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-rw-r--r--chapitres/entiers.tex36
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index 2f182e4..8308806 100644
--- a/chapitres/entiers.tex
+++ b/chapitres/entiers.tex
@@ -14,7 +14,7 @@
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{matrix}
\usetikzlibrary{calc}
-
+\synctex=1
% À faire :
% — changer la profondeur de la numérotation par endroit
@@ -706,39 +706,14 @@ n'est pas pas injective. \XXX.
\end{exercice2}
-\subsection{Groupes de décomposition et d'inertie ; action de $G$
-sur les fibres de $\Spec(B)→\Spec(A)$}
-
-\begin{définition2}
-Soient $B$ un anneau et $G$ un groupe fini agissant par
-automorphismes. Pour tout idéal premier $𝔮∈\Spec(B)$, on
-note respectivement $D(𝔮)$ et $I(𝔮)$ les sous-groupes
-\[
-\{g∈G:g(𝔮)=𝔮\},
-\]
-et
-\[
-\{g∈G:g(𝔮)=𝔮,\,∀x∈B,\,g(x)≡x\mod\,𝔮\}
-\]
-de $G$.
-Le groupe $D(𝔮)$ est appelé \emph{groupe de
-décomposition}\footnote{Parfois noté $Z$ pour « Zerlegung ».} \index{groupe
-de décomposition} en $𝔮$ et son sous-groupe distingué $I(𝔮)$
-est le \emph{groupe d'inertie}\footnote{Parfois noté $T$ pour
-« Trägheit ».}\index{groupe d'inertie} en $𝔮$.
-\end{définition2}
-
-Par construction, le sous-groupe $D(𝔮)$ de $G$ agit sur le quotient $B/𝔮$ ainsi
-que sur son corps des fractions $κ(𝔮)=\Frac(B/𝔮)$. Le groupe d'inertie est le
-noyau du morphisme $D(𝔮)→\Aut(κ(𝔮))$.
-
-Nous allons bientôt caractérister l'image de ce morphisme.
+\subsection{Groupes de décomposition et d'inertie ; action de $G$
+sur les fibres de $\Spec(B)→\Spec(A)$}\label{décomposition-inertie et quotient}
\begin{théorème2}
Soient $B$ un anneau, $G$ un groupe fini agissant par
automorphismes et $A=\Fix_G(B)$. L'action de $G$ est transitive sur les fibres
de l'application $\Spec(B)→\Spec(A)$ : pour toute paire idéaux
-premiers $𝔮$ et $𝔮'$ de $B$ au-dessus d'un même idéal premier
+premiers $𝔮$ et $𝔮'$ de $B$ au-dessus d'un même idéal premier
$𝔭$ de $A$, il existe $g∈G$ tel que $g.𝔮=𝔮'$.
\end{théorème2}
@@ -780,7 +755,8 @@ $x_j$ ($j≠i$), ce qui est absurde.
\begin{remarque2}Il résulte du théorème précédent
qu'à conjugaison près, les sous-groupes $D(𝔮)$ et
-$I(𝔮)$ ne dépendent que de $𝔭=𝔮∩A$. En effet, si
+$I(𝔮)$ de $G$ définis en \refext{CG}{décomposition-inertie}
+ne dépendent que de $𝔭=𝔮∩A$. En effet, si
$g∈G$, on a $D(g.𝔮)=gD(𝔮)g^{-1}$ (resp. $I(g.𝔮)=gI(𝔮)g^{-1}$). On note
parfois $D(𝔭)$ (resp. $I(𝔭)$) une telle classe de conjugaison
de sous-groupes.