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@@ -1019,6 +1019,11 @@ Tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps est cyclique.
 En particulier, le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique.
 \end{théorème2}
 
+\begin{exercice2}
+En déduire une seconde démonstration de \ref{existence-polynome-irreductible-tout-degre-corps-finis}.
+\XXX
+\end{exercice2}
+
 \begin{démo}
 Soient $K$ un corps et $G⊆K^×$ un sous-groupe fini.  Pour tout entier
 $n$, l'ensemble $G[n]$ des éléments de $G$ d'ordre divisant $n$ est de
@@ -1290,6 +1295,39 @@ Galois), non seulement elles engendrent le même corps $\QQ(\zeta_n)$
 mais aussi elles ont le même polynôme minimal sur $\QQ$, qui est
 justement $\Phi_n$.
 
+\begin{corollaire2}
+Le polynôme $Φ_ℓ$ a une racine dans $𝐅_p$ si et seulement si
+$p ≡ 1 \mod ℓ$.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{proposition2}
+Soit $P ∈ 𝐙[X]$ un polynôme non constant. Il existe une infinité
+de nombres premiers $p$ tels que $P$ ait une racine dans $𝐅_p$.
+\end{proposition2}
+
+% Variante (plus dure) : scindé
+% Čebotarev pour l'absence de racine si P irréductible.
+
+\begin{démo}
+C'est une variante de la méthode d'Euclide pour montrer
+qu'il existe une infinité de nombres premiers. Supposons
+que les $P(n)$, $n ∈ 𝐍$ n'aient qu'un nombre fini de
+diviseurs premiers $ℓ₁,ℓ₂,…,ℓ_r$. Pour chaque $n ∈ 𝐍$,
+l'entier $P(n ℓ₁ℓ₂\ cdots ℓ_r)$ est congru à $P(0)=±1$
+modulo chaque $ℓ_i$. En particulier, il est premier à
+chacun d'entre eux. Or, si $n$ est grand, $P(n ℓ₁ℓ₂\ cdots ℓ_r)$
+est grand (en valeur absolue) donc a un diviseur premier.
+Absurde. Dans le cas général, on observe que si $a=P(0)$,
+on a $P(aX)=aQ(X)$ où $Q(0)=1$. Si $Q$ a une racine
+modulo $p$, il en est de même de $P$.
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}
+\label{Dirichlet faible}
+Soit $ℓ$ un nombre premier. Il existe une infinité
+de nombres premiers $p$ congrus à un modulo $ℓ$.
+\end{corollaire2}
+
 \begin{proposition2}
 Soit $h$ un polynome irréductible unitaire sur $\FF_q$, autre que $X$.
 Alors il existe un unique $n$ premier à $q$ tel que $h$