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@@ -1127,10 +1127,10 @@ Finalement $α∈K$ et $K'=K$.
\end{démo}
\begin{remarque2}\label{caracterisation-cloture-algebrique}
-Il résulte de la démonstration qu'une clôture algébrique $Ω$ d'un corps $k$
+Il résulte de la démonstration qu'une clôture algébrique $Ω$ d'un corps $k$
est un corps de décomposition de l'ensemble des polynômes non constants
-de $k$. En effet, $Ω$ contient un tel corps de décomposition $D$
-et puisque ce dernier est algébriquement clos avec $Ω/D$ algébrique, on a bien $Ω=D$.
+de $k$. En effet, $Ω$ contient un tel corps de décomposition $D$
+et puisque ce dernier est algébriquement clos avec $Ω/D$ algébrique, on a bien $Ω=D$.
\end{remarque2}
\begin{proposition2}
@@ -1145,8 +1145,8 @@ La proposition suivante nous sera très utile dans le chapitre
[Gal].
\begin{proposition2}\label{plongement-dans-cloture-algebrique}
-Soient $Ω$ une clôture algébrique de $k$ et $k'\bo k$ une extension
-algébrique. Il existe un $k$-plongement $k'→Ω$.
+Soient $Ω$ une clôture algébrique de $k$ et $k'\bo k$ une extension
+algébrique. Il existe un $k$-plongement $k'→Ω$.
\end{proposition2}
L'expression « $k$-plongement », synonyme de $k$-morphisme,
@@ -1154,11 +1154,11 @@ permet d'insister sur le fait qu'un tel morphisme
est nécessairement injectif.
\begin{démo}
-Soit $Ω'$ une extension composée de $k'\bo k$ et $Ω\bo k$. L'extension $Ω'/Ω$
+Soit $Ω'$ une extension composée de $k'\bo k$ et $Ω\bo k$. L'extension $Ω'/Ω$
est algébrique (cf. par exemple \ref{cb-entier} ou
-\ref{composee algebrique}), de sorte que l'injection $Ω→Ω'$
+\ref{composee algebrique}), de sorte que l'injection $Ω→Ω'$
est un isomorphisme, dont nous noterons $τ$ l'inverse. Le morphisme
-composé $k'→Ω'\dessusdessous{τ}{→} Ω$ répond à la question.
+composé $k'→Ω'\dessusdessous{τ}{→} Ω$ répond à la question.
\end{démo}
\begin{proposition2}
@@ -1456,18 +1456,18 @@ de la propriété universelle du produit tensoriel d'algèbres, cf.
\end{démo}
\begin{proposition2}\label{sorites-pot-diagonalisable}
-Soient $A$ une $k$-algèbre et $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
+Soient $A$ une $k$-algèbre et $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item il existe une extension $K$ de $k$ telle que $A_K$ soit
diagonalisable ;
\item la $k$-algèbre $A$ est potentiellement diagonalisable ;
-\item la $Ω$-algèbre $A_Ω$ est diagonalisable ;
-\item $\#\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$ ;
-\item $\# π₀(A_Ω)=[A:k]$.
+\item la $Ω$-algèbre $A_Ω$ est diagonalisable ;
+\item $\#\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$ ;
+\item $\# π₀(A_Ω)=[A:k]$.
\end{enumerate}
-De plus, on peut remplacer $Ω$ dans les critères (iii)—(v)
-par une sous-extension $K$ de $Ω$ telle que pour tout $k$-morphisme $u:A → Ω$ on ait
+De plus, on peut remplacer $Ω$ dans les critères (iii)—(v)
+par une sous-extension $K$ de $Ω$ telle que pour tout $k$-morphisme $u:A → Ω$ on ait
$u(A) ⊆ K$.
\end{proposition2}
@@ -1489,12 +1489,12 @@ de $K$ car l'ensemble des $φ$ est fini. Par construction, l'inclusion
Ainsi, $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k_A)=[A:k]=[A_{k_A}:k_A]$ et
$A$ est diagonalisable sur $k_A$.
(ii)⇒(iii).
-Cela résulte du fait que toute extension finie de $k$ s'envoie dans $Ω$
-et du fait que si $K→Ω$ est un morphisme de corps et $B$ une $K$-algèbre
-diagonalisable, la $Ω$-algèbre $B⊗_K Ω$ est également diagonalisable,
-comme il résulte de l'existence d'un l'isomorphisme $K^r ⊗_K Ω ⥲ Ω^r$.
-%En effet, si $\# \Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)=[B:K]$, $\# \Hom_{Ω\traitdunion\Alg}(B_Ω,Ω)=\#\Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)$
-%est égal à $[B:K]=[B_Ω:Ω]$ (\ref{cb-trace}).
+Cela résulte du fait que toute extension finie de $k$ s'envoie dans $Ω$
+et du fait que si $K→Ω$ est un morphisme de corps et $B$ une $K$-algèbre
+diagonalisable, la $Ω$-algèbre $B⊗_K Ω$ est également diagonalisable,
+comme il résulte de l'existence d'un l'isomorphisme $K^r ⊗_K Ω ⥲ Ω^r$.
+%En effet, si $\# \Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)=[B:K]$, $\# \Hom_{Ω\traitdunion\Alg}(B_Ω,Ω)=\#\Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)$
+%est égal à $[B:K]=[B_Ω:Ω]$ (\ref{cb-trace}).
%On utilise alors \ref{critere-numerique-diagonalisable} (ii).
(iii)⇒(i) : évident.
(iii) ⇔ (iv) : résulte de \ref{critere-numerique-diagonalisable} (ii).
@@ -1598,8 +1598,8 @@ que $k_f$ est réduit. Or, si $K\bo k$ diagonalise $k_f$,
le morphisme canonique $k_f→(k_f)_K$ étant injectif,
l'algèbre $k_f$ est réduite car $(k_f)_K$, étant diagonalisable,
l'est. (ii)⇒(iii) Supposons que $f$ ait une racine multiple dans une
-clôture algébrique $Ω$ de $k$ et considérons $k'$ le corps de
-décomposition de $f$ dans $Ω$. Le polynôme $f$ a un facteur
+clôture algébrique $Ω$ de $k$ et considérons $k'$ le corps de
+décomposition de $f$ dans $Ω$. Le polynôme $f$ a un facteur
carré dans $k'$, ce qui est en contradiction avec l'hypothèse,
d'après le lemme précédent et \ref{structure k-f} (ii).
(iii)⇒(i). Si $f$ est scindé à racines simples sur un corps $k'$,
@@ -1637,12 +1637,12 @@ Soit $f∈k[X]$. Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{démo}
Le cas où $k$ est algébriquement clos est clair. Vérifions
que l'on peut se ramener à ce cas. Soient $k$ comme dans l'énoncé
-et $Ω$ une clôture algébrique de $k$. D'après \ref{pot-diag-reduit} (iii),
-le polynôme $f$ est séparable si et seulement si son image dans $Ω[X]$
+et $Ω$ une clôture algébrique de $k$. D'après \ref{pot-diag-reduit} (iii),
+le polynôme $f$ est séparable si et seulement si son image dans $Ω[X]$
l'est. D'autre part, la condition (ii) est également invariante
par extension des scalaires. En effet, l'algorithme d'Euclide
montre que l'idéal engendré par $f$ et $f'$ dans
-$Ω[X]$ est engendré par un polynôme à coefficients dans $k$, qui
+$Ω[X]$ est engendré par un polynôme à coefficients dans $k$, qui
n'est autre que le pgcd, calculé dans $k[X]$. (Ceci
est un fait général valable pour toute $k$-algèbre et toute
paire de polynômes.)
@@ -1664,24 +1664,24 @@ si $p=0$.)
\subsection{Algèbres géométriquement réduites}
\begin{proposition2}
-Soit $A$ une $k$-algèbre et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
+Soit $A$ une $k$-algèbre et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item pour toute extension finie $k'$ de $k$, l'anneau $A_{k'}$ est réduit ;
-\item l'anneau $A_Ω$ est réduit ;
-%\item $A_K$ est réduite où $K⊆ Ω$ est telle que $u(A) ⊆K$ pour tout $u:A → Ω$.
+\item l'anneau $A_Ω$ est réduit ;
+%\item $A_K$ est réduite où $K⊆ Ω$ est telle que $u(A) ⊆K$ pour tout $u:A → Ω$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
\begin{démo}
-(ii) ⇒ (i). Soit $k ′ \bo k$ une extension finie et soit $σ: k ′ ↪ Ω$ un
-$k$-plongement. Le morphisme $A_{k ′} → A_Ω$ déduit de $σ$ est une
+(ii) ⇒ (i). Soit $k ′ \bo k$ une extension finie et soit $σ: k ′ ↪ Ω$ un
+$k$-plongement. Le morphisme $A_{k ′} → A_Ω$ déduit de $σ$ est une
injection (cf. \ref{changement de base k-algèbre}). On utilise alors
le fait qu'un sous-anneau d'un anneau réduit est réduit.
-(i) ⇒ (ii). Soit $x ∈ A_Ω$. Décomposant $x$ en somme de tenseurs
+(i) ⇒ (ii). Soit $x ∈ A_Ω$. Décomposant $x$ en somme de tenseurs
purs, $x=∑_1^n a_i ⊗ λ_i$, on constate que cet élément
-appartient à l'image de $A_{k ′}$ dans $A_Ω$, où
-$k ′=k(λ₁,…,λ_n)$ est une sous-extension de $Ω$,
-finie sur $k$ (\ref{multiplicativité degré}). Si $x$ est nilpotent dans $A_Ω$,
+appartient à l'image de $A_{k ′}$ dans $A_Ω$, où
+$k ′=k(λ₁,…,λ_n)$ est une sous-extension de $Ω$,
+finie sur $k$ (\ref{multiplicativité degré}). Si $x$ est nilpotent dans $A_Ω$,
il l'est dans $A_{k ′}$. Ceci suffit pour conclure.
% cf. Grothendieck projet pour Bourbaki, p. 18.
\end{démo}
@@ -1844,11 +1844,11 @@ une unité de $k_f$ (cf. \ref{critère différentiel de séparabilité polynôm
de sorte que l'égalité $f'(x)d(x)=0$ entraîne $d(x)=0$.
Ainsi, pour tout $g∈k[X]$, $d(g(x))=g'(x)d(x)=0$ de sorte que $d=0$. CQFD.
Réciproquement, supposons $k_f$ formellement net sur $k$ ; il
-en est donc de même de $Ω_f$ où $Ω$ est une clôture algébrique
-de $k$. Supposons par l'absurde que $f$ ne soit pas à racines simples dans $Ω$,
-de sorte que $Ω_f$ se surjecte (non canoniquement) sur la $Ω$-algèbre $Ω[ε]=Ω[X]/(X²)$.
-Or, d'après \ref{quotient formellement net=formellement net}, $Ω[ε]$ serait
-alors formellement nette sur $Ω$. Contradiction (cf. \ref{nombres duaux pas nets}).
+en est donc de même de $Ω_f$ où $Ω$ est une clôture algébrique
+de $k$. Supposons par l'absurde que $f$ ne soit pas à racines simples dans $Ω$,
+de sorte que $Ω_f$ se surjecte (non canoniquement) sur la $Ω$-algèbre $Ω[ε]=Ω[X]/(X²)$.
+Or, d'après \ref{quotient formellement net=formellement net}, $Ω[ε]$ serait
+alors formellement nette sur $Ω$. Contradiction (cf. \ref{nombres duaux pas nets}).
\end{démo}
\begin{corollaire2}\label{mono geom red ssi f-nette}
@@ -1926,7 +1926,7 @@ Les conditions suivantes sont équivalentes :
\item tout élément de $A$ est séparable sur $k$ ;
\item la trace $\Tr_{A\bo k}:A→k$ induit un isomorphisme
$A ⥲ A^{\vee}$ ;
-\item si $Ω$ est une clôture algébrique de $k$, $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$.
+\item si $Ω$ est une clôture algébrique de $k$, $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$.
\end{enumerate}
\end{théorème2}
@@ -1943,12 +1943,12 @@ On dit également que le morphisme $k → A$ est fini étale.
\begin{définition2}\label{degre separable}
On appelle \emph{degré séparable} \index{degré séparable} d'une $k$-algèbre
-finie $A$ l'entier $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$, où $Ω$ est
+finie $A$ l'entier $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$, où $Ω$ est
une clôture algébrique quelconque de $k$. On le note $[A:k]_s$.
\end{définition2}
-Le fait que l'entier $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$ soit indépendant
-du choix de la clôture algébrique $Ω$ est un corollaire au théorème
+Le fait que l'entier $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$ soit indépendant
+du choix de la clôture algébrique $Ω$ est un corollaire au théorème
de Steinitz. D'après le théorème ci-dessus, une $k$-algèbre finie $A$
est étale si et seulement si $[A:k]=[A:k]_s$ (critère (vi)).
@@ -1975,8 +1975,8 @@ On conclut par \ref{colim-nettes}. (iii)⇒(ii) :
cf. \ref{cb-nets} (réduction au cas d'un corps algébriquement clos) et \ref{net-implique-reduit}.
Démontrons enfin l'équivalence de (v) avec (i)-(iv). La condition (v) est invariante par extension
des scalaires : l'application $k$-linéaire $A→A^{\vee}$ déduite
-de la trace $\Tr_{A\bo k}$ induit, par extension des scalaires de $k$ à $Ω$,
-l'application $Ω$-linéaire $A_Ω→A_Ω^{\vee}$ déduit de la trace $\Tr_{A_Ω/Ω}$ (cf.
+de la trace $\Tr_{A\bo k}$ induit, par extension des scalaires de $k$ à $Ω$,
+l'application $Ω$-linéaire $A_Ω→A_Ω^{\vee}$ déduit de la trace $\Tr_{A_Ω/Ω}$ (cf.
\ref{cb-trace}) ; cette correspondance préserve les isomorphismes
de sorte que l'on peut supposer $k$ algébriquement clos. Faisons dorénavant
cette hypothèse.
@@ -2024,7 +2024,7 @@ algèbre étale, il résulte de \ref{composes-nets} et du théorème précédent
Stabilité par :
\begin{enumerate}
\item quotient : si une $B$ est un quotient
-d'une $k$-algèbre $A$, le morphisme induit $A_Ω → B_Ω$
+d'une $k$-algèbre $A$, le morphisme induit $A_Ω → B_Ω$
est également surjectif, comme il résulte immédiatement
de la définition \ref{définition restreinte produit tensoriel}.
La stabilité résulte de \ref{quotient diagonalisable}
@@ -2033,7 +2033,7 @@ et du critère (i) du théorème ci-dessus.
\item sous-objet : cf. \ref{sous algebre geometriquement reduite} et
critère (ii) ou bien \ref{sous-quotient-diag=diag} (ii) et critère (i).
\item produit tensoriel : si $A$ et $B$ sont deux $k$-algèbres,
-la $Ω$-algèbre $(A⊗_k B)⊗_k Ω$ est isomorphe à $A_Ω⊗_Ω B_Ω$.
+la $Ω$-algèbre $(A⊗_k B)⊗_k Ω$ est isomorphe à $A_Ω⊗_Ω B_Ω$.
(Ceci peut se voir par exemple sur les constantes de structure
de ces algèbres, relativement aux bases introduites
en \ref{constantes structure produit tensoriel} et
@@ -2172,28 +2172,28 @@ De façon équivalente, cela revient à supposer que tout polynôme
\emph{séparable} à coefficient dans $K$ est scindé.
\begin{proposition2}
-Soient $k$ un corps et $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
-L'ensemble $Ω₀$ des éléments de $Ω$ séparables sur $k$ est
+Soient $k$ un corps et $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
+L'ensemble $Ω₀$ des éléments de $Ω$ séparables sur $k$ est
un corps séparablement clos. De plus, c'est le seul
-sous-corps séparablement clos de $Ω$ contenant $k$.
+sous-corps séparablement clos de $Ω$ contenant $k$.
\end{proposition2}
\begin{démo}
D'après \ref{extension-algebrique-separable-maximale}, on sait que
-$Ω₀$ est un corps contenant $k$ et algébrique séparable sur $k$.
-Si $z∈Ω$ est séparable sur $Ω₀$, il est séparable sur une sous-$k$-extension
-\emph{étale} $k'$ de $Ω₀$, par exemple le corps
+$Ω₀$ est un corps contenant $k$ et algébrique séparable sur $k$.
+Si $z∈Ω$ est séparable sur $Ω₀$, il est séparable sur une sous-$k$-extension
+\emph{étale} $k'$ de $Ω₀$, par exemple le corps
engendré sur $k$ par les coefficients du polynôme
-$μ_{z,Ω₀}$. Les extensions $k'\bo k$ et $k'(z)\bo k'$
+$μ_{z,Ω₀}$. Les extensions $k'\bo k$ et $k'(z)\bo k'$
étant étales, il en est de même de l'extension
$k'(z)\bo k$ (\ref{etale stable par sous-quotient etc.}, transitivité).
-Ainsi, $z∈k'(z)$ est séparable sur $k$ donc $z∈Ω₀$.
+Ainsi, $z∈k'(z)$ est séparable sur $k$ donc $z∈Ω₀$.
Ceci achève la démonstration du premier point.
-Enfin, si $Ω₀'$ est un sous-corps séparablement clos
-de $Ω$ contenant $k$, il contient tous les éléments séparables
-sur $k$, donc $Ω₀$. L'extension $Ω₀'\bo Ω₀$ étant algébrique
+Enfin, si $Ω₀'$ est un sous-corps séparablement clos
+de $Ω$ contenant $k$, il contient tous les éléments séparables
+sur $k$, donc $Ω₀$. L'extension $Ω₀'\bo Ω₀$ étant algébrique
séparable (\ref{sous-extension-etale}),
-on a donc $Ω₀'=Ω₀$.
+on a donc $Ω₀'=Ω₀$.
\end{démo}
\begin{definition2}
@@ -2211,15 +2211,15 @@ séparables d'un corps $k$ sont $k$-isomorphes.
Existence. Elle résulte de la proposition précédente
et du théorème de Steinitz.
Unicité. Soient $K$ et $K'$ deux clôtures
-séparables d'un corps $k$. Si $Ω$ est une clôture
+séparables d'un corps $k$. Si $Ω$ est une clôture
algébrique de $k$, il existe des $k$-plongements
-$u$ et $v$ de $K$ et $K'$ dans $Ω$ car ces extensions
+$u$ et $v$ de $K$ et $K'$ dans $Ω$ car ces extensions
sont algébriques (lemme de prolongement
des plongements, \ref{plongement-dans-cloture-algebrique}).
-D'autre part, leurs images dans $Ω$ sont séparablement closes et contiennent $k$ :
+D'autre part, leurs images dans $Ω$ sont séparablement closes et contiennent $k$ :
elles coïncident donc avec l'unique clôture séparable
-$Ω₀$ de $k$ dans $Ω$. L'existence de $k$-isomorphismes
-$u:K ⥲ Ω₀$ et $v:K' ⥲ Ω₀$ permet de conclure.
+$Ω₀$ de $k$ dans $Ω$. L'existence de $k$-isomorphismes
+$u:K ⥲ Ω₀$ et $v:K' ⥲ Ω₀$ permet de conclure.
\end{démo}
\begin{remarque2}
@@ -2239,8 +2239,8 @@ et $k\sep$ une clôture séparable.
Cette notation, quoique commode, tend à faire
oublier qu'un \emph{choix} qui a été fait.
Pour cette raison, nous noterons aussi souvent
-$Ω$ l'un ou l'autre de tels sur-corps, en précisant
-à chaque fois l'hypothèse faite sur $Ω$.
+$Ω$ l'un ou l'autre de tels sur-corps, en précisant
+à chaque fois l'hypothèse faite sur $Ω$.
\end{convention2}
\subsection{Corps parfait}
@@ -2272,8 +2272,8 @@ sont parfaits.
(i)⇒(ii). On peut supposer $p>1$, c'est-à-dire $k$ de caractéristique non nulle
sans quoi il n'y a rien à démontrer. Supposons par l'absurde qu'il existe un élément $a∈k-k^p$.
Le polynôme $f=X^p-a$ est alors irréductible sur $k$ :
-si $Ω$ est une clôture algébrique de $k$ et $α$ une racine $p$-ième de $a$ dans $Ω$,
-on a $f=(X-α)^p$ dans $Ω[X]$. Ses diviseurs unitaires dans $k[X]$ sont donc de la forme
+si $Ω$ est une clôture algébrique de $k$ et $α$ une racine $p$-ième de $a$ dans $Ω$,
+on a $f=(X-α)^p$ dans $Ω[X]$. Ses diviseurs unitaires dans $k[X]$ sont donc de la forme
$(X-α)^i$ pour un entier $i$ convenable. Le coefficient sous-dominant,
c'est-à-dire le coefficient de $X^{i-1}$, d'un tel polynôme est égal à $-iα$,
qui n'appartient à $k$ que pour $i=0$ et $i=p$. Ce démontre que $f$ est
@@ -2298,7 +2298,7 @@ une extension algébrique. Les conditions suivantes sont équivalentes.
\begin{enumerate}
\item toute sous-extension séparable $k'\bo k$ de $K\bo k$ est triviale.
\item pour tout $x∈K$, il existe un entier $e≥1$ tel que $x^{p^e}∈k$.
-\item pour toute clôture algébrique $Ω$ de $k$, l'ensemble $\Hom_k(K,Ω)$
+\item pour toute clôture algébrique $Ω$ de $k$, l'ensemble $\Hom_k(K,Ω)$
est un singleton.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
@@ -2332,17 +2332,17 @@ $K[X]$ montre que $μ$ est une puissance $X-x$ appartenant à $k[X]$. En
conséquence, le polynôme $μ$ n'est à racines simples dans $K$ — condition qui est nécessaire
à sa séparabilité — que s'il est égal à $X-x$, c'est-à-dire si $x$ appartient
à $k$. CQFD.
-(ii) ⇒ (iii). On sait qu'il existe au moins un $k$-morphisme de $K$ dans $Ω$.
-Montrons qu'il est unique. Soit $x$ un élément de $K$ et soit $ι:K ↪ Ω$ un $k$-plongement.
+(ii) ⇒ (iii). On sait qu'il existe au moins un $k$-morphisme de $K$ dans $Ω$.
+Montrons qu'il est unique. Soit $x$ un élément de $K$ et soit $ι:K ↪ Ω$ un $k$-plongement.
L'image de $x$ par $ι$ est l'unique racine $p^e$-ième de l'élément $x^{p^e}$
-de $k$ dans $Ω$. L'unicité en résulte.
+de $k$ dans $Ω$. L'unicité en résulte.
(iii) ⇒ (i). Supposons par l'absurde qu'il existe une sous-extension étale $k ′\bo k$ de $K\bo k$
-et fixons une clôture algébrique $Ω$ de $k$. L'égalité entre le cardinal
-de $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k ′,Ω)$ et la dimension $[k ′ : k]$ montre
-que l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k ′,Ω)$ n'est pas réduit à un
+et fixons une clôture algébrique $Ω$ de $k$. L'égalité entre le cardinal
+de $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k ′,Ω)$ et la dimension $[k ′ : k]$ montre
+que l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k ′,Ω)$ n'est pas réduit à un
singleton. D'après le lemme de prolongement des plongements,
-l'application de restriction $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(K,Ω) → \Hom_{k\traitdunion\Alg}(k ′,Ω)$
-est surjective. En particulier $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(K,Ω)$ n'est pas un
+l'application de restriction $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(K,Ω) → \Hom_{k\traitdunion\Alg}(k ′,Ω)$
+est surjective. En particulier $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(K,Ω)$ n'est pas un
singleton. Contradiction.
\end{démo}
@@ -2375,9 +2375,9 @@ des sous-$k$-algèbres de $A$ est \emph{fini}.
\begin{démo}
Il résulte du lemme ci-dessous, appliqué à une clôture algébrique
-$Ω$ de $k$, que si $B$ et $B'$ sont deux sous-$k$-algèbres
-de $A$ dont les images respectives $B_Ω$ et $B'_Ω$ dans $A_Ω$ coïncident, alors $B=B'$.
-(Rappelons que les applications $B_Ω→A_Ω$ et $B'_Ω→A_Ω$ sont injectives, cf.
+$Ω$ de $k$, que si $B$ et $B'$ sont deux sous-$k$-algèbres
+de $A$ dont les images respectives $B_Ω$ et $B'_Ω$ dans $A_Ω$ coïncident, alors $B=B'$.
+(Rappelons que les applications $B_Ω→A_Ω$ et $B'_Ω→A_Ω$ sont injectives, cf.
\ref{changement de base k-algèbre}.)
On peut alors utiliser \ref{sous-quotient-diag=diag} (ii).
\end{démo}
@@ -2412,14 +2412,14 @@ En d'autres termes, $w'$ appartient à $W$. CQFD.
%\begin{facultatif}
\begin{remarque2}On peut obtenir une seconde
-démonstration de l'implication « $B_Ω=B'_Ω$ entraîne $B=B'$ »
+démonstration de l'implication « $B_Ω=B'_Ω$ entraîne $B=B'$ »
utilisée ci-dessus de la façon suivante.
Quitte à considérer la sous-$k$-algèbre de $A$ engendrée par $B$ et $B'$,
on peut supposer que l'on a une inclusion $B⊆B'$. (On suppose
-bien entendu également que l'on a l'égalité $B_Ω=B'_Ω$.) Il résulte
+bien entendu également que l'on a l'égalité $B_Ω=B'_Ω$.) Il résulte
immédiatement de la définition donnée en \ref{section définition restreinte
-produit tensoriel} que le $Ω$-espace vectoriel quotient $B'_Ω/B_Ω$
-est isomorphe au produit tensoriel $(B'/B)⊗_k Ω$ (voir aussi \refext{Tens}{suite exacte}).
+produit tensoriel} que le $Ω$-espace vectoriel quotient $B'_Ω/B_Ω$
+est isomorphe au produit tensoriel $(B'/B)⊗_k Ω$ (voir aussi \refext{Tens}{suite exacte}).
Il est donc nul si et seulement si $B'/B$ l'est, c'est-à-dire si $B=B'$.
\end{remarque2}
%\end{facultatif}
@@ -2517,8 +2517,8 @@ d'une grande souplesse et s'avère être un guide utile pour l'étude générale
des anneaux commutatifs. Depuis Alexandre Grothendieck, la propriété « $A\bo k$ est
étale » est vue comme un analogue algébrique de la propriété
topologique d'être un \emph{revêtement} :
-dans un cas une algèbre $A$ contenant $k$ devient, en tensorisant avec $Ω$, une somme directe
-de copies de $Ω$ ; dans l'autre, un espace topologique $X$ au-dessus de $Y$
+dans un cas une algèbre $A$ contenant $k$ devient, en tensorisant avec $Ω$, une somme directe
+de copies de $Ω$ ; dans l'autre, un espace topologique $X$ au-dessus de $Y$
devient, en se restreignant à un ouvert $V$ de $Y$ suffisamment petit,
une union disjointe de copies de $V$.
@@ -2664,7 +2664,7 @@ tout polynôme non constant de $k$ ait au moins une racine dans $K$. Montrer que
est algébriquement clos. (En d'autres termes, $K$ est une clôture algébrique de
$k$.)
% OPS $k$ parfait. Soit $f$ polynôme à coefficients dans $k$, $R$ ses racines
-% dans une clôture algébrique $Ω$ contenant $K$. Il existe $α$ tel que
+% dans une clôture algébrique $Ω$ contenant $K$. Il existe $α$ tel que
% $k(R)=k(α)$. Par hypothèse, $K$ contient un élément $β$ conjugué à $α$.
% Pour un tel $β$, on a $k(β)=k(α)=k(R)$, donc $k(R)⊂K$.
\end{exercice2}
@@ -2682,8 +2682,8 @@ nul.)
\end{exercice2}
\begin{exercice2}
-Soit $k$ un corps et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
-À quelle condition a-t-on l'égalité $\Aut_k(Ω)=\{1\}$ ?
+Soit $k$ un corps et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
+À quelle condition a-t-on l'égalité $\Aut_k(Ω)=\{1\}$ ?
% Essayer de deviner que les extensions doivent être radicielles.
\end{exercice2}