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diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex index 49be8ee..869468d 100644 --- a/chapitres/bases-groebner.tex +++ b/chapitres/bases-groebner.tex @@ -1,38 +1,20 @@ %%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*- \ifx\danslelivre\undefined -\documentclass[9pt]{../configuration/smfart} -\input{../configuration/commun} -\input{../configuration/smf} -\input{../configuration/adresse} -\input{../configuration/gadgets} -\input{../configuration/francais} -\input{../configuration/numerotation} -\input{../configuration/formules} -\input{../configuration/encoredesmacros} - -\usepackage{stmaryrd} -\usepackage{graphics} -\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} -%\usepackage{tikz} -%\usetikzlibrary{matrix,arrows} - +\documentclass[a4paper,9pt]{amsart} +\input{../config/preambule} +\input{../config/macros} +\title{Bases de Gröbner et applications} \externaldocument{spectre} \externaldocument{extensions-algebriques} \externaldocument{calculs-galois} - -\synctex=1 - -\title{Bases de Gr\"{o}bner et applications} - \begin{document} \maketitle -\setcounter{tocdepth}{2} \tableofcontents \else \chapter{Bases de Gröbner et applications} \fi -\newcommand{\initial}{\mathop{\mathrm{in}}} +\DeclareMathOperatorWithFont{\initial}{\mathrm}{in} \section{Bases de Gröbner} @@ -386,7 +368,7 @@ Z_d^{\ell'_d}$ ssi $\sum \ell_i < \sum \ell'_i$ ou $\sum \ell_i = \sum \ell'_i$ et $\ell_i > \ell'_i$ pour le \emph{plus petit} $i$ tel que $\ell_i \neq \ell'_i$. Autrement dit, cet ordre trie en premier lieu par degré total puis, en cas d'égalité, classe en premier les monômes -ayant le plus grand degré dans la plus petite variable --- et non pas +ayant le plus grand degré dans la plus petite variable — et non pas comme le fait l'ordre lexicographique le plus petit degré dans la plus grande variable. (Comme dans les cas précédents, cette définition est faite relativement à l'ordre convenu sur les variables, et plus @@ -479,7 +461,7 @@ coordonnées entières). On va poser $s \preceq s'$, avec $s = Z_1^{\ell_1} \cdots Z_d^{\ell_d}$ et $s' = Z_1^{\ell'_1} \cdots Z_d^{\ell'_d}$, lorsque $\lambda^{(j)}(\ell' - \ell) > 0$ pour le plus petit $j$ tel que $\lambda^{(j)}(\ell' - \ell) \neq 0$ (en considérant -$\ell$ et $\ell'$ comme des éléments de $\NN^d \subseteq \RR^d$) --- +$\ell$ et $\ell'$ comme des éléments de $\NN^d \subseteq \RR^d$) — autrement dit, on utilise successivement les formes linéaires $\lambda^{(j)}$ pour comparer les vecteurs d'exposants, en donnant le poids le plus fort aux premières. Cette définition conduit bien à un @@ -583,7 +565,7 @@ Tout idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ admet une base de Gröbner (finie). \begin{proof} La propriété noethérienne assure que parmi les $\initial(f)$ pour $f\in I$, qui par définition engendrent $\initial(I)$, on peut -extraire un ensemble fini engendrant $\initial(I)$ --- il s'agit d'une +extraire un ensemble fini engendrant $\initial(I)$ — il s'agit d'une base de Gröbner de $I$. \end{proof} @@ -824,7 +806,7 @@ s_j/\pgcd(s_i,s_j) = \nu \sigma^{(i,j)}_i$.) Si on définit $\tilde g_u$ par $\tilde g_u = g_u - b_i \nu \sigma^{(i,j)}_u$, alors $\tilde g_i = 0$ et $\tilde g_u = g_u$ si $u\neq i,j$ : donc la relation $(\tilde g_1,\ldots,\tilde g_r)$ a strictement moins de termes non -nuls que $(g_1,\ldots,g_r)$ --- une récurrence évidente permet de +nuls que $(g_1,\ldots,g_r)$ — une récurrence évidente permet de conclure. \end{proof} @@ -1010,7 +992,7 @@ initial de $p_2 f_1 - p_1 f_2$ est celui de $p_1 f_2$, et l'écriture $p_2 f_1 - p_1 f_2$ est une écriture standard (avec reste nul) au sens de \ref{algorithme-division}, comme on le voulait. -\XXX --- Cette démonstration est-elle bien complète ? Pourquoi +\XXX — Cette démonstration est-elle bien complète ? Pourquoi Eisenbud, dans la solution de l'exercice 15.20 (dernière phrase) suggère-t-il de faire une sorte de récurrence ? \end{proof} @@ -1153,7 +1135,7 @@ continue d'engendrer le même idéal puisque $x^2$ s'exprime comme combinaison $\QQ[x,y]$-linéaire de ceux-ci. \end{remarque2} -\XXX --- Question complètement gratuite, comme ça : peut-on +\XXX — Question complètement gratuite, comme ça : peut-on caractériser les idéaux $I$ tels qu'aucun sous-ensemble strict de la base de Gröbner réduite $B$ de $I$ n'engendre $I$ ? @@ -1218,8 +1200,8 @@ outre, d'écrire les coordonnées sur cette base de la classe modulo $I$ d'un polynôme $f$ quelconque. Cette base n'est pas forcément finie ($k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ peut être -de dimension finie ou non : en fait, il sera de dimension finie --- -c'est-à-dire, artinien --- exactement lorsque $I$ sera « de +de dimension finie ou non : en fait, il sera de dimension finie — +c'est-à-dire, artinien — exactement lorsque $I$ sera « de dimension $0$ » au sens de l'objet géométrique qu'il décrit), mais même si elle est infinie, la base possède une description suffisamment simple (il s'agit de $d$-uplets d'entiers naturels vérifiant une @@ -1302,7 +1284,7 @@ et l'hypothèse faite sur $\preceq$ impose $f_i \in k[Z_1,\ldots,Z_t]$, c'est-à-dire $i\leq u$. \end{proof} -\XXX --- Eisenbud (proposition 15.29) prétend utiliser la +\XXX — Eisenbud (proposition 15.29) prétend utiliser la proposition \ref{inclusion-ideaux-et-egalite-ideaux-initiaux} (lemme 15.5 chez lui). Je ne vois pas où ça sert : me suis-je trompé dans cette démonstration ? @@ -1328,7 +1310,7 @@ de \ref{bases-de-groebner-et-extensions-de-corps}. % \subsection{Ajout d'une variable et calcul d'inverse} -\XXX --- Il est tout pourri le titre de cette section ! +\XXX — Il est tout pourri le titre de cette section ! \begin{proposition2}\label{borne-degre-base-groebner-sur-une-variable-dominante} Soit $\preceq$ un ordre monomial sur $k[Z_1,\ldots,Z_d,Y]$ tel que $Y$ @@ -1356,7 +1338,7 @@ terme initial est strictement inférieur à $\ppcm(\initial(h_i), c'est le cas de $S(h_i,h_j)$. \end{proof} -\XXX --- Ce serait mieux de donner une démontration qui n'utilise pas +\XXX — Ce serait mieux de donner une démontration qui n'utilise pas la construction algorithmique. \begin{algorithme2}\label{algorithme-calcul-inverse-algebre-de-type-fini} @@ -1437,7 +1419,7 @@ Lorsque $I$ est l'idéal nul, la fonction de Hilbert-Samuel affine de $I$ compte le nombre total de monômes de degré total $\leq\ell$ en $d$ variables, autrement dit, le nombre de $d$-uplets d'entiers naturels de somme $\leq\ell$ : un raisonnement combinatoire classique -(\XXX --- l'expliciter ?) montre que ce nombre vaut +(\XXX — l'expliciter ?) montre que ce nombre vaut $\frac{(\ell+d)!}{\ell!\,d!} = \frac{1}{d!}\ell(\ell-1)\cdots(\ell-d+1)$, qui est un polynôme de degré $d$ en $\ell$ et de terme dominant $\frac{1}{d!} \ell^d$. @@ -1463,7 +1445,7 @@ et seulement si $I=0$, qui coïncide pour $\ell$ assez grand avec la fonction de Hilbert-Samuel affine de $I$. \end{proposition2} -\XXX --- Le prouver ? +\XXX — Le prouver ? \begin{definition2}\label{definition-polynome-hilbert-samuel-affine} Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$. Le polynôme (manifestement @@ -1841,7 +1823,7 @@ Convenons de noter $e_i^{[d]}$ pour $e_i(Z_1,\ldots,Z_d)$ et $e_i^{[d-1]}$ pour $e_i(Z_1,\ldots,Z_{d-1})$. On a $e_i^{[d]} = e_i^{[d-1]} + Z_d e_{i-1}^{[d-1]}$ et $a_i = b_i - Z_d b_{i-1}$ : donc $(e_i^{[d]} - (-1)^i a_i) = (e_i^{[d-1]} - (-1)^i b_i) + Z_d -(e_{i-1}^{[d-1]} - (-1)^{i-1} b_{i-1})$ --- ceci montre que les +(e_{i-1}^{[d-1]} - (-1)^{i-1} b_{i-1})$ — ceci montre que les $e_i^{[d-1]} - (-1)^i b_i$ engendrent les $e_i^{[d]} - (-1)^i a_i$ (la relation $f(Z_d)$ sert lorsque $i=d$ pour annuler le terme $b_d$), et réciproquement par récurrence que les $e_i^{[d]} - (-1)^i a_i$ @@ -1852,7 +1834,7 @@ est elle-même, si on ne la trouve pas évidente, une réécriture de l'égalité $\mathfrak{F}_1(Z_1,\ldots,Z_d|Z_d) = 0$ contenue dans le lemme \ref{lemme-modules-de-cauchy}). -\XXX --- Cette démonstration est complètement pourrie. +\XXX — Cette démonstration est complètement pourrie. \end{proof} \begin{proposition2}\label{algebre-de-decomposition-universelle-separe-les-racines} @@ -2429,7 +2411,7 @@ savoir s'il est premier en supposant qu'il est géométriquement radical). Ce n'est pas un oubli : un tel algorithme n'existe pas, car le problème est \emph{indécidable} au sens de Church-Turing. -En effet, il existe (\XXX --- référencer Fröhlich \& Shepherdson +En effet, il existe (\XXX — référencer Fröhlich \& Shepherdson lemme 7.21 et th. 7.27) un corps $k$ de caractéristique $p>0$ tel qu'on sache algorithmiquement factoriser les polynômes dans $k[X]$ mais que si $k' = k[Y]/(h)$ est une certaine extension algébrique @@ -2481,7 +2463,7 @@ racines de $f$ dans $K$. Bref, $K$ est un corps extension de $k$ et engendré au-dessus de $k$ par les $d$ racines du polynôme $f$ : c'est-à-dire que c'est « le » corps de décomposition de $f$ sur $k$. -Le groupe de Galois de $f$ étant donc (\XXX --- référence précise) le +Le groupe de Galois de $f$ étant donc (\XXX — référence précise) le groupe des automorphismes de $K$ au-dessus de $k$, il peut se voir comme le groupe des permutations de $Z_1,\ldots,Z_d$ qui laissent l'idéal $J$ invariant ; connaissant une base de Gröbner de $J$, il est @@ -2566,7 +2548,7 @@ dans le chapitre \refext{Radicaux}{} que prendre $P = \sum \zeta^{ij} \xi_j$, où $\zeta$ est une racine $d$-ième de l'unité, peut s'avérer intéressant. -\XXX --- Tout ceci est assez vaseux. +\XXX — Tout ceci est assez vaseux. diff --git a/chapitres/categories.tex b/chapitres/categories.tex index 9071c91..0fb6f36 100644 --- a/chapitres/categories.tex +++ b/chapitres/categories.tex @@ -296,7 +296,7 @@ diagramme commutatif, dans lequel intervient un objet terminal, le remplacer par un autre (et composer les flèches en provenant ou y aboutissant par l'unique isomorphisme entre les deux objets terminaux en question) produira une affirmation également valable ou un -diagramme également commutatif --- ce qui permet bien d'ignorer la +diagramme également commutatif — ce qui permet bien d'ignorer la différence entre les deux objets en question. Ces remarques valent bien sûr également pour un objet initial ; mais, @@ -723,7 +723,7 @@ F(X)&F(Y)\\G(X)&G(Y)\\}; \draw[->] (diag-2-1) -- node{$G(z)$} (diag-2-2); \end{tikzpicture} \end{center} ---- autrement dit, $G(z)\circ h(X) = h(Y)\circ F(z)$. +— autrement dit, $G(z)\circ h(X) = h(Y)\circ F(z)$. \end{definition2} \begin{exemple2} @@ -1189,8 +1189,8 @@ isomorphisme naturel (toujours d'après \ref{isomorphismes-naturels}). \end{proof} Cette démonstration prend plus de sens en remarquant que $G$ est, à -isomorphisme près, uniquement déterminé par $F$ --- on dit qu'ils sont -\emph{quasi-inverses} ---, et aussi que tout foncteur isomorphe à un +isomorphisme près, uniquement déterminé par $F$ — on dit qu'ils sont +\emph{quasi-inverses} —, et aussi que tout foncteur isomorphe à un foncteur pleinement fidèle est lui-même pleinement fidèle. On pourra désormais dire que deux catégories sont équivalentes quand @@ -1227,7 +1227,7 @@ des ensembles est dit \emph{représentable} par un objet $X$ de $\categ{C}$ lorsqu'il existe un isomorphisme $h \colon \Hom(\tiret,X) \buildrel\sim\over\to F$ (pour être plus précis, on devrait dire que $F$ est représentable par l'objet $X$ et -l'isomorphisme $h$ --- ou, comme on le verra +l'isomorphisme $h$ — ou, comme on le verra en \ref{foncteur-representable-element}, par l'élément $h(X)(\Id_X) \in F(X)$). Un foncteur $F \colon \categ{C} \to \Ens$ covariant de $\categ{C}$ vers les ensembles est dit représentable par un objet $X$ @@ -1435,7 +1435,7 @@ composition des flèches provenant de celle de $\categ{C}$) : avec cette définition, un objet $X$ (ou plus exactement, une donnée $(X,s)$) représentant $F$ est un objet initial de la catégorie en question, et l'unicité qu'on vient d'affirmer n'est autre que -l'unicité --- à isomorphisme unique près --- de l'objet universel. +l'unicité — à isomorphisme unique près — de l'objet universel. Les remarques faites en \ref{blabla-unicite-objet-universel} plus haut justifie qu'on parle, dans ce cas de \emph{l}'objet représentant le foncteur $F$. On peut évidemment faire les mêmes remarques pour la @@ -1516,7 +1516,7 @@ terminal de base $P$. La proposition \ref{unicite-objet-representant-foncteur} ou, compte tenu de la description qu'on vient de faire de la limite comme un objet terminal, l'unicité de l'objet terminal, permettent de dire que -la limite --- comme toute solution de problème universel --- est +la limite — comme toute solution de problème universel — est unique à isomorphisme près, cet isomorphisme étant unique compte tenu des contraintes imposées (en l'occurrence, les morphismes $P(i)$). Les remarques faites en \ref{blabla-unicite-objet-universel} plus haut @@ -2239,7 +2239,7 @@ Le paragraphe précédent prouve le « si » de la seconde affirmation La proposition précédente se résume généralement par l'affirmation (quelque peu elliptique) : $\yone(\prlim_{i\in \categ{I}} P(i)) = -\prlim_{i\in \categ{I}} \yone(P(i))$ --- tout en retenant que, +\prlim_{i\in \categ{I}} \yone(P(i))$ — tout en retenant que, d'après \ref{limites-point-par-point}, on a aussi $(\prlim_{i\in \categ{I}} \yone(P(i)))(T) = \prlim_{i\in \categ{I}} (\yone(P(i))(T))$. @@ -2455,8 +2455,8 @@ limites projectives. La raison de ce choix, qui permet de le retenir, est qu'on souhaite obtenir des limites et colimites intéressantes indicées par l'ensemble $\NN$ des entiers naturels, muni de son ordre usuel (il s'agit donc que la catégorie par laquelle on indice ces -limites et colimites --- puisqu'on a choisi de parler de limites et -colimites pour des foncteurs covariants --- n'ait pas d'objet initial +limites et colimites — puisqu'on a choisi de parler de limites et +colimites pour des foncteurs covariants — n'ait pas d'objet initial dans le cas des limites, et n'ait pas d'objet terminal dans le cas des colimites ; ainsi, on doit inverser l'ordre dans un cas par rapport à l'autre) ; dans tous les cas, on tâchera de rappeler la convention @@ -2633,7 +2633,7 @@ spécifier la transformation naturelle $\theta$ on peut noter $F \end{definition2} Le corollaire \ref{yoneda-corollaire-isomorphismes} justifie qu'on -parle parfois de \emph{l}'adjoint --- à gauche ou à droite --- d'un +parle parfois de \emph{l}'adjoint — à gauche ou à droite — d'un foncteur : par exemple, si $F$ et $F'$ sont deux adjoints à gauche d'un même foncteur $G$, alors $\Hom(F\tiret,\tiret)$ et $\Hom(F'\tiret,\tiret)$ sont isomorphes (tous deux étant isomorphes à @@ -2861,7 +2861,7 @@ $(G\boxempty\varepsilon) \circ (\eta\boxempty G) = \Id_G$ (c'est-à-dire, pour tout objet $Y$ de $\categ{C}$, que $G(\varepsilon(Y)) \circ \eta(G(Y)) = \Id_{G(Y)}$) ; sous l'hypothèse que $\eta$ est bien l'unité d'une adjonction $F\dashv G$, cette -égalité caractérise la coünité $\varepsilon$ (\XXX --- mais +égalité caractérise la coünité $\varepsilon$ (\XXX — mais caractérise-t-elle l'unité si on sait que $\varepsilon$ est la coünité d'une adjonction ?). On a aussi $(\varepsilon\boxempty F) \circ (F\boxempty\eta) = \Id_F$, et sous l'hypothèse que $\varepsilon$ est diff --git a/chapitres/corps-finis.tex b/chapitres/corps-finis.tex index 36eb5df..0156580 100644 --- a/chapitres/corps-finis.tex +++ b/chapitres/corps-finis.tex @@ -373,7 +373,7 @@ $\FF_q \subseteq La seconde affirmation est alors claire : $\FF_q \cap \FF_{q'}$ est un corps fini qui contient le corps fini à $p^{r_1}$ éléments si et seulement si $r_1 | r$ et $r_1 | r'$, c'est-à-dire si et seulement si -$r_1 | r_0$ où $r_0 = \pgcd(r,r')$ --- autrement dit, il s'agit +$r_1 | r_0$ où $r_0 = \pgcd(r,r')$ — autrement dit, il s'agit justement de $\FF_{q_0}$. \end{proof} @@ -435,7 +435,7 @@ corps de décomposition est $\FF_{q^r}$ où $r$ est le plus petit commun multiple des degrés des facteurs irréductibles de $h$}. De plus, on vient de voir que l'ordre de $\Frob_q$ agissant sur $x$ ---- ou, par conséquent, sur $\FF_q(x)$ --- est exactement le degré $s$ +— ou, par conséquent, sur $\FF_q(x)$ — est exactement le degré $s$ de $x$ sur $\FF_q$. En utilisant le théorème de l'élément primitif (\refext{Alg}{element-primitif}), on peut conclure que $\Frob_q$ agissant sur $\FF_{q^r}$ est d'ordre exactement $r$ ; on @@ -580,7 +580,7 @@ fixé), ce nombre vaut $\frac{1}{n} q^n + O(q^{n/2})$. \end{corollaire2} \begin{proof} Pour ce qui est de la première affirmation, en notant $M(n)$ le nombre ---- qu'on cherche à calculer --- d'unitaires irréductibles de +— qu'on cherche à calculer — d'unitaires irréductibles de degré $n$ sur $\FF_q$, la formule d'inversion de Möbius montre qu'il suffit de prouver $q^n = \sum_{d|n} d\,M(d)$ : or c'est justement la deuxième affirmation de l'énoncé de la @@ -590,7 +590,7 @@ Pour ce qui est de l'estimation asymptotique, remarquons que dans la somme exacte, le terme $d=n$ vaut $\frac{1}{n} q^n$, le terme $d=\frac{n}{2}$, s'il existe (c'est-à-dire, si $n$ est pair), vaut $-\frac{1}{n} q^{n/2}$, et tous les autres termes, dont le nombre est -au plus $n$, sont chacun $O(q^{n/3})$ --- leur somme est donc +au plus $n$, sont chacun $O(q^{n/3})$ — leur somme est donc bien $O(q^{n/2})$. \end{proof} @@ -807,7 +807,7 @@ h \equiv -2X^4 + X^2 - 3X - 2 \pmod{-2X^5 + 3X^4 - X^3 - X^2 + 2X}\\ -2 X^2 - 2 \equiv -3 \pmod{-2 X - 3}\\ \end{array} \] ---- ce qui conclut la vérification du critère de Rabin. Tous ces +— ce qui conclut la vérification du critère de Rabin. Tous ces calculs montrent donc que $h = X^6 -2 X^4 + 3 X^3 - X^2 - X - 2$ est irréductible dans $\FF_7[X]$. @@ -894,7 +894,7 @@ coefficient constant non nul est premier avec un multiple nul de l'indéterminée). On calcule alors la matrice de l'endomorphisme $\Frob_7 - \Id$ sur la base $1, X, X^2, \ldots, X^5$ de $\FF_7[X]/(h)$, en calculant successivement $X^7, X^{14}, \ldots, -X^{35}$ modulo $h$ --- les calculs sont donc très semblables à ceux +X^{35}$ modulo $h$ — les calculs sont donc très semblables à ceux menés au début de \ref{exemple-numerique-critere-rabin} et conduisent à : \[ @@ -1264,7 +1264,7 @@ degré de $\Phi_n$ est $\varphi(n)$. La formule $\Phi_n(X) = \prod_\zeta (X-\zeta)$ pour $\zeta$ parcourant l'ensemble des racines primitives $n$-ièmes de l'unité est encore valable dans n'importe quel corps, de caractéristique ne divisant pas $n$, où il -existe une --- et donc $\varphi(n)$ --- racine primitive $n$-ième de +existe une — et donc $\varphi(n)$ — racine primitive $n$-ième de l'unité. Si $q$ et $n$ sont premiers entre eux où $q$ est une puissance d'un @@ -2102,7 +2102,7 @@ Soient $p,q$ deux nombres premiers impairs distincts. On a alors : \[ \Legendre{p}{q} \Legendre{q}{p} = (-1)^{(p-1)(q-1)/4} \] ---- c'est-à-dire $\Legendre{q}{p} = \Legendre{p}{q}$ sauf si +— c'est-à-dire $\Legendre{q}{p} = \Legendre{p}{q}$ sauf si $p,q \equiv 3 \pmod{4}$ auquel cas $\Legendre{q}{p} = -\Legendre{p}{q}$. \end{theoreme2} @@ -2203,7 +2203,7 @@ Soit $p$ un nombre premier impair. On a alors : \[ \Legendre{2}{p} = (-1)^{(p^2-1)/8} \] ---- c'est-à-dire $\Legendre{2}{p} = 1$ si $p\equiv 1,7 \pmod{8}$ et +— c'est-à-dire $\Legendre{2}{p} = 1$ si $p\equiv 1,7 \pmod{8}$ et $\Legendre{2}{p} = -1$ si $p\equiv 3,5 \pmod{8}$. \end{proposition2} \begin{proof}[Première démonstration] @@ -3047,7 +3047,7 @@ ramène le problème à la constructibilité des sommes de Jacobi. Ces dernières appartiennent à $𝐐(μ_{p-1})$ ; elles sont donc constructibles. (Le cas $m=0$, c'est-à-dire $χ=1$, est à traiter séparément. Il est trivial.) -Selon la légende, c'est cette découverte --- sensationnelle à l'époque --- +Selon la légende, c'est cette découverte — sensationnelle à l'époque — qui aurait décidé Gauß (alors âgé d'un peu moins de 19 ans) à devenir mathématicien, et non linguiste. Sa démonstration est exposée en détail dans ses \emph{disquisitiones arithmeticæ} (recherches arithmétiques) \cite{Disquisitiones@Gauss}, §7. La découverte elle-même |