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diff --git a/chapitres/corps-finis.tex b/chapitres/corps-finis.tex index 1081cd5..3552907 100644 --- a/chapitres/corps-finis.tex +++ b/chapitres/corps-finis.tex @@ -626,16 +626,15 @@ petite puissance de $q$ apparaissant dans l'une des deux sommes. On verra en \ref{cyclicite-groupe-multiplicatif-corps} un résultat plus fin : l'existence d'éléments ou de polynômes \emph{primitifs}. - -On peut préciser le corollaire précédent sous la forme -suivante. +On peut préciser le corollaire précédent sous la forme suivante. \begin{corollaire2} \label{estimation-uniforme-proportion-polynomes-irreductibles-dans-Fp} Soit $p ≥ 3$ un nombre premier et soit $d ≥ 1$ un nombre entier. La proportion des polynômes de degré $d$ dans -$𝐅_p[X]$ qui sont \emph{irréductibles} est au moins -égale à $\frac{1}{3d}$. +$𝐅_p[X]$ qui sont \emph{irréductibles} (resp. +\emph{irréductibles unitaires}) est au moins +égale à $\frac{1}{3d}$ (resp. $\frac{1}{2d}$). \end{corollaire2} \begin{démo} @@ -651,14 +650,50 @@ de cette quantité, et celui des polynômes irréductibles non nécessairement unitaires (donc de coefficient dominant arbitraire dans $𝐅_p^×$) par $p-1$ fois cette dernière quantité. -Ainsi, la proportion recherchée est minorée par +La conclusion résulte alors des inégalités +$\frac{p-2}{p-1} ≥ ½$ et $1-\frac{2}{p} ≥ ⅓$. +\end{démo} + +\begin{corollaire2}[Dörge (1925), van der Waerden (1933)] +\label{polynomes-presque-tous-irreductibles} +Soit $d ≥ 1$ un entier. Parmi les polynômes $f ∈ 𝐙[X]$ +unitaires de degré $d$ à coefficients dans un intervalle +$[-N,N]$, la proportion de ceux qui sont +\emph{réductibles} tend vers $0$ lorsque $N$ tend +vers $+∞$. +\end{corollaire2} + +\begin{démo} +Soit $ε>0$ ; il existe un entier $r ≥ 1$ tel que +$2^d(1-\frac{1}{2d})^r ≤ ε$. +Soit $P=p₁…p_r$ un produit de nombres premiers distincts +et supérieurs ou égaux à $3$ (par exemple, $P=3 ⋅ 5 ⋅ 7 +\cdots$). Vérifions que si $N ≥ P$, la proportion +des polynômes comme dans l'énoncé est au plus $ε$. +L'application envoyant un polynôme $f ∈ 𝐙[X]$ à coefficients +dans $[-N,N]$, unitaire de degré $d$, sur sa réduction $f \mod P ∈ 𝐙/P[X]$ +est à fibres de cardinal au plus $(\frac{2N+1}{P}+1)^d$. +Elle envoie un polynôme réductible (unitaire, de degré $d$) +sur un polynôme réductible (unitaire, de degré $d$). +D'autre part, il résulte du lemme chinois que l'application +de réduction modulo chacun des $p_i$, $𝐙/P[X] → 𝐅_{p₁}[X]×…× +𝐅_{p_r}[X]$, est un isomorphisme d'anneaux. +Il en résulte que la proportion des +polynômes \emph{réductibles} parmi les +polynômes de $𝐙/P[X]$ unitaires de degré $d$ est majorée +par $(1-\frac{1}{2d})^r$. +Ainsi le nombre de polynômes réductibles comme +dans l'énoncé est majoré par \[ -\frac{1}{d}\frac{p^d(p-2)}{p^{d+1}} = \frac{1-2/p}{d} ≥ -\frac{1-2/3}{d}=\frac{1}{3d}. +(1-\frac{1}{2d})^r × P^d × (\frac{2N+1}{P}+1)^d ≤ ε (2N+1)^d \] - +car $2N+1+P ≤ 2(2N+1)$, $N$ étant supérieur ou égal à $P$. \end{démo} +On laisse le soin au lecteur de vérifier qu'il en est de +même des polynômes de degré au plus $d$, non nécessairement +unitaires. + \subsection{Critères d'irréductibilité} \begin{proposition2}[critère d'irréductibilité de Rabin]\label{critere-rabin} |