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index bf41a2f..9b3ed00 100644
--- a/chapitres/krull.tex
+++ b/chapitres/krull.tex
@@ -1,33 +1,13 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
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-
-\usepackage{stmaryrd}
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-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-%\usepackage{makeidx}
-\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{matrix}
-\usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant
-%\usepackage{pxfonts}
-
-\textwidth13cm % pour pouvoir lire le nom des étiquettes si \usepackage{showkeys}
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
+\title{Théorie de Galois infinie}
\externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder
\externaldocument{categories}
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-%\makeindex
-
-\title{Théorie de Galois infinie}
-
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
@@ -74,7 +54,7 @@ distingué d'indice fini algébrique.
\begin{démo}
(i) Soit $H⊆G$ contenant $H'=G_{K\bo k'}$ où $k'\bo k$ est
-finie. Quitte à agrandir $k'$ (\cad rétrécir $G_{K\bo k'}$),
+finie. Quitte à agrandir $k'$ (c'est-à-dire rétrécir $G_{K\bo k'}$),
on peut
supposer que $k'\bo k$ est finie galoisienne. L'application
composée $H/H'↪G/H' ⥲ \Gal(k'\bo k)$
@@ -106,7 +86,7 @@ les sous-groupes d'indice fini algébriques soient ouverts.
\begin{définition2}
On appelle \emph{topologie de Krull} sur $G$ la topologie
-pour laquelle un sous-ensemble $U$ de $G$ est ouvert \ssi
+pour laquelle un sous-ensemble $U$ de $G$ est ouvert si et seulement si
pour tout $u∈U$ il existe un sous-groupe
d'indice fini \emph{algébrique} $H_{u,U}$ de $G$ tel
que $uH_{u,U}$ soit contenu dans $U$.
@@ -126,7 +106,7 @@ que $U∩U'$ est ouvert.
Enfin, remarquons qu'il n'y a pas de « nouveaux »
sous-groupes ouverts :
-un sous-groupe de $G$ est ouvert \ssi il est d'indice fini
+un sous-groupe de $G$ est ouvert si et seulement si il est d'indice fini
algébrique.
Cela résulte immédiatement de la définition de la topologie
et
@@ -169,7 +149,7 @@ k}$ étant caractérisé par son action sur les $y_i$,
le morphisme $G→\{±1\}^𝐍$, $g\mapsto (\frac{g(y_i)}{y_i})$
est
injectif. D'autre part, pour tout $i∈𝐍$, le polynôme
-$X²-y_i$ est irréductible (\cad : n'a pas de racine) sur
+$X²-y_i$ est irréductible (c'est-à-dire : n'a pas de racine) sur
$k(y_j, j≠i)$ (exercice).
Il en résulte que pour toute partie finie $I⊆𝐍$, le corps
$k(y_i,i∈I)$ est isomorphe
@@ -237,7 +217,7 @@ de $K$ dans $K$ et munissons-le de la topologie produit
où chaque facteur $K$ est muni de la topologie discrète.
Montrons que l'injection canonique $G→K^K$, $g\mapsto
(g(λ))_{λ∈K}$, est
-continue, \cad que pour tout indice $λ∈K$, l'application
+continue, c'est-à-dire que pour tout indice $λ∈K$, l'application
composée
$G→K^K\dessusdessous{\ev_λ}{→}K_λ$ est continue, où on note $\ev_λ$
l'« évaluation en $λ$ », projection
@@ -315,7 +295,7 @@ réunion \emph{disjointe} des classes à gauche (ou à droite)
de $H$ dans $G$
(resp. des classes à gauche différentes de $H$). Puisque les
translations sont des homéomorphismes,
-chaque classe est ouverte (resp. fermée) \ssi $H$ l'est.
+chaque classe est ouverte (resp. fermée) si et seulement si $H$ l'est.
Les énoncés (i—iii) résultent immédiatement de cette
observation.
\end{démo}
@@ -488,7 +468,7 @@ constantes}\label{Spec(Hom(X,k))}
Soient $X$ un espace topologique, $k$ un corps muni de la
topologie discrète et
-$A$ l'anneau des fonctions \emph{continues} (\cad localement
+$A$ l'anneau des fonctions \emph{continues} (c'est-à-dire localement
constantes)
de $X$ dans $k$. Le morphisme d'évaluation
en $x$, $\ev_x:f↦f(x)$, est une surjection de $A$ sur $k$.
@@ -496,11 +476,11 @@ Son noyau
$\{f∈A: f(x)=0\}$ est donc un idéal maximal de $A$, que nous
noterons $\MM_x$.
-\begin{proposition3}\label{Spec(Hom(X,k))}
+\begin{proposition2}\label{Spec(Hom(X,k))}
Si l'espace topologique $X$ est quasi-compact et totalement
discontinu,
l'application $X→\Spec(A)$, $x↦\MM_x$, est une bijection.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{démo}
Puisque $X$ est totalement discontinu, l'application
@@ -582,7 +562,7 @@ $\MM_x$) n'appartiennent à $𝔭$.
%Réduction au cas où $G$ est fini.
%Cas où $G$ est fini.
%Soient $𝔭,𝔭'$ deux idéaux de $A$ ayant même image dans
-%$B=\Fix_G(A)$, \cad
+%$B=\Fix_G(A)$, c'est-à-dire
%tels que $𝔭⋂B=𝔭'⋂B=p$. Soit $x∈𝔭$ et considérons $y=∏_{g∈G}
%g(x)$. Il est
%$G$-invariant et appartient à $𝔭$ donc à $𝔭⋂B=𝔭'⋂B⊆𝔭'$.
@@ -604,17 +584,17 @@ $\MM_x$) n'appartiennent à $𝔭$.
\subsection{Le groupe de Galois, muni de la topologie de
Krull, est profini}\label{galois=profini}
-Considérons une famille $\mc{E}$
+Considérons une famille $\mathscr{E}$
de sous-$k$-extensions galoisiennes $E\bo k$
-(finies ou non) \emph{exhaustive}, \cad telle que
-$⋃_{E∈\mc{E}} E=K$.
+(finies ou non) \emph{exhaustive}, c'est-à-dire telle que
+$⋃_{E∈\mathscr{E}} E=K$.
Supposons que, munie de la relation d'ordre définie
par la relation d'inclusion des corps,
cette famille soit \emph{filtrante à droite} :
-pour toute paire d'extensions $E₁,E₂∈\mc{E}$,
-il existe $E∈\mc{E}$ telle que $E₁⊆E$ et $E₂⊆E$.
+pour toute paire d'extensions $E₁,E₂∈\mathscr{E}$,
+il existe $E∈\mathscr{E}$ telle que $E₁⊆E$ et $E₂⊆E$.
-Si $E$ et $E'$ sont dans $\mc{E}$, avec $E⊆E'$, la
+Si $E$ et $E'$ sont dans $\mathscr{E}$, avec $E⊆E'$, la
restriction à $E$ induit un morphisme surjectif
$π_{E,E'}:G_{E'\bo k}↠G_{E\bo k}$. Notons $\lim_E G_{E\bo
k}$ la limite de ce
@@ -625,7 +605,7 @@ Ce morphisme est :
\begin{itemize}
\item injectif car tout élément non trivial
de $G$ agit non trivialement sur un élément de $K$,
-et en particulier sur toute extension galoisienne $E∈\mc{E}$
+et en particulier sur toute extension galoisienne $E∈\mathscr{E}$
qui le contient ;
\item surjectif car toute famille compatible
d'éléments $(g_E∈G_{E\bo k})$ se « recolle »
@@ -633,7 +613,7 @@ en un automorphisme $g∈G_{K\bo k}$.
\end{itemize}
Ainsi, on a un isomorphisme de groupes abstraits :
$$
-G ⥲ \lim_{E∈\mc{E}} G_{E\bo k}.
+G ⥲ \lim_{E∈\mathscr{E}} G_{E\bo k}.
$$
Supposons maintenant que les extensions $E∈ℰ$ soient
@@ -645,13 +625,13 @@ la limite projective (des groupes de Galois des extensions
sous-extensions
finie galoisiennes de $K\bo k$).
-Puisque $G$ est compact et $\lim_{E∈\mc{E}} G_{E\bo k}$
+Puisque $G$ est compact et $\lim_{E∈\mathscr{E}} G_{E\bo k}$
séparé (car compact, cf. \ref{limite-compacts=compact}),
-la bijection $G→\lim_{E∈\mc{E}} G_{E\bo k}$ est un
+la bijection $G→\lim_{E∈\mathscr{E}} G_{E\bo k}$ est un
homéomorphisme
-\ssi elle est continue (\cite{TG@Bourbaki}, I.63, cor. 2).
+si et seulement si elle est continue (\cite{TG@Bourbaki}, I.63, cor. 2).
Par définition de la topologie de la limite,
-il suffit de vérifier que pour chaque $E'∈\mc{E}$ le
+il suffit de vérifier que pour chaque $E'∈\mathscr{E}$ le
morphisme composé $G→\lim_E G_{E\bo k}→G_{E'\bo k}$
est continu. Puisque c'est un morphisme de groupes et que le
but
@@ -675,9 +655,9 @@ $a⊗b\mapsto \big(g∈G\mapsto
g(a)b∈K'\big)$
induit un isomorphisme de $K'$-algèbres
$$
-K⊗_k K' ⥲ \Hom_{\cont}(G,K'),
+K⊗_k K' ⥲ \Hom_{\mathrm{cont}}(G,K'),
$$
-où $\Hom_{\cont}(G,K')$ désigne l'ensemble des applications
+où $\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')$ désigne l'ensemble des applications
\emph{continues}
de $G$ dans $K'$, $G$ étant muni de la topologie de Krull et
$K'$ de la topologie
@@ -702,7 +682,7 @@ par translation à droite donc localement constante, et par
conséquent continue car l'espace
but est discret.
-Notons $\mc{E}$ l'ensemble des sous-$k$-extensions
+Notons $\mathscr{E}$ l'ensemble des sous-$k$-extensions
\emph{finies
galoisiennes} de $K$. La démonstration se fait par « passage
à la limite »
@@ -710,7 +690,7 @@ sur $E∈ℰ$.
Commençons par démontrer l'affirmation suivante, qui est une
variante
-de \refext{CG}{galois=autodiag} : pour tout $E∈\mc{E}$,
+de \refext{CG}{galois=autodiag} : pour tout $E∈\mathscr{E}$,
l'application $f_{E,K}:E⊗_k
K'→\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')$
envoyant $e⊗b$ sur $\big(g\mapsto g(e)b\big)$ est un
@@ -731,24 +711,25 @@ qui est $K'$-isomorphe à $\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')$ par
l'application
$β:φ⊗b\mapsto (g\mapsto φ(g)b)$.
La conclusion résulte de la commutativité du diagramme
-$$
-\xymatrix{
-(E⊗_k E)⊗_E K' \ar[r]^{f_{E,E}⊗_E K'} \ar[d]^{\alpha} &
-\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},E)⊗_E K'
-\ar[d]^{\beta} \\
-E⊗_k K' \ar[r]^{f_{E,F}} & \Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')
-}
-$$
+\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
+%$$
+%\xymatrix{
+%(E⊗_k E)⊗_E K' \ar[r]^{f_{E,E}⊗_E K'} \ar[d]^{\alpha} &
+%\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},E)⊗_E K'
+%\ar[d]^{\beta} \\
+%E⊗_k K' \ar[r]^{f_{E,F}} & \Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')
+%}
+%$$
-Pour tout $E∈\mc{E}$, l'application $E⊗_k K'→ K ⊗_k K'$
+Pour tout $E∈\mathscr{E}$, l'application $E⊗_k K'→ K ⊗_k K'$
déduite de l'inclusion
$E⊆K$ est injective (cf. \refext{Cat}{}). De plus,
identifiant
$E⊗_k K'$ à son image dans $K ⊗_k K'$, on a (cf.
\refext{Cat}{}) :
-$$K⊗_k K'=⋃_{E∈\mc{E}} E⊗_k K'.$$
+$$K⊗_k K'=⋃_{E∈\mathscr{E}} E⊗_k K'.$$
-D'autre part, pour tout $E∈\mc{E}$, l'application
+D'autre part, pour tout $E∈\mathscr{E}$, l'application
$\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')→
\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')$ déduite du morphisme de
restriction $r_E:G→G_{E\bo k}$
@@ -756,7 +737,7 @@ est injective car $r_E$ est surjectif. Identifiant
$\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')$ à son image dans
$\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')$,
on a :
-$$\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')=⋃_{E∈\mc{E}}
+$$\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')=⋃_{E∈\mathscr{E}}
\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K').$$
Soit en effet $f:G→K'$ une application continue ; on
souhaite
@@ -764,9 +745,9 @@ montrer qu'elle se factorise à travers un quotient par un
sous-groupe
distingué ouvert de $G$.
Comme remarqué plus haut, puisque $K'$ est discret,
-une application de but $K'$ est continue \ssi elle est
+une application de but $K'$ est continue si et seulement si elle est
localement
-constante \cad si pour tout $g∈G$, il existe un ouvert $U_g$
+constante c'est-à-dire si pour tout $g∈G$, il existe un ouvert $U_g$
de $G$ contenant
$g$ tel que $f(U_g)=\{f(g)\}$. Puisque $G$ est un groupe
topologique, on peut
@@ -787,13 +768,14 @@ factorise
donc par le groupe quotient $G/H$. CQFD.
La conclusion résulte de la commutativité des diagrammes
-$$
-\xymatrix{
-K⊗_k K' \ar[r] & \Hom_{\cont}(G,K') \\
-E⊗_k K' \ar[u] \ar[r] & \Hom(G_{E\bo k},K') \ar[u]
-}
-$$
-pour chaque $E∈\mc{E}$.
+\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
+%$$
+%\xymatrix{
+%K⊗_k K' \ar[r] & \Hom_{\mathrm{cont}}(G,K') \\
+%E⊗_k K' \ar[u] \ar[r] & \Hom(G_{E\bo k},K') \ar[u]
+%}
+%$$
+pour chaque $E∈\mathscr{E}$.
Le fait que cet isomorphisme soit $G$-équivariant est
conséquence immédiate des définitions.
@@ -803,10 +785,10 @@ conséquence immédiate des définitions.
L'espace topologique sous-jacent à $G$ étant compact,
il résulte du résultat de \ref{Spec(Hom(X,k))} que le
spectre de
-$\Hom_{\cont}(G,K')$ est en bijection naturelle avec
+$\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')$ est en bijection naturelle avec
$G$, par l'application naturelle $g↦\Ker(\ev_g)$.
On retrouve le résultat de \refext{CG}{points-KtensK}, pour $K'=K$,
-puisque l'application $\ev_g:\Hom_{\cont}(G,K')→K'$
+puisque l'application $\ev_g:\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')→K'$
correspond
par l'isomorphisme de la proposition à l'application
$a⊗b↦g(a)b$,
@@ -847,7 +829,7 @@ de sorte que l'application $H\mapsto \Fix_H(K)$, de
l'ensemble
de \emph{tous} les sous-groupes de $G_{K\bo k}$ vers les
sous-corps de $K$ n'est injective
-que si $G=\Gal(K\bo k)$ est fini, \cad si l'extension $K\bo
+que si $G=\Gal(K\bo k)$ est fini, c'est-à-dire si l'extension $K\bo
k$ est finie.
\end{miseengarde2}
@@ -883,7 +865,7 @@ Le fait que $K\bo k'$ soit galoisienne n'est mis que pour
mémoire.
Soit $g$ un élément du sous-groupe \emph{fermé} $\Gal(K\bo
k')$.
-On veut montrer que $g$ est adhérent à $H$, \cad que pour
+On veut montrer que $g$ est adhérent à $H$, c'est-à-dire que pour
tout sous-groupe ouvert
$U$ de $G$, l'intersection $H∩gU$ est non vide. Il suffit de
le vérifier
@@ -1052,12 +1034,12 @@ Cf. p. ex., Fontaine, cours à Orsay. \XXX
On montre par Hilbert 90 que $\dim_k D(V)=\dim_{𝐅_p} V$.
Pour la réciproque, on utilise le·:
-\begin{lemme3} Soient $K$ un corps de caractéristique $p>0$
+\begin{lemme2} Soient $K$ un corps de caractéristique $p>0$
et
$(a_{ij})∈\GL_d(K)$. Posons $P_i=X_i^p+∑_j a_{ij}X_j$
et $A=K[X₁,…,X_d]/(P₁,…,P_d)$. Alors, le $𝐅_p$-sous-espace
vectoriel $A(K)$ de $K^d$ est de dimension finie $d$.
-\end{lemme3}
+\end{lemme2}
\end{démo}
Amplification. [Katz, «·p-adic properties of modular schemes