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@@ -14,12 +14,14 @@
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\usepackage{srcltx}
-\title{Spectre et idéaux premiers}
+\synctex=1
\externaldocument{categories}
\begin{document}
-\maketitle
+\begin{center}
+Spectre et idéaux premiers
+\end{center}
\setcounter{tocdepth}{1}
\tableofcontents
@@ -60,7 +62,7 @@ On vérifie sans peine que si $f:A→B$ et $g:B→C$ sont des morphismes
d'anneaux, les applications $\Spec(gf)$ et $\Spec(f)∘\Spec(g)$
de $\Spec(C)$ vers $\Spec(A)$ coïncident.
En d'autres termes (\refext{Cat}{definition-foncteur}), $A↦\Spec(A)$, $(f:A→B)↦\big(\Spec(f):\Spec(B)→\Spec(A)\big)$
-est un \emph{foncteur contravariant} de la catégorie des anneaux
+est un \emph{foncteur contravariant} de la catégorie des anneaux
(commutatifs) vers la catégorie des ensembles.
\begin{démo}
@@ -117,70 +119,30 @@ des idéaux étant totalement ordonnée.
Ainsi, $xy∉𝔮$ et, \emph{a fortiori}, $xy∉𝔭$.
\end{démo}
-\subsection{Points d'une $k$-algèbre}\label{points-algebre}
-
-Soient $k$ un anneau (par exemple $𝐙$) et $A$ une $k$-algèbre, c'est-à-dire
-la donnée d'un morphisme d'anneaux $k→A$.
-Pour toute $k$-algèbre $B$, on note $A^\japmath{田}(B)$
-l'ensemble $\Hom_k(A,B)$ (cf. \refext{Cat}{notation-yoneda}).
-
-Le lemme suivant décrit cet ensemble comme
-un ensemble de points d'un espace affine.
-
-\begin{lemme2}\label{points-quotient}
-Si $A=k[X₁,\dots,X_n]/(f₁,\dots,f_e)$, et $B$ est une $k$-algèbre, l'application
-$$
-A^\japmath{田}(B)=\Hom_k(A,B)→\{(b₁,\dots,b_n)∈B^n:f₁(b₁,\dots,b_n)=\cdots=f_e(b₁,\dots,b_n)=0\}
-$$
-$$
-\big(φ:A→B\big)↦\big(φ(x₁),\dots,φ(x_n)\big),
-$$
-où les $x_i$ sont les images dans $A$ des variables $X_i$,
-est une bijection.
-\end{lemme2}
-
-En d'autres termes (\refext{Cat}{definition-foncteur-representable}),
-l'anneau $A$ représente le foncteur covariant « solutions dans $B$ »
-des équations $f₁,\dots,f_e$. Il résulte de la démonstration
-(ci-dessous) que ce lemme est également, avec les modifications
-évidentes, pour les quotients d'un anneau de polynômes
-ayant un ensemble quelconque non nécessairement fini d'indéterminées
-par un idéal ayant un ensemble quelconque non nécessairement fini
-de générateurs.
-
-Dans cet énoncé, on a implicitement fait usage de la convention
-d'écriture suivante.
-
-\begin{convention2}\label{changement-de-base-polynome}
-Soient $k$ un anneau, $C$ une $k$-algèbre et $P∈k[X]$.
-Si aucune confusion ne semble pouvoir en résulter,
-on notera encore $P$ l'image dans $C[X]$ du polynôme $P$ par le morphisme
-canonique $k[X]→C[X]$.
-\end{convention2}
-
-\begin{démo}
-Observons que d'une part l'application $\Hom_k(k[X₁,\dots,X_n],B)→B^n$,
-$ψ↦\big(ψ(X_i)=:b_i\big)_{1≤i≤n}$ est une bijection et que d'autre part, par définition du quotient, un tel morphisme $ψ$
-se factorise à travers le quotient $k[X₁,\dots,X_n]↠A$ en un morphisme $φ:A→B$
-\ssi $ψ(f_j)=0$ pour chaque $1≤j≤e$. La conclusion résulte du fait que
-$ψ(f_j)=f_j(b₁,\dots,b_n)$.
-\end{démo}
-
-Si $A$ est une $k$-algèbre, l'ensemble $A^\japmath{田}(k)=\Hom_k(A,k)$ s'appelle
-\emph{l'ensemble des points rationnels} \index{point
-rationnel} de $A$.
+\subsubsection{}\label{points-algebre}Soient $k$ un anneau (par exemple $𝐙$) et $A$ une $k$-algèbre, c'est-à-dire
+un morphisme d'anneaux $k→A$.
+Pour toute $k$-algèbre $T$, on notera souvent $A^\japmath{田}(T)$
+ou $\japmath{田}A(T)$ l'ensemble $\Hom_k(A,T)$\footnote{L'usage
+le plus courant est d'utiliser plutôt les lettres $h$ (« Hom ») ou
+$y$ (« Yoneda ») au lieu de $\japmath{田}$.}
+En un sens qu'il n'est pas nécessaire de préciser ici,
+la collection des $\japmath{田}A(T)$, pour $T$ variable,
+caractérise $A$ (cf. \refext{Cat}{notation-yoneda}).
+L'ensemble $\japmath{田}A(k)$ joue souvent
+un rôle particulier ; c'est l'ensemble des \emph{points rationnels} \index{point
+rationnel} de $A$.
%Remarquons que tout morphisme de $k$-algèbres
%$A→k$ est surjectif car l'image est une sous-$k$-algèbre de $k$
%contenant l'unité.
-Soit $f∈A^\japmath{田}(k)$. La source du morphisme $\Spec(f)$ est
+Soit $f∈\japmath{田}A(k)$. La source du morphisme $\Spec(f)$ est
l'ensemble à un élément $\Spec(k)=\{(0)\}$. L'image de $\Spec(f)$ dans
$\Spec(A)$ est, par définition, le singleton d'élément $f^{-1}(0)=\Ker(f)∈\Spec(A)$.
\begin{lemme2}\label{points rationnels et ideaux maximaux}
-L'application $A^\japmath{田}(k)→\Spec(A)$, $f↦\Ker(f)$, est une injection d'image
+L'application $\japmath{田}A(k)→\Spec(A)$, $f↦\Ker(f)$, est une injection d'image
contenue dans $\Specmax(A)$. Son image est l'ensemble des $𝔮$ dans $\Specmax(A)$
-tel que le morphisme composé $k→A↠A/𝔮$ soit un isomorphisme.
+tel que le morphisme composé $k→A↠A/𝔮$ soit un isomorphisme.
\end{lemme2}
\begin{démo}
@@ -190,126 +152,17 @@ quotient est, par construction, une injection. Puisque son image est une
sous-$k$-algèbre de $k$, donc égale à $k$, $\bar{f}$ est un isomorphisme.
L'idéal $𝔭_f$ est donc maximal. D'autre part, le morphisme composé
$k→A↠A/𝔭_f→k$, où la première flèche est le morphisme structural
-$\mathrm{str}:k→A$ (définissant la $k$-algèbre $A$), est
+$\mathrm{str}:k→A$ (définissant la $k$-algèbre $A$), est
l'identité car $\Hom_k(k,k)=\{\Id\}$. L'isomorphisme
$A/𝔭_f⭇k$ est donc l'inverse du morphisme composé $\overline{\mathrm{str}}:k→A↠A/𝔭_f$ munissant
le quotient $A/𝔭_f$ de sa structure de $k$-algèbre naturelle.
-L'injectivité de l'application $A^\japmath{田}(k)→\Specmax(A)$ est alors évidente :
-le seul $k$-morphisme $A→k$ de noyau $𝔭$ est $A↠A/𝔭⭇k$ où
+L'injectivité de l'application $\japmath{田}A(k)→\Specmax(A)$ est alors évidente :
+le seul $k$-morphisme $A→k$ de noyau $𝔭$ est $A↠A/𝔭⭇k$ où
la seconde flèche est l'inverse de l'isomorphisme $k→A↠A/𝔭$.
Il résulte de cette description que l'image de l'ensemble des points rationnels
dans $\Specmax(A)$ est l'ensemble des idéaux maximaux de corps résiduel $k$.
\end{démo}
-\subsection{Localisation}\label{Spec-localisation}
-
-\subsubsection{}Soit $A$ un anneau. Une partie $S$ de $A$ est dite « multiplicative »
-si tout produit fini d'élément de $S$ appartient à $S$ ou,
-de façon équivalente, si $1∈S$ et pour tous $s,s'∈S$, $ss'∈S$.
-Étant donnée une partie quelconque $S$ de $A$, il existe une
-plus petite partie, notée $S_{\mathrm{mult}}$, de $A$
-contenant $S$ et multiplicative.
-
-Si $S$ est une partie multiplicative,
-la relation $ℛ$ sur $A×S$ définie par
-$(a,s)ℛ(a',s')$ \ssi il existe $t∈S$
-tel que $t(s'a)=t(sa')$ est une relation d'équivalence. On note
-$A[S^{-1}]$ son quotient et $a/s$ la classe de l'élément $(a,s)$.
-On vérifie immédiatement que les opérations
-\[(a/s)+(a'/s'):=(as'+a's)/(ss')\] et
-\[a/s)×(a'/s')=(aa')/(ss')\] munissent l'ensemble $A[S^{-1}]$
-d'une structure d'anneau commutatif pour laquelle l'application
-$A→A[S^{-1}]$, $a↦(a/1)$ (dite « canonique ») est un \emph{morphisme}.
-Si $S$ est une partie quelconque de $A$, on pose
-$A[S^{-1}]:=A[S_{\mathrm{mult}}^{-1}]$. On appelle cet anneau l'
-\emph{anneau de fractions de $A$ défini par $S$}. C'est la
-$A$-algèbre « universelle » dans lequelle tout élément
-de $S$ devient inversible (cf. \refext{Tens}{propriété universelle
-localisation}). Si $𝔭$ est un idéal \emph{premier} de $A$, l'ensemble
-$A-𝔭$ est une partie multiplicative et on note plutôt
-$A_𝔭$ l'anneau $A[(A-𝔭)^{-1}]$, appelé \emph{localisé
-de $A$ en $𝔭$}. On vérifie immédiatement que si $A$ est un anneau intègre,
-le localisé $A_{(0)}$ est le \emph{corps des fractions} de $A$.
-
-\begin{proposition2}\label{Spec-spectre du localisé}
-Soient $A$ un anneau et $S$ une partie de $A$.
-Le morphisme canonique $A→A[S^{-1}]$ induit
-une \emph{injection} $\Spec(A[S^{-1}])→\Spec(A)$
-d'image
-\[
-\{𝔭∈\Spec(A):𝔭∩S=∅\}.
-\]
-\end{proposition2}
-
-En particulier, pour tout idéal premier $𝔭'$ de $A$,
-le spectre $\Spec(A_𝔭)$ s'identifie à $\{𝔭:𝔭⊆𝔭'\}$
-car la condition $𝔭∩(A-𝔭')=∅$ se $𝔭⊆𝔭'$.
-L'anneau $A_𝔭$ est donc \emph{local} : il ne possède qu'un idéal
-maximal.
-
-\begin{démo}
-On peut supposer $S=S_{\mathrm{mult}}$ car
-$𝔭∩S=∅$ \ssi $𝔭∩S_{\mathrm{mult}}=∅$.
-Soit $𝔮∈\Spec(A[S^{-1}])$. Son image
-réciproque $𝔭=𝔮∩A∈\Spec(A)$ ne rencontre pas $S$
-car tout élément de $S$ est envoyé
-par $A→A[S^{-1}]$ sur un élément inversible
-et $𝔮$ ne contient pas de tels éléments.
-Montrons que l'application $c:\Spec(A[S^{-1}])→
-\{𝔭∈\Spec(A):𝔭∩S=∅\}$, $𝔮↦𝔮∩A$, est une bijection.
-Nous allons vérifier ci-dessous que l'application
-envoyant $𝔭∈\Spec(A)$ tel que $𝔭∩S=∅$ sur
-l'idéal $𝔮=𝔭A[S^{-1}]$ de $A[S^{-1}]$
-en est l'inverse. Fixons $𝔭$.
-Commençons par observer que tout élément de $𝔮$
-est de la forme $x/s$ où $x∈𝔭$ et $s∈S$.
-(Toute somme finie $∑_i x_i/s_i$ où $x_i∈𝔭$ et $s_i∈S$
-se met au même dénominateur.)
-Vérifions maintenant que l'idéal $𝔮$ est premier.
-Soient $a/s$ et $a'/s'$ tels que $(a/s)(a'/s')=x/{s''}∈𝔮$,
-où $x∈𝔭$. Par définition de l'anneau
-des fractions, il existe $t∈S$ tel que
-\[(ts'')(aa')=(tss')x.\]
-Le terme de droite appartient à l'idéal premier $𝔭$.
-Comme le facteur $ts''$ du terme de gauche n'appartient pas à
-$𝔭$ (car $𝔭∩S=∅$) on a finalement $a∈𝔭$ ou $a'∈𝔭$.
-Vérifions que $𝔮∩A=𝔭$, \cad que l'application
-$𝔭↦𝔭A[S^{-1}]$ est un inverse à droite
-de l'application $c$. Soit $a∈A$ tel que $a/1∈𝔮$.
-D'après ce qui précède, il existe $(x,s)∈𝔭×S$ tel
-que $a/1=x/s$. On en tire $(ts)a=tx$ pour un $t∈S$ convenable
-et, finalement, $a∈𝔭$.
-Pour conclure, il nous reste à vérifier que pour tout
-$𝔮∈\Spec(A[S^{-1}])$, l'inclusion \emph{a priori}
-$(𝔮∩A)A[S^{-1}]⊆𝔮$ est une égalité. Soit $x=a/s∈𝔮$, où $a∈A$
-et $s∈S$. L'élément $a/1=(s/1)(a/s)$ appartient également à
-l'idéal $𝔮$ de sorte que $a∈𝔮∩A$. L'égalité $x=(a/1)(1/s)$ montre
-que $x∈(𝔮∩A)A[S^{-1}]$.
-\end{démo}
-
-Si $B$ est une $A$-algèbre et $S$ une partie de $A$,
-on note $B[S^{-1}]$ l'anneau des fractions de $B$
-défini par l'\emph{image} de $S$ dans $B$.
-
-Nous ferons régulièrement usage du lemme suivant,
-qui est un cas particulier d'un résultat de \emph{platitude}
-(cf. \refext{Tens}{platitude localisation}).
-
-\begin{proposition2}\label{Spec-cas particulier platitude localisation}
-Soient $A$ un anneau et $S$ une partie de $A$.
-Si $f:A→B$ est un morphisme \emph{injectif} d'anneau,
-le morphisme $A[S^{-1}]→B[S^{-1}]$, $a/s↦f(a)/f(s)$,
-est également injectif.
-\end{proposition2}
-
-\begin{démo}
-Soit $a/s$, où $a∈A$ et $s∈S_{\mathrm{mult}}$, dans le noyau.
-Observons que l'on a $f(S_{\mathrm{mult}})=f(S)_{\mathrm{mult}}$.
-Par hypothèse, il existe $t∈S_{\mathrm{mult}}$ tel que
-$f(t)f(a)=f(ta)=0$. Comme $f$ est injective, $ta=0$ et,
-finalement $a/1=0$ dans $A[S^{-1}]$. \emph{A fortiori},
-son multiple $a/s=(a/1)(1/s)$ est également nul.
-\end{démo}
\section{Idéaux étrangers, lemme chinois}
@@ -367,14 +220,15 @@ Un anneau $A$ est dit \emph{réduit} \index{réduit} si $\Nilp(A)=\{0\}$.
Pour tout anneau $A$, l'anneau quotient $A_{\red}=A/\Nilp(A)$ est réduit.
C'est le plus grand quotient réduit de $A$ : pour tout morphisme d'anneau $A→B$
avec $B$ réduit, il existe un unique morphisme $A_{\red}→B$ à travers lequel
-$A→B$ se factorise.
+$A→B$ se factorise. En d'autres termes, si $B$ est un anneau réduit,
+l'application injective $\japmath{田}A_{\red}(B)→\japmath{田}A(B)$
+déduite de la surjection $A↠A_{\red}$ est une bijection.
\end{proposition2}
-En d'autres termes, le foncteur $A↦A_{\red}$, de la catégorie des anneaux
+Dans le langage de \refext{Cat}{definition-foncteurs-adjoints},
+le \emph{foncteur} $A↦A_{\red}$, de la catégorie des anneaux
(commutatifs) vers la catégorie des anneaux (commutatifs) réduits, est un adjoint à gauche du foncteur
-d'oubli (inclusion des anneaux réduits dans les anneaux). Alternativement,
-l'application injective $A_{\red}^\japmath{田}(B)→A^\japmath{田}(B)$ déduite de la surjection $A↠A_{\red}$
-est une bijection si $B$ est réduit.
+d'oubli (inclusion des anneaux réduits dans les anneaux).
\begin{démo}
\XXX
@@ -390,12 +244,12 @@ induit une bijection $\Spec(A_{\red}) ⥲ \Spec(A)$.
\begin{démo}
D'après \ref{ideaux-quotient}, cela revient à démontrer que tout idéal premier
de $A$ contient $\Nilp(A)$.
-Or, si $𝔭∈\Spec(A)$, et $x∈\Nilp(A)$, il existe $n_x∈𝐍$ tel que $x^{n_x}=0∈𝔭$.
+Or, si $𝔭∈\Spec(A)$, et $x∈\Nilp(A)$, il existe $n_x∈𝐍$ tel que $x^{n_x}=0∈𝔭$.
Il en résulte que $x∈𝔭$. CQFD.
\end{démo}
Comme on vient de le voir, la proposition précédente est
-équivalente à l'inclusion $\Nilp(A)⊆⋂_{𝔭∈\Spec(A)} 𝔭$. Cette dernière est une égalité :
+équivalente à l'inclusion $\Nilp(A)⊆⋂_{𝔭∈\Spec(A)} 𝔭$. Cette inclusion est une égalité :
\begin{proposition2}\label{caracterisation-nilpotents}
Soit $A$ un anneau.
@@ -435,15 +289,6 @@ on tire : $b₀=1$, $a=b₁$ (car $b₁-ab₀=0$), $b₂=ab₁=a²$ (car $b₂-
récurrence, $b_i=ab_{i-1}=a^i$ pour $i≤r$. D'autre part, $a^{r+1}=ab_r=0$. CQFD.
\end{démo}
-\begin{remarques2}
-On trouvera en \refext{Tens}{nilradical} une autre démonstration
-de cette proposition par \emph{localisation} ; elles sont en
-fait identiques, au langage près.
-
-Nous introduirons dans un chapitre ultérieur l'anneau $A[[X]]$ des séries formelles à
-coefficients dans $A$.
-\end{remarques2}
-
\subsection{Nil-idéal et idéal nilpotent}
\begin{définition2}
@@ -481,7 +326,7 @@ tout polynôme nilpotent est à coefficients nilpotents, et réciproquement.
\end{exercice2}
-\section{Idempotents d'un anneau (I)}\label{idempotents I}
+\section{Idempotents d'un anneau, connexité (I)}\label{idempotents I}
\subsection{Définitions}
@@ -603,6 +448,27 @@ En d'autres termes, l'ensemble des points d'un
produit de $k$-algèbres à valeurs dans une $k$-algèbre \emph{connexe} (par exemple intègre)
est la réunion disjointes des points des facteurs.
+
+\begin{lemme2}
+$π₀(A)=\Spec(\Idem(A))$ etc.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+\end{démo}
+
+
+\begin{lemme2}
+$\End_{A}(A^X) → \End_{\Ens}(X)$ via connexité/spectre.
+compatible avec composition ; cas où $X=G$ ou $G$-ensemble.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+cf. aussi : \refext{formes}{H1kSn début} et \refext{formes}{G-torseurs sur k}.
+\end{démo}
+
+Pour des compléments ; cf. \refext{Boole}{}.
+
\begin{exercice2}
Montrer que si $A$ est un anneau nœthérien, tout
idempotent de $A$ est une somme d'idempotents indécomposables. En déduire que