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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index 5511d42..c50a5d0 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -1458,14 +1458,14 @@ que l'intégrale $∫₀^{+∞} t^{s} \frac{dt}{t}$ ne converge pour aucune valeur de $s$.) On en déduit d'une part que la transformée de Mellin de \[ -∑_{k ≥ 0} e^{-kt}= \frac{1}{e^t-1}=∑_{k ≥ 1} \frac{B_k}{k!} +∑_{k ≥ 1} e^{-kt}= \frac{1}{e^t-1}=∑_{k ≥ 1} \frac{B_k}{k!} t^{k-1}, \] où la seconde égalité n'est autre que la définition des nombres de Bernoulli, est la fonction $Γζ$ et celle de \[ -ψ(t)=∑_{n ≥ 1} e^{-π n² t} +ψ(t)=∑_{k ≥ 1} e^{-π k² t} \] la fonction $π^{-s} Γ(s) ζ(2s)$. \subsubsection{} @@ -1484,7 +1484,7 @@ D'autre part, il résulte de la formule de Poisson ∑_{n ∈ 𝐙} f(n) = ∑_{n ∈ 𝐙} \chap{f}(n) \] appliquée à $f(x)=e^{- π t x²}$ que -$θ(t)=\frac{1}{√{t}} ψ(\frac{1}{t})$ où +$θ(t)=\frac{1}{√{t}} θ(\frac{1}{t})$ où $θ(t)=𝟭+2 ψ(t)=∑_{n ∈ 𝐙} e^{-π n² t}$. En appliquant la transformation de Mellin à cette équation fonctionnelle (due à Jacobi), |