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diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex index 0c71a4c..3d63186 100644 --- a/chapitres/radicaux.tex +++ b/chapitres/radicaux.tex @@ -618,69 +618,85 @@ $\cos\frac{2\pi}{n}$ qui est défini comme $\frac{1}{2}(\omega_n + la racine primitive $n$-ième de l'unité de partie réelle la plus grande et de partie imaginaire positive. -\subsubsection{$n=3$}\label{racine-3e-de-1} Si $\omega$ désigne une racine cubique -primitive de l'unité, c'est-à-dire une racine de $\Phi_3 = X^2 + X + -1$, alors on a $\omega^2 = -1-\omega = \omega^{-1}$, et la quantité -$\alpha := (\omega - \omega^{-1})$ vérifie $\alpha^2 = \omega^2 - 2 + -\omega^{-1} = -3$. Eu égard aux conventions que nous avons faites sur -la détermination principale des racines, on peut écrire $\alpha = -\sqrt{-3}$, de sorte que $\omega = \frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})$ : +(Nous avons fait le choix de toujours préférer la quantité +$\sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{n}$ à $\sin\frac{2\pi}{n}$, puisque +l'objet fondamental est $e^{2 i \pi/n}$, et que $\sqrt{-1}$ +n'appartient pas forcément à $\QQ(\zeta,\omega)$ : il faut donc +considérer $\sqrt{-1}\,\sin$ comme un seul symbole.) + +\subsubsection{$n=3$}\label{racine-3e-de-1} Si $\omega$ désigne une +racine cubique primitive de l'unité, c'est-à-dire une racine de +$\Phi_3 = X^2 + X + 1$, alors en calculant modulo $\Phi_3$ on voit que +$\omega^2 = -1-\omega = \omega^{-1}$, et la quantité $\alpha_1 := +(\omega - \omega^{-1})$ vérifie $(\alpha_1)^2 = \omega^2 - 2 + +\omega^{-1} = -3$. Une fois vérifiée la détermination, on peut écrire +$\alpha_1 = \sqrt{-3}$, de sorte que $\omega = +\frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})$ : \[ -e^{2i\pi/3} = \frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3}) +\cos\frac{2\pi}{3} = \frac{1}{2}\hbox{\quad et\quad } +\sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{1}{2}\sqrt{-3} \] -\subsubsection{$n=4$}\label{racine-4e-de-1} Si $\omega$ désigne une racine -primitive $4$-ième de l'unité, c'est-à-dire une racine de $\Phi_4 = -X^2 + 1$, alors on a $\omega^2 = -1$. Eu égard aux conventions que -nous avons faites sur la détermination principale des racines, on peut -écrire $\omega = \sqrt{-1}$ : +\subsubsection{$n=4$}\label{racine-4e-de-1} Si $\omega$ désigne une +racine primitive $4$-ième de l'unité, c'est-à-dire une racine de +$\Phi_4 = X^2 + 1$, alors on a $\omega^2 = -1$. Avec nos conventions +sur la détermination, on peut écrire $\omega = \sqrt{-1}$ : \[ e^{i\pi/2} = \sqrt{-1} \] -\subsubsection{$n=5$}\label{racine-5e-de-1} Si $\omega$ désigne une racine -primitive $5$-ième de l'unité, c'est-à-dire une racine de $\Phi_5 = -X^4 + X^3 + X^2 + X + 1$, alors on considère les quantités $\alpha_j -:= \sum_{i=0}^3 (\sqrt{-1})^{ij} \omega^{2^i}$, c'est-à-dire : -$\alpha_0 = \omega + \omega^2 + \omega^4 + \omega^3$ et $\alpha_1 = -\omega + \sqrt{-1}\, \omega^2 - \omega^4 - \sqrt{-1}\, \omega^3$ et -$\alpha_2 = \omega - \omega^2 + \omega^4 - \omega^3$ et $\alpha_3 = -\omega - \sqrt{-1}\, \omega^2 - \omega^4 + \sqrt{-1}\, \omega^3$. Il -est clair que $\alpha_0 = -1$. D'autre part, $(\alpha_2)^2 = 5$ comme -on le calcule en développant, et compte tenus des choix de -déterminations, $\alpha_2 = \sqrt{5}$. Ceci permet déjà d'exprimer -$\gamma := \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1}) = \cos\frac{2\pi}{5}$, -puisque $\gamma = \frac{1}{4}(\alpha_0 + \alpha_2)$, on a donc $\gamma -= \frac{1}{4}(-1+\sqrt{5})$ : +\subsubsection{$n=5$}\label{racine-5e-de-1} Si $\omega$ désigne une +racine primitive $5$-ième de l'unité, c'est-à-dire une racine de +$\Phi_5 = X^4 + X^3 + X^2 + X + 1$, alors on considère les quantités +$\alpha_j := \sum_{i=0}^3 (\sqrt{-1})^{ij} \omega^{2^i}$ (ici, $\zeta += \sqrt{-1}$ intervient en tant que racine $4$-ième de l'unité), +c'est-à-dire : $\alpha_0 = \omega + \omega^2 + \omega^4 + \omega^3$ et +$\alpha_1 = \omega + \sqrt{-1}\, \omega^2 - \omega^4 - \sqrt{-1}\, +\omega^3$ et $\alpha_2 = \omega - \omega^2 + \omega^4 - \omega^3$ et +$\alpha_3 = \omega - \sqrt{-1}\, \omega^2 - \omega^4 + \sqrt{-1}\, +\omega^3$. Il est clair que $\alpha_0 = -1$. D'autre part, +$(\alpha_2)^2 = 5$ comme on le calcule en développant, et compte tenus +des choix de déterminations, $\alpha_2 = \sqrt{5}$. Ceci permet déjà +d'exprimer $\gamma := \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1}) = +\cos\frac{2\pi}{5}$, puisque $\gamma = \frac{1}{4}(\alpha_0 + +\alpha_2)$, on a donc $\gamma = \frac{1}{4}(-1+\sqrt{5})$ : \[ \cos\frac{2\pi}{5} = \frac{1}{4}(-1+\sqrt{5}) \] Pour obtenir l'expression de $\omega$ lui-même, on peut bien sûr calculer $\sin\frac{2\pi}{5} = \sqrt{1 - \cos^2\frac{2\pi}{5}} = -\frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}$ et en déduire +\frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}$, c'est-à-dire \[ -e^{2i\pi/5} = \frac{1}{4}\Big(-1+\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}}\Big) +\sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{5} = \frac{1}{4}\sqrt{-10-2\sqrt{5}} \] Ou bien on peut, de façon plus systématique mais moins commode, calculer $(\alpha_1)^4 = -15 + 20\sqrt{-1}$, d'où on déduit $\alpha_1 = \sqrt{-1}\, \root4\of{-15 + 20\sqrt{-1}}$, et de même $\alpha_3 = \sqrt{-1}\, \root4\of{-15 - 20\sqrt{-1}}$. On a alors $\omega = \frac{1}{4}(\alpha_0 + \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)$. Dans ce cas, -on trouve $\sin\frac{2\pi}{5} = \frac{1}{4} \big( \root4\of{-15 + - 20\sqrt{-1}} + \root4\of{-15 - 20\sqrt{-1}} \big)$. - -\XXX --- Il faudrait « expliquer » le fait que $\root4\of{-15 + - 20\sqrt{-1}} + \root4\of{-15 - 20\sqrt{-1}} = \sqrt{10 + - 2\sqrt{5}}$. - -\subsubsection{$n=6$}\label{racine-6e-de-1} Si $1,\zeta,\zeta^2$ désignent les racines -cubiques de l'unité, alors les racines sixièmes de l'unité sont -$1,-\zeta^2, \zeta,-1, -\zeta,\zeta^2$. (Citées dans cet ordre car -avec nos conventions sur le fait que la racine principale est celle -qui a la partie réelle la plus grande et la partie imaginaire -positive, si $\zeta$ est la racine cubique principale, la racine -sixième principale est $-\zeta^2$.) +on trouve +\[ +\sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{5} = \frac{1}{4} \big( \sqrt{-1}\, +\root4\of{-15 + 20\sqrt{-1}} + \sqrt{-1}\, \root4\of{-15 - + 20\sqrt{-1}} \big) +\] + +Ici, cette expression est moins plaisante que celle calculée +ci-dessus, mais pour de plus grandes valeurs de $n$ ce ne sera pas +forcément le cas. + +\XXX --- Y a-t-il moyen plus intelligent d'« expliquer » le fait que +$\root4\of{-15 + 20\sqrt{-1}} + \root4\of{-15 - 20\sqrt{-1}} = +\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}$. + +\subsubsection{$n=6$}\label{racine-6e-de-1} Si $1,\zeta,\zeta^2$ +désignent les racines cubiques de l'unité, alors les racines sixièmes +de l'unité sont $1,-\zeta^2, \zeta,-1, -\zeta,\zeta^2$. (Citées dans +cet ordre car avec nos conventions sur le fait que la racine +principale est celle qui a la partie réelle la plus grande et la +partie imaginaire positive, si $\zeta$ est la racine cubique +principale, la racine sixième principale est $-\zeta^2$.) \subsubsection{$n=7$}\label{racine-7e-de-1} Si $\omega$ désigne une racine primitive $7$-ième de l'unité, alors on considère les quantités |