diff options
Diffstat (limited to 'chapitres')
| -rw-r--r-- | chapitres/locaux-globaux.tex | 91 |
1 files changed, 45 insertions, 46 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index a5b07c2..1aa23be 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -4933,39 +4933,38 @@ que l'on a : Comme on l'a vu, le terme $ζ_{≥ 1}(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s)$ est une fonction entière. Nous allons voir dans le paragraphe suivant que $\dot{ζ}_{≥ 1}(1,\chap{χ},-s)$ est holomorphe sur $\Re(s)>0$ et s'étend en une fonction -méromorphe. Il résulte le fait remarquable que +méromorphe. Il en résulte le fait remarquable que $ζ_{≤1}(f,χ,s)$ \emph{a priori} holomorphe sur le demi-espace $\{s:\Re(s)>1-\Re(χ)\}$, s'étend en une fonction méromorphe sur $𝐂$. \subsubsection{Calcul de $\dot{ζ}_{? 1}(1,χ,s)$, $? ∈ \{≤, ≥ \}$} \label{calcul zeta1khis} -Compte tenu de la formule +Le changement de variable $ι′=ι^{-1}$ entraîne la formule \[ \dot{ζ}_{ ≥ 1}(1,χ,s)=\dot{ζ}_{≤1}(1,χ^{-1},-s)=\dot{ζ}_{≤1}(1,\chap{χ},1-s), \] -qui résulte d'un changement de variable $ι′=ι^{-1}$, il suffit de calculer -$\dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s)$. +qui nous ramène à calculer $\dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s)$. -Lorsque $χ$ est le quasi-caractère trivial (noté ici $1$), -on a convergence pour $\Re(s)>0$ et égalité : +Lorsque $χ$ est le quasi-caractère trivial (noté ici également $1$), +on a convergence pour ${\Re(s)>0}$ et égalité : \[ \begin{array}{rcll} -\dot{ζ}_{≤ 1}(1,1,s) & = & \frac{μ}{s} & \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\ -& = & \frac{μ}{2} \frac{1+q^{-ds}}{1-q^{-ds}} & \text{si $K$ est un corps de fonctions,} +\dot{ζ}_{≤ 1}(1,1,s) & = & \frac{κ}{s} & \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\ +& = & \frac{κ}{2} \frac{1+q^{-ds}}{1-q^{-ds}} & \text{si $K$ est un corps de fonctions,} \end{array} \] -où $μ=\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(C^{=1}_K)$ est la constante calculée en \ref{calcul volume idélique}, +où $κ=\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(C^{=1}_K)$ est la constante calculée en \ref{calcul volume idélique}, et, dans le second cas, $d$ est l'unique entier naturel tel que $|K^×_𝐀|=q^{d 𝐙}$ c'est-à-dire le plus petit degré $>0$ d'un diviseur de $K$ (cf. \ref{quasi-caractères globaux}). En effet, par définition de la transformation de Mellin et des mesures, il résulte du théorème de Fubini que le terme de gauche est égal à l'intégrale \[ -μ ∫₀¹ t^s \frac{dt}{t} +κ ∫₀¹ t^s \frac{dt}{t} \] ou la somme \[ -μ \big( ½ + ∑_{n ∈ 𝐙_{>0}} q^{-nds} \big). +κ \big( ½ + ∑_{n ∈ 𝐙_{>0}} q^{-nds} \big). \] Lorsque, plus généralement, $χ$ est supposé trivial sur $K^{×,=1}_𝐀$, il est de la forme $ω_τ$ si bien que le calcul se déduit du précédent par @@ -4976,32 +4975,39 @@ C'est une incarnation de l'orthogonalité des caractères que l'on démontre en effectuant le changement de variable $ι′= xι$, pour un $x$ dans $K^{×,=1}_𝐀$ tel que $χ(x) ≠ 1$. +Il résulte de l'égalité $\dot{ζ}_{ ≤ 1}(1,1,s)=-\dot{ζ}_{ ≤ 1}(1,1,-s)$ et +des résultats précédent que pour chaque $χ$, on a +\[ +\dot{ζ}_{≤1}(1,χ,s)+\dot{ζ}_{≥1}(1,χ,s)=0. +\] +\commentaire{Détailler ?} -\subsubsection{}Il résulte de ce qui précède que la fonction méromorphe $ζ_ψ(f,χ,s)$ +\subsubsection{}Ainsi, la fonction $ζ(f,χ,s)$ est égale à \[ -\big( ζ_{ ≥ 1}(f,χ,s) + ζ_{ ≥ 1}(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s)\big)+ -\big(ℱ_ψ(f,0)\dot{ζ}_{≥ 1}(1,\chap{χ},-s)-f(0)\dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s)\big) -\] -où le second terme est nul sauf si $χ$ est de la forme $ω_τ$, -auquel cas ses pôles sont explicites. -On vérifie immédiatement qu'aucun des quatre termes de la somme ci-dessus ne dépend de $ψ$. -%En effet, $ℱ_ψ(f)(0)$ ne dépend pas de $ψ$ et $ℱ_ψ(f)$ est transformé -%en une translatée multiplicative lorsque l'on change $ψ$. Or, -%$ζ(g,χ,s)=ζ([× λ]^*g,χ,s)$ car $χ$ est supposé trivial sur $K^×$ -%et $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$ est une mesure de Haar multiplicative. -Il résulte de la formule d'inversion de Fourier, et du caractère involutif de $χ ↦ \chap{χ}$, -que l'on a démontré le théorème suivant, analogue global du théorème -local \ref{prolongement méromorphe et équation fonctionnelle cas local}. - - \[⁂\] +\big( ζ_{ ≥ 1}(f,χ,s) + ζ_{ ≥ 1}(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s)\big)- +\big(f(0)\dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s) + ℱ_ψ(f,0)\dot{ζ}_{≤ 1}(1,\chap{χ},-s)\big) +\] +où le second terme est nul sauf si $χ$ est de la forme $ω_τ$. +Notons qu'aucun des quatre termes de la somme ci-dessus ne dépend de $ψ$. +Pour le second terme, on utilise le fait que $ℱ_ψ(f)$ est transformé +en une translatée multiplicative lorsque l'on change $ψ$ +et l'égalité $ζ(g,χ,s)=ζ([× λ]^*g,χ,s)$ (ainsi que pour les variantes +tronquées) car $χ$ est supposé trivial sur $K^×$ +et $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$ est une mesure de Haar multiplicative. +Notons également qu'il résulte de cette dernière formule +que l'on a $ζ(ℱ_ψ ℱ_ψ(f),χ,s)=ζ(f,χ,s)$ grâce à la formule d'inversion +$ℱ_ψ ℱ_ψ =[×-1]^*$. +Enfin, le caractère involutif de $χ ↦ \chap{χ}$ +nous permet de déduire de ce qui précède le théorème suivant, +qui est un analogue global du théorème local \ref{prolongement méromorphe et équation fonctionnelle cas local}. \begin{théorème2} \label{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate} Soient $K$ un corps global, $ψ=(ψ_x)$ un caractère non trivial des classes d'adèles $K_𝐀/K$ et $χ$ un quasi-caractère multiplicatif des idèles $K^×_𝐀$. -Soit $f$ une fonction dans $𝒮(K)$. +Soit $f:K_𝐀 → 𝐂$ une fonction dans $𝒮(K_𝐀)$. \begin{enumerate} \item L'intégrale $∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$ est absolument convergente et définit une fonction holomorphe $ζ(f,χ,s)$ sur le demi-plan $\Re(s)>1-\Re(χ)$. Dans ce domaine, elle s'exprime @@ -5014,24 +5020,17 @@ comme un produit « eulérien » absolument convergent \[ ζ(f,χ,s)=ζ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s). \] -\item Leurs résidus respectifs sont -\[ -\begin{array}{rcll} -\mathrm{R\acute{e}s}_{- σ} ζ(f,ω_σ,s) & = & κf(0) & \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\ - & = & κf(0)/\log(q) & \text{si $K$ est un corps de fonctions.} -\end{array} -\] -et -\[ -\begin{array}{rcll} -\mathrm{R\acute{e}s}_{1-σ} ζ(f,ω_σ,s) & = & κℱ_ψ(f)(0) & \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\ - & = & κℱ_ψ(f)(0)/\log(q) & \text{si $K$ est un corps de fonctions.} -\end{array} -\] -et ces pôles, simples, sont les seuls. -[$ω_{1-σ}$ \XXX] -En particulier, si ni $χ$ ni $\chap{χ}$ n'appartiennent -à $\{ω_{σ}: σ ∈ i 𝐑\}$, la fonction zêta $ζ(f,χ,s)$ est \emph{entière}. +\item Si $χ$ n'est pas de la forme $ω_σ$, pour $σ ∈ 𝐂$, c'est une fonction entière. + +\item Les pôles de $ζ(f,1,s)$ sont simples et +égaux (resp. congrus) à $0$ ou $1$ (resp. modulo $2πi/d\log(q)𝐙$}, +où $d$ est le plus petit degré $>0$ d'un diviseur de $K$) +selon que $K$ est un corps de nombres ou un corps de fonctions. +\commentaire{$d=1$} +Les résidus sont respectivement $κ′ f(0)$ ($s$ congru à $0$) et $κ′ ℱ(f)(0)$ +($s$ congru à $1$), où $κ′ = κ$ (resp. $κ′ = κ / d \log(q)$) +selon que $K$ est un corps de nombres ou un corps de fonctions. +La constante $κ$ est le volume calculé en \ref{calcul volume idélique}. \end{enumerate} \end{théorème2} |