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On note $𝒮(K)$ l'ensemble +des fonctions continues $f:K → 𝐂$ qui satisfont la condition de +décroissante à l'infini suivante : +\begin{itemize} +\item[$K$ non-archimédien :] $f$ est à support compact. +\item[$K$ archimédien :] $f$ est $𝒞^∞$ en tant que fonction +à une ou deux variables réelles et pour toute paire de +polynômes $P,Q$ en ces variables, la fonction +réelle $|P Q(∂) f|$ est bornée. [clarifier \XXX] +\end{itemize} +Cet espace est appelé est \emph{espace de Schwartz} ou +\emph{Bruhat-Schwartz}. +\end{définition2} + +\subsection{Analyse harmonique : théorie additive} + +\subsubsection{} +Caractères : ils sont continus. + +\begin{définition2} +Soit $ψ$ un caractère non trivial du corps $K$, supposé +non-archimédien. +On appelle \emph{niveau} \index{niveau} de $ψ$ le plus petit +entier $n$ tel que $ψ(𝔪^{-n})=1$. +\end{définition2} + +\begin{proposition2} +\begin{enumerate} +\item Si $K$ est non-archimédien, les groupes $K$ et $\chap{K}$ sont isomorphes. +Plus précisément : +\begin{enumerate} +\item Si $K$ est de caractéristique $p>0$, $ω ∈ Ω¹_{K\bo k}-\{0\}$, +et $ψ₀ ∈ \chap{k}-\{0\}$, $K → \chap{K}$, +\[x ↦ \big( y ↦ ψ₀ ∘ \Res_ω( yx)\big)\] +est un isomorphisme. De plus, tout élément de $\chap{k}$ +est de la forme $y ↦ \exp(\frac{2i π}{p} \Tr_{k \bo 𝐅_p}(λ y))$ pour +un unique élément $λ ∈ k$. +\item Si $K$ est d'inégale caractéristique et $ψ₀ ∈ \chap{𝐐_p}-\{0\}$, +$K → \chap{K}$, +\[x ↦ \big( ψ₀ ∘ \Tr_{K \bo 𝐐_p}(xy)\big)\] +est un isomorphisme. De plus, tout élément de $\chap{𝐐_p}$ +est de la forme $y ↦ \exp(2 i π \{ λ y\})$, pour un unique élément +$λ ∈ 𝐐_p$, où $\{z\}$ désigne un élément de $𝐐$ tel que $z-\{z\} +∈ 𝐙_p$. +\end{enumerate} +\item Si $K=𝐑$, tout élément de $\chap{𝐑}$ est de la forme +\[ +y ↦ \exp(2 i π λ y), +\] +pour un $λ ∈ 𝐑$ bien défini à un entier près : l'application +précédente induit un isomorphisme $𝐑/𝐙 ⥲ \chap{𝐑}$. + +\end{enumerate} +\end{proposition2} + +\subsubsection{}Fixons un caractère non trivial $ψ$ de $K$ +et convenons de noter, pour chaque $x ∈ K$, $ψ_x$ le caractère $y ↦ ψ(xy)$. +Pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ sur $K$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, on pose : +\[ +ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f): x ↦ ∫_K f ψ_x dμ^{\mbox{\minus $+$}}. +\] + +L'exposant « $+$ » est là pour insister sur le fait +qu'il s'agit d'une mesure de Haar sur le groupe \emph{additif} du corps +topologique $K$. + +\begin{remarques2} +Lorsque $K$ est non-archimédien, l'intégrale précédente est +en fait une somme \emph{finie}. + +D'après la proposition \ref{}, si $ψ$ est non trivial, tout caractère +de $K$ est de la forme $ψ_x$, de sorte que l'on pourrait +alternativement considérer la transformée de Fourier $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ comme une +fonction sur $\chap{K}$. +\end{remarques2} + +\begin{proposition2} +\begin{enumerate} +\item La transformation de Fourier envoie $𝒮(K)$ dans $𝒮(K)$. +\item Il existe une constante $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$ telle que +\[ +ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ∘ ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} = c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ⋅ [-1]^*, +\] +où $([-1]^*f)(x)=f(-x)$. +\item Il existe une unique mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ telle que +$c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}=1$. Lorsque $K$ est non-archimédien, c'est l'unique +mesure de Haar pour laquelle le compact $𝒪$ soit +de mesure $q^{n/2}$, où $n$ est le niveau de $ψ$. +[signe devant $n$ ? \XXX] +\end{enumerate} +\end{proposition2} + +On note $ℱ_ψ$ la transformée de Fourier « auto-duale » (relativement +à $ψ$) $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}$. + +\begin{démo} +Cf. [Bushnell-Henniart] 23.1. +\end{démo} + +\begin{exemple2} +\XXX +Si $K=𝐐_p$ c'est bien ce que l'on pense. Cf. [Colmez, F.2.1]. +Lien avec sommes de Gauß. +\end{exemple2} + +\subsection{Analyse harmonique : théorie multiplicative} + +\subsubsection{Quasi-caractères} + +\begin{définition2} +Conducteur. +\end{définition2} + +$ω_s=| ⋅ |^s$. + +\begin{proposition2} +Structure des quasi-caractères. +\end{proposition2} + +\begin{démo} +Cf. ex. Tate. +\end{démo} + +\subsubsection{}On note $μ^{\mbox{\minus $×$}}$ l'unique mesure +de Haar sur le groupe multiplicatif de $K$ telle que +le compact $𝒪^×=𝒪-𝔪$ soit de mesure un. + +\begin{lemme2} +Pour chaque $s ∈ 𝐂$ tel que $\Re(s)>0$, la fonction $ω_s$ appartient à $L¹(K^×,μ^{\mbox{\minus $×$}})$. +\end{lemme2} + +Lorsque $f ∈ 𝒮(K)$, chaque $χ ∈ \chap{K^×}$, et chaque $s ∈ 𝐂$ +dans le demi-plan $\Re(s)>0$, on pose +\[ +ζ(s,χ,f)= ∫_{K^×} f χ ω_s d μ^{\mbox{\minus $×$}} +\] + +\begin{proposition2} +Soient $ψ$ un caractère non trivial de $K$ et $χ$ un quasi-caractère de $K^×$. +Il existe une fonction méromorphe $γ(s,χ,ψ)$ telle que, +pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, +\begin{enumerate} +\item la fonction $s ↦ ζ(s,χ,f)$ admet un prolongement méromorphe à $𝐂$ ; +\item l'équation fonctionnelle +\[ +γ(s,χ,ψ)ζ(s,χ,f)=ζ(1-s,χ^{-1},ℱ_ψ(f)). +\] +est satisfaite. +\end{enumerate} +\end{proposition2} + +\begin{démo} +Cf. [Bump] p. 265 pour l'énoncé et [Tate] 2.4.2 pour une démonstration +plus jolie. +\end{démo} + +\begin{exemples2} +Exemples de $γ$. +\end{exemples2} + + +\section{Adèles, idèles} + + + + +\subsection{Corps globaux : définitions} + +\begin{définition2} +\XXX +Corps global : extension finie de $𝐐$ ou de $𝐅_p(t)$, pour un nombre premier $p$. +\end{définition2} + +On note $P_K$ l'ensemble des places et $P_K^∞$ l'ensemble des places +infinies. + + +\subsection{Préliminaires topologiques et autres tribulations} +[à omettre en première lecture] + +\begin{proposition2} +\begin{enumerate} +\item compact et discret implique fini. +\item $G/H$ discret (resp. séparé) ↔ $H$ ouvert (resp. fermé). +\end{proposition2} + +\begin{définition2} +Un morphisme de groupes topologiques est dit être un +quasi-isomorphisme si son noyau et son conoyau sont des groupes +compacts. +\end{définition2} +(Cf. [Katô-Saitô-...], à la terminologie près.) + +\begin{proposition2} +Sorites. +\end{proposition2} + +Mesures produits. + +\subsection{Adèles} + +\subsubsection{}Soit $S ⊆ P_K$ un ensemble fini de places contenant $P_K^∞$. +On note $A_{S,K}$ l'anneau +\[ +∏_{v ∈ S} k_v × ∏_{v ∉ S} 𝔬_v, +\] +muni de la topologie produit. + +\[ +A_K=\colim_S A_{S,K}. +\] +Description de la topologie. + +\begin{proposition2} +\label{adèles et cb} +$L\bo K$ finie. +Alors $A_K ⊗_K L → A_L$ est un isomorphisme. +\end{proposition2} + +\begin{théorème2} +\begin{enumerate} +\item L'inclusion canonique $K → A_K$, où $K$ est muni de la topologie +discrète, est continue et est un quasi-isomorphisme. +\item Si $S ⊆ P_K$ est fini et contient $P_K^∞$, $𝒪_S → ∏_{v ∈ S} K_v$ est un quasi-isomorphisme. +\end{enumerate} +\end{théorème2} + +\begin{démo} +(i) ⇒ (ii). Cf. Saitô, p. 236. +(i). Cas $K=𝐐$ : explicite (p. 237). $K=𝐅_q(X)$ itou (238). +Cas général : cf. \ref{adèles et cb}. +\end{démo} + +\begin{proposition2} +$K$ est dense dans $A_{S,K}$ [ou variante \XXX]. +\end{proposition2} + +Volume de $A_K \bo K$ [trop tôt ?] + +\subsection{Idèles} + +\subsubsection{}$I_{S,K}$ ; $I_K$. + +\subsubsection{}$I_K¹$. + + +\section{Formule de Poisson et théorème de Riemann-Roch} + +\subsection{Transformée de Fourier} + +\subsubsection{$𝒮(A_K)$} + +\subsubsection{caractères additifs ; caractères de Hecke} + + + +\section{Fonctions zêta} + +\subsection{Fonction zêta de Hasse de l'équation projective $X³+Y³+Z³=0$} + + \[⁂\] + + +\begin{corollaire2} +\XXX +Formule du produit. +\end{corollaire2} + +\begin{proposition2} +$k^×$ est discret dans $I_k$ et +$I¹_k \bo k^×$ est compact ; de mesure +$…$ en caractéristique nulle. +\end{proposition2} + +Description $Cl(K)$ dans cas corps de fonctions +(\cite[6.94]{suuron1@kato-kurokawa-saito}). + +\begin{lemme2} +\XXX +Le covolume de $𝒪$ dans $K_𝐑$ est $2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}$. +\end{lemme2} + +\begin{démo} +\XXX +Soient $\sigma^{\RR}_1,\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}$ les plongements +$K↪ \RR$ et $\sigma^{\CC}_1,\sur{\sigma^{\CC}_1},\dots,,\sigma^{\CC}_{r_\CC}, +\sur{\sigma^{\CC}_{r_\CC}}$ les plongements $K↪ \CC$. +Le morphisme +$𝒪_K→ K_{\RR} ≃ \RR^{r_{\CC}}\times \CC^{r_{\CC}}⥲ \RR^{r_{\RR}+2 r_{\CC}}$ +est de la forme +$$x\mapsto (\sigma^{\RR}_1(x),\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}(x), +\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_1(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_1(x),\dots, +\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x)).$$ +Passer de la matrice ayant ces colonnes à +$\big(\sigma_i(x_j)\big)$ se fait par addition, soustraction et $r_{\CC}$ divisions par $2$. +La formule en résulte. +\end{démo} + +variantes en caractéristique $p>0$ : cf. Hasse, chap. 25, différentielles (p. 467). + +Généralités sur discriminant/différente : cf. Serre [CL], [Rosen, chap. 7] + +Diviseur inessentiel : Hasse 25.6, Koch §3.6. + +\begin{théorème2} +\XXX +Riemann-Hurwitz : lien entre genre et degré différente. +\end{théorème2} + +☡ [probablement à déplacer] + +\section{Théorèmes de finitude} + +\subsection{Finitude du groupe de Picard} + +\begin{theoreme2} +\XXX +Soit $K$ un corps de nombres. Le groupe de Picard de l'anneau +des entiers $\mc{O}_K$ de $K$ est fini. +\end{theoreme2} + +\begin{démo} +\XXX +Chaque classe $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ est représentée par un idéal $\got{c}$ de $A$. +Pour borner les possibilités sur $\got{c}$, il suffit de borner $N(\got{c}):=\#(𝒪_K/\got{c})$. +Supposons en effet qu'il existe une constante $\mu_K$ telle que l'on puisse +supposer $N(\got{c})\leq \mu_K$, indépendamment de la classe de $\got{c}$. +Si $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$, $N(\got{c})=\prod N(𝔭)^{n_𝔭}$ si bien qu'à la fois +les $N(𝔭)$ et les $n_𝔭$ sont bornés. Comme $N(𝔭)$ est une puissance du nombre premier +$p=𝔭\cap \ZZ$, et qu'il existe au plus $[L:K]$ idéaux premiers au-dessus de $p$, +il n'y aura qu'un nombre fini de possibilités pour l'idéal $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$. + +Si $\got{c}=(x)$ est principal, $N((x))$ n'est autre que $|N_{K/\QQ}(x)|$ : cela résulte +du lemme \ref{déterminant-norme} ci-dessous. +Admettons un instant le fait suivant : +\begin{quote} +Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout idéal non nul $\got{a}$, il +existe $0\neq x\in \got{a}$ tel que $|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \mathrm{N}(\got{a})$. +\end{quote} +Soit $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ comme plus haut. Soit $\got{a}\in C^{-1}$ un idéal de $\mc{O}_K$. +et $x$ comme dans le lemme. Comme $(x)\subset \got{a}$, il existe +un idéal $\got{c}$ de $\mc{O}_K$ tel que $(x)=\got{c}\got{a}$ +(cela résulte de \ref{décomposition idéaux}). On a alors +$\mathrm{N}(\got{c})\leq \mu_K$. +Démontrons le fait admis. On a vu en \ref{normalisation finie} que $𝒪_K$ est un +$\ZZ$-module de type fini. Il est nécessairement de rang $d=[L:K]$ +car $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ ⥲ K$ (cf. \ref{normalisation et localisation}). +Soit donc $x_1,\dots,x_d$ une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$ et notons +$\Sigma$ l'ensemble de cardinal $d$ des $\QQ$-plongements $K↪ \CC$. +Posons $$\mu_K:=\prod_{\sigma\in \Sigma} \big(\sum_{i=1}^d | \sigma(x_i) | \big).$$ +Soit $\got{a}\neq (0)$ comme plus haut. Il existe un unique entier $m\in \NN$ +tel que +$$ +m^d\leq \mathrm{N}(\got{a}) < (m+1)^d. +$$ +Il résulte alors du «~principe des tiroirs~» qu'il existe +deux éléments distincts de $[0,m]x_1+[0,m]x_2+\cdots [0,m]x_d$ dont la différence +appartient à $\got{a}$. On a fait ce qu'il fallait pour que +$N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\got{a})\mu_K$. CQFD. +\end{démo} + +\begin{théorème2} +\XXX +$\Pic⁰(U) ≃ ∏_{v ∉ U} 𝒪_v^× ∖ k^1_A/k^×$. +\end{théorème2} + +\begin{démo} +Énoncé dans Weil 2. +\end{démo} + +\begin{théorème2} +Soit $K$ un corps de fonctions. +Le groupe des classes d'idéaux de degré $0$ est \emph{fini}. +\end{théorème2} + +\begin{démo} +Cf. p. ex. [Rosen, lemme 5.6] ou [Katô-Saitô], VI.6.4(f) +ou Weil [BNT] IV. th. 7. +\end{démo} + +\subsection{Genre} + +\begin{théorème2} +$𝐀/𝐀(D)+K$ est de dimension finie. +\end{théorème2} + +Remarque : ce quotient est $𝖧¹(C,𝒪(D))$. + +\begin{définition2} +$g=\dim_k(𝐀/𝐀(0)+K)$. +\end{définition2} + +Via différentielles de Weil ; dimension du conoyau +de $K → ⨁_v K_v/O_v$. + +[À voir] + +\subsection{Fonction zêta de Dedekind} + +\begin{définition2} +\XXX + +Corps de nombres : +\[ζ_K=ζ_{𝒪_K}^{\mathrm{Hasse}}.\] +\[\chap{ζ}_K(s)=|D_K|^{\frac{s}{2}}Γ_𝐑(s)^{r_𝐑}Γ_𝐂(s)^{r_𝐂} ζ_K(s),\] +(fonction zêta complétée) où +$Γ_𝐑(s)=π^{-\frac{s}{s}} Γ(\frac{s}{2})$ et $Γ_𝐂(s)=2(2 π)^{-s}Γ(s)$. + +Corps de fonctions : +\[ +ζ_K= ∏_{v} \frac{1}{1-N(v)^{-s}}, +\] +où $v$ parcourt les \emph{places} de $K$. +\[ +\chap{ζ}_K(s)=q^{(g-1)s} ζ_K(s) +\] +\end{définition2} + +\begin{proposition2} +$ζ_K(s)=∑_𝔞 N(𝔞)^{-s}$. +\end{proposition2} + +\begin{exemple2} +$ζ_{𝐐(√-1)}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(√ m)}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7 + + +$ζ_{𝐅_p(t)}(s)=(1-p^{-s})ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)$. + +\end{exemple2} + +\begin{proposition2} +Converge absolument pour $\Re(s)>1$. +Prolongement méromorphe. Équation fonctionnelle. +\end{proposition2} + +\begin{démo} +On se ramène au cas du corps de base. +\end{démo} + +Mieux : + +\begin{théorème2} +Prolongement méromorphe. Équation fonctionnelle. +\end{théorème2} + +Méthode Iwasawa-Tate (\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected@Iwasawa} et \cite{Fourier@Tate}). + + +\begin{théorème2}[Pôle simple en $1$] +\XXX +Soit $K$ un corps de nombres. Pour toute classe $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$, il existe une +constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble +$$ +\{\got{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \got{a}\in +\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\got{a})\leq t\} +$$ +soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty$. +\end{théorème2} + +\begin{démo} +\XXX +Soit $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$. Choisissons un idéal $\got{b_{\mathsf{C}}}\in \mathsf{C}^{-1}$. +La correspondance +$$ +\got{a} \mapsto (\alpha_{\got{a}}):=\got{a}\got{b}_{\mathsf{C}}\subset 𝒪_K +$$ +établit une bijection entre l'ensemble dont on veut estimer la taille et +$$ +\{(\alpha)\subset 𝒪_K,\ \alpha\in \got{b}_{\mathsf{C}}-\{0\},\ +|\mathrm{N}_{K/\QQ}(\alpha)|\leq t \mathrm{N}(\got{b}_{\mathsf{C}})\}. +$$ +Compter les idéaux principaux $(\alpha)$ revient à « compter les $\alpha$ modulo +les unités ». Le groupe des unités pouvant être infini, il faut faire attention. +Négliger les unités revient à considérer l'ensemble +quotient $P(\got{b}_\mathsf{C}):=\got{b}_\mathsf{C} / 𝒪_K^{\times}$, +où $𝒪_K^{\times}$ agit naturellement par multiplication : il classifie +en effet les idéaux principaux contenus dans $\got{b}_\mathsf{C}$. +C'est naturellement un monoïde multiplicatif, à travers lequel +la norme $x\in \got{b}_\mathsf{C}\subset 𝒪_K\mapsto N(x):=|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\in \ZZ$ +se factorise. +Quitte à normaliser $t$, et rajouter l'idéal nul, on veut donc compter +$$ +\{ x \in P(\got{b}_\mathsf{C}),\ N(x)\leq t\}. +$$ +Soit $X_{\got{b}_\mathsf{C}}$ une partie de $ \got{b}_\mathsf{C}$ s'envoyant isomorphiquement sur +$P(\got{b}_\mathsf{C})$ : +$$ +\xymatrix{ +\got{b}_\mathsf{C} \ar@{->>}[r] & P(\got{b}_\mathsf{C}) \\ +X_{\got{b}_\mathsf{C}} \ar@{^(->}[u] \ar[ur]^{\sim} \ar@{^(->}[r] & K_{\RR} +} +$$ +Le sous-ensemble $X_{\got{b}_\mathsf{C}} \cap \{x\in K_{\RR}, N(x)\leq t\}$ de $K_{\RR}$, +dont on veut estimer la taille, est compliqué pour un relèvement +arbitraire. +On va voir, à l'aide du logarithme, qu'il existe une partie +$X\subset K_{\RR}$ (indépendante de $\got{b}_{\mathsf{C}}$), sorte +de domaine fondamental pour l'action de $𝒪_K^{\times}$, telle +que $X_{\got{b}_\mathsf{C}}=\got{b}_\mathsf{C}\cap X$ et $X_t:=\{x\in X, N(x)\leq t\}$ +soit égal à $t^{1/[k:\QQ]} X_{1}$. +Le théorème résultera alors du fait suivant et du fait que $\vol(X_1)\neq 0$. + +\begin{quote} +Soient $Y$ un partie mesurable [OU MIEUX] bornée de $\RR^{n}$ et $B$ un réseau de $\RR^{n}$. +Alors, si $\vol(Y)>0$, +$$ +\#(B\cap aY)\dessusdessous{a→ +\infty}{\sim} \frac{\vol(Y)}{\mathrm{covol}(B)} a^{n}. +$$ +\end{quote} + + +Pour simplifier les notations, posons $\sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}:=\RR^{r_\RR+r_\CC}\coprod +\{\infty\}$ +et posons $\log(x)=\infty$ pour tout $x\in K_{\RR}-K_{\RR}^{\times}$. C'est encore +un morphisme de monoïdes, si l'on pose $v+\infty=\infty$ pour tout $v\in \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$. +On a vu au cours de la démonstration de \ref{Dirichlet-unités} +que $\log:𝒪_K→ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$ a un noyau fini, +nécessairement contenu dans l'ensemble des unités, et que +l'image de celles-ci forme un réseau $\Lambda$ de l'hyperplan $H:=\{\sum x_i = 0\}$. +Ainsi, le logarithme induit une injection : +$P(\got{b}_\mathsf{C})↪ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$. + +Soit $D:=(\underbrace{1,\dots,1}_{r_{\RR}},\underbrace{2,\cdots,2}_{r_\CC})$ un supplémentaire +de $H$ dans $\RR^{r_\RR+r_\CC}$ et $P$ un parallélotope fondamental semi-ouvert +de $\Lambda$ dans $H$, de sorte que l'on a une bijection +$D\oplus P ⥲ \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$ induite par la projection +canonique $D\oplus H=\RR^{r_\RR+r_\CC}↠ \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$. +[FIGURE] +Soit $X\subset K_{\RR}$ la préimage de $D\oplus P\coprod \{\infty\}$ par le +logarithme ; il répond à notre question. En effet, comme +$N(ax)=a^{[K:\QQ]}N(x)$ pour tout $a\geq 0$ et $x\in K_{\RR}$, +la propriété $X_{t}=t^{1/[K:\QQ]}X_1$ est équivalente au fait que pour +tout $a\in \RR$, $aX\subset X$. Or, si $x\in X$, $\log(ax)=\log(x)+ \log(|a|)(1,\cdots,1,2,\cdots,2)$. (On pose $\log(0)v=\infty$.) +Enfin, $X_1$ est mesurable, de volume non nul. +\end{démo} + +\begin{théorème2} +Cas d'un corps de fonctions : +\[ +ζ_K(s)=\frac{P(q^{-s})}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})} +\] +pôle simple en $1$ (et $0$). +\end{théorème2} + +\begin{démo} +Cf. [Rosen] chap. 5. Utilise Riemann-Roch. +Voir aussi [Katô-Saitô], chap. 7. +\end{démo} + +\subsection{Théorème des unités} + +Séparer la « majoration » (notamment la type-finitude) +de la minoration (calcul exact du rang). Cf. p. ex., Artin +Theory of algebraic numbers (cours 1956/7 à Göttingen) §12.2. + +\begin{lemme2} +\XXX +Pour tout corps de nombre $K$ notons $\iota$ l'inclusion canonique +$K↪ K_{\RR}$. Alors, l'image $\iota(𝒪_K)\subset K_\RR$ de l'anneau des entiers +est un \emph{réseau}, \cad un $\ZZ$-module libre de rang $\dim_{\RR} K_\RR(=[K:\QQ])$ +engendré par des éléments $\RR$-linéairement indépendants. +\end{lemme2} + +\begin{proof} +\XXX +On sait déjà que $𝒪_K$ est un $\ZZ$-module libre de rang $[K:\QQ]$ (l'extension +$K/\QQ$ est séparable) ; il en est donc de même de son image par $\iota$. +Comme $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ⥲ K$, il existe une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$ +consitutée d'éléments linéairement indépendants sur $\QQ$. L'image de cette base +par $x\mapsto x\otimes_{\QQ} 1_\RR$, $K→ K_\RR$, est une base +du $\RR$-espace vectoriel $K_\RR$\footnote{Pour une interprétation +à l'aide de discriminants, cf. \emph{infra}.}. +\end{proof} + +\begin{théorème2}[Théorème des unités de Dirichlet] +\XXX +Soit $K$ un corps de nombres. Soient $r_{\RR},r_{\CC}$ les entiers tels que : +$$K\otimes_{\QQ} \RR=:K_{\RR} ≃ _{\RR} \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}.$$ +Alors, le groupe $𝒪_K^{\times}$ des unités de l'anneau des entier $𝒪_K$ +est de type fini, de rang $r_\RR+r_\CC-1$. +\end{théorème2} + +\begin{proof} +\XXX +\emph{Fixons dornénavant un isomorphisme $K_\RR ≃ \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$}. +Les morphismes $\log_{\RR}:\RR^{\times}→ \RR$, $x\mapsto \log(|x|)$ +et $\log_{\CC}:\CC^{\times}→ \RR$, $y\mapsto \log(|y|^2)$ définissent +un morphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite) +$$ +\log:\big(\RR^{r_{\RR}}\times \CC^{r_\CC}\big)^\times→ \RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}. +$$ +Par composition, on en déduit un morphisme noté de même $K_{\RR}^{\times}→ +\RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}⥲ \RR^{r_\RR+r_\CC}$. + + +Soit $u\in 𝒪_K^{\times}$. Sa norme sur $\QQ$, $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)$, +est un entier relatif ; comme il en est de même de $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u^{-1}) += \mathrm{N}_{K/\QQ}(u)^{-1}$, on a $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\in \{\pm 1\}$. +Ceci ce traduit, sur $\RR$, en l'appartenance +$$ +\log \iota(u)\in H=\{(x_i)\in \RR^{r_\RR+r_\CC},\ \sum x_i=0\}. +$$ +Cela résulte de l'égalité +$\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\otimes_{\QQ} 1_{\RR}=\mathrm{N}_{K_{\RR}/\RR}(u\otimes_{\QQ} 1_{\RR})$, +jointe au fait que sur $K_{\RR}/\RR$ la norme est essentiellement le produit +des coordonnées. Plus précisément, $\mathrm{N}_{(\RR\times \CC)/\RR}(a,b)=a\cdot b\sur{b}$ +(de même avec un nombre arbitaire de facteurs) donc +l'égalité $\mathrm{N}_{(\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC})/\RR}(\iota(u))=\pm 1$ entraîne que +le produit (pondéré) des coordonnées est $\pm 1$. Passant au logarithme +des valeurs absolues, on obtient $0$ en sommant. + +Enfin, l'image inverse par $\log: 𝒪_K^{\times} → \RR^{r_\RR+r_\CC}$ +de toute partie bornée est \emph{finie}. +Soit en effet $E\subset 𝒪_K^{\times}$, ou plus généralement +$E\subset 𝒪_K^{\times}$, telle que $\log(E)\subset \RR^{r_\RR+r_\CC}$ soit +bornée. En particulier, l'image $\iota(E)$ de $E$ dans $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$ +est bornée. +Or, si $e\in E$, les coordonnées de $\iota(e)$, ainsi que leurs conjugués complexes, +sont exactement les racines conjuguées sur $\QQ$ de $e$ dans $\CC$. +Si celles-ci sont bornées en valeur absolue, il en est de même des coefficients +du polynôme minimal de $e$. Comme celui-ci est également à coefficients entiers, +il n'y a qu'un nombre fini de possibilité pour un tel polynôme et finalement +pour $e\in 𝒪_K$. + +Il en résult que $\log(𝒪_K^{\times})$ est un sous-groupe de $\RR^{r_\RR+r_\CC}$ +tel que toute partie bornée soit finie. C'est donc un réseau (\ref{réseau-R^n}), +de rang inférieur à $r_\RR+r_\CC-1$ car il est contenu dans l'hyperplan $H$. + +Il en résulte également que le noyau de $𝒪_K^{\times}→ \RR^{r_\RR+r_\CC}$ est \emph{fini}. + +Les deux lemmes suivants montrent que ce rang est exactement $r_\RR+r_\CC-1$. + +\begin{quote}[Lemme chinois non archimédien] +Pour tout $1\leq k \leq r_{\RR}+r_\CC$, il existe $u\in 𝒪_K^{\times}$ +tel que $\log_i (u)$, la $i$-ième composante de $\log(u)$, soit $<0$ pour tout $i\neq k$. +\end{quote} + +Commençons pas un résultat que nous allons itérer pour produire $u$ comme plus haut. + +\begin{quote} +Il existe une constante $\mu_K$ +telle que pour tout $0\neq \alpha\in 𝒪_K$, il existe $0\neq \beta\in 𝒪_K$ satisfaisant : +$$\left\{ \begin{array}{l} +\log_i(\alpha)>\log_i(\beta),\ i\neq k \\ +\mathrm{N}_{K/\QQ}(\beta)\leq \mu_K +\end{array}\right.$$ +\end{quote} + +Soit $\alpha$ comme ci-dessus. Suppsosons donnés des nombres réels positifs +satisfaisant $c_{i,\alpha}< \exp(\log_i (\alpha))$ pour $i\neq k$. +Pour chaque constante $C_{k,\alpha}>0$, considérons : +$$E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha}):=\{(x_i)_{1\leq i \leq r_\RR+r_\CC}\in \RR^{r_\RR}\times +\CC^{r_\CC},\ +\left\{ \begin{array}{l} +|x_i|^{1\text{ou }2} \leq c_{i,\alpha}, \text{pour } i\neq k\\ +|x_k|^{1\text{ou }2} \leq C_{k,\alpha} +\end{array}\right.\} +$$ +(Ici «~$1\text{ou }2$» vaut $1$ si le facteur correspondant est $\RR$ et $2$ sinon.) + +On muni chaque facteur $\RR$ et $\CC$ de la mesure de Lebesgue usuelle et +le produit est muni de la mesure produit. +L'ensemble précédent est une partie de $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$ qui est +fermée (donc mesurable), symétrique par rapport +à l'origine et convexe. Son volume est +$$2^{r_\RR}\pi^{r_\CC}\big(\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}\big).$$ +Soit $\mu_K>0$ une constante telle que +$$ 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K> 2^{[K:\QQ]} +\mathrm{covol}(\iota(𝒪_K)\subset \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}).$$ +À $\alpha$ fixé, On peut ajuster ces constantes de sorte que +$\mathrm{Vol}(E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha})= 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K$, +\cad $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$. +Il résulte alors du théorème de Minkowski \ref{Minkowski} que pour +ces valeurs, il existe $0\neq \beta\in E\cap 𝒪_K$. Un tel $\beta$ satisfait les +conditions du lemme. + +Démontrons le «~lemme chinois~». +Chosissons $k$ et considérons un $\alpha\in 𝒪_K$ non nul quelconque. En vertu +du résultat précédent, on peut construire une suite de $\beta_m$ dont les +normes sont bornées tels que les $i\neq k$-composantes des logarithmes décroissent +strictement. L'ensemble de idéaux $(\beta_m)$ étant fini (par finitude des normes), il existe +$m'>m$ tel que $(\beta_m)=(\beta_{m'})$. On a alors $\beta_{m'}=\beta_{m} u$ pour +une unité $u\in 𝒪_K^{\times}$. Elle satisfait les conclusions du lemme. + +\begin{quote} +Soit $A$ une matrice telle que les éléments de la diagonale soit $>0$, +ceux hors de la diagonale $<0$ et enfin que la somme des coefficients +sur une ligne soit nulle. +Alors, le rang de $A$ est égal au nombre de colonnes moins $1$. +\end{quote} +\end{proof} + +\begin{théorème2}[F.K. Schmidt] +Structure des $S$-unités dans le cas des corps de fonctions : + +$𝒪_S^×/k^×$ est libre de rang $≤ ♯S-1$. +\end{théorème2} + +\begin{démo} +Cf. p. ex., [Hasse], chap. 29 ou [Rosen, chap. 14] +\end{démo} + +\section{Théorème de Minkowski et une application} + +Notation : $K ⊗_𝐐 𝐑 ≃ 𝐑^{r_𝐑(K)}×𝐂^{r_𝐂(K)}$. On note $K_𝐑$ la +$𝐑$-algèbre $K ⊗_𝐐 𝐑$. + +\begin{théorème2}[Minkowski] +Soit $K\bo 𝐐$ une extension finie de degré $d$. +\[ +\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}(K)}\frac{d^d}{d!}. +\] +\end{théorème2} + +\begin{corollaire2} +Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $\QQ$ partout +non ramifiée. De façon équivalente, si $A$ est une $\ZZ$-algèbre finie étale +connexe alors $\ZZ⥲ A$. +\end{corollaire2} + +\begin{démo} +\XXX +%La démonstration consiste en un raffinement de la démonstration de la finitude du +%groupe de Picard. +Notons avec des $x$ (resp. $y$) les coordonnées réelles (resp. complexes) de $K_{\RR}$. +Soit +$$ +A:=\{x\in K_{\RR}, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+2\big(|y_1|+\cdots+|y_{r_\CC}|\big)\leq n\} +$$ +le sous-ensemble compact, convexe, symmétrique par rapport à l'origine, de $K_\RR$. +L'inégalité arithmético-géométrique montre que tout point +de $A$ a une norme inférieure à $1$. +Admettons que +$$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$ +Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$, +$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA) + \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}},$$ +il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement +de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$. +L'inégalité en résulte immédiatement. + +Effectuons le calcul volumique. Posons +$$ +f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+ +2\big(\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+ +\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\big)\leq t\}\Big)=t^n f_{r_{\RR},r_\CC}(1), +$$ +où $n=r_{\RR}+2r_\CC$. +En utilisant de façon répétée, pour $r_{\RR}>0$, l'égalité +$$ +f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=2\int_0^t f_{r_{\RR-1},r_\CC}(u)\mathrm{d} u= 2\int_0^t u^{n-1} +f_{r_{\RR-1},r_\CC}(1)\mathrm{d} u, +$$ +on trouve : +$$ +f_{r_{\RR},r_\CC}(1)=\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}f_{0,r_\CC}(1). +$$ +Soit +$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}}, +\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+ +\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\leq t\}\Big),$$ +de sorte que l'on ait $f_{0,r_\CC}(t)=g_{r_{\CC}}(t/2)$. +Calculons $g$ : +$$\begin{array}{ll} +g_{r}(1)& =\int_0^1 g_{r-1}(1-u)2\pi u \mathrm{d}u\\ +& = 2\pi g_{r-1}(1) +\underbrace{\int_0^1 (1-u)^{2r-2}u \mathrm{d}u}_{\frac{1}{2r-1}-\frac{1}{2r}}\\ +& = ... \\ +& = \frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}. +\end{array} +$$ +Finalement, +$$f_{r_{\RR},r_\CC}(n)=n^n\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}(\frac{1}{2})^{2r_\CC} +\frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}},$$ +comme annoncé. +\end{démo} + +\subsection{Caractéristique $p>0$} + +\begin{théorème2} +\XXX +Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $𝐅_p(t)$ partout non ramifiée. +\end{théorème2} + +\subsection{Un théorème de Selmer} + +\begin{proposition2}[Selmer] +\XXX +Soit $n ≥ 1$. Le polynôme $f_n(X)=X^n-X-1$ est irréductible dans $𝐐[X]$. +\end{proposition2} + +\begin{démo} +\XXX +Soit $n\geq 2$ un entier et $f_n=X^n-X-1\in \ZZ[X]$. Soient $x_1,\dots,x_n$ +les racines, non nulles, de $f$. Considérons : +$$ +S(f_n):=\sum_1^n(x_i-x_i^{-1}), +$$ +et de même pour tout diviseur potentiel non trivial $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$. +Il est immédiat que si $f_n=g_1 g_2$, on +a $S(f_n)=S(g_1)+S(g_2)$. Comme $S(f_n)$ est symétrique en les +racines, et que $f_n$ est unitaire, on a $(x_1\dots x_n)S(f_n)\in \ZZ$ ; comme le +produit des racines est ici une unité, on a donc $S(f_n)\in \ZZ$ ; +il en est ansi de tout diviseur $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$. +En fait, $S(f_n)=1$ : pour $n\geq 3$, $\sum x_i=\sigma_1=0$ tandis +que $\sum x_i^{-1}=\sigma_{n-1}/\sigma_n=-1$. + +Remarquons maintenant que pour chaque $x_j$, +si l'on écrit $x_j=r e^{i\varphi}$, +on a +$\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)=(r-r^{-1})\cos(\varphi)=\frac{r^2-1}{r}\cos(\varphi)$. +Comme $r^n\cos(\varphi)=r\cos(\varphi)+1$ et $r^n\sin(\varphi)=r\sin(\varphi)$, +en sommant le carré des deux égalités on trouve : +$$\cos(\varphi)=\frac{r^{2n}-r^2-1}{2r}.$$ +En particulier $r\neq 1$ car sinon $\cos(\varphi)=-\frac{1}{2}$ et +les racines primitives cubiques de l'unité seraient des racines de $f_n$, ce +qui n'est pas le cas. +Enfin, comme pour tout $1\neq a>0$, +$(a-1)(a^n-a-1)=1-a+(a-1)(a^n-1)> 1-a$, +on en déduit, en posant $a=r^2$ et en divisant par $a$ l'égalité ci-dessus, +$$ +\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)> \frac{1}{2}\big(|x_i|^{-2}-1\big). +$$ +Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$, +et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire, +$\prod_{j\in J} |x_j|^{-2}=1$ donc, +la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, \cad $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$. +Il s'ensuit que $S(g)>0$ ; comme d'autre par $S(g)\in \ZZ$, +on a $S(g)\geq 1$. Cette inégalité appliquée au quotient $f_n/g$ contredit +l'additivité de $S$ et le fait que $S(f_n)=1$. +CQFD. +\end{démo} + +\begin{théorème2} +\XXX Le groupe de Galois du polynôme $f_n$ +est $𝔖_n$ tout entier. +\end{théorème2} + +\begin{démo} +\XXX +Soient $K_n$ un corps de décomposition de $f_n$ et $A_n$ son anneau +des entiers. Supposons que le nombre premier +$p$ soit ramifié dans $K_n$ ; d'après [sorites] il est alors +ramifié dans le corps de rupture $\QQ[X]/f_n$ de $f_n$ puisque $K_n$ +est le composé de tels corps. +Compte tenu de [calcul différente], $f_n$ et $f_n'$ ont une racine commune +modulo $p$ ; il en est de même de $nf_n=nX^n-nX-n$ et $Xf_n'=nX^n-X$. +Il en résulte que $p$ est premier à $n(n-1)$, +que la racine est congrue à $\frac{n}{n-1}$ modulo $p$ +et enfin qu'elle est au plus double : $f_n''(\frac{n}{n-1})\neq 0$. +Il en résulte [sorites à dégager] que le groupe d'inertie en $p$ +est soit trivial soit engendré par une transposition. +Ainsi, le groupe de Galois de $f_n$ est un sous-groupe transitif +de $𝔖_n$, engendré par des transpositions. C'est $𝔖_n$ tout entier +[facile]. +\end{démo} + +\section{Fonction zêta de Hasse de l'équation homogène $X³+Y³+Z³=0$} + +\begin{théorème2} +\XXX +Soit $D=27$ et posons $\chap{L}(s)=D^{\frac{s}{2}} Γ_𝐂(s) L(E,s)$. +Alors : +\[ +\chap{L}(E,s)=\chap{L}(E,2-s). +\] +\end{théorème2} + +\begin{remarque2} +\XXX +Courbe elliptique à multiplication complexe. +\end{remarque2} + +Cf. cours à Hyères (2008). + +Utilise : + +— $𝐐(j)=𝐐(√3)$ est euclidien ; + +— construction ad hoc caractère de Hecke via sommes de Jacobi ; + +— transformée de Mellin + formule de Poisson pour démontrer équation fonctionnelle. + +\section{Notes} + +Pour la transformation de Fourier : \cite{Bushnell-Henniart} ; +[Colmez, appendice F]. + + +\ifx\danslelivre\undefined +\bibliography{../configuration/bibliographie-livre} +\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre} +\end{document} +\fi |