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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index d9b2e07..e3b2f81 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -304,8 +304,8 @@ explicites sur un nombre fini de mesures locales décrites de manière %Cf. Weil, commentaire sur [1967c] dans ses Œuvres, tome III. %l'idée est que, sauf erreur, on intègre des fonctions %dans $𝒮(K_𝐀)$, que chaque $a ∈ K$ est à composantes presque toutes -%dans $𝒪_x$ [utile pour formule du produit] et que -%$μ_{ψ_x}(𝒪_x)=1$ pp $x$, si bien que finalement, tout se ramène au cas +%dans $𝒪_{K,x}$ [utile pour formule du produit] et que +%$μ_{ψ_x}(𝒪_{K,x})=1$ pp $x$, si bien que finalement, tout se ramène au cas %d'un produit fini. Soit $G$ un groupe topologique localement compact et soit $φ$ une fonction @@ -1178,7 +1178,7 @@ des constantes se fait habituellement en utilisant pour fonction test une gaussienne\footnote{On veut montrer que $∫_𝐑 e^{-2 i π xy}e^{-πx²}dx=e^{-πy²}$. Or, le terme de gauche est une fonction $g$ de $y$ satisfaisant l'équation différentielle $g′(y)=-2πyg(y)$. On a donc $g(y)=C e^{- π y²}$, -où $C=∫_𝐑 e^{-π x²}dx>0$. Enfin, par Fubini et changement de variable, on a +où $C=∫_𝐑 e^{-π x²}dx>0$. Enfin, par Fubini et changement de variables, on a $C²=∫_{𝐑²} e^{-π (x²+y²)}dxdy= 2π ∫_{𝐑^+} e^{-π ρ²}ρdρ=1$.}. Considérons dorénavant le cas d'un corps local $K$ ultramétrique. (ii) Pour chaque $x ∈ K$, on a @@ -1471,6 +1471,7 @@ la fonction $π^{-s} Γ(s) ζ(2s)$. (Les notations $β$ et $ψ$ ne sont pas standards.) %% standard ? \subsubsection{} +\label{équation-fonctionnelle-thêta} Notons que la fonction $Γ ζ$ n'est \emph{a priori} définie que sur le demi-plan $\Re(s)>1$, mais s'étend d'après ce qui précède en une fonction méromorphe @@ -2143,14 +2144,14 @@ On dispose donc d'une valeur absolue privilégiée sur $K_x$, la valeur absolue normalisée, que l'on note $|⋅|_x$, ainsi que sa restriction à $K$, qui appartient à la classe $x$. Si $x$ est ultramétrique, -on note également $𝒪_x=\{f ∈ K_x : |f|_x ≤ 1\}$ +on note également $𝒪_{K,x}=\{f ∈ K_x : |f|_x ≤ 1\}$ l'anneau de valuation de $K_x$, $𝔪_x$ son idéal maximal, -$k_x=𝒪_x/𝔪_x$ le corps résiduel, $N(x)$ le cardinal de $k_x$ — appelé +$k_x=𝒪_{K,x}/𝔪_x$ le corps résiduel, $N(x)$ le cardinal de $k_x$ — appelé \emph{norme} de $x$ — et enfin $v_x$ la valuation $K_x ↠ 𝐙 ∪ \{+∞\}$. -Notons que si $ϖ$ est une uniformisante de $𝒪_x$, +Notons que si $ϖ$ est une uniformisante de $𝒪_{K,x}$, on a $N(x)=|ϖ|_x^{-1}$. Il est parfois utile de faire la convention suivante : -lorsque $x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$, on pose $𝒪_x=K_x$. +lorsque $x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$, on pose $𝒪_{K,x}=K_x$. % pertinence à vérifier \XXX. (Cela permet parfois d'éviter % d'écrire « $S ⊆ Σ(K)$ fini contenant $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$ » @@ -2158,7 +2159,7 @@ lorsque $x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$, on pose $𝒪_x=K_x$. \subsubsection{} \label{U-entiers} Pour toute partie cofinie $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$, on note $𝒪_K(U)$ l'ensemble des éléments $f$ de $K$ -qui sont \textbf{$U$-entiers}, c'est-à-dire appartenant à $𝒪_x$ pour chaque $x ∈ U$. +qui sont \textbf{$U$-entiers}, c'est-à-dire appartenant à $𝒪_{K,x}$ pour chaque $x ∈ U$. De façon équivalente : $|f|_x ≤ 1$ pour tout $x ∈ U$. Nous dirons qu'un tel ensemble $U$ est un \emph{ouvert dense} \index{ouvert dense} de $K$. (Insistons sur le fait que l'on ne topologise pas $K$ et qu'il s'agit d'une convention de langage.) @@ -3846,7 +3847,7 @@ $K^⊥=K$ (\ref{Pontrâgin pour adèles}). \label{niveaux forme différentielle presque tous nuls} On peut montrer que si $K$ un corps global de caractéristique $p>0$ et $ω$ une forme différentielle non nulle, -pour presque tout $x ∈ Σ(K)$, $𝐞_{K_x,ω_x}(𝒪_x)=\{1\}$. +pour presque tout $x ∈ Σ(K)$, $𝐞_{K_x,ω_x}(𝒪_{K,x})=\{1\}$. De plus, on peut identifier $K^⊥$ à $Ω¹_{K \bo 𝐅_p}$. \XXX % cf. Tate, cours à Harvard. \end{remarque2} @@ -3858,7 +3859,7 @@ sur $K$. Pour chaque place $x$ de $K$, considérons la transformée de Fourier locale autoduale $ℱ_{ψ_x}$ (\ref{Fourier et mesure locaux}). Si $f=\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_x f_x$ appartient à l'espace de Bruhat-Schwartz (\ref{Bruhat-Schwartz adélique}), -les fonctions $ℱ_{ψ_x}(f_x)$ sont presque toutes égales à $𝟭_{𝒪_x}$ : +les fonctions $ℱ_{ψ_x}(f_x)$ sont presque toutes égales à $𝟭_{𝒪_{K,x}}$ : cela résulte du fait que le niveau $n(ψ_x)$ sont presque tous nuls (\ref{dual des classes de adèles}) et de la dualité locale (\ref{Fourier et mesure locaux}, (i) et (v)). La fonction $ℱ_ψ(f):= @@ -4315,95 +4316,120 @@ Cf. [Rosen, p. 247] \XXX \subsubsection{Idèle différentiel} \label{idèle différentiel} Soient $K$ un corps global et $ψ$ un caractère de $K_𝐀∕K$. -Il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux} +Il résulte des généralités sur la transformée de Fourier +locale (\ref{Fourier et mesure locaux}) que pour chaque place $x ∈ Σ(K)$, il existe un élément (non canonique) $d_{ψ,x} ∈ K_x^×$ tel que \[ -μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}=|d_{ψ,x}|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{x,1}. +μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}=|d_{ψ,x}|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{x,1}, \] -Lorsque $x$ est ultramétrique, -ceci se produit si et seulement si -la valuation $x(d_{ψ,x})$ est égale au niveau $n_x(ψ_x)$. -Dans ce cas, on a la formule +où $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$ est la mesure de Haar auto-duale +associée à $ψ_x$ sur le groupe additif du corps local $K_x$ et $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{x,1}$ est la mesure +de Tamagawa locale définie en \ref{mesures Tamagawa locales} sur ce même corps. +Lorsque $x$ est ultramétrique, une condition nécessaire et suffisante +sur $d_{ψ,x}$ est que sa valuation $x(d_{ψ,x})$ soit égale au +niveau $n_x(ψ_x)$. En particulier (\ref{dual des classes de adèles}), +$|d_{ψ,x}|=1$ pour presque tout $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ de sorte qu'il existe un +idèle $d_ψ ∈ K^×_𝐀$, appelé \textbf{idèle différentiel attaché à $ψ$}, +\index{idèle différentiel} tel que $d_ψ=(d_{ψ,x})$. + +\subsubsection{}Lorsque $x$ est une place ultramétrique, +on a vu au cours de la démonstration de \ref{Fourier et mesure locaux} +(orthogonalité des caractères) que la fonction +$ℱ_{ψ_x}(𝟭_{𝒪_{K,x}})$ est égale à la fonction $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}(𝒪_{K,x}) +𝟭_{𝒪_{K,x}^{⊥}}$, où $𝒪_{K,x}^{⊥}$ est l'orthogonal $\{ f ∈ K_x: ψ_x(f + 𝒪_{K,x}) =\{1\}\}$ +de $𝒪_{K,x}$ relativement à l'accouplement défini par $ψ_x$. +On en tire \[ -ℱ_{ψ_x}(𝟭_{𝒪_x})=|d_{ψ,x}|^{½}[× d_{ψ,x}]^* 𝟭_{𝒪_x}, +𝒪_{K,x}^{⊥}=d_{K,x}^{-1}𝒪_{K,x}, \] -ou encore +car on a l'égalité (\emph{loc. cit.}, (ii)) \[ -𝒪_x^{⊥}= d_{ψ,x}^{-1} 𝒪_x, +ℱ_{ψ_x}(𝟭_{𝒪_{K,x}})=|d_{K,x}|^{½}[× d_{K,x}]^* 𝟭_{𝒪_{K,x}}. \tag{$†$} \] -où $𝒪_x^{⊥}=\{ f ∈ K_x: ψ_x(f 𝒪_x) =\{1\}\}$ -est l'orthogonal relativement à l'accouplement défini -par $ψ_x$. -En particulier, $|d_{ψ,x}|=1$ pour presque tout $x -∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ de sorte qu'il existe un -idèle $d_ψ ∈ K^×_𝐀$, appelé \emph{idèle différentiel attaché à $ψ$}, -\index{idèle différentiel} tel que $d_ψ=(d_{ψ,x})$. \subsubsection{}Lorsque la place $x$ est archimédienne, il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux} (v) et que l'on peut prendre pour $d_{ψ,x}$ l'unique -élément de $K_x^×$ tel que $ψ_x=[× d_{ψ,x}]^* 𝐞_{K_x}$. -(Le caractère $𝐞_{K_x}$ est défini en \ref{caractère corps local}.) +élément de $K_x^×$ tel que $ψ_x=[× d_{ψ,x}]^* 𝐞_{K_x}$, +où le caractère $𝐞_{K_x}$ est défini en \ref{caractère corps local}. +La formule $(†)$ admet l'analogue suivant : +$ℱ_{ψ_x}(g_{K_x})=|d_{ψ,x}|^{½}[× d_{ψ,x}]^* g_{K_x}$, +où les fonctions gaussiennes $g_{K_x}$ sont comme +en \ref{Mellin local archimédien}. +D'après \ref{dépendance Fourier local en caractère}, +elle est équivalente à la formule bien connue +\[ +\Big( ℱ_{𝐑}(g_𝐑) : x↦ ∫_𝐑 e^{-πt²-2iπtx}dt \Big) +=\Big( g_𝐑 : x↦ e^{-π x²}\Big) +\] +et son analogue complexe $ℱ_{𝐂}(g_𝐂)=\big(g_𝐂:z↦ \frac{1}{π}e^{-2 π |z|²}\big)$. \subsubsection{} \label{Tamagawa et idèle différentiel} -Par construction, on a l'égalité +L'égalité locale $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}=|d_{ψ,x}|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{x,1}$ +entraîne l'égalité \[ μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}=|d_ψ|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁. \] -En particulier, le module $|d_ψ|$ ne dépend pas du choix de $ψ$ ; -on le notera dorénavant $|d_K|$. +Le module $|d_ψ|$ ne dépendant pas du choix de $ψ$, on +le note dorénavant $|d_K|$. Il résulte des calculs effectués en \ref{Poisson implique RR} et, en caractéristique nulle, de la proposition \ref{niveau et différente} -— car on peut supposer $ψ=𝐞_K$ — que l'on a : +%— car on peut supposer $ψ=𝐞_K$ — +que l'on a : \[ |d_K| = \begin{cases} \displaystyle |𝔡_K|^{-1} & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\ -\displaystyle q^{2-2g} & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0. +\displaystyle q^{2-2g} & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0, \end{cases} \] +où $𝔡_K$ est la différente (\refext{AVD-D}{différente}) du corps +de nombres $K$ sur $𝐐$ et $g$ est le genre (\ref{Riemann-Roch}) du corps de +fonctions $K$, de corps des constantes de cardinal $q$. \subsubsection{} \label{Fourier de 1} -Lorsque $K$ est un corps de fonctions, on a +Soit $K$ un corps global et posons \[ -ℱ_ψ(𝟭)=|d_K|^{½} [×d_K]^*𝟭, +𝟭= \big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠ +\big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} +g_{K_x}\big). \] -où $𝟭$ est la fonction introduite en \ref{Poisson implique RR}. -Elle s'obtient à partir de son analogue local par produit. -Cette formule est également valable dans le cas des corps de nombres -si l'on considère la fonction +Il résulte de ces formules locales précédentes que l'on +a la formule (globale) \[ -𝟭= \big(⊠′ _{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_x}\big) ⊠ -\big(⊠_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big) +ℱ_ψ(𝟭)=|d_K|^{½} [×d_K]^*𝟭. \] -Il suffit pour cela d'établir l'égalité, pour chaque place -archimédienne $x$ de $K$ : $ℱ_{ψ_x}(g_{K_x})=|d_{ψ,x}|^{½}[× d_{ψ,x}]^* g_{K_x}$. -D'après \ref{dépendance Fourier local en caractère}, -on peut supposer $ψ_x=𝐞_{K_x}$, de sorte qu'il faut montrer -l'égalité -\[ -\Big( ℱ_{𝐑}(g_𝐑) : x↦ ∫_𝐑 e^{-πt²-2iπtx}dt \Big) -=\Big( g_𝐑 : x↦ e^{-π x²}\Big) -\] -et son analogue complexe $ℱ_{𝐂}(g_𝐂)=g_𝐂$. +Cette égalité est le pendant adélique de l'équation fonctionnelle +$θ(t)=\frac{1}{√{t}} θ(\frac{1}{t})$ considérée en \ref{équation-fonctionnelle-thêta}. +Elle nous servira également à établir les équations fonctionnelles des +fonctions $ζ$ de corps globaux. \subsubsection{} \label{mesure quotient adélique} -Compte tenu de l'égalité $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}(K_𝐀 ∕ K)=1$, -il résulte \ref{Tamagawa et idèle différentiel} que l'on a : -\[ -μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(K_𝐀 \bo K) +Pour toute mesure de Haar $μ$ sur $K_𝐀$, notons ici +$\sur{μ}$ l'unique mesure de Haar sur $K_𝐀/K$ +telle que $μ$ soit le produit (au sens de \ref{module et mesure quotients}) +de $\sur{μ}$ par la mesure de comptage sur le sous-groupe discret $K$. +Compte tenu des égalités $\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}(K_𝐀 ∕ K)=1$ +(\ref{Fourier adélique}, (i)), et $μ^{\mbox{\minus +$+$}}_{\japmath{玉}}=|d_ψ|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$ +(\ref{Tamagawa et idèle différentiel}), on a : +\[ +\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(K_𝐀 \bo K) = \begin{cases} \displaystyle √{|𝔡_K|} & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\ -\displaystyle √{q^{2g-2}} & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0. +\displaystyle √{q^{2g-2}} & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0, \end{cases} \] - +où l'on rappelle que $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$ +est la mesure de Haar sur $K_𝐀$ produit +restreint des mesures locales $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{x,1}$. Pour une démonstration directe de cette seconde formule à partir du théorème de Riemann-Roch, cf. \cite[2.1.3.b)]{Adeles@Weil}. @@ -4443,7 +4469,7 @@ La plus célèbre est la \emph{fonction zêta de Dedekind} ζ_K(s)= ∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}(K)}} \frac{1}{1-q_x^{-s}} \] où $x$ parcourt les places \emph{ultramétriques} de $K$ -et $q_x$ — aussi noté $N(x)$ — désigne le cardinal du corps fini $k_x=𝒪_x/𝔪_x$. +et $q_x$ — aussi noté $N(x)$ — désigne le cardinal du corps fini $k_x=𝒪_{K,x}/𝔪_x$. % vérifier notations ci-dessus \XXX Notons que $ζ_K(s)=∏_{x ∈Σ^{\mathrm{ultr}(K)}} ζ_{K_x}(s)$ où $ζ_{K_s}=…$. [choisir un caractère ?] cf. \ref{calcul @@ -4837,7 +4863,7 @@ Cela nous permettrait d'éviter la redondance $χ,s$. Appliquons le théorème \ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate} à la fonction \[ -𝟭= \big(⊠′ _{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_x}\big) ⊠ +𝟭= \big(⊠′ _{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠ \big(⊠_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big) \] considérée en \ref{Fourier de 1} et au caractère multiplicatif $χ$ \emph{trivial}, que nous omettons des notations |