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diff --git a/chapitres/Boole.tex b/chapitres/Boole.tex index 5fbe597..32fbdaf 100644 --- a/chapitres/Boole.tex +++ b/chapitres/Boole.tex @@ -18,13 +18,12 @@ \usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant %\usepackage{pxfonts} -\title{Algèbres de Boole et idempotents} -\setcounter{tocdepth}{3} -%\setcounter{secnumdepth}{2} -%\newtheorem*{propsansnum}{Proposition} +\synctex=1 \begin{document} -\maketitle +\begin{center} +Algèbres de Boole et idempotents +\end{center} \tableofcontents \else \chapter{Algèbres de Boole et idempotents} @@ -32,6 +31,11 @@ Tous les anneaux considérés dans ce chapitre sont unitaires commutatifs. +Références : Bourbaki ou Olivier, « L'anneau absolument plat +universel, les épimorphismes et les parties constructibles » +pour des compléments. + + \begin{exercice3} \begin{enumerate} \item Soit $A$ un anneau et $I$ un idéal. @@ -52,9 +56,6 @@ $a^{(-1)}∈A$ tel que $aa^{(-1)}a=a$ et $a^{(-1)}aa^{(-1)}=a^{(-1)}$. constater que l'idéal $(a)$ est engendré par l'idempotent $ax$ et utiliser la remarque à la fin de l'exercice précédent.) On dit que $a^{(-1)}$ est l'\emph{inverse ponctuel} de $a$. -% cf. Bourbaki ou Olivier, « L'anneau absolument plat universel, les épimorphismes -% et les parties constructibles » pour des compléments, à inclure en exercice [sur le -% produit tensoriel ?] dans le livre. \end{exercice3} @@ -66,7 +67,7 @@ les autres coordonnées sont nulles : les $e_i$ constituent une famille orthogonale d'idempotents de somme un. Vérifier que la surjection canonique $B→B_i$ s'identifie canoniquement au morphisme $B→Be_i$, via l'isomorphisme évident -$$Be_i=\{0\}×\cdots×\{0\}×B_i×\{0\}×\cdots×\{0\}\iso B_i.$$ +$$Be_i=\{0\}×\cdots×\{0\}×B_i×\{0\}×\cdots×\{0\} ⥲ B_i.$$ \end{exercice3} %\begin{démo} diff --git a/chapitres/brauer.tex b/chapitres/brauer.tex index 13ead93..25ab348 100644 --- a/chapitres/brauer.tex +++ b/chapitres/brauer.tex @@ -9,6 +9,8 @@ \input{../configuration/formules} \input{../configuration/encoredesmacros} +\synctex=1 + \usepackage{stmaryrd} \usepackage{graphics} \usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} @@ -2125,7 +2127,11 @@ appartient à l'image de l'application \[∐_{i,j} 𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)(A[a_α^{-1}]) → 𝐏⁰(𝐌_n)(A[a_α^{-1}]).\] \end{enumerate} -Pour la définition des $A$-algèbres $A[a^{-1}]$, cf. \refext{Spec}{Spec-localisation}. +Si $A$ est un anneau commutatif et $a$ un élément +de $A$, on note $A[a^{-1}]$ la $A$-algèbre $A[X]/(1-aX)$ +dans laquelle $a$ devient tautologiquement inversible. +(Voir \refext{Ent}{Spec-localisation} pour une discussion +générale de ce procédé dit de \emph{localisation}.) Fixons $M$ et vérifions l'assertion précédente. Il résulte de la proposition \ref{image projecteur est localement libre} ci-dessous diff --git a/chapitres/correspondance-galois.tex b/chapitres/correspondance-galois.tex index 2a8c4de..eb8c9d1 100644 --- a/chapitres/correspondance-galois.tex +++ b/chapitres/correspondance-galois.tex @@ -884,15 +884,6 @@ et est \emph{connexe} alors $G=\Aut_{A\traitdunion\Alg}(B)$. Cette proposition s'applique notamment lorsque $B$ est intègre. -\begin{lemme2} -$\End_{A}(A^X) → \End_{\Ens}(X)$ via connexité/spectre. -compatible avec composition ; cas où $X=G$ ou $G$-ensemble. -\end{lemme2} - -\begin{démo} -cf. aussi : \refext{formes}{H1kSn début} et \refext{formes}{G-torseurs sur k}. -\end{démo} - \begin{démo} Pour toute $A$-algèbre $A ′$, notons $H(A ′)$ l'ensemble $\Hom_{A ′\traitdunion\Alg}(B_{A ′}, B_{A′})$ @@ -908,10 +899,7 @@ Enfin, si $B$ est connexe, on a (\refext{Spec}{produit=somme}) $H(B)=(∐_G \Hom_B(B,B))^G=\End_{\Ens}(G)$. L'image de $H(A)$ dans $H(B)$ est $G$-invariante, où l'action de $G$ sur $H(B)$ vient de l'action de $G$ sur $B$ et de la fonctorialité -de $H$. On vérifie immédiatement que le morphisme -$H(B) → \End_{\Ens}(G)$ est un morphisme d'anneaux -respectant l'action naturelle de $G$ sur $\End_{\Ens}(G)$ -par $g ⋅ f : h ↦ g f(h)$ \XXX. +de $H$. D'après \refext{Spec}{}, $H(B) → \End_{\Ens}(G)$ etc. \XXX. En particulier, l'ensemble des points fixes est de cardinal $♯G$. On a donc $♯H(A)= ♯G$ d'où les égalités $G=\End_A(B)=\Aut_A(B)$. @@ -945,8 +933,7 @@ réduction modulo $𝔪$ pour $𝔪 ∈ \Specmax(A)$. On peut donc finalement supposer que $A$ est un corps donc connexe si bien que l'anneau non nécessairement commutatif $\Hom_{A\traitdunion\Alg}(A^G,A^G)$ est naturellement -isomorphe à $\End_{\Ens}(G)$, comme on l'a vu au cours -de la démonstration de la proposition précédente. +isomorphe à $\End_{\Ens}(G)$, cf \refext{Spec}{} \XXX Il suffit alors d'observer qu'un élément $G$-équivariant de $\End_{\Ens}(G)$ est nécessairement surjectif donc bijectif. CQFD. \end{démo} diff --git a/chapitres/entiers.tex b/chapitres/entiers.tex index 8308806..e386ebe 100644 --- a/chapitres/entiers.tex +++ b/chapitres/entiers.tex @@ -660,6 +660,115 @@ de la $k$-algèbre de type fini $C$, elle est de type fini sur $k$ si $k$ est nœthérien. \end{démo} +\subsection{Localisation}\label{Spec-localisation} + +\subsubsection{}Soit $A$ un anneau. Une partie $S$ de $A$ est dite « multiplicative » +si tout produit fini d'élément de $S$ appartient à $S$ ou, +de façon équivalente, si $1∈S$ et pour tous $s,s'∈S$, $ss'∈S$. +Étant donnée une partie quelconque $S$ de $A$, il existe une +plus petite partie, notée $S_{\mathrm{mult}}$, de $A$ +contenant $S$ et multiplicative. + +Si $S$ est une partie multiplicative, +la relation $ℛ$ sur $A×S$ définie par +$(a,s)ℛ(a',s')$ \ssi il existe $t∈S$ +tel que $t(s'a)=t(sa')$ est une relation d'équivalence. On note +$A[S^{-1}]$ son quotient et $a/s$ la classe de l'élément $(a,s)$. +On vérifie immédiatement que les opérations +\[(a/s)+(a'/s'):=(as'+a's)/(ss')\] et +\[a/s)×(a'/s')=(aa')/(ss')\] munissent l'ensemble $A[S^{-1}]$ +d'une structure d'anneau commutatif pour laquelle l'application +$A→A[S^{-1}]$, $a↦(a/1)$ (dite « canonique ») est un \emph{morphisme}. +Si $S$ est une partie quelconque de $A$, on pose +$A[S^{-1}]:=A[S_{\mathrm{mult}}^{-1}]$. On appelle cet anneau l' +\emph{anneau de fractions de $A$ défini par $S$}. C'est la +$A$-algèbre « universelle » dans lequelle tout élément +de $S$ devient inversible (cf. \refext{Tens}{propriété universelle +localisation}). Si $𝔭$ est un idéal \emph{premier} de $A$, l'ensemble +$A-𝔭$ est une partie multiplicative et on note plutôt +$A_𝔭$ l'anneau $A[(A-𝔭)^{-1}]$, appelé \emph{localisé +de $A$ en $𝔭$}. On vérifie immédiatement que si $A$ est un anneau intègre, +le localisé $A_{(0)}$ est le \emph{corps des fractions} de $A$. + +\begin{proposition2}\label{Spec-spectre du localisé} +Soient $A$ un anneau et $S$ une partie de $A$. +Le morphisme canonique $A→A[S^{-1}]$ induit +une \emph{injection} $\Spec(A[S^{-1}])→\Spec(A)$ +d'image +\[ +\{𝔭∈\Spec(A):𝔭∩S=∅\}. +\] +\end{proposition2} + +En particulier, pour tout idéal premier $𝔭'$ de $A$, +le spectre $\Spec(A_𝔭)$ s'identifie à $\{𝔭:𝔭⊆𝔭'\}$ +car la condition $𝔭∩(A-𝔭')=∅$ se $𝔭⊆𝔭'$. +L'anneau $A_𝔭$ est donc \emph{local} : il ne possède qu'un idéal +maximal. + +\begin{démo} +On peut supposer $S=S_{\mathrm{mult}}$ car +$𝔭∩S=∅$ \ssi $𝔭∩S_{\mathrm{mult}}=∅$. +Soit $𝔮∈\Spec(A[S^{-1}])$. Son image +réciproque $𝔭=𝔮∩A∈\Spec(A)$ ne rencontre pas $S$ +car tout élément de $S$ est envoyé +par $A→A[S^{-1}]$ sur un élément inversible +et $𝔮$ ne contient pas de tels éléments. +Montrons que l'application $c:\Spec(A[S^{-1}])→ +\{𝔭∈\Spec(A):𝔭∩S=∅\}$, $𝔮↦𝔮∩A$, est une bijection. +Nous allons vérifier ci-dessous que l'application +envoyant $𝔭∈\Spec(A)$ tel que $𝔭∩S=∅$ sur +l'idéal $𝔮=𝔭A[S^{-1}]$ de $A[S^{-1}]$ +en est l'inverse. Fixons $𝔭$. +Commençons par observer que tout élément de $𝔮$ +est de la forme $x/s$ où $x∈𝔭$ et $s∈S$. +(Toute somme finie $∑_i x_i/s_i$ où $x_i∈𝔭$ et $s_i∈S$ +se met au même dénominateur.) +Vérifions maintenant que l'idéal $𝔮$ est premier. +Soient $a/s$ et $a'/s'$ tels que $(a/s)(a'/s')=x/{s''}∈𝔮$, +où $x∈𝔭$. Par définition de l'anneau +des fractions, il existe $t∈S$ tel que +\[(ts'')(aa')=(tss')x.\] +Le terme de droite appartient à l'idéal premier $𝔭$. +Comme le facteur $ts''$ du terme de gauche n'appartient pas à +$𝔭$ (car $𝔭∩S=∅$) on a finalement $a∈𝔭$ ou $a'∈𝔭$. +Vérifions que $𝔮∩A=𝔭$, \cad que l'application +$𝔭↦𝔭A[S^{-1}]$ est un inverse à droite +de l'application $c$. Soit $a∈A$ tel que $a/1∈𝔮$. +D'après ce qui précède, il existe $(x,s)∈𝔭×S$ tel +que $a/1=x/s$. On en tire $(ts)a=tx$ pour un $t∈S$ convenable +et, finalement, $a∈𝔭$. +Pour conclure, il nous reste à vérifier que pour tout +$𝔮∈\Spec(A[S^{-1}])$, l'inclusion \emph{a priori} +$(𝔮∩A)A[S^{-1}]⊆𝔮$ est une égalité. Soit $x=a/s∈𝔮$, où $a∈A$ +et $s∈S$. L'élément $a/1=(s/1)(a/s)$ appartient également à +l'idéal $𝔮$ de sorte que $a∈𝔮∩A$. L'égalité $x=(a/1)(1/s)$ montre +que $x∈(𝔮∩A)A[S^{-1}]$. +\end{démo} + +Si $B$ est une $A$-algèbre et $S$ une partie de $A$, +on note $B[S^{-1}]$ l'anneau des fractions de $B$ +défini par l'\emph{image} de $S$ dans $B$. + +Nous ferons régulièrement usage du lemme suivant, +qui est un cas particulier d'un résultat de \emph{platitude} +(cf. \refext{Tens}{platitude localisation}). + +\begin{proposition2}\label{Spec-cas particulier platitude localisation} +Soient $A$ un anneau et $S$ une partie de $A$. +Si $f:A→B$ est un morphisme \emph{injectif} d'anneau, +le morphisme $A[S^{-1}]→B[S^{-1}]$, $a/s↦f(a)/f(s)$, +est également injectif. +\end{proposition2} + +\begin{démo} +Soit $a/s$, où $a∈A$ et $s∈S_{\mathrm{mult}}$, dans le noyau. +Observons que l'on a $f(S_{\mathrm{mult}})=f(S)_{\mathrm{mult}}$. +Par hypothèse, il existe $t∈S_{\mathrm{mult}}$ tel que +$f(t)f(a)=f(ta)=0$. Comme $f$ est injective, $ta=0$ et, +finalement $a/1=0$ dans $A[S^{-1}]$. \emph{A fortiori}, +son multiple $a/s=(a/1)(1/s)$ est également nul. +\end{démo} \subsection{Commutation à la localisation} diff --git a/chapitres/spectre.tex b/chapitres/spectre.tex index 3667d07..36104b3 100644 --- a/chapitres/spectre.tex +++ b/chapitres/spectre.tex @@ -14,12 +14,14 @@ \usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} \usepackage{srcltx} -\title{Spectre et idéaux premiers} +\synctex=1 \externaldocument{categories} \begin{document} -\maketitle +\begin{center} +Spectre et idéaux premiers +\end{center} \setcounter{tocdepth}{1} \tableofcontents @@ -60,7 +62,7 @@ On vérifie sans peine que si $f:A→B$ et $g:B→C$ sont des morphismes d'anneaux, les applications $\Spec(gf)$ et $\Spec(f)∘\Spec(g)$ de $\Spec(C)$ vers $\Spec(A)$ coïncident. En d'autres termes (\refext{Cat}{definition-foncteur}), $A↦\Spec(A)$, $(f:A→B)↦\big(\Spec(f):\Spec(B)→\Spec(A)\big)$ -est un \emph{foncteur contravariant} de la catégorie des anneaux +est un \emph{foncteur contravariant} de la catégorie des anneaux (commutatifs) vers la catégorie des ensembles. \begin{démo} @@ -117,70 +119,30 @@ des idéaux étant totalement ordonnée. Ainsi, $xy∉𝔮$ et, \emph{a fortiori}, $xy∉𝔭$. \end{démo} -\subsection{Points d'une $k$-algèbre}\label{points-algebre} - -Soient $k$ un anneau (par exemple $𝐙$) et $A$ une $k$-algèbre, c'est-à-dire -la donnée d'un morphisme d'anneaux $k→A$. -Pour toute $k$-algèbre $B$, on note $A^\japmath{田}(B)$ -l'ensemble $\Hom_k(A,B)$ (cf. \refext{Cat}{notation-yoneda}). - -Le lemme suivant décrit cet ensemble comme -un ensemble de points d'un espace affine. - -\begin{lemme2}\label{points-quotient} -Si $A=k[X₁,\dots,X_n]/(f₁,\dots,f_e)$, et $B$ est une $k$-algèbre, l'application -$$ -A^\japmath{田}(B)=\Hom_k(A,B)→\{(b₁,\dots,b_n)∈B^n:f₁(b₁,\dots,b_n)=\cdots=f_e(b₁,\dots,b_n)=0\} -$$ -$$ -\big(φ:A→B\big)↦\big(φ(x₁),\dots,φ(x_n)\big), -$$ -où les $x_i$ sont les images dans $A$ des variables $X_i$, -est une bijection. -\end{lemme2} - -En d'autres termes (\refext{Cat}{definition-foncteur-representable}), -l'anneau $A$ représente le foncteur covariant « solutions dans $B$ » -des équations $f₁,\dots,f_e$. Il résulte de la démonstration -(ci-dessous) que ce lemme est également, avec les modifications -évidentes, pour les quotients d'un anneau de polynômes -ayant un ensemble quelconque non nécessairement fini d'indéterminées -par un idéal ayant un ensemble quelconque non nécessairement fini -de générateurs. - -Dans cet énoncé, on a implicitement fait usage de la convention -d'écriture suivante. - -\begin{convention2}\label{changement-de-base-polynome} -Soient $k$ un anneau, $C$ une $k$-algèbre et $P∈k[X]$. -Si aucune confusion ne semble pouvoir en résulter, -on notera encore $P$ l'image dans $C[X]$ du polynôme $P$ par le morphisme -canonique $k[X]→C[X]$. -\end{convention2} - -\begin{démo} -Observons que d'une part l'application $\Hom_k(k[X₁,\dots,X_n],B)→B^n$, -$ψ↦\big(ψ(X_i)=:b_i\big)_{1≤i≤n}$ est une bijection et que d'autre part, par définition du quotient, un tel morphisme $ψ$ -se factorise à travers le quotient $k[X₁,\dots,X_n]↠A$ en un morphisme $φ:A→B$ -\ssi $ψ(f_j)=0$ pour chaque $1≤j≤e$. La conclusion résulte du fait que -$ψ(f_j)=f_j(b₁,\dots,b_n)$. -\end{démo} - -Si $A$ est une $k$-algèbre, l'ensemble $A^\japmath{田}(k)=\Hom_k(A,k)$ s'appelle -\emph{l'ensemble des points rationnels} \index{point -rationnel} de $A$. +\subsubsection{}\label{points-algebre}Soient $k$ un anneau (par exemple $𝐙$) et $A$ une $k$-algèbre, c'est-à-dire +un morphisme d'anneaux $k→A$. +Pour toute $k$-algèbre $T$, on notera souvent $A^\japmath{田}(T)$ +ou $\japmath{田}A(T)$ l'ensemble $\Hom_k(A,T)$\footnote{L'usage +le plus courant est d'utiliser plutôt les lettres $h$ (« Hom ») ou +$y$ (« Yoneda ») au lieu de $\japmath{田}$.} +En un sens qu'il n'est pas nécessaire de préciser ici, +la collection des $\japmath{田}A(T)$, pour $T$ variable, +caractérise $A$ (cf. \refext{Cat}{notation-yoneda}). +L'ensemble $\japmath{田}A(k)$ joue souvent +un rôle particulier ; c'est l'ensemble des \emph{points rationnels} \index{point +rationnel} de $A$. %Remarquons que tout morphisme de $k$-algèbres %$A→k$ est surjectif car l'image est une sous-$k$-algèbre de $k$ %contenant l'unité. -Soit $f∈A^\japmath{田}(k)$. La source du morphisme $\Spec(f)$ est +Soit $f∈\japmath{田}A(k)$. La source du morphisme $\Spec(f)$ est l'ensemble à un élément $\Spec(k)=\{(0)\}$. L'image de $\Spec(f)$ dans $\Spec(A)$ est, par définition, le singleton d'élément $f^{-1}(0)=\Ker(f)∈\Spec(A)$. \begin{lemme2}\label{points rationnels et ideaux maximaux} -L'application $A^\japmath{田}(k)→\Spec(A)$, $f↦\Ker(f)$, est une injection d'image +L'application $\japmath{田}A(k)→\Spec(A)$, $f↦\Ker(f)$, est une injection d'image contenue dans $\Specmax(A)$. Son image est l'ensemble des $𝔮$ dans $\Specmax(A)$ -tel que le morphisme composé $k→A↠A/𝔮$ soit un isomorphisme. +tel que le morphisme composé $k→A↠A/𝔮$ soit un isomorphisme. \end{lemme2} \begin{démo} @@ -190,126 +152,17 @@ quotient est, par construction, une injection. Puisque son image est une sous-$k$-algèbre de $k$, donc égale à $k$, $\bar{f}$ est un isomorphisme. L'idéal $𝔭_f$ est donc maximal. D'autre part, le morphisme composé $k→A↠A/𝔭_f→k$, où la première flèche est le morphisme structural -$\mathrm{str}:k→A$ (définissant la $k$-algèbre $A$), est +$\mathrm{str}:k→A$ (définissant la $k$-algèbre $A$), est l'identité car $\Hom_k(k,k)=\{\Id\}$. L'isomorphisme $A/𝔭_f⭇k$ est donc l'inverse du morphisme composé $\overline{\mathrm{str}}:k→A↠A/𝔭_f$ munissant le quotient $A/𝔭_f$ de sa structure de $k$-algèbre naturelle. -L'injectivité de l'application $A^\japmath{田}(k)→\Specmax(A)$ est alors évidente : -le seul $k$-morphisme $A→k$ de noyau $𝔭$ est $A↠A/𝔭⭇k$ où +L'injectivité de l'application $\japmath{田}A(k)→\Specmax(A)$ est alors évidente : +le seul $k$-morphisme $A→k$ de noyau $𝔭$ est $A↠A/𝔭⭇k$ où la seconde flèche est l'inverse de l'isomorphisme $k→A↠A/𝔭$. Il résulte de cette description que l'image de l'ensemble des points rationnels dans $\Specmax(A)$ est l'ensemble des idéaux maximaux de corps résiduel $k$. \end{démo} -\subsection{Localisation}\label{Spec-localisation} - -\subsubsection{}Soit $A$ un anneau. Une partie $S$ de $A$ est dite « multiplicative » -si tout produit fini d'élément de $S$ appartient à $S$ ou, -de façon équivalente, si $1∈S$ et pour tous $s,s'∈S$, $ss'∈S$. -Étant donnée une partie quelconque $S$ de $A$, il existe une -plus petite partie, notée $S_{\mathrm{mult}}$, de $A$ -contenant $S$ et multiplicative. - -Si $S$ est une partie multiplicative, -la relation $ℛ$ sur $A×S$ définie par -$(a,s)ℛ(a',s')$ \ssi il existe $t∈S$ -tel que $t(s'a)=t(sa')$ est une relation d'équivalence. On note -$A[S^{-1}]$ son quotient et $a/s$ la classe de l'élément $(a,s)$. -On vérifie immédiatement que les opérations -\[(a/s)+(a'/s'):=(as'+a's)/(ss')\] et -\[a/s)×(a'/s')=(aa')/(ss')\] munissent l'ensemble $A[S^{-1}]$ -d'une structure d'anneau commutatif pour laquelle l'application -$A→A[S^{-1}]$, $a↦(a/1)$ (dite « canonique ») est un \emph{morphisme}. -Si $S$ est une partie quelconque de $A$, on pose -$A[S^{-1}]:=A[S_{\mathrm{mult}}^{-1}]$. On appelle cet anneau l' -\emph{anneau de fractions de $A$ défini par $S$}. C'est la -$A$-algèbre « universelle » dans lequelle tout élément -de $S$ devient inversible (cf. \refext{Tens}{propriété universelle -localisation}). Si $𝔭$ est un idéal \emph{premier} de $A$, l'ensemble -$A-𝔭$ est une partie multiplicative et on note plutôt -$A_𝔭$ l'anneau $A[(A-𝔭)^{-1}]$, appelé \emph{localisé -de $A$ en $𝔭$}. On vérifie immédiatement que si $A$ est un anneau intègre, -le localisé $A_{(0)}$ est le \emph{corps des fractions} de $A$. - -\begin{proposition2}\label{Spec-spectre du localisé} -Soient $A$ un anneau et $S$ une partie de $A$. -Le morphisme canonique $A→A[S^{-1}]$ induit -une \emph{injection} $\Spec(A[S^{-1}])→\Spec(A)$ -d'image -\[ -\{𝔭∈\Spec(A):𝔭∩S=∅\}. -\] -\end{proposition2} - -En particulier, pour tout idéal premier $𝔭'$ de $A$, -le spectre $\Spec(A_𝔭)$ s'identifie à $\{𝔭:𝔭⊆𝔭'\}$ -car la condition $𝔭∩(A-𝔭')=∅$ se $𝔭⊆𝔭'$. -L'anneau $A_𝔭$ est donc \emph{local} : il ne possède qu'un idéal -maximal. - -\begin{démo} -On peut supposer $S=S_{\mathrm{mult}}$ car -$𝔭∩S=∅$ \ssi $𝔭∩S_{\mathrm{mult}}=∅$. -Soit $𝔮∈\Spec(A[S^{-1}])$. Son image -réciproque $𝔭=𝔮∩A∈\Spec(A)$ ne rencontre pas $S$ -car tout élément de $S$ est envoyé -par $A→A[S^{-1}]$ sur un élément inversible -et $𝔮$ ne contient pas de tels éléments. -Montrons que l'application $c:\Spec(A[S^{-1}])→ -\{𝔭∈\Spec(A):𝔭∩S=∅\}$, $𝔮↦𝔮∩A$, est une bijection. -Nous allons vérifier ci-dessous que l'application -envoyant $𝔭∈\Spec(A)$ tel que $𝔭∩S=∅$ sur -l'idéal $𝔮=𝔭A[S^{-1}]$ de $A[S^{-1}]$ -en est l'inverse. Fixons $𝔭$. -Commençons par observer que tout élément de $𝔮$ -est de la forme $x/s$ où $x∈𝔭$ et $s∈S$. -(Toute somme finie $∑_i x_i/s_i$ où $x_i∈𝔭$ et $s_i∈S$ -se met au même dénominateur.) -Vérifions maintenant que l'idéal $𝔮$ est premier. -Soient $a/s$ et $a'/s'$ tels que $(a/s)(a'/s')=x/{s''}∈𝔮$, -où $x∈𝔭$. Par définition de l'anneau -des fractions, il existe $t∈S$ tel que -\[(ts'')(aa')=(tss')x.\] -Le terme de droite appartient à l'idéal premier $𝔭$. -Comme le facteur $ts''$ du terme de gauche n'appartient pas à -$𝔭$ (car $𝔭∩S=∅$) on a finalement $a∈𝔭$ ou $a'∈𝔭$. -Vérifions que $𝔮∩A=𝔭$, \cad que l'application -$𝔭↦𝔭A[S^{-1}]$ est un inverse à droite -de l'application $c$. Soit $a∈A$ tel que $a/1∈𝔮$. -D'après ce qui précède, il existe $(x,s)∈𝔭×S$ tel -que $a/1=x/s$. On en tire $(ts)a=tx$ pour un $t∈S$ convenable -et, finalement, $a∈𝔭$. -Pour conclure, il nous reste à vérifier que pour tout -$𝔮∈\Spec(A[S^{-1}])$, l'inclusion \emph{a priori} -$(𝔮∩A)A[S^{-1}]⊆𝔮$ est une égalité. Soit $x=a/s∈𝔮$, où $a∈A$ -et $s∈S$. L'élément $a/1=(s/1)(a/s)$ appartient également à -l'idéal $𝔮$ de sorte que $a∈𝔮∩A$. L'égalité $x=(a/1)(1/s)$ montre -que $x∈(𝔮∩A)A[S^{-1}]$. -\end{démo} - -Si $B$ est une $A$-algèbre et $S$ une partie de $A$, -on note $B[S^{-1}]$ l'anneau des fractions de $B$ -défini par l'\emph{image} de $S$ dans $B$. - -Nous ferons régulièrement usage du lemme suivant, -qui est un cas particulier d'un résultat de \emph{platitude} -(cf. \refext{Tens}{platitude localisation}). - -\begin{proposition2}\label{Spec-cas particulier platitude localisation} -Soient $A$ un anneau et $S$ une partie de $A$. -Si $f:A→B$ est un morphisme \emph{injectif} d'anneau, -le morphisme $A[S^{-1}]→B[S^{-1}]$, $a/s↦f(a)/f(s)$, -est également injectif. -\end{proposition2} - -\begin{démo} -Soit $a/s$, où $a∈A$ et $s∈S_{\mathrm{mult}}$, dans le noyau. -Observons que l'on a $f(S_{\mathrm{mult}})=f(S)_{\mathrm{mult}}$. -Par hypothèse, il existe $t∈S_{\mathrm{mult}}$ tel que -$f(t)f(a)=f(ta)=0$. Comme $f$ est injective, $ta=0$ et, -finalement $a/1=0$ dans $A[S^{-1}]$. \emph{A fortiori}, -son multiple $a/s=(a/1)(1/s)$ est également nul. -\end{démo} \section{Idéaux étrangers, lemme chinois} @@ -367,14 +220,15 @@ Un anneau $A$ est dit \emph{réduit} \index{réduit} si $\Nilp(A)=\{0\}$. Pour tout anneau $A$, l'anneau quotient $A_{\red}=A/\Nilp(A)$ est réduit. C'est le plus grand quotient réduit de $A$ : pour tout morphisme d'anneau $A→B$ avec $B$ réduit, il existe un unique morphisme $A_{\red}→B$ à travers lequel -$A→B$ se factorise. +$A→B$ se factorise. En d'autres termes, si $B$ est un anneau réduit, +l'application injective $\japmath{田}A_{\red}(B)→\japmath{田}A(B)$ +déduite de la surjection $A↠A_{\red}$ est une bijection. \end{proposition2} -En d'autres termes, le foncteur $A↦A_{\red}$, de la catégorie des anneaux +Dans le langage de \refext{Cat}{definition-foncteurs-adjoints}, +le \emph{foncteur} $A↦A_{\red}$, de la catégorie des anneaux (commutatifs) vers la catégorie des anneaux (commutatifs) réduits, est un adjoint à gauche du foncteur -d'oubli (inclusion des anneaux réduits dans les anneaux). Alternativement, -l'application injective $A_{\red}^\japmath{田}(B)→A^\japmath{田}(B)$ déduite de la surjection $A↠A_{\red}$ -est une bijection si $B$ est réduit. +d'oubli (inclusion des anneaux réduits dans les anneaux). \begin{démo} \XXX @@ -390,12 +244,12 @@ induit une bijection $\Spec(A_{\red}) ⥲ \Spec(A)$. \begin{démo} D'après \ref{ideaux-quotient}, cela revient à démontrer que tout idéal premier de $A$ contient $\Nilp(A)$. -Or, si $𝔭∈\Spec(A)$, et $x∈\Nilp(A)$, il existe $n_x∈𝐍$ tel que $x^{n_x}=0∈𝔭$. +Or, si $𝔭∈\Spec(A)$, et $x∈\Nilp(A)$, il existe $n_x∈𝐍$ tel que $x^{n_x}=0∈𝔭$. Il en résulte que $x∈𝔭$. CQFD. \end{démo} Comme on vient de le voir, la proposition précédente est -équivalente à l'inclusion $\Nilp(A)⊆⋂_{𝔭∈\Spec(A)} 𝔭$. Cette dernière est une égalité : +équivalente à l'inclusion $\Nilp(A)⊆⋂_{𝔭∈\Spec(A)} 𝔭$. Cette inclusion est une égalité : \begin{proposition2}\label{caracterisation-nilpotents} Soit $A$ un anneau. @@ -435,15 +289,6 @@ on tire : $b₀=1$, $a=b₁$ (car $b₁-ab₀=0$), $b₂=ab₁=a²$ (car $b₂- récurrence, $b_i=ab_{i-1}=a^i$ pour $i≤r$. D'autre part, $a^{r+1}=ab_r=0$. CQFD. \end{démo} -\begin{remarques2} -On trouvera en \refext{Tens}{nilradical} une autre démonstration -de cette proposition par \emph{localisation} ; elles sont en -fait identiques, au langage près. - -Nous introduirons dans un chapitre ultérieur l'anneau $A[[X]]$ des séries formelles à -coefficients dans $A$. -\end{remarques2} - \subsection{Nil-idéal et idéal nilpotent} \begin{définition2} @@ -481,7 +326,7 @@ tout polynôme nilpotent est à coefficients nilpotents, et réciproquement. \end{exercice2} -\section{Idempotents d'un anneau (I)}\label{idempotents I} +\section{Idempotents d'un anneau, connexité (I)}\label{idempotents I} \subsection{Définitions} @@ -603,6 +448,27 @@ En d'autres termes, l'ensemble des points d'un produit de $k$-algèbres à valeurs dans une $k$-algèbre \emph{connexe} (par exemple intègre) est la réunion disjointes des points des facteurs. + +\begin{lemme2} +$π₀(A)=\Spec(\Idem(A))$ etc. +\end{lemme2} + +\begin{démo} +\XXX +\end{démo} + + +\begin{lemme2} +$\End_{A}(A^X) → \End_{\Ens}(X)$ via connexité/spectre. +compatible avec composition ; cas où $X=G$ ou $G$-ensemble. +\end{lemme2} + +\begin{démo} +cf. aussi : \refext{formes}{H1kSn début} et \refext{formes}{G-torseurs sur k}. +\end{démo} + +Pour des compléments ; cf. \refext{Boole}{}. + \begin{exercice2} Montrer que si $A$ est un anneau nœthérien, tout idempotent de $A$ est une somme d'idempotents indécomposables. En déduire que diff --git a/chapitres/tmp.txt b/chapitres/tmp.txt index 1b5fa6f..9a67b8d 100644 --- a/chapitres/tmp.txt +++ b/chapitres/tmp.txt @@ -2,16 +2,6 @@ \subsection{Points d'une $k$-algèbre}\label{points-algebre} -Soient $k$ un anneau (par exemple $𝐙$) et $A$ une $k$-algèbre, c'est-à-dire -un morphisme d'anneaux $k→A$. -Pour toute $k$-algèbre $B$, on note $A^\japmath{田}(B)$ -ou $\japmath{田}(B)$ l'ensemble $\Hom_k(A,B)$. -Cette notation est un cas particulier d'une notation -générale, cf. \refext{Cat}{notation-yoneda}. - -Le lemme suivant décrit cet ensemble comme -un ensemble de points d'un espace affine. - \begin{lemme2}\label{points-quotient} Si $A=k[X₁,\dots,X_n]/(f₁,\dots,f_e)$, et $B$ est une $k$-algèbre, l'application $$ |