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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index 13fd723..7879305 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -940,7 +940,7 @@ et $+∞$ sinon. Le niveau induit une filtration naturelle sur le groupe $\chap{K}$. \subsubsection{}On suppose choisie une fois pour toute une orientation -sur $𝐂$, c'est-à-dire un choix fait de $i=√{-1}$ dans $𝐂$. On note +sur $𝐂$, c'est-à-dire un choix fait de $i=\sqrt{-1}$ dans $𝐂$. On note alors, pour chaque $x ∈ 𝐑$, $𝐞(x)=\exp(2 π i x)=e^{2 π i x}$. % cf Weil I, §2.1 pour discussion orientation. De même, \mbox{$p>0$} étant implicitement fixé, on note $ψ_{𝐅_p}$ @@ -1155,7 +1155,7 @@ $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ=q^{-½n(ψ)} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$ (resp. $|a|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$) si $K$ est ultramétrique et $ψ$ de niveau $n(ψ)$ (resp. si $K$ est archimédien et $ψ=[×a]^*𝐞_{∞,K}$). -\item $μ_{ψ_a}=√{|a|} μ_ψ$. +\item $μ_{ψ_a}=\sqrt{|a|} μ_ψ$. \end{enumerate} \end{proposition2} @@ -1233,7 +1233,7 @@ L'existence et l'unicité en découle. Contrairement à $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$, qui est à valeurs dans $𝐙[1/q]$, $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ est à valeurs -dans $𝐙[1/ √q]$ si le niveau de $ψ$ est impair. +dans $𝐙[1/ \sqrt{q}]$ si le niveau de $ψ$ est impair. \begin{exemple2} \label{exemple Fourier et Gauss} @@ -1485,7 +1485,7 @@ D'autre part, il résulte de la formule de Poisson ∑_{n ∈ 𝐙} f(n) = ∑_{n ∈ 𝐙} \chap{f}(n) \] appliquée à $f(x)=e^{- π t x²}$ que -$θ(t)=\frac{1}{√{t}} θ(\frac{1}{t})$ où +$θ(t)=\frac{1}{\sqrt{t}} θ(\frac{1}{t})$ où $θ(t)=𝟭+2 ψ(t)=∑_{n ∈ 𝐙} e^{-π n² t}$. En appliquant la transformation de Mellin à cette équation fonctionnelle (due à Jacobi), @@ -1694,10 +1694,10 @@ et ζ_𝐂(s):=ζ(g_𝐂,1,s)=2(2 π)^{-s} Γ(s). \] Pour démontrer ces formules, il suffit d'effectuer le changement de variable -$x=√r$ dans le cas réel\footnote{Explicitement : +$x=\sqrt{r}$ dans le cas réel\footnote{Explicitement : \[ ζ_𝐑(s):=∫_{𝐑^×} e^{-π x²} x^s \frac{dx}{x}= ∫₀^{+∞} e^{-π r} r^{s/2} \frac{dr}{r}. -\]} ou $x=√r e^{i θ}$ dans le cas +\]} ou $x=\sqrt{r} e^{i θ}$ dans le cas complexe\footnote{Explicitement : \[ ζ_𝐂(s) @@ -4486,7 +4486,7 @@ a la formule (globale) ℱ_ψ(𝟭_𝒪)=|d_K|^{½} [×d_K]^*𝟭_𝒪. \] Cette égalité est le pendant adélique de l'équation fonctionnelle -$θ(t)=\frac{1}{√{t}} θ(\frac{1}{t})$ considérée en \ref{équation-fonctionnelle-thêta}. +$θ(t)=\frac{1}{\sqrt{t}} θ(\frac{1}{t})$ considérée en \ref{équation-fonctionnelle-thêta}. Elle nous servira également à établir les équations fonctionnelles des fonctions $ζ$ de corps globaux. @@ -4504,8 +4504,8 @@ $+$}}_{\japmath{玉}}=|d_K|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$ \sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(K_𝐀 \bo K) = \begin{cases} -\displaystyle √{|𝔡_K|} & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\ -\displaystyle √{q^{2g-2}} & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0, +\displaystyle \sqrt{|𝔡_K|} & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\ +\displaystyle \sqrt{q^{2g-2}} & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0, \end{cases} \] où l'on rappelle que $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$ @@ -4825,7 +4825,7 @@ f(X,Y)-f(X,X+Y)-f(X+Y,Y) \[ \frac{k+1}{2} ζ(k) = ∑_{n>0} f_k(n,n) = ∑_{0 < j < k \atop j \text{ pair}} ζ(j) ζ(k-j). \] -\item En déduire que $ζ(k) ∈ 𝐐 P^k$ où $P=√{6 ζ(2)}$. +\item En déduire que $ζ(k) ∈ 𝐐 P^k$ où $P=\sqrt{6 ζ(2)}$. \item Montrer que \[ ∫_{[0,1]²} (1-x²y²)^{-1} dxdy= (1-¼)ζ(2). @@ -5264,7 +5264,7 @@ le théorème de Frobenius \ref{} du chapitre [...]. \subsubsection{Exemple : $𝐐(i)$} -$ζ_{𝐐(√{-1})}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(√m)}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7 +$ζ_{𝐐(\sqrt{-1})}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(\sqrt{m})}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7 \section{Fonctions $L$} @@ -5279,7 +5279,7 @@ $𝐑$-algèbre $K ⊗_𝐐 𝐑$. \begin{théorème2}[Minkowski] Soit $K\bo 𝐐$ une extension finie de degré $d$. \[ -√{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}(K)}\frac{d^d}{d!}. +\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}(K)}\frac{d^d}{d!}. \] \end{théorème2} @@ -5305,7 +5305,7 @@ Admettons que $$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$ Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$, $$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA) - \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}√{\got{d}_{K/\QQ}},$$ + \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}},$$ il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$. L'inégalité en résulte immédiatement. @@ -5313,8 +5313,8 @@ L'inégalité en résulte immédiatement. Effectuons le calcul volumique. Posons $$ f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+ -2\big(√{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+ -√{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\big)\leq t\}\Big)=t^n f_{r_{\RR},r_\CC}(1), +2\big(\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+ +\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\big)\leq t\}\Big)=t^n f_{r_{\RR},r_\CC}(1), $$ où $n=r_{\RR}+2r_\CC$. En utilisant de façon répétée, pour $r_{\RR}>0$, l'égalité @@ -5328,8 +5328,8 @@ f_{r_{\RR},r_\CC}(1)=\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}f_{0,r_\CC}(1). $$ Soit $$g_{r_{\CC}}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}}, -√{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+ -√{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\leq t\}\Big),$$ +\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+ +\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\leq t\}\Big),$$ de sorte que l'on ait $f_{0,r_\CC}(t)=g_{r_{\CC}}(t/2)$. Calculons $g$ : $$\begin{array}{ll} @@ -5494,7 +5494,7 @@ montre que ces coefficients $c₁,…,c_g$ sont déterminés par les $N(n)$, $1 L'objectif de cette section est de démontrer le théorème suivant. \begin{théorème2}[Weil] -Pour chaque $1 ≤ i ≤ 2g$, le module (usuel) du nombre complexe $α_i$ est $√q$. +Pour chaque $1 ≤ i ≤ 2g$, le module (usuel) du nombre complexe $α_i$ est $\sqrt{q}$. De façon équivalente, on a \[ |N(n)-(1+q^n)| ≤ 2g q^{n/2} @@ -5541,10 +5541,10 @@ Supposons que $q$ est un carré ${q′}²$, satisfait l'inégalité $q′>(g+1)²$, et qu'il existe un \emph{point rationnel} $x ∈ X(k)$. Alors pour tout $σ ∈ \Aut(K\bo k)$, on a la majoration \[ -\# \Fix \big(\Frob^σ_k|X(\sur{k})\big) -(1+q) < (2g+1) √{q}, +\# \Fix \big(\Frob^σ_k|X(\sur{k})\big) -(1+q) < (2g+1) \sqrt{q}, \] où l'on note $\Frob^σ_k=σ^{-1}\Frob_k$. -En particulier, $\# X(k) ≤ 1+q+(2g+1)√{q}$. +En particulier, $\# X(k) ≤ 1+q+(2g+1)\sqrt{q}$. \end{théorème2} L'existence d'une $k$-place dans $X(k)$ est équivalente à l'existence @@ -5688,7 +5688,7 @@ Cf. cours à Hyères (2008). Utilise : -— $𝐐(j)=𝐐(√3)$ est euclidien ; +— $𝐐(j)=𝐐(\sqrt{3})$ est euclidien ; — construction ad hoc caractère de Hecke via sommes de Jacobi ; |