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+\ifx\danslelivre\undefined
+\documentclass[9pt]{smfart-moi}
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+\begin{document}
+\begin{center}
+Équations verselles et petits degrés
+\end{center}
+\tableofcontents
+\else
+\chapter{Équations verselles et petits degrés}
+\fi
+
+\section{Extensions de groupe $C₂=𝐙/2$}
+
+Soit $k$ un corps et soit $K\bo k$ une extension, non
+nécessairement
+séparable, de degré deux. Tout élément $x$ de $K$ qui n'est pas
+dans $k$ est primitif car le corps engendré $k(x)$
+contient strictement $k$ et est inclus dans $K$. Ainsi, la
+$k$-extension $K$ est isomorphe au quotient $k_f=k[X]/f$ où $f=X²-aX+b$ est un
+polynôme irréductible de degré deux. Par irréductibilité, le coefficient $b$ est
+nécessairement non nul. L'extension $K$ est séparable
+\ssi le polynôme $f$ est séparable
+(\refext{Alg}{dec(f)-sep=>f-red-separable}),
+ce qui est le cas sauf si $\car(k)=2$ et $a=0$
+(cf. \refext{Alg}{separable-irreductible}).
+En caractéristique différente de deux,
+le changement de variable $X↔X+1$ nous permet également de
+supposer $a≠0$. (En d'autres termes, il existe un polynôme
+unitaire de degré deux $f$ tel que $f(0)$ soit non nul et $k_f$ soit
+isomorphe à $k$.) Enfin, on peut supposer $b=1$.
+Pour le vérifier, notons $r$ et $s$ les racines de $f$ dans
+$k_f$ — une d'entre elles est la classe de $X$ dans le quotient
+mais peu importe — de sorte que $rs=b$ et $r+s=a$.
+Nous allons montrer plus précisément que sous l'hypothèse
+de non-nullité de $a$, il existe un unique
+$λ∈k^×$ tel que $λr+1$ et $λs+1$ soient racines
+d'un polynôme de la forme $g=X²-σX+1$.
+Le coefficient $(λr+1)(λs+1)=λ²(rs)+λ(r+s)+1$ est en effet égal à $1$ pour
+$λ=-\frac{a}{b}$. (On a alors $σ=\frac{2b-a²}{b}$).
+Remarquons qu'en caractéristique différente de deux, le
+changement de variable $X'=X-\frac{σ}{2}$ dans l'équation $g=0$
+nous ramène à l'équation plus familière ${X'}²-π'$, où $π'=1-\frac{σ²}{4}$.
+En caractéristique deux, le changement de variable $X'=\frac{X}{σ}$ nous ramène à l'équation
+${X'}²-X'-a'$, où $a'=\frac{1}{σ}$. (Une telle équation est dite
+d'\emph{Artin-Schreier}\index{Artin-Schreier}, cf. \refext{KAS}{}.)
+
+En résumé, nous avons établi la proposition suivante.
+
+\begin{proposition}\label{equation verselle C2}
+\begin{enumerate}
+\item Soit $k$ un corps. Toute extension séparable de degré
+deux est galoisienne
+de groupe cyclique d'ordre deux et engendrée par une racine
+d'un polynôme irréductible de la forme
+$X²-σX+1$ où $σ∈k$, de discriminant $σ²-4$ et de distinguant
+$(σ²-4)^{-1}$.
+\item Si $k$ est de caractéristique différente de deux,
+l'équation précédente se transforme en $X²-π$,
+de discriminant $4π$. Un tel polynôme est irréductible \ssi
+$π∉k²$.
+\item Si $k$ est de caractéristique deux, l'équation
+précédente
+se transforme en $X²-X-a$, de $2$-distinguant $a$.
+Un tel polynôme est irréductible \ssi $a∉℘k$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition}
+
+%idéalement, remplacer $℘$ par un $2$ sous une forme
+%spéciale.
+
+Les énoncés sur l'irréductibilité sont évidents et résultent
+d'ailleurs de \refext{CG}{caracterisation groupe Gal
+alterne}.
+
+\begin{remarque}
+La proposition ci-dessus ne donne pas une description
+parfaite des extensions galoisiennes de degré deux : la
+famille
+des extensions $k_σ=k[X]/(X²-σX+1)$ est redondante
+en ce sens que pour deux valeurs distinctes $σ$ et $σ'$,
+les extensions $k_σ\bo k$ et $k_σ'\bo k$ peuvent
+être isomorphes. (Par exemple, si $k=𝐑$, $𝐑_σ≃𝐂$ si
+$σ²<4$ et $𝐑_σ≃𝐑²$ dans le cas contraire.)
+L'équation ci-dessus est donc une équation « verselle »
+et non universelle.
+\end{remarque}
+
+\section{Extensions de groupe $C₃=𝐙/3$}
+
+Nous nous proposons d'exhiber une équation verselle (à un
+paramètre)
+pour le groupe $C₃$, \cad une équation (à un paramètre)
+décrivant,
+de façon non nécessairement unique, les extensions
+galoisienne de groupe $C₃$ d'un corps $k$.
+Contrairement à la théorie de Kummer, exposée en
+\refext{KAS}{} et brièvement en \ref{KAS I},
+aucune hypothèse n'est faite sur $k$.
+
+\subsection{Détermination d'une équation verselle}Soit $k$ un corps. Il résulte
+\refext{CG}{exemple-galois-equation-generique}
+que pour tout sous-groupe fini $G$ de $\PGL₂(k)$,
+agissant $k$-linéairement sur $k(t)$ par
+$\left(\begin{matrix}a & b\\ c & d\end{matrix}\right) ↦
+(t↦\frac{at+b}{ct+d})$,
+l'extension $k(t)\bo \Fix_{G}\big(k(t)\big)$ est galoisienne
+de groupe $G$
+(voir aussi \refext{CG}{action PGL2 et Artin}).
+Considérons ici le cas particulier du groupe cyclique
+d'ordre trois engendré
+par la transformation homographique $σ:t↦(1-t)^{-1}$,
+correspondant
+à la matrice $\left(\begin{matrix}0 & 1\\ -1 &
+1\end{matrix}\right)$ de
+cube $-\Id$,
+et notons $K$ le sur-corps $\Fix_{⟨σ⟩}(k(t))$ de $k$.
+
+\begin{lemme2}
+Soit $a=t+σ(t)+σ²(t)∈K$.
+\begin{enumerate}
+\item L'inclusion $k(a)⊆K$ est une égalité.
+\item Le polynôme minimal de $t$ sur $k(a)$ est
+$X³-aX²+(a-3)X+1$.
+\end{enumerate}
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+(i) On commence par vérifier par le calcul que
+\begin{equation}\tag{$\star$}
+a=\frac{t³-3t+1}{t²-t}.
+\end{equation}
+Il en résulte que $t$ est de degré au plus trois sur $k(a)$.
+Par
+multiplicativité des degrés on a donc
+\[
+3≥[k(t):k(a)]=[k(t):K][K:k(a)]=3[K:k(a)]
+\]
+d'où la conclusion.
+
+(ii) Résulte de $(\star)$.
+\end{démo}
+
+Ce résultat nous conduit naturellement à énoncer la
+proposition suivante.
+
+\begin{proposition2}\label{equation verselle C3}
+Soit $k$ un corps. Toute extension de $k$ galoisienne de
+groupe cyclique
+d'ordre trois est engendrée par une racine d'un polynôme de
+la forme
+$X³-aX²+(a-3)X+1$, de discriminant
+$a⁴-6a³+27a²-54a+81=(a²-3a+9)²$
+et, si $k$ est de caractéristique deux, de $2$-distinguant
+nul.
+Si $k$ est de caractéristique trois, $a$ est non nul et
+le changement de variable $Y=\frac{1}{1+X}$ transforme
+l'équation verselle précédente
+en $Y³-Y=-\frac{1}{a}$.
+\end{proposition2}
+
+Le fait que le discriminant (resp. $2$-distinguant)
+soit un carré (resp. de la forme $℘k$) est conforme
+au résultat \refext{CG}{caracterisation groupe Gal alterne}.
+(Pour le calcul du discriminant et du $2$-distinguant,
+cf. \refext{CG}{exemples discriminants et 2-distinguants}).
+D'autre part, l'équation $Y³-Y=-\frac{1}{a}$ est une
+\emph{équation d'Artin-Schreier}, cf. \refext{KAS}{}.
+
+\begin{démo}
+Soit $K\bo k$ une extension galoisienne de groupe de galois
+$G_{K\bo k}$
+cyclique d'ordre trois et soit $σ$ un générateur de ce
+groupe.
+Considérons $x∈K-k$. On cherche un élément
+$y_x∈k(x,σ(x),σ²(x))$ tel que $σ(y_x)=\frac{1}{1-y_x}$.
+Il est immédiat que
+\[
+y_x=\frac{x-σ²(x)}{x-σ(x)}
+\]
+est du type souhaité. (Observons que $x≠σ(x)$ car $x∉k$.)
+Il résulte des calculs effectués ci-dessus qu'un tel $y$ est
+racine
+d'un polynôme du type attendu (où $a=\frac{y³-3y+1}{y²-y}$).
+Il faut vérifier que, pour un choix convenable de $x$, $y_x$
+engendre $K$ sur
+$k$, \cad n'appartient pas à $k$. La condition $y∈k$ se
+réécrit $σ(y)=y$
+ou encore $y(1-y)=1$, équation ayant au plus deux solutions
+dans $K$.
+Or, si $1,α,β$ est une $k$-base de $K$, les quantités
+$y_α,y_β$ et $y_{α+β}$
+sont deux à deux distinctes.
+En effet, si par exemple $y_α=y_β=λ∈k$, \cad
+\[
+\frac{α-σ²(α)}{α-σ(α)}=λ=\frac{β-σ²(β)}{β-σ(β)},
+\]
+les endomorphismes $\Id,σ$ et $σ²$ seraient linéairement
+dépendants sur $k$.
+C'est absurde (\refext{CG}{indépendance linéaire des
+automorphismes}).
+\end{démo}
+
+% Merci H. Randriam.
+
+\begin{exemple2}
+Le polynôme $f=X³-3X+1∈𝐐[X]$ est irréductible, car il n'a
+pas de racine
+rationnelle. Il résulte de la proposition précédente
+(prendre $a=0$)
+que son discriminant est un carré de sorte que $G_f≃𝔄₃≃𝐙/3$.
+\end{exemple2}
+
+\subsection{Critère pour qu'un polynôme de degré trois ait
+un groupe
+de Galois cyclique}
+Soient $k$ un corps et $f=X³+aX+b∈k[X]$ un polynôme
+irréductible séparable. Soient $Ω$ une clôture séparable de
+$k$ et
+$R=\{x₁,x₂,x₃\}$ les racines de $f$ dans $Ω$. Le groupe de
+Galois $G$ de $f$
+correspondant est naturellement un sous-groupe de $𝔖_R$
+agissant transitivement sur $R$
+(cf. \refext{CG}{Gal(f)=groupe permutation} et
+\refext{CG}{action transitive de
+Galois si poly irréductible}). Les deux seuls cas possibles
+sont donc
+$G=𝔄_R$ ou $G=𝔖_R$. Il résulte de \refext{CG}{distinguant
+distingue groupe alterné},
+ou \refext{CG}{caracterisation groupe Gal alterne}, que
+l'on peut distinguer ces deux cas selon le distinguant.
+
+Nous nous proposons ici de retrouver ce résultat en
+introduisant
+une « résolvante », la proposition ci-dessous n'étant qu'un
+prétexte.
+(L'étude générale des résolvantes sera
+faite plus tard dans ce chapitre.)
+
+Considérons
+\[
+α=x₁x₂²+x₂x₃²+x₃x₁²
+\]
+et
+\[
+β=x₂x₁²+x₃x₂²+x₁x₃²
+\]
+les $𝔄_R$-symétrisés additifs de $x₁x₂²$ et $x₂x₁²$
+respectivement.
+Notons que l'\emph{expression polynomiale} définissant $α$
+et celle définissant $β$, obtenue en intervertissant $x₁$ et
+$x₂$,
+ne sont pas $𝔖_R$-invariantes.
+Par construction, si le groupe de Galois $f$ est contenu
+dans $𝔄_R$,
+les éléments $α$ et $β$ appartiennent à $k$ : le polynôme
+\[
+g=(Y-α)(Y-β)=Y²-(α+β)Y+αβ∈k[Y]
+\]
+a alors ses racines dans $k$.
+Puisque l'on a supposé la somme $x₁+x₂+x₃$ nulle,
+\[
+α+β=x₁x₂(x₁+x₂)+x₂x₃(x₂+x₃)+x₃x₁(x₃+x₁)=3b\]
+et
+\[
+αβ=\big((x₁x₂)^3+(x₂x₃)³+(x₃x₁)³\big)+3(x₁x₂x₃)²+(x₁x₂x₃)\big(x₁³+x₂³+x₃³\big)
+\]
+vaut
+\[
+(a³+3b²)+3(-b)²+(-b)(-3b)=a³+9b²,
+\]
+de sorte que $g=Y²+3bY+(a³+9b²)$.
+La factorisation
+\[
+β-α=(x₁-x₂)(-x₁x₂-x₃²+x₃(x₁+x₂))=(x₁-x₂)(x₁-x₃)(x₂-x₃)
+\]
+montre que $g$ est séparable.
+(On pourrait aussi vérifier en utilisant les formules
+de \refext{CG}{exemples discriminants et 2-distinguants} que
+$Δ(g)=(3b)²-4(a³+9b²)=-4a³-27b²=Δ(f)$. Voir aussi la
+remarque ci-dessous.)
+
+Si $G=𝔖_R$, il existe $σ∈G$ (p. ex. l'élément correspondant
+à la transposition $τ_{x₁,x₂}$) tel que $σ(α)=β$.
+En particulier, $α∉k$ et $g$ n'est pas scindé sur $k$.
+En résumé, on a démontré la proposition suivante :
+
+\begin{proposition2}\label{Gal(deg 3)=cyclique}
+Soient $k$ un corps et $f=X³+aX+b$ un polynôme irréductible
+séparable sur $k$.
+Le groupe de Galois du polynôme $f$ est cyclique d'ordre
+trois \ssi
+le polynôme $Y²+3bY+(a³+9b²)$ est scindé sur $k$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{remarque2}\label{ce n'est pas une coincidence}
+Il résulte des formules \refext{CG}{} que
+\[
+\japmath{別}(Y²+3bY+(a³+9b²))=-\frac{a³+\mathbf{9}b²}{4a³+27b²}
+\]
+et
+\[
+\japmath{別}(X³+aX+b)=-\frac{a³+\mathbf{7}b²}{4a³+27b²}.
+\]
+La somme des deux racines du polynôme quadratique est $3b$,
+où $b≠0$
+car $f$ est irréductible. La somme des trois racines de $f$
+étant nulle, deux racines quelconques sont de somme
+l'opposée d'une racine, nécessairement
+non nullle. \emph{En caractéristique différente de trois},
+il résulte
+donc de la proposition précédente et de
+\refext{CG}{distinguant distingue groupe alterné},
+que les polynômes $T²+T+\frac{a³+\{7\textrm{ ou
+}9\}b²}{4a³+27b²}$
+se scindent simultanément. C'est évident en caractéristique
+deux
+(les polynômes sont égaux) ; en caractéristique différente
+de deux
+et trois, cela résulte du fait que le quotient des
+discriminants
+de ces deux polynômes quadratiques en $T$ est une puissance
+\emph{paire} de $3$).
+\end{remarque2}
+
+\section{Extensions de groupe $C₄=𝐙/4$}
+
+\subsection{Caractéristique différente de deux}Soit $k$ un
+corps de caractéristique différente de deux,
+$k₄\bo k$ une extension galoisienne de groupe $C_4$ et
+$k₂$ l'unique sous-corps de $k₄$ quadratique et galoisien
+sur $k$.
+On a donc $k₂=k(x)$ et $k₄=k₂(y)$ où $x²=:ε∈k$ et
+$y²=a+bx∈k₂$,
+$a,b∈k$. Réciproquement, considérons $ε∈k∖k²$ et
+$k₂=k(\sqrt{ε})$
+l'extension quadratique de $k$ associée. À toute paire
+d'éléments
+$(a,b)$ de $k$, on associe le corps
+$k₄=k₂(\sqrt{a+b\sqrt{ε}})$.
+
+\begin{théorème2}
+\begin{enumerate}
+\item L'extension $k₄\bo k$ est galoisienne de groupe
+cyclique
+d'ordre quatre \ssi $\N_{k_2\bo k}(a+b\sqrt{ε})=a²-εb²$ est
+de la forme $εc²$ pour
+un $c∈k^×$.
+\item Une extension quadratique $k(\sqrt{ε})$ se plonge
+dans une extension galoisienne de groupe cyclique d'ordre
+quatre \ssi $ε$ est une somme
+de deux carrés dans $k$.
+\end{enumerate}
+\end{théorème2}
+
+\begin{exemples2}
+\XXX
+\end{exemples2}
+
+\begin{démo}
+(i) Supposons $k₄\bo k$ galoisienne de groupe isomorphe à
+$C₄$.
+Soient $x$ et $y$ comme ci-dessus. L'élément $y$ est racine
+du polynôme
+\[
+X⁴+2aX²+(a²-εb²).
+\]
+Nécessairement $b≠0$ sans quoi $k₄$ serait
+$k(\sqrt{ε},\sqrt{a})$,
+dont le groupe de Galois sur $k$ est de $2$-torsion. Ainsi,
+l'égalité
+$y²=a+bx$ entraîne $x∈k(y)$ : le corps $k₄$ est
+un corps de rupture du polynôme ci-dessus. Par hypothèse,
+l'extension est normale ; c'est donc un corps de
+\emph{décomposition}
+de ce polynôme, dont les racines sont $y,-y,y'$ et $-y'$ où
+$y'$ est une racine carrée de $a-bx$.
+Il existe donc un générateur $σ$ de $\Gal(k₄\bo k)$
+envoyant $y$ sur $y'$. On a alors $σ(y')=-y$.
+Posons \[c=\frac{yy'}{x}.\]
+On a donc
+\[
+σ(c)=\frac{y'⋅(-y)}{-x}=c
+\]
+de sorte que $c∈k^×$.
+D'autre part, $εc²=y²{y'}²=a²-εb²$ ;
+la condition $\N_{k₂\bo k}(a+bx)∈ε{k^×}²$ est donc
+nécessaire.
+Réciproquement, si $a²-εb²=εc²$ où $c∈k^×$,
+$b$ est non nul (sans quoi $ε$ serait un carré)
+et l'extension $k₄\bo k$, d'élément primitif
+$y$, est \emph{normale} car la condition $yy'∈k₂$ (résultant
+de $(yy')²=εc²$) entraîne $y,y',-y,-y'∈k(y)$.
+(L'extension est bien de degré quatre car
+aucune racine ni aucun produit de deux racines du
+polynôme ci-dessus n'appartient à $k$.)
+(ii) Tout élément $y=a+bx$ s'écrit également
+sous la forme $y=a'ε+bx$ car $ε≠0$. La condition
+sur la norme de $y$ précédente se réécrit alors
+${a'}²ε²-εb²=εc²$,
+ou encore ${a'}²ε=b²+c²$. Soit $a'=0$, auquel cas $-1$ est
+un carré
+dans $k$ et tout élément, dont $ε$, est une somme de deux
+carrés,
+soit $a'≠0$ et $ε=(b/a')²+(c/a')²$.
+\end{démo}
+
+
+\begin{corollaire2}\label{equation verselle C4}
+L'équation à deux paramètres $s$ et $t$
+\[
+X⁴-2u(1+t²)X²+u²t²(1+t²)=0
+\]
+est verselle pour les extensions de groupe $C₄$ :
+toute telle extension de $k$ est un corps de rupture
+d'un tel polynôme en $X$, où $t∈k$ est tel que $1+t²$ ne
+soit pas un carré et $u∈k$ est non nul.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+Soient $t∈k$ tel que $ε=1+t²$ ne soit pas un carré.
+Considérons $y=ε+\sqrt{ε}$. On a $\N(y)=ε²-ε=ε(ε-1)=εt²$
+de sorte que l'extension $k(\sqrt{y})\bo k$ est
+galoisienne, cyclique de degré quatre. Il en est plus généralement
+de même de l'extension $k(\sqrt{uy})\bo k$ pour tout $u ∈ k^×$
+car $\N(uy)=u²\N(y)$.
+Réciproquement, il résulte de la proposition suivante
+que toutes les extensions de $k(\sqrt{ε})$ de groupe $𝐙/4$
+sur $k$ s'obtiennent ainsi.
+
+L'élément $y=\sqrt{u(ε+\sqrt{ε})}$ satisfait l'équation
+$(y^2-uε)²=u²ε$ ; son polynôme minimal est donc celui de
+l'énoncé.
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}\label{extensions quadratiques sont obtenues par torsion}
+Soient $k$ un corps de caractéristique différente de deux,
+$K\bo k$ une extension galoisienne de groupe $G$ et $Ω$
+une clôture séparable de $K$.
+Considérons un groupe $E$, extension non scindée de $G$ par $𝐙/2$ :
+\[
+1 → 𝐙/2 → E → G → 1,
+\]
+où $E ↠ G$ n'a pas de section.
+Soient $L₁=K(\sqrt{y₁})\bo K$ et $L₂=K(\sqrt{y₂})\bo K$
+deux sous-corps de $Ω$, quadratiques sur $K$, tels que les extensions $L₁\bo k$ et $L₂\bo k$
+soient galoisiennes de groupe isomorphe à $E$.
+Alors, il existe $λ ∈ k^×$ tel que $L₂=K(\sqrt{λ y₁})$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Supposons $L₁≠L₂$ sans quoi il n'y a rien à démontrer.
+Le sous-corps $L₁ ∩ L₂$ de $Ω$ est donc $K$ de sorte
+que le morphisme
+\[\Gal(L₁L₂\bo k) → \Gal(L₁\bo k) ×_{\Gal(K\bo k)} \Gal(L₂\bo k)\]
+est un isomorphisme (\refext{CG}{fonctorialite-finie-galois}) :
+le corps $M=L₁L₂$ est galoisien sur $k$ (resp. sur $K$)
+de groupe isomorphe à $E×_G E$ (resp. $𝐙/2 × 𝐙/2$).
+(Remarquons que $E×_G E$ est, non canoniquement, isomorphe à $E× 𝐙/2$.)
+Soit $τ₁ ∈ E×_G E$ (resp. $τ₂$) le générateur du sous-groupe
+d'ordre deux $1× 𝐙/2$ (resp. $𝐙/2×1$) de sorte que
+$L_i=\Fix_{⟨τ_i⟩}(M)$. Soit $Δ:E → E×_G E$ le morphisme diagonal
+et $k′=\Fix_{Δ(E)}(M)$. C'est une extension quadratique de $k$, car
+$Δ(E)$ est d'indice deux dans $E×_G E$ : on a $k ′=k(\sqrt{λ})$ pour un certain $λ ∈ k^×$.
+Posons $L₁′=K(\sqrt{\vphantom{y₁}λ}\sqrt{\vphantom{λ}y₁})$. C'est une extension quadratique ou triviale
+de $K$. Si elle était triviale, on aurait $λ y₁ ∈ K²$ d'où $L₁=K(\sqrt{λ})=Kk ′$
+et $E → G$ serait alors scindée (cf. \emph{loc. cit.}).
+D'autre part $k ′$ n'est pas contenu dans $L₁$ ni $L₂$ car $Δ(E)$ ne contient
+ni $τ₁$ ni $τ₂$. L'automorphisme $τ₂$ agit donc par $\sqrt{λ} ↦ -\sqrt{λ}$.
+Comme il agit de même sur $\sqrt{y₁}$, il fixe $\sqrt{\vphantom{y₁}λ}\sqrt{\vphantom{λ}y₁})$
+donc $L₁′$. Par la théorie de Galois, les corps $L₂$ et $L₁ ′$ coïncident. CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{remarque2}
+Il est possible de démonter un énoncé semblable en remplaçant les racines
+carrées (resp. le groupe $𝐙/2$) par des racines $p$-ièmes (resp.
+le groupe $𝐙/p$) où $p$ est un nombre premier différent
+de la caractéristique des corps. On pourrait également généraliser
+cet énoncé au cas de la caractéristique deux en remplaçant les racines
+carrées (usuelles) par des racines $\root℘\of{}$.
+\end{remarque2}
+
+\begin{exercice2}
+Déduire du théorème précédent qu'un
+polynôme $X⁴+AX²+B$ est de groupe de Galois isomorphe
+à $C₄$ \ssi $A²-4B∉k²$ et $\frac{A²-4B}{B}∈{k^×}²$.
+\end{exercice2}
+
+\begin{exercice2}
+\begin{enumerate}
+\item Soit $𝐙/4↪\PGL₂(𝐐)$ le plongement envoyant $1$ sur
+la (classe de la) matrice $\left(\begin{matrix}1 & 1\\ -1 &
+1\end{matrix}\right)$. Soit $T=\frac{X⁴+6X²+1}{X(X²-1)}$.
+Vérifier que $T$ appartient à $\Fix_{𝐙/4}(𝐐(X))$ et que le
+polynôme minimal
+de $X$ sur $𝐐(T)$ est
+\[
+X⁴-TX³+6X²+TX+1=0
+\]
+\item Montrer que l'équation ci-dessus est verselle
+\ssi $-1$ est un carré dans $k$.
+\end{enumerate}
+\end{exercice2}
+
+\subsection{Caractéristique deux}Soit $k$ un corps de
+caractéristique deux,
+$k₄\bo k$ une extension galoisienne de groupe $C_4$
+et $k₂$ l'unique sous-corps de $k₄$ quadratique et galoisien
+sur $k$.
+On a donc $k₂=k(x)$ et $k₄=k₂(y)$ où $℘(x):=x²+x=ε∈k$ et
+$℘(y)=a+bx∈k₂$.
+Réciproquement, considérons $ε∈k∖℘(k)$ et
+$k₂=k(\sqrt[℘]{ε})$ l'extension
+quadratique de $k$ associée. À toute paire d'éléments
+$(a,b)$ de $k$,
+on associe le corps $k₄=k₂(\sqrt[℘]{a+b\sqrt[℘]{ε}})$.
+
+\begin{théorème2}
+\begin{enumerate}
+\item L'extension $k₄\bo k$ est galoisienne de groupe
+cyclique
+d'ordre quatre \ssi $\Tr_{k_2\bo k}(a+b\sqrt[℘]{ε})=b$ est
+de la forme
+$ε+℘(c)$ pour un $c∈k$.
+\item Une extension quadratique $k(\sqrt[℘]{ε})$ se plonge
+toujours dans une extension galoisienne de groupe cyclique
+d'ordre
+quatre.
+\end{enumerate}
+\end{théorème2}
+
+\begin{exemples2}
+\XXX
+\end{exemples2}
+
+\begin{démo}
+(i) Supposons $k₄\bo k$ galoisienne de groupe isomorphe à
+$C₄$.
+Soient $x$ et $y$ comme ci-dessus. Nécessairement $b≠0$
+sans quoi $k₄$ serait $k(\sqrt[℘]{ε},\sqrt[℘]{a})$ dont le
+groupe
+de Galois sur $k$ est de $2$-torsion.
+L'élément $y$ est racine du polynôme
+\[
+X⁴+(1+b)X²+bX+(a²+ab+b²ε),
+\]
+obtenu en écrivant
+\[
+(\frac{y²+y+a}{b})²+(\frac{y²+y+a}{b})=ε.
+\]
+L'égalité $y²+y=x$ montre que $x∈k(y)$ si bien
+que $k₄$ est un corps de rupture du polynôme ci-dessus.
+Le conjugué de $x=\sqrt[℘]{ε}$ est $x+1$ ; les conjugués
+de $y$ sont donc $y,y+1,y'$ et $y'+1$ où $℘(y')=x+1$.
+Soit $σ∈\Gal(k₄\bo k)$ tel que $σ(y)=y'$. On a alors
+nécessairement
+$σ(y')=y+1$ et $σ(x)=x+1$. Posons
+\[
+c=y+y'+x.
+\]
+On a donc
+\[
+σ(c)=(y')+(y+1)+(x+1)=c
+\]
+de sorte que $c∈k$.
+D'autre part,
+\[
+℘(c)=(a+bx)+(a+b(x+1))+ε=b+ε=\Tr_{k₂\bo k}(a+bx)+ε.
+\]
+La condition $\Tr_{k₂\bo k}(a+bx)∈ε+℘k$ est donc nécessaire.
+Réciproquement, si $b+ε∈℘k$, l'élément $y+y'+x$,
+\emph{a priori} dans une clôture algébrique de $k$,
+est dans $k$ de sorte que l'extension $k(y)\bo k$
+est \emph{normale} donc galoisienne.
+(Elle est bien de degré quatre car aucune racine
+ni aucune somme de deux racines du polynôme ci-dessus
+n'appartient à $k$.)
+(ii) L'élément $ε∈k$ étant fixé,
+il existe toujours un $b∈k$, par exemple $b=ε$,
+tel que $b+ε∈℘k$.
+\end{démo}
+
+\begin{remarque2}
+L'énoncé (ii),
+d'après lequel toute $𝐙/2$-extension se plonge dans une
+$𝐙/4$-extension,
+est un cas particulier d'un résultat général : en
+caractéristique $p$,
+toute $𝐙/p^r$-extension $(r≥1$) se plonge dans une
+$𝐙/p^{r+1}$-extension.
+Cela résulte de la nullité du \emph{groupe de cohomologie}
+$H²(G_k,𝐙/p)=0$
+(cf. \refext{}{}) ou bien du fait que l'application
+naturelle
+$H¹(G_k,𝐙/p^{r+1})→H¹(G_k,𝐙/p^r)$ s'identifie d'après
+\refext{KAS}{} à la \emph{surjection}
+$W_{r+1}(k)/℘W_{r+1}(k)↠W_{r}(k)/℘W_{r}(k)$
+(cf. \refext{KAS}{}).
+\end{remarque2}
+
+\begin{exercice2}
+Déduire du théorème précédent
+qu'un polynôme $X⁴+aX²+bX+c$ est de groupe de Galois
+isomorphe
+à $C₄$ \ssi $...$ et $...$. \XXX
+\end{exercice2}
+
+\section{¶ Extensions de groupe quaternionique}
+
+{
+\def\i{\mathsf{i}}
+\def\j{\mathsf{j}}
+\def\k{\mathsf{k}}
+
+\subsection{Caractéristique différente de deux}
+\subsubsection{Notations}\label{notations Witt non 2}
+Soit $k$ un corps de caractéristique différente de deux
+et soit $k_{V₄}\bo k$ une extension galoisienne de groupe non
+cyclique d'ordre quatre. Un tel groupe est isomorphe au groupe
+de Klein $V₄=\{1,v_\i,v_\j,v_\k\}$ (cf. \refext{Azu}{quaternions inversibles}).
+
+L'extension $k_{V₄}\bo k$ contient exactement trois sous-extensions
+quadratiques distinctes que nous
+noterons $k(b_\i)$, $k(b_\j)$ et $k(b_\k)$,
+où $b_μ²=:a_μ$ appartient à $k-k²$ pour chaque $μ∈\{\i,\j,\k\}$.
+On peut supposer $b_\i b_\j b_\k=1$ car ni
+$b_\i$ ni $b_\j$ n'appartiennent à l'extension quadratique
+$k(b_\i b_\j)$. En effet, si par exemple $b_\i$ s'exprimait
+sous la forme $α+βb_\i b_\j$ avec $α,β∈k$, on aurait
+$2αb_\i∈k$ d'où $α=0$ et, finalement, $βb_\j=1∈k$, ce qui
+est absurde.
+Pour $μ∈\{\i,\j,\k\}$, notons $σ_μ$ l'élément
+du groupe de Galois agissant par $σ_μ(b_μ)=b_μ$ et
+$σ_μ(b_ν)=-b_ν$ si $ν≠μ$. On a $σ_μ²=\Id$ et $σ_\i σ_\j
+σ_\k=\Id$ ; le morphisme $V₄→\Gal(k_{V₄}\bo k)$, $v_μ↦σ_μ$,
+où l'on pose $σ_1=\Id$, est un isomorphisme de groupes.
+
+Au cours de la démonstration du théorème suivant, il nous sera utile
+de linéariser cette action en adoptant parfois un point de vue et des notations légèrement
+différents. Observons que l'on a un plongement $V₄↪\GL₃(k_{V₄})$,
+envoyant $v_\i$ (resp. $v_\j,v_\k$) sur $g_\i=\diag(1,-1,-1)$
+(resp. $g_\j=\diag(-1,1,-1)$, $g_\k=\diag(-1,-1,1)$).
+Par construction, si l'on pose $b=(b_\i,b_\j,b_\k)∈k_{V₄}³$
+et que l'on fait agir $\Gal(k_{V₄}\bo k)$ sur chaque coordonnées,
+on a $σ_μ(b)=g_μ⋅b$. On étend cette formule en posant $g_1=\Id$.
+
+\begin{théorème2}[\cite{Konstruktion@Witt}]\label{critere
+Witt plongement quaternionique}
+Les conditions suivantes sont équivalentes.
+\begin{enumerate}
+\item L'extension $k_{V₄}\bo k$ se plonge dans une extension
+galoisienne de groupe isomorphe au groupe quaternionique.
+\item Les formes quadratiques
+$a_\i X_\i²+a_\j X_\j²+a_\k X_\k²$ et $Y_\i²+Y_\j²+Z_\k²$
+sont équivalentes sur $k$.
+\end{enumerate}
+Supposons les conditions précédentes satisfaites
+et considérons une matrice $P∈\GL₃(k)$
+satisfaisant la relation $\transpose{P} P=\diag(a_\i,a_\j,a_\k)$.
+Les extensions quaternioniques de $k$ contenant $k_{V₄}$
+sont les extensions quadratiques de $k_{V₄}$
+définies par les classes
+\[
+x=λ⋅\NSpin\big(P⋅\diag(b_\i,b_\j,b_\k)^{-1}\big)∈k_{V₄}^×/{k_{V₄}^×}²
+\]
+où $λ∈k^×$ est quelconque et $\NSpin$ désigne la norme spinorielle.
+\end{théorème2}
+
+La définition du groupe quaternionique — groupe non commutatif
+extension de $V₄$ par $\{±1\}$ — est rappelée en \refext{Azu}{quaternions inversibles} où il
+est noté $Q₈$.
+
+\begin{corollaire2}
+Soit $a ∈ k-k²$. Si l'extension quadratique $k(\sqrt{a})\bo k$ se plonge
+dans une extension quaternionique, l'élément $a$ est une somme de trois
+carrés dans $k$.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+En effet, toute forme quadratique $aX²+bY²+cY²$ représente $a$,
+qui est également représenté par $X²+Y²+Z²$ si ces formes quadratiques
+sont isomorphes.
+\end{démo}
+
+Signalons que les entiers $n$ qui ne sont pas somme de trois carrés dans $𝐐$
+sont ceux de la forme $4^r(8s+7)$ où $r,s ∈ 𝐍$
+(cf. \cite{Cours@Serre}, chap. IV, append.).
+
+\begin{exemple2}
+L'exemple de la forme quadratique
+$2X_\i²+3X_\j²+\frac{1}{6}X_\k²$
+sur $𝐐$ et de la matrice
+\[
+P=\left(\begin{matrix}1 & 1 & -1/6\\ -1 & 1 & -1/6 \\ 0 & 1 & 1/3
+\end{matrix}\right)
+\]
+nous permet de retrouver, pour $λ=6$, l'extension
+de $𝐐$ construite par Dedekind (\cite{}) :
+\[
+𝐐(\sqrt{6+3\sqrt{2}+2\sqrt{3}+2\sqrt{6}})=𝐐(\sqrt{(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{6})}).
+\]
+En effet, il résulte de \refext{Azu}{norme spinorielle}
+que l'on a dans $𝐐(\sqrt{2},\sqrt{3})^×/{𝐐(\sqrt{2},\sqrt{3})^×}²$ l'égalité
+\[
+\NSpin\big(P⋅\diag(1/\sqrt{2},1/\sqrt{3},\sqrt{6})\big)=\Tr\big(P⋅\diag(1/\sqrt{2},1/\sqrt{3},\sqrt{6})\big)+1
+=1+1/\sqrt{2}+1/\sqrt{3}+\sqrt{6}/3.\]
+
+Le fait que $𝐐(\sqrt{(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{6})})$ coïncide
+avec le corps $𝐐(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{6})})$, \emph{a
+priori} plus gros,
+est un fait général, expliqué à la fin de la démonstration de l'implication (i)⇒(ii).
+\end{exemple2}
+
+\begin{démo}
+(i) ⇒ (ii)
+Soit $k_{Q₈}\bo k_{V₄}$ une extension quadratique, nécessairement galoisienne,
+telle que $k_{Q₈}\bo k$ soit galoisienne de groupe quaternionique
+c'est-à-dire tel qu'il \emph{existe} un isomorphisme
+entre $\Gal(k_{Q₈}\bo k)$ et le groupe de quaternions inversibles
+à coefficients entiers $𝐇^×(𝐙)=\{±1,±\i,±\j,±\k\}$ (cf. \refext{Azu}{quaternions
+inversibles}). Notons $τ_{-1}$ le
+générateur de $\Gal(k_{Q₈}\bo k_{V₄})$ et $τ_\i$, $τ_\j$ des relèvements
+de $σ_\i$ et $σ_\j$ dans $\Gal(k_{Q₈}\bo k_{V₄})$. On a $τ_\i²=τ_\j²=τ_{-1}$
+car $τ_\i²$ et $τ_\j²$ sont d'images triviales dans $\Gal(k_{V₄}\bo k)$,
+donc dans le groupe $⟨τ_{-1}⟩=\Gal(k_{Q₈}\bo k_{V₄})$, mais ces carrés sont
+non triviaux car les seules solutions de l'équation $g²=1$ dans $𝐇^×(𝐙)$ sont
+dans le centre $\{±1\}$. Posons $τ_\k=τ_\i τ_\j$ ; c'est un relèvement
+de $σ_\k$. À ce stade il est naturel de poser $τ_{1}=\Id_{k_{Q₈}}$
+et $τ_{-μ}=τ_{-1}τ_{μ}$ pour chaque $μ∈\{\i,\j,\k\}$ de sorte
+que l'on a \emph{fixé} un isomorphisme de groupes $τ:𝐇^×(𝐙) ⥲ \Gal(k_{Q₈}\bo k)$.
+
+Soit $x∈k_{Q₈}-k_{V₄}$ un élément tel que $y:=x²$ appartienne à $k_{V₄}$ ;
+de façon équivalente : $τ_{-1}(x)=-x$.
+Considérons l'élément
+\[
+q_x=x+τ_\i(x)\i+τ_\j(x)\j+τ_\k(x)\k∈𝐇(k_{Q₈}).
+\]
+On a
+\[
+N(q_x):=x²+τ_\i(x)²+τ_\j(x)²+τ_\k(x)²=y+σ_\i(y)+σ_\j(y)+σ_\k(y)=\Tr_{k_{V₄}\bo k}(y).
+\]
+L'élément $q_x$ appartient donc au groupe des quaternions inversibles
+$𝐇^×(k_{Q₈})$ si, et seulement si, $\Tr_{k_{V₄}\bo k}(y)≠0$.
+Or, remplacer $x$ par $λ x$, où $λ$ appartient à $k_{V₄}$,
+change $y$ en $λ²y$ ; la forme bilinéaire $(λ,μ)↦\Tr_{k_{V₄}\bo k}(λ μ y)$ étant non dégénérée — car l'extension
+$k_{V₄}\bo k$ est étale (cf. \refext{Alg}{pot-diag=geom-red=f-net}) —,
+il existe pour tout $y∈k_{V₄}^×$ un $λ$ tel que $\Tr_{k_{V₄}\bo k}(λ²y)≠0$.
+En conséquence, on peut supposer $x$ tel que $q_x$ soit un quaternion
+inversible.
+
+Par construction, on a pour chaque $q∈𝐇^×(𝐙)$
+\[
+τ_q(q_x)=\sur{q}⋅q_x\ (\star)
+\]
+où l'action de $τ_q∈\Gal(k_{Q₈}\bo k)$ sur $𝐇(k_{Q₈})=k_{Q₈}⁴$ se fait
+coordonnées par coordonnées.
+En effet, on vérifie par exemple immédiatement que
+\[
+τ_{-1}(q_x)=τ_{-1}(x+τ_\i(x)\i+τ_\j(x)\j+τ_\k(x)\k)=-x+τ_\i(-x)\i+τ_\j(-x)\j+τ_\k(-x)\k=(-1)⋅q_x
+\]
+car $τ_{-1}(x)=-x$
+et
+\[
+τ_{\i}(q_x)=τ_{\i}(x)+(τ_\i)²(x)\i+τ_\k(x)\j-τ_\j(x)\k=(-\i)⋅q_x.
+\]
+Les autres cas sont semblables.
+
+Nous allons « pousser » la relation $(\star)$ par le morphisme Galois-équivariant
+\[𝐇^×(k_{Q₈})→\mathrm{SO}₃(k_{Q₈})\]
+induit par la conjugaison sur les complexes imaginaires (cf.
+\refext{Azu}{quaternions inversibles}).
+(Rappelons que l'on souhaite montrer que deux formes quadratiques
+sur $k³$ sont équivalentes.)
+Soit $m_x$ l'image de $q_x$ par ce morphisme. Comme $τ_{-1}(m_x)=-m_x$,
+cette matrice appartient au sous-groupe $\mathrm{SO}₃(k_{V₄})$ de
+$\mathrm{SO}₃(k_{Q₈})$ : l'action de $\Gal(k_{Q₈}\bo k)$ sur
+$m_x$ se factorise à travers $\Gal(k_{V₄}\bo k)$.
+D'autre part, l'image de $\sur{μ}=-μ$ (pour $μ∈\{\i,\j,\k\}$)
+dans $\mathrm{SO}₃(\Im 𝐇(𝐙))⊆\mathrm{SO}₃(\Im 𝐇(k_{Q₈}))$
+est, par définition, la matrice de l'application
+de conjugaison $ι ↦ μιμ^{-1}=-μ ι μ$, où $ι$ est imaginaire.
+Cette application agit par l'identité sur $μ$
+et envoie les deux imaginaires purs
+différents de $μ$ sur leurs opposés ; ce n'est autre que $g_μ$.
+Il résulte de ce fait, de la relation $(\star)$,
+et de l'action de $\Gal(k_{V₄}\bo k)$ sur les $b_\i,b_\j$
+et $b_\k$ (cf. \ref{notations Witt non 2})
+que la matrice $P=m_x^{-1}\diag(b_\i,b_\j,b_\k)∈\GL_3(k_{V₄})$
+est $\Gal(k_{V₄}\bo k)$ invariante donc appartient à $\GL₃(k)$.
+Comme $m_x∈\mathrm{SO}₃(k_{V₄})$, on a
+\[\transpose{P}P=\transpose{\diag(b_\i,b_\j,b_\k)}\diag(b_\i,b_\j,b_\k)=\diag(a_\i,a_\j,a_\k) ;\]
+les $k$-formes $⟨1,1,1⟩$ et $⟨a_\i,a_\j,a_\k⟩$ sont isomorphes.
+CQFD.
+
+Remarquons que l'inclusion $k(x)⊆k_{Q₈}$ est en fait une égalité.
+En effet on a $τ_{-1}(x)=-x$ de sorte que $τ_{-1}$ n'appartient
+pas au sous-groupe $\Gal(k_{Q₈}\bo k(x))$ de $\Gal(k_{Q₈}\bo k)$.
+Or, le seul sous-groupe de $𝐇^×(𝐙)$ ne contenant pas le centre $\{±1\}$ est le groupe
+trivial. On a donc $\Gal(k_{Q₈}\bo k(x))=\{1\}$, c'est-à-dire $k_{Q₈}=k(x)$.
+
+(ii) ⇒ (i)
+Soit $P∈\GL₃(k)$ une matrice telle que $\transpose{P}P=\diag(a_\i,a_\j,a_\k)$.
+Compte tenu de ce qui précède, il est naturel de considérer
+\[
+m_P=\diag(b_\i,b_\j,b_\k)⋅P^{-1}∈\mathrm{SO}₃(k_{V₄}).
+\]
+Par construction $σ_μ(m_P)=g_μ⋅m_P$ pour tout $μ∈\{1,\i,\j,\k\}$.
+Soit $Ω$ une clôture séparable de $k_{V₄}$ et soit $q¹_P$
+un relèvement de $m_P$ dans $𝐇^{N=1}(Ω)$ (cf. \refext{Azu}{quaternions et SO3}).
+Un tel élément est bien défini à multiplication par $±1$ près,
+comme il résulte de la suite exacte
+\[
+1 → μ₂(Ω)=\{±1\} → 𝐇^{N=1}(Ω) → \mathrm{SO}₃(Ω) → 1.
+\]
+(Rappelons que $\Ker(𝐇^×(Ω) → \mathrm{SO}₃(Ω))=Ω^×$ et
+que $N(λ)=λ²$ si $λ∈Ω⋅1⊆ 𝐇(Ω)$.)
+L'image de l'orbite $\Gal(Ω\bo k)⋅q¹_P$ dans $\mathrm{SO}₃(Ω)$
+n'est autre que l'orbite $\Gal(k_{V₄}\bo k)⋅m_q$.
+D'après ce qui précède, cette dernière est de cardinal $4$ et l'action de $\Gal(k_{V₄}\bo k)$
+se fait par multiplication à gauche par les $g_μ$ qui appartiennent à $\mathrm{SO}₃(𝐙)$
+et, plus précisément, à son sous-groupe diagonal, isomorphe à $V₄$.
+Les fibres de $𝐇^{N=1}(Ω) → \mathrm{SO}₃(Ω)$
+étant en bijection avec $μ₂(𝐙)=\{±1\}$, de cardinal $2$, il en résulte que l'action de $\Gal(Ω\bo k)$
+sur $q_P¹$ se fait par multiplication à gauche par des éléments d'un sous-groupe de $𝐇^{N=1}(𝐙)=𝐇^×(𝐙)$
+qui se surjecte sur $𝐇^×(𝐙)/\{±1\}≃V₄$. Un tel sous-groupe est égal à $𝐇^×(𝐙)$, par exemple parce que l'extension
+$1 → \{±1\} → 𝐇^×(𝐙) → 𝐇^×(𝐙)/\{±1\} → 1$ n'est pas scindée.
+On a donc montré que l'action de $\Gal(Ω\bo k)$ sur $q¹_P∈ 𝐇^{N=1}(Ω)$
+induit une surjection $\Gal(Ω\bo k) ↠ 𝐇^×(𝐙)$ prolongeant
+l'isomorphisme $\Gal(k_{V₄}\bo k) ⥲ V₄≃𝐇^×(𝐙)/\{±1\}$ de \ref{notations Witt non 2}.
+Le corps invariant par le noyau de $\Gal(Ω\bo k) ↠ 𝐇^×(𝐙)$
+définit une extension $k_{Q₈}\bo k$ du type cherché.
+Ceci achève la démonstration de l'implication (ii)⇒(i).
+
+Pour conclure il nous faut comprendre quelles sont les
+classes $x$ dans $k_{V₄}^×/{k_{V₄}^×}²$ telles
+que $k_{V₄}(\sqrt{x})$ soit quaternionique sur $k$.
+Il résulte de la démonstration précédente que si $P$
+est comme dans l'énoncé, la classe $\NSpin(m_P)=\NSpin(m_P^{-1})$ convient.
+Ce n'est autre que la classe de l'énoncé, pour $λ=1$.
+Le fait que toutes les extensions soient obtenues ainsi résulte
+de \ref{extensions quadratiques sont obtenues par torsion}.
+\end{démo}
+
+\subsection{Démonstration cohomologique}\label{démo cohomologique extensions quaternioniques}
+
+Nous allons maintenant donner une démonstration cohomologique
+du théorème de Witt, dans le cas de la caractéristique différente
+de deux. Le lecteur curieux pourra également consulter
+\cite[§3]{invariant@Serre} pour une autre approche.
+
+\subsubsection{Classe de $Q₈$ dans $H²(V₄,𝐅₂)$}
+Notons comme en \ref{notations Witt non 2} les éléments
+de $V₄$ et définissons, pour $μ,ν$ dans $\{1,\i,\j,\k\} ⊆Q₈$,
+le produit $μ ⋆ ν$ par $v_μ v_ν=v_{μ ⋆ ν}$. L'application
+$V₄×V₄ → \{±1\}$ envoyant $(v_μ,v_ν)$ sur $μν(μ ⋆ ν)^{-1}$,
+où le produit est calculé dans $Q₈=𝐇^×(𝐙)$, est un
+$2$-cocycle (\refext{Brauer}{définition 2-cocycle}) que nous noterons
+ici $γ$ et dont la classe dans le quotient $H²(V₄,\{±1\})$
+sera notée $c_{Q₈}$. Cette classe est dit « classe de l'extension » $Q₈$ de $V₄$ par $\{±1\}$
+(cf. \refext{}{}). Le cocycle $γ$ donne une mesure de la différence entre le produit
+d'éléments de $V₄$, \emph{plongé ensemblistement dans $Q₈$}
+par la section $v_μ ↦ μ $ de l'épimorphisme $Q₈ ↠ V₄$,
+calculé soit dans le groupe $V₄$ soit dans le groupe $Q₈$. (La
+\emph{classe} $c_{Q₈}$ quantifie ce défaut pour toutes les sections
+possibles.)
+
+Pour éviter les confusions ultérieures il semble
+parfois préférable d'identifier le groupe multiplicatif $\{±1\}$ à deux éléments
+au groupe additif $𝐅₂=\{0,1\}$ à deux éléments.
+Avec cette notation additive, les valeurs du $2$-cocycles sont représentées dans
+le tableau ci-dessous, de vérification immédiate.
+\begin{center}
+\begin{tabular}{c|rrrr}
+$v_ν ∖ v_μ$ & $v_1$ & $v_\i$ & $v_\j$ & $v_\k$ \\
+\hline
+$v_1$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$\\
+$v_\i$ & $0$ & $1$ & $1$ & $0$ \\
+$v_\j$ & $0$ & $0$ & $1$ & $1$\\
+$v_\k$ & $0$ & $1$ & $0$ & $1$ \\
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+\subsubsection{Décomposition en produit de $1$-cocycles}
+Notons $\pr_\j:V₄=𝐅₂ v_\i ⊕ 𝐅₂ v_\j → 𝐅₂$ (resp.
+$\pr_\i$) la projection $(x,y) ↦ y$ (resp. $(x,y) ↦ x$).
+On vérifie immédiatement le lemme suivant.
+
+\begin{lemme2}\label{décomposition classe quaternionique}
+On a
+\[
+γ =\pr_\i ∪ \pr_\i + \pr_\j ∪ \pr_\j + \pr_\i ∪ \pr_\j
+\]
+où le produit $γ₁ ∪ γ₂$ de deux $1$-cocycles est défini par $(g,g ′) ↦ γ₁(g)γ₂(g ′)$.
+\end{lemme2}
+
+Voir \refext{Azu}{cup-produit I} et surtout \refext{Coho}{} pour une discussion
+de cette notion.
+Dans le cas particulier du lemme, on a $-1=1$ (caractéristique deux),
+l'action du groupe est triviale sur les coefficients et
+l'accouplement est l'unique application non triviale $𝐅₂ ⊗_𝐙 𝐅₂ → 𝐅₂$.
+La formule ci-dessus se réécrit, en passant aux classes de
+cohomologie :
+\[
+c =[\pr_\i] ∪ [\pr_\i] + [\pr_\j] ∪ [\pr_\j] + [\pr_\i] ∪ [\pr_\j].
+\]
+
+
+\begin{remarque2}
+La possibilité d'écrire $c$ comme une somme de produit de $1$-cocycles
+est un fait général à la cohomologie modulo $p$ des $p$-groupes.
+Cf. p. ex. Serre, « Sur la dimension cohomologique des groupes profinis », Œ. 66, §3
+pour un résultat général sur la structure de $𝖧¹(G,𝐅_p)$ et $𝖧²(G,𝐅_p)$ si
+$G$ est un $p$-groupe.
+\end{remarque2}
+
+\begin{remarque2}
+La classe de cohomologie de droite est la seule classe non nulle qui soit
+invariante par l'action naturelle de $V₄$ : une forme quadratique sur
+$𝐅²₂$ correspond à une fonction ; ici $x²+y²+xy$ correspond à la fonction
+valant $1$ sur les non nuls et $0$ en $0$.
+Or, la classe de cohomologie de l'extension quaternionique
+est bien invariante. Elle s'obtient par image inverse de $SO₃$
+via $V₄ ↪ S⁴ → SO₃$ et $... ≃ Aut(V₄)$ (quelque chose avec
+un quotient). \XXX
+\end{remarque2}
+
+\subsubsection{Obstruction à l'extension}\label{obstruction cohomologique relèvement}
+Fixons une clôture séparable $k\sep$ de $k$ contenant $k_{V₄}$ et notons $Π_k$ le groupe
+de Galois $\Gal(k\sep \bo k)$. Admettons que les résultats des chapitres
+précédents (en particulier [Formes]) sont valables (\emph{mutatis
+mutandis}) dans le cadre d'un groupe de Galois infini. (Cf. \refext{Azu}{cohomologie profinie}
+pour la définition des groupes de cohomologie.)
+L'extension $k_{V₄}\bo k$ est une $V₄$-torseur sur $k$
+et correspond donc à une classe $[k_{V₄}] ∈ H¹(Π_k,V₄)=\Hom(Π_k,V₄)$.
+(L'égalité résulte du fait que $V₄$ est abélien, cf. \refext{formes}{H1=Hom}.)
+Elle s'étend en une $Q₈$-extension si et seulement si ce morphisme
+se relève à $Q₈$, c'est-à-dire s'il existe un morphisme $Π_k → Q₈$ — nécessairement surjectif —
+induisant $[k_{V₄}]$ par composition avec l'épimorphisme $Q₈ ↠ V₄$.
+Nous allons étudier l'obstruction à l'existence d'un tel relèvement.
+
+\begin{lemme2}\label{lemme relèvement et cohomologie}
+Soient $f:Π → G$ un morphisme de groupes, $E ↠ G$ un épimorphisme
+de groupes de noyau abélien $A$. Soit $s: G→ E$ une section
+ensembliste et notons $f_s:Π → E$ l'\emph{application} composée
+$s ∘ f$. Pour toute paire $(σ , τ ) ∈ Π²$,
+posons
+\[γ_s(σ , τ )=f_s(σ)f_s(τ) f_s(σ τ ) ^{-1}.\]
+
+\begin{enumerate}
+\item $γ_s$ est un $2$-cocycle à valeurs dans $A$, trivial
+si et seulement si $f_s$ est un morphisme de groupes.
+\item si $s ′$ est une autre section, les cocycles $γ_s$ et $γ_{s ′}$ sont cohomologues.
+\item La classe $c ∈ H²(Π,G)$ de $γ_s$ est triviale si et seulement si
+$f$ admet un relèvement en un \emph{morphisme} $F: Π → E$.
+\end{enumerate}
+\end{lemme2}
+
+Rappelons que la définition d'un $2$-cocycle
+ainsi que la condition d'être cohomologues ont
+étés introduites en \refext{Brauer}{Brauer et H2},
+dans lequel ce lemme est essentiellement démontré.
+
+\begin{démo}
+Vérifions (iii). Tout relèvement ensembliste $F$ de $f$ est
+de la forme $F(σ)=a_σ f_s(σ)$ pour une certaine
+fonction $a: Π → A$, la correspondance étant biunivoque.
+On vérifie immédiatement que l'application $F$
+est un morphisme si et seulement si
+$γ_s(σ,τ)=a_σ a_τ a_{σ τ}^{-1}$. Le résultat
+est alors un corollaire immédiat de ce qui précède
+et des définitions.
+Voir aussi \refext{Coho}{obstruction relèvement morphisme}
+pour des généralités.
+\end{démo}
+
+La classe $∂[k_{V₄}]∈ H²(Π_k,𝐅₂)$ ainsi
+construite n'est autre que l'image de $c_{Q₈} ∈ H²(V₄,𝐅₂)$
+par le morphisme $H²(V₄,𝐅₂) → H²(Π_k,𝐅₂)$ déduit
+de $[k_{V₄}]:Π → V₄$. Cela résulte des constructions.
+Le lemme \ref{décomposition classe quaternionique}
+donne donc une décomposition de $∂[k_{V₄}]$ en produits de $1$-cocycles.
+Il nous faut comprendre quelle est l'image de $[\pr_\i],[\pr_\j] ∈ H¹(V₄,𝐅₂)$ dans $H¹(Π_k,𝐅₂)$
+par $[k_{V₄}]:Π_k → V₄$. Rappelons (\ref{notations Witt non 2}) que si
+$k_{V₄}=k(\sqrt{b_\i},\sqrt{b_\j},\sqrt{b_\k})$,
+où les $b_μ$ sont comme en \ref{notations Witt non 2}, on note $σ_\i$
+l'unique $k$-automorphisme non trivial de $k_{V₄}$
+tel que $σ_\i(b_\i)=b_\i$ ; on a alors nécessairement $σ_\i(b_\j)=-b_\j$
+et $σ_\i(b_\k)=-b_\k$. On a défini de même des automorphismes $σ_\j$ et $σ_\k$.
+Le morphisme $v_μ ↦ σ_μ$ est un isomorphisme de $V₄$ sur $G_{k_{V₄}\bo k}$.
+Par cet isomorphisme, les « caractères »
+\[χ_\i:G_{k_{V₄}\bo k} → \{±1\}\]
+\[σ ↦ \frac{σ(b_\i)}{b_\i} \]
+(resp. $χ_\j:σ ↦ \frac{σ(b_\j)}{b_\j}$) et
+la projection $\pr_\j$ (resp. $\pr_\i$) se correspondent.
+
+Ainsi, il résulte du lemme \ref{décomposition classe quaternionique}
+et du fait que le composé $Π_k ↠ G_{k_{V₄}\bo k} ⥲ V₄$
+est $[k_{V₄}]$ que l'obstruction au relèvement est la classe
+\[
+(a_\i)(a_\i)+(a_\j)(a_\j)+(a_\i)(a_\j),
+\]
+où pour $a ∈k^×$, on note $(a) ∈ H¹(Π_k,𝐅₂)=\Hom(Π_k,𝐅₂)$
+l'unique caractère tel que pour tout $σ ∈ Π_k$
+et tout choix d'une racine carrée de $a$ dans $k\sep$,
+on ait
+\[
+\frac{σ(\sqrt{a})}{\sqrt{a}}=(-1)^{(a)(σ)}.
+\]
+
+
+\begin{lemme2}\label{nullité produit dans H2}
+Pour tout $a ∈ k^×$, on a l'égalité
+suivante dans $H²(Π_k,𝐅₂)$ :
+\[(a)(-a)=0.\]
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+On sait que le morphisme $H²(Π_k,𝐅₂) → H²(Π_k,\Gm) ≃ \Br(k)$
+est une injection d'image la $2$-torsion de ce groupe ; cf. \refext{Azu}{H2mun=Brn}.
+On a vu également en \refext{Azu}{quaternions=H2mu2}
+que l'algèbre de quaternion correspondante à la classe
+d'un produit $(a)(b)$ est $\quater{a,b}{k}$.
+Pour conclure, il suffit de constater que
+la forme quadratique $aX²-aY²+Z²$ a un zéro non
+trivial et d'utiliser le critère \refext{Azu}{critère quadratique de trivialité
+quaternionique}.
+\end{démo}
+
+Posons $a=a_\i$ et $b=a_\j$. On a $(a)(a)=(-1)(a)$,
+$(b)(b)=(-1)(b)$ et $(a)(b)=(-a)(-b)+(-1)(a)+(-1)(b)+(-1)(-1)$.
+Ainsi, l'obstruction est nulle si et seulement si on a :
+\[
+(-1)(-1)=(-a,-b)
+\]
+dans $\Br₂(k)$.
+
+Si l'on se donne un isomorphisme entre $\quater{-1,-1}{k}$
+et $\quater{-a,-b}{k}$, les formes quadratiques $-q²$ (où $q$
+est la norme réduite) se correspondent. Sur les imaginaires,
+il s'agit bien de $X²+Y²+Z²$ et $aX²+bY²+(ab)^{-1}Z²$ respectivement.
+On peut préciser ce résultat et démontrer l'équivalence.
+
+\subsection{Existence d'une équation verselle : généralités}
+
+Soient $k$ un corps et $G$ un groupe fini.
+Comme nous le verrons à la fin de ce chapitre (\ref{base normale
+géométrique}), il existe un morphisme de $k$-algèbres
+intègres $BG → EG$ « versel » pour les
+extensions de groupe $G$ d'un sur-corps $K$ de $k$ :
+toute telle extension $L \bo K$ est isomorphe à une extension obtenue par
+\emph{spécialisation} à partir de $EG \bo BG$, c'est-à-dire
+de la forme $(EG ⊗_{BG} K) \bo K$, où $BG → K$ est un $k$-morphisme.
+Cependant, ceci ne produit pas d'équation polynomiale verselle
+en des \emph{paramètres} comme en \ref{equation verselle C3} ou \ref{equation verselle C4}.
+Supposons maintenant que $\Frac(BG)$ soit une extension \emph{transcendante pure}
+de $k$, c'est-à-dire de la forme $k(Y₁, …,Y_n)$ où les $Y_i$ sont
+algébriquement indépendants. (On a alors nécessairement $n= ♯G$ ;
+cela résulte du fait que $\Frac(EG)$ est isomorphe à $k(x_g:g ∈ G)$
+et de la proposition \refext{}{}.)
+Insistons sur le fait que la condition de pureté transcendante n'est pas systématiquement vérifiée ;
+elle sera étudiée au chapitre \refext{Noether}{}.
+Quand elle est satisfaite, on peut montrer qu'il existe un morphisme
+de $k$-algèbres \emph{versel} $A → B$ tel que
+$A$ soit de la forme $k[x₁, …,x_n][f^{-1}]$, cf. exercice \ref{extension
+verselle via Noether} ; l'existence d'une « équation verselle » pour
+$G$ sur le corps $k$ c'est-à-dire d'une équation en une variable
+avec $n$ paramètres telle que toute extension de $k$-corps de groupe $G$
+s'obtienne par spécialisation convenable des paramètres.
+Nous renvoyons à \refext{Noether}{} pour les détails.
+
+De cette discussion et de la proposition suivante, on déduit l'existence d'une équation verselle
+pour le groupe quaternionique au-dessus de tout corps de caractéristique
+différente de deux.
+
+\begin{proposition2}\label{kQ8 sur Q8 rationnel}
+Soit $k$ un corps de caractéristique différente de deux.
+Le corps $\Fix_{Q₈}(k(X_g:g ∈ Q₈))$ est purement transcendant sur $k$.
+\end{proposition2}
+
+Signalons la version « explicite » ci-dessous des résultats précédents,
+tirée de \cite[6.1.12]{Generic@JLY}, auquel on renvoie le lecteur
+pour une démonstration et un énoncé sensiblement plus précis.
+
+\begin{proposition2}
+Soit $k$ un corps de caractéristique différente de deux.
+Pour toute extension $K\bo k$ de groupe quaternionique
+il existe un triplet $(α,β,γ)∈ k^3$ et un paramètre $λ ∈ k^×$
+tel que $K$ soit un corps de décomposition du polynôme en $X$
+{\tiny \[
+(λ X²-1)⁴-2(1-αβγ)²\frac{A+B+C}{ABC}(λ X²-1)²-8\frac{(1-αβγ)³}{ABC}(λX²-1)
++(1-αβγ)⁴\frac{A²+B²+C²-2AB-2AC-2BC}{(ABC)²}
+\]}
+où $A=1+α²+(α β)²$, $B=1+β²+(β γ)²$ et $C=1+γ²+(γ α)²$.
+\end{proposition2}
+
+\subsubsection{Démonstration de \ref{kQ8 sur Q8 rationnel}}
+
+Soit $V$ un $k$-espace vectoriel de dimension finie $d$. On
+note $\Sym(V)$ ou $k[V]$ la $k$-algèbre $⨁_{i ≥ 0} V^{⊗i}$, non canoniquement isomorphe
+à $k[t₁,…,t_d]$. Cette algèbre est intègre ; on note $k(V)$ son
+corps des fractions. Soit $G$ un groupe fini agissant $k$-linéairement
+sur $V$. On note $k(V/G)$ le corps des fractions de la sous-$k$
+algèbre $\Fix_G(k[V])$ de $k[V]$.
+
+\begin{lemme2}[« no name lemma »]
+Si $G$ agit fidèlement sur deux espaces vectoriels de dimension finie
+$V₁$ et $V₂$, les corps $k(V₁/G)$ et $k(V₂/G)$ sont \emph{stablement isomorphes} :
+il existe des entiers $d₁,d₂ ≥ 0$ tels que les corps
+$k(V₁/G)(t₁,…,t_{d₂})$ et $k(V₂/G)(t₁,…,t_{d₁})$
+soient $k$-isomorphes.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}[Démonstration du lemme]
+Nous allons montrer plus précisément que si $W$ est la
+somme directe $V₁ ⊕ V₂$, il existe un entier $n$
+tel que $k(W/G)$ soit $k$-isomorphe à $k(V₁/G)(t₁, …, t_n)$
+sous la seule hypothèse que l'action de $G$ sur $V₁$ soit fidèle.
+Remarquons tout d'abord que l'on a $k(W)=k(V₁)(V₂)$ ou,
+plus exactement, $k(W)=k(V₁)(V₂ ⊗_k L₁)$, où l'on pose
+$L₁=k(V₁)$. L'action de $G$ sur $V₁$ étant
+fidèle, il résulte du lemme d'Artin
+que l'extension $L₁\bo K₁$, où $K₁=k(V₁/G)$,
+est galoisienne de groupe $G$.
+Faisons agir le groupe $G$ semi-linéairement sur ${V₂}_{L₁}=L₁ ⊗_k V₂$
+par $g(v₂ ⊗ λ)=g(v₂) ⊗ g(λ)$. On peut donc appliquer
+le lemme de Speiser \refext{formes}{lemme de Speiser}
+selon lequel la flèche évidente
+\[
+\Fix_G({V₂}_{L₁}) ⊗_{K₁} L₁ → {V₂}_{L₁}
+\]
+est un isomorphisme.
+Soit $t₁, …, t_n$ une $K₁$-base de $\Fix_G({V₂}_{L₁})$, vue
+dans $L₁[{V₂}_{L₁}]$. (Remarquons que $n=\dim_k(V₂)$.) Il résulte de l'isomorphisme
+précédent et de l'isomorphisme $\Fix_G(L₁[t₁, …, t_n])=K₁[t₁, …, t_n]$
+que l'on a $k(W/G)=K₁(t₁, …, t_n)$,
+où les $t_i$ sont algébriquement indépendants.
+\XXX
+\end{démo}
+
+Soit $V=k[Q₈]$ l'algèbre de groupe sur le groupe $Q₈$.
+On cherche à montrer que le corps $k(V/Q₈)$ est $k$-rationnel.
+La décomposition $V=k^4 ⊕ 𝐇_k$, où $𝐇_k=\quater{-1,-1}{k}$,
+et la démonstration du lemme précédent,
+il suffit de montrer que le corps $k(𝐇_k/Q₈)$ est $k$-rationnel.
+(L'action de $Q₈$ sur $𝐇_k$ se fait par multiplication à gauche.)
+Par construction, $k[𝐇_k]=k[x₁,x_\i,x_\j,x_\k]$
+et pour toute $k$-algèbre $A$, l'ensemble
+$\Hom_k(k[𝐇_k],A)$ est naturellement isomorphe
+à l'ensemble $𝐇(A)$ est quaternions à coefficients
+dans $k$. (En d'autres termes, l'algèbre
+$k[𝐇_k]$ \emph{représente} (cf. \refext{Categ}{}) le \emph{foncteur}
+$𝐇:A ↦ 𝐇(A)$ : $𝐇=k[𝐇_k]^{\japmath{田}}$.)
+De même $\Hom_k(k[𝐇_k][\frac{1}{x₁²+x²_\i+x²_\j+x²_\k}],A) ⥲ 𝐇^×(A)$.
+Remarquons que les anneaux $k[𝐇^×]:=k[𝐇_k][\frac{1}{x₁²+x²_\i+x²_\j+x²_\k}]$
+et $k[𝐇_k]$ ont même corps des fractions de sorte qu'il suffit
+de démontrer la rationnalité du corps des fractions
+de l'anneau $k[𝐇^×/Q₈]:=\Fix_{Q₈}(k[𝐇^×])$.
+
+Soit $\{±1\}$ le centre de $Q₈$ ; il agit
+sur $𝐇$ par multiplication par $±1$
+et le morphisme $c:𝐇^× → \SOrth₃$ induit par la conjugaison
+se factorise à travers le quotient $𝐇^×/\{±1\}$.
+Si l'on pose $y_μ=x_μ²$ pour chaque $μ ∈ \{1,\i,\j,\k\}$,
+on vérifie immédiatement que le « quotient »
+$k[𝐇^×/\{±1\}]=\Fix_{\{±1\}}(k[𝐇^×])$
+est isomorphe au sous-anneau
+$k[y₁,y_\i,y_\j,y_\k][\frac{1}{y₁+y_\i+y_\j+y_\k}]$.
+Joint au théorème \refext{Azu}{parametrisation Euler-Hamilton-Cayley}
+on en déduit un isomorphisme \emph{$Q₈/\{±1\}$-équivariant}
+\[
+𝐇^×/\{±1\} \dessusdessous{(N,c)}{⥲} \Gm × \SOrth₃
+\]
+où l'action est triviale sur $\Gm$
+et $±μ ∈ Q₈/\{±1\}$ agit par conjugaison par
+$c(μ)$ sur $\SOrth₃$.
+En d'autres termes, l'anneau $k[𝐇^×/\{±1\}]$ est $k$-isomorphe
+à $k[\SOrth₃][n,n^{-1}]$ par une flèche
+envoyant $n$ sur $y₁+y_\i+y_\j+y_\k$.
+Rappelons que $Q₈/\{±\}$ est isomorphe à $V₄$ et qu'il agit sur
+$\SOrth₃$ par conjugaison par les matrices $g_μ$
+(\ref{notations Witt non 2}).
+Ainsi, pour démontrer que $k(𝐇^×/Q₈)$ est $k$-rationnel
+il suffit de démontrer que $k(\SOrth₃/V₄)$ l'est.
+Précisons que, par convention, $k[\SOrth₃]$ n'est autre qu'une
+une $k$-algèbre (elles sont toutes isomorphes) représentant
+le foncteur $\SOrth₃$ ; explicitement
+\[
+k[\SOrth₃]=k[a_{ij}, 1 ≤ 1,j ≤ 3]/(\det(a_{ij})=1,\transpose{(a_{ij})}(a_{ij})=\Id).
+\]
+Or, les conditions $g_μ(a_{ij})g_μ^{-1}=(a_{ij})$ pour $μ ∈ V₄$
+sont équivalentes au fait que les coefficients hors de la diagonale
+sont nuls (rappelons que la caractéristique est différente de $2$).
+Ainsi, $k[\SOrth₃/V₄] ≃ k[a₁,a₂,a₃]/(a₁a₂a₃=1)$. Le corps
+$k(\SOrth₃/V₄)$, $k$-isomorphe à $k(u,v)$, est donc $k$-rationnel.
+
+\begin{exercice2}[Fischer, 1915]
+Soit $G$ un sous-groupe fini abélien de $\GL(V)$, où $V$ est un $𝐂$-espace
+vectoriel de dimension finie $n$ (et $\GL(V)$ le groupe des applications linéaires
+inversibles $V → V$). On note comme ci-dessus $𝐂(V)$ le corps des fractions
+rationnelles sur V (c’est-à-dire le corps des fractions de l’algèbre symétrique
+$𝐂[V] = \Sym(V)$, ou encore $𝐂(V) = 𝐂(x_1, . . . , x_n)$
+une fois choisie une base $x_1, . . . , x_n$ du dual de $V$)
+et $𝐂(V/G)$ le sous-corps de $𝐂(V)$ formé des éléments invariants
+par l’action de $G$ qui agit à droite sur $𝐂(V)$ par $f^σ(v) = f(σ(v))$ si
+$σ ∈ G$, $f ∈ 𝐂(V)$ et $v ∈ V$.
+Montrer que $𝐂(V/G)$ est une extension transcendante pure de $𝐂$, autrement dit, il existe
+$y_1, . . . , y_n ∈ 𝐂 (V/G)$ (nécessairement en nombre $n$ : pourquoi ?)
+algébriquement indépendants tels que $𝐂(V/G) = 𝐂(y_1, . . . , y_n)$.
+(Indication : se placer sur une base de $V$ qui diagonalise
+simultanément tous les éléments de $G$, puis considérer le réseau des monômes sur cette base
+qui sont invariants par $G$.)
+Montrer par un exemple simple que dans cette situation l’algèbre $𝐂[V/G]$ (des invariants
+sous $G$ dans l’algèbre symétrique $𝐂[V ] = \Sym(V)$ des polynômes sur $V$)
+n’est pas nécessairement une algèbre de polynômes.
+\end{exercice2}
+
+Corrigé. Suivant l’indication, considérons une base de $V$ qui diagonalise simultanément
+tous les éléments de $G$ (ce qui est possible car ceux-ci commutent entre eux et
+car $G$ est fini). Notons $x_1, . . . , x_n$ la base duale : alors $𝐂(V) =
+𝐂(x_1, . . . , x_n)$ et tout élément de $G$ agit en multipliant chaque $x_i$ par un
+certain complexe, qui est par ailleurs une racine de l’unité dont
+l’ordre divise l’exposant $N$ de $G$. Considérons l’ensemble $L ⊆ 𝐙^n$ des
+$n$-uplets $ℓ=(ℓ₁, . . . , ℓ_n)$ d’entiers
+relatifs tels que le « monôme » $x^ℓ = x^{ℓ_1} \cdots x^{ℓ_n}$
+soit invariant par $G$. Ainsi, $L$ est un sous-module
+de $𝐙^n$, dont le rang est $n$ puisqu’il contient $N · 𝐙^n$ (en effet, $x^N_i$
+est $G$-invariant quel que soit $i$).
+On peut donc trouver une base $B$ de $L$ : soient $y_1, . . . , y_n$
+les « monômes » $x^ℓ$ pour $ℓ ∈ B$.
+On va vérifier que $y_1, . . . , y_n$ sont bien algébriquement
+indépendants et que $𝐂(V/G) = 𝐂(y_1, . . . , y_n)$.
+Tout d’abord, tout « monôme » $x^ℓ ∈ 𝐂(V/G)$
+peut s’exprimer comme fraction rationnelle (et même « monôme »)
+en les $y_i$, puisque $ℓ ∈ L$ peut s’exprimer dans la
+base $B$. À présent, un polynôme $f ∈ 𝐂[x_1, . . . , x_n]$ qui serait invariant
+par $G$ doit avoir chacun de ses monômes invariants, puisque chacun est multiplié par une constante
+(une racine $N$-ième de l’unité) quand on applique un élément $σ ∈ G$ :
+il s’ensuit d’après ce qu’on vient de voir que
+$f$ est fraction rationnelle de $y_1, . . . , y_n$.
+Enfin, comme toute fraction rationnelle invariante par
+$G$ est quotient de deux polynômes invariants par $G$ (en effet, ses numérateurs et dénominateur
+réduits sont chacun multipliés par une constante quand on fait agir G, mais quitte à les multiplier
+tous les deux par un monôme approprié on peut supposer qu’ils sont bien invariants par
+$G$), on a $𝐂(V/G) = 𝐂(y_1, . . . , y_n)$. Enfin, comme le degré de
+transcendance sur $𝐂$ de $𝐂(V/G)$ est $n$ (puisque les $n$ quantités $x^N_1
+, . . . , x^N_n$, par exemple, sont algébriquement indépendantes), on
+en déduit que $y_1, . . . , y_n$ doivent être algébriquement indépendants, ce qui conclut.
+En matière de contre-exemple, prenons $V = 𝐂²$ sur lequel agit $G = 𝐙/2$ par symétrie par
+rapport à l’origine $(z_1, z_2) ↦ (−z_1,−z_2)$. Alors $C[V/G]$ est l’algèbre formée des polynômes en
+$x_1, x_2$ dont tous les monômes ont un degré total pair.
+Pour montrer que ce n’est pas une algèbre de polynômes on peut invoquer le fait qu’elle n’est pas
+engendrée par seulement deux éléments, ou tout simplement que $(x_1 x_2)^2 =
+(x²_1)(x²₂)$ alors que chacun des éléments $x_1x_2$ et $x²_1$ et $x₂²$
+est irréductible.
+
+\subsection{Caractéristique deux}
+
+\XXX
+
+\section{¶ Théorème de la base normale et $G$-algèbres galoisiennes verselles}
+
+\subsection{Notations et énoncé}
+
+\subsubsection{}Soit $G$ un groupe et soit $k$ un corps.
+Rappelons que l'on note $k[G]$ l'\emph{algèbre du groupe} $G$ sur $k$ définie ainsi :
+le $k$-espace vectoriel sous-jacent est l'ensemble $k^{(G)}$
+des combinaisons linéaires formelles (que l'on peut également
+voir comme l'ensembles de fonctions de $G$ dans $k$ à support fini)
+dont on note $(e_g)_{g ∈ G}$ la base canonique (correspondant
+aux fonctions de Dirac), muni du « produit de convolution »
+$k^{(G)}⊗_k k^{(G)}→k^{(G)}$ envoyant $e_g⊗e_{g'}$ sur $e_{gg'}$.
+
+\subsubsection{}Soit $K\bo k$ une extension galoisienne de groupe $G$.
+L'action $k$-linéaire de $G$ sur $K$ fait de ce dernier un $k[G]$-module (à
+gauche), la multiplication par $e_g$ étant donnée par l'action de $g$.
+La structure de ce module est déterminée, dans le cas où $G$ est fini, par le théorème suivant :
+
+\begin{théorème2}\label{theoreme base normale}
+Soient $k$ un corps et $K\bo k$ une extension galoisienne finie de groupe $G$.
+Muni de sa structure de $k[G]$-module naturelle, $K$ est libre de rang
+un. En d'autres termes, il existe un élément $x∈K$ tel que les
+éléments $g(x)$, où $g$ parcourt $G$, forment une $k$-base de $K$.
+\end{théorème2}
+
+Une telle base est appelée « base normale » de $K$ sur $k$.
+
+Précisons qu'il est faux en général que $K$ soit isomorphe à la
+$k$-algèbre $k[G]$, cette dernière n'étant d'ailleurs pas
+nécessairement commutative ou intègre.
+
+Signalons la caractérisation suivante des bases normales.
+
+\begin{proposition2}\label{caracterisation base normale}
+Soient $K\bo k$ une extension finie galoisienne de groupe $G$
+et $x∈K$. Les éléments $g(x)$, où $g$ parcourt $G$,
+forment une base de $K$ sur $k$ \ssi le déterminant
+$\det\big(g′g(x)\big)_{(g ′,g)∈G²}$ est non nul.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Supposons $\det\big(g ′ g(x)\big)≠0$ et montrons que
+$\big(g(x)\big)_{g∈G}$ est une $k$-base de $K$.
+Comme $\# G=[K:k]$, il suffit de vérifier qu'ils sont libres
+sur $k$.
+Or, si $∑_{g∈G} λ_g g(x)=0$, où les coefficients $λ_g$ sont dans $k$,
+on a pour tout $g'∈G$,
+\[g'\big(∑_{g∈G} λ_g g(x)\big)=∑_{g∈G} λ_g g'g(x)=0.\]
+Par hypothèse, ces relations forcent l'égalité $λ_g=0$
+pour chaque $g ∈ G$.
+Réciproquement, si $\det\big(g ′ g(x)\big)=0$, toute relation non
+triviale de dépendance linéaire entre les colonnes entraîne
+que les $\{g(x)\}_{g∈G}$ sont liés.
+\end{démo}
+
+
+\subsection{Démonstration du théorème de la base normale}
+
+\subsubsection{Stratégie}
+Nous allons procéder par « changement de base » (on dit aussi
+« localisation (étale) » ) : on « monte » en tensorisant par $K$ sur
+$k$ --- la situation devenant alors limpide --- puis on « redescend » à $k$.
+L'ingrédient essentiel de la première étape est la proposition \refext{CG}{galois=autodiag}.
+Une autre méthode, relativement proche, consiste à démontrer
+par changement de base l'indépendance algébrique des caractères
+(cf. exercice \ref{indépendance algébrique Gal}) et d'utiliser
+le critère \ref{caracterisation base normale} ci-dessus (cf.
+\cite[V.70]{A4-7@Bourbaki}).
+
+\subsubsection{}Posons $A=k[G]$. On souhaite montrer qu'il existe un isomorphisme $A$-linéaire entre $A$ et $K$.
+D'après la proposition \ref{pleine-fidelite-cb} ci-dessous, il suffit de
+démontrer qu'il
+existe un isomorphisme $A_K$-linéaire entre $A_K$ et $K⊗_k K$, où
+$A_K$ est l'anneau $A⊗_k K$, et la structure de $A_K$-module sur $K⊗_k K$ est
+la structure évidente : $(a⊗λ)(μ⊗ν)=(aμ⊗λν)$.
+
+L'isomorphisme d'anneaux naturel $A_K=k[G]⊗_k K→K[G]$, envoyant
+$f⊗λ$ sur $λf$, fait de $K[G]$ un $A_K$-module libre de rang un. Afin
+de conclure, il suffit donc de vérifier que la variante $K⊗_k K→K[G]$, $λ⊗μ↦∑_g g^{-1}(λ)μ \,e_g$
+de l'isomorphisme \refext{CG}{galois=autodiag} est $A_K$-linéaire.
+Soit en effet $e_{g'}⊗ν∈A_K$ et $λ⊗μ∈K⊗_k K$ ; on a d'une part $(e_{g'}⊗ν)\cdot λ⊗μ= g'(λ)⊗νμ$,
+qui est d'image $x=∑_g g^{-1}g'(λ)νμ \,e_g$ dans $K[G]$ par le morphisme
+ci-dessus, et d'autre part $(e_{g'}⊗ν)\cdot (∑_g g^{-1}(λ)μ \,e_{g})=(ν e_{g'})(∑_g
+g^{-1}(λ)μ \,e_{g})$ (produit dans $K[G]$). Ce produit est $y=∑_g g^{-1}(λ)μν
+\,e_{g'g}$ ; un changement de variables de sommation $g↔g'g$ montre que $x=y$.
+
+\begin{proposition2}\label{pleine-fidelite-cb}
+Soient $k$ un corps, $K\bo k$ une extension, $A$ une $k$-algèbre non nécessairement commutative
+et $A_K$ le produit tensoriel $A⊗_k K$. Deux $A$-modules à gauche $M₁$ et $M₂$
+\emph{de dimension finie sur $k$} sont $A$-isomorphes \ssi $M₁⊗_k K$ et $M₂⊗_k
+K$ sont $A_K$-isomorphes.
+\end{proposition2}
+
+Nous allons démontrer cette proposition dans les cas particuliers suivants :
+\begin{itemize}
+\item $k$ est infini ;
+\item $k$ est fini, $A=k[𝐙/r]$ ($r∈𝐍_{>0}$).
+\end{itemize}
+Ceci est suffisant pour démontrer le théorème de la base normale car tout groupe de Galois
+d'une extension finie de corps finis est cyclique.
+
+\begin{démo}
+Soient $M₁$ et $M₂$ comme dans l'énoncé, supposés isomorphes sur $K$ \cad tels
+qu'il existe un $A_K$-isomorphisme ${M₁}_K≃{M₂}_K$.
+Nécessairement $\dim_k(M₁)=\dim_k(M₂)$ car $\dim_k(M_i)=\dim_K({M_i}_K)$ pour
+chaque $i∈\{1,2\}$. Soit $V=\Hom_A(M₁,M₂)$ ; c'est un sous-$k$-espace vectoriel de
+$\Hom_k(M₁,M₂)$. Il est donc de dimension finie.
+Au choix d'une $k$-base $v₁,…,v_d$ de $V$ est associé un
+polynôme homogène de degré $d$ : $\det_V=\det(λ₁v₁+\cdots+λ_d v_d)∈k[λ₁,…,λ_d]$
+où le déterminant est pris relativement à des $k$-bases de $M₁$ et $M₂$ fixées une fois pour toute.
+On veut montrer que la fonction $k^d→k$ correspondante n'est pas identiquement nulle.
+
+Si $k$ est infini ou, plus généralement si $\# k>d$, il suffit de montrer que le
+\emph{polynôme} $\det_V$ est non nul (cf. exercice \ref{fonction-polynome-non-nulle}).
+Or, pour savoir si $P∈k[λ₁,…,λ_d]$ est nul ou non, il est loisible de remplacer $k$
+par un corps plus gros, auquel cas le résultat est connu par hypothèse.
+Plus précisément, puisque $V_K→\Hom_{A_K}({M₁}_K,{M₂}_K)$ est un
+isomorphisme (\refext{Tens}{presentation-finie+Hom}),
+et que $\Hom_{A_K}({M₁}_K,{M₂}_K)$ contient par hypothèse un isomorphisme, il existe des éléments
+$(λ₁,…,λ_d)∈K^d$ tels que $\det_{V_K}(λ₁,…,λ_d)≠0$, où le déterminant est calculé
+relativement aux bases déduites des précédentes par
+changement de base $\tiret⊗_k K$. Puisque les polynômes
+$\det_{V_K}(λ₁,…,λ_d)$ et $\det_V(λ₁,…,λ_d)$ sont égaux, ce dernier est non nul.
+Ceci achève la démonstration dans le cas où $k$ est infini.
+
+Supposons maintenant $k$ fini et $A=k[𝐙/r]$, où $r$ est un entier non nul.
+D'après ce qui précède, le résultat est connu si $\# k>d$. Dans le cas
+contraire, soit $k'$ une extension finie de $k$ telle que $\# k'>d$. Notons
+$e=[k':k]$. On a vu qu'il existe un isomorphisme de $A_{k'}$-modules
+entre $M₁⊗_k k'$ et $M₂⊗_k k'$. Or, pour chaque $i∈\{1,2\}$, $M_i⊗_k k'$ est
+$A$-isomorphe à $M_i^e$ (somme directe $e$ fois) car $k'$ est isomorphe à $k^e$ comme $k$-espace vectoriel.
+Pour conclure, il suffit donc de vérifier que si $M₁$ et $M₂$ sont deux
+$k[𝐙/r]$-modules de type fini tels que $M₁^e$ et $M₂^e$ soient isomorphes, alors $M₁≃M₂$.
+Tout $k[𝐙/r]$-module étant de façon naturelle un $k[X]$-module, ce résultat est
+un corollaire immédiat de la théorie générale des modules de type fini sur un
+anneau principal.
+\end{démo}
+
+\begin{remarque2}
+Comme on l'a vu au cours de la démonstration, il est intéressant de savoir si
+l'on peut « simplifier par un entier non nul » dans le monoïde (pour la somme
+directe) des classes d'isomorphismes de $A$-modules de dimension finie sur $k$.
+On l'a vu dans un cas particulier ; en toute généralité, c'est un corollaire
+du théorème de Krull-Schmidt (cf. \cite{Bourbaki}, chap. 8, \cite{First@Lam}, §19).
+\end{remarque2}
+
+\subsection{G-algèbres galoisiennes sur un anneau}\label{G-algèbres galoisiennes sur un anneau}
+
+\begin{définition2}Soient $A$ un anneau, $B$ une $A$-algèbre
+et $G$ un sous-groupe fini de $\Aut_{A\traitdunion\Alg}(B)$.
+On dit que $B$ est \emph{galoisienne de groupe $G$} sur $A$
+si les conditions suivantes sont satisfaites :
+\begin{enumerate}
+\item le morphisme $A → B$ est injectif et $A=\Fix_G(B)$ ;
+\item le morphisme
+\[m:B ⊗_A B → ∏_{g ∈ G} B=\Hom_{\Ens}(G,B),\]
+\[λ ⊗ μ ↦ \big(g(λ)μ\big)_g\]
+est un isomorphisme.
+\end{enumerate}
+\end{définition2}
+
+\begin{exemple2}
+Si $L\bo K$ est une extension fini galoisienne de
+groupe $G$, la $K$-algèbre $L$ est galoisienne
+de groupe $G$ au sens précédent.
+\end{exemple2}
+
+
+\begin{lemme2}
+Soient $B\bo A$ une $G$-algèbre galoisienne et $B\{G\}$
+l'\emph{algèbre de groupe tordue}, dont le $B$ module sous-jacent
+est l'ensemble des sommes formelles $∑ b_g g$, le produit
+étant défini par la condition $h ⋅ (bg)=h(b)(hg)$.
+Le morphisme $B\{G\} → \End_A(B)$, $∑ b_g g ↦ \big(b ↦ ∑ b_g g(b)\big)$
+est un isomorphisme.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+\end{démo}
+
+\begin{lemme2}
+Soient $B\bo A$ une $G$-algèbre galoisienne et $\Tr_{B \bo A}$ la \emph{trace} $b ↦ ∑_g g(b)$, $B → A$.
+Le morphisme $A$-linéaire $B → B^{\vee}=\Hom_A(B,A)$, $b ↦ \Tr_{B\bo
+A}(b ⋅)$, est un isomorphisme.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+\end{démo}
+
+\begin{lemme2}
+Soient $B\bo A$ une $G$-algèbre galoisienne et $M$ un $A$-module.
+Le morphisme $A$-linéaire $\Hom_A(B,A)⊗_A M → \Hom(B,M)$,
+$f ⊗ m ↦ \big( b ↦ f(b)m\big)$ est un isomorphisme.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}
+La condition (\textrm{\textbf{ii}}) est équivalente
+à la condition (\textrm{\textbf{ii}}′) suivante :
+il existe des éléments $(b_h)_{h ∈ G}$ et $(b ′_h)_{h ∈ G}$ dans $B$ tels
+que, pour tout $g ∈ G$,
+\[
+∑_h b_h g(b ′_h)=δ^1_g,
+\]
+où $δ$ est la fonction delta de Kronecker.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+L'implication (iii) ⇒ (iii′) est triviale : il suffit
+d'écrire $d^{-1}\big((δ_g^1)\big)$ sous la forme $∑_h b_h ⊗ b ′_h$.
+
+Pour montrer l'implication opposée, on utilise les trois
+lemmes précédents. \XXX
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}
+Notion stable par changement de base.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{proposition2}\label{algèbre galoisienne est projective}
+$B$ est projectif sur $A$.
+Pour tout $𝔪 ∈ \Specmax(A)$, $B/𝔪$ est de rang
+fini $♯G$ sur le corps $A/𝔪$. Plus généralement,
+$A → K$ est un morphisme de but un corps,
+la $K$-algèbre $B_K=B ⊗_A K$ est de dimension $♯G$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+En effet, $(B ⊗_A B)⊗_A K$ est d'une part (canoniquement) isomorphe à $B_K ⊗_K B_K$
+et, par hypothèse, isomorphe à $B_K^{(G)}$ ; on a donc $\dim_K(B_K)²=\dim(B_K
+⊗_K B_K)=\dim_K(B_K)⋅\#G$.
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}\label{Gal-G est un groupoide}
+Tout morphisme $G$-équivariant entre deux $A$-algèbres
+galoisiennes de groupe $G$ est un isomorphisme.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+\end{démo}
+
+\subsection{Interprétation géométrique}
+
+Nous allons maintenant énoncer un corollaire important du théorème
+de la base normale.
+
+\subsubsection{}\label{notations base normale géométrique}
+Soient $G$ un groupe fini et $k$ un corps.
+On note
+\[
+EG=k[x_g:g∈G][\det\big( (x_{g ′g})_{(g
+′,g)∈G²}\big)^{-1}]
+\]
+et
+\[BG=\Fix_G(EG),\]
+où $g∈G$ agit $k$-linéairement sur $EG$ par $g\cdot
+x_{h}=x_{gh}$.
+
+\begin{proposition2}\label{EG sur BG est galoisien}
+L'algèbre $EG$ est galoisienne de groupe $G$ sur $BG$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Nous allons montrer le résultat plus fort :
+le $BG$-module $EG$ est \emph{libre} de rang $♯G$.
+Commençons par observer qu'il existe des éléments
+$(y_g)_{g ∈ G}$ de $EG$ tels que, pour chaque $g ′ ∈ G$,
+on ait :
+\[
+∑_g y_g ⋅ g ′(x_g)=δ_{g ′,1}.
+\]
+Cela résulte de l'hypothèse d'invertibilité du déterminant.
+Soient $s:EG → \Hom_{\Ens}(G,BG)$ et $π:\Hom_{\Ens}(G,BG) → EG$
+les applications $BG$-linéaires suivantes :
+\[
+e \dessusdessous{s}{↦} \big(g ↦ ∑_h h(e x_g)\big)
+\]
+et
+\[
+\mathbf{b}=(b_g)_g \dessusdessous{π}{↦} ∑_g b_g y_g.
+\]
+Compte tenu de l'hypothèse faite sur les éléments $y_g$ ($g ∈ G$),
+on a $π ∘ s=\Id_{EG}$.
+Ainsi, on a une décomposition en somme directe $BG^{G}=EG ⊕ \Ker(π)$,
+où l'on note $BG^{G}$ le module libre $\Hom_{\Ens}(G,BG)$.
+Montrons que $\Ker(π)=0$. Le module $BG^{G}$ étant libre
+et l'anneau $BG$ étant intègre, il suffit de vérifier
+que le produit tensoriel $\Ker(π) ⊗_{BG} \Frac(BG)$ est nul.
+Or, $EG ⊗_{BG} \Frac(BG)$ est naturellement isomorphe au
+corps $\Frac(EG)$, galoisien sur $BG$ de groupe $G$
+(lemme d'Artin). Il en résulte que le rang de $\Ker(π)$ est nul.
+CQFD.
+\end{démo}
+
+Avec ces notations, on a le théorème suivant.
+
+\begin{théorème2}\label{base normale géométrique}
+Pour toute extension finie galoisienne $L\bo K$ de groupe $G$,
+où $K$ est une extension de $k$, il existe un morphisme de $k$-algèbres $BG→K$ tel que
+la $K$-algèbre $L$ soit isomorphe à $EG⊗_{BG} K$.
+En d'autres termes, le morphisme $BG→EG$ est \emph{versel} pour
+les extensions de groupe $G$.
+\end{théorème2}
+
+Rappelons que l'ensemble des $k$-morphismes de $BG$ vers une $k$-algèbre
+$T$ est noté $BG^\japmath{田}(T)$. Le théorème précédent
+affirme donc que toute extension galoisienne de $K$ de groupe
+$G$ correspond à (au moins) un élément de l'ensemble $BG^\japmath{田}(K)$
+des \emph{$K$-points de $BG$}. Le choix des notations
+provient de la topologie, où l'on note souvent $BG$
+les espaces dit « classifiants » et $EG$ le « torseur universel »
+au-dessus.
+
+\subsubsection{Démonstration}
+D'après le théorème de la base normale \ref{theoreme base normale},
+il existe un élément $x$ de $L$ tel que les $g(x)$, pour $g$ parcourant $G$,
+forment une base de $L$ sur $K$.
+D'après \ref{caracterisation base normale},
+le morphisme
+\[K[x_g:g∈G] → L\]
+\[x_g ↦ g(x)\]
+ envoie
+de polynôme $\det\big( (x_{g ′g})\big)$ sur un élément non nul.
+Le morphisme composé $k[x_g:g∈G] ↪ K[x_g:g∈G] → L$ s'étend
+donc, de façon unique, en un $k$-morphisme $EG → L$.
+Par construction, ce morphisme est $G$-équivariant ;
+il s'insère donc dans un diagramme commutatif
+\[
+\xymatrix{
+L & EG \ar[l] \\
+K \ar[u] & BG \ar[u] \ar[l]
+}
+\]
+On utilise ici le fait que $\Fix_G(L)=K$.
+Par propriété universelle du produit tensoriel d'algèbres,
+le morphisme $EG → L$ se factorise en
+$EG → EG ⊗_{BG} K \dashrightarrow L$, où \mbox{$EG → EG ⊗_{BG} K$} est le morphisme
+canonique. Il résulte de \ref{EG sur BG est galoisien} et
+\ref{Gal-G est un groupoide} que le morphisme $G$-équivariant $EG ⊗_{BG} K → L$
+est un isomorphisme.
+
+\subsection{Digression sur les algèbres de groupes}
+
+\subsubsection{Convolution et coproduit}
+
+Soient $G$ un groupe abélien et $k$ un anneau. Le foncteur $k\traitdunion\Alg→\Ens$,
+associant à une $k$-algèbre $A$ l'ensemble $\Hom_{\Ens}(G,A)=A^{(G)}$ est
+représentable par la $k$-algèbre $CG=k[x_g:g∈G]$. En effet, l'application
+\[CG^\japmath{田}(A)=\{φ \colon k[x_g:g∈G]→A\}→\Hom_{\Ens}(G,A),\]
+envoyant un morphisme $φ $ sur la fonction $f_φ: g↦φ(x_g)$ est une bijection fonctorielle en $A$.
+
+Pour chaque $A$, les ensembles $\Hom_{\Ens}(G,A)$
+peuvent être naturellement munis d'une structure de $k$-algèbre,
+donnée par le \emph{produit de convolution} :
+\[(f⋆f')(h)=∑_{gg'=h}f(g)f'(g').\] Cette $k$-algèbre n'est autre que
+l'algèbre de groupe $A[G]$. Le produit $A[G]×A[G]→A[G]$, pour $A$
+variable, correspond donc à un morphisme de foncteurs
+\[CG^\japmath{田}×CG^\japmath{田}→CG^\japmath{田}.\] Par
+définition du produit tensoriel, le foncteur « produit cartésien »
+$CG^\japmath{田}×CG^\japmath{田}$ envoyant
+$A$ sur $CG^\japmath{田}(A)×CG^\japmath{田}(A)$ est représentable
+par le produit tensoriel $CG ⊗_k CG$.
+D'après le lemme de Yoneda, le morphisme de foncteurs
+$CG^\japmath{田}×CG^\japmath{田}→CG^\japmath{田}$,
+déduit du produit de convolution, correspond à un morphisme de $k$-algèbres
+dans l'autre sens :
+\[
+CG→CG⊗_k CG.
+\]
+On l'appelle souvent « coproduit » car il est associé à un produit
+en « retournant les flèches ».
+
+Supposons dorénavant $G$ \emph{fini}.
+
+\begin{lemme2}
+Le coproduit $CG→CG⊗_k CG$ est le morphisme
+envoyant chaque $x_h∈CG$ ($h ∈ G$) sur la somme
+$∑_{gg'=h}x_g⊗x_{g'}∈CG⊗_k CG$.
+\end{lemme2}
+
+En particulier, on constate que la référence ci-dessus au lemme de Yoneda
+n'est qu'une commodité de langage ; quoique fort commode, on aurait pu
+s'abstenir d'utiliser le langage des catégories.
+
+\begin{démo}
+Soit $A$ une $k$-algèbre. Il suffit de
+démontrer que si $φ : CG ⊗_k CG → A$ correspond
+par la bijection canonique à une paire $(f_φ:CG → A,f ′_φ :CG → A)$,
+on a $φ(x_g ⊗ x_{g ′})=f_φ(x_g)f ′_φ(x_{g ′})$.
+Il en est bien ainsi ; cf. \refext{Tens}{}.
+\end{démo}
+
+\begin{lemme2}\label{unités algèbre de groupe et EG}
+Le foncteur $A ↦ A[G]^× $ des unités pour le produit
+de convolution est représentable
+par la $CG$-algèbre $EG=k[x_g:g∈G][\det(x_{gg'})^{-1}]$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+En effet, une fonction $f:G → A$ est inversible pour le produit
+de convolution si et seulement si la matrice carrée $\big(f(g g ′ )\big)$
+à coefficients dans $A$ est inversible.
+\end{démo}
+
+Notons que l'action naturelle de $G$ sur $CG$
+par translation à gauche — en symboles : $g ⋅ x_h =x_{gh}$ —
+correspond à l'action non moins naturelle
+de $G$ sur les fonctions de source $G$ par translation
+à gauche, $g ⋅ f : h ↦ f(gh)$.
+
+\begin{exemple2}
+$G=\{e\}$. Les algèbres $CG$ et $EG$ sont
+alors respectivement $k[X]$ et $k[X,X^{-1}]$.
+Il est d'usage de noter $\Ga$ (resp. $\Gm$) le foncteur représenté
+par $k[X]$ (resp. $k[X,X^{-1}]$) : $\Ga(A)=A$ (resp. $\Gm(A)=A^×$).
+Le morphisme (de foncteurs) $[n]:\Gm → \Gm$ d'élévation à la puissance $n$
+correspond au morphisme (d'algèbres) $X ↦ X^n$. (La vérification
+de ce fait est immédiate.)
+\end{exemple2}
+
+\subsection{Théorie de Kummer et d'Artin-Schreier (I)}\label{KAS I}
+
+\subsubsection{}Dans tout ce paragraphe, inspiré de \cite{GACC@Serre}, chap. 6, №8,
+on fixe un corps $k$. (Le cas d'un anneau commutatif général
+est laissé en exercice au lecteur.)
+Nous allons utiliser les résultats et constructions
+des deux paragraphes précédents dans le cas particulier
+des groupes cycliques. Considérons à titre d'exemple la $k$-algèbre $E 𝐙/3$.
+Elle est isomorphe à \[k[x,y,z][(x³+y³+z³-3xyz)^{-1}]\]
+où l'action $𝐙/3$ se fait via la permutation circulaire
+$(x,y,z)$ des variables. Considérons maintenant un entier $n ≥ 1$ quelconque
+et $A$ une $k$-algèbre. L'algèbre de groupe $A[𝐙/n]$,
+munie du produit de convolution, est naturellement
+isomorphe au quotient $A[T]/(T^n -1)$, l'action de
+$\sur{1} ∈ 𝐙/n$ correspondant à la multiplication par $T$
+dans le quotient. Cette simple observation va nous permettre
+de mieux comprendre la structure des $E𝐙/n$, ainsi que les
+morphismes $B 𝐙/n → E 𝐙/n$, en faisant une hypothèse sur $k$ et $n$.
+
+Notons $p ≥ 1$ l'exposant caractéristique du corps $k$.
+
+\subsubsection{Théorie de Kummer : $\# μ_n(k)=n$.}\label{Kummer via groupes algébriques}
+(Notons que notre hypothèse force $n$ et $p$ à être premiers entre eux.)
+Le polynôme $T^n-1$ étant par hypothèse scindé sur toute $k$-algèbre $A$,
+l'algèbre $A[T]/(T^n-1)$ est canoniquement isomorphe à l'algèbre
+\emph{diagonale} $A^{μ}$, où l'on note pour simplifier $μ=\{ ζ ∈ k: ζ^n=1\}$.
+L'isomorphisme (dit canonique) envoyant (la classe de) $T$
+sur la famille $(ζ)_{ζ ∈ μ} ∈ A^μ$.
+Passant aux unités, il en résulte
+que l'algèbre $E 𝐙/n$, que nous noterons dorénavant $E_n$ dans
+ce paragraphe, représente le foncteur
+$\Gm^μ:A ↦ (A^×)^ μ$. D'après le lemme de Yoneda et l'exemple ci-dessus
+on en déduit que $E_n$ est canoniquement isomorphe au produit
+tensoriel $k[T,T^{-1}]^{⊗ μ}$ (produit tensoriel indicé par l'ensemble
+à $n$ éléments $μ$), lui-même isomorphe à l'algèbre
+$k[T_ζ^{±1}: ζ ∈ μ]$. Soit $ζ ∈ μ$ une racine primitive. La projection
+$\pr_ζ:\Gm^μ→\Gm$ induit, via l'isomorphisme
+$E_n^\japmath{田} ≃ \Gm^ μ$, un morphisme de foncteurs
+$E_n ^\japmath{田}→\Gm$ ; il est $𝐙/n$-équivariant
+si l'on fait agir $\sur{i} ∈ 𝐙/n$ sur $\Gm$ par multiplication
+par la puissance $ζ^{\sur{i}}$ de $ζ$. Le morphisme composé
+de foncteurs $E _n ^\japmath{田}→\Gm \dessusdessous{[n]}{→} \Gm=k[X,X^{-1}]^\japmath{田}$
+étant $𝐙/n$-équivariant, où le second $\Gm$ est muni
+de l'action triviale, il se factorise
+à travers le morphisme de foncteurs $E_n ^\japmath{田}→ B_n
+^\japmath{田}$, où l'on écrit $B_n$ pour $B(𝐙/n)$.
+Détaillons pourquoi. Le morphisme d'algèbres composé $k[X,X^{-1}] → k[X,X^{-1}] → E_n$
+correspondant est $𝐙/n$-équivariant où l'action est triviale à la source : son
+image est donc contenue dans l'algèbre des points fixes
+$\Fix_{𝐙/n}(E_n)=B_n$.
+(En d'autres termes, « points fixes » et « quotient »
+se correspondent par Yoneda.)
+Si $L \bo K$ est une extension galoisienne de groupe $𝐙/n$,
+où $K$ est une extension de $k$, le diagramme de la démonstration du théorème
+\ref{base normale géométrique} se complète
+donc en un diagramme commutatif de $k$-algèbres
+\[
+\xymatrix{
+L & E _n \ar[l] & k[X,X^{-1}] \ar[l] \\
+K \ar[u] & B _n \ar[u] \ar[l] & k[X,X^{-1}] \ar[l] \ar[u]^{X ↦ X^n}
+}
+\]
+
+L'extension $k[X^{±1}] → k[X^{±1}]$, $X ↦ X^n$
+est galoisienne de groupe $𝐙/n$. \XXX
+Il résulte donc de \ref{Gal-G est un groupoide}
+que le morphisme $k[X,X^{-1}] ⊗_{k[X,X^{-1}], X ↦ X^n} K → L$
+déduit du diagramme commutatif précédent
+est un \emph{isomorphisme}.
+En d'autres termes :
+\begin{quote}\emph{toute extension galoisienne de $L\bo K$ de groupe $𝐙/n$ est obtenue
+par extraction d'une racine $n$-ième d'un élément de $K^×$, dès lors que $K$
+contient exactement $n$ racines $n$-ièmes de l'unité.}
+\end{quote}
+(L'élément dont on extrait la racine n'est autre que l'image
+de $X$ dans $k$ par le composé $k[X,X^{-1}] → B _n → K$.)
+Ce fait est l'un des principaux résultats de la \emph{la théorie de Kummer}
+qui sera étudiée en détail, et par d'autres techniques,
+au chapitre [KAS].
+% ☡ les diagrammes sont cocartésiens en fait.
+% exercice : isom entre E 𝐙/3 et k[X,X^{-1}...] ?
+
+\subsubsection{Théorie d'Artin-Schreier : cas où $n=p$}\label{AS via groupes algébriques}
+
+Sous cette hypothèse, on a égalité $T^p-1=(T-1)^p$
+dans chaque $k$-algèbre $A$ de sorte que l'algèbre $A[T]/(T^p-1)$
+est canoniquement isomorphe à l'algèbre $A[X]/(X^p)$.
+L'isomorphisme (dit canonique) envoyant (la classe de) $T-1$ sur (la classe de) $X$.
+Sans élucider la structure des unités $A[X]/(X^p)$ (cf. \ref{structure
+unités Ap-1} \emph{infra}), faisons malgré tout
+les observations suivantes.
+Tout d'abord, les morphismes de groupes (multiplicatif et additif
+respectivement)
+\[
+a₀+a₁X+\cdots+a_{p-1}X^{p-1} \mod X^p ∈ (A[X]/(X^p))^×↦ \frac{a₁}{a₀} ∈ A
+\]
+sont $𝐙/p$-équivariants, où $𝐙/p$ agit par multiplication
+par $1+X$ sur $(A[X]/(X^p))^×$ et par translation par $1$ sur $A$.
+Ils définissent un morphisme de foncteurs
+$E_{[1]}^{\japmath{田}}→\Ga=k[Y]^{\japmath{田}}$,
+où l'on écrit $E_{[1]}$ pour $E(𝐙/p¹)$.
+Enfin, l'action de $𝐙/p$ sur $\Ga$ étant tuée par
+le morphisme de Weierstraß $ ℘:Y ↦ Y^p-Y$,
+le morphisme composé $E_{[1]}^{\japmath{田}}→\Ga
+\dessusdessous{℘}{→} \Ga$ se factorise à travers un morphisme
+$B_{[1]}^{\japmath{田}} → \Ga$, où l'on écrit $B_{[1]}$ pour $B(𝐙/p)$.
+En retournant les flèches, on obtient comme ci-dessus — par le lemme de Yoneda —
+un morphisme de $k$-algèbres $k[Y] → B _{[1]}$.
+
+L'extension $k[X] → k[X]$ déduite de $℘$ est galoisienne de groupe
+$𝐙/p$. \XXX Comme dans le cas précédent, ce fait, joint
+au théorème \ref{base normale géométrique} entraîne :
+
+\begin{quote}\emph{toute extension galoisienne $L\bo K$ de groupe $𝐙/p$
+entre corps de caractéristique $p>0$ est obtenue par extraction d'une racine $℘$-ième d'un élément de $K$.}
+\end{quote}
+(L'élément dont on extrait la racine n'est autre que l'image
+de $Y$ dans $K$ par le composé $k[Y] → B _{[1]} → K$.)
+Ce fait est l'un des principaux résultats de la \emph{la théorie
+d'Artin-Schreier} qui sera étudiée en détail, et par d'autres techniques,
+au chapitre [KAS].
+
+\begin{remarque2}
+Insistons sur le fait que l'on ne prétend pas que
+les démonstrations ci-dessus des théorèmes de Kummer et Artin-Schreier,
+résultats somme toute relativement élémentaires, soient les plus courtes ni
+les plus simples possibles ; elles ouvrent cependant la voie
+à des développements intéressants (cf. p. ex. le livre de J.-P. Serre
+cité plus haut). Le lecteur trouvera dans le chapitre [KAS]
+d'autres démonstrations, plus courtes et élémentaires, ainsi
+que divers compléments.
+\end{remarque2}
+
+\begin{remarque2}\label{structure unités Ap-1}
+Il résulte de \refext{KASW}{structure Un sur Fp} que
+le groupe $(A[X]/X^p)^×$ est isomorphe à $A^× × A^{p-1}$.
+Ce résultat est bien plus élémentaire que ceux d'\emph{op. cit.}
+On pourra par exemple le démontrer en utilisant l'exponentielle
+\emph{tronquée} : $X ↦ 1+X+X²/2!+\cdots + X^{p-1}/(p-1)!$.
+\end{remarque2}
+
+\begin{remarques2}
+Ce théorème se généralise d'ailleurs au cas des $𝐙/p^n$
+représentations en utilisant les vecteurs de Witt (cf. \refext{KASW}{ASW}).
+\end{remarques2}
+
+Questions \XXX :
+
+En rang un, le théorème \refext{CG}{Fp representations continues et phi modules}
+permet de retrouver la théorie de Kummer : correspondance
+entre les $G_k→𝐙/(p-1)$ et les $x∈k^×/{k^×}^{p-1}$. (Observer
+que $\# μ_{p-1}(k)=p-1$.)
+
+Puisque $(𝐙/p²)^×=𝐙/p×𝐙/(p-1)$ (si $p>2$), retrouve-t-on Artin-Schreier également ?
+
+\subsection{Exercices}
+
+\begin{exercice2}\label{fonction-polynome-non-nulle}
+Soient $k$ un corps, $n≥1$ un entier et $P∈k[X₁,X₂,…,X_n]$ un polynôme
+\emph{non nul}. Montrer que si le cardinal de $k$ est strictement supérieur
+au degré total de $P$, il existe un élément $y∈k^n$ tel que $P(y)≠0$.
+\end{exercice2}
+
+\begin{exercice2}\label{indépendance algébrique Gal}
+Indépendance algébrique des éléments de $\Gal$. \XXX
+\end{exercice2}
+
+\begin{exercice2}\label{extension verselle via Noether}
+Soient $k$ un corps infini et $G$ un groupe fini de cardinal $n$.
+Supposons que le corps $\Fix(G|k(x_g:g ∈ G))$ soit $k$-isomorphe
+à $k(y_g:g ∈ G)$.
+\begin{itemize}
+\item Montrer qu'il existe morphisme $G$-galoisien
+$A=k[y_g:g ∈ G][α^{-1}] → B ⊆ k[x_g:g ∈ G][β^{-1}]$
+où $α$ et $β$ sont non nuls et $B$ est muni de l'action
+naturelle de $G$.
+(On pourra vérifier le critère (iii)′ de l'exercice précédent.)
+\item Soit $L\bo K$ une extension galoisienne de groupe $G$
+entre sur-corps de $k$. Montrer qu'il existe un élément
+$l ∈ L$ tel que $β((g(l))_g) ∈ L^×$. (On pourra utiliser l'exercice \ref{indépendance algébrique Gal}.)
+\item Construire un morphisme $A → K$ correspondant à $L \bo K$.
+\end{itemize}
+% cf. « Generic … », p. 98 (du livre)
+\end{exercice2}
+
+\begin{exercice2}
+Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$.
+\begin{enumerate}
+\item Étudier le foncteur $A ↦ (A[X]/(X^p))^×$.
+\item Étudier le foncteur $A ↦ (A[X]/(X^{p²}))^×$.
+% Vecteurs de Witt tronqués ?
+\end{enumerate}
+\end{exercice2}
+
+
+\section{Références}
+
+La démonstration du théorème de Witt est due à Jean Lannes.
+La démonstration de l'existence d'une équation verselle
+est largement inspirée de \cite{Topics@Serre}, §4.3.
+
+\ifx\danslelivre\undefined
+\bibliography{bibliographie-livre}
+\bibliographystyle{style-bib-livre}
+\end{document}
+\fi