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diff --git a/chapitres/extensions-algebriques.tex b/chapitres/extensions-algebriques.tex index 39b017c..0d51922 100644 --- a/chapitres/extensions-algebriques.tex +++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex @@ -13,8 +13,7 @@ \usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} \usepackage{srcltx} \usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{matrix} -\usetikzlibrary{calc} +\usetikzlibrary{matrix,arrows,calc} %\title{Algèbres finies sur un corps, extensions algébriques} @@ -262,18 +261,19 @@ naturellement en bijection. Soient $k$ un corps, $X$ un ensemble fini et $A=k^X$. On a donné en \refext{Spec}{SpecPX et ideaux-k-X}.(ii.b) une description explicite des idéaux de $A$ : ils -sont en bijection naturelle avec $𝔓(π₀(A))$ et le quotient de $A$ -par l'idéal correspondant à la partie $Y ⊆ π₀(A)$ par la -bijection de \emph{loc. cit.} est isomorphe à -l'algèbre diagonale $k^Y$. Le fait qu'une algèbre $B$ quotient -de $A$ soit diagonalisable peut également se vérifier de la façon suivante. +sont en bijection naturelle avec l'ensemble $𝔓(π₀(A))$ +des parties de $π₀(A)$. D'autre part, le quotient de $A$ +par l'idéal correspondant par cette bijection +à une partie $Y ⊆ π₀(A)$ est isomorphe à l'algèbre diagonale $k^Y$. +Il en résulte que toute algèbre $B$ quotient +de $A$ est diagonalisable. Ceci peut également se vérifier de la façon suivante. D'après \ref{k-algebres-finies} (ii), on peut supposer que $B$ est une $k$-algèbre finie \emph{connexe}, car un quotient d'un quotient est un quotient et un produit fini d'algèbres diagonalisables est diagonalisable. Or, sous cette hypothèse de connexité, il résulte du lemme \refext{Spec}{produit=somme} (i) que -la surjection $A=k^X→B$ se factorise à travers un morphisme -de projection $A↠k$ sur l'un des facteurs. Le morphisme +le morphisme $A → B$ se factorise à travers un morphisme +de projection $k^X ↠k$ sur l'un des facteurs. Le morphisme induit $k → B$ étant surjectif, c'est un isomorphisme. L'algèbre $B$ est donc isomorphe à $k$ et, \emph{a fortiori}, diagonalisable. @@ -283,13 +283,24 @@ de $A$ se factorise à travers le morphisme d'évaluation $\ev_B:B ↠ k^{\japm Si le morphisme $f$ est injectif, il en résulte que $\ev_B$ est également injectif, donc bijectif. En d'autres termes, la sous-algèbre $B$ de $A$ est diagonalisable. -D'autre part, le morphisme $k^{\japmath{田}f}:k^{\japmath{田}B(k)} → k^{\japmath{田}A(k)}$ -étant injectif, l'application $\japmath{田}f:\japmath{田}A(k) → \japmath{田}B(k)$ -est \emph{surjective}. L'image de $k^{\japmath{田}f}$ est -l'ensemble des applications de $\japmath{田}A(k)$ vers $k$ constantes sur les fibres de $\japmath{田}f$. -Ces fibres forment une partition de $\japmath{田}A(k)$. -Réciproquement, toute partition de $\japmath{田}A(k)$ définit une -sous-$k$-algèbre de $A$, à savoir l'algèbre des fonctions constantes sur les constituants de la partition. +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[auto] +\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{ +|(B)| B & |(A)| A \\ |(Bd)| k^{\japmath{田}B(k)} & |(Ad)| k^{\japmath{田}A(k)} \\}; +\draw[->>] (B) -- node[swap]{$\ev_B$} (Bd); +\draw[right hook->>] (A) -- node{$\ev_A$} (Ad); +\draw[right hook->] (B) -- (A); +\draw[->] (Bd) -- node{$k^{\japmath{田}f}$} (Ad); +\end{tikzpicture} +\end{center} +D'autre part, le morphisme $k^{\japmath{田}f}$ étant injectif, +l'application $\japmath{田}f:\japmath{田}A(k) → \japmath{田}B(k)$ +est \emph{surjective}. L'image de $k^{\japmath{田}f}$ est +l'ensemble des applications de $\japmath{田}A(k)$ vers $k$ constantes +sur les fibres de $\japmath{田}f$. +Ces fibres forment une partition de $\japmath{田}A(k)$. +Réciproquement, toute partition de $\japmath{田}A(k)$ définit une +sous-$k$-algèbre de $A$, à savoir l'algèbre des fonctions constantes sur les constituants de la partition. Résumons les résultats obtenus. @@ -598,17 +609,17 @@ où $(i,j)$ parcourt $\{1,\dots,n\}×\{1,\dots,m\}$. On remarquera qu'en particulier $[K:k]$ \emph{divise} $[L:k]$. \begin{corollaire2}\label{entiers sur corps=sous-corps} -Soit $K\bo k$ une extension. -L'ensemble des éléments de $K$ algébriques sur $k$ est un sous-corps $K$. +Soit $K\bo k$ une extension. +L'ensemble des éléments de $K$ algébriques sur $k$ est un sous-corps $K$. \end{corollaire2} On l'appelle parfois \emph{clôture algébrique de $k$ dans $K$}. \begin{démo} -En effet, si $x$ et $y$ sont algébriques sur $k$, les extensions +En effet, si $x$ et $y$ sont algébriques sur $k$, les extensions $k(x)\bo k$ et $k(x)(y) \bo k(x)$ sont finies. Pour la seconde extension, cela résulte du fait que -$y$ est entier sur $k$ donc \emph{a fortiori} sur le sous-corps +$y$ est entier sur $k$ donc \emph{a fortiori} sur le sous-corps $k(x)$ de $K$. D'après la proposition précédente, l'extension $k(x)(y)\bo k$ est finie. Or, le corps $k(x)(y)$ contient $x$ et $y$ de sorte que $xy$, $x+y$ et, lorsque $x$ est non nul, $x^{-1}$, @@ -854,10 +865,11 @@ Le morphisme d'évaluation en $x$ est une bijection. \end{lemme2} -C'est un cas particulier, de démonstration immédiate, du lemme \refext{Spec}{points-quotient}. +La démonstration est immédiate. + +%C'est un cas particulier, de démonstration immédiate, du lemme \refext{Spec}{points-quotient}. -Observons que si $f$ est non nul, -$k_f$ est une $k$-algèbre \emph{finie}. +Observons que si $f$ est non nul, $k_f$ est une $k$-algèbre \emph{finie}. \begin{proposition2}\label{corps-de-rupture} Soit $f∈k[X]$ un polynôme non constant. @@ -1439,6 +1451,9 @@ diagonalisable ; \item $\#\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$ ; \item $♯ π₀(A_Ω)=[A:k]$. \end{enumerate} +De plus, on peut remplacer $Ω$ dans les critères (iii)—(v) +par une sous-extension $K$ de $Ω$ telle que pour tout $k$-morphisme $u:A → Ω$ on ait +$u(A) ⊆ K$. \end{proposition2} Remarquons que dans (i), on ne suppose pas l'extension $K\bo k$ algébrique. @@ -1464,13 +1479,13 @@ et du fait que si $K→Ω$ est un morphisme de corps et $B$ une $K$-algèbre diagonalisable, la $Ω$-algèbre $B⊗_K Ω$ est également diagonalisable, comme il résulte de l'existence d'un l'isomorphisme $K^r ⊗_K Ω ⥲ Ω^r$. %En effet, si $\# \Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)=[B:K]$, $\# \Hom_{Ω\traitdunion\Alg}(B_Ω,Ω)=\#\Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)$ -%est égal à $[B:K]=[B_Ω:Ω]$ (\ref{cb-trace}). +%est égal à $[B:K]=[B_Ω:Ω]$ (\ref{cb-trace}). %On utilise alors \ref{critere-numerique-diagonalisable} (ii). (iii)⇒(i) : évident. -(iii) ⇔ (iv) et (iii) ⇔ (v) : résultent de \ref{critere-numerique-diagonalisable}. +(iii) ⇔ (iv) : résulte de \ref{critere-numerique-diagonalisable} (ii). +(iii) ⇔ (v) : résulte de \ref{critere diagonalisabilite} (iii). \end{démo} - \subsection{Algèbres monogènes ; polynômes et extensions algébriques séparables} %[Vérifier si des conditions $f$ non nul/constant n'ont pas été @@ -1506,8 +1521,7 @@ on obtient une décomposition : \[ k_f ⥲ ∏_{i=1}^r k_{P_i^{n_i}}, \] -qui est un cas particulier explicite de \ref{structure-algebres-finies}. -On en tire sans difficulté le lemme suivant. +qui est un cas particulier explicite de \ref{k-algebres-finies} (iii). \begin{lemme2}\label{structure k-f} Soit $f∈k[X]$ un polynôme unitaire. La $k$-algèbre $k_f$ est : @@ -1635,17 +1649,25 @@ si $p=0$.) \subsection{Algèbres géométriquement réduites} \begin{proposition2} -Conditions équivalentes \XXX : +Soit $A$ une $k$-algèbre et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$. +Les conditions suivantes sont équivalentes : \begin{enumerate} -\item pour toute extension finie $k'$ de $k$, l'anneau $A_{k'}$ est -\emph{réduit} ; -\item $A_Ω$ est réduite ; -\item $A_K$ est réduite où $K⊆ Ω$ est telle que $u(A) ⊆K$ pour tout $u:A → -Ω$. +\item pour toute extension finie $k'$ de $k$, l'anneau $A_{k'}$ est réduit ; +\item l'anneau $A_Ω$ est réduit ; +%\item $A_K$ est réduite où $K⊆ Ω$ est telle que $u(A) ⊆K$ pour tout $u:A → Ω$. \end{enumerate} \end{proposition2} \begin{démo} -\XXX +(ii) ⇒ (i). Soit $k ′ \bo k$ une extension finie et soit $σ: k ′ ↪ Ω$ un +$k$-plongement. Le morphisme $A_{k ′} → A_Ω$ déduit de $σ$ est une +injection (cf. \ref{changement de base k-algèbre}). On utilise alors +le fait qu'un sous-anneau d'un anneau réduit est réduit. +(i) ⇒ (ii). Soit $x ∈ A_Ω$. Décomposant $x$ en somme de tenseurs +purs, $x=∑_1^n a_i ⊗ λ_i$, on constate que cet élément +appartient à l'image de $A_{k ′}$ dans $A_Ω$, où +$k ′=k(λ₁,…,λ_n)$ est une sous-extension de $Ω$, +finie sur $k$ (\ref{multiplicativité degré}). Si $x$ est nilpotent dans $A_Ω$, +il l'est dans $A_{k ′}$. Ceci suffit pour conclure. % cf. Grothendieck projet pour Bourbaki, p. 18. \end{démo} @@ -1694,7 +1716,7 @@ sur $k$ est géométriquement réduite. \begin{définition2} Soient $k$ un \emph{anneau}, $A$ une $k$-algèbre et $M$ un $A$-module. -On appelle \emph{$k$-dérivation} de $A$ dans $M$ toute application +On appelle \emph{$k$-dérivation}\index{dérivation} de $A$ dans $M$ toute application \emph{$k$-linéaire} $d:A→M$ satisfaisant la règle de Leibniz : $$ d(ab)=ad(b)+bd(a), @@ -1707,7 +1729,7 @@ La $k$-linéarité entraîne que $d(λ)=0$ pour tout $λ∈k$. \begin{définition2} Soit $k$ un \emph{anneau}. Une $k$-algèbre $A$ est dite -\emph{formellement nette} si pour tout +\emph{formellement nette}\index{formellement nette, algèbre} si pour tout $A$-module $M$, l'ensemble $\Der_k(A,M)=0$. \end{définition2} @@ -1724,26 +1746,30 @@ le morphisme composé $d∘φ$ est une $k$-dérivation de $A$ dans $M_{[A]}$. Si $φ$ est surjectif, l'égalité $d ∘ φ=0$ entraîne l'égalité $d=0$. En d'autres termes, nous avons démontré le lemme suivant. -\begin{lemme2}\label{injectivité Dér si surjectivité morphismes} +\begin{lemme2} +\label{injectivité Dér si surjectivité morphismes} Soient $A → B$ un morphisme surjectif de $k$-algèbres et $M$ un $B$-module. Le morphisme $\Der_k(B,M)→\Der_k(A,M_{[A]})$ est \emph{injectif}. \end{lemme2} -\begin{corollaire2}\label{quotient formellement net=formellement net} +\begin{corollaire2} +\label{quotient formellement net=formellement net} Si $A$ est une $k$-algèbre formellement nette, il en est de même de ses quotients. \end{corollaire2} En particulier, tout morphisme surjectif $k ↠ A$ est formellement net. -\begin{exemple2}[Algèbre des nombres « duaux »]\label{nombres duaux pas nets} -Soit $k$ un anneau. La $k$-algèbre $k[ε]:=k[X]/(X²)$ n'est \emph{pas} -formellement nette : l'application $k[ε]→k$, $a+bε\mapsto b$ +\begin{exemple2}%[Algèbre des nombres « duaux »] +\label{nombres duaux pas nets} +Soit $k$ un anneau. La $k$-algèbre $k[ε]:=k[X]/(X²)$ des « nombres duaux » +n'est \emph{pas} formellement nette : l'application $k[ε]→k$, $a+bε\mapsto b$ est une $k$-dérivation non triviale. \end{exemple2} -\begin{lemme2}[Extension des scalaires]\label{cb-nets} +\begin{lemme2}%[Extension des scalaires] +\label{cb-nets} Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre formellement nette. Pour toute $k$-algèbre $k'$, l'algèbre $A_{k'}=A ⊗_k k ′$ est formellement nette sur $k'$. @@ -1765,7 +1791,8 @@ La démonstration ci-dessus est valable pour $k$ un anneau quelconque, si $A_{k'}=A⊗_k k'$ est pris au sens de \refext{Tens}{}. -\begin{lemme2}[Transitivité]\label{composes-nets} +\begin{lemme2}%[Transitivité] +\label{composes-nets} Soient $k$ un \emph{anneau} et $k → A$, $A → B$ deux morphismes formellement nets. Le morphisme composé $k → B$ est formellement net. \end{lemme2} @@ -1777,7 +1804,8 @@ est nul par hypothèse. Ainsi $d(A)=\{0\}$ : la dérivation est $A$-linéaire. Par hypothèse, $\Der_A(B,M)=\{0\}$ donc $d=0$. \end{démo} -\begin{lemme2}[Passage à la limite]\label{colim-nettes} +\begin{lemme2}%[Passage à la limite] +\label{colim-nettes} Soient $k$ un \emph{anneau} et $A$ une $k$-algèbre. Supposons que $A$ soit la réunion de sous-$k$-algèbres $A_i$ formellement nettes. Alors, $A$ est formellement net sur $k$. @@ -1823,29 +1851,29 @@ les idéaux premiers $A$ sont tous maximaux, cf. \ref{Spec=Specmax-cas-part}.) \begin{lemme2} -Soient $k$ un corps algébriquement clos, $A$ une $k$-algèbre finie et $\MM$ un -idéal maximal. Le morphisme canonique $k→A/\MM$ est un isomorphisme et si l'on -note $s_\MM:A→k1_A⊂A$ l'unique application telle que pour tout $a∈A$, on -ait $a-s_\MM(a)∈\MM$, l'application $d_\MM:A→\MM/\MM²$, $a\mapsto a-s_\MM(a) -\mod \MM²$ est une $k$-dérivation et est surjective. +Soient $k$ un corps algébriquement clos, $A$ une $k$-algèbre finie et $𝔪$ un +idéal maximal. Le morphisme canonique $k→A/𝔪$ est un isomorphisme et si l'on +note $s_𝔪:A→k1_A⊂A$ l'unique application telle que pour tout $a∈A$, on +ait $a-s_𝔪(a)∈𝔪$, l'application $d_𝔪:A→𝔪/𝔪²$, $a\mapsto a-s_𝔪(a) +\mod 𝔪²$ est une $k$-dérivation et est surjective. \end{lemme2} \begin{démo} -La $k$-linéarité de $d_\MM$ est manifeste, de même que -la surjectivité (car $s_\MM(m)=0$ pour $m∈\MM$). Calculons $d_\MM(aa')$ +La $k$-linéarité de $d_𝔪$ est manifeste, de même que +la surjectivité (car $s_𝔪(m)=0$ pour $m∈𝔪$). Calculons $d_𝔪(aa')$ pour $a$ et $a'$ dans $A$. Puisque $$ -\big(a-s_\MM(a)\big)\big(a'-s_\MM(a')\big)=aa'-\big(as_\MM(a')+a's_\MM(a)\big)+s_\MM(a)s_\MM(a') +\big(a-s_𝔪(a)\big)\big(a'-s_𝔪(a')\big)=aa'-\big(as_𝔪(a')+a's_𝔪(a)\big)+s_𝔪(a)s_𝔪(a') $$ -appartient à $\MM²$, on a -$d_\MM\Big(aa'-\big(as_\MM(a')+a's_\MM(a)\big)+s_\MM(a)s_\MM(a')\Big)=0$. -Utilisant le fait que $d_\MM(k)=0$ et , +appartient à $𝔪²$, on a +$d_𝔪\Big(aa'-\big(as_𝔪(a')+a's_𝔪(a)\big)+s_𝔪(a)s_𝔪(a')\Big)=0$. +Utilisant le fait que $d_𝔪(k)=0$ et , on en tire $$ -d_\MM(aa')=d_\MM\big(as_\MM(a')\big)+d_\MM\big(a's_\MM(a)\big)=s_\MM(a')d_\MM(a)+s_\MM(a)d_\MM(a'). +d_𝔪(aa')=d_𝔪\big(as_𝔪(a')\big)+d_𝔪\big(a's_𝔪(a)\big)=s_𝔪(a')d_𝔪(a)+s_𝔪(a)d_𝔪(a'). $$ -Ceci est équivalent à la formule de Leibniz car si $x∈\MM/\MM²$, -$ax=s_\MM(a)x$. +Ceci est équivalent à la formule de Leibniz car si $x∈𝔪/𝔪²$, +$ax=s_𝔪(a)x$. \end{démo} \begin{lemme2} @@ -1854,22 +1882,16 @@ on ait $𝔭²=𝔭$. Alors, $A$ est réduit. \end{lemme2} \begin{démo} -D'après \refext{Spec}{caracterisation-nilpotents}, $\Nilp(A)=⋂_{𝔭∈\Spec(A)} 𝔭$. D'autre part, -puisque $A$ est nœthérien, il existe un entier $r$ tel que $\Nilp(A)^r=\{0\}$ -(cf. \refext{Spec}{Nil+noeth-implique-nilp}). -Il en résulte que $∏_𝔭 𝔭^r=\{0\}$ car pour toute famille finie $I_{e∈E}$ d'idéaux -d'un anneau, on a l'inclusion $∏_{e∈E}I_e^r⊆(⋂_{e∈E}I_e)^r$. (Voir -aussi \ref{structure-algebres-finies}, démonstration.) -Compte tenu des égalités $𝔭²=𝔭$, on a donc $∏_𝔭 𝔭=0$. -Soit $x$ un élément non nul de $A$. Il existe un idéal premier -— ou maximal, cela revient ici au même — $𝔭'∈\Spec(A)$ contenant -l'annulateur $\Ann(x)=\{y∈A:yx=0\}$. -Si l'on suppose de plus que $x$ appartient à $\Nilp(A)=⋂_𝔭 𝔭$, -il appartient en particulier à $𝔭'$. Comme d'autre part l'idéal produit $∏_𝔭 𝔭$ est -nul, on a l'inclusion $∏_{𝔭≠𝔭'}𝔭⊆\Ann(x)$ et, finalement, l'inclusion $∏_{𝔭≠𝔭'}𝔭⊆𝔭'$. -C'est impossible car les idéaux premiers $𝔭$ étant maximaux, il existe pour tout $𝔭≠𝔭'$ -un élément $a_{𝔭}∈𝔭-𝔭'$, de sorte que $∏_{𝔭≠𝔭'}a_{𝔭}∈\big(∏_{𝔭≠𝔭'}𝔭\big)-𝔭'$. -Ainsi, $\Nilp(A)=⋂_𝔭 𝔭$ est réduit à l'ensemble $\{0\}$. CQFD. +Soit $B$ un quotient de $A$. Tout idéal premier $𝔮$ de $B$ +satisfait l'égalité $𝔮²=𝔮$ : cela résulte du fait que l'idéal +premier $𝔮$ se relève dans $A$ (\refext{Spec}{ideaux-quotients}). +D'après \ref{k-algebres-finies} (iii), l'algèbre $A$ est isomorphe +à un produit d'anneaux locaux, qui en sont des quotients. +Un produit d'anneaux réduit étant réduit, on peut donc +supposer $A$ \emph{local}. Or, d'après \emph{loc. cit.} +l'idéal maximal d'une $k$-algèbre finie locale est nilpotent. +S'il est de plus idempotent, comme on le suppose ici, +il est donc nul ; une telle algèbre est donc un corps, réduit. \end{démo} %Regarder démonstration du théorème de l'élément primitif dans Raynaud, Anneaux locaux @@ -1912,20 +1934,18 @@ une clôture algébrique quelconque de $k$. On le note $[A:k]_s$. Le fait que l'entier $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$ soit indépendant du choix de la clôture algébrique $Ω$ est un corollaire au théorème -de Steinitz. - -D'après le théorème ci-dessus, une $k$-algèbre finie $A$ est -donc étale \ssi $[A:k]=[A:k]_s$ (critère (vi)). +de Steinitz. D'après le théorème ci-dessus, une $k$-algèbre finie $A$ +est étale \ssi $[A:k]=[A:k]_s$ (critère (vi)). \begin{remarque2}[terminologique] Il résulte du théorème précédent qu'une extension $k'\bo k$ qui est étale est séparable au sens de la définition \ref{element-extension-separable}. La réciproque est fausse car une extension algébrique séparable n'est pas -nécessairement finie. -D'autre part, nous étendrons dans un chapitre ultérieur la notion -d'extension séparable au cas d'extensions non algébriques. -Ceci explique en partie pourquoi, contrairement à l'usage -le plus courant, nous préférons parler d'extension +nécessairement finie. Ceci, joint au fait que +nous étendrons dans un chapitre ultérieur la notion +d'extension séparable au cas d'extensions non algébriques, +explique en partie pourquoi, contrairement à l'usage +le plus courant, nous préférons parler d'extension étale plutôt que d'extension finie séparable. \end{remarque2} |