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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index ce2b2c0..948278c 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -3349,15 +3349,16 @@ Cf. \cite{} \XXX. Soient $K$ un corps de nombres, $X$ l'ensemble de ses places ultramétriques et $A$ l'ensemble des places archimédiennes, de cardinal $r_𝐑 + r_𝐂 = r +1$. D'après ce qui précède, le \emph{covolume} de -$\log_𝐀 𝒪_K^×$ dans l'hyperplan des vecteurs de somme nulle de $𝐑^A$ +$\log_𝐀 𝒪_K^×$ dans l'hyperplan $H$ des vecteurs de somme nulle de $𝐑^A$ (muni de la mesure de Lebesgue usuelle) est fini. On l'appelle \textbf{régulateur} de $K$. De façon (superficiellement) plus explicite, on peut l'exprimer comme un -déterminant. Soit $u₁,…,u_{r}$ des éléments constituant une base de $𝒪_K^×$ (modulo torsion) +déterminant. Soient $u₁,…,u_{r}$ des éléments constituant une base de $𝒪_K^×$ modulo torsion et considérons la matrice $r×(r+1)$ dont la $i$-ième ligne est $(\log |u_i|_{K_a})$, pour $a ∈ A$. -La somme des colonnes est nulle (car on est dans l'hyperplan -considéré ci-dessus). Le régulateur est le déterminant +Par la formule du produit, la somme des colonnes est nulle : +chaque ligne appartient à l'hyperplan $H$. +Le régulateur est le déterminant de la matrice précédente à laquelle on retire une colonne (quelconque). Exemples. [...] Lien avec la formule des classes. \XXX |