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diff --git a/chapitres/corps-finis.tex b/chapitres/corps-finis.tex index 30e9b32..0b6714a 100644 --- a/chapitres/corps-finis.tex +++ b/chapitres/corps-finis.tex @@ -2788,7 +2788,7 @@ Soit $A$ une $F$-algèbre étale de rang $d$, $ψ$ un caractère (\emph{additif}) non trivial de $F$ et $χ$ un caractère de $A^×$. On pose $$ -g(χ,ψ)=(-1)^{d}∑_{a∈A^×} ψ\big(\Tr_{A/F}(a)\big)χ^{-1}(a). +𝔤(χ,ψ)=(-1)^{d}∑_{a∈A^×} ψ\big(\Tr_{A/F}(a)\big)χ^{-1}(a). $$ \end{définition2} @@ -2796,11 +2796,11 @@ Une telle somme est appelée \emph{somme de Gauß}. Elles semblent avoir été introduites par Cauchy. Par la suite, nous noterons $ψ_A$ le caractère (additif) $ψ\circ \Tr_{A/F}$. -Remarquons que $g(χ,ψ)∈𝐐(ζ_p,ζ_{q-1})$. +Remarquons que $𝔤(χ,ψ)∈𝐐(ζ_p,ζ_{q-1})$. \subsubsection{}\label{factorisation-somme-Gauss}Si $A$ est un produit de corps $K_i$, de degré $d_i$ sur $F$, on montre immédiatement l'égalité $$ -g(χ,ψ)=ε(A)∏_i g(χ_i,ψ_{K_i}), +𝔤(χ,ψ)=ε(A)∏_i 𝔤(χ_i,ψ_{K_i}), $$ où $ε(A)=(-1)^{∑_i (d_i+1)}$. @@ -2815,21 +2815,21 @@ Pour tout un caractère non trivial $χ$ de $A^×/F^×$, et tout caractère (additif) non trivial $ψ$ de $F$, on a l'égalité suivante : $$ -qJ(χ)=g(χ,ψ). +qJ(χ)=𝔤(χ,ψ). $$ \end{proposition2} \begin{démo} On a : $$ -g(χ,ψ)=(-1)^{\dim_F(A)}∑_{x∈A^×/F^×} \big(χ^{-1}(x)∑_{a\mapsto x} ψ_A(a)\big), +𝔤(χ,ψ)=(-1)^{\dim_F(A)}∑_{x∈A^×/F^×} \big(χ^{-1}(x)∑_{a\mapsto x} ψ_A(a)\big), $$ où $a$ parcourt l'ensemble des relèvements de $x$ à $A^×$. Si $\Tr(x)=0$, $∑_{a\mapsto x} ψ_A(a)=(q-1)$ ; dans le cas contraire, elle vaut $∑_{t∈F^×} ψ(t)=-1$ (car $∑_{t∈F} ψ(t)=0$). Ainsi, $$ -g(χ,ψ)=(-1)^{\dim_F(A)}\big(q ∑_{x∈A^×/F^×\atop \Tr(x)=0} χ^{-1}(x) - +𝔤(χ,ψ)=(-1)^{\dim_F(A)}\big(q ∑_{x∈A^×/F^×\atop \Tr(x)=0} χ^{-1}(x) - \underbrace{∑_{x∈A^×/F^×} χ^{-1}(x)}_{0}\big). $$ \end{démo} @@ -2839,7 +2839,7 @@ Soient $A$ une $F$-algèbre étale, $ψ$ un caractère (additif) non trivial de $F$ et $χ∈\chap{A^×}^{\mathrm{nouv}}$ non trivial. Alors, $$ -|g(χ,ψ)|=\sqrt{\# A}. +|𝔤(χ,ψ)|=\sqrt{\# A}. $$ \end{proposition2} @@ -2847,11 +2847,11 @@ $$ En faisant le changement de variable $y=xz$ dans la formule $$ -|g(χ,ψ)|²=g(χ,ψ)\sur{g(χ,ψ)}=∑_{x,y∈{A'}^×}χ(\frac{y}{x})ψ\big(\mathrm{Tr}_{A'/F}(x-y)\big), +|𝔤(χ,ψ)|²=𝔤(χ,ψ)\sur{𝔤(χ,ψ)}=∑_{x,y∈{A'}^×}χ(\frac{y}{x})ψ\big(\mathrm{Tr}_{A'/F}(x-y)\big), $$ on trouve immédiatement $$ -|g(χ,ψ)|^2=∑_{x,z∈{A'}^×} χ(z)ψ(x(1-z))=∑_z χ(z)\Big(∑_x ψ\big(x(1-z)\big)\Big). +|𝔤(χ,ψ)|^2=∑_{x,z∈{A'}^×} χ(z)ψ(x(1-z))=∑_z χ(z)\Big(∑_x ψ\big(x(1-z)\big)\Big). $$ Si $z=1$, la somme $∑_x ψ\big(x(1-z)\big)=∑_x 1$ vaut $\# {A'}^×$. Si $A'$ est un \emph{corps} et $z≠1$, elle vaut $∑_{y∈{A'}^×} @@ -2895,7 +2895,7 @@ le cas $b≠0$. \label{Hasse-Davenport} Soit $F'$ une extension finie de $F$ de degré $r$. Alors, $$ -g(χ_{F'},ψ_{F'})=g(χ,ψ)^r. +𝔤(χ_{F'},ψ_{F'})=𝔤(χ,ψ)^r. $$ \end{théorème2} @@ -2941,7 +2941,7 @@ $1$ si $(-1)^n$ est un carré dans $F$, $-1$ sinon. \begin{démo} (i) résulte de la formule générale : -$$g(χ,ψ)g(\sur{χ},ψ)=χ(-1)^{-1}g(χ,ψ)\sur{g(χ,ψ)}=χ(-1)q.$$ +$$𝔤(χ,ψ)𝔤(\sur{χ},ψ)=χ(-1)^{-1}𝔤(χ,ψ)\sur{𝔤(χ,ψ)}=χ(-1)q.$$ (ii) Si $x∈{F^×}²$, $x^{\frac{q-1}{2}}=1$ et vice-versa pour des raisons de cardinalité. Ainsi, $χ_{\mathrm{quad}}(x)=x^{\frac{q-1}{2}})$, égalité ayant lieu dans $\{±1\}$, plongé dans $\mathbf{U}$ (terme @@ -2977,7 +2977,7 @@ nous allons démontrer qu'il existe sous cette hypothèse une suite d'extensions $𝐐=K₀⊂\cdots ⊂K_i ⊂ K_{i+1} ⊂\cdots ⊂K_n=𝐐(ζ_p)$, avec $[K_{i+1}:K_i]=2$. -Posons $S=∑_χ g(χ,ψ)$, où $χ$ parcourt $\chap{F^×}$. +Posons $S=∑_χ 𝔤(χ,ψ)$, où $χ$ parcourt $\chap{F^×}$. Par définition, $S=-∑_{x∈F^×} \big( ∑_χ χ(x)\big) ψ(x)$. Puisque $∑_χ χ(x)=0$ pour $x≠1$, $p-1$ sinon, et $ψ(1)=ζ_p$, on a donc l'égalité @@ -2987,11 +2987,11 @@ $$ de sorte que $𝐐(ζ_p)=𝐐(S)$. Une somme de nombres constructibles étant constructible \XXX, il suffit donc de démontrer -que chaque $g(χ,ψ)$ est constructible, si $p-1$ est une puissance de deux, ce que nous supposerons dorénavant. +que chaque $𝔤(χ,ψ)$ est constructible, si $p-1$ est une puissance de deux, ce que nous supposerons dorénavant. Observons que pour tout entier $m≥1$, un nombre $g$ est constructible \ssi $g^{2^m}$ l'est. Or, tout caractère de $F^×$ est d'ordre divisant $p-1$ donc de la forme $2^m$, -$m≥0$, si bien que l'égalité $g(χ,ψ)^{2^m}=pJ((χ,\dots,χ))$ (cf. \ref{proposition-Gauss-Jacobi}) +$m≥0$, si bien que l'égalité $𝔤(χ,ψ)^{2^m}=pJ((χ,\dots,χ))$ (cf. \ref{proposition-Gauss-Jacobi}) ramène le problème à la constructibilité des sommes de Jacobi. Ces dernières appartiennent à $𝐐(μ_{p-1})$ ; elles sont donc constructibles. (Le cas $m=0$, \cad $χ=1$, est à traiter séparément. Il est trivial.) |