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index 298787a..f4ccca0 100644
--- a/chapitres/verselles.tex
+++ b/chapitres/verselles.tex
@@ -1,26 +1,9 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
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-
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-
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-\usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant
-%\usepackage{pxfonts}
-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
+\title{Équations verselles et petits degrés}
\externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder
\externaldocument{categories}
\externaldocument{entiers}
@@ -30,18 +13,8 @@
\externaldocument{formes-tordues}
\externaldocument{cohomologie-groupes}
\externaldocument{KASW}
-
-%\makeindex
-
-\setcounter{tocdepth}{1}
-
-\textwidth16cm
-\hoffset-1.5cm
-
\begin{document}
-\begin{center}
-Équations verselles et petits degrés
-\end{center}
+\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Équations verselles et petits degrés}
@@ -57,7 +30,7 @@ contient strictement $k$ et est inclus dans $K$. Ainsi, la
$k$-extension $K$ est isomorphe au quotient $k_f=k[X]/f$ où $f=X²-aX+b$ est un
polynôme irréductible de degré deux. Par irréductibilité, le coefficient $b$ est
nécessairement non nul. L'extension $K$ est séparable
-\ssi le polynôme $f$ est séparable
+si et seulement si le polynôme $f$ est séparable
(\refext{Alg}{dec(f)-sep=>f-red-separable}),
ce qui est le cas sauf si $\car(k)=2$ et $a=0$
(cf. \refext{Alg}{separable-irreductible}).
@@ -84,7 +57,7 @@ d'\emph{Artin-Schreier}\index{Artin-Schreier}, cf. \refext{KAS}{}.)
En résumé, nous avons établi la proposition suivante.
-\begin{proposition}\label{equation verselle C2}
+\begin{proposition2}\label{equation verselle C2}
\begin{enumerate}
\item Soit $k$ un corps. Toute extension séparable de degré
deux est galoisienne
@@ -94,14 +67,14 @@ $X²-σX+1$ où $σ∈k$, de discriminant $σ²-4$ et de distinguant
$(σ²-4)^{-1}$.
\item Si $k$ est de caractéristique différente de deux,
l'équation précédente se transforme en $X²-π$,
-de discriminant $4π$. Un tel polynôme est irréductible \ssi
+de discriminant $4π$. Un tel polynôme est irréductible si et seulement si
$π∉k²$.
\item Si $k$ est de caractéristique deux, l'équation
précédente
se transforme en $X²-X-a$, de $2$-distinguant $a$.
-Un tel polynôme est irréductible \ssi $a∉℘k$.
+Un tel polynôme est irréductible si et seulement si $a∉℘k$.
\end{enumerate}
-\end{proposition}
+\end{proposition2}
%idéalement, remplacer $℘$ par un $2$ sous une forme
%spéciale.
@@ -110,7 +83,7 @@ Les énoncés sur l'irréductibilité sont évidents et résultent
d'ailleurs de \refext{CG}{caracterisation groupe Gal
alterne}.
-\begin{remarque}
+\begin{remarque2}
La proposition ci-dessus ne donne pas une description
parfaite des extensions galoisiennes de degré deux : la
famille
@@ -121,13 +94,13 @@ les extensions $k_σ\bo k$ et $k_σ'\bo k$ peuvent
$σ²<4$ et $𝐑_σ≃𝐑²$ dans le cas contraire.)
L'équation ci-dessus est donc une équation « verselle »
et non universelle.
-\end{remarque}
+\end{remarque2}
\section{Extensions de groupe $C₃=𝐙/3$}
Nous nous proposons d'exhiber une équation verselle (à un
paramètre)
-pour le groupe $C₃$, \cad une équation (à un paramètre)
+pour le groupe $C₃$, c'est-à-dire une équation (à un paramètre)
décrivant,
de façon non nécessairement unique, les extensions
galoisienne de groupe $C₃$ d'un corps $k$.
@@ -221,14 +194,14 @@ racine
d'un polynôme du type attendu (où $a=\frac{y³-3y+1}{y²-y}$).
Il faut vérifier que, pour un choix convenable de $x$, $y_x$
engendre $K$ sur
-$k$, \cad n'appartient pas à $k$. La condition $y∈k$ se
+$k$, c'est-à-dire n'appartient pas à $k$. La condition $y∈k$ se
réécrit $σ(y)=y$
ou encore $y(1-y)=1$, équation ayant au plus deux solutions
dans $K$.
Or, si $1,α,β$ est une $k$-base de $K$, les quantités
$y_α,y_β$ et $y_{α+β}$
sont deux à deux distinctes.
-En effet, si par exemple $y_α=y_β=λ∈k$, \cad
+En effet, si par exemple $y_α=y_β=λ∈k$, c'est-à-dire
\[
\frac{α-σ²(α)}{α-σ(α)}=λ=\frac{β-σ²(β)}{β-σ(β)},
\]
@@ -326,18 +299,18 @@ En résumé, on a démontré la proposition suivante :
Soient $k$ un corps et $f=X³+aX+b$ un polynôme irréductible
séparable sur $k$.
Le groupe de Galois du polynôme $f$ est cyclique d'ordre
-trois \ssi
+trois si et seulement si
le polynôme $Y²+3bY+(a³+9b²)$ est scindé sur $k$.
\end{proposition2}
\begin{remarque2}\label{ce n'est pas une coincidence}
Il résulte des formules \refext{CG}{} que
\[
-\japmath{別}(Y²+3bY+(a³+9b²))=-\frac{a³+\mathbf{9}b²}{4a³+27b²}
+別(Y²+3bY+(a³+9b²))=-\frac{a³+\mathbf{9}b²}{4a³+27b²}
\]
et
\[
-\japmath{別}(X³+aX+b)=-\frac{a³+\mathbf{7}b²}{4a³+27b²}.
+別(X³+aX+b)=-\frac{a³+\mathbf{7}b²}{4a³+27b²}.
\]
La somme des deux racines du polynôme quadratique est $3b$,
où $b≠0$
@@ -380,12 +353,12 @@ $k₄=k₂(\sqrt{a+b\sqrt{ε}})$.
\begin{enumerate}
\item L'extension $k₄\bo k$ est galoisienne de groupe
cyclique
-d'ordre quatre \ssi $\N_{k_2\bo k}(a+b\sqrt{ε})=a²-εb²$ est
+d'ordre quatre si et seulement si $\N_{k_2\bo k}(a+b\sqrt{ε})=a²-εb²$ est
de la forme $εc²$ pour
un $c∈k^×$.
\item Une extension quadratique $k(\sqrt{ε})$ se plonge
dans une extension galoisienne de groupe cyclique d'ordre
-quatre \ssi $ε$ est une somme
+quatre si et seulement si $ε$ est une somme
de deux carrés dans $k$.
\end{enumerate}
\end{théorème2}
@@ -520,7 +493,7 @@ carrées (usuelles) par des racines $\root℘\of{}$.
\begin{exercice2}
Déduire du théorème précédent qu'un
polynôme $X⁴+AX²+B$ est de groupe de Galois isomorphe
-à $C₄$ \ssi $A²-4B∉k²$ et $\frac{A²-4B}{B}∈{k^×}²$.
+à $C₄$ si et seulement si $A²-4B∉k²$ et $\frac{A²-4B}{B}∈{k^×}²$.
\end{exercice2}
\begin{exercice2}
@@ -535,7 +508,7 @@ de $X$ sur $𝐐(T)$ est
X⁴-TX³+6X²+TX+1=0
\]
\item Montrer que l'équation ci-dessus est verselle
-\ssi $-1$ est un carré dans $k$.
+si et seulement si $-1$ est un carré dans $k$.
\end{enumerate}
\end{exercice2}
@@ -556,7 +529,7 @@ on associe le corps $k₄=k₂(\sqrt[℘]{a+b\sqrt[℘]{ε}})$.
\begin{enumerate}
\item L'extension $k₄\bo k$ est galoisienne de groupe
cyclique
-d'ordre quatre \ssi $\Tr_{k_2\bo k}(a+b\sqrt[℘]{ε})=b$ est
+d'ordre quatre si et seulement si $\Tr_{k_2\bo k}(a+b\sqrt[℘]{ε})=b$ est
de la forme
$ε+℘(c)$ pour un $c∈k$.
\item Une extension quadratique $k(\sqrt[℘]{ε})$ se plonge
@@ -639,7 +612,7 @@ $W_{r+1}(k)/℘W_{r+1}(k)↠W_{r}(k)/℘W_{r}(k)$
Déduire du théorème précédent
qu'un polynôme $X⁴+aX²+bX+c$ est de groupe de Galois
isomorphe
-à $C₄$ \ssi $...$ et $...$. \XXX
+à $C₄$ si et seulement si $...$ et $...$. \XXX
\end{exercice2}
\section{¶ Extensions de groupe quaternionique}
@@ -1186,7 +1159,7 @@ $\Hom_k(k[𝐇_k],A)$ est naturellement isomorphe
à l'ensemble $𝐇(A)$ est quaternions à coefficients
dans $k$. (En d'autres termes, l'algèbre
$k[𝐇_k]$ \emph{représente} (cf. \refext{Categ}{}) le \emph{foncteur}
-$𝐇:A ↦ 𝐇(A)$ : $𝐇=k[𝐇_k]^{\japmath{田}}$.)
+$𝐇:A ↦ 𝐇(A)$ : $𝐇=k[𝐇_k]^{田}$.)
De même $\Hom_k(k[𝐇_k][\frac{1}{x₁²+x²_\i+x²_\j+x²_\k}],A) ⥲ 𝐇^×(A)$.
Remarquons que les anneaux $k[𝐇^×]:=k[𝐇_k][\frac{1}{x₁²+x²_\i+x²_\j+x²_\k}]$
et $k[𝐇_k]$ ont même corps des fractions de sorte qu'il suffit
@@ -1366,7 +1339,7 @@ Signalons la caractérisation suivante des bases normales.
\begin{proposition2}\label{caracterisation base normale}
Soient $K\bo k$ une extension finie galoisienne de groupe $G$
et $x∈K$. Les éléments $g(x)$, où $g$ parcourt $G$,
-forment une base de $K$ sur $k$ \ssi le déterminant
+forment une base de $K$ sur $k$ si et seulement si le déterminant
$\det\big(g′g(x)\big)_{(g ′,g)∈G²}$ est non nul.
\end{proposition2}
@@ -1419,7 +1392,7 @@ g^{-1}(λ)μ \,e_{g})$ (produit dans $K[G]$). Ce produit est $y=∑_g g^{-1}(λ)
\begin{proposition2}\label{pleine-fidelite-cb}
Soient $k$ un corps, $K\bo k$ une extension, $A$ une $k$-algèbre non nécessairement commutative
et $A_K$ le produit tensoriel $A⊗_k K$. Deux $A$-modules à gauche $M₁$ et $M₂$
-\emph{de dimension finie sur $k$} sont $A$-isomorphes \ssi $M₁⊗_k K$ et $M₂⊗_k
+\emph{de dimension finie sur $k$} sont $A$-isomorphes si et seulement si $M₁⊗_k K$ et $M₂⊗_k
K$ sont $A_K$-isomorphes.
\end{proposition2}
@@ -1432,7 +1405,7 @@ Ceci est suffisant pour démontrer le théorème de la base normale car tout gro
d'une extension finie de corps finis est cyclique.
\begin{démo}
-Soient $M₁$ et $M₂$ comme dans l'énoncé, supposés isomorphes sur $K$ \cad tels
+Soient $M₁$ et $M₂$ comme dans l'énoncé, supposés isomorphes sur $K$ c'est-à-dire tels
qu'il existe un $A_K$-isomorphisme ${M₁}_K≃{M₂}_K$.
Nécessairement $\dim_k(M₁)=\dim_k(M₂)$ car $\dim_k(M_i)=\dim_K({M_i}_K)$ pour
chaque $i∈\{1,2\}$. Soit $V=\Hom_A(M₁,M₂)$ ; c'est un sous-$k$-espace vectoriel de
@@ -1547,9 +1520,9 @@ les extensions de groupe $G$.
\end{théorème2}
Rappelons que l'ensemble des $k$-morphismes de $BG$ vers une $k$-algèbre
-$T$ est noté $BG^\japmath{田}(T)$. Le théorème précédent
+$T$ est noté $BG^田(T)$. Le théorème précédent
affirme donc que toute extension galoisienne de $K$ de groupe
-$G$ correspond à (au moins) un élément de l'ensemble $BG^\japmath{田}(K)$
+$G$ correspond à (au moins) un élément de l'ensemble $BG^田(K)$
des \emph{$K$-points de $BG$}. Le choix des notations
provient de la topologie, où l'on note souvent $BG$
les espaces dit « classifiants » et $EG$ le « $G$-torseur universel »
@@ -1569,12 +1542,15 @@ Le morphisme composé $k[x_g:g∈G] ↪ K[x_g:g∈G] → L$ s'étend
donc, de façon unique, en un $k$-morphisme $EG → L$.
Par construction, ce morphisme est $G$-équivariant ;
il s'insère donc dans un diagramme commutatif
-\[
-\xymatrix{
-L & EG \ar[l] \\
-K \ar[u] & BG \ar[u] \ar[l]
-}
-\]
+
+\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
+%\[
+%\xymatrix{
+%L & EG \ar[l] \\
+%K \ar[u] & BG \ar[u] \ar[l]
+%}
+%\]
+
On utilise ici le fait que $\Fix_G(L)=K$.
Par propriété universelle du produit tensoriel d'algèbres,
le morphisme $EG → L$ se factorise en
@@ -1593,7 +1569,7 @@ est un isomorphisme.
Soient $G$ un groupe abélien et $k$ un anneau. Le foncteur $k\traitdunion\Alg→\Ens$,
associant à une $k$-algèbre $A$ l'ensemble $\Hom_{\Ens}(G,A)=A^{(G)}$ est
représentable par la $k$-algèbre $CG=k[x_g:g∈G]$. En effet, l'application
-\[CG^\japmath{田}(A)=\{φ \colon k[x_g:g∈G]→A\}→\Hom_{\Ens}(G,A),\]
+\[CG^田(A)=\{φ \colon k[x_g:g∈G]→A\}→\Hom_{\Ens}(G,A),\]
envoyant un morphisme $φ $ sur la fonction $f_φ: g↦φ(x_g)$ est une bijection fonctorielle en $A$.
Pour chaque $A$, les ensembles $\Hom_{\Ens}(G,A)$
@@ -1602,13 +1578,13 @@ donnée par le \emph{produit de convolution} :
\[(f⋆f')(h)=∑_{gg'=h}f(g)f'(g').\] Cette $k$-algèbre n'est autre que
l'algèbre de groupe $A[G]$. Le produit $A[G]×A[G]→A[G]$, pour $A$
variable, correspond donc à un morphisme de foncteurs
-\[CG^\japmath{田}×CG^\japmath{田}→CG^\japmath{田}.\] Par
+\[CG^田×CG^田→CG^田.\] Par
définition du produit tensoriel, le foncteur « produit cartésien »
-$CG^\japmath{田}×CG^\japmath{田}$ envoyant
-$A$ sur $CG^\japmath{田}(A)×CG^\japmath{田}(A)$ est représentable
+$CG^田×CG^田$ envoyant
+$A$ sur $CG^田(A)×CG^田(A)$ est représentable
par le produit tensoriel $CG ⊗_k CG$.
D'après le lemme de Yoneda, le morphisme de foncteurs
-$CG^\japmath{田}×CG^\japmath{田}→CG^\japmath{田}$,
+$CG^田×CG^田→CG^田$,
déduit du produit de convolution, correspond à un morphisme de $k$-algèbres
dans l'autre sens :
\[
@@ -1702,15 +1678,15 @@ tensoriel $k[T,T^{-1}]^{⊗ μ}$ (produit tensoriel indicé par l'ensemble
à $n$ éléments $μ$), lui-même isomorphe à l'algèbre
$k[T_ζ^{±1}: ζ ∈ μ]$. Soit $ζ ∈ μ$ une racine primitive. La projection
$\pr_ζ:\Gm^μ→\Gm$ induit, via l'isomorphisme
-$E_n^\japmath{田} ≃ \Gm^ μ$, un morphisme de foncteurs
-$E_n ^\japmath{田}→\Gm$ ; il est $𝐙/n$-équivariant
+$E_n^田 ≃ \Gm^ μ$, un morphisme de foncteurs
+$E_n ^田→\Gm$ ; il est $𝐙/n$-équivariant
si l'on fait agir $\sur{i} ∈ 𝐙/n$ sur $\Gm$ par multiplication
par la puissance $ζ^{\sur{i}}$ de $ζ$. Le morphisme composé
-de foncteurs $E _n ^\japmath{田}→\Gm \dessusdessous{[n]}{→} \Gm=k[X,X^{-1}]^\japmath{田}$
+de foncteurs $E _n ^田→\Gm \dessusdessous{[n]}{→} \Gm=k[X,X^{-1}]^田$
étant $𝐙/n$-équivariant, où le second $\Gm$ est muni
de l'action triviale, il se factorise
-à travers le morphisme de foncteurs $E_n ^\japmath{田}→ B_n
-^\japmath{田}$, où l'on écrit $B_n$ pour $B(𝐙/n)$.
+à travers le morphisme de foncteurs $E_n ^田→ B_n
+^田$, où l'on écrit $B_n$ pour $B(𝐙/n)$.
Détaillons pourquoi. Le morphisme d'algèbres composé $k[X,X^{-1}] → k[X,X^{-1}] → E_n$
correspondant est $𝐙/n$-équivariant où l'action est triviale à la source : son
image est donc contenue dans l'algèbre des points fixes
@@ -1721,12 +1697,14 @@ Si $L \bo K$ est une extension galoisienne de groupe $𝐙/n$,
où $K$ est une extension de $k$, le diagramme de la démonstration du théorème
\ref{base normale géométrique} se complète
donc en un diagramme commutatif de $k$-algèbres
-\[
-\xymatrix{
-L & E _n \ar[l] & k[X,X^{-1}] \ar[l] \\
-K \ar[u] & B _n \ar[u] \ar[l] & k[X,X^{-1}] \ar[l] \ar[u]^{X ↦ X^n}
-}
-\]
+
+\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
+%\[
+%\xymatrix{
+%L & E _n \ar[l] & k[X,X^{-1}] \ar[l] \\
+%K \ar[u] & B _n \ar[u] \ar[l] & k[X,X^{-1}] \ar[l] \ar[u]^{X ↦ X^n}
+%}
+%\]
L'extension $k[X^{±1}] → k[X^{±1}]$, $X ↦ X^n$
est galoisienne de groupe $𝐙/n$ (\refext{CG}{revêtement
@@ -1764,13 +1742,13 @@ a₀+a₁X+\cdots+a_{p-1}X^{p-1} \mod X^p ∈ (A[X]/(X^p))^×↦ \frac{a₁}{a
sont $𝐙/p$-équivariants, où $𝐙/p$ agit par multiplication
par $1+X$ sur $(A[X]/(X^p))^×$ et par translation par $1$ sur $A$.
Ils définissent un morphisme de foncteurs
-$E_{[1]}^{\japmath{田}}→\Ga=k[Y]^{\japmath{田}}$,
+$E_{[1]}^{田}→\Ga=k[Y]^{田}$,
où l'on écrit $E_{[1]}$ pour $E(𝐙/p¹)$.
Enfin, l'action de $𝐙/p$ sur $\Ga$ étant tuée par
le morphisme de Weierstraß $ ℘:Y ↦ Y^p-Y$,
-le morphisme composé $E_{[1]}^{\japmath{田}}→\Ga
+le morphisme composé $E_{[1]}^{田}→\Ga
\dessusdessous{℘}{→} \Ga$ se factorise à travers un morphisme
-$B_{[1]}^{\japmath{田}} → \Ga$, où l'on écrit $B_{[1]}$ pour $B(𝐙/p)$.
+$B_{[1]}^{田} → \Ga$, où l'on écrit $B_{[1]}$ pour $B(𝐙/p)$.
En retournant les flèches, on obtient comme ci-dessus — par le lemme de Yoneda —
un morphisme de $k$-algèbres $k[Y] → B _{[1]}$.