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+++ b/chapitres/correspondance-galois.tex
@@ -1716,10 +1716,26 @@ la $A$-algèbre $A(P)=A[X₁,\dots,X_n]/(∑_i X_i=a₁,\dots,∏_i X_i=a_n)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $A(P)$ est libre de rang $n!$ sur $A$.
(Indication : on pourra montrer
-que les monômes $∏_i x_i^{e_i}$, où $e_i≤n-i$, forment un base.)
+que les monômes $∏_i x_i^{e_i}$, où $e_i≤n-i$, forment un base.
+\commentaire{Voir Bourbaki, A IV, §6, nᵒ5.})
\item Comparer le discriminant de $A(P)$ (défini à l'aide
de la trace) et le discriminant de $P$.
-\item À quelle condition $\Fix_{𝔖_n}(A(P))=A$ ?
+(Montrer par récurrence sur $n ≥ 2$ que $\mathrm{discr}(A(P))$ est égal
+à $\mathrm{discr}(P)^{n!/2}$.) \commentaire{Voir
+Lombardi-Quitté, 3.5.11. Le fait que le discriminant
+de $A(P)$ soit non nul si $\mathrm{discr}(P) ≠ 0$ est sauf erreur trivial si on fait une
+extension des scalaires à $A(P)$ justement ! En effet, si
+$P$ est scindé \emph{à racines simples}, $\Hom_A(A(P),\tiret) ≃ 𝔖_n$ donc $A(P) ≃ A^{n!}$.
+Il faut que l'on ait des racines simples pour affirmer que
+dans $A[T]$, l'égalité $∏(T-z_i)=∏(T-z′_i)$ entraîne
+l'égalité $\{z_i\}=\{z′_i\}$ : dans $𝐙/p^n𝐙[T]$
+par exemple, on a $(x^m + p^{n−1})(x^m + p) = x^m (x^m + p^{n−1} + p)$…
+Voir aussi [Lombardi, Quitté, 4.12] pour une diagonalisation
+dans le cas séparable. Le cas $f=T^n$ (ou $T^p-x$) est
+considéré en exercice dans loc. cit., VII.}
+\item À quelle condition a-t-on $\Fix_{𝔖_n}(A(P))=A$ ?
+\commentaire{Si $A$ est intègre et $2$ inversible,
+c'est toujours vrai. Cf. op. cit. th. 4.9 , ou [Pohst-Zassenhauss, p. 46].}
\end{enumerate}
\end{exercice2}