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--- a/chapitres/corps-finis.tex
+++ b/chapitres/corps-finis.tex
@@ -211,8 +211,8 @@ bien un sous-corps de $K$ à $q$ éléments.
\begin{proposition2}\label{existence-et-unicite-corps finis}
Soit $q=p^r$ une puissance d'un nombre premier. Il existe un corps à
$q$ éléments, unique à isomorphisme près. Un tel corps est un corps
-de décomposition (\refext{Alg}{décomposition}) du polynôme
-$X^q-X∈𝐅_p[X]$.
+de décomposition (\refext{Alg}{définition corps de décomposition}) du
+polynôme $X^q-X∈𝐅_p[X]$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
L'existence se déduit du lemme \ref{sous-corps-a-q-elements} appliqué
@@ -1782,6 +1782,606 @@ $p=7$&$p^n=7$&$h_1 = X + 4$\\
\end{tabular}
\end{center}
+\section{Le caractère quadratique et la réciprocité quadratique}\label{caractere-quadratique-corps-finis}
+
+\subsection{Le caractère quadratique en caractéristique impaire}\label{caractere-quadratique-corps-finis-caracteristique-impaire}
+
+\subsubsection{} Si on se penche sur la question de la factorisation
+des polynômes (ou la résolution des équations) de degré $2$ sur
+$\FF_q$, en remarquant que, pour $q$ impair l'équation $X^2 + bX + c =
+0$ peut se réécrire sous la forme $(X+\frac{b}{2})^2 =
+(\frac{b^2}{4} - c)$, on voit que tout se ramène, en caractéristique
+impaire, à déterminer \emph{quels éléments de $\FF_q$ sont des
+ carrés}. Nous allons, pour approfondir cette question, introduire
+la définition suivante :
+
+\begin{definition2}\label{definition-caractere-quadratique}
+Soit $q$ une puissance d'un nombre premier impair. On
+appelle \emph{caractère quadratique} sur $\FF_q$ la fonction
+$a \mapsto a^{(q-1)/2}$. On note $\FF_q^{\times2}$ l'ensemble des
+éléments de $\FF_q^\times$ qui sont des carrés.
+\end{definition2}
+
+\begin{proposition2}\label{denombrement-carres-f-q}
+Si $q$ est une puissance d'un nombre premier impair, alors le caractère
+quadratique ne prend sur $\FF_q^\times$ que les valeurs $+1$ et $-1$,
+et on a $a \in \FF_q^{\times2}$ si et seulement si $a^{(q-1)/2} =
++1$ ; de plus, $\# \FF_q^{\times2} = \frac{1}{2}(q-1)$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+L'application $z \mapsto z^2$, vue comme un morphisme
+$\FF_q^\times \to \FF_q^\times$, a pour noyau $\{\pm 1\}$ (de
+cardinal $2$), et pour image $\FF_q^{\times2}$, donc
+$2\, \#\FF_q^{\times2} = \#\FF_q^{\times}$ : ceci montre la dernière
+affirmation.
+
+Si $e = a^{(q-1)/2}$ avec $a \in \FF_q^\times$, alors $e^2 = a^{q-1} =
+1$, donc $e$ vaut $+1$ ou $-1$.
+
+Si $a = b^2$ avec $b \in \FF_q^\times$, alors $a^{(q-1)/2} = b^{q-1} =
++1$. On a donc montré que sur tout élément de $\FF_q^{\times2}$ le
+caractère quadratique vaut $+1$ : comme on vient de voir qu'il y a
+$\frac{1}{2}(q-1)$ tels éléments et que le polynôme $X^{(q-1)/2} - 1$
+(de degré $\frac{1}{2}(q-1)$) n'est pas nul, il ne peut s'annuler en
+aucun autre point de $\FF_q$ : on voit donc que réciproquement si
+$a^{(q-1)/2} = +1$ alors $a \in \FF_q^{\times2}$.
+\end{proof}
+
+On pouvait également démontrer ce résultat en utilisant un élément
+primitif $g$ (cf. \ref{cyclicite-groupe-multiplicatif-corps}) : les
+éléments de $\FF_q^{\times2}$ sont ceux qui s'écrivent $g^{2i}$ avec
+$i$ entier (et bien défini modulo $\frac{1}{2}(q-1)$).
+
+\begin{corollaire2}\label{produits-de-non-carres-dans-f-q}
+Un produit $ab$ dans $\FF_q$ est un carré \emph{si et seulement si}
+les deux facteurs $a,b$ sont soit tous deux des carrés soit tous deux
+des non-carrés.
+\end{corollaire2}
+\begin{proof}
+Cela découle de \ref{denombrement-carres-f-q} et du fait que le
+caractère quadratique est un morphisme multiplicatif : $(ab)^{(q-1)/2}
+= a^{(q-1)/2}\, b^{(q-1)/2}$.
+\end{proof}
+
+On peut déjà résoudre complètement la question du caractère
+quadratique de $-1$.
+
+\begin{corollaire2}\label{caractere-quadratique-de-moins-un}
+Pour $q$ une puissance d'un nombre premier impair, l'élément $-1$ de
+$\FF_q$ est un carré \emph{si et seulement si} $q \equiv 1 \pmod{4}$.
+\end{corollaire2}
+\begin{proof}
+Cela découle de \ref{denombrement-carres-f-q} et du fait que
+$(-1)^{(q-1)/2}$ vaut $+1$ si $q \equiv 1 \pmod{4}$ et $-1$ si $q
+\equiv 3 \pmod{4}$.
+\end{proof}
+
+On va voir en \ref{reciprocite-quadratique} plus bas ce qu'on peut
+dire du caractère quadratique de $2$ et plus généralement de tout
+entier.
+
+\subsubsection{} Le calcul du caractère quadratique peut se faire
+efficacement par un algorithme d'exponentiation rapide : ceci permet
+donc de savoir effectivement si un élément donné de $\FF_q^\times$
+admet une racine carrée. (On renvoie à \ref{remarques-critere-rabin}
+pour la question de la représentation des corps finis et
+l'algorithmique dans ceux-ci ; mais pour beaucoup de questions
+algorithmiques considérées ici, le cas où $q = p$ est premier et
+$\FF_q = \ZZ/p\ZZ$ est déjà intéressant.) Calculer effectivement la
+racine carrée d'un élément qui en admet une est une question plus
+délicate, qui sera considérée
+en \refext{ACF}{equations-quadratiques-corps-finis}.
+
+\begin{lemme2}\label{carres-extensions-corps-finis}
+Soit $q = p^r$ avec $p$ premier impair. Si $r$ est impair, alors un
+élément de $\FF_p$ est un carré dans $\FF_p$ si et seulement si il
+l'est dans $\FF_q$ (autrement dit, $\FF_q^{\times 2} \cap \FF_p
+= \FF_p^{\times 2}$). Si $r$ est pair, alors tout élément de $\FF_p$
+est un carré dans $\FF_q$.
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+On peut par exemple, pour $a \in \FF_p^\times$, écrire $a^{(q-1)/2} =
+a^{(p^r-1)/2} = (a^{(p-1)/2})^{p^{r-1} + \cdots + p + 1}$, et
+$a^{(p-1)/2}$ vaut $+1$ ou $-1$ selon que $a$ est un carré
+dans $\FF_p$, et la parité de $p^{r-1} + \cdots + p + 1$ est la même
+que celle de $r$, ce qui démontre le résultat.
+
+Une autre démonstration consiste à considérer le polynôme $X^2 - a$ et
+à lui
+appliquer \ref{corollaire-scindage-partiel-polynomes-corps-finis}.
+\end{proof}
+
+Mentionnons par ailleurs le résultat combinatoire suivant, qui est une
+application inattendue des propriétés du caractère quadratique sur les
+corps finis :
+\begin{proposition2}\label{matrice-d-hadamard-par-corps-finis}
+Soit $q$ une puissance d'un nombre premier vérifiant $q \equiv
+3 \pmod{4}$. Alors il existe une matrice $M$ de taille $(q+1)\times
+(q+1)$ à coefficients dans $\{\pm 1\}$ telle que deux lignes
+distinctes quelconques de $M$ ont la même valeur en $\frac{1}{2}(q+1)$
+de leurs entrées et une valeur opposée en les $\frac{1}{2}(q+1)$
+autres.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+En notant $\PP^1(\FF_q) = \FF_q \cup \{\infty\}$, on définit une
+fonction $\varphi\colon \PP^1(\FF_q) \times \PP^1(\FF_q) \to \{\pm
+1\}$ par $\varphi(\infty,\infty) = \varphi(x,\infty)
+= \varphi(\infty,y) = +1$ si $x \in \FF_q$ et $y \in \FF_q$, par
+$\varphi(x,x) = -1$ pour tout $x \in \FF_q$, et par $\varphi(x,y) =
+(x-y)^{(q-1)/2}$ (c'est-à-dire $+1$ ou $-1$ selon que $x-y$ est un
+carré ou non dans $\FF_q$, cf. \ref{denombrement-carres-f-q}) si
+$x\neq y$ avec $x,y\in \FF_q$. La matrice indicée par
+$\PP^1(\FF_q) \times \PP^1(\FF_q)$ dont les coefficients sont donnés
+par la fonction $\varphi$ répond à la question : pour le montrer, il
+s'agit de voir que si $x,x' \in \PP^1(\FF_q)$ avec $x\neq x'$ alors il
+existe $\frac{1}{2}(q+1)$ valeurs $y \in \PP^1(\FF_q)$ exactement
+telles que $\varphi(x,y) = \varphi(x',y)$.
+
+Si $x$ vaut $\infty$, il s'agit de voir que $\frac{1}{2}(q+1)$ valeurs
+$y$ vérifient $\varphi(x',y) = -1$, c'est-à-dire (puisque
+$\varphi(x',x')=-1$) que $\frac{1}{2}(q-1)$ éléments $y \in \FF_q$
+sont tels que $x'-y$ ne soit pas un carré dans $\FF_q$, ce qui est
+bien le cas (cf. \ref{denombrement-carres-f-q}). Si $x,x' \in \FF_q$,
+on s'intéresse à $\varphi(x,y)/\varphi(x',y)$. Si $y \in \FF_q$ et
+$y \not\in \{x,x'\}$, cette fonction vaut
+$(\frac{x-y}{x'-y})^{(q-1)/2}$, or l'expression $\frac{x-y}{x'-y}$
+prend toutes les valeurs de $\FF_q$ sauf $0$ et $1$, donc
+$(\frac{x-y}{x'-y})^{(q-1)/2}$ prend $\frac{1}{2}(q-3)$ fois la
+valeur $+1$ ; si $y = \infty$, l'expression
+$\varphi(x,y)/\varphi(x',y)$ vaut $+1$ ; si $y=x$ ou $y=x'$, enfin,
+l'expression $\varphi(x,y)/\varphi(x',y)$ vaut $-(x'-x)^{(q-1)/2}$ et
+$-(x-x')^{(q-1)/2}$ respectivement, et ces valeurs sont opposées
+puisque $q\equiv 3 \pmod{4}$ entraîne $(-1)^{(q-1)/2} = -1$ ; on a
+donc montré que $\varphi(x,y)/\varphi(x',y)$ prend exactement
+$\frac{1}{2}(q+1)$ fois la valeur $+1$ lorsque $y$
+parcourt $\PP^1(\FF_q)$.
+\end{proof}
+
+Une matrice telle que fournie par la
+proposition \ref{matrice-d-hadamard-par-corps-finis}
+s'appelle \emph{matrice d'Hadamard} de taille $q+1$. On conjecture
+qu'il existe une matrice d'Hadamard de toute taille multiple de $4$.
+
+\subsection{La caractéristique $2$}\label{caractere-quadratique-corps-finis-caracteristique-2}
+
+\subsubsection{} En caractéristique $2$, calculer
+des racines carrées dans $\FF_q = \FF_{2^r}$ est facile : on a
+$x^{2^r} = x$ d'après \refext{Fin}{petit-theoreme-fermat}, donc $x^{2^{r-1}}$
+est une racine carrée de $x$. À la différence du cas où $2$ est
+inversible, cependant, savoir calculer des racines carrées ne permet
+pas de résoudre toutes les équations quadratiques puisqu'on ne peut
+pas écrire $X^2 + bX + c = 0$ sous la forme $(X+\frac{b}{2})^2 +
+(c-\frac{b^2}{4}) = 0$. À la place, si on note $\wp(Z) = Z^2 + Z$,
+l'équation $X^2 + bX + c = 0$, lorsque $b\neq 0$ (le cas $b=0$ ayant
+déjà été traité) peut se réécrire $\wp(X/b)+(c/b^2) = 0$, soit $X =
+b\,\root\wp\of{c/b^2}$ si on note $\root\wp\of E$ une solution (si
+elle existe) de l'équation $Z^2+Z = E$, l'autre solution étant alors
+$\root\wp\of E + 1$ (puisque $\wp(Z+1) = \wp(Z)$).
+
+\begin{definition2}\label{definition-caractere-quadratique-en-caracteristique-2}
+Soit $q = 2^r$ une puissance de $2$. On appelle \emph{caractère
+quadratique additif} sur $\FF_q$ la fonction $\tau \colon a \mapsto a
++ a^2 + a^4 + a^8 + \cdots + a^{2^{r-1}}$ (qu'on notera aussi $\tau_r$
+en cas d'ambiguïté). On note $\wp\FF_q$ l'ensemble des éléments de
+$\FF_q$ qui sont dans l'image de la fonction $\wp\colon z \mapsto z^2
++ z$.
+\end{definition2}
+
+On peut aussi considérer $\tau$ comme la trace pour l'extension
+$\FF_q\bo\FF_2$ (cf. \ref{trace-et-norme-corps-finis}).
+
+\begin{proposition2}\label{denombrement-artin-schreier-2-f-q}
+Si $q$ est une puissance de $2$, alors le caractère quadratique
+additif $\tau$ ne prend sur $\FF_q$ que les valeurs $0$ et $1$, et on
+a $a \in \wp\FF_q$ si et seulement si $\tau(a) = 0$ ; de plus,
+$\#(\wp\FF_q) = \frac{q}{2}$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+L'application $\wp\colon z \mapsto z^2+z$, vue comme une application
+$\FF_2$-linéaire $\FF_q \to \FF_q$, a pour noyau $\{0,1\}$ (de
+cardinal $2$) puisque $0,1$ sont les deux solutions de $Z^2 + Z = 0$ ;
+et elle a pour image $\wp\FF_q$, donc $2\, \#(\wp\FF_q) = \#\FF_q$ :
+ceci montre la dernière affirmation.
+
+Si $e = \tau(a)$ avec $a \in \FF_q$, alors $\wp(e) = e^2 + e = (a^2 +
+a^4 + \cdots + a^q) + (a + a^2 + \cdots + a^{q/2}) = 0$ puisque $a^{q}
+= a$, donc $e$ vaut $0$ ou $1$.
+
+Si $a = \wp(b)$ avec $b \in \FF_q$, alors $\tau(a) = a + a^2 + \cdots
++ a^{q/2} = (b^2 + b) + (b^4 + b^2) + \cdots + (b^{q} + b^{q/2}) = 0$.
+On a donc montré que sur tout élément de $\wp\FF_q$ le caractère
+quadratique additif $\tau$ vaut $0$ : comme on vient de voir qu'il y a
+$\frac{q}{2}$ tels éléments et que le polynôme $X + X^2 + X^4 + \cdots
++ X^{q/2}$ (de degré $\frac{q}{2}$) n'est pas nul, il ne peut
+s'annuler en aucun autre point de $\FF_q$ : on voit donc que
+réciproquement si $\tau(a) = 0$ alors $a \in \wp\FF_q$.
+\end{proof}
+
+\subsection{Symbole de Legendre, réciprocité quadratique et formule complémentaire}\label{reciprocite-quadratique}
+
+On s'intéresse dans cette section au caractère quadratique des
+éléments de $\FF_p$ avec $p$ un nombre premier impair.
+
+\begin{definition2}\label{definition-symbole-legendre}
+Si $p$ est un nombre premier impair et $a$ un entier, on
+appelle \emph{symbole de Legendre} de $a$ modulo $p$, et on note
+$\Legendre{a}{p}$, l'entier valant $0$ si $p|a$, et $1$ si $a$ est un
+carré dans $\FF_p$, et $-1$ si $a$ n'est pas un carré dans $\FF_p$.
+\end{definition2}
+
+Il résulte trivialement de \ref{denombrement-carres-f-q} et
+de \ref{produits-de-non-carres-dans-f-q} que :
+\begin{proposition2}\label{formule-symbole-legendre}
+Si $p$ est un nombre premier impair et $a$ un entier, alors
+\[
+\Legendre{a}{p} \equiv a^{(p-1)/2} \pmod{p}
+\]
+De plus, quels que soient les entiers $a,b$, on a $\Legendre{ab}{p}
+= \Legendre{a}{p} \Legendre{b}{p}$.
+\end{proposition2}
+
+L'énoncé suivant, qui compare le caractère quadratique de $p$ modulo
+$q$ au caractère quadratique de $q$ modulo $p$, et dont on va donner
+deux démonstrations, porte le nom de \emph{loi de réciprocité
+quadratique} :
+
+\begin{theoreme2}\label{loi-reciprocite-quadratique}
+Soient $p,q$ deux nombres premiers impairs distincts. On a alors :
+\[
+\Legendre{p}{q} \Legendre{q}{p} = (-1)^{(p-1)(q-1)/4}
+\]
+--- c'est-à-dire $\Legendre{q}{p} = \Legendre{p}{q}$ sauf si
+$p,q \equiv 3 \pmod{4}$ auquel cas $\Legendre{q}{p} =
+-\Legendre{p}{q}$.
+\end{theoreme2}
+\begin{proof}[Première démonstration]
+Convenons pour cette démonstration de représenter les éléments de
+$\ZZ/p\ZZ$ par $-\frac{p-1}{2},\ldots,\frac{p-1}{2}$, et de
+dire d'un élément de $(\ZZ/p\ZZ)^\times$ qu'il est « positif »
+lorsqu'il est congru à l'un des $\frac{p-1}{2}$ entiers
+$1,2,3,\ldots,\frac{p-1}{2}$, et « négatif » lorsqu'il est congru à
+l'un des $\frac{p-1}{2}$ entiers $-\frac{p-1}{2},\ldots,-1$. Avec
+cette définition, si $k \in \ZZ$ n'est pas multiple de $p$, son
+« signe » modulo $p$ (c'est-à-dire $+1$ ou $-1$ selon qu'il a un
+résidu positif ou négatif) vaut $(-1)^{\lfloor 2k/p\rfloor}$ où
+$\lfloor\tiret\rfloor$ désigne la fonction partie entière. Remarquons
+d'ores et déjà que pour tout entier $i$ non multiple de $p$ on a
+$\lfloor \frac{2qi}{p}\rfloor + \lfloor \frac{q(p-2i)}{p}\rfloor =
+q-1$ (car $\lfloor\theta\rfloor +
+\lfloor q-\theta\rfloor = q-1$ pour tout
+$\theta \in \RR \setminus \ZZ$), et que cet entier est pair, de sorte
+que $(-1)^{\lfloor 2qi/p\rfloor} = (-1)^{\lfloor q(p-2i)/p\rfloor}$
+(ces deux expressions donnent donc le signe de $qi$ modulo $p$).
+
+Le produit $\prod_{i=1}^{(p-1)/2} \bar\imath$ des éléments positif de
+$(\ZZ/p\ZZ)^\times$ vaut $(\frac{p-1}{2})!$ modulo $p$. Considérons
+maintenant le produit $\prod_{i=1}^{(p-1)/2} q\bar\imath$ : on peut
+manifestement l'écrire comme $q^{(p-1)/2} (\frac{p-1}{2})!$
+modulo $p$. Mais par ailleurs on ne peut pas avoir $q\bar\imath =
+\pm q\bar\imath'$ pour $i,i' \in \{1,\ldots,\frac{p-1}{2}\}$ distincts,
+donc les $q\bar\imath$ s'écrivent $\pm\bar\jmath$ avec $\bar\jmath$
+parcourant $1,2,3,\ldots,\frac{p-1}{2}$ et le signe $\pm$ donné par
+$(-1)^{\lfloor 2qi/p\rfloor} = (-1)^{\lfloor q(p-2i)/p\rfloor}$ comme
+on l'a expliqué ; ainsi, $\prod_{i=1}^{(p-1)/2} q\bar\imath =
+(-1)^{\sum_{i=1}^{(p-1)/2} \lfloor 2qi/p\rfloor}(\frac{p-1}{2})!$, et
+en comparant les deux expressions trouvées et en
+utilisant \ref{formule-symbole-legendre}, on a $\Legendre{q}{p} =
+(-1)^{\sum_{i=1}^{(p-1)/2} \lfloor 2qi/p\rfloor}$ (« lemme
+d'Eisenstein »), ou, mieux, $\Legendre{q}{p} =
+(-1)^{\sum_{m=1}^{(p-1)/2} \lfloor qm/p\rfloor}$ (en appelant $m$ le
+nombre $2i$ ou $p-2i$ selon que $0<i<\frac{p}{4}$ ou
+$\frac{p}{4}<i<\frac{p}{2}$, de sorte que $m$ parcourt aussi les
+entiers de $1$ à $\frac{p-1}{2}$ quand $i$ les parcourt).
+
+Cette dernière expression admet l'interprétation géométrique
+suivante : $\Legendre{q}{p}$ vaut $(-1)^\mu$ avec $\mu$ le nombre de
+points $(m,n)$ à coordonnées entières telles que $0<m<\frac{p}{2}$ et
+$0<n<\frac{q}{p}m$ et (donc) $0<n<\frac{q}{2}$, ou, si l'on préfère,
+le nombre de points à coordonnées entières strictement à l'intérieur
+du triangle du plan dont les sommets sont $(0,0)$, $(\frac{p}{2},0)$
+et $(\frac{p}{2},\frac{q}{2})$. On en déduit que
+$\Legendre{p}{q} \Legendre{q}{p}$ est $(-1)^{\mu+\nu}$ avec $\mu+\nu$
+le nombre de points $(m,n)$ à coordonnées entières vérifiant
+$0<m<\frac{p}{2}$ et $0<n<\frac{q}{2}$ : on a bien $\mu+\nu
+= \frac{(p-1)(q-1)}{4}$.
+\end{proof}
+\begin{proof}[Seconde démonstration]
+Considérons $\FF_{q^r} = \FF_q(\zeta)$ (où $r$ est l'ordre
+multiplicatif de $p$ modulo $q$) l'extension de $\FF_q$ par une racine
+primitive $p$-ième de l'unité $\zeta$, c'est-à-dire le corps de
+décomposition de $\Phi_p(X)$ sur $\FF_q$
+(cf. \refext{Fin}{factorisation-phi-n}) dont on note $\zeta$ une racine. Dans
+ce corps, considérons la somme
+\[
+G = \sum_{i\in\FF_p^\times} \Legendre{i}{p} \zeta^i
+\]
+où on confond abusivement un $i \in \FF_p$ avec un représentant
+quelconque de celui-ci dans $\ZZ$ (puisque $\Legendre{i}{p}$ et
+$\zeta^i$ ne dépendent de la classe de $i$ modulo $p$).
+
+On a alors $G^2
+= \sum_{i,j\in \FF_p^\times} \Legendre{ij}{p} \zeta^{i+j}
+= \sum_{i,t \in \FF_p^\times} \Legendre{t}{p} \zeta^{i(1+t)}$ (en
+posant $t = j/i \in \FF_p^\times$ et en utilisant le fait que
+$\Legendre{i}{p}^2 = 1$) ; comme $\sum_{i\in\FF_p^\times} \zeta^{iu}$
+vaut $-1$ si $u \in \FF_p^\times$ et vaut $p - 1$ si $u = 0$, on en
+déduit (en distinguant selon que $t=-1$ ou non) $G^2
+= \Legendre{-1}{p}(p-1) - \sum_{t\neq 0,-1} \Legendre{t}{p}
+= \Legendre{-1}{p} p$ car $\sum_{t\in\FF_p^\times} \Legendre{t}{p} =
+0$ en vertu de \ref{denombrement-carres-f-q}.
+
+Par ailleurs, $G^q = \Frob_q(G)
+= \sum_{i\in\FF_p^\times} \Legendre{i}{p} \zeta^{qi}
+= \sum_{j\in\FF_p^\times} \Legendre{q}{p} \Legendre{j}{p} \zeta^j$ (en
+posant $j = qi$ et en utilisant de nouveau le fait que
+$\Legendre{q}{p}$ est son inverse), donc $G^q = \Legendre{q}{p} G$, et
+par conséquent $G^{q-1} = \Legendre{q}{p}$.
+
+En écrivant $G^{q-1} = (G^2)^{(q-1)/2}$, on a donc prouvé
+$\Legendre{q}{p} = \Legendre{-1}{p}^{(q-1)/2} p^{(q-1)/2} =
+(-1)^{(p-1)(q-1)/4} \Legendre{p}{q}$ ; cette égalité entre éléments de
+$\{\pm 1\}$ a lieu dans $\FF_{q^r}$ donc dans $\ZZ$ : c'est ce qu'on
+voulait prouver.
+\end{proof}
+
+Pour ce qui est du caractère quadratique de $2$, il est déterminé par
+la proposition suivante souvent appelée « formule complémentaire » :
+\begin{proposition2}\label{formule-complementaire}
+Soit $p$ un nombre premier impair. On a alors :
+\[
+\Legendre{2}{p} = (-1)^{(p^2-1)/8}
+\]
+--- c'est-à-dire $\Legendre{2}{p} = 1$ si $p\equiv 1,7 \pmod{8}$ et
+$\Legendre{2}{p} = -1$ si $p\equiv 3,5 \pmod{8}$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}[Première démonstration]
+Convenons pour cette démonstration de représenter les éléments de
+$\ZZ/p\ZZ$ par $-\frac{p-1}{2},\ldots,\frac{p-1}{2}$, et de
+dire d'un élément de $(\ZZ/p\ZZ)^\times$ qu'il est « positif »
+lorsqu'il est congru à l'un des $\frac{p-1}{2}$ entiers
+$1,2,3,\ldots,\frac{p-1}{2}$, et « négatif » lorsqu'il est congru à
+l'un des $\frac{p-1}{2}$ entiers $-\frac{p-1}{2},\ldots,-1$.
+
+Le produit $\prod_{i=1}^{(p-1)/2} \bar\imath$ des éléments positif de
+$(\ZZ/p\ZZ)^\times$ vaut $(\frac{p-1}{2})!$ modulo $p$. Considérons
+maintenant le produit $\prod_{i=1}^{(p-1)/2} 2\bar\imath$ : on peut
+manifestement l'écrire comme $2^{(p-1)/2} (\frac{p-1}{2})!$
+modulo $p$. Mais par ailleurs on ne peut pas avoir $2\bar\imath =
+\pm 2\bar\imath'$ pour $i,i' \in \{1,\ldots,\frac{p-1}{2}\}$ distincts,
+donc les $2\bar\imath$ s'écrivent $\pm\bar\jmath$ avec $\bar\jmath$
+parcourant $1,2,3,\ldots,\frac{p-1}{2}$ et le signe $\pm$ (donné par
+$(-1)^{\lfloor 4i/p\rfloor}$ si l'on veut) vaut $+$ pour
+$0<i<\frac{p}{4}$ et $-$ pour $\frac{p}{4}<i<\frac{p}{2}$. Le nombre
+de signes $-$ est donc égal au nombre d'entiers entre $\frac{p}{4}$ et
+$\frac{p}{2}$ et il est facile de se convaincre (par exemple en
+considérant séparément chaque cas $1,3,5,7$ modulo $8$) que le signe
+du produit est alors $(-1)^{(p^2-1)/8}$. Ainsi,
+$\prod_{i=1}^{(p-1)/2} 2\bar\imath =
+(-1)^{(p^2-1)/8}(\frac{p-1}{2})!$, et en comparant les deux
+expressions trouvées et en utilisant \ref{formule-symbole-legendre},
+on a $\Legendre{2}{p} = (-1)^{(p^2-1)/8}$.
+\end{proof}
+\begin{proof}[Seconde démonstration]
+Considérons $\FF_{p^r} = \FF_p(\zeta)$ (où $r$ est l'ordre
+multiplicatif de $8$ modulo $p$) l'extension de $\FF_p$ par une racine
+primitive $8$-ième de l'unité $\zeta$, c'est-à-dire le corps de
+décomposition de $\Phi_8(X)$ sur $\FF_p$
+(cf. \refext{Fin}{factorisation-phi-n}) dont on note $\zeta$ une racine. Dans
+ce corps, considérons la somme
+\[
+G = \zeta - \zeta^3 - \zeta^5 + \zeta^7
+\]
+
+On a alors $G^2 = 4 - 4\zeta^4 = 8$.
+
+Par ailleurs, $G^p = \Frob_p(G) = \zeta^p - \zeta^{3p} - \zeta^{5p}
++ \zeta^{7p}$, donc $G^p = (-1)^{(p^2-1)/8} G$ (en considérant
+séparément les cas $p\equiv 1,7\pmod{8}$ et $p\equiv 3,5\pmod{8}$), et
+par conséquent $G^{p-1} = (-1)^{(p^2-1)/8}$.
+
+En écrivant $G^{p-1} = (G^2)^{(p-1)/2}$, on a donc prouvé
+$(-1)^{(p^2-1)/8} = 8^{(p-1)/2} = \Legendre{8}{p} = \Legendre{2}{p}$ ;
+cette égalité entre éléments de $\{\pm 1\}$ a lieu dans $\FF_{p^r}$
+donc dans $\ZZ$ : c'est ce qu'on voulait prouver.
+
+Signalons la variante suivante. L'élément $ζ+ζ^{-1}$ est,
+dans $𝐅_{p^r}$ une racine carré de $2$ car
+$(ζ+ζ^{-1})²=2+ζ²+{ζ²}^{-1}=2$. Il en résulte que $2$ est un carré
+dans $𝐅_p$ si et seulement si $ζ^p+ζ^{-p}=ζ+ζ^{-1}$. Cette condition
+ne dépend que de $±p$ modulo $8$ et on vérifie immédiatement quelles
+sont les valeurs pour lesquelles elle est satisfaite.
+\end{proof}
+
+\begin{remarque2}
+L'étude des nombres premiers $p$ pour lesquels $2$ est un \emph{cube}
+est plus délicate et s'insère naturellement dans la « théorie
+non abélienne du corps de classes » (ou « programme de Langlands »).
+On démontre que le nombre de solutions
+dans $𝐅_p$ de l'équation $x³=2$
+est $1+a_p$, où les $a_n$ sont les coefficients
+de la série formelle
+\[
+x∏_{n=1}^∞ \big((1-x^{6n})(1-x^{18n})\big)=∑^∞_{n=1} a_n x^n.
+\]
+% cf. nouveau livre de Katô p. 36. À déplacer ?
+\end{remarque2}
+
+\begin{remarques2}\label{remarque-periodicite-symbole-legendre}
+La loi de réciprocité quadratique et la formule complémentaire (ainsi
+que la formule \ref{formule-symbole-legendre} pour le cas $a=-1$)
+permettent de conclure que $\Legendre{a}{p}$, qui est évidemment une
+fonction périodique de $a$ à $p$ fixé, est aussi, ce qui n'était pas
+évident a priori, une fonction périodique de $p$ à $a$ fixé (au sens
+où il existe un entier $T$ ne dépendant que de $a$ tel que si $p,p'$
+sont premiers impairs et $p \equiv p' \pmod{T}$ alors $\Legendre{a}{p}
+= \Legendre{a}{p'}$) ; plus précisément, il admet pour période $T =
+4|a|$ (cela sera démontré en \ref{proprietes-symbole-jacobi}
+ci-dessous). Ceci peut inciter à vouloir donner un sens à
+$\Legendre{a}{n}$ dans des cas où $n$ n'est plus nécessairement
+premier, en appliquant cette périodicité (par exemple, puisque
+$\Legendre{3}{p} = +1$ pour tout premier $p \equiv 1 \pmod{12}$, on
+est tenté de convenir que $\Legendre{3}{25} = +1$ et $\Legendre{3}{85}
+= +1$ même si $25$ et $85$ ne sont pas premiers et que $3$ n'est même
+pas un carré dans $\ZZ/25\ZZ$ ni $\ZZ/85\ZZ$). Le symbole de Jacobi
+constitue une telle généralisation du symbole de Legendre :
+\end{remarques2}
+
+\subsection{Symboles de Jacobi et de Kronecker}
+
+\begin{definition2}\label{definition-symbole-jacobi}
+Pour tout $a \in \ZZ$ et tout $b \in \NN$ impair, on
+appelle \emph{symbole de Jacobi} de $a$ et $b$, et on note
+$\Legendre{a}{b}$, le symbole défini par $\Legendre{a}{b}
+= \Legendre{a}{p_1}\cdots \Legendre{a}{p_k}$ où $b = p_1\cdots p_k$
+avec $p_i$ des nombres premiers impairs, et où $\Legendre{a}{p_i}$
+désigne alors le symbole de
+Legendre (\ref{definition-symbole-legendre}).
+\end{definition2}
+
+\begin{proposition2}\label{proprietes-symbole-jacobi}
+Le symbole de Jacobi défini en \ref{definition-symbole-jacobi} a les
+propriétés suivantes :
+\begin{itemize}
+\item On a $\Legendre{a}{b} = 0$ si et seulement si $a,b$ sont
+premiers entre eux.
+\item Pour tous $a,a',b \in \ZZ$ avec $b$ positif impair, on a
+$\Legendre{aa'}{b} = \Legendre{a}{b} \Legendre{a'}{b}$.
+\item Pour tous $a,b,b' \in \ZZ$ avec $b,b'$ positifs impairs, on a
+$\Legendre{a}{bb'} = \Legendre{a}{b} \Legendre{a}{b'}$.
+\item À $b$ positif impair fixé, la fonction $\Legendre{a}{b}$ est
+périodique admettant $b$ pour période.
+\item À $a \neq 0$ fixé, la fonction $\Legendre{a}{b}$ est périodique
+admettant $4|a|$ pour période, et même $2|a|$ si $a \equiv 1
+\pmod{4}$ et $|a|$ si $a \equiv 0 \pmod{4}$.
+\item Pour tout $b$ positif impair, on a $\Legendre{-1}{b} =
+(-1)^{(b-1)/2}$.
+\item Pour tout $b$ positif impair, on a $\Legendre{2}{b} =
+(-1)^{(b^2-1)/8}$.
+\item Pour tous $a,b$ positifs impairs, on a
+$\Legendre{a}{b} \Legendre{b}{a} = (-1)^{(a-1)(b-1)/4}$.
+\end{itemize}
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Les deux premières propriétés découlent immédiatement des propriétés
+correspondantes du symbole de Legendre. La troisième propriété est
+une conséquence immédiate de la définition. La quatrième propriété
+(périodicité en $a$) découle de nouveau de la propriété correspondante
+du symbole de Legendre. La propriété suivante (périodicité en $b$)
+sera démontrée en dernier.
+
+Les formules $\Legendre{-1}{b} = (-1)^{(b-1)/2}$, $\Legendre{2}{b} =
+(-1)^{(b^2-1)/8}$ et $\Legendre{a}{b} \Legendre{b}{a} =
+(-1)^{(a-1)(b-1)/4}$ résultent des formules correspondantes pour le
+symbole de Legendre
+(\ref{formule-symbole-legendre}, \ref{formule-complementaire}
+et \ref{loi-reciprocite-quadratique}) et du fait que ces formules sont
+multiplicatives en $b$.
+
+Montrons enfin que $\Legendre{a}{b}$ est périodique en $b$ avec les
+périodes annoncées. Si $a$ est positif impair, on a $\Legendre{a}{b}
+= (-1)^{(a-1)(b-1)/4} \Legendre{b}{a}$ comme on vient de le voir, et
+le membre de droite admet $4a$ pour période ou même $2a$ si $a \equiv
+1 \pmod{4}$ ; si $a = -1$ alors $\Legendre{-1}{b}$ est périodique de
+période $4$ et on en déduit le résultat pour tout $a$ impair. Enfin,
+si $a = 2^v a'$ avec $a'$ impair, on a $\Legendre{a}{b}
+= \Legendre{2}{b}^v \Legendre{a'}{b}$. Pour $v=1$ (cas où $a \equiv
+2 \pmod{4}$), le premier facteur a pour période $8$ et le second admet
+la période $4|a'|$, donc le produit admet la période $8|a'| = 4|a|$ ;
+pour $v=2$, le premier facteur est constant et le second admet la
+période $4|a'|$ donc le produit admet la période $4|a'| = |a|$ ; et
+pour $v\geq 3$, le premier facteur admet la période $8$ et le second
+la période $4|a'|$, donc le produit admet la période $8|a'|$
+donc $|a|$.
+\end{proof}
+
+\begin{remarques2}
+\begin{itemize}
+\item Comme on l'a déjà illustré
+en \ref{remarque-periodicite-symbole-legendre} par l'exemple de
+$\Legendre{3}{25} = +1$ et $\Legendre{3}{85} = +1$, on peut très bien
+avoir $\Legendre{a}{b} = +1$ sans que $a$ soit un carré
+dans $\ZZ/b\ZZ$. En revanche, si $\Legendre{a}{b} = -1$ (avec $b$
+positif impair) alors $a$ n'est pas un carré dans $\ZZ/b\ZZ$ puisque
+$a$ n'est pas un carré modulo l'un des facteurs premiers de $b$.
+Voir cependant \ref{symbole-de-jacobi-et-corps-finis} ci-dessous.
+\item La formule \ref{formule-symbole-legendre} n'est pas valable en
+général pour le symbole de Jacobi, même si $a$ est effectivement un
+carré modulo $b$ (le nombre noté $p$
+en \ref{formule-symbole-legendre}) : par exemple, $\Legendre{11}{35} =
++1$, et de fait $11 \equiv 9^2 \pmod{35}$, pourtant
+$11^{(35-1)/2} \equiv 16 \pmod{35}$.
+\end{itemize}
+\end{remarques2}
+
+La proposition suivante est utile pour certains calculs, mais elle est
+vraie pour des raisons essentiellement triviales :
+\begin{proposition2}\label{symbole-de-jacobi-et-corps-finis}
+Soit $q$ une puissance d'un nombre premier $p$ impair, et $a \in \ZZ$
+non multiple de $p$. Alors $a$ est un carré dans $\FF_q$ si et
+seulement si $\Legendre{a}{q} = +1$ où $\Legendre{a}{q}$ désigne le
+symbole de Jacobi.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Écrivons $q = p^r$. Si $r$ est pair alors $\Legendre{a}{q}
+= \Legendre{a}{p}^2 = +1$, et $a$ est bien un carré dans $\FF_q$
+d'après \refext{Fin}{carres-extensions-corps-finis}. Si $r$ est impair alors
+$\Legendre{a}{q} = \Legendre{a}{p}^r = \Legendre{a}{p}$, et $a$ est un
+carré dans $\FF_q$ si et seulement s'il l'est dans $\FF_p$ de nouveau
+d'après \refext{Fin}{carres-extensions-corps-finis}.
+\end{proof}
+
+\begin{remarque2}
+On définit parfois une généralisation encore plus poussée des symboles
+de Legendre et de Jacobi : le \emph{symbole de Kronecker}
+$\Legendre{a}{b}$ défini pour tous $a,b\in\ZZ$. Celui-ci est défini
+en écrivant $b = u p_1\cdots p_k$ avec $u \in \{\pm 1\}$ et $p_i$ des
+nombres premiers (cette fois $p_i=2$ est admis), où $\Legendre{a}{p}$
+désigne le symbole de Legendre (\ref{definition-symbole-legendre}) si
+$p$ est premier impair, et de plus :
+\[\Legendre{a}{2} = \left\{
+\begin{array}{ll}
+0&\textrm{si $a$ est pair}\\
+(-1)^{(a^2-1)/8}&\textrm{si $a$ est impair}\\
+\end{array}
+\right.\]
+\[\Legendre{a}{-1} = \left\{
+\begin{array}{ll}
+1&\textrm{si $a\geq 0$}\\
+-1&\textrm{si $a<0$}\\
+\end{array}
+\right.\]
+et enfin
+\[\Legendre{a}{0} = \left\{
+\begin{array}{ll}
+1&\textrm{si $a = \pm 1$}\\
+0&\textrm{sinon}\\
+\end{array}
+\right.\]
+Le prix à payer pour une telle généralisation est principalement de
+perdre la périodicité de $\Legendre{a}{b}$ par rapport à $b$ lorsque
+$a \equiv -1 \pmod{4}$ (ainsi que la périodicité par rapport à $a$
+lorsque $b \leq 0$). En fait, le choix de $\Legendre{a}{2} =
+(-1)^{(a^2-1)/8}$ (pour $a$ impair) est quelque peu arbitraire, et le
+symbole de Kronecker ne possède pas le caractère naturel du symbole de
+Jacobi. Il vérifie néanmoins les propriétés suivantes dont la
+vérification est laissée au lecteur :
+\begin{itemize}
+\item On a $\Legendre{a}{b} = 0$ si et seulement si $a,b$ sont
+premiers entre eux.
+\item Pour tous $a,a',b \in \ZZ$, on a $\Legendre{aa'}{b}
+= \Legendre{a}{b} \Legendre{a'}{b}$.
+\item Pour tous $a,b,b' \in \ZZ$, on a $\Legendre{a}{bb'}
+= \Legendre{a}{b} \Legendre{a}{b'}$ sauf éventuellement si $a=-1$ et
+$bb'=0$.
+\item À $b>0$ fixé, la fonction $\Legendre{a}{b}$ est périodique
+admettant $4b$ pour période, et même $b$ si $b \not\equiv 2 \pmod{4}$.
+\item À $a \neq 0$ fixé, la fonction $\Legendre{a}{b}$ est périodique
+admettant $4|a|$ pour période si $a \not\equiv -1 \pmod{4}$, et même
+$|a|$ si $a \equiv 0,1 \pmod{4}$.
+\end{itemize}
+\end{remarque2}
+
+
\section{Hypersurfaces diagonales ; réciprocité quadratique}
\subsection{Dualité dans les groupes abéliens finis}