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diff --git a/chapitres/spectre.tex b/chapitres/spectre.tex
index c635c72..cdaa8d8 100644
--- a/chapitres/spectre.tex
+++ b/chapitres/spectre.tex
@@ -1,34 +1,13 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
-\usepackage{palatino,euler}
-\input{../configuration/commun}
-\input{../configuration/smf}
-\input{../configuration/adresse}
-\input{../configuration/gadgets}
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-
-\usepackage{stmaryrd}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-\usepackage{srcltx}
-
-\synctex=1
-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
+\title{Spectre et idéaux premiers}
\externaldocument{categories}
-
\begin{document}
-\begin{center}
-Spectre et idéaux premiers
-\end{center}
-\version
-\setcounter{tocdepth}{1}
+\maketitle
\tableofcontents
-
\else
\chapter{Spectre et idéaux premiers}
\fi
@@ -152,26 +131,26 @@ Ainsi, $xy∉𝔮$ et, \emph{a fortiori}, $xy∉𝔭$.
\subsubsection{}\label{points-algebre}Soient $k$ un anneau (par exemple $𝐙$) et $A$ une $k$-algèbre, c'est-à-dire
un morphisme d'anneaux $k→A$.
-Pour toute $k$-algèbre $T$, on notera souvent $A^\japmath{田}(T)$
-ou $\japmath{田}A(T)$ l'ensemble $\Hom_k(A,T)$\footnote{L'usage
+Pour toute $k$-algèbre $T$, on notera souvent $A^田(T)$
+ou $田A(T)$ l'ensemble $\Hom_k(A,T)$\footnote{L'usage
le plus courant est d'utiliser plutôt les lettres $h$ (« Hom ») ou
-$y$ (« Yoneda ») au lieu de $\japmath{田}$.}
+$y$ (« Yoneda ») au lieu de $田$.}
En un sens qu'il n'est pas nécessaire de préciser ici,
-la collection des $\japmath{田}A(T)$, pour $T$ variable,
+la collection des $田A(T)$, pour $T$ variable,
caractérise $A$ (cf. \refext{Cat}{notation-yoneda}).
-L'ensemble $\japmath{田}A(k)$ joue souvent
+L'ensemble $田A(k)$ joue souvent
un rôle particulier ; c'est l'ensemble des \emph{points rationnels} \index{point
rationnel} de $A$.
%Remarquons que tout morphisme de $k$-algèbres
%$A→k$ est surjectif car l'image est une sous-$k$-algèbre de $k$
%contenant l'unité.
-Soit $f∈\japmath{田}A(k)$. La source du morphisme $\Spec(f)$ est
+Soit $f∈田A(k)$. La source du morphisme $\Spec(f)$ est
l'ensemble à un élément $\Spec(k)=\{(0)\}$. L'image de $\Spec(f)$ dans
$\Spec(A)$ est, par définition, le singleton d'élément $f^{-1}(0)=\Ker(f)∈\Spec(A)$.
\begin{lemme2}\label{points rationnels et ideaux maximaux}
-L'application $\japmath{田}A(k)→\Spec(A)$, $f↦\Ker(f)$, est une injection d'image
+L'application $田A(k)→\Spec(A)$, $f↦\Ker(f)$, est une injection d'image
contenue dans $\Specmax(A)$. Son image est l'ensemble des $𝔮$ dans $\Specmax(A)$
tel que le morphisme composé $k→A↠A/𝔮$ soit un isomorphisme.
\end{lemme2}
@@ -187,7 +166,7 @@ $\mathrm{str}:k→A$ (définissant la $k$-algèbre $A$), est
l'identité car $\Hom_k(k,k)=\{\Id\}$. L'isomorphisme
$A/𝔭_f⭇k$ est donc l'inverse du morphisme composé $\overline{\mathrm{str}}:k→A↠A/𝔭_f$ munissant
le quotient $A/𝔭_f$ de sa structure de $k$-algèbre naturelle.
-L'injectivité de l'application $\japmath{田}A(k)→\Specmax(A)$ est alors évidente :
+L'injectivité de l'application $田A(k)→\Specmax(A)$ est alors évidente :
le seul $k$-morphisme $A→k$ de noyau $𝔭$ est $A↠A/𝔭⭇k$ où
la seconde flèche est l'inverse de l'isomorphisme $k→A↠A/𝔭$.
Il résulte de cette description que l'image de l'ensemble des points rationnels
@@ -252,7 +231,7 @@ Pour tout anneau $A$, l'anneau quotient $A_{\red}=A/\Nilp(A)$ est réduit.
C'est le plus grand quotient réduit de $A$ : pour tout morphisme d'anneau $A→B$
avec $B$ réduit, il existe un unique morphisme $A_{\red}→B$ à travers lequel
$A→B$ se factorise. En d'autres termes, si $B$ est un anneau réduit,
-l'application injective $\japmath{田}A_{\red}(B)→\japmath{田}A(B)$
+l'application injective $田A_{\red}(B)→田A(B)$
déduite de la surjection $A↠A_{\red}$ est une bijection.
\end{proposition2}
@@ -517,10 +496,10 @@ que N. Bourbaki les appelle plutôt « anneaux booléiens ».
D'après \ref{SpecBoole=HomF2} et \ref{points rationnels et ideaux
maximaux}, appliqués à $\Idem(A)$, on a donc :
\[
-π₀(A) = \japmath{田}\Idem(A)(𝐅₂),
+π₀(A) = 田\Idem(A)(𝐅₂),
\]
où l'ensemble de droite est $\Hom_{𝐅₂}(\Idem(A),𝐅₂)$.
-% ☡ la notation \japmath{田} s'accorde mal avec ⊞...
+% ☡ la notation 田 s'accorde mal avec ⊞...
\begin{proposition2}
Soit $A$ un anneau. Les conditions suivantes sont
@@ -935,13 +914,14 @@ des sous-anneaux de $A$, donc sont réduits. D'après \ref{artinien
\section{Exercices}
+\subsection{\XXX}
-\begin{exercice}
+\begin{exercice2}
Soit $A$ un anneau. Montrer que $\Nilp(A[X])=\Nilp(A)[X]$ :
tout polynôme nilpotent est à coefficients nilpotents, et réciproquement.
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}
+\begin{exercice2}
\label{ultrafiltres et produits infinis}
Soit $X$ un ensemble non vide. Un \emph{ultrafiltre}\index{ultrafiltre} $𝔉$
sur $X$ est un ensemble de parties non vides de $X$ stable par intersection finie
@@ -965,10 +945,10 @@ On peut alors montrer que l'espace \emph{topologique}
$\Spec(k^X)$ est homéomorphe au compactifié de Stone-Čech
$β(X)$ de l'espace topologique discret $X$,
lui-même trivialement homéomorphe au coproduit $∐_{x ∈ X} \Spec(k)$.
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}
+\begin{exercice2}
Soit $A$ un anneau.
\begin{enumerate}
\item Montrer que si $(e_x)_{x∈X}$ est une famille \emph{finie}
@@ -980,9 +960,9 @@ La propriété $∑_x e_x=1$ se traduit parfois en disant que la famille d'idemp
Comparer le résultat obtenu avec \ref{décomposition en produit de connexes si pi0 fini}.
\item Montrer que si $A$ est nœthérien, $π₀(A)$ est fini.
\end{enumerate}
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}
+\begin{exercice2}
Soit $A$ l'anneau des suites de nombres rationnels
constantes à partir d'un certain rang.
\begin{enumerate}
@@ -994,18 +974,18 @@ est un ensemble de fonctions nulles en un point
fixé ou bien au voisinage de l'infini. Etc.
À développer [David], cf. Gillman-Jerison. \XXX
\end{enumerate}
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}
+\begin{exercice2}
\label{exercice-idéal idempotent engendré par idempotent}
Soit $I$ un idéal de type fini d'un anneau $A$.
Montrer que si $I=I²$, il existe $e ∈ \Idem(A)$
tel que $I=(e)$.
% 松村, exercice 2.1
% 中山 ⇒ ∃ i tel que (1-i)I=0$. OPS I principal et c'est alors facile
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}
+\begin{exercice2}
\label{dévissage Hom(A,produit connexes)}
Soit $k$ un corps et soient $A,B$ deux $k$-algèbres
dont on note respectivement $X$ et $Y$ les ensembles de composantes
@@ -1023,7 +1003,7 @@ avec l'ensemble
Ainsi, le calcul d'ensembles d'homomorphismes
se ramène au calcul d'ensembles de composantes connexes et
et d'homomorphismes entre anneaux connexes.
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}