_n=𝐐(ζ_p)$, +avec $[K_{i+1}:K_i]=2$. + +Posons $S=∑_χ g(χ,ψ)$, où $χ$ parcourt $\chap{F^×}$. +Par définition, $S=-∑_{x∈F^×} \big( ∑_χ χ(x)\big) ψ(x)$. +Puisque $∑_χ χ(x)=0$ pour $x≠1$, $p-1$ sinon, et $ψ(1)=ζ_p$, on a donc +l'égalité +$$ +S=(1-p)ζ_p, +$$ +de sorte que $𝐐(ζ_p)=𝐐(S)$. + +Une somme de nombres constructibles étant constructible \XXX, il suffit donc de démontrer +que chaque $g(χ,ψ)$ est constructible, si $p-1$ est une puissance de deux, ce que nous supposerons dorénavant. + +Observons que pour tout entier $m≥1$, un nombre $g$ est constructible \ssi $g^{2^m}$ l'est. +Or, tout caractère de $F^×$ est d'ordre divisant $p-1$ donc de la forme $2^m$, +$m≥0$, si bien que l'égalité $g(χ,ψ)^{2^m}=pJ((χ,\dots,χ))$ (cf. \ref{proposition-Gauss-Jacobi}) +ramène le problème à la constructibilité des sommes de Jacobi. +Ces dernières appartiennent à $𝐐(μ_{p-1})$ ; elles sont donc constructibles. +(Le cas $m=0$, \cad $χ=1$, est à traiter séparément. Il est trivial.) + +Selon la légende, c'est cette découverte --- sensationnelle à l'époque --- +qui aurait décidé Gauß (alors âgé d'un peu moins de 19 ans) à devenir mathématicien, et non linguiste. +Sa démonstration est exposée en détail dans ses \emph{disquisitiones arithmeticæ} (recherches +arithmétiques) \cite{Disquisitiones@Gauss}, §7. La découverte elle-même +semble dater du 30 mars 1796. C'est la première entrée dans son +fameux \emph{Tagebuch} (\cite{Tagebuch@Gauss}) : +\begin{quote} +Principia quibus innititur sectio circuli, ac divisibilitas eiusdem +geometrica in septemdecim partes etc. +\end{quote} + +On trouvera dans \refext{Cons}{} un calcul explicite lorsque $p=17$. + +\subsubsection{Réciprocité quadratique} +Cf. \refext{ACF}{reciprocite-quadratique}. + +Soit $ℓ≠p$ un nombre premier impair. +Notons $χ=(χ_{\mathrm{quad}},\dots,χ_{\mathrm{quad}})$ +le caractère de ${F^{ℓ+1}}^×$, où $F=\FF_p$. Il est nouveau, non trivial +mais diagonalement trivial car $χ_{\mathrm{quad}}^{ℓ+1}=1$. + +Il résulte de la formule $pJ=g$ (\ref{proposition-Gauss-Jacobi}) et +du calcul de $g²$ (\ref{proposition-cardinal-spheres}, (i-ii)) que l'on a +l'égalité : + +$$p^{\frac{ℓ-1}{2}}(-1)^{(\frac{p-1}{2})(\frac{ℓ+1}{2})}=J(χ)=χ_{\mathrm{quad}}(-1)^ℓ∑_{∑x_i=1}χ_{\mathrm{quad}}(x₁)\cdots +χ_{\mathrm{quad}}(x_ℓ). +$$ + +L'égalité de droite est une traduction immédiate de la définition +des sommes de Jacobi. (On utilise le fait que +$χ_{\mathrm{quad}}=χ_{\mathrm{quad}}^{-1}$.) +En faisant passer le terme $χ_{\mathrm{quad}}(-1)^ℓ$ à gauche, on trouve : +$$ +p^{\frac{ℓ-1}{2}}(-1)^{(\frac{p-1}{2})(\frac{ℓ-1}{2})}=∑_{∑x_i=1\atop +x_i∈𝐅_p^×}χ_{\mathrm{quad}}(x₁)\cdots +χ_{\mathrm{quad}}(x_ℓ). +$$ + +La somme de droite est une somme d'entiers égaux à $±1$. +Elle est congrue à $χ_{\mathrm{quad}}(ℓ)$ modulo $ℓ$ pour +la raison suivante. L'ensemble de sommation est naturellement un $𝐙/ℓ$-ensemble (action +par permutation cyclique des coordonnées) et la fonction +sommée est invariante par cette action. Il en résulte que, +modulo $ℓ$, seuls les points fixes contribuent. L'unique point +fixe est donné par $x₁=\cdots=x_ℓ=\frac{1}{ℓ}∈F^×$. Sa +contribution est $χ_{\mathrm{quad}}(ℓ)∈\{±1\}$. + +Puisque $χ_{\mathrm{quad}}(ℓ)=(\frac{ℓ}{p})$ et que d'autre part, +modulo $ℓ$, $p^{\frac{ℓ-1}{2}}\equiv (\frac{p}{ℓ})$, on en tire : + +\[ +(\frac{ℓ}{p})(\frac{p}{ℓ})=(-1)^{(\frac{p-1}{2})(\frac{ℓ-1}{2})}. +\] + +C'est la fameuse \emph{loi de réciprocité quadratique}. + \ifx\danslelivre\undefined +\bibliography{../configuration/bibliographie-livre} +\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre} \end{document} \fi |