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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index a95d93b..4db9b8c 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -570,36 +570,65 @@ Abordons maintenant la théorie multiplicative. \subsection{Quasi-caractères multiplicatifs d'un corps local} +\subsubsection{Structure de $K^×$} +\label{structure de Kétoile} +Soit $K$ un corps local. +S'il est ultramétrique, on fixe une uniformisante $ϖ$. +Tout élément $x ∈ K^×$ peut s'écrire de façon unique +\[ +x=x₁ ρ, +\] +où $x₁ ∈ U=\{y ∈ K^×:|y|=1\}$ et $ρ>0$ (resp. $ρ ∈ ϖ^𝐙$) si $K$ +est archimédien (resp. ultramétrique). De plus, $x ↦ x₁$ +est un épimorphisme continu, qui coïncide avec l'identité +sur $U$. Ainsi, le groupe topologique $K^×$ +est isomorphe au produit direct $U × K^×_{>0}$, +où l'on note $K^×_{>0}$ le sous-groupe $𝐑^×_{>0}$ +(resp $ϖ^𝐙$) de $K^×$. (Notons que dans le cas +ultramétrique $K^×_{>0}$ est isomorphe au groupe $𝐙$.) + \begin{définition2} \label{quasi-caractère} On appelle \emph{quasi-caractère} (resp. caractère) multiplicatif d'un corps local $K$ tout morphisme continu de groupes $ χ : K^× → 𝐂^×$ (resp. $χ: K^× → -𝐔=\{z ∈ 𝐂^×: |z|=1\}$). +𝐔=\{z ∈ 𝐂^×: |z|=1\}$). Un quasi-caractère est dit \emph{non +ramifié} ou \emph{net} s'il est trivial sur le sous-groupe +$U=\{y ∈ K^×: |y|=1\}$ de $K^×$. \end{définition2} -Ainsi, un caractère multiplicatif est un quasi-caractère \emph{borné}. - -\subsubsection{}Soit $K$ un corps local. Pour tout nombre complexe $s$, -la fonction $ω_s: K^× → 𝐂^×$, $x ↦ |x|^s$ est un quasi-caractère -multiplicatif. - -\begin{définition2} -\label{quasi-caractère net} -Soit $K$ un corps local. -Un quasi-caractère multiplicatif de $K$ -est dit \emph{non ramifié} ou \emph{net} -s'il est trivial sur le sous-groupe $U=\{x ∈ K^×: |x|=1\}$. -\end{définition2} +\subsubsection{}Un caractère multiplicatif est un quasi-caractère \emph{borné}. +Pour tout nombre complexe $s$, la fonction $ω_s: K^× → 𝐂^×$, $x ↦ |x|^s$ est un quasi-caractère +multiplicatif net. \begin{proposition2} -Tout quasi-caractère multiplicatif d'un corps local -est de la forme $ω_s$ pour un nombre complexe $s$ bien défini +\label{description quasi-caractères} +Tout quasi-caractère multiplicatif $χ$ d'un corps local +est de la forme $χ₁ ω_s : x ↦ χ₁(x₁) ω_s(x)$, +où $χ₁$ est un caractère de $U$ et $s$ est un nombre complexe $s$ bien défini modulo $2 i π /\log(q)$ (resp. unique) si $K$ est ultramétrique -(resp. archimédien). +(resp. archimédien). De plus, $χ$ est net si et seulement si $χ₁=1$. \end{proposition2} \begin{démo} -Facile (cf. Tate, p. 311). \XXX +Soit $χ$ comme dans l'énoncé. Posons $χ₁=χ_{|U}$ ; c'est un +caractère de $U$ et, par construction, le quasi-caractère +multiplicatif $x ↦ χ(x) χ₁(x₁)^{-1}$ est net. Il suffit +donc de démontrer que tout quasi-caractère net $χ$ est de la +forme $ω_s$. Par définition, $χ$ se factorise +à travers le quotient $K^× ↠ K^×_{>0}$. +Si $K$ est ultramétrique, ce dernier groupe +est isomorphe à $𝐙$ et $χ=ω_s$ dès lors +que le nombre complexe non nul $χ(ϖ)$ +est égal à $|ϖ|^s=q^{-s}$. +Si $K$ est archimédien, il faut vérifier que tout morphisme +continu $f:𝐑^×_{>0} → 𝐂^×$ est de la forme $ρ ↦ ρ^s$ pour un +unique $s ∈ 𝐂$. Si $f$ est à valeurs réelles positives +(resp. de module unité) cela résulte par passage au logarithme du fait que +toute fonction additive continue $𝐑 → 𝐑$ +(resp. $𝐑 → 𝐑/𝐙$) est une homothétie (resp. se relève en une +homothétie). Le cas général en résulte par un dévissage +immédiat. +% références ? \end{démo} \begin{définition2} @@ -613,28 +642,6 @@ En particulier, un quasi-caractère multiplicatif d'un corps local ultramétrique est net si et seulement si il est de conducteur nul. -\subsubsection{}Si $K$ est un corps local ultramétrique, -supposons choisie une uniformisante $ϖ$. Tout élément -$x ∈ K^×$ peut s'écrire de façon unique -\[ -x=x₁ ρ, -\] -où $x₁ ∈ U=\{z ∈ K^×:|z|=1\}$ et $ρ>0$ (resp. $ρ ∈ ϖ^𝐙$) si $K$ -est archimédien (resp. ultramétrique). - -\begin{proposition2} -Soit $χ$ un quasi-caractère d'un corps local. Il existe un unique -caractère $χ₁$ de $U$ et un nombre complexe $s$ tels -que, pour chaque $x ∈ K^×$, on ait l'égalité -\[ -χ(x)=χ₁(x₁) ω_s(x). -\] -\end{proposition2} - -\begin{démo} -Facile (cf. ibidem). \XXX -\end{démo} - \subsection{Transformée de Mellin} \[⁂\] |