1 files changed, 2694 insertions, 0 deletions
diff --git a/chapitres/extensions-algebriques.tex b/chapitres/extensions-algebriques.tex
new file mode 100644
index 0000000..5199a91
--- /dev/null
+++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex
@@ -0,0 +1,2694 @@
+\ifx\danslelivre\undefined
+\documentclass[9pt]{smfart-moi}
+\usepackage{stmaryrd}
+\usepackage{graphics}
+\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
+\input{commun}
+\input{smf}
+\input{adresse}
+\input{gadgets}
+\input{francais}
+\input{numerotation}
+\input{formules}
+\input{encoredesmacros}
+\usepackage{srcltx}
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{matrix}
+\usetikzlibrary{calc}
+
+%\title{Algèbres finies sur un corps, extensions algébriques}
+
+\textwidth16cm
+\hoffset-1.5cm
+
+\externaldocument{spectre}
+\externaldocument{produit-tensoriel}
+\externaldocument{entiers}
+\externaldocument{corps-finis}
+\externaldocument{correspondance-galois}
+\externaldocument{categories}
+
+\begin{document}
+%\maketitle
+\begin{center}
+Algèbres finies sur un corps, extensions algébriques
+\end{center}
+\tableofcontents
+\else
+\chapter{Algèbres finies sur un corps, extensions algébriques}
+\fi
+
+Dans ce chapitre, sauf mention du contraire, $k$ désigne un
+\emph{corps} et les anneaux sont \emph{commutatifs} unitaires.
+
+\section{Algèbres finies sur un corps}
+
+\subsection{Généralités, conséquences du lemme chinois}\label{consequences lemme chinois}
+
+\begin{définition2}\label{définition algèbre finie sur corps}
+Soit $k$ un corps. Une $k$-algèbre de dimension finie
+en tant que $k$-espace vectoriel est dite \emph{finie} \index{algèbre finie} sur $k$.
+\end{définition2}
+On note également $[A:k]$ la dimension $\dim_k(A)$.
+
+Le théorème suivant est l'ingrédient clef qui mène à la structure
+des $k$-algèbres finies.
+
+\begin{théorème2}\label{Spec=Specmax-cas-part}
+Tout idéal premier d'une $k$-algèbre finie est maximal.
+\end{théorème2}
+
+En d'autres termes, si $𝔭$ est un idéal premier d'une $k$-algèbre $A$,
+l'anneau quotient $A/𝔭$, \emph{a priori} seulement intègre, est un \emph{corps}.
+
+Il est d'usage de noter $\Spec(A)$ (resp. $\Specmax(A)$)
+l'ensemble des idéaux premiers (resp. maximaux) de $A$ (\refext{Spec}{spectre}).
+Le théorème affirme donc que, pour une $k$-algèbre finie,
+l'inclusion \emph{a priori} $\Specmax(A)⊆\Spec(A)$ est une bijection.
+
+\begin{démo}
+Soit $𝔭$ un idéal premier d'une $k$-algèbre finie $A$.
+Le quotient $A/𝔭$ est un $k$-espace vectoriel de dimension
+finie, intègre par hypothèse. Il suffit de démontrer le corollaire suivant.
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}\label{fini integre=corps}
+Toute $k$-algèbre de dimension finie \emph{intègre} est un corps.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+Soient $A$ une telle $k$-algèbre et $a∈A-\{0\}$ ; on souhaite montrer que $a$ est inversible.
+Considérons l'application $k$-linéaire « multiplication par $a$ », $m_a:A→A$.
+Elle est injective car $A$ est intègre donc \emph{bijective} car $A$ est
+de dimension finie sur $k$. En particulier, il existe un $a'∈A$ tel que
+$m_a(a')=aa'=a ′ a =1$. CQFD.
+\end{démo}
+
+\subsubsection{}Considérons une $k$-algèbre finie $A$.
+Pour chaque $𝔭∈\Spec(A)=\Specmax(A)$ notons $κ(𝔭)$ le corps $A/𝔭$.
+Les idéaux $𝔭∈\Spec(A)$ étant maximaux donc premiers entre eux
+deux-à-deux, il résulte du lemme chinois, rappelé en
+(\refext{Spec}{lemme chinois}), que pour toute famille
+$(𝔭₁,\dots,𝔭_n)$ d'idéaux premiers distincts de $A$,
+le morphisme $A→∏_{i=1}^n κ(𝔭_i)$ est \emph{surjectif}.
+En conséquence, on a les inégalités $[A:k]≥∑_{i=1}^n [κ(𝔭_i):k]≥n$. La seconde inégalité provient du fait que
+chaque $κ(𝔭_i)$, étant un corps, est un $k$-espace vectoriel non nul.
+En conséquence, $\Spec(A)$ est \emph{fini}, de cardinal au plus
+$[A:k]$. Il résulte à nouveau du lemme chinois, appliqué cette fois à $\Spec(A)$ tout
+entier, que l'application canonique est une \emph{surjection}
+\begin{equation}
+A↠∏_{𝔭∈\Spec(A)} κ(𝔭) \tag{$\star$}
+\end{equation}
+de noyau l'idéal $⋂_{𝔭∈\Spec(A)}𝔭$. D'après \refext{Spec}{caracterisation-nilpotents}, 
+cet idéal est l'ensemble $\Nilp(A)$ des éléments nilpotents de $A$.
+(Seule l'inclusion $⋂𝔭⊆\Nilp(A)$ est non triviale.)
+La surjection ci-dessus est donc un isomorphisme \ssi
+$\Nilp(A)=\{0\}$ — on dit alors que $A$ est \emph{réduit} —
+ou encore \ssi $[A:k]=∑_{𝔭∈\Spec(A)} [κ(𝔭):k]$.
+
+D'autre part, on a un morphisme de projection
+\begin{equation}
+∏_{𝔭∈\Spec(A)} κ(𝔭)↠ ∏_{𝔭∈\Spec(A)\atop \text{t.q. } k⭇κ(𝔭)} k \tag{$\star\star$},
+\end{equation}
+donné par la restriction de l'ensemble des facteurs.
+Le second ensemble d'indexation du produit est l'ensemble
+des idéaux premiers $𝔭$ de $A$ tels que le morphisme composé
+$k→A↠A/𝔭=κ(𝔭)$ soit un isomorphisme. De tels idéaux premiers 
+sont dits \emph{rationnels} sur $k$. On vérifie
+sans peine (\refext{Spec}{points rationnels et ideaux maximaux})
+que l'application qui à un morphisme de $k$-algèbres $f:A→k$ 
+associe $\Ker(f)∈\Spec(A)$ induit une bijection entre l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k)$,
+aussi noté $A^{\japmath{田}}(k)$ dans ce livre, et le sous-ensemble de $\Spec(A)$
+des idéaux premiers rationnels.
+La projection ci-dessus est donc un isomorphisme 
+\ssi l'injection d'ensembles $A^{\japmath{田}}(k)→\Spec(A)$ est une bijection.
+
+Enfin, il résulte des définitions (voir aussi \emph{loc. cit.},
+démonstration) que l'application composée de $(\star)$ et
+$(\star\star)$, réécrite sous la forme 
+\[
+A↠k^{A^{\japmath{田}}(k)},
+\]
+coïncide avec l'application d'évaluation
+$a↦\big(f∈A^{\japmath{田}}(k)↦f(a)\big)$.
+D'après ce qui précède, c'est un isomorphisme \ssi $A$ est réduit et
+chaque idéal premier est rationnel.
+
+Pour référence ultérieure, consignons ces observations dans
+le théorème suivant. 
+
+\begin{théorème2}\label{k-algebres-finies}
+Soit $A$ une $k$-algèbre finie.
+\begin{enumerate}
+\item $\Spec(A)$ est fini et coïncide avec $\Specmax(A)$.
+\item $\# A^{\japmath{田}}(k)≤\#\Spec(A)≤[A:k]$, où $A^{\japmath{田}}(k)=\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k)$.
+\item L'épimorphisme « chinois » $A↠∏_𝔭 κ(𝔭)$ est un isomorphisme \ssi $A$ est
+réduit.
+\item Le morphisme d'évaluation $A → k^{A^{\japmath{田}}(k)}$ est surjectif.
+C'est un isomorphisme \ssi $\# A^{\japmath{田}}(k)=[A:k]$.
+\end{enumerate}
+\end{théorème2}
+
+En conséquence, une $k$-algèbre finie \emph{réduite} est
+isomorphe à un produit fini de corps.
+
+\begin{remarque2}
+La surjection canonique $A↠A_{\red}=A/\Nilp(A)$ induit
+un isomorphisme sur les spectres et les corps résiduels
+(cf. \refext{Spec}{red=homeo}). On vérifie sans peine que
+le diagramme
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+A& ∏_𝔭 κ(𝔭) \\ & A_{\red} \\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node[swap]{∼} (diag-1-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+déduit des épimorphismes chinois pour $A$ et $A_{\red}$
+et des isomorphismes susmentionnés est commutatif.
+\end{remarque2}
+
+
+\begin{exercice2}\label{algebres finies via idempotents}
+Soit $A$ une $k$-algèbre finie \emph{réduite}.
+\begin{enumerate}
+\item Montrer que l'application qui à un idempotent indécomposable 
+(\refext{Spec}{idempotent indécomposable}) $e$ de $A$
+associe l'idéal annulateur $𝔭_e=\Ann(e)$ induit une bijection 
+entre l'ensemble des idempotents indécomposables et $\Spec(A)$.
+(On rappelle que $\Ann(e)=\Ker(m_e:A→A)$.)
+\item Montrer que le morphisme canonique $κ(𝔭_e)=A/𝔭_e→Ae$,
+$a \mod{} 𝔭_e ↦ ae$, est un isomorphisme.
+\end{enumerate}
+\end{exercice2}
+
+%\begin{facultatif}
+\subsection{Structure des $k$-algèbres finies (facultatif)}
+
+\begin{théorème2}\label{structure-algebres-finies}
+Soit $k$ un corps. 
+\begin{enumerate}
+\item Toute $k$-algèbre finie est un produit fini de $k$-algèbres
+\emph{locales}, \cad ayant un unique idéal maximal. 
+\item L'idéal maximal d'une $k$-algèbre finie locale est nilpotent.
+\end{enumerate}
+\end{théorème2}
+
+Puisqu'un corps est un anneau local, ce résultat est une généralisation 
+partielle du théorème précédent.
+Remarquons que, plus généralement, le quotient d'un anneau par une puissance d'un idéal maximal
+est un anneau local.
+
+\begin{démo}
+(i) Soit $A$ une $k$-algèbre finie.
+D'après le théorème précédent, l'ensemble $\Spec(A)$ est fini et
+constitué d'idéaux \emph{maximaux}. Notons $𝔪₁,\dots,𝔪_n$ ses éléments.
+Puisqu'ils sont deux-à-deux étrangers (\refext{Spec}{ideaux etrangers}), le nilradical $\Nilp(A)=𝔪₁∩\dots∩𝔪_n$ de $A$
+(\refext{Spec}{caracterisation-nilpotents}) coïncide avec l'idéal produit $𝔪₁\cdots 𝔪_n$.
+L'anneau $A$ étant nœthérien, il existe un entier $N$ tel que 
+$\Nilp(A)^N=\{0\}$ (\refext{Spec}{Nilradical-est-nilp}). Comme $\Nilp(A)^N=(𝔪₁\cdots
+𝔪_n)^N=𝔪₁^N\cdots 𝔪_n^N$, on a donc $𝔪₁^N\cdots 𝔪_n^N=0$. 
+Il résulte de \refext{Spec}{puissance-etrangers=etrangers}
+que les $𝔪_i^N$ sont deux-à-deux étrangers et du lemme chinois 
+(\refext{Spec}{lemme chinois}) que le morphisme canonique
+$A→∏_i A/𝔪_i^N$ est un isomorphisme. D'autre part, pour tout $1≤i≤n$, l'anneau
+$A/𝔪_i^N$ est local.
+(ii) Si $A$ est une $k$-algèbre locale d'idéal maximal $𝔪$, on a $\Nilp(A)=𝔪$, qui est
+nilpotent d'après \refext{Spec}{Nilradical-est-nilp}.
+\end{démo}
+
+\begin{remarque2}
+Un anneau local $k$ tel que toute $k$-algèbre finie $A$ soit un produit d'anneaux
+locaux est un anneau dit \emph{hensélien}\index{anneau hensélien}. Le
+théorème précédent affirme donc qu'un corps est un
+anneau hensélien. Nous verrons d'autres exemples, comme l'anneau
+des séries formelles sur un corps, dans des chapitres ultérieurs.
+\end{remarque2}
+
+Bien entendu, le résultat ci-dessous n'est qu'un premier pas vers
+une éventuelle classification des algèbres finies sur un corps.
+
+\begin{proposition2}
+Soient $k$ un corps \emph{infini} et $n≥7$ un entier. Il existe une
+infinité de classes d'isomorphismes de $k$-algèbres de dimension $n$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Cf. Poonen \XXX
+\end{démo}
+
+\begin{exercice2}[\cite{Isomorphism@Poonen}]
+Montrer qu'il existe exactement deux classes d'isomorphisme de $𝐂$-algèbres de
+dimension trois et exactement quatre classes d'isomorphisme en
+dimension quatre.
+Indications. \XXX
+\end{exercice2}
+
+%\end{facultatif}
+
+\subsection{Algèbres diagonalisables}
+
+%On rappelle que dans ce chapitre, on note $k$ un corps.
+
+\begin{proposition2}\label{critere diagonalisabilite}
+Soit $A$ une $k$-algèbre finie. Les conditions suivantes sont
+équivalentes :
+\begin{enumerate}
+\item l'épimorphisme d'évaluation $A↠k^{A^\japmath{田}(k)}$ est un
+isomorphisme ;
+\item il existe un ensemble fini $X$ et un $k$-isomorphisme (d'algèbres) $A⥲k^X$ ;
+\item l'inégalité \emph{a priori} $\#A^\japmath{田}(k) ≤[A:k]$ est une égalité ;
+\item la famille d'applications linéaires $m_a=(x ↦ ax) ∈
+\End_{k\traitdunion\ev}(A)$, où $a$ parcourt l'anneau $A$, est
+\emph{codiagonalisable}.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+(i)⇒(ii) et (i)⇔(iii) sont évidents.
+(ii)⇒(iii). Il suffit de démontrer que pour chaque ensemble fini $X$,
+le cardinal de l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k^X,k)$
+est au moins égal à $[k^X:k]=\#X$.
+Ceci résulte de l'existence des projections
+$\mathrm{pr}_x:k^X→k$ (évaluation en $x$), chacune d'entre elles
+étant un morphisme de $k^X$ vers $k$.
+(ii) ⇒ (iv). La base canonique de $k^X$ est une base de vecteurs propres
+des endomorphismes de multiplication par les éléments de $k^X$.
+(iv) ⇒ (ii). Réciproquement, si $(e_x)_{x ∈ X}$ est une base de vecteurs
+propres des endomorphismes de multiplication par les éléments $a$ d'une
+$k$-algèbre $A$, le morphisme $A → k^X$, $a ↦ (λ_x(a))_x$,
+où $a e_x=λ_x(a) e_x$, est un isomorphisme.
+\end{démo}
+
+\begin{définition2}\label{diagonalisable}
+Une $k$-algèbre finie $A$ est dite \emph{diagonalisable} ou \emph{diagonale}
+si elle satisfait les conditions équivalentes de la proposition précédente.
+\end{définition2}
+
+Le choix d'un isomorphisme comme en (ii) est parfois appelé une
+\emph{diagonalisation} de $A$ sur $k$.
+
+\begin{lemme2}\label{ideaux-k-X}
+Soit $X$ un ensemble fini. L'application 
+$Y∈𝒫(X)\mapsto ℐ_Y:=\{f\colon X→k,\,f(Y)=\{0\}\,\}$
+est une \emph{bijection} entre l'ensemble des parties de $X$
+et l'ensemble des idéaux de l'algèbre $k^X$ des fonctions de $X$ dans $k$.
+De plus, pour tout $Y⊆X$ le morphisme de projection $k^X→k^Y$
+(restriction des fonctions) induit un isomorphisme
+$k^X/\mc{I}_Y ⥲ k^Y$. 
+\end{lemme2}
+
+Il résulte du second point que les idéaux premiers de $k^X$ correspondent aux singletons
+de $𝒫(X)$ et sont maximaux.
+
+\begin{démo}
+Soit $𝒥$ un idéal de $k^X$. Pour chaque $x ∈ X$, notons $𝒥(x)$
+l'\emph{image} de $𝒥$, c'est-à-dire l'ensemble $\{j(x):j∈\mc{J}\}⊆X$.
+Considérons maintenant l'ensemble l'annulation de $𝒥$, c'est-à-dire
+l'ensemble $Y_𝒥=\{x∈X,\, \mc{J}(x)=\{0\}\}$. Par construction
+on a l'inclusion $𝒥⊆ℐ_{Y}$. D'autre part, pour chaque $x∉Y$,
+il existe une fonction $f∈\mc{J}$ telle que $f(x)≠0$. Puisque $\mc{J}$ est un idéal, la fonction 
+de Dirac en $x$, qui satisfait l'égalité $δ_x=δ_x \frac{f}{f(x)}$, 
+appartient également à $\mc{J}$. Comme les Dirac à support hors de $Y$
+engendrent, comme $k$-espace vectoriel, l'idéal $\mc{I}_Y$, 
+on a l'inclusion opposée $\mc{I}_Y⊆\mc{J}$ et, finalement, l'égalité.
+Ceci démontre le premier point. Le second point est évident.
+\end{démo}
+
+Cette démonstration s'étend immédiatement au cas où $X$ est infini, 
+à condition de remplacer $k^X$ par $k^{(X)}$ (fonctions à support fini).
+
+\begin{corollaire2}\label{quotient diagonalisable}
+Le quotient d'une $k$-algèbre diagonalisable est diagonalisable.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}[Seconde démonstration du corollaire (esquisse), utilisant notamment \ref{structure-algebres-finies}]
+Soient $A=k^X$ une algèbre diagonale et $B$ un quotient de $A$,
+dont on souhaite montrer qu'il est diagonalisable.
+D'après \emph{loc. cit.}, on peut supposer que $B$ est une $k$-algèbre finie
+locale, donc connexe au sens de \refext{Spec}{définition anneau
+connexe}. Il résulte du lemme \refext{Spec}{produit=somme} que l'application
+$k^X→B$ se factorise en un morphisme composé $k^X↠k→B$, où la première flèche est la projection
+sur un facteur. Puisque par hypothèse le morphisme $k^X→B$ est surjectif,
+il en est de même de $k→B$, qui est donc un isomorphisme.
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}\label{nombre ideaux fini}
+Le nombre d'idéaux d'une $k$-algèbre diagonalisable est fini.
+\end{corollaire2}
+
+Ce nombre est même égal à $2^{\dim_k}$.
+
+Après avoir étudié les algèbres quotients des algèbres diagonalisables, nous allons
+maintenant étudier leurs sous-algèbres.
+
+\begin{lemme2}\label{sous-diag=diag}
+Une sous-$k$-algèbre d'une $k$-algèbre diagonalisable est diagonalisable.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Soient $A$ une $k$-algèbre diagonalisable et $B$ une sous-$k$-algèbre de $A$.
+Le carré suivant, où la flèche horizontale inférieure est déduite de l'application
+de restriction $A^\japmath{田}(k)=\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k)→B^\japmath{田}(k)=\Hom_{k\traitdunion\Alg}(B,k)$, est commutatif
+
+$$\xymatrix{
+B \ar@{^{(}->}[r] \ar@{>>}[d] & A \ar[d]^{\textrm{isom.}} \\
+k^{B^\japmath{田}(k)} \ar[r] & k^{A^\japmath{田}(k)} 
+}
+$$
+
+La flèche verticale de droite étant un isomorphisme, l'épimorphisme vertical de gauche est injectif ;
+c'est donc un isomorphisme : l'algèbre $B$ est diagonale.
+\end{démo}
+
+\subsubsection{}Il résulte de la démonstration que si $B↪A$ sont comme ci-dessus,
+l'application $π_{AB}:A^\japmath{田}(k)→B^\japmath{田}(k)$ est \emph{surjective}. D'autre part,
+l'image de $k^{B^\japmath{田}(k)}$ dans $k^{A^\japmath{田}(k)}$ n'est autre que l'ensemble
+des applications de $A^\japmath{田}(k)$ vers $k$ constantes sur les fibres de $π_{AB}$. Ces fibres
+forment une partition de $A^\japmath{田}(k)$. Réciproquement, toute partition de $A^\japmath{田}(k)$ définit une 
+sous-$k$-algèbre de $A$, à savoir l'algèbre des fonctions constantes sur les constituants de la partition.
+On a donc démontré le lemme suivant.
+
+\begin{lemme2}\label{sous-diag=nombre fini}
+Soit $A$ une $k$-algèbre diagonalisable.
+L'ensemble des sous-$k$-algèbres de $A$ est en bijection avec l'ensemble
+des partitions de $A^\japmath{田}(k)$. Cet ensemble est fini.
+\end{lemme2}
+
+\subsection{Produit tensoriel de deux $k$-algèbres}\label{section définition restreinte produit tensoriel}
+
+La notion de produit tensoriel d'algèbres et de modules joue un rôle central dans ce livre.
+Pour la commodité du lecteur nous en donnons ici une définition
+\emph{ad hoc} dans le cas particulier de deux algèbres sur un corps. 
+La définition générale, ainsi que les démonstrations
+détaillées de ses propriétés essentielles se trouvent également
+en appendice, \refext{Tens}{}.
+
+\begin{lemme2}\label{pdt tens indépendant des bases}
+Soient $E$ et $F$ deux $k$-\emph{espaces vectoriels} et $φ:E×F→G$
+une application bilinéaire. On note $x\dessusdessous{φ}{⊗} y$ pour $φ(x,y)$.
+Les conditions suivantes sont équivalentes :
+\begin{enumerate}
+\item Il existe des bases $(e_i)_{i∈I}$ et $(f_j)_{j∈J}$ 
+de $E$ et $F$ respectivement telles que la famille 
+$(e_i\dessusdessous{φ}{⊗} f_j)_{(i,j)∈I×J}$ soit une base de $G$.
+\item Pour tout choix de bases $(e_i)_{i∈I}$ et $(f_j)_{j∈J}$ 
+de $E$ et $F$ respectivement, la famille 
+$(e_i\dessusdessous{φ}{⊗} f_j)_{(i,j)∈I×J}$ est une base de $G$.
+\end{enumerate}
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+(i)⇒(ii). (Pour alléger les notations, nous omettons parfois 
+ci-dessous la description des ensembles d'indices, en notant $(e_i)$ ou $e$
+pour $(e_i)_{i∈I}$, etc.)
+Soient $e$ et $f$ comme en (i) 
+et considérons deux bases $(e'_{i})_{i∈I}$ et $(f'_j)_{j∈J}$ de
+$E$ et $F$. Soient $λ$ et $μ$ les matrices de passage,
+éventuellement infinies, de la base $e'$ à $e$ 
+et de la base $f'$ à $f$ respectivement. Pour tout $i∈I$ (resp. $j∈J$) 
+on a donc $e_{i}=∑_{i'∈I} λ_{i,i'}e'_{i'}$ (resp. $f_{j}=∑_{j'∈J} μ_{j,j'}f'_{j'}$).
+Par bilinéarité de $φ$, pour tout couple $(i,j)∈I×J$, on a l'égalité
+$$
+e_i\dessusdessous{φ}{⊗}f_j=
+∑_{(i',j')∈I×J} λ_{i,i'} μ_{j,j'}(e'_{i'}\dessusdessous{φ}{⊗}f'_{j'})
+=∑_{(i',j')} ν_{(i,j),(i',j')}(e'_{i'}\dessusdessous{φ}{⊗}f'_{j'}),
+$$
+où $ν$ est le \emph{produit de Kronecker} $λ⊗μ$ de $λ$ et $μ$,
+défini par $(λ⊗μ)_{(i,j),(i',j')}=λ_{i,i'}μ_{j,j'}$.
+Il nous suffit de montrer que si $λ$ et $μ$ sont inversibles,
+il en est de même de $λ⊗μ$. Ceci résulte de l'égalité
+$(λ₁⊗μ₁)(λ₂⊗μ₂)=(λ₁λ₂)⊗(μ₁μ₂)$, dont la vérification — pédestre —
+est laissée au lecteur. (ii)⇒(i). Résulte de l'existence de bases (corollaire du lemme de
+Zorn).
+\end{démo}
+
+Remarquons que dans la démonstration ci-dessus, on pourrait
+supposer que $e=e'$ ou bien $f=f'$, \cad $λ=\Id$ ou $μ=\Id$,
+de sorte qu'il suffit d'établir le cas particulier $(λ₁⊗\Id)(λ₂⊗\Id)=(λ₁λ₂⊗\Id)$
+de la formule précédente.
+
+
+\subsubsection{}\label{définition restreinte produit tensoriel}
+Deux $k$-espaces vectoriels $E$ et $F$ étant donnés, l'existence d'un $k$-espace vectoriel $G$ et d'une application
+bilinéaire $φ$ satisfaisant la condition (i) du lemme ci-dessus
+est claire : il suffit de considérer $G=k^{(I×J)}$, de base canonique
+notée $(g_{(i,j)})$, et poser : $φ(∑λ_i e_i,∑μ_j f_j)=∑ λ_iμ_j g_{(i,j)}$.
+D'autre part, il résulte de ce même lemme que si $φ:E×F→G$
+et $φ':E×F→G'$ sont deux applications bilinéaires satisfaisant
+les conditions équivalentes (i) et (ii), il existe un unique isomorphisme
+$k$-linéaire $G⥲G'$ envoyant $x\dessusdessous{φ}{⊗}y$ sur
+$x\dessusdessous{φ'}{⊗}y$ : si $(e_i)$ et $(f_j)$ sont des bases
+de $E$ et $F$, c'est l'unique application linéaire
+envoyant chaque $e_i\dessusdessous{φ}{⊗}f_j∈G$ sur 
+$e_i\dessusdessous{φ'}{⊗}f_j∈G'$.
+
+\begin{quote}
+Dorénavant, on note $E⊗_k F$ et $(x,y)↦x⊗y$ l'une quelconque
+de ces paires $(G,φ)$, et on l'appelle « le » \emph{produit tensoriel
+des $k$-espaces vectoriels $E$ et $F$}. Les éléments de $E⊗_k F$ de la forme
+$x⊗y$ sont appelés \emph{tenseurs purs} ; ils engendrent 
+le produit tensoriel.
+\end{quote}
+
+
+\begin{lemme2}
+Soient $A$ et $B$ deux $k$-\emph{algèbres} et
+$C$ le $k$-espace vectoriel $A⊗_k B$.
+Il existe une unique application bilinéaire
+$m:C×C→C$ associative telle que 
+$m(a⊗b,a'⊗b')=(aa')⊗(bb')$ pour tous $a,a'∈A$
+et $b,b'∈B$. De plus, pour tout $λ∈k$,
+on a l'égalité $λ⊗1=1⊗λ$. Enfin, si l'on munit
+$C$ de la structure de $k$-algèbre $k→C$, $λ↦λ⊗1=1⊗λ$, 
+les morphismes $A→C$, $a↦a⊗1$ et $B→C$, $b↦1⊗b$ sont des 
+morphismes injectifs de $k$-algèbres.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Existence.
+Choisissons $(e_i)_{i∈I}$ et $(f_j)_{j∈J}$ des bases
+de $A$ et $B$ respectivement, et définissons $m$ par bilinéarité
+à partir des égalités
+\[
+m(e_i⊗f_j,e_{i'}⊗f_{j'})=(e_i e_j)⊗(f_j f_{j'}).
+\]
+On veut montrer que $m(a⊗b,a'⊗b')=(aa')⊗(bb')$ pour tous $a,a'∈A$
+et $b,b'∈B$. Par construction, les deux termes sont quadrilinéaires
+de $A×B×A×B$ dans $C$. On peut donc supposer $a=e_i$,
+$a'=e_{i'}$, $b=f_j$ et $b'=f_{j'}$, auquel cas c'est immédiat
+par définition de $m$. Dorénavant, si $x,y∈C$,
+notons $xy$ pour $m(x,y)$.
+Unicité : évident.
+Associativité. Les deux termes de l'égalité
+$(xy)z=x(yz)$ sont trilinéaires de $C³$ dans $C$.
+Il suffit donc de vérifier l'égalité sur les éléments
+de la base $(e_i⊗f_j)$ de $C$,
+ce qui est immédiat.
+Identité $λ⊗1=1⊗λ$. Résulte de la formule générale $(λe)⊗f=e⊗(λf)$ 
+où $e$ et $f$ font partie d'une base de $A$ et $B$,
+jointe au fait que l'on peut compléter l'élément 
+$1_A$ (resp. $1_B$) en une base de $A$ (resp. $B$), de sorte
+que l'on peut prendre $e=1$ ou $f=1$. 
+Enfin, les applications $k$-linéaires $A→C$ et $B→C$ sont injectives
+car elles envoient toute base sur une famille libre. Elles respectent
+les structures de $k$-algèbres par construction.
+\end{démo}
+
+La $k$-algèbre ainsi obtenue est appelée le \emph{produit tensoriel des $k$-algèbres $A$ et $B$}. 
+On la note également $A⊗_k B$.
+
+\begin{remarque2}\label{constantes structure produit tensoriel}
+Si les \emph{scalaires} $a_{i,i'}^{i''}$ et $b_{jj'}^{j''}$
+sont les constantes de structure des $k$-algèbres $A$ et $B$ définies par
+les relations
+$$e_i\cdot e_{i'}=∑_{i''∈I} a_{i,i'}^{i''} e_{i''}$$
+et
+$$f_j\cdot f_{j'}=∑_{j''∈J} b_{j,j'}^{j''} f_{j''},$$
+il résulte de la formule $(e_i⊗f_j)(e_{i'}⊗f_{j'})=(e_i e_{i'})⊗(f_j
+f_{j'})$ ci-dessus que les constantes de structure
+de $A⊗_k B$ relativement à la base constituée des $e_i⊗f_j$
+sont les $c_{(i,j),(i',j')}^{(i'',j'')}=a_{i,i'}^{i''}b_{j,j'}^{j''}$.
+Il aurait été possible de définir directement le produit tensoriel
+de deux $k$-algèbres de cette façon — c'est la définition la plus
+« économique » — mais cela aurait laissé ouverte la question de la 
+dépendance en le choix des bases.
+\end{remarque2}
+
+
+\subsubsection{Extension des scalaires}\label{changement de base k-algèbre}
+Soient $V$ un $k$-espace vectoriel et $k'$ une $k$-algèbre.
+Il existe une unique extension de la structure de $k$-espace vectoriel
+naturelle sur $V'=V⊗_k k'$ en une structure de $k'$-module
+telle que pour tout $v∈V$ et tout $λ'∈k'$, on ait $λ'(v⊗1)=v⊗λ'$.
+%[Àjouter détails ?\XXX]
+On dit que le $k'$-module $V'$ est obtenu à partir du $k$-espace vectoriel $V$
+par \emph{extension des scalaires} de $k$ à $k'$. On le note souvent
+$V_{k'}$. Si $(e_i)$ est une $k$-base de $V$, les éléments $e'_i=e_i⊗1$ 
+forment une base du $k'$-module $V'$. Ils sont \emph{générateurs}
+d'après la formule $λ' e'_i=e_i⊗λ'$ et le fait que les tenseurs purs
+sont des générateurs sur $k$. Ils
+sont \emph{libres} sur $k'$ car si $∑_i λ'_i e'_i=0$,
+on a $∑_i e_i⊗λ_i=0$ et finalement $λ_i=0$ comme on le voit
+en décomposant $λ_i$ suivant une $k$-base de $k'$.
+
+Si maintenant $V$ est une $k$-\emph{algèbre} $A$, 
+la structure de $k'$-module ci-dessus provient de la structure de $k'$-algèbre 
+déduite du morphisme canonique $k'→A'$, $λ'↦1⊗λ'$. Il résulte de la remarque 
+\ref{constantes structure produit tensoriel} ci-dessus
+que les constantes de structure de la $k'$-algèbre $A'$ et
+de la $k$-algèbre $A$ relativement à ces bases sont les mêmes. 
+L'algèbre $A'$ « est » donc l'algèbre $A$, considérée
+avec d'autres coefficients (plus gros).
+
+Signalons enfin pour référence ultérieure que si $f:W→V$ (resp. $f:B→A$)
+est une application $k$-linéaire (resp. un morphisme de $k$-algèbres), l'application 
+$W_{k'}→V_{k'}$ (resp. $B_{k'}→A_{k'}$), caractérisée par $x⊗λ'↦f(x)⊗λ'$, est 
+une application $k'$-linéaire (resp. un morphisme de $k'$-algèbres).
+Comme on le voit immédiatement en choisissant des bases adaptées,
+ces morphismes sont injectifs (resp. surjectifs) \ssi $f$ l'est.
+
+\begin{exemple2}\label{kXtenskY}
+Soient $X,Y$ deux ensembles finis.
+Le produit tensoriel $k^X⊗_k k^Y$ des algèbres de fonctions
+sur $X$ et $Y$ à valeurs dans $k$ est $k$-isomorphe à l'algèbre
+$k^{X×Y}$ des fonctions sur $X×Y$.
+En effet, si l'on prend pour bases de $A=k^X$ et $B=k^Y$ les fonctions
+de Dirac définies par $e_x(x)=1$ et $e_x(x')=0$ si $x'≠x$
+(resp. $f_y(y)=1$ et $f_y(y')=0$ si $y'≠y$), les constantes
+de structures $a_{x,x'}^{x''}$ (resp. $b_{yy'}^{y''}$) valent un
+si $x=x'=x''$ (resp. $y=y'=y''$) et zéro sinon.
+Les constantes de structure $c_{(x,y),(x',y')}^{(x'',y'')}=a_{x,x'}^{x''}b_{y,y'}^{y''}$
+de $A⊗_k B$ sont donc non nulles \ssi $(x,y)=(x',y')=(x'',y'')$ auquel cas elles valent
+un. Cette propriété caractérise la $k$-algèbre $k^{X×Y}$.
+\end{exemple2}
+
+\begin{proposition2}\label{pdt tens diag=diag}
+Soient $A$ et $B$ deux $k$-algèbres diagonalisables. La $k$-algèbre $A⊗_k B$ est diagonalisable.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Cela résulte du calcul fait en \ref{kXtenskY} ci-dessus.
+\end{démo}
+
+\begin{exercice2}
+Montrer que si $λ$ est une matrice $n×n$ et
+$μ$ une matrice $m×m$, $\det(λ⊗μ)=\det(λ)^m\det(μ)^n$.
+\end{exercice2}
+
+\section{Extensions algébriques}
+
+On rappelle que, dans ce chapitre, on note $k$ un corps.
+
+\subsection{Premières définitions et propriétés}
+Les résultats de cette section sont pour une grande part des cas
+particuliers de résultats de \refext{Ent}{}. Pour la commodité
+du lecteur, nous présentons une partie des résultats de
+\emph{loc. cit.} dans le cadre moins général de ce chapitre. 
+
+\begin{définition2}\label{définition extension}
+Soit $k$ un corps. On dit d'une $k$-algèbre
+$K$ qui est un \emph{corps} qu'elle est une
+\emph{extension} de $k$. On note alors $K\bo k$ la donnée du morphisme
+injectif $k→K$. Si $K$ est de dimension finie sur $k$, la dimension
+$[K:k]=\dim_k(K)$ est appelée \emph{degré} de l'extension
+$K\bo k$.
+\end{définition2}
+
+\begin{définitionrestreinte2}\label{entiers cas corps}
+Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre. On dit
+qu'un élément $a∈A$ est \emph{entier}, ou \emph{algébrique}, sur $k$ si la sous-$k$-algèbre
+$k[a]=\{P(a):P∈k[X]\}$ de $A$ est finie sur $k$. Une extension $K\bo
+k$ est dite \emph{algébrique} si tout élément de $K$ est
+algébrique sur $k$. Une $k$-algèbre $A$ est dite \emph{entière}
+si tout élément de $A$ est entier sur $k$. 
+\end{définitionrestreinte2}
+
+(Comparer avec \refext{Ent}{element-entier}.)
+
+\begin{proposition2}\label{polynome-minimal}
+\begin{enumerate}
+\item Soient $A$ une $k$-algèbre et $a$ un élément de $A$ entier sur $k$.
+Il existe un \emph{unique} polynôme unitaire de degré minimal $μ_a(X)$
+à coeffients dans $k$ s'annulant en $a$.
+Le $k$-morphisme $k[X]→A$ envoyant $X$ sur $a$
+induit par passage au quotient un isomorphisme
+$k[X]/(μ_a)⥲k[a]$.
+\item Réciproquement, si un élément $a$ d'une $k$-algèbre $A$
+est racine d'un polynôme non nul à coefficients dans $k$,
+il est entier sur $k$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+Rappelons qu'un polynôme est dit \emph{unitaire}
+s'il est non nul et de coefficient dominant égal
+à un.
+
+On dit que le polynôme $μ_a$ est le \emph{polynôme minimal}
+\index{polynôme minimal} de l'élément $a$. Il est irréductible \ssi $k[a]$
+est un corps, que l'on note alors
+souvent $k(a)$. Dans tous les cas, on a
+$[k[a]:k]=\deg\,μ_a$.
+
+\begin{démo}
+(i) Soit $a$ comme dans l'énoncé. L'image du morphisme $k[X]→A$
+est $k$-espace vectoriel de dimension finie $k[a]$.
+Son noyau $N$ est donc non nul, ce qui prouve d'ores et déjà
+qu'il existe un polynôme non nul $P∈k[X]$ tel que 
+$P(a)=0$. D'autre part, l'anneau $k$ étant un corps, 
+l'anneau $k[X]$ est euclidien donc principal. L'idéal
+$N$ est donc principal de générateur bien défini
+à multiplication par un élément non nul de $k$ près.
+En particulier, il existe un unique générateur unitaire.
+Enfin, l'isomorphisme $k[X]/N⥲k[a]$, où $N=(μ_a)$, est un cas particulier
+du fait général que l'image d'un morphisme d'anneaux
+est isomorphe au quotient de la source par le noyau.
+(ii) Réciproquement, si $P(a)=0$, la surjection
+$k[X]↠k[a]$ induit une surjection $k[X]/(P)↠k[a]$.
+Le quotient $k[X]/(P)$ est de dimension finie si $P$ est 
+non nul.
+
+
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}\label{multiplicativité degré}
+Soient $K\bo k$ et $L\bo K$ deux extensions finies.
+L'extension $L\bo k$ est alors finie, de degré
+\[[L:k]=[L:K][K:k].\]
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Soient $e₁,\dots,e_n$ une base de $K$ sur $k$ et 
+$f_1,\dots,f_m$ une base de $L$ sur $K$.
+Chaque élément $x$ de $L$ s'écrit de façon unique
+$∑_{j=1}^m λ_j f_j$, où les $λ_j$ sont dans $K$
+et s'écrivent à leur tour de façon unique
+$λ_j=∑_{i=1}^n ν_{i,j} e_i$ avec $ν_{i,j}∈k$ de sorte que, finalement,
+$x=∑_{i,j} ν_{i,j}e_if_j$ s'écrit de façon unique comme combinaison $k$-linéaire des $e_if_j$
+où $(i,j)$ parcourt $\{1,\dots,n\}×\{1,\dots,m\}$.
+\end{démo}
+
+On remarquera qu'en particulier $[K:k]$ \emph{divise} $[L:k]$.
+
+\begin{corollaire2}\label{entiers sur corps=sous-corps}
+Soit $K\bo k$ une extension.
+L'ensemble des éléments de $K$ algébriques sur $k$ est un sous-corps $K$.
+\end{corollaire2}
+
+On l'appelle parfois \emph{clôture algébrique de $k$ dans $K$}.
+
+\begin{démo}
+En effet, si $x$ et $y$ sont algébriques sur $k$, les extensions 
+$k(x)\bo k$ et $k(x)(y) \bo k(x)$ sont finies.
+Pour la seconde extension, cela résulte du fait que
+$y$ est entier sur $k$ donc \emph{a fortiori} sur le sous-corps 
+$k(x)$ de $K$. D'après la proposition précédente,
+l'extension $k(x)(y)\bo k$ est finie. Or, le corps $k(x)(y)$
+contient $x$ et $y$ de sorte que $xy$, $x+y$ et, lorsque $x$ est non nul, $x^{-1}$, 
+qui appartiennent à $k(x)(y)$, sont donc algébriques sur $k$.
+Voir aussi l'exercice \ref{utilisation matrices compagnons}.
+\end{démo}
+
+Donnons une application « numérique » de la proposition et du
+corollaire précédents.
+
+\subsubsection{Exemple numérique}\label{exemple somme algébriques=algébrique}Soient
+$\sqrt{3}$ et $\sqrt[3]{2}$ les racines réelles positives des polynômes $T²-3$
+et $T³-2$ respectivement. Ces polynômes de petit degré étant sans racine dans $𝐐$, 
+ils sont irréductibles sur $𝐐$, si bien que $[𝐐(\sqrt{3}):𝐐]=2$ 
+et $[𝐐(\sqrt[3]{2}):𝐐]=3$. Considérons les sous-corps de $𝐑$
+engendrés par ces racines : $K=𝐐(\sqrt{3})$ et $L=K(\sqrt[3]{2})$. 
+Comme $\sqrt[3]{2}$ est racine du polynôme $T³-2$ à coefficients dans
+$K$, on a trivialement $[L:K]≤3$, avec égalité \ssi $T³-2$ est irréductible dans $K$.
+De l'égalité $[L:𝐐]=[L:K][K:𝐐]$ il résulte que l'extension $L\bo 𝐐$ est finie, de degré au
+plus $6$ et, d'autre part, que toute expression polynomiale à coefficients
+rationnels en $\sqrt{3}$ et $\sqrt[3]{2}$, par exemple $α=\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}$, 
+appartient à $L$. En particulier l'élément $α∈𝐑$ est \emph{algébrique
+sur $𝐐$}. Cependant, cet argument n'explicite pas de polynôme annulateur
+non trivial. Voici une manière de procéder pour construire un tel polynôme.
+Soit $V$ le $𝐐$-espace vectoriel de dimension $6$ de base des éléments
+notés, à des fins mnémotechniques, $e,X,X^2,Y,XY$ et $X^2Y$. Notons $x$ (resp. $y$) l'endomorphisme de $V$
+défini par $x(e)=X$, $x(X)=X²$, $x(X²)=2e$, $x(Y)=XY$, $x(XY)=X²Y$
+et $x(X²Y)=3Y$ (resp. $y(e)=Y$, $y(X)=XY$, $y(X²)=X²Y$, $y(Y)=3e$,
+$y(XY)=3X$ et $y(X²Y)=3X²$). 
+De toute évidence, les polynômes $T³-2$ et $T²-3$ 
+sont les polynômes annulateurs de ces endomorphismes.
+(Il suffit pour l'argument qui suit de savoir qu'ils
+annulent $x$ et $y$.) Observons que la matrice $x$ (resp. $y$)
+est le produit de Kronecker (\ref{pdt tens indépendant des bases}, démonstration)
+de la matrice compagnon du polynôme $T³-2$ et de la matrice identité $2×2$
+(resp. de la matrice identité $3×3$ et de la matrice compagnon du polynôme  $T²-3$).
+
+Dans la base ci-dessus, la matrice de l'endomorphisme $x+y$
+est 
+$$
+\left( \begin {array}{cccccc} 0&0&2&3&0&0\\\noalign{\medskip}1&0&0&0&3&0\\\noalign{\medskip}0&1&0&0&0&3\\\noalign{\medskip}1&0&0&0&0&2\\\noalign{\medskip}0&1&0
+&1&0&0\\\noalign{\medskip}0&0&1&0&1&0\end {array} \right).
+$$
+
+On vérifie par le calcul que son polynôme caractéristique 
+$\det\big(T\Id_V-(x+y)\big)$ est ${T}^{6}-9\,{T}^{4}-4\,{T}^{3}+27\,{T}^{2}-36\,T-23$.
+Par construction, $\sqrt{3}$ (resp. $\sqrt[3]{2}$) est une valeur
+propre de $x$ (resp. $y$). Ces endomorphismes commutent,
+de sorte qu'ils sont codiagonalisables sur $𝐂$. La somme
+$α=\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}$ est donc une valeur propre de l'endomorphisme
+somme $x+y$, et est donc une racine du polynôme ci-dessus.
+La réduction modulo $7$ de ce polynôme étant irréductible
+(cf. \refext{Fin}{exemple-numerique-critere-rabin} ou \ref{exemple-numerique-critere-butler}),
+il est irréductible sur $𝐐$.
+Il en résulte que $[𝐐(\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}):𝐐]=6=[𝐐(\sqrt{3}):𝐐][𝐐(\sqrt[3]{2}):𝐐]$. (Pour un résultat général
+en ce sens, cf. \ref{application-de-Galois-deg(x+y)=produit-si-premiers-entre-eux}.)
+
+De la même façon, on vérifie par le calcul que
+$\sqrt{3}\sqrt[3]{2}$, ou plus généralement 
+tout élément de $𝐐[\sqrt{3},\sqrt[3]{2}]=\{P(\sqrt{3},\sqrt[3]{2}):P∈𝐐[U,V]\}$,
+est algébrique sur $𝐐$.
+
+
+\begin{proposition2}\label{entier sur corps stable par cb}
+Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre \emph{entière}.
+Pour toute extension $K\bo k$, la $K$-algèbre $A_K=A⊗_k K$
+est entière.
+\end{proposition2}
+
+Ce résultat est un cas particulier de 
+\refext{Ent}{cb-entier}. Nous nous contentons
+donc ici d'une simple
+
+\begin{démo}[Esquisse de démonstration]
+Soit $x∈A_K$. Il faut montrer que la sous-$K$-algèbre
+$K[x]$ de $A_K$ engendrée par $x$ est de dimension finie 
+sur $K$. L'existence d'une décomposition
+$x=∑_1^n a_i⊗λ_i$ en somme de tenseurs purs,
+montre que $x$ appartient à la sous-algèbre $K[a₁,…,a_n]$ de $A_K$, où les $a_i$, dans $A$
+donc entiers sur $k$, sont — \emph{a fortiori} — entiers sur $K$.
+Les calculs ci-dessus montrent en toute généralité
+que la somme et le produit de deux éléments
+entiers d'une algèbre sur un corps sont également
+entiers. (Pour les détails, cf. \refext{Ent}{entiers=sous-algebre}, 
+première démonstration).
+\end{démo}
+
+
+
+\begin{conventionrestreinte2}
+Pour toute $k$-algèbre $A$ et toute partie $S$ de $A$,
+on note $k[S]$ la plus petite sous-$k$-algèbre de $A$ contenant $S$,
+\cad l'image de l'unique morphisme de $k$-algèbres $k[x_s :s∈S]→A$, 
+envoyant $x_s$ sur $s∈A$. Si $A$ est un anneau intègre, on note
+$k(S)$ le corps des fractions de son sous-anneau $k[S]$.
+\end{conventionrestreinte2}
+
+Avec cette convention, le corps $k(x)(y)$ de la démonstration
+de \ref{entiers sur corps=sous-corps} ci-dessus n'est autre que $k(x,y)$ (ou encore $k[x,y]$ qui est ici
+un corps).
+
+\begin{corollaire2}\label{algébrique sur algébrique=algébrique}
+Soient $K\bo k$ et $L\bo K$ deux extensions algébriques.
+L'extension $L\bo k$ est également algébrique.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+Soit $x∈L$. Par hypothèse, il existe $P=X^d+a₁X^{d-1}+\cdots+a_d∈K[X]$ 
+tel que $P(x)=0$. Posons $K₀=k(a₁,\dots,a_d)$. L'extension $K\bo k$ 
+étant algébrique, il résulte de \ref{multiplicativité degré} que 
+l'extension $K₀$ est finie sur $k$, de degré au plus $∏[k(a_i):k]$.
+Par construction $x$ est algébrique sur $K₀$. L'extension $K₀(x)\bo k$
+est donc finie (cf. \emph{loc. cit.}) de sorte que $k(x)⊆K₀(x)$ est de
+dimension finie sur $k$. CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{exercice2}\label{utilisation matrices compagnons}
+Donner une démonstration de \ref{entiers sur corps=sous-corps}
+inspirée des calculs de \ref{exemple somme algébriques=algébrique}.
+On pourra introduire les matrices compagnons de polynômes minimaux
+adéquats.
+\end{exercice2}
+
+\begin{exercice2}
+Soit $P(X)=X^3-X-1\in \QQ[X]$. 
+\begin{enumerate}
+\item Montrer que $P$ est irréductible sur $𝐐$.
+\item Soit $L=\QQ[X]/(P)$ l'extension de degré $3$ de $𝐐$ correspondante.
+Montrer que si $x$ désigne la classe de $X$ dans $L$, on a l'égalité $𝐐(x)=𝐐(x²)$
+dans $L$ et exprimer $x$ comme un polynôme en $x²$.
+\item Montrer que $P$ possède une unique racine réelle,
+qui est un \emph{nombre de Pisot-Vijayaraghavan}
+\footnote{On appelle \emph{nombre de Pisot-Vijayaraghavan} \index{nombre de Pisot-Vijayaraghavan}
+toute racine réelle positive d'un polynôme unitaire à coefficients entiers
+dont les autres racines sont des nombres complexes de module
+strictement inférieur à un. On peut montrer (cf. \cite{Pisot@Siegel}) que la racine réelle
+\[
+\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}+
+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}≃1,324717957244746025960
+\]
+(cf. \refext{Calculs}{} pour la formule) du polynôme $X³-X-1$ est le plus petit
+nombre de Pisot.}.
+\end{enumerate}
+\end{exercice2}
+
+\subsection{Extensions composées}
+
+\begin{définition2}\label{extension-composee}
+Soient $K\bo k$ et $K'\bo k$ deux extensions d'un corps $k$.
+On dit qu'un triplet $(E,u,u')$, où $E$ est un corps
+et $u$ (resp. $v$) est un plongement $k$-linéaire $u:K↪E$
+(resp. $u ′ :K'↪E$), est une \emph{extension composée}
+de $K$ et $K'$ sur $k$ si l'on a l'égalité $E=k(u(K)∪u'(K'))$.
+\end{définition2}
+
+Le corps $E$ est donc une $k$-extension commune de $K$ et $K ′$, minimale
+pour cette propriété \emph{relativement aux plongements que l'on s'est donné}.
+
+Par la suite, lorsque nous considérerons $E$ comme une $K$-algèbre (resp. $K ′$-algèbre),
+le morphisme structural sera, sauf mention expresse du contraire, le plongement $u:K → E$
+(resp. $u ′ : K ′ → E$).
+
+\begin{miseengarde2}\label{extension-composee=corps-engendre}
+Si $E$ est une extension
+composée comme ci-dessus, la sous-$k$-\emph{algèbre} $k[u(K)∪u'(K')]$ de 
+$E$ engendrée par $u(K)$ et $u'(K')$ diffère en général du sous-\emph{corps} engendré,
+noté $k\big(u(K)∪u'(K')\big)$, qui coïncide par hypothèse avec $E$.
+\end{miseengarde2}
+
+
+\begin{proposition2}\label{existence-extension-composee}
+Pour toute paire d'extensions $K\bo k$ et $K'\bo k$, il existe une extension composée.
+ \end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Considérons la $k$-algèbre « produit tensoriel » $A=K⊗_k K'$ 
+définie en \ref{définition restreinte produit tensoriel} ;
+rappelons que cette $k$-algèbre a pour $k$-espace vectoriel sous-jacent $K⊗_k K'$,
+muni du produit caractérisé par les identités $(λ⊗λ')(μ⊗μ')=(λμ)⊗(λ'μ')$.
+Par construction, elle est non nulle et possède donc, 
+d'après le théorème de Krull (\refext{Spec}{Krull}), un idéal
+maximal $𝔪$. Soit $E=A/𝔪$ le corps résiduel correspondant
+et notons $u:K→ E$ (resp. $u':K'→ E$) 
+le morphisme de $k$-algèbres $λ↦ λ⊗1 \mod{} 𝔪$ (resp. $λ'↦
+1⊗λ' \mod{} 𝔪$) ; ce sont des $k$-plongements des corps $K$ et $K'$ dans $E$.
+Il reste à vérifier que $u(K)∪u'(K')$ engendre $E$ sur $k$, comme corps.
+Plus précisément, nous allons vérifier que la partie $u(K)∪u'(K')$ engendre $E$ comme
+$k$-algèbre\footnote{Ceci n'est \emph{pas} en contraction avec
+\ref{extension-composee=corps-engendre} car le corps $E$ construit
+ici n'est pas une extension composée absolument quelconque.}.
+Ceci résulte du fait que la $k$-algèbre $A$ est engendrée par $K⊗1$ et $1⊗K'$. En effet, 
+le produit $(λ⊗1)(1⊗λ')$ est égal au tenseur pur $λ⊗λ'$ et,
+comme on l'a observé après la définition \ref{définition restreinte
+produit tensoriel}, ces tenseurs engendrent linéairement le produit
+tensoriel. (Voir aussi \refext{Tens}{produit-tensoriel-engendre-par-tenseurs-purs}.)
+\end{démo}
+
+\begin{miseengarde2}\label{Kk'-pas-can}
+\begin{enumerate}
+\item Si $(E,u,v)$ est une extension composée quelconque de $K\bo k$ et
+$K'\bo k$, le noyau du morphisme de $k$-algèbres $u\star u':K⊗_k K'→ E$, $λ⊗λ'\mapsto
+u(λ)u'(λ')$ est un idéal \emph{premier}, car $E$ est intègre, mais non
+nécessairement maximal. Cela est lié au fait que l'image de $u\star u'$ n'est
+\emph{a priori} qu'une sous-$k$-\emph{algèbre} (cf. \ref{extension-composee=corps-engendre}).
+\item Deux extensions composées ne sont pas nécessairement isomorphes.
+Par exemple, si $K₁=K₂=K$ est l'extension $𝐐[\sqrt[3]{2}]⊂𝐂$ de degré
+$3$ de $𝐐$, l'anneau $K⊗_𝐐 K$ se
+surjecte sur $K$, par l'application évidente $λ⊗μ\mapsto λμ$,
+mais aussi sur l'extension $𝐐[\sqrt[3]{2},j]$ de degré $6$ de $𝐐$, par 
+l'application envoyant $\sqrt[3]{2}⊗1$ sur $\sqrt[3]{2}$ et 
+$1⊗\sqrt[3]{2}$ sur $j\sqrt[3]{2}$. (Voir aussi l'exercice
+\ref{non unicite composition} ci-dessous.)
+En particulier, la notation $K K'$ pour une extension composée
+de $K\bo k$ et $K'\bo k$ n'est raisonnable que si l'on s'est auparavant
+donné un sur-corps de $K$ et $K'$ et des plongements de
+ces corps dans celui-ci ou bien éventuellement si des hypothèses
+supplémentaires nous assurent que tous les corps composés sont
+isomorphes (cf. \refext{CG}{cb-extension-normale}).
+\end{enumerate}
+\end{miseengarde2}
+
+Observons que si $K$ et $K'$ sont des sous-corps d'un corps $C$,
+pour tout choix de générateurs sur $k$, \mbox{$K=k(\alpha_i,i\in I)$} et $K'=k(\beta_j, j\in J)$, 
+la sous-extension $E=k(\alpha_i,\beta_j, (i,j)∈ I\times J)$ de $C$
+(muni des plongements évidents $K↪E$ et $K'↪E$) est une extension composée de
+$K$ et $K'$. Signalons la variante suivante, de démonstration immédiate.
+
+\begin{lemme2}\label{extension-composee=colimite}
+Soient $L\bo k$ et $L'\bo k$ deux extensions 
+algébriques et $(E,u,v)$ une extension composée sur $k$.
+Alors, $E$ est la réunion de ses sous-corps $k\big(u(K),v(K')\big)$,
+où $K$ (resp. $K'$) parcourt l'ensemble des sous-$k$-extensions finies de $L$
+(resp. $L'$).
+\end{lemme2}
+
+\begin{lemme2}\label{composee algebrique}
+Si $K\bo k$ est une extension algébrique et $K'\bo k$ est une extension
+quelconque, toute extension composée de $K\bo k$ et $K'\bo k$ est algébrique sur $K'$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Soit $(E,u,u ′)$ une extension composée. On a par définition on a
+$E=u ′(K′)\big(u(λ): λ ∈ K\big)$. Chaque $λ$ étant algébrique sur $k$,
+il en est de même de chaque $u(λ)$ sur $k$ et, \emph{a fortiori},
+des $u(λ)$ sur $u ′(K ′)$. D'après, \ref{entiers sur corps=sous-corps},
+l'ensemble des éléments de $E$ algébriques sur $K ′$ est un sous-corps. Comme il
+contient les $u(λ)$, c'est $E$ tout entier.
+Ce lemme est également un corollaire de \ref{entier sur corps stable par cb} et \refext{Ent}{cb-entier}.
+\end{démo}
+
+\subsubsection{Exercices}
+
+\begin{exercice3}
+Soit $K\bo k$ une extension de corps. Montrer que
+l'anneau $K⊗_k K$ est un corps \ssi $k=K$.
+\end{exercice3}
+
+\begin{exercice3}\label{non unicite composition}
+Soient $k$ un corps et $K=k[X]/f(X)$ où $f$ est un polynôme
+irréductible. À quelle condition sur $f$
+les extensions composées de $K$ avec lui-même sont-elles
+toutes $k$-isomorphes ?
+(On verra plus tard une caractérisation des extensions finies $K\bo k$
+pour lesquelles toute $k$-extension composée de $K$ par $K$ est 
+$k$-isomorphe à $K$ (cf. \refext{CG}{caracterisation-extension-normale},
+(v)).)
+\end{exercice3}
+
+\subsection{Corps de rupture et de décomposition d'un polynôme}
+
+\begin{convention2}\label{k-f}
+Soit $k$ un corps et soit $f$ un polynôme à coefficients dans $k$.
+On note $k_f$ l'anneau quotient $k[X]/(f(X))$ et $x$ l'image
+de $X$ dans $k_f$ par la surjection canonique $k[X]↠k_f$.
+\end{convention2}
+
+Cet anneau « représente », au sens du lemme ci-dessous,
+les racines de $f$.
+
+\begin{lemme2}\label{points k-f}
+Soient $f∈k[X]$ et $A$ une $k$-algèbre.
+Le morphisme d'évaluation en $x$
+\[
+(φ:k_f→A)↦φ(x)
+\]
+\[
+\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k_f,A)→\{a∈A:P(a)=0\}
+\]
+est une bijection.
+\end{lemme2}
+
+C'est un cas particulier, de démonstration immédiate, du lemme \refext{Spec}{points-quotient}.
+
+Observons que si $f$ est non nul, 
+$k_f$ est une $k$-algèbre \emph{finie}.
+
+\begin{proposition2}\label{corps-de-rupture}
+Soit $f∈k[X]$ un polynôme non constant.
+\begin{enumerate}
+\item Il existe une extension finie $K\bo k$ telle que $f$ ait une racine dans $K$ et que
+$K\bo k$ soit engendrée par cette racine.
+\item Toute telle extension $K\bo k$ est isomorphe à un quotient de $k_f$. En
+particulier, si $f$ est \emph{irréductible}, elles sont isomorphes à $k_f$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+(i) On peut supposer $f$ unitaire. Par construction, $f(x)=0$ dans la
+$k$-algèbre $k_f$. Cette algèbre possède un idéal maximal donc se surjecte sur un corps,
+que nous noterons $K$. Si $α$ est l'image de $x$ dans $K$, on a bien $f(α)=0$. Puisque la $k$-algèbre $k_f$ est
+engendrée par $x$, l'extension $K\bo k$ est engendré par $α$.
+(ii) Soit $α$ une racine de $f$ dans $K$ telle que $K=k(α)$. Le noyau du
+morphisme $k[X] ↠ K$, $X\mapsto \alpha$ d'évaluation en $α$ contient $f$.
+Il en résulte que ce morphisme se factorise en une surjection $k_f ↠  K$.
+Si $f$ est irréductible, $k_f$ est un corps si bien que ce morphisme est également injectif.
+\end{démo}
+
+\begin{définition2}
+Une extension $K\bo k$ satisfaisant la condition (i) ci-dessus est appelée extension, ou
+corps, de \emph{rupture} de $f$ sur $k$.
+\end{définition2}
+
+\begin{proposition2}\label{dec-deg-inf-fact-n}
+Soit $f∈k[X]$ un polynôme non constant de degré $d$.
+\begin{enumerate}
+\item Il existe une extension $K\bo k$ telle le polynôme $f$
+se factorise dans $K[X]$ sous la forme $c\prod_{i=1}^{\deg f} (X-\alpha_i)$,
+où $c ∈ k, α_i ∈ K$, et que $K$ soit engendrée par les $\alpha_i$ sur $k$.
+\item Deux telles extensions sont isomorphes, de degré au plus $d!$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+Lorsque $f$ se factorise comme en (i), on dit alors que $f$ est \emph{scindé} sur $K$.
+
+\begin{définition2}\label{définition corps de décomposition}
+Une extension $K\bo k$ satisfaisant la condition (i)
+de la proposition précédente est appelée extension, ou corps, de \emph{décomposition} de
+$f$. On note parfois $\mathrm{d\acute{e}c}_k(f)$.
+\end{définition2}
+
+\begin{démo}[Démonstration de la proposition]
+Existence et majoration du degré. Procédons par récurrence sur le degré $d$ de $f$. Si $d=1$, il n'y a rien à démontrer.
+D'après la proposition précédente, il existe une extension $K$ de $k$ dans laquelle
+$f$ s'écrit $f=(X-α)g$. Le corps $K$ est un quotient de $k_f$ si bien que
+l'extension $K\bo k$ est de degré au plus $d$.
+Par hypothèse de récurrence, il existe une extension finie $L$
+de $K$, de degré au plus $(d-1)!$ telle que le polynôme $g$, de degré
+$d-1$, soit scindé sur $L$.
+Le polynôme $f$ est alors scindé sur $L$ et $[L:k]=[L:K][K:k]≤d!$.
+La sous-$k$-extension de $L$ engendrée par les racines de $f$ dans $L$ est un corps de décomposition de $f$,
+de degré au plus celui de $L$.
+
+Unicité. Soient $K₁$ et $K₂$ deux corps de décomposition pour $f$.
+Considérons une extension composée $(E,u₁,u₂)$ de $K₁$ et $K₂$ sur $k$.
+Soit $R$ (resp. $R_i$) l'ensemble des racines de $f$ dans $E$
+(resp. $u_i(K)$). Le polynôme $f$ étant scindé sur les corps $K_i$,
+il l'est également sur les sous-corps $u_i(K_i)$ de $E$. Il 
+en résulte que les inclusions \emph{a priori} $R_i⊆R$ sont des
+égalités. D'autre part, $u_i(K_i)=k(R_i)⊆E$ 
+de sorte que $E=k(R)$ et les inclusions $u_i(K_i)=k(R_i)⊆E$
+sont des isomorphismes. Comme $u_i$ induit un isomorphisme $K_i⥲u_i(K_i)$, on a
+un diagramme d'isomorphismes $K₁⭇E⭉K₂$.
+\end{démo}
+
+\begin{exercice2}
+Soit $f$ comme ci-dessus et soit $K$ un corps de décomposition sur $k$. La relation
+de divisibilité $[K:k]|n!$ est-elle satisfaite ? 
+\end{exercice2}
+
+\subsection{Corps de décomposition d'une famille de polynômes}
+
+Expliquons maintenant comment généraliser la construction précédente
+au cas d'une famille quelconque (non nécessairement finie) de polynômes.
+
+Nous ferons usage de la généralisation suivante des
+définitions et résultats de \ref{section définition restreinte produit tensoriel}, qui est aussi un cas
+particulier de \refext{Tens}{existence-produit-tensoriel-commutatif}.
+
+\begin{définitionrestreinte2}\label{définition restreinte produit tensoriel infini}
+Soient $k$ un corps, $I$ un ensemble éventuellement infini 
+et $(A_i)_{i∈I}$ une famille de $k$-algèbres. Choisissons pour chaque $i∈I$, une $k$-base
+$(e^{i}_j)_{j∈J_i}$ de $A_i$. On note $⨂_{i∈I} A_i$ la
+$k$-\emph{algèbre} dont l'espace vectoriel sous-jacent
+est libre de base des éléments notés $ε^{I'}_{J'}$,
+où $I'$ est une partie finie de $I$ et $J'$
+une partie finie de $∐_{i∈I}J_i$ contenant
+un unique élément $j_{i'}$ de $J_{i'}$ pour chaque $i'∈I'$.
+On note également $e^{i₁}_{j₁}⊗\cdots⊗e^{i_n}_{j_n}$
+(dans un ordre quelconque) l'élément
+$ε^{\{i₁,\dots,i_n\}}_{\{j₁,\dots,j_n\}}$.
+La structure multiplicative est définie par $k$-linéarité à partir
+des formules suivantes :
+\begin{enumerate}
+\item si $I'∩I''=∅$, 
+\begin{equation}
+ε^{I'}_{J'}\cdot ε^{I''}_{J''}=ε^{I'∪I''}_{J'∪J''} ; \tag{$\star$}
+\end{equation}
+\item si $I'∩I''=\{i\}$, 
+\begin{equation}
+ε^{I'}_{J'}\cdot ε^{I''}_{J''}=∑_{j∈J_i} a^j_{j_i,j'_i}\,
+ε^{I'∪I''}_{(J'-\{j_i\})∪(J''-\{j'_i\})∪\{j\}}, \tag{$\star\star$}
+\end{equation}
+où les scalaires $a^∙_{∙,∙}$ sont les constantes de structure (\ref{constantes
+structure produit tensoriel}) de la $k$-algèbre $A_i$.
+\end{enumerate}
+\end{définitionrestreinte2}
+
+Remarquons que si $i∈I'∩I''$,
+les formules $ε^{I'}_{J'}=ε^{I'-\{i\}}_{J'-\{j'_i\}}ε^{\{i\}}_{j'_i}$
+et $ε^{I''}_{J''}=ε^{I''-\{i\}}_{J''-\{j''_i\}}ε^{\{i\}}_{j''_i}$, 
+qui découlent de $(\star)$, permettent de calculer
+$ε^{I'}_{J'}\cdot ε^{I''}_{J''}$ à partir de $(\star\star)$
+par récurrence sur le cardinal de l'intersection $I'∩I''$.
+
+Il est aisé de vérifier, par réduction au cas où $I$ est fini
+et suivant la même méthode qu'en \ref{section définition restreinte
+produit tensoriel}, que le produit ainsi défini est associatif, commutatif, 
+indépendant à $k$-isomorphisme près du choix des bases, et
+que les applications
+\[∑_{j∈J_ι} λ_je^ι_j∈A_ι↦∑_{j∈J_ι}λ_j ε^{\{ι\}}_{\{j\}}∈⨂_{i∈I}A_i\]
+sont des morphismes injectifs de $k$-algèbres, dits « canoniques », dont les images engendrent le produit tensoriel.
+Nous renvoyons le lecteur à l'appendice \refext{Tens}{} pour une approche plus
+conceptuelle, présentée en détail.
+
+\subsubsection{}Soit $(f_i)_{i∈I}$ une famille de polynômes non constants.
+Pour chaque $i∈I$, considérons une extension de décomposition $k_i$ de $f_i$
+sur $k$ ; il en existe d'après les résultats du paragraphe précédent
+(\ref{dec-deg-inf-fact-n}). Soit $A$ la $k$-algèbre produit tensoriel de la famille des $k$-algèbres \emph{non
+nulles} $k_i$.
+Elle est non nulle donc — d'après le lemme Krull —  se surjecte sur un corps $K$, 
+qui est naturellement une extension de $k$ ainsi que de chacun
+des corps $k_i$, via les morphismes composés $u_i:k_i→A↠K$, où la première flèche
+est le morphisme canonique.
+
+\begin{lemme2}
+Pour tout $i∈I$, le polynôme $f_i$ est scindé dans $K$ et $K$ est engendré sur $k$ par les
+racines des $f_i$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Chaque $f_i$ est scindé dans $k_i$ donc dans $A$ et $K$
+car une décomposition en produit $f_i=g₁\cdots g_{d_i}$ dans $k_i[X]$ 
+induit une décomposition semblable dans $B[X]$ pour toute
+$k_i$-algèbre $B$, comme $A$ ou $K$. 
+Ceci prouve le premier point.
+Pour le second point, on observera que d'une part chaque $u_i(k_i)⊆K$ est engendré
+sur $k$ par $R_i=\{α ∈ K:f_i(α)=0\}$ et que d'autre part $A$, donc $K$, est engendré sur $k$ par 
+les images des $k_i$ dans $A$, comme cela a été observé brièvement plus haut.
+\end{démo}
+
+Tout comme dans le cas d'une famille réduite à un élément, on dit que $K$ est une
+\emph{extension de décomposition} de la famille $(f_i)_{i∈I}$.
+
+Remarquons que si l'ensemble d'indexation $I$ est fini, une extension 
+de décomposition de la famille $(f_i)_{i∈I}$ est une extension de 
+décomposition de $f=∏_i f_i$.
+
+\begin{proposition2}\label{unicite-extension-decomposition}
+Deux $k$-extensions de décomposition d'une famille de polynômes dans $k[X]$
+sont $k$-isomorphes.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Soient $K$ et $K'$ deux telles extensions et $E$ une extension composée.
+L'image de $K$ (resp. $K'$) dans $E$ coïncide
+avec le sous-corps $k(R)$ où $R$ est l'ensemble des racines des polynômes
+considérés. Ainsi les corps $K$ et $K'$ sont tous deux $k$-isomorphes à $k(R)$
+(cf. \ref{dec-deg-inf-fact-n} (ii)).
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}\label{cb-corps-decomposition}
+Soient $(f_i)_{i∈I}$ une famille de polynômes non constants 
+à coefficients dans $k$ et $K$ un corps de décomposition. Pour toute extension $k'\bo k$,
+toute extension composée de $K$ et $k'$ sur $k$ est un corps de décomposition sur $k'$
+des $f_i$, vus dans $k'[X]$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Soient $k'\bo k$ comme dans l'énoncé et $(K',u,v)$ une extension composée de $K$ et $k'$.
+Si $R$ désigne l'ensemble des racines des $f_i$ dans $K$, on a $K=k(R)$
+et $K'=k'(R)$, où l'on note abusivement $k'$ et $R$ leurs images dans $K'$ par les applications
+$v$ et $u$ respectivement. Cette égalité est équivalente à la conclusion désirée.
+\end{démo}
+
+\subsection{Clôture algébrique}
+
+\begin{proposition2}
+Soit $k$ un corps. Les conditions suivantes sont équivalentes :
+\begin{enumerate}
+\item tout polynôme non constant de $k[X]$ a une racine dans $k$ ;
+\item tout polynôme non constant de $k[X]$ est scindé sur $k$ ;
+\item toute extension algébrique de $k$ est de degré un.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Montrons que (i) entraîne (ii). On procède par récurrence sur le degré du
+polynôme, le cas du degré un étant trivial. Soit donc $f∈k[X]$ de degré $>1$.
+D'après (i), il existe une racine $α∈k$ de $f$ de sorte que $f$ 
+se factorise en $f=(X-α)g$, pour un $g∈k[X]$. Puisque $\deg(g)<\deg(f)$,
+l'hypothèse de récurrence assure que $g$ est scindé sur $k$. Il en est donc de
+même de $f$. L'implication (ii) entraîne (i) est évidente.
+Montrons maintenant que (ii) entraîne (iii). Soit $K\bo k$ une extension algébrique.
+On veut montrer que $K=k$. Il suffit pour cela de considérer le cas où $K$ est
+monogène, car $K=⋃k(a)$, où $a$ parcourt $K$. Dans ce cas, $K$ est isomorphe à un quotient
+de $k_f$, pour un $f∈k[X]$ convenable. Le polynôme $f$ étant scindé, ce quotient n'est un corps
+que si $f$ est de degré un. Dans ce cas, l'inclusion $k→K$ est un
+isomorphisme : $[K:k]=1$.
+Vérifions que (iii) entraîne (ii). Soient $f∈k[X]$ est un polynôme non constant
+et $K\bo k$ un corps de décomposition de $f$ sur $k$ ; c'est une extension algébrique de $k$.
+D'après (iii), $k=K$ de sorte que $f$ est scindé sur $k$, d'où (ii).
+\end{démo}
+
+Il résulte de la démonstration que la condition
+(iii') : « toute extension algébrique monogène de $k$ est de degré un »
+est équivalente à (iii).
+
+\begin{définition2}
+Un corps satisfaisant les conditions équivalentes précédentes est dit
+\emph{algébriquement clos}. 
+On appelle \emph{clôture algébrique} d'un corps $k$ toute extension algébrique de $k$ qui est
+un corps algébriquement clos. 
+\end{définition2}
+
+\begin{proposition2}[Steinitz]
+Tout corps admet une clôture algébrique.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Soit $k$ un corps. D'après ce qui précède, il existe un corps
+de décomposition $K$ de la famille de tous les polynômes unitaires non constants
+à coefficients dans $k$. C'est une extension algébrique de $k$ dans laquelle tout polynôme non constant de $k$ 
+est scindé. Vérifions qu'elle est algébriquement close en utilisant le critère (iii) ci-dessus.
+Soit $K'\bo k$ une extension algébrique de $K$ ; elle est algébrique
+sur $k$ (\ref{algébrique sur algébrique=algébrique}). En d'autres termes,
+tout élément $α∈K'$ est racine d'un polynôme unitaire $f_α∈k[X]$.
+Or, par construction, les racines de $f_α$ sont toutes dans $K$.
+Finalement $α∈K$ et $K'=K$.
+\end{démo}
+
+\begin{remarque2}\label{caracterisation-cloture-algebrique}
+Il résulte de la démonstration qu'une clôture algébrique $Ω$ d'un corps $k$
+est un corps de décomposition de l'ensemble des polynômes non constants
+de $k$. En effet, $Ω$ contient un tel corps de décomposition $D$
+et puisque ce dernier est algébriquement clos avec $Ω/D$ algébrique, on a bien $Ω=D$.
+\end{remarque2}
+
+\begin{proposition2}
+Tout corps algébriquement clos est infini.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+\end{démo}
+
+La proposition suivante nous sera très utile dans le chapitre
+[Gal]. 
+
+\begin{proposition2}\label{plongement-dans-cloture-algebrique}
+Soient $Ω$ une clôture algébrique de $k$ et $k'\bo k$ une extension
+algébrique. Il existe un $k$-plongement $k'→Ω$.
+\end{proposition2}
+
+L'expression « $k$-plongement », synonyme de $k$-morphisme,
+permet d'insister sur le fait qu'un tel morphisme
+est nécessairement injectif.
+
+\begin{démo}
+Soit $Ω'$ une extension composée de $k'\bo k$ et $Ω\bo k$. L'extension $Ω'/Ω$
+est algébrique (cf. par exemple \ref{cb-entier} ou
+\ref{composee algebrique}), de sorte que l'injection $Ω→Ω'$  
+est un isomorphisme, dont nous noterons $τ$ l'inverse. Le morphisme
+composé $k'→Ω'\dessusdessous{τ}{→} Ω$ répond à la question.
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}
+Deux clôtures algébriques d'un même corps $k$ sont $k$-isomorphes.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Il suffit d'utiliser la remarque ci-dessus et l'unicité 
+du corps de décomposition d'une famille de polynôme (cf.
+\ref{unicite-extension-decomposition}).
+\end{démo}
+
+\begin{remarque2}
+L'isomorphisme précédent n'étant pas unique en général, 
+on parlera — conformément à \refext{Cat}{blabla-unicite-objet-universel} —
+d'\emph{une} clôture algébrique d'un corps.
+\end{remarque2}
+
+\subsubsection{Exercices}
+\begin{exercice3}%Difficile à ce niveau là.
+Soit $K$ une extension algébrique de $k$ telle que
+tout polynôme non constant de $k$ ait au moins une racine dans $K$. Montrer que $K$
+est algébriquement clos. (En d'autres termes, $K$ est une clôture algébrique de
+$k$.)
+% OPS $k$ parfait. Soit $f$ polynôme à coefficients dans $k$, $R$ ses racines
+% dans une clôture algébrique $Ω$ contenant $K$. Il existe $α$ tel que
+% $k(R)=k(α)$. Par hypothèse, $K$ contient un élément $β$ conjugué à $α$.
+% Pour un tel $β$, on a $k(β)=k(α)=k(R)$, donc $k(R)⊂K$.
+\end{exercice3}
+
+\begin{exercice3}[Théorème de d'Alembert-Gauß]
+\begin{enumerate}
+\item Soient $f∈𝐂[X]$ un polynôme non constant tel que $f(0)=1$.
+Montrer qu'il existe des nombres complexes $z$ arbitrairement proches de $0$
+tels que $|f(z)|<1$.
+\item Montrer que $|f(z)|→+∞$ quand $|z|→+∞$.
+\item En déduire que tout polynôme non constant à coefficients complexes admet
+un zéro. (On pourra commencer par montrer que $\min_{z∈𝐂}\,|f(z)|$ existe puis qu'il est 
+nul.)
+\end{enumerate}
+\end{exercice3}
+
+\begin{exercice3}
+Soit $k$ un corps et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
+À quelle condition a-t-on l'égalité $\Aut_k(Ω)=\{1\}$ ?
+% Essayer de deviner que les extensions doivent être radicielles.
+\end{exercice3}
+
+
+
+\section{Trace et norme}\label{trace-et-norme}
+
+Dans ce paragraphe, contrairement à la convention de ce chapitre, $k$ 
+n'est pas nécessairement un corps.
+
+\subsection{Définition et premières propriétés}
+\begin{définition2}
+Soient $k$ un \emph{anneau} et $A$ une $k$-algèbre
+admettant une base finie.
+Pour tout élément $a∈A$, on note $m_a:A→A$
+l'endomorphisme $k$-linéaire $x\mapsto ax$ de multiplication par $a$ dans $A$. 
+Sa trace $\Tr(m_a)$, son déterminant $\det(m_a)$ et son polynôme caractéristique unitaire
+$\det(X\Id-m_a)$ sont appelés respectivement la \emph{trace}, la \emph{norme}
+\index{trace} \index{norme} et le \emph{polynôme caractéristique}
+\index{polynôme caractéristique} de $a$. On note $\Tr_{A\bo k}(a)$ et $\N_{A\bo k}(a)$
+les deux premiers, qui sont des éléments de $k$, et $χ_{A\bo k}(a,X)∈k[X]$ le
+dernier.
+\end{définition2}
+
+\subsubsection{}Explicitement, si $(e_i)_{i=1,\dots,n}$ est une base de $A$ sur $k$, de base
+duale $(e^\vee_i)_i$, on a pour tout $a∈A$, $\Tr_{A\bo k}(a)=∑_i a^{(i)}$ et
+$\N_{A\bo k}(a)=∏_i a^{(i)}$, où $a^{(i)}=⟨ae_i,e^\vee_i⟩$.
+
+\subsubsection{}\label{trivialités sur trace et norme}Il résulte immédiatement de l'additivité (resp. la multiplicativité)
+de la trace (resp. du déterminant) que l'on a les
+égalités suivantes dans $k$ :
+\[
+\Tr_{A\bo k}(a+a')=\Tr_{A\bo k}(a)+\Tr_{A\bo k}(a'),
+\]
+et
+\[
+\N_{A\bo k}(aa')=\N_{A\bo k}(a)\N_{A\bo k}(a')
+\]
+pour chaque paire $(a,a ′) ∈ A²$.
+Pour tout $λ∈k$, on a $\Tr_{A\bo k}(λ)=nλ$ et $\N_{A\bo k}(λ)=λ^n$, 
+où $n=\dim_k(A)$.
+
+
+\begin{lemme2}\label{Norme=pol-car}
+Soient $k$ un anneau et $A$ une $k$-algèbre admettant une base finie de
+cardinal $n$.
+\begin{enumerate}
+\item L'algèbre $A[X]$ admet une base finie sur $k[X]$, de cardinal $n$.
+\item Pour tout $a∈A$,
+$\N_{A[X]\bo k[X]}(1+aX)=1+\Tr_{A\bo k}(a)X+\cdots+\N_{A\bo k}(a)X^n$.
+\item Pour tout $a∈A$, $χ_{A\bo k}(a,X)=\N_{A[X]\bo k[X]}(X-a)$.
+\end{enumerate}
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Soit $(e_i)_i$ est une base de $A$ sur $k$ ; c'est également une base de $A[X]$ sur $k[X]$.
+Relativement à cette base, on a : $$(1+aX)^{(i)}=1+a^{(i)}X.$$
+Ainsi, $$\N_{A[X]\bo k[X]}(1+aX)=∏_i (1+aX)^{(i)}=∏_i (1+a^{(i)}X)=1+(∑_i
+a^{(i)})X+\cdots+(∏_i a^{(i)})X^n.$$
+Le dernier point est évident.
+\end{démo}
+
+Observons que $\N_{A\bo k}(a)=(-1)^n χ_{A\bo k}(a,0)$ et
+$\Tr_{A\bo k}(a)=-{χ_{A\bo k}}'(a,0)$. Cela permet de ramener 
+certains énoncés sur la trace (resp. la norme) à des énoncés
+sur le polynôme caractéristique. (La réciproque étant également vraie d'après le lemme
+ci-dessus.)
+
+\begin{proposition2}\label{trace-produit}
+Soient $k$ un anneau et $A=A₁×\cdots×A_r$ un produit fini de $k$-algèbres admettant des bases finies.
+Pour tout $a=(a₁,\dots,a_r)∈A$, on a 
+$$\Tr_{A\bo k}(a)=∑_{i=1}^r \Tr_{A_i\bo k}(a_i),$$
+$$\N_{A\bo k}(a)=∏_{i=1}^r \N_{A_i\bo k}(a_i),$$
+et 
+$$
+χ_{A\bo k}(a,X)=∏_{i=1}^r χ_{A_i\bo k}(a_i,X).
+$$
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Comme noté ci-dessus, il suffit de démontrer la dernière formule, qui est
+évidente : le déterminant d'une somme directe d'endomorphismes agissant
+sur une somme directe est égal au produit des déterminants.
+\end{démo}
+
+\subsection{Fonctorialité}
+
+\begin{proposition2}\label{cb-trace}
+Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre finie.
+Soit $k'$ une $k$-algèbre et notons $A'=A ⊗_k {k ′}$ la $k'$-algèbre
+déduite de $A$ par extension des scalaires.
+\begin{enumerate}
+\item $[A':k ′]=[A:k]$.
+\item Pour tout $a∈A$, on a :
+\[\Tr_{A'\bo k'}(a⊗1)=\Tr_{A\bo k}(a)\cdot 1_{k'},\]
+\[\N_{A'\bo k'}(a⊗1)=\N_{A\bo k}(a)\cdot 1_{k'},\]
+et
+\[χ_{A'\bo k'}(a⊗1,X)=χ_{A\bo k}(a,X)\cdot 1_{k'[X]}.\]
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+Dans cet énoncé, on a noté $λ\cdot 1_{k'}$ l'image
+d'un élément $λ∈k$ dans $k'$ par le morphisme $k→k'$. Il correspond
+naturellement à l'élément $λ⊗1$ de $k⊗_k k'$ par l'isomorphisme
+(dit « canonique ») $k⊗_k k'⭇k'$ envoyant $λ ⊗ x$ sur $λ x$.
+
+\begin{démo}
+Le premier point n'est mis que pour mémoire (cf. \ref{changement de
+base k-algèbre}).
+Soient $(e_i)_{i=1,\dots,n}$ une base de $A$ sur $k$
+et $a∈A$. Notons $a_{ij}$ la matrice de l'endomorphisme
+$m_a:A→A$ dans la base $e_i$. Par définition,
+$\Tr_{A\bo k}(a)=∑_i a_{ii}$. 
+Pour chaque $a∈A$, l'endomorphisme $m_{a⊗1}:A'→A'$ 
+a pour matrice dans la base $(e_i⊗1)_{1≤i≤n}$ l'image de celle de $m_a$
+(relativement à la base $(e_i)_{1≤i≤n}$) par l'application $M_n(k)→M_n(k')$.
+Sa trace est donc égale à $\Tr_{A\bo k}(a)$. On procède de même pour
+la norme et le polynôme caractéristique.
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}\label{composition-trace-norme}
+Soient $k$ un anneau, $A$ une $k$-algèbre admettant une base finie
+et $B$ une $A$-algèbre admettant une base finie.
+Alors, $B$ admet une base finie sur $k$ et pour tout $b∈B$, on a :
+$$
+\Tr_{B\bo k}(b)=\Tr_{A\bo k}\big(\Tr_{B\bo A}(b)\big),
+$$
+$$
+\N_{B\bo k}(b)=\N_{A\bo k}\big(\N_{B\bo A}(b)\big),
+$$
+et 
+$$
+χ_{B\bo k}(b,X)=\N_{A[X]\bo k[X]}\big(χ_{B\bo A}(b,X)\big).
+$$
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Soient $(e_{i})_{i=1,\dots,n}$ une base de $A$ sur $k$, 
+$(e_{i}^{\vee})_{i=1,\dots,n}$ la base duale et $(f_{j})_{j=1,\dots,m}$ une base de $B$ sur $A$.
+L'ensemble des éléments $f_{j}e_{i}$ constitue une base de $B$ sur $k$.
+Considérons $b∈B$ et notons $(b_{j'j})$ la matrice à coefficients dans $A$ de
+l'application $A$-linéaire $m_b$ dans la base $(f_{j})_j$.
+Un calcul immédiat montre que chaque
+$b(f_{j}e_{i})$ est la somme de $b_{jj}^{(i)}f_{j}e_{i}$ et d'une
+combinaison linéaire des $f_{j'}e_{i'}$ pour $(i ′,j ′)≠(i,j)$.
+Comme plus haut, on a noté pour tout élément $a$ de $A$,
+$a^{(i)}$ l'élément de $k$ égal au produit scalaire
+$⟨ae_{i}|e_{i}^{\vee}⟩$, aussi noté $a_{ii}$ dans la démonstration de la
+proposition précédente. Avec cette convention, $\Tr_{A\bo k}(a)=∑_i a^{(i)}$ et $\N_{A\bo k}(a)=∏_i a^{(i)}$.
+Ainsi, la trace $\Tr_{B\bo k}(b)$ est égale à
+la somme :
+\[
+\Tr_{B\bo k}(b)=∑_{(i,j)} b_{jj}^{(i)}=∑_i\big( ∑_j b_{jj}\big)^{(i)}=∑_i
+\Tr_{B\bo A}(b)^{(i)}=\Tr_{A\bo k}\big(\Tr_{B\bo A}(b)\big).
+\]
+
+De même,
+\[
+\N_{B\bo k}(b)=∏_{(i,j)} b_{jj}^{(i)}=∏_i\big( ∏_j b_{jj}\big)^{(i)}=∏_i
+\N_{B\bo A}(b)^{(i)}=\N_{A\bo k}\big(\N_{B\bo A}(b)\big).
+\]
+
+Ceci démontre les deux premières formules.
+La troisième se ramène à la seconde par \ref{Norme=pol-car}.
+\end{démo}
+
+\subsection{Trace et norme d'éléments nilpotents}
+
+\begin{proposition2}\label{Nilp-dans-Ker-trace}
+Soient $k$ un anneau et $A$ une $k$-algèbre ayant une base finie.
+Si un élément $a$ de $A$ nilpotent, les éléments $\Tr_{A\bo k}(a)$ et $\N_{A\bo k}(a)$
+de $k$ sont également nilpotents. 
+\end{proposition2}
+
+Il en résulte que si $k$ est \emph{réduit} (\cad $\Nilp(k)=\{0\}$), 
+l'application $k$-linéaire $\Tr_{A\bo k}:A→k$ se factorise
+à travers le quotient $A_{\red}=A/\Nilp(A)$
+où, rappelons-le, $\Nilp(A)=\{a∈A:∃n∈𝐍,a^n=0\}$.
+
+\begin{démo}
+Soit $a∈\Nilp(A)$. L'élément $t=aX$ de $A[X]$ est également nilpotent
+de sorte que $1+t=1+aX$ est inversible dans $A[X]$ (cf. par
+exemple \refext{Spec}{caracterisation-polynomiale-nilpotents}).
+Par multiplicativité de la norme, l'image d'un inversible est un inversible donc
+\[
+\N_{A[X]\bo k[X]}(1+aX)∈k[X]^×.
+\]
+D'autre part il résulte de la proposition \ref{cb-trace}
+— commutation de la trace avec la réduction modulo $X$ — que cet élément appartient à $1+Xk[X]$.
+La généralisation suivante de \refext{Spec}{caracterisation-polynomiale-nilpotents}
+montre qu'un tel polynôme est de la forme $1+XP(X)$ où $P(X)$ est un polynôme à coefficients nilpotents.
+En particulier, le coefficient de $X$, qui coïncide avec la trace
+(cf. \ref{Norme=pol-car}) est nilpotent. Le fait que la norme
+d'un nilpotent soit nilpotent résulte immédiatement de la
+formule $\N(a^n)=\N(a)^n$ et de l'égalité $\N(0)=0$.
+\end{démo}
+
+\begin{lemme2}
+Soient $k$ un anneau et $Q ∈ k[X]$ un polynôme.
+Le polynôme $1+XQ(X)$ est inversible dans $k[X]$ \ssi
+les coefficients de $Q$ sont nilpotents.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+On procède par récurrence sur le degré $n ≥ 1$ de $P=1+XQ(X)=1+a₁X + \cdots + a_n X^n$.
+Supposons également que l'on ait dans $k[X]$ une identité :
+\[
+(1+a₁X+a₂X²+\cdots+a_nX^n)(1+b₁X+b₂X²+\cdots+b_rX^r)=1.
+\]
+On en déduit les égalités : 
+$a_nb_r=0$, $a_n b_{r-1}+a_{n-1} b_r=0$,
+..., $a_n+a_{n-1}b₁+\cdots=0$. On pose $a₀=b₀=1$.
+Multipliant la seconde égalité par $a_n$ et utilisant la relation
+$a_nb_r=0$, on en tire : $a_n²b_{r-1}=0$ (avec la convention $b₀=1$). 
+Plus généralement, on montre par récurrence que $a_n^{i+1}b_{r-i}=0$.
+Finalement, pour $i=r$, on obtient $a_n^{r+1}=0$.
+Ainsi, le coefficient de plus haut degré de $P$ est nilpotent.
+Puisque $P-a_nX^n$ est une unité moins un nilpotent, ce polynôme
+est également inversible de sorte que d'après
+l'hypothèse de récurrence, ses coefficients non constants
+sont nilpotents.
+\end{démo}
+
+\section{Algèbres étales sur un corps, extensions algébriques séparables}
+
+Jusqu'à la fin de ce chapitre, sauf mention du contraire, $k$ désigne
+à nouveau un \emph{corps} commutatif.
+
+Avant d'introduire la notion fondamentale d'algèbre étale sur $k$,
+nous allons considérer quelques classes de $k$-algèbres. 
+Nous établirons enfin l'équivalence d'une grande part des conditions introduites 
+(cf. \ref{pot-diag=geom-red=f-net}).
+
+\subsection{$k$-algèbres potentiellement diagonalisables}
+
+\begin{définition2}\label{algèbre trivialisée}
+Soit $k$ un corps. Une $k$-algèbre $A$ est dite \emph{potentiellement diagonalisable} s'il
+existe une extension \emph{finie} $k'\bo k$ telle que $A_{k'}=A⊗_k k'$
+soit diagonalisable. On dit dans ce cas que $A$ est \emph{diagonalisée},
+ou \emph{trivialisée}, par l'extension $k'\bo k$ ou encore que $k'\bo k$
+\emph{diagonalise}, ou \emph{trivialise}, $A$.
+\end{définition2}
+
+En particulier, une $k$-algèbre potentiellement diagonalisable est finie sur $k$.
+
+\begin{remarque2}\label{diagonalisable implique sous-truc}
+Lorsque $A$ est un corps $K$, l'existence d'une extension $k ′ \bo k$
+trivialisant $A$ entraîne l'existence d'un $k$-plongement — en général non
+unique — de $K$ dans $k ′$.
+En effet, la $k′$-algèbre $K⊗_k k ′$, étant isomorphe
+à ${k ′}^r$ (où $r=[K:k]$) se surjecte sur $k ′$ et le morphisme composé $k→K⊗_k
+k ′↠k ′$ est un $k$-plongement. (Si $A$ n'est pas un corps, on obtient seulement
+l'existence d'un $k ′$-point de $A\bo k$.)
+\end{remarque2}
+
+
+\begin{proposition2}\label{critere-numerique-diagonalisable}
+Soient $A$ une $k$-algèbre et $K\bo k$ une extension.
+\begin{enumerate}
+\item L'application $k$-linéaire canonique $A→A⊗_k K=A_K$,
+$a↦a⊗1$, induit une bijection 
+\[
+\Hom_{K\traitdunion\Alg}(A_K,K)⥲\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)
+\]
+\item
+\[
+\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K) ≤ [A:k],
+\]
+avec égalité \ssi $A$ est diagonalisée par $K\bo k$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+(i) Montrons que plus généralement, pour toute $K$-algèbre $B$,
+l'application canonique $r:\Hom_{K\traitdunion\Alg}(A_K,B)→\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,B)$,
+envoyant chaque morphisme de $K$-algèbres $φ:A_K→B$ 
+sur sa restriction $k$-linéaire $r(φ):a↦φ(a⊗1)$ est une bijection.
+Il suffit de vérifier que l'application $e:\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,B)→\Hom_{K\traitdunion\Alg}(A_K,B)$,
+envoyant $ψ:A→B$ sur $e(ψ):A_K→B$, caractérisé par $a⊗λ↦λψ(a)$, satisfait
+$re=\Id$ et $er=\Id$.
+Cela résulte de la définition. (Ce résultat est un cas particulier
+de la propriété universelle du produit tensoriel d'algèbres, cf. 
+\refext{Tens}{}.)
+(ii) résulte de (i) et du critère \ref{critere diagonalisabilite} (iii).
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}\label{sorites-pot-diagonalisable}
+Soient $A$ une $k$-algèbre et $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
+Les conditions suivantes sont équivalentes :
+\begin{enumerate}
+\item il existe une extension $K$ de $k$ telle que $A_K$ soit
+diagonalisable ;
+\item la $k$-algèbre $A$ est potentiellement diagonalisable ;
+\item la $Ω$-algèbre $A_Ω$ est diagonalisable ;
+\item $\#\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+Remarquons que dans (i), on ne suppose pas l'extension $K\bo k$ algébrique.
+
+\begin{démo}
+(i)⇒(ii).
+D'après la proposition précédente, $\Hom_{K\traitdunion\Alg}(A_K,K)$
+est de cardinal $[A_K:K]=[A:k]=:d$. D'autre part, 
+l'application de restriction $\Hom_{K\traitdunion\Alg}(A_K,K)→\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$
+est une bijection. Soit $φ∈\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$. Puisque $A$ est de dimension finie sur $k$,
+il en est de même de l'image $φ(A)⊆K$ de $φ$. D'autre part,
+puisque $φ$ est un morphisme de $k$-algèbres, $φ(A)$ est une sous-$k$-algèbre
+de $K$. Étant finie sur $k$ et intègre, c'est un sous-corps $k_φ$ de $K$ (cf.
+\ref{fini integre=corps}). Soit $k_A$ le sous-corps de $K$ engendré
+par les $k_φ$ pour $φ∈\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$ ; c'est une sous-$k$-extension \emph{finie}
+de $K$ car l'ensemble des $φ$ est fini. Par construction, l'inclusion
+\emph{a priori} $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k_A)↪\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$ est une bijection.
+Ainsi, $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k_A)=[A:k]=[A_{k_A}:k_A]$ et
+$A$ est diagonalisable sur $k_A$. 
+(ii)⇒(iii). 
+Cela résulte du fait que toute extension finie de $k$ s'envoie dans $Ω$
+et du fait que si $K→Ω$ est un morphisme de corps et $B$ une $K$-algèbre
+diagonalisable, la $Ω$-algèbre $B⊗_K Ω$ est également diagonalisable,
+comme il résulte de l'existence d'un l'isomorphisme $K^r ⊗_K Ω ⥲ Ω^r$.
+%En effet, si $\# \Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)=[B:K]$, $\# \Hom_{Ω\traitdunion\Alg}(B_Ω,Ω)=\#\Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)$
+%est égal à $[B:K]=[B_Ω:Ω]$ (\ref{cb-trace}). 
+%On utilise alors \ref{critere-numerique-diagonalisable} (ii).
+(iii)⇒(i) : évident.
+(iii)↔(iv). Résulte de \ref{critere-numerique-diagonalisable}.
+\end{démo}
+
+
+\subsection{Algèbres monogènes ; polynômes et extensions algébriques séparables}
+
+%[Vérifier si des conditions $f$ non nul/constant n'ont pas été
+%oubliées. \XXX]
+
+\begin{definition2}\label{algebre-monogene}
+Soit $k$ un corps. Une $k$-algèbre $A$ est dite \emph{monogène}
+s'il existe une surjection de $k[X]$ sur $A$. L'image de $X$ par un tel
+morphisme est appelé un \emph{générateur} de l'algèbre $A$ sur $k$.
+\end{definition2}
+
+Rappelons (cf. \ref{polynome-minimal}) 
+la conséquence suivante de la principalité de l'anneau $k[X]$.
+
+\begin{lemme2}
+Toute $k$-algèbre monogène finie
+est isomorphe à une $k$-algèbre $k_f=k[X]/(f(x))$ (convention \ref{k-f}),
+où $f$ est un polynôme unitaire à coefficient dans $k$.
+\end{lemme2}
+
+Le polynôme $f$ n'est bien sûr pas uniquement déterminé par l'algèbre : 
+il dépend du choix d'un générateur, dont il est le polynôme 
+minimal (\ref{polynome-minimal}).
+
+\subsubsection{}Écrivons $f=∏_{i=1}^r f_i$ où les polynômes $f_i∈k[X]$ sont 
+\emph{premiers entre eux}. Il résulte du lemme chinois
+(\refext{Spec}{lemme chinois}) que l'application canonique $k_f → ∏_1^r k_{f_i}$
+est un \emph{isomorphisme}.
+Appliquant ceci à une décomposition en puissances
+de facteurs irréductibles $f_i=P_i^{n_i}$ ($n_i>0$), où les
+$P_i$ sont irréductibles dans $k[X]$ et premiers entre eux deux à deux,
+on obtient une décomposition :
+\[
+k_f ⥲  ∏_{i=1}^r k_{P_i^{n_i}},
+\]
+qui est un cas particulier explicite de \ref{structure-algebres-finies}.
+On en tire sans difficulté le lemme suivant.
+
+\begin{lemme2}\label{structure k-f}
+Soit $f∈k[X]$. La $k$-algèbre $k_f$ est :
+\begin{enumerate}
+\item \emph{intègre} \ssi $f$ est \emph{irréductible} ;
+\item \emph{réduite} \ssi $f$ est \emph{sans facteur carré} ;
+\item \emph{diagonalisable} \ssi $f$ est \emph{scindé à racines simples sur $k$}.
+\end{enumerate}
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Le premier point est évident ; il n'est mis que pour mémoire.
+Vérifions (ii). D'après la décomposition précédente et compte tenu
+du fait qu'un produit fini d'anneaux est réduit \ssi chaque facteur l'est,
+il suffit de vérifier que si $P$ est un polynôme irréductible,
+l'anneau $k_{P^n}$ est réduit \ssi $n=1$. Cela résulte du fait que si $n>1$, 
+la classe de $P$ dans $k_{P^n}$ est un nilpotent non trivial. (L'implication
+réciproque est un corollaire de (i).) 
+Vérifions (iii). D'après \ref{critere-numerique-diagonalisable},
+et \ref{points k-f}, $k_f$ est diagonalisable
+\ssi $\{a∈k:f(a)=0\}$ est de cardinal $\deg(f)$. CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{lemme2}\label{changement-base-k-f}
+Soient $f∈k[X]$ et $k'\bo k$ une extension.
+Le morphisme $k_f⊗_k k'→ k'_f$ envoyant
+$(X^i\mod f)⊗λ$ sur $(λX^i\mod f)$ est un isomorphisme.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+En effet, on vérifie sans peine que l'application $(λ X^i\mod f)↦(X^i \mod f)⊗λ$ 
+en est un inverse.
+Alternativement, on pourrait utiliser l'isomorphisme
+« $A/I⊗_A M ⥲ M/I$ » de \refext{Tens}{}.
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}\label{pot-diag-reduit}
+Soit $f∈k[X]$.
+Les conditions suivantes sont équivalentes :
+\begin{enumerate}
+\item la $k$-algèbre $k_f$ est potentiellement diagonalisable ;
+\item l'anneau $(k_f)_{k'}$ est réduit pour toute extension finie $k'\bo k$ ;
+\item le polynôme $f$ est scindé à racines \emph{simples} dans une clôture algébrique
+de $k$.
+\end{enumerate}
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+(i)⇒(ii). Puisqu'une $k$-algèbre potentiellement diagonalisable
+le reste après extension des scalaires, il suffit de démontrer
+que $k_f$ est réduit. Or, si $K\bo k$ diagonalise $k_f$,
+le morphisme canonique $k_f→(k_f)_K$ étant injectif,
+l'algèbre $k_f$ est réduite car $(k_f)_K$, étant diagonalisable,
+l'est. (ii)⇒(iii) Supposons que $f$ ait une racine multiple dans une
+clôture algébrique $Ω$ de $k$ et considérons $k'$ le corps de
+décomposition de $f$ dans $Ω$. Le polynôme $f$ a un facteur
+carré dans $k'$, ce qui est en contradiction avec l'hypothèse,
+d'après le lemme précédent et \ref{structure k-f} (ii).
+(iii)⇒(i). Si $f$ est scindé à racines simples sur un corps $k'$,
+$(k_f)_{k'}$ est diagonalisable d'après le
+lemme précédent et \ref{structure k-f} (iii). 
+\end{démo}
+
+\begin{définition2}\label{polynome-separable}
+Soit $k$ un corps. Un polynôme $f∈k[X]$ est dit \emph{séparable}
+s'il satisfait les conditions équivalentes (i)--(iii) de l'énoncé précédent.
+\end{définition2}
+
+\begin{définitionrestreinte2}\label{element-extension-separable}
+Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre.
+On dit qu'un élément $a∈A$ est \emph{séparable sur $k$}
+si son polynôme minimal (\ref{polynome-minimal}) est séparable.
+Une extension \emph{algébrique} $k'\bo k$ est dite \emph{séparable} si
+tout élément de $k'$ est séparable sur $k$.
+\end{définitionrestreinte2}
+
+On verra plus bas qu'une extension algébrique engendrée par des éléments
+séparables est séparable.
+
+Il est clair qu'une extension algébrique $k'\bo k$ est séparable
+\ssi toute sous-$k$-extension \emph{finie} de $k$ est séparable.
+
+\begin{proposition2}\label{critère différentiel de séparabilité polynôme}
+Soit $f∈k[X]$. Les conditions suivantes sont équivalentes :
+\begin{enumerate}
+\item $f$ est séparable ;
+\item $(f,f')=1$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Le cas où $k$ est algébriquement clos est clair. Vérifions
+que l'on peut se ramener à ce cas. Soient $k$ comme dans l'énoncé
+et $Ω$ une clôture algébrique de $k$. D'après \ref{pot-diag-reduit} (iii),
+le polynôme $f$ est séparable si et seulement si son image dans $Ω[X]$
+l'est. D'autre part, la condition (ii) est également invariante
+par extension des scalaires. En effet, l'algorithme d'Euclide
+montre que l'idéal engendré par $f$ et $f'$ dans
+$Ω[X]$ est engendré par un polynôme à coefficients dans $k$, qui
+n'est autre que le pgcd, calculé dans $k[X]$. (Ceci
+est un fait général valable pour toute $k$-algèbre et toute
+paire de polynômes.)
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}\label{separable-irreductible}
+Soit $f∈k[X]$ un polynôme \emph{irréductible}. Les conditions suivantes sont équivalentes :
+\begin{enumerate}
+\item $f$ est séparable ;
+\item $f'≠0$ ;
+\item $f∉k[X^p]$, où $p≥0$ est la \emph{caractéristique} du corps $k$.
+\end{enumerate}
+\end{corollaire2}
+
+(Observons que la dernière condition est automatiquement satisfaite
+si $p=0$.)
+
+
+\subsection{Algèbres géométriquement réduites}
+
+\begin{proposition2}
+Conditions équivalentes \XXX :
+\begin{enumerate}
+\item pour toute extension finie $k'$ de $k$, l'anneau $A_{k'}$ est
+\emph{réduit} ;
+\item $A_Ω$ est réduite ;
+\item $A_K$ est réduite où $K⊆ Ω$ est telle que $u(A) ⊆K$ pour tout $u:A →
+Ω$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+\begin{démo}
+\XXX
+% cf. Grothendieck projet pour Bourbaki, p. 18.
+\end{démo}
+
+\begin{définition2}\label{geometriquement-reduit}
+Soit $k$ un corps. Une $k$-algèbre $A$ est dite \emph{géométriquement réduite}
+si pour toute extension finie $k'$ de $k$, l'anneau $A_{k'}$ est \emph{réduit}.
+\end{définition2}
+
+On dit également que le \emph{morphisme} $k → A$, aussi noté $A\bo k$, est \emph{géométriquement réduit}.
+
+\begin{exemple2}\label{geom-red-separable}
+Une algèbre monogène $k_f$ est géométriquement réduite \ssi $f$ est séparable.
+(cf. \ref{pot-diag-reduit}).
+\end{exemple2}
+
+\begin{lemme2}\label{sous algebre geometriquement reduite}
+Soient $B$ une $k$-algèbre géométriquement réduite
+et $A$ une sous-$k$-algèbre de $B$. Alors,
+$A\bo k$ est géométriquement réduite.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Un sous-anneau d'un anneau réduit étant réduit, il suffit
+de démontrer que si $ι:A↪B$ est une injection entre deux $k$-algèbres,
+le morphisme canonique $A_{k'}→B_{k'}$, caractérisé par le fait
+d'envoyer $a⊗λ$ sur $ι(a)⊗λ$, est injectif pour toute extension $k'\bo k$.
+C'est une question d'algèbre linéaire,
+qui résulte de la définition. (Considérer une $k$-base de $A$,
+complétée en une $k$-base de $B$.)
+\end{démo}
+
+(Voir \refext{Tens}{} pour une généralisation.)
+
+\subsubsection{}\label{géométriquement réduite implique séparable}Observons que si $A$ est une $k$-algèbre entière
+géométriquement réduite, ses éléments sont séparables
+sur $k$. En effet la sous-$k$-algèbre $k[a]$ de $A$ engendrée par un élément
+$a$ de $A$ est isomorphe à $k_{μ_a}$ où $μ_a$ est le polynôme minimal de $a$.
+La $k$-algèbre $k[a]$ étant géométriquement réduite d'après le lemme
+précédent, le polynôme $μ_a$  est donc séparable. Ceci signifie que
+l'élément $a$ est séparable sur $k$. Réciproquement,
+on peut montrer (\ref{pot-diag=geom-red=f-net} ci-dessous)
+qu'une algèbre dont les éléments sont algébriques séparables
+sur $k$ est géométriquement réduite.
+
+\subsection{Algèbres formellement nettes}
+
+\begin{définition2}
+Soient $k$ un \emph{anneau}, $A$ une $k$-algèbre et $M$ un $A$-module.
+On appelle \emph{$k$-dérivation} de $A$ dans $M$ toute application
+\emph{$k$-linéaire} $d:A→M$ satisfaisant la règle de Leibniz :
+$$
+d(ab)=ad(b)+bd(a),
+$$
+pour tous $a,b∈A$.
+Les $k$-dérivations forment un groupe abélien que l'on note $\Der_k(A,M)$.
+\end{définition2}
+
+La $k$-linéarité entraîne que $d(λ)=0$ pour tout $λ∈k$.
+
+\begin{définition2}
+Soit $k$ un \emph{anneau}. Une $k$-algèbre $A$ est dite
+\emph{formellement nette} si pour tout
+$A$-module $M$, l'ensemble $\Der_k(A,M)=0$.
+\end{définition2}
+
+On dit aussi que le morphisme $k → A$, également noté $A\bo k$, est
+\emph{formellement net}.
+
+On verra en \refext{Om}{} une reformulation
+de cette propriété dans le langage des \emph{formes différentielles}.
+
+\subsubsection{}Soient $φ:A→B$ un morphisme de $k$-algèbres, $M$ un $B$-module.
+Notons $M_{[A]}$ désigne le $A$-module déduit de $M$ par $φ$ :
+$a ⋅ m=φ(a)m$. Si $d:B → M$ est une $k$-dérivation,
+le morphisme composé $d∘φ$ est une $k$-dérivation de $A$ dans $M_{[A]}$.
+Si $φ$ est surjectif, l'égalité $d ∘ φ=0$ entraîne l'égalité
+$d=0$. En d'autres termes, nous avons démontré le lemme suivant.
+
+\begin{lemme2}\label{injectivité Dér si surjectivité morphismes}
+Soient $A → B$ un morphisme surjectif de $k$-algèbres
+et $M$ un $B$-module.
+Le morphisme $\Der_k(B,M)→\Der_k(A,M_{[A]})$ est \emph{injectif}.
+\end{lemme2}
+
+\begin{corollaire2}\label{quotient formellement net=formellement net}
+Si $A$ est une $k$-algèbre formellement nette, il
+en est de même de ses quotients.
+\end{corollaire2}
+
+En particulier, tout morphisme surjectif $k ↠ A$ est formellement net.
+
+\begin{exemple2}[Algèbre des nombres « duaux »]\label{nombres duaux pas nets}
+Soit $k$ un anneau. La $k$-algèbre $k[ε]:=k[X]/(X²)$ n'est \emph{pas}
+formellement nette : l'application $k[ε]→k$, $a+bε\mapsto b$
+est une $k$-dérivation non triviale.
+\end{exemple2}
+
+\begin{lemme2}[Extension des scalaires]\label{cb-nets}
+Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre formellement nette.
+Pour toute $k$-algèbre $k'$, l'algèbre $A_{k'}=A ⊗_k k ′$ est formellement
+nette sur $k'$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Soient $M'$ un $A_{k'}$-module et $d':A_{k'}→M'$ une $k'$-dérivation.
+Notons $d$ la $k$-dérivation $A→M'_{[A]}$ déduite du morphisme canonique
+$A→A_{k'}$ ; elle est nulle par hypothèse sur $A\bo k$. L'anneau $A_{k'}$ étant engendré
+en tant que $k'$-module par $A$ et $d'$ étant $k'$-linéaire, on a
+également $d'=0$.
+\end{démo}
+
+L'hypothèse que $k$ est un corps n'est là que pour
+nous permettre de faire référence à la définition élémentaire 
+du produit tensoriel donnée dans ce chapitre (\ref{définition
+restreinte produit tensoriel}).
+La démonstration ci-dessus est valable pour $k$ un anneau
+quelconque, si $A_{k'}=A⊗_k k'$ est pris au sens
+de \refext{Tens}{}.
+
+\begin{lemme2}[Transitivité]\label{composes-nets}
+Soient $k$ un \emph{anneau} et $k → A$, $A → B$ deux morphismes
+formellement nets. Le morphisme composé $k → B$ est formellement net.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Soient $M$ un $B$-module et $d∈\Der_k(B,M)$. On veut montrer que
+$d=0$. La restriction de $d$ à $A$ appartient à $\Der_k(A,M_{[A]})$, qui
+est nul par hypothèse. Ainsi $d(A)=\{0\}$ : la dérivation est $A$-linéaire.
+Par hypothèse, $\Der_A(B,M)=\{0\}$ donc $d=0$.
+\end{démo}
+
+\begin{lemme2}[Passage à la limite]\label{colim-nettes}
+Soient $k$ un \emph{anneau} et $A$ une $k$-algèbre.
+Supposons que $A$ soit la réunion de sous-$k$-algèbres $A_i$ formellement
+nettes. Alors, $A$ est formellement net sur $k$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Si les restrictions aux $A_i$ d'une $k$-dérivation $d$ de $A$ 
+sont toutes nulles, il en est de même de $d$.
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}
+Soient $k$ un corps et $f∈k[X]$.
+La $k$-algèbre $k_f$ est formellement nette \ssi le polynôme $f$ est séparable.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Supposons $f$ séparable et considérons une $k$-dérivation $d:k_f→M$.
+Puisque $f(x)=0$ dans $k_f$, on a $d(f(x))=0$ dans $M$. Il résulte
+de la formule de Leibniz que $d(f(x))=f'(x)d(x)$. Par hypothèse $f'(x)$ est
+une unité de $k_f$ (cf. \ref{critère différentiel de séparabilité polynôme})
+de sorte que l'égalité $f'(x)d(x)=0$ entraîne $d(x)=0$.
+Ainsi, pour tout $g∈k[X]$, $d(g(x))=g'(x)d(x)=0$ de sorte que $d=0$. CQFD.
+Réciproquement, supposons $k_f$ formellement net sur $k$ ; il
+en est donc de même de $Ω_f$ où $Ω$ est une clôture algébrique
+de $k$. Supposons par l'absurde que $f$ ne soit pas à racines simples dans $Ω$,
+de sorte que $Ω_f$ se surjecte (non canoniquement) sur la $Ω$-algèbre $Ω[ε]=Ω[X]/(X²)$.
+Or, d'après \ref{quotient formellement net=formellement net}, $Ω[ε]$ serait
+alors formellement nette sur $Ω$. Contradiction (cf. \ref{nombres duaux pas nets}).
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}\label{mono geom red ssi f-nette}
+Soit $k$ un corps. Une $k$-algèbre finie monogène est géométriquement réduite
+\ssi elle est formellement nette.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{proposition2}\label{net-implique-reduit}
+Soient $k$ un corps algébriquement clos et $A$ une $k$-algèbre finie formellement
+nette. Alors, $A$ est réduite.
+\end{proposition2}
+
+Cela résulte des deux lemmes ci-dessous. (Rappelons que
+les idéaux premiers $A$ sont tous maximaux, cf.
+\ref{Spec=Specmax-cas-part}.)
+
+\begin{lemme2}
+Soient $k$ un corps algébriquement clos, $A$ une $k$-algèbre finie et $\MM$ un
+idéal maximal. Le morphisme canonique $k→A/\MM$ est un isomorphisme et si l'on
+note $s_\MM:A→k1_A⊂A$ l'unique application telle que pour tout $a∈A$, on
+ait $a-s_\MM(a)∈\MM$, l'application $d_\MM:A→\MM/\MM²$, $a\mapsto a-s_\MM(a)
+\mod \MM²$ est une $k$-dérivation et est surjective.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+La $k$-linéarité de $d_\MM$ est manifeste, de même que 
+la surjectivité (car $s_\MM(m)=0$ pour $m∈\MM$). Calculons $d_\MM(aa')$
+pour $a$ et $a'$ dans $A$. Puisque 
+$$
+\big(a-s_\MM(a)\big)\big(a'-s_\MM(a')\big)=aa'-\big(as_\MM(a')+a's_\MM(a)\big)+s_\MM(a)s_\MM(a')
+$$
+appartient à $\MM²$, on a
+$d_\MM\Big(aa'-\big(as_\MM(a')+a's_\MM(a)\big)+s_\MM(a)s_\MM(a')\Big)=0$.
+Utilisant le fait que $d_\MM(k)=0$ et ,
+on en tire 
+$$
+d_\MM(aa')=d_\MM\big(as_\MM(a')\big)+d_\MM\big(a's_\MM(a)\big)=s_\MM(a')d_\MM(a)+s_\MM(a)d_\MM(a').
+$$
+Ceci est équivalent à la formule de Leibniz car si $x∈\MM/\MM²$, 
+$ax=s_\MM(a)x$.
+\end{démo}
+
+\begin{lemme2}
+Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre finie telle que pour tout idéal premier $𝔭∈\Spec(A)$
+on ait $𝔭²=𝔭$. Alors, $A$ est réduit.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+D'après \refext{Spec}{caracterisation-nilpotents}, $\Nilp(A)=⋂_{𝔭∈\Spec(A)} 𝔭$. D'autre part,
+puisque $A$ est nœthérien, il existe un entier $r$ tel que $\Nilp(A)^r=\{0\}$
+(cf. \refext{Spec}{Nil+noeth-implique-nilp}).
+Il en résulte que $∏_𝔭 𝔭^r=\{0\}$ car pour toute famille finie $I_{e∈E}$ d'idéaux
+d'un anneau, on a l'inclusion $∏_{e∈E}I_e^r⊆(⋂_{e∈E}I_e)^r$. (Voir
+aussi \ref{structure-algebres-finies}, démonstration.)
+Compte tenu des égalités $𝔭²=𝔭$, on a donc $∏_𝔭 𝔭=0$.
+Soit $x$ un élément non nul de $A$. Il existe un idéal premier
+— ou maximal, cela revient ici au même — $𝔭'∈\Spec(A)$ contenant
+l'annulateur $\Ann(x)=\{y∈A:yx=0\}$.
+Si l'on suppose de plus que $x$ appartient à $\Nilp(A)=⋂_𝔭 𝔭$,
+il appartient en particulier à $𝔭'$. Comme d'autre part l'idéal produit $∏_𝔭 𝔭$ est
+nul, on a l'inclusion $∏_{𝔭≠𝔭'}𝔭⊆\Ann(x)$ et, finalement, l'inclusion $∏_{𝔭≠𝔭'}𝔭⊆𝔭'$.
+C'est impossible car les idéaux premiers $𝔭$ étant maximaux, il existe pour tout $𝔭≠𝔭'$
+un élément $a_{𝔭}∈𝔭-𝔭'$, de sorte que $∏_{𝔭≠𝔭'}a_{𝔭}∈\big(∏_{𝔭≠𝔭'}𝔭\big)-𝔭'$.
+Ainsi, $\Nilp(A)=⋂_𝔭 𝔭$ est réduit à l'ensemble $\{0\}$. CQFD.
+\end{démo}
+
+%Regarder démonstration du théorème de l'élément primitif dans Raynaud, Anneaux locaux
+%hensélien, p.38 dans le cas d'un corps infini.
+
+\subsubsection{Exercices}
+
+
+\begin{exercice2}[Analogue algébrique de la notion d'immersion]
+\begin{enumerate}
+\item Soient $k$ un \emph{anneau} et $A$ une $k$-algèbre. Montrer que
+$A\bo k$ est formellement net si et seulement si pour toute $k$-algèbre $T$, tout idéal de carré nul $I$
+de $T$ et tout $k$-morphisme $A→T₀=T/I$, il existe au plus un $k$-relèvement
+$A→T$.
+
+\item Soient $k$ un anneau et $f∈k[X₁,\dots,X_n]$. Posons
+$k_f=k[X₁,\dots,X_n]/f$.
+Montrer que le carré 
+
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+\overline{φ} & φ \\
+\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k_f,k)& \Hom_{k\traitdunion\Alg}(k_f,k[ε])\\
+\{x=(x₁,\dots,x_n)∈k^n:f(x)=0\} & \{(x,v)∈k^n×k^n:f(x+vε)=f(x)+⟨v,∇_x f⟩=0\}\\
+x & (x,v)
+ \\};
+\draw[<-|] (diag-1-1) --  (diag-1-2);
+\draw[<-] (diag-2-1) --  (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node{∼} (diag-3-1);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node{∼} (diag-3-2);
+\draw[<-] (diag-3-1) --  (diag-3-2);
+\draw[<-|] (diag-4-1) --  (diag-4-2);
+%\draw[draw=none] (elem-2-1) to node [isin] {$\in$} (diag-2-1);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+où $∇_x f={\frac{∂}{∂_{X₁}}f}_{x}+\cdots+{\frac{∂}{∂_{X_n}}f}_{x}$, est commutatif.
+\item En déduire que si $k_f$ est formellement nette
+sur $k$, alors $n=1$ et pour tout $x∈k$ tel que $f(x)=0$, 
+nécessairement $f'(x)∈k^×$.
+\end{enumerate}
+\end{exercice2}
+
+\begin{exercice2}
+Soient $k$ un anneau, $A$ une $k$-algèbre, et $M$ un $A$-module.
+Posons $M[ε]=A⊕M$, muni de la structure de $k$-algèbre 
+suivante : $(a⊕m)(a'⊕m')=aa'⊕(am'+a'm)$, et $λ(a⊕m)=λa⊕λm$.
+L'unité de $M[ε]$ est $1_A⊕0_M$. On a un morphisme
+naturel, dit d'\emph{augmentation}, $M[ε]→A$
+de sorte que $M[ε]$ est une $k$-algèbre au-dessus de $A$.
+\begin{enumerate}
+\item Définir la notion de morphisme entre $k$-algèbres augmentées
+vers $A$, noté $\Hom_{k\traitdunion\Alg \bo A}(A,M[ε])$.
+\item Construire un isomorphisme $k$-linéaire
+$\Der_k(A,M) ⥲ \Hom_{k-\mathrm{alg}\bo A}(A,M[ε])$.
+\end{enumerate}
+\end{exercice2}
+
+\subsection{Algèbres étales}
+
+Dans ce paragraphe, on note $k$ un corps.
+
+\begin{théorème2}\label{pot-diag=geom-red=f-net}
+Soit $A$ une $k$-algèbre \emph{finie}.
+Les conditions suivantes sont équivalentes :
+\begin{enumerate}
+\item la $k$-algèbre $A$ est potentiellement diagonalisable ;
+\item la $k$-algèbre $A$ est géométriquement réduite ;
+\item la $k$-algèbre $A$ est formellement nette ;
+\item tout élément de $A$ est séparable sur $k$ ;
+\item la trace $\Tr_{A\bo k}:A→k$ induit un isomorphisme
+$A ⥲ A^{\vee}$ ;
+\item si $Ω$ est une clôture algébrique de $k$, $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$.
+\end{enumerate}
+\end{théorème2}
+
+On remarquera que les trois premières conditions sont très semblables
+aux conditions du corollaire \ref{pot-diag-reduit},
+dont elles sont une extension au cas non monogène.
+
+\begin{définition2}\label{etale}
+Soit $k$ un corps. Une $k$-algèbre finie $A$ satisfaisant les conditions
+du théorème précédent est dite \emph{étale}.
+\end{définition2}
+
+On dit également que le morphisme $k → A$ est fini étale.
+
+\begin{définition2}\label{degre separable}
+On appelle \emph{degré séparable} \index{degré séparable} d'une $k$-algèbre
+finie $A$ l'entier $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$, où $Ω$ est
+une clôture algébrique quelconque de $k$. On le note $[A:k]_s$.
+\end{définition2}
+
+Le fait que l'entier $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$ soit indépendant
+du choix de la clôture algébrique $Ω$ est un corollaire au théorème
+de Steinitz.
+
+D'après le théorème ci-dessus, une $k$-algèbre finie $A$ est
+donc étale \ssi $[A:k]=[A:k]_s$ (critère (vi)).
+
+\begin{remarque2}[terminologique]
+Il résulte du théorème précédent qu'une extension $k'\bo k$
+qui est étale est séparable au sens de la définition \ref{element-extension-separable}. 
+La réciproque est fausse car une extension algébrique séparable n'est pas
+nécessairement finie.
+D'autre part, nous étendrons dans un chapitre ultérieur la notion
+d'extension séparable au cas d'extensions non algébriques.
+Ceci explique en partie pourquoi, contrairement à l'usage
+le plus courant, nous préférons parler d'extension 
+étale plutôt que d'extension finie séparable.
+\end{remarque2}
+
+
+\begin{démo}
+(i)⇒(ii) : évident. (ii)⇒(i). D'après \ref{sorites-pot-diagonalisable}, on peut supposer $k$ algébriquement
+clos. Or, sur un tel corps, une algèbre finie réduite est diagonalisable (\ref{k-algebres-finies}).
+(ii) ⇒ (iv) : cf. \ref{géométriquement réduite implique séparable}.
+(iv)⇒(iii) : toute sous-algèbre monogène de $A$ est géométriquement
+réduite donc (\ref{mono geom red ssi f-nette}) formellement nette.
+On conclut par \ref{colim-nettes}. (iii)⇒(ii) :
+cf. \ref{cb-nets} (réduction au cas d'un corps algébriquement clos) et \ref{net-implique-reduit}.
+Démontrons enfin l'équivalence de (v) avec (i)-(iv). La condition (v) est invariante par extension
+des scalaires : l'application $k$-linéaire $A→A^{\vee}$ déduite
+de la trace $\Tr_{A\bo k}$ induit, par extension des scalaires de $k$ à $Ω$,
+l'application $Ω$-linéaire $A_Ω→A_Ω^{\vee}$ déduit de la trace $\Tr_{A_Ω/Ω}$ (cf.
+\ref{cb-trace}) ; cette correspondance préserve les isomorphismes
+de sorte que l'on peut supposer $k$ algébriquement clos. Faisons dorénavant
+cette hypothèse.
+(i)⇒(v) : puisque $A$ est isomorphe à $k^n$, où $n=[A:k]$, la trace induit un isomorphisme
+(cf. aussi \ref{trace-produit}). (v)⇒(i), puisque
+la trace d'un endomorphisme nilpotent est nulle, on a
+l'inclusion $\Nilp(A)⊆\Ker(A→A^\vee)$ de sorte que $A$ est réduite si
+$A→A^{\vee}$ est un isomorphisme.
+(vi)↔(i) : mis pour mémoire (cf. \ref{sorites-pot-diagonalisable}).
+\end{démo}
+
+\begin{remarque2}
+À titre d'illustration de l'intérêt d'un tel théorème,
+signalons le fait suivant — qui sera généralisé en \ref{k(sep)=sep} —, qui n'est 
+pas évident à partir de la définition d'un élément séparable : 
+\begin{quote}
+Soit $K\bo k$ une extension et soit $x∈K$ un élément algébrique, séparable sur $k$.
+Alors l'\emph{extension} $k(x)$ est séparable : tout élément $y∈k(x)$ — \cad
+tout polynôme en $x$ à coefficients dans $k$ — est racine d'un polynôme séparable
+à coefficients dans $k$.
+\end{quote}
+En effet, par définition, la $k$-algèbre $k(x)≅k_{μ_{x,k}}$ est géométriquement
+réduite, de sorte que d'après (ii)⇒(iv), tout élément de $k(x)$ est 
+séparable sur $k$. (Le point clef est qu'une sous-$k$-algèbre
+d'une $k$-algèbre géométriquement réduite est géométriquement 
+réduite.)
+\end{remarque2}
+
+\begin{proposition2}\label{etale stable par sous-quotient etc.}
+La propriété pour une $k$-algèbre sur un corps 
+d'être étale est transitive et stable par quotient, 
+sous-algèbre, produit tensoriel et extension des scalaires.
+\end{proposition2}
+
+On dit parfois que la propriété d'être une algèbre étale
+est stable par « passage au \emph{sous-quotient} ». Cette expression,
+bien commode, signifie que l'énoncé est vrai si l'on remplace 
+« sous-quotient » par « sous-objet » ou « quotient ».
+
+\begin{démo}
+Transitivité : si $k$ un corps, $K\bo k$ une extension étale et $A\bo K$ une
+algèbre étale, il résulte de \ref{composes-nets} et du théorème précédent
+(critère (iii)) que $A\bo k$ est étale.
+
+Stabilité par :
+\begin{enumerate}
+\item quotient : si une $B$ est un quotient
+d'une $k$-algèbre $A$, le morphisme induit $A_Ω → B_Ω$ 
+est également surjectif, comme il résulte immédiatement
+de la définition \ref{définition restreinte produit tensoriel}.
+La stabilité résulte de \ref{quotient diagonalisable}
+et du critère (i) du théorème ci-dessus.
+\item extension des scalaires : cf. \ref{cb-nets} et critère (iii).
+\item sous-objet : cf. \ref{sous algebre geometriquement reduite} et
+critère (ii) ou bien \ref{sous-diag=diag} et critère (i). 
+\item produit tensoriel : si $A$ et $B$ sont deux $k$-algèbres,
+la $Ω$-algèbre $(A⊗_k B)⊗_k Ω$ est isomorphe à $A_Ω⊗_Ω B_Ω$.
+(Ceci peut se voir par exemple sur les constantes de structure
+de ces algèbres, relativement aux bases introduites
+en \ref{constantes structure produit tensoriel} et
+\ref{changement de base k-algèbre}, ou bien comme un cas
+particulier de la distributivité du produit tensoriel,
+cf. \refext{Tens}{distributivite-produit-tensoriel}).
+On peut donc appliquer \ref{pdt tens diag=diag} et le critère (i)
+du théorème précédent.
+\end{enumerate}
+\end{démo}
+
+Enfin, par passage à la limite, la proposition précédente
+a des conséquences en terme d'extensions algébriques (non
+nécessairement finies) séparables.
+
+\subsection{Sorites sur les extensions algébriques séparables}
+
+\begin{proposition2}\label{sous-extension-etale}
+Soient $k'\bo k$ et $k''\bo k'$ des extensions telles que
+$k''\bo k$ soit algébrique séparable.
+Alors $k''\bo k'$ et $k'\bo k$ sont algébriques séparables.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Le fait que $k'\bo k$ soit séparable est trivial : tout élément
+de $k'$ appartient à $k''$ donc est séparable sur $k$.
+Soit $x∈k''$. Il est séparable sur $k$ donc sur $k'$
+car si le polynôme minimal $μ_{x,k}$ de $x$ sur $k$ est sans facteur carré, le polynôme
+$μ_{x,k'}$ --- qui le divise --- est également sans facteur carré.
+\end{démo}
+
+Réciproquement.
+
+\begin{proposition2}
+Si $k'\bo k$ et $k'' \bo k'$ sont deux extensions algébriques séparables.
+l'extension $k''\bo k$ est également algébrique séparable.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+D'après \ref{algébrique sur algébrique=algébrique}, l'extension $k''\bo k$ est
+algébrique. Il s'agit de vérifier que tout $x''∈k''$ est séparable sur $k$.
+Soit $k'₀$ le sous-corps de $k ″$ engendrée sur $k ′$ par les coefficients
+du polynôme séparable $f=μ_{x'',k'}∈k'[X]$.
+Le polynôme $f$ est séparable de sorte que le corps $k'₀(x'')$,
+isomorphe à ${k'₀}_{f}$, est étale sur $k'₀$.
+D'autre part, $k'₀\bo k$ est également étale car elle est finie
+et séparable d'après la proposition précédente. (Toute sous-extension d'une extension séparable
+est séparable). D'après la proposition \ref{etale stable par sous-quotient etc.},
+$k'₀(x'')\bo k$ est étale. En particulier, $x''$ est séparable sur $k$.
+\end{démo}
+
+À titre de curiosité, le lecteur pourra essayer de donner
+une démonstration de ce fait directement à partir
+de la définition \ref{element-extension-separable}.
+
+Une extension composée étant un quotient du produit tensoriel,
+la proposition \ref{etale stable par sous-quotient etc.}
+a pour corollaire, dans le cas étale, le résultat suivant.
+
+\begin{corollaire2}\label{compose-etale}
+Soient $K₁\bo k$ et $K₂\bo k$ deux extensions étales (resp.
+algébriques séparables).
+Toute extension composée $K₁K₂\bo k$ est étale (resp. algébrique séparable). 
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+Le cas algébrique séparable (non nécessairement fini)
+résulte du cas général en observant que $K₁K₂$ est la réunion
+des sous-corps $k₁k₂⊂K₁K₂$ où $k₁$ (resp. $k₂$) parcourt l'ensemble
+des sous-$k$-extensions finies de $K₁$ (cf. \ref{extension-composee=colimite}).
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}\label{k(sep)=sep}
+Soit $K\bo k$ une extension engendrée par des éléments algébriques séparables sur
+$k$. Alors $K\bo k$ est algébrique séparable sur $k$ : tout élément $x$ de $K$
+est séparable sur $k$.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+On peut supposer $K=k(y₁,…,y_n)$ où les éléments $y_i$ sont algébriques
+séparables sur $k$. L'extension $K\bo k$ est alors une extension composée
+de ses sous-$k$-extensions monogènes étales $k(y_i)$. 
+La conclusion découle d'une récurrence immédiate s'appuyant sur le corollaire
+précédent.
+\end{démo}
+
+Dans le langage des corps de décomposition, cela se traduit ainsi :
+
+\begin{corollaire2}\label{dec-poly-sep=sep}
+Soient $k$ un corps et $(f_i)_{i∈I}$ une famille de polynômes séparables.
+Alors $\dec_k\big((f_i)_{i∈I})\big)\bo k$ est algébrique séparable.
+\end{corollaire2}
+
+Signalons la réciproque partielle :
+
+\begin{lemme2}\label{dec(f)-sep=>f-red-separable}
+Soient $k$ un corps et $f∈k[X]$ un polynôme sans facteur carré.
+Si $\dec(f)\bo k$ est séparable, le polynôme $f$ est séparable.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Il faut montrer que chaque facteur irréductible $g$ de $f$ est séparable.
+Comme $\dec(f)\bo k$ contient un corps de décomposition de $g$
+et qu'une sous-extension d'une extension séparable est séparable,
+on peut supposer $f$ irréductible.
+La $k$-algèbre $k_f=k[X]/f$ est alors un corps, $k$-isomorphe à
+un sous-corps de $\dec(f)$ (de façon non unique). Il en résulte que $k_f\bo k$
+est étale (\ref{etale stable par sous-quotient etc.}) donc potentiellement diagonalisable.
+Par définition (\ref{pot-diag-reduit}), $f$ est donc séparable.
+\end{démo}
+
+\subsection{Clôture séparable}
+
+\begin{définition2}
+Un corps $K$ est dit \emph{séparablement clos} 
+si toute extension étale de $K$ est triviale.
+\end{définition2}
+
+De façon équivalente, cela revient à supposer que tout polynôme 
+\emph{séparable} à coefficient dans $K$ est scindé.
+
+\begin{proposition2}
+Soient $k$ un corps et $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
+L'ensemble $Ω₀$ des éléments de $Ω$ séparables sur $k$ est 
+un corps séparablement clos. De plus, c'est le seul 
+sous-corps séparablement clos de $Ω$ contenant $k$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Soient $x,y∈Ω$ séparables sur $k$. L'extension 
+composée $k(x,y)$ de $k(x)$ et $k(y)$ dans $Ω$ est algébrique séparable sur $k$ d'après  
+\ref{compose-etale} de sorte que $x+y$, $xy$, et
+$x^{-1}$ si $x≠0$, sont également séparables sur $k$. L'ensemble
+$Ω₀$ est donc un corps, contenant $k$ et algébrique séparable sur $k$.
+Si $z∈Ω$ est séparable sur $Ω₀$, il est séparable sur une sous-$k$-extension
+\emph{étale} $k'$ de $Ω₀$, par exemple le corps
+engendré sur $k$ par les coefficients du polynôme
+$μ_{z,Ω₀}$. Les extensions $k'\bo k$ et $k'(z)\bo k'$
+étant étales, il en est de même de l'extension
+$k'(z)\bo k$ (\ref{etale stable par sous-quotient etc.}, transitivité).
+Ainsi, $z∈k'(z)$ est séparable sur $k$ donc $z∈Ω₀$.
+Ceci achève la démonstration du premier point.
+Enfin, si $Ω₀'$ est un sous-corps séparablement clos
+de $Ω$ contenant $k$, il contient tous les éléments séparables
+sur $k$, donc $Ω₀$. L'extension $Ω₀'\bo Ω₀$ étant algébrique
+séparable (\ref{sous-extension-etale}), 
+on a donc $Ω₀'=Ω₀$. 
+\end{démo}
+
+\begin{definition2}
+On appelle \emph{clôture séparable} d'un corps $k$
+toute extension algébrique séparable $K\bo k$ 
+telle que $K$ soit séparablement clos.
+\end{definition2}
+
+\begin{corollaire2}
+Tout corps a une clôture séparable. Deux clôtures
+séparables d'un corps $k$ sont $k$-isomorphes.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+Existence. Elle résulte de la proposition précédente
+et du théorème de Steinitz.
+Unicité. Soient $K$ et $K'$ deux clôtures 
+séparables d'un corps $k$. Si $Ω$ est une clôture
+algébrique de $k$, il existe des $k$-plongements
+$u$ et $v$ de $K$ et $K'$ dans $Ω$ car ces extensions
+sont algébriques (lemme de prolongement
+des plongements, \ref{plongement-dans-cloture-algebrique}). 
+D'autre part, leurs images dans $Ω$ sont séparablement closes et contiennent $k$ :
+elles coïncident donc avec l'unique clôture séparable
+$Ω₀$ de $k$ dans $Ω$. L'existence de $k$-isomorphismes
+$u:K ⥲  Ω₀$ et $v:K' ⥲ Ω₀$ permet de conclure.
+\end{démo}
+
+\begin{remarque2}
+On aurait également pu observer qu'une clôture séparable
+est un corps de décomposition de l'ensemble
+des polynômes séparables — ce qui démontre
+l'existence d'une clôture séparable —
+et utiliser l'unicité à $k$-isomorphisme
+près de tels corps de décomposition 
+(\ref{unicite-extension-decomposition}).
+\end{remarque2}
+
+\begin{convention2}
+Étant donné un corps $k$, nous noterons
+parfois $k\alg$ une clôture algébrique
+et $k\sep$ une clôture séparable.
+Cette notation, quoique commode, tend à faire
+oublier qu'un \emph{choix} qui a été fait.
+Pour cette raison, nous noterons aussi souvent
+$Ω$ l'un ou l'autre de tels sur-corps, en précisant
+à chaque fois l'hypothèse faite sur $Ω$.
+\end{convention2}
+
+\subsection{Corps parfait}
+
+\begin{définition2}\label{corps-parfait}
+Un corps $k$ est dit \emph{parfait} si toute extension
+finie de $k$ est étale.
+\end{définition2}
+
+Comme on l'a vu, cela revient à supposer que tout polynôme
+irréductible de $k[X]$ est séparable.
+
+On rappelle que l'\emph{exposant caractéristique} d'un corps $k$
+est l'entier supérieur ou égal à un, valant $1$ si $\car k= 0$
+et $\car k$ sinon.
+
+\begin{proposition2}\label{sorite-parfait}
+Soit $k$ un corps d'exposant caractéristique $p$. Les conditions
+suivantes sont équivalentes :
+\begin{enumerate}
+\item $k$ est parfait ;
+\item $k=k^p$.
+\end{enumerate}
+En particulier, les corps de caractéristique nulle et les corps finis
+sont parfaits.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+(i)⇒(ii). On peut supposer $p>1$, c'est-à-dire $k$ de caractéristique non nulle
+sans quoi il n'y a rien à démontrer. Supposons par l'absurde qu'il existe un élément $a∈k-k^p$.
+Le polynôme $f=X^p-a$ est alors irréductible sur $k$ :
+si $Ω$ est une clôture algébrique de $k$ et $α$ une racine $p$-ième de $a$ dans $Ω$,
+on a $f=(X-α)^p$ dans $Ω[X]$. Ses diviseurs unitaires dans $k[X]$ sont donc de la forme
+$(X-α)^i$ pour un entier $i$ convenable. Le coefficient sous-dominant,
+c'est-à-dire le coefficient de $X^{i-1}$, d'un tel polynôme est égal à $-iα$,
+qui n'appartient à $k$ que pour $i=0$ et $i=p$. Ce démontre que $f$ est
+irréductible. D'autre part, puisque $f'=0$, $f$ n'est pas séparable et
+le corps $k_f=k[α]$ n'est pas étale sur $k$. Contradiction.
+(ii)⇒(i). On a déjà vu en \ref{separable-irreductible} que
+tout polynôme irréductible est séparable lorsque $k$ est de caractéristique
+nulle, c'est-à-dire lorsque $p=1$. Supposons donc $p>1$ premier, c'est-à-dire
+$k$ de caractéristique strictement positive.
+La condition $k=k^p$ entraîne l'égalité $k[X^p]=(k[X])^p$
+de sorte que la condition $f∉k[X^p]$ de \ref{separable-irreductible}
+est satisfaite pour tout polynôme irréductible de $k[X]$.
+
+Il résulte du critère (ii) que tout corps fini est parfait : le morphisme
+de Frobenius $x\mapsto x^p$ d'un corps de caractéristique $p$ étant injectif,
+il est bijectif si ce corps est fini.
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}\label{caractérisation extension radicielle}
+Soient $k$ un corps d'exposant caractéristique $p$ et $K\bo k$
+une extension algébrique. Les conditions suivantes sont équivalentes.
+\begin{enumerate}
+\item toute sous-extension séparable $k'\bo k$ de $K\bo k$ est triviale.
+\item pour tout $x∈K$, il existe un entier $e≥1$ tel que $x^{p^e}∈k$.
+\item pour toute clôture algébrique $Ω$ de $k$, l'ensemble $\Hom_k(K,Ω)$
+est un singleton.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+On dit alors que l'extension $K \bo k$ est \emph{radicielle}\index{radicielle}
+ou bien \emph{purement inséparable}. Ces extensions seront étudiées plus en
+détail dans le chapitre \refext{RT}{}.
+
+Lorsque $K\bo k$ est finie, la condition (iii) signifie que
+le degré séparable $[K:k]_s$ est égal à un.
+
+\begin{démo}
+Nous avons vu ci-dessus qu'en caractéristique nulle toute extension
+algébrique est séparable. La proposition est donc triviale dans ce cas.
+Supposons donc $k$ de caractéristique non nulle, c'est-à-dire $p=\car k>1$.
+
+(i) ⇒ (ii). Soit $x$ un élément de $K$ et soit $μ$ son polynôme minimal
+sur $k$. Il existe un plus grand entier $e ≥ 0$ tel que $μ$ appartienne
+à $k[X^{p^e}]$. En d'autres termes, $μ=f(X^{p^e})$ où $f$ n'appartient
+pas à $k[X^p]$. Le polynôme $μ$ étant irréductible, il en est de même de $f$.
+D'après \ref{separable-irreductible}, le polynôme $f$ est même séparable.
+L'élément $x^{p^e}$ de $K$, en étant une racine, est donc séparable sur $k$.
+L'hypothèse montre que $x^{p^e}$ appartient alors à $k$. CQFD.
+
+(ii) ⇒ (i). Soit $x ∈ K$ un élément séparable sur $k$. On souhaite montrer qu'il
+appartient à $k$. Par hypothèse, il existe un entier $e$
+tel que $x^{p^e}$ appartienne à $k$ ou, de façon équivalente,
+le polynôme $f_e=X^{p^e}-x^{p^e}$ appartienne à $k$. Le polynôme minimal
+$μ$ de $x$ sur $k$ divise donc le polynôme $f_e$. La décomposition $f_e=(X-x)^{p^e}$ dans
+$K[X]$ montre que $μ$ est une puissance $X-x$ appartenant à $k[X]$. En
+conséquence, le polynôme $μ$ n'est à racines simples dans $K$ — condition qui est nécessaire
+à sa séparabilité — que s'il est égal à $X-x$, c'est-à-dire si $x$ appartient
+à $k$. CQFD.
+(ii) ⇒ (iii). On sait qu'il existe au moins un $k$-morphisme de $K$ dans $Ω$.
+Montrons qu'il est unique. Soit $x$ un élément de $K$ et soit $ι:K ↪ Ω$ un $k$-plongement.
+L'image de $x$ par $ι$ est l'unique racine $p^e$-ième de l'élément $x^{p^e}$
+de $k$ dans $Ω$. L'unicité en résulte.
+(iii) ⇒ (i). Supposons par l'absurde qu'il existe une sous-extension étale $k ′\bo k$ de $K\bo k$
+et fixons une clôture algébrique $Ω$ de $k$. L'égalité entre le cardinal
+de $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k ′,Ω)$ et la dimension $[k ′ : k]$ montre
+que l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k ′,Ω)$ n'est pas réduit à un
+singleton. D'après le lemme de prolongement des plongements,
+l'application de restriction $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(K,Ω) → \Hom_{k\traitdunion\Alg}(k ′,Ω)$
+est surjective. En particulier $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(K,Ω)$ n'est pas un
+singleton. Contradiction.
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}\label{extension-finie-parfait}
+Soit $k$ un corps parfait. Toute extension finie de $k$ est
+un corps parfait.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Cela résulte immédiatement de \ref{sous-extension-etale}.
+(Voir \refext{RT}{invariance-p-rang} pour 
+une généralisation de cet énoncé.)
+\end{démo}
+
+\begin{remarque2}
+Dans un chapitre ultérieur, nous verrons que tout corps est contenu
+dans un corps parfait algébrique sur $k$ minimal 
+pour cette propriété et que deux tels corps sont $k$-isomorphes
+(existence et unicité de la « clôture parfaite »).
+\end{remarque2}
+
+\section{Le théorème de l'élément primitif}
+
+\subsection{Un résultat de finitude}
+
+\begin{proposition2}
+Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre étale. L'ensemble
+des sous-$k$-algèbres de $A$ est \emph{fini}.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Il résulte du lemme ci-dessous, appliqué à une clôture algébrique
+$Ω$ de $k$, que si $B$ et $B'$ sont deux sous-$k$-algèbres
+de $A$ dont les images respectives $B_Ω$ et $B'_Ω$ dans $A_Ω$ coïncident, alors $B=B'$.
+(Rappelons que les applications $B_Ω→A_Ω$ et $B'_Ω→A_Ω$ sont injectives, cf.
+\ref{changement de base k-algèbre}.)
+On peut alors utiliser \ref{sous-diag=nombre fini}.
+\end{démo}
+
+\begin{lemme2}
+Soient $V$ un $k$-espace vectoriel et $K\bo k$ une extension.
+Pour tout sous-$k$-espace vectoriel $W$ de $V$, l'inclusion
+\emph{a priori} $W⊆W_K∩(V⊗1)$ dans $V_K$ est une égalité.
+\end{lemme2}
+
+Il est d'usage de noter $V$ plutôt que $V⊗1$ l'image de $V$
+dans $V_K=V⊗_k K$ par l'application $k$-linéaire $v↦v⊗1$.
+
+\begin{démo}
+Soient $(e_i)_{i∈I}$ une $k$-base de $V$ telle que $(e_j)_{j∈J}$,
+où $J$ est une partie de $I$, soit une $k$-base de $W$.
+Notons $e'_i=e_i⊗1$ la $K$-base de $V$ qui s'en déduit
+(\ref{changement de base k-algèbre}).
+Tout élément $w'$ de $W_K$ s'écrit de façon unique
+comme une combinaison linéaire $∑_{j∈J} λ'_j e'_j$, où les $λ'_j$ appartiennent à $k'$,
+et tout élément $v$ de $V⊗1$ s'écrit de façon unique
+comme une combinaison linéaire $∑_{i∈I} λ_i e'_i$, où les $λ_i$ appartiennent à $k$.
+Si $w'=v$, il résulte du fait que $(e'_i)_i$ soit une $k'$-base
+que :
+
+(1) $λ_i=0$ pour $i∉I$
+
+(2) $λ'_j=λ_i∈k$ pour $j∈J$.
+
+En d'autres termes, $w'$ appartient à $W$. CQFD.
+\end{démo}
+
+%\begin{facultatif}
+\begin{remarque2}On peut obtenir une seconde
+démonstration de l'implication « $B_Ω=B'_Ω$ entraîne $B=B'$ »
+utilisée ci-dessus de la façon suivante.
+Quitte à considérer la sous-$k$-algèbre de $A$ engendrée par $B$ et $B'$,
+on peut supposer que l'on a une inclusion $B⊆B'$. (On suppose
+bien entendu également que l'on a l'égalité $B_Ω=B'_Ω$.) Il résulte
+immédiatement de la définition donnée en \ref{section définition restreinte
+produit tensoriel} que le $Ω$-espace vectoriel quotient $B'_Ω/B_Ω$
+est isomorphe au produit tensoriel $(B'/B)⊗_k Ω$ (voir aussi \refext{Tens}{suite exacte}).
+Il est donc nul \ssi $B'/B$ l'est, \cad si $B=B'$.
+\end{remarque2}
+%\end{facultatif}
+
+En particulier, si $K\bo k$ est une étale,
+elle n'a qu'un nombre fini de sous-extensions.
+
+\subsection{Énoncé et démonstration du théorème}
+
+\begin{theoreme2}\label{element-primitif}
+Soit $K\bo k$ une extension de corps. Les conditions suivantes sont équivalentes :
+\begin{enumerate}
+\item le corps $K$ est une $k$-algèbre monogène ;
+\item il n'existe qu'un nombre fini de sous-extensions de $K\bo k$.
+\end{enumerate}
+Ces conditions sont satisfaites si $K\bo k$ est étale, donc en particulier si $K\bo k$
+est finie et $k$ parfait.
+\end{theoreme2}
+
+Remarquons que dans l'énoncé ne suppose pas l'extension $K\bo k$ finie \emph{a priori}.
+Cependant, si $K$ est monogène sur $k$, \cad $K=k[x]$ pour un $x∈K$,
+$x$ est nécessairement algébrique sur $k$ car dans le cas contraire $K$ serait
+isomorphe à l'anneau de polynômes $k[X]$ qui n'est pas un corps.
+
+\begin{démo}
+(ii) entraîne (i).
+Remarquons que l'extension $K\bo k$ est nécessairement algébrique : si $t$ était
+un élément transcendant sur $k$, c'est-à-dire non algébrique sur $k$,
+les sous-extensions $k(t^n)$, $n∈𝐍$ seraient toutes distinctes.
+
+Si $k$ est infini, l'ensemble \emph{fini} des sous-$k$-extensions strictes
+de $K$ ne recouvre pas $K$, d'après un lemme général
+d'algèbre linéaire : un espace vectoriel sur un corps infini
+n'est pas réunion finie de sous-espaces vectoriels stricts (cf. p. ex. \ref{} \XXX). 
+Il existe donc un élément $x$ de $K$ n'appartenant
+à aucune sous-$k$-extension stricte : on a donc $k[x]=K$.
+
+Si $k$ est fini, $K$ est également fini sans quoi on pourrait produire une suite 
+strictement croissante de sous-extensions. Dans ce cas, $K^×$ est
+cyclique (\refext{Fin}{cyclicite-groupe-multiplicatif-corps}) ce qui 
+force $K$ à être monogène sur le corps premier donc \emph{a fortiori} sur $k$.
+
+(i) entraîne (ii)
+Soit $x∈K$ tel que $k(x)=K$ et notons $f$ son polynôme minimal sur $k$.
+Considérons une sous-$k$-extension $k'$ de $K$. On a donc l'égalité $k'(x)=K$.
+Notons $g=μ_{x,k'}$ le polynôme minimal de $x$ sur $k'$ ;
+c'est un diviseur de $f$ dans $k'[X]$ donc dans $K[X]$.
+Soit $c$ le sous-corps engendré par les coefficients de $g$ ; il
+est contenu dans $k'$. Comme $g(x)=0$ et
+$K=c[x]$, on a l'inégalité $[K:c]≤\deg g$. Comme d'autre part
+on a l'égalité $[K:k']=\deg g$, on a nécessairement $k'=c$. En particulier,
+le corps $k ′$ est caractérisé par le polynôme $g$ : c'est le corps
+engendré sur $k$ par ses coefficients. Les polynômes unitaires
+diviseurs de $f∈K[X]$ étant en nombre fini, le résultat en découle.
+\end{démo}
+
+\begin{remarques2}
+Dans l'esprit de ce chapitre, il est tentant d'essayer de donner une
+démonstration du théorème par « extension des scalaires », \cad par tensorisation avec une
+clôture algébrique de $k$.
+On observera cependant que la $k$-algèbre \emph{monogène} $k[X]/X^4$ possède
+de nombreuses sous-$k$-algèbres ; par exemple les $k+k(X²+α X³)$ pour
+$α∈k$.
+
+Enfin, si $p$ est un nombre premier, on vérifie dans difficulté
+que l'extension $\FF_p(X^{\frac{1}{p}},Y^{\frac{1}{p}})$ de $\FF_p(X,Y)$
+n'est pas monogène : elle est de degré $p²$ (exercice)
+mais pour tout élément $f∈\FF_p(X^{\frac{1}{p}},Y^{\frac{1}{p}})$, $f^p∈\FF_p(X,Y)$
+de sorte que toute sous-extension monogène est de degré divisant $p$.
+\end{remarques2}
+
+\begin{remarque2}\label{element-primitif-corps-infini}
+Si $k$ est infini, on peut être plus précis dans la démonstration
+de (ii)⇒(i) : si $K=k(x,y)$ est une extension algébrique de $k$ satisfaisant
+à l'hypothèse (ii) ci-dessus, il existe deux scalaires $λ≠μ$ dans $k$ tels que l'on ait l'égalité
+des sous-corps $k(x+λ y)$ et $k(x+μ y)$. Notons $k ′ $ ce corps. Par
+construction l'élément $(λ-μ)y$ ainsi donc que $y$ et
+$x$, que l'on peut écrire sous la forme $(x+λ y)-λ y$.
+Ainsi on a l'égalité $k'=K$ et $K$ est monogène.
+Par récurrence on en tire que si $k$ est infini, et que
+$x₀,\dots,x_n$ engendrent une extension $K$ \emph{étale} sur $k$,
+il existe des éléments $α₁,\cdots,α_n∈ k$ tels que $K=k(x₀+α₁ x₁+\cdots+α_n x_n)$.
+\end{remarque2}
+
+\subsubsection{}Seconde démonstration du théorème par la méthode de Kronecker
+dans le cas d'un corps infini. (Zariski-Samuel, vol. I, p. 84). [peut-être intéressant d'un point
+de vue algorithmique] \XXX
+
+\section{Notes}
+Si l'usage systématique du produit tensoriel dans l'étude des extensions de corps
+s'est avéré extrêmement fécond depuis le début du XXe siècle, seuls Bourbaki []
+et Douady-Douady [] l'exposent dans un ouvrage didactique. S'il est vrai
+que cette approche suppose du lecteur un plus grand effort initial, elle est
+d'une grande souplesse et s'avère être un guide utile pour l'étude générale
+des anneaux commutatifs. Depuis Alexandre Grothendieck, la propriété « $A\bo k$ est
+étale » est vue comme un analogue algébrique de la propriété
+topologique d'être un \emph{revêtement} :
+dans un cas une algèbre $A$ contenant $k$ devient, en tensorisant avec $Ω$, une somme directe
+de copies de $Ω$ ; dans l'autre, un espace topologique $X$ au-dessus de $Y$ 
+devient, en se restreignant à un ouvert $V$ de $Y$ suffisamment petit,
+une union disjointe de copies de $V$. 
+
+C'est dans le cadre des \emph{topos} que Grothendieck,
+élargissant considérablement la notion de topologie, fait 
+de cette analogie formelle les deux facettes d'un procédé
+général dit de \emph{localisation}. 
+
+%Géo diff aussi (jacobienne etc.) : cf. (f,f')
+
+
+\ifx\danslelivre\undefined
+\bibliography{bibliographie-livre}
+\bibliographystyle{style-bib-livre}
+\end{document}
+\fi