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diff --git a/chapitres/correspondance-galois.tex b/chapitres/correspondance-galois.tex index 0153e34..a1c786d 100644 --- a/chapitres/correspondance-galois.tex +++ b/chapitres/correspondance-galois.tex @@ -18,8 +18,13 @@ \usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant %\usepackage{pxfonts} -\textwidth13cm % pour pouvoir lire le nom des étiquettes si \usepackage{showkeys} +%\textwidth13cm % pour pouvoir lire le nom des étiquettes si \usepackage{showkeys} +\textwidth16cm +\hoffset-1.5cm + + \externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder +\externaldocument{formes-tordues} \externaldocument{verselles} \externaldocument{corps-finis} \externaldocument{categories} @@ -695,55 +700,78 @@ $K$-linéairement indépendants. \subsection{¶ Algèbres galoisiennes sur un anneau}\label{G-algèbres galoisiennes sur un anneau} -Le contenu de ce paragraphe ne sera pas utilisé \refext{Versel}{base normale et algèbres galoisiennes -verselles}. - -\begin{définition2}Soient $A$ un anneau, $B$ une $A$-algèbre -et $G$ un sous-groupe fini de $\Aut_{A\traitdunion\Alg}(B)$. -On dit que $B$ est \emph{galoisienne de groupe $G$} sur $A$ -si les conditions suivantes sont satisfaites : +On présente dans ce paragraphe une généralisation naturelle +de la notion d'extension galoisienne finie de corps. +Diverses présentations de cette généralisation sont +possibles, aux prérequis variables. Nous utiliserons ici +les résultats de l'appendice [Tens] et notamment +les notions de produit tensoriel d'algèbres (commutatives), +de morphisme fidèlement plat et de projectivité (liberté +locale). Dans la première partie de ce livre, le contenu de ce paragraphe ne sera utilisé +qu'en \refext{formes}{G-torseurs sur k} et \refext{versel}{base normale et algèbres +galoisiennes verselles}. + +\begin{théorème2}Soient $A$ un anneau, $B$ une $A$-algèbre +et $G$ un groupe fini de $A$-automorphismes de $B$. +Les conditions suivantes sont équivalentes : \begin{enumerate} -\item le morphisme $A → B$ est injectif et $A=\Fix_G(B)$ ; -\item le morphisme -\[m:B ⊗_A B → ∏_{g ∈ G} B=\Hom_{\Ens}(G,B),\] +\item Le morphisme $A → B$ est fidèlement plat +et le morphisme +\[m:B ⊗_A B → ∏_{g ∈ G} B=\Hom_{\Ens}(G,B)\] \[λ ⊗ μ ↦ \big(g(λ)μ\big)_g\] est un isomorphisme. +\item Le morphisme $A → B$ est injectif, $A=\Fix_G(B)$ +et pour tout idéal maximal $𝔪 ∈ \Specmax(A)$ et tout +$g ∈ G-\{1\}$, il existe $a ∈ A$ tel que $g(x)-x ∉ 𝔪$. + +\item Le morphisme $A → B$ est injectif, $A=\Fix_G(B)$ +et il existe deux familles $x$ et $y$ d'éléments de $B$ +indicées par $G$ telles que l'on ait +\[ +∑_{g ∈ G} x_g h(y_g) = δ_{h,1} +\] +pour tout $h ∈ G$. + +\item Le $A$-module $B$ est projectif de type fini et +le morphisme $B\{G\} → \End_A(B)$, $∑ b_g g ↦ \big(b ↦ ∑ b_g g(b)\big)$ +est un isomorphisme, où $B\{G\}$ est l'\emph{algèbre de groupe tordue}, dont le $B$ module sous-jacent +est l'ensemble des sommes formelles $∑ b_g g$, le produit +étant défini par la condition $h ⋅ (bg)=h(b)(hg)$. + \end{enumerate} +\end{théorème2} + +\begin{définition2} +Soient $A → B$ un morphisme d'anneaux et $G$ un groupe fini +de $A$-automorphismes. On dit que $B$ est une $A$-algèbre +galoisienne de groupe $G$ lorsque les conditions +équivalentes du théorème précédent sont satisfaites. \end{définition2} -Nous renvoyons à \refext{Tens}{} pour la définition du -produit tensoriel $B ⊗_A B$ ainsi que ses propriétés -générales. +Il résulte de \ref{galois=autodiag} qu'une extension de +corps $L\bo K$ finie et galoisienne est galoisienne de +groupe $\Aut_K(L)$ au sens précédent (critère (i)), et réciproquement. -Remarque : on peut remplacer (i) par : (i') le morphisme $A → B$ est fidèlement plat. -(i') ⇒ (i) : $b ∈ B$ si et seulement si $1 ⊗ b=b ⊗ 1$ -(par fidèle platitude) ce qui revient à $b=g(b)$ pour -tout $g ∈ G$. Réciproquement +\begin{démo}[Démonstration du théorème] +Le fait que $A → B$ soit injectif n'est mis que pour +mémoire : un morphisme fidèlement plat est, par définition, +injectif et plat. Soit $b ∈ B$. Il résulte de la fidèle +platitude que $b$ appartient à $A$ si et seulement +si on a l'égalité $b ⊗ 1 = 1 ⊗ b$ dans $B ⊗_A B$ +(cf. \ref{KsurG=k}). En appliquant l'isomorphisme $m$, +cette condition devient : $(g(b))_g=(b)_g$ c'est-à-dire +$g(b)=b$ pour tout $g ∈ G$. CQFD. -\begin{exemple2} -Si $L\bo K$ est une extension fini galoisienne de -groupe $G$, la $K$-algèbre $L$ est galoisienne -de groupe $G$ au sens précédent. -\end{exemple2} -\begin{lemme2} -Soient $B\bo A$ une $G$-algèbre galoisienne et $B\{G\}$ -l'\emph{algèbre de groupe tordue}, dont le $B$ module sous-jacent -est l'ensemble des sommes formelles $∑ b_g g$, le produit -étant défini par la condition $h ⋅ (bg)=h(b)(hg)$. -Le morphisme $B\{G\} → \End_A(B)$, $∑ b_g g ↦ \big(b ↦ ∑ b_g g(b)\big)$ -est un isomorphisme. -\end{lemme2} -\begin{démo} -\XXX \end{démo} -\begin{lemme2} + +\begin{proposition2} Soient $B\bo A$ une $G$-algèbre galoisienne et $\Tr_{B \bo A}$ la \emph{trace} $b ↦ ∑_g g(b)$, $B → A$. Le morphisme $A$-linéaire $B → B^{\vee}=\Hom_A(B,A)$, $b ↦ \Tr_{B\bo A}(b ⋅)$, est un isomorphisme. -\end{lemme2} +\end{proposition2} \begin{démo} \XXX @@ -759,44 +787,21 @@ $f ⊗ m ↦ \big( b ↦ f(b)m\big)$ est un isomorphisme. \XXX \end{démo} -\begin{proposition2} -La condition (\textrm{\textbf{ii}}) est équivalente -à la condition (\textrm{\textbf{ii}}′) suivante : -il existe des éléments $(b_h)_{h ∈ G}$ et $(b ′_h)_{h ∈ G}$ dans $B$ tels -que, pour tout $g ∈ G$, -\[ -∑_h b_h g(b ′_h)=δ^1_g, -\] -où $δ$ est la fonction delta de Kronecker. -\end{proposition2} - -\begin{démo} -L'implication (iii) ⇒ (iii′) est triviale : il suffit -d'écrire $d^{-1}\big((δ_g^1)\big)$ sous la forme $∑_h b_h ⊗ b ′_h$. - -Pour montrer l'implication opposée, on utilise les trois -lemmes précédents. \XXX -\end{démo} - \begin{corollaire2} Notion stable par changement de base. \end{corollaire2} -\begin{proposition2}\label{algèbre galoisienne est projective} +\begin{corollaire2}\label{algèbre galoisienne est projective} $B$ est projectif sur $A$. Pour tout $𝔪 ∈ \Specmax(A)$, $B/𝔪$ est de rang fini $♯G$ sur le corps $A/𝔪$. Plus généralement, $A → K$ est un morphisme de but un corps, la $K$-algèbre $B_K=B ⊗_A K$ est de dimension $♯G$. -\end{proposition2} - -\begin{démo} -\XXX +\end{corollaire2} En effet, $(B ⊗_A B)⊗_A K$ est d'une part (canoniquement) isomorphe à $B_K ⊗_K B_K$ et, par hypothèse, isomorphe à $B_K^{(G)}$ ; on a donc $\dim_K(B_K)²=\dim(B_K ⊗_K B_K)=\dim_K(B_K)⋅\#G$. -\end{démo} \begin{proposition2}\label{Gal-G est un groupoide} Tout morphisme $G$-équivariant entre deux $A$-algèbres |