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+
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+
+\title{Théorie de Galois infinie}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\tableofcontents
+\else
+\chapter{Théorie de Galois infinie}
+\fi
+
+\section{Théorie de Galois infinie}
+
+\subsection{Topologie de Krull sur le groupe de Galois}
+
+\subsubsection{}Soit $K\bo k$ une extension galoisienne de
+groupe $G$.
+Pour toute sous-$k$-extension \emph{finie galoisienne}
+$k'$ de $K$, le morphisme $G→G_{k'\bo k}$ est
+\emph{surjectif} (prolongement
+des plongements, \refext{CG}{prolongement-plongement}) et son noyau
+$G_{K\bo k'}$ est donc
+un sous-groupe distingué d'indice fini $[k':k]$ de $G$.
+Si $k'$ est maintenant une sous-extension finie non
+nécessairement
+galoisienne, le groupe $G_{K\bo k'}$ est également
+d'indice fini dans $G$ car il contient $G_{K\bo k''}$,
+où $k''$ est la clôture normale de $k'$ dans $K$.
+Les sous-groupes de $G$ d'indice fini de ce type
+seront momentanément dits « algébriques ».
+Il résulte de la formule $G_{K\bo k₁}∩G_{K\bo k₂}=G_{K\bo
+k₁k₂}$,
+où $k₁k₂$ désigne l'extension composée dans $K$, que
+l'intersection
+de deux sous-groupes d'indice fini algébriques est
+d'indice fini (c'est un fait général) et algébrique.
+
+\begin{lemme2}\label{rajoute-rien}
+\begin{enumerate}
+\item Tout sous-groupe contenant un sous-groupe d'indice
+fini
+algébrique est algébrique.
+\item Tout sous-groupe d'indice fini algébrique contient un
+sous-groupe
+distingué d'indice fini algébrique.
+\end{enumerate}
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+(i) Soit $H⊆G$ contenant $H'=G_{K\bo k'}$ où $k'\bo k$ est
+finie. Quitte à agrandir $k'$ (\cad rétrécir $G_{K\bo k'}$),
+on peut
+supposer que $k'\bo k$ est finie galoisienne. L'application
+composée $H/H'↪G/H' ⥲ \Gal(k'\bo k)$
+identifie $H/H'$ à un sous-groupe de $\Gal(k'\bo k)$,
+nécessairement de la forme
+$\Gal(k'/k'')$ pour une unique sous-$k$-extension $k''$ de
+$k'$.
+Il en résulte que $H$ coïncide avec l'image inverse dans $G$
+de $\Gal(k'\bo k'')$ par le morphisme
+$G↠\Gal(k'\bo k)$. Cette image inverse est l'ensemble
+$\Gal(K\bo k'')$ des éléments de $G$
+qui sont $k''$-linéaires.
+
+(ii) Soit $k'\bo k$ une extension finie galoisienne et
+$H=G_{K\bo k'}$ le
+sous-groupe d'indice fini algébrique correspondant. Si $k''$
+est la clôture
+galoisienne de $k'$ dans $k'$, le sous-groupe $H'=G_{K\bo
+k''}$ de $H$ est également
+d'indice fini algébrique par construction ; il est distingué
+dans $G$
+car $k''\bo k$ est galoisienne.
+\end{démo}
+
+
+Nous allons maintenant munir $G$ de la structure de groupe
+topologique la moins fine pour laquelle
+les sous-groupes d'indice fini algébriques soient ouverts.
+
+\begin{définition2}
+On appelle \emph{topologie de Krull} sur $G$ la topologie
+pour laquelle un sous-ensemble $U$ de $G$ est ouvert \ssi
+pour tout $u∈U$ il existe un sous-groupe
+d'indice fini \emph{algébrique} $H_{u,U}$ de $G$ tel
+que $uH_{u,U}$ soit contenu dans $U$.
+\end{définition2}
+
+Pour s'assurer que cette collection de sous-ensembles
+définit bien
+une topologie le seul point non trivial à vérifier
+est que l'intersection de deux ouverts $U$ et $U'$ est
+ouverte.
+Or, si $u∈U∩U'$, $U$ (resp. $U'$) contient par hypothèse
+le translaté $uH_{u,U}$ (resp. $uH_{u,U'})$
+d'un sous-groupe d'indice fini algébrique.
+Le sous-groupe $H_{u,U∩U'}:=H_{u,U}∩H_{u,U'}$ étant d'indice
+fini algébrique, l'inclusion $uH_{u,U∩U'}⊆U∩U'$ montre bien
+que $U∩U'$ est ouvert.
+
+Enfin, remarquons qu'il n'y a pas de « nouveaux »
+sous-groupes ouverts :
+un sous-groupe de $G$ est ouvert \ssi il est d'indice fini
+algébrique.
+Cela résulte immédiatement de la définition de la topologie
+et
+de \ref{rajoute-rien} (i).
+
+D'après \ref{rajoute-rien} (ii), on obtiendrait la même
+topologie en se
+restreignant aux sous-groupes \emph{distingués} d'indice
+fini algébriques.
+
+\begin{remarque2}\label{action-admissible}
+Considérant naturellement $K$ comme un $G$-ensemble,
+pour tout $x∈K$, le stabilisateur $\Stab_G(x)$ d'un élément
+$x∈K$ coïncide avec le sous-groupe $G_{K\bo k(x)}$.
+D'après le théorème de l'élément primitif,
+les sous-groupes ouverts de $G$ pour la topologie de Krull
+sont donc exactement les stabilisateurs d'éléments de $K$.
+Il n'est pas difficile d'en déduire que la topologie de
+Krull est
+la moins fine sur $G$ pour laquelle le morphisme $G×K→K$
+déduit de l'action de
+$G$ soit continue, si l'on munit $K$ de la topologie
+discrète. (Cf.
+aussi \ref{compacite-Galois}, démonstration.)
+\end{remarque2}
+
+\begin{miseengarde2}\label{exemple-Kummerien}
+Il n'est pas vrai en général que tout sous-groupe
+d'indice fini d'un groupe de Galois soit ouvert.
+
+Considérons par exemple le corps des fractions
+$k=𝐐(x_i,i∈𝐍)$ de l'anneau des polynômes en une infinité
+dénombrable de variables et
+$K$ un corps de décomposition sur $k$ de la famille de
+polynômes $X²-x_i$.
+Si pour chaque $i∈𝐍$ on note $y_i$ l'une quelconque des
+racines carrées de $x_i$ dans $K$,
+on a $K=k(y_i,i∈𝐍)=𝐐(y_i,i∈𝐍)$. Un élément de $G=\Gal_{K\bo
+k}$ étant caractérisé par son action sur les $y_i$,
+le morphisme $G→\{±1\}^𝐍$, $g\mapsto (\frac{g(y_i)}{y_i})$
+est
+injectif. D'autre part, pour tout $i∈𝐍$, le polynôme
+$X²-y_i$ est irréductible (\cad : n'a pas de racine) sur
+$k(y_j, j≠i)$ (exercice).
+Il en résulte que pour toute partie finie $I⊆𝐍$, le corps
+$k(y_i,i∈I)$ est isomorphe
+au produit tensoriel sur $k$ des corps $k(y_i)$ et que
+le morphisme $G→\{±1\}^𝐍$ est surjectif : pour tout choix
+de signes $ε∈\{±1\}^𝐍$, l'application $k$-linéaire $g_ε$
+définie par $g_ε(y_i)=ε_i y_i$ est un élément de $G$.
+Ainsi, $G$ est naturellement
+isomorphe à $\{±1\}^𝐍≅\FF₂^𝐍$.
+L'ensemble des sous-groupes d'indice $2$ de $G$ est donc en
+bijection
+avec l'ensemble \emph{indénombrable} des formes linéaires
+non nulles
+$\FF₂^𝐍↠\FF₂$. (Rappelons que $\FF₂^𝐍$ est indénombrable
+donc de dimension
+indénombrable sur le corps fini $\FF₂$.) D'autre part,
+l'ensemble
+des sous-extensions finies de $K\bo k$ est dénombrable
+car toute telle extension est monogène sur $k$ et $K$ est
+dénombrable.
+Il en résulte que l'ensemble des sous-groupes ouverts est
+dénombrable.
+\end{miseengarde2}
+
+\begin{lemme2}
+Les applications $G→G$, $g\mapsto g^{-1}$ (inverse) et
+$G×G→G$,
+$(g,g')\mapsto gg'$ (produit) sont
+continues.
+\end{lemme2}
+
+En d'autres termes, muni de la topologie de Krull, $G$ est
+un \emph{groupe
+topologique}.
+
+\begin{démo}
+Soit $U$ un ouvert de $G$. Montrons que $U^{-1}=\{u^{-1},
+u∈U\}$ est également ouvert.
+Si $u^{-1}∈U^{-1}$, il existe $H_{u,U}$ \emph{distingué}
+d'indice fini
+tel que $uH_{u,U}⊆U$. On a donc $H_{u,U}u^{-1}⊆U^{-1}$
+($H_{u,U}$ est un sous-groupe).
+Puisque $H_{u,U}u^{-1}=u^{-1}uH_{u,U}u^{-1}=u^{-1}H_{u,U}$
+($H_{u,U}$ est distingué),
+on a $u^{-1}H_{u^{-1},U^{-1}}⊆U^{-1}$ où
+$H_{u^{-1},U^{-1}}=H_{u,U}$.
+La continuité du produit ne présente pas plus de difficulté.
+\end{démo}
+
+
+\begin{proposition2}\label{compacite-Galois}
+Le groupe $G$ est un groupe compact.
+\end{proposition2}
+
+Rappelons qu'un espace topologique est dit
+\emph{quasi-compact}
+si tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini
+et qu'un espace topologique est dit \emph{compact}
+s'il est séparé et quasi-compact.
+
+
+\begin{démo}Considérons l'ensemble $K^K=∏_{λ∈K} K$ des
+applications
+de $K$ dans $K$ et munissons-le de la topologie produit
+où chaque facteur $K$ est muni de la topologie discrète.
+Montrons que l'injection canonique $G→K^K$, $g\mapsto
+(g(λ))_{λ∈K}$, est
+continue, \cad que pour tout indice $λ∈K$, l'application
+composée
+$G→K^K\dessusdessous{\ev_λ}{→}K_λ$ est continue, où on note $\ev_λ$
+l'« évaluation en $λ$ », projection
+sur le facteur d'indice $λ$. Cette application n'est autre
+que $g\mapsto g(λ)$,
+qui est bien continue car elle se factorise à travers
+$G/G_{K\bo k'}$ où
+$k'$ est une extension finie galoisienne de $k$ contenant
+$λ$.
+D'après le théorème de Tikhonov, l'espace topologique
+$K^K$ est compact.
+D'autre part, pour tout triplet d'indices $(x,y,z)∈K³$,
+l'application
+de projection $K^K→K³=K_x×K_y×K_z$ est continue. Puisque
+\emph{toute} application
+entre les espaces topologiques discrets $K³→K$ est continue,
+il en est en particulier ainsi des applications $∑:K_x × K_y
+× K_z → K$, $(λ,μ,ν)\mapsto
+ν-(λ+μ)$ et $∏:(λ,μ,ν)\mapsto ν-λμ$. On en déduit que
+l'ensemble des
+applications $f∈K^K$ telles que $f(x+y)=f(x)+f(y)$ (resp.
+$f(xy)=f(x)f(y)$)
+est \emph{fermé} dans $K^K$. Il coïncide en effet avec
+l'image inverse
+de $0∈K$ par l'application continue
+$K^K→K_x×K_y×K_{x+y}\dessusdessous{∑}{→}K$
+(resp. $K^K→K_x×K_y×K_{xy}\dessusdessous{∏}{→}K$).
+De même, pour tout $λ∈K$, l'ensemble des $f∈K^K$ telles que
+$f(λ)=λ$
+est fermé : c'est l'image inverse de $0∈K$ par le morphisme
+$K^K→K_λ\dessusdessous{Δ_λ}{→}K$,
+où $Δ_λ(μ)=μ-λ$. Il en résulte que le sous-ensemble
+de $K^K$ constitué des morphismes de \emph{$k$-algèbres} est
+une intersection de fermés donc fermé.
+Ainsi, tout élément $f$ de $K^K$ adhérent à l'image de $G$
+est un \emph{morphisme de $k$-algèbres} $K→K$. D'après
+\refext{CG}{Hom=Aut},
+$f$ est un automorphisme : $f∈G=\Aut_k(K)$.
+Le groupe $G$ s'identifie donc à un \emph{fermé} du compact
+$K^K$. CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{remarque2}\label{separation-Galois}
+Observons que la propriété de séparation de $G$ est plus
+élémentaire que la
+quasi-compacité.
+Utilisant le fait que dans un groupe topologique
+les translations, à droite ou à gauche,
+sont des homéomorphismes, il suffit de montrer que pour tout
+élément $g≠1$ de $G$,
+il existe un voisinage ouvert de l'unité ne contenant pas
+$g$.
+Cela revient à montrer qu'il existe une extension finie
+$k'$ telle que $g∉G_{K\bo k'}$. Or, $g$ étant non trivial,
+il existe $x∈K$ tel que $g(x)≠x$ et, finalement, $g∉G_{K\bo
+k(x)}$.
+(Cf. \ref{action-admissible}.)
+\end{remarque2}
+
+
+\begin{lemme2}\label{ouvert-contient-distingue-indice-fini}
+Soit $G$ un groupe topologique.
+\begin{enumerate}
+\item Tout sous-groupe ouvert de $G$ est fermé.
+\item Tout sous-groupe fermé d'indice fini $G$ est ouvert.
+\item Si $G$ est quasi-compact, tout sous-groupe ouvert est
+d'indice fini.
+\end{enumerate}
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Soit $H$ un sous-groupe de $G$. L'ensemble $G$ (resp. $G-H$)
+est la
+réunion \emph{disjointe} des classes à gauche (ou à droite)
+de $H$ dans $G$
+(resp. des classes à gauche différentes de $H$). Puisque les
+translations sont des homéomorphismes,
+chaque classe est ouverte (resp. fermée) \ssi $H$ l'est.
+Les énoncés (i—iii) résultent immédiatement de cette
+observation.
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}\label{Galois-totalement-discontinu}
+Le groupe groupe de Galois d'une extension est
+\emph{totalement discontinu} : pour toute
+paire d'éléments distincts $x,y$ de $G$, il existe un
+ensemble \emph{ouvert-fermé} $U$ tel que $x∈U$ et $y∉U$.
+\end{proposition2}
+
+De façon équivalente : la composante connexe de chacun de
+ses
+points est réduite à ce point.
+
+\begin{démo}
+On peut supposer $x=e$. Puisque tout \emph{sous-groupe}
+ouvert
+est fermé, il suffit de montrer qu'il existe
+un \emph{sous-groupe}, \emph{ouvert}, $H$ de $G$ tel que
+$y∉H$.
+On l'a vu en \ref{separation-Galois} ci-dessus.
+\end{démo}
+
+\subsection{Généralités sur les limites
+projectives}\label{limites-projectives-espaces-topologiques}
+
+\subsubsection{Définitions} Soit $I$ un ensemble ordonné (ou
+plus généralement
+préordonné). On appelle \emph{système projectif}
+d'ensembles (resp. de groupes, anneaux, espaces
+topologiques) \emph{indexé par $I$} la donnée d'une famille
+$(E_i)_{i∈I}$ d'ensembles (resp. groupes, anneaux, espaces
+topologiques)
+et, pour toute paire $(i,i')$ d'indices telle que $i≤i'$,
+d'une application (resp. d'un morphisme de groupes, d'un
+morphisme
+d'anneaux, d'une application continue)
+$π_{i,i'}:E_{i'}→E_{i}$ (souvent notée $π_{ii'}$) telles que
+les conditions
+suivantes soient satisfaites :
+\begin{enumerate}
+\item pour tout $i∈I$, $π_{i,i}=\Id_{E_i}$ ;
+\item pour tout triplet $(i,j,k)$ de $I$ tel que $i≤j≤k$,
+on a $π_{i,j}π_{j,k}=π_{i,k}$.
+\end{enumerate}
+
+On notera souvent $(E_i)_{i∈I}$ une telle donnée, les
+morphismes $π_{i,i'}$
+étant sous-entendus.
+
+La \emph{limite projective} (ou simplement \emph{limite}) du
+système projectif
+$(E_i,π_{ij})$ est le sous-ensemble (resp. sous-groupe,
+sous-anneau, sous-espace
+topologique) de l'ensemble (resp. groupe, anneau, espace
+topologique) produit $∏_{i∈I} E_i$
+constitué des familles $(e_i∈E_i)_{i∈I}$ d'éléments
+compatibles au sens suivant : si $i≤j$, $e_i=π_{ij}(e_j)$.
+On note $\lim_{i∈I} E_i$ cet ensemble (resp. groupe, anneau,
+espace
+topologique).
+Remarquons que la condition $π_{ij}π_{jk}=π_{ik}$ n'apparaît
+pas dans la définition de $\lim_i E_i$.
+
+On vérifie sans peine que $\lim E_i$ est une limite au sens
+de
+\refext{Cat}{limite-indices-ensemble-preordonne} :
+pour tout ensemble (resp. groupe, anneau, espace
+topologique) test $T$, on
+a
+$$
+\Hom(T,\lim_i E_i) ⥲ \lim_i \Hom(T,E_i),
+$$
+où le terme de droite est la limite des \emph{ensembles}
+d'applications
+(resp. morphismes de groupes, morphismes d'anneaux,
+applications continues)
+$\Hom(T,E_i)$.
+
+\begin{lemme2}
+Soit $(X_i)_{i∈I}$ un système projectif d'espaces
+topologiques séparés.
+Le sous-espace $\lim_{i∈I} X_i$ est \emph{fermé} dans $∏_i
+X_i$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Soit $x=(x_i)_{i∈I}$ n'appartenant pas à $\lim_i X_i$ :
+il existe deux indices $α≤β$ tels que $x_α≠π_{αβ}(x_β)$.
+Soit $U_{αβ}=X_β×X_α-\{(x'_β,π_{αβ}(x'_β)) : x'_β∈X_β\}$ le
+complémentaire
+du graphe de $π_{αβ}$ dans $X_β×X_α$.
+Rappelons que l'espace topologique $X_β$ étant séparé,
+sa diagonale $Δ_β$ est fermée dans $X_β×X_β$
+(cf. p. ex. Bourbaki, TG, I §8). Il en résulte que le graphe
+de $π_{αβ}$, qui est l'image inverse de $Δ_β$ par
+l'application
+continue $X_β×X_α→X_β×X_β$, $(x'_β,x'_α)\mapsto
+(x'_β,π_{αβ}(x'_α))$,
+est également fermé.
+Son complémentaire $U_{αβ}$ étant par conséquent ouvert, il
+en est de
+même de l'image inverse $U$ de $U_{αβ}$ par
+la projection \emph{continue} $∏_i X_i → X_β×X_α$. L'ouvert
+$U⊆∏_{i∈I} X_i$
+contient $x$ et ne rencontre pas $\lim_i X_i$. CQFD.
+\end{démo}
+
+Du lemme précédent et du théorème de Tikhonov, on déduit
+le corollaire suivant.
+
+\begin{corollaire2}\label{limite-compacts=compact}
+Une limite projective d'espaces topologiques compacts est
+compacte.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{définition2}
+Un espace topologique $X$ (resp. groupe topologique $G$) est
+dit \emph{profini} \index{profini}
+s'il est isomorphe à la limite d'un système projectif
+d'espaces topologiques
+(resp. groupes) finis munis de la topologie discrète.
+\end{définition2}
+
+\begin{proposition2}
+Un espace topologique profini est compact et totalement
+discontinu.
+\end{proposition2}
+
+On peut montrer que la réciproque est vraie.
+
+\begin{démo}
+La compacité n'est mise que pour mémoire (cf.
+\ref{limite-compacts=compact}).
+Puisque d'un fermé d'un espace topologique totalement
+discontinu
+est totalement discontinu, il suffit de vérifier qu'un
+produit
+d'espaces topologiques discrets a cette propriété.
+Si $x≠y$ sont deux éléments de $∏_i X_i$, où les $X_i$ sont
+discrets,
+il existe un indice $i$ tel que $x_i≠y_i$. L'ouvert-fermé
+$U=∏_{j≠i} X_j × \{x_i\}$
+contient $x$ mais pas $y$.
+\end{démo}
+
+\begin{miseengarde2}
+Un morphisme entre groupes profinis n'est pas nécessairement
+continu :
+on a vu en \ref{exemple-Kummerien} qu'il existe des
+morphismes
+non continus entre $\FF₂^𝐍$ --- muni de la topologie
+produit, profinie ---
+et $\FF₂$ --- muni de la topologie discrète, profinie.
+De même, un groupe abstrait peut-être le groupe sous-jacent
+à des groupes topologiques profinis non homéomorphes, cf.
+exercice \refext{CG}{isom-non-cont}.
+\end{miseengarde2}
+
+\begin{remarque2}
+D'après un théorème de Nikolov et Segal,
+tout sous-groupe d'indice fini d'un groupe profini de type fini
+(c'est-à-dire ayant un nombre fini de générateurs topologiques)
+est \emph{ouvert}. \XXX
+\end{remarque2}
+
+\subsubsection{Spectre de l'anneau des fonctions localement
+constantes}\label{Spec(Hom(X,k))}
+
+Soient $X$ un espace topologique, $k$ un corps muni de la
+topologie discrète et
+$A$ l'anneau des fonctions \emph{continues} (\cad localement
+constantes)
+de $X$ dans $k$. Le morphisme d'évaluation
+en $x$, $\ev_x:f↦f(x)$, est une surjection de $A$ sur $k$.
+Son noyau
+$\{f∈A: f(x)=0\}$ est donc un idéal maximal de $A$, que nous
+noterons $\MM_x$.
+
+\begin{proposition3}\label{Spec(Hom(X,k))}
+Si l'espace topologique $X$ est quasi-compact et totalement
+discontinu,
+l'application $X→\Spec(A)$, $x↦\MM_x$, est une bijection.
+\end{proposition3}
+
+\begin{démo}
+Puisque $X$ est totalement discontinu, l'application
+$x↦\MM_x$ est
+\emph{injective} : si $x≠y∈X$, et $U$ est un ouvert-fermé
+contenant $y$ mais pas $x$, la fonction
+indicatrice $\mathbf{1}_U$ de $U$ appartient à $\MM_x$ mais
+pas à $\MM_y$.
+
+Montrons que sous l'hypothèse de compacité de $X$, tout
+idéal maximal $\MM$ de $A$ est de
+cette forme. Observons tout d'abord que les fonctions $f∈A$
+ne prennent qu'un
+nombre fini de valeurs car elles sont localement constantes
+sur un espace
+quasi-compact. Il en résulte que l'ouvert ${y∈X:f(y)≠0}$,
+support de $f$, est
+\emph{fermé}.
+Supposons par l'absurde qu'il existe pour tout $x∈X$, une
+fonction $f_x∈\MM$
+telle que $f_x(x)≠0$. Quitte à remplacer $f_x$ par
+le produit $f_x\cdot ∏\limits_{λ∈f_x(X)-\{f_x(x)\}}
+(f_x-λ)$, on peut supposer
+qu'elle ne prend qu'une seule valeur non nulle, que l'on
+peut supposer égale à un.
+Ainsi, pour tout $x∈X$, $\MM_x$ contient la fonction
+caractéristique d'un ouvert-fermé $U_x$ contenant $x$.
+Par quasi-compacité de $X$, il existe des points
+$x₁,…,x_n∈X$ tels
+que $⋃ U_{x_i}=X$. D'après le principe du crible, l'unité de
+$A$,
+qui est la fonction indicatrice de $X$, est une somme
+alternée de produits des fonctions
+$\mathbf{1}_{U_{x_i}}$ qui appartiennent à $\MM$. C'est
+absurde.
+
+Enfin, vérifions que tout idéal premier de $A$ est maximal.
+Soit $𝔭∈\Spec(A)$ et
+$x∈X$ tel que $𝔭⊆\MM_x$. Supposons par l'absurde qu'il
+existe une fonction
+$f∈\MM_x-𝔭$. Procédant comme ci-dessus, on se ramène au cas
+où
+$f$ est la fonction caractéristique d'un ouvert-fermé $U$
+(son support) ne contenant pas $x$.
+(On utilise le fait que les fonctions $f-λ$ pour $λ≠f(x)$
+n'appartiennent pas à $\MM_x$
+donc, \emph{a fortiori}, pas à $𝔭$.)
+La fonction $f\cdot \mathbf{1}_{X-U}$ est identiquement
+nulle donc appartient
+à $𝔭$ mais ni $f$ (par hypothèse) ni $\mathbf{1}_{X-U}$ (qui
+n'appartient pas à
+$\MM_x$) n'appartiennent à $𝔭$.
+\end{démo}
+
+%\begin{définition2}
+%Soit $G$ un groupe profini. Un $G$-ensemble $X$ est dit
+%\emph{admissible}
+%\index{admissible} si le stabilisateur de tout point de $X$
+%est ouvert.
+%\end{définition2}
+
+%Cela revient à supposer que l'on a :
+%$$
+%X=⋃_{H≤G \atop \textrm{ouvert}} \Fix_H(X).
+%$$
+
+%\begin{proposition2}
+%Soient $G$ un groupe profini, $A$ un anneau,
+%et $G→\Aut_{\categ{Ann}}(A)$ une action \emph{admissible}.
+%Alors, $G$ agit \emph{transitivement} sur les fibres
+%des morphismes $\Spec(A)→\Spec(\Fix_G(A))$.
+%\end{proposition2}
+
+%Ce proposition est déjà intéressante dans le cas
+%particulier
+%où $G$ est \emph{fini}.
+
+%\begin{démo}
+%Réduction au cas où $G$ est fini.
+%Cas où $G$ est fini.
+%Soient $𝔭,𝔭'$ deux idéaux de $A$ ayant même image dans
+%$B=\Fix_G(A)$, \cad
+%tels que $𝔭⋂B=𝔭'⋂B=p$. Soit $x∈𝔭$ et considérons $y=∏_{g∈G}
+%g(x)$. Il est
+%$G$-invariant et appartient à $𝔭$ donc à $𝔭⋂B=𝔭'⋂B⊆𝔭'$.
+%L'idéal
+%$𝔭'$ étant premier, il existe $g_x∈G$ tel que $g_x(x)∈𝔭'$,
+%soit
+%$x∈g_x^{-1}(𝔭')$. Faisant varier $x$, on en déduit
+%l'inclusion :
+%$𝔭⊆⋃_{g∈G} g(𝔭')$. Il résulte du lemme ci-dessous qu'il
+%existe $g∈G$
+%tel que $𝔭⊆g(𝔭')$. Ces deux idéaux étant au-dessus de $p$,
+%on a $𝔭=g(𝔭')$.
+%\end{démo}
+
+
+%\begin{lemme2}
+%idéal premier contenu dans une union finie.
+%\end{lemme2}
+
+\subsection{Le groupe de Galois, muni de la topologie de
+Krull, est profini}\label{galois=profini}
+Considérons une famille $\mc{E}$
+de sous-$k$-extensions galoisiennes $E\bo k$
+(finies ou non) \emph{exhaustive}, \cad telle que
+$⋃_{E∈\mc{E}} E=K$.
+Supposons que, munie de la relation d'ordre définie
+par la relation d'inclusion des corps,
+cette famille soit \emph{filtrante à droite} :
+pour toute paire d'extensions $E₁,E₂∈\mc{E}$,
+il existe $E∈\mc{E}$ telle que $E₁⊆E$ et $E₂⊆E$.
+
+Si $E$ et $E'$ sont dans $\mc{E}$, avec $E⊆E'$, la
+restriction à $E$ induit un morphisme surjectif
+$π_{E,E'}:G_{E'\bo k}↠G_{E\bo k}$. Notons $\lim_E G_{E\bo
+k}$ la limite de ce
+système projectif.
+La famille des morphismes $G=G_{K\bo k}→G_{E\bo k}$
+induit un morphisme de groupes $G→\lim_E G_{E\bo k}$.
+Ce morphisme est :
+\begin{itemize}
+\item injectif car tout élément non trivial
+de $G$ agit non trivialement sur un élément de $K$,
+et en particulier sur toute extension galoisienne $E∈\mc{E}$
+qui le contient ;
+\item surjectif car toute famille compatible
+d'éléments $(g_E∈G_{E\bo k})$ se « recolle »
+en un automorphisme $g∈G_{K\bo k}$.
+\end{itemize}
+Ainsi, on a un isomorphisme de groupes abstraits :
+$$
+G ⥲ \lim_{E∈\mc{E}} G_{E\bo k}.
+$$
+
+Supposons maintenant que les extensions $E∈ℰ$ soient
+\emph{finies} sur $k$.
+On va voir que l'isomorphisme précédent est alors un
+\emph{homéomorphisme}. Il en résulte que la topologie de
+Krull sur $G$ coïncide avec la topologie de
+la limite projective (des groupes de Galois des extensions
+sous-extensions
+finie galoisiennes de $K\bo k$).
+
+Puisque $G$ est compact et $\lim_{E∈\mc{E}} G_{E\bo k}$
+séparé (car compact, cf. \ref{limite-compacts=compact}),
+la bijection $G→\lim_{E∈\mc{E}} G_{E\bo k}$ est un
+homéomorphisme
+\ssi elle est continue (\cite{TG@Bourbaki}, I.63, cor. 2).
+Par définition de la topologie de la limite,
+il suffit de vérifier que pour chaque $E'∈\mc{E}$ le
+morphisme composé $G→\lim_E G_{E\bo k}→G_{E'\bo k}$
+est continu. Puisque c'est un morphisme de groupes et que le
+but
+est muni de la topologie discrète, cela revient à démontrer
+que
+le noyau de $G→G_{E'\bo k}$ est ouvert. La topologie de
+Krull
+est précisément caractérisée par cette propriété.
+
+Nous sommes maintenant en mesure de généraliser
+l'énoncé \refext{CG}{galois=autodiag} au cas d'une
+extension infinie.
+
+\subsection{Correspondance de Galois profinie}
+
+\begin{proposition2}\label{KtensK-cas-infini}
+Soient $K\bo k$ une extension galoisienne de groupe $G$
+et $K'\bo K$ une extension quelconque.
+Le morphisme $K⊗_k K'→∏_{g∈G} K'=\Hom_{\Ens}(G,K')$,
+$a⊗b\mapsto \big(g∈G\mapsto
+g(a)b∈K'\big)$
+induit un isomorphisme de $K'$-algèbres
+$$
+K⊗_k K' ⥲ \Hom_{\cont}(G,K'),
+$$
+où $\Hom_{\cont}(G,K')$ désigne l'ensemble des applications
+\emph{continues}
+de $G$ dans $K'$, $G$ étant muni de la topologie de Krull et
+$K'$ de la topologie
+discrète.
+
+Cet isomorphisme est $G$-équivariant si l'on fait agir $g∈G$
+sur $K⊗K'$ par
+$g⊗\Id$ et sur $\Hom$ par translation à droite : $g\cdot
+f(g')=f(g'g)$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Vérifions que l'image de $K⊗_k K'→\Hom(G,K')$ est contenue
+dans l'ensemble des applications continues de $G$ dans $K'$.
+Puisque
+tout élément de $K⊗_k K'$ est somme d'un nombre \emph{fini}
+de tenseurs purs, il suffit de vérifier que pour toute
+paire $(a,b)∈K×K'$, l'application $g\mapsto g(a)b$ est
+continue.
+Ceci résulte du fait qu'elle est $G_{K\bo k(a)}$-invariante
+par translation à droite donc localement constante, et par
+conséquent continue car l'espace
+but est discret.
+
+Notons $\mc{E}$ l'ensemble des sous-$k$-extensions
+\emph{finies
+galoisiennes} de $K$. La démonstration se fait par « passage
+à la limite »
+sur $E∈ℰ$.
+
+Commençons par démontrer l'affirmation suivante, qui est une
+variante
+de \refext{CG}{galois=autodiag} : pour tout $E∈\mc{E}$,
+l'application $f_{E,K}:E⊗_k
+K'→\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')$
+envoyant $e⊗b$ sur $\big(g\mapsto g(e)b\big)$ est un
+isomorphisme de
+$K$-algèbres. D'après \emph{loc. cit.}, le morphisme
+$f_{E,E}:E⊗_k E→\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},E)$
+envoyant $e⊗e'$ sur $g\mapsto g(e)e'$ est un isomorphisme de
+$E$-algèbres, où la structure de $E$-algèbre sur $E⊗_k E$
+est celle du \refext{CG}{KtensK=K-algebre}.
+Tensorisons à droite les deux termes de cet isomorphisme
+par $K'$ sur $E$.
+À gauche, on obtient la $K'$-algèbre $(E⊗_k E)⊗_E K'$ qui
+est $K'$-isomorphe
+à $E⊗_k K'$ par l'application $α:(e⊗e')⊗b\mapsto e⊗(e'b)$
+(\refext{Cat}{}).
+À droite, on obtient $\Hom(G_{E\bo k},E)⊗_E K'$
+qui est $K'$-isomorphe à $\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')$ par
+l'application
+$β:φ⊗b\mapsto (g\mapsto φ(g)b)$.
+La conclusion résulte de la commutativité du diagramme
+$$
+\xymatrix{
+(E⊗_k E)⊗_E K' \ar[r]^{f_{E,E}⊗_E K'} \ar[d]^{\alpha} &
+\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},E)⊗_E K'
+\ar[d]^{\beta} \\
+E⊗_k K' \ar[r]^{f_{E,F}} & \Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')
+}
+$$
+
+Pour tout $E∈\mc{E}$, l'application $E⊗_k K'→ K ⊗_k K'$
+déduite de l'inclusion
+$E⊆K$ est injective (cf. \refext{Cat}{}). De plus,
+identifiant
+$E⊗_k K'$ à son image dans $K ⊗_k K'$, on a (cf.
+\refext{Cat}{}) :
+$$K⊗_k K'=⋃_{E∈\mc{E}} E⊗_k K'.$$
+
+D'autre part, pour tout $E∈\mc{E}$, l'application
+$\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')→
+\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')$ déduite du morphisme de
+restriction $r_E:G→G_{E\bo k}$
+est injective car $r_E$ est surjectif. Identifiant
+$\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')$ à son image dans
+$\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')$,
+on a :
+$$\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')=⋃_{E∈\mc{E}}
+\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K').$$
+Soit en effet $f:G→K'$ une application continue ; on
+souhaite
+montrer qu'elle se factorise à travers un quotient par un
+sous-groupe
+distingué ouvert de $G$.
+Comme remarqué plus haut, puisque $K'$ est discret,
+une application de but $K'$ est continue \ssi elle est
+localement
+constante \cad si pour tout $g∈G$, il existe un ouvert $U_g$
+de $G$ contenant
+$g$ tel que $f(U_g)=\{f(g)\}$. Puisque $G$ est un groupe
+topologique, on peut
+supposer $U_g$ de la forme $U_g=gH_g$ où $H_g$ est un
+\emph{sous-groupe} ouvert
+de $G$. D'autre part, puisque $G$ est compact, il est
+recouvert par un nombre
+fini d'ouverts $g₁H_{g₁},\dots,g_nH_{g_n}$ du type
+précédent. Posons $H'=⋂_1^n H_{g_i}$ ; c'est un
+sous-groupe ouvert. Par construction, la fonction $f$ est
+$H'$-invariante
+à droite. Soit $H$ un sous-groupe ouvert distingué d'indice
+fini contenu dans
+$H'$, dont l'existence est assurée par
+\ref{rajoute-rien} (ii).
+La fonction $f$ est également $H$-invariante à droite et se
+factorise
+donc par le groupe quotient $G/H$. CQFD.
+
+La conclusion résulte de la commutativité des diagrammes
+$$
+\xymatrix{
+K⊗_k K' \ar[r] & \Hom_{\cont}(G,K') \\
+E⊗_k K' \ar[u] \ar[r] & \Hom(G_{E\bo k},K') \ar[u]
+}
+$$
+pour chaque $E∈\mc{E}$.
+
+Le fait que cet isomorphisme soit $G$-équivariant est
+conséquence immédiate des définitions.
+\end{démo}
+
+
+L'espace topologique sous-jacent à $G$ étant compact,
+il résulte du résultat de \ref{Spec(Hom(X,k))} que le
+spectre de
+$\Hom_{\cont}(G,K')$ est en bijection naturelle avec
+$G$, par l'application naturelle $g↦\Ker(\ev_g)$.
+On retrouve le résultat de \refext{CG}{points-KtensK}, pour $K'=K$,
+puisque l'application $\ev_g:\Hom_{\cont}(G,K')→K'$
+correspond
+par l'isomorphisme de la proposition à l'application
+$a⊗b↦g(a)b$,
+$K⊗_k K'→K'$.
+
+\begin{théorème2}[Wolfgang Krull, 1927
+\cite{unendlichen@Krull}]
+Soit $K\bo k$ une extension galoisienne de groupe $G$.
+Les applications $H \mapsto \Fix_H(K)$ et
+$k'\mapsto \Gal(K\bo k')$ sont des bijections inverses l'une
+de l'autre, et décroissantes pour l'inclusion, entre
+l'ensemble
+des sous-groupes \emph{fermés} de $G$ et l'ensemble
+des sous-$k$-extensions de $K$.
+\end{théorème2}
+
+\begin{miseengarde2}
+Comme on l'a vu en \ref{compacite-Galois} (démonstration) si
+$H$ est un sous-groupe de $G$, et $k'=\Fix_H(K)$,
+tout élément $g$ dans l'adhérence de $H$ est également
+$k'$-linéaire
+de sorte que l'inclusion \emph{a priori}
+$\Fix_{\sur{H}}(K)⊆\Fix_{H}(K)$ est une bijection.
+Il en résulte qu'un sous-groupe de $G$ n'est en général pas
+caractérisé par l'ensemble de ses points fixes\footnote{Par
+exemple, si $p$ est
+un nombre premier, $k=\FF_p$ et $K$ est une clôture
+algébrique de $k$, $G$
+contient strictement le sous-groupe $H$ engendré par le
+Frobenius $φ:x\mapsto x^p$
+(cf. \ref{exemple-gal-corps-fini}) mais
+$\Fix_H(K)=k=\Fix_G(K)$.}.
+D'autre part, on verra ci-dessous
+(\ref{sous-groupe-non-ferme})
+que tout groupe de Galois infini possède un sous-groupe non
+fermé,
+de sorte que l'application $H\mapsto \Fix_H(K)$, de
+l'ensemble
+de \emph{tous} les sous-groupes de $G_{K\bo k}$ vers les
+sous-corps de $K$ n'est injective
+que si $G=\Gal(K\bo k)$ est fini, \cad si l'extension $K\bo
+k$ est finie.
+\end{miseengarde2}
+
+La démonstration se fait en deux temps.
+\begin{lemme2}
+Soit $k'$ une sous-extension de $K\bo k$. Alors $K\bo k'$
+est galoisienne
+et le sous-groupe $G_{K\bo k'}$ de $G=G_{K\bo k}$ est fermé.
+En particulier, $k'=\Fix_{G_{K\bo k'}}(K)$.
+\end{lemme2}
+\begin{démo}
+L'extension $K\bo k'$ est normale et algébrique séparable
+donc
+galoisienne. Son groupe de Galois $G_{K\bo k'}$ est
+l'ensemble
+des éléments $k'$-linéaires de $G$. On a vu en
+\ref{compacite-Galois} (démonstration)
+qu'il est fermé pour la topologie de Krull.
+(Alternativement,
+on peut écrire $G_{K\bo k'}=⋂_{x∈k'} G_{K\bo k(x)}$, et
+observer
+que les $G_{K\bo k(x)}$ sont ouverts donc fermés dans $G$.)
+\end{démo}
+Réciproquement, on a le résultat plus précis suivant.
+\begin{lemme2}
+Soit $H⊆G$ un sous-groupe de $G$ et posons
+$k'=\Fix_H(K)$. L'extension $K\bo k'$ est galoisienne
+et l'inclusion naturelle $H→\Gal(K\bo k')$ induit
+une bijection entre l'adhérence de $H$ et $\Gal(K\bo k')$.
+\end{lemme2}
+\begin{démo}
+Le fait que $K\bo k'$ soit galoisienne n'est mis que pour
+mémoire.
+Soit $g$ un élément du sous-groupe \emph{fermé} $\Gal(K\bo
+k')$.
+On veut montrer que $g$ est adhérent à $H$, \cad que pour
+tout sous-groupe ouvert
+$U$ de $G$, l'intersection $H∩gU$ est non vide. Il suffit de
+le vérifier
+pour $U$ distingué dans $G$. Soit $l$ une sous-extension
+finie galoisienne de $K\bo k$ et $U=\Gal(K\bo l)$ le
+sous-groupe distingué ouvert correspondant.
+Notons $H_l=HU/U$ l'image de $H$ dans le groupe fini
+$G/U=\Gal(l\bo k)$.
+D'après le lemme précédent, $l$ est l'ensemble des éléments
+de $K$ fixes par $U$.
+D'autre part, $k'$ est l'ensemble des éléments de $K$ fixes
+par $H$. Il
+en résulte que $k'∩l=\Fix_{UH}(K)$. De l'égalité formelle
+$\Fix_{UH}(K)=\Fix_{UH/U}(\Fix_{U}(K))$,
+on tire : $k'∩l=\Fix_{H_l}(l)$. D'après la théorie de Galois
+finie, on
+a donc $H_l=\Gal(l\bo k'∩l)$ de sorte que $g_{|l}∈H_l$. Cette
+condition
+équivaut à $gU∩H≠∅$.
+\end{démo}
+
+Au cours de la démonstration du lemme précédent, nous avons
+établi
+le résultat suivant.
+
+\begin{proposition2}\label{description-adherence-sous-groupe}
+Soient $G=\lim_{i∈I} G_i$ un groupe profini et
+pour tout $i∈I$ désignons par $π_i$ l'application canonique
+$G→G_i$. Si $H$ est un sous-groupe de $G$, son adhérence
+$\sur{H}$
+coïncide avec le sous-groupe $\lim_{i∈I} π_i(H)$ de $G$.
+Si $G_i=G/U_i$, cette égalité s'écrit :
+$$
+\sur{H}=\lim_{i∈I} HU_i/U_i.
+$$
+\end{proposition2}
+
+\begin{proposition2}[Krull, \emph{op. cit.}]
+Le groupe de Galois d'une extension galoisienne infinie est
+indénombrable.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Soit $K\bo k$ une extension galoisienne infinie. Il existe
+une suite
+\emph{strictement croissante}
+$k=k₀⊊k₁⊊\cdots⊊k_i⊊k_{i+1}⊊\cdots$
+de sous-$k$-extensions de $K$ finies galoisiennes.
+Puisque le morphisme de restriction $G=\Gal(K\bo
+k)→\Gal\big((⋃_i k_i)\bo k\big)$ est
+surjectif, on peut supposer $K=⋃k_i$.
+Les morphismes de restrictions $G_{i+1}=\Gal(k_{i+1}\bo
+k)→G_i=\Gal(k_i\bo k)$
+sont surjectifs, de noyaux $\Gal(k_{i+1}\bo k_i)$ tous non
+triviaux car $k_{i+1}≠k_i$.
+D'autre part, on a $G ⥲ \lim_{i∈𝐍} G_i$ (cf.
+\ref{galois=profini}).
+La conclusion résulte donc du lemme ci-dessous.
+\end{démo}
+
+\begin{lemme2}
+Soit $(G_i)_{i∈𝐍}$ un système projectif de groupes
+à morphismes de transitions surjectifs mais \emph{non
+injectifs}.
+Alors $G=\lim_{i∈𝐍} G_i$ est \emph{indénombrable}.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+C'est intuitivement clair : chaque élément $g_i∈G_i$ ayant
+au moins deux antécédents
+dans $G_{i+1}$, le cardinal de $G$ est « au moins » celui de
+$2^𝐍$, qui est indénombrable.
+Vérifions-le en détail. Pour chaque $i∈𝐍$ l'application
+$G_{i+1}→G_i$ est
+surjective de sorte qu'il lui existe une section
+(ensembliste) $τ_i:G_i→G_{i+1}$.
+Soit $h=(h_i)_{i≥1}$ un élément de $H=∏_i \Ker(G_i→G_{i-1})$
+à composantes toutes non
+triviales. Pour tout $ε$ appartenant à l'ensemble
+\emph{indénombrable}
+$\{0,1\}^{𝐍_{>0}}$
+considérons l'élément $h^ε$ de $H$ défini par
+$h^ε_i=e$ si $ε(i)=0$ et $h^ε_i=h_i$ si $ε(i)=1$.
+Enfin, définissons par récurrence la suite
+$g_ε=(g_{ε,i})∈∏_i G_i$
+par la règle suivante : $g_{ε,0}=e$ et
+$g_{ε,n}=τ_{n-1}(g_{ε,n-1})\cdot h^ε_n$
+pour $n≥1$.
+Par construction c'est un élément de $G=\prlim_i G_i$.
+D'autre part,
+l'application $ε↦g_ε$ est \emph{injective}: si $n$ est le
+plus petit
+entier tel que $ε(n)≠ε'(n)$, on a $g_{ε,n}=g_{ε',n}
+h_n^{±1}$ donc
+$g_ε≠g_{ε'}$.
+\end{démo}
+
+Puisqu'un sous-groupe fermé d'un profini
+est profini (cf. p. ex.
+\ref{description-adherence-sous-groupe}),
+tout sous-groupe \emph{fermé} infini d'un groupe profini
+infini
+est indénombrable.
+Puisque tout groupe indénombrable possède un sous-groupe
+dénombrable,
+on en déduit le corollaire :
+
+\begin{corollaire2}\label{sous-groupe-non-ferme}
+Tout groupe de Galois infini possède un sous-groupe non
+fermé.
+\end{corollaire2}
+
+\subsection{Une autre équivalence de catégories}
+
+Soient $k$ un corps de caractéristique $p>0$, $k\sep$ une
+clôture séparable
+de $k$ et $G_k=\Gal(k\sep\bo k)$ le groupe de Galois absolu.
+
+\begin{définition2}
+Un $𝐅_p$-espace vectoriel de dimension finie $V$
+muni d'une action linéaire de $G_k$ se factorisant à travers
+un
+quotient fini est appelé une \emph{$𝐅_p$-représentation
+continue de $G_k$}.
+\end{définition2}
+
+L'adjectif « continu » est justifié par les définitions de
+la section suivante.
+
+Pour toute telle représentation, le $k\sep$-espace
+vectoriel $V⊗_{𝐅_p} k\sep$ est naturellement muni d'une
+action
+\emph{$k$-linéaire} de $G_k$ caractérisée par
+$g(v⊗λ)=(g\cdot v)⊗g(λ)$,
+où $g∈G_k$, $v∈V$ et $λ∈k\sep$. On note $D(V)$ l'ensemble
+$\Fix_{G_k}(V⊗_{𝐅_p} k\sep)$ des points fixes ; c'est un
+$k$-espace
+vectoriel. L'application $𝐅_p$-linéaire
+$\Id⊗\Frob_p:V⊗_{𝐅_p} k\sep→V⊗_{𝐅_p} k\sep$, $v⊗λ↦v⊗λ^p$
+est $G_k$-équivariante ; elle induit un endomorphisme
+$\Frob_p$-semi-linéaire
+$φ$ sur le $k$-espace vectoriel $D(V)$ :
+$φ(λx)=\Frob(λ)φ(x)$ pour tout $λ∈k$
+et tout $x∈D(V)$.
+
+\begin{définition2}
+Un $k$-espace vectoriel muni d'une application additive
+$\Frob$-semi-linéaire
+est appelé un $φ$-module sur $k$. Il est dit \emph{étale} si
+$φ$ est injectif.
+\end{définition2}
+
+\begin{théorème2}\label{Fp representations continues et phi
+modules}
+Le foncteur $V↦D(V)$ induit une équivalence de catégories
+entre la catégorie
+des $𝐅_p$-représentations continues de dimension finie de
+$G_k$ et la catégorie
+de $φ$-modules étales de dimension finie sur $k$. Le
+foncteur $M↦M^{φ=1}$
+est un quasi-inverse.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+Cf. p. ex., Fontaine, cours à Orsay. \XXX
+On montre par Hilbert 90 que $\dim_k D(V)=\dim_{𝐅_p} V$.
+Pour la réciproque, on utilise le·:
+
+\begin{lemme3} Soient $K$ un corps de caractéristique $p>0$
+et
+$(a_{ij})∈\GL_d(K)$. Posons $P_i=X_i^p+∑_j a_{ij}X_j$
+et $A=K[X₁,…,X_d]/(P₁,…,P_d)$. Alors, le $𝐅_p$-sous-espace
+vectoriel $A(K)$ de $K^d$ est de dimension finie $d$.
+\end{lemme3}
+\end{démo}
+
+Amplification. [Katz, «·p-adic properties of modular schemes
+and modular forms·» (Anvers), 1972]
+
+Soit $S$ un $𝐅_p$-schéma normal connexe. La catégorie
+des $𝐅_p$-représentations (continues, de dimension finie)
+de $π₁(S)$ et la catégorie des paires $(ℳ,F)$, où
+$ℳ$ est un $𝒪_S$-module localement libre de rang fini
+et $F$ un isomorphisme $\Frob^*ℳ⥲ℳ$, sont équivalentes.
+
+
+
+\ifx\danslelivre\undefined
+\bibliography{bibliographie-livre}
+\bibliographystyle{style-bib-livre}
+\end{document}
+\fi