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Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/AC.tex20
-rw-r--r--chapitres/AVD-Dedekind.tex12
-rw-r--r--chapitres/Cebotarev.tex14
-rw-r--r--chapitres/Dedekind.tex60
-rw-r--r--chapitres/KASW.tex44
-rw-r--r--chapitres/RT.tex4
-rw-r--r--chapitres/bases-groebner.tex48
-rw-r--r--chapitres/brauer.tex35
-rw-r--r--chapitres/corps-finis.tex80
-rw-r--r--chapitres/correspondance-galois.tex16
-rw-r--r--chapitres/descente.tex2
-rw-r--r--chapitres/extensions-algebriques.tex4
-rw-r--r--chapitres/formes-tordues.tex8
-rw-r--r--chapitres/groupes-permutations.tex4
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex232
-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex2
-rw-r--r--chapitres/spectre.tex4
-rw-r--r--chapitres/verselles.tex22
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diff --git a/chapitres/AC.tex b/chapitres/AC.tex
index 07222f3..129dbbe 100644
--- a/chapitres/AC.tex
+++ b/chapitres/AC.tex
@@ -19,7 +19,7 @@
\chapter{Notions d'algèbre commutative}
\fi
-\newcommand{\Top}{\mathop{\mathrm{Top}}}
+\newcommand{\Top}{\mathop{\mathtextrm{Top}}}
%%% À faire·:
@@ -32,7 +32,7 @@
si tout produit fini d'élément de $S$ appartient à $S$ ou,
de façon équivalente, si $1∈S$ et pour tous $s,s'∈S$, $ss'∈S$.
Étant donnée une partie quelconque $S$ de $A$, il existe une
-plus petite partie, notée $S_{\mathrm{mult}}$, de $A$
+plus petite partie, notée $S_{\mathtextrm{mult}}$, de $A$
contenant $S$ et multiplicative.
Si $S$ est une partie multiplicative,
@@ -46,7 +46,7 @@ On vérifie immédiatement que les opérations
d'une structure d'anneau commutatif pour laquelle l'application
$A→A[S^{-1}]$, $a↦(a/1)$ (dite « canonique ») est un \emph{morphisme}.
Si $S$ est une partie quelconque de $A$, on pose
-$A[S^{-1}]:=A[S_{\mathrm{mult}}^{-1}]$. On appelle cet anneau l'
+$A[S^{-1}]:=A[S_{\mathtextrm{mult}}^{-1}]$. On appelle cet anneau l'
\emph{anneau de fractions de $A$ défini par $S$}. C'est la
$A$-algèbre « universelle » dans lequelle tout élément
de $S$ devient inversible (cf. \refext{Tens}{propriété universelle
@@ -73,8 +73,8 @@ L'anneau $A_𝔭$ est donc \emph{local} : il ne possède qu'un idéal
maximal.
\begin{démo}
-On peut supposer $S=S_{\mathrm{mult}}$ car
-$𝔭∩S=∅$ si et seulement si $𝔭∩S_{\mathrm{mult}}=∅$.
+On peut supposer $S=S_{\mathtextrm{mult}}$ car
+$𝔭∩S=∅$ si et seulement si $𝔭∩S_{\mathtextrm{mult}}=∅$.
Soit $𝔮∈\Spec(A[S^{-1}])$. Son image
réciproque $𝔭=𝔮∩A∈\Spec(A)$ ne rencontre pas $S$
car tout élément de $S$ est envoyé
@@ -128,9 +128,9 @@ est également injectif.
\end{proposition2}
\begin{démo}
-Soit $a/s$, où $a∈A$ et $s∈S_{\mathrm{mult}}$, dans le noyau.
-Observons que l'on a $f(S_{\mathrm{mult}})=f(S)_{\mathrm{mult}}$.
-Par hypothèse, il existe $t∈S_{\mathrm{mult}}$ tel que
+Soit $a/s$, où $a∈A$ et $s∈S_{\mathtextrm{mult}}$, dans le noyau.
+Observons que l'on a $f(S_{\mathtextrm{mult}})=f(S)_{\mathtextrm{mult}}$.
+Par hypothèse, il existe $t∈S_{\mathtextrm{mult}}$ tel que
$f(t)f(a)=f(ta)=0$. Comme $f$ est injective, $ta=0$ et,
finalement $a/1=0$ dans $A[S^{-1}]$. \emph{A fortiori},
son multiple $a/s=(a/1)(1/s)$ est également nul.
@@ -386,7 +386,7 @@ un morphisme $u:A^n→A^n$ tel que le diagramme suivant soit commutatif :
En effet, si l'on note $e_i$ ($1≤i≤n$) la base canonique de $A^n$ et
que l'on pose $c_i=s(e_i)$, il existe des éléments $a_{ij}∈A$
tels que, pour tout $i$, $bc_i=∑_{j≤n}a_{ij}c_j$. Il suffit de définir
-$u$ par la matrice $(a_{ij})$. Soit $χ_u(X)=\det(\mathrm{Id}-Xu)∈A[X]$.
+$u$ par la matrice $(a_{ij})$. Soit $χ_u(X)=\det(\Id-Xu)∈A[X]$.
C'est un polynôme \emph{unitaire}, tel que — par Cayley-Hamilton —
l'endomorphisme $χ_u(u)$ de $A^n$ soit identiquement nul.
La commutativité du diagramme ci-dessus entraîne que $χ_u(b)=0$. CQFD.
@@ -1255,7 +1255,7 @@ Cf. [CL], III. §5 ou Raynaud, Anneaux locaux henséliens.
\XXX
$A$ $𝐙$-algèbre de type fini.
\[
-ζ_A^{\mathrm{Hasse}}(s)=∏_{x ∈ \Specmax(A)} \frac{1}{1-\#κ(x)^{-s}}.
+ζ_A^{\mathtextrm{Hasse}}(s)=∏_{x ∈ \Specmax(A)} \frac{1}{1-\#κ(x)^{-s}}.
\]
\end{définition2}
diff --git a/chapitres/AVD-Dedekind.tex b/chapitres/AVD-Dedekind.tex
index 9102c91..32d691f 100644
--- a/chapitres/AVD-Dedekind.tex
+++ b/chapitres/AVD-Dedekind.tex
@@ -323,7 +323,7 @@ dans l'énoncé est immédiate. Pour démontrer que son inverse
est continu (bicontinuité), il suffit de vérifier que
pour chaque $j$, l'application $∑_i λ_i v_i ↦ λ_j$, $E → K$
est continue. Or, une telle forme linéaire est de noyau
-$H_j=\mathrm{Vect}(e_i:i ≠ j)$. Par hypothèse
+$H_j=\mathtextrm{Vect}(e_i:i ≠ j)$. Par hypothèse
de récurrence, ce sous-espace vectoriel topologique
est isomorphe à $K^{n-1}$ donc complet donc fermé dans $E$.
La forme linéaire « $j$-ième coordonnée »
@@ -561,7 +561,7 @@ Notamment :
et $L/K$ une extension séparable de degré $n$. Soit $B$ la normalisation de $A$ dans
$K$ ; on suppose que l'indice de ramification $e=n$ c'est-à-dire que l'extension
est \emph{totalement ramifiée}. Alors, si $x$ est une uniformisante
-de $B$, et $f=\mathrm{Irr}_K(x)$ on a :
+de $B$, et $f=\mathtextrm{Irr}_K(x)$ on a :
\begin{itemize}
\item $f$ est d'Eisenstein c'est-à-dire unitaire $a_i\in \MM_A$ et le terme constant $a_0\notin \MM_A^2$,
\item $$\begin{array}{l}A[X]/f→ B\\ X\mapsto x\end{array}$$
@@ -768,7 +768,7 @@ vectoriel de dimension $1$.
Sous les hypothèses précédentes :
\begin{enumerate}
\item $G_0/G_1$ est cyclique d'ordre premier à la caractéristique de $k_K$,
-\item si $\mathrm{car}(k_K)=0$, $G_1=\{1\}$ et $G_0$ est cyclique.
+\item si $\car(k_K)=0$, $G_1=\{1\}$ et $G_0$ est cyclique.
\end{enumerate}
\end{corollaire2}
@@ -888,7 +888,7 @@ Cf. th. général.
\begin{démo}[Seconde démonstration]
\XXX
Soit $L$ une extension finie galoisienne de
-$K=k((t))=\mathrm{Frac}(k[[t]])$ où
+$K=k((t))=\Frac(k[[t]])$ où
$k$ est algébriquement clos de caractéristique nulle. En particulier
$L/K$ est totalement ramifiée. Il résulte du corollaire
précédent que $G=\Gal(L/K)$ est cyclique d'ordre $[L:K]$.
@@ -1099,8 +1099,8 @@ Formule
\begin{proposition2}
\XXX
\[
-\mathrm{d\acute{e}t}(\sigma_i(x_j))^2
-=|\mathrm{d\acute{e}t}(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j))|= \N(𝒟_{K\bo 𝐐}).\]
+\mathtextrm{dét}(\sigma_i(x_j))^2
+=|\mathtextrm{dét}(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j))|= \N(𝒟_{K\bo 𝐐}).\]
\end{proposition2}
\begin{démo}
diff --git a/chapitres/Cebotarev.tex b/chapitres/Cebotarev.tex
index e93d4d5..66df8ea 100644
--- a/chapitres/Cebotarev.tex
+++ b/chapitres/Cebotarev.tex
@@ -346,7 +346,7 @@ sont additifs vis-à-vis d'une décomposition de $F$ en produit. On peut donc
supposer $F$ irréductible. Enfin, quitte à multiplier $F$ par une constante et changer
de variable, ce qui ne change $n_p(F)$ que pour un nombre fini de nombres premiers,
on peut supposer $F$ unitaire (cf. démonstration de \ref{Dedekind}), de degré noté $d$.
-Posons $A_F=\ZZ[X]/F$, et $K=\mathrm{Frac}(A_F)$.
+Posons $A_F=\ZZ[X]/F$, et $K=\Frac(A_F)$.
L'application $\Spec(A_F)→ \Spec(\ZZ)$ : $\wp\mapsto \wp\cap \ZZ$ envoie un
idéal maximal sur un idéal maximal et le cardinal de ses fibres est
au plus $d$ (cf. \ref{going-up}). Si $p=\wp\cap \ZZ$, on dit que $p$ divise
@@ -359,7 +359,7 @@ soit un nombre premier $p$. De tels idéaux maximaux sont dit « de degré $1$
car en général, $A_F/\wp$ est une extension finie de $\FF_p$ (de degré $\leq d$).
Ainsi,
$$
-Z_F(s):=\sum_p n_p(F)p^{-s}=\sum_{p} \#\{\wp\in \Spec\mathrm{max}.A_F, p|\wp\ \textrm{ et }
+Z_F(s):=\sum_p n_p(F)p^{-s}=\sum_{p} \#\{\wp\in \Specmax.A_F, p|\wp\ \textrm{ et }
N(\wp)=p\}p^{-s},
$$
où $N\wp:=\# A_F/\wp$.
@@ -369,7 +369,7 @@ $\zeta_{\ZZ}=\zeta$ est la fonction de Euler-Riemann qui converge pour $s>1$.
De plus, comme $\zeta(2s)$ est bornée au voisinage de $1$,
on a
$$
-Z_F(s)=\sum_{\wp\in \Spec\mathrm{max}.A_F} \frac{1}{N\wp^s}+\mathsf{O}(1).
+Z_F(s)=\sum_{\wp\in \Specmax.A_F} \frac{1}{N\wp^s}+\mathsf{O}(1).
$$
En effet, les idéaux premiers de degré $\geq 2$ contribuent au maximum à hauteur
de $d\zeta(2s)$.
@@ -455,7 +455,7 @@ $$
C'est un polynôme de degré $d!$, qui est la puissance $\# S$-ième de $\tilde{f}_S$,
défini par le même produit mais restreint aux $\sigma$ parcourant
les représentants de $\mathfrak{S}_d/S$ (classes à gauche).
-Soient $\Delta=\mathrm{disc}(f)$ et $\Delta_S=\mathrm{disc}(\tilde{f}_S)$
+Soient $\Delta=\mathtextrm{disc}(f)$ et $\Delta_S=\mathtextrm{disc}(\tilde{f}_S)$
leurs discriminants respectifs.
Ils appartienent tous deux à $\ZZ-\{0\}$. Soit $\Sigma_S$ l'ensemble des nombres premiers
divisant $\Delta\Delta_S$.
@@ -617,12 +617,12 @@ fixe. Grâce au théorème, il s'agit de démontrer que $G$ possède un élémen
sans point fixe (c'est-à-dire qui ne soit pas de type $(1,\dots)$).
La formule
$$
-\frac{1}{g}\sum_{\sigma\in G} \#\mathrm{Fix}(\sigma)=\# \mathrm{Orbites},=1\
+\frac{1}{g}\sum_{\sigma\in G} \#\Fix(\sigma)=\# \mathtextrm{Orbites},=1\
\textrm{par transitivit\'e}
$$
-entraîne que $\#\mathrm{Fix}(\sigma)$ ne peut être systématiquement $\geq 1$. En effet,
+entraîne que $\#\Fix(\sigma)$ ne peut être systématiquement $\geq 1$. En effet,
la contribution égale à $d\geq 2$ de l'identité jointe à ces inégalités larges
-entraînerait $\frac{1}{g}\sum_{\sigma\in G} \#\mathrm{Fix}(\sigma)>1$.
+entraînerait $\frac{1}{g}\sum_{\sigma\in G} \#\Fix(\sigma)>1$.
\end{proof}
\begin{corollaire2}
diff --git a/chapitres/Dedekind.tex b/chapitres/Dedekind.tex
index 3944ec2..ed05ac9 100644
--- a/chapitres/Dedekind.tex
+++ b/chapitres/Dedekind.tex
@@ -19,7 +19,7 @@
\chapter{Anneaux de Dedekind, corps globaux}
\fi
-\DeclareMathOperatorWithFont{\vol}{\mathrm}{vol}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\vol}{\mathtextrm}{vol}
\section{Anneaux de Dedekind : généralités}
@@ -154,8 +154,8 @@ Formule
\begin{proposition2}
\XXX
\[
-\mathrm{d\acute{e}t}(\sigma_i(x_j))^2
-=|\mathrm{d\acute{e}t}(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j))|= \N(𝒟_{K\bo 𝐐}).\]
+\mathtextrm{dét}(\sigma_i(x_j))^2
+=|\mathtextrm{dét}(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j))|= \N(𝒟_{K\bo 𝐐}).\]
\end{proposition2}
\begin{démo}
@@ -184,8 +184,8 @@ Le morphisme
$𝒪_K→ K_{\RR} ≃ \RR^{r_{\CC}}\times \CC^{r_{\CC}}⥲ \RR^{r_{\RR}+2 r_{\CC}}$
est de la forme
$$x\mapsto (\sigma^{\RR}_1(x),\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}(x),
-\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_1(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_1(x),\dots,
-\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x)).$$
+\mathtextrm{Re}\,\sigma^{\CC}_1(x),\mathtextrm{Im}\,\sigma^{\CC}_1(x),\dots,
+\mathtextrm{Re}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x),\mathtextrm{Im}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x)).$$
Passer de la matrice ayant ces colonnes à
$\big(\sigma_i(x_j)\big)$ se fait par addition, soustraction et $r_{\CC}$ divisions par $2$.
La formule en résulte.
@@ -230,13 +230,13 @@ du lemme \ref{déterminant-norme} ci-dessous.
Admettons un instant le fait suivant :
\begin{quote}
Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout idéal non nul $\mathfrak{a}$, il
-existe $0\neq x\in \mathfrak{a}$ tel que $|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \mathrm{N}(\mathfrak{a})$.
+existe $0\neq x\in \mathfrak{a}$ tel que $|\N_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \N(\mathfrak{a})$.
\end{quote}
Soit $C\in \Pic(\mathscr{O}_K)$ comme plus haut. Soit $\mathfrak{a}\in C^{-1}$ un idéal de $\mathscr{O}_K$.
et $x$ comme dans le lemme. Comme $(x)\subset \mathfrak{a}$, il existe
un idéal $\mathfrak{c}$ de $\mathscr{O}_K$ tel que $(x)=\mathfrak{c}\mathfrak{a}$
(cela résulte de \ref{décomposition idéaux}). On a alors
-$\mathrm{N}(\mathfrak{c})\leq \mu_K$.
+$\N(\mathfrak{c})\leq \mu_K$.
Démontrons le fait admis. On a vu en \ref{normalisation finie} que $𝒪_K$ est un
$\ZZ$-module de type fini. Il est nécessairement de rang $d=[L:K]$
car $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ ⥲ K$ (cf. \ref{normalisation et localisation}).
@@ -246,7 +246,7 @@ Posons $$\mu_K:=\prod_{\sigma\in \Sigma} \big(\sum_{i=1}^d | \sigma(x_i) | \big)
Soit $\mathfrak{a}\neq (0)$ comme plus haut. Il existe un unique entier $m\in \NN$
tel que
$$
-m^d\leq \mathrm{N}(\mathfrak{a}) < (m+1)^d.
+m^d\leq \N(\mathfrak{a}) < (m+1)^d.
$$
Il résulte alors du «~principe des tiroirs~» qu'il existe
deux éléments distincts de $[0,m]x_1+[0,m]x_2+\cdots [0,m]x_d$ dont la différence
@@ -296,7 +296,7 @@ de $K → ⨁_v K_v/O_v$.
\XXX
Corps de nombres :
-\[ζ_K=ζ_{𝒪_K}^{\mathrm{Hasse}}.\]
+\[ζ_K=ζ_{𝒪_K}^{\mathtextrm{Hasse}}.\]
\[\chap{ζ}_K(s)=|D_K|^{\frac{s}{2}}Γ_𝐑(s)^{r_𝐑}Γ_𝐂(s)^{r_𝐂} ζ_K(s),\]
(fonction zêta complétée) où
$Γ_𝐑(s)=π^{-\frac{s}{s}} Γ(\frac{s}{2})$ et $Γ_𝐂(s)=2(2 π)^{-s}Γ(s)$.
@@ -319,7 +319,7 @@ $ζ_K(s)=∑_𝔞 N(𝔞)^{-s}$.
$ζ_{𝐐(\sqrt{-1})}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(\sqrt{m})}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7
-$ζ_{𝐅_p(t)}(s)=(1-p^{-s})ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)$.
+$ζ_{𝐅_p(t)}(s)=(1-p^{-s})ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathtextrm{Hasse}}(s)$.
\end{exemple2}
@@ -347,7 +347,7 @@ Soit $K$ un corps de nombres. Pour toute classe $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$, il
constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble
$$
\{\mathfrak{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \mathfrak{a}\in
-\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\mathfrak{a})\leq t\}
+\mathsf{C}\text{ et } \N(\mathfrak{a})\leq t\}
$$
soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty$.
\end{théorème2}
@@ -362,7 +362,7 @@ $$
établit une bijection entre l'ensemble dont on veut estimer la taille et
$$
\{(\alpha)\subset 𝒪_K,\ \alpha\in \mathfrak{b}_{\mathsf{C}}-\{0\},\
-|\mathrm{N}_{K/\QQ}(\alpha)|\leq t \mathrm{N}(\mathfrak{b}_{\mathsf{C}})\}.
+|\N_{K/\QQ}(\alpha)|\leq t \N(\mathfrak{b}_{\mathsf{C}})\}.
$$
Compter les idéaux principaux $(\alpha)$ revient à « compter les $\alpha$ modulo
les unités ». Le groupe des unités pouvant être infini, il faut faire attention.
@@ -371,7 +371,7 @@ quotient $P(\mathfrak{b}_\mathsf{C}):=\mathfrak{b}_\mathsf{C} / 𝒪_K^{\times}$
où $𝒪_K^{\times}$ agit naturellement par multiplication : il classifie
en effet les idéaux principaux contenus dans $\mathfrak{b}_\mathsf{C}$.
C'est naturellement un monoïde multiplicatif, à travers lequel
-la norme $x\in \mathfrak{b}_\mathsf{C}\subset 𝒪_K\mapsto N(x):=|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\in \ZZ$
+la norme $x\in \mathfrak{b}_\mathsf{C}\subset 𝒪_K\mapsto N(x):=|\N_{K/\QQ}(x)|\in \ZZ$
se factorise.
Quitte à normaliser $t$, et rajouter l'idéal nul, on veut donc compter
$$
@@ -400,7 +400,7 @@ Le théorème résultera alors du fait suivant et du fait que $\vol(X_1)\neq 0$.
Soient $Y$ un partie mesurable [OU MIEUX] bornée de $\RR^{n}$ et $B$ un réseau de $\RR^{n}$.
Alors, si $\vol(Y)>0$,
$$
-\#(B\cap aY)\dessusdessous{a→ +\infty}{\sim} \frac{\vol(Y)}{\mathrm{covol}(B)} a^{n}.
+\#(B\cap aY)\dessusdessous{a→ +\infty}{\sim} \frac{\vol(Y)}{\mathtextrm{covol}(B)} a^{n}.
$$
\end{quote}
@@ -489,19 +489,19 @@ Par composition, on en déduit un morphisme noté de même $K_{\RR}^{\times}→
\RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}⥲ \RR^{r_\RR+r_\CC}$.
-Soit $u\in 𝒪_K^{\times}$. Sa norme sur $\QQ$, $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)$,
-est un entier relatif ; comme il en est de même de $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u^{-1})
-= \mathrm{N}_{K/\QQ}(u)^{-1}$, on a $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\in \{\pm 1\}$.
+Soit $u\in 𝒪_K^{\times}$. Sa norme sur $\QQ$, $\N_{K/\QQ}(u)$,
+est un entier relatif ; comme il en est de même de $\N_{K/\QQ}(u^{-1})
+= \N_{K/\QQ}(u)^{-1}$, on a $\N_{K/\QQ}(u)\in \{\pm 1\}$.
Ceci ce traduit, sur $\RR$, en l'appartenance
$$
\log \iota(u)\in H=\{(x_i)\in \RR^{r_\RR+r_\CC},\ \sum x_i=0\}.
$$
Cela résulte de l'égalité
-$\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\otimes_{\QQ} 1_{\RR}=\mathrm{N}_{K_{\RR}/\RR}(u\otimes_{\QQ} 1_{\RR})$,
+$\N_{K/\QQ}(u)\otimes_{\QQ} 1_{\RR}=\N_{K_{\RR}/\RR}(u\otimes_{\QQ} 1_{\RR})$,
jointe au fait que sur $K_{\RR}/\RR$ la norme est essentiellement le produit
-des coordonnées. Plus précisément, $\mathrm{N}_{(\RR\times \CC)/\RR}(a,b)=a\cdot b\sur{b}$
+des coordonnées. Plus précisément, $\N_{(\RR\times \CC)/\RR}(a,b)=a\cdot b\sur{b}$
(de même avec un nombre arbitaire de facteurs) donc
-l'égalité $\mathrm{N}_{(\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC})/\RR}(\iota(u))=\pm 1$ entraîne que
+l'égalité $\N_{(\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC})/\RR}(\iota(u))=\pm 1$ entraîne que
le produit (pondéré) des coordonnées est $\pm 1$. Passant au logarithme
des valeurs absolues, on obtient $0$ en sommant.
@@ -538,7 +538,7 @@ Il existe une constante $\mu_K$
telle que pour tout $0\neq \alpha\in 𝒪_K$, il existe $0\neq \beta\in 𝒪_K$ satisfaisant :
$$\left\{ \begin{array}{l}
\log_i(\alpha)>\log_i(\beta),\ i\neq k \\
-\mathrm{N}_{K/\QQ}(\beta)\leq \mu_K
+\N_{K/\QQ}(\beta)\leq \mu_K
\end{array}\right.$$
\end{quote}
@@ -562,9 +562,9 @@ fermée (donc mesurable), symétrique par rapport
$$2^{r_\RR}\pi^{r_\CC}\big(\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}\big).$$
Soit $\mu_K>0$ une constante telle que
$$ 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K> 2^{[K:\QQ]}
-\mathrm{covol}(\iota(𝒪_K)\subset \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}).$$
+\mathtextrm{covol}(\iota(𝒪_K)\subset \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}).$$
À $\alpha$ fixé, On peut ajuster ces constantes de sorte que
-$\mathrm{Vol}(E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha})= 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K$,
+$\mathtextrm{Vol}(E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha})= 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K$,
c'est-à-dire $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$.
Il résulte alors du théorème de Minkowski \ref{Minkowski} que pour
ces valeurs, il existe $0\neq \beta\in E\cap 𝒪_K$. Un tel $\beta$ satisfait les
@@ -625,17 +625,17 @@ le sous-ensemble compact, convexe, symmétrique par rapport à l'origine, de $K_
L'inégalité arithmético-géométrique montre que tout point
de $A$ a une norme inférieure à $1$.
Admettons que
-$$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
+$$\mathtextrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$,
-$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA)
- \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}},$$
+$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathtextrm{vol}(tA)
+ \geq 2^n \mathtextrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}},$$
il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement
de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$.
L'inégalité en résulte immédiatement.
Effectuons le calcul volumique. Posons
$$
-f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+
+f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathtextrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+
2\big(\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\big)\leq t\}\Big)=t^n f_{r_{\RR},r_\CC}(1),
$$
@@ -650,7 +650,7 @@ $$
f_{r_{\RR},r_\CC}(1)=\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}f_{0,r_\CC}(1).
$$
Soit
-$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}},
+$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathtextrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}},
\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\leq t\}\Big),$$
de sorte que l'on ait $f_{0,r_\CC}(t)=g_{r_{\CC}}(t/2)$.
@@ -702,7 +702,7 @@ que $\sum x_i^{-1}=\sigma_{n-1}/\sigma_n=-1$.
Remarquons maintenant que pour chaque $x_j$,
si l'on écrit $x_j=r e^{i\varphi}$,
on a
-$\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)=(r-r^{-1})\cos(\varphi)=\frac{r^2-1}{r}\cos(\varphi)$.
+$\mathtextrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)=(r-r^{-1})\cos(\varphi)=\frac{r^2-1}{r}\cos(\varphi)$.
Comme $r^n\cos(\varphi)=r\cos(\varphi)+1$ et $r^n\sin(\varphi)=r\sin(\varphi)$,
en sommant le carré des deux égalités on trouve :
$$\cos(\varphi)=\frac{r^{2n}-r^2-1}{2r}.$$
@@ -713,7 +713,7 @@ Enfin, comme pour tout $1\neq a>0$,
$(a-1)(a^n-a-1)=1-a+(a-1)(a^n-1)> 1-a$,
on en déduit, en posant $a=r^2$ et en divisant par $a$ l'égalité ci-dessus,
$$
-\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)> \frac{1}{2}\big(|x_i|^{-2}-1\big).
+\mathtextrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)> \frac{1}{2}\big(|x_i|^{-2}-1\big).
$$
Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$,
et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire,
diff --git a/chapitres/KASW.tex b/chapitres/KASW.tex
index 6049119..353a50b 100644
--- a/chapitres/KASW.tex
+++ b/chapitres/KASW.tex
@@ -275,7 +275,7 @@ et fixons un générateur $σ$. Fixons également un générateur $ζ$ de $μ_n(
L'isomorphisme $ι:Π ⥲ μ_n(k)$, $σ ↦ ζ$ (ou plutôt son inverse) et l'action naturelle de $Π$
font de $K$ un $μ_n(k)$-torseur sur $k$, trivialisé par $K\bo k$
(\refext{Formes}{extension galoisienne groupe G est un
-G-torseur}). L'ensemble $\mathrm{Tors}(K\bo k,μ_n(k))/∼$
+G-torseur}). L'ensemble $\mathtextrm{Tors}(K\bo k,μ_n(k))/∼$
des classes d'isomorphismes de tels torseurs est naturellement isomorphe au groupe
de cohomologie $H¹(K\bo k,μ_n(k))=\Hom(Π,μ_n(k))$ ;
cet isomorphisme envoyant $[K]$ sur $ι$.
@@ -294,7 +294,7 @@ $H⁰(K\bo k,K^×)$ est, par définition, $\Fix_Π(K^×)$, lui-même égal
à $k^×$ et $H⁰(K\bo k,{K^×}^n)=k^× ∩ {K^×}^n$ pour la même raison.
Le morphisme cobord induit donc un isomorphisme
\[
-(k^× ∩ {K^×}^n)/{k^×}^n ⥲ H¹(K\bo k,μ_n(k)) ≃ \mathrm{Tors}(K\bo k,μ_n(k))/∼.
+(k^× ∩ {K^×}^n)/{k^×}^n ⥲ H¹(K\bo k,μ_n(k)) ≃ \mathtextrm{Tors}(K\bo k,μ_n(k))/∼.
\]
Par définition du cobord (\refext{formes}{}), il envoie
la classe d'un élément $a$ de $k^× ∩ {K^×}^n$
@@ -310,7 +310,7 @@ CQFD.
\item Le lecteur constatera que cette méthode donne aussi
une démonstration de \ref{extension cyclique=Kummer} (ii).
\item On peut vérifier que le morphisme composé
-\[(k^× ∩ {K^×}^n)/{k^×}^n → \mathrm{Tors}(K\bo k,μ_n(k))/∼\]
+\[(k^× ∩ {K^×}^n)/{k^×}^n → \mathtextrm{Tors}(K\bo k,μ_n(k))/∼\]
envoie la classe de $a$ sur la classe du $μ_n(k)$-torseur
$k[X]/(X^n-a)$. % \XXX à faire
\end{itemize}
@@ -1010,7 +1010,7 @@ cyclique d'ordre $p$, et fixons un générateur $σ$.
L'isomorphisme $ι:Π ⥲ 𝐙/p$, $σ ↦ 1$ (ou plutôt son inverse) et l'action naturelle de $Π$
font de $K$ un $𝐙/p$-torseur sur $k$, trivialisé par $K\bo k$
(\refext{Formes}{extension galoisienne groupe G est un
-G-torseur}). L'ensemble $\mathrm{Tors}(K\bo k,𝐙/p)/∼$
+G-torseur}). L'ensemble $\mathtextrm{Tors}(K\bo k,𝐙/p)/∼$
des classes d'isomorphismes de tels torseurs est naturellement isomorphe au groupe
de cohomologie $H¹(K\bo k,𝐙/p)=\Hom(Π,𝐙/p)$ ;
cet isomorphisme envoyant $[K]$ sur $ι$.
@@ -1028,7 +1028,7 @@ $H⁰(K\bo k,K)$ est, par définition, $\Fix_Π(K)$, lui-même égal
à $k$ et $H⁰(K\bo k,℘(K))=k ∩ ℘(K)$ pour la même raison.
Le morphisme cobord induit donc un isomorphisme
\[
-(k ∩ ℘(K))/℘(k) ⥲ H¹(K\bo k,𝐙/p) ≃ \mathrm{Tors}(K\bo k,𝐙/p)/∼.
+(k ∩ ℘(K))/℘(k) ⥲ H¹(K\bo k,𝐙/p) ≃ \mathtextrm{Tors}(K\bo k,𝐙/p)/∼.
\]
Par définition du cobord (\refext{formes}{}), il envoie
la classe d'un élément $a$ de $k ∩ ℘(K)$
@@ -1045,7 +1045,7 @@ CQFD.
\item Le lecteur constatera que cette méthode donne aussi
une démonstration de \ref{extension Z sur p-AS} (ii).
\item On peut vérifier que le morphisme composé
-\[(k ∩ ℘(K))/℘(k) → \mathrm{Tors}(K\bo k,𝐙/p)/∼\]
+\[(k ∩ ℘(K))/℘(k) → \mathtextrm{Tors}(K\bo k,𝐙/p)/∼\]
envoie la classe de $a$ sur la classe du $𝐙/p$-torseur
$k[X]/(X^p-X-a)$. % \XXX à faire
\end{itemize}
@@ -1432,11 +1432,11 @@ $⊕$ leur loi de groupe. Ainsi, nous appellerons par exemple
« multiplication par un entier $r$ » le morphisme $[r]:(W_n(A),⊕) → (W_n(A),⊕)$, $f ↦ f^r$
(pour $A$ variable).
-\subsubsection{}Considérons la filtration descendante $(\mathrm{Fil}^iW_n)_{0 < i ≤ n+1}$ ($i
-∈ 𝐍$) de $W_n$ définie par les sous-groupes $\mathrm{Fil}^iW_n(A)=1+X^i A_n$.
-On a $\mathrm{Fil}^1W_n=W_n$ et $⋂_i \mathrm{Fil}^iW_n=\{1\}$.
-Pour chaque $i>0$, les applications évidentes $\mathrm{Fil}^iW_n(A) → A$, $1+a X^i+\cdots
-↦ a$ induisent un isomorphisme $\mathrm{Fil}^iW_n/\mathrm{Fil}^{i+1}W_n
+\subsubsection{}Considérons la filtration descendante $(\mathtextrm{Fil}^iW_n)_{0 < i ≤ n+1}$ ($i
+∈ 𝐍$) de $W_n$ définie par les sous-groupes $\mathtextrm{Fil}^iW_n(A)=1+X^i A_n$.
+On a $\mathtextrm{Fil}^1W_n=W_n$ et $⋂_i \mathtextrm{Fil}^iW_n=\{1\}$.
+Pour chaque $i>0$, les applications évidentes $\mathtextrm{Fil}^iW_n(A) → A$, $1+a X^i+\cdots
+↦ a$ induisent un isomorphisme $\mathtextrm{Fil}^iW_n/\mathtextrm{Fil}^{i+1}W_n
→ \Ga$, où l'on rappelle que l'on note $\Ga$ le foncteur
envoyant un anneau $A$ sur le groupe additif $(A,+)$.
Le foncteur en groupes commutatifs $W_n$ est donc extension successive
@@ -1454,11 +1454,11 @@ qui sont des \emph{isomorphismes} de groupes (cf. \ref{Wn en caractéristique
nulle}).
\begin{remarque2}\label{groupe unipotent est ensemblistement trivial}
-Soit $W$ un groupe abstrait et $(\mathrm{Fil}^iW)_{0 ≤ i < r}$ une filtration décroissante finie
-sur $W$ telle que $F⁰W=W$ et $\mathrm{Fil}^rW=\{1\}$, à gradués
-$\mathrm{gr}^{\mathrm{Fil}}_i(W)=\mathrm{Fil}^iW/\mathrm{Fil}^{i+1}W$ isomorphes à un
+Soit $W$ un groupe abstrait et $(\mathtextrm{Fil}^iW)_{0 ≤ i < r}$ une filtration décroissante finie
+sur $W$ telle que $F⁰W=W$ et $\mathtextrm{Fil}^rW=\{1\}$, à gradués
+$\mathtextrm{gr}^{\mathtextrm{Fil}}_i(W)=\mathtextrm{Fil}^iW/\mathtextrm{Fil}^{i+1}W$ isomorphes à un
même groupe $G$. Chaque choix de sections \emph{ensemblistes} $s_i$ aux morphismes
-$\mathrm{Fil}^i(W) ↠ \mathrm{gr}^{\mathrm{Fil}}_i(W)⥲ G$ induit une bijection $G^r ⥲ W$,
+$\mathtextrm{Fil}^i(W) ↠ \mathtextrm{gr}^{\mathtextrm{Fil}}_i(W)⥲ G$ induit une bijection $G^r ⥲ W$,
$(g₀, …,g_{r-1}) ↦ s₀(g₀)\cdots s_{r-1}(g_{r-1})$.
\end{remarque2}
@@ -1494,7 +1494,7 @@ dans $k$ indépendants de la $k$-algèbre $A$.
\end{lemme2}
Remarquons que les applications $α ↦ E(\frac{α}{u} x^i)$ sont des sections
-(fonctorielles, ensemblistes) du morphisme $\mathrm{Fil}^iW_n/\mathrm{Fil}^{i+1}W_n → \Ga$.
+(fonctorielles, ensemblistes) du morphisme $\mathtextrm{Fil}^iW_n/\mathtextrm{Fil}^{i+1}W_n → \Ga$.
L'énoncé (ii), dont (i) est le cas particulier $k=𝐙$ et $E(X)=1-X$, est
donc une variante de la remarque \ref{groupe unipotent est
ensemblistement trivial}.
@@ -1516,10 +1516,10 @@ Le cas $n=∞$ se démontre de même. (ii)
Supposons $n$ fini.
On suffit de montrer par récurrence sur $r ≤ n$ que
tout élément $f ∈ W_n(A)$ s'écrit $E(α₁X) \cdots E(α_r X^r) g_r$
-où $g_r ∈ \mathrm{Fil}^{r+1}W_n(A)$, et les $α_i$ sont comme dans l'énoncé.
+où $g_r ∈ \mathtextrm{Fil}^{r+1}W_n(A)$, et les $α_i$ sont comme dans l'énoncé.
Cela résulte du fait que pour chaque $α ∈ A$, le quotient
d'une série $g=1+αX^{r+1}+ β X^{r+2}+\cdots $ par $E(\frac{α}{u} X^{r+1})$ appartient
-à $ \mathrm{Fil}^{r+2}W_n(A)$ et que son coefficient en $X^{r+2}$
+à $ \mathtextrm{Fil}^{r+2}W_n(A)$ et que son coefficient en $X^{r+2}$
est un polynôme en $α$ et $β$ à coefficients dans $k$. (Ce polynôme
ne dépend que de $r$ et des coefficients de $E$.) Le cas $n=∞$ se démontre de même.
\end{démo}
@@ -1573,7 +1573,7 @@ Soient $r$ et $s$ des entiers non nuls. Les identités suivantes sont valables d
\item $F_s F_t =F_{st}$ ;
\item $V_s V_t =V_{st}$ ;
\item $F_r V_s=V_s F_r$ si $r$ et $s$ sont premiers entre eux.
-\item $V_r F_r (\mathrm{Fil}^s) ⊆ \mathrm{Fil}^s$.
+\item $V_r F_r (\mathtextrm{Fil}^s) ⊆ \mathtextrm{Fil}^s$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
@@ -1649,9 +1649,9 @@ de $p$. Le produit fini $e_L=∏_{ℓ ∈ L} (1-ε_ℓ)$ des
idempotents $1-ε_ℓ$ est un idempotent de $\End(W_{∞|𝐙_{(p)}})$.
Développant le produit, on trouve :
\[
-e_L=∑_{\mathrm{supp}(r) ⊆ L} μ(r) ε_r,
+e_L=∑_{\mathtextrm{supp}(r) ⊆ L} μ(r) ε_r,
\]
-où le support $\mathrm{supp}(r)$ d'un entier $r$ est l'ensemble
+où le support $\mathtextrm{supp}(r)$ d'un entier $r$ est l'ensemble
des nombres premiers le divisant et où $μ$ est la fonction de Möbius
(cf. \refext{CF}{definition-fonction-de-Moebius}).
Faisant tendre l'ensemble fini $L$ vers l'ensemble infini $𝒫-\{p\}$
@@ -2119,7 +2119,7 @@ s'en déduisant par passage au quotient \XXX.
Par récurrence et d'après \ref{bijections entre Wn et An},
il suffit de démontrer que pour chaque $α ∈ K$ et chaque entier $i ≥ 1$,
il existe $β ∈ K$ tel que le quotient $(1-α X^i)/℘(1-β X^i)$
-appartienne à $\mathrm{Fil}^{i+1}W_∞(K)$. Cela résulte
+appartienne à $\mathtextrm{Fil}^{i+1}W_∞(K)$. Cela résulte
de l'égalité
\[
\frac{(1-α X^i)(1-β X^i)}{1-β^p X^i}=1+(β^p-β-α)X^i+ \cdots.
diff --git a/chapitres/RT.tex b/chapitres/RT.tex
index df1f945..6950025 100644
--- a/chapitres/RT.tex
+++ b/chapitres/RT.tex
@@ -46,7 +46,7 @@ $k((x₁,…,x_n))$ est séparable sur $k$.
\begin{exercice2}
\label{degtr-Laurent-fractions-rationnelles}
-Montrer que $\mathrm{deg.tr}_k k((x))=\mathrm{card.}(k^{𝐍})$.
+Montrer que $\degtr_k k((x))=\#(k^{𝐍})$.
% Bourbaki, A, exercice.
\end{exercice2}
@@ -61,7 +61,7 @@ $p$-rang
\begin{proposition2}
\label{p-rang-invariant-par-extension-finie}
Soit $L\bo K$ une extension finie. Alors,
-$p-\mathrm{rang}(K)=p-\mathrm{rang}(L)$.
+$p-\mathtextrm{rang}(K)=p-\mathtextrm{rang}(L)$.
\end{proposition2}
\begin{proposition2}
diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex
index d446ba8..12513a5 100644
--- a/chapitres/bases-groebner.tex
+++ b/chapitres/bases-groebner.tex
@@ -14,7 +14,7 @@
\chapter{Bases de Gröbner et applications}
\fi
-\DeclareMathOperatorWithFont{\initial}{\mathrm}{in}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\initial}{\mathtextrm}{in}
\section{Bases de Gröbner}
@@ -254,7 +254,7 @@ variables, que $Z_1 \preceq Z_2 \preceq \cdots \preceq Z_d$.
\subsubsection{L'ordre lexicographique (pur)} L'\textbf{ordre
lexicographique} est défini par $Z_1^{\ell_1} \cdots Z_d^{\ell_d}
-\mathrel{\preceq_{\mathtt{lex}}} Z_1^{\ell'_1} \cdots Z_d^{\ell'_d}$
+\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{lex}}} Z_1^{\ell'_1} \cdots Z_d^{\ell'_d}$
ssi $\ell_i < \ell'_i$ pour le \emph{plus grand} $i$ tel que $\ell_i
\neq \ell'_i$. Autrement dit, l'ordre lexicographique compare deux
monômes en comparant leur degré en $Z_d$ ou, en cas d'égalité, de
@@ -275,7 +275,7 @@ Z_3^2 \preceq \cdots \preceq Z_4 \preceq \cdots$ (l'ordinal associé à
ce bon ordre sur les monômes de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ vaut $\omega^d$).
\begin{proposition2}\label{caracterisation-ordre-lexicographique-pur}
-Si $\initial_{\mathtt{lex}}(f) \in k[Z_1,\ldots,Z_t]$ (pour un $t\leq
+Si $\initial_{\mathtexttt{lex}}(f) \in k[Z_1,\ldots,Z_t]$ (pour un $t\leq
d$) alors $f \in k[Z_1,\ldots,Z_t]$. De plus, cette propriété
caractérise l'ordre lexicographique (parmi les ordres admissibles).
\end{proposition2}
@@ -307,7 +307,7 @@ coïncident.
\subsubsection{L'ordre lexicographique gradué} L'\textbf{ordre
lexicographique par degré} ou \textbf{ordre lexicographique gradué}
est défini par $Z_1^{\ell_1} \cdots Z_d^{\ell_d}
-\mathrel{\preceq_{\mathtt{glex}}} Z_1^{\ell'_1} \cdots Z_d^{\ell'_d}$
+\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{glex}}} Z_1^{\ell'_1} \cdots Z_d^{\ell'_d}$
ssi $\sum \ell_i < \sum \ell'_i$ ou $\sum \ell_i = \sum \ell'_i$ et
$\ell_i < \ell'_i$ pour le \emph{plus grand} $i$ tel que $\ell_i \neq
\ell'_i$. Autrement dit, les monômes sont classés en priorité par
@@ -327,15 +327,15 @@ ordre sur les monômes de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ vaut $\omega$ comme c'est
le cas pour tout ordre gradué).
\begin{proposition2}\label{caracterisation-ordre-lexicographique-gradue}
-L'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtt{glex}}}$ est gradué au sens
+L'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{glex}}}$ est gradué au sens
de \ref{definition-ordres-admissibles}, et si
-$\initial_{\mathtt{glex}}(f) \in k[Z_1,\ldots,Z_t]$ (pour un $t\leq
+$\initial_{\mathtexttt{glex}}(f) \in k[Z_1,\ldots,Z_t]$ (pour un $t\leq
d$) avec $f$ un polynôme homogène, alors $f \in k[Z_1,\ldots,Z_t]$.
De plus, ces propriétés caractérisent l'ordre lexicographique gradué
(parmi les ordres admissibles).
\end{proposition2}
\begin{proof}
-Le fait que l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtt{glex}}}$ soit gradué
+Le fait que l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{glex}}}$ soit gradué
est évident sur sa définition ; pour ce qui est de la deuxième
propriété, il suffit de remarquer que tous les monômes plus petits,
pour l'ordre lexicographique gradué, et de même degré, qu'un monôme
@@ -353,17 +353,17 @@ k[Z_1,\ldots,Z_t]$ ; ceci signifie que tout monôme faisant intervenir
supérieur à tout monôme du même degré ne faisant intervenir que
$Z_1,\ldots,Z_t$. Si $s = Z_1^{\ell_1} \cdots Z_d^{\ell_d}$ et $s' =
Z_1^{\ell'_1} \cdots Z_d^{\ell'_d}$ sont deux monômes de même degré
-total tels que $s \mathrel{\preceq_{\mathtt{glex}}} s'$ (donc, vu que
-le degré total est le même, $s \mathrel{\preceq_{\mathtt{lex}}} s'$),
+total tels que $s \mathrel{\preceq_{\mathtexttt{glex}}} s'$ (donc, vu que
+le degré total est le même, $s \mathrel{\preceq_{\mathtexttt{lex}}} s'$),
la démonstration utilisée dans le cas de l'ordre lexicographique pur
montre que $s \preceq s'$, et ceci démontre que $\preceq$ coïncide
-avec l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtt{glex}}}$.
+avec l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{glex}}}$.
\end{proof}
\subsubsection{L'ordre lexicographique inversé gradué} L'\textbf{ordre
lexicographique inversé par degré} (ou \textbf{...gradué}) est
défini par $Z_1^{\ell_1} \cdots Z_d^{\ell_d}
-\mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}} Z_1^{\ell'_1} \cdots
+\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{grevlex}}} Z_1^{\ell'_1} \cdots
Z_d^{\ell'_d}$ ssi $\sum \ell_i < \sum \ell'_i$ ou $\sum \ell_i = \sum
\ell'_i$ et $\ell_i > \ell'_i$ pour le \emph{plus petit} $i$ tel que
$\ell_i \neq \ell'_i$. Autrement dit, cet ordre trie en premier lieu
@@ -384,21 +384,21 @@ Z_1 Z_2 Z_3 \preceq \cdots \preceq Z_2^3 \preceq \cdots$ (l'ordinal
associé à ce bon ordre sur les monômes de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$
vaut $\omega$ comme c'est le cas pour tout ordre gradué).
-On peut noter que $\mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}}$ et
-$\mathrel{\preceq_{\mathtt{glex}}}$ coïncident lorsqu'il n'y a que
+On peut noter que $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{grevlex}}}$ et
+$\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{glex}}}$ coïncident lorsqu'il n'y a que
deux variables (une fois fixé l'ordre entre celles-ci).
\begin{proposition2}\label{caracterisation-ordre-lexicographique-inverse-gradue}
-L'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}}$ est gradué au sens
+L'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{grevlex}}}$ est gradué au sens
de \ref{definition-ordres-admissibles}, et si
-$\initial_{\mathtt{grevlex}}(f) \in (Z_1,\ldots,Z_t)$ (pour un $t\leq
+$\initial_{\mathtexttt{grevlex}}(f) \in (Z_1,\ldots,Z_t)$ (pour un $t\leq
d$, et en notant bien sûr $(Z_1,\ldots,Z_t)$ l'idéal engendré par ces
variables) avec $f$ un polynôme homogène, alors $f \in
(Z_1,\ldots,Z_t)$. De plus, ces propriétés caractérisent l'ordre
lexicographique inversé gradué (parmi les ordres admissibles).
\end{proposition2}
\begin{proof}
-Le fait que l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}}$ soit gradué
+Le fait que l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{grevlex}}}$ soit gradué
est évident sur sa définition ; pour ce qui est de la deuxième
propriété, il suffit de remarquer que tous les monômes plus petits,
pour l'ordre lexicographique inversé gradué, et de même degré, qu'un
@@ -406,7 +406,7 @@ monôme dans $(Z_1,\ldots,Z_t)$, sont eux-mêmes dans
$(Z_1,\ldots,Z_t)$ : en effet, dire d'un monôme qu'il appartient à
$(Z_1,\ldots,Z_t)$ signifie qu'il a un degré $>0$ dans l'une des $t$
premières variables, et, à degré total constant, diminuer le monôme
-pour $\mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}}$ se fait en augmentant le
+pour $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{grevlex}}}$ se fait en augmentant le
degré dans la plus petite variable.
Pour montrer que les propriétés énoncées caractérisent l'ordre
@@ -419,7 +419,7 @@ ordre admissible gradué tel que si $\initial_{\preceq}(f) \in
inférieur à tout monôme du même degré ne faisant intervenir que
$Z_{t+1},\ldots,Z_d$. Si $s = Z_1^{\ell_1} \cdots Z_d^{\ell_d}$ et
$s' = Z_1^{\ell'_1} \cdots Z_d^{\ell'_d}$ sont deux monômes de même
-degré total tels que $s \mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}} s'$,
+degré total tels que $s \mathrel{\preceq_{\mathtexttt{grevlex}}} s'$,
c'est-à-dire tels que $\ell_i > \ell'_i$ où $i$ est le \emph{plus
petit} possible tel que $\ell_i \neq \ell'_i$, on appelle comme
précédemment $s^0 = Z_1^{\ell^0_1} \cdots Z_d^{\ell^0_d}$ le plus
@@ -428,7 +428,7 @@ par$s = s^0 s^1$ et $s' = s^0 s^{1\prime}$ : on a alors $s^1 \preceq
s^{1\prime}$ puisque $s^1$ fait intervenir $Z_i$ et non $s^{1\prime}$
(alors qu'ils sont de même degré total), donc $s \preceq s'$, et ceci
démontre que $\preceq$ coïncide avec
-l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}}$.
+l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{grevlex}}}$.
\end{proof}
\subsubsection{Quelques autres ordres possibles} Il est assez fréquent
@@ -700,7 +700,7 @@ L'un ou l'autre de ces phénomènes montre que $f_1,f_2$ ne forment pas
une base de Gröbner de l'idéal $I$ qu'ils engendrent. En fait, il
s'avère que cet idéal $I$ est celui engendré par $f_2$ et $f = -f_1 +
X f_2$, et que ces polynômes-là en forment une base de Gröbner,
-l'idéal initial $\initial_{\mathtt{lex}}(I)$ étant celui engendré par
+l'idéal initial $\initial_{\mathtexttt{lex}}(I)$ étant celui engendré par
$X^3$ et $Y^2$. (Par ailleurs, si $k = \QQ$, alors $\QQ[X,Y]/I$ est
le corps $\QQ(\root3\of2, j\root3\of2)$ de décomposition de $X^3 - 2$
sur $\QQ$.)
@@ -1242,11 +1242,11 @@ algorithme permettant de le résoudre :
\begin{proposition2}\label{base-de-groebner-elimination}
Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ et $t\leq d$ : notons $J = I
-\cap k[Z_1,\ldots,Z_t]$. Alors on a $\initial_{\mathtt{lex}}(J) =
-\initial_{\mathtt{lex}}(I) \cap k[Z_1,\ldots,Z_t]$ (où on est convenu
+\cap k[Z_1,\ldots,Z_t]$. Alors on a $\initial_{\mathtexttt{lex}}(J) =
+\initial_{\mathtexttt{lex}}(I) \cap k[Z_1,\ldots,Z_t]$ (où on est convenu
d'ordonner les variables de la manière $Z_1 \preceq Z_2 \preceq \cdots
\preceq Z_d$) ; et si $B = \{f_1,\ldots,f_r\}$ est une base de Gröbner
-de $I$ pour l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtt{lex}}}$, alors $B \cap
+de $I$ pour l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{lex}}}$, alors $B \cap
k[Z_1,\ldots,Z_t]$ est une base de Gröbner de $J$.
Plus généralement, ces affirmations (à $t$ fixé) valent pour tout
@@ -1293,7 +1293,7 @@ dans cette démonstration ?
\emph{si on connaît $t$ à l'avance}, consiste à prendre l'ordre sur le
degré total en les seules variables $Z_1,\ldots,Z_t$ comme premier
critère de comparaison, et en cas d'égalité comparer avec
-$\mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}}$.)
+$\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{grevlex}}}$.)
\begin{corollaire2}\label{projection-et-extensions-de-corps}
Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ et $t\leq d$ : notons $J = I
diff --git a/chapitres/brauer.tex b/chapitres/brauer.tex
index 498a6cd..4fcf2c7 100644
--- a/chapitres/brauer.tex
+++ b/chapitres/brauer.tex
@@ -73,7 +73,7 @@ $\Aut_{K\traitdunion\Alg}(𝐌_n(K))$.
\begin{theoreme2}[Skolem-Nœther]\label{Skolem-Noether sur corps}
Soient $K$ un corps et $n≥1$ un entier.
Le morphisme $\GL_n(K)→\Aut_{K\traitdunion\Alg}(𝐌_n(K))$,
-$g↦\mathrm{Int}(g)=(m↦gmg^{-1})$
+$g↦\Int(g)=(m↦gmg^{-1})$
induit un isomorphisme
\[
\PGL_n(K)=\GL_n(K)/K^× ⥲\Aut_{K\traitdunion\Alg}(𝐌_n(K)).
@@ -134,7 +134,7 @@ L'application \refext{Formes}{formes vers H1} induit une bijection
\begin{démo}
Par définition, $\Azu(n,K\bo
-k)=\mathrm{Formes}(\text{algèbre }𝐌_n,K\bo k)$.
+k)=\mathtextrm{Formes}(\text{algèbre }𝐌_n,K\bo k)$.
La donnée d'une structure de $k$-algèbre sur un $k$-espace
vectoriel
$A$ de rang $n²$ correspond à la donnée d'une application
@@ -356,7 +356,6 @@ de mettre bout à bout les définitions — mais fastidieuse.
Nous encourageons le lecteur à en omettre la lecture.
\begin{démo}
-{\renewcommand{\Int}{\mathrm{Int}}
Commençons par rappeler que pour toute $k$-algèbre $C$,
le groupe $Π$ agit naturellement sur $C_K=C⊗_k K$ par son action sur
le second facteur. Nous noterons $σ↦σ_C$, $Π→\Aut_K(C_K)$
@@ -394,7 +393,7 @@ le facteur d'homothétie est le produit des facteurs d'homothétie.
(En effet, l'isomorphisme (i) ci-dessus
envoie la matrice $λ\Id_n⊗μ\Id_m$ sur la matrice $λμ\Id_{nm}$.)
Puisque, par définition, $ΔC_C$ représente le $2$-cocycle associé à $[C]$, on a bien
-l'égalité $[C]=[A]+[B]$, en notation additive.}
+l'égalité $[C]=[A]+[B]$, en notation additive.
\end{démo}
Cette proposition est un ingrédient essentiel
@@ -975,14 +974,14 @@ des quaternions imaginaires. On en déduit un morphisme
$𝐇^×(A) → \GL₃(A)$. Comme d'autre part on a l'égalité $N(rqr^{-1})=N(q)$,
cette action préserve la forme quadratique euclidienne naturelle sur $\Im 𝐇(A)$,
$q=a\i+b\j+c\k ↦ N(q)=a²+b²+c²$, si bien que le morphisme précédent
-se factorise à travers un morphisme $𝐇^×(A) → \mathrm{O}₃(A)$.
+se factorise à travers un morphisme $𝐇^×(A) → \mathtextrm{O}₃(A)$.
Le noyau de ce morphisme est $\Gm(A)=A^×$, plongé
dans $𝐇^×(A)$ par $a↦a⋅1$, car le centre de $𝐇(A)$ est $A$.
\begin{proposition2}\label{H vers special orthogonal}
-L'image du morphisme $𝐇^×(A) → \mathrm{O}₃(A)$ est contenue
-dans $\mathrm{SO}₃(A)$.
+L'image du morphisme $𝐇^×(A) → \mathtextrm{O}₃(A)$ est contenue
+dans $\SOrth₃(A)$.
\end{proposition2}
\begin{démo}
@@ -1019,7 +1018,7 @@ le morphisme $𝐇^{N=1}(K) → \SOrth₃(K)$ est également surjectif.
\end{théorème2}
Le groupe $𝐇^{N=1}$ est aussi appelé \emph{groupe spin},
-noté $\mathrm{Spin}₃$ ; c'est un revêtement double de $\SOrth₃$.
+noté $\mathtextrm{Spin}₃$ ; c'est un revêtement double de $\SOrth₃$.
Dans les deux paragraphes suivants nous allons donner deux démonstrations,
radicalement différentes, de ce théorème.
@@ -1030,7 +1029,7 @@ spinorielle}
Supposons un instant $K=𝐑$.
Le théorème \ref{parametrisation Euler-Hamilton-Cayley},
qui est paramétrisation rationnelle du groupe spécial orthogonal
-$\mathrm{SO}₃(𝐑)$, est dans ce cas dû à Euler (cf. \cite{Problema@Euler}).
+$\SOrth₃(𝐑)$, est dans ce cas dû à Euler (cf. \cite{Problema@Euler}).
Elle généralise la paramétrisation rationnelle de $\SOrth₂(𝐑) ≃ S¹$
par $𝐑$, envoyant $t ∈ 𝐑$ sur
\[
@@ -1096,7 +1095,7 @@ $u_μ:m ↦ \Tr(g_μ ⋅ m) +1=-½\det(m+g_μ)$.
Remarquons que $g_1+g_\i+g_\j+g_\k=0$ de sorte que
$u_1+u_\i+u_\j+u_\k$ est la fonction constante de valeur $4 ≠ 0$.
En particulier, les quatre sous-ensembles $U_μ=\{m:u_μ(m)≠0\}$ recouvrent
-$\mathrm{SO}₃$ où, pour alléger les notations, nous ne précisons plus le corps $K$.
+$\SOrth₃$ où, pour alléger les notations, nous ne précisons plus le corps $K$.
Comme observé ci-dessus dans le cas particulier
$μ=1$, on a :
\[
@@ -1141,7 +1140,7 @@ que si $m∈U_μ(K)$, on a l'égalité
Il n'est pas difficile de vérifier que la norme spinorielle
n'est autre que le morphisme $\SOrth₃(K)=H⁰(K,\SOrth₃) → H¹(K,μ₂)=K^×/{K^×}²$
-déduit de la suite exacte $1 → μ₂ → \mathrm{Spin}₃=𝐇^{N=1} → \SOrth₃ → 1$.
+déduit de la suite exacte $1 → μ₂ → \mathtextrm{Spin}₃=𝐇^{N=1} → \SOrth₃ → 1$.
\XXX
\begin{exercice2}
@@ -1164,7 +1163,7 @@ de $𝐇^×(K) → \SOrth₃(K)$. \XXX
Euler-Hamilton-Cayley} par décomposition en réflexions}
Nous supposons maintenant que $K$ est un \emph{corps}.
Il est bien connu (\cite{}) que tout élément du groupe
-$\mathrm{SO}₃(K)=\mathrm{SO}(\Im 𝐇(K))$, et plus généralement
+$\SOrth₃(K)=\SOrth(\Im 𝐇(K))$, et plus généralement
du groupe spécial orthogonal d'une forme quadratique non dégénérée,
est produit d'un nombre \emph{pair} de réflexions, c'est-à-dire d'éléments $s_r$ de la forme
$q↦q-\frac{2⟨r,q⟩}{⟨r,r⟩}r$ où $⟨\tiret,\tiret⟩$ est le produit scalaire $⟨x,y⟩=½(x\sur{y}+y\sur{x})$ associé
@@ -1182,26 +1181,26 @@ Si $q$ est un quaternion imaginaire on a donc
\[
s_r(q)=rq\sur{r}^{-1}.
\]
-Tout élément de $\mathrm{SO}₃(K)$, composé de tels éléments, s'écrit donc sous la forme
+Tout élément de $\SOrth₃(K)$, composé de tels éléments, s'écrit donc sous la forme
$q↦rqr′$ où $r,r′$ appartiennent à $𝐇^×(K)$ :
\[
s_{r₁} ∘ \cdots ∘ s_{r_n}=\left(q↦(r₁\cdots
r_n)q (\sur{r_n \cdots r₁})^{-1}\right).\]
Considérons maintenant le plongement naturel
-de $\mathrm{O}₃(K)=\mathrm{O}(\Im 𝐇(K))$ dans $\mathrm{O}₄(K)=\mathrm{O}(𝐇(K))$,
+de $\mathtextrm{O}₃(K)=\mathtextrm{O}(\Im 𝐇(K))$ dans $\mathtextrm{O}₄(K)=\mathtextrm{O}(𝐇(K))$,
envoyant une isométrie de $\Im 𝐇(K)$ sur l'unique isométrie de $𝐇(K)$
la prolongeant agissant trivialement sur le centre $K⋅1$ de $𝐇(K)$.
(Remarquons que $𝐇(K)=\Im 𝐇(K) ⊥ \mbox{$K⋅1$}$.) Ce plongement préserve le
déterminant. Une variante immédiate de l'argument précédent montre que
-tout élément de $\mathrm{SO}(𝐇(K))$ est également de la forme
+tout élément de $\SOrth(𝐇(K))$ est également de la forme
$q↦rqr′$ avec $r,r ′ ∈𝐇^×(K)$. Ne pouvant utiliser l'égalité $-\sur{q}=q$, on utilise l'identité
\[
(q↦-r₁\sur{q}r₁) ∘ (q↦-r₂\sur{q}r₂)=(q↦r₁qr₁) ∘ (q↦\sur{r₂}q\sur{r₂}).
\]
-Il en résulte qu'un élément de $\mathrm{SO}(\Im 𝐇(K))$
+Il en résulte qu'un élément de $\SOrth(\Im 𝐇(K))$
est la restriction d'une isométrie $f:q↦rqr'$ de $𝐇(K)$ avec $f(1)=1$.
-On a donc $rr'=1$, c'est-à-dire $r'=r^{-1}$ : tout élément de $\mathrm{SO}(\Im 𝐇(K))$
+On a donc $rr'=1$, c'est-à-dire $r'=r^{-1}$ : tout élément de $\SOrth(\Im 𝐇(K))$
est bien une conjugaison par un quaternion.
\section{Torsion du groupe de Brauer « absolu », cohomologie profinie}
@@ -1903,7 +1902,7 @@ homogène de degré $n$. Ceci entraîne le résultat annoncé.
\begin{remarque2}
On laisse le soin au lecteur de définir, pour tout $a∈A$, un « polynôme caractéristique
-réduit » $\mathrm{Prd}_A(a,X)=X^n-\Trd_A(a)X^{n-1}+\cdots+(-1)^n\Nrd_A(a)$.
+réduit » $\mathtextrm{Prd}_A(a,X)=X^n-\Trd_A(a)X^{n-1}+\cdots+(-1)^n\Nrd_A(a)$.
Cf. Bourbaki, VIII, §12.
\end{remarque2}
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index 6c98f73..6684a32 100644
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@@ -2507,12 +2507,12 @@ le morphisme induit $\chap{H}→\chap{G}$ est une injection. (Cet
Il en résulte que pour toute suite \emph{exacte} de groupes abéliens finis $1→K→G→H→1$,
la suite $1→\chap{H}→\chap{G}→\chap{K}→1$ est également exacte. En effet,
-$K^\perp:=\mathrm{Ker}(\chap{G}→\chap{K})$ est naturellement
+$K^\perp:=\Ker(\chap{G}→\chap{K})$ est naturellement
en bijection avec $\chap{G/K}$.
\begin{lemme2}
Soit $G$ un groupe fini abélien. Le morphisme d'évaluation
-$G→\chap{\chap{G}}$, $g\mapsto \big(\mathrm{\acute{e}v}_g:χ\mapsto χ(g)\big)$ est un isomorphisme.
+$G→\chap{\chap{G}}$, $g\mapsto \big(\mathtextrm{év}_g:χ\mapsto χ(g)\big)$ est un isomorphisme.
\end{lemme2}
\begin{démo}
@@ -2570,7 +2570,7 @@ Alors, $∑_{χ∈\chap{G}} χ(g)$ est égal à $0$ si $g≠e$ et $|G|$ sinon.
\begin{démo}
Le résultat est trivial si $g=e$. Supposons
$g≠e$. Puisque le morphisme $G→\chap{\chap{G}}$ est un
-isomorphisme, il est donc injectif : $\mathrm{\acute{e}v}_g≠e$.
+isomorphisme, il est donc injectif : $\mathtextrm{év}_g≠e$.
En d'autres termes, il existe un caractère $χ'∈\chap{G}$
tel que $χ'(g)≠1$. Soit $S=∑_χ χ(g)$. On a $χ'(g)S=∑_χ (χ'χ)(g)=S$.
Puisque $χ'(g)≠1$, on a bien $S=0$.
@@ -2584,9 +2584,9 @@ et $|G|$ sinon.
\end{corollaire2}
\begin{démo}
-Cela résulte de l'égalité $∑_g χ(g)=∑_g \mathrm{\acute{e}v}_g(χ)$,
+Cela résulte de l'égalité $∑_g χ(g)=∑_g \mathtextrm{év}_g(χ)$,
du lemme précédent, et du fait que tout caractère de $\chap{G}$ est
-de la forme $\mathrm{\acute{e}v}_g$ pour un unique $g∈G$.
+de la forme $\mathtextrm{év}_g$ pour un unique $g∈G$.
\end{démo}
\subsection{Équation $X^n=g$ dans un groupe abélien fini ; application}
@@ -2704,13 +2704,13 @@ par une sous-algèbre quotient \emph{stricte}.
(On a vu en \ref{algebre-diagonalisable} que tous ces quotients sont du type
envisagé dans la démonstration.)
-On note $\chap{A^×}^{\mathrm{nouv}}$ l'\emph{ensemble} de ces caractères (par oppositions
+On note $\chap{A^×}^{\mathtextrm{nouv}}$ l'\emph{ensemble} de ces caractères (par oppositions
aux \emph{anciens}, provenant d'une plus petite algèbre).
Généralisant quelque peu la notation habituelle,
on pose $\chap{A^×}[n]:=\{χ=(χ₀,\dots,χ_d)∈\chap{A^×}, χ_i^{n_i}=1\}$.
(Si $n₀=\dots=n_d$, on retombe sur la définition précédente.)
-Enfin, si $E⊂\chap{A^×}$, on note $E[n]$ (resp. $E^{\mathrm{nouv}}$ resp.
-$E^{\mathrm{nouv}}[n]$) son intersection avec le sous-ensemble correspondant
+Enfin, si $E⊂\chap{A^×}$, on note $E[n]$ (resp. $E^{\mathtextrm{nouv}}$ resp.
+$E^{\mathtextrm{nouv}}[n]$) son intersection avec le sous-ensemble correspondant
de $\chap{A^×}$.
Remarquons que si $d+1=\dim_F(A)>1$, tout nouveau caractère de $A^×$ est non
trivial.
@@ -2724,7 +2724,7 @@ Utilisant cette remarque et le lemme précédent, on peut donc
écrire :
$$
-N=(\# F)^d+∑_{χ∈\chap{A^×}^{\mathrm{nouv}}[n]\atop χ≠1} χ^{-1}(c)\big( ∑_{a∈A^×\atop \Tr(a)=b}
+N=(\# F)^d+∑_{χ∈\chap{A^×}^{\mathtextrm{nouv}}[n]\atop χ≠1} χ^{-1}(c)\big( ∑_{a∈A^×\atop \Tr(a)=b}
χ(a)\big).
$$
@@ -2757,7 +2757,7 @@ Soient $F$ un corps fini de cardinal $q$, $d≥0$ un entier, $c₀,\dots,c_d∈F
Alors,
$$
N(∑_i c_i X_i^{n_i}=0)=q^d+(q-1)∑_{x∈A^×/F^×,\Tr(a)=0 \atop
-χ∈\chap{A^×/F^×}^{\mathrm{nouv}}[n], χ≠1} χ(c)χ^{-1}(x).
+χ∈\chap{A^×/F^×}^{\mathtextrm{nouv}}[n], χ≠1} χ(c)χ^{-1}(x).
$$
\end{proposition2}
@@ -2795,7 +2795,7 @@ reformule :
$$
N=q^d+(-1)^{d-1}(q-1)∑_χ χ(c)J(χ),
$$
-où $χ$ parcourt le sous-ensemble $\chap{A^×/F^×}^{\mathrm{nouv}}[n]$.
+où $χ$ parcourt le sous-ensemble $\chap{A^×/F^×}^{\mathtextrm{nouv}}[n]$.
\subsubsection{Le cas $b$ quelconque}\label{formule-b-quelconque}
Comme pour $x∈F^×$, on a $x^{q-1}=1$, il vient :
@@ -2809,8 +2809,8 @@ $$
N=q^d+(-1)^d\big(∑_{χ'} χ'(c,-b)J(χ')-∑_χ χ(c)J(χ)\big),
$$
où la première somme se fait relativement à l'algèbre $A'=A×F$,
-$χ'$ parcourt l'ensemble $\chap{{A'}^×/F^×}^{\mathrm{nouv}}[(n,q-1)]$
-et $χ$ parcourt l'ensemble $\chap{A^×/F^×}^{\mathrm{nouv}}[n]$.
+$χ'$ parcourt l'ensemble $\chap{{A'}^×/F^×}^{\mathtextrm{nouv}}[(n,q-1)]$
+et $χ$ parcourt l'ensemble $\chap{A^×/F^×}^{\mathtextrm{nouv}}[n]$.
(Remarquer que $q^{d+1}-q^d=(q-1)q^d$.)
@@ -2822,10 +2822,10 @@ un unique $a∈F$ tel que $ψ(x)=ζ_p^{\Tr_{F/\FF_p}(ax)}$.
\begin{démo}
On se ramène immédiatement à montrer que toute forme linéaire $f:F→\FF_p$ est
-de la forme $x\mapsto \mathrm{Tr}_{F/\FF_p}(ax)$. Cela résulte du fait que
+de la forme $x\mapsto \Tr_{F/\FF_p}(ax)$. Cela résulte du fait que
la trace est non-dégénérée (l'extension $F/\FF_p$ est étale ; cf.
\refext{Alg}{pot-diag=geom-red=f-net} (v)).
-% si $\mathrm{Tr}_{F/\FF_p}(ax)=0$ pour tout $x∈F$, alors, $a=0$.
+% si $\Tr_{F/\FF_p}(ax)=0$ pour tout $x∈F$, alors, $a=0$.
%Ce dernier point résulte à son tour du fait que la trace est surjective
%et, de façon équivalente, non nulle : le polynôme $X+X^p+\cdots+X^{p^{r-1}}$,
%qui a au plus $p^{r-1}$ racines dans $F$ (supposé de degré $r$ sur $\FF_p$),
@@ -2887,7 +2887,7 @@ $$
\begin{proposition2}
Soient $A$ une $F$-algèbre étale, $ψ$ un caractère (additif) non trivial
-de $F$ et $χ∈\chap{A^×}^{\mathrm{nouv}}$ non trivial.
+de $F$ et $χ∈\chap{A^×}^{\mathtextrm{nouv}}$ non trivial.
Alors,
$$
|𝔤(χ,ψ)|=\sqrt{\# A}.
@@ -2898,7 +2898,7 @@ $$
En faisant le changement de variable $y=xz$ dans la
formule
$$
-|𝔤(χ,ψ)|²=𝔤(χ,ψ)\sur{𝔤(χ,ψ)}=∑_{x,y∈{A'}^×}χ(\frac{y}{x})ψ\big(\mathrm{Tr}_{A'/F}(x-y)\big),
+|𝔤(χ,ψ)|²=𝔤(χ,ψ)\sur{𝔤(χ,ψ)}=∑_{x,y∈{A'}^×}χ(\frac{y}{x})ψ\big(\Tr_{A'/F}(x-y)\big),
$$
on trouve immédiatement
$$
@@ -2961,8 +2961,8 @@ réciprocité quadratique}
\subsubsection{Notations}
Soit $F$ un corps fini cardinal $q$ et de caractéristique $p≠2$. Le groupe $F^×$ a donc un unique
-sous-groupe d'indice deux ; on note $χ_{\mathrm{quad}}$ le caractère
-correspondant. On a donc $χ_{\mathrm{quad}}(x)=1$ si $x∈{F^×}²$ et $-1$ sinon.
+sous-groupe d'indice deux ; on note $χ_{\mathtextrm{quad}}$ le caractère
+correspondant. On a donc $χ_{\mathtextrm{quad}}(x)=1$ si $x∈{F^×}²$ et $-1$ sinon.
C'est le seul caractère non trivial de $2$-torsion, de sorte que l'ensemble
des nouveaux caractères de $2$-torsion de $F^d$ est soit vide soit réduit à un seul
@@ -2970,7 +2970,7 @@ des nouveaux caractères de $2$-torsion de $F^d$ est soit vide soit réduit à
Dans tout ce paragraphe, nous fixons une racine primitive $p$-ème
de l'unité $ζ_p$ et considérons le caractère additif non trivial associé :
-$ψ(x)=ζ_p^{\Tr_{F/\FF_p}(x)}$. Nous notons $g_{\mathrm{quad}}$ la
+$ψ(x)=ζ_p^{\Tr_{F/\FF_p}(x)}$. Nous notons $g_{\mathtextrm{quad}}$ la
somme de Gauß associée à ce caractère additif et au caractère (multiplicatif) quadratique.
\begin{proposition2}
@@ -2978,36 +2978,36 @@ somme de Gauß associée à ce caractère additif et au caractère (multiplicati
Soient $d≥0$ un entier et $N$ le nombre de solutions de l'équation
$X₀²+\cdots+X_d²=1$.
\begin{enumerate}
-\item $g_{\mathrm{quad}}²=qχ_{\mathrm{quad}}(-1)$ ;
-\item $χ_{\mathrm{quad}}(-1)=(-1)^{\frac{q-1}{2}}$ ;
-\item $N=q^d+χ_{\mathrm{quad}}(-1)^{\frac{d}{2}} q^{\frac{d}{2}}$ si $d$ est
+\item $g_{\mathtextrm{quad}}²=qχ_{\mathtextrm{quad}}(-1)$ ;
+\item $χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)=(-1)^{\frac{q-1}{2}}$ ;
+\item $N=q^d+χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)^{\frac{d}{2}} q^{\frac{d}{2}}$ si $d$ est
pair ;
-\item $N=q^d+χ_{\mathrm{quad}}(-1)^{\frac{d+1}{2}} q^{\frac{d-1}{2}}$ si $d$ est
+\item $N=q^d+χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)^{\frac{d+1}{2}} q^{\frac{d-1}{2}}$ si $d$ est
impair.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
-Rappelons que $χ_{\mathrm{quad}}(-1)^n=χ_{\mathrm{quad}}\big((-1)^n\big)$ vaut
+Rappelons que $χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)^n=χ_{\mathtextrm{quad}}\big((-1)^n\big)$ vaut
$1$ si $(-1)^n$ est un carré dans $F$, $-1$ sinon.
\begin{démo}
(i) résulte de la formule générale :
$$𝔤(χ,ψ)𝔤(\sur{χ},ψ)=χ(-1)^{-1}𝔤(χ,ψ)\sur{𝔤(χ,ψ)}=χ(-1)q.$$
(ii) Si $x∈{F^×}²$, $x^{\frac{q-1}{2}}=1$ et vice-versa pour des raisons
-de cardinalité. Ainsi, $χ_{\mathrm{quad}}(x)=x^{\frac{q-1}{2}})$,
+de cardinalité. Ainsi, $χ_{\mathtextrm{quad}}(x)=x^{\frac{q-1}{2}})$,
égalité ayant lieu dans $\{±1\}$, plongé dans $\mathbf{U}$ (terme
de gauche) et $F^×$ (terme de droite).
(iii) et (iv) résultent de la formule générale exprimant $N$ comme
une somme, de l'égalité $qJ=g$.
Pour (iii), on utilise également l'égalité
-$χ_{\mathrm{quad}}(-1)\frac{g_{\mathrm{quad}}^{d+2}}{p}=χ_{\mathrm{quad}}(-1)^{\frac{d}{2}}q^{\frac{d}{2}}$,
+$χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)\frac{g_{\mathtextrm{quad}}^{d+2}}{p}=χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)^{\frac{d}{2}}q^{\frac{d}{2}}$,
qui découle de (i). L'égalité (iv) est semblable et laissée au lecteur.
\end{démo}
\begin{remarque2}
Insistons sur le caractère élémentaire de ces formules.
-Puisque $N(X²=a)=1+χ_{\mathrm{quad}}(a)$, en tire
-$N=q^d+∑_{a₀+\cdots+a_d=1} ∏_i χ_{\mathrm{quad}}(a_i)$. Le second
+Puisque $N(X²=a)=1+χ_{\mathtextrm{quad}}(a)$, en tire
+$N=q^d+∑_{a₀+\cdots+a_d=1} ∏_i χ_{\mathtextrm{quad}}(a_i)$. Le second
terme est, au signe près, une somme de Jacobi.
Ce calcul a été fait bien avant le cas d'une hypersurface diagonale
générale, dû à Weil.
@@ -3066,38 +3066,38 @@ explicite lorsque $p=17$.
Cf. \ref{reciprocite-quadratique}.
Soit $ℓ≠p$ un nombre premier impair.
-Notons $χ=(χ_{\mathrm{quad}},\dots,χ_{\mathrm{quad}})$
+Notons $χ=(χ_{\mathtextrm{quad}},\dots,χ_{\mathtextrm{quad}})$
le caractère de ${F^{ℓ+1}}^×$, où $F=\FF_p$. Il est nouveau, non trivial
-mais diagonalement trivial car $χ_{\mathrm{quad}}^{ℓ+1}=1$.
+mais diagonalement trivial car $χ_{\mathtextrm{quad}}^{ℓ+1}=1$.
Il résulte de la formule $pJ=g$ (\ref{proposition-Gauss-Jacobi}) et
du calcul de $g²$ (\ref{proposition-cardinal-spheres}, (i-ii)) que l'on a
l'égalité :
-$$p^{\frac{ℓ-1}{2}}(-1)^{(\frac{p-1}{2})(\frac{ℓ+1}{2})}=J(χ)=χ_{\mathrm{quad}}(-1)^ℓ∑_{∑x_i=1}χ_{\mathrm{quad}}(x₁)\cdots
-χ_{\mathrm{quad}}(x_ℓ).
+$$p^{\frac{ℓ-1}{2}}(-1)^{(\frac{p-1}{2})(\frac{ℓ+1}{2})}=J(χ)=χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)^ℓ∑_{∑x_i=1}χ_{\mathtextrm{quad}}(x₁)\cdots
+χ_{\mathtextrm{quad}}(x_ℓ).
$$
L'égalité de droite est une traduction immédiate de la définition
des sommes de Jacobi. (On utilise le fait que
-$χ_{\mathrm{quad}}=χ_{\mathrm{quad}}^{-1}$.)
-En faisant passer le terme $χ_{\mathrm{quad}}(-1)^ℓ$ à gauche, on trouve :
+$χ_{\mathtextrm{quad}}=χ_{\mathtextrm{quad}}^{-1}$.)
+En faisant passer le terme $χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)^ℓ$ à gauche, on trouve :
$$
p^{\frac{ℓ-1}{2}}(-1)^{(\frac{p-1}{2})(\frac{ℓ-1}{2})}=∑_{∑x_i=1\atop
-x_i∈𝐅_p^×}χ_{\mathrm{quad}}(x₁)\cdots
-χ_{\mathrm{quad}}(x_ℓ).
+x_i∈𝐅_p^×}χ_{\mathtextrm{quad}}(x₁)\cdots
+χ_{\mathtextrm{quad}}(x_ℓ).
$$
La somme de droite est une somme d'entiers égaux à $±1$.
-Elle est congrue à $χ_{\mathrm{quad}}(ℓ)$ modulo $ℓ$ pour
+Elle est congrue à $χ_{\mathtextrm{quad}}(ℓ)$ modulo $ℓ$ pour
la raison suivante. L'ensemble de sommation est naturellement un $𝐙/ℓ$-ensemble (action
par permutation cyclique des coordonnées) et la fonction
sommée est invariante par cette action. Il en résulte que,
modulo $ℓ$, seuls les points fixes contribuent. L'unique point
fixe est donné par $x₁=\cdots=x_ℓ=\frac{1}{ℓ}∈F^×$. Sa
-contribution est $χ_{\mathrm{quad}}(ℓ)∈\{±1\}$.
+contribution est $χ_{\mathtextrm{quad}}(ℓ)∈\{±1\}$.
-Puisque $χ_{\mathrm{quad}}(ℓ)=(\frac{ℓ}{p})$ et que d'autre part,
+Puisque $χ_{\mathtextrm{quad}}(ℓ)=(\frac{ℓ}{p})$ et que d'autre part,
modulo $ℓ$, $p^{\frac{ℓ-1}{2}}\equiv (\frac{p}{ℓ})$, on en tire :
\[
diff --git a/chapitres/correspondance-galois.tex b/chapitres/correspondance-galois.tex
index 624e082..308abab 100644
--- a/chapitres/correspondance-galois.tex
+++ b/chapitres/correspondance-galois.tex
@@ -426,7 +426,7 @@ car potentiellement diagonalisable.
Soient $K\bo k$ une extension finie galoisienne.
Les automorphismes $g∈G=\Hom_k(K,K)$,
vus comme éléments du $K$-espace vectoriel
-$\End_{k\traitdunion\mathrm{ev}}(K)$, sont $K$-linéairement indépendants.
+$\End_{k\traitdunion\mathtextrm{ev}}(K)$, sont $K$-linéairement indépendants.
\end{corollaire2}
Pour une généralisation, cf. exercice \ref{théorème de Dedekind}.
@@ -463,9 +463,9 @@ on obtient une relation de dépendance non triviale, qui
\begin{démo}[Troisième démonstration (esquisse)]
Il suffit de démontrer ce résultat après extension des scalaires de $k$ à $K$.
Il résulte de la proposition précédente que pour chaque $g∈G$,
-l'élément $g⊗_k K$ de $\End_{K\traitdunion\mathrm{ev}}(K⊗_k K)$
-correspond, via l'isomorphisme $\End_{K\traitdunion\mathrm{ev}}(K⊗_k K)⥲
-\End_{K\traitdunion\mathrm{ev}}(\Hom_{\Ens}(G,K))$ à l'opérateur
+l'élément $g⊗_k K$ de $\End_{K\traitdunion\mathtextrm{ev}}(K⊗_k K)$
+correspond, via l'isomorphisme $\End_{K\traitdunion\mathtextrm{ev}}(K⊗_k K)⥲
+\End_{K\traitdunion\mathtextrm{ev}}(\Hom_{\Ens}(G,K))$ à l'opérateur
de \emph{translation} :
\[
T_g:(x_h)_{h∈G}↦(x_{hg})_{h∈G}.
@@ -629,7 +629,7 @@ automorphismes} :
\begin{quote}
Soient $k$ un corps, $k'\bo k$ une extension et $A$ une $k$-algèbre.
L'ensemble $田A(k')$ est une partie $k'$-libre de
-$\Hom_{k\traitdunion\mathrm{ev}}(A,k')$.
+$\Hom_{k\traitdunion\mathtextrm{ev}}(A,k')$.
\end{quote}
(On pourra commencer par montrer, en utilisant le théorème chinois
et l'isomorphisme $田A(k')⥲田A_{k'}(k')$ que pour toute partie finie
@@ -1615,8 +1615,8 @@ $別₂$.
\begin{exemples2}
-En utilisant le fait que $∏_{i<j}(x_i+x_j)²=\mathrm{r\acute{e}s}(f(X),f(-X))$
-[presque] et $∏_{i<j}(x_i-x_j)²=Δ_{2'}(f)=\mathrm{r\acute{e}s}(f,f')$, on trouve
+En utilisant le fait que $∏_{i<j}(x_i+x_j)²=\mathtextrm{rés}(f(X),f(-X))$
+[presque] et $∏_{i<j}(x_i-x_j)²=Δ_{2'}(f)=\mathtextrm{rés}(f,f')$, on trouve
facilement les formules ci-dessous. \XXX
\begin{enumerate}
@@ -1865,7 +1865,7 @@ $\Spec(K⊗_k {k'}\alg)→\Spec(K⊗_k k')$ est surjectif
(\refext{AC}{relèvement idéaux} ou \refext{Descente}{fidèle platitude})
et $G$-équivariant donc on peut supposer $k'$ algébriquement clos.
Dans ce cas, $A$ est isomorphe comme $k'$-algèbre, munie
-d'une action de $G$, à $\Hom_{\mathrm{cont}}(G,k')$ (\refext{Krull}{KtensK-cas-infini}).
+d'une action de $G$, à $\Hom_{\mathtextrm{cont}}(G,k')$ (\refext{Krull}{KtensK-cas-infini}).
Le spectre de cette algèbre est canoniquement isomorphe à $G$
(\refext{Krull}{Spec(Hom(X,k))}) agissant (transitivement) sur lui-même par translation.
diff --git a/chapitres/descente.tex b/chapitres/descente.tex
index a2c7025..2c28ee6 100644
--- a/chapitres/descente.tex
+++ b/chapitres/descente.tex
@@ -50,7 +50,7 @@ Toute $k$-\emph{dérivation} de $M_n(k)$ est
toute application $k$-linéaire $δ:M_n(k)→M_n(k)$
satisfaisant les relations $δ(xy)=xδ(y)+yδ(x)$ pour toute
paire $(x,y)∈M_n(k)²$ est de la forme
-$m↦\mathrm{Int}_x(m)=xm-mx$ pour un (unique)
+$m↦\mathtextrm{Int}_x(m)=xm-mx$ pour un (unique)
$x∈M_n(k)$.
\end{proposition2}
diff --git a/chapitres/extensions-algebriques.tex b/chapitres/extensions-algebriques.tex
index a109148..dbda01d 100644
--- a/chapitres/extensions-algebriques.tex
+++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex
@@ -927,7 +927,7 @@ Lorsque $f$ se factorise comme en (i), on dit alors que $f$ est \emph{scindé} s
\begin{définition2}\label{définition corps de décomposition}
Une extension $K\bo k$ satisfaisant la condition (i)
de la proposition précédente est appelée extension, ou corps, de \emph{décomposition} de
-$f$. On note parfois $\mathrm{d\acute{e}c}_k(f)$.
+$f$. On note parfois $\dec_k(f)$.
\end{définition2}
\begin{démo}[Démonstration de la proposition]
@@ -2733,7 +2733,7 @@ de sorte que $M[ε]$ est une $k$-algèbre au-dessus de $A$.
\item Définir la notion de morphisme entre $k$-algèbres augmentées
vers $A$, noté $\Hom_{k\traitdunion\Alg \bo A}(A,M[ε])$.
\item Construire un isomorphisme $k$-linéaire
-$\Der_k(A,M) ⥲ \Hom_{k-\mathrm{alg}\bo A}(A,M[ε])$.
+$\Der_k(A,M) ⥲ \Hom_{k-\mathtextrm{alg}\bo A}(A,M[ε])$.
\end{enumerate}
\end{exercice2}
diff --git a/chapitres/formes-tordues.tex b/chapitres/formes-tordues.tex
index a0dc212..cb662ae 100644
--- a/chapitres/formes-tordues.tex
+++ b/chapitres/formes-tordues.tex
@@ -740,12 +740,12 @@ $K\bo k$ toute $k$-algèbre $A$ munie d'une action $k$-linéaire de $G$
telle que $A_K$ soit isomorphe à $K^G$.
\end{définition2}
-On note $\mathrm{Tors}(K\bo k,G)$ leur ensemble. On appelle
+On note $\mathtextrm{Tors}(K\bo k,G)$ leur ensemble. On appelle
$G$-torseur trivial (sous-entendu : sur $k$) le $G$-torseur $k^G$.
\begin{exemple2}\label{extension galoisienne groupe G est un G-torseur}
Toute extension $k′\bo k$ galoisienne de groupe $G$
-et trivialisé par $K\bo k$ est un objet de $\mathrm{Tors}(K\bo k,G)$.
+et trivialisé par $K\bo k$ est un objet de $\mathtextrm{Tors}(K\bo k,G)$.
Choisissons en effet un $k$-plongement $ι$ de $k′$ dans $K$,
dont l'existence est conséquence du fait que $K\bo k$ diagonalise
$k′\bo k$ (voir aussi \ref{description explicite Tors=H1}, (i)).
@@ -768,7 +768,7 @@ De façon générale, on a :
— $A\bo k$ est une $G$-algèbre galoisienne.
\begin{proposition2}\label{H1G=TorsG}
-L'ensemble des classes d'isomorphismes $\mathrm{Tors}(K\bo k,G)/∼$
+L'ensemble des classes d'isomorphismes $\mathtextrm{Tors}(K\bo k,G)/∼$
est naturellement en bijection avec l'ensemble
$H¹(Π,G)$, quotient de l'ensemble $\Hom(Π,G)$
sous l'action de $G$ par conjugaison. Si $G$ est abélien, il est isomorphe à $\Hom(Π,G)$.
@@ -1081,7 +1081,7 @@ extension finie galoisienne.
Pour tout $k$-tenseur $(V,x)$ de type $(p,q)$,
l'application
\[
-\mathrm{Formes}\big((V,x),K\bo k)→H¹\big(\Gal(K\bo
+\mathtextrm{Formes}\big((V,x),K\bo k)→H¹\big(\Gal(K\bo
k),\Aut((V,x)_{\bo K})\big)
\]
est une bijection.
diff --git a/chapitres/groupes-permutations.tex b/chapitres/groupes-permutations.tex
index bb7e7ab..b1f571a 100644
--- a/chapitres/groupes-permutations.tex
+++ b/chapitres/groupes-permutations.tex
@@ -1250,7 +1250,7 @@ primitif de $𝔖_n$ contenant un $p$-cycle.
\begin{lemme2}
Soient $G$ un sous-groupe $f$-transitif de $𝔖_X$, $C$ un sous-groupe
-de $G$ tel que le cardinal de $F=\mathrm{Fix}(C)\subset X$ soit égal à $f$.
+de $G$ tel que le cardinal de $F=\Fix(C)\subset X$ soit égal à $f$.
Alors, si $C$ est conjugué and $G_F$ à tout sous-groupe de $G_F$ conjugué
\emph{dans $G$} à $C$, le normalisateur de $C$ dans $G$ agit $f$-transitivement
sur $F$.
@@ -1303,7 +1303,7 @@ normalisateur dans $G$. On démontre les faits suivants :
\item Le sous-groupe $N$ est $f$-transitif sur $F$ (rappelons
que $C$ est un $p$-Sylow) et donc $N ↠ 𝔖_F$, via le morphisme
de restriction, bien défini ici.
-\item pour tout $\pi\in P$, $N_{\pi}:=\mathrm{Stab}_N(\pi)$ satisfait
+\item pour tout $\pi\in P$, $N_{\pi}:=\Stab_N(\pi)$ satisfait
$N_{\pi}↠ 𝔖_F$. En effet, $N=N_{\pi} G_F$ car $G_F$ agit
transitivement sur $P$ et $N$ agit sur $P$.
\item Pour tout $\pi\in P$, l'image de $N_{\pi}$ dans $𝔖_{P}$
diff --git a/chapitres/krull.tex b/chapitres/krull.tex
index 3f5340d..f797c51 100644
--- a/chapitres/krull.tex
+++ b/chapitres/krull.tex
@@ -655,9 +655,9 @@ $a⊗b\mapsto \big(g∈G\mapsto
g(a)b∈K'\big)$
induit un isomorphisme de $K'$-algèbres
$$
-K⊗_k K' ⥲ \Hom_{\mathrm{cont}}(G,K'),
+K⊗_k K' ⥲ \Hom_{\mathtextrm{cont}}(G,K'),
$$
-où $\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')$ désigne l'ensemble des applications
+où $\Hom_{\mathtextrm{cont}}(G,K')$ désigne l'ensemble des applications
\emph{continues}
de $G$ dans $K'$, $G$ étant muni de la topologie de Krull et
$K'$ de la topologie
@@ -731,13 +731,13 @@ $$K⊗_k K'=⋃_{E∈\mathscr{E}} E⊗_k K'.$$
D'autre part, pour tout $E∈\mathscr{E}$, l'application
$\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')→
-\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')$ déduite du morphisme de
+\Hom_{\mathtextrm{cont}}(G,K')$ déduite du morphisme de
restriction $r_E:G→G_{E\bo k}$
est injective car $r_E$ est surjectif. Identifiant
$\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')$ à son image dans
-$\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')$,
+$\Hom_{\mathtextrm{cont}}(G,K')$,
on a :
-$$\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')=⋃_{E∈\mathscr{E}}
+$$\Hom_{\mathtextrm{cont}}(G,K')=⋃_{E∈\mathscr{E}}
\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K').$$
Soit en effet $f:G→K'$ une application continue ; on
souhaite
@@ -771,7 +771,7 @@ La conclusion résulte de la commutativité des diagrammes
\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
%$$
%\xymatrix{
-%K⊗_k K' \ar[r] & \Hom_{\mathrm{cont}}(G,K') \\
+%K⊗_k K' \ar[r] & \Hom_{\mathtextrm{cont}}(G,K') \\
%E⊗_k K' \ar[u] \ar[r] & \Hom(G_{E\bo k},K') \ar[u]
%}
%$$
@@ -785,10 +785,10 @@ conséquence immédiate des définitions.
L'espace topologique sous-jacent à $G$ étant compact,
il résulte du résultat de \ref{Spec(Hom(X,k))} que le
spectre de
-$\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')$ est en bijection naturelle avec
+$\Hom_{\mathtextrm{cont}}(G,K')$ est en bijection naturelle avec
$G$, par l'application naturelle $g↦\Ker(\ev_g)$.
On retrouve le résultat de \refext{CG}{points-KtensK}, pour $K'=K$,
-puisque l'application $\ev_g:\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')→K'$
+puisque l'application $\ev_g:\Hom_{\mathtextrm{cont}}(G,K')→K'$
correspond
par l'isomorphisme de la proposition à l'application
$a⊗b↦g(a)b$,
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 6f5b078..107f74f 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -22,7 +22,7 @@
\chapter{Corps locaux, corps globaux}
\fi
-\DeclareMathOperatorWithFont{\module}{\mathrm}{mod}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\module}{\mathtextrm}{mod}
\section{Corps locaux}
@@ -416,7 +416,7 @@ tel que pour toute fonction $ψ ∈ 𝒞_c(G)_+$ de support dans $V_{φ,ε}$
et d'intégrale $μ(ψ)=1$, on ait $‖ φ ⋆_μ ψ - φ ‖_∞ ≤ ε$. (Un tel
énoncé est souvent utilisé pour régulariser des fonctions ; nous
n'en rappelons pas la démonstration.)
-Pour un tel $ψ$, on a $|ν(φ ⋆_μ ψ) -ν(φ)| ≤ ε ⋅ ν\big( \mathrm{Supp}(φ) V_{φ,ε}^{-1}\big)$.
+Pour un tel $ψ$, on a $|ν(φ ⋆_μ ψ) -ν(φ)| ≤ ε ⋅ ν\big( \mathtextrm{Supp}(φ) V_{φ,ε}^{-1}\big)$.
En particulier, il existe des fonctions $ψ$ positives de $μ$-intégrale unité telles que $ν(φ ⋆_μ ψ)$ soit
arbitrairement proche de $ν(φ)$. En appliquant ceci à $φ=φ₀$, et en utilisant
les égalités $ν(φ ⋆_μ ψ)=μ(φ)ν(ψ)$ et $μ(φ₀)=ν(φ₀)$, on en déduit
@@ -843,7 +843,7 @@ constante : l'anneau des entiers $𝒪$ de $K$ étant
un voisinage de l'origine, on se ramène par translation
à montrer que toute fonction continue $𝒪 → 𝐂$ est localement constante.
Cela résulte de la définition de la topologie sur $𝒪=\lim_n 𝒪/ 𝔪^n$
-d'après laquelle $\Hom_{\mathrm{cont}}(𝒪,𝐂)=\colim_n \Hom(𝒪/𝔪^n,𝐂)$.
+d'après laquelle $\Hom_{\mathtextrm{cont}}(𝒪,𝐂)=\colim_n \Hom(𝒪/𝔪^n,𝐂)$.
Le fonction $f$ ci-dessus étant de plus à support
compact, il existe un entier $e ∈ 𝐙$
tel que $f$ puisse s'exprimer comme une somme finie
@@ -1295,7 +1295,7 @@ un caractère du groupe fini $𝒰/(1+𝔣_χ)$, où $𝔣_χ$ est l'idéal co
Si $K$ est archimédien, l'entier $a$ tel que $χ₁=(u ↦ u^{-a})$ est appelé \emph{conducteur} de $χ$.
Les quasi-caractères $ω_s$ sont de conducteur nul, aussi
bien dans le cas ultramétrique qu'archimédien. Si $K$ est réel, le quasi-caractère $x↦ x^{-1}$ n'est autre
-que $\mathrm{sgn} ⋅ ω_{-1}$, où $\mathrm{sgn}(x) ∈ \{±1\}$ est le signe du réel non nul $x$.
+que $\mathtextrm{sgn} ⋅ ω_{-1}$, où $\mathtextrm{sgn}(x) ∈ \{±1\}$ est le signe du réel non nul $x$.
\begin{démo}
Soit $χ$ comme dans l'énoncé. Posons $χ₁=χ_{|𝒰}$ ; c'est un
@@ -2095,7 +2095,7 @@ valeurs absolues non triviales sur $K$ ; on note $Σ(K)$ leur ensemble.
Un point est dit \textbf{ultramétrique} (resp.
\textbf{archimédien}) si les valuations correspondantes
sont ultramétriques (resp. archimédiennes) ; leurs ensembles
-respectifs sont notés $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ et $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$.
+respectifs sont notés $Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ et $Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)$.
Nous faisons le choix de \emph{pas} utiliser les notations
traditionnelles $Σ_f(K)$ et $Σ_∞(K)$, afin d'éviter la possible
confusion entre les valeurs absolues archimédiennes et les valeurs absolues « à l'infini »
@@ -2134,21 +2134,21 @@ $k_x=𝒪_{K,x}/𝔪_x$ le corps résiduel, $N(x)$ le cardinal de $k_x$ — ap
Notons que si $ϖ$ est une uniformisante de $𝒪_{K,x}$,
on a $N(x)=|ϖ|_x^{-1}$.
Il est parfois utile de faire la convention suivante :
-lorsque $x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$, on pose $𝒪_{K,x}=K_x$.
+lorsque $x ∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)$, on pose $𝒪_{K,x}=K_x$.
% pertinence à vérifier \XXX. (Cela permet parfois d'éviter
-% d'écrire « $S ⊆ Σ(K)$ fini contenant $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$ »
+% d'écrire « $S ⊆ Σ(K)$ fini contenant $Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)$ »
\subsubsection{}
\label{U-entiers}
-Pour toute partie cofinie $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$, on note $𝒪_K(U)$ l'ensemble des éléments $f$ de $K$
+Pour toute partie cofinie $U ⊆ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$, on note $𝒪_K(U)$ l'ensemble des éléments $f$ de $K$
qui sont \textbf{$U$-entiers}, c'est-à-dire appartenant à $𝒪_{K,x}$ pour chaque $x ∈ U$.
De façon équivalente : $|f|_x ≤ 1$ pour tout $x ∈ U$.
Nous dirons qu'un tel ensemble $U$ est un \emph{ouvert dense} \index{ouvert dense} de $K$.
(Insistons sur le fait que l'on ne topologise pas $K$ et qu'il s'agit d'une convention de langage.)
% choix terminologique discutable \XXX
Lorsque $K$ est un corps de nombres, il est d'usage de noter $𝒪_K$
-l'anneau $𝒪_K(Σ^{\mathrm{ultr}}(K))$, dit \textbf{anneau des entiers} de $K$.
+l'anneau $𝒪_K(Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K))$, dit \textbf{anneau des entiers} de $K$.
\subsubsection{}
\label{notation OLU}
@@ -2181,7 +2181,7 @@ nul. Ce n'est autre que le sous-anneau $k[t^i/P, 0 ≤ i ≤ d]$ de $𝐅_p(t)$
où $d=\deg(P)$. Notons que dans un cas comme dans l'autre, ces anneaux sont des
$k$-algèbres de type fini et de corps des fractions $𝐅_p(t)$.
-Par contre, si $K=𝐐$ et $Σ=Σ^{\mathrm{ultr}}(𝐐))$, on a $𝒪_𝐐=𝒪_K(Σ)=𝐙$.
+Par contre, si $K=𝐐$ et $Σ=Σ^{\mathtextrm{ultr}}(𝐐))$, on a $𝒪_𝐐=𝒪_K(Σ)=𝐙$.
\subsubsection{}
\label{corps des constantes}
@@ -2199,9 +2199,9 @@ $𝒫$ désigne l'ensemble des nombres premiers et $| ⋅ |_p$
envoie $f ∈ 𝐐$ sur $p^{-v_p(f)}$, où $v_p(f) ∈ 𝐙 ∪\{+∞\}$ est la
valuation $p$-adique de $f$ si $p$ est premier,
ou sur la valeur absolue usuelle $|f|_∞$ de $f$ si $p=∞$.
-Ainsi, $𝒫 → Σ^{\mathrm{ultr}}(𝐐)$, $p ↦ (\text{classe de }|⋅|_p$)
+Ainsi, $𝒫 → Σ^{\mathtextrm{ultr}}(𝐐)$, $p ↦ (\text{classe de }|⋅|_p$)
est une bijection, d'inverse noté $x ↦ p_x$, et
-$\{∞\} → Σ^{\mathrm{arch}}(𝐐)$, $∞ ↦ \text{classe de }|⋅|_∞$ également.
+$\{∞\} → Σ^{\mathtextrm{arch}}(𝐐)$, $∞ ↦ \text{classe de }|⋅|_∞$ également.
Par la suite, on identifiera souvent ces ensembles
par les bijections précédentes. Cette identification
est compatible avec les notations introduites ci-dessus.
@@ -2306,10 +2306,10 @@ et le théorème \ref{cocompacité} \emph{infra}.)
\label{finitude-infinitude-places}
Soit $K$ un corps global.
\begin{enumerate}
-\item L'ensemble $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$ est \emph{fini}.
-\item L'ensemble $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ est \emph{infini}. De plus,
+\item L'ensemble $Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)$ est \emph{fini}.
+\item L'ensemble $Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ est \emph{infini}. De plus,
pour chaque $c ∈ 𝐑_{>0}$, son sous-ensemble
-$\{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K): N(x) ≤ c\}$ est \emph{fini}.
+$\{x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K): N(x) ≤ c\}$ est \emph{fini}.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
@@ -2318,8 +2318,8 @@ Il résulte de \refext{AVD-D}{fonctorialité valeurs absolues}
et du fait que la restriction d'une valeur absolue archimédienne
(resp. ultramétrique) est archimédienne (resp. ultramétrique),
qu'il suffit de traiter le cas particulier où $K$ est un corps global premier.
-Dans ce cas, (i) résulte du fait que $Σ^{\mathrm{arch}}(𝐐)$
-est un singleton et $Σ^{\mathrm{arch}}(𝐅_p(t))$ est vide.
+Dans ce cas, (i) résulte du fait que $Σ^{\mathtextrm{arch}}(𝐐)$
+est un singleton et $Σ^{\mathtextrm{arch}}(𝐅_p(t))$ est vide.
Quant au premier point de (ii), il suffit de montrer que l'ensemble des idéaux maximaux
$(P)$ de $𝐙$ (resp. $𝐅_p[t]$) est infini. Ceci est bien connu
et en substance dû à Euclide : considérer un diviseur irréductible
@@ -2414,10 +2414,10 @@ déduit de l'inclusion $A ↪ K_u^+$. C'est un idéal \emph{maximal} car $A/(A
(On utilise le fait qu'un anneau fini intègre est un corps.)
Rappelons que $\Specmax(A)$ s'injecte naturellement dans
\commentaire{mettre ces sorites ailleurs ?}
-$Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ car chaque idéal maximal $𝔭$ de l'anneau $A$
+$Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ car chaque idéal maximal $𝔭$ de l'anneau $A$
induit une valuation ultramétrique $|⋅|_𝔭$ sur son corps des fractions
-telle que $𝔭 = A ∩ K_{|⋅|_𝔭}^{++}$. L'application composée $U → \Specmax(A) → Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$
-est l'injection de $U$ dans $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
+telle que $𝔭 = A ∩ K_{|⋅|_𝔭}^{++}$. L'application composée $U → \Specmax(A) → Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$
+est l'injection de $U$ dans $Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$.
En effet, si $u ∈ U$ et $𝔭_u=A ∩ K_u^{++}$ est l'idéal
premier de $A$ correspondant, inclusion $A ⊆ K_u^+$ s'étend en une inclusion
du localisé $A_{𝔭_u}$ dans l'anneau $K_u^+$ (car pour tout élément $b$ de $A∖ 𝔭_u$,
@@ -2581,8 +2581,8 @@ associé est un isomorphisme de groupes topologiques.
\begin{itemize}
\item Dans (i), on demande que l'isomorphisme de \emph{groupes} $\sur{f}$
soit bicontinu c'est-à-dire, ici, d'inverse continu. Cette condition
-n'est pas automatique : considérer le morphisme $G^{\mathrm{disc}} → G$,
-où $G$ est un groupe topologique quelconque et $G^{\mathrm{disc}}$ le
+n'est pas automatique : considérer le morphisme $G^{\mathtextrm{disc}} → G$,
+où $G$ est un groupe topologique quelconque et $G^{\mathtextrm{disc}}$ le
même groupe, muni de la topologie discrète.
\item Le composé de deux morphismes stricts n'est pas nécessairement strict.
\end{itemize}
@@ -2811,30 +2811,30 @@ On le note $μ(f)$ ; la forme linéaire $f↦ μ(f)$ est une mesure de Radon
\subsubsection{}
\label{définition adèles}
Soit $K$ un corps global, dont on note $Σ(K)$
-l'ensemble des points et $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ l'ensemble
+l'ensemble des points et $Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ l'ensemble
cofini des points ultramétriques. La construction
générale précédente nous permet de définir
le produit restreint $K_𝐀$ des corps locaux $K_x$ pour $x ∈ Σ(K)$, relativement
-aux anneaux d'entiers $𝒪_{K,x}$ pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
+aux anneaux d'entiers $𝒪_{K,x}$ pour $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$.
C'est la colimite des anneaux topologiques $K_𝐀(U)=∏_{x ∉ U} K_x × ∏_{x ∈ U} 𝒪_{K,x}$
-pour $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, appelée
+pour $U ⊆ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ cofini, appelée
\textbf{anneau des adèles sur $K$}.
Un élément de $K_𝐀$ est souvent noté $a=(a_x)$, ou parfois $a_𝐀$
pour éviter toute confusion avec un élément de $K$.
\subsubsection{}
\label{définition adèles ultramétriques}
-On note aussi $K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ (resp. $K_𝐀^{\mathrm{arch}}$) le produit restreint des
-corps locaux $K_x$ pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$, relativement
+On note aussi $K_𝐀^{\mathtextrm{ultr}}$ (resp. $K_𝐀^{\mathtextrm{arch}}$) le produit restreint des
+corps locaux $K_x$ pour $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$, relativement
aux anneaux d'entiers $𝒪_{K,x}$ (resp. le produit fini des $K_x$ pour $x
-∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$). C'est l'anneau des \textbf{adèles ultramétriques}
+∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)$). C'est l'anneau des \textbf{adèles ultramétriques}
ou \textbf{finis} (resp. \textbf{archimédiens} ou \textbf{infinis}).
\subsubsection{}
\label{adèles principaux}
Pour chaque $x ∈ Σ(K)$, le corps $K$ se plonge
naturellement dans $K_x$. De plus chaque élément $λ ∈ K$
-est $x$-entier pour presque toute place $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
+est $x$-entier pour presque toute place $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$.
Ainsi l'inclusion diagonale $K ↪ ∏_{x ∈ Σ} K_x$
se factorise à travers l'inclusion $K ↪ K_𝐀$, dite
\emph{inclusion canonique}. Par la suite, nous identifierons $K$
@@ -2846,10 +2846,10 @@ pour les propriétés topologiques de cette inclusion.)
\label{notation KAU}
On prendra garde de ne pas confondre
l'anneau $𝒪_K(U)$ des éléments $U$-entiers de $K$,
-pour $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, et le sous-anneau $K_𝐀(U)$
+pour $U ⊆ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ cofini, et le sous-anneau $K_𝐀(U)$
des adèles. Ils sont liés par la relation : $𝒪_K(U)= K ∩ K_𝐀(U)$.
Lorsque cela ne semble pas prêter à confusion,
-le sous-anneau $K_𝐀(Σ^{\mathrm{ultr}}(K))$ des \textbf{adèles entiers} de $K_𝐀$ est parfois noté $𝒪_{K_𝐀}$ ;
+le sous-anneau $K_𝐀(Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K))$ des \textbf{adèles entiers} de $K_𝐀$ est parfois noté $𝒪_{K_𝐀}$ ;
il est \emph{compact} lorsque $K$ est un corps de fonctions.
D'autre part, lorsque $K$ est un corps de nombres, on a $𝒪_{K_𝐀} ∩ K =𝒪_K$ (\ref{U-entiers}).
@@ -2975,7 +2975,7 @@ Pour montrer la compacité du quotient,
il suffit de vérifier l'égalité $C + 𝐐 =𝐐_𝐀$.
Par translation par un entier, il suffit
de montrer que l'on a $\big(𝐑 × ∏_p 𝐙_p\big) + 𝐐 = 𝐐_𝐀$,
-ou encore que le groupe additif quotient $𝐐_𝐀 / 𝐐_𝐀(Σ^{\mathrm{ultr.}}(𝐐))$
+ou encore que le groupe additif quotient $𝐐_𝐀 / 𝐐_𝐀(Σ^{\mathtextrm{ultr.}}(𝐐))$
est engendré par (l'image de) $𝐐$.
Or, ce quotient est canoniquement isomorphe à la \emph{somme}
directe $⨁_p 𝐐_p / 𝐙_p$, car l'anneau des adèles est un produit \emph{restreint}. Comme le morphisme
@@ -3039,7 +3039,7 @@ Pour tout $a_𝐀 ∈ K_𝐀^×$, l'ensemble $K ∩ a_𝐀^{-1}𝒪_{K_𝐀}$ es
\end{corollaire2}
Rappelons (\ref{notation KAU}) que $𝒪_{K_𝐀}$ est
-le produit $∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} K_x × ∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)}
+le produit $∏_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)} K_x × ∏_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)}
𝒪_{K,x}$, le premier facteur n'apparaissant pas lorsque $K$ est un corps
de fonctions.
@@ -3090,13 +3090,13 @@ et, par conséquent, $∏_y |λ|_y = ∏_x |\N_{L\bo K}(λ)|_x$.
\subsubsection{}
\label{définition idèles}
Comme précédemment, on considère un corps global $K$, dont on note $Σ(K)$
-l'ensemble des points et $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ l'ensemble
+l'ensemble des points et $Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ l'ensemble
cofini des points ultramétriques. La construction
générale du §\ref{généralités produits restreints} nous permet de définir
le produit restreint $K^×_𝐀$ des groupes multiplicatifs $K^×_x$ des corps
-locaux $K_x$, relativement aux sous-groupes  $𝒪_{K,x}^×$ (pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$).
+locaux $K_x$, relativement aux sous-groupes  $𝒪_{K,x}^×$ (pour $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$).
C'est la colimite des groupes topologiques $K^×_𝐀(U)=∏_{x ∉ U} K^×_x × ∏_{x ∈ U} 𝒪^×_{K,x}$
-pour $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, appelée
+pour $U ⊆ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ cofini, appelée
\textbf{groupe des idèles sur $K$}. L'inclusion $K^×_𝐀 ↪ K_𝐀$ est
\emph{continue} \XXX et son image est le groupe des éléments inversibles de
l'anneau $K_𝐀$ des adèles.
@@ -3186,7 +3186,7 @@ Les résultats établis permettent de conclure.
\label{idèles principaux}
Pour chaque place $x ∈ Σ(K)$, le groupe $K^×$ se plonge
naturellement dans $K^×_x$. De plus chaque élément $λ ∈ K^×$
-est une unité en $x$ pour presque toute place $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
+est une unité en $x$ pour presque toute place $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$.
Ainsi l'inclusion diagonale $K^× ↪ ∏_{x ∈ Σ(K)} K^×_x$
se factorise à travers l'inclusion $K^× ↪ K^×_𝐀$, dite
\emph{inclusion canonique}. Par la suite, nous identifierons $K^×$
@@ -3247,7 +3247,7 @@ $\log_𝐀:f ↦ (\log(|f|_x))_{x ∉ U}$ de $𝒪_K(U)^×$
vers l'hyperplan $(⨁_{x ∉ U} 𝐑)⁰$ des éléments de somme nulle
est un isomorphisme modulo les compacts et
le groupe $𝒪_K(U)^×$ est isomorphe à la somme directe de $𝐙^r$, où $r =
-\max\{\mathrm{card}( Σ(K)∖U)-1,0\}$, et d'un groupe abélien fini.
+\max\{\mathtextrm{card}( Σ(K)∖U)-1,0\}$, et d'un groupe abélien fini.
En particulier, si $K$ un corps de nombres, $r_{\RR},r_{\CC}$ sont les entiers tels que
la $𝐑$-algèbre $K_𝐑=K\otimes_{\QQ} \RR$ se décompose en
$\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$, alors le groupe $𝒪_K^{\times}$ des unités de l'anneau des entiers $𝒪_K$
@@ -3414,8 +3414,8 @@ réelles $\Re(χ_x)$ sont toutes égales à $σ$.
\subsubsection{Caractères de Hecke} \XXX
\subsection{Groupes de Picard}
-\newcommand{\Div}{\mathop{\mathrm{Div}}}
-\renewcommand{\div}{\mathop{\mathrm{div}}\nolimits}
+\newcommand{\Div}{\mathop{\mathtextrm{Div}}}
+\renewcommand{\div}{\mathop{\mathtextrm{div}}\nolimits}
\subsubsection{}
\label{définition diviseur}
@@ -3439,7 +3439,7 @@ Les diviseurs dans le sous-groupe $\div_U(K^×)$ de $\Div(U)$
sont appelés \textbf{diviseurs principaux} (sur $U$).
On appelle \textbf{groupe de Picard} de $U$, le quotient
\[
-\Pic(U)=\Div(U)∕\div_U(K^×)=\mathrm{coker}(K^× → ⨁_u 𝐙).
+\Pic(U)=\Div(U)∕\div_U(K^×)=\mathtextrm{coker}(K^× → ⨁_u 𝐙).
\]
D'après ce qui précède, on a un isomorphisme naturel, induit par $\div_U$,
\[
@@ -3504,7 +3504,7 @@ plus précisément que le morphisme $K^{×,=1}_𝐀 → K^×_𝐀 / K^×_𝐀(X)
c'est-à-dire que l'on a l'égalité $K^×_𝐀 = K^{×,=1}_𝐀 K^×_𝐀(X)$,
ou encore, par translation multiplicative, qu'il existe des idèles dans $ K^×_𝐀(X)$ de norme
arbitraire. Cela résulte de l'existence
-d'une place archimédienne $∞ ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$
+d'une place archimédienne $∞ ∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)$
et de la surjectivité de la norme $K^×_∞ → 𝐑_{>0}$.
[détailler \XXX]
\end{démo}
@@ -3588,7 +3588,7 @@ Dans tout ce paragraphe, $K$ désigne un corps global.
\subsubsection{Notations}
\label{produit externe restreint}
À toute collection $(f_x:K_x → 𝐂)_{x ∈ Σ(K)}$ de fonctions continues telles
-que pour presque tout $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ on ait
+que pour presque tout $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ on ait
$f_x(𝒪_{K,x})=\{1\}$, on peut associer la fonction
$\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ(K)} f_x$
de $K_𝐀$ dans $𝐂$, produit externe restreint des $(f_x)$,
@@ -3598,10 +3598,10 @@ $f_𝐀=(f_x)$, tout en gardant à l'esprit que la donnée de la fonction produi
externe restreint $f_𝐀$ ne permet bien évidemment pas de retrouver
les facteurs $f_x$. (Voir cependant \ref{caractères additifs QA}
ci-dessous dans le cas de caractères.) Il est parfois commode de considérer la partie
-archimédienne $f_{𝐀}^{\mathrm{arch}}:K_𝐀^{\mathrm{arch}} → 𝐂$, produit externe fini
-des $f_x$ pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$,
-et son analogue ultramétrique $f_𝐀^{\mathrm{ultr}}:K_𝐀^{\mathrm{ultr}} → 𝐂$.
-Par construction, on a $f_𝐀=f_𝐀^{\mathrm{arch}} ⊠ f_𝐀^{\mathrm{ultr}}$.
+archimédienne $f_{𝐀}^{\mathtextrm{arch}}:K_𝐀^{\mathtextrm{arch}} → 𝐂$, produit externe fini
+des $f_x$ pour $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$,
+et son analogue ultramétrique $f_𝐀^{\mathtextrm{ultr}}:K_𝐀^{\mathtextrm{ultr}} → 𝐂$.
+Par construction, on a $f_𝐀=f_𝐀^{\mathtextrm{arch}} ⊠ f_𝐀^{\mathtextrm{ultr}}$.
\subsubsection{Espace de Bruhat-Schwartz adélique}
\commentaire{Bonne définition ? Kudla [Tate]/Weil [1964b]}
@@ -3610,23 +3610,23 @@ On note $𝒮(K_𝐀)$ l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficients
complexes de produits externes restreints $f_𝐀=(f_x)$
où chaque $f_x$ appartient à l'espace de Schwartz $𝒮(K_x)$
du corps local $K_x$ (\ref{BS-local}), et $f_x = 𝟭_{𝒪_{K,x}}$ pour
-presque tout $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
+presque tout $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$.
% cf. Kudla, « Tate's thesis »
%p. 125, ces fonctions seraient en général seulement
%\emph{denses} dans l'espace de Bruhat-Schwartz.
%L'inclusion stricte ne pouvant se produire que pour
%des corps de nombres différents de $𝐐$, cf. Weil, [1964b]
%p. 178 et p. 189. \XXX
-Ainsi, la fonction $f_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ est combinaison linéaire de fonctions
-$\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)}
-𝟭_{a_x + 𝔪_x^{n_x} 𝒪_{K,x}}$ où $(a_x) ∈ K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$
+Ainsi, la fonction $f_𝐀^{\mathtextrm{ultr}}$ est combinaison linéaire de fonctions
+$\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)}
+𝟭_{a_x + 𝔪_x^{n_x} 𝒪_{K,x}}$ où $(a_x) ∈ K_𝐀^{\mathtextrm{ultr}}$
et les entiers relatifs $n_x$ sont presque tous nuls.
Si $K$ est un corps de nombres, il résulte de \ref{cocompacité} (i)
qu'il existe un élément $a ∈ K$ tel que $a-a_x$ appartienne à $𝒪_{K,x}$
-pour chaque $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
+pour chaque $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$.
Dans ce cas, toute fonction $f_𝐀 ∈ 𝒮(K_𝐀)$ est combinaison
-linéaire de fonctions $f^{\mathrm{arch}} ⊠ f^{\mathrm{ultr}}$, où $f^{\mathrm{ultr}}$
-est de la forme $𝟭_{a+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$, avec $a ∈ K$ et $𝔫=∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝔪_x^{n_x}$
+linéaire de fonctions $f^{\mathtextrm{arch}} ⊠ f^{\mathtextrm{ultr}}$, où $f^{\mathtextrm{ultr}}$
+est de la forme $𝟭_{a+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$, avec $a ∈ K$ et $𝔫=∏_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)} 𝔪_x^{n_x}$
($n_x=0$ pour presque tout $x$).
\subsubsection{Caractères additifs $𝐐_𝐀$}
@@ -3918,20 +3918,20 @@ où $ψ_{a}=[× a]^* ψ$. Explicitons maintenant cette construction dans deux ca
particuliers.
— Transformation de Fourier sur $𝐐_𝐀$. Considérons une
-fonction $f^{\mathrm{arch}} ∈ 𝒮(𝐑)=𝒮(𝐐_∞)$, un entier relatif
+fonction $f^{\mathtextrm{arch}} ∈ 𝒮(𝐑)=𝒮(𝐐_∞)$, un entier relatif
$N∈ 𝐙-\{0\}$ et un rationnel $o ∈ 𝐐$. Il résulte
des égalités $𝟭_{o_p+ N 𝐙_p}=[-o_p]^* [×\frac{1}{N}]^* 𝟭_{𝐙_p}$,
du formulaire \ref{Fourier et mesure locaux} (ii--iii) et
de la formule du produit $∏_p |N|_p=1/|N|$ que l'on a l'égalité
\[
-ℱ_{ψ_𝐐}(f^{\mathrm{arch}} ⊠ 𝟭_{o+N \chap{𝐙}})=
-\big( \frac{1}{|N|} ℱ_{𝐑}(f^{\mathrm{arch}}) \big) ⊠
-\big( [×o]^* ψ_𝐐^{\mathrm{ultr}} ⋅ 𝟭_{N^{-1} \chap{𝐙}}\big) \tag{$⋆$},
+ℱ_{ψ_𝐐}(f^{\mathtextrm{arch}} ⊠ 𝟭_{o+N \chap{𝐙}})=
+\big( \frac{1}{|N|} ℱ_{𝐑}(f^{\mathtextrm{arch}}) \big) ⊠
+\big( [×o]^* ψ_𝐐^{\mathtextrm{ultr}} ⋅ 𝟭_{N^{-1} \chap{𝐙}}\big) \tag{$⋆$},
\]
-où $ψ_𝐐^{\mathrm{ultr}}=(𝐞_p)_p$ désigne le caractère additif des adèles finis
+où $ψ_𝐐^{\mathtextrm{ultr}}=(𝐞_p)_p$ désigne le caractère additif des adèles finis
déduit de $ψ_𝐐$ et l'on rappelle que
l'on note $\chap{𝐙}$ le complété profini $∏_p 𝐙_p = \lim_n 𝐙/n$ de $𝐙$.
-Il en résulte qu'une telle fonction $f=f^{\mathrm{arch}} ⊠ 𝟭_{o+N
+Il en résulte qu'une telle fonction $f=f^{\mathtextrm{arch}} ⊠ 𝟭_{o+N
\chap{𝐙}}$ satisfait la \emph{formule de Poisson adélique}
\[
∑_{λ ∈ 𝐐} f(λ)=∑_{λ ∈ 𝐐} ℱ_{ψ_𝐐}(f)(λ), \tag{$⋆⋆$}
@@ -3939,12 +3939,12 @@ Il en résulte qu'une telle fonction $f=f^{\mathrm{arch}} ⊠ 𝟭_{o+N
En effet, compte tendu du calcul $(⋆)$ de la transformée de Fourier,
la formule de Poisson à établir se réécrit :
\[
-∑_{λ ∈ o+N 𝐙} f^{\mathrm{arch}}(λ)=\frac{1}{|N|} ∑_{λ ∈ N^{-1} 𝐙} 𝐞_∞(-λ o)
-\chap{f^{\mathrm{arch}}}(λ).
+∑_{λ ∈ o+N 𝐙} f^{\mathtextrm{arch}}(λ)=\frac{1}{|N|} ∑_{λ ∈ N^{-1} 𝐙} 𝐞_∞(-λ o)
+\chap{f^{\mathtextrm{arch}}}(λ).
\]
Cette dernière résulte de la formule de Poisson archimédienne classique
-appliquée à la fonction $φ(λ)=f^{\mathrm{arch}}(N λ + o)$, dont la transformée
-de Fourier est $λ↦ \frac{1}{|N|} 𝐞_∞(-λ o/N)\chap{f^{\mathrm{arch}}}(\frac{λ}{N})$.
+appliquée à la fonction $φ(λ)=f^{\mathtextrm{arch}}(N λ + o)$, dont la transformée
+de Fourier est $λ↦ \frac{1}{|N|} 𝐞_∞(-λ o/N)\chap{f^{\mathtextrm{arch}}}(\frac{λ}{N})$.
Par linéarité et l'observation faite en (\ref{Bruhat-Schwartz adélique}),
la formule de Poisson $(⋆⋆)$ est valable pour toute fonction $f ∈ 𝒮(𝐐_𝐀)$ ;
c'est aussi un cas particulier de la formule \ref{Fourier adélique} établie ci-dessous.
@@ -4036,7 +4036,7 @@ des formules d'inversion locales (\ref{Fourier et mesure locaux}, (iv) \& (v)).
\subsubsection{Formule de Poisson : convergence normale sur les compacts}
\label{lemme de convergence normale sur compacts}
-\newcommand{\Supp}{\mathop{\mathrm{Supp}}}
+\newcommand{\Supp}{\mathop{\mathtextrm{Supp}}}
Soit $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ une fonction et soit $C$ un compact de $K_𝐀$.
Vérifions que la somme de fonctions $a_𝐀 ∈ K_𝐀 ↦ ∑_{λ ∈ K} |f(a_𝐀+λ)|$ converge
uniformément sur $C$. On peut supposer que la fonction est un produit
@@ -4058,37 +4058,37 @@ la somme considérée, restreinte au compact $C$, est une somme finie.
❧ Cas des corps de nombres.
D'après \ref{Bruhat-Schwartz adélique}, on peut supposer $f$
-de la forme $f^{\mathrm{arch}} ⊠ f^{\mathrm{ultr}}$, où
-$f^{\mathrm{ultr}}$ est la fonction caractéristique $𝟭_{o+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$
+de la forme $f^{\mathtextrm{arch}} ⊠ f^{\mathtextrm{ultr}}$, où
+$f^{\mathtextrm{ultr}}$ est la fonction caractéristique $𝟭_{o+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$
de $o+𝔫𝒪_{K_𝐀}$, pour un $o ∈ K$ et un produit cartésien $𝔫=∏_x 𝔪_x^{n_x}$
($n_x=0$ pour presque tout $x$).
Lorsque $a_𝐀$ appartient à $C$, les termes $f(a_𝐀+λ)$
de la somme sont nuls sauf peut-être si
-$λ ∈ K ∩ \big((o+𝔫𝒪_{K_𝐀}) - C^{\mathrm{ultr}}\big)$,
-où $C^{\mathrm{ultr}}$ est la projection (compacte) de $C$ dans l'ensemble
-$K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ des adèles ultramétriques (\ref{définition adèles ultramétriques}).
-(On note ici $(o+𝔫𝒪_{K_𝐀}) - C^{\mathrm{ultr}}$ l'image de l'application
+$λ ∈ K ∩ \big((o+𝔫𝒪_{K_𝐀}) - C^{\mathtextrm{ultr}}\big)$,
+où $C^{\mathtextrm{ultr}}$ est la projection (compacte) de $C$ dans l'ensemble
+$K_𝐀^{\mathtextrm{ultr}}$ des adèles ultramétriques (\ref{définition adèles ultramétriques}).
+(On note ici $(o+𝔫𝒪_{K_𝐀}) - C^{\mathtextrm{ultr}}$ l'image de l'application
soustraction, et non la différence ensembliste.)
L'application $λ↦ o+𝔫 λ$ induisant une bijection de $K$
-ainsi que de l'ensemble des compacts de $K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$,
-on peut supposer que $f^{\mathrm{ultr}}=𝟭_{𝒪_{K_𝐀}}$.
+ainsi que de l'ensemble des compacts de $K_𝐀^{\mathtextrm{ultr}}$,
+on peut supposer que $f^{\mathtextrm{ultr}}=𝟭_{𝒪_{K_𝐀}}$.
Comme d'autre part cette fonction est majorée par $1$ en valeur
absolue, il nous suffit de montrer la convergence uniforme de
la somme
\[
-a_𝐀^{\mathrm{arch}} ↦ ∑_{λ ∈ K ∩ (𝒪_{K_𝐀}-C^{\mathrm{ultr}})}
-|f^{\mathrm{arch}}(a_𝐀^{\mathrm{arch}}+λ^{\mathrm{arch}})|
+a_𝐀^{\mathtextrm{arch}} ↦ ∑_{λ ∈ K ∩ (𝒪_{K_𝐀}-C^{\mathtextrm{ultr}})}
+|f^{\mathtextrm{arch}}(a_𝐀^{\mathtextrm{arch}}+λ^{\mathtextrm{arch}})|
\]
-sur le compact $C^{\mathrm{arch}}$ image de $C$ dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}=∏_{x ∈
-Σ^{\mathrm{arch}}(K)} K_x$.
-(On note ici $λ^{\mathrm{arch}}$ l'image de $λ$
-dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}$ par le plongement diagonal et
-on rappelle que $K_𝐀^{\mathrm{arch}}=K ⊗_𝐐 𝐑$ est isomorphe, en tant que
+sur le compact $C^{\mathtextrm{arch}}$ image de $C$ dans $K_𝐀^{\mathtextrm{arch}}=∏_{x ∈
+Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)} K_x$.
+(On note ici $λ^{\mathtextrm{arch}}$ l'image de $λ$
+dans $K_𝐀^{\mathtextrm{arch}}$ par le plongement diagonal et
+on rappelle que $K_𝐀^{\mathtextrm{arch}}=K ⊗_𝐐 𝐑$ est isomorphe, en tant que
$𝐑$-algèbre, à $𝐑^N$ où $N=r_𝐂 + 2 r_𝐂$.)
Il existe une famille $n_x$ d'entiers négatifs presque tous nuls tels
-que le compact $C^{\mathrm{ultr}}$ de $𝒪_{K_𝐀}=∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)}
+que le compact $C^{\mathtextrm{ultr}}$ de $𝒪_{K_𝐀}=∏_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)}
𝒪_{K,x}$ soit contenu dans le produit cartésien $∏_x 𝔪_x^{n_x}$.
-L'intersection $K ∩ (𝒪_{K_𝐀}-C^{\mathrm{ultr}})$ est donc contenue
+L'intersection $K ∩ (𝒪_{K_𝐀}-C^{\mathtextrm{ultr}})$ est donc contenue
dans l'idéal fractionnaire produit $I=∏_x 𝔪_x^{n_x}$ de $K$.
On s'est donc ramené à montrer que pour toute fonction $φ ∈ 𝒮(K_𝐑)$,
la série de fonctions $a ↦ ∑_{λ ∈ I} |φ(a+λ)|$ converge uniformément
@@ -4376,7 +4376,7 @@ de Tamagawa locale définie en \ref{mesures Tamagawa locales} sur ce même corps
Lorsque $x$ est ultramétrique, une condition nécessaire et suffisante
sur $d_{ψ,x}$ est que sa valuation $x(d_{ψ,x})$ soit égale au
niveau $n_x(ψ_x)$. En particulier (\ref{dual des classes de adèles}),
-$|d_{ψ,x}|=1$ pour presque tout $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ de sorte qu'il existe un
+$|d_{ψ,x}|=1$ pour presque tout $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ de sorte qu'il existe un
idèle $d_ψ ∈ K^×_𝐀$, appelé \textbf{idèle différentiel attaché à $ψ$},
\index{idèle différentiel} tel que $d_ψ=(d_{ψ,x})$.
@@ -4429,8 +4429,8 @@ que l'on a :
\[
|d_K| =
\begin{cases}
-\displaystyle |𝔡_K|^{-1} & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\
-\displaystyle q^{2-2g} & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0,
+\displaystyle |𝔡_K|^{-1} & \text{si } \car(K)=0\\
+\displaystyle q^{2-2g} & \text{si } \car(K)>0,
\end{cases}
\]
où $𝔡_K$ est la différente (\refext{AVD-D}{différente}) du corps
@@ -4441,8 +4441,8 @@ fonctions $K$, de corps des constantes de cardinal $q$.
\label{Fourier de 1}
Soit $K$ un corps global et posons
\[
-𝟭_𝒪= \big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠
-\big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)}
+𝟭_𝒪= \big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠
+\big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits}\limits_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)}
g_{K_x}\big).
\]
Il résulte de ces formules locales précédentes que l'on
@@ -4469,8 +4469,8 @@ $+$}}_{玉}=|d_K|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$
\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(K_𝐀 \bo K)
=
\begin{cases}
-\displaystyle \sqrt{|𝔡_K|} & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\
-\displaystyle \sqrt{q^{2g-2}} & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0,
+\displaystyle \sqrt{|𝔡_K|} & \text{si } \car(K)=0\\
+\displaystyle \sqrt{q^{2g-2}} & \text{si } \car(K)>0,
\end{cases}
\]
où l'on rappelle que $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
@@ -4495,8 +4495,8 @@ de l'unité dans $K$ et $h$ le cardinal du groupe de Picard. Alors,
\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(C^{=1}_K)
= \frac{h}{w}×
\begin{cases}
-\displaystyle 2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂} R & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\
-\displaystyle 1 & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0,
+\displaystyle 2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂} R & \text{si } \car(K)=0\\
+\displaystyle 1 & \text{si } \car(K)>0,
\end{cases}
\]
où $C_K^{=1}=K^{×,=1}_𝐀/K^×$ et $R$ est le \emph{régulateur} défini
@@ -4531,24 +4531,24 @@ la conclusion est acquise dans ce cas.
Cas d'un corps de nombres.
Pour calculer le volume du quotient $K^{×,=1}_𝐀/𝒪_K^×$, nous utilisons
-maintenant l'application logarithme $\log_𝐀:K^×_𝐀 → ∏_{y ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} 𝐑$
+maintenant l'application logarithme $\log_𝐀:K^×_𝐀 → ∏_{y ∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)} 𝐑$
définie en \ref{theoreme-unites-Dirichlet} et
-$μ^{\mathrm{arch}}$ la mesure image directe de $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}$ par $\log_𝐀$.
+$μ^{\mathtextrm{arch}}$ la mesure image directe de $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}$ par $\log_𝐀$.
Le noyau de la restriction à $𝒪_K^×$ de $\log_𝐀$ étant l'ensemble des racines de
l'unité, de cardinal $w$, on a l'égalité
\[
w ⋅ \sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}\big(K_𝐀^{×,=1}(X)/𝒪_K^×\big)=
-\sur{μ}^{\mathrm{arch}}\Big(\big(∏_{y ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} 𝐑\big)⁰)/\log_𝐀 𝒪_K^×\Big).
+\sur{μ}^{\mathtextrm{arch}}\Big(\big(∏_{y ∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)} 𝐑\big)⁰)/\log_𝐀 𝒪_K^×\Big).
\]
(Raisonner par exemple en terme de domaines fondamentaux.)
Il résulte des définitions locales \ref{sorites mesures multiplicatives locales}
ainsi que d'un calcul élémentaire immédiat
\footnote{Précisément : $∫_{𝐑^×} f(\log(|x|))\frac{dx}{x}=2×∫_𝐑 f(y)dy$ et
$∫_{𝐂^×} f(\log(|z|²))\frac{2dxdy}{|z|²} = 2π×∫_𝐑 f(r)dr$.}
-que la mesure $μ^{\mathrm{arch}}$ est égale à $2^{r_𝐑}(2π)^{r_𝐂}$ fois
-la mesure de Lebesgue usuelle sur l'espace euclidien $𝐑^{Σ^{\mathrm{arch}}(K)}=𝐑^{r_𝐑 + r_𝐂}$.
+que la mesure $μ^{\mathtextrm{arch}}$ est égale à $2^{r_𝐑}(2π)^{r_𝐂}$ fois
+la mesure de Lebesgue usuelle sur l'espace euclidien $𝐑^{Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)}=𝐑^{r_𝐑 + r_𝐂}$.
Pour conclure, il nous faut vérifier que le covolume (usuel)
-de $\log_𝐀(𝒪_K^×)$ dans $\big(∏_{y ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} 𝐑\big)⁰$ est égal
+de $\log_𝐀(𝒪_K^×)$ dans $\big(∏_{y ∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)} 𝐑\big)⁰$ est égal
au régulateur $R$. C'est essentiellement la définition.
\end{démo}
@@ -4587,9 +4587,9 @@ c'est-à-dire un ensemble cofini $U ⊆ X$ tel que l'anneau $𝒪_K(U)$
des $U$-entiers soit de corps des fractions $K$ (\ref{normalité triviale},
\ref{OKU Dedekind}), on a l'égalité tautologique
\[
-ζ_K(s) = ζ_{𝒪_K(U)}^{\mathrm{Hasse}}(s) × ∏_{x ∈ X-U} ζ_{K_x}(s),
+ζ_K(s) = ζ_{𝒪_K(U)}^{\mathtextrm{Hasse}}(s) × ∏_{x ∈ X-U} ζ_{K_x}(s),
\]
-où l'on note $ζ_{A}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∏_{𝔪 ∈ \Specmax(A)} \frac{1}{1- \# κ(𝔪)^{-s}}$
+où l'on note $ζ_{A}^{\mathtextrm{Hasse}}(s)=∏_{𝔪 ∈ \Specmax(A)} \frac{1}{1- \# κ(𝔪)^{-s}}$
est la fonction zêta de Hasse d'un anneau $A$ et $κ(𝔪)$
le corps résiduel $A/𝔪$ (\refext{AC}{définition fonction zêta Hasse}).
Cette égalité est conséquence formelle du fait
@@ -4600,7 +4600,7 @@ telle que $q_x = N(𝔪_x)$.
\subsubsection{Réécriture : corps de nombres}
Si $K$ est un corps de nombres, on a l'égalité
\[
-ζ_K(s)=ζ_{𝒪_K}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∑_{𝔞} N(𝔞)^{-s},
+ζ_K(s)=ζ_{𝒪_K}^{\mathtextrm{Hasse}}(s)=∑_{𝔞} N(𝔞)^{-s},
\]
où $𝔞$ parcourt l'ensemble des idéaux non nuls de l'anneau
des entiers $𝒪_K$ et $N(𝔞)$ est le cardinal du quotient (fini) $𝒪_K ∕ 𝔞$.
@@ -4714,12 +4714,12 @@ Z_{K_e}(T^e)= ∏_{μ ∈ μ_e(𝐂)} Z_K(μT).
Lorsque $K$ est un corps de nombres, il est commode
d'introduire la \textbf{fonction zêta (de Dedekind) complétée}
\[
-\sur{ζ}_K(s)=∏_{\clap {$\scriptstyle a ∈ Σ^{\mathrm{arch.}}(K)$}} ζ_{K_a} ⋅ ζ_K(s),
+\sur{ζ}_K(s)=∏_{\clap {$\scriptstyle a ∈ Σ^{\mathtextrm{arch.}}(K)$}} ζ_{K_a} ⋅ ζ_K(s),
\]
où les fonctions zêta archimédiennes $ζ_𝐑$ et $ζ_𝐂$ sont
les \textbf{facteurs Gamma} modifiés considérés en \ref{Mellin local archimédien}.
Nous étendons cette définition au cas où $K$ est un corps de fonctions
-en posant $\sur{ζ}_K(s)=ζ_K(s)$ (cf. $Σ^{\mathrm{arch.}}(K)=∅$).
+en posant $\sur{ζ}_K(s)=ζ_K(s)$ (cf. $Σ^{\mathtextrm{arch.}}(K)=∅$).
Nous verrons ci-dessous que cette fonction zêta se prolonge analytiquement
en une fonction méromorphe satisfaisant l'équation fonctionnelle
\[
@@ -4800,11 +4800,11 @@ $(x,y)=(\frac{\sin(u)}{\cos(v)},\frac{\sin(v)}{\cos(u)})$
a pour jacobien $(1-x²y²)$ et envoie le triangle
\[T=\{u,v ∈ 𝐑_{>0}: u + v < π/2\}\]
bijectivement sur l'intérieur du carré de sorte que
-$∫_{[0,1]²} (1-x²y²)^{-1} dxdy= \mathrm{Aire}(T)$.
+$∫_{[0,1]²} (1-x²y²)^{-1} dxdy= \mathtextrm{Aire}(T)$.
En déduire que $ζ(2)=\frac{π²}{6}$, c'est-à-dire $P=π$.
\end{enumerate}
%Cf. Zagier, « Quelques conséquences surprenantes de la
-%cohomologie de $\mathrm{SL}₂(𝐙)$ » et exposé au CEM.
+%cohomologie de $\mathtextrm{SL}₂(𝐙)$ » et exposé au CEM.
%Calcul de $ζ(2)$ du à Calabi : cf. « Sums of generalized
%harmonic series and volumes », 1993.
\nocite{Sums@BCK}
@@ -5016,7 +5016,7 @@ où $\dot{ζ}_{≤ 1}(\dot{f},χ,s)=∫_{C_K^{≤1}} \dot{f} c χ ω_s d\dot{μ}
$×$}}_{1}$, etc.
Il résulte de la formule de Poisson (\ref{Fourier
adélique} \ref{Poisson-Riemann-Roch}) et de la formule
-$\mathrm{inv}^* c=1-c$, où $\mathrm{inv}(ι)=ι^{-1}$,
+$\mathtextrm{inv}^* c=1-c$, où $\mathtextrm{inv}(ι)=ι^{-1}$,
que l'on a :
\[
ζ_{≤ 1}(f,χ,s) + f(0)\dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s) =
@@ -5153,8 +5153,8 @@ Déduisons maintenant le théorème \ref{équation fonctionnelle zêta}
du théorème \ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}.
Comme en \ref{Fourier de 1}, considérons la fonction
\[
-𝟭_𝒪= \big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits'}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠
-\big(\mathop{\bigboxtimes}_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big)
+𝟭_𝒪= \big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits'}\limits_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠
+\big(\mathop{\bigboxtimes}_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big)
\]
On a d'une part $ζ(𝟭_𝒪,ω_s)=\sur{ζ}_K(s)$ et, d'autre part,
${\chap{𝟭_𝒪}=|d_K|^{½} [×d_K]^* 𝟭_𝒪}$ (« formule de Riemann-Roch »).
@@ -5219,7 +5219,7 @@ Soit $K$ un corps de nombres. Pour toute classe $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$, il
constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble
$$
\{\mathfrak{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \mathfrak{a}\in
-\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\mathfrak{a})\leq t\}
+\mathsf{C}\text{ et } \N(\mathfrak{a})\leq t\}
$$
soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty$.
\end{corollaire2}
@@ -5267,17 +5267,17 @@ le sous-ensemble compact, convexe, symmétrique par rapport à l'origine, de $K_
L'inégalité arithmético-géométrique montre que tout point
de $A$ a une norme inférieure à $1$.
Admettons que
-$$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
+$$\mathtextrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$,
-$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA)
- \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}},$$
+$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathtextrm{vol}(tA)
+ \geq 2^n \mathtextrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}},$$
il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement
de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$.
L'inégalité en résulte immédiatement.
Effectuons le calcul volumique. Posons
$$
-f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+
+f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathtextrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+
2\big(\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\big)\leq t\}\Big)=t^n f_{r_{\RR},r_\CC}(1),
$$
@@ -5292,7 +5292,7 @@ $$
f_{r_{\RR},r_\CC}(1)=\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}f_{0,r_\CC}(1).
$$
Soit
-$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}},
+$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathtextrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}},
\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\leq t\}\Big),$$
de sorte que l'on ait $f_{0,r_\CC}(t)=g_{r_{\CC}}(t/2)$.
@@ -5351,7 +5351,7 @@ que $\sum x_i^{-1}=\sigma_{n-1}/\sigma_n=-1$.
Remarquons maintenant que pour chaque $x_j$,
si l'on écrit $x_j=r e^{i\varphi}$,
on a
-$\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)=(r-r^{-1})\cos(\varphi)=\frac{r^2-1}{r}\cos(\varphi)$.
+$\mathtextrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)=(r-r^{-1})\cos(\varphi)=\frac{r^2-1}{r}\cos(\varphi)$.
Comme $r^n\cos(\varphi)=r\cos(\varphi)+1$ et $r^n\sin(\varphi)=r\sin(\varphi)$,
en sommant le carré des deux égalités on trouve :
$$\cos(\varphi)=\frac{r^{2n}-r^2-1}{2r}.$$
@@ -5362,7 +5362,7 @@ Enfin, comme pour tout $1\neq a>0$,
$(a-1)(a^n-a-1)=1-a+(a-1)(a^n-1)> 1-a$,
on en déduit, en posant $a=r^2$ et en divisant par $a$ l'égalité ci-dessus,
$$
-\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)> \frac{1}{2}\big(|x_i|^{-2}-1\big).
+\mathtextrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)> \frac{1}{2}\big(|x_i|^{-2}-1\big).
$$
Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$,
et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire,
@@ -5588,7 +5588,7 @@ le foncteur des $k$-places.
Si le corps des constantes de $L$ égal à $k$ alors, pour tout
$σ ∈ \Aut(L \bo k)$ stabilisant $K$, on a la formule de la moyenne :
\[
-\# \\Fix\big(\Frob_k^σ|X(\sur{k})\big)
+\# \Fix\big(\Frob_k^σ|X(\sur{k})\big)
=\frac{1}{\# G} ∑_{γ ∈ G} \# \Fix\big(\Frob_k^{γ σ}|Y(\sur{k})\big).
\]
\end{proposition2}
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index 48292c4..2b0478b 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -15,7 +15,7 @@
\fi
\makeatletter
-\newcommand{\resol}[1][\@empty]{\ifx#1\@empty^{\mathrm{résol}}\else^{\mathrm{résol}\,#1}\fi}
+\newcommand{\resol}[1][\@empty]{\ifx#1\@empty^{\mathtextrm{résol}}\else^{\mathtextrm{résol}\,#1}\fi}
\makeatother
\section{Extensions résolubles}
diff --git a/chapitres/spectre.tex b/chapitres/spectre.tex
index 9b5c71f..321e8aa 100644
--- a/chapitres/spectre.tex
+++ b/chapitres/spectre.tex
@@ -162,9 +162,9 @@ quotient est, par construction, une injection. Puisque son image est une
sous-$k$-algèbre de $k$, donc égale à $k$, $\bar{f}$ est un isomorphisme.
L'idéal $𝔭_f$ est donc maximal. D'autre part, le morphisme composé
$k→A↠A/𝔭_f→k$, où la première flèche est le morphisme structural
-$\mathrm{str}:k→A$ (définissant la $k$-algèbre $A$), est
+$\mathtextrm{str}:k→A$ (définissant la $k$-algèbre $A$), est
l'identité car $\Hom_k(k,k)=\{\Id\}$. L'isomorphisme
-$A/𝔭_f⭇k$ est donc l'inverse du morphisme composé $\overline{\mathrm{str}}:k→A↠A/𝔭_f$ munissant
+$A/𝔭_f⭇k$ est donc l'inverse du morphisme composé $\overline{\mathtextrm{str}}:k→A↠A/𝔭_f$ munissant
le quotient $A/𝔭_f$ de sa structure de $k$-algèbre naturelle.
L'injectivité de l'application $田A(k)→\Specmax(A)$ est alors évidente :
le seul $k$-morphisme $A→k$ de noyau $𝔭$ est $A↠A/𝔭⭇k$ où
diff --git a/chapitres/verselles.tex b/chapitres/verselles.tex
index 4d1b6da..d8b7826 100644
--- a/chapitres/verselles.tex
+++ b/chapitres/verselles.tex
@@ -776,17 +776,17 @@ et
Les autres cas sont semblables.
Nous allons « pousser » la relation $(\star)$ par le morphisme Galois-équivariant
-\[𝐇^×(k_{Q₈})→\mathrm{SO}₃(k_{Q₈})\]
+\[𝐇^×(k_{Q₈})→\SOrth₃(k_{Q₈})\]
induit par la conjugaison sur les complexes imaginaires (cf.
\refext{Azu}{quaternions inversibles}).
(Rappelons que l'on souhaite montrer que deux formes quadratiques
sur $k³$ sont équivalentes.)
Soit $m_x$ l'image de $q_x$ par ce morphisme. Comme $τ_{-1}(m_x)=-m_x$,
-cette matrice appartient au sous-groupe $\mathrm{SO}₃(k_{V₄})$ de
-$\mathrm{SO}₃(k_{Q₈})$ : l'action de $\Gal(k_{Q₈}\bo k)$ sur
+cette matrice appartient au sous-groupe $\SOrth₃(k_{V₄})$ de
+$\SOrth₃(k_{Q₈})$ : l'action de $\Gal(k_{Q₈}\bo k)$ sur
$m_x$ se factorise à travers $\Gal(k_{V₄}\bo k)$.
D'autre part, l'image de $\sur{μ}=-μ$ (pour $μ∈\{\i,\j,\k\}$)
-dans $\mathrm{SO}₃(\Im 𝐇(𝐙))⊆\mathrm{SO}₃(\Im 𝐇(k_{Q₈}))$
+dans $\SOrth₃(\Im 𝐇(𝐙))⊆\SOrth₃(\Im 𝐇(k_{Q₈}))$
est, par définition, la matrice de l'application
de conjugaison $ι ↦ μιμ^{-1}=-μ ι μ$, où $ι$ est imaginaire.
Cette application agit par l'identité sur $μ$
@@ -797,7 +797,7 @@ et de l'action de $\Gal(k_{V₄}\bo k)$ sur les $b_\i,b_\j$
et $b_\k$ (cf. \ref{notations Witt non 2})
que la matrice $P=m_x^{-1}\diag(b_\i,b_\j,b_\k)∈\GL_3(k_{V₄})$
est $\Gal(k_{V₄}\bo k)$ invariante donc appartient à $\GL₃(k)$.
-Comme $m_x∈\mathrm{SO}₃(k_{V₄})$, on a
+Comme $m_x∈\SOrth₃(k_{V₄})$, on a
\[\transpose{P}P=\transpose{\diag(b_\i,b_\j,b_\k)}\diag(b_\i,b_\j,b_\k)=\diag(a_\i,a_\j,a_\k) ;\]
les $k$-formes $⟨1,1,1⟩$ et $⟨a_\i,a_\j,a_\k⟩$ sont isomorphes.
CQFD.
@@ -812,7 +812,7 @@ trivial. On a donc $\Gal(k_{Q₈}\bo k(x))=\{1\}$, c'est-à-dire $k_{Q₈}=k(x)$
Soit $P∈\GL₃(k)$ une matrice telle que $\transpose{P}P=\diag(a_\i,a_\j,a_\k)$.
Compte tenu de ce qui précède, il est naturel de considérer
\[
-m_P=\diag(b_\i,b_\j,b_\k)⋅P^{-1}∈\mathrm{SO}₃(k_{V₄}).
+m_P=\diag(b_\i,b_\j,b_\k)⋅P^{-1}∈\SOrth₃(k_{V₄}).
\]
Par construction $σ_μ(m_P)=g_μ⋅m_P$ pour tout $μ∈\{1,\i,\j,\k\}$.
Soit $Ω$ une clôture séparable de $k_{V₄}$ et soit $q¹_P$
@@ -820,16 +820,16 @@ un relèvement de $m_P$ dans $𝐇^{N=1}(Ω)$ (cf. \refext{Azu}{quaternions et S
Un tel élément est bien défini à multiplication par $±1$ près,
comme il résulte de la suite exacte
\[
-1 → μ₂(Ω)=\{±1\} → 𝐇^{N=1}(Ω) → \mathrm{SO}₃(Ω) → 1.
+1 → μ₂(Ω)=\{±1\} → 𝐇^{N=1}(Ω) → \SOrth₃(Ω) → 1.
\]
-(Rappelons que $\Ker(𝐇^×(Ω) → \mathrm{SO}₃(Ω))=Ω^×$ et
+(Rappelons que $\Ker(𝐇^×(Ω) → \SOrth₃(Ω))=Ω^×$ et
que $N(λ)=λ²$ si $λ∈Ω⋅1⊆ 𝐇(Ω)$.)
-L'image de l'orbite $\Gal(Ω\bo k)⋅q¹_P$ dans $\mathrm{SO}₃(Ω)$
+L'image de l'orbite $\Gal(Ω\bo k)⋅q¹_P$ dans $\SOrth₃(Ω)$
n'est autre que l'orbite $\Gal(k_{V₄}\bo k)⋅m_q$.
D'après ce qui précède, cette dernière est de cardinal $4$ et l'action de $\Gal(k_{V₄}\bo k)$
-se fait par multiplication à gauche par les $g_μ$ qui appartiennent à $\mathrm{SO}₃(𝐙)$
+se fait par multiplication à gauche par les $g_μ$ qui appartiennent à $\SOrth₃(𝐙)$
et, plus précisément, à son sous-groupe diagonal, isomorphe à $V₄$.
-Les fibres de $𝐇^{N=1}(Ω) → \mathrm{SO}₃(Ω)$
+Les fibres de $𝐇^{N=1}(Ω) → \SOrth₃(Ω)$
étant en bijection avec $μ₂(𝐙)=\{±1\}$, de cardinal $2$, il en résulte que l'action de $\Gal(Ω\bo k)$
sur $q_P¹$ se fait par multiplication à gauche par des éléments d'un sous-groupe de $𝐇^{N=1}(𝐙)=𝐇^×(𝐙)$
qui se surjecte sur $𝐇^×(𝐙)/\{±1\}≃V₄$. Un tel sous-groupe est égal à $𝐇^×(𝐙)$, par exemple parce que l'extension