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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index f10eb68..ce2b2c0 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -3254,13 +3254,14 @@ $f^{-1}g-f^{-1}h = λ ∈ K$. En conséquence, $f = λ^{-1}(g-h)$ appartient à $K^× C$, et même à $K^× C^{=1}$ car $|f|=1$. CQFD. \end{démo} + Le théorème précédent a pour corollaire le fameux théorème de Dirichlet suivant. \begin{théorème2}[Théorème des unités de Dirichlet] \label{theoreme-unites-Dirichlet} Soit $U$ un ouvert de $K$. L'application « logarithme » -$f ↦ (\log(|f|_x))_{x ∉ U}$ de $𝒪_K(U)^×$ +$\log_𝐀:f ↦ (\log(|f|_x))_{x ∉ U}$ de $𝒪_K(U)^×$ vers l'hyperplan $(⨁_{x ∉ U} 𝐑)⁰$ des éléments de somme nulle est un isomorphisme modulo les compacts et le groupe $𝒪_K(U)^×$ est isomorphe à la somme directe de $𝐙^r$, où $r = @@ -3271,8 +3272,14 @@ $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$, alors le groupe $𝒪_K^{\times}$ des unités d est de type fini, de rang $r_\RR+r_\CC-1$. \end{théorème2} +\begin{corollaire2} +\label{finitude-racines-unite} +Soit $K$ un corps global. +L'ensemble des racines de l'unité de $K$ est fini. +\end{corollaire2} + \begin{remarque2} -Lorsque $K$ est un corps de fonctions de corps des constantes $K$, +Lorsque $K$ est un corps de fonctions de corps des constantes $k$, il résulte de ce qui précède que le quotient $𝒪_K(U)^×/k^×$ est libre de rang $r$. Sous cette forme, c'est un résultat initialement dû à F. K. Schmidt (1931) ; cf. \cite[14.2]{Number@Rosen} ou @@ -3291,22 +3298,22 @@ de ce morphisme est la composante neutre de $C_K$. \XXX Soit $U$ comme dans l'énoncé. Montrons le premier point. Le groupe $𝒪_K(U)^×$ n'est autre que l'image inverse du sous-groupe -$G=\big(∏_{x ∉ U} K^×_x × ∏_{u ∈ U} 𝒪_u^×\big)^{=1}$ de $K^{×,=1}_𝐀$ +$K^{×,=1}_𝐀(U)=\big(∏_{x ∉ U} K^×_x × ∏_{u ∈ U} 𝒪_u^×\big)^{=1}$ de $K^{×,=1}_𝐀$ par le plongement diagonal $K^× → K^{×,=1}_𝐀$. D'après le théorème \ref{theoreme-unites-abstrait} précédent et \ref{restriction isomorphisme modulo -compacts}, le morphisme $𝒪_K(U)^× → G$ est donc un isomorphisme modulo les compacts. -Il en est de même de la projection $G ↠ \big(∏_{x ∉ U} K^×_x \big)^{=1}$, +compacts}, le morphisme $𝒪_K(U)^× → K^{×,=1}_𝐀(U)$ est donc un isomorphisme modulo les compacts. +Il en est de même de la projection $K^{×,=1}_𝐀(U)↠ \big(∏_{x ∉ U} K^×_x \big)^{=1}$, par compacité du produit $∏_{u ∈ U} 𝒪_u^×$. Enfin, chaque logarithme $K_x^× → 𝐑$, $f↦ \log(|f|_x)$ étant également un isomorphisme modulo les compacts (que $x$ soit archimédienne ou ultramétrique), il en est de même du produit $ ∏_{x ∉ U} K^×_x → ∏_{x ∉ U} 𝐑$ et de sa restriction à l'hyperplan de somme nulle. Par composition (\ref{composé isomorphismes modulo compacts}), on en déduit que $𝒪_K(U)^× → \big(∏_{x ∉ U} 𝐑\big)⁰$ est un isomorphisme modulo les compacts. -Si $U=Σ(U)$ est vide — cas qui ne peut se produire que si $K$ est un corps +Si $U=Σ(K)$, de sorte que $Σ(K)-U$ est vide — cas qui ne peut se produire que si $K$ est un corps de fonctions —, le groupe $𝒪_K^×(U)$ est un sous-groupe \emph{compact} du groupe \emph{discret} $K^×$ : c'est un groupe abélien fini -(\ref{discrétion et séparation quotient}, (i)). -Si $U ≠ Σ(U)$, notons $V$ le $𝐑$-espace vectoriel $\big(∏_{x ∉ U} 𝐑\big)⁰$ ; +(\ref{discrétion et séparation quotient}, (i)). +Si $U ≠ Σ(K)$, notons $V$ le $𝐑$-espace vectoriel $\big(∏_{x ∉ U} 𝐑\big)⁰$ ; il est de dimension $r$. D'après ce qui précède, $𝒪_K(U)^×$ est extension de son image $Γ$ par le logarithme, qui est un sous-groupe \emph{discret} et \emph{cocompact} de $V$, @@ -3337,6 +3344,23 @@ La conclusion résulte aussitôt de la théorie Cf. \cite{} \XXX. \end{démo} +\subsubsection{} +\label{définition-régulateur} +Soient $K$ un corps de nombres, $X$ l'ensemble de ses places ultramétriques +et $A$ l'ensemble des places archimédiennes, de cardinal $r_𝐑 + r_𝐂 = r +1$. +D'après ce qui précède, le \emph{covolume} de +$\log_𝐀 𝒪_K^×$ dans l'hyperplan des vecteurs de somme nulle de $𝐑^A$ +(muni de la mesure de Lebesgue usuelle) est fini. +On l'appelle \textbf{régulateur} de $K$. +De façon (superficiellement) plus explicite, on peut l'exprimer comme un +déterminant. Soit $u₁,…,u_{r}$ des éléments constituant une base de $𝒪_K^×$ (modulo torsion) +et considérons la matrice $r×(r+1)$ dont la $i$-ième ligne +est $(\log |u_i|_{K_a})$, pour $a ∈ A$. +La somme des colonnes est nulle (car on est dans l'hyperplan +considéré ci-dessus). Le régulateur est le déterminant +de la matrice précédente à laquelle on retire une colonne (quelconque). + +Exemples. [...] Lien avec la formule des classes. \XXX \subsection{Quasi-caractères multiplicatifs d'un corps global} \label{quasi-caractères globaux} @@ -4366,7 +4390,7 @@ elle est équivalente à la formule bien connue \Big( ℱ_{𝐑}(g_𝐑) : x↦ ∫_𝐑 e^{-πt²-2iπtx}dt \Big) =\Big( g_𝐑 : x↦ e^{-π x²}\Big) \] -et son analogue complexe $ℱ_{𝐂}(g_𝐂)=\big(g_𝐂:z↦ \frac{1}{π}e^{-2 π |z|²}\big)$. +et son analogue complexe $ℱ_{𝐂}(g_𝐂)=\big(g_𝐂:z↦ \frac{1}{π}e^{-2 π z \sur{z}}\big)$. \subsubsection{} \label{Tamagawa et idèle différentiel} @@ -4438,33 +4462,66 @@ théorème de Riemann-Roch, cf. \cite[2.1.3.b)]{Adeles@Weil}. \begin{théorème2} Soit $K$ un corps global. Notons $w$ le nombre de racines -de l'unité dans $K$ et $h$ le cardinal du groupe de -Picard, isomorphe à $C^{=1}_K/C^{=1}_K(X)$, où $X$ est l'ensemble -des places ultramétriques de $K$. Alors, +de l'unité dans $K$ et $h$ le cardinal du groupe de Picard. Alors, \[ -\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(K^{×,=1}_𝐀 /K^×) +\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(C^{=1}_K) = \frac{h}{w}× \begin{cases} \displaystyle 2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂} R & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\ \displaystyle 1 & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0, \end{cases} \] -où $R$ est le régulateur [...] \XXX. +où $C_K^{=1}=K^{×,=1}_𝐀/K^×$ et $R$ est le \emph{régulateur} défini +en \ref{définition-régulateur}. \end{théorème2} +\begin{remarque2} +On verra plus tard que, dans le langage des fonctions $ζ$, +ce théorème devient — dans le cas des corps de nombres — : +$\Res_{s=0} \frac{ζ_K(s)}{s^{r_𝐑+r_𝐂}}=-\frac{hR}{w}$. +\XXX +\end{remarque2} + \begin{démo} -Commençons par traiter le cas d'un corps de fonctions. -La suite exacte $1 → 𝒪_{K_𝐀}^× → C_K^{=1} → \Pic⁰(X) → 1$ -nous ramène à montrer que $\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(𝒪_{K_𝐀}^× K^×/K^×)=1/w$. -Or, la surjection $𝒪_{K_𝐀}^× ↠ 𝒪_{K_𝐀}^× K^×/K^×$ a pour noyau -$𝒪_{K_𝐀}^× ∩ K^× = k^×$, de cardinal $q-1$. La conclusion résulte alors -de l'égalité (tautologique) $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(𝒪_{K_𝐀}^×)=1$ -et de la définition de $\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}$. -Supposons maintenant que $K$ est un corps de nombres. -Le même argument nous ramène à établir l'égalité -$\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}\big(K^{×,=1}_𝐀(X) K^×/K^×\big)= -2^{r_𝐑}(2π)^{r_𝐂} R/w$, où $X$ désigne l'ensemble des places ultramétriques -de $K$ [...] cf. $𝒪_K^× → K^{×,=1}_𝐀(X)$ isom. modulo compacts etc. +Le groupe de Picard étant isomorphe au quotient $C_K^{=1}/C_K^{=1}(X)$, +où $X$ est l'ensemble des places ultramétriques de $K$ et +$C_K^{=1}(X)=K^×K_𝐀^{×,=1}(X)/K^×$, il suffit de démontrer +l'égalité $\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(C_K^{=1}(X))=1/w$ si +$K$ est un corps de fonctions et $2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂} R/w$ sinon. +Le noyau $K^× ∩ K_𝐀^{×,=1}(X)$ du morphisme +$K_𝐀^{×,=1}(X) ↠ C_K^{=1}(X)$ étant +l'ensemble $𝒪_K(X)^×$ des unités de $K$ +entières en chaque place ultramétrique, on a +$K_𝐀^{×,=1}(X)/𝒪_K(X)^× ⥲ C_K^{=1}(X)$. + +Cas d'un corps de fonctions. La condition +sur la norme (globale) est automatiquement satisfaite, +$K^×_𝐀(X)=∏_x 𝒪_{K,x}^×$ et $𝒪_K(X)^×= k^×$. +Le cardinal de $k^×$ étant $w$ et, par définition, +$μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(∏_x 𝒪_{K,x}^×)=1$, +la conclusion est acquise dans ce cas. + +Cas d'un corps de nombres. +Pour calculer le volume du quotient $K^{×,=1}_𝐀/𝒪_K^×$, nous utilisons +maintenant l'application logarithme $\log_𝐀:K^×_𝐀 → ∏_{y ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} 𝐑$ +définie en \ref{theoreme-unites-Dirichlet} et +$μ^{\mathrm{arch}}$ la mesure image directe de $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}$ par $\log_𝐀$. +Le noyau de la restriction à $𝒪_K^×$ de $\log_𝐀$ étant l'ensemble des racines de +l'unité, de cardinal $w$, on a l'égalité +\[ +w ⋅ \sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}\big(K_𝐀^{×,=1}(X)/𝒪_K^×\big)= +\sur{μ}^{\mathrm{arch}}\Big(\big(∏_{y ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} 𝐑\big)⁰)/\log_𝐀 𝒪_K^×\Big). +\] +(Raisonner par exemple en terme de domaines fondamentaux.) +Il résulte des définitions locales \ref{sorites mesures multiplicatives locales} +ainsi que d'un calcul élémentaire immédiat +\footnote{Précisément : $∫_{𝐑^×} f(\log(|x|))\frac{dx}{x}=2×∫_𝐑 f(y)dy$ et +$∫_{𝐂^×} f(\log(|z|²))\frac{2dxdy}{|z|²} = 2π×∫_𝐑 f(r)dr$.} +que la mesure $μ^{\mathrm{arch}}$ est égale à $2^{r_𝐑}(2π)^{r_𝐂}$ fois +la mesure de Lebesgue usuelle sur l'espace euclidien $𝐑^{Σ^{\mathrm{arch}}(K)}=𝐑^{r_𝐑 + r_𝐂}$. +Pour conclure, il nous faut vérifier que le covolume (usuel) +de $\log_𝐀(𝒪_K^×)$ dans $\big(∏_{y ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} 𝐑\big)⁰$ est égal +au régulateur $R$. C'est essentiellement la définition. \end{démo} %Cf. [Swinnerton-Dyer, p. 53]. @@ -5211,12 +5268,12 @@ de Zariski (cf. \refext{AC}{espace-topologique-SpecA}), en décrétant qu'un ensemble $U$ est ouvert si et seulement si il est cofini ou vide, le foncteur $𝒪_K:U↦ 𝒪_K(U)$ est un \emph{faisceau} d'anneaux et la paire $(Σ,𝒪_K)$ est \textbf{espace annelé} d'un type particulier, appelé \textbf{schéma}. -Plus précisément, c'est une courbe projective lisse sur $k$. -\XXX -\item Les résultats de la proposition précédente ont +Plus précisément, c'est une courbe projective lisse sur $k$. \XXX + +Les résultats de la proposition précédente ont été établis en \ref{sections globales droite projective} lorsque $K=𝐅_p(t)$. -\item \XXX Attention : il existe des anneaux de Dedekind dont un ouvert +\XXX Attention : il existe des anneaux de Dedekind dont un ouvert affine n'est pas un ouvert principal. (Cf. torsion dans le groupe de Picard.) %(Cf. Joël Riou, forum 2007.) |