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-rw-r--r--chapitres/bases-groebner.tex25
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index 365763a..19c93e3 100644
--- a/chapitres/bases-groebner.tex
+++ b/chapitres/bases-groebner.tex
@@ -1449,6 +1449,15 @@ où $I'=I$ et $C$ est vide, il ne se produit que lorsque
$k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ est l'algèbre nulle, ce cas étant trivial).
\end{proof}
\begin{proof}
+On sait d'après \ref{base-de-groebner-elimination} que l'ensemble $B'
+= \tilde B \cap k[Z_1,\ldots,Z_d]$ des éléments de $\tilde B$ ne
+faisant intervenir que les variables $Z_1,\ldots,Z_d$ est la base de
+Gröbner réduite de $I' = \tilde I \cap k[Z_1,\ldots,Z_d]$ (soulignons
+que cet idéal contient $I$). Si on note $A = k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$,
+alors $k[Z_1,\ldots,Z_d,Y]/\tilde I = A[Y]/(xY-1)$. L'élément $x$ de
+$A$ est inversible si et seulement si la flèche évidente $A \to
+A[Y]/(xY-1)$ est un isomorphisme.
+
\XXX
\end{proof}
@@ -1536,26 +1545,26 @@ donc modulo $I$.
\subsection{Idéaux radicaux de dimension $0$}\label{section-ideaux-radicaux-de-dimension-0}
-On rappelle (\XXX) qu'un idéal $J$ d'un anneau $A$ est dit
+On rappelle (\XXX) qu'un idéal $J$ d'un anneau $R$ est dit
\emph{radical} lorsque $x^n \in J$ implique $x \in J$ (quel que
-soit $n \in \NN$), autrement dit lorsque le quotient $A/J$ est réduit.
+soit $n \in \NN$), autrement dit lorsque le quotient $R/J$ est réduit.
-Soit maintenant $A = k[Z_1,\ldots,Z_d]$. Si $I$ est à la fois radical
-et de dimension $0$, autrement dit si $A/I$ est réduit et artinien,
+Soit maintenant $R = k[Z_1,\ldots,Z_d]$. Si $I$ est à la fois radical
+et de dimension $0$, autrement dit si $R/I$ est réduit et artinien,
d'après \refext{Spec}{artinien réduit=produit corps}, cet anneau est
un produit de corps (extensions finies de $k$), à savoir les
-$A/\mathfrak{m}$ où $\mathfrak{m}$ parcourt les idéaux maximaux de $A$
+$R/\mathfrak{m}$ où $\mathfrak{m}$ parcourt les idéaux maximaux de $R$
contenant $I$, qui sont en nombre fini et dont $I$ est
l'intersection (\XXX).
-Dans cette situation ($I$ un idéal de dimension $0$ de $A =
+Dans cette situation ($I$ un idéal de dimension $0$ de $R =
k[Z_1,\ldots,Z_d]$), on dira que $I$ est \emph{géométriquement
radical} lorsque $I$ est encore radical après passage à la clôture
algébrique $k'$ de $k$, c'est-à-dire que $I \cdot k'[Z_1,\ldots,Z_d]$
est radical ; cela revient à demander la même chose pour $k'$ la
-clôture parfaite de $k$ (\XXX). Cela équivaut à dire que $A/I$ est un
+clôture parfaite de $k$ (\XXX). Cela équivaut à dire que $R/I$ est un
produit de corps qui soient des extensions (finies) \emph{séparables}
-de $k$. On dit aussi que $A/I$ est \emph{géométriquement réduite}.
+de $k$. On dit aussi que $R/I$ est \emph{géométriquement réduite}.
\begin{proposition2}[« lemme 92 » de Seidenberg]\label{critere-seidenberg-ideal-radical}
Soit $I$ un idéal de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ (où $k$ est