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diff --git a/chapitres/exemples-galois.tex b/chapitres/exemples-galois.tex index 092d910..0cabc42 100644 --- a/chapitres/exemples-galois.tex +++ b/chapitres/exemples-galois.tex @@ -226,7 +226,12 @@ dont les racines réelles sont $x_1 = 2\cos\frac{2\pi}{7}, x_2 = en évaluant les fonctions symétriques élémentaires de $2\cos\frac{2\pi}{7}, 2\cos\frac{4\pi}{7}, 2\cos\frac{6\pi}{7}$ au moyen de formules trigonométriques, ce qui donne explicitement $g = X^3 + -X^2 - 2 X - 1$. On peut vérifier de nouveau que $g$ est irréductible +X^2 - 2 X - 1$. (Pour vérifier que $g$ convient sans +utiliser de formule trigonométrique, il suffit +de constater que $x_{α} =ζ_α + ζ_α^{-1}$, avec $ζ_α=e^{2 i α π /7}$, +et par un calcul formel immédiat que $g(Z+Z^{-1})=Z^{-3}Φ₇(Z)$. On rappelle que +$Φ₇(Z)=Z⁶+Z⁵+Z⁴+Z³+Z²+Z+1$.) +On peut vérifier de nouveau que $g$ est irréductible en constatant que $2\cos\frac{2\pi}{7} \not\in \QQ$ car $2\cos\frac{2\pi}{7} \not\in \ZZ$ soit par encadrement soit parce que la réduction de $g$ est irréductible modulo, disons, $2$ (ou $3$, @@ -239,7 +244,11 @@ s'en persuader en se rappelant que $x_2 = x_1^2 - 2$ et $x_3 = -x_1^2 -x_1 +1$, ce qui montre que le corps de rupture $\QQ(x_1) \cong \QQ(x_2) \cong \QQ(x_3)$ de $g$ en est déjà un corps de décomposition (on a $g = (X-x_1)(X-x_1^2+2)(X+x_1^2+x_1-1)$), si bien qu'il est de degré $3$ -sur $\QQ$ et que $\Gal(g)$ ne peut pas contenir d'élément d'ordre $2$. +sur $\QQ$. (Ceci résulte également du fait que l'extension +$𝐐(x₁,x₂,x₃)$ de $𝐐(x₁)$ est de degré $2$ ou $1$ +selon qu'elle est égale à $𝐐(e^{2 i π /7})$ — de degré $6$ sur $𝐐$ — +ou non. Ces deux corps ne sont pas égaux car l'un se plonge +dans $𝐑$ et pas l'autre.) On a donc $\Gal(g) \cong \ZZ/3\ZZ$, opérant cycliquement sur $\{x_1,x_2,x_3\}$. (Intuitivement, il faut se figurer que, bien que les racines $x_1,x_2,x_3$ de $g$ soient indiscernables sur $\QQ$, leur @@ -295,7 +304,9 @@ c'est-à-dire lorsque $x\sim y$ implique $\sigma(x)\sim\sigma(y)$ pour $\sim$ la relation d'équivalence dont les classes sont la partition considérée.} avec la partition $\{\{\sqrt{2+\sqrt{3}}, -\sqrt{2+\sqrt{3}}\}, \{\sqrt{2-\sqrt{3}}, -\sqrt{2-\sqrt{3}}\}\}$ -de $R_f$ ; mais ceci garantit aussi l'existence d'un élément $\sigma$ +de $R_f$. (Ceci résulte également du fait trivial que si $r$ est +une racine, $σ(-r)=-σ(r)$.) Que $\Gal(f)$ ait pour quotient +$\Gal(h)$ garantit aussi l'existence d'un élément $\sigma$ de $\Gal(f)$ envoyant $\sqrt{3}$ sur $-\sqrt{3}$, donc $\sqrt{2+\sqrt{3}}$ sur $\pm\sqrt{2-\sqrt{3}}$ pour au moins un des deux signes. |