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@@ -1383,12 +1383,141 @@ Enfin, dans le cas $a_1 = a_3 = 0$, l'équation $X^4 + a_2 X^2 + a_4 =
 
 \subsection{Un exemple en degré $5$}
 
-Considérons le polynôme $f = x^5 - 5x + 12$ sur les rationnels : on
+Considérons le polynôme $f = X^5 - 5X + 12$ sur les rationnels : on
 cherche à en exprimer les racines au moyen de radicaux.  Pour se
 convaincre que c'est au moins possible, il faut tout d'abord s'assurer
-que son groupe de Galois est résoluble.  Nous avons traité cet exemple
-en \refext{ExG}{exemple-galois-quintique-diedral} où nous avons vu
-qu'il s'agissait du groupe diédral du pentagone ;
+que son groupe de Galois $G$ est résoluble.  Nous avons traité cet
+exemple en \refext{ExG}{exemple-galois-quintique-diedral} où nous
+avons vu qu'il s'agissait du groupe diédral du pentagone ; plus
+précisément, nous avons vu que le corps de décomposition de $f$
+sur $\QQ$ s'écrit comme $K_1 = K[Y]/(Y^2 +
+\frac{1}{4}(-z^4-z^3-z^2+3z+4)Y + \frac{1}{4}(-z^4-z^3-z^2-5z+8))$, où
+$K = \QQ[X]/(f)$ est le corps de rupture de $f$ dans lequel on note
+$z$ ou $z_0$ la classe de $X$, et on note $z_1$ la classe de $Y$
+dans $K_1$ qui est aussi une racine de $f$ : le groupe de Galois est
+alors le groupe des isométries d'un pentagone régulier dont les
+sommets seraient étiquetés $z_0,z_1,z_2,z_3,z_4$ avec $z_2 =
+\frac{1}{8}[(z_0^4-z_0^3+z_0^2-z_0-4)z_1 +
+  (-z_0^4+z_0^3-z_0^2+z_0-4)]$ et $z_3 =
+\frac{1}{8}[(-z_0^4+z_0^3-z_0^2+z_0+4)z_1 +
+  (-z_0^4-3z_0^3-z_0^2-3z_0+12)]$ et $z_4 =
+-z_1+\frac{1}{4}(z_0^4+z_0^3+z_0^2-3z_0-4)$.  On notera $\varsigma$
+l'élément du groupe de Galois $G$ qui envoie cycliquement chacun de
+$z_0,z_1,z_2,z_3,z_4$ sur le suivant, et $\tau$ celui qui échange
+$z_1$ et $z_4$ ainsi que $z_2$ et $z_3$.
+
+Pour spécifier le choix des déterminations des racines dans les
+complexes, on fixe la numérotation pour laquelle $z_0 \approx
+-1.842086$, $z_1 \approx 1.272897+0.719799i$, $z_2 \approx
+-0.351854+1.709561i$, $z_4 \approx -0.351854-1.709561i$ et $z_5
+\approx 1.272897-0.719799i$ (on vérifie bien que $z_1^2 +
+\frac{1}{4}(-z_0^4-z_0^3-z_0^2+3z_0+4)z_1 +
+\frac{1}{4}(-z_0^4-z_0^3-z_0^2-5z_0+8) = 0$ avec ce choix).
+
+Nous aurons aussi besoin de faire intervenir une racine primitive
+cinquième de l'unité $\zeta$.  On peut montrer que $f$ a le même
+groupe de Galois sur $\QQ(\zeta)$, c'est-à-dire que $K \otimes_{\QQ}
+\QQ(\zeta) = \QQ(\zeta)[X]/(f)$ et $K_1 \otimes_{\QQ} \QQ(\zeta)$ sont
+bien des corps (par exemple, on peut vérifier que le polynôme minimal
+$Z^{10} - 10 Z^8 - 75 Z^6 + 1500 Z^4 - 5500 Z^2 + 16000$ de l'élément
+primitif $z_0 - z_1$ de $K_1$ reste encore irréductible
+sur $\QQ(\zeta)$) ; mais en réalité, nous n'en aurons pas vraiment
+besoin de ce fait : nous ne calculerons pas de division dans ces
+anneaux, donc il nous suffit qu'ils aient un sens en tant qu'anneaux,
+que le groupe diédral du pentagone opère sur le second en
+laissant $\zeta$ fixe, et que les éléments fixes par cette action
+soient ceux de $\QQ(\zeta)$.
+
+On définit les sommes de Lagrange $L_j = \sum_{i=0}^4 \zeta^{ij}
+\varsigma^i(z_0) = \sum_{i=0}^4 \zeta^{ij} z_i$, de sorte que
+$\varsigma(L_j) = \zeta^j L_j$.  Les éléments $L_j$ peuvent être
+calculés explicitement dans $K_1 \otimes_{\QQ} \QQ(\zeta)$ (dont on a
+une description explicite comme algèbre quotient de $\QQ[X,Y,U]$ par
+l'idéal engendré par $f(X)$ et $(Y^2 + \frac{1}{4}(-X^4-X^3-X^2+3X+4)Y
++ \frac{1}{4}(-X^4-X^3-X^2-5X+8))$ et $U^4 + U^3 + U^2 + U + 1$).  On
+a évidemment $L_0 = 0$ ; les autres $L_j$ vérifient
+$\varsigma((L_j)^5) = (L_j)^5$, mais par ailleurs il est clair que
+$\tau(L_j) = L_{5-j}$ (on rappelle que $\tau$ opère trivialement
+sur $\zeta$), et en particulier $\tau((L_j)^5) = (L_{5-j})^5$.  Ainsi,
+$(L_1)^5 + (L_4)^5$ et $(L_1 L_4)^5$, et de même $(L_2)^5 + (L_3)^5$
+et $(L_2 L_3)^5$ sont stables par $\varsigma$ et $\tau$ donc éléments
+de $\QQ(\zeta)$, et calculables explicitement.  De fait :
+\begin{align*}
+(L_1)^5 + (L_4)^5 &= - 8750 - 5000 \zeta^2 - 5000 \zeta^3\\
+(L_1 L_4)^5 &=  78125 + 156250 \zeta^2 + 156250 \zeta^3\\
+(L_2)^5 + (L_3)^5 &= - 3750 + 5000 \zeta^2 + 5000 \zeta^3\\
+(L_2 L_3)^5 &=  -78125 + 156250 \zeta^2 - 156250 \zeta^3\\
+\end{align*}
+(Au lieu de la somme et du produit de $(L_1)^5$ et $(L_4)^5$, on
+aurait pu introduire de nouvelles sommes de Lagrange $M_{(1,4),j} :=
+L_1^5 + (-1)^j (L_4)^5$, sachant qu'alors $M_{(1,4),0} = (L_1)^5 +
+(L_4)^5$ et de $(M_{(1,4),1})^2 = ((L_1)^5 - (L_4)^5)^2$ étaient dans
+$\QQ(\zeta)$ ; cela revenait essentiellement au même ; et la même
+chose vaut, évidemment, pour $L_2$ et $L_3$.)
+
+Ces valeurs permettent de calculer $(L_1)^5$ et $(L_4)^5$ en radicaux
+dans les complexes : on connaît déjà une expression en radicaux de
+$\zeta = e^{2i\pi/5}$, à savoir $\frac{1}{4}(-1+\sqrt{5} +
+\sqrt{-10-2\sqrt{5}})$, et le fait de connaître la somme et le produit
+de $(L_1)^5$ et $(L_4)^5$ donne ceux-ci comme solutions d'une équation
+quadratique donc résoluble au prix d'une racine carrée ; la même chose
+vaut, évidemment, pour $(L_2)^5$ et $(L_3)^5$.
+
+Pour obtenir des expressions un petit peu plus propres, et pour y voir
+plus clair, on peut chercher à identifier l'extension quadratique de
+$\QQ$ définie par le) (c'est-à-dire corps fixe du) sous-groupe
+engendré par $\varsigma$ dans $G$ : pour cela, on considère par
+exemple l'élément $q = z_0 z_1^2 + z_1 z_2^2 + z_2 z_3^2 + z_3 z_4^2 +
+z_4 z_0^2$ de $K_1$ : il est stable par $\varsigma$ mais non
+par $\tau$, et on calcule $q + \tau(q) = -10$ et $q\, \tau(q) = 275$,
+ce qui donne $q^2 + 10q + 275 = 0$ ou encore $q =
+-5(1\pm\sqrt{-10})$ ; par cohérence avec le choix des racines dans
+$\CC$ décrit plus haut, on écrira $q = -5(1+\sqrt{-10})$, ou plus
+exactement, on appellera $\sqrt{-10}$ l'élément de $K_1$ défini par
+$-1-\frac{1}{5}q$ : cet élément est fixé par $\varsigma$ et
+$\tau(\sqrt{-10}) = -\sqrt{-10}$.  Comme $(L_1)^5 - (L_4)^5$ est lui
+aussi fixé par $\varsigma$ et transformé par $\tau$ en son opposé, on
+peut chercher à écrire $(L_1)^5 - (L_4)^5$ comme $c\sqrt{-10}$ avec $c
+\in \QQ(\zeta)$, qu'on calcule comme $((L_1)^5 -
+(L_4)^5)\times\sqrt{-10}/(-10)$, ce qui donne
+\[
+(L_1)^5 - (L_4)^5 = (- 750 - 1500 \zeta + 750 \zeta^2 - 2250 \zeta^3)\,\sqrt{-10}
+\]
+et de façon analogue
+\[
+(L_2)^5 - (L_3)^5 = (- 750 - 3000 \zeta - 2250 \zeta^2 - 750 \zeta^3)\,\sqrt{-10}
+\]
+Ceci donne une expression plus heureuse pour les $(L_j)^5$, à savoir,
+une fois $\zeta$ remplacé par sa propre expression complexe en
+radicaux :
+\begin{align*}
+(L_1)^5 &= -3125 + 1250\sqrt{5} + 375\sqrt{-10}\,\sqrt{-10+2\sqrt{5}}
+  - \frac{375}{2}\sqrt{-10}\,\sqrt{-10-2\sqrt{5}}\\
+(L_2)^5 &= -3125 - 1250\sqrt{5} - \frac{375}{2}\sqrt{-10}\,\sqrt{-10+2\sqrt{5}}
+  - 375\sqrt{-10}\,\sqrt{-10-2\sqrt{5}}\\
+(L_3)^5 &= -3125 - 1250\sqrt{5} + \frac{375}{2}\sqrt{-10}\,\sqrt{-10+2\sqrt{5}}
+  + 375\sqrt{-10}\,\sqrt{-10-2\sqrt{5}}\\
+(L_4)^5 &= -3125 + 1250\sqrt{5} - 375\sqrt{-10}\,\sqrt{-10+2\sqrt{5}}
+  + \frac{375}{2}\sqrt{-10}\,\sqrt{-10-2\sqrt{5}}\\
+\end{align*}
+Et pour l'expression finale de la racine réelle $z = \frac{1}{5}(L_0 +
+L_1 + L_2 + L_3 + L_4)$ de $f$ dans les complexes, on obtient
+{\footnotesize
+\begin{align*}
+& \frac{1}{20}\left(-1-\sqrt{5}+\sqrt{-10+2\sqrt{5}}\right)
+\root5\of{-3125 + 1250\sqrt{5} + 375\sqrt{-10}\,\sqrt{-10+2\sqrt{5}}
+  - \frac{375}{2}\sqrt{-10}\,\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\
+& + \frac{1}{20}\left(-1-\sqrt{5}+\sqrt{-10+2\sqrt{5}}\right)
+\root5\of{-3125 - 1250\sqrt{5} - \frac{375}{2}\sqrt{-10}\,\sqrt{-10+2\sqrt{5}}
+  - 375\sqrt{-10}\,\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\
+& + \frac{1}{20}\left(-1-\sqrt{5}+\sqrt{-10+2\sqrt{5}}\right)
+\root5\of{-3125 - 1250\sqrt{5} + \frac{375}{2}\sqrt{-10}\,\sqrt{-10+2\sqrt{5}}
+  + 375\sqrt{-10}\,\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\
+& + \frac{1}{5}
+\root5\of{-3125 + 1250\sqrt{5} - 375\sqrt{-10}\,\sqrt{-10+2\sqrt{5}}
+  + \frac{375}{2}\sqrt{-10}\,\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\
+\end{align*}
+\par}