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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index 9805cd9..5849151 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -259,7 +259,8 @@ qui résulte de la dualité de Pontrâgin. Soit $ψ$ un caractère non trivial du corps $K$, supposé ultramétrique. On appelle \emph{niveau} \index{niveau} de $ψ$ le plus petit -entier $n$ tel que $ψ(𝔪^{-n})=1$. +entier $n$ tel que $ψ(𝔪^{-n})=1$. [doute sur le signe $±n$ ; +cf. $\deg(𝔠)$ dans RR. \XXX] \end{définition2} \begin{proposition2} @@ -307,10 +308,10 @@ où $([-1]^*f)(x)=f(-x)$. \item Il existe une unique mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ telle que $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}=1$. \item $μ_{ψ_a}=|a|^{½} μ_ψ$. -\item On a $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ=q^{n/2}μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$ +\item On a $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ=q^{±n/2}μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$ (resp. $|a|^½ μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$), si $K$ est ultramétrique et $n$ est le niveau de $ψ$ (resp. si $ψ=[a]^*𝐞_{∞,K}$). -\item $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus$+$}}}(\mathbf{1}_𝒪)=q^{n/2} ⋅ [ϖ^n]^*\mathbf{1}_𝒪$. +\item $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus$+$}}}(\mathbf{1}_𝒪)=q^{±n/2} ⋅ [ϖ^{±n}]^*\mathbf{1}_𝒪$. \end{enumerate} \end{proposition2} @@ -432,7 +433,8 @@ de $K$ tels que $v(x) ≥ 0$ pour tout $v ∈ U$. $\Frac 𝒪_K(U)=K$. [...] $\colim_U 𝒪_K(U)=K$. \begin{définition2} -Corps des constantes. +Corps des constantes : clôture algébrique de $𝐅_p$ dans $K$ +ou plus grand sous-corps fini. \end{définition2} \subsection{Lien avec les courbes algébriques sur les corps finis} @@ -491,6 +493,10 @@ A_K=\colim_S A_K(U). \] Description de la topologie. +\XXX Notation concurrente (peut-être préférable) : $K_𝐀$ +etc. (Cf. groupes algébriques et changement de base.) + + \subsubsection{Mesure} \[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}.\] @@ -775,19 +781,55 @@ Cf. p. ex., [Hasse], chap. 29 ou [Rosen, chap. 14] pour démonstrations non a \end{remarque2} \subsection{Groupes de Picard} +\newcommand{\Div}{\mathop{\mathrm{Div}}} + +\subsubsection{}Soit $K$ un corps global. Notons +$\Div(K)$ le groupe abélien $⨁_{x ∈ Σ_f(K)} 𝐙$ des +\emph{diviseurs} de $K$. + +\begin{lemme2} +Pour chaque fonction non nulle $f ∈ K^×$, +la famille des $x(f) ∈ 𝐙$, pour $x ∈ Σ_f(K)$, est presque +partout nulle. +\end{lemme2} + +On note +\[ +\div(f)=∑_{x ∈ } x(f) ⋅ x ∈ ⨁_{x ∈ Σ(K)} 𝐙 ; +\] +l'image de $\div$ est constituée des \emph{diviseurs principaux} de $K$. + +Diviseurs effectifs $\Div_+(K)$ ; relation d'ordre. + +Si $K$ est de caractéristique $p>0$ de corps des +constantes $k$, considérons également l'application +\[ +\deg:\Div(K) → 𝐙 +\] +\[ +∑_x n_x ⋅ x ↦ ∑_x n_x [κ(x):k]. +\] -\subsubsection{}On note $\Pic_K$ le conoyau du morphisme -$\Coker(K^× → ⨁_{v ∤ ∞} 𝐙)$, envoyant $a ∈ K^×$ sur $(v(a))_{v ∤ ∞})$. -Comme $I_K/I^∞_K=⨁_{v ∤ ∞} K_v^×/𝒪_v^× ⥲ ⨁_{v ∤ ∞} 𝐙$, on a un +On a la formule des résidus suivante. + +\begin{lemme2} +\[\deg ∘ \div =0.\] +\end{lemme2} + +C'est un cas particulier de la formule du produit d'Artin. + +\subsubsection{}On note $\Pic_K$ le conoyau du morphisme $\div$. +Comme $I_K/I^∞_K=⨁_{x ∈ Σ_f(K)} K_x^×/𝒪_x^× ⥲ \Div(K)$, on a un isomorphisme canonique \[ C_K/\sur{I}^∞_K ⥲ \Pic_K \] -où $\sur{I}^∞_K$ désigne l'image de ${I}^∞_K$ dans $C_K$. [notations à changer ? \XXX] +où $\sur{I}^∞_K$ désigne l'image de ${I}^∞_K$ dans $C_K$. +[notation : $K^×_{𝐀}(∞)$ ? \XXX] +Définir $\div(\text{idèle})$. \begin{proposition2} -Si $K$ est un corps de nombres, $\Pic_K$ est isomorphe à -$\Pic(𝒪_K)$. +Si $K$ est un corps de nombres, $\Pic_K$ est isomorphe à $\Pic(𝒪_K)$. \end{proposition2} Convention : on note $\Pic⁰_K=\Pic_K$. @@ -883,11 +925,13 @@ Cf. [Saitô] p. 245 ou [Weil, Adèles] II.2.1.1 \end{démo} \begin{théorème2} +\label{Fourier adélique} \XXX Soit $ψ=(ψ_v)$ un caractère non trivial de $A_K/K$. \begin{enumerate} \item Soit $μ_ψ$ la mesure sur $A_K$ associées aux mesures auto-duales $μ_{ψ_v}$. Alors, $μ_ψ(A_K/K)=1$. +\item $ℱ_ψ ∘ ℱ_ψ = [-1]^*$. \item Pour $f ∈ 𝒮(A_K)$, \[ ∑_{x ∈ K} f(x)=∑_{x ∈ K} ℱ_ψ(f)(x). @@ -906,35 +950,96 @@ Cf. Goldstein, p. 150. \subsection{Théorème de Riemann-Roch} \begin{théorème2} +\label{Poisson-Riemann-Roch} +Pour tout idèle $a$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$, +on a : \[ -∑_{x ∈ K} f(λ x)=\frac{1}{|λ|} ∑_{x ∈ K} ℱ_ψ(f)(x/λ). +∑_{λ ∈ K} f( λ a )=\frac{1}{|a|} ∑_{λ ∈ K} ℱ_ψ(f)(λ /a). \] \end{théorème2} \subsection{Premières applications} \subsubsection{} +\label{Poisson implique RR} +Soient $K$ un corps global de +caractéristique $p>0$, $k$ son corps des constantes, +de cardinal $q$ et considérons un caractère $ψ=(ψ_x)_{x ∈ Σ(K)}$ non trivial +de $K_𝐀\bo K$. Notons $\div(ψ)$ le diviseur $∑_x o(ψ_x) ⋅ x$, +où $o(ψ_x)$ désigne l'ordre d'un caractère (\ref{}). +Il résulte de \ref{Fourier adélique} que la classe +de $\div(ψ)$ dans $\Pic_K$ est bien définie ; on l'appelle +\emph{classe canonique}\index{classe canonique} et on la +notera $𝔠$. Nous allons appliquer la formule +\ref{Poisson-Riemann-Roch} à la fonction +caractéristique $\mathbf{1}$ du sous-anneau compact maximal $𝒪_𝐀=∏_x 𝒪_x$ de $K_𝐀$. Avec +les notations de \ref{}, $\mathbf{1} = ⨂_x \mathbf{1}_{𝒪_x}$. +Il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux} que +la transformée de Fourier $ℱ_ψ(\mathbf{1})$ +est égale à la fonction +\[ +⨂_x q_x^{-o(ψ_x)/2} \mathbf{1}_{𝔪_x^{o(ψ_x)}} = +q^{-\deg(𝔠)/2} ⨂_x \mathbf{1}_{𝔪_x^{o(ψ_x)}}. +\] +Pour tout $a ∈ K^×_𝐀$, le terme de gauche de la formule +\ref{Poisson-Riemann-Roch} est +\[ +♯ \big( K ∩ a^{-1}𝒪_𝐀\big) +\] + +L'intersection $K ∩ a^{-1}𝒪_𝐀$ n'est autre que l'ensemble +des fonctions $f ∈ K$ telles que $\div(f) ≥ 𝔞=\div(a)$ +c'est-à-dire telles que les pôles soient d'ordres minorés +par le diviseur $𝔞$. On note $L(𝔞)$ cet ensemble et $l(𝔞)$ +sa dimension sur $k$, de sorte que $♯ L(𝔞) = q^{l(𝔞)}$. +Le terme de droite de la formule est $q^{\deg(a)-\deg(𝔠)/2} l(𝔠-𝔞)$ +car $|a|=q^{-\deg(a)}$ et … \begin{théorème2} -RR pour les courbes. +RR pour les courbes : +\[ +l(𝔞)=l(𝔠-𝔞)+\deg(𝔞)-(g-1), +\] +où $g=½\deg(𝔠)+1=l(𝔠)$ est un entier appelé \emph{genre} de $K$. \end{théorème2} +\begin{remarque2} +Extension au cas d'un corps des constantes quelconques : +cf. Lang, [Introduction to…] ou Weil, [BNT], remarque p. 101. +\end{remarque2} + +Si $\deg(𝔞)>2g-2$, $l(𝔠-𝔞)=0$. + \begin{théorème2} -\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(A_K \bo K)=|𝔡_K|^½ \text{ dans le cas des corps de nombres.}\] -\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(A_K \bo K)=q^{g-1} \text{ dans le cas des corps de fonctions.}\] +\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(A_K \bo K)=√{|𝔡_K|} \text{ dans le cas des corps de nombres.}\] +\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(A_K \bo K)=√{q^{2g-2}} \text{ dans le cas des corps de fonctions.}\] \end{théorème2} +\begin{démo} Cf. p. ex. [Weil, Adèles] ; [BNT] pp. 90--92 et [BNT] pp. 100. +Corps des fonctions. Reprenons les notations de \ref{Poisson +implique RR}. On a vu (\ref{Fourier et mesure locaux}) que, +pour chaque $x ∈ Σ(K)$, la mesure auto-duale locale +$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$ est égale à $q_x^{±o(ψ_x)/2} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$. +Comme $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ(K_𝐀/K)=1$, on a donc +$μ^{\mbox{\minus $+$}}₁(K_𝐀/K)=∏_x +q_x^{±o(ψ_x)/2}=q^{\deg(𝔠)/2}$. CQFD. +\end{démo} \begin{théorème2} Si $K$ est un corps de nombres, \[ μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(I¹_K/K^×)=\frac{2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂}h R}{√{|D|}w}. \] -sinon [...] +sinon +\[ +\frac{h}{w=q-1} +\] \end{théorème2} -Cf. [Bump], p. 268 ; [BNT], p. 95 (presque cet énoncé). +Cf. [Bump], p. 268 ; [BNT], p. 95 (presque cet énoncé) ou +[Tate, cours à Harvard 2006]. (Il manque peut-être une +puissance de $q$ dans le cas d'un corps de fonctions. \XXX) \section{Fonctions zêta} @@ -1176,7 +1281,7 @@ comme annoncé. Riemann-Hurwitz. \end{théorème2} -(Cf. Lang.) +(Cf. Lang ; Weil, VIII.§4.) \begin{corollaire2} \XXX @@ -1256,6 +1361,59 @@ de $𝔖_n$, engendré par des transpositions. C'est $𝔖_n$ tout entier [facile]. \end{démo} +\section{Hypothèse de Riemann pour les courbes} + +Cf. Katz, « Lectures on Deligne's pfoof of the RH for +varieties over finite fields » (1973-74). + +\subsubsection{}[Blabla à déplacer] +$g$ mesure la complexité de la courbe : +$Z(K)$ est connu dès que l'on connaît les + +\subsubsection{}Extension des scalaires. Si $K\bo k$, +on note $k_d$ l'unique extension de degré $d$ de $k$ +dans une clôture algébrique fixée et $K_{k_d}$ le \emph{corps} +$K ⊗_k k_d$ \XXX. + +\begin{lemme2} +\[ +Z(K_{k_d}\bo k_d,T)= ∏_{ζ ∈ μ_d(𝐂)} Z(K\bo k, ζT). +\] +\end{lemme2} + +Il suffit donc de démontrer le théorème après extension +des scalaires. + +\begin{lemme2} +Il suffit de démontrer l'existence de $A,B,N$ +tels que +\[ +|X(k_d)-(1+q^d)| ≤ A + B q^{d/2}. +\] +pour $d ≫ 0$ divisible par $N$. +\end{lemme2} + +\subsubsection{}Réduction au cas où il existe un sous-corps $k(t)$ +au-dessus duquel $K$ est galoisien. + +[Élémentaire mais utilise astuce $σ ∘ \Frob = \Frob ′$, +où $\Frob ′$ l'est pour une nouvelle structure. Cf. Katz, +pp. 31--34. + +\begin{théorème2}[Bombieri] +Soit $g ∈ \Aut(K\bo k)$, $φ=g^{-1} ∘ \Frob_q$. +Si $q=p^α$, $α$ paire et $q>(g+1)⁴$, alors +\[ +♯ \Fix(φ) ≤ 1+q+(2g+1) √{q}. +\] +\end{théorème2} + +\begin{démo} +Cf. [Katz]. Trois petites pages manuscrites de Riemann-Roch +(un peu) + calculs. (Voir peut-être vidéo de Wigderson sur +le site de l'IAS.) +\end{démo} + \section{Fonction zêta de Hasse de l'équation homogène $X³+Y³+Z³=0$} \begin{théorème2} |