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@@ -884,15 +884,6 @@ et est \emph{connexe} alors $G=\Aut_{A\traitdunion\Alg}(B)$.
Cette proposition s'applique notamment lorsque $B$ est intègre.
-\begin{lemme2}
-$\End_{A}(A^X) → \End_{\Ens}(X)$ via connexité/spectre.
-compatible avec composition ; cas où $X=G$ ou $G$-ensemble.
-\end{lemme2}
-
-\begin{démo}
-cf. aussi : \refext{formes}{H1kSn début} et \refext{formes}{G-torseurs sur k}.
-\end{démo}
-
\begin{démo}
Pour toute $A$-algèbre $A ′$, notons
$H(A ′)$ l'ensemble $\Hom_{A ′\traitdunion\Alg}(B_{A ′}, B_{A′})$
@@ -908,10 +899,7 @@ Enfin, si $B$ est connexe, on a (\refext{Spec}{produit=somme})
$H(B)=(∐_G \Hom_B(B,B))^G=\End_{\Ens}(G)$. L'image de $H(A)$ dans $H(B)$
est $G$-invariante, où l'action de $G$ sur $H(B)$ vient
de l'action de $G$ sur $B$ et de la fonctorialité
-de $H$. On vérifie immédiatement que le morphisme
-$H(B) → \End_{\Ens}(G)$ est un morphisme d'anneaux
-respectant l'action naturelle de $G$ sur $\End_{\Ens}(G)$
-par $g ⋅ f : h ↦ g f(h)$ \XXX.
+de $H$. D'après \refext{Spec}{}, $H(B) → \End_{\Ens}(G)$ etc. \XXX.
En particulier, l'ensemble des points fixes
est de cardinal $♯G$. On a donc $♯H(A)= ♯G$ d'où
les égalités $G=\End_A(B)=\Aut_A(B)$.
@@ -945,8 +933,7 @@ réduction modulo $𝔪$ pour $𝔪 ∈ \Specmax(A)$. On peut
donc finalement supposer que $A$ est un corps donc
connexe si bien que l'anneau non nécessairement commutatif
$\Hom_{A\traitdunion\Alg}(A^G,A^G)$ est naturellement
-isomorphe à $\End_{\Ens}(G)$, comme on l'a vu au cours
-de la démonstration de la proposition précédente.
+isomorphe à $\End_{\Ens}(G)$, cf \refext{Spec}{} \XXX
Il suffit alors d'observer qu'un élément $G$-équivariant de $\End_{\Ens}(G)$
est nécessairement surjectif donc bijectif. CQFD.
\end{démo}