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@@ -20,7 +20,7 @@
\begin{document}
\maketitle
-\setcounter{tocdepth}{1}
+\setcounter{tocdepth}{2}
\tableofcontents
\else
\chapter{Algorithmes de calcul}
@@ -507,1434 +507,6 @@ $\bigcap_{\sigma \in \mathfrak{G}} \sigma H \sigma^{-1}$ (le plus
grand sous-groupe distingué de $\mathfrak{G}$ contenu dans $H$).
-\section{Notions sur les sous-groupes transitifs de $\mathfrak{S}_n$}
-
-\subsection{Généralités}
-
-\begin{definition2}
-On appelle \emph{groupe de permutations} sur $n$ objets (ou \emph{de
- degré $n$}) un sous-groupe du groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$ sur
-$n$ objets, considéré à conjugaison près dans $\mathfrak{S}_n$. De
-façon équivalente, un groupe de permutations sur $n$ objets est un
-groupe muni d'une action fidèle sur un ensemble de $n$ objets
-(généralement identifiés à $\{1,\ldots,n\}$), la notion d'isomorphisme
-considéré étant celle des ensembles munis d'une action de groupe.
-\end{definition2}
-
-\begin{definition2}\label{definitions-groupes-de-permutations}
-Un groupe de permutation $G$ de degré $n$ est dit :
-\begin{itemize}
-\item\emph{transitif} lorsque l'action sur les $n$ objets est
- transitive (c'est-à-dire que si $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ alors il
- existe $\sigma \in G$ tel que $\sigma(i)=j$) ;
-\item\emph{régulier} lorsque les $n$ objets forment un espace
- principal homogène, c'est-à-dire lorsque l'action est simplement
- transitive (c'est-à-dire que si $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ alors il
- existe un unique $\sigma \in G$ tel que $\sigma(i)=j$, ou de façon
- équivalente, lorsque $G$ est transitif et que le stabilisateur d'un
- point est trivial) ;
-\item\emph{primitif} lorsque $G$ est transitif et que les seules
- partitions $\mathscr{B}$ de $\{1,\ldots,n\}$ préservées par $G$ (au
- sens que si $B \in \mathscr{B}$ et $\sigma \in G$ alors
- $\sigma(B) \in \mathscr{B}$) sont $\mathscr{B} = \{\{1,\ldots,n\}\}$
- et $\mathscr{B} = \{\{1\},\ldots,\{n\}\}$ ;
-\item\emph{$k$-transitif} (pour $1 \leq k \leq n$) lorsque l'action
- sur les $k$-uplets d'éléments deux-à-deux distincts de
- $\{1,\ldots,n\}$ est transitive, autrement dit si $(i_1,\ldots,i_k)$
- sont deux-à-deux distincts et $(j_1,\ldots,j_k)$ de même, alors il
- existe $\sigma\in G$ tel que $j_t = \sigma(i_t)$ pour tout $t$.
-\end{itemize}
-Une partition $\mathscr{B}$ de $\{1,\ldots,n\}$ préservée par $G$
-(dans le sens précisé après la définition de « primitif » ci-dessus)
-s'appelle un \emph{système de blocs} pour $G$, et il est dit trivial
-lorsque $\mathscr{B}$ est $ \{\{1,\ldots,n\}\}$ ou
-$\{\{1\},\ldots,\{n\}\}$ : ainsi, un groupe de permutations transitif
-est dit primitif lorsqu'il n'admet pas de système de blocs
-non-trivial.
-\end{definition2}
-
-Toutes ces définitions sont faites pour un groupe de permutations,
-mais on se permettra, bien sûr, de les appliquer à une action de
-groupe (au moins une action fidèle, et parfois même quand elle ne
-l'est pas) pour dire que le groupe de permutations que cette action
-définit a la propriété correspondante : par exemple, on dit qu'un
-groupe $G$ opère primitivement sur un ensemble fini $X$ lorsque le
-sous-groupe de $\mathfrak{S}(X)$ image de $G$ par l'action en question
-est primitif, autrement dit lorsque $X$ n'admet pas de système de
-blocs non-trivial pour cette action.
-
-\begin{remarques2}\label{remarques-idiotes-groupes-de-permutations}
-\begin{itemize}
-\item Un groupe de permutations $k$-transitif est $\ell$-transitif
- pour tout $\ell\leq k$ (et « transitif » signifie
- « $1$-transitif »).
-\item Un groupe de permutations ne préservant aucune partition de
- $\{1,\ldots,n\}$ est nécessairement transitif, donc primitif (car la
- décomposition en orbites forme un système de blocs, qui n'est
- trivial que pour une action transitive ou bien une action triviale),
- à la seule exception de l'action triviale sur $n=2$ éléments, qui ne
- préserve aucune partition non triviale mais n'est néanmoins pas
- primitive par convention.
-\item Les blocs (c'est-à-dire les éléments de $\mathscr{B}$) d'un
- système de blocs pour un groupe de permutations $G$ forment
- eux-mêmes un $G$-ensemble sous l'action de $G$ (en définissant pour
- $B \in \mathscr{B}$ et $\sigma\in G$ l'action $\sigma B$ comme
- l'image $\sigma(B)$ de $B$ par $\sigma$). Lorsque $G$ opère
- transitivement sur les objets, il opère aussi transitivement sur les
- blocs, qui sont donc tous de même cardinal.
-\item Si $n$ est premier, tout groupe de permutations transitif de
- degré $n$ est primitif (puisqu'on vient d'expliquer que les blocs
- d'un système de blocs sont tous de même cardinal). C'est-à-dire
- que, dans ce cas, « transitif » et « primitif » sont équivalents.
-\item On rappelle que si $G$ est un groupe de permutations transitif,
- alors les stabilisateurs des éléments de $\{1,\ldots,n\}$ sont
- conjugués dans $G$. Si $U$ est le stabilisateur d'un point $i$,
- alors le $G$-ensemble $\{1,\ldots,n\}$ est isomorphe au $G$-ensemble
- $G/U$ des classes à gauche de $U$ dans $G$ (sur lequel $G$ opère par
- multiplication à gauche), en particulier $U$ est d'indice $n$
- dans $G$. Par ailleurs, $G$ est $k$-transitif (pour $k\geq 2$)
- lorsque $U$ est $(k-1)$-transitif sur les $n-1$ points restants
- $\{1,\ldots,n\}\setminus\{i\}$.
-\item En particulier, dire qu'un groupe de permutations $G$ est
- régulier signifie que l'action de $G$ sur les objets est isomorphe à
- l'action de $G$ sur lui-même par multiplication à gauche. En
- particulier, dans ce cas, le degré $n$ (le nombre d'objets) est égal
- à l'ordre $\#G$ du groupe.
-\end{itemize}
-\end{remarques2}
-
-\begin{proposition2}
-Un groupe de permutations $2$-transitif est primitif.
-\end{proposition2}
-\begin{proof}
-Supposons par l'absurde qu'il existe un système de blocs $\mathscr{B}$
-non-trivial pour $G$. Alors il existe dans $\mathscr{B}$ deux blocs
-$B,B' \in \mathscr{B}$ distincts, et les blocs (qui ont tous le même
-cardinal) ne peuvent pas être des singletons donc il existe $x,x''\in
-B$. Si $x' \in B'$, l'action de $G$ ne peut pas envoyer le couple
-$(x,x'')$ sur $(x,x')$ (car $x,x''$ appartiennent au même bloc $B$, ce
-qui n'est pas le cas de $x,x'$).
-\end{proof}
-
-\begin{exemples2}\label{exemples-groupes-de-permutations}
-\begin{itemize}
-\item Pour chaque $n\geq 1$, le groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$
- tout entier est un groupe de permutations de degré $n$ : il est
- $n$-transitif (et c'est manifestement le seul groupe de permutations
- $n$-transitif de degré $n$) et, en particulier, primitif. Il n'est
- pas régulier (dès que $n \geq 3$).
-\item Pour chaque $n\geq 1$, le groupe alterné $\mathfrak{A}_n$ est un
- groupe de permutations de degré $n$ : il est $(n-2)$-transitif
- si $n\geq 3$ et, en particulier, primitif si $n\geq 4$. Il n'est
- pas régulier (dès que $n \geq 4$).
-\item L'action à gauche d'un groupe fini $G$ sur lui-même définit un
- groupe de permutations régulier (de degré $\#G$, donc). Dès que $G$
- admet un sous-groupe $U$ non-trivial (autrement dit, dès que $G$
- n'est pas cyclique d'ordre premier), le système de blocs
- $\mathscr{B} = \{gU : g\in G\}$ montre que ce groupe de permutations
- n'est pas primitif (et réciproquement, si $G$ est cyclique d'ordre
- premier, il est clair que l'action régulière est primitive).
-\item Si $U$ est un sous-groupe d'un groupe fini $G$, l'ensemble des
- classes à gauche de $U$ dans $G$, sous l'action de $G$ par
- multiplication à gauche, définit un groupe de permutations transitif
- dont le degré est l'indice de $U$ dans $G$, dès lors que le cœur
- normal de $U$, c'est-à-dire l'intersection $N = \bigcap_{\sigma\in
- G} \sigma U \sigma^{-1}$ des conjugués de $U$, est trivial
- (lorsque ce n'est pas le cas, $N$ est le noyau de l'action sur les
- clases à gauche, et alors $G/N$ sera un groupe de permutations
- transitif en opérant sur les classes à gauche de $U/N$). Autrement
- dit, la donnée d'un groupe de permutations transitif équivaut à
- celle de la donnée d'un groupe fini $G$ et d'une classe de
- conjugaison de sous-groupes ne contenant aucun sous-groupe
- distingué de $G$.
-\item Si $\FF$ est un corps fini, l'action du groupe $\PGL_2(\FF)$ sur
- $\PP^1(\FF)$ est $3$-transitive (et, en particulier, primitive), car
- trois points distincts quelconques de $\PP^1(\FF)$ peuvent être
- envoyés sur $0,\infty,1$ par l'action d'un élément de $\PGL_2(\FF)$
- (qui est alors uniquement déterminé). Par ailleurs, pour tout $n
- \geq 2$, l'action de $\PGL_n(\FF)$ sur $\PP^{n-1}(\FF)$ est
- $2$-transitive (car deux points distincts quelconques de
- $\PP^{n-1}(\FF)$ peuvent être complétés en une base projective de ce
- dernier, et $\PGL_n(\FF)$ opère de façon simplement transitive sur
- ces dernières). \XXX donner une référence pour les définitions.
-\end{itemize}
-\end{exemples2}
-
-\begin{definition2}
-Si $\mathscr{B}$ est un système de blocs pour un groupe de
-permutations transitif $G$, l'action de $G$ sur $\mathscr{B}$ donnée
-par $\sigma B = \sigma(B)$
-(cf. \ref{remarques-idiotes-groupes-de-permutations}) est appelée
-l'\emph{action sur les blocs}, le noyau $N = \bigcap_{\sigma\in G}
-\sigma U \sigma^{-1}$, où $U = \Stab_G(B)$ est le stabilisateur d'un
-bloc quelconque, est appelé le \emph{groupe de base} de $G$ pour le
-système de blocs $\mathscr{B}$, et si $N = \{1\}$, on dit que le
-groupe de permutations $G$ est une \emph{inflation} du groupe de
-permutations (isomorphe à $G$ comme groupe abstrait) défini par
-l'action sur les blocs (l'hypothèse $N=\{1\}$ signifiant justement que
-cette action est fidèle).
-\end{definition2}
-
-\begin{proposition2}
-Soit $G$ un groupe de permutations transitif et $U$ le stabilisateur
-d'un point. Si $V$ est un sous-groupe quelconque de $U$, alors
-l'action de $G$ par multiplication à gauche sur les classes à gauche
-de $V$ est fidèle et transitive, et admet le système de blocs
-$\mathscr{B} = \{\{guV : u\in U\} : g\in G\}$ ; le groupe de
-permutations ainsi défini est une inflation de $G$.
-\end{proposition2}
-\begin{proof}
-Le fait que l'action de $G$ sur les classes à gauche de $V$ soit
-transitive est trivial, et le fait qu'elle soit fidèle résulte du fait
-qu'elle l'est déjà pour $U$ (on a $\bigcap_{\sigma\in G} \sigma V
-\sigma^{-1} \subseteq \bigcap_{\sigma\in G} \sigma U \sigma^{-1}$).
-Si les ensembles $\{guV : u\in U\}$ et $\{g'uV : u\in U\}$
-s'intersectent, alors $guV = g'u'V$ pour certains $u,u'\in U$, auquel
-cas $gU = g'U$, et réciproquement lorsque $gU = g'U$ alors $\{guV :
-u\in U\} = \{g'uV : u\in U\}$ : l'ensemble $\mathscr{B}$ forme donc
-bien une partition de $G/V$, qui est visiblement un système de blocs,
-et le stabilisateur du bloc $\{uV : u\in U\}$ est $U$, ce qui montre
-tout ce qui était annoncé.
-\end{proof}
-
-\begin{proposition2}\label{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal}
-Soit $G$ un groupe de permutations transitif et $V$ le stabilisateur
-d'un point. Alors $G$ est primitif si et seulement si $V$ est un
-sous-groupe maximal de $G$ (c'est-à-dire, qu'il n'existe pas de
-sous-groupe strictement compris entre $V$ et $G$ pour l'inclusion).
-\end{proposition2}
-\begin{proof}
-Pour simplifier les notations, on peut supposer qu'on a affaire à
-l'action de $G$ sur les classes à gauche de $V$. Si $V$ n'est pas
-maximal et si $U$ est un sous-groupe strictement compris entre $V$
-et $G$, alors $\mathscr{B} = \{\{guV : u \in U\} : g\in G\}$ définit
-un système de blocs non-trivial (cf. la proposition précédente) qui
-montre que l'action de $G$ sur les classes à gauche de $V$ n'est pas
-primitive. Réciproquement, si $V$ est maximal et si $\mathscr{B}$ est
-un système de blocs, en appelant $U$ le stabilisateur du bloc
-contenant $V$, le sous-groupe $U$ contient $V$, donc doit être égal
-soit à $G$ soit à $V$, ce qui montre que le système de blocs est
-trivial (dans le premier cas $\#\mathscr{B} = 1$ et dans le second le
-bloc contenant $V$ ne contient que $V$).
-\end{proof}
-
-\begin{remarques2}
-Le groupe de Galois $\Gal(f)$ d'un polynôme séparable irréductible $f$
-(sur un corps $K$) opère transitivement sur les racines de $f$
-(\refext{CG}{action transitive de Galois si poly irréductible}), donc
-définit un groupe de permutations transitif de degré $\deg f$.
-
-Dans cette situation, la
-proposition \ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal}
-montre que $\Gal(f)$ est primitif (comme groupe de permutation des
-racines de $f$) si et seulement si l'extension de rupture $K(x) \bo K$
-définie par une racine $x$ quelconque de $f$ ne contient aucun corps
-intermédiaire entre $K$ et $K(x)$ (puisque la correspondance de Galois
-fait correspondre ce corps $K(x)$ au stabilisateur d'un point
-dans $\Gal(f)$). Dans le cas contraire, si $E$ est un corps
-intermédiaire entre $K$ et $K(x)$, le système de blocs défini par $E$
-est tel que le bloc contenant $x$ est $\{\sigma(x) : \sigma \in
-\Gal(\dec(f)/E)\}$.
-\end{remarques2}
-
-\begin{proposition2}\label{critere-primitivite-par-connexite}
-Soit $G$ un groupe de permutations transitif de degré $n$ et $X$
-l'ensemble des $n$ objets sur lesquels il opère. Alors $G$ est
-primitif si et seulement si pour chaque orbite $R$ de $G$ agissant sur
-l'ensemble $\mathscr{P}_2(X)$ des parties à deux éléments de $X$, le
-graphe $(X,R)$ (dont l'ensemble des sommets est $X$, deux sommets
-$x,y$ étant adjacents lorsque $\{x,y\} \in R$) est connexe.
-\end{proposition2}
-\begin{proof}
-Si $R$ est une orbite de $\mathscr{P}_2(X)$ sous l'action de $G$,
-considérons l'ensemble $\mathscr{B}$ des composantes connexes de $X$.
-Tout élément $\sigma \in G$ définit un automorphisme du graphe $(X,R)$
-(c'est-à-dire une permutation de $X$ préservant la relation
-d'adjacence) puisque si $\{x,y\} \in R$ on a $\{\sigma(x),\sigma(y)\}
-\in R$ vu que $R$ est une orbite : par conséquent, l'image par
-$\sigma$ d'une composante connexe de $(X,R)$ est encore une composante
-connexe de $(X,R)$ : ceci montre que $\mathscr{B}$ est un système de
-blocs pour $G$ (opérant sur $X$). Comme $R$ contient au moins une
-paire $\{x,y\}$, les blocs ne sont pas des singletons : ainsi, si
-$(X,R)$ a au moins deux composantes connexes, $G$ admet un système de
-blocs non trivial, et n'est donc pas primitif.
-
-Réciproquement, supposons maintenant qu'il existe un système de blocs
-$\mathscr{B}$ non trivial pour $G$. Soient $x,y \in X$ appartenant à
-un même bloc $B$ pour $\mathscr{B}$, et soit $R$ l'orbite de $\{x,y\}
-\in \mathscr{P}_2(X)$ sous l'action de $G$. Alors $R$ ne contient
-aucune paire $\{x,z\}$ avec $x\in B$ et $z\not\in B$ : c'est-à-dire
-que dans le graphe $(X,R)$, les sommets appartenant à $B$ ne sont
-jamais reliés aux autres sommets (et il en existe, vu que $B$ n'est
-pas le seul bloc) : ce graphe n'est donc pas trivial.
-\end{proof}
-
-Ce critère de primitivité est pratique car il s'avère souvent plus
-simple à appliquer que la définition ou la
-proposition \ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal}.
-
-\begin{exemple2}
-Le groupe $\mathfrak{S}_m$ opère primitivement sur les parties à $k$
-éléments de $\{1,\ldots,m\}$, sauf si $m=2k$ auquel cas il admet le
-système de blocs non trivial formé de toutes les façons de
-partitionner $m$ éléments en deux ensembles de $k$, mais il opère
-primitivement sur ces objets (blocs).
-
-En revanche, l'action de $\mathfrak{S}_m$ sur les $k$-uplets
-d'éléments distincts de $\{1,\ldots,m\}$, bien que transitive, n'est
-pas primitive : elle admet pour système de blocs non trivial la
-partition de $\{1,\ldots,m\}^k$ définie par la relation d'équivalence
-qui identifie deux $k$-uplets lorsque les ensembles à $k$ éléments
-qu'ils définissent sont les mêmes. (Cette action de $\mathfrak{S}_m$
-est donc une inflation de son action sur les parties à $k$ éléments.)
-\end{exemple2}
-\begin{proof}
-Si $x,y,x',y'$ sont des parties à $k$ éléments de $\{1,\ldots,m\}$, la
-condition pour qu'il existe $\sigma\in\mathfrak{S}_m$ tel que
-$\sigma(x)=x'$ et $\sigma(y)=y'$ est simplement que $\#(x\cap y) =
-\#(x'\cap y')$ (condition évidemment nécessaire, et suffisante car
-lorsque c'est le cas on peut choisir arbitrairement l'image des
-éléments de $x\cap y$, de $x\setminus y$, de $y\setminus x$ et de
-$\{1,\ldots,m\}\setminus(x\cup y)$ pour construire $\sigma$). Ainsi,
-les différents graphes considérés dans la
-proposition \ref{critere-primitivite-par-connexite} sont les graphes
-sur l'ensemble $\mathscr{P}_k(\{1,\ldots,m\})$ des parties à $k$
-éléments de $\{1,\ldots,m\}$ dans lesquels on a relié deux parties
-lorsque leur intersection est de cardinal $\ell$ (un paramètre du
-graphe, prenant les valeurs entre $0$ et $k-1$ incluses). On veut
-donc prouver que pour $k<\frac{1}{2}m$ (le cas $k>\frac{1}{2}m$ s'en
-déduisant par passage au complémentaire des parties considérées), ce
-graphe est connexe.
-
-Si $x \subset \{1,\ldots,m\}$ est une partie à $k$ éléments, et $i \in
-x$ et $j \not\in x$, on montre que $x$ est reliée à $x' := (x\setminus
-\{i\}) \cup \{j\}$ : en effet, en choisissant $\ell$ des $k-1$
-éléments de $x\setminus\{i\}$ et en les complétant arbitrairement avec
-$k-\ell$ éléments de l'ensemble $\{1,\ldots,m\} \setminus
-(x\cup\{j\})$ (de cardinal $m-k-1$), ce qui est possible car $m-2k-1
-\geq 0$, on obtient une partie $y$ de $\{1,\ldots,m\}$ qui est
-d'intersection $\ell$ avec $x$ aussi bien qu'avec $x'$, ce qui montre
-que $x$ et $x'$ sont reliés dans le graphe considéré. Il est alors
-évident qu'en remplaçant un par un tous les éléments de $x$ souhaités
-par d'autres, on peut relier deux parties quelconques.
-
-Pour $m=2k$, un raisonnement analogue amène à considérer les graphes
-dont les sommets sont l'ensemble des manières de partitionner
-$\{1,\ldots,m\}$ en deux parties de cardinal $k$, deux telles
-partitions $\{u,\hat u\}$ et $\{v,\hat v\}$ étant reliées par une
-arête lorsque $\#(u\cap v) \in \{\ell,k-\ell\}$ (où $\ell$ est, de
-nouveau, un paramètre du graphe, prenant les valeurs entre $1$ et
-$k-1$ incluses). Si $\{u,\hat u\}$ est une telle partition et $i \in
-u$ et $j \in \hat u$, on veut montrer que $\{u,\hat u\}$ est relié à
-$\{u',\hat u'\}$ où $u' = (u\setminus\{i\})\cup\{j\}$ et $\hat u' =
-(\hat u\setminus\{j\})\cup\{i\}$ est son complémentaire ; en
-choisissant $\ell$ des $k-1$ éléments de $u\setminus\{i\}$ et en les
-complétant arbitrairement avec $k-\ell$ éléments de l'ensemble $\hat
-u\setminus\{j\}$ (de cardinal $m-k-1$), ce qui est possible car
-$m-2k+\ell-1 = \ell-1 \geq 0$, on obtient une partie $v$ de
-$\{1,\ldots,m\}$ qui est d'intersection $\ell$ avec $u$ aussi bien
-qu'avec $u'$, ce qui montre que $\{u,\hat u\}$ et $\{u',\hat u'\}$
-sont reliés dans le graphe considéré, et de nouveau il est alors clair
-que le graphe est connexe.
-\end{proof}
-
-\begin{remarques2}
-Ceci signifie (compte tenu
-de \ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal})
-que pour tout $k$, le stabilisateur d'une partie à $k$ éléments de
-$\{1,\ldots,m\}$ est un sous-groupe maximal de $\mathfrak{S}_m$, sauf
-lorsque $k = \frac{1}{2}m$ auquel cas il faut le remplacer par le
-stabilisateur d'une partition de $\{1,\ldots,m\}$ en deux parties de
-$k$ éléments. Il faut se garder de croire qu'on a ainsi construit
-tous les sous-groupes maximaux de $\mathfrak{S}_m$ (autres que
-$\mathfrak{A}_m$) : par exemple, pour $m=5$, les sous-groupes maximaux
-de $\mathfrak{S}_5$ sont, outre $\mathfrak{A}_5$, le stabilisateur
-d'un point (définissant l'action primitive de $\mathfrak{S}_5$
-naturelle sur cinq objets) et celui d'une partie à deux éléments
-(définissant l'action primitive de $\mathfrak{S}_5$ les parties à deux
-éléments des cinq objets naturels), mais aussi les conjugués du
-sous-groupe à $20$ éléments donné par toutes les applications affines
-$t \mapsto at+b$ (pour $a \in (\ZZ/5\ZZ)^\times$ et $b \in \ZZ/5\ZZ$)
-de $\{1,\ldots,5\}$ vu comme $\ZZ/5\ZZ$ --- ceci définissant l'action
-de $\mathfrak{S}_5$ sur les $6$ façons de considérer $\{1,\ldots,5\}$
-comme une droite affine sur $\FF_5$.
-\end{remarques2}
-
-\subsection{Groupes de permutations primitifs}
-
-Dans cette section, $G$ désignera généralement un groupe de
-permutations primitif (cf. \ref{definitions-groupes-de-permutations}),
-et $U$ le stabilisateur d'un point
-(d'après \ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal},
-il s'agit donc d'un sous-groupe maximal de $G$ ne contenant aucun
-sous-groupe distingué de $G$).
-
-Commençons par éclaircir certaines propriétés générales des groupes de
-permutations :
-
-\begin{proposition2}\label{sous-groupe-distingue-d-un-primitif-est-transitif}
-Si $G$ est un groupe de permutations primitif et $N \unlhd G$ un
-sous-groupe distingué autre que $\{1\}$, alors $N$ est transitif
-(comme groupe de permutations), et $NU = G$ où on a noté $U$ le
-stabilisateur d'un point dans $G$ (et $NU = \{nu : n \in N, u\in
-U\}$).
-\end{proposition2}
-\begin{proof}
-Notons $U$ le stabilisateur d'un point dans $G$ : comme $G$ est
-primitif, il s'agit d'un sous-groupe maximal.
-
-Il s'agit de montrer que pour tout $g$, la classe à gauche $gU$ peut
-aussi s'écrire $nU$ avec $n \in N$. Remarquons que $NU = UN$ (en
-effet, si $n \in N$ et $u \in U$ alors $un \in uN = Nu$ peut aussi
-s'écrire $un'$ pour un certain $n'\in N$, ce qui montre $NU = UN$), et
-ceci est donc un sous-groupe de $G$ (le sous-groupe engendré par $U$
-et $N$). Par maximalité de $U$, on a donc soit $NU \leq U$ soit $NU =
-G$. Le premier cas signifie $N \leq U$, ce qui ne peut pas se
-produire car $U$ ne contient aucun sous-groupe distingué (puisqu'il
-s'agit du stabilisateur d'un point dans une action fidèle). Le second
-cas permet d'écrire tout $g \in G$ comme $g = nu$ avec $n \in N$ et
-$u \in U$, auquel cas $gU = nuU = nU$, comme on le voulait.
-\end{proof}
-
-\begin{proposition2}\label{centralisateur-d-un-sous-groupe-distingue-dans-un-groupe-primitif}
-Soit $G$ est un groupe de permutations primitif et $N \unlhd G$ un
-sous-groupe distingué autre que $\{1\}$ : alors son centralisateur
-$C_G(N) := \{g\in G : (\forall n\in N) gng^{-1} = n\}$ vérifie soit
-$C_G(N) = \{1\}$ soit $C_G(N)$ est régulier (comme groupe de
-permutations).
-
-En particulier, $\#C_G(N)$ est égal au nombre de points sur lesquels
-$G$ opère (c'est-à-dire $(G:U)$ si $U$ est le stabilisateur d'un
-point).
-\end{proposition2}
-\begin{proof}
-Le sous-groupe $C_G(N)$ est lui-même distingué. Supposons
-$C_G(N) \neq \{1\}$. Alors la proposition précédente montre que $N$
-et $C_G(N)$ sont transitifs. L'ensemble des points fixes d'un élément
-de $C_G(N)$ est stable par $N$ : mais comme $N$ est transitif, ceci ne
-peut se produire que si cet ensemble est vide ou plein. On a donc
-prouvé que $C_G(N)$ opère transitivement et sans point fixe
-non-trivial, c'est-à-dire qu'il est régulier.
-\end{proof}
-
-\begin{proposition2}\label{sous-groupes-distingues-commutant-dans-un-groupe-primitif}
-Soit $G$ un groupe de permutations primitif, et soient $N_1,N_2 \unlhd
-G$ deux sous-groupes distingués de $G$ autres que $\{1\}$ tels que
-tout élément de $N_1$ commute avec tout élément de $N_2$ (soit
-$N_2 \leq C_G(N_1)$). Alors $N_2$ est exactement le centralisateur
-$C_G(N_1)$ de $N_1$ (et vice versa).
-\end{proposition2}
-\begin{proof}
-Les deux propositions précédentes montrent que $N_2$ est transitif et
-que $C_G(N_1)$ est régulier. Mais $N_2 \leq C_G(N_1)$, et le seul
-d'un groupe de permutations régulier qui soit transitif est le groupe
-tout entier, donc $N_2 = C_G(N_1)$.
-\end{proof}
-
-Pour aller plus loin dans l'analyse, on va examiner certaines des
-propriétés des sous-groupes distingués minimaux d'un groupe fini $G$ :
-autrement dit, les sous-groupes distingués autres que $\{1\}$ et qui
-ne contiennent pas d'autre sous-groupe distingué (du groupe $G$ tout
-entier) que $\{1\}$ et eux-mêmes. Dans les quelques énoncés suivants,
-$G$ n'est plus nécessairement un groupe de permutations.
-
-\begin{proposition2}\label{sous-groupes-distingues-minimaux-commutent}
-Soit $G$ un groupe fini et $N_1$ et $N_2$ deux sous-groupes distingués
-minimaux distincts de $G$. Alors $N_1 \cap N_2 = \{1\}$ et tout
-élément de $N_1$ commute avec tout élément de $N_2$.
-\end{proposition2}
-\begin{proof}
-Le sous-groupe $N_1 \cap N_2$ est distingué dans $G$, et par
-minimalité de $N_1$ ou de $N_2$ il doit donc être égal à $\{1\}$.
-Mais tout commutateur $n_1 n_2 n_1^{-1} n_2^{-1}$ d'un élément $n_1$
-de $N_1$ et d'un élément $n_2$ de $N_2$ appartient à $N_1 \cap N_2$,
-donc vaut $1$, ce qu'on voulait prouver.
-\end{proof}
-
-En particulier, dans le contexte de cette proposition, on a $N_1 N_2 =
-N_1 \times N_2$. Plus généralement :
-
-\begin{lemme2}\label{sous-groupes-distingues-minimaux-sont-en-produit-direct}
-Soient $N_1,\ldots,N_\ell$ des sous-groupes distingués minimaux d'un
-groupe fini $G$. Alors il existe
-$i_1,\ldots,i_r \in \{1,\ldots,\ell\}$ (et on peut choisir $i_1$
-arbitrairement et $i_2$ arbitrairement dès que $N_{i_2} \neq N_{i_1}$)
-tels que $N_{i_1},\ldots,N_{i_r}$ soient en produit direct dans $G$
-(c'est-à-dire que le groupe qu'ils engendrent soit le produit direct)
-et que chacun des $N_i$ soit inclus dans ce produit direct.
-\end{lemme2}
-\begin{proof}
-On construit par récurrence une suite $i_1, i_2, \ldots, i_r$, de
-sorte que $N_{i_1},\ldots,N_{i_r}$ soient en produit direct de la
-façon suivante. On peut choisir $i_1$ arbitrairement, et $i_2$ de
-sorte que $N_{i_1}$ et $N_{i_2}$ soient distincts.
-
-Supposant les $n_j$ pour $j<t$ déjà connus, s'il existe $i$ tel que
-$N_i$ ne soit pas contenu dans $N_{i_1} \cdots N_{i_{t-1}}$ (qui est
-un produit direct), on définit $i_t$ comme ce $i$, sinon on arrête la
-récurrence. Comme tout élément de $N_{i_t}$ commute à tous les
-éléments de $N_{i_j}$ pour $j<i$ (d'après la proposition précédente),
-il commute à tous les éléments du produit $N_{i_1} \cdots
-N_{i_{t-1}}$ ; comme de plus $N_{i_t}$ n'est pas inclus dans
-$N_{i_1} \cdots N_{i_{t-1}}$ et qu'il est minimal, on a $N_{i_i} \cap
-N_{i_1} \cdots N_{i_{t-1}} = \{1\}$ (car c'est un sous-groupe
-distingué de $G$ strictement inclus dans $N_{i_t}$). Donc
-$N_{i_1} \cdots N_{i_t}$ sont encore en produit direct, ce qui
-justifie de continuer la récurrence.
-
-Une fois construits $N_{i_1},\ldots,N_{i_r}$, on voit que leur produit
-(qui est direct par la récurrence faite) contient chacun des $N_i$,
-sans quoi on aurait continué la récurrence.
-\end{proof}
-
-On rappelle qu'un sous-groupe $K$ d'un groupe $G$ est
-dit \emph{caractéristique} lorsque $K$ est laissé stable par tout
-automorphisme de $G$ (en particulier, $K$ est laissé stable par les
-automorphismes intérieurs, c'est-à-dire qu'il est distingué dans $G$).
-
-\begin{proposition2}\label{caracteristique-dans-normal-est-normal}
-Si $K$ est un sous-groupe caractéristique de $N$ qui est lui-même un
-sous-groupe distingué d'un groupe $G$, alors $K$ est un sous-groupe
-distingué de $G$.
-\end{proposition2}
-\begin{proof}
-Pour tout $g \in G$, l'automorphisme intérieur $x \mapsto gxg^{-1}$
-défini par $g$ laisse $N$ stable, donc définit un automorphisme
-de $N$, qui n'est plus nécessairement intérieur mais qui doit
-néanmoins laisser $K$ stable, c'est-à-dire $gKg^{-1} = K$, ce qui
-montre que $K \unlhd G$.
-\end{proof}
-
-On dit qu'un groupe $G$ est \emph{caractéristiquement simple} lorsque
-tout sous-groupe caractéristique de $G$ est égal à $\{1\}$ ou $G$.
-
-\begin{proposition2}\label{structure-groupes-caracteristiquement-simples}
-Si $G$ est un groupe fini caractéristiquement simple, alors $G$ est
-isomorphe à un produit $H^r$ de copies d'un groupe simple $H$.
-\end{proposition2}
-\begin{proof}
-Soit $H$ un sous-groupe distingué minimal de $G$. Pour tout
-automorphisme $\varphi$ de $H$, le sous-groupe $\varphi(H)$ est lui
-aussi distingué minimal. Appliquant le
-lemme \ref{sous-groupes-distingues-minimaux-sont-en-produit-direct} à
-l'ensemble de tous les $\varphi(H)$ pour $\varphi$ un automorphisme
-de $G$, on en déduit qu'il existe $\varphi_1,\ldots,\varphi_r$ de tels
-automorphismes (et on peut prendre $\varphi_1 = \Id_G$, ce qu'on fera)
-de sorte que $\varphi_1(H),\ldots,\varphi_r(H)$ soient en produit
-direct et que ce produit direct contienne $\varphi(H)$ pour tout
-automorphisme $\varphi$ de $G$. Par conséquent, ce produit est stable
-par tout automorphisme de $G$, et comme $G$ a été supposé
-caractéristiquement simple, on a $\varphi_1(H)\cdots\varphi_r(H) = G$,
-c'est-à-dire $G \cong H^r$.
-
-Enfin, $H$ est simple : en effet, si $N$ en est un sous-groupe
-distingué, $N$ est encore un sous-groupe distingué de $H^r \cong G$,
-et par minimalité de $H$, on a $N=\{1\}$ ou $N=H$.
-\end{proof}
-
-\begin{corollaire2}\label{structure-sous-groupes-distingues-minimaux}
-Si $N$ est un sous-groupe distingué minimal d'un groupe fini $G$,
-alors $N$ est isomorphe à un produit $H^r$ de copies d'un groupe
-simple $H$.
-\end{corollaire2}
-\begin{proof}
-La proposition \ref{caracteristique-dans-normal-est-normal} montre que
-$N$ est caractéristiquement simple, et la
-proposition \ref{structure-groupes-caracteristiquement-simples}
-s'applique alors.
-\end{proof}
-
-\begin{definition2}
-Le \emph{socle} d'un groupe fini $G$ est le produit de ses
-sous-groupes distingués minimaux (il est évidemment distingué
-dans $G$ ; d'après le
-lemme \ref{sous-groupes-distingues-minimaux-sont-en-produit-direct},
-il s'agit du produit direct de certains d'entre eux ; et d'après la
-proposition \ref{structure-sous-groupes-distingues-minimaux}, il
-s'agit d'un produit direct de sous-groupes simples de $G$).
-\end{definition2}
-
-En revenant au cas d'un groupe de permutations primitif, on peut
-affirmer :
-\begin{proposition2}\label{dichotomie-socle-d-un-groupe-primitif}
-Soit $G \neq \{1\}$ un groupe de permutations primitif. Alors soit
-$G$ a un unique sous-groupe distingué minimal (qui est alors le socle
-de $G$), soit $G$ a exactement deux sous-groupes distingués minimaux,
-chacun égal au centralisateur de l'autre, et ils sont isomorphes et
-non-abéliens (et le socle de $G$ est alors leur produit direct).
-\end{proposition2}
-\begin{proof}
-D'après la
-proposition \ref{sous-groupes-distingues-minimaux-commutent} et la
-proposition \ref{sous-groupes-distingues-commutant-dans-un-groupe-primitif},
-si $G$ a deux sous-groupes distingués minimaux distincts $N_1,N_2$,
-chacun est le centralisateur de l'autre, et il y en a donc exactement
-deux. Comme ces sous-groupes ne contiennent pas leur centralisateur,
-ils ne sont pas abéliens.
-
-Reste à montrer que $N_1 \cong N_2$. On sait
-d'après \ref{centralisateur-d-un-sous-groupe-distingue-dans-un-groupe-primitif}
-que $N_1,N_2$ sont tous deux réguliers. On définit alors un morphisme
-$\varphi\colon N_1 \to N_2$ de la façon suivante : une fois fixé
-arbitrairement un point $x_0$ (de l'ensemble sur lequel $G$ opère
-naturellement), si $n_1 \in N_1$, comme $N_2$ est régulier, il existe
-un unique $n_2 \in N_2$ tel que $n_2 x_0 = n_1 x_0$, et on pose
-$\varphi(n_1) = n_2$. Il est facile de vérifier que $\varphi$ est
-bien un morphisme, et même un isomorphisme.
-\end{proof}
-
-\subsection{Construction de quelques actions primitives}
-
-Nous allons définir et décrire quelques actions de groupes importantes
-qui, dans certains cas, seront primitives, et qui constitueront les
-classes énumérées par le théorème de O'Nan-Scott.
-
-\subsubsection{Groupes de permutations de type affine}\label{groupe-de-permutations-type-affine} Soit $V
-= \FF_p^d$ un espace vectoriel de dimension finie $d\geq 1$ sur un
-corps fini premier $\mathbb{F}_p$, et notons $\AGL(V) = \AGL_d(\FF_p)$
-le groupe affine $V$, c'est-à-dire le produit semi-direct
-$V \rtimes \GL(V)$ du groupe linéaire $\GL(V) = \GL_d(\FF_p)$ de cet
-espace vectoriel par $V$ lui-même vu comme groupe des translations (et
-sur lequel $\GL(V)$ opère naturellement). Plus généralement, si
-$G_0 \leq \GL(V)$ est un sous-groupe quelconque de $\GL(V)$
-(c'est-à-dire un groupe opérant linéairement sur $V$), on peut
-construire le produit semi-direct $G = V \rtimes G_0$, et tout
-sous-groupe $G$ tel que $V \leq G \leq \AGL(V)$ peut s'écrire sous
-cette forme avec $G_0$ le stabilisateur de $0 \in V$. Un groupe de
-permutations isomorphe (en tant que groupe opérant sur un ensemble) à
-un tel $G$ opérant sur $V$ s'appelle \emph{groupe de permutations de
-type affine}. Le groupe $G$ (opérant sur $V$) est toujours transitif,
-et il est primitif précisément lorsque $V$ est irréductible sous
-l'action de $G_0$, c'est-à-dire lorsque $V$ ne possède pas de
-sous-espace stable par $G_0$ autre que $\{0\}$ et $V$ (en effet, si
-$G$ admet un système de blocs, le bloc contenant $0$ est un
-sous-espace vectoriel de $V$ puisque toute translation doit l'envoyer
-sur un autre bloc, et il est alors stable par $G_0$ ; et
-réciproquement, si $W$ est un sous-espace vectoriel de $V$ stable
-par $G_0$, l'ensemble des translatés de $W$ constitue un sytème de
-blocs) ; ceci équivaut encore au fait que le sous-groupe distingué $V$
-de $G$ soit un sous-groupe distingué minimal (puisqu'un sous-groupe de
-$V$ est distingué dans $G$ précisément à condition qu'il soit stable
-par $G_0$).
-
-Dans cette situation (où $V$ est suppposé irréductible sous $G_0$,
-c'est-à-dire $G$ primitif), d'après la
-proposition \ref{dichotomie-socle-d-un-groupe-primitif}, on peut alors
-affirmer que $V$ est l'unique sous-groupe distingué minimal de $G$, et
-il est donc son socle. On verra dans le cadre du théorème de
-O'Nan-Scott que cette situation est la seule pour laquelle un groupe
-de permutations primitif possède un socle abélien (i.e., il est
-automatiquement de type affine). Par ailleurs, dans cette situation,
-le socle est régulier ($V$ opère sur lui-même par translation).
-
-\subsubsection{Groupes de permutations de type diagonal}\label{groupe-de-permutations-type-diagonal} La
-construction qui va suivre, plus délicate que la précédente, possède
-néanmoins quelques similarités. On peut l'imaginer intuitivement en
-pensant que l'ensemble $\Omega$ ci-dessous est une sorte d'analogue de
-l'espace projectif de dimension $r-1$ sur un groupe $T$ non-abélien :
-il s'agit de $T^r$ quotienté par l'action à droite de $T$ (sur toutes
-les composantes), qu'on va munir d'une action à gauche de $T^r \cdot
-(\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$.
-
-Soit $T$ un groupe simple non-abélien, et $r\geq 2$. On considère
-l'action sur $\Xi := T^r$ des trois groupes suivants : (a) $T^r$
-lui-même, par multiplication à gauche (donc régulièrement), (b) le
-groupe symétrique $\mathfrak{S}_r$, opérant par permutation sur les
-coordonnées, et (c) le groupe $\Aut(T)$ des automorphismes de $T$,
-opérant de la même façon sur toutes les coordonnées. Notons que les
-actions de $\mathfrak{S}_r$ et $\Aut(T)$ sur $T^r$ commutent. Les
-trois actions en question engendrent (en tant que sous-groupes de
-$\mathfrak{S}(\Xi)$) une action sur $\Xi$ de $T^r \rtimes
-(\mathfrak{S}_r \times \Aut(T))$.
-
-Cette action n'est pas primitive : elle possède au moins le système de
-blocs $\Omega$ constitué des ensembles $\{(v_1 t, \ldots, v_r t) : t
-\in T\}$ (pour $v_1,\ldots,v_r \in T$), c'est-à-dire que $\Omega$ est
-l'ensemble des classes à gauche $(v_1,\ldots,v_r)\Delta$ de la
-diagonale $\Delta := \{(t, \ldots, t) : t \in T\}$ dans $T^r$.
-L'action de $T^r \rtimes (\mathfrak{S}_r \times \Aut(T))$ sur les
-blocs n'est plus fidèle : si $\upsilon \in \Aut(T)$ est
-l'automorphisme intérieur $x \mapsto u x u^{-1}$, alors $\upsilon$
-agit sur le bloc $(v_1,\ldots,v_r)\Delta$ de la même manière que
-$(u,\ldots,u)$. Autrement dit, le sous-groupe de $T^r \rtimes
-(\mathfrak{S}_r \times \Aut(T))$ formé des $(u^{-1},\ldots,u^{-1})
-\upsilon$ pour $\upsilon\colon x\mapsto uxu^{-1} \in \Int(T)$, opère
-trivialement sur $\Omega$. Notons $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times
-\Out(T))$ le quotient de $T^r \rtimes (\mathfrak{S}_r \times \Aut(T))$
-par ce sous-groupe (la notation rappelle que ce groupe a un
-sous-groupe distingué qu'on identifiera à $T^r$, le quotient par lequel est
-$\mathfrak{S}_r \times \Out(T)$, où $\Out(T) = \Aut(T) / \Int(T)$ est
-le groupe des automorphismes modulo les automorphismes intérieurs).
-L'action de $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$ sur $\Omega$
-est maintenant fidèle (on voit facilement qu'un élément qui opèrerait
-trivialement devrait avoir une composante triviale dans
-$\mathfrak{S}_r$ en la faisant agir sur $(1,\ldots,1,v,1,\ldots,1)$,
-puis dans $\Out(T)$, et enfin devrait être l'élément neutre) : ceci
-permet de considérer $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$ comme
-le groupe des permutations de $\Omega$ engendré par (a) l'action de
-$T^r$ par translation à gauche, (b) l'action de $\mathfrak{S}_r$ par
-permutation des coordonnées, et (c) l'action de $\Aut(T)$ (sachant que
-celle de $\Int(T)$ est déjà incluse grâce à (a)) opérant de la même
-façon sur toutes les coordonnées.
-
-Si $G$ est n'importe quel sous-groupe tel que $T^r \leq G \leq T^r
-\cdot (\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$, alors l'action de $G$ est
-transitive (puisque déjà celle de $T^r$ l'est, par définition même
-de $\Omega$). Remarquons que la donnée de $G$ est équivalente à celle
-de son image $G_0$ dans $\mathfrak{S}_r \times \Out(T)$. Un groupe de
-permutations isomorphe (en tant que groupe opérant sur un ensemble) à
-un tel $G$ opérant sur $\Omega$ s'appelle \emph{groupe de permutations
- de type diagonal}.
-
-Le stabilisateur dans $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$ de
-$\Delta$ en tant que point de $\Omega$ est l'image dans $T^r \cdot
-(\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$ de son stabilisateur en tant que
-partie de $\Xi$, qui vaut $T \rtimes (\mathfrak{S}_r \times \Aut(T))$
-avec l'action triviale de $\mathfrak{S}_r$ sur $T$, c'est-à-dire
-$\mathfrak{S}_r \times (T\rtimes\Aut(T))$ ; l'image de ce sous-groupe
-dans $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$ est donc
-$\mathfrak{S}_r \times \Aut(T)$. Par conséquent, le stabilisateur de
-$\Delta \in \Omega$ sous l'action de $G$ est l'image réciproque
-$\tilde G_0 \leq \mathfrak{S}_r \times \Aut(T)$ de l'image $G_0 \leq
-\mathfrak{S}_r \times \Out(T)$ de $G$.
-
-\begin{proposition2}
-Avec les notations qui précèdent (i.e., $T$ est un groupe simple
-non-abélien, $T^r \leq G \leq T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times
-\Out(T))$ opérant sur l'ensemble $\Omega$ des classes à gauche de la
-diagonale dans $T^r$), le groupe de permutations $G$ est primitif si
-et seulement si $r=2$ \emph{ou} l'image de $G$ (c'est-à-dire, de
-$G_0$) dans $\mathfrak{S}_r$ est primitive.
-
-Dans les deux cas (où $G$ est primitif), le socle de $G$ est $T^r$ (et
-en particulier, il n'est pas régulier). Plus précisément si l'image
-de $G$ dans $\mathfrak{S}_r$ n'est pas primitive, $T^r$ est l'unique
-sous-groupe distingué minimal de $G$ (c'est donc le socle de $G$) ;
-dans le cas contraire ($r=2$ et l'image de $G$ dans $\mathfrak{S}_2$
-est triviale), $G$ a deux sous-groupes distingués minimaux distincts,
-à savoir $T \times 1$ et $1 \times T$ (et le socle de $G$ vaut donc de
-nouveau $T^r$).
-\end{proposition2}
-\begin{proof}
-Soit $S$ l'image de $G$ dans $\mathfrak{S}_r$. Montrons dans un
-premier temps que $r > 2$ et que $S$ n'est pas primitif
-sur $\{1,\ldots,r\}$, alors $G$ ne l'est pas sur $\Omega$. Soit
-$\mathscr{S}$ un système de blocs non-trivial pour $S$, qu'on
-considérera comme une relation d'équivalence $\equiv_{\mathscr{S}}$
-sur $\{1,\ldots,r\}$. Considérons la relation d'équivalence
-$\equiv_{\mathscr{B}}$ sur $\Omega$ définie par
-$(v_1,\ldots,v_r)\Delta \mathrel{\equiv_{\mathscr{B}}}
-(v'_1,\ldots,v'_r)\Delta$ si et seulement si $v_i v_j^{-1} = v'_i
-{v'_j}^{-1}$ pour tous $i,j$ tels que $i \mathrel{\equiv_{\mathscr{S}}}
-j$ (il est clair que cette relation est bien définie, c'est-à-dire que
-$v_i v_j^{-1}$ ne dépend que de $(v_1,\ldots,v_r)\Delta$). Cette
-relation d'équivalence est préservée par (a) l'action de $T^r$ par
-translation à gauche, (b) l'action de $S$ par permutation des
-coordonnées, et (c) l'action de $\Aut(T)$ opérant de la même façon sur
-toutes les coordonnées : elle est donc préservée par $G$. Il est
-clair que $\equiv_{\mathscr{B}}$ est non-triviale car
-$\equiv_{\mathscr{S}}$ l'est. L'ensemble $\mathscr{B}$ des classes
-d'équivalences définit un système de blocs pour $G$ (dans $\Omega$),
-ce qui montre que $G$ n'est pas primitif.
-
-Supposons réciproquement que $G$ n'est pas primitif, et soit
-$\mathscr{B}$ un système de blocs non-trivial pour $G$ agissant
-sur $\Omega$. Considérons l'ensemble des $r$-uplets
-$(v_1,\ldots,v_r)$ tels que $(v_1,\ldots,v_r)\Delta$ appartienne au
-même bloc de $\mathscr{B}$ que $\Delta$ (autrement dit, le
-stabilisateur du bloc de $\Delta$ pour l'action de $T^r$) : il s'agit
-d'un sous-groupe $M$ de $T^r$, contenant la diagonale. Pour chaque
-$i$, soit $M_i$ le sous-groupe de $M$ formé des éléments
-$(v_1,\ldots,v_r)$ de $M$ tels que $v_i = 1$. On définit une relation
-d'équivalence $\equiv_{\mathscr{S}}$ sur $\{1,\ldots,r\}$ par
-$i \mathrel{\equiv_{\mathscr{S}}} j$ lorsque $M_i = M_j$ (en tant que
-sous-groupes de $M$).
-
-Montrons que $\equiv_{\mathscr{S}}$ est préservée par $S$. Si $\sigma
-\in S$, il existe $\lambda \in \Aut(T)$ tel que $(\sigma,\lambda)$
-appartienne à l'image réciproque $\tilde G_0 \leq \mathfrak{S}_r
-\times \Aut(T)$ de l'image $G_0 \leq \mathfrak{S}_r \times \Out(T)$
-de $G$ ; c'est encore dire que la permutation $(v_1,\ldots,v_r)\Delta
-\mapsto (\lambda(v_{\sigma^{-1}(1)}), \ldots,
-\lambda(v_{\sigma^{-1}(r)}))\Delta$ de $\Omega$ appartient à $G$.
-Supposons $M_i = M_j$. Si $(v_1,\ldots,v_r) \in M$ appartient à
-$M_{\sigma^{-1}(i)}$, c'est-à-dire $v_{\sigma^{-1}(i)} = 1$, alors
-$(\lambda(v_{\sigma^{-1}(1)}), \ldots, \lambda(v_{\sigma^{-1}(r)}))$
-appartient à $M_i$, c'est-à-dire à $M_j$, donc $v_{\sigma^{-1}(j)} =
-1$, autrement dit $(v_1,\ldots,v_r) \in M_{\sigma^{-1}(j)}$. On a
-donc prouvé $M_{\sigma^{-1}(i)} = M_{\sigma^{-1}(j)}$ : ceci montre
-bien que $\equiv_{\mathscr{S}}$ est préservée par $S$.
-
-Reste à vérifier que $\equiv_{\mathscr{S}}$ n'est pas triviale. Si
-tous les $M_i$ sont égaux, cela signifie que lorsque $(v_1,\ldots,v_r)
-\in M$ on a $v_i = 1$ pour un $i$ exactement lorsque $v_i = 1$ pour
-tout $i$ : mais quitte à diviser à droite par l'élément diagonal
-$(v_i,\ldots,v_i)$ (on rappelle que $M$ contient la diagonale), on
-voit que cela implique que $M$ est réduit à la diagonale, et les blocs
-de $\mathscr{B}$ sont des singletons. À l'inverse, si tous les $M_i$
-sont distincts, le lemme \ref{lemme-a-la-con-sous-groupes-de-produits}
-permet de conclure que $M = T^r$ et l'unique bloc de $\mathscr{B}$ est
-$\Omega$ tout entier.
-
-Reste la dernière affirmation. Si $N$ est un sous-groupe distingué
-minimal de $G$, alors en particulier $N$ est distingué dans $T^r$, et
-le lemme \ref{lemme-a-la-con-sous-groupes-distingues-de-produits}
-montre qu'on peut l'écrire $N_1\times \cdots \times N_r$, où chaque
-$N_i$ vaut soit $1$ soit $T$ : si $S$ est transitif (notamment si $S$
-est primitif), on doit avoir $N_1=\ldots=N_r$, ce qui montre que $T^r$
-est l'unique sous-groupe distingué minimal de $G$ ; si $S$ est
-trivial, en revanche (et automatiquement $r=2$), $T\times 1$ et
-$1\times T$ sont les sous-groupes distingués minimaux de $G$.
-\end{proof}
-
-\begin{lemme2}\label{lemme-a-la-con-sous-groupes-distingues-de-produits}
-Soit $T$ un groupe simple fini non abélien. Alors tout sous-groupe
-distingué $N$ de $T^r$ est de la forme $N_1\times \cdots \times N_r$,
-où chaque $N_i$ vaut soit $1$ soit $T$. En particulier, les
-sous-groupes distingués minimaux de $T^r$ sont les $T_i :=
-1\times\cdots\times 1 \times T \times 1 \times \cdots \times 1$, et
-les seuls sous-groupes distingués maximaux sont les
-$T\times\cdots\times T \times 1 \times T \times\cdots\times T$.
-\end{lemme2}
-\begin{proof}
-On procède par récurrence sur $r$. Considérons l'image $\pi_r(N)$ de
-$N$ par la projection $\pi_r$ sur la dernière coordonnée : si
-$\pi_r(N) = 1$, on peut identifier $N$ à son image dans $T^{r-1}$ (par
-la projection sur les $r-1$ premières coordonnées) et l'hypothèse
-récurrence permet immédiatement de conclure. Dans le second cas, il
-existe $(t_1,\ldots,t_r) \in N$ tel que $t_r \neq 1$. On a alors
-aussi $(t_1,\ldots,xt_r x^{-1}) \in N$ pour tout $x \in T$ puisque $N$
-est distingué, donc $(1,\ldots,1, xt_r x^{-1}t_r^{-1}) \in N$. Comme
-$T$ n'est pas abélien, ceci prouve qu'il existe $z\in T$ différent
-de $1$ tel que $(1,\ldots,1,z) \in N$. L'ensemble des $z \in T$ tels
-que $(1,\ldots,1,z) \in N$ est un sous-groupe de $T$, manifestement
-distingué, dont on vient de voir qu'il n'est pas réduit à $1$ : c'est
-donc $T$ tout entier, et on vient de prouver que $(1,\ldots,1,z) \in
-N$ pour tout $z \in T$. Ceci prouve que le morphisme $\pi_r \colon N
-\to T$ a une section ; et si on note $N' = \{(t_1,\ldots,t_r)\in N :
-t_r = 1\}$ le noyau de $\pi_r$, qui est manifestement distingué
-dans $T^r$ et peut s'identifier à un sous-groupe distingué de
-$T^{r-1}$, l'hypothèse de récurrence montre que $N'$ s'écrit sous la
-forme $N_1\times \cdots \times N_{r-1}$ avec chaque $N_i$ valant $1$
-ou $T$. Comme la suite exacte courte $1\to N' \to N
-\buildrel\pi_r\over\to T \to 1$ est scindée d'après ce qu'on a dit, on
-a $N = N_1\times \cdots \times N_{r-1} \times T$, ce qui conclut.
-\end{proof}
-
-\begin{lemme2}\label{lemme-a-la-con-sous-groupes-de-produits}
-Soit $T$ un groupe simple fini non abélien, et $M$ un sous-groupe de
-$T^r$, contenant le sous-groupe diagonal $\{(t,\ldots,t) : t\in T\}$.
-Soit $M_i$ le sous-groupe de $M$ formé des éléments $(t_1,\ldots,t_r)$
-de $M$ tels que $t_i = 1$. Si les $M_i$ sont deux à deux distincts,
-alors $M = T^r$.
-\end{lemme2}
-\begin{proof}
-On procède par récurrence sur $r$. Considérons l'image $M^*$ de $M$
-par la projection sur les $r-1$ premières coordonnées (identifiée à un
-sous-groupe de $T^{r-1}$) : manifestement, $M^*$ contient le
-sous-groupe diagonal de $T^{r-1}$, et si $M_i^*$ (pour $1\leq i\leq
-r-1$) désigne le sous-groupe de $M^*$ formé des éléments
-$(t_1,\ldots,t_{r-1})$ de $M^*$ tels que $t_i = 1$, il s'agit bien de
-l'image de $M_i$ sur $T^{r-1}$ par les premières coordonnées. De
-plus, si on avait $M_i^* = M_j^*$ alors on aurait $M_i = M_j$ (car
-tout $(t_1,\ldots,t_r) \in M$ tel que $t_i = 1$ vérifierait
-$(t_1,\ldots,t_{r-1}) \in M_i^* = M_j^*$ donc $t_j = 1$). L'hypothèse
-de récurrence s'applique donc et assure $M^* = T^{r-1}$. Par
-ailleurs, la projection $M \to M^* = T^{r-1}$ sur les $r-1$ premières
-coordonnées ne peut pas être un isomorphisme car le
-lemme \ref{lemme-a-la-con-sous-groupes-distingues-de-produits}
-ci-dessus appliqué à l'image de $M_r$ (sous-groupe distingué de $M$)
-par cet isomorphisme aboutirait à une contradiction. Il existe donc
-un élément non trivial de $M$ dans le noyau $K$ de $M \to M^*$,
-c'est-à-dire de la forme $(1,\ldots,1,z)$ avec $z\neq 1$. Puisque $M$
-contient la diagonale, on a $(x,\ldots,x,xz) \in M$ pour tout $x \in
-T$, donc $(1,\ldots,1,xzx^{-1}) \in K$, et comme $T$ est simple, les
-$xzx^{-1}$ pour $x\in T$ engendrent $T$. Ainsi, en fait,
-$(1,\ldots,1,z) \in M$ pour tout $z\in T$, et comme on sait déjà que
-l'image $M^*$ de $M$ sur les $r-1$ premières coordonnées
-vaut $T^{r-1}$, il est désormais clair que $M = T^r$.
-\end{proof}
-
-\begin{remarque2}\label{holomorphe-d-un-groupe-simple}
-Le cas particulier des groupes de permutation de type diagonal où
-$r=2$ et où il n'y a pas de permutation des composantes (avec les
-notations précédentes, l'image de $G$ dans $\mathfrak{S}_2$ est
-triviale) est assez spécifique, puisque c'est le seul cas de ce type
-où il y a deux sous-groupes distingués minimaux distincts : expliquons
-comment on peut le présenter différemment.
-
-Si $T$ est un groupe fini, on appelle parfois \emph{holomorphe} de $T$
-le produit semi-direct $H$ de $T$ par $\Aut(T)$ opérant naturellement
-sur $T$, et on voit ce produit semidirect comme opérant lui-même sur
-$\Omega := T$ (où $\Aut(T)$ opère naturellement et $T$ opère par
-translation à gauche) : cette action est fidèle, et on peut encore
-définir l'holomorphe comme le sous-groupe du groupe $\mathscr{S}(T)$
-des permutations qui est engendré par les translations à gauche et les
-automorphismes de $T$.
-
-Lorsque $T$ est un groupe simple fini, en identifiant $\Omega=T$ à
-l'ensemble des classes à gauche de la diagonale dans $T^2$, par
-$(v_1,v_2) \mapsto v_1 v_2^{-1}$, on voit que l'holomorphe $H$ de $T$
-est un cas particulier (en tant que groupe de permutation) de la
-construction des actions diagonales où $r=2$, où il n'y a pas de
-permutation des coordonnées et où on a inclus tous les automorphismes
-de $T$. Les deux sous-groupes distingués minimaux de $H$ sont
-l'ensemble des translations à gauche sur $T$ (vu naturellement comme
-$T$ dans $T \rtimes \Aut(T)$), et l'ensemble des translations à droite
-sur $T$ (vu comme l'ensemble des $(t, (x\mapsto t^{-1}xt))$ pour $t\in
-T$ dans $T \rtimes \Aut(T)$). Comme on l'a expliqué, le socle de $H$
-est le produit $T^2$ de ces deux sous-groupes (et $H = T^2 \cdot
-\Out(T)$).
-
-Plus généralement, un groupe de permutation de type diagonal avec
-$r=2$ et action triviale sur les composantes se décrit comme un
-sous-groupe $G$ de l'holomorphe $H$ de $T$ contenant $T^2$
-(c'est-à-dire, contenant les translations à gauche et les translations
-à droite).
-\end{remarque2}
-
-\subsubsection{Groupes de permutation de type presque simple}\label{groupe-de-permutations-type-presque-simple} Soit $T$
-un groupe simple. Un groupe $G$ tel que $T = \Int(T) \leq G \leq
-\Aut(T)$ est dit \emph{presque simple}. La donnée d'un sous-groupe
-maximal $U$ de $G$ permet
-(cf. \ref{remarques-idiotes-groupes-de-permutations} et
-\ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal}) de
-considérer $G$ comme un groupe de permutations primitif (en opérant
-sur les classes à gauche de $U$) : un tel groupe de permutations est
-dit \emph{presque simple}. Son socle est alors $T$, et il n'est pas
-régulier.
-
-\subsubsection{Produits en couronne}\label{produit-couronne} Si $K$ est un groupe fini, et $S$ un
-groupe de permutations dont on notera $\Gamma$ l'ensemble sur lequel
-il opère, on définit le \emph{produit en couronne} $K \wr_\Gamma S$
-(ou parfois $K \wr S$ lorsque $\Gamma$ est évident) de la façon
-suivante : il s'agit du produit semi-direct $K^\Gamma \rtimes S$, où
-$K^\Gamma$ désigne le groupe des fonctions $\Gamma \to K$ (muni de la
-multiplication point par point) et $S$ opère sur $K^\Gamma$ par
-$(\sigma \cdot f)(i) = f(\sigma^{-1}(i))$ pour $\sigma \in S$, $f\in
-K^\Gamma$ et $i \in \Gamma$.
-
-La définition précédente construit $K \wr_\Gamma S$ comme un groupe
-abstrait. Si $K$ est lui-même un groupe de permutation sur un
-ensemble $\Delta$, on peut considérer l'action de $K \wr_\Gamma S$ sur
-$\Delta \times \Gamma$ définie par $(f,\sigma)\cdot (x,i) = (f(i)(x),
-\sigma(i))$ lorsque $f\in K^\Gamma$ et $\sigma \in S$ : cette action
-possède un système de blocs évident donné par $\{\{(x,i) : x \in
-\Delta\} : i \in \Gamma\}$, qui s'identifie à $\Gamma$, l'action de $K
-\wr_\Gamma S$ étant alors celle de $S$ : on dit qu'il s'agit de
-l'\emph{action imprimitive} (ou parfois de l'\emph{action standard})
-du produit en couronne.
-
-On va définir maintenant une autre action de $K \wr_\Gamma S$ qui sera
-souvent primitive. Pour cela, soit $\Omega = \Delta^\Gamma$
-l'ensemble des fonctions $\Gamma \to \Delta$. On construit une action
-de $K \wr_\Gamma S$ sur $\Omega$ en définissant $(f,\sigma)\cdot w$
-comme la fonction $i \mapsto f(\sigma^{-1}(i)) (w(\sigma^{-1}(i)))$.
-Cette action est appelée l'\emph{action produit} du produit en
-couronne.
-
-\begin{proposition2}
-Soit $K$ un groupe de permutations sur un ensemble $\Delta$ et $S$ un
-groupe de permutations sur un ensemble $\Gamma$. Alors le produit en
-couronne $K \wr_\Gamma S$, muni de son action produit sur $\Omega =
-\Delta^\Gamma$ (définie plus haut) est primitif si et seulement si :
-\begin{itemize}
-\item $S$ est transitif (sur $\Gamma$),
-\item $K$ est primitif (sur $\Delta$), et
-\item $K$ n'est pas régulier (sur $\Delta$).
-\end{itemize}
-\end{proposition2}
-\begin{proof}
-Montrons que les trois conditions énumérées sont nécessaires pour que
-l'action produit du produit en couronne soit primitive. Si $S$ n'est
-pas transitif sur $\Gamma$, soit $\Gamma_0 \subsetneq \Gamma$ une
-orbite de $S$ : on considère la relation d'équivalence $\equiv$ sur
-$\Omega = \Delta^\Gamma$ définie par $w \equiv w'$ lorsque $w(i) =
-w'(i)$ pour tout $i \in \Gamma_0$ : lorsque c'est le cas, on a
-manifestement $(f,\sigma)\cdot w \equiv (f,\sigma)\cdot w'$ pour tout
-$(f,\sigma) \in K \wr_\Gamma S$, ce qui montre que l'ensemble
-$\mathscr{B}$ des classes d'équivalence pour $\equiv$ constitue un
-système de blocs pour $K \wr_\Gamma S$, qui est non-trivial car
-$\Gamma_0$ n'est ni $\varnothing$ ni $\Gamma$. Si $K$ n'est pas
-primitif sur $\Delta$, soit $\mathscr{K}$ un système de blocs
-non-trivial pour celui-ci (ou la décomposition en orbites si $K$ n'est
-même pas transitif) : on définit une relation d'équivalence $\equiv$
-sur $\Omega = \Delta^\Gamma$ en posant $w \equiv w'$ lorsque $w(i)
-\mathrel{\equiv_{\mathscr{K}}} w'(i)$ pour tout $i$ (où $x
-\mathrel{\equiv_{\mathscr{K}}} x'$ signifie que $x,x' \in \Delta$
-appartiennent au même $\mathscr{K}$-bloc) ; de nouveau, on a
-$(f,\sigma)\cdot w \equiv (f,\sigma)\cdot w'$ pour tout $(f,\sigma)
-\in K \wr_\Gamma S$. Enfin, si $K$ est régulier sur $\Delta$ (de
-sorte qu'une fois fixé $x_0 \in \Delta$, tout $x\in \Delta$ peut
-s'écrire $k\cdot x_0$ pour un unique $k\in K$), on définit une
-relation d'équivalence $\equiv$ sur $\Omega = \Delta^\Gamma$ en posant
-$w \equiv w'$ lorsqu'il existe $x_0,x'_0 \in \Delta$ et $g\in
-K^\Gamma$ tels que $w(i) = g(i)\cdot x_0$ et $w'(i) = g(i)\cdot x'_0$
-pour tout $i\in\Gamma$ (autrement dit, $w'$ se déduit de $w$ par une
-« translation à droite »\footnote{Si $\Delta$ est un espace principal
- homogène sous $K$, on appelle \emph{translation à droite} envoyant
- $x_0 \in\Delta$ sur $x_1 \in\Delta$ l'application $k\cdot x_0
- \mapsto k\cdot x_1$. Le groupe des translations à droite de
- $\Delta$ est isomorphe à $K$ mais de façon non canonique (le choix
- d'une origine $x_0$ dans $\Delta$ permet d'identifier la translation
- envoyant $x_0$ sur $x_1$ à la multiplication à droite par $x_0^{-1}
- x_1$, mais le changement de choix de $x_0$ change cette
- identification par un automorphisme intérieur de $K$).}) : de
-nouveau, on a $(f,\sigma)\cdot w \equiv (f,\sigma)\cdot w'$ pour tout
-$(f,\sigma) \in K \wr_\Gamma S$.
-
-Réciproquement, supposons vérifiées ces trois conditions, et montrons
-que l'action de $K \wr_\Gamma S$ sur $\Omega = \Delta^\Gamma$ est
-primitive. La transitivité ne faisant aucun doute (puisque déjà
-$K^\Gamma$ est transitif sur $\Delta^\Gamma$), on veut montrer que le
-stabilisateur $U$ dans $K \wr_\Gamma S$ d'un élément (quelconque) de
-$\Omega$ est un sous-groupe maximal de $K \wr_\Gamma S$. Choisissons
-l'élément constant de valeur $x_0$, où $x_0 \in\Delta$. Le
-stabilisateur $U$ est donc l'ensemble des $(f,\sigma) \in K \wr_\Gamma
-S$ tels que $f(i) \in V$ pour tout $i$, où $V$ est le (sous-groupe
-maximal de $K$) stabilisateur de $x_0$ dans $\Delta$. Soit $H$ un
-sous-groupe de $K \wr_\Gamma S$ contenant strictement $U$ : on veut
-montrer que $H = K \wr_\Gamma S$.
-
-Tout d'abord, $H$ contient un élément $(f,\sigma)$ non contenu dans
-$U$, et, comme $\sigma$ (c'est-à-dire $(1,\sigma)$) appartient à $U$,
-l'élément $f \in K^\Gamma$ lui-même (c'est-à-dire $(f,\sigma)$)
-appartient à $H$ et non à $V^\Gamma$. Il existe donc $i_0$ tel que
-$f(i_0) \not\in V$.
-
-Le sous-groupe $V$ de $K$ est égal à son normalisateur $N_K(V)$ : en
-effet, $V \trianglelefteq N_K(V)$, et comme $V$ est maximal on doit
-avoir $N_K(V) = V$ ou $N_K(V) = K$. Or la seconde possibilité
-impliquerait $V \trianglelefteq K$, mais on
-sait (\ref{exemples-groupes-de-permutations}) que $V$ ne peut pas
-contenir de sous-groupe distingué autre que $\{1\}$, donc on aurait
-$V=\{1\}$, c'est-à-dire que $K$ serait régulier, ce qu'on a exclu.
-Reste donc $N_K(V) = V$.
-
-On a donc $f(i_0) \not\in N_K(V)$, c'est-à-dire qu'il existe $v \in V$
-tel que $f(i_0)\, v\, f(i_0)^{-1} \not\in V$. Définissons $g \colon
-\Gamma \to K$ par $g(i_0) = v$ et $g(i) = 1$ pour tout $i\neq i_0$ :
-ainsi, $g \in V^\Gamma \leq U \leq H$. Le commutateur $h = f g f^{-1}
-g^{-1}$ appartient à $H$ et vaut $1$ en tout $i \neq i_0$ tandis qu'en
-$i_0$ on a $h(i_0) \not\in V$. Comme $V$ est maximal, $h(i_0)$ et $V$
-engendrent $K$, donc $H$ contient toute fonction $h\colon \Gamma \to
-K$ telle que $h(i) = 1$ pour $i \neq i_0$. Comme $S$ est (qui est
-contenu dans $U$ donc dans $H$) est transitif sur $\Gamma$, pour tout
-$i_1 \in \Gamma$, il est encore vrai que $H$ contient toute fonction
-$h\colon \Gamma \to K$ telle que $h(i) = 1$ pour $i \neq i_1$. Or ces
-fonctions engendrent manifestement $K^\Gamma$, et comme $H$ contient
-aussi $S$, on a prouvé $H = K \wr_\Gamma S$.
-\end{proof}
-
-\subsubsection{Produits en couronne tordus}\label{produit-couronne-tordu} Considérons
-maintenant la situation suivante : soit $U$ un sous-groupe d'un groupe
-fini $S$, et soit $K$ un groupe fini ; on suppose de plus donné un
-morphisme $\varphi\colon U \to \Aut(K)$ du groupe $U$ vers les
-automorphismes du groupe $K$, permettant de considérer que $U$ opère
-sur $K$ : on notera $u \mathbin{\bullet_{\varphi}} k := \varphi(u)(k)$
-l'action en question. On considère l'ensemble $\mathscr{F}$ des
-applications $f\colon S \to K$ vérifiant la condition suivante : pour
-tout $s\in S$ et tout $u\in U$ on a $f(su) = u^{-1}
-\mathbin{\bullet_{\varphi}} f(s)$ ; il s'agit d'un sous-groupe de
-$K^S$ pour la multiplication point par point. Remarquons que si
-$\Gamma$ est une section ensembliste de l'ensemble des classes à
-gauche de $U$ dans $S$, c'est-à-dire un choix d'un élément de chaque
-$sU \in K/U$, alors on peut considérer $\mathscr{F}$ comme le groupe
-$K^\Gamma$, puisque la valeur de $f\in \mathscr{F}$ sur toute la
-classe $sU$ est déterminée par sa valeur sur l'unique élément $s$.
-Néanmoins, la description de $\mathscr{F}$ comme sous-ensemble de
-$K^S$ permet de rendre plus claire l'action de $S$ sur $\mathscr{F}$
-définie comme suit : si $f\in \mathscr{F}$ et $\sigma\in S$, on
-définit $\sigma\cdot f$ par $(\sigma\cdot f)(s) = f(\sigma^{-1}s)$
-(pour tout $s\in S$). Le produit semi-direct $\mathscr{F} \rtimes S$
-défini par cette action s'appelle \emph{produit en couronne tordu}
-défini par les données de $K$ de $U \leq S$, et du morphisme
-$\varphi\colon U \to \Aut(K)$ ; on le notera $G$ dans la fin de cette
-section.
-
-La terminologie de produit en couronne tordu se justifie par le fait
-que le produit en couronne usuel (défini en \ref{produit-couronne})
-s'obtient comme le cas particulier où $\varphi$ est le morphisme
-trivial (tout élément de $U$ s'envoyant sur l'identité de $K$) et $U$
-est le stabilisateur d'un point dans le $S$-ensemble $\Gamma$, lequel
-peut alors être identifié à l'ensemble des classes à gauche de $U$
-dans $S$, où à un choix arbitraire d'une section pour cet ensemble.
-Notons par ailleurs que si $U=S$, alors le produit en couronne tordu
-que nous avons défini n'est autre que le produit semi-direct $K \rtimes
-S$ pour l'action donnée par $\varphi$ (en effet, si on identifie
-$f\in\mathscr{F}$ avec $f(1)\in K$, alors $(\sigma\cdot f)(1) =
-f(\sigma^{-1}) = \varphi(\sigma)(f(1))$).
-
-Revenant à la situation plus générale, on fera agir $G$ sur
-$\mathscr{F}$ en décrétant que $S$ opère sur $\mathscr{F}$ comme on
-l'a déjà dit et que $\mathscr{F}$ opère sur lui-même par translation à
-gauche. (Dans le cas d'un produit en couronne non-tordu, ceci
-correspond à l'action produit où $K$ est vu comme opérant sur lui-même
-par translation à gauche ; il y aurait sans doute moyen de définir une
-action généralisant l'action produit dans tous les cas, mais ceci ne
-nous intéressera pas.) Le stabilisateur pour cette action de la
-fonction constante $1 \in \mathscr{F}$ est le sous-groupe $S$ de $G$,
-ce qui permet de considérer qu'on a affaire à l'action de $G$ sur les
-classes à gauche de $S$ dans $G$. Cette action peut très bien ne pas
-être fidèle : penser au cas où $U=S$ et $\varphi$ est trivial, par
-exemple (auquel cas $G$ est le produit direct $K \times S$) ; il ne
-semble pas facile de trouver des conditions nécessaires et suffisantes
-sur les données pour que l'action qu'on vient de décrire soit fidèle
-et primitive : on peut néanmoins montrer que c'est le cas si $K$ est
-simple fini non-abélien et que $\Im\varphi$ contient les
-automorphismes intérieurs de $K$ et n'est pas l'image de $S$ par un
-morphisme.
-
-\begin{remarque2}\label{remarque-produit-couronne-tordu-sous-groupe-de-produit-de-holomorphe}
-Si on a choisi une section ensembliste $\Gamma$ des classes à gauche
-de $U$ dans $S$, et si on note $\varpi\colon S\to\Gamma$ la fonction
-associant à $s\in S$ le représentant $\varpi(s)$ de la classe $sU$,
-alors en identifiant $\mathscr{F}$ à $K^\Gamma$, l'action de $S$ sur
-$\mathscr{F}$ est donnée par : $(\sigma\cdot f)(x) = (x^{-1}\sigma
-\varpi(\sigma^{-1}x)) \mathbin{\bullet_\varphi}
-f(\varpi(\sigma^{-1}x))$ (pour $\sigma\in S$ et $x\in \Gamma$).
-
-Si $H = K \rtimes\Aut(K)$ désigne l'holomorphe du groupe $K$
-(cf. \ref{holomorphe-d-un-groupe-simple}), cette formule conduit à
-définir un morphisme $S \to H^\Gamma \rtimes \mathfrak{S}(\Gamma)$ qui
-à $\sigma \in S$ asssocie $((\dot\varphi(x^{-1}\sigma
-\varpi(\sigma^{-1}x)))_{x\in\Gamma}, \penalty-100 (x \mapsto
-\varpi(\sigma^{-1}x)))$ (où $\dot\varphi$ est la composée de $S
-\to\Aut(K)$ avec le morphisme évident $\Aut(K) \to H$). En combinant
-ce morphisme avec le morphisme $\mathscr{F} \to H^\Gamma$ obtenu à
-partir de l'application de $K \to H$ (correspondant à la translation à
-gauche, i.e., la première composante de $H = K \rtimes\Aut(K)$) sur
-chaque composante de $\mathscr{F} = K^\Gamma$, on obtient un morphisme
-de $G = \mathscr{F} \rtimes S$ vers $H^\Gamma \rtimes
-\mathfrak{S}(\Gamma) = H \wr_\Gamma \mathfrak{S}(\Gamma)$ compatible
-avec l'action de ces deux groupes sur $\mathscr{F} = K^\Gamma$ (dans
-le cas de $H \wr_\Gamma \mathfrak{S}(\Gamma)$, il s'agit de l'action
-produit du produit en couronne). Notamment, si $G$ opère fidèlement
-sur $\mathscr{F} = K^\Gamma$, le morphisme $G \to H \wr_\Gamma
-\mathfrak{S}(\Gamma)$ que nous venons de définir est injectif.
-\end{remarque2}
-
-\subsection{Le théorème de O'Nan-Scott}
-
-Cette section fait suite à la précédente.
-
-Le théorème de O'Nan-Scott établit une sorte de classification des
-groupes de permutations primitifs. Nous nous contenterons dans cet
-ouvrage d'énoncer et de discuter ce théorème, pour la démonstration
-duquel nous renvoyons le lecteur à \cite[chap. 4]{Dixon-Mortimer}.
-
-\begin{theoreme2}\label{o-nan-scott}
-Soit $G$ un groupe de permutations primitif dont on note $\Omega$
-l'ensemble sur lequel il opère. Alors l'une des affirmations
-suivantes est vraie :
-\begin{itemize}
-\item $G$ est un groupe de permutations de type affine, tel que décrit
- à la section \ref{groupe-de-permutations-type-affine}. Ceci se
- produit si et seulement si le socle de $G$ est abélien, et dans ce
- cas le socle est régulier.
-\item $G$ est presque simple
- (cf. \ref{groupe-de-permutations-type-presque-simple}), c'est-à-dire
- qu'on a $T \leq G \leq \Aut(T)$ pour un certain groupe simple fini
- non-abélien $T$ (sans affirmation particulière sur la façon dont $G$
- opère). Dans ce cas, le socle de $G$ est $T$, et il n'est pas
- régulier.
-\item $G$ est un groupe de permutation de type diagonal, tel que
- décrit à la section \ref{groupe-de-permutations-type-diagonal} (avec
- $r\geq 2$ dans les notations de cette section). Dans ce cas, le
- socle de $G$ est $T^r$ (avec les notations en question) où $T$ est
- un groupe simple fini non-abélien et $r\geq 2$, et le degré
- $\#\Omega$ de $G$ est $(\#T)^{r-1}$. Si $r\geq 3$ alors $G$ a un
- unique sous-groupe distingué minimal qui est son socle.
-\item $G$ est un sous-groupe d'un produit en couronne $K \wr_\Gamma
- \mathfrak{S}(\Gamma)$ muni de son action produit (\ref{produit-couronne}) sur
- $\Delta^\Gamma$, où $K$ est un groupe de permutation primitif
- sur $\Delta$ d'un des deux types précédents, et le socle de $G$ est
- $H^\Gamma$ où $H$ est le socle de $K$. Dans ce cas, le socle en
- question n'est pas régulier.
-\item $G$ est un produit en couronne tordu
- (\ref{produit-couronne-tordu}) défini par la donnée d'un groupe fini
- $S$, d'un sous-groupe $U$ de celui-ci, d'un groupe \emph{simple}
- non-abélien $K$, et d'un morphisme $\varphi \colon U \to \Aut(K)$
- dont l'image contient le sous-groupe $\Int(K)$ des automorphismes
- intérieurs de $K$ ; le groupe $G$ est alors isomorphe, comme groupe
- de permutations
- (cf. \ref{remarque-produit-couronne-tordu-sous-groupe-de-produit-de-holomorphe})
- à un sous-groupe du produit en couronne $H \wr_\Gamma
- \mathfrak{S}(\Gamma)$, où $H$ est l'holomorphe de $K$
- (cf. \ref{holomorphe-d-un-groupe-simple}), et où $\Gamma$ est
- l'ensemble des classes à gauche de $U$ dans $S$. Dans ce cas, le
- socle de $G$ est isomorphe à $K^{\#\Gamma}$ (soit à $\mathscr{F}$
- avec la notation de \ref{produit-couronne-tordu}), et il est
- régulier. Ce cas se produit si et seulement si le socle de $G$ est
- régulier mais non abélien.
-\end{itemize}
-\end{theoreme2}
-
-\XXX --- Il est tout pourri mon énoncé, et probablement faux...
-
-\begin{corollaire2}\label{o-nan-scott-sous-groupes-maximaux-de-s-n}
-Un sous-groupe maximal de $\mathfrak{S}_n$ est d'un des types
-suivants :
-\begin{itemize}
-\item un sous-groupe intransitif de la forme $\mathfrak{S}_{n_1}
- \times \mathfrak{S}_{n_2}$ avec $n_1 + n_2 = n$ (et $n_1,n_2 > 1$),
- muni de l'action donnée par l'union disjointe,
-\item un sous-groupe transitif mais non primitif $\mathfrak{S}_k
- \wr_{\{1,\ldots,r\}} \mathfrak{S}_r$ avec $kr = n$ (et $k,r > 1$),
- muni de l'action imprimitive du produit en couronne,
-\item un groupe primitif, qui est alors d'un des types suivants :
-\begin{itemize}
-\item un produit en couronne $\mathfrak{S}_k \wr_{\{1,\ldots,r\}}
- \mathfrak{S}_r$ avec $k^r = n$ (et $k,r > 1$), muni de l'action
- produit du produit en couronne,
-\item un groupe affine $\AGL(\FF_p^r)$ avec $p^r = n$,
-\item un groupe de type diagonal $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times
- \Out(T))$ où $T$ est simple fini non-abélien et son ordre vérifie
- $(\#T)^{r-1} = n$,
-\item un groupe presque simple.
-\end{itemize}
-\end{itemize}
-\end{corollaire2}
-
-Ceci découle immédiatement du théorème précédent. Soulignons qu'il
-n'est pas affirmé que chacun des types décrits ci-dessus construit
-effectivement un sous-groupe maximal de $\mathfrak{S}_n$.
-
-\subsection{Un théorème de Jordan}
-
-On veut démontrer :
-
-\begin{theoreme2}\label{Jordan}
-Soit $G$ un sous-groupe transitif de $𝔖_n$ qui contient un $p$-cycle
-pour un nombre premier $p$ strictement compris entre $\frac{n}{2}$ et $n-2$.
-Alors $G$ contient $𝔄_n$.
-\end{theoreme2}
-
-Nous ferons usage de la terminologie suivante :
-
-\begin{dfn2}
-Soit $X$ un ensemble fini. Un sous-groupe $G$ de $𝔖_X$ agissant
-transitivement sur $X$ est dit \emph{primitif} si les seuls sous-ensembles
-$Y\subset X$ tels que pour tout $g\in G$, $g(Y)\cap Y\in\{\vide,Y\}$
-sont $\vide,X$, et les singletons.
-\end{dfn2}
-De façon équivalente, on demande qu'il n'y ait pas de
-partition\footnote{En particulier, par définition,
-chaque constituant est non vide.}
-$\{Y_1,\dots,Y_s\}$ de $X$ avec $\#X>s>1$, stable
-sous l'action de $G$ (au sens où, pour tout $i$, il existe
-un indice $j$ tel que $g(Y_i)=Y_j$).
-
-Établissons quelques lemmes généraux.
-
-\begin{lemme2}
-Un groupe transitif agissant sur un ensemble d'ordre premier est primitif.
-\end{lemme2}
-
-\begin{lemme2}
-Soient $G$ un groupe agissant transitivement sur un ensemble fini $X$,
-$H$ un sous-groupe de $G$ et $P$ une orbite de $H$. Supposons que $H$
-agit transitivement sur $P$ et que $\# X < 2 \# P$. Alors,
-$G$ agit également transitivement sur $X$.
-\end{lemme2}
-
-Ainsi, sous l'hypothèse du théorème de Jordan ci-dessus, $G$ est un sous-groupe
-primitif de $𝔖_n$ contenant un $p$-cycle.
-
-\begin{lemme2}
-Soient $G$ un sous-groupe $f$-transitif de $𝔖_X$, $C$ un sous-groupe
-de $G$ tel que le cardinal de $F=\mathrm{Fix}(C)\subset X$ soit égal à $f$.
-Alors, si $C$ est conjugué and $G_F$ à tout sous-groupe de $G_F$ conjugué
-\emph{dans $G$} à $C$, le normalisateur de $C$ dans $G$ agit $f$-transitivement
-sur $F$.
-\end{lemme2}
-
-\begin{lemme2}
-Soit $X=F\cup P$ une partition de $X$ telle que $\# P>1$ et $2\#P>\#X$.
-Supposons que $G$ soit un sous-groupe primitif de $𝔖_X$ tel que $G_F$ agisse
-transitivement sur $P$. Alors, l'action de $G$ est doublement transitive.
-(C'est-à-dire : $G$ est transitif et pour chaque $x$, $G_x$ agit
-transitivement sur $X-x$.)
-\end{lemme2}
-\begin{proof}
-Faisons le par récurrence sur $f$. Le cas $f=1$ est tautologique.
-\begin{itemize}
-\item Si $\alpha$ et $\beta$ sont deux éléments distincts de $F$,
-il existe un $g\in G$ tel que $\alpha\in g(F)$ mais $\beta\notin g(F)$.
-En effet, considérons $\displaystyle E=\cap_{g\in G: \alpha \in g(F)} g(F)$ et
-remarquons que si $g'(E)\cap E\neq \vide$, alors $g'(E)=E$.
-(Commencer par le voir dans le cas $\alpha\in g'(E)$.)
-
-\item Le sous-groupe $H=\langle G_F, gG_F g^{-1}\rangle$ agit transitivement
-sur $P\cup g(P)$. (Rappel : $2\#P>\#X$.)
-
-\item Soit $F'=F\cap g(F)$, \cad l'ensemble des éléments qui
-sont fixes par tout élément de $H$. On conclut en utilisant l'hypothèse de récurrence.
-\end{itemize}
-\end{proof}
-
-\begin{theoreme2}[Camille Jordan, 1870]
-Soit $G$ un sous-groupe primitif de $𝔖_X$, où $\#X=n=p+f$, $p$ est premier
-et $f\geq 3$. Si $G$ contient un cycle de longueur $p$ alors $G$
-contient $𝔄_n$.
-\end{theoreme2}
-
-\begin{proof}[Démonstration dans le cas où $2p>n$.]
-La démonstration du théorème est divisée en quelques étapes :
-$G$ est primitif, doublement transitif, $f$-transitif, puis contient $𝔄_n$.
-Nous n'utiliserons que le cas $2p>n$ (cf. \ref{Jordan}), hypothèse que
-nous supposons satisfaite.
-En particulier, $G$ est primitif. Notons $c$ un cycle de longueur $p$
-dans $G$, et $F$ (resp. $P=X-F$) l'ensemble des points fixes de $c$ ;
-on a donc $\#F=f$ (resp. $\#P=p$).
-Notons $G_F=G\cap 𝔖_F\subset 𝔖_X$ le sous-groupe de $G$ agissant trivialement
-sur $F$, et de même pour divers sous-groupes et sous-ensembles.\\
-Par récurrence sur $f$, on voit que $G$ est $f$-transitif.\\
-Soient $C=\langle c \rangle$ le sous-groupe d'ordre $p$ et $N$ son
-normalisateur dans $G$. On démontre les faits suivants :
-\begin{itemize}
-\item Le sous-groupe $N$ est $f$-transitif sur $F$ (rappelons
-que $C$ est un $p$-Sylow) et donc $N ↠ 𝔖_F$, via le morphisme
-de restriction, bien défini ici.
-\item pour tout $\pi\in P$, $N_{\pi}:=\mathrm{Stab}_N(\pi)$ satisfait
-$N_{\pi}↠ 𝔖_F$. En effet, $N=N_{\pi} G_F$ car $G_F$ agit
-transitivement sur $P$ et $N$ agit sur $P$.
-\item Pour tout $\pi\in P$, l'image de $N_{\pi}$ dans $𝔖_{P}$
-est isomorphe à un sous-groupe de $\Aut(C)$ et est donc abélienne.
-\item Soit $D$ le groupe dérivé de $N_{\pi}$ ; on a vu que l'image
-de $D→ 𝔖_P$ est le groupe trivial $\{1\}$. Il en résulte que $D↠ A_F$.
-\end{itemize}
-\end{proof}
-
-\section{Groupe de Galois d'un polynôme de degré quatre}
-
-Soient $k$ un corps et $f=X⁴-c₁X³+c₂X²-c₃X+c₄∈k[X]$ un polynôme
-irréductible séparable. Soient $Ω$ une clôture séparable et
-$R=\{x₁,x₂,x₃,x₄\}$ les racines de $f$ dans $Ω$. Le groupe de Galois
-$G$ correspondant est naturellement un sous-groupe transitif de
-$𝔖_R$. Il est donc naturel d'étudier ces sous-groupes. D'autre part,
-il est évident que l'inclusion $G⊆𝔖_R$ est une égalité \ssi $G$ n'est
-contenu dans aucun sous-groupe maximal (strict) de $𝔖_R$.
-
-\begin{proposition}\label{sous-groupes maximaux et transitifs de S4}
-\begin{enumerate}
-\item Les sous-groupes maximaux de $𝔖₄$ sont $𝔄₄$, les stabilisateurs
-des points (isomorphes au groupe $𝔖₃$) et les $2$-Sylow de $𝔖₄$
-(isomorphes au groupe diédral $D₄$).
-\item Les sous-groupes transitifs de $𝔖₄$ sont $𝔖₄$, $𝔄₄$,
-les $2$-Sylow, et ses sous-groupes d'ordre $4$, isomorphes
-à $C₄$ ou $V₄=𝐙/2×𝐙/2$.
-\end{enumerate}
-\end{proposition}
-
-\begin{démo}
-\begin{enumerate}
-\item Le cardinal $d$ d'un sous-groupe strict $H$ de $𝔖₄$ appartient à l'ensemble
-$\{12,8,6,4,3,2,1\}$. Étudions les différentes possibilités.
-\begin{itemize}
-\item [$d=12$.] $H$ est d'indice deux, donc distingué
-dans $𝔖₄$ ; $H=𝔄₄$.
-\item [$d=8$.] $H$ est un $2$-Sylow. Pour chaque énumération des côtés d'un
-carré, le groupe des isométries du carré, plongé dans $𝔖₄$, est un sous-groupe
-d'ordre huit, maximal car non contenu dans $𝔄₄$.
-Tous les $2$-Sylow étant conjugués, $H$ est l'un de ces groupes.
-\item [$d=6$.] Un groupe d'ordre $6$ n'agit pas transitivement.
-Ses orbites ne peuvent être de cardinal $2$ (sans quoi $H$ serait
-contenu dans un sous-groupe isomorphe à $𝔖₂×𝔖₂$ de $𝔖₄$, de cardinal $4$).
-Il existe donc une orbite ponctuelle : $H$ est le stabilisateur d'un
-point.
-\item [$d∈\{4,3,2,1\}$.] Un sous-groupe d'ordre deux ou quatre est contenu dans
-un $2$-Sylow donc non maximal. Un sous-groupe cyclique d'ordre trois est
-engendré par un $3$-cycle, contenu dans $𝔄₄$, donc non maximal également.
-\end{itemize}
-\item Un sous-groupe transitif $H$ de $𝔖₄$ est de cardinal $d$ divisible par
-$4$ ; on a donc $d∈\{24,12,8,4\}$. On vérifie immédiatement que les différentes
-possibilités sont celles de l'énoncé.
-\end{enumerate}
-\end{démo}
-
-Le théorème suivant est une généralisation de la proposition
-\ref{Gal(deg 3)=cyclique}.
-
-\begin{théorème}
-Soient $k$ un corps, $Ω$ une clôture séparable et $f=X⁴-c₁X³+c₂X²-c₃X+c₄∈k[X]$
-un polynôme séparable. Soient $R=\{x₁,x₂,x₃,x₄\}$ les racines de $f$ dans $Ω$ et
-$G⊆𝔖_R$ le groupe de Galois de $f$ correspondant.
-\begin{enumerate}
-\item $G⊆𝔄_R$ \ssi $\car(k)≠2$ et $Δ(f)$ est de la forme $x²$ ou $\car(k)=2$ et
-$Δ₂(f)$ est de la forme $x²+x$ ;
-\item $G$ est contenu dans le stabilisateur d'une racine \ssi
-$f$ a une racine dans $k$ ;
-\item $G$ est contenu dans un $2$-Sylow de $𝔖_R$ \ssi la \emph{résolvante
-cubique}
-\[
-g=\big(Y-(x₁x₃+x₂x₄)\big)\big(Y-(x₁x₂+x₃x₄)\big)\big(Y-(x₁x₄+x₂x₃)\big)=
-Y³-c₂Y²+(c₁c₃-4c₄)Y-(c₃²-4c₂c₄+c₁²c₄)
-\]
-a une racine dans $k$. Le discriminant du polynôme $g$ est égal
-au discriminant, non nul, de $f$. En caractéristique deux, les
-pseudo-discriminants coïncident également.
-\end{enumerate}
-\end{théorème}
-
-
-\begin{démo}
-(i) Mis que pour mémoire (cf. \refext{CG}{caracterisation groupe Gal alterne}).
-(ii) Évident.
-(iii) L'égalité des discriminants résulte de la formule
-\[
-(x_ix_j+x_k x_l)-(x_ix_k+x_j x_l)=(x_i-x_l)(x_j-x_k).
-\]
-L'égalité des pseudo-discriminants en caractéristique deux
-résulte immédiatement de \refext{CG}{exemples discriminants} ou bien
-d'un calcul direct comme dans le cas du discriminant.
-
-Les expressions $X₁X₃+X₂X₄$, $X₁X₂+X₃X₄$ et $X₁X₄+X₂X₃$
-forment une orbite sous l'action de $𝔖₄$ sur $𝐙[X₁,X₂,X₃,X₄]$ dont les
-stabilisateurs sont précisément les $2$-Sylow (diédraux) de $𝔖₄$.
-Considérons le $2$-Sylow $D=⟨(1234),(12)(34)⟩$,
-correspondant à la numérotation $(1,2,3,4)$ des côtés d'un carré.
-Si $G⊆D$ (où l'on identifie $𝔖_R$ et $𝔖₄$), il agit trivialement sur $x₁x₃+x₂x₄$ qui appartient
-donc à $k$ et est une racine de $g$.
-Réciproquement, si $G$ n'est contenu
-dans aucun $2$-Sylow, il agit sans point fixe donc transitivement sur le
-sous-ensemble à trois éléments
-$\{X₁X₃+X₂X₄,X₁X₂+X₃X₄,X₁X₄+X₂X₃\}$ de
-$𝐙[X₁,X₂,X₃,X₄]$ et, \emph{a fortiori},
-sur le sous-ensemble (à trois éléments
-par séparabilité de $g$) $\{x₁x₃+x₂x₄,x₁x₂+x₃x₄,x₁x₄+x₂x₃\}$
-de $Ω$. Le polynôme $g$ n'a donc pas de racine dans $k$.
-\end{démo}
-
-Pour un complément, cf. \cite{Generic@JLY}, th. 2.2.3.
-
-\subsection{Exercices}
-\begin{exercice2}
-Soient $L=k(R)$ le corps de décomposition de $f$ et
-$K$ le corps de décomposition de $g$ contenu dans $L$.
-Montrer que
-\[
-G≃\left\{
-\begin{array}{ll}
-𝔖₄ & \textrm{si } [K:k]=6 \\
-𝔄₄ & \textrm{si } [K:k]=3 \\
-D₄ \textrm{ ou } 𝐙/4 & \textrm{si } [K:k]=2\\
-V₄ & \textrm{si } [K:k]=1 \\
-\end{array}
-\right.
-\]
-\end{exercice2}
-
-
-\begin{exercice2}
-Montrer qu'il existe une infinité d'entiers $n$ tel que
-le polynôme $f_n=X⁴-nX-1$ soit irréductible et que
-le corps $𝐐_{f_n}=𝐐[X]/(f_n)$ n'ait pas de sous-extension
-non-triviale.
-(Indication : il suffit de vérifier que $G_f≃𝔖₄$.)
-\end{exercice2}
-
-\section{Groupe de Galois d'un polynôme de degré cinq}
\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}
diff --git a/chapitres/groupes-permutations.tex b/chapitres/groupes-permutations.tex
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@@ -0,0 +1,1461 @@
+\ifx\danslelivre\undefined
+\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
+\input{../configuration/commun}
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+\input{../configuration/adresse}
+\input{../configuration/gadgets}
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+\input{../configuration/encoredesmacros}
+\usepackage{stmaryrd}
+\usepackage{graphics}
+\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
+\usepackage{srcltx}
+
+\externaldocument{correspondance-galois}
+\externaldocument{exemples-galois}
+
+\title{Notions sur les groupes de permutations}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\setcounter{tocdepth}{2}
+\tableofcontents
+\else
+\chapter{Notions sur les groupes de permutations}
+\fi
+
+
+\section{Étude des sous-groupes primitifs de $\mathfrak{S}_n$}
+
+\subsection{Généralités}
+
+\begin{definition2}
+On appelle \emph{groupe de permutations} sur $n$ objets (ou \emph{de
+ degré $n$}) un sous-groupe du groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$ sur
+$n$ objets, considéré à conjugaison près dans $\mathfrak{S}_n$. De
+façon équivalente, un groupe de permutations sur $n$ objets est un
+groupe muni d'une action fidèle sur un ensemble de $n$ objets
+(généralement identifiés à $\{1,\ldots,n\}$), la notion d'isomorphisme
+considéré étant celle des ensembles munis d'une action de groupe.
+\end{definition2}
+
+\begin{definition2}\label{definitions-groupes-de-permutations}
+Un groupe de permutation $G$ de degré $n$ est dit :
+\begin{itemize}
+\item\emph{transitif} lorsque l'action sur les $n$ objets est
+ transitive (c'est-à-dire que si $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ alors il
+ existe $\sigma \in G$ tel que $\sigma(i)=j$) ;
+\item\emph{régulier} lorsque les $n$ objets forment un espace
+ principal homogène, c'est-à-dire lorsque l'action est simplement
+ transitive (c'est-à-dire que si $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ alors il
+ existe un unique $\sigma \in G$ tel que $\sigma(i)=j$, ou de façon
+ équivalente, lorsque $G$ est transitif et que le stabilisateur d'un
+ point est trivial) ;
+\item\emph{primitif} lorsque $G$ est transitif et que les seules
+ partitions $\mathscr{B}$ de $\{1,\ldots,n\}$ préservées par $G$ (au
+ sens que si $B \in \mathscr{B}$ et $\sigma \in G$ alors
+ $\sigma(B) \in \mathscr{B}$) sont $\mathscr{B} = \{\{1,\ldots,n\}\}$
+ et $\mathscr{B} = \{\{1\},\ldots,\{n\}\}$ ;
+\item\emph{$k$-transitif} (pour $1 \leq k \leq n$) lorsque l'action
+ sur les $k$-uplets d'éléments deux-à-deux distincts de
+ $\{1,\ldots,n\}$ est transitive, autrement dit si $(i_1,\ldots,i_k)$
+ sont deux-à-deux distincts et $(j_1,\ldots,j_k)$ de même, alors il
+ existe $\sigma\in G$ tel que $j_t = \sigma(i_t)$ pour tout $t$.
+\end{itemize}
+Une partition $\mathscr{B}$ de $\{1,\ldots,n\}$ préservée par $G$
+(dans le sens précisé après la définition de « primitif » ci-dessus)
+s'appelle un \emph{système de blocs} pour $G$, et il est dit trivial
+lorsque $\mathscr{B}$ est $ \{\{1,\ldots,n\}\}$ ou
+$\{\{1\},\ldots,\{n\}\}$ : ainsi, un groupe de permutations transitif
+est dit primitif lorsqu'il n'admet pas de système de blocs
+non-trivial.
+\end{definition2}
+
+Toutes ces définitions sont faites pour un groupe de permutations,
+mais on se permettra, bien sûr, de les appliquer à une action de
+groupe (au moins une action fidèle, et parfois même quand elle ne
+l'est pas) pour dire que le groupe de permutations que cette action
+définit a la propriété correspondante : par exemple, on dit qu'un
+groupe $G$ opère primitivement sur un ensemble fini $X$ lorsque le
+sous-groupe de $\mathfrak{S}(X)$ image de $G$ par l'action en question
+est primitif, autrement dit lorsque $X$ n'admet pas de système de
+blocs non-trivial pour cette action.
+
+\begin{remarques2}\label{remarques-idiotes-groupes-de-permutations}
+\begin{itemize}
+\item Un groupe de permutations $k$-transitif est $\ell$-transitif
+ pour tout $\ell\leq k$ (et « transitif » signifie
+ « $1$-transitif »).
+\item Un groupe de permutations ne préservant aucune partition de
+ $\{1,\ldots,n\}$ est nécessairement transitif, donc primitif (car la
+ décomposition en orbites forme un système de blocs, qui n'est
+ trivial que pour une action transitive ou bien une action triviale),
+ à la seule exception de l'action triviale sur $n=2$ éléments, qui ne
+ préserve aucune partition non triviale mais n'est néanmoins pas
+ primitive par convention.
+\item Les blocs (c'est-à-dire les éléments de $\mathscr{B}$) d'un
+ système de blocs pour un groupe de permutations $G$ forment
+ eux-mêmes un $G$-ensemble sous l'action de $G$ (en définissant pour
+ $B \in \mathscr{B}$ et $\sigma\in G$ l'action $\sigma B$ comme
+ l'image $\sigma(B)$ de $B$ par $\sigma$). Lorsque $G$ opère
+ transitivement sur les objets, il opère aussi transitivement sur les
+ blocs, qui sont donc tous de même cardinal.
+\item Si $n$ est premier, tout groupe de permutations transitif de
+ degré $n$ est primitif (puisqu'on vient d'expliquer que les blocs
+ d'un système de blocs sont tous de même cardinal). C'est-à-dire
+ que, dans ce cas, « transitif » et « primitif » sont équivalents.
+\item On rappelle que si $G$ est un groupe de permutations transitif,
+ alors les stabilisateurs des éléments de $\{1,\ldots,n\}$ sont
+ conjugués dans $G$. Si $U$ est le stabilisateur d'un point $i$,
+ alors le $G$-ensemble $\{1,\ldots,n\}$ est isomorphe au $G$-ensemble
+ $G/U$ des classes à gauche de $U$ dans $G$ (sur lequel $G$ opère par
+ multiplication à gauche), en particulier $U$ est d'indice $n$
+ dans $G$. Par ailleurs, $G$ est $k$-transitif (pour $k\geq 2$)
+ lorsque $U$ est $(k-1)$-transitif sur les $n-1$ points restants
+ $\{1,\ldots,n\}\setminus\{i\}$.
+\item En particulier, dire qu'un groupe de permutations $G$ est
+ régulier signifie que l'action de $G$ sur les objets est isomorphe à
+ l'action de $G$ sur lui-même par multiplication à gauche. En
+ particulier, dans ce cas, le degré $n$ (le nombre d'objets) est égal
+ à l'ordre $\#G$ du groupe.
+\end{itemize}
+\end{remarques2}
+
+\begin{proposition2}
+Un groupe de permutations $2$-transitif est primitif.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Supposons par l'absurde qu'il existe un système de blocs $\mathscr{B}$
+non-trivial pour $G$. Alors il existe dans $\mathscr{B}$ deux blocs
+$B,B' \in \mathscr{B}$ distincts, et les blocs (qui ont tous le même
+cardinal) ne peuvent pas être des singletons donc il existe $x,x''\in
+B$. Si $x' \in B'$, l'action de $G$ ne peut pas envoyer le couple
+$(x,x'')$ sur $(x,x')$ (car $x,x''$ appartiennent au même bloc $B$, ce
+qui n'est pas le cas de $x,x'$).
+\end{proof}
+
+\begin{exemples2}\label{exemples-groupes-de-permutations}
+\begin{itemize}
+\item Pour chaque $n\geq 1$, le groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$
+ tout entier est un groupe de permutations de degré $n$ : il est
+ $n$-transitif (et c'est manifestement le seul groupe de permutations
+ $n$-transitif de degré $n$) et, en particulier, primitif. Il n'est
+ pas régulier (dès que $n \geq 3$).
+\item Pour chaque $n\geq 1$, le groupe alterné $\mathfrak{A}_n$ est un
+ groupe de permutations de degré $n$ : il est $(n-2)$-transitif
+ si $n\geq 3$ et, en particulier, primitif si $n\geq 4$. Il n'est
+ pas régulier (dès que $n \geq 4$).
+\item L'action à gauche d'un groupe fini $G$ sur lui-même définit un
+ groupe de permutations régulier (de degré $\#G$, donc). Dès que $G$
+ admet un sous-groupe $U$ non-trivial (autrement dit, dès que $G$
+ n'est pas cyclique d'ordre premier), le système de blocs
+ $\mathscr{B} = \{gU : g\in G\}$ montre que ce groupe de permutations
+ n'est pas primitif (et réciproquement, si $G$ est cyclique d'ordre
+ premier, il est clair que l'action régulière est primitive).
+\item Si $U$ est un sous-groupe d'un groupe fini $G$, l'ensemble des
+ classes à gauche de $U$ dans $G$, sous l'action de $G$ par
+ multiplication à gauche, définit un groupe de permutations transitif
+ dont le degré est l'indice de $U$ dans $G$, dès lors que le cœur
+ normal de $U$, c'est-à-dire l'intersection $N = \bigcap_{\sigma\in
+ G} \sigma U \sigma^{-1}$ des conjugués de $U$, est trivial
+ (lorsque ce n'est pas le cas, $N$ est le noyau de l'action sur les
+ clases à gauche, et alors $G/N$ sera un groupe de permutations
+ transitif en opérant sur les classes à gauche de $U/N$). Autrement
+ dit, la donnée d'un groupe de permutations transitif équivaut à
+ celle de la donnée d'un groupe fini $G$ et d'une classe de
+ conjugaison de sous-groupes ne contenant aucun sous-groupe
+ distingué de $G$.
+\item Si $\FF$ est un corps fini, l'action du groupe $\PGL_2(\FF)$ sur
+ $\PP^1(\FF)$ est $3$-transitive (et, en particulier, primitive), car
+ trois points distincts quelconques de $\PP^1(\FF)$ peuvent être
+ envoyés sur $0,\infty,1$ par l'action d'un élément de $\PGL_2(\FF)$
+ (qui est alors uniquement déterminé). Par ailleurs, pour tout $n
+ \geq 2$, l'action de $\PGL_n(\FF)$ sur $\PP^{n-1}(\FF)$ est
+ $2$-transitive (car deux points distincts quelconques de
+ $\PP^{n-1}(\FF)$ peuvent être complétés en une base projective de ce
+ dernier, et $\PGL_n(\FF)$ opère de façon simplement transitive sur
+ ces dernières). \XXX donner une référence pour les définitions.
+\end{itemize}
+\end{exemples2}
+
+\begin{definition2}
+Si $\mathscr{B}$ est un système de blocs pour un groupe de
+permutations transitif $G$, l'action de $G$ sur $\mathscr{B}$ donnée
+par $\sigma B = \sigma(B)$
+(cf. \ref{remarques-idiotes-groupes-de-permutations}) est appelée
+l'\emph{action sur les blocs}, le noyau $N = \bigcap_{\sigma\in G}
+\sigma U \sigma^{-1}$, où $U = \Stab_G(B)$ est le stabilisateur d'un
+bloc quelconque, est appelé le \emph{groupe de base} de $G$ pour le
+système de blocs $\mathscr{B}$, et si $N = \{1\}$, on dit que le
+groupe de permutations $G$ est une \emph{inflation} du groupe de
+permutations (isomorphe à $G$ comme groupe abstrait) défini par
+l'action sur les blocs (l'hypothèse $N=\{1\}$ signifiant justement que
+cette action est fidèle).
+\end{definition2}
+
+\begin{proposition2}
+Soit $G$ un groupe de permutations transitif et $U$ le stabilisateur
+d'un point. Si $V$ est un sous-groupe quelconque de $U$, alors
+l'action de $G$ par multiplication à gauche sur les classes à gauche
+de $V$ est fidèle et transitive, et admet le système de blocs
+$\mathscr{B} = \{\{guV : u\in U\} : g\in G\}$ ; le groupe de
+permutations ainsi défini est une inflation de $G$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Le fait que l'action de $G$ sur les classes à gauche de $V$ soit
+transitive est trivial, et le fait qu'elle soit fidèle résulte du fait
+qu'elle l'est déjà pour $U$ (on a $\bigcap_{\sigma\in G} \sigma V
+\sigma^{-1} \subseteq \bigcap_{\sigma\in G} \sigma U \sigma^{-1}$).
+Si les ensembles $\{guV : u\in U\}$ et $\{g'uV : u\in U\}$
+s'intersectent, alors $guV = g'u'V$ pour certains $u,u'\in U$, auquel
+cas $gU = g'U$, et réciproquement lorsque $gU = g'U$ alors $\{guV :
+u\in U\} = \{g'uV : u\in U\}$ : l'ensemble $\mathscr{B}$ forme donc
+bien une partition de $G/V$, qui est visiblement un système de blocs,
+et le stabilisateur du bloc $\{uV : u\in U\}$ est $U$, ce qui montre
+tout ce qui était annoncé.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}\label{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal}
+Soit $G$ un groupe de permutations transitif et $V$ le stabilisateur
+d'un point. Alors $G$ est primitif si et seulement si $V$ est un
+sous-groupe maximal de $G$ (c'est-à-dire, qu'il n'existe pas de
+sous-groupe strictement compris entre $V$ et $G$ pour l'inclusion).
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Pour simplifier les notations, on peut supposer qu'on a affaire à
+l'action de $G$ sur les classes à gauche de $V$. Si $V$ n'est pas
+maximal et si $U$ est un sous-groupe strictement compris entre $V$
+et $G$, alors $\mathscr{B} = \{\{guV : u \in U\} : g\in G\}$ définit
+un système de blocs non-trivial (cf. la proposition précédente) qui
+montre que l'action de $G$ sur les classes à gauche de $V$ n'est pas
+primitive. Réciproquement, si $V$ est maximal et si $\mathscr{B}$ est
+un système de blocs, en appelant $U$ le stabilisateur du bloc
+contenant $V$, le sous-groupe $U$ contient $V$, donc doit être égal
+soit à $G$ soit à $V$, ce qui montre que le système de blocs est
+trivial (dans le premier cas $\#\mathscr{B} = 1$ et dans le second le
+bloc contenant $V$ ne contient que $V$).
+\end{proof}
+
+\begin{remarques2}
+Le groupe de Galois $\Gal(f)$ d'un polynôme séparable irréductible $f$
+(sur un corps $K$) opère transitivement sur les racines de $f$
+(\refext{CG}{action transitive de Galois si poly irréductible}), donc
+définit un groupe de permutations transitif de degré $\deg f$.
+
+Dans cette situation, la
+proposition \ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal}
+montre que $\Gal(f)$ est primitif (comme groupe de permutation des
+racines de $f$) si et seulement si l'extension de rupture $K(x) \bo K$
+définie par une racine $x$ quelconque de $f$ ne contient aucun corps
+intermédiaire entre $K$ et $K(x)$ (puisque la correspondance de Galois
+fait correspondre ce corps $K(x)$ au stabilisateur d'un point
+dans $\Gal(f)$). Dans le cas contraire, si $E$ est un corps
+intermédiaire entre $K$ et $K(x)$, le système de blocs défini par $E$
+est tel que le bloc contenant $x$ est $\{\sigma(x) : \sigma \in
+\Gal(\dec(f)/E)\}$.
+\end{remarques2}
+
+\begin{proposition2}\label{critere-primitivite-par-connexite}
+Soit $G$ un groupe de permutations transitif de degré $n$ et $X$
+l'ensemble des $n$ objets sur lesquels il opère. Alors $G$ est
+primitif si et seulement si pour chaque orbite $R$ de $G$ agissant sur
+l'ensemble $\mathscr{P}_2(X)$ des parties à deux éléments de $X$, le
+graphe $(X,R)$ (dont l'ensemble des sommets est $X$, deux sommets
+$x,y$ étant adjacents lorsque $\{x,y\} \in R$) est connexe.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Si $R$ est une orbite de $\mathscr{P}_2(X)$ sous l'action de $G$,
+considérons l'ensemble $\mathscr{B}$ des composantes connexes de $X$.
+Tout élément $\sigma \in G$ définit un automorphisme du graphe $(X,R)$
+(c'est-à-dire une permutation de $X$ préservant la relation
+d'adjacence) puisque si $\{x,y\} \in R$ on a $\{\sigma(x),\sigma(y)\}
+\in R$ vu que $R$ est une orbite : par conséquent, l'image par
+$\sigma$ d'une composante connexe de $(X,R)$ est encore une composante
+connexe de $(X,R)$ : ceci montre que $\mathscr{B}$ est un système de
+blocs pour $G$ (opérant sur $X$). Comme $R$ contient au moins une
+paire $\{x,y\}$, les blocs ne sont pas des singletons : ainsi, si
+$(X,R)$ a au moins deux composantes connexes, $G$ admet un système de
+blocs non trivial, et n'est donc pas primitif.
+
+Réciproquement, supposons maintenant qu'il existe un système de blocs
+$\mathscr{B}$ non trivial pour $G$. Soient $x,y \in X$ appartenant à
+un même bloc $B$ pour $\mathscr{B}$, et soit $R$ l'orbite de $\{x,y\}
+\in \mathscr{P}_2(X)$ sous l'action de $G$. Alors $R$ ne contient
+aucune paire $\{x,z\}$ avec $x\in B$ et $z\not\in B$ : c'est-à-dire
+que dans le graphe $(X,R)$, les sommets appartenant à $B$ ne sont
+jamais reliés aux autres sommets (et il en existe, vu que $B$ n'est
+pas le seul bloc) : ce graphe n'est donc pas trivial.
+\end{proof}
+
+Ce critère de primitivité est pratique car il s'avère souvent plus
+simple à appliquer que la définition ou la
+proposition \ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal}.
+
+\begin{exemple2}
+Le groupe $\mathfrak{S}_m$ opère primitivement sur les parties à $k$
+éléments de $\{1,\ldots,m\}$, sauf si $m=2k$ auquel cas il admet le
+système de blocs non trivial formé de toutes les façons de
+partitionner $m$ éléments en deux ensembles de $k$, mais il opère
+primitivement sur ces objets (blocs).
+
+En revanche, l'action de $\mathfrak{S}_m$ sur les $k$-uplets
+d'éléments distincts de $\{1,\ldots,m\}$, bien que transitive, n'est
+pas primitive : elle admet pour système de blocs non trivial la
+partition de $\{1,\ldots,m\}^k$ définie par la relation d'équivalence
+qui identifie deux $k$-uplets lorsque les ensembles à $k$ éléments
+qu'ils définissent sont les mêmes. (Cette action de $\mathfrak{S}_m$
+est donc une inflation de son action sur les parties à $k$ éléments.)
+\end{exemple2}
+\begin{proof}
+Si $x,y,x',y'$ sont des parties à $k$ éléments de $\{1,\ldots,m\}$, la
+condition pour qu'il existe $\sigma\in\mathfrak{S}_m$ tel que
+$\sigma(x)=x'$ et $\sigma(y)=y'$ est simplement que $\#(x\cap y) =
+\#(x'\cap y')$ (condition évidemment nécessaire, et suffisante car
+lorsque c'est le cas on peut choisir arbitrairement l'image des
+éléments de $x\cap y$, de $x\setminus y$, de $y\setminus x$ et de
+$\{1,\ldots,m\}\setminus(x\cup y)$ pour construire $\sigma$). Ainsi,
+les différents graphes considérés dans la
+proposition \ref{critere-primitivite-par-connexite} sont les graphes
+sur l'ensemble $\mathscr{P}_k(\{1,\ldots,m\})$ des parties à $k$
+éléments de $\{1,\ldots,m\}$ dans lesquels on a relié deux parties
+lorsque leur intersection est de cardinal $\ell$ (un paramètre du
+graphe, prenant les valeurs entre $0$ et $k-1$ incluses). On veut
+donc prouver que pour $k<\frac{1}{2}m$ (le cas $k>\frac{1}{2}m$ s'en
+déduisant par passage au complémentaire des parties considérées), ce
+graphe est connexe.
+
+Si $x \subset \{1,\ldots,m\}$ est une partie à $k$ éléments, et $i \in
+x$ et $j \not\in x$, on montre que $x$ est reliée à $x' := (x\setminus
+\{i\}) \cup \{j\}$ : en effet, en choisissant $\ell$ des $k-1$
+éléments de $x\setminus\{i\}$ et en les complétant arbitrairement avec
+$k-\ell$ éléments de l'ensemble $\{1,\ldots,m\} \setminus
+(x\cup\{j\})$ (de cardinal $m-k-1$), ce qui est possible car $m-2k-1
+\geq 0$, on obtient une partie $y$ de $\{1,\ldots,m\}$ qui est
+d'intersection $\ell$ avec $x$ aussi bien qu'avec $x'$, ce qui montre
+que $x$ et $x'$ sont reliés dans le graphe considéré. Il est alors
+évident qu'en remplaçant un par un tous les éléments de $x$ souhaités
+par d'autres, on peut relier deux parties quelconques.
+
+Pour $m=2k$, un raisonnement analogue amène à considérer les graphes
+dont les sommets sont l'ensemble des manières de partitionner
+$\{1,\ldots,m\}$ en deux parties de cardinal $k$, deux telles
+partitions $\{u,\hat u\}$ et $\{v,\hat v\}$ étant reliées par une
+arête lorsque $\#(u\cap v) \in \{\ell,k-\ell\}$ (où $\ell$ est, de
+nouveau, un paramètre du graphe, prenant les valeurs entre $1$ et
+$k-1$ incluses). Si $\{u,\hat u\}$ est une telle partition et $i \in
+u$ et $j \in \hat u$, on veut montrer que $\{u,\hat u\}$ est relié à
+$\{u',\hat u'\}$ où $u' = (u\setminus\{i\})\cup\{j\}$ et $\hat u' =
+(\hat u\setminus\{j\})\cup\{i\}$ est son complémentaire ; en
+choisissant $\ell$ des $k-1$ éléments de $u\setminus\{i\}$ et en les
+complétant arbitrairement avec $k-\ell$ éléments de l'ensemble $\hat
+u\setminus\{j\}$ (de cardinal $m-k-1$), ce qui est possible car
+$m-2k+\ell-1 = \ell-1 \geq 0$, on obtient une partie $v$ de
+$\{1,\ldots,m\}$ qui est d'intersection $\ell$ avec $u$ aussi bien
+qu'avec $u'$, ce qui montre que $\{u,\hat u\}$ et $\{u',\hat u'\}$
+sont reliés dans le graphe considéré, et de nouveau il est alors clair
+que le graphe est connexe.
+\end{proof}
+
+\begin{remarques2}
+Ceci signifie (compte tenu
+de \ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal})
+que pour tout $k$, le stabilisateur d'une partie à $k$ éléments de
+$\{1,\ldots,m\}$ est un sous-groupe maximal de $\mathfrak{S}_m$, sauf
+lorsque $k = \frac{1}{2}m$ auquel cas il faut le remplacer par le
+stabilisateur d'une partition de $\{1,\ldots,m\}$ en deux parties de
+$k$ éléments. Il faut se garder de croire qu'on a ainsi construit
+tous les sous-groupes maximaux de $\mathfrak{S}_m$ (autres que
+$\mathfrak{A}_m$) : par exemple, pour $m=5$, les sous-groupes maximaux
+de $\mathfrak{S}_5$ sont, outre $\mathfrak{A}_5$, le stabilisateur
+d'un point (définissant l'action primitive de $\mathfrak{S}_5$
+naturelle sur cinq objets) et celui d'une partie à deux éléments
+(définissant l'action primitive de $\mathfrak{S}_5$ les parties à deux
+éléments des cinq objets naturels), mais aussi les conjugués du
+sous-groupe à $20$ éléments donné par toutes les applications affines
+$t \mapsto at+b$ (pour $a \in (\ZZ/5\ZZ)^\times$ et $b \in \ZZ/5\ZZ$)
+de $\{1,\ldots,5\}$ vu comme $\ZZ/5\ZZ$ --- ceci définissant l'action
+de $\mathfrak{S}_5$ sur les $6$ façons de considérer $\{1,\ldots,5\}$
+comme une droite affine sur $\FF_5$.
+\end{remarques2}
+
+\subsection{Groupes de permutations primitifs}
+
+Dans cette section, $G$ désignera généralement un groupe de
+permutations primitif (cf. \ref{definitions-groupes-de-permutations}),
+et $U$ le stabilisateur d'un point
+(d'après \ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal},
+il s'agit donc d'un sous-groupe maximal de $G$ ne contenant aucun
+sous-groupe distingué de $G$).
+
+Commençons par éclaircir certaines propriétés générales des groupes de
+permutations :
+
+\begin{proposition2}\label{sous-groupe-distingue-d-un-primitif-est-transitif}
+Si $G$ est un groupe de permutations primitif et $N \unlhd G$ un
+sous-groupe distingué autre que $\{1\}$, alors $N$ est transitif
+(comme groupe de permutations), et $NU = G$ où on a noté $U$ le
+stabilisateur d'un point dans $G$ (et $NU = \{nu : n \in N, u\in
+U\}$).
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Notons $U$ le stabilisateur d'un point dans $G$ : comme $G$ est
+primitif, il s'agit d'un sous-groupe maximal.
+
+Il s'agit de montrer que pour tout $g$, la classe à gauche $gU$ peut
+aussi s'écrire $nU$ avec $n \in N$. Remarquons que $NU = UN$ (en
+effet, si $n \in N$ et $u \in U$ alors $un \in uN = Nu$ peut aussi
+s'écrire $un'$ pour un certain $n'\in N$, ce qui montre $NU = UN$), et
+ceci est donc un sous-groupe de $G$ (le sous-groupe engendré par $U$
+et $N$). Par maximalité de $U$, on a donc soit $NU \leq U$ soit $NU =
+G$. Le premier cas signifie $N \leq U$, ce qui ne peut pas se
+produire car $U$ ne contient aucun sous-groupe distingué (puisqu'il
+s'agit du stabilisateur d'un point dans une action fidèle). Le second
+cas permet d'écrire tout $g \in G$ comme $g = nu$ avec $n \in N$ et
+$u \in U$, auquel cas $gU = nuU = nU$, comme on le voulait.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}\label{centralisateur-d-un-sous-groupe-distingue-dans-un-groupe-primitif}
+Soit $G$ est un groupe de permutations primitif et $N \unlhd G$ un
+sous-groupe distingué autre que $\{1\}$ : alors son centralisateur
+$C_G(N) := \{g\in G : (\forall n\in N) gng^{-1} = n\}$ vérifie soit
+$C_G(N) = \{1\}$ soit $C_G(N)$ est régulier (comme groupe de
+permutations).
+
+En particulier, $\#C_G(N)$ est égal au nombre de points sur lesquels
+$G$ opère (c'est-à-dire $(G:U)$ si $U$ est le stabilisateur d'un
+point).
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Le sous-groupe $C_G(N)$ est lui-même distingué. Supposons
+$C_G(N) \neq \{1\}$. Alors la proposition précédente montre que $N$
+et $C_G(N)$ sont transitifs. L'ensemble des points fixes d'un élément
+de $C_G(N)$ est stable par $N$ : mais comme $N$ est transitif, ceci ne
+peut se produire que si cet ensemble est vide ou plein. On a donc
+prouvé que $C_G(N)$ opère transitivement et sans point fixe
+non-trivial, c'est-à-dire qu'il est régulier.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}\label{sous-groupes-distingues-commutant-dans-un-groupe-primitif}
+Soit $G$ un groupe de permutations primitif, et soient $N_1,N_2 \unlhd
+G$ deux sous-groupes distingués de $G$ autres que $\{1\}$ tels que
+tout élément de $N_1$ commute avec tout élément de $N_2$ (soit
+$N_2 \leq C_G(N_1)$). Alors $N_2$ est exactement le centralisateur
+$C_G(N_1)$ de $N_1$ (et vice versa).
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Les deux propositions précédentes montrent que $N_2$ est transitif et
+que $C_G(N_1)$ est régulier. Mais $N_2 \leq C_G(N_1)$, et le seul
+d'un groupe de permutations régulier qui soit transitif est le groupe
+tout entier, donc $N_2 = C_G(N_1)$.
+\end{proof}
+
+Pour aller plus loin dans l'analyse, on va examiner certaines des
+propriétés des sous-groupes distingués minimaux d'un groupe fini $G$ :
+autrement dit, les sous-groupes distingués autres que $\{1\}$ et qui
+ne contiennent pas d'autre sous-groupe distingué (du groupe $G$ tout
+entier) que $\{1\}$ et eux-mêmes. Dans les quelques énoncés suivants,
+$G$ n'est plus nécessairement un groupe de permutations.
+
+\begin{proposition2}\label{sous-groupes-distingues-minimaux-commutent}
+Soit $G$ un groupe fini et $N_1$ et $N_2$ deux sous-groupes distingués
+minimaux distincts de $G$. Alors $N_1 \cap N_2 = \{1\}$ et tout
+élément de $N_1$ commute avec tout élément de $N_2$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Le sous-groupe $N_1 \cap N_2$ est distingué dans $G$, et par
+minimalité de $N_1$ ou de $N_2$ il doit donc être égal à $\{1\}$.
+Mais tout commutateur $n_1 n_2 n_1^{-1} n_2^{-1}$ d'un élément $n_1$
+de $N_1$ et d'un élément $n_2$ de $N_2$ appartient à $N_1 \cap N_2$,
+donc vaut $1$, ce qu'on voulait prouver.
+\end{proof}
+
+En particulier, dans le contexte de cette proposition, on a $N_1 N_2 =
+N_1 \times N_2$. Plus généralement :
+
+\begin{lemme2}\label{sous-groupes-distingues-minimaux-sont-en-produit-direct}
+Soient $N_1,\ldots,N_\ell$ des sous-groupes distingués minimaux d'un
+groupe fini $G$. Alors il existe
+$i_1,\ldots,i_r \in \{1,\ldots,\ell\}$ (et on peut choisir $i_1$
+arbitrairement et $i_2$ arbitrairement dès que $N_{i_2} \neq N_{i_1}$)
+tels que $N_{i_1},\ldots,N_{i_r}$ soient en produit direct dans $G$
+(c'est-à-dire que le groupe qu'ils engendrent soit le produit direct)
+et que chacun des $N_i$ soit inclus dans ce produit direct.
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+On construit par récurrence une suite $i_1, i_2, \ldots, i_r$, de
+sorte que $N_{i_1},\ldots,N_{i_r}$ soient en produit direct de la
+façon suivante. On peut choisir $i_1$ arbitrairement, et $i_2$ de
+sorte que $N_{i_1}$ et $N_{i_2}$ soient distincts.
+
+Supposant les $n_j$ pour $j<t$ déjà connus, s'il existe $i$ tel que
+$N_i$ ne soit pas contenu dans $N_{i_1} \cdots N_{i_{t-1}}$ (qui est
+un produit direct), on définit $i_t$ comme ce $i$, sinon on arrête la
+récurrence. Comme tout élément de $N_{i_t}$ commute à tous les
+éléments de $N_{i_j}$ pour $j<i$ (d'après la proposition précédente),
+il commute à tous les éléments du produit $N_{i_1} \cdots
+N_{i_{t-1}}$ ; comme de plus $N_{i_t}$ n'est pas inclus dans
+$N_{i_1} \cdots N_{i_{t-1}}$ et qu'il est minimal, on a $N_{i_i} \cap
+N_{i_1} \cdots N_{i_{t-1}} = \{1\}$ (car c'est un sous-groupe
+distingué de $G$ strictement inclus dans $N_{i_t}$). Donc
+$N_{i_1} \cdots N_{i_t}$ sont encore en produit direct, ce qui
+justifie de continuer la récurrence.
+
+Une fois construits $N_{i_1},\ldots,N_{i_r}$, on voit que leur produit
+(qui est direct par la récurrence faite) contient chacun des $N_i$,
+sans quoi on aurait continué la récurrence.
+\end{proof}
+
+On rappelle qu'un sous-groupe $K$ d'un groupe $G$ est
+dit \emph{caractéristique} lorsque $K$ est laissé stable par tout
+automorphisme de $G$ (en particulier, $K$ est laissé stable par les
+automorphismes intérieurs, c'est-à-dire qu'il est distingué dans $G$).
+
+\begin{proposition2}\label{caracteristique-dans-normal-est-normal}
+Si $K$ est un sous-groupe caractéristique de $N$ qui est lui-même un
+sous-groupe distingué d'un groupe $G$, alors $K$ est un sous-groupe
+distingué de $G$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Pour tout $g \in G$, l'automorphisme intérieur $x \mapsto gxg^{-1}$
+défini par $g$ laisse $N$ stable, donc définit un automorphisme
+de $N$, qui n'est plus nécessairement intérieur mais qui doit
+néanmoins laisser $K$ stable, c'est-à-dire $gKg^{-1} = K$, ce qui
+montre que $K \unlhd G$.
+\end{proof}
+
+On dit qu'un groupe $G$ est \emph{caractéristiquement simple} lorsque
+tout sous-groupe caractéristique de $G$ est égal à $\{1\}$ ou $G$.
+
+\begin{proposition2}\label{structure-groupes-caracteristiquement-simples}
+Si $G$ est un groupe fini caractéristiquement simple, alors $G$ est
+isomorphe à un produit $H^r$ de copies d'un groupe simple $H$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Soit $H$ un sous-groupe distingué minimal de $G$. Pour tout
+automorphisme $\varphi$ de $H$, le sous-groupe $\varphi(H)$ est lui
+aussi distingué minimal. Appliquant le
+lemme \ref{sous-groupes-distingues-minimaux-sont-en-produit-direct} à
+l'ensemble de tous les $\varphi(H)$ pour $\varphi$ un automorphisme
+de $G$, on en déduit qu'il existe $\varphi_1,\ldots,\varphi_r$ de tels
+automorphismes (et on peut prendre $\varphi_1 = \Id_G$, ce qu'on fera)
+de sorte que $\varphi_1(H),\ldots,\varphi_r(H)$ soient en produit
+direct et que ce produit direct contienne $\varphi(H)$ pour tout
+automorphisme $\varphi$ de $G$. Par conséquent, ce produit est stable
+par tout automorphisme de $G$, et comme $G$ a été supposé
+caractéristiquement simple, on a $\varphi_1(H)\cdots\varphi_r(H) = G$,
+c'est-à-dire $G \cong H^r$.
+
+Enfin, $H$ est simple : en effet, si $N$ en est un sous-groupe
+distingué, $N$ est encore un sous-groupe distingué de $H^r \cong G$,
+et par minimalité de $H$, on a $N=\{1\}$ ou $N=H$.
+\end{proof}
+
+\begin{corollaire2}\label{structure-sous-groupes-distingues-minimaux}
+Si $N$ est un sous-groupe distingué minimal d'un groupe fini $G$,
+alors $N$ est isomorphe à un produit $H^r$ de copies d'un groupe
+simple $H$.
+\end{corollaire2}
+\begin{proof}
+La proposition \ref{caracteristique-dans-normal-est-normal} montre que
+$N$ est caractéristiquement simple, et la
+proposition \ref{structure-groupes-caracteristiquement-simples}
+s'applique alors.
+\end{proof}
+
+\begin{definition2}
+Le \emph{socle} d'un groupe fini $G$ est le produit de ses
+sous-groupes distingués minimaux (il est évidemment distingué
+dans $G$ ; d'après le
+lemme \ref{sous-groupes-distingues-minimaux-sont-en-produit-direct},
+il s'agit du produit direct de certains d'entre eux ; et d'après la
+proposition \ref{structure-sous-groupes-distingues-minimaux}, il
+s'agit d'un produit direct de sous-groupes simples de $G$).
+\end{definition2}
+
+En revenant au cas d'un groupe de permutations primitif, on peut
+affirmer :
+\begin{proposition2}\label{dichotomie-socle-d-un-groupe-primitif}
+Soit $G \neq \{1\}$ un groupe de permutations primitif. Alors soit
+$G$ a un unique sous-groupe distingué minimal (qui est alors le socle
+de $G$), soit $G$ a exactement deux sous-groupes distingués minimaux,
+chacun égal au centralisateur de l'autre, et ils sont isomorphes et
+non-abéliens (et le socle de $G$ est alors leur produit direct).
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+D'après la
+proposition \ref{sous-groupes-distingues-minimaux-commutent} et la
+proposition \ref{sous-groupes-distingues-commutant-dans-un-groupe-primitif},
+si $G$ a deux sous-groupes distingués minimaux distincts $N_1,N_2$,
+chacun est le centralisateur de l'autre, et il y en a donc exactement
+deux. Comme ces sous-groupes ne contiennent pas leur centralisateur,
+ils ne sont pas abéliens.
+
+Reste à montrer que $N_1 \cong N_2$. On sait
+d'après \ref{centralisateur-d-un-sous-groupe-distingue-dans-un-groupe-primitif}
+que $N_1,N_2$ sont tous deux réguliers. On définit alors un morphisme
+$\varphi\colon N_1 \to N_2$ de la façon suivante : une fois fixé
+arbitrairement un point $x_0$ (de l'ensemble sur lequel $G$ opère
+naturellement), si $n_1 \in N_1$, comme $N_2$ est régulier, il existe
+un unique $n_2 \in N_2$ tel que $n_2 x_0 = n_1 x_0$, et on pose
+$\varphi(n_1) = n_2$. Il est facile de vérifier que $\varphi$ est
+bien un morphisme, et même un isomorphisme.
+\end{proof}
+
+\subsection{Construction de quelques actions primitives}
+
+Nous allons définir et décrire quelques actions de groupes importantes
+qui, dans certains cas, seront primitives, et qui constitueront les
+classes énumérées par le théorème de O'Nan-Scott.
+
+\subsubsection{Groupes de permutations de type affine}\label{groupe-de-permutations-type-affine} Soit $V
+= \FF_p^d$ un espace vectoriel de dimension finie $d\geq 1$ sur un
+corps fini premier $\mathbb{F}_p$, et notons $\AGL(V) = \AGL_d(\FF_p)$
+le groupe affine $V$, c'est-à-dire le produit semi-direct
+$V \rtimes \GL(V)$ du groupe linéaire $\GL(V) = \GL_d(\FF_p)$ de cet
+espace vectoriel par $V$ lui-même vu comme groupe des translations (et
+sur lequel $\GL(V)$ opère naturellement). Plus généralement, si
+$G_0 \leq \GL(V)$ est un sous-groupe quelconque de $\GL(V)$
+(c'est-à-dire un groupe opérant linéairement sur $V$), on peut
+construire le produit semi-direct $G = V \rtimes G_0$, et tout
+sous-groupe $G$ tel que $V \leq G \leq \AGL(V)$ peut s'écrire sous
+cette forme avec $G_0$ le stabilisateur de $0 \in V$. Un groupe de
+permutations isomorphe (en tant que groupe opérant sur un ensemble) à
+un tel $G$ opérant sur $V$ s'appelle \emph{groupe de permutations de
+type affine}. Le groupe $G$ (opérant sur $V$) est toujours transitif,
+et il est primitif précisément lorsque $V$ est irréductible sous
+l'action de $G_0$, c'est-à-dire lorsque $V$ ne possède pas de
+sous-espace stable par $G_0$ autre que $\{0\}$ et $V$ (en effet, si
+$G$ admet un système de blocs, le bloc contenant $0$ est un
+sous-espace vectoriel de $V$ puisque toute translation doit l'envoyer
+sur un autre bloc, et il est alors stable par $G_0$ ; et
+réciproquement, si $W$ est un sous-espace vectoriel de $V$ stable
+par $G_0$, l'ensemble des translatés de $W$ constitue un sytème de
+blocs) ; ceci équivaut encore au fait que le sous-groupe distingué $V$
+de $G$ soit un sous-groupe distingué minimal (puisqu'un sous-groupe de
+$V$ est distingué dans $G$ précisément à condition qu'il soit stable
+par $G_0$).
+
+Dans cette situation (où $V$ est suppposé irréductible sous $G_0$,
+c'est-à-dire $G$ primitif), d'après la
+proposition \ref{dichotomie-socle-d-un-groupe-primitif}, on peut alors
+affirmer que $V$ est l'unique sous-groupe distingué minimal de $G$, et
+il est donc son socle. On verra dans le cadre du théorème de
+O'Nan-Scott que cette situation est la seule pour laquelle un groupe
+de permutations primitif possède un socle abélien (i.e., il est
+automatiquement de type affine). Par ailleurs, dans cette situation,
+le socle est régulier ($V$ opère sur lui-même par translation).
+
+\subsubsection{Groupes de permutations de type diagonal}\label{groupe-de-permutations-type-diagonal} La
+construction qui va suivre, plus délicate que la précédente, possède
+néanmoins quelques similarités. On peut l'imaginer intuitivement en
+pensant que l'ensemble $\Omega$ ci-dessous est une sorte d'analogue de
+l'espace projectif de dimension $r-1$ sur un groupe $T$ non-abélien :
+il s'agit de $T^r$ quotienté par l'action à droite de $T$ (sur toutes
+les composantes), qu'on va munir d'une action à gauche de $T^r \cdot
+(\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$.
+
+Soit $T$ un groupe simple non-abélien, et $r\geq 2$. On considère
+l'action sur $\Xi := T^r$ des trois groupes suivants : (a) $T^r$
+lui-même, par multiplication à gauche (donc régulièrement), (b) le
+groupe symétrique $\mathfrak{S}_r$, opérant par permutation sur les
+coordonnées, et (c) le groupe $\Aut(T)$ des automorphismes de $T$,
+opérant de la même façon sur toutes les coordonnées. Notons que les
+actions de $\mathfrak{S}_r$ et $\Aut(T)$ sur $T^r$ commutent. Les
+trois actions en question engendrent (en tant que sous-groupes de
+$\mathfrak{S}(\Xi)$) une action sur $\Xi$ de $T^r \rtimes
+(\mathfrak{S}_r \times \Aut(T))$.
+
+Cette action n'est pas primitive : elle possède au moins le système de
+blocs $\Omega$ constitué des ensembles $\{(v_1 t, \ldots, v_r t) : t
+\in T\}$ (pour $v_1,\ldots,v_r \in T$), c'est-à-dire que $\Omega$ est
+l'ensemble des classes à gauche $(v_1,\ldots,v_r)\Delta$ de la
+diagonale $\Delta := \{(t, \ldots, t) : t \in T\}$ dans $T^r$.
+L'action de $T^r \rtimes (\mathfrak{S}_r \times \Aut(T))$ sur les
+blocs n'est plus fidèle : si $\upsilon \in \Aut(T)$ est
+l'automorphisme intérieur $x \mapsto u x u^{-1}$, alors $\upsilon$
+agit sur le bloc $(v_1,\ldots,v_r)\Delta$ de la même manière que
+$(u,\ldots,u)$. Autrement dit, le sous-groupe de $T^r \rtimes
+(\mathfrak{S}_r \times \Aut(T))$ formé des $(u^{-1},\ldots,u^{-1})
+\upsilon$ pour $\upsilon\colon x\mapsto uxu^{-1} \in \Int(T)$, opère
+trivialement sur $\Omega$. Notons $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times
+\Out(T))$ le quotient de $T^r \rtimes (\mathfrak{S}_r \times \Aut(T))$
+par ce sous-groupe (la notation rappelle que ce groupe a un
+sous-groupe distingué qu'on identifiera à $T^r$, le quotient par lequel est
+$\mathfrak{S}_r \times \Out(T)$, où $\Out(T) = \Aut(T) / \Int(T)$ est
+le groupe des automorphismes modulo les automorphismes intérieurs).
+L'action de $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$ sur $\Omega$
+est maintenant fidèle (on voit facilement qu'un élément qui opèrerait
+trivialement devrait avoir une composante triviale dans
+$\mathfrak{S}_r$ en la faisant agir sur $(1,\ldots,1,v,1,\ldots,1)$,
+puis dans $\Out(T)$, et enfin devrait être l'élément neutre) : ceci
+permet de considérer $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$ comme
+le groupe des permutations de $\Omega$ engendré par (a) l'action de
+$T^r$ par translation à gauche, (b) l'action de $\mathfrak{S}_r$ par
+permutation des coordonnées, et (c) l'action de $\Aut(T)$ (sachant que
+celle de $\Int(T)$ est déjà incluse grâce à (a)) opérant de la même
+façon sur toutes les coordonnées.
+
+Si $G$ est n'importe quel sous-groupe tel que $T^r \leq G \leq T^r
+\cdot (\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$, alors l'action de $G$ est
+transitive (puisque déjà celle de $T^r$ l'est, par définition même
+de $\Omega$). Remarquons que la donnée de $G$ est équivalente à celle
+de son image $G_0$ dans $\mathfrak{S}_r \times \Out(T)$. Un groupe de
+permutations isomorphe (en tant que groupe opérant sur un ensemble) à
+un tel $G$ opérant sur $\Omega$ s'appelle \emph{groupe de permutations
+ de type diagonal}.
+
+Le stabilisateur dans $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$ de
+$\Delta$ en tant que point de $\Omega$ est l'image dans $T^r \cdot
+(\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$ de son stabilisateur en tant que
+partie de $\Xi$, qui vaut $T \rtimes (\mathfrak{S}_r \times \Aut(T))$
+avec l'action triviale de $\mathfrak{S}_r$ sur $T$, c'est-à-dire
+$\mathfrak{S}_r \times (T\rtimes\Aut(T))$ ; l'image de ce sous-groupe
+dans $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$ est donc
+$\mathfrak{S}_r \times \Aut(T)$. Par conséquent, le stabilisateur de
+$\Delta \in \Omega$ sous l'action de $G$ est l'image réciproque
+$\tilde G_0 \leq \mathfrak{S}_r \times \Aut(T)$ de l'image $G_0 \leq
+\mathfrak{S}_r \times \Out(T)$ de $G$.
+
+\begin{proposition2}
+Avec les notations qui précèdent (i.e., $T$ est un groupe simple
+non-abélien, $T^r \leq G \leq T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times
+\Out(T))$ opérant sur l'ensemble $\Omega$ des classes à gauche de la
+diagonale dans $T^r$), le groupe de permutations $G$ est primitif si
+et seulement si $r=2$ \emph{ou} l'image de $G$ (c'est-à-dire, de
+$G_0$) dans $\mathfrak{S}_r$ est primitive.
+
+Dans les deux cas (où $G$ est primitif), le socle de $G$ est $T^r$ (et
+en particulier, il n'est pas régulier). Plus précisément si l'image
+de $G$ dans $\mathfrak{S}_r$ n'est pas primitive, $T^r$ est l'unique
+sous-groupe distingué minimal de $G$ (c'est donc le socle de $G$) ;
+dans le cas contraire ($r=2$ et l'image de $G$ dans $\mathfrak{S}_2$
+est triviale), $G$ a deux sous-groupes distingués minimaux distincts,
+à savoir $T \times 1$ et $1 \times T$ (et le socle de $G$ vaut donc de
+nouveau $T^r$).
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Soit $S$ l'image de $G$ dans $\mathfrak{S}_r$. Montrons dans un
+premier temps que $r > 2$ et que $S$ n'est pas primitif
+sur $\{1,\ldots,r\}$, alors $G$ ne l'est pas sur $\Omega$. Soit
+$\mathscr{S}$ un système de blocs non-trivial pour $S$, qu'on
+considérera comme une relation d'équivalence $\equiv_{\mathscr{S}}$
+sur $\{1,\ldots,r\}$. Considérons la relation d'équivalence
+$\equiv_{\mathscr{B}}$ sur $\Omega$ définie par
+$(v_1,\ldots,v_r)\Delta \mathrel{\equiv_{\mathscr{B}}}
+(v'_1,\ldots,v'_r)\Delta$ si et seulement si $v_i v_j^{-1} = v'_i
+{v'_j}^{-1}$ pour tous $i,j$ tels que $i \mathrel{\equiv_{\mathscr{S}}}
+j$ (il est clair que cette relation est bien définie, c'est-à-dire que
+$v_i v_j^{-1}$ ne dépend que de $(v_1,\ldots,v_r)\Delta$). Cette
+relation d'équivalence est préservée par (a) l'action de $T^r$ par
+translation à gauche, (b) l'action de $S$ par permutation des
+coordonnées, et (c) l'action de $\Aut(T)$ opérant de la même façon sur
+toutes les coordonnées : elle est donc préservée par $G$. Il est
+clair que $\equiv_{\mathscr{B}}$ est non-triviale car
+$\equiv_{\mathscr{S}}$ l'est. L'ensemble $\mathscr{B}$ des classes
+d'équivalences définit un système de blocs pour $G$ (dans $\Omega$),
+ce qui montre que $G$ n'est pas primitif.
+
+Supposons réciproquement que $G$ n'est pas primitif, et soit
+$\mathscr{B}$ un système de blocs non-trivial pour $G$ agissant
+sur $\Omega$. Considérons l'ensemble des $r$-uplets
+$(v_1,\ldots,v_r)$ tels que $(v_1,\ldots,v_r)\Delta$ appartienne au
+même bloc de $\mathscr{B}$ que $\Delta$ (autrement dit, le
+stabilisateur du bloc de $\Delta$ pour l'action de $T^r$) : il s'agit
+d'un sous-groupe $M$ de $T^r$, contenant la diagonale. Pour chaque
+$i$, soit $M_i$ le sous-groupe de $M$ formé des éléments
+$(v_1,\ldots,v_r)$ de $M$ tels que $v_i = 1$. On définit une relation
+d'équivalence $\equiv_{\mathscr{S}}$ sur $\{1,\ldots,r\}$ par
+$i \mathrel{\equiv_{\mathscr{S}}} j$ lorsque $M_i = M_j$ (en tant que
+sous-groupes de $M$).
+
+Montrons que $\equiv_{\mathscr{S}}$ est préservée par $S$. Si $\sigma
+\in S$, il existe $\lambda \in \Aut(T)$ tel que $(\sigma,\lambda)$
+appartienne à l'image réciproque $\tilde G_0 \leq \mathfrak{S}_r
+\times \Aut(T)$ de l'image $G_0 \leq \mathfrak{S}_r \times \Out(T)$
+de $G$ ; c'est encore dire que la permutation $(v_1,\ldots,v_r)\Delta
+\mapsto (\lambda(v_{\sigma^{-1}(1)}), \ldots,
+\lambda(v_{\sigma^{-1}(r)}))\Delta$ de $\Omega$ appartient à $G$.
+Supposons $M_i = M_j$. Si $(v_1,\ldots,v_r) \in M$ appartient à
+$M_{\sigma^{-1}(i)}$, c'est-à-dire $v_{\sigma^{-1}(i)} = 1$, alors
+$(\lambda(v_{\sigma^{-1}(1)}), \ldots, \lambda(v_{\sigma^{-1}(r)}))$
+appartient à $M_i$, c'est-à-dire à $M_j$, donc $v_{\sigma^{-1}(j)} =
+1$, autrement dit $(v_1,\ldots,v_r) \in M_{\sigma^{-1}(j)}$. On a
+donc prouvé $M_{\sigma^{-1}(i)} = M_{\sigma^{-1}(j)}$ : ceci montre
+bien que $\equiv_{\mathscr{S}}$ est préservée par $S$.
+
+Reste à vérifier que $\equiv_{\mathscr{S}}$ n'est pas triviale. Si
+tous les $M_i$ sont égaux, cela signifie que lorsque $(v_1,\ldots,v_r)
+\in M$ on a $v_i = 1$ pour un $i$ exactement lorsque $v_i = 1$ pour
+tout $i$ : mais quitte à diviser à droite par l'élément diagonal
+$(v_i,\ldots,v_i)$ (on rappelle que $M$ contient la diagonale), on
+voit que cela implique que $M$ est réduit à la diagonale, et les blocs
+de $\mathscr{B}$ sont des singletons. À l'inverse, si tous les $M_i$
+sont distincts, le lemme \ref{lemme-a-la-con-sous-groupes-de-produits}
+permet de conclure que $M = T^r$ et l'unique bloc de $\mathscr{B}$ est
+$\Omega$ tout entier.
+
+Reste la dernière affirmation. Si $N$ est un sous-groupe distingué
+minimal de $G$, alors en particulier $N$ est distingué dans $T^r$, et
+le lemme \ref{lemme-a-la-con-sous-groupes-distingues-de-produits}
+montre qu'on peut l'écrire $N_1\times \cdots \times N_r$, où chaque
+$N_i$ vaut soit $1$ soit $T$ : si $S$ est transitif (notamment si $S$
+est primitif), on doit avoir $N_1=\ldots=N_r$, ce qui montre que $T^r$
+est l'unique sous-groupe distingué minimal de $G$ ; si $S$ est
+trivial, en revanche (et automatiquement $r=2$), $T\times 1$ et
+$1\times T$ sont les sous-groupes distingués minimaux de $G$.
+\end{proof}
+
+\begin{lemme2}\label{lemme-a-la-con-sous-groupes-distingues-de-produits}
+Soit $T$ un groupe simple fini non abélien. Alors tout sous-groupe
+distingué $N$ de $T^r$ est de la forme $N_1\times \cdots \times N_r$,
+où chaque $N_i$ vaut soit $1$ soit $T$. En particulier, les
+sous-groupes distingués minimaux de $T^r$ sont les $T_i :=
+1\times\cdots\times 1 \times T \times 1 \times \cdots \times 1$, et
+les seuls sous-groupes distingués maximaux sont les
+$T\times\cdots\times T \times 1 \times T \times\cdots\times T$.
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+On procède par récurrence sur $r$. Considérons l'image $\pi_r(N)$ de
+$N$ par la projection $\pi_r$ sur la dernière coordonnée : si
+$\pi_r(N) = 1$, on peut identifier $N$ à son image dans $T^{r-1}$ (par
+la projection sur les $r-1$ premières coordonnées) et l'hypothèse
+récurrence permet immédiatement de conclure. Dans le second cas, il
+existe $(t_1,\ldots,t_r) \in N$ tel que $t_r \neq 1$. On a alors
+aussi $(t_1,\ldots,xt_r x^{-1}) \in N$ pour tout $x \in T$ puisque $N$
+est distingué, donc $(1,\ldots,1, xt_r x^{-1}t_r^{-1}) \in N$. Comme
+$T$ n'est pas abélien, ceci prouve qu'il existe $z\in T$ différent
+de $1$ tel que $(1,\ldots,1,z) \in N$. L'ensemble des $z \in T$ tels
+que $(1,\ldots,1,z) \in N$ est un sous-groupe de $T$, manifestement
+distingué, dont on vient de voir qu'il n'est pas réduit à $1$ : c'est
+donc $T$ tout entier, et on vient de prouver que $(1,\ldots,1,z) \in
+N$ pour tout $z \in T$. Ceci prouve que le morphisme $\pi_r \colon N
+\to T$ a une section ; et si on note $N' = \{(t_1,\ldots,t_r)\in N :
+t_r = 1\}$ le noyau de $\pi_r$, qui est manifestement distingué
+dans $T^r$ et peut s'identifier à un sous-groupe distingué de
+$T^{r-1}$, l'hypothèse de récurrence montre que $N'$ s'écrit sous la
+forme $N_1\times \cdots \times N_{r-1}$ avec chaque $N_i$ valant $1$
+ou $T$. Comme la suite exacte courte $1\to N' \to N
+\buildrel\pi_r\over\to T \to 1$ est scindée d'après ce qu'on a dit, on
+a $N = N_1\times \cdots \times N_{r-1} \times T$, ce qui conclut.
+\end{proof}
+
+\begin{lemme2}\label{lemme-a-la-con-sous-groupes-de-produits}
+Soit $T$ un groupe simple fini non abélien, et $M$ un sous-groupe de
+$T^r$, contenant le sous-groupe diagonal $\{(t,\ldots,t) : t\in T\}$.
+Soit $M_i$ le sous-groupe de $M$ formé des éléments $(t_1,\ldots,t_r)$
+de $M$ tels que $t_i = 1$. Si les $M_i$ sont deux à deux distincts,
+alors $M = T^r$.
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+On procède par récurrence sur $r$. Considérons l'image $M^*$ de $M$
+par la projection sur les $r-1$ premières coordonnées (identifiée à un
+sous-groupe de $T^{r-1}$) : manifestement, $M^*$ contient le
+sous-groupe diagonal de $T^{r-1}$, et si $M_i^*$ (pour $1\leq i\leq
+r-1$) désigne le sous-groupe de $M^*$ formé des éléments
+$(t_1,\ldots,t_{r-1})$ de $M^*$ tels que $t_i = 1$, il s'agit bien de
+l'image de $M_i$ sur $T^{r-1}$ par les premières coordonnées. De
+plus, si on avait $M_i^* = M_j^*$ alors on aurait $M_i = M_j$ (car
+tout $(t_1,\ldots,t_r) \in M$ tel que $t_i = 1$ vérifierait
+$(t_1,\ldots,t_{r-1}) \in M_i^* = M_j^*$ donc $t_j = 1$). L'hypothèse
+de récurrence s'applique donc et assure $M^* = T^{r-1}$. Par
+ailleurs, la projection $M \to M^* = T^{r-1}$ sur les $r-1$ premières
+coordonnées ne peut pas être un isomorphisme car le
+lemme \ref{lemme-a-la-con-sous-groupes-distingues-de-produits}
+ci-dessus appliqué à l'image de $M_r$ (sous-groupe distingué de $M$)
+par cet isomorphisme aboutirait à une contradiction. Il existe donc
+un élément non trivial de $M$ dans le noyau $K$ de $M \to M^*$,
+c'est-à-dire de la forme $(1,\ldots,1,z)$ avec $z\neq 1$. Puisque $M$
+contient la diagonale, on a $(x,\ldots,x,xz) \in M$ pour tout $x \in
+T$, donc $(1,\ldots,1,xzx^{-1}) \in K$, et comme $T$ est simple, les
+$xzx^{-1}$ pour $x\in T$ engendrent $T$. Ainsi, en fait,
+$(1,\ldots,1,z) \in M$ pour tout $z\in T$, et comme on sait déjà que
+l'image $M^*$ de $M$ sur les $r-1$ premières coordonnées
+vaut $T^{r-1}$, il est désormais clair que $M = T^r$.
+\end{proof}
+
+\begin{remarque2}\label{holomorphe-d-un-groupe-simple}
+Le cas particulier des groupes de permutation de type diagonal où
+$r=2$ et où il n'y a pas de permutation des composantes (avec les
+notations précédentes, l'image de $G$ dans $\mathfrak{S}_2$ est
+triviale) est assez spécifique, puisque c'est le seul cas de ce type
+où il y a deux sous-groupes distingués minimaux distincts : expliquons
+comment on peut le présenter différemment.
+
+Si $T$ est un groupe fini, on appelle parfois \emph{holomorphe} de $T$
+le produit semi-direct $H$ de $T$ par $\Aut(T)$ opérant naturellement
+sur $T$, et on voit ce produit semidirect comme opérant lui-même sur
+$\Omega := T$ (où $\Aut(T)$ opère naturellement et $T$ opère par
+translation à gauche) : cette action est fidèle, et on peut encore
+définir l'holomorphe comme le sous-groupe du groupe $\mathscr{S}(T)$
+des permutations qui est engendré par les translations à gauche et les
+automorphismes de $T$.
+
+Lorsque $T$ est un groupe simple fini, en identifiant $\Omega=T$ à
+l'ensemble des classes à gauche de la diagonale dans $T^2$, par
+$(v_1,v_2) \mapsto v_1 v_2^{-1}$, on voit que l'holomorphe $H$ de $T$
+est un cas particulier (en tant que groupe de permutation) de la
+construction des actions diagonales où $r=2$, où il n'y a pas de
+permutation des coordonnées et où on a inclus tous les automorphismes
+de $T$. Les deux sous-groupes distingués minimaux de $H$ sont
+l'ensemble des translations à gauche sur $T$ (vu naturellement comme
+$T$ dans $T \rtimes \Aut(T)$), et l'ensemble des translations à droite
+sur $T$ (vu comme l'ensemble des $(t, (x\mapsto t^{-1}xt))$ pour $t\in
+T$ dans $T \rtimes \Aut(T)$). Comme on l'a expliqué, le socle de $H$
+est le produit $T^2$ de ces deux sous-groupes (et $H = T^2 \cdot
+\Out(T)$).
+
+Plus généralement, un groupe de permutation de type diagonal avec
+$r=2$ et action triviale sur les composantes se décrit comme un
+sous-groupe $G$ de l'holomorphe $H$ de $T$ contenant $T^2$
+(c'est-à-dire, contenant les translations à gauche et les translations
+à droite).
+\end{remarque2}
+
+\subsubsection{Groupes de permutation de type presque simple}\label{groupe-de-permutations-type-presque-simple} Soit $T$
+un groupe simple. Un groupe $G$ tel que $T = \Int(T) \leq G \leq
+\Aut(T)$ est dit \emph{presque simple}. La donnée d'un sous-groupe
+maximal $U$ de $G$ permet
+(cf. \ref{remarques-idiotes-groupes-de-permutations} et
+\ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal}) de
+considérer $G$ comme un groupe de permutations primitif (en opérant
+sur les classes à gauche de $U$) : un tel groupe de permutations est
+dit \emph{presque simple}. Son socle est alors $T$, et il n'est pas
+régulier.
+
+\subsubsection{Produits en couronne}\label{produit-couronne} Si $K$ est un groupe fini, et $S$ un
+groupe de permutations dont on notera $\Gamma$ l'ensemble sur lequel
+il opère, on définit le \emph{produit en couronne} $K \wr_\Gamma S$
+(ou parfois $K \wr S$ lorsque $\Gamma$ est évident) de la façon
+suivante : il s'agit du produit semi-direct $K^\Gamma \rtimes S$, où
+$K^\Gamma$ désigne le groupe des fonctions $\Gamma \to K$ (muni de la
+multiplication point par point) et $S$ opère sur $K^\Gamma$ par
+$(\sigma \cdot f)(i) = f(\sigma^{-1}(i))$ pour $\sigma \in S$, $f\in
+K^\Gamma$ et $i \in \Gamma$.
+
+La définition précédente construit $K \wr_\Gamma S$ comme un groupe
+abstrait. Si $K$ est lui-même un groupe de permutation sur un
+ensemble $\Delta$, on peut considérer l'action de $K \wr_\Gamma S$ sur
+$\Delta \times \Gamma$ définie par $(f,\sigma)\cdot (x,i) = (f(i)(x),
+\sigma(i))$ lorsque $f\in K^\Gamma$ et $\sigma \in S$ : cette action
+possède un système de blocs évident donné par $\{\{(x,i) : x \in
+\Delta\} : i \in \Gamma\}$, qui s'identifie à $\Gamma$, l'action de $K
+\wr_\Gamma S$ étant alors celle de $S$ : on dit qu'il s'agit de
+l'\emph{action imprimitive} (ou parfois de l'\emph{action standard})
+du produit en couronne.
+
+On va définir maintenant une autre action de $K \wr_\Gamma S$ qui sera
+souvent primitive. Pour cela, soit $\Omega = \Delta^\Gamma$
+l'ensemble des fonctions $\Gamma \to \Delta$. On construit une action
+de $K \wr_\Gamma S$ sur $\Omega$ en définissant $(f,\sigma)\cdot w$
+comme la fonction $i \mapsto f(\sigma^{-1}(i)) (w(\sigma^{-1}(i)))$.
+Cette action est appelée l'\emph{action produit} du produit en
+couronne.
+
+\begin{proposition2}
+Soit $K$ un groupe de permutations sur un ensemble $\Delta$ et $S$ un
+groupe de permutations sur un ensemble $\Gamma$. Alors le produit en
+couronne $K \wr_\Gamma S$, muni de son action produit sur $\Omega =
+\Delta^\Gamma$ (définie plus haut) est primitif si et seulement si :
+\begin{itemize}
+\item $S$ est transitif (sur $\Gamma$),
+\item $K$ est primitif (sur $\Delta$), et
+\item $K$ n'est pas régulier (sur $\Delta$).
+\end{itemize}
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Montrons que les trois conditions énumérées sont nécessaires pour que
+l'action produit du produit en couronne soit primitive. Si $S$ n'est
+pas transitif sur $\Gamma$, soit $\Gamma_0 \subsetneq \Gamma$ une
+orbite de $S$ : on considère la relation d'équivalence $\equiv$ sur
+$\Omega = \Delta^\Gamma$ définie par $w \equiv w'$ lorsque $w(i) =
+w'(i)$ pour tout $i \in \Gamma_0$ : lorsque c'est le cas, on a
+manifestement $(f,\sigma)\cdot w \equiv (f,\sigma)\cdot w'$ pour tout
+$(f,\sigma) \in K \wr_\Gamma S$, ce qui montre que l'ensemble
+$\mathscr{B}$ des classes d'équivalence pour $\equiv$ constitue un
+système de blocs pour $K \wr_\Gamma S$, qui est non-trivial car
+$\Gamma_0$ n'est ni $\varnothing$ ni $\Gamma$. Si $K$ n'est pas
+primitif sur $\Delta$, soit $\mathscr{K}$ un système de blocs
+non-trivial pour celui-ci (ou la décomposition en orbites si $K$ n'est
+même pas transitif) : on définit une relation d'équivalence $\equiv$
+sur $\Omega = \Delta^\Gamma$ en posant $w \equiv w'$ lorsque $w(i)
+\mathrel{\equiv_{\mathscr{K}}} w'(i)$ pour tout $i$ (où $x
+\mathrel{\equiv_{\mathscr{K}}} x'$ signifie que $x,x' \in \Delta$
+appartiennent au même $\mathscr{K}$-bloc) ; de nouveau, on a
+$(f,\sigma)\cdot w \equiv (f,\sigma)\cdot w'$ pour tout $(f,\sigma)
+\in K \wr_\Gamma S$. Enfin, si $K$ est régulier sur $\Delta$ (de
+sorte qu'une fois fixé $x_0 \in \Delta$, tout $x\in \Delta$ peut
+s'écrire $k\cdot x_0$ pour un unique $k\in K$), on définit une
+relation d'équivalence $\equiv$ sur $\Omega = \Delta^\Gamma$ en posant
+$w \equiv w'$ lorsqu'il existe $x_0,x'_0 \in \Delta$ et $g\in
+K^\Gamma$ tels que $w(i) = g(i)\cdot x_0$ et $w'(i) = g(i)\cdot x'_0$
+pour tout $i\in\Gamma$ (autrement dit, $w'$ se déduit de $w$ par une
+« translation à droite »\footnote{Si $\Delta$ est un espace principal
+ homogène sous $K$, on appelle \emph{translation à droite} envoyant
+ $x_0 \in\Delta$ sur $x_1 \in\Delta$ l'application $k\cdot x_0
+ \mapsto k\cdot x_1$. Le groupe des translations à droite de
+ $\Delta$ est isomorphe à $K$ mais de façon non canonique (le choix
+ d'une origine $x_0$ dans $\Delta$ permet d'identifier la translation
+ envoyant $x_0$ sur $x_1$ à la multiplication à droite par $x_0^{-1}
+ x_1$, mais le changement de choix de $x_0$ change cette
+ identification par un automorphisme intérieur de $K$).}) : de
+nouveau, on a $(f,\sigma)\cdot w \equiv (f,\sigma)\cdot w'$ pour tout
+$(f,\sigma) \in K \wr_\Gamma S$.
+
+Réciproquement, supposons vérifiées ces trois conditions, et montrons
+que l'action de $K \wr_\Gamma S$ sur $\Omega = \Delta^\Gamma$ est
+primitive. La transitivité ne faisant aucun doute (puisque déjà
+$K^\Gamma$ est transitif sur $\Delta^\Gamma$), on veut montrer que le
+stabilisateur $U$ dans $K \wr_\Gamma S$ d'un élément (quelconque) de
+$\Omega$ est un sous-groupe maximal de $K \wr_\Gamma S$. Choisissons
+l'élément constant de valeur $x_0$, où $x_0 \in\Delta$. Le
+stabilisateur $U$ est donc l'ensemble des $(f,\sigma) \in K \wr_\Gamma
+S$ tels que $f(i) \in V$ pour tout $i$, où $V$ est le (sous-groupe
+maximal de $K$) stabilisateur de $x_0$ dans $\Delta$. Soit $H$ un
+sous-groupe de $K \wr_\Gamma S$ contenant strictement $U$ : on veut
+montrer que $H = K \wr_\Gamma S$.
+
+Tout d'abord, $H$ contient un élément $(f,\sigma)$ non contenu dans
+$U$, et, comme $\sigma$ (c'est-à-dire $(1,\sigma)$) appartient à $U$,
+l'élément $f \in K^\Gamma$ lui-même (c'est-à-dire $(f,\sigma)$)
+appartient à $H$ et non à $V^\Gamma$. Il existe donc $i_0$ tel que
+$f(i_0) \not\in V$.
+
+Le sous-groupe $V$ de $K$ est égal à son normalisateur $N_K(V)$ : en
+effet, $V \trianglelefteq N_K(V)$, et comme $V$ est maximal on doit
+avoir $N_K(V) = V$ ou $N_K(V) = K$. Or la seconde possibilité
+impliquerait $V \trianglelefteq K$, mais on
+sait (\ref{exemples-groupes-de-permutations}) que $V$ ne peut pas
+contenir de sous-groupe distingué autre que $\{1\}$, donc on aurait
+$V=\{1\}$, c'est-à-dire que $K$ serait régulier, ce qu'on a exclu.
+Reste donc $N_K(V) = V$.
+
+On a donc $f(i_0) \not\in N_K(V)$, c'est-à-dire qu'il existe $v \in V$
+tel que $f(i_0)\, v\, f(i_0)^{-1} \not\in V$. Définissons $g \colon
+\Gamma \to K$ par $g(i_0) = v$ et $g(i) = 1$ pour tout $i\neq i_0$ :
+ainsi, $g \in V^\Gamma \leq U \leq H$. Le commutateur $h = f g f^{-1}
+g^{-1}$ appartient à $H$ et vaut $1$ en tout $i \neq i_0$ tandis qu'en
+$i_0$ on a $h(i_0) \not\in V$. Comme $V$ est maximal, $h(i_0)$ et $V$
+engendrent $K$, donc $H$ contient toute fonction $h\colon \Gamma \to
+K$ telle que $h(i) = 1$ pour $i \neq i_0$. Comme $S$ est (qui est
+contenu dans $U$ donc dans $H$) est transitif sur $\Gamma$, pour tout
+$i_1 \in \Gamma$, il est encore vrai que $H$ contient toute fonction
+$h\colon \Gamma \to K$ telle que $h(i) = 1$ pour $i \neq i_1$. Or ces
+fonctions engendrent manifestement $K^\Gamma$, et comme $H$ contient
+aussi $S$, on a prouvé $H = K \wr_\Gamma S$.
+\end{proof}
+
+\subsubsection{Produits en couronne tordus}\label{produit-couronne-tordu} Considérons
+maintenant la situation suivante : soit $U$ un sous-groupe d'un groupe
+fini $S$, et soit $K$ un groupe fini ; on suppose de plus donné un
+morphisme $\varphi\colon U \to \Aut(K)$ du groupe $U$ vers les
+automorphismes du groupe $K$, permettant de considérer que $U$ opère
+sur $K$ : on notera $u \mathbin{\bullet_{\varphi}} k := \varphi(u)(k)$
+l'action en question. On considère l'ensemble $\mathscr{F}$ des
+applications $f\colon S \to K$ vérifiant la condition suivante : pour
+tout $s\in S$ et tout $u\in U$ on a $f(su) = u^{-1}
+\mathbin{\bullet_{\varphi}} f(s)$ ; il s'agit d'un sous-groupe de
+$K^S$ pour la multiplication point par point. Remarquons que si
+$\Gamma$ est une section ensembliste de l'ensemble des classes à
+gauche de $U$ dans $S$, c'est-à-dire un choix d'un élément de chaque
+$sU \in K/U$, alors on peut considérer $\mathscr{F}$ comme le groupe
+$K^\Gamma$, puisque la valeur de $f\in \mathscr{F}$ sur toute la
+classe $sU$ est déterminée par sa valeur sur l'unique élément $s$.
+Néanmoins, la description de $\mathscr{F}$ comme sous-ensemble de
+$K^S$ permet de rendre plus claire l'action de $S$ sur $\mathscr{F}$
+définie comme suit : si $f\in \mathscr{F}$ et $\sigma\in S$, on
+définit $\sigma\cdot f$ par $(\sigma\cdot f)(s) = f(\sigma^{-1}s)$
+(pour tout $s\in S$). Le produit semi-direct $\mathscr{F} \rtimes S$
+défini par cette action s'appelle \emph{produit en couronne tordu}
+défini par les données de $K$ de $U \leq S$, et du morphisme
+$\varphi\colon U \to \Aut(K)$ ; on le notera $G$ dans la fin de cette
+section.
+
+La terminologie de produit en couronne tordu se justifie par le fait
+que le produit en couronne usuel (défini en \ref{produit-couronne})
+s'obtient comme le cas particulier où $\varphi$ est le morphisme
+trivial (tout élément de $U$ s'envoyant sur l'identité de $K$) et $U$
+est le stabilisateur d'un point dans le $S$-ensemble $\Gamma$, lequel
+peut alors être identifié à l'ensemble des classes à gauche de $U$
+dans $S$, où à un choix arbitraire d'une section pour cet ensemble.
+Notons par ailleurs que si $U=S$, alors le produit en couronne tordu
+que nous avons défini n'est autre que le produit semi-direct $K \rtimes
+S$ pour l'action donnée par $\varphi$ (en effet, si on identifie
+$f\in\mathscr{F}$ avec $f(1)\in K$, alors $(\sigma\cdot f)(1) =
+f(\sigma^{-1}) = \varphi(\sigma)(f(1))$).
+
+Revenant à la situation plus générale, on fera agir $G$ sur
+$\mathscr{F}$ en décrétant que $S$ opère sur $\mathscr{F}$ comme on
+l'a déjà dit et que $\mathscr{F}$ opère sur lui-même par translation à
+gauche. (Dans le cas d'un produit en couronne non-tordu, ceci
+correspond à l'action produit où $K$ est vu comme opérant sur lui-même
+par translation à gauche ; il y aurait sans doute moyen de définir une
+action généralisant l'action produit dans tous les cas, mais ceci ne
+nous intéressera pas.) Le stabilisateur pour cette action de la
+fonction constante $1 \in \mathscr{F}$ est le sous-groupe $S$ de $G$,
+ce qui permet de considérer qu'on a affaire à l'action de $G$ sur les
+classes à gauche de $S$ dans $G$. Cette action peut très bien ne pas
+être fidèle : penser au cas où $U=S$ et $\varphi$ est trivial, par
+exemple (auquel cas $G$ est le produit direct $K \times S$) ; il ne
+semble pas facile de trouver des conditions nécessaires et suffisantes
+sur les données pour que l'action qu'on vient de décrire soit fidèle
+et primitive : on peut néanmoins montrer que c'est le cas si $K$ est
+simple fini non-abélien et que $\Im\varphi$ contient les
+automorphismes intérieurs de $K$ et n'est pas l'image de $S$ par un
+morphisme.
+
+\begin{remarque2}\label{remarque-produit-couronne-tordu-sous-groupe-de-produit-de-holomorphe}
+Si on a choisi une section ensembliste $\Gamma$ des classes à gauche
+de $U$ dans $S$, et si on note $\varpi\colon S\to\Gamma$ la fonction
+associant à $s\in S$ le représentant $\varpi(s)$ de la classe $sU$,
+alors en identifiant $\mathscr{F}$ à $K^\Gamma$, l'action de $S$ sur
+$\mathscr{F}$ est donnée par : $(\sigma\cdot f)(x) = (x^{-1}\sigma
+\varpi(\sigma^{-1}x)) \mathbin{\bullet_\varphi}
+f(\varpi(\sigma^{-1}x))$ (pour $\sigma\in S$ et $x\in \Gamma$).
+
+Si $H = K \rtimes\Aut(K)$ désigne l'holomorphe du groupe $K$
+(cf. \ref{holomorphe-d-un-groupe-simple}), cette formule conduit à
+définir un morphisme $S \to H^\Gamma \rtimes \mathfrak{S}(\Gamma)$ qui
+à $\sigma \in S$ asssocie $((\dot\varphi(x^{-1}\sigma
+\varpi(\sigma^{-1}x)))_{x\in\Gamma}, \penalty-100 (x \mapsto
+\varpi(\sigma^{-1}x)))$ (où $\dot\varphi$ est la composée de $S
+\to\Aut(K)$ avec le morphisme évident $\Aut(K) \to H$). En combinant
+ce morphisme avec le morphisme $\mathscr{F} \to H^\Gamma$ obtenu à
+partir de l'application de $K \to H$ (correspondant à la translation à
+gauche, i.e., la première composante de $H = K \rtimes\Aut(K)$) sur
+chaque composante de $\mathscr{F} = K^\Gamma$, on obtient un morphisme
+de $G = \mathscr{F} \rtimes S$ vers $H^\Gamma \rtimes
+\mathfrak{S}(\Gamma) = H \wr_\Gamma \mathfrak{S}(\Gamma)$ compatible
+avec l'action de ces deux groupes sur $\mathscr{F} = K^\Gamma$ (dans
+le cas de $H \wr_\Gamma \mathfrak{S}(\Gamma)$, il s'agit de l'action
+produit du produit en couronne). Notamment, si $G$ opère fidèlement
+sur $\mathscr{F} = K^\Gamma$, le morphisme $G \to H \wr_\Gamma
+\mathfrak{S}(\Gamma)$ que nous venons de définir est injectif.
+\end{remarque2}
+
+\subsection{Le théorème de O'Nan-Scott}
+
+Cette section fait suite à la précédente.
+
+Le théorème de O'Nan-Scott établit une sorte de classification des
+groupes de permutations primitifs. Nous nous contenterons dans cet
+ouvrage d'énoncer et de discuter ce théorème, pour la démonstration
+duquel nous renvoyons le lecteur à \cite[chap. 4]{Dixon-Mortimer}.
+
+\begin{theoreme2}\label{o-nan-scott}
+Soit $G$ un groupe de permutations primitif dont on note $\Omega$
+l'ensemble sur lequel il opère. Alors l'une des affirmations
+suivantes est vraie :
+\begin{itemize}
+\item $G$ est un groupe de permutations de type affine, tel que décrit
+ à la section \ref{groupe-de-permutations-type-affine}. Ceci se
+ produit si et seulement si le socle de $G$ est abélien, et dans ce
+ cas le socle est régulier.
+\item $G$ est presque simple
+ (cf. \ref{groupe-de-permutations-type-presque-simple}), c'est-à-dire
+ qu'on a $T \leq G \leq \Aut(T)$ pour un certain groupe simple fini
+ non-abélien $T$ (sans affirmation particulière sur la façon dont $G$
+ opère). Dans ce cas, le socle de $G$ est $T$, et il n'est pas
+ régulier.
+\item $G$ est un groupe de permutation de type diagonal, tel que
+ décrit à la section \ref{groupe-de-permutations-type-diagonal} (avec
+ $r\geq 2$ dans les notations de cette section). Dans ce cas, le
+ socle de $G$ est $T^r$ (avec les notations en question) où $T$ est
+ un groupe simple fini non-abélien et $r\geq 2$, et le degré
+ $\#\Omega$ de $G$ est $(\#T)^{r-1}$. Si $r\geq 3$ alors $G$ a un
+ unique sous-groupe distingué minimal qui est son socle.
+\item $G$ est un sous-groupe d'un produit en couronne $K \wr_\Gamma
+ \mathfrak{S}(\Gamma)$ muni de son action produit (\ref{produit-couronne}) sur
+ $\Delta^\Gamma$, où $K$ est un groupe de permutation primitif
+ sur $\Delta$ d'un des deux types précédents, et le socle de $G$ est
+ $H^\Gamma$ où $H$ est le socle de $K$. Dans ce cas, le socle en
+ question n'est pas régulier.
+\item $G$ est un produit en couronne tordu
+ (\ref{produit-couronne-tordu}) défini par la donnée d'un groupe fini
+ $S$, d'un sous-groupe $U$ de celui-ci, d'un groupe \emph{simple}
+ non-abélien $K$, et d'un morphisme $\varphi \colon U \to \Aut(K)$
+ dont l'image contient le sous-groupe $\Int(K)$ des automorphismes
+ intérieurs de $K$ ; le groupe $G$ est alors isomorphe, comme groupe
+ de permutations
+ (cf. \ref{remarque-produit-couronne-tordu-sous-groupe-de-produit-de-holomorphe})
+ à un sous-groupe du produit en couronne $H \wr_\Gamma
+ \mathfrak{S}(\Gamma)$, où $H$ est l'holomorphe de $K$
+ (cf. \ref{holomorphe-d-un-groupe-simple}), et où $\Gamma$ est
+ l'ensemble des classes à gauche de $U$ dans $S$. Dans ce cas, le
+ socle de $G$ est isomorphe à $K^{\#\Gamma}$ (soit à $\mathscr{F}$
+ avec la notation de \ref{produit-couronne-tordu}), et il est
+ régulier. Ce cas se produit si et seulement si le socle de $G$ est
+ régulier mais non abélien.
+\end{itemize}
+\end{theoreme2}
+
+\XXX --- Il est tout pourri mon énoncé, et probablement faux...
+
+\begin{corollaire2}\label{o-nan-scott-sous-groupes-maximaux-de-s-n}
+Un sous-groupe maximal de $\mathfrak{S}_n$ est d'un des types
+suivants :
+\begin{itemize}
+\item un sous-groupe intransitif de la forme $\mathfrak{S}_{n_1}
+ \times \mathfrak{S}_{n_2}$ avec $n_1 + n_2 = n$ (et $n_1,n_2 > 1$),
+ muni de l'action donnée par l'union disjointe,
+\item un sous-groupe transitif mais non primitif $\mathfrak{S}_k
+ \wr_{\{1,\ldots,r\}} \mathfrak{S}_r$ avec $kr = n$ (et $k,r > 1$),
+ muni de l'action imprimitive du produit en couronne,
+\item un groupe primitif, qui est alors d'un des types suivants :
+\begin{itemize}
+\item un produit en couronne $\mathfrak{S}_k \wr_{\{1,\ldots,r\}}
+ \mathfrak{S}_r$ avec $k^r = n$ (et $k,r > 1$), muni de l'action
+ produit du produit en couronne,
+\item un groupe affine $\AGL(\FF_p^r)$ avec $p^r = n$,
+\item un groupe de type diagonal $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times
+ \Out(T))$ où $T$ est simple fini non-abélien et son ordre vérifie
+ $(\#T)^{r-1} = n$,
+\item un groupe presque simple.
+\end{itemize}
+\end{itemize}
+\end{corollaire2}
+
+Ceci découle immédiatement du théorème précédent. Soulignons qu'il
+n'est pas affirmé que chacun des types décrits ci-dessus construit
+effectivement un sous-groupe maximal de $\mathfrak{S}_n$.
+
+\subsection{Un théorème de Jordan}
+
+On veut démontrer :
+
+\begin{theoreme2}\label{Jordan}
+Soit $G$ un sous-groupe transitif de $𝔖_n$ qui contient un $p$-cycle
+pour un nombre premier $p$ strictement compris entre $\frac{n}{2}$ et $n-2$.
+Alors $G$ contient $𝔄_n$.
+\end{theoreme2}
+
+Nous ferons usage de la terminologie suivante :
+
+\begin{dfn2}
+Soit $X$ un ensemble fini. Un sous-groupe $G$ de $𝔖_X$ agissant
+transitivement sur $X$ est dit \emph{primitif} si les seuls sous-ensembles
+$Y\subset X$ tels que pour tout $g\in G$, $g(Y)\cap Y\in\{\vide,Y\}$
+sont $\vide,X$, et les singletons.
+\end{dfn2}
+De façon équivalente, on demande qu'il n'y ait pas de
+partition\footnote{En particulier, par définition,
+chaque constituant est non vide.}
+$\{Y_1,\dots,Y_s\}$ de $X$ avec $\#X>s>1$, stable
+sous l'action de $G$ (au sens où, pour tout $i$, il existe
+un indice $j$ tel que $g(Y_i)=Y_j$).
+
+Établissons quelques lemmes généraux.
+
+\begin{lemme2}
+Un groupe transitif agissant sur un ensemble d'ordre premier est primitif.
+\end{lemme2}
+
+\begin{lemme2}
+Soient $G$ un groupe agissant transitivement sur un ensemble fini $X$,
+$H$ un sous-groupe de $G$ et $P$ une orbite de $H$. Supposons que $H$
+agit transitivement sur $P$ et que $\# X < 2 \# P$. Alors,
+$G$ agit également transitivement sur $X$.
+\end{lemme2}
+
+Ainsi, sous l'hypothèse du théorème de Jordan ci-dessus, $G$ est un sous-groupe
+primitif de $𝔖_n$ contenant un $p$-cycle.
+
+\begin{lemme2}
+Soient $G$ un sous-groupe $f$-transitif de $𝔖_X$, $C$ un sous-groupe
+de $G$ tel que le cardinal de $F=\mathrm{Fix}(C)\subset X$ soit égal à $f$.
+Alors, si $C$ est conjugué and $G_F$ à tout sous-groupe de $G_F$ conjugué
+\emph{dans $G$} à $C$, le normalisateur de $C$ dans $G$ agit $f$-transitivement
+sur $F$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{lemme2}
+Soit $X=F\cup P$ une partition de $X$ telle que $\# P>1$ et $2\#P>\#X$.
+Supposons que $G$ soit un sous-groupe primitif de $𝔖_X$ tel que $G_F$ agisse
+transitivement sur $P$. Alors, l'action de $G$ est doublement transitive.
+(C'est-à-dire : $G$ est transitif et pour chaque $x$, $G_x$ agit
+transitivement sur $X-x$.)
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+Faisons le par récurrence sur $f$. Le cas $f=1$ est tautologique.
+\begin{itemize}
+\item Si $\alpha$ et $\beta$ sont deux éléments distincts de $F$,
+il existe un $g\in G$ tel que $\alpha\in g(F)$ mais $\beta\notin g(F)$.
+En effet, considérons $\displaystyle E=\cap_{g\in G: \alpha \in g(F)} g(F)$ et
+remarquons que si $g'(E)\cap E\neq \vide$, alors $g'(E)=E$.
+(Commencer par le voir dans le cas $\alpha\in g'(E)$.)
+
+\item Le sous-groupe $H=\langle G_F, gG_F g^{-1}\rangle$ agit transitivement
+sur $P\cup g(P)$. (Rappel : $2\#P>\#X$.)
+
+\item Soit $F'=F\cap g(F)$, \cad l'ensemble des éléments qui
+sont fixes par tout élément de $H$. On conclut en utilisant l'hypothèse de récurrence.
+\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{theoreme2}[Camille Jordan, 1870]
+Soit $G$ un sous-groupe primitif de $𝔖_X$, où $\#X=n=p+f$, $p$ est premier
+et $f\geq 3$. Si $G$ contient un cycle de longueur $p$ alors $G$
+contient $𝔄_n$.
+\end{theoreme2}
+
+\begin{proof}[Démonstration dans le cas où $2p>n$.]
+La démonstration du théorème est divisée en quelques étapes :
+$G$ est primitif, doublement transitif, $f$-transitif, puis contient $𝔄_n$.
+Nous n'utiliserons que le cas $2p>n$ (cf. \ref{Jordan}), hypothèse que
+nous supposons satisfaite.
+En particulier, $G$ est primitif. Notons $c$ un cycle de longueur $p$
+dans $G$, et $F$ (resp. $P=X-F$) l'ensemble des points fixes de $c$ ;
+on a donc $\#F=f$ (resp. $\#P=p$).
+Notons $G_F=G\cap 𝔖_F\subset 𝔖_X$ le sous-groupe de $G$ agissant trivialement
+sur $F$, et de même pour divers sous-groupes et sous-ensembles.\\
+Par récurrence sur $f$, on voit que $G$ est $f$-transitif.\\
+Soient $C=\langle c \rangle$ le sous-groupe d'ordre $p$ et $N$ son
+normalisateur dans $G$. On démontre les faits suivants :
+\begin{itemize}
+\item Le sous-groupe $N$ est $f$-transitif sur $F$ (rappelons
+que $C$ est un $p$-Sylow) et donc $N ↠ 𝔖_F$, via le morphisme
+de restriction, bien défini ici.
+\item pour tout $\pi\in P$, $N_{\pi}:=\mathrm{Stab}_N(\pi)$ satisfait
+$N_{\pi}↠ 𝔖_F$. En effet, $N=N_{\pi} G_F$ car $G_F$ agit
+transitivement sur $P$ et $N$ agit sur $P$.
+\item Pour tout $\pi\in P$, l'image de $N_{\pi}$ dans $𝔖_{P}$
+est isomorphe à un sous-groupe de $\Aut(C)$ et est donc abélienne.
+\item Soit $D$ le groupe dérivé de $N_{\pi}$ ; on a vu que l'image
+de $D→ 𝔖_P$ est le groupe trivial $\{1\}$. Il en résulte que $D↠ A_F$.
+\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\section{Groupe de Galois d'un polynôme de degré quatre}
+
+Soient $k$ un corps et $f=X⁴-c₁X³+c₂X²-c₃X+c₄∈k[X]$ un polynôme
+irréductible séparable. Soient $Ω$ une clôture séparable et
+$R=\{x₁,x₂,x₃,x₄\}$ les racines de $f$ dans $Ω$. Le groupe de Galois
+$G$ correspondant est naturellement un sous-groupe transitif de
+$𝔖_R$. Il est donc naturel d'étudier ces sous-groupes. D'autre part,
+il est évident que l'inclusion $G⊆𝔖_R$ est une égalité \ssi $G$ n'est
+contenu dans aucun sous-groupe maximal (strict) de $𝔖_R$.
+
+\begin{proposition}\label{sous-groupes maximaux et transitifs de S4}
+\begin{enumerate}
+\item Les sous-groupes maximaux de $𝔖₄$ sont $𝔄₄$, les stabilisateurs
+des points (isomorphes au groupe $𝔖₃$) et les $2$-Sylow de $𝔖₄$
+(isomorphes au groupe diédral $D₄$).
+\item Les sous-groupes transitifs de $𝔖₄$ sont $𝔖₄$, $𝔄₄$,
+les $2$-Sylow, et ses sous-groupes d'ordre $4$, isomorphes
+à $C₄$ ou $V₄=𝐙/2×𝐙/2$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition}
+
+\begin{démo}
+\begin{enumerate}
+\item Le cardinal $d$ d'un sous-groupe strict $H$ de $𝔖₄$ appartient à l'ensemble
+$\{12,8,6,4,3,2,1\}$. Étudions les différentes possibilités.
+\begin{itemize}
+\item [$d=12$.] $H$ est d'indice deux, donc distingué
+dans $𝔖₄$ ; $H=𝔄₄$.
+\item [$d=8$.] $H$ est un $2$-Sylow. Pour chaque énumération des côtés d'un
+carré, le groupe des isométries du carré, plongé dans $𝔖₄$, est un sous-groupe
+d'ordre huit, maximal car non contenu dans $𝔄₄$.
+Tous les $2$-Sylow étant conjugués, $H$ est l'un de ces groupes.
+\item [$d=6$.] Un groupe d'ordre $6$ n'agit pas transitivement.
+Ses orbites ne peuvent être de cardinal $2$ (sans quoi $H$ serait
+contenu dans un sous-groupe isomorphe à $𝔖₂×𝔖₂$ de $𝔖₄$, de cardinal $4$).
+Il existe donc une orbite ponctuelle : $H$ est le stabilisateur d'un
+point.
+\item [$d∈\{4,3,2,1\}$.] Un sous-groupe d'ordre deux ou quatre est contenu dans
+un $2$-Sylow donc non maximal. Un sous-groupe cyclique d'ordre trois est
+engendré par un $3$-cycle, contenu dans $𝔄₄$, donc non maximal également.
+\end{itemize}
+\item Un sous-groupe transitif $H$ de $𝔖₄$ est de cardinal $d$ divisible par
+$4$ ; on a donc $d∈\{24,12,8,4\}$. On vérifie immédiatement que les différentes
+possibilités sont celles de l'énoncé.
+\end{enumerate}
+\end{démo}
+
+Le théorème suivant est une généralisation de la proposition
+\ref{Gal(deg 3)=cyclique}.
+
+\begin{théorème}
+Soient $k$ un corps, $Ω$ une clôture séparable et $f=X⁴-c₁X³+c₂X²-c₃X+c₄∈k[X]$
+un polynôme séparable. Soient $R=\{x₁,x₂,x₃,x₄\}$ les racines de $f$ dans $Ω$ et
+$G⊆𝔖_R$ le groupe de Galois de $f$ correspondant.
+\begin{enumerate}
+\item $G⊆𝔄_R$ \ssi $\car(k)≠2$ et $Δ(f)$ est de la forme $x²$ ou $\car(k)=2$ et
+$Δ₂(f)$ est de la forme $x²+x$ ;
+\item $G$ est contenu dans le stabilisateur d'une racine \ssi
+$f$ a une racine dans $k$ ;
+\item $G$ est contenu dans un $2$-Sylow de $𝔖_R$ \ssi la \emph{résolvante
+cubique}
+\[
+g=\big(Y-(x₁x₃+x₂x₄)\big)\big(Y-(x₁x₂+x₃x₄)\big)\big(Y-(x₁x₄+x₂x₃)\big)=
+Y³-c₂Y²+(c₁c₃-4c₄)Y-(c₃²-4c₂c₄+c₁²c₄)
+\]
+a une racine dans $k$. Le discriminant du polynôme $g$ est égal
+au discriminant, non nul, de $f$. En caractéristique deux, les
+pseudo-discriminants coïncident également.
+\end{enumerate}
+\end{théorème}
+
+
+\begin{démo}
+(i) Mis que pour mémoire (cf. \refext{CG}{caracterisation groupe Gal alterne}).
+(ii) Évident.
+(iii) L'égalité des discriminants résulte de la formule
+\[
+(x_ix_j+x_k x_l)-(x_ix_k+x_j x_l)=(x_i-x_l)(x_j-x_k).
+\]
+L'égalité des pseudo-discriminants en caractéristique deux
+résulte immédiatement de \refext{CG}{exemples discriminants} ou bien
+d'un calcul direct comme dans le cas du discriminant.
+
+Les expressions $X₁X₃+X₂X₄$, $X₁X₂+X₃X₄$ et $X₁X₄+X₂X₃$
+forment une orbite sous l'action de $𝔖₄$ sur $𝐙[X₁,X₂,X₃,X₄]$ dont les
+stabilisateurs sont précisément les $2$-Sylow (diédraux) de $𝔖₄$.
+Considérons le $2$-Sylow $D=⟨(1234),(12)(34)⟩$,
+correspondant à la numérotation $(1,2,3,4)$ des côtés d'un carré.
+Si $G⊆D$ (où l'on identifie $𝔖_R$ et $𝔖₄$), il agit trivialement sur $x₁x₃+x₂x₄$ qui appartient
+donc à $k$ et est une racine de $g$.
+Réciproquement, si $G$ n'est contenu
+dans aucun $2$-Sylow, il agit sans point fixe donc transitivement sur le
+sous-ensemble à trois éléments
+$\{X₁X₃+X₂X₄,X₁X₂+X₃X₄,X₁X₄+X₂X₃\}$ de
+$𝐙[X₁,X₂,X₃,X₄]$ et, \emph{a fortiori},
+sur le sous-ensemble (à trois éléments
+par séparabilité de $g$) $\{x₁x₃+x₂x₄,x₁x₂+x₃x₄,x₁x₄+x₂x₃\}$
+de $Ω$. Le polynôme $g$ n'a donc pas de racine dans $k$.
+\end{démo}
+
+Pour un complément, cf. \cite{Generic@JLY}, th. 2.2.3.
+
+\subsection{Exercices}
+\begin{exercice2}
+Soient $L=k(R)$ le corps de décomposition de $f$ et
+$K$ le corps de décomposition de $g$ contenu dans $L$.
+Montrer que
+\[
+G≃\left\{
+\begin{array}{ll}
+𝔖₄ & \textrm{si } [K:k]=6 \\
+𝔄₄ & \textrm{si } [K:k]=3 \\
+D₄ \textrm{ ou } 𝐙/4 & \textrm{si } [K:k]=2\\
+V₄ & \textrm{si } [K:k]=1 \\
+\end{array}
+\right.
+\]
+\end{exercice2}
+
+
+\begin{exercice2}
+Montrer qu'il existe une infinité d'entiers $n$ tel que
+le polynôme $f_n=X⁴-nX-1$ soit irréductible et que
+le corps $𝐐_{f_n}=𝐐[X]/(f_n)$ n'ait pas de sous-extension
+non-triviale.
+(Indication : il suffit de vérifier que $G_f≃𝔖₄$.)
+\end{exercice2}
+
+\ifx\danslelivre\undefined
+\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}
+\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
+\end{document}
+\fi