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@@ -776,17 +776,17 @@ et
Les autres cas sont semblables.
Nous allons « pousser » la relation $(\star)$ par le morphisme Galois-équivariant
-\[𝐇^×(k_{Q₈})→\mathrm{SO}₃(k_{Q₈})\]
+\[𝐇^×(k_{Q₈})→\SOrth₃(k_{Q₈})\]
induit par la conjugaison sur les complexes imaginaires (cf.
\refext{Azu}{quaternions inversibles}).
(Rappelons que l'on souhaite montrer que deux formes quadratiques
sur $k³$ sont équivalentes.)
Soit $m_x$ l'image de $q_x$ par ce morphisme. Comme $τ_{-1}(m_x)=-m_x$,
-cette matrice appartient au sous-groupe $\mathrm{SO}₃(k_{V₄})$ de
-$\mathrm{SO}₃(k_{Q₈})$ : l'action de $\Gal(k_{Q₈}\bo k)$ sur
+cette matrice appartient au sous-groupe $\SOrth₃(k_{V₄})$ de
+$\SOrth₃(k_{Q₈})$ : l'action de $\Gal(k_{Q₈}\bo k)$ sur
$m_x$ se factorise à travers $\Gal(k_{V₄}\bo k)$.
D'autre part, l'image de $\sur{μ}=-μ$ (pour $μ∈\{\i,\j,\k\}$)
-dans $\mathrm{SO}₃(\Im 𝐇(𝐙))⊆\mathrm{SO}₃(\Im 𝐇(k_{Q₈}))$
+dans $\SOrth₃(\Im 𝐇(𝐙))⊆\SOrth₃(\Im 𝐇(k_{Q₈}))$
est, par définition, la matrice de l'application
de conjugaison $ι ↦ μιμ^{-1}=-μ ι μ$, où $ι$ est imaginaire.
Cette application agit par l'identité sur $μ$
@@ -797,7 +797,7 @@ et de l'action de $\Gal(k_{V₄}\bo k)$ sur les $b_\i,b_\j$
et $b_\k$ (cf. \ref{notations Witt non 2})
que la matrice $P=m_x^{-1}\diag(b_\i,b_\j,b_\k)∈\GL_3(k_{V₄})$
est $\Gal(k_{V₄}\bo k)$ invariante donc appartient à $\GL₃(k)$.
-Comme $m_x∈\mathrm{SO}₃(k_{V₄})$, on a
+Comme $m_x∈\SOrth₃(k_{V₄})$, on a
\[\transpose{P}P=\transpose{\diag(b_\i,b_\j,b_\k)}\diag(b_\i,b_\j,b_\k)=\diag(a_\i,a_\j,a_\k) ;\]
les $k$-formes $⟨1,1,1⟩$ et $⟨a_\i,a_\j,a_\k⟩$ sont isomorphes.
CQFD.
@@ -812,7 +812,7 @@ trivial. On a donc $\Gal(k_{Q₈}\bo k(x))=\{1\}$, c'est-à-dire $k_{Q₈}=k(x)$
Soit $P∈\GL₃(k)$ une matrice telle que $\transpose{P}P=\diag(a_\i,a_\j,a_\k)$.
Compte tenu de ce qui précède, il est naturel de considérer
\[
-m_P=\diag(b_\i,b_\j,b_\k)⋅P^{-1}∈\mathrm{SO}₃(k_{V₄}).
+m_P=\diag(b_\i,b_\j,b_\k)⋅P^{-1}∈\SOrth₃(k_{V₄}).
\]
Par construction $σ_μ(m_P)=g_μ⋅m_P$ pour tout $μ∈\{1,\i,\j,\k\}$.
Soit $Ω$ une clôture séparable de $k_{V₄}$ et soit $q¹_P$
@@ -820,16 +820,16 @@ un relèvement de $m_P$ dans $𝐇^{N=1}(Ω)$ (cf. \refext{Azu}{quaternions et S
Un tel élément est bien défini à multiplication par $±1$ près,
comme il résulte de la suite exacte
\[
-1 → μ₂(Ω)=\{±1\} → 𝐇^{N=1}(Ω) → \mathrm{SO}₃(Ω) → 1.
+1 → μ₂(Ω)=\{±1\} → 𝐇^{N=1}(Ω) → \SOrth₃(Ω) → 1.
\]
-(Rappelons que $\Ker(𝐇^×(Ω) → \mathrm{SO}₃(Ω))=Ω^×$ et
+(Rappelons que $\Ker(𝐇^×(Ω) → \SOrth₃(Ω))=Ω^×$ et
que $N(λ)=λ²$ si $λ∈Ω⋅1⊆ 𝐇(Ω)$.)
-L'image de l'orbite $\Gal(Ω\bo k)⋅q¹_P$ dans $\mathrm{SO}₃(Ω)$
+L'image de l'orbite $\Gal(Ω\bo k)⋅q¹_P$ dans $\SOrth₃(Ω)$
n'est autre que l'orbite $\Gal(k_{V₄}\bo k)⋅m_q$.
D'après ce qui précède, cette dernière est de cardinal $4$ et l'action de $\Gal(k_{V₄}\bo k)$
-se fait par multiplication à gauche par les $g_μ$ qui appartiennent à $\mathrm{SO}₃(𝐙)$
+se fait par multiplication à gauche par les $g_μ$ qui appartiennent à $\SOrth₃(𝐙)$
et, plus précisément, à son sous-groupe diagonal, isomorphe à $V₄$.
-Les fibres de $𝐇^{N=1}(Ω) → \mathrm{SO}₃(Ω)$
+Les fibres de $𝐇^{N=1}(Ω) → \SOrth₃(Ω)$
étant en bijection avec $μ₂(𝐙)=\{±1\}$, de cardinal $2$, il en résulte que l'action de $\Gal(Ω\bo k)$
sur $q_P¹$ se fait par multiplication à gauche par des éléments d'un sous-groupe de $𝐇^{N=1}(𝐙)=𝐇^×(𝐙)$
qui se surjecte sur $𝐇^×(𝐙)/\{±1\}≃V₄$. Un tel sous-groupe est égal à $𝐇^×(𝐙)$, par exemple parce que l'extension