summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/extensions-algebriques.tex
diff options
context:
space:
mode:
Diffstat (limited to 'chapitres/extensions-algebriques.tex')
-rw-r--r--chapitres/extensions-algebriques.tex26
1 files changed, 13 insertions, 13 deletions
diff --git a/chapitres/extensions-algebriques.tex b/chapitres/extensions-algebriques.tex
index 45cbec1..4d32910 100644
--- a/chapitres/extensions-algebriques.tex
+++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex
@@ -172,7 +172,7 @@ Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre \emph{finie}.
\begin{enumerate}
\item Les trois ensembles $\japmath{田}A(k),\Spec(A)$ et $π₀(A)$ sont
finis ; ils satisfont la condition suivante :
-\[♯ \japmath{田}A(k) ≤ ♯ π₀(A)= ♯ \Spec(A) ≤ [A:k].\]
+\[\# \japmath{田}A(k) ≤ \# π₀(A)= \# \Spec(A) ≤ [A:k].\]
\item Le spectre $\Spec(A)$ coïncide avec le spectre maximal $\Specmax(A)$.
Il est en bijection naturelle avec $π₀(A)$ et
reçoit naturellement $\japmath{田}A(k)$.
@@ -182,7 +182,7 @@ reçoit naturellement $\japmath{田}A(k)$.
surjectif ; c'est un isomorphisme \ssi $A$ est réduit.
\item Le morphisme d'évaluation $A → k^{\japmath{田}A(k)}$ est
surjectif ; c'est un isomorphisme \ssi on a égalité :
-\[♯ \japmath{田}A(k)=[A:k].\]
+\[\# \japmath{田}A(k)=[A:k].\]
\end{enumerate}
\end{théorème2}
@@ -227,8 +227,8 @@ Soit $A$ une $k$-algèbre finie. Les conditions suivantes sont
équivalentes :
\begin{enumerate}
\item l'épimorphisme d'évaluation $A↠k^{\japmath{田}A(k)}$ est un isomorphisme ;
-\item l'inégalité \emph{a priori} $♯\japmath{田}A(k) ≤[A:k]$ est une égalité ;
-\item l'inégalité \emph{a priori} $♯ π₀(A) ≤ [A:k]$ est une égalité ;
+\item l'inégalité \emph{a priori} $\#\japmath{田}A(k) ≤[A:k]$ est une égalité ;
+\item l'inégalité \emph{a priori} $\# π₀(A) ≤ [A:k]$ est une égalité ;
\item il existe un ensemble fini $X$ et un $k$-isomorphisme d'algèbres $A⥲k^X$ ;
\item la famille d'applications linéaires $[×a]=(x ↦ ax) ∈ \End_{k\traitdunion\ev}(A)$, où $a$ parcourt l'anneau $A$, est \emph{codiagonalisable}.
\item l'injection $\japmath{田}A(k) ↪ \Specmax(A)$ est une bijection
@@ -241,11 +241,11 @@ et $A$ est réduit.
(ii) ⇒ (iii). Résulte de \ref{k-algebres-finies} (iii).
(iii) ⇒ (iv). Si $A=∏_{𝔵 ∈ π₀(A)} A_𝔵$, on a $[A:k]=∑_𝔵 [A_𝔵:k]$,
où chaque entier $[A_𝔵:k]$ est supérieur ou égal à un.
-L'égalité $♯ π₀(A)=[A:k]$ ne peut donc se produire que si chaque
+L'égalité $\# π₀(A)=[A:k]$ ne peut donc se produire que si chaque
algèbre $A_𝔵$ est isomorphe à $k$, de sorte que $A$ est
isomorphe à $k^{π₀(A)}$. (iv) ⇒ (ii). Il suffit de démontrer que pour chaque ensemble fini $X$,
le cardinal de l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k^X,k)$
-est au moins égal à $[k^X:k]=♯X$. Ceci résulte de l'existence des projections
+est au moins égal à $[k^X:k]=\#X$. Ceci résulte de l'existence des projections
$\mathrm{pr}_x:k^X→k$ (évaluation en $x$), chacune d'entre elles
étant un morphisme de $k^X$ vers $k$. (iv) ⇒ (v).
La base canonique de $k^X$ est une base de vecteurs propres
@@ -1485,8 +1485,8 @@ Les conditions suivantes sont équivalentes :
diagonalisable ;
\item la $k$-algèbre $A$ est potentiellement diagonalisable ;
\item la $Ω$-algèbre $A_Ω$ est diagonalisable ;
-\item $♯\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$ ;
-\item $♯ π₀(A_Ω)=[A:k]$.
+\item $\#\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$ ;
+\item $\# π₀(A_Ω)=[A:k]$.
\end{enumerate}
De plus, on peut remplacer $Ω$ dans les critères (iii)—(v)
par une sous-extension $K$ de $Ω$ telle que pour tout $k$-morphisme $u:A → Ω$ on ait
@@ -1508,14 +1508,14 @@ de $K$. Étant finie sur $k$ et intègre, c'est un sous-corps $k_φ$ de $K$ (
par les $k_φ$ pour $φ∈\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$ ; c'est une sous-$k$-extension \emph{finie}
de $K$ car l'ensemble des $φ$ est fini. Par construction, l'inclusion
\emph{a priori} $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k_A)↪\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$ est une bijection.
-Ainsi, $♯ \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k_A)=[A:k]=[A_{k_A}:k_A]$ et
+Ainsi, $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k_A)=[A:k]=[A_{k_A}:k_A]$ et
$A$ est diagonalisable sur $k_A$.
(ii)⇒(iii).
Cela résulte du fait que toute extension finie de $k$ s'envoie dans $Ω$
et du fait que si $K→Ω$ est un morphisme de corps et $B$ une $K$-algèbre
diagonalisable, la $Ω$-algèbre $B⊗_K Ω$ est également diagonalisable,
comme il résulte de l'existence d'un l'isomorphisme $K^r ⊗_K Ω ⥲ Ω^r$.
-%En effet, si $♯ \Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)=[B:K]$, $♯ \Hom_{Ω\traitdunion\Alg}(B_Ω,Ω)=♯\Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)$
+%En effet, si $\# \Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)=[B:K]$, $\# \Hom_{Ω\traitdunion\Alg}(B_Ω,Ω)=\#\Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)$
%est égal à $[B:K]=[B_Ω:Ω]$ (\ref{cb-trace}).
%On utilise alors \ref{critere-numerique-diagonalisable} (ii).
(iii)⇒(i) : évident.
@@ -1948,7 +1948,7 @@ Les conditions suivantes sont équivalentes :
\item tout élément de $A$ est séparable sur $k$ ;
\item la trace $\Tr_{A\bo k}:A→k$ induit un isomorphisme
$A ⥲ A^{\vee}$ ;
-\item si $Ω$ est une clôture algébrique de $k$, $♯ \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$.
+\item si $Ω$ est une clôture algébrique de $k$, $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$.
\end{enumerate}
\end{théorème2}
@@ -1965,11 +1965,11 @@ On dit également que le morphisme $k → A$ est fini étale.
\begin{définition2}\label{degre separable}
On appelle \emph{degré séparable} \index{degré séparable} d'une $k$-algèbre
-finie $A$ l'entier $♯ \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$, où $Ω$ est
+finie $A$ l'entier $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$, où $Ω$ est
une clôture algébrique quelconque de $k$. On le note $[A:k]_s$.
\end{définition2}
-Le fait que l'entier $♯ \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$ soit indépendant
+Le fait que l'entier $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$ soit indépendant
du choix de la clôture algébrique $Ω$ est un corollaire au théorème
de Steinitz. D'après le théorème ci-dessus, une $k$-algèbre finie $A$
est étale \ssi $[A:k]=[A:k]_s$ (critère (vi)).