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Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/categories.tex32
-rw-r--r--chapitres/corps-finis.tex55
2 files changed, 27 insertions, 60 deletions
diff --git a/chapitres/categories.tex b/chapitres/categories.tex
index dd9f328..9071c91 100644
--- a/chapitres/categories.tex
+++ b/chapitres/categories.tex
@@ -1,27 +1,9 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
-\input{../configuration/commun}
-\input{../configuration/smf}
-\input{../configuration/adresse}
-\input{../configuration/gadgets}
-\input{../configuration/francais}
-\input{../configuration/numerotation}
-\input{../configuration/formules}
-\input{../configuration/encoredesmacros}
-\usepackage{stmaryrd}
-\usepackage{wasysym}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{matrix}
-\usetikzlibrary{calc}
-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
\title{Catégories}
-\setcounter{tocdepth}{2}
-%\setcounter{secnumdepth}{2}
-%\newtheorem*{propsansnum}{Proposition}
-
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
@@ -1621,7 +1603,7 @@ que pour toute donnée d'un objet $T$ de $\categ{C}$ et d'un morphisme
$t_i \colon T \to P_i$ pour chaque $i \in I$ il existe un unique $z
\colon T \to X$ vérifiant $t_i = p_i\circ z$ pour chaque $i$.
-\begin{exemple3}
+\begin{exemple2}
Dans la catégorie des ensembles, le produit d'une famille $(P_i)$
d'ensembles est le produit cartésien usuel $X = \prod_{i\in I} P_i$ :
les applications $s_i \colon X \to P_i$ dont il est muni étant les
@@ -1644,7 +1626,7 @@ sous-jacents des facteurs du produit (ou de la limite). (On
expliquera plus loin une raison pour laquelle, comme on vient de le
décrire, le foncteur d'oubli de ces catégories algébriques vers la
catégorie des ensembles préserve les limites.)
-\end{exemple3}
+\end{exemple2}
\subsubsection{Points fixes}
Lorsque la catégorie $\categ{I}$ a un unique objet $\bullet$ et que
@@ -1708,7 +1690,7 @@ où $f_i \circ t_{\astrosun}$ ne dépende pas de $i$, il existe un
unique $z\colon T\to X$ vérifiant $t_{\astrosun} = s_{\astrosun} \circ
z$.
-\begin{exemple3}
+\begin{exemple2}
Dans la catégorie des ensembles, l'égalisateur d'une famille
$f_i\colon P_{\astrosun} \to P_{\leftmoon}$ d'applications entre deux
mêmes ensembles n'est autre que le sous-ensemble $X$
@@ -1718,7 +1700,7 @@ X \to P_{\astrosun}$ étant alors simplement l'inclusion.
De nouveau, cette construction fonctionne encore dans diverses
catégories de structures algébriques : groupes, anneaux, etc.
-\end{exemple3}
+\end{exemple2}
\subsubsection{Produits fibrés}\label{limite-produit-fibre}
diff --git a/chapitres/corps-finis.tex b/chapitres/corps-finis.tex
index 82248d5..36eb5df 100644
--- a/chapitres/corps-finis.tex
+++ b/chapitres/corps-finis.tex
@@ -1,29 +1,12 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
-\input{../configuration/commun}
-\input{../configuration/smf}
-\input{../configuration/adresse}
-\input{../configuration/gadgets}
-\input{../configuration/francais}
-\input{../configuration/numerotation}
-\input{../configuration/formules}
-\input{../configuration/encoredesmacros}
-
-\usepackage{stmaryrd}
-\usepackage{wasysym}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-
-\usepackage{srcltx}
-\synctex=1
-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
\title{Corps finis}
-
\externaldocument{extensions-algebriques}
\externaldocument{algo-corps-finis}
\externaldocument{correspondance-galois}
-
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
@@ -2507,7 +2490,7 @@ réciproquement.
\begin{démo}[Démonstration du lemme]
Soit $χ:K→\mathbf{U}$ un caractère de $K$ ; il faut montrer qu'il s'étend
-à $G$, \cad qu'il existe un caractère $χ':G→\mathbf{U}$ dont la restriction
+à $G$, c'est-à-dire qu'il existe un caractère $χ':G→\mathbf{U}$ dont la restriction
à $K$ soit $χ$. Supposons $K≠G$ sans quoi le résultat est trivial et
considérons $x∈G-K$. Soient $r$ le plus petit entier non nul tel que
$x^r∈K$ et $z$ une racine $r$-ème de $χ(x^r)$ dans $𝐂$. On
@@ -2537,12 +2520,13 @@ On procède à nouveau par récurrence sur $\# G$, en remarquant
que l'énoncé est trivial pour un groupe cyclique (exercice).
Dans le cas général, on considère comme précédemment le diagramme
de suites exactes :
-$$
-\xymatrix{
-1 \ar[d] \ar[r] & K \ar[d] \ar[r] & G \ar[d] \ar[r] & H \ar[d] \ar[r] & 1 \ar[d] \\
-1 \ar[r] & \chap{\chap{K}} \ar[r] & \chap{\chap{G}} \ar[r] & \chap{\chap{H}} \ar[r] & 1
-}
-$$
+\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
+%$$
+%\xymatrix{
+%1 \ar[d] \ar[r] & K \ar[d] \ar[r] & G \ar[d] \ar[r] & H \ar[d] \ar[r] & 1 \ar[d] \\
+%1 \ar[r] & \chap{\chap{K}} \ar[r] & \chap{\chap{G}} \ar[r] & \chap{\chap{H}} \ar[r] & 1
+%}
+%$$
Par hypothèse de récurrence, $K→\chap{\chap{K}}$ et $H→\chap{\chap{H}}$ sont
des isomorphismes ; il en est donc de même de $G→\chap{\chap{G}}$
(chasse au diagramme).
@@ -2619,7 +2603,7 @@ $$
$$
Soit $g∈G$ et notons $\sur{g}$ son image dans $G/nG$.
-Cette image est nulle \ssi pour tout $\sur{χ}∈\chap{G/nG}$, $\sur{χ}(\sur{g})=1$.
+Cette image est nulle si et seulement si pour tout $\sur{χ}∈\chap{G/nG}$, $\sur{χ}(\sur{g})=1$.
Soit $χ$ l'image de $\sur{χ}$ par l'isomorphisme précédent ; on
a par définition $χ(g)=\sur{χ}(\sur{g})$.
@@ -2650,7 +2634,7 @@ $$
∑_{\sur{χ}∈\chap{G/nG}} \sur{χ}(\sur{g}).
$$
D'après \ref{lemme-orthogonalite-caracteres}, cette somme vaut $0$ si $\sur{g}≠e$
-(\cad $g∉nG$) et $\#\chap{G/nG}$ sinon. Puisque $\chap{G/nG}≅\chap{G}[n]≅G[n]$,
+(c'est-à-dire $g∉nG$) et $\#\chap{G/nG}$ sinon. Puisque $\chap{G/nG}≅\chap{G}[n]≅G[n]$,
l'égalité avec le terme de gauche en résulte.
\end{démo}
@@ -2732,9 +2716,9 @@ Remarquons que si $d+1=\dim_F(A)>1$, tout nouveau caractère de $A^×$ est non
trivial.
\subsubsection{Réécriture de l'égalité ($\star$)}
-Si l'on pose $a'=ca$ (\cad $a'_i=c_i a_i$ pour $0≤i≤d$), on a bien sûr
+Si l'on pose $a'=ca$ (c'est-à-dire $a'_i=c_i a_i$ pour $0≤i≤d$), on a bien sûr
$χ(a)=χ(c)^{-1}χ(a')$, ce qui complique un peu les choses,
-mais la condition $L(a)=b$ s'écrit $∑_i a'_i=b$, \cad $\Tr_{A/F}(a')=b$.
+mais la condition $L(a)=b$ s'écrit $∑_i a'_i=b$, c'est-à-dire $\Tr_{A/F}(a')=b$.
Utilisant cette remarque et le lemme précédent, on peut donc
écrire :
@@ -2759,7 +2743,7 @@ où $χ'=(χ₁,\dots,χ_d)$.
Supposons $b=0$. La somme sur $a'$ ne dépend pas de $x$ et
$∑_{a∈A^×\atop \Tr(a)=0} χ(a)$ est un multiple de $∑_{x∈F^×} χ_{|F^×}(x)$,
nul si $χ_{|F^×}$ est non trivial. On peut donc se restreindre pour le calcul de $N$
-aux caractères de $A^×$ \emph{diagonalement triviaux}, \cad
+aux caractères de $A^×$ \emph{diagonalement triviaux}, c'est-à-dire
aux caractères de $A^×/F^×$.
La condition $\Tr(a)=0$ ($a∈A^×$) étant invariante par multiplication
@@ -3056,12 +3040,12 @@ de sorte que $𝐐(ζ_p)=𝐐(S)$.
Une somme de nombres constructibles étant constructible \XXX, il suffit donc de démontrer
que chaque $𝔤(χ,ψ)$ est constructible, si $p-1$ est une puissance de deux, ce que nous supposerons dorénavant.
-Observons que pour tout entier $m≥1$, un nombre $g$ est constructible \ssi $g^{2^m}$ l'est.
+Observons que pour tout entier $m≥1$, un nombre $g$ est constructible si et seulement si $g^{2^m}$ l'est.
Or, tout caractère de $F^×$ est d'ordre divisant $p-1$ donc de la forme $2^m$,
$m≥0$, si bien que l'égalité $𝔤(χ,ψ)^{2^m}=pJ((χ,\dots,χ))$ (cf. \ref{proposition-Gauss-Jacobi})
ramène le problème à la constructibilité des sommes de Jacobi.
Ces dernières appartiennent à $𝐐(μ_{p-1})$ ; elles sont donc constructibles.
-(Le cas $m=0$, \cad $χ=1$, est à traiter séparément. Il est trivial.)
+(Le cas $m=0$, c'est-à-dire $χ=1$, est à traiter séparément. Il est trivial.)
Selon la légende, c'est cette découverte --- sensationnelle à l'époque ---
qui aurait décidé Gauß (alors âgé d'un peu moins de 19 ans) à devenir mathématicien, et non linguiste.
@@ -3070,8 +3054,9 @@ arithmétiques) \cite{Disquisitiones@Gauss}, §7. La découverte elle-même
semble dater du 30 mars 1796. C'est la première entrée dans son
fameux \emph{Tagebuch} (\cite{Tagebuch@Gauss}) :
\begin{quote}
+{\addfontfeatures{Ligatures=Historic}
Principia quibus innititur sectio circuli, ac divisibilitas eiusdem
-geometrica in septemdecim partes etc.
+geometrica in septemdecim partes etc.}
\end{quote}
On trouvera dans \refext{Radicaux}{racine-17e-de-1} un calcul