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@@ -252,9 +252,9 @@ que son discriminant est un carré de sorte que $G_f≃𝔄₃≃𝐙/3$.
un groupe
de Galois cyclique}
Soient $k$ un corps et $f=X³+aX+b∈k[X]$ un polynôme
-irréductible séparable. Soient $Ω$ une clôture séparable de
+irréductible séparable. Soient $Ω$ une clôture séparable de
$k$ et
-$R=\{x₁,x₂,x₃\}$ les racines de $f$ dans $Ω$. Le groupe de
+$R=\{x₁,x₂,x₃\}$ les racines de $f$ dans $Ω$. Le groupe de
Galois $G$ de $f$
correspondant est naturellement un sous-groupe de $𝔖_R$
agissant transitivement sur $R$
@@ -472,7 +472,7 @@ l'énoncé.
\begin{proposition2}\label{extensions quadratiques sont obtenues par torsion}
Soient $k$ un corps de caractéristique différente de deux,
-$K\bo k$ une extension galoisienne de groupe $G$ et $Ω$
+$K\bo k$ une extension galoisienne de groupe $G$ et $Ω$
une clôture séparable de $K$.
Considérons un groupe $E$, extension non scindée de $G$ par $𝐙/2$ :
\[
@@ -480,14 +480,14 @@ Considérons un groupe $E$, extension non scindée de $G$ par $𝐙/2$ :
\]
où $E ↠ G$ n'a pas de section.
Soient $L₁=K(\sqrt{y₁})\bo K$ et $L₂=K(\sqrt{y₂})\bo K$
-deux sous-corps de $Ω$, quadratiques sur $K$, tels que les extensions $L₁\bo k$ et $L₂\bo k$
+deux sous-corps de $Ω$, quadratiques sur $K$, tels que les extensions $L₁\bo k$ et $L₂\bo k$
soient galoisiennes de groupe isomorphe à $E$.
Alors, il existe $λ ∈ k^×$ tel que $L₂=K(\sqrt{λ y₁})$.
\end{proposition2}
\begin{démo}
Supposons $L₁≠L₂$ sans quoi il n'y a rien à démontrer.
-Le sous-corps $L₁ ∩ L₂$ de $Ω$ est donc $K$ de sorte
+Le sous-corps $L₁ ∩ L₂$ de $Ω$ est donc $K$ de sorte
que le morphisme
\[\Gal(L₁L₂\bo k) → \Gal(L₁\bo k) ×_{\Gal(K\bo k)} \Gal(L₂\bo k)\]
est un isomorphisme (\refext{CG}{fonctorialite-finie-galois}) :
@@ -842,29 +842,29 @@ Compte tenu de ce qui précède, il est naturel de considérer
m_P=\diag(b_\i,b_\j,b_\k)⋅P^{-1}∈\mathrm{SO}₃(k_{V₄}).
\]
Par construction $σ_μ(m_P)=g_μ⋅m_P$ pour tout $μ∈\{1,\i,\j,\k\}$.
-Soit $Ω$ une clôture séparable de $k_{V₄}$ et soit $q¹_P$
-un relèvement de $m_P$ dans $𝐇^{N=1}(Ω)$ (cf. \refext{Azu}{quaternions et SO3}).
+Soit $Ω$ une clôture séparable de $k_{V₄}$ et soit $q¹_P$
+un relèvement de $m_P$ dans $𝐇^{N=1}(Ω)$ (cf. \refext{Azu}{quaternions et SO3}).
Un tel élément est bien défini à multiplication par $±1$ près,
comme il résulte de la suite exacte
\[
-1 → μ₂(Ω)=\{±1\} → 𝐇^{N=1}(Ω) → \mathrm{SO}₃(Ω) → 1.
+1 → μ₂(Ω)=\{±1\} → 𝐇^{N=1}(Ω) → \mathrm{SO}₃(Ω) → 1.
\]
-(Rappelons que $\Ker(𝐇^×(Ω) → \mathrm{SO}₃(Ω))=Ω^×$ et
-que $N(λ)=λ²$ si $λ∈Ω⋅1⊆ 𝐇(Ω)$.)
-L'image de l'orbite $\Gal(Ω\bo k)⋅q¹_P$ dans $\mathrm{SO}₃(Ω)$
+(Rappelons que $\Ker(𝐇^×(Ω) → \mathrm{SO}₃(Ω))=Ω^×$ et
+que $N(λ)=λ²$ si $λ∈Ω⋅1⊆ 𝐇(Ω)$.)
+L'image de l'orbite $\Gal(Ω\bo k)⋅q¹_P$ dans $\mathrm{SO}₃(Ω)$
n'est autre que l'orbite $\Gal(k_{V₄}\bo k)⋅m_q$.
D'après ce qui précède, cette dernière est de cardinal $4$ et l'action de $\Gal(k_{V₄}\bo k)$
se fait par multiplication à gauche par les $g_μ$ qui appartiennent à $\mathrm{SO}₃(𝐙)$
et, plus précisément, à son sous-groupe diagonal, isomorphe à $V₄$.
-Les fibres de $𝐇^{N=1}(Ω) → \mathrm{SO}₃(Ω)$
-étant en bijection avec $μ₂(𝐙)=\{±1\}$, de cardinal $2$, il en résulte que l'action de $\Gal(Ω\bo k)$
+Les fibres de $𝐇^{N=1}(Ω) → \mathrm{SO}₃(Ω)$
+étant en bijection avec $μ₂(𝐙)=\{±1\}$, de cardinal $2$, il en résulte que l'action de $\Gal(Ω\bo k)$
sur $q_P¹$ se fait par multiplication à gauche par des éléments d'un sous-groupe de $𝐇^{N=1}(𝐙)=𝐇^×(𝐙)$
qui se surjecte sur $𝐇^×(𝐙)/\{±1\}≃V₄$. Un tel sous-groupe est égal à $𝐇^×(𝐙)$, par exemple parce que l'extension
$1 → \{±1\} → 𝐇^×(𝐙) → 𝐇^×(𝐙)/\{±1\} → 1$ n'est pas scindée.
-On a donc montré que l'action de $\Gal(Ω\bo k)$ sur $q¹_P∈ 𝐇^{N=1}(Ω)$
-induit une surjection $\Gal(Ω\bo k) ↠ 𝐇^×(𝐙)$ prolongeant
+On a donc montré que l'action de $\Gal(Ω\bo k)$ sur $q¹_P∈ 𝐇^{N=1}(Ω)$
+induit une surjection $\Gal(Ω\bo k) ↠ 𝐇^×(𝐙)$ prolongeant
l'isomorphisme $\Gal(k_{V₄}\bo k) ⥲ V₄≃𝐇^×(𝐙)/\{±1\}$ de \ref{notations Witt non 2}.
-Le corps invariant par le noyau de $\Gal(Ω\bo k) ↠ 𝐇^×(𝐙)$
+Le corps invariant par le noyau de $\Gal(Ω\bo k) ↠ 𝐇^×(𝐙)$
définit une extension $k_{Q₈}\bo k$ du type cherché.
Ceci achève la démonstration de l'implication (ii)⇒(i).