summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/correspondance-galois.tex
diff options
context:
space:
mode:
Diffstat (limited to 'chapitres/correspondance-galois.tex')
-rw-r--r--chapitres/correspondance-galois.tex18
1 files changed, 9 insertions, 9 deletions
diff --git a/chapitres/correspondance-galois.tex b/chapitres/correspondance-galois.tex
index 7dbf307..3ab4b4d 100644
--- a/chapitres/correspondance-galois.tex
+++ b/chapitres/correspondance-galois.tex
@@ -427,7 +427,7 @@ car potentiellement diagonalisable.
Soient $K\bo k$ une extension finie galoisienne.
Les automorphismes $g∈G=\Hom_k(K,K)$,
vus comme éléments du $K$-espace vectoriel
-$\End_{k\traitdunion\mathtextrm{ev}}(K)$, sont $K$-linéairement indépendants.
+$\End_{k\traitdunion\categmot{e.v}}(K)$, sont $K$-linéairement indépendants.
\end{corollaire2}
Pour une généralisation, cf. exercice \ref{théorème de Dedekind}.
@@ -464,9 +464,9 @@ on obtient une relation de dépendance non triviale, qui
\begin{démo}[Troisième démonstration (esquisse)]
Il suffit de démontrer ce résultat après extension des scalaires de $k$ à $K$.
Il résulte de la proposition précédente que pour chaque $g∈G$,
-l'élément $g⊗_k K$ de $\End_{K\traitdunion\mathtextrm{ev}}(K⊗_k K)$
-correspond, via l'isomorphisme $\End_{K\traitdunion\mathtextrm{ev}}(K⊗_k K)⥲
-\End_{K\traitdunion\mathtextrm{ev}}(\Hom_{\Ens}(G,K))$ à l'opérateur
+l'élément $g⊗_k K$ de $\End_{K\traitdunion\categmot{e.v}}(K⊗_k K)$
+correspond, via l'isomorphisme $\End_{K\traitdunion\categmot{e.v}}(K⊗_k K)⥲
+\End_{K\traitdunion\categmot{e.v}}(\Hom_{\Ens}(G,K))$ à l'opérateur
de \emph{translation} :
\[
T_g:(x_h)_{h∈G}↦(x_{hg})_{h∈G}.
@@ -630,7 +630,7 @@ automorphismes} :
\begin{quote}
Soient $k$ un corps, $k'\bo k$ une extension et $A$ une $k$-algèbre.
L'ensemble $田A(k')$ est une partie $k'$-libre de
-$\Hom_{k\traitdunion\mathtextrm{ev}}(A,k')$.
+$\Hom_{k\traitdunion\categmot{e.v}}(A,k')$.
\end{quote}
(On pourra commencer par montrer, en utilisant le théorème chinois
et l'isomorphisme $田A(k')⥲田A_{k'}(k')$ que pour toute partie finie
@@ -764,7 +764,7 @@ $⟨x,g(y)⟩= δ_{g,1}$ pour tout $g ∈ G$, où $⟨,⟩$ est la forme
bilinéaire euclidienne usuelle et $g(y)=(g(y₁), …,g(y_n))$.
\item Le $A$-module $B$ est projectif de type fini et
-le morphisme $ι:B\{G\} → \End_{A\traitdunion\categ{Mod}}(B)$, $∑ b_g g ↦ \big(b ↦ ∑ b_g g(b)\big)$
+le morphisme $ι:B\{G\} → \End_{A\traitdunion\categmot{Mod}}(B)$, $∑ b_g g ↦ \big(b ↦ ∑ b_g g(b)\big)$
est un isomorphisme, où $B\{G\}$ est l'\emph{algèbre de groupe tordue}, dont le $B$ module sous-jacent
est l'ensemble des sommes formelles $∑ b_g g$, le produit
étant défini par la condition $h ⋅ (bg)=h(b)(hg)$.
@@ -868,7 +868,7 @@ pseudo-torseurs} (ii), les morphismes naturels
$B_i ⊗_A C → C^G$ sont des $C$-isomorphismes.
D'autre part, $C$ étant fidèlement plate
sur $A$, une application $A$-linéaire $f ∈
-\Hom_{A\traitdunion\categ{Mod}}(B₁,B₂)$ est un isomorphisme
+\Hom_{A\traitdunion\categmot{Mod}}(B₁,B₂)$ est un isomorphisme
si et seulement si $f ⊗_A C$ l'est.
Il suffit donc de montrer que tout $A$-morphisme $G$-équivariant
de $A^G$ vers $A^G$ est un isomorphisme. Or, un morphisme
@@ -918,7 +918,7 @@ où les $X,Y$ sont dans un $B^N$ et indépendants
de $h$.
(iii) ⇒ (iv). Commençons par vérifier le second énoncé.
-Fixons $x$ et $y$ comme en (iii). Soit $u ∈ \End_{A\traitdunion\categ{Mod}}(B)$.
+Fixons $x$ et $y$ comme en (iii). Soit $u ∈ \End_{A\traitdunion\categmot{Mod}}(B)$.
Nous allons montrer que le morphisme d'anneaux non commutatifs $ι$
est surjectif en vérifiant qu'il envoie l'élément $∑_g ⟨u(x),g(y) ⟩ \, g ∈ B\{G\}$
sur l'endomorphisme $u$, où l'on note $u(x)=(u(x₁), …,u(x_n)) ∈ B^n$.
@@ -938,7 +938,7 @@ chaque $b_g$ est nul et $s=0$. (Pour une démonstration plus élégante,
cf. \cite[II.5.6]{Knus-Ojanguren}.)
Il nous reste à vérifier que $B$ est projectif de type fini
sur $A$. Pour chaque $i$, considérons la forme linéaire
-$f_i ∈ B^∨=\Hom_{A\traitdunion\categ{Mod}}(B,A)$ définie
+$f_i ∈ B^∨=\Hom_{A\traitdunion\categmot{Mod}}(B,A)$ définie
par $b ↦ ∑_g g(by_i)$. Pour tout $b ∈ B$, on a $b=∑_i f_i(b)x_i$. D'après \refext{descente}{projectivité par
décomposition identité} ceci montre que $B$ est projectif de
type fini sur $A$.