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diff --git a/chapitres/correspondance-galois.tex b/chapitres/correspondance-galois.tex index 131cf63..783e446 100644 --- a/chapitres/correspondance-galois.tex +++ b/chapitres/correspondance-galois.tex @@ -1,31 +1,9 @@ -%%% vim: set textwidth=150: %%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*- +%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*- \ifx\danslelivre\undefined -\documentclass[9pt]{../configuration/smfart} -\input{../configuration/commun} -\input{../configuration/smf} -\input{../configuration/adresse} -\input{../configuration/gadgets} -\input{../configuration/francais} -\input{../configuration/numerotation} -\input{../configuration/formules} -\input{../configuration/encoredesmacros} - -\synctex=1 - -\usepackage{stmaryrd} -\usepackage{graphics} -\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} -%\usepackage{makeidx} -\usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{matrix} -\usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant -%\usepackage{pxfonts} - -%\textwidth13cm % pour pouvoir lire le nom des étiquettes si \usepackage{showkeys} -\textwidth16cm -\hoffset-1.5cm - - +\documentclass[a4paper,9pt]{amsart} +\input{../config/preambule} +\input{../config/macros} +\title{Correspondance de Galois} \externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder \externaldocument{formes-tordues} \externaldocument{verselles} @@ -36,10 +14,6 @@ \externaldocument{artin-schreier-witt} \externaldocument{descente} \externaldocument{produit-tensoriel} -%\makeindex - -\title{Correspondance de Galois} - \begin{document} \maketitle \tableofcontents @@ -59,7 +33,7 @@ Dans ce paragraphe, on fixe un corps $k$ et $Ω$ une clôture algébrique de $k$. Rappelons que si $K$ est un anneau et $A,B$ deux $K$-algèbres, -on note également $\japmath{田}A(B)$ l'ensemble $\Hom_K(A,B)$ des +on note également $田A(B)$ l'ensemble $\Hom_K(A,B)$ des homomorphismes de $K$-algèbres. \subsection{Conjugués d'un élément} @@ -87,17 +61,17 @@ de $k$, contenue dans $Ω$, donc nécessairement égale à $Ω$. \end{démo} Une telle extension est non unique en général. Nous verrons -plus tard qu'elle est unique \ssi $Ω$ est \emph{radiciel} sur $K$. +plus tard qu'elle est unique si et seulement si $Ω$ est \emph{radiciel} sur $K$. \begin{corollaire2}\label{caracterisation-conjugaison} Soient $x,y∈Ω$ et $K$ un sous-corps de $Ω$ contenant $k(x)$. -Les éléments $x$ et $y$ sont conjugués sur $k$ \ssi +Les éléments $x$ et $y$ sont conjugués sur $k$ si et seulement si il existe un $k$-plongement $ι:K→Ω$ tel que $ι(x)=y$. \end{corollaire2} \begin{proposition2} Deux éléments de $Ω$ sont conjugués sur $k$ -\ssi ils ont même polynôme minimal sur $k$. +si et seulement si ils ont même polynôme minimal sur $k$. \end{proposition2} @@ -124,12 +98,12 @@ où $z=y$ (resp. $z=x$). L'ensemble des conjugués sur $k$ d'un élément $x$ de $Ω$ coïncide avec l'ensemble des racines dans $Ω$ de son polynôme minimal $μ_{k,x}$. Cet ensemble est fini, de cardinal inférieur ou égal -à $\deg μ_{k,x}=[k(x):k]$. L'égalité a lieu \ssi +à $\deg μ_{k,x}=[k(x):k]$. L'égalité a lieu si et seulement si $x$ est séparable sur $k$. \end{corollaire2} Le nombre de racines distinctes dans $Ω$ d'un polynôme non nul étant égal au degré -de ce polynôme \ssi ses racines sont simples, la remarque +de ce polynôme si et seulement si ses racines sont simples, la remarque sur le cas d'égalité est évidente. On peut être plus précis. @@ -157,7 +131,7 @@ extension de corps ?] \begin{proposition2}\label{Hom=Aut} Soit $K\bo k$ une extension algébrique. -L'inclusion $\Aut_k(K)→\japmath{田}K(K)$ est une bijection. +L'inclusion $\Aut_k(K)→田K(K)$ est une bijection. En d'autres termes, tout $k$-plongement $ι:K→K$ est surjectif. \end{proposition2} @@ -213,12 +187,12 @@ Les conditions suivantes sont équivalentes : \begin{enumerate} \item pour tout $k$-plongement $ι:K↪Ω$, on a $ι(K)⊆K$ ; \item pour tout $k$-automorphisme $σ$ de $Ω$, on a $σ(K)⊆K$ ; -\item l'inclusion naturelle $\Aut_k(K)=\japmath{田}K(K)↪\japmath{田}K(Ω)$ est une bijection ; +\item l'inclusion naturelle $\Aut_k(K)=田K(K)↪田K(Ω)$ est une bijection ; \item pour tout $x∈K$, le polynôme minimal $μ_{x,k}$ de $x$ sur $k$ est scindé sur $K$ ; \item tout polynôme irréductible de $k[X]$ ayant une racine dans $K$ est scindé sur $K$ ; \item pour tout $x∈K$, les $k$-conjugués de $x$ dans $Ω$ appartiennent à $K$ ; \item pour tout $𝔭∈\Spec(K⊗_k K)$, l'extension résiduelle $κ(𝔭)\bo K$ est triviale ; -\item l'application $\japmath{田}(K⊗_k K)(K)↪\japmath{田}(K⊗_k K)(Ω)$ est une bijection ; +\item l'application $田(K⊗_k K)(K)↪田(K⊗_k K)(Ω)$ est une bijection ; \item l'application $\Aut_k(K) → \Spec(K ⊗_k K)$, $g ↦ 𝔭_g:=\Ker\big(m_g:λ⊗μ\mapsto g(λ)\cdot μ\big)$ est une bijection. \end{enumerate} @@ -240,7 +214,7 @@ et \ref{caracterisation-conjugaison}. % On utilise le fait que $K$ est la réunion de ses sous-$k$-extensions monogènes. (vii)⇔(viii). Notons $A$ la $K$-algèbre $K ⊗_k K$ ; elle est entière sur $K$ (\refext{Alg}{entier sur corps stable par cb}). -L'application noyau $\japmath{田}A(Ω)→\Spec(A)$, $φ ↦ \Ker(φ)$ +L'application noyau $田A(Ω)→\Spec(A)$, $φ ↦ \Ker(φ)$ est donc surjective. En effet, sa fibre au-dessus d'un élément $𝔭$ de $\Spec(A)$ est, par propriété universelle du quotient, en bijection avec l'ensemble $\Hom_K(A/𝔭,Ω)$. Or, l'anneau $A/𝔭$ est intègre @@ -248,10 +222,10 @@ et entier sur $K$ ; c'est donc un corps (\refext{Alg}{polynome-minimal}). D'après \refext{Alg}{plongement-dans-cloture-algebrique}, l'ensemble $\Hom_K(A/𝔭,Ω)$ est donc non vide. Les idéaux premiers de $A$ sont donc tous $K$-rationnels -si et seulement si l'inclusion $\japmath{田}A(K)↪\japmath{田}A(Ω)$ +si et seulement si l'inclusion $田A(K)↪田A(Ω)$ est une bijection. (viii)⇔(iii) Soit $B$ une $K$-algèbre et ${_{[k]}B}$ la $k$-algèbre déduite de $B$ par restriction des scalaires. -L'application $\japmath{田}K({_{[k]}B})→\japmath{田}A(B)$, +L'application $田K({_{[k]}B})→田A(B)$, $ι\mapsto \big(φ_ι:λ⊗μ \mapsto ι(λ)\cdot μ\big)$ est une bijection, d'inverse est $φ\mapsto \big(ι_φ:λ\mapsto φ(λ⊗1_B)\big)$. (Ce résultat est un cas particulier de l'adjonction @@ -261,8 +235,8 @@ si $B → B ′$ est un morphisme de $K$-algèbres, le diagramme \begin{center} \begin{tikzpicture}[auto] \matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=2em,row sep=5ex]{ -|(KB)| \japmath{田}K({_{[k]}B}) & |(KBp)| \japmath{田}K({_{[k]}B′})\\ -|(AB)| \japmath{田}A(B)& |(ABp)| \japmath{田}A(B ′)\\}; +|(KB)| 田K({_{[k]}B}) & |(KBp)| 田K({_{[k]}B′})\\ +|(AB)| 田A(B)& |(ABp)| 田A(B ′)\\}; \draw[->] (KB) -- (KBp); \draw[->] (AB) -- (ABp); \draw[->] (KB) -- (AB); @@ -270,9 +244,9 @@ si $B → B ′$ est un morphisme de $K$-algèbres, le diagramme \end{tikzpicture} \end{center} est commutatif. La conclusion résulte aussitôt en posant $B=K$ et $B ′=Ω$. -(viii)⇔(ix). L'application $G=\japmath{田}K(K) → \japmath{田}A(K)$ +(viii)⇔(ix). L'application $G=田K(K) → 田A(K)$ n'est autre que $g ↦ (λ⊗μ↦g(λ)μ)$. L'application composée -$\japmath{田}K(K) → \japmath{田}A(Ω) ⥲ \Spec(A)$ +$田K(K) → 田A(Ω) ⥲ \Spec(A)$ est celle de l'énoncé. [À vérifier] \XXX Notons que l'injectivité de $G → \Spec(K ⊗_k K)$ est claire : si $g(λ)≠g'(λ)$, l'élément $λ⊗1-1⊗g(λ)$ appartient à $𝔭_g$ mais pas à $𝔭_{g'}$. @@ -394,7 +368,7 @@ Une extension algébrique $K\bo k$ est dite \emph{galoisienne} si elle est normale et séparable. \end{définition2} \begin{lemme2}\label{gal=corps-dec-sep} -Une extension est galoisienne \ssi elle est isomorphe au +Une extension est galoisienne si et seulement si elle est isomorphe au corps de décomposition d'une famille de polynômes séparables. \end{lemme2} @@ -415,7 +389,7 @@ est séparable (\ref{dec-poly-sep=sep}). Soient $K\bo k$ une extension \emph{finie} et $G=\Aut_k(K)$. L'extension $K\bo k$ est galoisienne -\ssi le morphisme +si et seulement si le morphisme $$ K⊗_k K→∏_{g∈G} K=\Hom_{\Ens}(G,K) $$ @@ -654,12 +628,12 @@ suivante (« théorème de Dedekind ») de \ref{indépendance linéaire des automorphismes} : \begin{quote} Soient $k$ un corps, $k'\bo k$ une extension et $A$ une $k$-algèbre. -L'ensemble $\japmath{田}A(k')$ est une partie $k'$-libre de +L'ensemble $田A(k')$ est une partie $k'$-libre de $\Hom_{k\traitdunion\mathrm{ev}}(A,k')$. \end{quote} (On pourra commencer par montrer, en utilisant le théorème chinois -et l'isomorphisme $\japmath{田}A(k')⥲\japmath{田}A_{k'}(k')$ que pour toute partie finie -$U$ de $\japmath{田}A(k')$ l'application $A_{k'}→{k'}^{U}$, $(a⊗1)↦\big(u(a)\big)_{u∈U}$ +et l'isomorphisme $田A(k')⥲田A_{k'}(k')$ que pour toute partie finie +$U$ de $田A(k')$ l'application $A_{k'}→{k'}^{U}$, $(a⊗1)↦\big(u(a)\big)_{u∈U}$ est surjective.) \end{exercice2} @@ -699,26 +673,26 @@ est un isomorphisme. \begin{remarques2}\label{rmqs pseudo-torseurs} \begin{enumerate} -\item Soit $B$ une $A$-algèbre. Notons $\japmath{田}B ∈ \ob \Hom(A\traitdunion\Alg,\Ens)$ -le foncteur de Yoneda : $\japmath{田}B(T)=\Hom_{A\traitdunion\Alg}(B,T)$ +\item Soit $B$ une $A$-algèbre. Notons $田B ∈ \ob \Hom(A\traitdunion\Alg,\Ens)$ +le foncteur de Yoneda : $田B(T)=\Hom_{A\traitdunion\Alg}(B,T)$ pour toute $A$-algèbre test $T$. Si $B$ est muni d'une action de $G$ par $A$-automorphismes, $G$ s'envoie naturellement dans -$\End(\japmath{田}B)$ : si $f ∈ \japmath{田}B(T)$, $g ⋅f:b ↦ f(g^{-1}b)$. -Notons $\japmath{田}B × G ∈ \ob \Hom(A\traitdunion\Alg,\Ens)$ -(resp. $\japmath{田}B ×_{\japmath{田}A} \japmath{田}B$) +$\End(田B)$ : si $f ∈ 田B(T)$, $g ⋅f:b ↦ f(g^{-1}b)$. +Notons $田B × G ∈ \ob \Hom(A\traitdunion\Alg,\Ens)$ +(resp. $田B ×_{田A} 田B$) le foncteur envoyant une $A$-algèbre $T$ sur le produit cartésien (resp. fibré) d'ensembles -$\japmath{田}B(T) × G$ (resp. $\japmath{田}B ×_{\japmath{田}A} -\japmath{田}B$). Ce sont des cas particuliers +$田B(T) × G$ (resp. $田B ×_{田A} +田B$). Ce sont des cas particuliers des notions de coproduit, indicé par $G$, et de produit fibré respectivement dans la catégorie $\Hom(A\traitdunion\Alg,\Ens)$. -L'action de $G$ sur $\japmath{田}B$ induit -un morphisme de foncteurs $\japmath{田}B × G → \japmath{田}B(T) -×_{\japmath{田}A(T)} \japmath{田}B(T)$, correspondant +L'action de $G$ sur $田B$ induit +un morphisme de foncteurs $田B × G → 田B(T) +×_{田A(T)} 田B(T)$, correspondant sur les points à l'application $(y,g) ↦ (g ⋅ y, y)$. Il résulte du lemme de Yoneda \refext{Cat}{lemme-de-yoneda} et du fait que, par définition du produit scalaire -$\japmath{田}(B ⊗_A B)=\japmath{田}B ×_{\japmath{田}A} \japmath{田}B$, +$田(B ⊗_A B)=田B ×_{田A} 田B$, que ce morphisme est un isomorphisme si et seulement si $B$ est un pseudo-$G$-torseur sur $A$. Cette approche permet de définir la notion @@ -1078,7 +1052,7 @@ cardinal au plus $\deg(f)$ des racines de $f$ dans $\dec(f)$. L'extension $\dec(f)\bo K$ est finie et normale (\ref{normal=corps-dec}). Écrivons $f=∏_i f_i^{r_i}$ où les polynômes $f_i$ sont unitaires irréductibles, premiers -entre eux deux-à-deux et posons $f_\red=∏_i f_i$. Le lemme suivant est un corollaire immédiat +entre eux deux-à-deux et posons $f_{\red}=∏_i f_i$. Le lemme suivant est un corollaire immédiat des définitions ainsi que de \ref{dec(f)-sep=>f-red-separable} et \ref{dec-poly-sep=sep}. \begin{lemme2} @@ -1086,18 +1060,18 @@ Les conditions suivantes sont équivalentes : \begin{enumerate} \item l'extension $\dec(f)\bo K$ est séparable ; \item chaque $f_i$ est séparable ; -\item le polynôme $f_\red$ est séparable. +\item le polynôme $f_{\red}$ est séparable. \end{enumerate} -De plus, le polynôme $f$ est séparable \ssi chaque $f_i$ est séparable et de multiplicité -$r_i$ égale à un (\cad $f=f_\red$). +De plus, le polynôme $f$ est séparable si et seulement si chaque $f_i$ est séparable et de multiplicité +$r_i$ égale à un (c'est-à-dire $f=f_{\red}$). \end{lemme2} \begin{définition2} -Si $f_\red$ est séparable, on appelle \emph{groupe de Galois du polynôme $f$} le groupe de Galois de +Si $f_{\red}$ est séparable, on appelle \emph{groupe de Galois du polynôme $f$} le groupe de Galois de l'extension $\dec(f)\bo K$, noté $G_f$ ou $\Gal(f)$. \end{définition2} -Il résulte de la définition que $G_f=G_{f_\red}$. +Il résulte de la définition que $G_f=G_{f_{\red}}$. Le cas crucial est bien entendu celui où $f$ est un polynôme irréductible séparable. Il nous a cependant paru utile de ne pas se limiter à ce cas @@ -1118,7 +1092,7 @@ la convention \refext{Cat}{blabla-unicite-objet-universel}, nous nous autorisons groupe de Galois d'une équation, même si ce dernier n'est pas abélien. Une façon de procéder pour résoudre cette difficulté est de fixer une clôture algébrique de $K$, ou plus généralement toute extension $Ω$ de $K$ sur laquelle $f$ est scindé, -et de considérer le groupe de Galois $\Gal(f,Ω)$ de $f$ « pointė » en $Ω$, \cad +et de considérer le groupe de Galois $\Gal(f,Ω)$ de $f$ « pointė » en $Ω$, c'est-à-dire le groupe de Galois de l'unique corps de décomposition de $f$ dans $Ω$. \subsubsection{}Le fait trivial suivant est d'importance capitale : l'ensemble @@ -1151,19 +1125,19 @@ sur $\dec(f)$ tout entier et, finalement, $g=\Id$. \begin{lemme2}\label{action transitive de Galois si poly irréductible} Le groupe de Galois $G_f$ agit \emph{transitivement} -sur les racines $R_f$ \ssi le polynôme séparable -$f_\red$ est \emph{irréductible}. +sur les racines $R_f$ si et seulement si le polynôme séparable +$f_{\red}$ est \emph{irréductible}. Sous cette hypothèse, $\deg(f)$ divise $\# G_f$. \end{lemme2} \begin{démo} -On peut supposer $f=f_\red$. +On peut supposer $f=f_{\red}$. Si $f$ est irréductible, c'est le polynôme minimal de chacune de ses racines. La conclusion résulte alors de \ref{conjugues=racines}. Réciproquement, il résulte de \emph{loc. cit.} -que deux racines sont conjuguées \ssi elles ont même polynôme +que deux racines sont conjuguées si et seulement si elles ont même polynôme minimal. Ainsi, si $G_f$ agit transitivement sur $R_f$, et $r∈R_f$, $f$ a pour unique diviseur irréductible $μ_{r,k}$. Comme $f$ est supposé séparable, on a $f=μ_{r,k}$ @@ -1177,7 +1151,7 @@ sur un ensemble fini $X$, on a $\#X | \# G$. [À déplacer/modifier : simple copier-coller d'exos à l'X] \XXX -\begin{lemme2}(Lemme de McCoy-\jap{永田}) +\begin{lemme2}(Lemme de McCoy-{\IPAMincho 永田}) Soit $A$ un anneau commutatif. Un polynôme $P ∈ A[X]$ non nul est diviseur de zéro si et seulement si il existe $a ≠ 0$ dans $A$ tel que @@ -1202,7 +1176,7 @@ Enfin, soient $A=∑_0^n \overline{A_i} X^i$ et $B=∑_0^m \overline{B_j} X^j$ les polynômes dans $R[X]$. Par construction, $AB=0$. D'autre part, les coefficients de $A$ (resp. $B$) engendrent l'idéal unité de $R$. -Il résulte du lemme de McCoy-\jap{永田}, que l'anneau $R$ est nul. +Il résulte du lemme de McCoy-{\IPAMincho 永田}, que l'anneau $R$ est nul. \begin{définition2} On dit un polynôme à coefficients dans un anneau $A$ est @@ -1440,10 +1414,10 @@ $\dec(h)$. \subsubsection{}\label{exemple-galois-equation-generique} Soient $d$ un entier et $k$ un corps. Considérons le corps des fractions rationnelles en $d$ indéterminées $L=k(X₁,\dots,X_d)$. Le groupe -symétrique $\got{S}_d$ agit $k$-linéairement sur $L$ +symétrique $\mathfrak{S}_d$ agit $k$-linéairement sur $L$ par permutation des variables : $g(X_i)=X_{g(i)}$ pour tout $1≤i≤d$. -Soit $K:=\Fix_{\got{S}_d}L$. Il résulte du lemme d'Artin que l'extension -$L\bo K$ est galoisienne, de groupe $\got{S}_d$. En particulier, +Soit $K:=\Fix_{\mathfrak{S}_d}L$. Il résulte du lemme d'Artin que l'extension +$L\bo K$ est galoisienne, de groupe $\mathfrak{S}_d$. En particulier, elle est de degré $d!$. D'autre part, notons $σ_j$ ($1≤i≤d$) les fonctions symétriques élémentaires en les $X_i$ : @@ -1455,9 +1429,9 @@ $$ Il en résulte que $L=k(X₁,\dots,X_d)$ est un corps de décomposition du polynôme de droite, de degré $d$, sur le sous-corps $K'=k(σ₁,\dots,σ_d)$ de $L$. D'après \ref{dec-deg-inf-fact-n}, on a donc $[L:K']≤d!$. -Puisque $K'⊆K$ on a $K=K'$, \cad +Puisque $K'⊆K$ on a $K=K'$, c'est-à-dire $$ -\Fix_{\got{S}_d} k(X₁,\dots,X_d)=k(σ₁,\dots,σ_d). +\Fix_{\mathfrak{S}_d} k(X₁,\dots,X_d)=k(σ₁,\dots,σ_d). $$ Remarquons que ce résultat, présenté ici comme un corollaire du lemme d'Artin, se démontre directement sans difficulté. @@ -1465,7 +1439,7 @@ du lemme d'Artin, se démontre directement sans difficulté. Le résultat précédent se paraphrase ainsi : \begin{quote} « Pour tout corps $k$, l'équation \emph{générique} de degré -$d$ sur $k$ est séparable de groupe $\got{S}_d$. » +$d$ sur $k$ est séparable de groupe $\mathfrak{S}_d$. » \end{quote} \subsubsection{Discriminant et $2$-distinguant} Supposons $d≥2$. Soit $𝔄_d$ le groupe alterné, @@ -1476,7 +1450,7 @@ tel que $\Fix_{𝔄_d} k(X₁,\dots,X_d)$ soit le corps de décomposition du polynôme (séparable) $X²-Δ$ (resp. $X²-X-Δ$) si $\car(k)≠2$ (resp. $\car(k)=2$). -\begin{lemme3}\label{construction discriminant et 2-distinguant} +\begin{lemme2}\label{construction discriminant et 2-distinguant} \begin{enumerate} \item Soit $δ_{2'}∈𝐙[X₁,\cdots,X_d]$ l'élément $∏_{1≤i<j≤d}(X_i-X_j)$. Pour tout $σ∈𝔖_d$, $σ(δ_{2'})=ε_{2'}(σ)\cdot δ_{2'}$, où $ε_{2'}:𝔖_d↠\{±1\}⊆𝐙$ @@ -1492,7 +1466,7 @@ En particulier, Δ₂=\sur{δ₂}(\sur{δ₂}-1)=∑_{1≤i<j≤d}\frac{X_iX_j}{X_i²+X_j²} \] appartient à $𝐅₂(σ₁,\cdots,σ_d)$. \end{enumerate} -\end{lemme3} +\end{lemme2} Il en résulte que si l'on note $δ$ (resp. $Δ$) l'image dans $k(X₁,\dots,X_d)$ de, suivant la caractéristique, $δ_{2'}$ ou $δ₂$ (resp. $Δ_{2'}$ ou $Δ₂$), $\Fix_{𝔄_d} @@ -1511,7 +1485,7 @@ Il résulte de l'identité : $$\frac{x}{x+y}=\frac{y}{x+y}+1$$ dans $∈𝐅₂ que $(αβ)S=S+2(j-i)+1=S+1$. CQFD. \end{démo} -\begin{définition3}\label{definition discriminant et 2-distinguant} +\begin{définition2}\label{definition discriminant et 2-distinguant} On appelle \emph{discriminant}\index{discriminant} du polynôme général de degré $d$ le polynôme $Δ_{2'}∈𝐙[σ₁,\dots,σ_d]$. Si $f=X^d+∑_{i=1}^{d}a_i X^{d-i}$ est un polynôme unitaire à coefficients @@ -1519,21 +1493,21 @@ dans un corps $k$ de caractéristique différente de deux, on appelle \emph{discriminant de $f$} l'élément $Δ(f):=Δ_{2'}(a₁,\dots,a_d)∈k$. En caractéristique deux, on appellera \emph{$2$-distinguant}\index{2-distinguant} de $f$, -l'élément $\japmath{別}_2(f):=Δ_{2}(a₁,\dots,a_d)∈k$. -\end{définition3} +l'élément $別_2(f):=Δ_{2}(a₁,\dots,a_d)∈k$. +\end{définition2} -(On peut prononcer « bétsou » le caractère \jap{別}.) +(On peut prononcer « bétsou » le caractère {\IPAMincho 別}.) Référence. Bourbaki, V, exercice §10, №23 et \cite{Involutions@KMRT}, chap. V, §18. -\begin{exemples3}[Discriminants et $2$-distinguants]\label{exemples discriminants et 2-distinguants} +\begin{exemples2}[Discriminants et $2$-distinguants]\label{exemples discriminants et 2-distinguants} \begin{enumerate} \item Soit $f=X²-c₁X+c₂$. \[Δ(f)=c₁²-4c₂.\] -\[\japmath{別}_2(f)=\frac{c₂}{c₁²}.\] +\[別_2(f)=\frac{c₂}{c₁²}.\] \item Soit $f=X³-c₁X²+c₂X-c₃$. \[Δ(f)=c₁²c₂²-4c₁³c₃+18c₁c₂c₃-4c₂³-27c₃².\] -\[\japmath{別}₂(f)=\frac{c₁³c₃+c₂³+c₁c₂c₃+c₃²}{c₁²c₂²+c₃²}.\] +\[別₂(f)=\frac{c₁³c₃+c₂³+c₁c₂c₃+c₃²}{c₁²c₂²+c₃²}.\] % ordre : degré total + par la fin \item Soit $f=X^4-c_1 X^3 + c_2 X^2 - c_3 X + c_4$. \[ @@ -1543,46 +1517,46 @@ Référence. Bourbaki, V, exercice §10, №23 et \cite{Involutions@KMRT}, chap. &\quad - 27 c_3^4 + 144 c_2 c_3^2 c_4 - 128 c_2^2 c_4^2 - 192 c_1 c_3 c_4^2 + 256 c_4^3\\ \end{array} \] -\[\japmath{別}_2(f) = \frac{c_1^3 c_3^3 + c_1^2 c_2^3 c_4 + c_1^3 c_2 c_3 c_4 + c_1^4 +\[別_2(f) = \frac{c_1^3 c_3^3 + c_1^2 c_2^3 c_4 + c_1^3 c_2 c_3 c_4 + c_1^4 c_4^2 + c_2^3 c_3^2 + c_1 c_2 c_3^3 + c_3^4}{c_1^2 c_2^2 c_3^2 + c_1^4 c_4^2 + c_3^4}.\] \item Soit $f=X⁵+aX+b$. \[ Δ(f)= 4⁴a⁵+5⁵b⁴. \] -\[\japmath{別}_2(f) = ...\] +\[別_2(f) = ...\] \XXX Plus généralement si $f=X^n + aX+b$. Cf. par exemple Lombardi-Quitté p. 156. \XXX \end{enumerate} -\end{exemples3} +\end{exemples2} La proposition suivante résulte immédiatement des formules du lemme précédent, où l'on remplace les $X_i$ par les racines d'un polynôme donné. -\begin{proposition3}\label{caracterisation groupe Gal alterne} +\begin{proposition2}\label{caracterisation groupe Gal alterne} Soient $f∈k[X]$ un polynôme unitaire séparable et $R_f$ l'ensemble des racines de $f$ dans une clôture séparable de $k$. \begin{enumerate} \item Si $\car(k)≠2$, l'image de $G_f$ dans $𝔖_{R_f}$ est contenue dans le groupe alterné $𝔄_{R_f}$ -\ssi le discriminant de $f$ est un carré dans $k$, -\cad s'il appartient à l'image de l'application $λ↦λ²$. +si et seulement si le discriminant de $f$ est un carré dans $k$, +c'est-à-dire s'il appartient à l'image de l'application $λ↦λ²$. \item Si $\car(k)=2$, l'image $G_f$ dans $𝔖_{R_f}$ est contenue dans le groupe alterné $𝔄_{R_f}$ -\ssi le $2$-distinguant de $f$ appartient à l'image de +si et seulement si le $2$-distinguant de $f$ appartient à l'image de l'application $℘:λ↦λ²-λ$. \end{enumerate} -\end{proposition3} +\end{proposition2} -\begin{remarque3}\label{remarque Spec Z simplement connexe} +\begin{remarque2}\label{remarque Spec Z simplement connexe} On peut montrer (cf. \refext{}{}) que le discriminant d'un polynôme $f$ unitaire irréductible de $𝐙[X]$ ne peut être inversible dans $𝐙$ — c'est-à-dire égal à $±1$ — que si $f$ est de degré un. -\end{remarque3} +\end{remarque2} \subsubsection{Équation discriminante en toute caractéristique. Distinguant.} % Discussion avec Jean Lannes. (Cf. lien entre l'invariant @@ -1606,7 +1580,7 @@ $(1+2δ)²∈𝐙[σ₁,…,σ_d][\frac{1}{Δ_{2'}}]$.) Il en résulte (cf. \emph{supra}) que pour tout corps $k$ de caractéristique différente de deux et tout polynôme séparable $f∈k[X]$ \emph{tel que la somme de deux racines distinctes soit toujours non nulle}, le groupe de Galois -agit par permutations paires sur les racines \ssi l'équation +agit par permutations paires sur les racines si et seulement si l'équation $X²-(1+2δ)²$ a une racine dans $k$, où l'on remplace dans la fraction rationnelle $(1+2δ)²$ les $σ_i$ par les coefficients de $f$. Le changement de variable $Y=½(X-1)$ transforme l'équation précédente @@ -1616,30 +1590,30 @@ la fraction rationnelle $δ$ est $δ₂$}. En résumé, nous avons démontré la proposition suivante, qui nous a été suggérée par Jean Lannes. -\begin{proposition3}\label{distinguant distingue groupe alterné} +\begin{proposition2}\label{distinguant distingue groupe alterné} Soient $k$ un corps, $f=X^d-c₁X^{d-1}+\cdots+c_d∈k[X]$ un polynôme, $K$ un corps de décomposition de $f$ et $\{x₁,\dots,x_d\}$ les racines de $f$ dans $K$, comptées avec multiplicités. \emph{Si $∏_{i<j}\big((x_i-x_j)(x_i+x_j)\big)≠0$}, le polynôme $f$ est séparable et le groupe de Galois $\Gal(K\bo k)$ de $f$ agit par permutations paires sur les racines -\ssi l'équation +si et seulement si l'équation \[ -Y²+Y-\japmath{別}(c₁,\dots,c_d) +Y²+Y-別(c₁,\dots,c_d) \] a une racine dans $k$, où -$\japmath{別}∈𝐙[σ₁,…,σ_n][\frac{1}{Δ_{2'}}]$ est la fraction rationelle en les coefficients +$別∈𝐙[σ₁,…,σ_n][\frac{1}{Δ_{2'}}]$ est la fraction rationelle en les coefficients définie par \[ -\japmath{別}=\frac{∏_{i<j}(x_i+x_j)²-Δ_{2'}}{4Δ_{2'}}. +別=\frac{∏_{i<j}(x_i+x_j)²-Δ_{2'}}{4Δ_{2'}}. \] -De plus, $\japmath{別}=δ²+δ$ où $δ∈𝐙[σ₁,…,σ_d][\frac{1}{Δ_{2'}}]$ +De plus, $別=δ²+δ$ où $δ∈𝐙[σ₁,…,σ_d][\frac{1}{Δ_{2'}}]$ est congru modulo $2$ à $δ_{2'}$. En particulier, -la réduction modulo $2$ de $\japmath{別}$ est le $2$-distinguant -$\japmath{別}₂$. -\end{proposition3} +la réduction modulo $2$ de $別$ est le $2$-distinguant +$別₂$. +\end{proposition2} -\begin{exemples3} +\begin{exemples2} En utilisant le fait que $∏_{i<j}(x_i+x_j)²=\mathrm{r\acute{e}s}(f(X),f(-X))$ [presque] et $∏_{i<j}(x_i-x_j)²=Δ_{2'}(f)=\mathrm{r\acute{e}s}(f,f')$, on trouve @@ -1647,11 +1621,11 @@ facilement les formules ci-dessous. \XXX \begin{enumerate} \item Soit $f=X²-c₁X+c₂$. -\[\japmath{別}=\frac{c_2}{c_1^2 - 4 c_2}\] +\[別=\frac{c_2}{c_1^2 - 4 c_2}\] \item Soit $f=X³-c₁X²+c₂X-c₃$. -\[\japmath{別}=\frac{c_1^3 c_3 + c_2^3 - 5 c_1 c_2 c_3 + 7 c_3^2}{c_1^2 c_2^2 - 4 c_1^3 c_3 - 4 c_2^3 + 18 c_1 c_2 c_3 - 27 c_3^2}\] +\[別=\frac{c_1^3 c_3 + c_2^3 - 5 c_1 c_2 c_3 + 7 c_3^2}{c_1^2 c_2^2 - 4 c_1^3 c_3 - 4 c_2^3 + 18 c_1 c_2 c_3 - 27 c_3^2}\] \item Soit $f=X^4-c_1 X^3 + c_2 X^2 - c_3 X + c_4$. -\[\japmath{別}=\frac{ +\[別=\frac{ \left( \begin{array}{l} c_1^3 c_3^3 + c_1^2 c_2^3 c_4 - 5 c_1^3 c_2 c_3 c_4 + 7 c_1^4 c_4^2\\ @@ -1669,15 +1643,15 @@ c_1^2 c_2^2 c_3^2 - 4 c_1^3 c_3^3 - 4 c_1^2 c_2^3 c_4 + 18 c_1^3 c_2 c_3 c_4 - 2 \right) }\] \end{enumerate} -\end{exemples3} +\end{exemples2} \subsubsection{Exercices} -\begin{exercice3} +\begin{exercice2} Déterminer le groupe de Galois du polynôme $X³-2∈𝐐[X]$. -\end{exercice3} +\end{exercice2} -\begin{exercice3}\label{borne-degre-elements} +\begin{exercice2}\label{borne-degre-elements} Soient $p$ un nombre premier et $k=\FF_p((t_i)_{i∈𝐍})$ le corps des fractions de l'anneau de polynômes en une infinité de variables $\FF_p[(t_i)_{i∈𝐍}]$. Soit $Ω$ une clôture @@ -1686,24 +1660,24 @@ les éléments $t_i^{1/p}$ ($i∈𝐍$). Montrer que pour tout $x∈K$, on a $x^p∈k$ mais que $[K:k]=+∞$. (Le corps $K$ sera noté $k^{1/p}$ dans un paragraphe ultérieur, consacré aux extensions \emph{radicielles}.) -\end{exercice3} +\end{exercice2} -\begin{exercice3} +\begin{exercice2} Montrer que même en caractéristique deux, il n'existe pas d'équation « discriminante » de la forme $X²-X-P$ où $P$ est un \emph{polynôme} en les coefficients. -\end{exercice3} +\end{exercice2} -\begin{exercice3} +\begin{exercice2} Soit $A=𝐙[X₁,\dots,X_d][Δ_{2'}^{-1}]$, $B=\Fix_{𝔄_d}(A)$ et $C=\Fix_{𝔖_d}(A)=𝐙[σ₁,\dots,σ_n][Δ_{2'}^{-1}]$. Montrer que le morphisme $C↪B$ est galoisien de groupe $𝐙/2$ (\ref{algèbre G-galoisienne}) mais qu'il n'existe pas de polynôme $P∈C[T]$ tel que $B≃C[T]/P$. (C'est cependant le cas après changement de base $C→C[∏_{i<j}(X_i+X_j)^{-1}]$.) -\end{exercice3} +\end{exercice2} -\begin{exercice3} +\begin{exercice2} Soient $A$ un anneau et $P=∑ (-1)^i a_{n-i} X^i ∈A[X]$ un polynôme unitaire de degré $n$. On appelle \emph{algèbre de décomposition} de $P$ la $A$-algèbre $A(P)=A[X₁,\dots,X_n]/(∑_i X_i=a₁,\dots,∏_i X_i=a_n)$. @@ -1715,7 +1689,7 @@ que les monômes $∏_i x_i^{e_i}$, où $e_i≤n-i$, forment un base.) de la trace) et le discriminant de $P$. \item À quelle condition $\Fix_{𝔖_n}(A(P))=k$ ? \end{enumerate} -\end{exercice3} +\end{exercice2} %NDLR. Cela aurait un rapport avec la définition de Grothendieck des %classe de Chern (cf. principe de scindage) etc. @@ -1730,7 +1704,7 @@ sont des bijections inverses l'une de l'autre, et décroissantes pour l'inclusion, entre l'ensemble des sous-groupes de $G$ et l'ensemble des sous-$k$-extensions de $K$. De plus, une sous-$k$-extension $k'$ de $K$ est galoisienne sur $k$ -\ssi $H=\Gal(K\bo k')$ est un sous-groupe distingué de $G$. Dans ce cas, l'application +si et seulement si $H=\Gal(K\bo k')$ est un sous-groupe distingué de $G$. Dans ce cas, l'application de restriction $\Gal(K\bo k)→\Gal(k'\bo k)$ induit un isomorphisme $G/H ⥲ \Gal(k'\bo k)$. \end{théorème2} @@ -1754,11 +1728,11 @@ est une bijection ; d'autre part l'application $\Gal(K\bo k)=\Hom_k(K,K)→\Hom_k(k',K)$ est une surjection (\ref{prolongement-plongement}). Il en résulte que tout $k$-plongement $ι:k'↪Ω$ est la restriction d'un élément -$g∈G$. Ainsi, l'extension $k'\bo k$ est normale \ssi +$g∈G$. Ainsi, l'extension $k'\bo k$ est normale si et seulement si pour tout $g∈G$, $g(k')=k'$. Puisque $k'=\Fix_H(K)$, cette condition se réécrit : $\Fix_{gHg^{-1}}(K)=\Fix_{H}(K)$, pour tout $g∈G$. Par bijectivité de l'application $H↦\Fix_H(K)$, -on a $\Fix_{gHg^{-1}}(K)=\Fix_{H}(K)$ \ssi $gHg^{-1}=H$. +on a $\Fix_{gHg^{-1}}(K)=\Fix_{H}(K)$ si et seulement si $gHg^{-1}=H$. Le groupe $H$ est donc distingué dans $G$. Enfin, si $k'\bo k$ est normale, donc galoisienne, on a $\Hom_k(k',Ω)=\Gal(k'\bo k)$ de sorte @@ -1801,7 +1775,7 @@ En effet, le corps $𝐑$ étant de caractéristique nulle donc parfait, il résulte du théorème de l'élément primitif que toute extension finie $K\bo 𝐑$ est un corps de décomposition d'un polynôme irréductible de degré $[K:𝐑]$. Or, tout polynôme réel de degré impair a une racine ; il est donc -irréductible \ssi il est de degré un. +irréductible si et seulement si il est de degré un. \item \emph{Toute extension finie de $𝐑$ est de degré une puissance de deux.} Soit $K\bo 𝐑$ une extension finie et $K'$ une clôture galoisienne de $K$ sur @@ -1809,7 +1783,7 @@ $𝐑$. Puisque $[K:𝐑]$ divise $[K':𝐑]$, on peut supposer l'extension $K\b Soit $S$ un $2$-Sylow de $G=G_{K\bo 𝐑}$. Le corps $\Fix_S(K)$ est de degré $[G:S]$ sur $𝐑$ (cf. \refext{CG}{}). Ce nombre est impair par hypothèse. D'après ce qui précède, on -a donc $[G:S]=1$, \cad $G=S$. CQFD. +a donc $[G:S]=1$, c'est-à-dire $G=S$. CQFD. \item \emph{Toute extension finie de $𝐂$ est triviale.} Soit $K\bo 𝐂$ une extension finie. D'après ce qui précède, @@ -1891,7 +1865,7 @@ $\Spec(K⊗_k {k'}\alg)→\Spec(K⊗_k k')$ est surjectif (\refext{AC}{relèvement idéaux} ou \refext{Descente}{fidèle platitude}) et $G$-équivariant donc on peut supposer $k'$ algébriquement clos. Dans ce cas, $A$ est isomorphe comme $k'$-algèbre, munie -d'une action de $G$, à $\Hom_\cont(G,k')$ (\refext{Krull}{KtensK-cas-infini}). +d'une action de $G$, à $\Hom_{\mathrm{cont}}(G,k')$ (\refext{Krull}{KtensK-cas-infini}). Le spectre de cette algèbre est canoniquement isomorphe à $G$ (\refext{Krull}{Spec(Hom(X,k))}) agissant (transitivement) sur lui-même par translation. @@ -1934,13 +1908,14 @@ Le (iii) est un cas particulier du (ii). Avant de commencer la démonstration, faisons un diagramme récapitulatif des corps intervenant dans la proposition : -$$ -\xymatrix{ -K \ar[rr]^{u} & & K'=Kk' \\ -& k'∩K \ar[ul] \ar[rd] \ar[ur] & \\ -k \ar[rr] \ar[uu] \ar[ur] & & k' \ar[uu]^{u'} -} -$$ +\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!} +%$$ +%\xymatrix{ +%K \ar[rr]^{u} & & K'=Kk' \\ +%& k'∩K \ar[ul] \ar[rd] \ar[ur] & \\ +%k \ar[rr] \ar[uu] \ar[ur] & & k' \ar[uu]^{u'} +%} +%$$ %\begin{center} %\begin{tikzpicture}[auto] @@ -1971,10 +1946,10 @@ L'injectivité du morphisme de double restriction résulte contenue dans le produit fibré de l'énoncé est immédiat : un $k$-automorphisme de $K'$ induit des automorphismes de $K$ et $k'$ qui coïncident sur $k'∩K$. Réciproquement, considérons un élément $(σ_K,σ_{k'})$ du produit fibré, -\cad une paire automorphismes $k$-linéaires $σ_K:K→K$ et +c'est-à-dire une paire automorphismes $k$-linéaires $σ_K:K→K$ et $σ_{k'}:k'→k'$ telle que ${σ_K}_{|K∩k'}={σ_{k'}}_{|k'∩K}$. On souhaite montrer qu'ils proviennent d'un automorphisme -$K'→K'$, \cad que $σ_K$ et $σ_{k'}$ s'étendent de façon compatible à $K'=Kk'$. +$K'→K'$, c'est-à-dire que $σ_K$ et $σ_{k'}$ s'étendent de façon compatible à $K'=Kk'$. L'élément $(σ_K,σ_{k'})$ induit un isomorphisme $σ=σ_K⊗σ_{k'}:K⊗_k k'→K⊗_k k'$ ; on souhaite montrer que l'application composée $K⊗_k k'→K⊗_k k'\dessusdessous{u,u'}{↠}K'$ se @@ -2002,13 +1977,13 @@ $K⊗_{k'∩K} k'→ K'$ (donnée par $u$ et $u'$) est un isomorphisme de sorte que $σ$ induit bien un isomorphisme $K' ⥲ K'$. \end{démo} -\begin{lemme3}\label{premier-exemple-extensions-lineairement-disjointes} +\begin{lemme2}\label{premier-exemple-extensions-lineairement-disjointes} Soient $Ω\bo k$ une extension de corps et $K₁,K₂$ deux sous-$k$-extensions. \begin{enumerate} \item Si $K₁⊗_k K₂$ est un corps, $K₁∩K₂=k$. \item Si $K₁\bo k$ est galoisienne et $K₁∩K₂=k$, le produit tensoriel $K₁⊗_k K₂$ est un \emph{corps}. \end{enumerate} -\end{lemme3} +\end{lemme2} \begin{démo} (i) Soit $K=K₁∩K₂$ et considérons $x∈K$. L'élément $1⊗x-x⊗1$ de $K₁⊗_k K₂$ est d'image nulle par l'application @@ -2062,7 +2037,7 @@ groupes finis simples). [Cf. Bardavid, « Profinite… »] \begin{exercice2} Soient $k$ un corps muni de la topologie discrète, $G$ un groupe topologique -et $A$ la $k$-algèbre des fonctions continues (\cad localement constantes) de $G$ dans $k$. +et $A$ la $k$-algèbre des fonctions continues (c'est-à-dire localement constantes) de $G$ dans $k$. On fait agir $G$ sur $A$ par translation à droite sur les fonctions. \begin{enumerate} \item Montrer que $\Fix_G(A)=k$. |