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diff --git a/chapitres/corps-finis.tex b/chapitres/corps-finis.tex index ec3dbfe..72b8829 100644 --- a/chapitres/corps-finis.tex +++ b/chapitres/corps-finis.tex @@ -1019,6 +1019,11 @@ Tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps est cyclique. En particulier, le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique. \end{théorème2} +\begin{exercice2} +En déduire une seconde démonstration de \ref{existence-polynome-irreductible-tout-degre-corps-finis}. +\XXX +\end{exercice2} + \begin{démo} Soient $K$ un corps et $G⊆K^×$ un sous-groupe fini. Pour tout entier $n$, l'ensemble $G[n]$ des éléments de $G$ d'ordre divisant $n$ est de @@ -1290,6 +1295,39 @@ Galois), non seulement elles engendrent le même corps $\QQ(\zeta_n)$ mais aussi elles ont le même polynôme minimal sur $\QQ$, qui est justement $\Phi_n$. +\begin{corollaire2} +Le polynôme $Φ_ℓ$ a une racine dans $𝐅_p$ si et seulement si +$p ≡ 1 \mod ℓ$. +\end{corollaire2} + +\begin{proposition2} +Soit $P ∈ 𝐙[X]$ un polynôme non constant. Il existe une infinité +de nombres premiers $p$ tels que $P$ ait une racine dans $𝐅_p$. +\end{proposition2} + +% Variante (plus dure) : scindé +% Čebotarev pour l'absence de racine si P irréductible. + +\begin{démo} +C'est une variante de la méthode d'Euclide pour montrer +qu'il existe une infinité de nombres premiers. Supposons +que les $P(n)$, $n ∈ 𝐍$ n'aient qu'un nombre fini de +diviseurs premiers $ℓ₁,ℓ₂,…,ℓ_r$. Pour chaque $n ∈ 𝐍$, +l'entier $P(n ℓ₁ℓ₂\ cdots ℓ_r)$ est congru à $P(0)=±1$ +modulo chaque $ℓ_i$. En particulier, il est premier à +chacun d'entre eux. Or, si $n$ est grand, $P(n ℓ₁ℓ₂\ cdots ℓ_r)$ +est grand (en valeur absolue) donc a un diviseur premier. +Absurde. Dans le cas général, on observe que si $a=P(0)$, +on a $P(aX)=aQ(X)$ où $Q(0)=1$. Si $Q$ a une racine +modulo $p$, il en est de même de $P$. +\end{démo} + +\begin{corollaire2} +\label{Dirichlet faible} +Soit $ℓ$ un nombre premier. Il existe une infinité +de nombres premiers $p$ congrus à un modulo $ℓ$. +\end{corollaire2} + \begin{proposition2} Soit $h$ un polynome irréductible unitaire sur $\FF_q$, autre que $X$. Alors il existe un unique $n$ premier à $q$ tel que $h$ |