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diff --git a/chapitres/AVD.tex b/chapitres/AVD-Dedekind.tex index 6a3a5b9..04c1d02 100644 --- a/chapitres/AVD.tex +++ b/chapitres/AVD-Dedekind.tex @@ -17,7 +17,7 @@ \usetikzlibrary{matrix} \usetikzlibrary{calc} -\title{Anneaux de valuation discrète} +\title{Anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind} \externaldocument{extensions-algebriques} \externaldocument{correspondance-galois} @@ -28,7 +28,6 @@ \externaldocument{entiers} \externaldocument{categories} -\def\minus{\fontsize{5pt}{5pt}\selectfont} %\textwidth16cm %\hoffset-1.5cm @@ -36,11 +35,11 @@ \begin{document} \begin{center} -Anneaux de valuation discrète +Anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind \end{center} \tableofcontents \else -\chapter{Anneaux de valuation discrète} +\chapter{Anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind} \fi \section{Anneaux de valuation, places et valeurs absolues : généralités} @@ -692,199 +691,133 @@ la généralisation. Définition du résidu $Ω¹_{K\bo k} → k$. \end{définition2} -\section{Analyse harmonique : corps locaux} -\subsection{Corps locaux} - -On note $𝐐_∞=𝐑$. - -\begin{définition2} -On appelle \emph{corps local} un corps contenant -un sous-corps isomorphe un corps $𝐐_p$ ($p$ premier ou $p=∞$), ou bien un corps de -séries de Laurent $𝐅_p((t))$, et fini sur celui-ci. -\end{définition2} - -\begin{remarque2} -On peut montrer qu'un corps (\cite[I. §3-4]{BNT@Weil}) est localement compact -si et seulement si il peut être muni d'une topologie -non discrète qui en fait un corps topologique localement compact. -\end{remarque2} - -Dans cette section, on fixe un $K$ un corps local. -Lorsque $K$ est non-archimédien, on note $𝒪$ -son anneau des entiers, d'idéal maximal $𝔪$, -et $k$ le corps résiduel $𝒪/𝔪$, dont on note $q$ -le cardinal. - -\begin{définition2} -Soit $K$ un corps local. On note $𝒮(K)$ l'ensemble -des fonctions continues $f:K → 𝐂$ qui satisfont la condition de -décroissante à l'infini suivante : -\begin{itemize} -\item[$K$ non-archimédien :] $f$ est à support compact. -\item[$K$ archimédien :] $f$ est $𝒞^∞$ en tant que fonction -à une ou deux variables réelles et pour toute paire de -polynômes $P,Q$ en ces variables, la fonction -réelle $|P Q(∂) f|$ est bornée. [clarifier \XXX] -\end{itemize} -Cet espace est appelé est \emph{espace de Schwartz} ou -\emph{Bruhat-Schwartz}. -\end{définition2} +\section{Anneaux de valuation discrète tronqués} -\subsection{Théorie additive} +Résultats de Deligne (cf. aussi Hiranouti, Taguti). -\subsubsection{} -Caractères : ils sont continus. +\section{Anneaux de Dedekind : généralités} -\begin{définition2} -Soit $ψ$ un caractère non trivial du corps $K$, supposé -non-archimédien. -On appelle \emph{niveau} \index{niveau} de $ψ$ le plus petit -entier $n$ tel que $ψ(𝔪^{-n})=1$. -\end{définition2} +\subsection{} \begin{proposition2} +Soit $A$ un anneau intègre de corps des fractions $K$. +Les conditions suivante sont équivalentes : \begin{enumerate} -\item Si $K$ est non-archimédien, les groupes $K$ et $\chap{K}$ sont isomorphes. -Plus précisément : -\begin{enumerate} -\item Si $K$ est de caractéristique $p>0$, $ω ∈ Ω¹_{K\bo k}-\{0\}$, -et $ψ₀ ∈ \chap{k}-\{0\}$, $K → \chap{K}$, -\[x ↦ \big( y ↦ ψ₀ ∘ \Res_ω( yx)\big)\] -est un isomorphisme. De plus, tout élément de $\chap{k}$ -est de la forme $y ↦ \exp(\frac{2i π}{p} \Tr_{k \bo 𝐅_p}(λ y))$ pour -un unique élément $λ ∈ k$. -\item Si $K$ est d'inégale caractéristique et $ψ₀ ∈ \chap{𝐐_p}-\{0\}$, -$K → \chap{K}$, -\[x ↦ \big( ψ₀ ∘ \Tr_{K \bo 𝐐_p}(xy)\big)\] -est un isomorphisme. De plus, tout élément de $\chap{𝐐_p}$ -est de la forme $y ↦ \exp(2 i π \{ λ y\})$, pour un unique élément -$λ ∈ 𝐐_p$, où $\{z\}$ désigne un élément de $𝐐$ tel que $z-\{z\} -∈ 𝐙_p$. -\end{enumerate} -\item Si $K=𝐑$, tout élément de $\chap{𝐑}$ est de la forme -\[ -y ↦ \exp(2 i π λ y), -\] -pour un $λ ∈ 𝐑$ bien défini à un entier près : l'application -précédente induit un isomorphisme $𝐑/𝐙 ⥲ \chap{𝐑}$. - +\item $A$ est nœthérien, normal, de dimension un ; +\item tout idéal fractionnaire de $A$ est inversible ; +\item $A$ est nœthérien et pour tout idéal maximal $𝔪$ de $A$, +le localisé $A_𝔪$ est un corps ou bien un anneau de valuation +discrète. \end{enumerate} \end{proposition2} -\subsubsection{}Fixons un caractère non trivial $ψ$ de $K$ -et convenons de noter, pour chaque $x ∈ K$, $ψ_x$ le caractère $y ↦ ψ(xy)$. -Pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ sur $K$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, on pose : -\[ -ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f): x ↦ ∫_K f ψ_x dμ^{\mbox{\minus $+$}}. -\] - -L'exposant « $+$ » est là pour insister sur le fait -qu'il s'agit d'une mesure de Haar sur le groupe \emph{additif} du corps -topologique $K$. - -\begin{remarques2} -Lorsque $K$ est non-archimédien, l'intégrale précédente est -en fait une somme \emph{finie}. +\begin{démo} +AC, diviseurs p. 217. +\end{démo} -D'après la proposition \ref{}, si $ψ$ est non trivial, tout caractère -de $K$ est de la forme $ψ_x$, de sorte que l'on pourrait -alternativement considérer la transformée de Fourier $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ comme une -fonction sur $\chap{K}$. -\end{remarques2} +\begin{definition2} +Un anneau de Dedekind \index{anneau de Dedekin}. +\end{definition2} \begin{proposition2} -\begin{enumerate} -\item La transformation de Fourier envoie $𝒮(K)$ dans $𝒮(K)$. -\item Il existe une constante $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$ telle que -\[ -ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ∘ ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} = c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ⋅ [-1]^*, -\] -où $([-1]^*f)(x)=f(-x)$. -\item Il existe une unique mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ telle que -$c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}=1$. Lorsque $K$ est non-archimédien, c'est l'unique -mesure de Haar pour laquelle le compact $𝒪$ soit -de mesure $q^{n/2}$, où $n$ est le niveau de $ψ$. -[signe devant $n$ ? \XXX] -\end{enumerate} +\XXX +Soit $\got{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$. +Il existe un unique sous-ensemble $S_{\got{a}}$ de $\Specmax(A)$ +et une unique famille d'entiers strictement positifs $n_{𝔭}(𝔞)$, $𝔭\in S$, +tels que $$\got{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\got{a})}.$$ +De plus si $\got{a}\subset \got{a'}$ si et seulement si +$n_{𝔭}(\got{a})\leq n_{𝔭}(\got{a}')$ pour tout $𝔭\in \Specmax(A)$, +où l'on pose $n_{𝔭}(\got{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\got{a}')=0$) +pour $𝔭\notin S_{\got{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\got{a}'}$). \end{proposition2} -On note $ℱ_ψ$ la transformée de Fourier « auto-duale » (relativement -à $ψ$) $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}$. +\begin{théorème2}[Krull-Akizuki] %秋月康夫 +Soit $A$ un anneau nœthérien intègre de dimension un +et de corps des fractions $K$. Pour toute extension finie +$L\bo K$, le normalisé $B$ de $A$ dans $L$ est un anneau +de Dedekind. +\end{théorème2} \begin{démo} -Cf. [Bushnell-Henniart] 23.1. +p. ex. Bourbaki ou [Neukirch], chap.I., §12, p. 77. \end{démo} -\begin{exemple2} -\XXX -Si $K=𝐐_p$ c'est bien ce que l'on pense. Cf. [Colmez, F.2.1]. -Lien avec sommes de Gauß. -\end{exemple2} +Corollaire : fermeture intégrale d'un Dedekind est de Dedekind. -\subsection{Théorie multiplicative} +\subsubsection{}Lien entre indices de ramification et décomposition en +produit d'idéaux premiers. -\subsection{Quasi-caractères} +\subsection{Diviseurs} \begin{définition2} -Conducteur. +diviseurs, diviseurs effectifs etc. \end{définition2} -$ω_s=| ⋅ |^s$. +\subsection{Sorites sur la ramification} \begin{proposition2} -Structure des quasi-caractères. +\XXX Le composé de deux extensions non ramifiées est non ramifiée. \end{proposition2} -\begin{démo} -Cf. ex. Tate. -\end{démo} +\subsection{Différente} -\subsubsection{}On note $μ^{\mbox{\minus $×$}}$ l'unique mesure -de Haar sur le groupe multiplicatif de $K$ telle que -le compact $𝒪^×=𝒪-𝔪$ soit de mesure un. +\begin{définition2} +Différente $𝒟_{L\bo K}$ (via la trace). +\end{définition2} -\begin{lemme2} -Pour chaque $s ∈ 𝐂$ tel que $\Re(s)>0$, la fonction $ω_s$ appartient à $L¹(K^×,μ^{\mbox{\minus $×$}})$. -\end{lemme2} +Lien avec la définition locale. -Lorsque $f ∈ 𝒮(K)$, chaque $χ ∈ \chap{K^×}$, et chaque $s ∈ 𝐂$ -dans le demi-plan $\Re(s)>0$, on pose +\begin{proposition2} +Critère de ramification via division de $𝒟_{L\bo K}$. +\end{proposition2} + +\begin{corollaire2} +Presque tous les idéaux sont non-ramifiés. +\end{corollaire2} + +Méthodes de calcul. + +\begin{proposition2} +\XXX +Si $B=A[X]/f$, $𝒟_{L\bo K}=\Ann Ω¹_{B\bo A}=(f′(x))$. +Plus généralement, si $L=K(x)$, $x ∈ B$ et $f$ est le polynôme +minimal, on a $𝒟$ divise $(f'(x))$ avec égalité ssi $B=K[x]$. +[Il faut peut-être sans doute supposer $B$ libre sur $A$. +\end{proposition2} + +\begin{démo} +\XXX +Formule \[ -ζ(s,χ,f)= ∫_{K^×} f χ ω_s d μ^{\mbox{\minus $×$}} +\frac{1}{f(X)}= ∑ … \] +\end{démo} \begin{proposition2} -Soient $ψ$ un caractère non trivial de $K$ et $χ$ un quasi-caractère de $K^×$. -Il existe une fonction méromorphe $γ(s,χ,ψ)$ telle que, -pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, -\begin{enumerate} -\item la fonction $s ↦ ζ(s,χ,f)$ admet un prolongement méromorphe à $𝐂$ ; -\item l'équation fonctionnelle +\XXX \[ -γ(s,χ,ψ)ζ(s,χ,f)=ζ(1-s,χ^{-1},ℱ_ψ(f)). -\] -est satisfaite. -\end{enumerate} +\mathrm{d\acute{e}t}(\sigma_i(x_j))^2 +=|\mathrm{d\acute{e}t}(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j))|= \N(𝒟_{K\bo 𝐐}).\] \end{proposition2} \begin{démo} -Cf. [Bump] p. 265 pour l'énoncé et [Tate] 2.4.2 pour une démonstration -plus jolie. +\XXX +$\big(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j)\big)= {}^t\big(\sigma_i(x_j)\big) \big(\sigma_i(x_j)\big)$. \end{démo} -\begin{exemples2} -Exemples de $γ$. -\end{exemples2} +\begin{définition2} +Discriminant $\got{d}_{K/\QQ}$. +\end{définition2} + +\begin{proposition2} +Si $𝐐(ζ_n)\bo 𝐐$, le discriminant est $n^{φ(n)}/∏_{p|n} p^{φ(n)/(p-1)}$. +\end{proposition2} -\section{Anneaux de valuation discrète tronqués} -Résultats de Deligne (cf. aussi Hiranouti, Taguti). \section{Notes} -Pour la transformation de Fourier : \cite{Bushnell-Henniart} ; -[Colmez, appendice F]. \ifx\danslelivre\undefined diff --git a/chapitres/Dedekind.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index b77fbaf..6f6d0bc 100644 --- a/chapitres/Dedekind.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -17,7 +17,9 @@ \usetikzlibrary{matrix} \usetikzlibrary{calc} -\title{Anneaux de Dedekind, corps globaux} +\def\minus{\fontsize{5pt}{5pt}\selectfont} + +\title{Corps locaux, corps globaux} \externaldocument{extensions-algebriques} \externaldocument{correspondance-galois} @@ -34,161 +36,314 @@ \begin{document} \begin{center} -Anneaux de Dedekind, corps globaux +Corps locaux, corps globaux \end{center} \tableofcontents \else -\chapter{Anneaux de Dedekind, corps globaux} +\chapter{corps locaux, corps globaux} \fi -\section{Anneaux de Dedekind} +\section{Corps locaux} + +\subsection{Définitions} + +On note $𝐐_{∞}=𝐑$. + +\begin{définition2} +On appelle \emph{corps local} un corps contenant +un sous-corps isomorphe un corps $𝐐_p$ ($p$ premier ou $p=∞$), ou bien un corps de +séries de Laurent $𝐅_p((t))$, et fini sur celui-ci. +\end{définition2} + +\begin{remarque2} +On peut montrer qu'un corps (\cite[I. §3-4]{BNT@Weil}) est localement compact +si et seulement si il peut être muni d'une topologie +non discrète qui en fait un corps topologique localement compact. +\end{remarque2} + +Dans cette section, on fixe un $K$ un corps local. +Lorsque $K$ est non-archimédien, on note $𝒪$ +son anneau des entiers, d'idéal maximal $𝔪$, +et $k$ le corps résiduel $𝒪/𝔪$, dont on note $q$ +le cardinal. + +\begin{définition2} +Soit $K$ un corps local. On note $𝒮(K)$ l'ensemble +des fonctions continues $f:K → 𝐂$ qui satisfont la condition de +décroissante à l'infini suivante : +\begin{itemize} +\item[$K$ non-archimédien :] $f$ est à support compact. +\item[$K$ archimédien :] $f$ est $𝒞^∞$ en tant que fonction +à une ou deux variables réelles et pour toute paire de +polynômes $P,Q$ en ces variables, la fonction +réelle $|P Q(∂) f|$ est bornée. [clarifier \XXX] +\end{itemize} +Cet espace est appelé est \emph{espace de Schwartz} ou +\emph{Bruhat-Schwartz}. +\end{définition2} + +\subsection{Analyse harmonique : théorie additive} -\subsection{} +\subsubsection{} +Caractères : ils sont continus. + +\begin{définition2} +Soit $ψ$ un caractère non trivial du corps $K$, supposé +non-archimédien. +On appelle \emph{niveau} \index{niveau} de $ψ$ le plus petit +entier $n$ tel que $ψ(𝔪^{-n})=1$. +\end{définition2} \begin{proposition2} -Soit $A$ un anneau intègre de corps des fractions $K$. -Les conditions suivante sont équivalentes : \begin{enumerate} -\item $A$ est nœthérien, normal, de dimension un ; -\item tout idéal fractionnaire de $A$ est inversible ; -\item $A$ est nœthérien et pour tout idéal maximal $𝔪$ de $A$, -le localisé $A_𝔪$ est un corps ou bien un anneau de valuation -discrète. +\item Si $K$ est non-archimédien, les groupes $K$ et $\chap{K}$ sont isomorphes. +Plus précisément : +\begin{enumerate} +\item Si $K$ est de caractéristique $p>0$, $ω ∈ Ω¹_{K\bo k}-\{0\}$, +et $ψ₀ ∈ \chap{k}-\{0\}$, $K → \chap{K}$, +\[x ↦ \big( y ↦ ψ₀ ∘ \Res_ω( yx)\big)\] +est un isomorphisme. De plus, tout élément de $\chap{k}$ +est de la forme $y ↦ \exp(\frac{2i π}{p} \Tr_{k \bo 𝐅_p}(λ y))$ pour +un unique élément $λ ∈ k$. +\item Si $K$ est d'inégale caractéristique et $ψ₀ ∈ \chap{𝐐_p}-\{0\}$, +$K → \chap{K}$, +\[x ↦ \big( ψ₀ ∘ \Tr_{K \bo 𝐐_p}(xy)\big)\] +est un isomorphisme. De plus, tout élément de $\chap{𝐐_p}$ +est de la forme $y ↦ \exp(2 i π \{ λ y\})$, pour un unique élément +$λ ∈ 𝐐_p$, où $\{z\}$ désigne un élément de $𝐐$ tel que $z-\{z\} +∈ 𝐙_p$. +\end{enumerate} +\item Si $K=𝐑$, tout élément de $\chap{𝐑}$ est de la forme +\[ +y ↦ \exp(2 i π λ y), +\] +pour un $λ ∈ 𝐑$ bien défini à un entier près : l'application +précédente induit un isomorphisme $𝐑/𝐙 ⥲ \chap{𝐑}$. + \end{enumerate} \end{proposition2} -\begin{démo} -AC, diviseurs p. 217. -\end{démo} +\subsubsection{}Fixons un caractère non trivial $ψ$ de $K$ +et convenons de noter, pour chaque $x ∈ K$, $ψ_x$ le caractère $y ↦ ψ(xy)$. +Pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ sur $K$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, on pose : +\[ +ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f): x ↦ ∫_K f ψ_x dμ^{\mbox{\minus $+$}}. +\] + +L'exposant « $+$ » est là pour insister sur le fait +qu'il s'agit d'une mesure de Haar sur le groupe \emph{additif} du corps +topologique $K$. -\begin{definition2} -Un anneau de Dedekind \index{anneau de Dedekin}. -\end{definition2} +\begin{remarques2} +Lorsque $K$ est non-archimédien, l'intégrale précédente est +en fait une somme \emph{finie}. + +D'après la proposition \ref{}, si $ψ$ est non trivial, tout caractère +de $K$ est de la forme $ψ_x$, de sorte que l'on pourrait +alternativement considérer la transformée de Fourier $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ comme une +fonction sur $\chap{K}$. +\end{remarques2} \begin{proposition2} -\XXX -Soit $\got{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$. -Il existe un unique sous-ensemble $S_{\got{a}}$ de $\Specmax(A)$ -et une unique famille d'entiers strictement positifs $n_{𝔭}(𝔞)$, $𝔭\in S$, -tels que $$\got{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\got{a})}.$$ -De plus si $\got{a}\subset \got{a'}$ si et seulement si -$n_{𝔭}(\got{a})\leq n_{𝔭}(\got{a}')$ pour tout $𝔭\in \Specmax(A)$, -où l'on pose $n_{𝔭}(\got{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\got{a}')=0$) -pour $𝔭\notin S_{\got{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\got{a}'}$). +\begin{enumerate} +\item La transformation de Fourier envoie $𝒮(K)$ dans $𝒮(K)$. +\item Il existe une constante $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$ telle que +\[ +ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ∘ ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} = c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ⋅ [-1]^*, +\] +où $([-1]^*f)(x)=f(-x)$. +\item Il existe une unique mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ telle que +$c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}=1$. Lorsque $K$ est non-archimédien, c'est l'unique +mesure de Haar pour laquelle le compact $𝒪$ soit +de mesure $q^{n/2}$, où $n$ est le niveau de $ψ$. +[signe devant $n$ ? \XXX] +\end{enumerate} \end{proposition2} -\begin{théorème2}[Krull-Akizuki] %秋月康夫 -Soit $A$ un anneau nœthérien intègre de dimension un -et de corps des fractions $K$. Pour toute extension finie -$L\bo K$, le normalisé $B$ de $A$ dans $L$ est un anneau -de Dedekind. -\end{théorème2} +On note $ℱ_ψ$ la transformée de Fourier « auto-duale » (relativement +à $ψ$) $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}$. \begin{démo} -p. ex. Bourbaki ou [Neukirch], chap.I., §12, p. 77. +Cf. [Bushnell-Henniart] 23.1. \end{démo} -Corollaire : fermeture intégrale d'un Dedekind est de Dedekind. - -\subsubsection{}Lien entre indices de ramification et décomposition en -produit d'idéaux premiers. +\begin{exemple2} +\XXX +Si $K=𝐐_p$ c'est bien ce que l'on pense. Cf. [Colmez, F.2.1]. +Lien avec sommes de Gauß. +\end{exemple2} -\section{Corps globaux : définitions et premiers résultats} +\subsection{Analyse harmonique : théorie multiplicative} -\begin{définition2} -\XXX -Corps global : extension finie de $𝐐$ ou de $𝐅_p(t)$, pour un nombre premier $p$. -\end{définition2} +\subsubsection{Quasi-caractères} \begin{définition2} -\XXX -Adèles ; idèles. +Conducteur. \end{définition2} +$ω_s=| ⋅ |^s$. \begin{proposition2} -\XXX -$k$ est discret dans $A_k$ et $A_k \bo k$ est compact ; de mesure $1$. +Structure des quasi-caractères. \end{proposition2} -\begin{corollaire2} -\XXX -Formule du produit. -\end{corollaire2} +\begin{démo} +Cf. ex. Tate. +\end{démo} + +\subsubsection{}On note $μ^{\mbox{\minus $×$}}$ l'unique mesure +de Haar sur le groupe multiplicatif de $K$ telle que +le compact $𝒪^×=𝒪-𝔪$ soit de mesure un. + +\begin{lemme2} +Pour chaque $s ∈ 𝐂$ tel que $\Re(s)>0$, la fonction $ω_s$ appartient à $L¹(K^×,μ^{\mbox{\minus $×$}})$. +\end{lemme2} + +Lorsque $f ∈ 𝒮(K)$, chaque $χ ∈ \chap{K^×}$, et chaque $s ∈ 𝐂$ +dans le demi-plan $\Re(s)>0$, on pose +\[ +ζ(s,χ,f)= ∫_{K^×} f χ ω_s d μ^{\mbox{\minus $×$}} +\] \begin{proposition2} -$k^×$ est discret dans $I_k$ et -$I¹_k \bo k^×$ est compact ; de mesure -$…$ en caractéristique nulle. +Soient $ψ$ un caractère non trivial de $K$ et $χ$ un quasi-caractère de $K^×$. +Il existe une fonction méromorphe $γ(s,χ,ψ)$ telle que, +pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, +\begin{enumerate} +\item la fonction $s ↦ ζ(s,χ,f)$ admet un prolongement méromorphe à $𝐂$ ; +\item l'équation fonctionnelle +\[ +γ(s,χ,ψ)ζ(s,χ,f)=ζ(1-s,χ^{-1},ℱ_ψ(f)). +\] +est satisfaite. +\end{enumerate} \end{proposition2} -Description $Cl(K)$ dans cas corps de fonctions -(\cite[6.94]{suuron1@kato-kurokawa-saito}). +\begin{démo} +Cf. [Bump] p. 265 pour l'énoncé et [Tate] 2.4.2 pour une démonstration +plus jolie. +\end{démo} + +\begin{exemples2} +Exemples de $γ$. +\end{exemples2} + + +\section{Adèles, idèles} -\subsection{Diviseurs} + + + +\subsection{Corps globaux : définitions} \begin{définition2} -diviseurs, diviseurs effectifs etc. +\XXX +Corps global : extension finie de $𝐐$ ou de $𝐅_p(t)$, pour un nombre premier $p$. \end{définition2} -\subsection{Sorites sur la ramification} +On note $P_K$ l'ensemble des places et $P_K^∞$ l'ensemble des places +infinies. + + +\subsection{Préliminaires topologiques et autres tribulations} +[à omettre en première lecture] \begin{proposition2} -\XXX Le composé de deux extensions non ramifiées est non ramifiée. +\begin{enumerate} +\item compact et discret implique fini. +\item $G/H$ discret (resp. séparé) ↔ $H$ ouvert (resp. fermé). \end{proposition2} -\subsection{Différente} - \begin{définition2} -Différente $𝒟_{L\bo K}$ (via la trace). +Un morphisme de groupes topologiques est dit être un +quasi-isomorphisme si son noyau et son conoyau sont des groupes +compacts. \end{définition2} - -Lien avec la définition locale. +(Cf. [Katô-Saitô-...], à la terminologie près.) \begin{proposition2} -Critère de ramification via division de $𝒟_{L\bo K}$. +Sorites. \end{proposition2} -\begin{corollaire2} -Presque tous les idéaux sont non-ramifiés. -\end{corollaire2} +Mesures produits. -Méthodes de calcul. +\subsection{Adèles} + +\subsubsection{}Soit $S ⊆ P_K$ un ensemble fini de places contenant $P_K^∞$. +On note $A_{S,K}$ l'anneau +\[ +∏_{v ∈ S} k_v × ∏_{v ∉ S} 𝔬_v, +\] +muni de la topologie produit. + +\[ +A_K=\colim_S A_{S,K}. +\] +Description de la topologie. \begin{proposition2} -\XXX -Si $B=A[X]/f$, $𝒟_{L\bo K}=\Ann Ω¹_{B\bo A}=(f′(x))$. -Plus généralement, si $L=K(x)$, $x ∈ B$ et $f$ est le polynôme -minimal, on a $𝒟$ divise $(f'(x))$ avec égalité ssi $B=K[x]$. -[Il faut peut-être sans doute supposer $B$ libre sur $A$. +\label{adèles et cb} +$L\bo K$ finie. +Alors $A_K ⊗_K L → A_L$ est un isomorphisme. \end{proposition2} +\begin{théorème2} +\begin{enumerate} +\item L'inclusion canonique $K → A_K$, où $K$ est muni de la topologie +discrète, est continue et est un quasi-isomorphisme. +\item Si $S ⊆ P_K$ est fini et contient $P_K^∞$, $𝒪_S → ∏_{v ∈ S} K_v$ est un quasi-isomorphisme. +\end{enumerate} +\end{théorème2} + \begin{démo} -\XXX -Formule -\[ -\frac{1}{f(X)}= ∑ … -\] +(i) ⇒ (ii). Cf. Saitô, p. 236. +(i). Cas $K=𝐐$ : explicite (p. 237). $K=𝐅_q(X)$ itou (238). +Cas général : cf. \ref{adèles et cb}. \end{démo} \begin{proposition2} -\XXX -\[ -\mathrm{d\acute{e}t}(\sigma_i(x_j))^2 -=|\mathrm{d\acute{e}t}(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j))|= \N(𝒟_{K\bo 𝐐}).\] +$K$ est dense dans $A_{S,K}$ [ou variante \XXX]. \end{proposition2} -\begin{démo} +Volume de $A_K \bo K$ [trop tôt ?] + +\subsection{Idèles} + +\subsubsection{}$I_{S,K}$ ; $I_K$. + +\subsubsection{}$I_K¹$. + + +\section{Formule de Poisson et théorème de Riemann-Roch} + +\subsection{Transformée de Fourier} + +\subsubsection{$𝒮(A_K)$} + +\subsubsection{caractères additifs ; caractères de Hecke} + + + +\section{Fonctions zêta} + +\subsection{Fonction zêta de Hasse de l'équation projective $X³+Y³+Z³=0$} + + \[⁂\] + + +\begin{corollaire2} \XXX -$\big(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j)\big)= {}^t\big(\sigma_i(x_j)\big) \big(\sigma_i(x_j)\big)$. -\end{démo} +Formule du produit. +\end{corollaire2} -\begin{définition2} -Discriminant $\got{d}_{K/\QQ}$. -\end{définition2} +\begin{proposition2} +$k^×$ est discret dans $I_k$ et +$I¹_k \bo k^×$ est compact ; de mesure +$…$ en caractéristique nulle. +\end{proposition2} -Si $𝐐(ζ_n)\bo 𝐐$, le discriminant est $n^{φ(n)}/∏_{p|n} -p^{φ(n)/(p-1)}$. +Description $Cl(K)$ dans cas corps de fonctions +(\cite[6.94]{suuron1@kato-kurokawa-saito}). \begin{lemme2} \XXX @@ -615,26 +770,28 @@ $𝒪_S^×/k^×$ est libre de rang $≤ ♯S-1$. Cf. p. ex., [Hasse], chap. 29 ou [Rosen, chap. 14] \end{démo} -\section{Non-existence d'extensions non ramifiées ; application} +\section{Théorème de Minkowski et une application} -\subsection{Le théorème de Minkowski} +Notation : $K ⊗_𝐐 𝐑 ≃ 𝐑^{r_𝐑(K)}×𝐂^{r_𝐂(K)}$. On note $K_𝐑$ la +$𝐑$-algèbre $K ⊗_𝐐 𝐑$. \begin{théorème2}[Minkowski] -\XXX +Soit $K\bo 𝐐$ une extension finie de degré $d$. +\[ +\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}(K)}\frac{d^d}{d!}. +\] +\end{théorème2} + +\begin{corollaire2} Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $\QQ$ partout non ramifiée. De façon équivalente, si $A$ est une $\ZZ$-algèbre finie étale connexe alors $\ZZ⥲ A$. -\end{théorème2} +\end{corollaire2} \begin{démo} \XXX -La démonstration consiste en un raffinement de la démonstration de la finitude du -groupe de Picard. -Il suffit de démontrer l'inégalité : -$$ -\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}}\frac{n^n}{n!}, -$$ -où $n=[K:\QQ]$. +%La démonstration consiste en un raffinement de la démonstration de la finitude du +%groupe de Picard. Notons avec des $x$ (resp. $y$) les coordonnées réelles (resp. complexes) de $K_{\RR}$. Soit $$ @@ -794,6 +951,12 @@ Utilise : — transformée de Mellin + formule de Poisson pour démontrer équation fonctionnelle. +\section{Notes} + +Pour la transformation de Fourier : \cite{Bushnell-Henniart} ; +[Colmez, appendice F]. + + \ifx\danslelivre\undefined \bibliography{../configuration/bibliographie-livre} \bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre} |