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diff --git a/chapitres/entiers.tex b/chapitres/entiers.tex
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+++ b/chapitres/entiers.tex
@@ -0,0 +1,915 @@
+\ifx\danslelivre\undefined
+\documentclass[9pt]{smfart-moi}
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+\usetikzlibrary{calc}
+
+
+% À faire :
+% — changer la profondeur de la numérotation par endroit
+\title{Éléments entiers sur un anneau}
+
+\externaldocument{extensions-algebriques}
+\externaldocument{correspondance-galois}
+\externaldocument{spectre}
+\externaldocument{RT}
+\externaldocument{produit-tensoriel}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\tableofcontents
+\else
+\chapter{Éléments entiers sur un anneau}
+\fi
+
+
+\section{Définitions et premières propriétés}
+Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre.
+Pour tout élément $b$ de $B$, notons
+$A[b]$ le sous-ensemble
+$$
+\{∑_{i=0}^r a_i b^i; a_i∈ A, r∈ 𝐍\}
+$$ 
+de $B$, que l'on peut également définir comme l'image de 
+l'unique morphisme de $A$-algèbres $A[X]→B$ envoyant $X$ sur $b$
+ou bien comme la plus petite sous-$A$-algèbre de $B$ contenant l'élément $b$. 
+Plus généralement, pour toute partie $S$ de $B$ on note $A[S]$ l'image
+de l'unique morphisme de $A$-algèbres $A[X_s, s∈S]→B$ envoyant $X_s$
+sur $s$, qui est aussi l'intersection dans $B$ de toutes les $A$-algèbres contenant $S$.
+
+\begin{définition}\label{element-entier}
+Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. On dit que $b\in B$
+est \emph{entier} sur $A$ si $A[b]$ est un $A$-module de type fini.
+\end{définition}
+
+\begin{exemples}
+Tout élément $b∈B$ de la forme $a\cdot 1_B$, \cad 
+dans l'image du morphisme structural $A→B$, est entier sur $A$. 
+Moins trivialement, il résulte de la proposition
+\ref{caracterisation-entiers} ci-dessous que le nombre
+complexe $\sqrt{2}$ est entier sur $𝐙$.
+\end{exemples}
+
+
+Il est naturel de compléter cette définition par la suivante.
+
+\begin{définition}\label{morphisme-fini}
+Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. On dit que $B$
+est une \emph{$A$-algèbre finie} si $B$ est un $A$-module \emph{de type fini}. \end{définition}
+
+On dit aussi, indifféremment, que $B$ est « finie sur $A$ », ou encore que « le
+morphisme $A→B$ est fini ». D'autre part, lorsque cela ne semble pas prêter à
+confusion, on dira parfois que la $A$-algèbre $B$ est \emph{finie} (sous-entendu :  sur $A$).
+Ainsi, un élément $b$ d'une $A$-algèbre $B$ est entier sur $A$ \ssi
+l'anneau $A[b]$ est fini sur $A$ au sens de la définition précédente.
+
+\begin{lemme}\label{composé de finis=fini}
+Le composé de deux morphismes finis est fini.
+Plus généralement, si $A$ est un anneau, $B$ une $A$-algèbre \emph{finie}
+et $M$ un $B$-module de type fini, le $A$-module $M$ est de type fini.
+\end{lemme}
+
+\begin{démo}
+Par hypothèse, il existe deux entiers $r,r'$ et
+des surjections $A^r↠B$ ($A$-linéaire) et $B^{r'}↠M$ ($B$-linéaire).
+Par composition, on en déduit une surjection $A$-linéaire
+$(A^r)^{r'}↠M$. Puisque $(A^r)^{r'}$ est $A$-isomorphe à
+$A^{rr'}$, la conclusion en résulte. 
+\end{démo}
+
+\begin{proposition}\label{caracterisation-entiers} 
+Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre.
+Considérons un élément $b∈B$.
+Les conditions suivantes sont équivalentes : 
+\begin{enumerate}
+\item \label{1} $b$ est entier sur $A$ ;
+\item \label{2} il existe un polynôme \emph{unitaire} $P∈ A[X]$ tel
+que $P(b)=0$ ;
+\item \label{3} il existe un sous-$A$-\emph{algèbre} de $B$ \emph{finie} sur $A$, contenant $b$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition}
+
+En particulier, si $B$ est finie sur $A$, tout élément de $B$ est entier sur
+$A$. 
+
+Une relation $P(b)=0$, pour $P$ comme en \ref{2}, est appelée 
+une \emph{relation de dépendance intégrale} à coefficients
+dans $A$.
+
+\begin{miseengarde}
+L'hypothèse \ref{3} ne peut en général pas être affaiblie en l'existence
+d'un sous-$A$-\emph{module} de $B$ fini sur $A$ et contenant $b$.
+C'est cependant vrai si $A$ est \emph{nœthérien}.
+
+Considérons la sous-$𝐐$-algèbre $A$ de $𝐐[X,Y]$
+engendrée par les monômes $X^nY^{n+1}=Y(XY)^n$ pour $n≥0$. 
+La sous-$A$-algèbre $B=𝐐[XY,Y]$ de $𝐐[X,Y]$
+est contenue dans le $A$-\emph{module} de type fini $A+A\cdot X$.
+Cependant, l'élément $XY$ n'est \emph{pas} entier
+sur $A$ : si $P$ est un polynôme unitaire à coefficients dans 
+$A$ de degré $n$, $P(XY)$ ne contient qu'un seul monôme $X^n Y^n$ 
+de sorte que $P(XY)≠0$.
+% = cas particulier de ZS, volume I p. 255 (qui nécessite valuation rang $>1$).
+\end{miseengarde}
+
+\XXX La démonstration ci-dessous est moche.
+
+\begin{démo}
+Montrons que \ref{1} implique \ref{2}. Sous l'hypothèse \ref{1},
+il existe des polynômes $P₁,\dots,P_n∈A[X]$ tels que les 
+$P_i(b)$ ($1≤i≤n$) engendrent $A[b]$ comme $A$-module. Si $N$ est un
+entier strictement supérieur aux degrés de ces polynômes, l'inclusion
+évidente $∑_{i≤n} A\,P_i(b)⊆∑_{α<N} A\,b^α$ entraîne
+l'égalité $A[b]=∑_{α<N} Ab^α$. En particulier, $b^N∈∑_{α<N} Ab^α$.
+Il existe donc un polynôme unitaire de degré $N$ à coefficients dans
+$A$ s'annulant en $b$.
+Montrons que \ref{2} implique \ref{1}. Soit $P$ comme dans l'énoncé ; 
+notons $d$ son degré. Soit $x=f(b)∈A[b]$ où $f∈A[X]$. Le polynôme $P$
+étant unitaire, on peut faire la division euclidienne de $f$ par $P$ : 
+il existe une unique paire $(Q,R)∈A[X]²$ telle que $\deg(R)<d$ et 
+$f=PQ+R$. Ainsi $x=P(b)Q(b)+R(b)=R(b)$. Il en résulte que $x∈∑_{i<d} A\,b^i$.
+Finalement, $A[b]=∑_{i<d} A\,b^i$ est finie sur $A$. 
+Il est tautologique que \ref{1} entraîne \ref{3}. Il nous
+suffit donc pour conclure de vérifier que \ref{3} entraîne 
+\ref{2}. Soit $C$ une sous-$A$-algèbre de $B$ contenant $b$, finie sur $A$.
+Par hypothèse, il existe une surjection $A$-linéaire $s:A^n↠C$.
+Observons que l'endomorphisme $A$-linéaire de $C$
+défini par la multiplication par $b$ se \emph{relève}, non canoniquement, en 
+un morphisme $u:A^n→A^n$ tel que le diagramme suivant soit commutatif :
+$$
+\xymatrix{
+A^n \ar[d]^{s} \ar[r]^{u} & A^n \ar[d]^{s} \\
+C \ar[r]^{b} & C 
+}
+$$
+En effet, si l'on note $e_i$ ($1≤i≤n$) la base canonique de $A^n$ et
+que l'on pose $c_i=s(e_i)$, il existe des éléments $a_{ij}∈A$
+tels que, pour tout $i$, $bc_i=∑_{j≤n}a_{ij}c_j$. Il suffit de définir
+$u$ par la matrice $(a_{ij})$. Soit $χ_u(X)=\det(\mathrm{Id}-Xu)∈A[X]$.
+C'est un polynôme \emph{unitaire}, tel que — par Cayley-Hamilton — 
+l'endomorphisme $χ_u(u)$ de $A^n$ soit identiquement nul.
+La commutativité du diagramme ci-dessus entraîne que $χ_u(b)=0$. CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire}
+Tout élément de $𝐐$ entier sur $𝐙$ appartient à $𝐙$.
+\end{corollaire}
+
+\begin{démo}
+En effet, si $r=x/y\in \QQ$, où $x,y\in \ZZ-\{0\}$ sont premiers
+entre eux, satisfait la relation
+$$
+(\frac{x}{y})^n+a_{n-1}(\frac{x}{y})^{n-1}+\cdots+a_1 \frac{x}{y}+a_0=0,
+$$
+où les coefficients sont entiers, on voit par multiplication par $y^{n}$
+que $y$ divise $x$. Compte tenu de l'hypothèse faite, on a $y=±1$
+et finalement $r∈𝐙$.
+\end{démo}
+
+\begin{proposition}\label{entiers=sous-algebre}
+Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. 
+L'ensemble des éléments de $B$ entiers sur $A$ est une sous-$A$-algèbre.
+\end{proposition}
+
+En d'autres termes, si $b$ et $b'$ sont deux éléments de $B$ entiers
+sur $A$, les éléments $b+b'$, $bb'$, et les $ab$ pour tout
+$a∈A$, sont également entiers sur $A$.
+
+\begin{démo}[Première démonstration]
+(La démonstration qui suit est une généralisation des calculs
+\refext{Ext}{exemple somme algébriques=algébrique}.)
+Soient $b$ et $b'$ comme dans l'énoncé, et 
+$P=T^n-∑_{0}^{n-1}β_i T^i$ et $Q=T^m-∑_{0}^{m-1}β'_j T^j$ 
+des polynômes unitaires s'annulant respectivement 
+en $b$ et $b'$. Considérons les endomorphismes $u$ et $v$  
+du sous-$A$-module libre de $A[X,Y]$ de base les mônomes
+$X^iY^j$ où $0≤i≤n-1$ et $0≤j≤m-1$, définis par :
+$u(X^i Y^j)=X^{i+1}Y^j$ si $i≠n-1$ et 
+$u(X^{n-1}Y^j)=∑_0^{n-1} β_i X^i Y^i$
+(resp. $v(X^i Y^j)=X^{i}Y^{j+1}$ si $j≠m-1$
+et $v(X^{i}Y^{m-1})=∑_0^{m-1} β'_j X^i Y^j$).
+Ces endomorphismes commutent.
+Soit $R∈A[X,Y]$. Par construction, le diagramme 
+d'application $A$-linéaires
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+X^iY^j & A^{nm} & A^{nm} \\ b^i {b'}^j & A[b,b'] & A[b,b'] \\};
+\draw[|->]  (diag-1-1) -- (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$R(u,v)$} (diag-1-3); 
+\draw[->] (diag-1-3) -- (diag-2-3);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node[swap]{$×R(b,b')$} (diag-2-3);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+est commutatif. (Il suffit de le vérifier pour $R(X,Y)=X$ et
+$R(X,Y)=Y$.) De ce fait joint au fait que l'unité
+de $B$ appartienne à l'image de $A^{nm}→A[b,b']$,
+il suit que toute relation $R(u,v)=0$ entraîne $R(b,b')=0$.
+Il résulte alors du théorème de Cayley-Hamilton
+que le polynôme caractéristique de $u+v$ (resp. $uv$),
+unitaire à coefficients dans $A$, s'annule en $b+b'$ (resp. $bb'$). 
+(Comparer avec \ref{caracterisation-entiers}, démonstration,
+(iii)⇒(ii).)
+\end{démo}
+
+En utilisant le produit tensoriel d'algèbres sur 
+un anneau quelconque (\refext{Tens}{Tens-produit tensoriel algèbres}),
+il est possible de donner une version « abstraite »
+de la démonstration précédente.
+
+\begin{démo}[Seconde démonstration]
+Soient $b$ et $b'$ comme dans l'énoncé. La multiplication
+dans $B$ induit un morphisme de $A$-algèbres
+$$
+A[b]⊗_A A[b'] → B,
+$$
+dont l'image est la sous-$A$-algèbre $A[b,b']$ de $B$. Les $A$-algèbres
+$A[b]$ et $A[b']$ étant finies, il en est de même de leur produit tensoriel
+$A[b]⊗_A A[b']$ (\refext{Tens}{produit tensoriel fini=fini}), et du quotient $A[b,b']$ de ce
+dernier. (Tout quotient d'un module de type fini est de type fini.)
+Finalement, $b+b'$, $bb'$ et les $ab$, qui appartiennent à $A[b,b']$,
+sont donc entiers sur $A$ en vertu de \ref{caracterisation-entiers}, \ref{3}.
+\end{démo}
+
+
+\begin{remarque}
+La définition \ref{element-entier} et la proposition
+\ref{caracterisation-entiers} s'étendent 
+au cas où $B$ n'est pas nécessairement commutative.
+Cependant, la démonstration montre seulement
+que la somme (resp. le produit)
+de deux éléments entiers \emph{permutables} est entier.
+\end{remarque}
+
+\begin{définition}\label{entiere}
+Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre.
+Si tout élément de $B$ est entier sur $A$, on dit que $B$ est une 
+\emph{$A$-algèbre entière} ou encore que le morphisme $A→B$ est
+\emph{entier}. \index{morphisme entier}
+\end{définition}
+
+\begin{proposition}\label{entier-sur-entier}
+Le composé de deux morphismes entiers est entier.
+\end{proposition}
+
+En d'autres termes, si $B$ est une $A$-algèbre entière et $C$ 
+une $B$-algèbre entière, alors $C$ est entier 
+sur $A$ (pour la structure d'algèbre définie par composition).
+ 
+%De la proposition triviale \ref{epi=fini} on tire le corollaire suivant.
+%\begin{corollaire}\label{quotient-fini=fini}
+%Tout quotient d'une algèbre entière (resp. finie) est entière (resp. finie).
+%\end{corollaire}
+
+\begin{démo}
+Soient $A,B$ et $C$ comme dans la glose suivant l'énoncé.
+Soit $c∈C$ ; on veut montrer qu'il est entier sur $A$.
+Par hypothèse $c$ est racine d'un polynôme unitaire
+$P=X^n+b_{n-1}X^{n-1}+\cdots+b₀∈B[X]$. Considérons
+la sous-$A$-algèbre $B'=A[b₀,\dots,b_{n-1}]$ de $B$.
+Elle est finie sur $A$ d'après \ref{composé de finis=fini}
+car chacun des morphismes $A→A[b₀]$, $A[b₀]→A[b₀,b₁]$,
+..., $A[b₀,\dots,b_{n-2}]→B'=A[b₀,\dots,b_{n-1}]$
+sont finis. (Ils sont en effet de la forme
+$D→D[d]$ où $d$ est entier sur $D$.)
+Puisque $P∈B'[X]$, on voit que
+la sous-$A$-algèbre $B'[c]$ de $C$ est finie sur $B'$. Il résulte
+de \emph{loc. cit.} que $B'[c]$ est 
+finie sur $A$ et finalement (d'après \ref{caracterisation-entiers}, (iii)) que
+$c$ est entier sur $A$.
+\end{démo}
+
+\subsection{Morphismes de type fini}
+
+Rappelons la définition suivante.
+
+\begin{définition2}\label{algèbre de type fini}
+Soit $A$ un anneau. Une $A$-\emph{algèbre} $B$ est dite \emph{de type fini} s'il existe un
+entier $r$ et un épimorphisme de $A$-algèbres $A[X₁,\dots,X_r]↠B$.
+\end{définition2}
+
+On prendra garde de ne pas confondre cette notion avec celle
+de $A$-\emph{module} de type fini, correspondant à la notion
+de $A$-algèbre finie.
+
+\begin{proposition2}\label{composé-type-fini}
+Le composé de deux morphismes de type fini est de type fini :
+si $A→B$ et $B→C$ sont de type fini, le composé $A→C$ est de type fini.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Notons $A→B$ et $B→C$ les deux morphismes de type fini de l'énoncé. 
+Si $A[X₁,\dots,X_r]↠B$ ($X_i↦x_i$) et $B[Y₁,\dots,Y_s]↠C$ ($Y_j↦y_j$) sont les épimorphismes dont on suppose
+l'existence, le morphisme de $A$-algèbres $A[X₁,\dots,X_r,Y₁,\dots,Y_s]→C$
+défini par $X_i↦x_i$, $Y_j↦y_j$ est également surjectif : le morphisme composé
+$A→C$ est donc de type fini.
+\end{démo}
+
+On a vu ci-dessus qu'une $A$-algèbre finie est entière.
+Réciproquement :
+
+\begin{proposition}\label{fini=entier+tf}
+Un morphisme d'anneaux est fini \ssi il est entier et de type fini.
+\end{proposition}
+
+
+\begin{démo}[Première démonstration]
+Un morphisme fini est entier et de type fini car une $A$-algèbre
+finie en tant que $A$-module l'est \emph{a fortiori} en tant
+qu'algèbre. Démontrons la réciproque. Soient $B$ une $A$-algèbre entière
+et $A[X₁,\dots,X_r]↠B$ un épimorphisme de $A$-algèbres. Notons $b_i$
+les images des $X_i$ par ce morphisme, de sorte que
+$B=A[b_1,\dots,b_r]$. Le morphisme $A→B$ est donc
+fini (cf. \ref{entier-sur-entier}, démonstration). 
+\end{démo}
+
+\begin{démo}[Seconde démonstration]
+Soient $B$ une $A$-algèbre entière et $A[X₁,\dots,X_r]↠B$ un épimorphisme de $A$-algèbres.
+Montrons que $B$ est finie sur $A$. Notons $b_i$ 
+les images des $X_i$ par ce morphisme, qui se factorise donc à travers
+un épimorphisme $A[b₁]⊗_A\cdots⊗_A A[b_r]↠B$ car
+$A[X₁,\dots,X_r]≃A[X₁]⊗_A\cdots⊗_A A[X_r]$ (\refext{Tens}{}).
+Chaque $A[b_i]$ est un $A$-\emph{module} de type fini ; il en
+est de même de leur produit tensoriel.
+\end{démo}
+
+\begin{proposition}\label{localisation-entier=entier}
+Soient $A→B$ un morphisme entier (resp. fini) et $S$ une partie
+de $A$. Le morphisme induit $A[S^{-1}]→B[S^{-1}]$
+entre les anneaux de fractions associés
+(\refext{Spec}{Spec-localisation})
+est entier (resp. fini).
+\end{proposition}
+
+Cette proposition est un cas particulier de 
+\ref{cb-entier}.
+
+\begin{démo}
+Quitte à remplacer $S$ par la partie multiplicative
+engendrée, on peut supposer $S$ multiplicative.
+Supposons $A→B$ entier et considérons $b/s∈B[S^{-1}]$.
+On veut montrer qu'il est entier sur $A[S^{-1}]$.
+Par hypothèse, il existe une relation de dépendance
+intégrale $b^n+a₁ b^{n-1}+\cdots+a_n=0$. En multipliant
+l'image de cette relation dans $B[S^{-1}]$ par $1/s^n$,
+on en tire :
+\[
+(b/s)^n+(a₀/s)(b/s)^{n-1}+\cdots+(a_n/s^n)=0.
+\]
+En d'autres termes, $b/s$ est entier sur $A[S^{-1}]$.
+Pour traiter le cas des morphismes finis, il suffit de vérifier
+que si $A→B$ est de type fini, il en est de même de
+$A[S^{-1}]→B[S^{-1}]$. Or, si $b₁,\dots,b_n$ sont des générateurs
+de $B$ comme $A$-module, il résulte immédiatement
+de l'égalité $(∑_1^n a_i b_i)/s=∑_1^n (a_i/s)(b_i/1)$
+pour tout $n$-uplet $(a_i)$ de $A$ que les éléments 
+$b₁/1,\dots,b_n/1$ de $B[S^{-1}]$
+sont générateurs sur $A[S^{-1}]$.
+\end{démo}
+
+
+\begin{facultatif}
+
+\section{Intégrité et changement de base}
+
+Les résultats de cette section ne seront pas utilisé dans la 
+suite de ce chapitre.
+
+\begin{proposition}\label{stabilite-type-fini}
+\begin{enumerate}
+\item Le produit tensoriel de deux morphismes de type fini est de type fini : 
+si $A→B₁$ et $A→B₂$ sont de type fini, le morphisme canonique $A→B₁⊗_A B₂$
+est de type fini.
+\item Un morphisme de type fini reste après changement de base : si $A→B$ est de
+type fini et $A→A'$ est un morphisme, le morphisme canonique $A'→B⊗_A A'$ est de
+type fini.
+\end{enumerate}
+\end{proposition}
+
+\begin{démo}
+(i) Soient $A→B₁$ et $A→B₂$ les deux morphismes de type fini de l'énoncé.
+Si $A[X₁,\dots,X_r]↠B₁$ est un épimorphisme, le morphisme $A[X₁,\dots,X_r]⊗_A B₂↠B₁⊗_A B₂$
+obtenu par changement de base l'est également
+(\refext{Tens}{produit-tens-exact-a-droite}). Puisqu'un quotient d'une $A$-algèbre de
+type finie est de type fini, on peut supposer que $B₁$ est une algèbre de
+polynômes en un nombre fini de variables. De même pour $B₂$. Le résultat est
+alors trivial car $A[X₁,\cdots,X_r]⊗_A A[Y₁,\dots,Y_s]$ est $A$-isomorphe
+à $A[Z₁,\dots,Z_{rs}]$ (\refext{Tens}{}).
+(ii) Même démonstration, où l'on utilise cette fois-ci l'isomorphisme
+de $A'$-algèbres $A[X₁,\dots,X_r]⊗_A A'⭇A'[X₁,\dots,X_r]$.
+\end{démo}
+
+
+\begin{proposition}\label{cb-entier}
+Soit $A→B$ un morphisme entier (resp. fini). Alors, pour toute $A$-algèbre $A'$,
+la $A'$-algèbre $B⊗_A A'$ est entière (resp. finie).
+\end{proposition}
+
+\begin{démo}
+D'après \ref{stabilite-type-fini} et \ref{fini=entier+tf}, il suffit de
+démontrer la proposition dans le cas des morphismes entiers.
+Pour toute sous-$A$-algèbre finie $C$ de $B$, notons $\gtilde{C}$ l'image de $C⊗_A A'$ dans $B'=B⊗_A A'$.
+Observons que $B'=⋃\gtilde{C}$ où $C$ parcourt l'ensemble des sous-$A$-algèbres
+finies de $B$. En effet, tout élément $b'$ de $B'$ est somme (finie) de tenseurs
+purs :  $b'=∑_{i∈I} b_i⊗a'_i$, où $b_i∈B$ et $a'_i∈A'$
+de sorte que $b'$ appartient $\gtilde{C}$ où $C$ est 
+la sous-$A$-algèbre finie $C=A[(b_i)_{i∈I}]$ de $B$. Pour conclure,
+il suffit de montrer que chaque $\gtilde{C}$ est entier sur $A'$. 
+Une telle sous-$A'$-algèbre de $B'$ est même finie : 
+$\gtilde{C}$ est un quotient de $C'=C⊗_A A'$ qui est fini sur $A'$ (comme
+module) car $C$ l'est sur $A$.
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire}\label{pdt-tens-entiers}
+Soient $A$ un anneau et $B₁,B₂$ deux $A$-algèbres entières (resp. finies).
+Le produit tensoriel $B₁⊗_A B₂$ est entier (resp. fini) sur $A$.
+\end{corollaire}
+
+\begin{démo}
+Cela résulte de \ref{cb-entier} et \ref{entier-sur-entier}.
+\end{démo}
+
+La généralisation suivante du corollaire précédent est également 
+utile.
+
+\begin{corollaire}\label{produit-tensoriel-d-entiers}
+Soient $k$ un anneau, $A₁$ et $A₂$ deux $k$-algèbres.
+Si $A₁→B₁$ et $A₂→B₂$ sont deux morphismes entiers (resp. finis), le morphisme
+$A₁⊗_k A₂→B₁⊗_k B₂$ qui s'en déduit est également entier (resp. fini).
+\end{corollaire}
+
+\begin{démo}
+D'après \ref{cb-entier}, les morphismes $A₁⊗_k A₂→B₁⊗_k A₂$ et $B₁⊗_k A₂→B₁⊗_k
+B₂$ sont entiers ; d'après \ref{entier-sur-entier} le composé $A₁⊗_k A₂→B₁⊗_k
+B₂$ l'est aussi.
+\end{démo}
+
+\end{facultatif}
+
+
+\section{Clôture intégrale, anneaux normaux}
+
+\begin{définition}\label{normalisation,normal}
+Soit $A$ un anneau intègre de corps des fractions. La sous-$A$-algèbre
+$A^\japmath{正}$ de $K$ constitué des éléments de $K$ entiers sur $A$ est appelé \emph{clôture
+intégrale} \index{clôture intégrale} ou \emph{normalisation} \index{normalisation} 
+de $A$ dans $K$. Si l'inclusion naturelle,
+entière, $A→A^\japmath{正}$ est un isomorphisme, on dit que $A$ est un anneau
+\emph{intégralement clos} \index{intégralement clos} ou \emph{normal}\index{normal}.
+\end{définition}
+
+\begin{définition}\label{fermeture-integrale}
+L'ensemble des éléments de $B$ entiers sur $A$ est appelé \emph{fermeture
+intégrale de $A$ dans $B$}\index{fermeture intégrale}.
+\end{définition}
+
+\XXX
+
+\subsection{Normalisation dans une extension séparable}
+
+Contre-exemple non japonais.
+
+
+
+
+\section{Relèvements des idéaux premiers}
+
+\begin{théorème}\label{relèvement idéaux}
+Soit $A↪B$ un morphisme \emph{injectif} entier. L'application
+canonique $\Spec(B)→\Spec(A)$, $𝔮↦𝔮∩A$, est surjective.
+\end{théorème}
+
+\begin{corollaire}
+Soit $A→B$ un morphisme entier. L'image du morphisme 
+$\Spec(B)→\Spec(A)$ est l'ensemble des idéaux premiers de $A$
+contenant $\Ker(A→B)$.
+\end{corollaire}
+
+\begin{démo}[Démonstration du corollaire]
+En effet, le morphisme $A'=A/\Ker(A→B)→B$ déduit 
+de $A→B$ par passage au quotient est entier, injectif 
+et $\Spec(A')$ est le sous-ensemble de $\Spec(A)$ décrit
+dans l'énoncé.
+\end{démo}
+
+\begin{démo}[Démonstration du théorème]
+(Le lecteur qui le souhaite pourra supposer pour simplifier que les
+anneaux $A$ et $B$ sont intègres.)
+Soit $𝔭∈\Spec(A)$. Rappelons que l'on note $A_𝔭$
+l'anneau des fractions $A[(A-𝔭)^{-1}]$ (cf.
+\refext{Spec}{Spec-localisation}).
+Si $A$ est intègre, c'est le sous-anneau
+du corps des fractions $\Frac(A)$ constitué
+des éléments pouvant s'écrire avec
+un dénominateur n'appartenant pas à $𝔭$.
+D'après \ref{localisation-entier=entier} (resp.
+\refext{Spec}{Spec-cas particulier platitude localisation}),
+le morphisme  $A_𝔭→B_𝔭=B[(A-𝔭)^{-1}]$ est entier (resp. injectif).
+D'autre part, $\Spec(A_𝔭)→\Spec(A)$ (resp. $\Spec(B_𝔭)→\Spec(B)$)
+s'identifie à l'inclusion $\{𝔭'∈\Spec(A):𝔭'⊆𝔭\}↪\Spec(A)$
+(resp. $\{𝔮∈\Spec(B):𝔮∩A⊆𝔭\}↪\Spec(B)$), cf. \refext{Spec}{Spec-spectre du
+localisé}.
+Le diagramme 
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+\Spec(B) & \Spec(A)\\ \Spec(B_𝔭) & \Spec(A_𝔭)\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- (diag-2-2);
+\draw[<-] (diag-1-1) -- (diag-2-1);
+\draw[<-] (diag-1-2) -- (diag-2-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+étant commutatif, et $𝔭∈\Spec(A)$ appartenant à l'image 
+de l'application $\Spec(A_𝔭)→\Spec(A)$,
+on peut remplacer $A$ par $A_𝔭$ et $B$ par $B_𝔭$.
+En d'autre termes, on peut supposer $A$ \emph{local},
+\cad ne possédant qu'un idéal maximal, que nous noterons $𝔪$.
+Soit $𝔮∈\Specmax(B)$ arbitraire et $𝔭=A∩𝔮$ 
+son image réciproque dans $\Spec(A)$. Le morphisme composé $A↪B↠B/𝔮$ induit une
+injection entière $A/𝔭↪B/𝔮$ de but un corps. Il résulte du lemme
+ci-dessous que $A/𝔭$ est un corps, \cad que $𝔭=𝔪$. CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{lemme}
+Soit $A↪B$ un morphisme injectif entier entre anneaux intègres.
+L'anneau $A$ est un corps \ssi $B$ est un corps.
+\end{lemme}
+
+\begin{démo}
+Le fait que $B$ soit un corps si $A$ l'est est
+une reformulation de \refext{Alg}{Spec=Specmax-cas-part}.
+Réciproquement, si $B$ est un corps et $a∈A-\{0\}$,
+l'inverse $b$ de $a$ dans $B$ est entier sur $A$ :
+$b^n+a₀b^{n-1}+\cdots+a_n=0$ pour un choix convenable
+d'éléments $a_i$ de $A$. Multipliant cette égalité
+par $a^{n-1}$, on obtient $b∈A$. L'élément
+$a$ est donc inversible \emph{dans $A$}.
+\end{démo}
+
+\begin{définition}\label{idéal dessus-dessous}
+Soient $A→B$ un morphisme d'anneaux et $𝔞$ un idéal de $A$.
+On dit qu'un idéal $𝔟$ de $B$ est \emph{au-dessus} de $𝔞$ ou
+encore est un \emph{relèvement} de $𝔞$ si l'image inverse 
+$𝔟∩A$ de $𝔟$ dans $A$ est égale à $𝔞$ (cf.
+\refext{Spec}{convention image inverse idéal}). 
+Si cette relation est satisfaite, on dit également
+que $𝔞$ est \emph{en-dessous} de $𝔟$.
+\end{définition}
+
+\begin{corollaire}\label{cas égalité relèvement idéaux premiers}
+Soient $A→B$ un morphisme entier, $𝔮$ un idéal premier de $B$ et
+$𝔭=𝔮∩A$ son image inverse dans $A$. L'idéal premier $𝔭$ est maximal
+\ssi $𝔮$ est maximal. D'autre part, si $𝔮'$ est un autre idéal premier
+de $B$ au-dessus de $𝔭$ et \emph{contenant} $𝔮$, on a $𝔮=𝔮'$.
+\end{corollaire}
+
+\begin{démo}
+Le premier point résulte du fait que le morphisme $A'=A/𝔭→B'=B/𝔮$ est entier et 
+injectif. Démontrons que l'égalité $𝔭=𝔮∩A=𝔮'∩A$ jointe à l'inclusion
+$𝔮⊆𝔮'$ force l'égalité $𝔮=𝔮'$. Les applications de localisation
+$A→A_𝔭$ et $B→B_𝔭$ induisant des injections croissantes sur les spectres, on peut
+supposer $A$ local. Il résulte du premier point que $𝔮$ et $𝔮'$ sont
+alors maximaux donc égaux.
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire}[Cohen-Seidenberg]\label{relèvement de paires}
+Soient $A→B$ un morphisme entier, $𝔞⊆𝔭$ deux idéaux de $A$
+et $𝔟$ un idéal de $B$ au-dessus de $𝔞$. Si $𝔭$ est premier,
+il existe un idéal premier $𝔮$ de $B$ contenant $𝔟$ et au-dessus de $𝔭$.
+\end{corollaire}
+
+\begin{démo}
+Le morphisme $A/𝔞→B/𝔟$ étant entier et injectif, il résulte de 
+\ref{relèvement idéaux} qu'il existe un idéal premier de $B/𝔟$
+relevant l'idéal premier $\sur{𝔭}=𝔭/𝔞$ de $A/𝔞$. Un tel idéal
+correspond à un idéal premier $𝔮$ de $B$ contenant $𝔟$,
+au-dessus de $𝔭$ (cf. \refext{Spec}{ideaux-quotient}). 
+\end{démo}
+
+\section{Anneau des invariants sous l'action d'un groupe fini}
+
+Soient $B$ un anneau, $G$ un groupe fini agissant 
+sur $B$ par automorphismes, et $A=\Fix_G(B)$ le sous-anneau de
+$B$ constitué des invariants.
+Dans ce paragraphe, on s'intéresse aux propriétés du morphisme
+$A→B$ ainsi qu'à celles de l'application $Y=\Spec(B)→X=\Spec(A)$
+associée. Nous verrons en particulier que, sous certaines hypothèses,
+l'ensemble $X$ s'identifie à l'ensemble des $G$-orbites de $Y$,
+\cad au \emph{quotient} $Y/G$ de $Y$ sous l'action de $G$.
+
+\subsection{Intégralité et finitude}
+
+\begin{proposition2}\label{quotient par groupe fini est entier}
+Soient $B$ un anneau et $G$ un groupe fini agissant 
+sur $B$ par automorphismes.
+Le morphisme $A=\Fix_G(B)→B$ est \emph{entier}.
+\end{proposition2} 
+
+Il résulte du théorème \ref{relèvement idéaux} que l'application 
+$Y=\Spec(B)→X=\Spec(A)$ est \emph{surjective}. 
+Observons que l'action de $G$ sur $B$  
+induit une action sur $Y$ 
+et que l'application ci-dessus est $G$-équivariante,
+l'ensemble $X$ étant muni, tout comme $A$, de l'action triviale
+de $G$.
+
+\begin{démo}
+Soit $b∈B$ et considérons le polynôme \emph{unitaire}
+$P_b(X)=∏_{g∈G}\big(X-g(b)\big)$. Il s'annule en $b$
+et ses coefficients sont $G$-invariants donc dans $A$.
+L'élément $b$ est donc entier sur $A$. CQFD.
+\end{démo}
+
+Nous allons maintenant énoncer un théorème
+de finitude, fondamental pour la théorie des invariants.
+
+Nous verrons dans un chapitre ultérieur
+un autre résultat de cette nature, mais de démonstration plus
+délicate (\refext{}{second théorème quotient fini}).
+
+\begin{théorème2}\label{premier théorème quotient fini}
+Soient $k$ un anneau, $B$ une $k$-algèbre de type fini, 
+$G$ un groupe fini agissant sur $B$ par $k$-automorphismes
+et $A=\Fix_G(B)$. Le morphisme $A→B$ est \emph{fini}. De plus, si $k$ est
+\emph{nœthérien}, $A$ est une $k$-algèbre de type fini.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+Soient $b₁,\dots,b_n$ des générateurs de $B$ en tant que $k$-algèbre :
+$B=k[b₁,\dots,b_n]$. Considérons la sous-$k$-algèbre $C$ de $B$
+engendrée par les coefficients des polynômes $P_{b_i}$, $1≤i≤n$,
+(cf. \ref{quotient par groupe fini est entier}, démonstration). 
+Il résulte de \emph{loc. cit.} que $C$ est contenu dans $A$ et que chaque $b_i$ est
+entier sur $C$. Il en résulte que $B$ est \emph{fini} sur $C$
+(\ref{fini=entier+tf}) donc sur $A$.
+Enfin, $A$ étant une sous-$k$-algèbre 
+de la $k$-algèbre de type fini $C$, elle est de type fini
+sur $k$ si $k$ est nœthérien.
+\end{démo}
+
+
+\subsection{Commutation à la localisation}
+
+Soient $B$ un anneau, $G$ un groupe agissant par automorphismes
+sur $B$ et $T$ une partie multiplicative de $B$ stable par l'action de
+$G$. L'anneau localisé $B[T^{-1}]$ (\refext{Spec}{Spec-localisation})
+est naturellement muni d'une action de $G$ de sorte que le morphisme
+canonique $B→B[T^{-1}]$ soit $G$-équivariant : on pose
+$g(b/t)=g(b)/g(t)$. Posons $A=\Fix_G(B)$ ;
+le sous-ensemble $S=\Fix_G(T)$ de $A$ est une partie multiplicative.
+
+\begin{proposition2}\label{invariants et localisation}
+Supposons $G$ fini.
+Le morphisme canonique $A[S^{-1}]→B[T^{-1}]$ est injectif 
+et induit un isomorphisme
+\[A[S^{-1}]→\Fix_G(B[T^{-1}]).\]
+\end{proposition2}
+
+En d'autres termes, le passage aux invariants commute à la
+localisation.
+
+\begin{démo}
+Il est clair que l'image de $A[S^{-1}]$ dans $B[T^{-1}]$
+est fixe sous l'action de $G$. Vérifions l'injectivité.
+Si $a/s$ est d'image nulle dans $B[T^{-1}]$,
+il existe $t∈T$ tel que $ta=0$. Quitte à symétriser
+$t$, \cad considérer le multiple $∏_{g∈G}g(t)$ de $t$, on peut supposer
+$t∈S$. Ainsi, $a/s=0$ dans $A[S^{-1}]$.
+Vérifions la surjectivité. Soit $y∈\Fix_G(B[T^{-1}])$ ;
+on veut montrer qu'il existe $s∈S$ et $a∈A$ tels que
+$y=a/s$. Quitte à multiplier $y$ par le symétrisé 
+d'un de ses dénominateurs, on peut supposer que
+$y=b/1$ pour un élément $b∈B$. Puisqu'il est fixe sous 
+l'action de $G$, il existe pour tout $g∈G$ un élément $t_g$ de $T$
+tel que $t_g(g(b)-b)=0$. Soit $s$ le symétrisé du produit
+$t=∏_{g} t_g∈T$. Pour tout $g∈G$, on a $g(sb)-sb=s(g(b)-b)=0$.
+Ainsi $a=sb$ appartient à $A$ et $y=a/s$.
+\end{démo}
+
+\begin{exercice2}
+Trouver un triplet $(B,T,G)$ pour lequel l'application
+$A[S^{-1}]→B[T^{-1}]$ de la proposition \ref{invariants et localisation} 
+n'est pas pas injective. \XXX.
+\end{exercice2}
+
+
+\subsection{Groupes de décomposition et d'inertie ; action de $G$ 
+sur les fibres de $\Spec(B)→\Spec(A)$}
+
+\begin{définition2}
+Soient $B$ un anneau et $G$ un groupe fini agissant par
+automorphismes. Pour tout idéal premier $𝔮∈\Spec(B)$, on
+note respectivement $D(𝔮)$ et $I(𝔮)$ les sous-groupes
+\[
+\{g∈G:g(𝔮)=𝔮\},
+\]
+et
+\[
+\{g∈G:g(𝔮)=𝔮,\,∀x∈B,\,g(x)≡x\mod\,𝔮\}
+\]
+de $G$.
+Le groupe $D(𝔮)$ est appelé \emph{groupe de
+décomposition}\footnote{Parfois noté $Z$ pour « Zerlegung ».} \index{groupe
+de décomposition} en $𝔮$ et son sous-groupe distingué $I(𝔮)$
+est le \emph{groupe d'inertie}\footnote{Parfois noté $T$ pour
+« Trägheit ».}\index{groupe d'inertie} en $𝔮$.
+\end{définition2}
+
+Par construction, le sous-groupe $D(𝔮)$ de $G$ agit sur le quotient $B/𝔮$ ainsi
+que sur son corps des fractions $κ(𝔮)=\Frac(B/𝔮)$. Le groupe d'inertie est le
+noyau du morphisme $D(𝔮)→\Aut(κ(𝔮))$.
+
+Nous allons bientôt caractérister l'image de ce morphisme.
+
+\begin{théorème2}
+Soient $B$ un anneau, $G$ un groupe fini agissant par
+automorphismes et $A=\Fix_G(B)$. L'action de $G$ est transitive sur les fibres
+de l'application $\Spec(B)→\Spec(A)$ : pour toute paire idéaux
+premiers $𝔮$ et $𝔮'$ de $B$ au-dessus d'un même idéal premier 
+$𝔭$ de $A$, il existe $g∈G$ tel que $g.𝔮=𝔮'$.
+\end{théorème2}
+
+Rappelons que par définition, $𝔮∩A=𝔭=𝔮'∩A$ et que $g.𝔮$
+désigne l'idéal $g^{-1}(𝔮)$ (cf. \refext{Spec}{fonctorialite-spectre}).
+
+\begin{démo}
+Soit $y∈𝔮$ et soit $x∈A$ son multiple $∏_{g∈G}g(y)$. Puisque $x∈𝔮∩A=𝔮'∩A$,
+il appartient en particulier à l'idéal $𝔮'$. Celui-ci étant un idéal
+\emph{premier}, il existe un $g∈G$ tel que $g(y)∈𝔮'$ ou encore
+$y∈g.𝔮'$. On donc démontré l'inclusion $𝔮⊆⋃_g g.𝔮'$.
+Chacun des idéaux $g.𝔮'$ étant premier, il résulte du lemme ci-dessous
+que l'on a $𝔮⊆g.𝔮'$ pour un $g∈G$ convenable.
+Il résulte de \ref{cas égalité relèvement idéaux premiers} que
+$𝔮=g.𝔮'$. CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{lemme2}\label{idéal dans réunion de premiers}
+Soient $C$ un anneau, $𝔞$ un idéal et $𝔭₁,\dots,𝔭_r$ des idéaux
+premiers tels que $𝔞⊆⋃_1^r 𝔭_i$. Il existe alors un indice
+$i$ tel que $𝔞⊆𝔭_i$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+On raisonne par récurrence sur $r$, le cas $r=1$ étant
+trivial. Supposons $r≥2$. S'il existe un indice
+$j$ tel que $𝔞∩𝔭_j⊆⋃_{i≠j} 𝔭_i$, il résulte
+de l'égalité $𝔞=⋃_i (𝔞∩𝔭_i)$ que l'idéal 
+$𝔞$ est alors contenu dans la réunion $⋃_{i≠j} 𝔭_i$,
+auquel cas l'hypothèse de récurrence permet de conclure.
+Supposons donc par l'absurde que pour chaque indice $j$, il existe un élément
+$x_j∈(𝔞∩𝔭_j)-⋃_{i≠j} 𝔭_i$. Posons $\chap{x_j}=∏_{i≠j} x_j$ et
+considérons l'élément $y=∑_j \chap{x_j}$ de $𝔞$.
+Soit $i$ tel que $y∈𝔭_i$. Pour chaque $j≠i$, $\chap{x_j}∈𝔭_i$
+de sorte que finalement $\chap{x_i}$ appartient également
+à $𝔭_i$. Il en est donc ainsi d'au moins un de ses facteurs
+$x_j$ ($j≠i$), ce qui est absurde.
+\end{démo}
+
+\begin{remarque2}Il résulte du théorème précédent
+qu'à conjugaison près, les sous-groupes $D(𝔮)$ et
+$I(𝔮)$ ne dépendent que de $𝔭=𝔮∩A$. En effet, si
+$g∈G$, on a $D(g.𝔮)=gD(𝔮)g^{-1}$ (resp. $I(g.𝔮)=gI(𝔮)g^{-1}$). On note
+parfois $D(𝔭)$ (resp. $I(𝔭)$) une telle classe de conjugaison
+de sous-groupes.
+\end{remarque2}
+
+Par construction l'action de $G$ sur $B$ induit une action
+$A/𝔮$-linéaire de $D(𝔮)$ sur $B/𝔮$, qui se factorise
+à travers le quotient $D(𝔮)/I(𝔮)$. (Le morphisme $A/𝔭→B/𝔮$ est
+injectif car $𝔭=𝔮∩A$.)
+
+\begin{miseengarde2}
+L'inclusion $A/𝔭⊆\Fix_{D(𝔮)/I(𝔮)}(B/𝔮)$ n'est pas en général
+une égalité. Exemple \XXX.
+\end{miseengarde2}
+
+Le théorème ci-dessous est un substitut utile à ce défaut
+de commutation des invariants par passage au quotient.
+
+\begin{théorème2}\label{specialisation galois cas general}
+Soient $B$ un anneau, $G$ un groupe fini agissant par
+automorphismes et $A=\Fix_G(B)$. Soit $𝔮$ un idéal premier de $B$
+au-dessus de l'idéal premier $𝔭$ de $A$.
+L'extension $κ(𝔮)\bo κ(𝔭)$ est \emph{normale}
+et le morphisme canonique 
+\[D(𝔮)/I(𝔮)→\Aut_{κ(𝔭)}(κ(𝔮)),\]
+\[gI(𝔮)↦\big(x \mod 𝔮↦g(x) \mod 𝔮\big)\]
+est un \emph{isomorphisme}.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+Réductions.
+Il résulte de \ref{invariants et localisation} que 
+$\Fix_G(B_𝔭)=A_𝔭$. D'autre part l'idéal premier $𝔮$ de $B$
+est l'image d'un (unique) idéal premier $𝔮_𝔭$ de $B_𝔮$ 
+par l'application $\Spec(B_𝔭)↪\Spec(B)$ et les corps résiduels
+$k=κ(𝔭)$ et $l=κ(𝔮)$ sont inchangés (\cad : les morphismes
+canoniques $κ(𝔭)→κ(𝔭_𝔭)$ et $κ(𝔮)→κ(𝔮_𝔭)$, où
+$𝔭_𝔭$ est l'idéal maximal de $A_𝔭$, sont des isomorphismes). 
+Enfin l'action de $D(𝔮)$ sur $\Spec(B)$
+laisse invariant $\Spec(B_𝔭)$, sur lequel il agit comme 
+$D(𝔮_𝔭)$. On peut donc supposer $A$ local d'idéal maximal
+$𝔭$. Il résulte de \ref{cas égalité relèvement idéaux premiers}
+que $𝔮$ est alors maximal également.
+
+Montrons que l'extension $l\bo k$ est normale, \cad que pour tout
+$β∈l=B/𝔮$, il existe un polynôme à coefficients dans $k$, scindé sur
+$l$ et s'annulant en $β$. (Cf. \refext{CG}{caracterisation-extension-normale}, (iv)).
+Soit $b$ un relèvement de $β$ dans $B$ et considérons
+$P(X)=∏_{g∈G}\big(X-g(b)\big)∈A[X]$. Il est scindé dans $B[X]$ 
+et s'annule en $b$. Son image $p∈k[X]$ déduite de la projection $A↠k$ 
+est un polynôme scindé dans $l[X]$ s'annulant en $β$.
+
+Vérifions maintenant que le morphisme $ρ:D(𝔮)/I(𝔮)→\Aut_{k}(l)$
+est un isomorphisme. Il est injectif par définition de $I(𝔮)$. 
+
+Cas particulier où l'extension $l\bo k$ est séparable.
+Elle est finie. \XXX
+Soit $β$ un élément primitif \refext{Alg}{element-primitif}.
+Tout élément $σ$ de $\Aut_k(l)$ est donc caractérisé par l'image
+$σ(β)$ de $β$. Par définition du morphisme $ρ$, il nous faut montrer
+que pour tout $σ$, il existe $g∈D(𝔮)$ et un relèvement $b$ de $β$
+tel que $g(b)-b∈𝔮$. 
+Les idéaux $g.𝔮$ pour $g∉D(𝔮)$ étant maximaux et différents
+de $𝔮$, il résulte du lemme de Bézout qu'il existe un élément
+$b∈B$ tel que $b≡β\,\mod𝔮$ et $b∈g.𝔮=g^{-1}(𝔮)$ pour $g∉D(𝔮)$.
+Pour un tel élément, considérons $P(X)=∏_{g∈D(𝔮)}
+\big(X-g(b)\big)∈A[X]$ et $p∈k[X]$ sa réduction modulo $𝔮$.
+Au vu de notre choix de $b$, le polynôme $p$, vu dans $l[X]$, 
+se factorise sous la forme 
+\[
+p=X^{\# G-D(𝔮)}∏_{g∈D(𝔮)}\big(X-(g(b)\,\mod 𝔮)\big).
+\]
+Le second facteur appartient donc à $k[X]$ et s'annule
+en $β$. L'élément $σ(β)$ est donc l'une de ses racines.
+CQFD.
+
+Cas général. Soit $l\bo k$ comme dans l'énoncé et $σ∈\Aut_k(l)$.
+Elle est algébrique. \XXX
+Considérons la plus grand sous-$k$-extension séparable
+$k'$ de $k$ ; elle est stable par tout automorphisme
+de $l$ sur $k$. La démonstration ci-dessus montre que 
+$k'\bo k$ est nécessairement finie, donc admet un élément primitif,
+et que si $σ'∈\Aut_k(k')$ est la restriction de $σ$ à $k'$, 
+il existe $g∈D(𝔮)/I(𝔮)$ induisant l'automorphisme $σ'$ sur $k'$.
+Il résulte du lemme ci-dessous que $g$ induit l'automorphisme $σ$ sur
+$l$ tout entier.
+\end{démo}
+
+\begin{lemme3}
+Deux automorphismes d'une extension algébrique coïncident
+\ssi ils agissent de la même manière sur les éléments séparables.
+\end{lemme3}
+
+Ce lemme est un cas particulier de \refext{RT}{}.
+
+\begin{démo}
+Soient $L\bo K$ l'extension et $σ,τ∈\Aut_K(L)$ les automorphismes.
+Supposons que pour tout élément $x∈L$ séparable sur $K$, on ait
+l'égalité $σ(x)=τ(x)$. Montrons que $σ=τ$. Soit $K'$ la clôture
+séparable de $K$ dans $L$, c'est-à-dire le sous-corps (cf. \XXX)
+de $L$ consituté des éléments séparables. On va montrer par récurrence
+sur le degré inséparable $[K'[x]:K']$ de $x$ que $σ(x)=τ(x)$ 
+pour tout $x∈L$. Si $[K'[x]:K']=1$, c'est hypothèse.
+Supposons $[K'[x]:K']=n>1$. Le polynôme minimal de $x$ sur $K'$
+n'étant pas séparable, il est donc de la forme 
+$f(T^p)$ où $p$ est la caractéristique de $K$,
+nécessairement non nulle (cf. \refext{Alg}{separable-irreductible}).
+Ainsi, $x^p$ est racine du polynôme $f(T)$, irréductible sur
+$K'$. Il en résulte que $[K'[x^p]:K']=n/p<n$ donc, par hypothèse
+de récurrence, $σ(x^p)=τ(x^p)$. En conséquence, $σ(x)^p=τ(x)^p$
+et, finalement, $σ(x)=τ(x)$ car l'élévation à la puissance $p$
+est injective en caractéristique $p>0$.
+\end{démo}
+
+\begin{remarque3}
+On montrera plus tard que pour toute $A$-algèbre $A'$,
+le morphisme $A'→\Fix_G(B⊗_A A')$ est un isomorphisme
+si $A→A'$ est \emph{plat} et même dans les cas
+où ce morphisme n'est pas un isomorphisme,
+l'application induite sur les spectres
+$\Spec(\Fix_G(B⊗_A A'))⥲\Spec(A')$ est néanmoins
+une bijection.
+%Voir aussi Liu, « Quotient maps and base change ».
+\end{remarque3}
+
+
+\ifx\danslelivre\undefined
+\bibliography{bibliographie-livre}
+\bibliographystyle{style-bib-livre}
+\end{document}
+\fi