summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/correspondance-galois.tex
diff options
context:
space:
mode:
Diffstat (limited to 'chapitres/correspondance-galois.tex')
-rw-r--r--chapitres/correspondance-galois.tex51
1 files changed, 46 insertions, 5 deletions
diff --git a/chapitres/correspondance-galois.tex b/chapitres/correspondance-galois.tex
index 9a38c9d..21e5252 100644
--- a/chapitres/correspondance-galois.tex
+++ b/chapitres/correspondance-galois.tex
@@ -744,7 +744,7 @@ est l'ensemble des sommes formelles $∑ b_g g$, le produit
\end{enumerate}
\end{théorème2}
-\begin{définition2}
+\begin{définition2}\label{algèbre G-galoisienne}
Soient $A → B$ un morphisme d'anneaux et $G$ un groupe fini
de $A$-automorphismes de $B$. On dit que $B$ est une $A$-algèbre
galoisienne de groupe $G$ lorsque les conditions
@@ -803,7 +803,7 @@ L'égalité $\End_A(B)=\Aut_A(B)$ se généralise de la façon suivante (voir au
\begin{proposition2}\label{Gal-G est un groupoide}
Soit $A$ un anneau et soit $G$ un groupe fini.
-Tout $A$-morphisme entre deux $A$-algèbres galoisiennes de groupe $G$
+Tout $A$-morphisme $G$-équivariant entre deux $A$-algèbres galoisiennes de groupe $G$
est un isomorphisme.
\end{proposition2}
@@ -931,7 +931,7 @@ est injectif de sorte que si $d ′=0$ on a également $d=0$.
Or, il est clair que $B^n$ est formellement nette sur $B$. CQFD.
\end{démo}
-\begin{proposition2}
+\begin{proposition2}\label{GGal stable par cb}
Soient $A$ un anneau, $B$ une $A$-algèbre galoisienne de groupe $G$
et $A → A ′$ un morphisme. La $A ′$-algèbre $B ′ =B ⊗_A A ′$
munie de l'action de $G$ par $A ′$-automorphisme $g(b ⊗ a ′)=g(b)
@@ -942,6 +942,47 @@ munie de l'action de $G$ par $A ′$-automorphisme $g(b ⊗ a ′)=g(b)
C'est trivial. \XXX
\end{démo}
+Terminons ce paragraphe par deux exemples importants.
+
+\begin{proposition2}\label{revêtement Kummer}
+Soient $n ≥ 1$ un entier et $k$ un corps contenant
+exactement $n$ racines de l'unité. Le morphisme $k[X^{±1}]
+→ k[Y^{±1}]$ caractérisé par $X ↦ Y^n$ est $μ_n(k)$-galoisien
+où chaque $ζ ∈ μ_n(k)$ agit par $Y ↦ ζY$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Posons $A=k[X^{±1}]$. On vérifie immédiatement
+que la $A$-algèbre $B=A[Y]/(Y^n-X)$ est $A$-isomorphe
+à l'algèbre $k[Y^{±1}]$ de l'énoncé.
+D'autre part, le morphisme $A → B$ est injectif et $B$ est
+un $A$-module libre de rang $n$ ; en particulier, $B$ est
+fidèlement plat sur $A$. Enfin, on a un isomorphisme
+canonique $B ⊗_A B = B[T]/(T^n-X)$. Puisque $T^n-X$
+se scinde dans $B[T]$ en $∏_{ζ ∈ μ_n(k)} (T-ζY)$
+et que les polynômes unitaires $T-ζY$ sont premiers
+entre eux (car $Y$ est inversible dans $B$), on a, par
+Bézout, $B ⊗_A B ⥲ ∏_{ζ ∈ μ_n(k)} B$. (On utilise
+ici le fait que $B[T]/(T-ζY)$ est canoniquement isomorphe
+à $B$.) On vérifie sans peine \XXX que l'isomorphisme $B ⊗_A B
+⥲ ∏_{ζ ∈ μ_n(k)} B$ coïncide avec le morphisme $m$ de
+\ref{algèbres galoisiennes conditions équivalentes}.
+CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}\label{revêtement AS}
+Soient $p$ un nombre premier et $k$ un corps de
+caractéristique $p$. Le morphisme
+$k[X] → k[Y]$ caractérisé par $X ↦ Y^p -Y$ est
+$𝐙/p$-galoisien où chaque $i ∈ 𝐙/p$ agit
+par $Y ↦ Y+i$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+La démonstration est parfaitement identique
+à la démonstration de la proposition précédente.
+\end{démo}
+
\section{Groupe de Galois d'un polynôme}\label{groupe Gal poly}
\subsection{Définition et premières propriétés}Soit $f∈K[X]$ un polynôme unitaire.
@@ -1514,8 +1555,8 @@ de la forme $X²-X-P$ où $P$ est un \emph{polynôme} en les coefficients.
\begin{exercice3}
Soit $A=𝐙[X₁,\dots,X_d][Δ_{2'}^{-1}]$, $B=\Fix_{𝔄_d}(A)$
et $C=\Fix_{𝔖_d}(A)=𝐙[σ₁,\dots,σ_n][Δ_{2'}^{-1}]$.
-Montrer que le morphisme $C↪B$ est fini étale (\refext{}{}) de degré $2$
-mais qu'il n'existe pas de polynôme $P∈C[T]$ tel que $B≃C[T]/P$.
+Montrer que le morphisme $C↪B$ est galoisien de groupe
+$𝐙/2$ (\ref{algèbre G-galoisienne}) mais qu'il n'existe pas de polynôme $P∈C[T]$ tel que $B≃C[T]/P$.
(C'est cependant le cas après changement de base
$C→C[∏_{i<j}(X_i+X_j)^{-1}]$.)
\end{exercice3}