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diff --git a/chapitres/correspondance-galois.tex b/chapitres/correspondance-galois.tex index 624e082..308abab 100644 --- a/chapitres/correspondance-galois.tex +++ b/chapitres/correspondance-galois.tex @@ -426,7 +426,7 @@ car potentiellement diagonalisable. Soient $K\bo k$ une extension finie galoisienne. Les automorphismes $g∈G=\Hom_k(K,K)$, vus comme éléments du $K$-espace vectoriel -$\End_{k\traitdunion\mathrm{ev}}(K)$, sont $K$-linéairement indépendants. +$\End_{k\traitdunion\mathtextrm{ev}}(K)$, sont $K$-linéairement indépendants. \end{corollaire2} Pour une généralisation, cf. exercice \ref{théorème de Dedekind}. @@ -463,9 +463,9 @@ on obtient une relation de dépendance non triviale, qui \begin{démo}[Troisième démonstration (esquisse)] Il suffit de démontrer ce résultat après extension des scalaires de $k$ à $K$. Il résulte de la proposition précédente que pour chaque $g∈G$, -l'élément $g⊗_k K$ de $\End_{K\traitdunion\mathrm{ev}}(K⊗_k K)$ -correspond, via l'isomorphisme $\End_{K\traitdunion\mathrm{ev}}(K⊗_k K)⥲ -\End_{K\traitdunion\mathrm{ev}}(\Hom_{\Ens}(G,K))$ à l'opérateur +l'élément $g⊗_k K$ de $\End_{K\traitdunion\mathtextrm{ev}}(K⊗_k K)$ +correspond, via l'isomorphisme $\End_{K\traitdunion\mathtextrm{ev}}(K⊗_k K)⥲ +\End_{K\traitdunion\mathtextrm{ev}}(\Hom_{\Ens}(G,K))$ à l'opérateur de \emph{translation} : \[ T_g:(x_h)_{h∈G}↦(x_{hg})_{h∈G}. @@ -629,7 +629,7 @@ automorphismes} : \begin{quote} Soient $k$ un corps, $k'\bo k$ une extension et $A$ une $k$-algèbre. L'ensemble $田A(k')$ est une partie $k'$-libre de -$\Hom_{k\traitdunion\mathrm{ev}}(A,k')$. +$\Hom_{k\traitdunion\mathtextrm{ev}}(A,k')$. \end{quote} (On pourra commencer par montrer, en utilisant le théorème chinois et l'isomorphisme $田A(k')⥲田A_{k'}(k')$ que pour toute partie finie @@ -1615,8 +1615,8 @@ $別₂$. \begin{exemples2} -En utilisant le fait que $∏_{i<j}(x_i+x_j)²=\mathrm{r\acute{e}s}(f(X),f(-X))$ -[presque] et $∏_{i<j}(x_i-x_j)²=Δ_{2'}(f)=\mathrm{r\acute{e}s}(f,f')$, on trouve +En utilisant le fait que $∏_{i<j}(x_i+x_j)²=\mathtextrm{rés}(f(X),f(-X))$ +[presque] et $∏_{i<j}(x_i-x_j)²=Δ_{2'}(f)=\mathtextrm{rés}(f,f')$, on trouve facilement les formules ci-dessous. \XXX \begin{enumerate} @@ -1865,7 +1865,7 @@ $\Spec(K⊗_k {k'}\alg)→\Spec(K⊗_k k')$ est surjectif (\refext{AC}{relèvement idéaux} ou \refext{Descente}{fidèle platitude}) et $G$-équivariant donc on peut supposer $k'$ algébriquement clos. Dans ce cas, $A$ est isomorphe comme $k'$-algèbre, munie -d'une action de $G$, à $\Hom_{\mathrm{cont}}(G,k')$ (\refext{Krull}{KtensK-cas-infini}). +d'une action de $G$, à $\Hom_{\mathtextrm{cont}}(G,k')$ (\refext{Krull}{KtensK-cas-infini}). Le spectre de cette algèbre est canoniquement isomorphe à $G$ (\refext{Krull}{Spec(Hom(X,k))}) agissant (transitivement) sur lui-même par translation. |