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diff --git a/chapitres/Boole.tex b/chapitres/Boole.tex
new file mode 100644
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--- /dev/null
+++ b/chapitres/Boole.tex
@@ -0,0 +1,98 @@
+\documentclass[9pt]{smfart-moi}
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+\usepackage{graphics}
+\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
+\input{commun}
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+\input{francais}
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+\usepackage{srcltx}
+
+\title{Algèbres de Boole et idempotents}
+\setcounter{tocdepth}{3}
+%\setcounter{secnumdepth}{2}
+%\newtheorem*{propsansnum}{Proposition}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\tableofcontents
+
+Tous les anneaux considérés dans ce chapitre sont unitaires commutatifs.
+
+\begin{exercice3}
+\begin{enumerate}
+\item Soit $A$ un anneau et $I$ un idéal.
+Montrer que l'ensemble $\sqrt{I}=\{a∈A,\,∃n\,a^n∈I\}$ est un idéal
+de $A$. On l'appelle la \emph{racine} de $I$.
+\item Soient $e$ et $f$ deux idempotents d'un anneau $A$, tels que
+$\sqrt{Ae}=\sqrt{Af}$. Montrer que $e=f$. %c'est BBK, AC, 2, §4, lemme 1
+(Indication : calculer $ef$ de deux façons différentes.)
+\end{enumerate}
+En particulier, deux idempotents engendrant le même idéal sont égaux.
+\end{exercice3}
+
+\begin{exercice3}\label{exercice-inverse-ponctuel}
+Soient $A$ un anneau et $a∈A$. Montrer que s'il existe un élément
+$x∈A$ tel que $axa=a$, il existe alors un \emph{unique} élément
+$a^{(-1)}∈A$ tel que $aa^{(-1)}a=a$ et $a^{(-1)}aa^{(-1)}=a^{(-1)}$.
+(Indication : pour l'existence, considérer $a^{(-1)}=xax$. Pour l'unicité,
+constater que l'idéal $(a)$ est engendré par l'idempotent $ax$
+et utiliser la remarque à la fin de l'exercice précédent.)
+On dit que $a^{(-1)}$ est l'\emph{inverse ponctuel} de $a$.
+% cf. Bourbaki ou Olivier, « L'anneau absolument plat universel, les épimorphismes
+% et les parties constructibles » pour des compléments, à inclure en exercice [sur le
+% produit tensoriel ?] dans le livre.
+\end{exercice3}
+
+
+L'exercice suivant est une réciproque au \ref{decomposition-idempotents-orthogonaux}, (ii).
+\begin{exercice3}\label{famille-orthogonale-d-idempotents}\label{Hom(prod,integre)}
+Soit $B=∏_{i∈I} B_i$ un produit fini d'anneaux. Pour chaque $i∈I$, soit
+$e_i$ l'élément dont la $i$-ème coordonnées est l'unité de $B_i$ et dont
+les autres coordonnées sont nulles : les $e_i$
+constituent une famille orthogonale d'idempotents de somme un.
+Vérifier que la surjection canonique $B→B_i$ s'identifie canoniquement au
+morphisme $B→Be_i$, via l'isomorphisme évident
+$$Be_i=\{0\}×\cdots×\{0\}×B_i×\{0\}×\cdots×\{0\}\iso B_i.$$
+\end{exercice3}
+
+%\begin{démo}
+%L'égalité $(ae)\cdot (be)=(ab)e$ (pour $a$ et $b$ dans $A$) entraîne la première
+%assertion. Pour la seconde, on observera que si $a'∈Ae⊂A$ et $b'∈A(1-e)⊂A$, on a $a'b'=0$ dans
+%$A$.
+%\end{démo}
+
+\begin{exercice3}\label{factorisation-vers-integre}
+\begin{enumerate}
+\item Soient $B=∏_{i∈I} B_i$ un produit \emph{fini} d'anneaux et $f:B→C$ un morphisme vers
+un anneau \emph{intègre}. Montrer que le morphisme $f$ se factorise de façon unique
+à travers l'un des $B_i$, \cad qu'il existe un unique entier $i'∈I$
+et un unique morphisme $f_{i'}:B_{i'}→C$ tel que $f$ soit
+le composé $B↠B_{i'}\dessusdessous{f_{i'}}{→}C$.
+\item Est-ce encore vrai si $I$ est infini ?
+(Cf. \ref{ultraproduits}.)
+\end{enumerate}
+\end{exercice3}
+
+%\begin{démo}
+%Soient $e_i$ comme dans le lemme précédent. Notons
+%$c_i=f(e_i)$. Les $c_i$ constituent également
+%une famille orthogonale d'idempotents de somme un
+%dans $C$. Puisque $C$ est intègre, pour tout $i$, $c_i∈\{0,1\}$ ;
+%par orthogonalité au plus un des $c_i$ est égal à un.
+%Leur somme étant égale à un, il existe donc un unique $i'∈I$
+%tel que $c_{i'}=1$. Ainsi, $f(b)=f(∑_i be_i)=∑_i f(b)c_i=f(be_{i'})$.
+%Il se factorise donc à travers $B→B_{i'}≅Be_{i'}$.
+%\end{démo}
+
+\end{document}
+
+
+
+
+
+
diff --git a/chapitres/KASW.tex b/chapitres/KASW.tex
new file mode 100644
index 0000000..b1bf884
--- /dev/null
+++ b/chapitres/KASW.tex
@@ -0,0 +1,2370 @@
+\ifx\danslelivre\undefined
+\documentclass[9pt]{smfart-moi}
+\synctex=1
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+
+\title{Théorie de Kummer et Artin-Schreier-Witt}
+
+\externaldocument{extensions-algebriques}
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+
+%\textwidth16cm
+%\hoffset-1.5cm
+\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry}
+
+\begin{document}
+\begin{center}
+Théories de Kummer, Artin-Schreier et Artin-Schreier-Witt
+\end{center}
+\tableofcontents
+\else
+\chapter{Théories de Kummer, Artin-Schreier et Artin-Schreier-Witt}
+\fi
+
+%%% À faire :
+% — séries formelles : produits et sommes infinies.
+
+
+\section{Théorie de Kummer}
+
+\subsection{Introduction}Nous allons
+étudier les extensions galoisiennes cycliques d'ordre $n$
+d'un corps $k$, sous l'hypothèse que ce dernier contienne
+exactement $n$ racines $n$-ièmes de l'unité. Quatre méthodes au moins
+permettent de démontrer le point clef :
+\begin{enumerate}
+\item (algèbre linéaire) utiliser la diagonalisabilité
+d'un automorphisme d'ordre $n$ agissant sur un $k$-espace vectoriel de
+dimension finie ;
+\item (géométrique) utiliser le théorème de la base normale
+(\refext{Versel}{theoreme base normale}) et l'existence d'un isomorphisme
+(\refext{Versel}{KAS I})
+\[ k[x_{i ∈ 𝐙/n}][\det(x_{i+j})^{-1}] ≃ k[t_{i ∈ 𝐙/n}^{±1}] ;
+\]
+\item (résolvantes) utiliser les \emph{résolvantes de Lagrange} ;
+\item (cohomologique) utiliser la notion de $𝐙/n$-torseur,
+leur description comme groupe de cohomologie (\refext{Formes}{H1G=TorsG})
+et enfin le calcul de ce groupe via le théorème $90$ de Hilbert
+(\refext{Formes}{Hilbert 90}).
+\end{enumerate}
+
+Afin de donner la possibilité au lecteur d'aborder ce chapitre
+après la seule lecture des chapitres [Alg] et [CG] (cf. \emph{leitfaden})
+nous utiliserons ici les méthodes (i) et (iii), la première
+étant, loin s'en faut, la plus rapide de toutes. La seconde (iii),
+également assez courte, introduit un concept important dans les
+calculs (cf. \refext{Calculs}{}).
+L'approche reposant sur (ii) étant traitée en détail
+dans \refext{Versel}{KAS I} nous n'en parlerons pas dans ce chapitre.
+Le lecteur curieux pourra cependant essayer de comprendre sa parenté avec (i).
+Nous ferons en temps utile quelques remarques — que le lecteur pressé pourra
+passer — sur la méthode cohomologique qui, d'en d'autres contextes,
+s'avère la plus féconde.
+
+\subsection{Extension de groupe $𝐙/n$ : énoncés}
+
+\begin{théorème2}\label{extension cyclique=Kummer}
+Soient $n$ un entier et $k$ un corps contenant $n$ racines
+$n$-ièmes de l'unité. Soit $K\bo k$ une extension galoisienne
+de groupe cyclique d'ordre $n$.
+\begin{enumerate}
+\item Il existe un élément $a ∈ k^×$ tel que $K$ soit un corps de décomposition du polynôme $X^n-a$.
+\item Si $b$ est un autre élément jouissant de la même propriété,
+les sous-groupes $A=⟨a⟩$ et $B=⟨b⟩$ de $k^× ∩ {K^×}^n$ ont même image
+dans le quotient $(k^× ∩ {K^×}^n)/{k^×}^n$.
+\end{enumerate}
+\end{théorème2}
+
+
+\begin{remarques2}
+\begin{itemize}
+\item L'hypothèse faite sur $k$ entraîne que $n$ est premier
+à son exposant caractéristique.
+\item Sans hypothèse sur $k$, on peut donner une description des extensions de groupes
+$𝐙/n$ pour $2 ≤ n ≤ 4$ (cf. \refext{Versel}{equation verselle C2},
+\ref{equation verselle C3} et \ref{equation verselle C4}).
+\item Le critère d'égalité $⟨\sur{a}⟩=⟨\sur{b}⟩$ dans le quotient $(k^× ∩ {K^×}^n)/{k^×}^n$
+équivaut à l'existence d'un entier $r$ premier à $n$ et
+d'un élément $x ∈ k^×$ tels que $a=b^r x^n$.
+\end{itemize}
+\end{remarques2}
+
+Ce théorème admet la réciproque suivante.
+
+\begin{proposition2}\label{extension Kummerienne est de groupe cyclique}
+Soient $n$ un entier, $k$ un corps contenant $n$ racines
+$n$-ièmes de l'unité, $a$ un élément de $k^×$
+et enfin $f=X^n-a ∈ k[X]$.
+\begin{enumerate}
+\item Le polynôme $f$ est \emph{séparable}.
+\item Soit $α$ une racine de $f$ dans un corps de décomposition $K$ de $f$.
+Pour tout élément $σ$ de $\Gal(K\bo k)$, l'élément $σ(α)/α$ appartient à $μ_n(k)$ et est indépendant du choix
+de $α$. L'application $\Gal(K\bo k) → μ_n(k)$, $σ ↦ σ(α)/α$, est un morphisme injectif, appelé
+\emph{caractère de Kummer}\index{caractère de Kummer}. En particulier, $K\bo k$ est galoisienne
+de groupe cyclique d'ordre divisant $n$.
+\item Le groupe $\Gal(K\bo k)$ est d'ordre exactement $n$ lorsque $f$
+est irréductible, ce qui se produit si et seulement si
+$a$ n'est une puissance $ℓ$-ième dans $k$ pour aucun diviseur premier
+de $n$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+\subsection{Démonstrations}
+
+\subsubsection{Démonstration de la proposition \ref{extension Kummerienne est de groupe cyclique}}
+Commençons par vérifier la séparabilité du polynôme $f$. Une manière
+de procéder est d'utiliser le critère \refext{Alg}{critère
+différentiel de séparabilité polynôme}. La dérivée
+de $f$ est $nX^{n-1}$ ; l'entier $n$ étant inversible, le pgcd
+de $f$ et $f ′$ est donc $1$.
+Soit $K$ un corps de décomposition de $f$. Notons $Π$ son groupe
+de Galois et fixons une racine $α$ de $f$ dans $K$, c'est-à-dire
+une racine $n$-ième de $a$. Le polynôme $f$ se décompose alors
+dans $K[X]$ en un produit
+\[
+f(X)=∏_{ζ ∈ μ_n(k)} (X-ζ α)
+\]
+ce qui revient à dire que l'ensemble
+des racines $n$-ièmes de $a$ est $\{ ζ α\}_{ζ}$.
+Soit $σ ∈ Π$. Il résulte de l'observation précédente
+qu'il existe une (unique) racine de l'unité $ζ_{σ}$ telle
+que
+\[
+σ(α)=ζ_σ α.
+\]
+Comme $τ(ζ)=ζ$ pour chaque $τ ∈ Π$ et chaque $ζ ∈ μ_n(k) ⊆k$,
+on a
+\[
+ζ_{τ σ}α = τ σ(α)=ζ_σ ζ_τ α :
+\]
+l'application $σ ∈ Π ↦ ζ_σ
+∈ μ_n(k)$ est un morphisme de \emph{groupes}. Ce morphisme
+est indépendant du choix de $α$ car si $β=ζ α$ est une autre racine,
+$σ(β)/β=σ(ζ)/ζ ⋅ σ(α)/α=σ(α)/α$ car $ζ$ appartient à $k$.
+D'autre part, le groupe $μ_n(k)$ est cyclique
+(\refext{Fin}{cyclicite-groupe-multiplicatif-corps}), d'ordre $n$
+par hypothèse. Montrons que le caractère de Kummer est \emph{injectif} ;
+cela démontrera que $Π$, étant isomorphe à un sous-groupe
+de $μ_n(k)$, est cyclique d'ordre divisant $n$. Il suffit
+de démontrer que si $σ(α)=τ(α)$, alors $σ=τ$. Or
+$k(\{ζ α\}_ζ)=k(α)$ de sorte que $K$ est en fait
+engendré sur $k$ par $α$. Les $k$-automorphismes de $K$ sont
+donc caractérisés par l'image de $α$. Ceci achève la démonstration
+de (i) et (ii).
+
+Étudions maintenant à quelle condition l'extension $K\bo k$
+est de degré exactement $n$. L'égalité $K=k(α)$ montre
+que $[K:k]$ est le degré du polynôme minimal de $α$
+sur $k$. Celui-ci divise $f=X^n-a$ ; il est donc de degré $n$
+si et seulement si il est égal à $f$ c'est-à-dire
+si et seulement si $f$ est irréductible sur $k$.
+Soit $σ$ un \emph{générateur} de $Π$. Il résulte
+de l'isomorphisme $Π=⟨σ⟩ ⥲ ⟨ζ_σ⟩⊆μ_n(k)$
+que $f$ est réductible si et seulement si
+$ζ_σ$ est d'ordre $r$ divisant strictement $n$.
+La chaîne d'égalités $σ(α^r)=σ(α)^r=ζ_σ^r α^r=α^r$
+montre que $α^r$ appartient alors à $k^×$. Comme
+$a=(α^r)^{\frac{n}{r}}$, $a$ est dans ce cas une puissance
+$\frac{n}{r}$-ième. À plus forte raison, c'est une puissance
+$ℓ$-ième pour un diviseur premier $ℓ$ de $n$.
+Réciproquement, si $a=b^ℓ$ pour $ℓ$ divisant $n$,
+il est clair que l'image $Π$ dans $μ_n(k)$ est contenu
+dans $μ_n(k)^ℓ$ ; c'est un sous-groupe strict de $μ_n(k)$.
+
+\begin{exercice2}
+Donner une seconde démonstration du critère d'irréductibilité
+de $f$ en décomposant $f$ en produit de polynômes irréductibles
+dans $k[X]$ et en considérant les coefficients constants de ces
+polynômes.
+\end{exercice2}
+
+Nous allons maintenant donner quatre démonstration
+de l'énoncé \ref{extension cyclique=Kummer} (i), présentées
+par degré croissant de technicité.
+
+\subsubsection{Première démonstration de \ref{extension
+cyclique=Kummer} (i)}
+
+Soient $K\bo k$ et $n$ comme dans l'énoncé. Notons $Π$
+le groupe de Galois de $K\bo k$, supposé cyclique d'ordre $n$,
+et fixons un générateur $σ$. Considéré comme
+endomorphisme $k$-linéaire de $K$ dans $K$,
+son polynôme minimal est $X^n-1$. Cela résulte
+du fait que $σ^n=\Id_K$ et que $n$ est minimal pour
+cette propriété. Les racines de $X^n-1$
+étant simples et contenues dans $k$, l'endomorphisme
+$σ$ est \emph{diagonalisable}. Ses valeurs propres
+sont des racines $n$-ième de l'unité, dont au moins
+l'une d'entre elles est primitive, sans quoi $σ$ serait
+d'ordre divisant strictement $n$. Soit $ζ$ une telle
+valeur propre et $α ∈ K-\{0\}=K^×$ un vecteur propre.
+Par définition $σ(α)=ζα$. L'orbite de $α$ sous $Π=⟨σ⟩$
+est d'ordre $n$ de sorte que $K=k(α)$. D'autre part,
+$σ(α^n)=α^n$ si bien que $a:=α^n$ appartient à $k^×$.
+
+\subsubsection{Seconde démonstration de \ref{extension
+cyclique=Kummer} (i)}
+
+Soit $K\bo k$ et $n$ comme dans l'énoncé. Notons $Π$
+son groupe de Galois, supposé cyclique d'ordre $n$,
+et fixons un générateur $σ$.
+Pour chaque élément $x$ de $K$ on notera $x_i$ l'élément $σ^i(x)$,
+où $i$ est un entier relatif quelconque. Suivant Lagrange
+\cite[§54-]{Reflexions@Lagrange}\footnote{Les résultats de ce grand mémoire,
+exposant la théorie de Galois « avant la lettre », montrent
+que les extensions considérées dans ce chapitre sont appelées
+« kummériennes » à tort. Voir par exemple \cite{cyclotomie@Weil}.}
+introduisons, pour chaque $ζ ∈ μ_n(k)$, les \emph{résolvantes}
+\[
+(ζ,x)=∑_{0 ≤ i <n} ζ^i x_i.
+\]
+Nous connaissons déjà l'une d'entre elles : $(1,x)=\Tr_{K\bo k}(x)$ ;
+elle appartient à $k$.
+Par construction $σ ⋅ (ζ,x)=ζ^{-1}(ζ,x)$. Il en résulte
+que $(ζ,x)^n$ est invariant par $σ$ et appartient donc à $k$.
+Fixons dorénavant une racine primitive $n$-ième $ζ$ de l'unité.
+Si $x ∈ K$ est tel que $α=(ζ,x)$ soit non nul, on a alors $K=k(α)$
+— car $α$ a une orbite d'ordre $n$ sous l'action de $σ$ — et $α^n ∈ k$.
+L'existence d'un tel $x$ résulte de l'indépendance linéaire
+des automorphismes $σ^i$, $0 ≤ i <n$, cf. \refext{CG}{indépendance linéaire des automorphismes}.
+
+Lorsque $n$ est premier, on peut même s'affranchir de la référence
+à \emph{loc. cit.} En effet, lorsque $x$ appartient à $K-k$,
+l'égalité
+\[
+∑_{ζ ∈ μ_n(k)} ζ^{-1}(ζ,x)=n ⋅ x,
+\]
+dont le terme de droite n'appartient pas à $k$,
+montre qu'il existe une racine de l'unité $ζ$, nécessairement
+différente de $1$, telle que la résolvante $(ζ,x)$ n'appartienne
+pas à $k$. Elle est en particulier non nulle et $ζ$
+est une racine primitive car $n$ est supposé premier.
+
+\subsubsection{Troisième démonstration de \ref{extension
+cyclique=Kummer} (i)}\label{Kummer 3}
+
+Soit $K\bo k$ et $n$ comme dans l'énoncé. Notons $Π$
+son groupe de Galois, supposé cyclique d'ordre $n$,
+et fixons un générateur $σ$. Fixons également
+une racine primitive $n$-ième $ζ$ de l'unité dans $k$.
+Soit $c:Π → μ_n(k)$ l'unique (iso)morphisme de groupes
+envoyant $σ$ sur $ζ$. C'est en particulier un
+$1$-cocycle à valeurs dans le groupe multiplicatif de $K^×$
+(\refext{Formes}{généralités 1-cocycles}).
+D'après le théorème de Hilbert $90$ (\ref{Hilbert 90}),
+un tel cocycle est \emph{trivial} : il existe $α ∈ K^×$
+tel que $c(τ)=α^{-1} ⋅ {^τ α}$. En particulier $σ(α)=ζ ⋅ α$.
+On a alors $α^n ∈ k^×$ et $K=k(α)$. CQFD.
+
+\begin{remarque2}
+On remarquera que le lemme \refext{CG}{indépendance linéaire des
+automorphismes}, qui apparaît de façon cruciale dans la seconde
+démonstration, intervient également
+dans la première démonstration du théorème de Hilbert 90
+(\refext{Formes}{H90 via Poincaré}).
+\end{remarque2}
+
+\subsubsection{Quatrième démonstration de \ref{extension
+cyclique=Kummer} (i) (esquisse)}\label{Kummer 4}
+
+Soit $K\bo k$ et $n$ comme dans l'énoncé. Notons $Π$
+son groupe de Galois, supposé cyclique d'ordre $n$,
+et fixons un générateur $σ$. Fixons également un générateur $ζ$ de $μ_n(k)$.
+L'isomorphisme $ι:Π ⥲ μ_n(k)$, $σ ↦ ζ$ (ou plutôt son inverse) et l'action naturelle de $Π$
+font de $K$ un $μ_n(k)$-torseur sur $k$, trivialisé par $K\bo k$
+(\refext{Formes}{extension galoisienne groupe G est un
+G-torseur}). L'ensemble $\mathrm{Tors}(K\bo k,μ_n(k))/∼$
+des classes d'isomorphismes de tels torseurs est naturellement isomorphe au groupe
+de cohomologie $H¹(K\bo k,μ_n(k))=\Hom(Π,μ_n(k))$ ;
+cet isomorphisme envoyant $[K]$ sur $ι$.
+Le point clef est que l'on peut \emph{calculer} le groupe
+$H¹(K\bo k,μ_n(k))$. En effet, la suite exacte de $Π$-modules abéliens
+\[
+1 → μ_n(k) → K^× \dessusdessous{x ↦ x^n}{→} {K^×}^n → 1
+\]
+induit une suite exacte
+\[
+H⁰(K\bo k,K^×) → H⁰(K\bo k,{K^×}^n) \dessusdessous{δ}{→} H¹(K\bo k,μ_n(k)) → H¹(K\bo k,K^×).
+\]
+D'après le théorème de Hilbert $90$ (\refext{Formes}{Hilbert 90}),
+le groupe $H¹(K\bo k,K^×)$ est trivial. D'autre part,
+$H⁰(K\bo k,K^×)$ est, par définition, $\Fix_Π(K^×)$, lui-même égal
+à $k^×$ et $H⁰(K\bo k,{K^×}^n)=k^× ∩ {K^×}^n$ pour la même raison.
+Le morphisme cobord induit donc un isomorphisme
+\[
+(k^× ∩ {K^×}^n)/{k^×}^n ⥲ H¹(K\bo k,μ_n(k)) ≃ \mathrm{Tors}(K\bo k,μ_n(k))/∼.
+\]
+Par définition du cobord (\refext{formes}{}), il envoie
+la classe d'un élément $a$ de $k^× ∩ {K^×}^n$
+sur le caractère de Kummer $χ_a: σ ↦ \frac{σ(a^{1/n})}{a^{1/n}}$
+appartenant à $\Hom(Π,μ_n(k))$. Ainsi, il existe $a$ tel que
+$ι$ soit égal au caractère de Kummer $χ_a$.
+Ceci signifie que $ι(σ)=ζ$ est égal à $\frac{σ(α)}{α}$
+où $α$ est une racine $n$-ième quelconque de $a$ dans $K$.
+CQFD.
+
+\begin{remarques2}
+\begin{itemize}
+\item Le lecteur constatera que cette méthode donne aussi
+une démonstration de \ref{extension cyclique=Kummer} (ii).
+\item On peut vérifier que le morphisme composé
+\[(k^× ∩ {K^×}^n)/{k^×}^n → \mathrm{Tors}(K\bo k,μ_n(k))/∼\]
+envoie la classe de $a$ sur la classe du $μ_n(k)$-torseur
+$k[X]/(X^n-a)$. % \XXX à faire
+\end{itemize}
+\end{remarques2}
+
+\subsubsection{Démonstration de \ref{extension cyclique=Kummer} (ii)}
+
+Soit $K\bo k$, $n$, $a$ et $b$ comme dans l'énoncé. Notons $Π$
+son groupe de Galois, supposé cyclique d'ordre $n$,
+et fixons un générateur $σ$. Choisissons également des racines
+$n$-ièmes $α$ et $β$ de $a$ et $b$ dans $K$ respectivement.
+Ces éléments étant primitifs pour l'extension $K\bo k$,
+il existe deux racines \emph{primitives} $n$-ièmes de l'unité
+$ζ_a$ et $ζ_b$ telles que $σ(α)=ζ_a ⋅ α$ et $σ(β)=ζ_b ⋅ β$.
+Soit $r ∈ 𝐍$, nécessairement premier à $n$, tel que $ζ_β=ζ_α^r$. On
+a donc $σ(β^r)=ζ_a β^r$ et, par conséquent, $σ(\frac{α}{β^r})=\frac{α}{β^r}$.
+Ainsi, $x=\frac{α}{β^r}$ appartient à $k$. Sa puissance $n$-ième
+vaut $a/b^r$ et appartient à ${k^×}^n$. CQFD.
+
+\subsection{Amplification : extension abéliennes d'exposant divisant $n$}
+
+Une extension $K\bo k$ est dite abélienne d'exposant divisant $n$
+si elle est galoisienne de groupe abélien tué par $n$.
+La généralisation suivante de \ref{extension Kummerienne est de groupe cyclique}
+permet de construire de telles extensions.
+
+\begin{lemme2}
+Soient $n$ un entier et $k$ un corps contenant $n$ racines
+$n$-ièmes de l'unité. Soit $A$ une partie $k^×$.
+Tout corps de décomposition de la famille de polynômes
+$X^n-a$, $a ∈ A$, est une extension abélienne de $k$ d'exposant
+divisant $n$.
+\end{lemme2}
+
+On note habituellement $k(A^{1/n})$ un tel corps de décomposition
+et $A^{1/n}$ l'ensemble de ses éléments $α$ tels que $α^n$ appartienne à $A$.
+
+\begin{démo}
+Comme on l'a vu en \emph{loc. cit.}, les polynômes $X^n-a$ sont
+séparables de sorte que l'extension $k(A^{1/n})\bo k$ est galoisienne.
+Notons $Π$ son groupe de Galois. Fixons $α ∈ A^{1/n}$.
+Pour chaque $σ$ dans $Π$, il existe $ζ_{σ,α}$ dans $μ_n(k)$ tel que $σ(α)=ζ_{σ,α} α$.
+La chaîne d'égalités
+\[
+τ σ (α)=τ(ζ_{σ,α} α)=ζ_{σ,α} τ(α)=ζ_{σ,α} ζ_{τ,α} α =ζ_{τ,α} ζ_{σ,α} α,
+\]
+valable pour chaque $α$, montre que $σ$ et $τ$ commutent.
+D'autre part les égalités $σ^n(α)=ζ_{σ,α}^n α=α$, valables
+pour chaque $α$, montrent que $σ^n=1$. CQFD.
+\end{démo}
+
+Ici encore, le fait remarquable est que toutes les extensions
+abéliennes d'exposant divisant $n$ sont obtenues ainsi.
+
+\begin{théorème2}\label{Kummer général}
+Soient $n$ un entier, $k$ un corps contenant $n$ racines
+$n$-ièmes de l'unité et $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
+\begin{enumerate}
+\item L'application $A ↦ K_A=k(A^{1/n})$ est une bijection
+croissante entre l'ensemble des sous-groupes de $k^×$
+contenant ${k^×}^n$ et l'ensemble des sous-extensions
+abéliennes de $Ω$ d'exposant divisant $n$. La bijection
+réciproque est donnée par $K ↦ A_K={K^×}^n ∩ k^×$.
+\item Soit $A$ un sous-groupe de $k^×$ contenant ${k^×}^n$.
+Le morphisme
+\[
+\Gal(k(A^{1/n})\bo k) → \Hom(A/{k^×}^n,μ_n(k))
+\]
+\[
+σ ↦ \big( a \mod{} {k^×}^n ↦ σ(a^{1/n})/a^{1/n}\big)
+\]
+est un isomorphisme. En particulier
+\[
+[k(A^{1/n}):k]=(A:{k^×}^n).
+\]
+\end{enumerate}
+\end{théorème2}
+
+\subsection{Digression : dualité des $𝐙/n$-modules}
+
+Soit $n ≥ 1$ un entier. Pour tout $𝐙/n$-module $M$, notons
+$D(M)$ le $𝐙/n$-module \emph{dual} $\Hom_{𝐙/n}(M,𝐙/n)$.
+
+\begin{lemme2}\label{Zsurn dual nul implique nul}
+Un $𝐙/n$-module $M$ de dual nul est nul.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Si $M$ est monogène, c'est évident. Considérons le cas général.
+Supposons $M$ non nul et considérons les paires $(N, φ)$
+où $N$ est un sous-module non nul de $M$ et $φ:N → 𝐙/n$ est un morphisme
+non nul. De telles paires existent (cas monogène non nul). Il en existe une maximale
+pour l'inclusion des modules et le prolongement des formes linéaires.
+Notons-la $(M ′,φ ′)$. Si $M=M ′$, on a construit un élément non nul
+du dual et la conclusion est assurée. Supposons par l'absurde
+qu'il existe un élément $m$ de $M - M ′$. Soit $r ≥ 2$ le plus petit
+entier tel que $r m $ appartienne à $M ′$ ; il divise $n$. Posons $x=φ(rm) ∈ 𝐙/n$.
+Comme $(n/r) (rm)=0$, on a $(n/r)x=0$ d'où $x ∈ r 𝐙/n$. Soit $y ∈
+𝐙/n$ tel que $x=ry$. On peut étendre $φ ′$ en $φ:M ′ + 𝐙/n ⋅ m → 𝐙/n$
+en posant $φ(m ′ + s m)=φ(m ') + s y$. Absurde.
+\end{démo}
+
+\begin{lemme2}\label{bidualité Zsurn modules finis}
+Soit $M$ un $𝐙/n$-module \emph{fini}.
+\begin{enumerate}
+\item $ ♯ D(M) = ♯ M$.
+\item Le morphisme d'évaluation (ou « bidualité ») $M → D(D(M))$
+est un isomorphisme.
+\end{enumerate}
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+On se ramène au cas où $M$ est cyclique car la dualité
+commute aux sommes directes finies. Le résultat est évident dans
+ce cas : si $r$ divise $n$, $D(𝐙/r)$ est naturellement isomorphe à la
+$r$-torsion de $𝐙/n$, elle-même isomorphe à $𝐙/r$.
+\end{démo}
+
+\begin{remarque2}
+Nous n'utiliserons le premier lemme que dans le cas particulier où $M$ est
+\emph{fini}. Dans ce cas, il résulte du second lemme.
+Notons cependant qu'une démonstration possible
+du théorème de structure des groupes abéliens finis repose
+de façon cruciale sur une variante du lemme \ref{Zsurn dual nul implique nul}.
+\end{remarque2}
+
+\subsection{Démonstration}Nous allons démontrer ici le théorème \ref{Kummer
+général}. Commençons par le cas des extensions finies. Soit $K$ une sous-extension de
+$Ω \bo k$, abélienne \emph{finie} d'exposant divisant $n$.
+Considérons le morphisme $A_K \bo {k^×}^n → \Hom(\Gal(K\bo k),μ_n)$
+envoyant la classe de $a ∈ A_K$ sur le caractère de Kummer correspondant :
+$σ ↦ σ(a^{1/n})/a^{1/n}$. Ce morphisme est injectif car
+si $σ(a^{1/n})=a^{1/n}$ pour tout $σ$, on a $a^{1/n} ∈ k$,
+c'est-à-dire $a ∈ {k^×}^n$. Ce morphisme est également \emph{surjectif}.
+En effet, si $χ$ est un caractère du groupe de Galois,
+il existe un $α ∈ K^×$ tel que $χ(σ)=σ(α)/α$ (cf. \ref{Kummer 3}).
+Sa puissance $n$-ième $α^n$ appartient nécessairement à $k^×$,
+d'où $α ∈ A_K$. (L'isomorphisme
+$A_K \bo {k^×}^n → \Hom(\Gal(K\bo k),μ_n)$ est également
+démontré en \ref{Kummer 4}, si l'on se souvient de
+l'identification entre $\Hom(\Gal(K\bo k),μ_n)$ et $H¹(K\bo k,μ_n)$.)
+Notons en particulier que les groupes $A_K \bo {k^×}^n$ et $\Gal(K\bo k)$
+ont même cardinal ; on utilise ici l'égalité $♯ \Gal(K\bo k) = ♯ D\big(\Gal(K\bo k)\big)$
+(\ref{bidualité Zsurn modules finis}).
+Soit $K ′=k(A_{K}^{1/n})$. On a trivialement $K ′ ⊆ K$ et par conséquent $A_{K ′} ⊆ A_K$.
+Cette dernière inclusion est une égalité car $A_{K ′}$ contient visiblement $A_K$.
+Les groupes $\Gal(K\bo k)$ et $\Gal(K ′ \bo k)$ ayant même cardinal — celui de
+$A_K \bo {k^×}^n$ —, on a également $K = K ′$.
+Ceci montre que toute sous-extension abélienne finie d'exposant divisant $n$ de
+$Ω$ est de la forme $k(A^{1/n})$, où $A$ est comme dans l'énoncé.
+Notons $D_μ=\Hom(\tiret,μ)$. L'isomorphisme $A_K \bo {k^×}^n ⥲ D_μ(\Gal(K\bo k))$
+induit un isomorphisme $D_μD_μ(\Gal(K\bo k)) ⥲ D_μ(A_K \bo {k^×}^n)$.
+On vérifie immédiatement que l'isomorphisme composé
+$\Gal(K\bo k) ⥲ D_μD_μ(\Gal(K\bo k)) ⥲ D_μ(A_K \bo {k^×}^n)$
+n'est autre que l'application $σ ↦ (a \mod {{k^×}}^n ↦ σ(a^{1/n})/a^{1/n})$.
+Pour achever la démonstration du théorème dans le cas fini,
+il faut vérifier que si $A$ est comme en (i) et $K_A:=k(A^{1/n})$,
+on a l'égalité entre $A$ et $A_{K_A}:={K_A^×}^n ∩ k^×$.
+L'inclusion $A ⊆ A_{K_A}$ est claire. Considérons la suite exacte \[
+1 → A/{k^×}^n → A_{K_A}/{k^×}^n → A_{K_A}/A → 1
+\]
+ainsi que la suite exacte induite par dualité
+\[
+1 → D_μ(A_{K_A}/A) → D_μ(A_{K_A}/{k^×}^n) → D_μ(A/{k^×}^n)
+\]
+où la seconde flèche est le morphisme de restriction.
+Le morphisme composé $\Gal(K_A\bo k) ⥲ D_μ(A_{K_A}/{k^×}^n) → D_μ(A/{k^×}^n)$
+a pour noyau l'ensemble des automorphismes agissant trivialement sur $A^{1/n}$,
+c'est-à-dire l'identité de $K_A$. Il en résulte que $D_μ(A_{K_A}/{k^×}^n) →
+D_μ(A/{k^×}^n)$ est injectif et, finalement, $D_μ(A_{K_A}/A)=\{1\}$.
+D'après \ref{Zsurn dual nul implique nul} ci-dessus, on a donc
+$A=A_{K_A}$. CQFD.
+
+Cas général. Soit $K\bo k$ comme en (i). Le morphisme $\Gal(K\bo k) → D_μ(A_K
+\bo {k^×}^n)$ est un isomorphisme : cela résulte d'un passage à la limite
+sur les sous-extensions finies de $K$. L'inclusion \emph{a priori} $k(A_K
+^{1/n}) ⊆ K$ est une égalité ; cela résulte du fait que le corps $k(A_K ^{1/n})$
+contient, d'après ce qui précède, toutes les sous-$k$-extensions finies de $K$.
+Enfin, la démonstration ci-dessus de l'égalité $A = A_{K_A}$ s'étend
+au cas général, lemme \ref{Zsurn dual nul implique nul} étant valable
+sans hypothèse de finitude.
+
+\subsection{Cas où les racines de l'unité ne sont pas dans $k$}
+
+Commençons par les deux lemmes élémentaires suivants.
+
+\begin{lemme2}\label{Xl-a irréductible}
+Soient $k$ un corps, $ℓ$ un nombre premier et $a$ un
+élément de $k$. Si le polynôme $X^ℓ-a$ est réductible
+sur $k$, il existe un élément $b$ de $k$ tel
+que $a=b^ℓ$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Soient $Ω$ une clôture algébrique de $k$ et $α$ une racine $ℓ$-ième
+de $a$ dans $Ω$. Les racines dans $Ω$ d'un diviseur $g$ de $f$ dans $k[X]$
+s'écrivant sous la forme $ζ α$, où $ζ$ parcourt une partie
+$S⊆μ_ℓ(Ω)$ de cardinal $\deg(g)$, son coefficient $g(0)$
+est égal — au signe près — au produit $ξ α^{\deg(g)}$,
+où $ξ=∏_{ζ ∈ S} ζ$ appartient à $μ_ℓ(Ω)$. Par élévation à
+la puissance $ℓ$, on voit que $a^{\deg(g)}$ appartient à ${k^×}^ℓ$.
+La conclusion résulte alors du fait que si $g$ est un diviseur strict de $f$,
+on a $\deg(g)< ℓ$ de sorte que $d=\deg(g)$ et $ℓ$ sont premiers entre eux
+si bien que, pour chaque élément $x$ de $k^×$, les conditions
+$x^d ∈ {k^×}^ℓ$ et $x ∈ {k^×}^ℓ$ sont équivalentes.
+\end{démo}
+
+\begin{lemme2}\label{y=x puissance r fois lambda}
+Soient $k$ un corps, $ℓ$ un nombre premier inversible
+sur $k$ et $K=k(x)$ une extension monogène de $k$ de degré $ℓ$ telle
+que $x^ℓ$ appartienne à $k$.
+Si $y$ est un autre élément de $K$ tel que $y^ℓ$ appartienne à $k$, il
+existe un unique entier $r ∈ [0,ℓ-1]$ tel que $y/x^r$ appartienne à $k$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Soient $Ω$ une clôture algébrique de $K$, $ζ$ une racine \emph{primitive}
+$ℓ$-ième de l'unité dans $Ω$ et $σ:K → Ω$ l'unique $k$-plongement
+envoyant $x$ sur $ζx$. Considérons maintenant $σ(y)$. Puisque $σ(y^ℓ)=y^ℓ$ — car
+$y^ℓ$ est un élément de $k$ —, on peut écrire $σ(y)$ sous la forme $ξ y$,
+où $ξ$ est une racine $ℓ$-ième de l'unité. Cette racine s'écrit donc
+sous la forme $ξ=ζ^r$ pour un unique $r ∈ [0,ℓ-1]$. Il en résulte
+que l'élément $y/x^r$ est laissé invariant par $σ$. Or
+le sous-corps $\{z ∈ K: σ(z)=z\}$ de $K$ ne contient pas $x$
+donc est égal à $k$ pour des raisons de degré, $[K:k]$
+ayant pour seuls diviseurs $1$ et $ℓ$. Ainsi
+le quotient $y/x^r$, qui appartient à ce sous-corps, est un élément de $k$.
+\end{démo}
+
+\begin{théorème2}[Martin Kneser \cite{Lineare@Kneser}]\label{théorème Kneser}
+Soient $K\bo k$ une extension algébrique séparable et $A$ un sous-groupe de $K^×$
+tel que l'indice $(k^×⟨A⟩:k^×)$ de $k^×$ dans le sous-groupe
+de $K^×$ engendré par $k^×$ et $A$ soit fini.
+Les conditions suivantes sont équivalentes :
+\begin{enumerate}
+\item l'inégalité \emph{a priori} $[k(A):k] ≤ (k^×⟨A⟩:k^×)$ est une
+\emph{égalité} ;
+\item
+\begin{enumerate}
+\item pour tout nombre premier $ℓ$, toute racine $ℓ$-ième
+de l'unité dans $k^×⟨A⟩$ est en fait dans $k^×$ et,
+\item toute racine primitive quatrième de l'unité $\sqrt{-1}$
+dans $K$ telle que $1+\sqrt{-1}$ appartienne à $k^×⟨A⟩$
+est en fait dans $k^×$.
+\end{enumerate}
+\end{enumerate}
+\end{théorème2}
+
+\begin{corollaire2}[Capelli]\label{théorème Capelli}
+Soient $k$ un corps et $n ≥ 2$ un entier. Un polynôme $X^n-a$ dans $k[X]$
+est irréductible si et seulement l'élément $a$ appartient à $k^×$
+mais à aucun des sous-groupes ${k^×}^ℓ$ pour $ℓ$ premier divisant $n$,
+ni à $-4 {k^×}⁴$ si $n$ est divisible par quatre.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+Les conditions sont nécessaires car $X^{ℓm}-b^ℓ$ (resp.
+$X^{4m}+4b⁴$) est divisible par $X^m-b$ (resp. $X^{2m}-2bX^m+2b²$).
+Démontrons la suffisance. Soient $K$ un corps de rupture
+de $X^n-a$, $α$ une racine $n$-ième de $a$ dans $K$ et $A=⟨ α ⟩$
+le sous-groupe multiplicatif engendré, de sorte que $K=k(A)$.
+D'après le théorème précédent, l'irréductibilité de $X^n-a$
+— qui est équivalente à l'égalité $[K:k]=n$ — a lieu
+si et seulement si les critères (a) et (b) sont satisfaits
+et si de plus l'inégalité \emph{a priori} $(k^×⟨A⟩:k^×) ≤ n$ (cf. ci-après) est une
+égalité. Le groupe $A$ étant monogène engendré par $α$, l'indice
+$(k^×⟨A⟩:k^×)$ est l'ordre de la classe de $α$ dans $K^×/k^×$.
+Cet ordre divise $n$ et s'il en était un diviseur strict,
+il existerait un diviseur premier $ℓ$ de $n$ tel que $α^{n/ℓ}$ appartienne
+à $k^×$ ; ceci contredit l'hypothèse. Il nous reste à vérifier les critères (a)
+et (b). Soient $ℓ$ un nombre premier et $ζ_ℓ$ une racine $ℓ$-ième de l'unité
+appartenant au groupe $k^×⟨A⟩$ de sorte que l'on a une égalité $ζ_ℓ=λ α^r$ pour certains $λ ∈ k^×$ et $r ∈ [0,n-1]$.
+Supposons que le nombre premier $ℓ$ divise $n$ mais pas $r$ ; il
+divise donc l'entier $m=n/(n,r)$ où $(n,r)$ est le pgcd de $n$ et $r$. En élevant
+l'égalité $ζ_ℓ=λ α^r$ à la puissance $m$, on obtient $1=λ^m a^{r/(n,r)}$ d'où en
+particulier $a^{r/(n,r)} ∈ {k^×}^ℓ$ car ${k^×}^m$ est contenu dans ${k^×}^ℓ$.
+Puisque $ℓ$ est premier à $r/(n,r)$, on en
+tire $a ∈ {k^×}^ℓ$, ce qui est contraire à l'hypothèse. Ainsi $ℓ$ ne divise pas
+$m$ et l'égalité $ζ_ℓ^m=λ^m a^{r/(n,r)} ∈ k^×$ entraîne l'appartenance
+de $ζ_ℓ$ à $k^×$. Vérifions maintenant le critère (b) en supposant
+que $1+\sqrt{-1}$ appartienne à $k^×⟨A⟩$. (On suppose en particulier
+que la caractéristique de $k$ est différente de deux, sans quoi il n'y a rien à
+démontrer.) Écrivons comme précédemment
+\[1+\sqrt{-1}=λ α^r\] et posons $m=n/(n,r)$.
+
+\begin{itemize}
+\item [Cas où quatre divise $m$.] On obtient par élévation à la puissance $m$ l'égalité
+\[
+(-4)^{m/4}λ^{-m}= a^{r/(n,r)}.
+\]
+\begin{itemize}
+\item [Cas où $m/4$ est pair.] Le terme de gauche est un carré. Comme $r/(n,r)$ est
+impair, on a $a ∈ {k^×}²$ et une contradiction.
+\item [Cas où $m/4=2k+1$.] L'égalité $(-4)^{m/4}=-4 ⋅ (2^k)^4$
+jointe à l'égalité ci-dessus montre que $a^{r/(n,r)}$ appartient à $-4 {k^×}⁴$.
+Or, il résulte de notre hypothèse que si $s$ est un entier tel que
+$4|ns$ et $a^s ∈ -4 {k^×}⁴$ alors $4|s$. En effet on aurait
+dans le cas contraire soit $4|n$ et $a ∈ -4 {k^×}⁴$ (ce qui est exclu)
+soit $2|n$ et $a² ∈ -4 {k^×}⁴$. Cette dernière possibilité est
+également exclue car on aurait alors $\sqrt{-1} ∈ k$ et enfin $a ∈ {k^×}²$.
+Appliquant cette observation à $s=r/(n,r)$, on constate que
+l'élément $a^{r/(n,r)}$ ne peut appartenir à l'ensemble $-4 {k^×}⁴$
+si quatre ne divise pas $r/(n,r)$. Contradiction.
+\end{itemize}
+\item [Cas où quatre ne divise pas $m$.]
+Puisque $(1+\sqrt{-1})^m=λ^m a^{r/(n,r)}$ appartient à $k$,
+il en est de même de $\sqrt{-1}$ compte tenu du fait que
+$2^{-[m/2]}(1+\sqrt{-1})^m$ appartient à l'ensemble
+$\{±\sqrt{-1},±1±\sqrt{-1}\}$.
+\end{itemize}
+\end{démo}
+
+%La démonstration suivante est tirée de \cite[chap. 2]{Polynomials@Schinzel}.
+%La démonstration originale est identique.
+
+\begin{démo}[Démonstration du théorème \ref{théorème Kneser}]
+(i) ⇒ (ii). Commençons par observer que $A$ étant un groupe et \emph{a fortiori}
+un monoïde, le corps $k(A)$ est l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments
+de $A$. Il en résulte que la dimension $[k(A):k]$ est le nombre maximal d'éléments
+de $A$ linéairement indépendants sur $k$. D'autre part, il est clair
+que des éléments de $A$ linéairement indépendants sur $k$ ne sont pas
+homothétiques deux-à-deux donc appartiennent à des classes modulo $k^×$
+distinctes. En conséquence, on a l'inégalité
+\[
+[k(A):k] ≤ (k^×⟨A⟩ : k^×).
+\]
+Soit $x$ un élément $K^×$ appartenant au sous-groupe $k^×⟨A⟩$.
+En factorisant les deux termes de l'égalité $[k(A):k]=(k^×⟨A⟩:k^×)$
+on obtient l'égalité :
+\[
+[k(A):k(x)]⋅[k(x):k]=\big(k^×⟨A⟩:k^×⟨⟨x⟩⟩\big) ⋅ \big(k^×⟨⟨x⟩⟩:k^×\big).
+\]
+L'inégalité ci-dessus, appliquée au corps $k(x)$ engendré par $x$, montre que l'on a la
+majoration $[k(A):k(x)] ≤ \big(k^×⟨A⟩:k(x)^×\big)$. Comme d'autre part
+on a l'inclusion $k^×⟨⟨x⟩⟩ ⊆ k(x)^×$, on en déduit l'inégalité
+\[
+[k(A):k(x] ≤ \big(k^×⟨A⟩:k^×⟨⟨x⟩⟩\big).
+\]
+Pour que l'égalité ci-dessus soit satisfaite, il est donc nécessaire
+que l'inégalité \emph{a priori}
+\[
+[k(x):k] ≤ \big(k^×⟨⟨x⟩⟩:k^×\big)
+\]
+soit une égalité. Le terme de droite
+coïncide avec l'ordre de $x \mod k^×$ dans $K^×/k^×$.
+
+(a) Supposons maintenant que $x$ soit une racine $ℓ$-ième
+de l'unité. Le terme de droite de l'inégalité ci-dessus est donc un diviseur du nombre premier $ℓ$
+tandis que le terme de gauche est majoré par $ℓ-1$. Il en résulte que ces entiers sont égaux à un,
+c'est-à-dire que la racine de l'unité $x$ appartient à $k^×$.
+
+(b) Supposons maintenant que $x-1$ soit une racine quatrième
+de l'unité. Observons que ce cas ne peut se produire que lorsque le corps $k$
+est de caractéristique différente de deux. Si la racine en question
+n'est pas primitive, $x=2$ et il n'y a rien à démontrer.
+Dans le cas contraire, on a $x²=2(x-1)$ et $x⁴=-4$.
+L'indice $\big(k^×⟨⟨x⟩⟩:k^×\big)$ est donc égal à $1$ ou $4$ suivant
+que $x$, ou $x-1$ — cela revient au même —, appartiennent à $k$ ou non.
+D'autre part, $[k(x):k]$ est égal à $1$ ou $2$ suivant que $x$,
+ou $x-1$ — cela revient au même —, appartiennent à $k$ ou non.
+Le cas d'égalité se produit donc si et seulement si la racine primitive
+quatrième de l'unité $x-1$ appartient à $k$.
+
+(ii) ⇒ (i). Commençons par constater que l'on peut supposer l'indice
+$(k^×⟨A⟩:k^×)$ être une puissance d'un nombre premier $ℓ$.
+En effet, si l'on considère pour chaque $ℓ$ l'image inverse $T_ℓ$
+du $ℓ$-Sylow $S_ℓ$ de $k^×⟨A⟩/k^×$ dans $k^×⟨A⟩$, et que l'on démontre
+l'égalité $[k(T_ℓ):k]=(k^×⟨T_ℓ⟩:k^×)\,(=♯S_ℓ)$, on aura
+la divisibilité $♯ S_ℓ | [k(A):k]$ pour chaque nombre premier $ℓ$ et finalement
+la relation $(k^×⟨A⟩ : k^×) | [k(A):k]$. On peut alors conclure
+en utilisant la majoration $[k(A):k] ≤ (k^×⟨A⟩ : k^×)$ démontrée ci-dessus.
+
+Plaçons nous dorénavant dans le cas où $(k^×⟨A⟩:k^×)$ est une puissance
+d'un nombre premier $ℓ$. Considérons une filtration
+\[
+k^×=G₀ ⊆ G₁ ⊆ … ⊆ G_r=k^×⟨A⟩
+\]
+à quotients d'ordre $ℓ$ et posons $k_n=k(G_n)$ pour $n ∈ [0,r]$.
+
+Nous allons démontrer par récurrence sur l'entier $n ∈ [0,r]$ les faits suivants :
+\begin{itemize}
+\item [$(C_n)$ :] $[k_n:k_{n-1}]=ℓ$ si $n>0$ ;
+\item [$(D_n)$ :] un élément $x$ de $k_n$ appartient à $G_n$ lorsque les
+conditions suivantes sont satisfaites :
+\begin{itemize}
+\item [si $ℓ≠2$ :] $x^ℓ$ appartient à $G_n$ ;
+\item [si $ℓ=2$ :] $x²$ appartient à $G_n$ et, d'autre part, soit
+$x$ appartient à $k^×⟨A⟩$ soit $\sqrt{-1}$ n'appartient pas à $k_n$.
+\end{itemize}
+\end{itemize}
+Les énoncés $C₀$ et $D₀$ sont trivialement vrais. Supposons donc $n>0$.
+
+Démonstration de l'implication : $(D_{n-1})$ entraîne $(C_n)$.
+Soit $g_n ∈ G_n$ tel que $G_n=G_{n-1}⟨g_n⟩$. Par construction $g_n^ℓ$ appartient
+au groupe $G_{n-1}$. Les corps $k_n$ et $k_{n-1}(g_n)$ étant
+égaux, il en résulte que le degré du corps $k_n$ sur $k_{n-1}$ est
+inférieur ou égal à $ℓ$, avec inégalité si et seulement si
+le polynôme $X^ℓ -g_n^ℓ$ est réductible sur $k_{n-1}$. On vérifie immédiatement
+(cf. lemme \ref{Xl-a irréductible} supra) que cela force l'existence
+d'un élément $x$ de $k_{n-1}$ tel que $x^ℓ=g_n^ℓ$.
+
+\begin{itemize}
+\item [Supposons $ℓ≠2$.] Étant égal à $g_n^ℓ$, l'élément $x^ℓ$ appartient à $G_{n-1}$.
+D'après $(D_{n-1})$, l'élément $x$ appartient également à $G_{n-1}$.
+D'autre part, le quotient $g_n/x$ est une racine $ℓ$-ième de l'unité appartenant
+à $G_n$ donc, par l'hypothèse (i), à $k^×$. En conséquence, $g_n$ appartient à
+$G_{n-1}$. Absurde.
+
+\item [Supposons $ℓ=2$.] Dans ce cas, $x²$ appartient à $G_{n-1}$, $x=±g_n$ donc
+appartient à $k^×⟨A⟩$ donc, par $(D_{n-1})$, $x$ appartient également
+à $G_{n-1}$. Comme $g_n=±x$ et $\{±1\}$ est contenu dans $k^× =G₀$,
+on a $g_n ∈ G_{n-1}$. Absurde.
+\end{itemize}
+
+Démonstration de l'implication : $(D_{n-1})$ et $(C_n)$ entraînent $(D_n)$.
+
+\begin{itemize}
+\item [Supposons $ℓ≠2$.]
+Considérons un élément $x$ de $k_n$ tel que
+$x^ℓ$ appartienne à $G_n$. Il existe donc un entier $s ∈ [0,ℓ-1]$
+et un élément $h ∈ G_{n-1}$ tels que $x^ℓ=g_n^s h$.
+
+\begin{itemize}
+\item [Cas $s=0$.] On peut conclure en utilisant le lemme \ref{y=x puissance r fois lambda}.
+En effet, comme $x^ℓ$ appartient à $k_{n-1}$ et $x$ appartient à
+$k_n=k_{n-1}(g_n)$, il existe un entier $r$ tel que $x g_n^{-r}$
+appartienne à $k_{n-1}$. D'autre part $(x g_n^{-r})^ℓ=h (g_n^ℓ)^{-r}$ appartient
+à $G_{n-1}$, il résulte de $(D_{n-1})$ que $x g_n^{-r}$ appartient à $G_{n-1}$.
+CQFD.
+\item [Cas $s≠0$.] Nous allons montrer que ce cas ne se produit pas.
+Notons $N$ la norme de $k_n$ à $k_{n-1}$ et observons d'ores et déjà
+que $N(g_n)=g_{n}^ℓ$ car le polynôme minimal de $g_n$ sur $k_{n-1}$ est
+$X^ℓ-g_n^{ℓ}$, de degré impair. L'égalité $x^ℓ=g_n^s h$ devient donc, par application de $N$
+et réécriture immédiate : ${g_{n}^ℓ}^s=(N(x)/h)^ℓ$. Le terme de droite
+est un élément de ${k_{n-1}^{×}}^ℓ$. Si $s$ est non nul, il est premier à $ℓ$,
+de sorte que l'on a également $g_{n}^ℓ =y^ℓ$ pour un $y$ dans $k_{n-1}^{×}$.
+Comme $y^ℓ$ appartient à $G_{n-1}$ il résulte de $(D_{n-1})$
+que $y$ appartient à $G_{n-1}$. Comme $g_n/y$ est une racine $ℓ$-ième
+de l'unité appartenant à $G_n$ elle appartient à $k^×=G₀$ d'après
+l'hypothèse (a). Finalement $g_n$ appartient $G_{n-1}$. Absurde.
+\end{itemize}
+
+\item[Supposons $ℓ=2$.] Considérons un élément $x$ de $k_n$ tel que
+$x²$ appartienne à $G_n$. Il existe donc un entier $s ∈ \{0,1\}$
+et un élément $h ∈ G_{n-1}$ tels que $x²=g_n^s h$.
+\begin{itemize}
+\item[Cas $s=0$.] Même démonstration que ci-dessus. Observer
+que si $x$ appartient à $k^×⟨A⟩$ (resp. $\sqrt{-1}$ n'appartient
+pas à $k_n$), alors $xg_n^{-1}$ appartient à $k^×⟨A⟩$ (resp. $\sqrt{-1}$ n'appartient
+pas à $k_{n-1}$).
+% changer l'étude de cas.
+\item[Cas $s=1$.] Notons $N$ la norme de $k_n$ à $k_{n-1}$ et observons d'ores et déjà
+que $N(g_n)=-g_{n}²$ car le polynôme minimal de $g_n$ sur $k_{n-1}$ est
+$X²-g_n²$, de degré pair. L'égalité $x²=g_n h$ devient donc $N(x)²=-g_n² h²$ par application
+de $N$, d'où $g_n h=(±N(x))\sqrt{-1}$.
+Les deux éléments $h,N(x)$ appartenant à $k_{n-1}$ et $g_n$ à $k_n-k_{n-1}$,
+il en résulte que $\sqrt{-1}$ appartient à $k_n-k_{n-1}$. En conséquence,
+l'extension quadratique $k_n \bo k_{n-1}$ est engendrée par $\sqrt{-1}$.
+On peut donc écrire l'élément $x$ de $k_n$ sous la forme $λ+μ \sqrt{-1}$
+où $λ$ et $μ$ appartiennent à $k_{n-1}$. Par élévation au carré,
+on obtient $x²=(λ²-μ²)+(2 λ μ) \sqrt{-1}$. Comme d'autre part $x²=g_n h$
+appartient à la droite $k_{n-1} ⋅ \sqrt{-1}$ (cf. \emph{supra}),
+on a $λ=± μ$, c'est-à-dire :
+\[
+x=λ(1±\sqrt{-1}).
+\]
+En élevant à la puissance quatrième, on obtient $x⁴=(-4) ⋅ λ ⁴$. Comme $x²$
+appartient à $G_n$, son carré $x^4$ appartient à $G_{n-1}$, de même que $λ⁴$.
+(Rappelons que $-4 ∈ k^×=G₀$.)
+En appliquant l'hypothèse de récurrence $(D_{n-1})$ à l'élément $λ²$,
+et en se souvenant que $\sqrt{-1}$ n'appartient pas à $k_{n-1}$,
+on en déduit que $λ²$ appartient au groupe $G_{n-1}$. Une nouvelle
+application de l'hypothèse de récurrence montre que $λ$ appartient également
+à $G_{n-1}$. Si $x=λ(1±\sqrt{-1})$ appartient à $k^×⟨A⟩$, on a donc
+$1±\sqrt{-1}$ dans $k^×⟨A⟩$. D'après l'hypothèse (b), on a alors
+$\sqrt{-1}$ dans $k^×$ et finalement $x$ dans $G_{n-1}$. CQFD.
+\end{itemize}
+\end{itemize}
+\end{démo}
+
+\section{Théorie d'Artin-Schreier}
+
+\subsection{Introduction}
+Nous allons étudier les extensions galoisiennes cycliques d'ordre $p$
+d'un corps $k$ de caractéristique le nombre premier $p$.
+Ici encore, différentes méthodes permettent de démontrer le point clef :
+\begin{enumerate}
+\item (algèbre linéaire) trigonaliser un endomorphisme
+unipotent d'ordre $p$ agissant sur un $k$-espace vectoriel
+de dimension finie ;
+\item (géométrique) utiliser le théorème de la base normale
+(\refext{Versel}{theoreme base normale}) et l'existence d'un morphisme
+$𝐙/p$-équivariant (\refext{Versel}{KAS I})
+\[ k[x_{i ∈ 𝐙/p}][\det(x_{i+j})^{-1}] → k[y]
+\]
+où $𝐙/p$ agit sur $y$ (resp. les $x_i$) par translation (resp. translation
+des indices) ;
+%\item (résolvantes) utiliser les \emph{résolvantes de Lagrange} ;
+\item (cohomologique) utiliser la notion de $𝐙/p$-torseur,
+leur description comme groupe de cohomologie (\refext{Formes}{H1G=TorsG})
+et enfin le calcul de ce groupe reposant sur \refext{Formes}{H1Ga=0}.
+\end{enumerate}
+
+\begin{remarque2}
+Les résultats qui vont suivre peuvent être vus comme des analogues
+« additifs » partiels de la théorie de Kummer. (« Partiels »
+car l'étude des extensions abélienne d'ordre $p^r$ d'un corps de
+caractéristique $p$ ne sera faite que dans une section ultérieure.)
+Ceci est manifeste à la lecture des énoncés \ref{extension cyclique=Kummer}
+et \ref{extension Z sur p-AS}.
+Cela transparaît également ainsi. Si l'on note $σ$ un générateur du groupe de Galois, la méthode (i)
+exposée ci-dessous prend pour point de départ la réécriture de l'équation $σ^p=1$
+en $σ=1+𝔫$ où $𝔫^p=0$ : on ne considère plus une matrice \emph{diagonalisable}
+inversible, dont les puissances $i$-ièmes se calculent par élévation
+à la puissance $i$ des coefficients diagonaux dans une base adaptée,
+mais une matrice \emph{unipotente} $1+𝔫$,
+dont les puissances $i$-ièmes se calculent via la multiplication
+par l'entier $i$ d'une matrice nilpotente $N$ telle
+que $1+𝔫=e^N$ (cf. exercice \ref{explog=identité} \emph{infra}).
+De même, les méthodes (ii) et (iv) font intervenir
+non plus le groupe multiplicatif $\Gm$ (représenté
+par l'algèbre $k[t,t^{-1}]$) mais le groupe additif $\Ga$ (représenté
+par l'algèbre $k[y]$).
+\end{remarque2}
+
+\begin{exercice2}\label{explog=identité}
+Soient $p$ un nombre premier et $k$ un corps de caractéristique $p$.
+Vérifier que l'exponentielle tronquée $\exp_{<p}(x)=∑_{i=0}^{p-1} \frac{x^i}{i!}$
+et le logarithme tronqué $\log_{<p}(x)=-∑_{i=1}^{p-1}\frac{(1-x)^i}{i}$
+définissent des bijections réciproques entre l'ensemble des matrices
+nilpotentes et l'ensemble des matrices unipotentes de $𝐌_p(k)$.
+\end{exercice2}
+
+\subsubsection{}Afin de donner la possibilité au lecteur d'aborder ce chapitre
+après la seule lecture des chapitres [Alg] et [CG] (cf. \emph{leitfaden})
+nous commencerons par exposer la méthode (i) ainsi que l'argument
+original de Emil Artin et Otto Schreier, qui sont aussi, loin s'en faut,
+les plus rapides de toutes. L'approche reposant sur (ii) étant traitée en détail
+dans \refext{Versel}{KAS I} et étendue au cas des extensions
+de groupe $𝐙/p^r$ lorsque $r$ est un entier quelconque dans la section
+suivante, nous n'en parlerons pas dans cette section-ci.
+Le lecteur curieux pourra cependant essayer de comprendre sa parenté avec (i).
+Nous ferons en temps utile quelques remarques — que le lecteur pressé pourra
+passer — sur la méthode cohomologique qui, d'en d'autres contextes,
+s'avère la plus féconde.
+
+\subsection{Extensions de groupe $𝐙/p$ ; énoncés}
+\begin{théorème2}[\cite{Kennzeichnung@AS}, théorème 1]\label{extension Z sur p-AS}
+Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$ et soit $K\bo k$
+une extension galoisienne de groupe cyclique d'ordre $p$.
+\begin{enumerate}
+\item Il existe un élément $a$ de $k$ tel que $K$ soit un corps
+de décomposition du polynôme $X^p-X-a$.
+\item Si $b$ est un autre élément jouissant de la même propriété,
+les sous-groupes (additifs) $A=⟨a⟩$ et $B=⟨b⟩$ de $k ∩ ℘(K)$ ont même image
+dans le quotient $k ∩ ℘(K) / ℘(k)$.
+\end{enumerate}
+\end{théorème2}
+
+On rappelle \XXX qu'une algèbre de caractéristique $p$ étant donnée, on note
+$℘$ l'application $𝐅_p$-linéaire $x ↦ x^p-x$ (morphisme
+d'Artin-Schreier).
+
+Ce théorème admet la réciproque suivante.
+
+\begin{proposition2}\label{extension AS est de groupe Z sur p}
+Soient $k$ un corps de caractéristique $p>0$, $a$ un élément de $k$,
+$f=X^p-X-a ∈ k[X]$ et $K$ un corps de décomposition de $f$ sur $k$.
+\begin{enumerate}
+\item Le polynôme $f$ est \emph{séparable}.
+\item Soit $α$ une racine de $f$ dans $K$
+de $f$. Pour tout élément $σ$ de $\Gal(K\bo k)$, l'élément
+$σ(α)-α$ appartient au sous-corps $𝐅_p$ de $k$ et est indépendant
+du choix de $α$. L'application $\Gal(K\bo k) → 𝐅_p$, $σ ↦ σ(α)-α$
+est un morphisme \emph{injectif}, appelé \emph{caractère
+d'Artin-Schreier}\index{caractère d'Artin-Schreier}. En particulier,
+l'extension $K\bo k$ est galoisienne de groupe trivial ou cyclique d'ordre $p$.
+\item Le groupe $\Gal(K\bo k)$ est d'ordre $p$ si et seulement si
+$f$ est irréductible, ce qui se produit si et seulement si
+$a$ n'appartient pas au sous-$𝐅_p$-espace vectoriel $℘(k)$ de $k$.
+Dans ce cas, si $α$ est une racine de $f$, tout autre élément primitif
+$β ∈ K$ également racine d'un polynôme de la forme $X^p-X-b$, où $b ∈ k$,
+s'écrit $β=i α + λ$ où $i$ est un entier non nul inférieur à $p$ et
+$λ$ appartient à $k$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+Comme nous l'avons déjà fait dans le chapitre \XXX nous
+noterons parfois $\root ℘ \of a$ une racine quelconque de l'équation
+$X^p-X=a$.
+
+\begin{lemme2}\label{trace dans AS}
+$\Tr_{K\bo k}(α^i)=0$ pour $0 ≤ i <p-1$ et $\Tr_{K\bo k}(α^{p-1})=-1$
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+En effet, $\Tr_{K\bo k}(α^i)=∑_{λ ∈ 𝐅_p}(α + λ)^i$ et
+$∑_{λ ∈ 𝐅_p} λ^i=0$ si $0 ≤ i < p-1$ et $-1$ si $i=p-1$. (On utilise
+le fait que le groupe multiplicatif $𝐅_p^×$ est cyclique d'ordre $p-1$.)
+\end{démo}
+
+\subsection{Démonstrations}
+\subsubsection{Démonstration de la proposition \ref{extension AS est de groupe Z sur p}}
+La séparabilité du polynôme $f$ résulte du fait
+que sa dérivée est $-1$, trivialement première à $f$.
+Soit $K$ un corps de décomposition de $f$. Notons $Π$ son groupe
+de Galois et fixons une racine $α$ de $f$ dans $K$ de sorte
+que $℘(α)=a$.
+L'application $℘$ étant additive de noyau $𝐅_p$,
+le polynôme $f$ se décompose alors dans $K[X]$ en un produit
+\[
+f(X)=∏_{β ∈ \root℘\of a} (X-β)= ∏_{ζ ∈ 𝐅_p} (X-(ζ + α)).
+\]
+Soit $σ ∈ Π$. Il résulte de l'observation précédente
+qu'il existe un (unique) élément $ζ_σ$ de $𝐅_p ⊆ k$ tel
+que
+\[
+σ(α)=ζ_σ + α.
+\]
+Comme $τ(ζ)=ζ$ pour chaque $τ ∈ Π$ et chaque $ζ ∈ 𝐅_p ⊆k$,
+on a
+\[
+ζ_{τ σ}α = τ σ(α)=ζ_σ + ζ_τ + α :
+\]
+l'application $σ ∈ Π ↦ ζ_σ
+∈ 𝐅_p$ est un morphisme de \emph{groupes}. Ce morphisme
+est indépendant du choix de $α$ car si $β=ζ + α$ est une autre racine,
+$σ(β)-β=(σ(ζ)-ζ) + (σ(α)-α)=σ(α)-α$ car $ζ$ appartient à $k$.
+Montrons que le caractère d'Artin-Schreier est \emph{injectif} ;
+cela démontrera que $Π$, étant isomorphe à un sous-groupe
+de $𝐅_p$, est soit trivial soit cyclique d'ordre $p$. Il suffit
+de démontrer que si $σ(α)=τ(α)$, alors $σ=τ$. Or
+$k(\{ζ + α\}_{ζ ∈ 𝐅_p})=k(α)$ de sorte que $K$ est en fait
+engendré sur $k$ par $α$. Les $k$-automorphismes de $K$ sont
+donc caractérisés par l'image de $α$. Ceci achève la démonstration
+de (i) et (ii). Considérons maintenant le troisième point.
+La première partie de l'énoncé est conséquence immédiate du fait
+que $f$ est scindé dans tout corps de rupture.
+Soit maintenant $β$ un élément primitif racine d'un polynôme d'Artin-Schreier
+comme dans l'énoncé et soit $σ$ un générateur de $Π$. Il existe un entier $i$ tel que
+$σ(β)=β+i$. Il en résulte que $β-i α$ est $σ$-invariant donc dans $k$. CQFD.
+
+\subsubsection{Première démonstration de \ref{extension Z sur p-AS} (i)}
+Soit $K\bo k$ comme dans l'énoncé, de groupe
+de Galois noté $Π$, supposé cyclique d'ordre $p$.
+Fixons un générateur $σ$. Considéré comme
+endomorphisme $k$-linéaire de $K$ dans $K$,
+son polynôme minimal est $X^p-1$. Cela résulte
+du fait que $σ^p=\Id_K$ et que $p$ est minimal pour
+cette propriété. L'égalité $X^p-1=(X-1)^p$ dans l'anneau
+$k[X]$ de caractéristique $p$ montre que $𝔫=σ-\Id_K$ est un endomorphisme
+nilpotent du $k$-espace vectoriel $K$ de dimension $p$.
+Le noyau de $𝔫$ n'est autre que $\Ker(σ-\Id_K)=\Fix_Π(K)=k$ : c'est une
+droite\footnote{On peut en déduire que l'indice de nilpotence de $n$ est exactement $p$.
+Ceci résulte également du fait qu'une relation
+$0=(σ-\Id_K)^r=∑₀^r {r \choose i} σ^i $ (où $r<p$) contredirait
+l'indépendance linéaire des éléments de $Π$ (\refext{CG}{indépendance linéaire
+des automorphismes}).}. La dimension de $K$ sur $k$ étant $p ≥ 2$,
+il en résulte qu'il existe un élément $α$ de $K$ tel que $𝔫²(α)$
+soit nul mais pas $𝔫(α)$. En d'autres termes, $𝔫(α)=σ(α)-α$
+appartient à $k=\Ker(𝔫)-\{0\}$. Quitte à multiplier $α$ par
+un scalaire de $k$, on a donc démontré l'existence d'un
+élément $α$ de $K$ tel que $σ(α)=1+α$.
+L'orbite de $α$ sous $Π=⟨σ⟩$ est d'ordre $p$ de sorte que $K=k(α)$.
+Enfin, $σ(α^p-α)=(1+α)^p-(1+α)=0$ de sorte que $a:=℘(α)$ appartient
+à $k$. CQFD.
+
+\subsubsection{Seconde démonstration de \ref{extension Z sur p-AS} (i)}\label{AS 2}
+Soit $K\bo k$ comme dans l'énoncé et soit
+$σ$ un générateur de son groupe de Galois, supposé cyclique d'ordre $p$.
+Soit $x ∈ K$ tel que $K=k(x)$ et posons pour chaque $i ∈ [0,p-1]$,
+$x_i :=σ^i(x)$. Les $x_i$ étant deux-à-deux distincts, il résulte
+du théorème de Vandermonde que le déterminant $\det(x_i^j)_{0 ≤ i,j ≤ p-1}$
+est non nul. En particulier, il existe un entier $r ∈ [0,p-1]$ tel
+que la somme $s=∑_{0 ≤ i ≤ p-1} x_i^r$ soit non nulle.
+Posons $α=\frac{-1}{s} ∑_{0 ≤ i ≤ p-1} i x_i^r$. On vérifie immédiatement
+que $σ(α)=α+1$. On conclut comme ci-dessus. Cet argument
+est l'argument original de E. Artin et O. Schreier.
+
+\subsubsection{Troisième démonstration de \ref{extension Z sur p-AS} (i)}\label{AS 3}
+
+Soit $K\bo k$ comme dans l'énoncé. Notons $Π$
+son groupe de Galois, supposé cyclique d'ordre $p$,
+et fixons un générateur $σ$.
+Soit $c:Π → 𝐅_p$ l'unique (iso)morphisme de groupes
+envoyant $σ$ sur $1$. C'est en particulier un
+$1$-cocycle à valeurs dans le groupe additif de $K$
+(\refext{Formes}{généralités 1-cocycles}).
+D'après \refext{Formes}{H1Ga=0}, un tel cocycle est \emph{trivial} : (en
+notations additives) il existe $α ∈ K$
+tel que $c(τ)=-α + {^τ α}$. En particulier $σ(α)=1+α$.
+On a alors $℘(α)∈ k$ et $K=k(α)$. CQFD.
+
+\subsubsection{Quatrième démonstration de \ref{extension Z sur p-AS} (i) (esquisse)}\label{AS 4}
+
+Soit $K\bo k$ comme dans l'énoncé. Notons $Π$ son groupe de Galois, supposé
+cyclique d'ordre $p$, et fixons un générateur $σ$.
+L'isomorphisme $ι:Π ⥲ 𝐙/p$, $σ ↦ 1$ (ou plutôt son inverse) et l'action naturelle de $Π$
+font de $K$ un $𝐙/p$-torseur sur $k$, trivialisé par $K\bo k$
+(\refext{Formes}{extension galoisienne groupe G est un
+G-torseur}). L'ensemble $\mathrm{Tors}(K\bo k,𝐙/p)/∼$
+des classes d'isomorphismes de tels torseurs est naturellement isomorphe au groupe
+de cohomologie $H¹(K\bo k,𝐙/p)=\Hom(Π,𝐙/p)$ ;
+cet isomorphisme envoyant $[K]$ sur $ι$.
+Le point clef est que l'on peut \emph{calculer} le groupe
+$H¹(K\bo k,𝐙/p)$. En effet, la suite exacte de $Π$-modules abéliens
+\[
+0 → 𝐙/p → K \dessusdessous{x \dessusdessous{℘}{↦} x^p-x}{→} ℘(K) → 0
+\]
+induit une suite exacte
+\[
+H⁰(K\bo k,K) → H⁰(K\bo k,℘(K)) \dessusdessous{δ}{→} H¹(K\bo k,𝐙/p) → H¹(K\bo k,K).
+\]
+D'après \refext{Formes}{H1Ga=0}, le groupe $H¹(K\bo k,K)$ est trivial. D'autre part,
+$H⁰(K\bo k,K)$ est, par définition, $\Fix_Π(K)$, lui-même égal
+à $k$ et $H⁰(K\bo k,℘(K))=k ∩ ℘(K)$ pour la même raison.
+Le morphisme cobord induit donc un isomorphisme
+\[
+(k ∩ ℘(K))/℘(k) ⥲ H¹(K\bo k,𝐙/p) ≃ \mathrm{Tors}(K\bo k,𝐙/p)/∼.
+\]
+Par définition du cobord (\refext{formes}{}), il envoie
+la classe d'un élément $a$ de $k ∩ ℘(K)$
+sur le caractère d'Artin-Schreier $χ_a: σ ↦ σ(\root ℘\of a)-\root ℘\of a$
+(où $\root ℘\of a$ est une racine quelconque de $℘(X)=a$) appartenant à
+$\Hom(Π,𝐙/p)$. Ainsi, il existe $a$ tel que
+$ι$ soit égal au caractère d'Artin-Schreier $χ_a$.
+Ceci signifie que $ι(σ)=1$ est égal à $σ(α)-α$
+où $α=\root ℘\of a$.
+CQFD.
+
+\begin{remarques2}
+\begin{itemize}
+\item Le lecteur constatera que cette méthode donne aussi
+une démonstration de \ref{extension Z sur p-AS} (ii).
+\item On peut vérifier que le morphisme composé
+\[(k ∩ ℘(K))/℘(k) → \mathrm{Tors}(K\bo k,𝐙/p)/∼\]
+envoie la classe de $a$ sur la classe du $𝐙/p$-torseur
+$k[X]/(X^p-X-a)$. % \XXX à faire
+\end{itemize}
+\end{remarques2}
+
+\subsubsection{Démonstration de \ref{extension Z sur p-AS} (ii)}
+Soient $K\bo k$, $a$ et $b$ comme dans l'énoncé. Notons $Π$
+le groupe de Galois de l'extension $K\bo k$, supposé cyclique d'ordre $p$.
+Choisissons également des racines $℘$-ièmes $α$ et $β$ de $a$ et $b$ dans $K$ respectivement.
+Ces éléments étant primitifs pour l'extension $K\bo k$,
+il existe deux éléments non nuls $ζ_a$ et $ζ_b$ de
+du sous-corps premier $𝐅_p$ tels que $σ(α)=ζ_a + α$ et $σ(β)=ζ_b + β$.
+Soit $r ∈ 𝐍$, nécessairement premier à $p$, tel que $ζ_β=r ζ_α$. On
+a donc $σ(rβ)=ζ_a + rβ$ et, par conséquent, $σ(α - β^r)=α - β^r$.
+Ainsi, $x=α-rβ$ appartient à $k$. En appliquant le morphisme
+$℘$ à cette identité, on obtient $℘(x)=a-rb ∈ ℘(k)$ où $r$ est inversible
+dans $k$. La conclusion en résulte aussitôt.
+
+\subsection{Amplification : extensions abéliennes d'exposant $p$}
+
+Rappelons qu'une extension $K\bo k$ est dite abélienne d'exposant divisant $p$
+si elle est galoisienne de groupe abélien tué par $p$.
+La généralisation suivante de \ref{extension AS est de groupe Z sur p}
+permet de construire de telles extensions.
+
+\begin{lemme2}
+Soient $k$ un corps de caractéristique $p>0$ et $A$ une partie $k$.
+Tout corps de décomposition de la famille de polynômes
+$X^p-X-a$, $a ∈ A$, est une extension abélienne de $k$ d'exposant
+divisant $p$.
+\end{lemme2}
+
+On note habituellement $k(\root ℘ \of A)$ un tel corps de décomposition
+et $\root ℘ \of A$ l'ensemble de ses éléments $α$ tels que $α^p-α$ appartienne à $A$.
+
+\begin{démo}
+Comme on l'a vu en \emph{loc. cit.}, les polynômes $X^p-X-a$ sont
+séparables de sorte que l'extension $k(\root ℘ \of A)\bo k$ est galoisienne.
+Notons $Π$ son groupe de Galois. Fixons $α ∈ \root ℘ \of A$.
+Pour chaque $σ$ dans $Π$, il existe $ζ_{σ,α}$ tel que $σ(α)=ζ_{σ,α} + α$.
+La chaîne d'égalités
+\[
+τ σ (α)=τ(ζ_{σ,α} + α)=ζ_{σ,α} + τ(α)=ζ_{σ,α} + ζ_{τ,α} + α =ζ_{τ,α} + ζ_{σ,α} + α,
+\]
+valable pour chaque $α$, montre que $σ$ et $τ$ commutent.
+D'autre part les égalités $σ^p(α)=pζ_{σ,α}+α=α$, valables
+pour chaque $α$, montrent que $σ^p=1$. CQFD.
+\end{démo}
+
+Ici encore, le fait remarquable est que toutes les extensions
+abéliennes d'exposant divisant $p$ sont obtenues ainsi.
+
+\begin{théorème2}\label{AS général}
+Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$ et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
+\begin{enumerate}
+\item L'application $A ↦ K_A=k(\root ℘ \of A)$ est une bijection
+croissante entre l'ensemble des sous-groupes de $k$
+contenant $℘(k)$ et l'ensemble des sous-extensions
+abéliennes de $Ω$ d'exposant divisant $p$. La bijection
+réciproque est donnée par $K ↦ A_K=℘(K) ∩ k$.
+\item Soit $A$ un sous-groupe de $k$ contenant $℘(k)$.
+Le morphisme
+\[
+\Gal(k(\root ℘ \of A)\bo k) → \Hom(A/℘(k),𝐙/p)
+\]
+\[
+σ ↦ \big( a \mod{} ℘(k) ↦ σ(\root ℘ \of a) - \root ℘ \of a\big)
+\]
+est un isomorphisme. En particulier
+\[
+[k(\root ℘ \of A):k]=(A: ℘(k)).
+\]
+\end{enumerate}
+\end{théorème2}
+
+\subsubsection{Démonstration du théorème \ref{AS général}}
+(\emph{Mutatis mutandis}, la démonstration est identique à celle
+de \ref{Kummer général}.)
+Soit $K$ une sous-extension de $Ω \bo k$, abélienne \emph{finie} d'exposant
+divisant $p$. Considérons le morphisme $A_K \bo ℘(k) → \Hom(\Gal(K\bo k),𝐙/p)$
+envoyant la classe de $a ∈ A_K$ sur le caractère
+d'Artin-Schreier correspondant :
+$σ ↦ σ(\root ℘ \of a) - \root ℘ \of a$. Ce morphisme est
+injectif car si $σ(\root ℘ \of a)=\root ℘ \of a$ pour tout $σ$, on a
+$\root ℘ \of a ∈ k$, c'est-à-dire $a ∈ ℘(k)$. Ce morphisme est également
+\emph{surjectif}. En effet, si $χ$ est un caractère du groupe de Galois
+à valeurs dans $𝐅_p$, il existe d'après \ref{AS 3} un $α ∈ K$ tel que $χ(σ)=σ(α)-α$.
+Sa puissance $℘$-ième appartient nécessairement à
+$k$, d'où $α ∈ A_K$. (L'isomorphisme
+$A_K \bo ℘(k) → \Hom(\Gal(K\bo k),𝐙/p)$ est également
+démontré en \ref{AS 4}, si l'on se souvient de
+l'identification entre $\Hom(\Gal(K\bo k),𝐙/p)$ et $H¹(K\bo k,𝐙/p)$.)
+Notons en particulier que les groupes $A_K \bo ℘(k)$ et $\Gal(K\bo k)$
+ont même cardinal ; on utilise ici l'égalité $♯ \Gal(K\bo k) = ♯ D\big(\Gal(K\bo k)\big)$
+(\ref{bidualité Zsurn modules finis}).
+
+Soit $K ′=k(\root ℘ \of A_{K})$. On a trivialement $K ′ ⊆ K$ et par conséquent $A_{K ′} ⊆ A_K$.
+Cette dernière inclusion est une égalité car $A_{K ′}$ contient visiblement $A_K$.
+Les groupes $\Gal(K\bo k)$ et $\Gal(K ′ \bo k)$ ayant même cardinal — celui de
+$A_K \bo ℘(k)$ —, on a également $K = K ′$.
+Ceci montre que toute sous-extension abélienne finie d'exposant divisant $p$ de
+$Ω$ est de la forme $k(\root ℘ \of A)$, où $A$ est comme dans l'énoncé.
+Notons $D_p=\Hom(\tiret,𝐙/p)$. L'isomorphisme $A_K \bo ℘(k) ⥲ D_p(\Gal(K\bo k))$
+induit un isomorphisme $D_pD_p(\Gal(K\bo k)) ⥲ D_p(A_K \bo ℘(k) )$.
+On vérifie immédiatement que l'isomorphisme composé
+$\Gal(K\bo k) ⥲ D_pD_p(\Gal(K\bo k)) ⥲ D_p(A_K \bo ℘(k))$
+n'est autre que l'application $σ ↦ (a \mod ℘(k) ↦ σ(\root ℘ \of a) - \root ℘ \of a)$.
+Pour achever la démonstration du théorème dans le cas fini,
+il faut vérifier que si $A$ est comme en (i) et $K_A:=k(\root ℘ \of A)$,
+on a l'égalité entre $A$ et $A_{K_A}:=℘(K_A) ∩ k$.
+L'inclusion $A ⊆ A_{K_A}$ est claire. Considérons la suite exacte \[
+1 → A/℘(k) → A_{K_A}/℘(k) → A_{K_A}/A → 1
+\]
+ainsi que la suite exacte induite par dualité
+\[
+1 → D_p(A_{K_A}/A) → D_p(A_{K_A}/℘(k)) → D_p(A/℘(k))
+\]
+où la seconde flèche est le morphisme de restriction.
+Le morphisme composé $\Gal(K_A\bo k) ⥲ D_p(A_{K_A}/℘(k)) → D_p(A/℘(k))$
+a pour noyau l'ensemble des automorphismes agissant trivialement sur $\root ℘ \of A$,
+c'est-à-dire l'identité de $K_A$. Il en résulte que $D_p(A_{K_A}/℘(k)) →
+D_p(A/℘(k))$ est injectif et, finalement, $D_p(A_{K_A}/A)=\{0\}$.
+D'après \ref{Zsurn dual nul implique nul} ci-dessus, on a donc
+$A=A_{K_A}$. CQFD.
+
+Cas général. Soit $K\bo k$ comme en (i). Le morphisme $\Gal(K\bo k) → D_p(A_K
+\bo ℘(k))$ est un isomorphisme : cela résulte d'un passage à la limite
+sur les sous-extensions finies de $K$. L'inclusion \emph{a priori} $k(\root ℘
+\of A_K ) ⊆ K$ est une égalité ; cela résulte du fait que le corps $k(\root ℘
+\of A_K)$ contient, d'après ce qui précède, toutes les sous-$k$-extensions finies de $K$.
+Enfin, la démonstration ci-dessus de l'égalité $A = A_{K_A}$ s'étend
+au cas général, lemme \ref{Zsurn dual nul implique nul} étant valable
+sans hypothèse de finitude.
+
+\subsection{Amplification : extension de groupe $𝐙/p²$}
+
+\subsubsection{}Soit $p$ un nombre premier et soit $K \bo k$ une extension
+galoisienne de groupe de Galois $Π$ cyclique d'ordre $p²$. Ce groupe
+possède un unique sous-groupe d'ordre $p$. La sous-extension
+correspondante de $K\bo k$ est de la forme $k(x)$ où
+$x$ est racine d'une équation $x^p-x=a$ où $a$ appartient à $k$.
+De même, l'extension $K\bo k(x)$, étant
+galoisienne d'ordre $p$, est engendrée par un élément
+$y$ satisfaisant une équation $y^p-y=b$ où $b$
+est un élément de $k(x)$, que l'on peut donc écrire
+sous la forme $b=q(x)$ pour un unique polynôme $q$
+à coefficients dans $k$ de degré inférieur ou égal à $p-1$.
+
+Soit $σ$ un générateur de $Π$. Le groupe de Galois
+de $k(x)\bo k$ est constitué des restrictions à
+$k(x)$ des éléments $\Id,σ,σ², … ,σ^{p-1}$ de $Π$.
+La racine conjuguée $σ(x)$ de $x$ est égale à $x+ζ$ où $ζ ∈ 𝐅_p-\{0\}$.
+Quitte à remplacer $σ$ par une puissance d'ordre premier à $p$
+(un autre générateur de $Π$) on peut supposer que $σ(x)=x+1$.
+Appliquant $σ$ à l'équation $y^p-y=q(x)$, on obtient
+donc $σ(y)^p-σ(y)=q(x+1)$. D'après \ref{extension AS est de groupe Z sur
+p} (iii), il existe un élément $ψ ∈ 𝐅_p-\{0\}$ et un polynôme $s ∈ k[X]$
+de degré strictement inférieur à $p$ tels que $σ(y)=ψ ⋅ y + s(x)$.
+Il en résulte par récurrence sur $i$ que l'on a l'égalité
+\[
+σ^i(y)=ψ^i y + ψ^{i-1} s(x) + ψ^{i-2} s(x+1) + \cdots + s(x+i-1).
+\]
+D'autre part, $σ^p$ fixe $k(x)$ donc appartient au groupe
+de Galois de l'extension d'Artin-Schreier $k(y)\bo k(x)$ si bien
+qu'il existe un $φ ∈ 𝐅_p-\{0\}$ pour lequel $σ^p(y)=y+φ$.
+En comparant cette égalité avec l'égalité
+précédente pour $i=p$, on trouve :
+\[
+ψ^p y + ψ^{p-1} s(x) + \cdots + s(x+p-1)=y+φ.
+\]
+On en tire $ψ^p=1$, d'où $ψ=1$, et $s(x) + \cdots + s(x+p-1)=φ$.
+Prenant la trace de $k(x)$ à $k$ et utilisant les égalités
+$\Tr_{k(x)\bo k}(x^i)=0$ pour $0 ≤ i <p-1$ et $\Tr_{k(x)\bo k}(x^{p-1})=-1$
+(cf. \ref{trace dans AS} \emph{supra}),
+on en déduit que $s(x)=-φ x^{p-1} + (\textrm{termes de plus bas degré})$.
+Quitte à remplacer $y$ par $-y/φ$, on peut donc supposer :
+\begin{enumerate}
+\item $σ(y)=y+x^{p-1}+t(x)$, où $t ∈ k[X]$ est de degré strictement inférieur
+à $p-1$ ;
+\item $σ^p(y)=y-1$.
+\end{enumerate}
+
+Soit $u ∈ k[X]$ un polynôme de degré inférieur ou égal à $p-1$
+tel que $u(X+1)-u(X)=t(X)$. (Un tel polynôme existe et est unique
+à une constante additive près.) Il résulte de l'égalité $σ(u(x))=u(x+1)$
+que l'on peut supposer, en remplaçant $y$ par $y+u(x)$, que l'on a $t=0$, c'est-à-dire :
+\[
+σ(y)=y+x^{p-1}.
+\]
+Appliquons $σ$ à l'équation $y^p-y=q(x)$. On en tire :
+\[
+q(x+1)=(y+x^{p-1})^p-(y+x^{p-1})=q(x)+(x+a)^{p-1}-x^{p-1},
+\]
+soit : $q(x+1)-q(x)=(x+a)^{p-1}-x^{p-1}$.
+On a donc montré que toute extension de $k$ de groupe $𝐙/p²$
+est obtenue par extensions successives d'Artin-Schreier d'un type
+particulier : $x^p-x=a$ puis $y^p-y=q(x)$ où $q(x+1)-q(x)=(x+a)^{p-1}-x^{p-1}$.
+
+\subsubsection{Réciproque} Soit $k$ un corps de caractéristique $p$ et soit $Ω$
+une clôture algébrique de $k$. Considérons :
+\begin{enumerate}
+\item $a ∈ k-℘(k)$ ;
+\item $x ∈ Ω$ une racine du polynôme irréductible $X^p-X-a ∈ k[X]$ ;
+\item $q ∈ k[X]$ un polynôme de degré inférieur ou égal à $p-1$
+satisfaisant l'équation aux différences
+\[
+q(x+1)-q(x)=(x+a)^{p-1}-x^{p-1}.
+\]
+\end{enumerate}
+
+Posons
+\[
+P(Y)=∏_{ζ ∈ 𝐅_p} \big(Y^p-Y-q(x+ζ)\big) ∈ Ω[X].
+\]
+
+\begin{lemme2}
+Le polynôme $P$ est séparable, appartient à $k[X]$ et y est irréductible.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+L'appartenance de $P$ à $k[X]$ est claire : ses coefficients sont visiblement
+dans $k(x)$ et $P$ est invariant par $\Gal(k(x)\bo k)=⟨ σ:x ↦ x+1 ⟩$.
+Soit $y$ une racine de $P$ et soit $b=y^p-y$. Les polynômes
+$Y^p-Y-b$ étant séparables (pour chaque $b$), il suffit
+de vérifier que les coefficients constants $q(x+ζ)$
+des facteurs de $P$ sont deux-à-deux distincts.
+Or, l'ensemble des $q(x+ζ)$ est l'orbite sous $\Gal(k(x)\bo k)$
+de l'élément $q(x)$. Cet élément n'appartient pas à $k$ car $q$ n'est pas
+constant ($a≠0$). Démontrons enfin l'irréductibilité de $P$ sur $k$.
+Soit $y$ une racine de $Y^p-Y-q(x)$. Par construction $q(x)$ appartient
+à $k(y)$. Or, puisque $q(x)$ n'est pas dans $k$, $k(q(x))=k(x)$
+pour des raisons de degré. Il en résulte que $k(x)$ est contenu dans $k(y)$.
+Montrons que cette inclusion est \emph{stricte}. Supposons
+$y=r(x)$ où $r$ est un polynôme de $k[X]$ de degré inférieur
+ou égal à $p-1$. Il résulte de l'égalité $x^p=x+a$
+que $y^p=r^{(p)}(x+a)$ où $r^{(p)}$ est le polynôme obtenu à partir
+de $r$ par élévation des coefficients à la puissance $p$.
+Considérons le coefficient de $x^{p-1}$ des termes extrêmes
+de la double égalité $q(x)=y^p-y=r^{(p)}(x+a)-r(x)$.
+On obtient $a$ à gauche (cela résulte de l'équation aux différences
+satisfaite par $q$) et $c^p-c$ à droite, où $c$ est le coefficient
+de $x^{p-1}$ dans $r(x)$. C'est absurde car $a$ n'appartient par hypothèse
+pas à $℘(k)$. Ainsi, l'inclusion $k(x) ⊆ k(y)$ est stricte et $y$ est donc de
+degré $p²$ sur $k$. CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{lemme2}
+Soit $y ∈ Ω$ une racine du polynôme $P$ dans $Ω$.
+L'extension $k(y)\bo k$ est galoisienne de groupe cyclique d'ordre $p²$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Commençons par observer que si pour chaque $ζ ∈ 𝐅_p$,
+on note $y_ζ$ une racine de $Y^p-Y-q(x+ζ)$ dans $Ω$,
+l'ensemble des racines de $P$ est le sous-ensemble
+$\{y_ζ + ψ : (ζ,ψ) ∈ (𝐅_p)²\}$ de $Ω$. On veut montrer
+qu'il est contenu dans $k(y₀)$. (On peut supposer $y=y₀$.)
+Or, il résulte de l'identité $(x+ζ)^{p(p-1)}=(x+a+ζ)^{p-1}$ et
+de l'équation aux différences satisfaite par $q$ que si $y_ζ$ est une racine
+comme ci-dessus, $y_ζ + (x+ζ)^{p-1}$ est une racine de $Y^p-Y-q(x+ζ+1)$.
+Il est donc clair que l'ensemble des racines de $P$ est contenu dans $k(y₀)$.
+
+Comme on vient de le voir, $y+x^{p-1}$ est une racine de $P$.
+Notons $σ$ l'unique $k$-automorphisme de $K=k(y)$ envoyant $y$ sur $y+x^{p-1}$.
+Le groupe de Galois $Π$ de $K$ sur $k$ étant d'ordre $p²$, il nous suffit
+de montrer que $σ^p$ est non trivial pour s'assurer que $Π$ est cyclique.
+Calculons : $σ(y)^p=(y+x^{p-1})^p=y^p+(x^p)^{p-1}=y^p+(x+a)^{p-1}$.
+Il en résulte que $σ(q(x))=σ(y^p-y)$ est égal à $q(x)+(x+a)^{p-1}-x^{p-1}=q(x+1)$.
+Comme $k(q(x))=k(x)$, on en déduit que $σ(x)=x+1$.
+Ceci nous permet de vérifier par récurrence les égalités :
+\[
+σ^i(y)=y+x^{p-1}+(x+1)^{p-1}+\cdots+(x+i-1)^{p-1}.
+\]
+En particulier, $σ^p(y)=y+\Tr_{k(x)\bo k}(x^{p-1})=y-1≠y$.
+CQFD.
+\end{démo}
+
+En résumé, nous avons démontré le théorème suivant.
+
+\begin{théorème2}[\cite{Kennzeichnung@AS}, théorème 3]\label{AS Z sur p carré}
+Soient $k$ un corps de caractéristique $p>0$, $a ∈ k- ℘(k)$,
+$Ω$ une clôture algébrique de $k$ et $x$ une racine du polynôme
+$X^p-X-a$ dans $Ω$. Pour tout polynôme $q_{AS} ∈ k[X]$
+tel que $q_{AS}(X+1)-q_{AS}(X)=(X+a)^{p-1}-X^{p-1}$, et toute
+racine $y_{AS}$ du polynôme $Y^p-Y-q_{AS}(x)$, la sous-extension
+$k(y_{AS})$ de $Ω$ contient $k(x)$ et est galoisienne de groupe
+cyclique d'ordre $p²$ sur $k$. Réciproquement toute telle extension est obtenue
+de cette manière. De plus, $σ(x)=x+1$ et $σ(y_{AS})=y_{AS}+x^{p-1}$. \XXX
+\end{théorème2}
+
+Ces résultats ont été généralisés dans \cite{Cyclic@Albert}
+au cas des extensions de groupe $𝐙/p^n$ avec $n ≥ 1$ quelconque.
+Peu après (1937), la construction A. Adrian Albert fut grandement simplifiée
+par Ernst Witt, qui introduisit les vecteurs portant désormais son
+nom et faisant l'objet de la section suivante.
+
+\begin{corollaire2}
+Toute extension galoisienne de groupe $𝐙/p$ d'un corps de caractéristique $p>0$
+est contenue dans extension de groupe $𝐙/p²$.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{remarque2}
+Ce fait — remarquable — est un cas particulier de la nullité
+des $H^i(G_k,𝐙/p)$ pour $i>1$ cf. \refext{versel}{démo cohomologique extensions
+quaternioniques}, particulièrement \refext{versel}{obstruction cohomologique
+relèvement} et \refext{versel}{lemme relèvement et cohomologie}). \XXX
+\end{remarque2}
+
+\begin{corollaire2}
+Le groupe de Galois absolu d'un corps de caractéristique positive
+est sans torsion. En particulier, il est infini dès lors qu'il est non trivial.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+\end{démo}
+
+
+
+\section{¶ Vecteurs de Witt et théorie d'Artin-Schreier-Witt}\label{vecteurs Witt et ASW}
+
+Nous avons donné en \refext{Versel}{KAS I} une démonstration
+du théorème d'Artin-Schreier s'appuyant d'une part
+sur le théorème de la base normale et, d'autre part, sur la structure
+des unités des anneaux $A[X]/X^p$, où $A$ est une $𝐅_p$-algèbre
+variable. Cet argument étant de nature générale, on se convainc aisément
+du fait — dont on trouvera tous les détails ci-dessous —
+que l'étude de la structure des groupes $U_{p^r}(A)=(A[X]/{X^{p^r}})^×$
+est la clef de voute d'une méthode menant à la description
+des extensions galoisiennes de groupe $𝐙/p^r$ ($r ≥ 1$ quelconque)
+d'un corps de caractéristique $p>0$.
+
+Oubliant momentanément notre motivation initiale, nous allons commencer par
+introduire les (gros) vecteurs de Witt sans référence à un nombre premier $p$.
+Nous reviendrons ensuite progressivement au thème central de ce chapitre.
+Au prix d'une certaine longueur, nous avons essayé de rendre la présentation aussi naturelle que possible
+et d'éviter le recourt à des définitions ou constructions \emph{ad hoc}.
+
+\subsection{(Gros) vecteurs de Witt : définitions et premières propriétés}\label{gros Witt}
+\subsubsection{Notations}
+Pour chaque entier $n ≥ 0$ et chaque anneau $A$, notons $A_n$
+le quotient $A[X]/X^{n+1}$ de l'anneau de polynômes $A[X]$.
+On s'intéresse à la structure des unités de $A_n$, pour $A$ variable,
+c'est-à-dire à la structure du \emph{foncteur en groupes abéliens} $U_n$, envoyant
+un anneau $A$ sur le groupe multiplicatif $A_n^×$ des unités de $A_n$
+et un morphisme d'anneaux $A → B$ sur le morphisme induit $A_n^× → B_n^×$.
+Un premier « dévissage » est aisé : le foncteur $U_n$
+est isomorphe au foncteur $W_n × \Gm$, où $W_n$ (resp. $\Gm$) envoie un anneau $A$ sur le groupe abélien
+$\Ker(A_n^× → A^×)=1+X A_n$ (resp. $A^×$). En effet, pour chaque anneau $A$,
+on dispose d'un isomorphisme canonique
+\[A_n^× → (1+XA_n) × A^×\]
+\[f ↦ (f/f(0),f(0)).\]
+\begin{remarque2}
+Plus généralement, si $F$ est un \emph{foncteur} des anneaux
+vers les groupes commutatifs, on pourrait considérer les « courbes de longueurs
+$n$ sur $F$ » définies par la formule $C_nF(A)=\Ker(F(A_n)→ F(A))$. Le cas
+considéré ici est celui du foncteur « groupe multiplicatif » $\Gm$.
+Pour $n=1$, on obtient l'« espace tangent » à $F$ en l'identité,
+qui est une généralisation de la construction de l'algèbre de Lie
+d'un groupe algébrique.
+\end{remarque2}
+Il est également commode de « passer à la limite sur $n$ » c'est-à-dire de considérer les anneaux de \emph{séries
+formelles}\index{séries formelles} \[A_∞=A[[X]]=\{a₀+a₁X+a₂X²+\cdots \}\]
+et le foncteur
+\[
+W_∞:A ↦ 1+X A[[X]]=\Ker(A_∞^× → A^×)
+\]
+correspondant.
+
+\subsubsection{Digression sur les séries formelles}
+
+Topologie, convergence de sommes et de produits infinis.
+
+\XXX
+
+\begin{définition2}
+On appelle \emph{foncteur des vecteurs de Witt} (resp. des \emph{vecteurs
+de Witt tronqués à l'ordre $n$}) le foncteur $W_∞$ (resp. $W_n$).
+\end{définition2}
+
+Soit $n ∈ 𝐍 ∪ \{∞\}$. Les groupes $W_n(A)$ étant abéliens, et également
+amenés à être munis (cf. \emph{infra}) d'une structure d'anneau, nous noterons
+$⊕$ leur loi de groupe. Ainsi, nous appellerons par exemple
+« multiplication par un entier $r$ » le morphisme $[r]:(W_n(A),⊕) → (W_n(A),⊕)$, $f ↦ f^r$
+(pour $A$ variable).
+
+\subsubsection{}Considérons la filtration descendante $(\mathrm{Fil}^iW_n)_{0 < i ≤ n+1}$ ($i
+∈ 𝐍$) de $W_n$ définie par les sous-groupes $\mathrm{Fil}^iW_n(A)=1+X^i A_n$.
+On a $\mathrm{Fil}^1W_n=W_n$ et $⋂_i \mathrm{Fil}^iW_n=\{1\}$.
+Pour chaque $i>0$, les applications évidentes $\mathrm{Fil}^iW_n(A) → A$, $1+a X^i+\cdots
+↦ a$ induisent un isomorphisme $\mathrm{Fil}^iW_n/\mathrm{Fil}^{i+1}W_n
+→ \Ga$, où l'on rappelle que l'on note $\Ga$ le foncteur
+envoyant un anneau $A$ sur le groupe additif $(A,+)$.
+Le foncteur en groupes commutatifs $W_n$ est donc extension successive
+du groupe additif $\Ga$. On dit que $W_n$ est (un foncteur en groupes) « unipotent ».
+Bien entendu, les extensions ne sont \emph{a priori} pas
+nécessairement triviales de sorte qu'il se pourrait
+que $W_n$ ne soit pas isomorphe, comme foncteur en groupes, à $\Ga^n$.
+Notons cependant qu'il en est ensemblistement ainsi :
+l'application envoyant $1+a₁X+a₂X²+\cdots ∈ W_n(A)$ sur $(a₁,a₂,
+\cdots) ∈ A^n$ est bijective pour chaque $A$.
+La remarque suivante fournit, à $A$ fixé, quantité
+d'autres bijections entre $W_n$ vu comme foncteur en \emph{ensembles}
+et le foncteurs en ensembles $𝐀^n:A ↦ A^n$. En caractéristique nulle, il en existe
+qui sont des \emph{isomorphismes} de groupes (cf. \ref{Wn en caractéristique
+nulle}).
+
+\begin{remarque2}\label{groupe unipotent est ensemblistement trivial}
+Soit $W$ un groupe abstrait et $(\mathrm{Fil}^iW)_{0 ≤ i < r}$ une filtration décroissante finie
+sur $W$ telle que $F⁰W=W$ et $\mathrm{Fil}^rW=\{1\}$, à gradués
+$\mathrm{gr}^{\mathrm{Fil}}_i(W)=\mathrm{Fil}^iW/\mathrm{Fil}^{i+1}W$ isomorphes à un
+même groupe $G$. Chaque choix de sections \emph{ensemblistes} $s_i$ aux morphismes
+$\mathrm{Fil}^i(W) ↠ \mathrm{gr}^{\mathrm{Fil}}_i(W)⥲ G$ induit une bijection $G^r ⥲ W$,
+$(g₀, …,g_{r-1}) ↦ s₀(g₀)\cdots s_{r-1}(g_{r-1})$.
+\end{remarque2}
+
+\begin{proposition2}\label{Wn en caractéristique nulle}
+La restriction $W_{n|𝐐}$ du foncteur en groupes $W_n$ aux $𝐐$-algèbres est isomorphe
+au foncteur $\Ga^n$. En particulier, il existe pour chaque $𝐐$-algèbre $A$ un
+isomorphisme de groupes $(W_n(A), ⊕) ⥲ (A^n,+)$.
+\end{proposition2}
+
+(Pour une généralisation, cf. \ref{structure Wn sur Z(p)}.)
+C'est là un fait général\footnote{« Tout groupe algébrique
+unipotent sur un corps de caractéristique nulle est isomorphe
+à une puissance du groupe additif ».} dont nous allons donner
+ici une démonstration \emph{ad hoc}, reposant sur un lemme
+qui sera utile pour notre étude. (Rappelons
+que l'on s'intéresse particulièrement aux $W_n(A)$ lorsque
+$A$ est une \emph{$𝐅_p$-algèbre}.)
+
+\begin{lemme2}\label{bijections entre Wn et An}
+Soit $n ∈ 𝐍 ∪ \{∞\}$.
+\begin{enumerate}
+\item Tout élément $f=1+∑_{i=1}^{n} a_i x^i$ de $W_n(A)$ s'écrit
+de manière unique sous la forme $∏_{i=1}^{n}(1-α_i x^i)$
+où chaque $α_i$ est un élément de $A$ obtenu
+en évaluant en $(a₁, …,a_i)$ des polynômes à coefficients entiers
+indépendants de l'anneau $A$.
+\item Soient $k$ un anneau, $u ∈ k^×$ et $E=1+uX+\cdots ∈ k[[X]]$ une série
+formelle. Pour toute $k$-algèbre $A$, chaque élément $f=1+∑_{i=1}^{n} a_i x^i$ de $W_n(A)$
+s'écrit de manière unique sous la forme $∏_{i=1}^{n}E(α_i x^i)$
+où chaque $α_i$ est un élément de $A$ obtenu en évaluant en $(a₁, …,a_i)$ des polynômes à coefficients
+dans $k$ indépendants de la $k$-algèbre $A$.
+\end{enumerate}
+\end{lemme2}
+
+Remarquons que les applications $α ↦ E(\frac{α}{u} x^i)$ sont des sections
+(fonctorielles, ensemblistes) du morphisme $\mathrm{Fil}^iW_n/\mathrm{Fil}^{i+1}W_n → \Ga$.
+L'énoncé (ii), dont (i) est le cas particulier $k=𝐙$ et $E(X)=1-X$, est
+donc une variante de la remarque \ref{groupe unipotent est
+ensemblistement trivial}.
+
+\begin{démo}
+(i) Supposons $n$ fini.
+L'égalité $1+a₁x+a₂x²+ \cdots + a_n x^n=(1-α₁x)(1-α₂x²)\cdots(1+α_n x^n)$
+se réécrit sous la forme
+\[
+a_r=∑_{1 ≤i₁<i₂< \cdots < i_s ≤ r \atop i₁+2 i₂ + \cdots s i_s=r} (-1)^s α_{i₁}
+\cdots α_{i_s}.
+\]
+L'unique solution est donnée par les formules (récursives) :
+\[
+α_r=a_r - ∑_{1 ≤i₁<i₂< \cdots < i_s<r \atop i₁+2 i₂ + \cdots s i_s=r} (-1)^s α_{i₁}
+\cdots α_{i_s}.
+\]
+Le cas $n=∞$ se démontre de même. (ii)
+Supposons $n$ fini.
+On suffit de montrer par récurrence sur $r ≤ n$ que
+tout élément $f ∈ W_n(A)$ s'écrit $E(α₁X) \cdots E(α_r X^r) g_r$
+où $g_r ∈ \mathrm{Fil}^{r+1}W_n(A)$, et les $α_i$ sont comme dans l'énoncé.
+Cela résulte du fait que pour chaque $α ∈ A$, le quotient
+d'une série $g=1+αX^{r+1}+ β X^{r+2}+\cdots $ par $E(\frac{α}{u} X^{r+1})$ appartient
+à $ \mathrm{Fil}^{r+2}W_n(A)$ et que son coefficient en $X^{r+2}$
+est un polynôme en $α$ et $β$ à coefficients dans $k$. (Ce polynôme
+ne dépend que de $r$ et des coefficients de $E$.) Le cas $n=∞$ se démontre de même.
+\end{démo}
+
+\begin{démo}[Démonstration de la proposition \ref{Wn en
+caractéristique nulle}]
+On applique le lemme à $k=𝐐$ et $E(X)=\exp(X)$
+en observant que $\exp(α_i X^i) ⊕ \exp(β_i X^i)=\exp((α_i+β_i) X^i)$.
+\end{démo}
+
+Si l'on ne restreint plus $W_n$ aux $𝐐$-algèbres
+la structure du groupe $W_n$ est plus compliquée. Nous allons maintenant l'étudier
+pour une classe d'anneaux contenant les $𝐅_p$-algèbres.
+
+\begin{exercice2}
+Montrer qu'en caractéristique $p>0$, il n'existe
+pas de série $E(X)=1+uX+\cdots$ telle que $E(aX)E(bX)=E((a+b)X)$.
+\end{exercice2}
+
+\subsection{Verschiebung, Frobenius, séries $p$-typiques et
+exponentielle de Artin-Hasse}
+\subsubsection{}Considérons maintenant le foncteur $W_∞$, qui est la limite des
+tronqués $W_n$. On souhaite en comprendre la structure, en tant que foncteur
+en groupes abéliens ; il est donc naturel de considérer le groupe (non commutatif)
+de ses endomorphismes. Si l'on parvient par exemple à construire
+un idempotent non trivial $e$ de $\End(W_∞)$, on en déduira
+une décomposition non triviale $W_∞=\Ker(e)×\Im(e)$. (Réciproquement,
+toute décomposition non triviale de $W_n$ est obtenue ainsi.)
+À cette fin, considérons, pour chaque entier $r ≥ 1$ et chaque anneau $A$,
+le morphisme d'anneaux $φ_{r,A}:A[[X]] → A[[X]]$ défini par $X ↦ X^r$. Ce morphisme fait que $A[[X]]$
+un module libre de rang $r$ sur lui-même. (Il n'en est pas ainsi
+des morphismes semblables de $A_n$ dans $A_n$ lorsque $n≠∞$.)
+On en déduit des endomorphismes $V_r:W_∞ → W_∞$
+(V pour « Verschiebung »\footnote{Mot allemand signifiant « décalage ».}), envoyant $f =1+a₁X+a₂X²+\cdots ∈ W_∞(A)$ sur $φ_{r,A}(f)=f(X^r)$ et $F_r:W_∞ → W_∞$
+(F pour « Frobenius », cf. \emph{infra}),
+envoyant $f$ sur $\N(f(X))$, où $\N:A[[X]]^× → A[[X]]^×$ désigne la norme
+déduite de $φ_{r,A}$ (cf. \refext{Alg}{trace-et-norme}).
+Le fait que le terme constant de $\N(f(X))$ soit un, c'est-à-dire
+que $\N(f(X))$ — \emph{a priori} dans $A[[X]]^×$ — soit dans
+$1+XA[[X]]=W_∞(A)$ résulte de l'égalité $\N(f(X))(0)=\N(f(0))$
+où le terme de droite est la norme de $A[[X]]/(X^r)$ à $A$
+de l'élément $f(0)=1$ de $A[[X]]/(X^r)$ (cf. \refext{Alg}{cb-trace}).
+
+La proposition ci-dessus établit des relations entre ces endomorphismes ;
+elle nous permettra de construire un idempotent non trivial de $\End(W_∞)$.
+
+\begin{proposition2}\label{relations V et F}
+Soient $r$ et $s$ des entiers non nuls. Les identités suivantes sont valables dans $W_∞$ :
+\begin{enumerate}
+\item $F_r V_r=[r]$ ;
+\item $F_s F_t =F_{st}$ ;
+\item $V_s V_t =V_{st}$ ;
+\item $F_r V_s=V_s F_r$ si $r$ et $s$ sont premiers entre eux.
+\item $V_r F_r (\mathrm{Fil}^s) ⊆ \mathrm{Fil}^s$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+(i) C'est un cas particulier de la dernière formule de \refext{Alg}{trivialités sur trace et norme}.
+(ii) C'est une cas particulier de la transitivité de la norme (\refext{Alg}{composition-trace-norme}).
+(iii) Résulte de la formule $(X^s)^t=X^{st}$.
+(iv) Résulte des deux formules :
+\[
+V_s (1-α X^n)= 1-α X^{ns}
+\]
+et
+\[
+F_r (1-α X^n) = (1- α ^{r/(r,n)} X^{n/(r,n)})^{(r,n)}
+\]
+où $(r,n)$ désigne le pgcd de $r$ et $n$.
+La première formule est évidente. La seconde se ramène, d'après (ii) et (i), au cas particulier où
+$r$ et $n$ sont premiers entre eux : on veut montrer l'égalité
+\[
+N_{A[[X]]\bo A[[X^r]]}(1-α X^r)=(1-α^r X^{rn}),
+\]
+où $A[[X^r]] → A[[X]]$ est l'inclusion.
+Pour chaque entier $0 ≤ i ≤ r$ notons $n_i$ le reste de la division euclidienne
+de $in$ par $r$ et $e_i=X^{n_i}$. Les entiers $n$ et $r$ étant premiers
+entre eux, la famille $e₀, …,e_{r-1}$ est une base de $A[[X]]$ sur $A[[X^r]]$.
+D'autre part, la multiplication par $1- α X^n$ envoie $e_i$ sur $e_i - α x^{β_i}
+e_{i+1}$ où $β_i=n+(n_i - n_{i+1})$. On vérifie sans peine que le déterminant
+d'une telle application $A[[X^r]]$-linéaire est $1+(-1)^{r-1}∏_{i=0}^{r-1}
+(-αX^{β_i})=1-α^r X^{rn}$. CQFD.
+(v). Résulte du lemme \ref{bijections entre Wn et An} et des formules
+ci-dessus. [À un passage à la limite près.] \XXX
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}\label{Frobenius sur Witt en caractéristique p}
+Soient $p$ un nombre premier et $f=1+∑_{i>0} a_i X^i ∈ W_∞(A)$ où
+$A$ est une $𝐅_p$-algèbre. Alors,
+\[
+F_p(f)=1+∑_{i>0} a_i^p X^i :
+\]
+le morphisme de Frobenius d'indice $p$ agit par élévation
+à la puissance $p$ des coefficients.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+Il résulte de \ref{bijections entre Wn et An} qu'il suffit de démontrer que
+pour chaque entier $n ≥ 1$, on a $F_p(1-α X^n)=1-α^p X^n$. Or,
+d'après la formule $F_r (1-α X^n) = (1- α ^{r/(r,n)} X^{n/(r,n)})^{(r,n)}$
+démontrée ci-dessus, on a $F_p(1-α X^n)=(1-α^p X^n)$ si $p$ ne divise pas $n$
+et $F_p(1-α X^n)=(1-α X^{n/p})^p$ si $p$ divise $n$. On observe
+alors qu'en caractéristique $p>0$, on a $(1-α X^{n/p})^p=1-α^p X^n$.
+\end{démo}
+
+\subsubsection{}Soit $n ∈ A^×$. Le groupe $W_∞(A)$ n'a pas de $n$-torsion car
+l'égalité $(1+f)^n=1$ se réécrit $nf+{n \choose 2}f²+\cdots=0$ d'où $f=0$
+(regarder le terme de plus bas degré de $f$.
+D'autre part, le groupe $W(A)$ est $n$-divisible : tout élément
+$1+f$ de $W_∞(A)$ s'écrit — de manière unique d'après ce qui précède —
+sous la forme $(1+g)^n$. Il suffit en effet de poser
+$g=∑_{i>0} {1/n \choose i } f^i$. Ainsi, la structure de groupe abélien,
+c'est-à-dire de $𝐙$-module sur $W_∞(A)$ s'étend (de façon unique) en
+une structure de $𝐙[1/n]$-module. Soit $p$ un nombre premier ou bien égal
+à un. Notons $𝐙_{(p)}$ le sous-anneau $𝐙[1/n:(n,p)=1]$ de $𝐐$. (Par exemple,
+$𝐙_{(1)}=𝐐$). Un anneau commutatif dans lequel chaque entier premier à $p$
+est inversible est naturellement une $𝐙_{(p)}$-algèbre, et réciproquement.
+
+Il résulte immédiatement de la formule \ref{relations V et F} (i)
+que pour chaque nombre $ℓ$ inversible
+sur les algèbres considérées, l'opérateur $ε_ℓ=[ℓ]^{-1}V_ℓ F_ℓ $ est un
+endomorphisme idempotent et des formules (ii--iv) que $ε_ℓ ε_{ℓ ′}=ε_{ℓ ℓ ′}=ε_{ℓ ′}ε_ℓ $ lorsque
+$ℓ$ et $ℓ ′$ sont premiers entre eux. Soit $p$ un nombre
+premier ou bien égal à un et soit $L$ un ensemble fini de nombres premiers $ℓ$ différents
+de $p$. Le produit fini $e_L=∏_{ℓ ∈ L} (1-ε_ℓ)$ des
+idempotents $1-ε_ℓ$ est un idempotent de $\End(W_{∞|𝐙_{(p)}})$.
+Développant le produit, on trouve :
+\[
+e_L=∑_{\mathrm{supp}(r) ⊆ L} μ(r) ε_r,
+\]
+où le support $\mathrm{supp}(r)$ d'un entier $r$ est l'ensemble
+des nombres premiers le divisant et où $μ$ est la fonction de Möbius
+(cf. \refext{CF}{definition-fonction-de-Moebius}).
+Faisant tendre l'ensemble fini $L$ vers l'ensemble infini $𝒫-\{p\}$
+des nombres premiers différents de $p$, on est naturellement conduit
+à considérer l'idempotent $e_p$ de la proposition suivante.
+
+\begin{proposition2}\label{construction idempotents de EndWinfini}
+Soit $p$ un nombre premier ou bien égal à un. Considérons le foncteur
+$W_{∞|𝐙_{(p)}}$, restriction de $W_∞$ aux $𝐙_{(p)}$-algèbres.
+\begin{enumerate}
+\item La somme
+\[e_p=∑_{(r,p)=1} \frac{μ(r)}{r} V_r F_r,\] où $μ$ est la fonction
+de Möbius, est bien définie et est un projecteur de $W_{∞|𝐙_{(p)}}$, d'image $W_∞^{(p)}$
+égale à $\displaystyle ⋂_{(r,p)=1 \atop r>1} \Ker F_r$ et de noyau
+le sous-groupe $\displaystyle \widehat{∑}_{(r,p)=1 \atop r>1} \Im V_r$ des
+sommes éventuellement infinies d'éléments dans les images des $V_r$ ($(r,p)=1$,
+$r>1$).
+\item Pour $n$ parcourant l'ensemble des entiers premiers à $p$,
+les endomorphismes $e_{p,n}=\frac{1}{n}V_n e_p F_n$ constituent
+une famille totale de projecteurs orthogonaux de $W_∞$.
+\item Les opérateurs $V_p$ et $F_p$ commutent à $e_p$ et induisent
+des opérateurs sur $W_∞^{(p)}$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+\subsubsection{}\label{p-typiques}Les éléments de $W_{∞|𝐙_{(p)}}$ dans $⋂_{(r,p)=1}\Ker
+F_r=W_∞^{(p)}$ sont dit « $p$-typiques »\index{$p$-typique}.
+Il résulte de la proposition précédente que l'étude de la structure du groupe $A[[X]]^×$, où $A$
+est une $𝐙_{(p)}$-algèbre, se ramène à l'étude du groupe
+$W_∞^{(p)}(A)$ des éléments $p$-typiques.
+
+La démonstration qui suit est une conséquence formelle des résultats de la
+proposition \ref{relations V et F} et de l'identité $∑_{d|n} μ(d)=0$ si $n>1$.
+
+\begin{démo}[Démonstration de \ref{construction idempotents de EndWinfini}]
+(i) Le fait que la somme $e_p$ soit bien définie résulte de
+l'inclusion \ref{relations V et F} (v).
+Soit $s>1$ un entier premier à $p$. Calculons $F_s e_p$.
+Par définition et découpage de l'ensemble de sommation, on a :
+\[F_s e_p = ∑_{(r,p)=1} \frac{μ(r)}{r} F_s V_r F_r=
+∑_{(d,p)=1} ∑_{(r,s)=d \atop (r,p)=1} \frac{μ(r)}{r} F_{s/d} F_d V_d V_{r/d}
+F_r.\]
+En appliquant la formule $F_d V_d=[d]$, on obtient :
+\[ F_s e_p= ∑_{(d,p)=1} ∑_{(r,s)=d \atop (r,p)=1} \frac{μ(r)}{r/d} F_{s/d} V_{r/d} F_r.\]
+Utilisant la relation de commutation $F_{s/d} V_{r/d}=V_{r/d} F_{s/d}$ (car $r/d$ et $s/d$ sont
+premiers entre eux) et l'identité $F_{s/d} F_r=F_{sr/d}$, on trouve :
+\[ F_s e_p= ∑_{(d,p)=1} ∑_{(r,s)=d \atop (r,p)=1} \frac{μ(r)}{r/d} V_{r/d} F_{sr/d}.\]
+Enfin, une réécriture de la somme, où l'on pose $t=r/d$, donne
+\[ F_s e_p = ∑_{(t,s)=1 \atop (t,p)=1} \frac{1}{t} V_s F_{st} \big(\underbrace{∑_{u|s}
+μ(tu)}_{=0}\big)=0.\]
+L'endomorphisme $e_p$ s'écrivant $1+e_p ′$ où $e_p ′$ est une somme
+de multiples à gauche de $F_s$ ($s>1$, premier à $p$), on en déduit immédiatement l'égalité
+$e_p²=e_p$ et l'égalité $W_∞^{(p)}=⋂_{(r,p)=1}\Ker F_r$.
+On vérifie comme ci-dessus que, dualement, on a $e_p V_{s}=0$
+pour chaque $s>1$. Il en résulte que $\widehat{∑}_{(r,p)=1 \atop r>1} \Im V_r$ est contenu
+dans le noyau de $e_p$. Réciproquement, le fait que $e ′_p$ soit
+une somme de multiples à droite de $V_s$ ($s>1$, premier à $p$),
+montre que tout élément du noyau est une somme (éventuellement infinie)
+d'élément dans les images des endomorphismes $V_r$.
+(ii) Les égalités $e_{p,n}²=e_{p,n}$ résultent de $\frac{1}{n²}F_n
+V_n=\frac{1}{n}$. Soient $n,m$ deux entiers premiers à $p$ et calculons
+$e_{p,n}e_{p,m}$. Notons $d$ le pgcd de $n$ et $m$ et $n ′ =n/d$ (resp.
+$m ′ =m/d$. On a alors $e_{p,n}e_{p,m}=V_n e_p V_{m ′} F_{n ′} e_p F_m$.
+Or, on a vu que si $n ′>1$, $F_{n ′} e_p$. De même $e_p V_{m ′}=0$ si $m ′ >1$.
+Ainsi, $e_{p,n}e_{p,m}=0$ à moins que $n=m$.
+Pour conclure, il nous faut vérifier que $∑_{(n,p)=1} e_{p,n}=\Id$.
+Or,
+\[ ∑_{(n,p)=1} e_{p,n}=∑_{(n,p)=1 \atop (r,p)=1} \frac{μ(r)}{rn} V_n V_r F_r F_n,\]
+que l'on peut réécrire, compte-tenu des égalités $V_n V_r=V_{nr}$ et $F_r
+F_n=F_{rn}$, sous la forme :
+\[
+∑_{(n,p)=1} e_{p,n}=∑_m \frac{1}{m} V_m F_m \big( ∑_{d|m} μ(d)\big)=\frac{1}{1}V₁ F₁=\Id.
+\]
+(iii) Résulte de \ref{relations V et F} (iv).
+\end{démo}
+
+\begin{définition2}
+La série formelle $e_p\big((1-X)^{-1}\big)= ∏_{(r,p)=1} (1-X^r)^{-μ(r)/r}$
+est appelée $p$-\emph{exponentielle de Artin-Hasse}\index{exponentielle de
+Artin-Hasse}, ou simplement \emph{exponentielle de Artin-Hasse}. On la note $E_p$.
+\end{définition2}
+
+Cette fonction (ou plutôt son inverse) fut introduite
+par les mathématiciens allemands Emil Artin et Helmut Hasse, en 1928
+dans leur article « Die beiden Ergänzungssätze zum Reziprozitätsgesetz der
+$ℓ^n$-ten Potenzreste im Körper der $ℓ^n$-ten Einheitswurzeln »\footnote{…\XXX}.
+Il résulte de la formule d'inversion de Möbius,
+$∑_d μ(d)=1$ (resp. $∑_d μ(d)=0$) lorsque $n$ est une puissance de $p$
+(resp. lorsque $n$ n'est pas une puissance de $p$), où $d$ parcourt les diviseurs de
+$n$ premiers à $p$, que l'on a
+\[
+E_p(X)=\exp(∑_{n ∈ p^𝐍} \frac{X^n}{n}) ∈ 𝐙_{(p)}[[X]].
+\]
+
+En particulier, $E_1(X)=\exp(X)$, ce qui justifie la terminologie.
+(Pour $p>1$, la formule ci-dessus se réécrit :
+$E_p(X)=\exp(X+X^p/p+X^{p²}/p²+\cdots\big)$.
+
+On dispose de l'analogue suivant du lemme \ref{bijections entre Wn et An}
+pour les images des idempotents $e_{p,n}$, qui s'applique
+en particulier à $W_∞^{(p)}$.
+
+\begin{proposition2}
+Soient $p$ un nombre premier ou bien égal à un et $n$ un nombre entier premier à $p$.
+Pour toute $𝐙_{(p)}$-algèbre $A$,
+l'application
+\[A^{p^𝐍} → W_∞(A)\]
+\[(α_r)_{r ∈ p^𝐍} ↦ ∏_{r ∈ p^𝐍} E_p(α_r X^{n ⋅ r})\]
+induit une injection d'image le sous-groupe $e_{p,n}(W_∞)$.
+\end{proposition2}
+
+Utilisant \ref{construction idempotents de EndWinfini} (ii),
+on retrouve le fait (\ref{bijections entre Wn et An} (ii))
+que tout élément de $W_∞(A)$ — où $A$ est une $𝐙_{(p)}$-algèbre — s'écrit de manière unique
+sous la forme $∏_{n ≥ 1} E_p(α_n X^n)$. Le fait nouveau,
+remarquable pour $p>1$, lié au choix de $E_p$ (exponentielle
+de Artin-Hasse), est que les séries formelles de la forme $∏_{r ∈ p^𝐍}
+E_p(α_r X^{n ⋅ r})$ ($n$ fixé) sont stables par produit (la somme $⊕$ dans $W_∞$).
+(Si $p=1$ c'est clair : $E_1(αX^n) E_1(β X^n)=E_1\big((α+β)X^n\big)$.)
+\begin{démo}
+L'injectivité est un cas particulier de \ref{bijections entre Wn et An} (ii).
+
+Cas $n=1$. Soient $α ∈ A$ et $m ≥ 1$. Calculons $e_p(f)$ où $f=1- α X^m$. Si $m$
+n'appartient pas à $p^𝐍$, $f ∈ \Im V_{m ′}$ pour un diviseur $m ′>1$ de $m$
+premier à $p$. En conséquence $e_p(f) ∈ \Im (e_p V_{m ′})=\{0\}$ (notations
+additives) d'après la démonstration de la proposition précédente. Dans le cas
+contraire, $m=p^r$ et $f=V_p^r(1- αX)$ de sorte que $e_p(f)=V_p^r e_p(1-αX)=V_p^r
+E_p(αX)=E_p(αX^{p^r})$. Ceci suffit pour conclure.
+
+Cas $n ≥ 1$. L'image de $e_{p,n}$ est contenu dans $\Im V_n$. Il suffit
+donc de calculer $e_{p,n}(1-α X^{nm})$ pour $m ≥ 1$. On a
+$\frac{1}{n}F_n(1-α X^{nm})=(1-α X^m)$ (cf. \ref{relations V et F}, démonstration
+de (iii)) de sorte que $e_{p,n}((1-α X^{nm})=V_n e_p(1-α X^m)$.
+On s'est ramené au calcul précédent.
+\end{démo}
+
+Il résulte de la proposition que le foncteur $e_{p,1}(W_{∞|𝐙_{(p)}})=W_∞^{(p)}$
+des éléments $p$-typiques est ensemblistement isomorphe au foncteur
+en ensembles $𝐀^𝐍$ lorsque $p>1$ et à $𝐀¹$ lorsque $p=1$.
+
+
+\begin{remarque2}
+Nous verrons ci-après qu'il existe une structure d'anneau sur $W_∞$ vérifiant
+les propriétés suivantes : $(1-X)^{-1}$ est l'unité
+de la multiplication (que nous noterons $\varodot$) ;
+l'application $e_p$ est un endomorphisme de \emph{anneau} $(W_∞, ⊕,\varodot)$
+(restreint aux $𝐙_{(p)}$-algèbres). L'exponentielle de Artin-Hasse
+est donc l'idempotent correspondant
+à $e_p$ : $W_∞^{(p)}=W_{∞|𝐙_{(p)}} \varodot E_p ⊆ W_{∞|𝐙_{(p)}}$.
+\end{remarque2}
+
+\subsubsection{}\label{p-coordonnées de Witt}
+Lorsque $p>1$, on appelle \emph{$p$-coordonnées de Witt}\index{$p$-coordonnées de Witt}
+d'une série formelle $p$-typique $f$ à coefficients
+dans une $𝐙_{(p)}$-algèbre $A$ les coefficients $(α_{p^r})_r ∈ A^𝐍$ tels que
+\[
+f=∏_{r ≥ 0} E_p(α_{p^r} X^{p^r}).
+\]
+Lorsque $p=1$, on peut également définir la notion de $1$-coordonnée de Witt
+d'une série formelle $1$-typique $f$ : c'est l'unique coefficient
+$α ∈ A$ tel que $f=\exp(aX)$. Notons la formule : $αX=X \frac{f ′}{f}$.
+Lorsque $p>1$, le lien entre les $p$-coordonnées de Witt et la dérivée
+logarithmique est moins transparent. Il fait l'objet du paragraphe
+\ref{composantes fantômes}. Signalons cependant que l'on a constaté
+ci-dessus que chaque $p$-coordonnée est un polynôme universel à coefficients
+dans $𝐙_{(p)}$ en les coefficients de la série $f$.
+
+\subsubsection{}
+
+Fixons un entier $n ∈ 𝐍 $ et $p$ un nombre premier ou égal à un.
+Pour tout entier $i$ premier à $p$ et inférieur ou égal à $n$,
+notons $q_i$ le plus grand entier de $p^𝐍$ tel que $i q_i ≤ n$.
+Il résulte de \ref{bijections entre Wn et An} (ii)
+que pour toute $𝐙_{(p)}$-algèbre $A$, tout élément
+$f_n ∈ W_n(A)$ s'écrit de manière unique sous la forme
+\[
+f_n= ∏_{i ≤ n \atop (i,p)=1} ∏_{q ∈ p^𝐍 \atop q ≤ q_i} E_p(α_{i,q} X^{i q}),
+\]
+où les $α_{i,q}$ sont obtenus en évaluant
+des polynômes à coefficients dans $𝐙_{(p)}$ en les coefficients (usuels)
+de $f_n$, et où $E_p(α_{i,q} X^{i q})$ désigne abusivement
+son image dans $W_n(A)$. Comme déjà signalé ci-dessus le fait remarquable est que
+pour chaque $i$ l'ensemble des polynômes de la forme $∏_q E_p(α_{i,q} X^{i q})$,
+où $q$ partout l'ensemble des éléments de $p^𝐍$ inférieurs ou égaux à $q_i$,
+est un \emph{sous-groupe} — momentanément noté $W_{n,p,i}$ — de $W_n(A)$ :
+c'est l'image de $e_{p,i}(W_{∞|𝐙_{(p)}})$ dans le quotient $W_{n|𝐙_{(p)}}$
+de $W_{∞|𝐙_{(p)}}$.
+
+\begin{lemme2}
+La classe d'isomorphisme de $W_{n,p,i}$ ne dépend que de $q_i$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Commençons par observer que l'application de réduction modulo $X^{i q_i +1}$,
+$W_{n,p,i} → W_{i q_i,p,i}$ est un isomorphisme. Elle est clairement
+surjective ; elle est injective par unicité des paramètres $α_{i,q}$.
+Enfin la substitution $X ↦ X^i$ induit un isomorphisme
+$W_{q_i,p,1} ⥲ W_{i q_i,p,i}$.
+\end{démo}
+
+Soit $q$ une puissance de $p$. On note $W_{[q]}$ le groupe
+$W_{q,p,1}$ des séries $p$-typiques tronquées à l'ordre $q$.
+C'est un sous-groupe de $W_{q|𝐙_{(p)}}$. (Notons que
+$W_{[1]}=\Ga$\footnote{Aussi bien dans le cas $1=1^1$ que dans le
+cas $1=p^0$ avec $p>1$.}) Nous sommes maintenant enfin en mesure d'énoncer
+une généralisation de la proposition \ref{Wn en caractéristique nulle}.
+
+\begin{théorème2}[\cite{GACC@Serre}, chap. V, §16]\label{structure Wn sur Z(p)}
+Soient $n ≥ 1$ un entier et $p$ un nombre premier ou égal à un.
+Le foncteur en groupes abéliens $U_{n|𝐙_{(p)}}$, envoyant
+une $𝐙_{(p)}$-algèbre $A$ sur le groupe des unités de l'anneau $A[X]/X^{n+1}$,
+est isomorphe au produit de $\Gm$ par les $W_{[q_i]}$
+où $i$ parcourt l'ensemble des entiers inférieurs ou égaux à $n$ et premiers à $p$
+et où $q_i$ désigne le plus grand élément de $p^𝐍$ tel que $i q_i ≤ n$.
+\end{théorème2}
+
+Rappelons (\ref{vecteurs Witt et ASW}, introduction) que l'on souhaite comprendre
+la structure des unités des anneaux $A[X]/X^{p^r}$ lorsque $A$ est une
+$𝐅_p$-algèbre. On peut expliciter le théorème précédent
+de la façon suivante.
+
+\begin{corollaire2}\label{structure Un sur Fp}
+Soient $r ≥ 1$ un entier et $p$ un nombre premier.
+Le foncteur envoyant une $𝐙_{(p)}$-algèbre $A$
+sur le groupe des unités de $A[X]/X^{p^r}$ est isomorphe
+au produit
+\[
+∏_{q|p^{r-1}} \big(W_{[q]|𝐙_{(p)}}\big)^{n_{r,q}} × \Gm,
+\]
+où :
+\begin{enumerate}
+\item le foncteur $W_{[q]|𝐙_{(p)}}$ envoie une $𝐙_{(p)}$-algèbre $A$
+sur le groupe multiplicatif des éléments $f ∈ A[X]/X^{q+1}$
+de la forme
+\[E_p\big((α₁,α_p, α_{p²},… ,α_q).X):=∏_{q ′ | q} E_p(α_{q ′} X^{q ′ }) \mod
+X^{q+1}\] où les $α_{q ′}$ sont dans $A$ ;
+\item la multiplicité $n_{r,q}$ vaut $p-1$ si $q=p^{r-1}$
+et $\frac{p^r}{q}+\frac{p^{r-2}}{q}$ si $q$ divise strictement $p^{r-1}$.
+\end{enumerate}
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+Cela résulte du théorème précédent et du fait
+que le cardinal de l'ensemble des entiers $i$ premiers à $p$
+tels que $\frac{p^{r-1}}{q} ≤ i ≤ \frac{{p^r}}{q}$ est égal
+à $n_{r,q}$.
+\end{démo}
+
+Insistons sur le fait que tout $𝐅_p$-algèbre peut être munie
+d'une structure de $𝐙_{(p)}$-algèbre et ce de manière unique.
+Le champ d'application du corollaire précédent est donc plus vaste
+que nous n'en avons besoin.
+
+\begin{proposition2}
+Il existe des polynômes à coefficients dans $𝐙_{(p)}$
+et tels que $+_W$ définie par $α +_W β = ...$
+satisfasse $E_p(α.X) ⊕ E_p(β.X)=E_p((α +_W β).X)$. \XXX
+\end{proposition2}
+
+[pas nécessaire]
+
+\begin{remarque2}
+En fait les polynômes sont à coefficients dans $𝐙$ (car dans
+$𝐙[1/p]$). \XXX
+\end{remarque2}
+
+
+
+
+\subsection{Exemple : $p$-vecteurs de Witt tronqués à l'ordre deux}\label{exemple W2}
+\subsubsection{}Soit $p>0$ un nombre premier. Calculons le produit de deux polynômes tronqués
+$E_p((α₁,α_p).X)$ et $E_p((β₁,β_p).X)$ dans $W_{[p]}(𝐐[α₁,α_p,β₁,β_p])$.
+Modulo $X^{p+1}$, la série
+\[
+E_p\big((α₁,α_p).X\big)×E_p\big((β₁,β_p).X\big)=\exp\Big((α₁+β₁)X+(α_p+β_p+\frac{α_1^p+β_1^p}{p})X^p
++ \cdots\Big)
+\]
+est congrue à $\exp(γ₁X+\frac{γ_p}{p}X^p+\cdots)$,
+où $γ₁=α₁+β₁$ et $γ_p=α_p+β_p+\frac{α_1^p+β_1^p-(α₁+β₁)^p}{p}$.
+Notons que le terme de droite est un polynôme à coefficients
+\emph{entiers} (donc \emph{a fortiori} dans $𝐙_{(p)}$) en les variables $α₁,α_p,β₁,β_p$.
+La formule précédente décrit la loi de groupe du foncteur $W_{[p]|𝐙_{(p)}}$.
+En réduisant modulo $p$ cette identité, on en déduit que la restriction
+de ce même foncteur aux $𝐅_p$-algèbres
+est isomorphe au foncteur en groupes $A ↦ (A²,⊕_{[p]})$
+où l'addition $⊕_{[p]}$ est définie par la formule :
+\[
+(a,a ′) ⊕_{[p]} (b, b ′)=\big(a+b,a ′ + b ′ - ∑_{i=1}^{p-1}
+\frac{(-1)^i}{i} a^i b^{p-i}\big).
+\]
+Lorsque $a$ est inversible, la seconde coordonnée se réécrit $a ′ + b ′ + a^p
+\log_{<p}(\frac{a+b}{a})$, où
+\[\log_{<p}(x)=-∑_{i=1}^{p-1}\frac{(1-x)^i}{i} \text{ (cf. \ref{explog=identité}).} \]
+On en déduit immédiatement que l'opposé de l'élément $(a,b)$ pour
+l'addition $⊕_{[p]}$ est $(-a,-b-a^p\log_{<p}(0))=(-a,-b)$.
+Le morphisme $F_p$ est $(a, a ′) ↦ (a^p,{a ′}^p)$ et la translation
+par $(1,0)$ est $τ:(a,b) ↦ (a,b) ⊕ (1,0)=(a+1,b+\log_{<p}(a+1))$.
+
+\subsubsection{}
+Comme attendu, on observe que pour chaque $𝐅_p$-algèbre
+$A$, le groupe $W_{[p]}(A)$ est extension du groupe additif $(A,+)$ par
+lui-même : la projection $(a,a ′) ↦ a$ est un morphisme surjectif
+de groupes, de noyau le sous-groupe $\{(0,a ′):a ′ ∈ A\}$ de $(A²,⊕_{[p]})$,
+naturellement isomorphe à $(A,+)$ par le morphisme $a ′ ↦ (0,a ′)$.
+
+\subsubsection{}
+Soient $(a,b)$ deux éléments de $k$ de caractéristique $p>0$
+et soit $Ω$ une clôture séparable de $k$.
+L'équation $℘(x,y)=(a,b)$ en les inconnues $(x,y)$,
+où $℘=F_p \ominus \Id$, est équivalente aux deux équations :
+\[
+℘(x)=a
+\]
+et
+\[
+℘(y)=(-1)^{p+1} x^p \log_{<p}(-\frac{a}{x}) + b.
+\]
+Ces équations ont des solutions dans $Ω$ car elles
+sont séparables. Notons $q_W$ — $W$ pour \emph{Witt} — le terme
+de droite de la seconde équation. C'est un polynôme
+en $x$ de terme constant $b$ de degré visiblement
+inférieur ou égal à $p$. Si le couple $(x_W,y_W) ∈ Ω²$ est une solution de
+ces équations, le couple $τ(x_W,y_W)=(x_W+1,y_W+\log_{<p}(x_W+1))$
+est également solution : cela résulte du fait
+que $℘$ est additif, de noyau contenant $(1,0)$.
+Ceci se traduit par l'égalité dans $Ω$
+\[
+℘\big(\log_{<p}(x_W+1))=q_W(x_W+1)-q_W(x_W),
+\]
+ou encore, dans $k[x]$,
+\[
+∑_{i=1}^{p-1} \frac{(-1)^{i+1}}{i} ⋅ \big((x+a)^i-x^i\big)
+= Δ \Big( (-1)^{p} ∑_{i=1}^{p-1} \frac{1}{i} x^{p-i}(x+a)^i \Big)
+\]
+% p=13
+% R.<x,a>=GF(p)['x','a']
+% q = (-1)^(p)*sum([x^(p-k) * (x+a)^k / k for k in range(1,p)])
+% Dq=q.subs({x:x+1})-q
+% plog = sum([((x+a)^k-x^k) * (-1)^(k+1) / k for k in range(1,p)])
+qu'il serait laborieux de vérifier par un calcul direct.
+(On note $Δ:k[x] → k[x]$ l'opérateur $P(x) ↦ P(x+1)-P(x)$.)
+Le terme dominant du polynôme de gauche est visiblement
+$(-1)^p a x^{p-2}=-a x^{p-2}$. Il en résulte que
+$q_W$ est un polynôme de degré $p-1$ de coefficient
+dominant $a$. En recopiant la démonstration du
+théorème \ref{AS Z sur p carré}, on vérifierait
+les faits suivants :
+
+— le polynôme $∏_{ζ ∈ 𝐅_p} \big(Y^p-Y-q_W(x+ζ)\big)$ est irréductible
+sur $k$ ;
+
+— l'extension $k(℘^{-1}(a,b)\bo k)$ est galoisienne
+de groupe cyclique d'ordre $p²$,
+engendré par l'automorphisme $y_W ↦ y_W + \log_{<p}(x_W+1)=
+y_W+x^{p-1}+t(x)$ où $x_W$ et $y_W$ sont comme ci-dessus, $y_W$
+étant nécessairement un élément primitif de l'extension,
+et $t$ est un polynôme de degré strictement inférieur
+à $p-1$ ;
+
+— si $u ∈ k[x]$ satisfait $Δu=t$, $y_{AS}:=y_W+u(x)$
+est racine d'une équation $℘(y_{AS})=q_{AS}(x)$, où
+$q_{AS}$ est comme en \ref{AS Z sur p carré}. Et réciproquement.
+
+On constate donc que l'équation d'Artin-Schreier $℘(x,y)=(a,b)$
+permet de décrire toutes les équations de degré $p²$
+d'un corps de caractéristique $p>0$.
+Nous allons voir dans la section suivante que ceci
+est un fait général dont il est possible
+de donner une démonstration conceptuelle.
+
+\begin{exercice2}
+Montrer que pour chaque nombre premier $p$,
+le groupe $W_{[p]}(𝐅_p)$ est isomorphe à $𝐙/p²$.
+\end{exercice2}
+
+\subsection{Vecteurs de Witt tronqués à coefficients dans une $𝐅_p$-algèbre}
+
+Dans ce paragraphe et le suivant, on fixe un nombre premier $p>0$,
+$r ≥ 0$ un entier et $q=p^r$ une puissance de $p$.
+On note $W$ la restriction du foncteur $W_{[q]}$ aux $𝐅_p$-algèbres.
+
+\subsubsection{}Les endomorphismes $F_p$ et $V_p$ de $W_∞^{(p)}$
+induisent des endomorphismes de $W$ \XXX. Si
+$f ∈ W(A)$ a pour coordonnées de Witt $α=(α₁,α_p, …,α_q)$
+— c'est-à-dire si $f$ est représenté par la série $E_p(α.X)$ —
+les coordonnées de $F_p(f)$ (resp. $V_p(f)$) sont $\Frob_p(α)=(α_1^p,α_p^p, …,α_q^p)$
+(resp. $v_p(α)=(0,α₁,α_p, …,α_{q/p})$).
+
+
+\begin{proposition2}\label{calcul W(Fp)}
+Le groupe $W(𝐅_p)$ est isomorphe au groupe cyclique $𝐙/p^{r+1}$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Le groupe $W(𝐅_p)$ est de cardinal $pq=p^{r+1}$. Pour
+montrer qu'il est cyclique, il suffit
+de démontrer que la classe de $E_p(X)$ dans
+$W(𝐅_p)$ n'est pas de $q$-torsion.
+Or, la série $E_p(X)^q=E_p(X^q)$ est non triviale
+modulo $X^{q+1}$. CQFD.
+\end{démo}
+
+\subsubsection{}Soit $K$ une $𝐅_p$-algèbre.
+Le noyau de l'endomorphisme $℘_W=F_p \ominus \Id$ de $W(K)$
+est l'ensemble des éléments de coordonnées de Witt
+$α ∈ K^{r+1}$ satisfaisant l'équation $\Frob_p(α)=α$ (cf. \emph{supra}).
+Il contient donc le sous-groupe $W(𝐅_p)≃𝐙/p^{r+1}$
+car $\Frob_p$ agit trivialement sur $𝐅_p$.
+Réciproquement, si $K$ est intègre,
+$\Ker\,℘_W(K)=W(𝐅_p)$ car les seules racines dans $K$ de l'équation $X^p=X$
+sont les éléments du sous-corps $𝐅_p$ de $K$.
+Nous avons démontré la première moitié de la proposition suivante.
+
+\begin{proposition2}\label{noyau p-Weierstrass-Witt}
+Soit $K$ une $𝐅_p$-algèbre.
+\begin{enumerate}
+\item Si $K$ est intègre, le noyau $\Ker\,℘_W(K)$ de $℘_W:W(K) → W(K)$ est le sous-groupe
+cyclique $W(𝐅_p)$ de $W(K)$.
+\item Le foncteur
+$A ↦ \Ker\,℘_W(A)$ est représentable
+par une $K$-algèbre diagonale de rang $p^{r+1}$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+(ii) Le foncteur $ \Ker\,℘_W$ est isomorphe
+au foncteur $A ↦ \Hom_{K\traitdunion\Alg}(K[X]/(X^p-X),A)^{r+1}$
+Ce dernier est représentable par la $K$-algèbre
+diagonale $K[X]/(X^p-X)^{r+1} ≃ (K^p)^{r+1}$.
+(Il résulte de cet argument, que la conclusion
+de (i) est également valable sous la seule
+hypothèse que $A$ est \emph{connexe},
+cf. \refext{Spec}{produit=somme}.)
+\end{démo}
+
+\subsubsection{}Nous allons maintenant considérer l'image de $℘_W$.
+Auparavant, introduisons quelques notations.
+Comme on l'a vu, le foncteur $W$ est (ensemblistement)
+représentable par la $𝐅_p$-algèbre $M=𝐅_p[X_{q ′|q}]$,
+la bijection étant donnée par les coordonnées de Witt :
+à $f ∈ W(K)$ de coordonnées de Witt $(α₁, …,α_q)$
+on associe le morphisme $φ_f:M → K$ envoyant $X_{q ′}$
+sur $α_{q ′}$. D'autre part, il résulte du lemme de Yoneda
+(\refext{Cat}{lemme-de-yoneda}) que l'endomorphisme $℘_W$ du foncteur $W → W$
+correspond à un endomorphisme $℘^M$ de l'algèbre $M$.
+Soient $f ∈ W(K)$ et $A$ une $K$-algèbre. La fibre $℘_W^{-1}(f)(A)$ du morphisme
+$℘_W:W(A) → W(A)$ au-dessus de l'image de $f$ dans $W(A)$ est naturellement
+en bijection avec l'ensemble des $A$-points
+de la $K$-algèbre $M(f):=M ⊗_{℘^M,M,φ_f} K$ (\refext{Tens}{}). En d'autres termes,
+le foncteur $A ↦ ℘_W^{-1}(f)(A)$ est représentable
+par la $K$-algèbre $M(f)$.
+
+\begin{proposition2}\label{séparabilité p-Weierstrass-Witt}
+Soit $K$ un \emph{corps} de caractéristique $p>0$.
+Pour tout $f ∈ W(K)$ la $K$-algèbre $M(f)$ est \emph{étale}
+de rang $p^{r+1}$. En particulier, si $K$ est séparablement
+clos, le morphisme $℘_W:W(K) → W(K)$ est \emph{surjectif}.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Commençons par montrer la surjectivité de $℘_W:W(K) → W(K)$ lorsque $K$
+est séparablement clos. Il suffit de démontrer la surjectivité du morphisme
+$F_p \ominus \Id : W_∞(K) → W_∞(K)$ sous cette hypothèse ; l'énoncé désiré
+s'en déduisant par passage au quotient \XXX.
+Par récurrence et d'après \ref{bijections entre Wn et An},
+il suffit de démontrer que pour chaque $α ∈ K$ et chaque entier $i ≥ 1$,
+il existe $β ∈ K$ tel que le quotient $(1-α X^i)/℘(1-β X^i)$
+appartienne à $\mathrm{Fil}^{i+1}W_∞(K)$. Cela résulte
+de l'égalité
+\[
+\frac{(1-α X^i)(1-β X^i)}{1-β^p X^i}=1+(β^p-β-α)X^i+ \cdots.
+\]
+On observera que les coefficients $β$ sont obtenus par résolutions
+successives d'équations d'Artin-Schreier.
+
+Soit maintenant $f ∈ W(K)$, où $K$ n'est plus supposé
+séparablement clos. Soit $Ω$ une clôture séparable de $K$
+et soit $f_Ω$ l'image de $f$ dans le sur-groupe $W(Ω)$ de $W(K)$.
+Les $Ω$-algèbres $M(f_Ω)$ et $M(f) ⊗_K Ω$ sont canoniquement
+isomorphes. Le caractère étale d'une algèbre sur un corps
+se testant après extension algébrique séparable, et
+le rang étant invariant par une telle extension,
+on peut supposer $K$ séparablement clos.
+D'après ce qui précède, il existe alors un
+élément $g ∈ W(K)$ tel que $℘(g)=f$. La translation $t_g:W → W$, $x ↦ x + g$,
+induit un isomorphisme de foncteurs entre $℘^{-1}(0)$ et $℘^{-1}(f)$
+d'où un $K$-isomorphisme entre $M(0)$ et $M(f)$. La conclusion
+résulte de la proposition \ref{noyau p-Weierstrass-Witt}.
+\end{démo}
+
+Plus généralement, on peut démontrer la proposition suivante.
+
+\begin{proposition2}\label{revêtement ASW}
+L'extension $M_{[q]} → M_{[q]}$ définie par $℘^{M_{[q]}}$ est
+\emph{galoisienne de groupe $W_{[q]}(𝐅_p)$}.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+\end{démo}
+
+\begin{exercice2}
+Pour tout $r+1$-uplet $α$ de $𝐅_p^{r+1}$, notons $\gtilde{α}$
+l'unique relèvement de $α$ dans $[0,p-1]^{r+1} ⊆ 𝐙^{r+1}$.
+Montrer que l'application $W(𝐅_p) → 𝐙/p^{r+1}$,
+$E_p(α.X) ↦ ∑_{i=0}^{r} \gtilde{α_{p^i}}p^i \mod p^{r+1}$, est un isomorphisme de groupes.
+\XXX % pas clair
+\end{exercice2}
+
+\subsection{Extensions galoisiennes de groupe $𝐙/p^{r+1}$}
+
+\begin{théorème2}\label{ASW}
+Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$,
+$r ≥ 0$ un entier et $q=p^r$ la puissance de $p$
+correspondante. Soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
+\begin{enumerate}
+\item Pour toute extension galoisienne $K\bo k$ de groupe
+cyclique d'ordre $p^{r+1}$, il existe un
+élément $f ∈ W_{[q]}(k)$ tel que
+$K$ soit $k$-isomorphe au plus petit sous-corps
+$k(\sqrt[℘]{f})$ de $Ω$ tel que les
+solutions de l'équation $℘(g)=f$ dans $W_{[q]}(Ω)$ appartiennent
+à $W_{[q]}(k(\sqrt[℘]{f}))$.
+\item Soit $f ∈ W_{[q]}(k)$. L'extension $k(\sqrt[℘]{f}) \bo k$
+est galoisienne cyclique d'ordre divisant $p^{r+1}$
+avec égalité si et seulement si le premier coefficient
+de Witt de $f$ n'appartient pas à $℘(k)$. D'autre
+part, $k(\sqrt[℘]{f})$ est le sous-corps de $Ω$ engendré
+par les coefficients de Witt d'un élément
+quelconque $g$ de $W_{[q]}(Ω)$ satisfaisant l'équation $℘(g)=f$.
+\end{enumerate}
+\end{théorème2}
+
+\subsubsection{Démonstration de \ref{ASW} (ii)}
+
+Soit $f$ comme dans l'énoncé. Notons $k\sep$ la clôture
+séparable de $k$ dans $Ω$. D'après \ref{séparabilité p-Weierstrass-Witt},
+il existe $g₀ ∈ ℘^{-1}(f)(k\sep)$. Pour chaque $ζ ∈ W_{[q]}(𝐅_p)$,
+posons $g_ζ:=g₀ ⊕ ζ ∈ W_{[q]}(k\sep)$. D'après \ref{noyau p-Weierstrass-Witt},
+les solutions de $℘(g)=f$ dans $W_{[q]}(Ω)$ sont les $(g_ζ)_ζ$.
+(Ici, comme dans l'énoncé, on note abusivement $f$ l'image
+de l'élément $f ∈ W_{[q]}(k)$ par l'injection canonique
+$W_{[q]}(k) ↪ W_{[q]}(Ω)$.) Il en résulte que $k(\sqrt[℘]{f})$ est le sous-corps
+de $Ω$ engendré par les coefficients de Witt de $g₀$ (par exemple)
+et d'autre part que le corps $k(\sqrt[℘]{f})$ est contenu dans $k\sep$ :
+l'extension $k(\sqrt[℘]{f})\bo k$ est donc
+algébrique \emph{séparable}. Montrons qu'elle est \emph{normale}.
+Soit $σ : Ω → Ω$ un $k$-automorphisme. En appliquant
+$σ$ à l'égalité $℘(g₀)=f$ on obtient, par commutation
+évidente de $σ$ avec $℘$, l'égalité $℘\big(σ (g₀)\big)=f$
+d'où $σ (g₀)=g_{ζ_σ}$ pour un unique $ζ_σ ∈ W(𝐅_p)$.
+Il en résulte que $σ (g_ζ)=g_ζ ⊕ ζ_σ$ pour tout $ζ$ car $σ$ commute
+à l'addition dans les vecteurs de Witt tronqués et
+agit trivialement sur $W_{[q]}(𝐅_p)$.
+Ainsi, $σ$ préserve $K=k(\sqrt[℘]{f})$, de sorte
+que l'extension $K \bo k$ est galoisienne,
+et $σ ∈ G=\Gal(K\bo k) ↦ ζ_σ ∈ W_{[q]}(𝐅_p)$
+est une injection. D'après \ref{calcul W(Fp)},
+$G$ est donc cyclique de cardinal divisant $p^{r+1}$.
+
+Soit $f ′$ (resp. $g₀ ′$) l'image de $f$ (resp. $g₀$) dans $W_{[1]}(k) = k$
+($W_{[1]}(K) = K$) par la surjection canonique $W_{[q]} ↠W_{[1]}$.
+Le morphisme $℘$ commute à cette projection de sorte que
+$℘_{W_{[1]}}(g₀ ′)=f ′ $. Le corps $K$ contient donc le sous-corps
+$K ′ =k(\sqrt[℘]{f ′})$, galoisien sur $k$. D'autre part,
+l'action d'un élément $σ ∈ G$ sur $K ′$ se factorise
+à travers le quotient $W_{[q]}(𝐅_p) ↠ W_{[1]}(𝐅_p)=𝐅_p$ :
+la réduction de l'égalité $σ(g₀)= g₀ ⊕_{W_{[q]}(K)} ζ_σ$
+dans $W_{[1]}(K)$ se réécrit : $σ(g ′₀)=g ′₀ + ζ_σ ′$
+où $ζ_σ ′$ est l'image de $ζ_σ$ dans $𝐅_p$.
+Ainsi, l'image de $G$ dans l'unique quotient
+d'ordre $p$ de $W_{[q]}(𝐅_p) ≃ 𝐙/p^{r+1}$
+coïncide avec l'image du groupe de Galois de l'extension
+d'Artin-Schreier $K ′ \bo k$. Ce groupe est trivial
+si et seulement si $f ′ ∈ ℘(k)$, cf. \ref{extension AS est de groupe Z
+sur p}. On achève la démonstration
+en observant qu'un sous-groupe de $𝐙/p^{r+1}$ est strict
+si et seulement si son image dans $𝐙/p$ est triviale.
+
+\subsubsection{Première démonstration de \ref{ASW} (i) : méthode verselle}
+
+Nous allons utiliser la même méthode qu'en \refext{Versel}{AS via
+groupes algébriques}, qui repose de façon cruciale sur
+\emph{op. cit.}, \ref{base normale géométrique}
+et la proposition \ref{noyau p-Weierstrass-Witt} ci-dessus.
+Notons respectivement $E_{[q]}$ et $B_{[q]}$ les $𝐅_p$-algèbres
+$E(𝐙/p^{r+1})$ et $B(𝐙/p^{r+1})$ de \refext{Versel}{notations base
+normale géométrique}. Soit $K\bo k$ une extension galoisienne
+de groupe cyclique d'ordre $p^{r+1}$. D'après
+\refext{Versel}{base normale géométrique}, il existe un $k$-morphisme
+$B_{[q]} → k$ tel que $K$ soit $k$-isomorphe au produit tensoriel
+$E_{[q]} ⊗_{B_{[q]}} k$. Comme on l'a vu, cela est équivalent
+à l'existence (\emph{a priori} plus faible) d'un carré
+commutatif
+
+\begin{center}\begin{tikzpicture}[auto]
+ \matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]
+{ K \pgfmatrixnextcell E_{[q]} \\ k \pgfmatrixnextcell B_{[q]}\\};
+ \draw[<-] (diag-1-1) -- (diag-2-1);
+ \draw[<-] (diag-1-2) -- (diag-2-2);
+ \draw[<-] (diag-1-1) -- (diag-1-2);
+ \draw[<-] (diag-2-1) -- (diag-2-2);
+ \end{tikzpicture}
+ \end{center}
+
+Il résulte de \refext{Versel}{unités algèbre
+de groupe et EG} et du fait que l'on est en caractéristique $p>0$
+que l'algèbre $E_{[q]}$ représente le foncteur $A ↦
+(A[X]/X^{p^{r+1}})^×$, l'action naturelle de $𝐙/p^{r+1}$
+sur $E_{[q]}$ correspondant à la multiplication par $1+X$.
+D'après \ref{structure Un sur Fp}, $E_{[q]}^{\japmath{田}}$
+se surjecte sur le foncteur $W_{[q]}$ par \XXX.
+
+Admettons un instant qu'il existe un morphisme
+$B_{[q]}^{\japmath{田}} → W_{[q]}$ faisant commuter
+le diagramme ci-dessous.
+
+\begin{center}\begin{tikzpicture}[auto]
+ \matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]
+{ E_{[q]}^{\japmath{田}} \pgfmatrixnextcell W_{[q]} \\ B_{[q]}^{\japmath{田}} \pgfmatrixnextcell W_{[q]}\\};
+ \draw[->] (diag-1-1) -- (diag-2-1);
+ \draw[->] (diag-1-2) -- node{$℘_{W_{[q]}}$} (diag-2-2);
+ \draw[->>] (diag-1-1) -- (diag-1-2);
+ \draw[->,dotted] (diag-2-1) -- (diag-2-2);
+ \end{tikzpicture}
+ \end{center}
+
+En retournant les flèches — c'est-à-dire en passant aux $𝐅_p$-algèbres
+représentant ces foncteurs — et en recollant ce diagramme avec le
+précédent, on en déduit l'existence d'un carré commutatif :
+
+\begin{center}\begin{tikzpicture}[auto]
+ \matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]
+{ K \pgfmatrixnextcell M_{[q]} \\ k \pgfmatrixnextcell M_{[q]}\\};
+ \draw[<-] (diag-1-1) -- (diag-2-1);
+ \draw[<-] (diag-1-2) -- node{$℘^{M_{[q]}}$} (diag-2-2);
+ \draw[<-] (diag-1-1) -- (diag-1-2);
+ \draw[<-] (diag-2-1) -- node{$f$} (diag-2-2);
+ \end{tikzpicture}
+ \end{center}
+
+On en déduit un morphisme de $k$-algèbres $M(f) →
+K$ ; d'après \ref{revêtement ASW} et \refext{Versel}{Gal-G est un
+groupoide} le morphisme $M(f) → K$ est un isomorphisme.
+
+\begin{proposition2}
+On a $F_p(E_p(-X)f)=E_p(-X)F_p(f)$ et la multiplication
+par $E_p(-X)$ correspond à l'action d'un générateur
+de $𝐙/p^r$ sur $E(𝐙/p^r)$. En conséquence, on a
+un carré commutatif avec $B(𝐙/p^r) → E(𝐙/p^r)$ (morphisme
+canonique) et $℘=F_p \ominus \Id : W_{[q]} → W_{[q]}$.
+\end{proposition2}
+
+\subsubsection{Seconde démonstration de \ref{ASW} (i) : méthode cohomologique}
+
+
+\subsection{Composantes fantômes, structure d'anneau}\label{composantes fantômes}
+
+\subsubsection{}Bien que l'exponentielle d'une série formelle $f ∈ W_∞(A)$ ne
+soit pas définie en général — à cause des divisions par $n!$ —, on peut malgré
+tout considérer sa dérivée logarithmique On appelle \emph{morphisme fantôme} le morphisme
+\[\japmath{鬼}: W_∞ → \Ga^∞\]
+\[f ↦ X \frac{f ′}{f}.\]
+
+\begin{proposition2}
+morphisme ; injectif si sans $𝐙$-torsion, bijectif si $𝐐$-algèbre. Si
+$𝐙_{(p)}$-algèbre $e_p$ « correspond » à $(a₁,a₂, …) ↦ (a_1,0, …,a_p,0,
+…,a_{p²}, …)$.
+\[\japmath{鬼}\big(∏(1-α_i t^i)\big)=\big(∑_{d|n} d α_{n/d}\big).\]
+\end{proposition2}
+
+\subsection{Algèbres simples-centrales de degré $p^r$}
+
+\XXX
+
+\begin{center}
+Note bibliographique % cf. Serre, « Groupes algébriques et corps de classe »
+\end{center}
+
+Références : Serre, Groupes algébriques et corps de classe (chap. V,
+§14--16) ; Demazure, Lectures on $p$-divisible groups (chap. III) ;
+Hazewinkel, Witt vectors (Handbook of algebra, vol. 6) ;
+Witt, Vektorkalkül und Endomorphismen der Einspotenzreihengruppe (Œuvres, № 24),
+Bourbaki, Algèbre commutative (exercices), et surtout :
+S. Bloch, Algebraic K-theory and crystalline cohomology (PMIHÉS 47).
+Pour des vecteurs de Witt non-commutatifs, cf. Goerss, Lannes et Morel,
+« Vecteurs de Witt non commutatifs et représentabilité de l'homologie modulo $p$ »
+
+Voir aussi les articles de Witt, très bien écrits.
+
+\ifx\danslelivre\undefined
+\bibliography{bibliographie-livre}
+\bibliographystyle{style-bib-livre}
+\end{document}
+\fi
+
+
diff --git a/chapitres/RT.tex b/chapitres/RT.tex
new file mode 100644
index 0000000..2503c80
--- /dev/null
+++ b/chapitres/RT.tex
@@ -0,0 +1,403 @@
+\ifx\danslelivre\undefined
+\documentclass[9pt]{smfart-moi}
+\input{commun}
+\input{smf}
+\input{adresse}
+\input{gadgets}
+\input{francais}
+\input{numerotation}
+\input{formules}
+\input{encoredesmacros}
+
+\usepackage{stmaryrd}
+\usepackage{graphics}
+\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
+%\usepackage{makeidx}
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{matrix}
+\usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant
+%\usepackage{pxfonts}
+
+\textwidth13cm % pour pouvoir lire le nom des étiquettes si \usepackage{showkeys}
+\externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder
+\externaldocument{categories}
+\externaldocument{entiers}
+\externaldocument{KAS}
+%\makeindex
+
+\title{Extensions radicielles et transcendantes}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\tableofcontents
+\else
+\chapter{Extensions radicielles et transcendantes}
+\fi
+
+
+\section{Degré de transcendance}
+\section{Extensions radicielles. $p$-bases}
+\section{Extensions séparables}
+\section{Extension régulières, linéairement disjointes}
+
+\subsection{Extensions linéairement disjointes (facultatif)}
+
+La démonstration de \ref{fonctorialite-finie-galois} (iii), et particulièrement le lemme
+\ref{premier-exemple-extensions-lineairement-disjointes}, motivent la définition suivante (voir aussi
+\ref{produit-tens-infini=corps} ci-dessous).
+
+\begin{définition2}
+Soient $k$ un corps et $I$ un ensemble. Une famille d'extensions $(k_i\bo k)_{i∈I}$
+est dite \emph{linéairement disjointe} \index{extensions linéairement disjointes}
+si le produit tensoriel infini $⨂_{i∈I,\,\bo k} k_i$,
+défini en \refext{Tens}{produit tensoriel infini} est un anneau intègre. S'il en est ainsi, on appelle \emph{extension composée générique}
+\index{extension composée générique} de cette famille d'extensions
+le corps des fractions de l'anneau $⨂_{i,\,\bo k} k_i$, noté
+$\bigodot_{i,\,\bo k} \, k_i$, ou simplement
+$\bigodot_i\,k_i$ si cela ne prête pas à confusion.
+\end{définition2}
+
+On dit aussi que les extensions $k_i\bo k$, $i∈I$, sont \emph{linéairement disjointes}.
+
+\subsubsection{}\label{generalite-compose-generique}Soient $k$ un corps et $(k_i\bo k)_{i∈I}$ une famille d'extension. Pour tout
+sous-ensemble \emph{fini} $J$ de $I$, notons $A_J$ le produit tensoriel $⨂_{j∈J,\, \bo k}
+k_j$. Pour $J⊆J'$, les morphismes de $k$-algèbres $π_{J,J'}:A_J→A_{J'}$, $⨂_{j∈J}
+λ_j↦⨂_{j∈J}λ_j⊗⨂_{j'∈J'\setminus J} 1$,
+font des $A_J$ un \emph{système inductif}, indicé par l'ensemble ordonné filtrant (à
+droite) des parties finies de $I$, dont on rappelle que $A:=⨂_{i∈I,\,\bo k} k_i$
+est la colimite (cf. \ref{definition ou proposition produit tensoriel infini}).
+
+Puisque $k$ est un corps, les $k_i$ sont fidèlement plats sur $k$, de sorte que les
+morphismes $π_{J,J'}$ sont \emph{injectifs} (\ref{fidele platitude}).
+Une colimite filtrante d'injections est une injection (\ref{colimite filtrante mono=mono}) que, pour toute partie finie
+$J$ de $I$, l'application canonique $s_J:A_J→A$, $⨂_j λ_j↦ (⨂_j λ_j)⊗⨂_{i∉J} 1$
+est \emph{injective}. (C'est également vrai pour un sous-ensemble quelconque $J$.)
+En d'autres termes, $A$ est la \emph{réunion} des sous-$k$-algèbres $A_J$ ($J⊆I$, fini),
+identifiées à leurs images dans $A$ par les applications $s_J$.
+Puisque chaque $A_J$ est engendré, en tant que $k$-algèbre, par les images de
+$k_j=A_{\{j\}}$ pour $j∈J$, il en résulte que, si $A$ est intègre, son corps des fractions $\bigodot_{i,\,\bo k} \, k_i$
+est engendré, en tant qu'\emph{extension} de $k$, par les (images des) $k_i$. C'est aussi
+la réunion filtrante des corps des fractions des anneaux intègres $\Frac(A_J)$ ($J⊆I$ fini).
+
+Remarquons que si $I=\{1,2\}$ est un ensemble à deux éléments et les extensions $k₁\bo k$, $k₂\bo k$ sont
+linéairement disjointes sur $k$, l'extension composée générique $\bigodot_{i∈\{1,2\},\,
+k}\,k_i$ (munie des inclusions naturelles) est une extension composée de $k₁$ et $k₂$ sur $k$ au sens de
+\ref{extension-composee}.
+
+Le terme « générique » fait référence au fait que le corps
+des fractions d'un anneau intègre $A$ n'est autre que le corps résiduel
+de son localisé en son idéal premier $(0)$, appelé « point générique » de $\Spec(A)$.
+(Comparer avec \ref{existence-extension-composee}.)
+
+
+\begin{lemme2}\label{tens-infini-entier-et-plat}
+Soient $k$, $(k_i\bo k)_{i∈I}$ et $A$ comme ci-dessus.
+Considérons une famille $(K_i\bo k_i)_{i∈I}$ d'extensions,
+et $B$ le produit tensoriel infini $⨂_{i∈I,\,\bo k}\,K_i$, muni de sa structure de
+$A$-algèbre évidente. Notons ${K_i}_{A}$ la $A$-algèbre déduite de $K_i$
+par le changement de base $k_i→A$.
+\begin{enumerate}
+\item Le morphisme $A→B$ est \emph{plat} ; il est \emph{entier} si les extensions
+$K_i\bo k_i$ sont \emph{algébriques}.
+\item Le morphisme $⨂_{i∈I,\,\bo k}\,K_i→⨂_{i∈I,\,\bo A}\,{K_i}_A$
+déduit des inclusions $k$-linéaires $K_i→{K_i}_A$ est un
+\emph{isomorphisme}.
+\end{enumerate}
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+(i) Pour toute partie finie $J⊆I$, l'anneau $B_J$ est plat sur $A_J$ :
+cela résulte de \ref{produit-tensoriel-plats}. Comme une colimite de morphismes plats
+est plat, cf. \ref{colimite de plats}, on a le résultat souhaité. Le fait que
+$A→B$ soit entier se démontre de même en utilisant \refext{Ent}{produit-tensoriel-d-entiers}
+et la proposition \ref{union-entiers=entier} ci-dessous.
+
+(ii) Cela résulte de \ref{chapitre produit tensoriel}.
+\end{démo}
+
+ \begin{proposition}\label{union-entiers=entier}
+Soient $A$ un anneau, $(A_i)_{i∈I}$ une famille de sous-anneaux telle que
+$A=⋃_{i∈I} A_i$ et $B$ une $A$-algèbre telle que $B=⋃_{i∈I}B_i$
+où chaque $B_i$ est une sous-$A_i$-algèbre \emph{entière} de $B$.
+Alors, $B$ est entier sur $A$. Plus généralement, si $(A_i,π_{ij})_{i∈I}$ et
+$(B_i,π'_{ij})_{i∈I}$ sont des systèmes inductifs d'anneaux, et $(f_i)_{i∈I}$ est un
+morphisme entre ces deux systèmes tel que chaque $f_i$ soit \emph{entier}, le
+morphisme $f=\colim_{i∈I} f_i:\colim_{i∈I} A_i→ \colim_{i∈I} B_i$ qui s'en déduit est également
+entier.
+\end{proposition}
+
+Observons que ce résultat généralise \refext{Ent}{pdt-tens-entiers}.
+
+\XXX La démonstration ci-dessous est moche.
+
+\begin{démo}
+Cas particulier où $(A_i)_{i∈I}$ est le système inductif constant de valeur $A$
+et $B=A[(B_i)_{i∈I}]$, où chaque $B_i$ est une sous-$A$-algèbre de $B$.
+Soit $b∈B$. Il existe une partie finie $I(b)⊆I$ telle que
+$b∈A[(B_j)_{j∈I(b)}]$. Puisque $A[(B_j)_{j∈I(b)}]$ est un quotient de la
+$A$-algèbre entière $⨂_{j∈I(b)} B_j$ (\ref{pdt-tens-entiers}), c'est une algèbre
+entière sur $A$.
+
+Réduction au cas particulier où le système inductif $(A_i)$ est constant.
+Pour chaque indice $i$, les deux morphismes $A→B$ et $B_i→B$ induisent, par propriété universelle
+du produit tensoriel, un morphisme de $A$-algèbres $B'_i=B_i⊗_{A_i} A→B$.
+Chaque $B'_i$ est entière sur $A$ (cf. \ref{cb-entier}). D'autre part,
+le morphisme canonique de $A$-algèbres
+$\colim_{\Ann} B_i→\colim_{\textrm{$A$-$\Alg$}} B'_i$ est un isomorphisme. Il suffit
+en effet de vérifier que pour toute $A$-algèbre $T$, l'application ensembliste
+$c:\Hom_A(\colim_{\Ann}
+B_i,T)=\prlim\Hom_{A_i}(B_i,T)←\Hom_A(\colim_{\textrm{$A$-$\Alg$}}
+B'_i,T)=\prlim \Hom_A(B'_i,T)$ qui s'en déduit est une bijection. Définissons l'application
+inverse. Soit $φ=(φ_i)$ un système compatible
+de morphismes de $A_i$-algèbres $B_i→T$ et notons $φ'=(φ'_i)$ la famille
+des morphismes $B'_i=B_i⊗_{A_i} A→T$ qui s'en déduisent. C'est un système compatible
+et l'application $φ↦φ'$, $\Hom_A(\colim B_i,T)→\Hom_A(\colim_A B'_i,T)$, ainsi définie est l'inverse de
+l'application $c$.
+
+Réduction au cas particulier où le système inductif $A_i$ est constant et où
+$B=A[(B_i)_{i∈I}]$. D'après ce qui précède, on peut supposer $A_i$ constant de valeur $A$.
+Soit $\gtilde{B_i}⊆B$ l'image du morphisme $B_i→B=\colim_{j∈I} B_j$ et montrons
+que l'injection $B'=A[(\gtilde{B_i})_{i∈I}]↪B$ est un isomorphisme.
+Pour tout $i$, $B'$ reçoit naturellement $B_i$ de sorte que l'on peut définir,
+par propriété universelle de la colimite, un morphisme $B→B'$ de $A$-algèbres.
+Comme le morphisme composé $B_i→B'→B$ est le morphisme canonique $B_i→B$, le
+composé $B→B'→B$ est l'identité. Le morphisme $B'→B$ est donc surjectif. CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{lemme2}\label{sorites-compose-generique}
+\begin{enumerate}
+\item Une famille d'extensions est linéairement disjointe \ssi toute
+sous-famille finie est linéairement disjointe.
+\item L'extension composée générique d'une famille d'extensions linéairement disjointes
+est la réunion filtrante des extensions composées génériques de ses sous-familles finies.
+\item Soient $k$ un corps et $(k_i\bo k)_{i∈I}$, $(k'_i\bo k_i)_{i∈I}$ deux familles
+d'extensions. Si les $(k'_i\bo k)_{i∈I}$ sont linéairement disjointes, il en est de même
+des sous-extensions $(k_i\bo k)_{i∈I}$.
+\end{enumerate}
+\end{lemme2}
+
+Le (i) affirme que la propriété d'être linéairement disjointes est de « caractère fini ».
+
+\begin{démo}
+(i) La condition est évidemment nécessaire : un sous-anneau d'un anneau intègre est
+intègre. Elle est suffisante car une réunion filtrante d'anneaux intègres est intègre.
+(ii) Cf. \ref{generalite-compose-generique}. (iii) Pour toute partie finie $J⊆I$,
+le morphisme canonique $A_J=⨂_{j∈J,\,\bo k}\, k_j→A'_J=⨂_{j∈J,\,\bo k}\, k'_j$ est
+injectif par platitude. Il en résulte que le morphisme colimite $A=⨂_i\,k_i→A'=⨂_i\, k'_i$
+est également injectif. Si $A'$ est intègre, $A$ l'est aussi.
+\end{démo}
+
+\begin{lemme2}\label{produit-tens-infini=corps}
+Soient $k$ un corps et $(k_i\bo k)_{i∈I}$ une famille d'extensions \emph{algébriques}.
+Elle est linéairement disjointe \ssi le produit tensoriel
+$⨂_{i∈I,\,\bo k}\, k_i$ est un \emph{corps}.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+La condition est évidemment suffisante.
+Réciproquement, si les $k_i\bo k$ sont algébriques, chaque produit
+tensoriel \emph{fini} $A_J=⨂_{j∈J}\,k_j$ est entier sur $k$ (cf. \ref{pdt-tens-entiers}).
+D'autre part, $A:=⨂_i\, k_i$ est la réunion des $k$-algèbres entières $A_J$ donc
+est entier sur $k$ (\ref{union-entiers=entier}).
+La conclusion résulte du fait qu'un anneau \emph{intègre} entier sur un corps est
+un corps (\ref{entier-integre=corps}).
+\end{démo}
+
+
+\begin{corollaire2}\label{stabilite-compose-generique}
+Soient $k$ un corps et $(k_i\bo k)_{i∈I}$ une famille linéairement disjointe
+d'extensions. Si chaque extension $k_i\bo k$ est normale (resp. algébrique séparable,
+resp. galoisienne), l'extension composée générique $\bigodot_i\,k_i\,\bo k$ est normale (resp. séparable,
+resp. galoisienne).
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+Puisqu'une réunion filtrante d'extensions normales (resp. algébrique séparable,
+resp. galoisienne) est normale (resp. algébrique séparable, resp. galoisienne), on peut
+supposer $I$ fini, et finalement $\# I=2$, auquel cas cela résulte
+de \ref{cb-extension-normale} (pour la normalité) et de \ref{corollaire-compose-etale} (pour la séparabilité).
+\end{démo}
+
+Avant de donner l'exemple particulièrement important des extensions
+transcendantes pures, voici un critère utile.
+
+\begin{lemme2}
+Soient $k$ un corps, et $(A_i)_{i∈I}$ une famille de $k$-algèbres intègres telle
+le produit tensoriel infini $⨂_{i∈I,\,\bo k}\, A_i$ soit intègre. Alors, les
+extensions $\Frac(A_i)\bo k$ sont linéairement disjointes.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Puisque les applications $A_J→A$ ($J⊆I$) sont injectives (par platitude),
+la propriété d'être intègre « passe à la sous-famille ».
+On peut donc supposer $I$ fini, auquel cas cela résulte du fait que $⨂_i\, K_i$
+est un \emph{localisé} de l'anneau intègre $⨂_i\,A_i$ (cf. \ref{produit
+tensoriel et localisation}).
+\end{démo}
+
+\begin{exemple2}\label{transcendantes-pures=lin-disjointes}
+Soient $k$ un corps, $I$ un ensemble et $(A_i)_{i∈I}$ une famille d'ensembles.
+Les extensions $k(X_α,\,α∈A_i)\bo k$ sont linéairement disjointes.
+\end{exemple2}
+
+D'après le critère précédent, il suffit en effet de vérifier que le produit
+tensoriel $⨂_{i∈I} k[X_α, \,α∈A_i]$ est intègre.
+dans le cas particulier où $I$ est fini.
+Ceci résulte de l'existence d'un isomorphisme (donné par le produit des polynômes)
+$⨂_{i∈I} k[X_α, \,α∈A_i]\iso k[X_α,\,α∈\coprod_{i∈I} A_i]$ (\ref{produit
+tensoriel d'anneaux de polynômes}).
+(On vérifie sans peine que l'application produit induit un isomorphisme même si $I$
+est infini.)
+
+\begin{remarque2}
+On montrera plus tard (\ref{}) que les extensions $𝐐(ζ_{p^∞})\bo 𝐐$, pour $p$ premier, sont linéairement disjointes.
+\end{remarque2}
+
+\begin{théorème2}\label{Gal-prod-tens-infini=produit-infini}
+Soient $k$ un corps, et $I$ un ensemble d'indices.
+Considérons une famille d'extensions $(L_i\bo k)_{i∈I}$ \emph{linéairement disjointes} et,
+pour chaque $i$, une sous-$k$-extension $K_i$ de $L_i$ telle que
+$L_i\bo K_i$ soit galoisienne, de groupe noté $G_i$.
+Notons $L=\bigodot_{i∈I,\,\bo k}\, L_i$ et $K=\bigodot_{i∈I,\,\bo k}\,
+K_i$ (cf. \ref{sorites-compose-generique} (iii)).
+Alors, l'extension $L\bo K$ est \emph{galoisienne} et le morphisme $∏_i G_i→G_{L\bo K}$,
+déduit de l'application $∏_i G_i→\Aut_k(⨂_i L_i)$, $(g_i)_{i∈I}↦\big(⨂_i x_i↦⨂_i g_i(x_i)\big)$ par passage au
+corps des fractions, est un isomorphisme, d'image inverse l'application
+produit des morphismes de restriction $G_{L\bo K}→∏_i G_{L_i\bo K_i}$.
+\end{théorème2}
+
+En d'autres termes, le foncteur $\Gal$ transforme $\bigodot$ en produit.
+
+Commençons par énoncer et démontrer le corollaire suivant
+(obtenu en posant $K_i=k$ pour tout $i$),
+qui généralise l'énoncé \ref{fonctorialite-finie-galois} (iii) au cas
+d'un nombre éventuellement infini d'extensions de corps.
+
+\begin{corollaire2}
+Soient $K$ un corps et $(L_i\bo K)_{i∈I}$ une famille \emph{linéairement
+disjointe} d'extensions galoisiennes. Notons $L$ le \emph{corps}
+$⨂_{i∈I,\, \bo K}\, L_i$ (cf. \ref{produit-tens-infini=corps}). L'extension $L \bo K$ est galoisienne et
+le morphisme canonique $δ:∏_i G_{L_i \bo K}→G_{L\bo K}$,
+$(g_i)_{i∈I}↦\big(⨂_i x_i↦⨂_i g_i(x_i)\big)$ est un isomorphisme,
+d'image inverse l'application $ρ:G_{L\bo K}→∏_i G_{L_i\bo K}$, produit des morphismes de
+restriction $G_{L\bo K}→G_{L_i\bo K}$.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}[Démonstration du corollaire]
+D'après \ref{stabilite-compose-generique}, l'extension $L\bo K$ est galoisienne.
+Notons $G$ le produit $∏_i G_{L_i\bo K}$.
+Il est évident que le composé $ρ∘δ$ est l'identité car le plongement $L_i↪L$ est donné par
+l'application $λ_i↦λ_i⊗⨂_{j≠i} 1$. Il en résulte que $δ$ est injectif et $ρ$ surjectif.
+D'autre part, puisque $L$ est engendré sur $K$ par ses sous-corps $L_i$,
+l'application $ρ$ est nécessairement injective donc bijective. CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{démo}[Démonstration du théorème]
+Soient $A=⨂_{i∈I,\,\bo k}\,K_i$ et $B=⨂_{i∈I,\,\bo k}\,L_i$,
+de corps des fractions respectifs $K$ et $L$.
+On a vu en \ref{} que le morphisme canonique $B→⨂_{i,\,\bo A}\,{L_i}_A$
+est un isomorphisme. D'autre part, le morphisme $A→B$ étant plat et entier
+(\emph{loc. cit.}), il résulte du lemme \ref{frac-preserve-integrite} ci-dessous
+que l'application canonique $B_K→L$ est un isomorphisme.
+En conséquence, $L$ est $K$-isomorphe au produit tensoriel
+$\big(⨂_{i,\,\bo A}\,{L_i}_A\big)⊗_A K$, lui-même $K$-isomorphe au produit
+tensoriel infini
+$$
+⨂_{i,\,\bo K}\,{L_i}_K.
+$$
+Il en résulte d'une part que chaque ${L_i}_K=L_i⊗_{K_i} K$ est un corps
+(car intègre --- c'est un facteur d'un produit tensoriel intègre --- et entier sur $K$)
+et que ces $K$-extensions sont
+linéairement disjointes. D'après \ref{premier-exemple-extensions-lineairement-disjointes}
+et \ref{fonctorialite-finie-galois} (iii), l'extension ${L_i}_K\bo K$ est galoisienne de groupe $\Gal(L_i\bo K_i)$
+de sorte que le cas particulier démontré dans le corollaire
+nous donne un isomorphisme $G_{L\bo K}→∏G_{L_i\bo K_i}$, dont on vérifie
+sans peine que c'est celui de l'énoncé du théorème.
+\end{démo}
+
+\begin{lemme3}\label{frac-preserve-integrite}
+Soient $A$ un anneau intègre de corps des fractions $K$ et $B$ une $A$-algèbre
+intègre.
+\begin{enumerate}
+\item L'anneau $B_K=B⊗_A K$ est intègre.
+\item Si $A→B$ est entier et plat, l'application canonique $B→B_K$ est l'inclusion de
+$B$ dans son corps des fractions.
+\end{enumerate}
+\end{lemme3}
+
+\begin{démo}
+(i) Cf. \ref{corollaire localisation}.
+(ii) La $K$-algèbre $B_K$ est intègre d'après (i) et entière sur $K$
+(\ref{cb-entier}) ; c'est donc un corps (\ref{entier-integre=corps}).
+Considérons la suite exacte de $A$-modules
+$$
+0→A→K→K/A→0.
+$$
+Puisque $B$ est plat sur $A$ (\ref{generalite-compose-generique}) ; on obtient alors la suite exacte :
+$$
+0→B→B_K→(K/A)⊗_A B→0.
+$$
+
+En d'autres termes, l'application canonique $B→B_K$ est \emph{injective},
+et le $B$-module $B_K/B$ est isomorphe à $(K/A)⊗_A B$, de sorte
+qu'il est de \emph{torsion} car $K/A$ l'est comme $A$-module.
+(Rappelons qu'un module $M$ sur un anneau intègre $A$ est dit de torsion
+si pour tout $m∈M$, il existe $a∈A$ non nul tel que $am=0$.)
+Sous ces conditions, la flèche $B→B_K$ est bien l'application de passage au
+corps des fractions.
+\end{démo}
+
+
+\begin{théorème2}\label{Leptin}
+Tout groupe profini est groupe de Galois d'une extension. Plus précisément, pour
+tout corps $k$, il existe une extension $K\bo k$ ainsi qu'une extension $L\bo K$
+galoisienne de groupe $G$.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+Soient $G=\prlim_{i∈I} G_i$ et $k$ comme dans l'énoncé.
+Puisque $G$ est naturellement un fermé du produit $∏_i G_i$, il résulte
+immédiatement de la théorie de Galois infinie que l'on peut supposer $G=∏_i G_i$.
+D'autre part, chaque $G_i$ est un sous-groupe d'un groupe symétrique $\got{S}_{n_i}$ (prendre
+$n_i=\# G_i$) donc il suffit de démontrer le théorème pour un groupe
+$G=∏_{i∈I} \got{S}_{n_i}$. Considérons $K_i=k(X_i,1≤i≤n_i)$ le corps
+des fractions rationnelles en $n_i$ indéterminées et
+$k_i=\Fix_{\got{S}_{n_i}}(K_i)$ (action par permutation des variables).
+L'extension $K_i\bo k_i$ est galoisienne de groupe $\got{S}_{n_i}$
+(\ref{exemple-galois-equation-generique}). D'autre part,
+d'après \ref{transcendantes-pures=lin-disjointes}, les extensions $K_i$ sont
+linéairement disjointes sur $k$ de sorte que l'on peut appliquer
+le théorème \ref{Gal-prod-tens-infini=produit-infini}.
+\end{démo}
+
+On trouvera dans \cite{Fried-Jarden}, §1.4 une démonstration reposant sur l'analogue
+profini du lemme d'Artin (\ref{lemme-Artin-profini}).
+
+Signalons également la
+
+\begin{conjecture2}
+Tout groupe fini est groupe de Galois d'une extension finie de $𝐐$.
+\end{conjecture2}
+
+Nous démontrerons plus tard des cas particuliers de cette conjecture
+(cas des groupes abéliens (\ref{groupe-abelien=galois-sur-Q}), \XXX à
+compléter).
+
+
+\begin{exercice2}
+Vérifier que $\bigodot_{i∈I,\,\bo k}\, k(X_α,α∈A_i)≃k(X_α,α∈\coprod_{i∈I}
+A_i)$.
+\end{exercice2}
+
+
+
+
+\section{Théorème de Lüroth}
+
+
+
+\ifx\danslelivre\undefined
+\bibliography{bibliographie-livre}
+\bibliographystyle{style-bib-livre}
+\end{document}
+\fi
diff --git a/chapitres/algo-corps-finis.tex b/chapitres/algo-corps-finis.tex
new file mode 100644
index 0000000..1f61155
--- /dev/null
+++ b/chapitres/algo-corps-finis.tex
@@ -0,0 +1,1549 @@
+\ifx\danslelivre\undefined
+\documentclass[9pt]{smfart-moi}
+\usepackage{stmaryrd}
+\usepackage{wasysym}
+\usepackage{graphics}
+\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
+\input{commun}
+\input{smf}
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+%\input{gadgets}
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+\input{encoredesmacros}
+\usepackage{srcltx}
+
+\title{Algorithmique des corps finis}
+
+\externaldocument{extensions-algebriques}
+\externaldocument{corps-finis}
+\externaldocument{correspondance-galois}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\tableofcontents
+\else
+\chapter{Algorithmique des corps finis}
+\fi
+
+
+\section{Calculs de racines carrées, équations quadratiques}\label{equations-quadratiques-corps-finis}
+
+\subsection{Le caractère quadratique}
+
+\begin{definition2}\label{definition-caractere-quadratique}
+Soit $q$ une puissance d'un nombre premier impair. On
+appelle \emph{caractère quadratique} sur $\FF_q$ la fonction
+$a \mapsto a^{(q-1)/2}$. On note $\FF_q^{\times2}$ l'ensemble des
+éléments de $\FF_q^\times$ qui sont des carrés.
+\end{definition2}
+
+\begin{proposition2}\label{denombrement-carres-f-q}
+Si $q$ est une puissance d'un nombre premier impair, alors le caractère
+quadratique ne prend sur $\FF_q^\times$ que les valeurs $+1$ et $-1$,
+et on a $a \in \FF_q^{\times2}$ si et seulement si $a^{(q-1)/2} =
++1$ ; de plus, $\# \FF_q^{\times2} = \frac{1}{2}(q-1)$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+L'application $z \mapsto z^2$, vue comme un morphisme
+$\FF_q^\times \to \FF_q^\times$, a pour noyau $\{\pm 1\}$ (de
+cardinal $2$), et pour image $\FF_q^{\times2}$, donc
+$2\, \#\FF_q^{\times2} = \#\FF_q^{\times}$ : ceci montre la dernière
+affirmation.
+
+Si $e = a^{(q-1)/2}$ avec $a \in \FF_q^\times$, alors $e^2 = a^{q-1} =
+1$, donc $e$ vaut $+1$ ou $-1$.
+
+Si $a = b^2$ avec $b \in \FF_q^\times$, alors $a^{(q-1)/2} = b^{q-1} =
++1$. On a donc montré que sur tout élément de $\FF_q^{\times2}$ le
+caractère quadratique vaut $+1$ : comme on vient de voir qu'il y a
+$\frac{1}{2}(q-1)$ tels éléments et que le polynôme $X^{(q-1)/2} - 1$
+(de degré $\frac{1}{2}(q-1)$) n'est pas nul, il ne peut s'annuler en
+aucun autre point de $\FF_q$ : on voit donc que réciproquement si
+$a^{(q-1)/2} = +1$ alors $a \in \FF_q^{\times2}$.
+\end{proof}
+
+On pouvait également démontrer ce résultat en utilisant un élément
+primitif $g$ (cf. \refext{Fin}{cyclicite-groupe-multiplicatif-corps}) : les
+éléments de $\FF_q^{\times2}$ sont ceux qui s'écrivent $g^{2i}$ avec
+$i$ entier (et bien défini modulo $\frac{1}{2}(q-1)$).
+
+\begin{corollaire2}\label{produits-de-non-carres-dans-f-q}
+Un produit $ab$ dans $\FF_q$ est un carré \emph{si et seulement si}
+les deux facteurs $a,b$ sont soit tous deux des carrés soit tous deux
+des non-carrés.
+\end{corollaire2}
+\begin{proof}
+Cela découle de \ref{denombrement-carres-f-q} et du fait que le
+caractère quadratique est un morphisme multiplicatif : $(ab)^{(q-1)/2}
+= a^{(q-1)/2}\, b^{(q-1)/2}$.
+\end{proof}
+
+\subsubsection{} Le calcul du caractère quadratique peut se faire
+efficacement par un algorithme d'exponentiation rapide : ceci permet
+donc de savoir effectivement si un élément donné de $\FF_q^\times$
+admet une racine carrée. (On renvoie à \refext{Fin}{remarques-critere-rabin}
+pour la question de la représentation des corps finis et
+l'algorithmique dans ceux-ci ; mais pour beaucoup de questions
+algorithmiques considérées ici, le cas où $q = p$ est premier et
+$\FF_q = \ZZ/p\ZZ$ est déjà intéressant.) Calculer effectivement la
+racine carrée d'un élément qui en admet une est une question plus
+délicate. Commençons par considérer le cas facile où $q \equiv
+3 \pmod{4}$ :
+
+\begin{lemme2}\label{carres-extensions-corps-finis}
+Soit $q = p^r$ avec $p$ premier impair. Si $r$ est impair, alors un
+élément de $\FF_p$ est un carré dans $\FF_p$ si et seulement si il
+l'est dans $\FF_q$ (autrement dit, $\FF_q^{\times 2} \cap \FF_p
+= \FF_p^{\times 2}$). Si $r$ est pair, alors tout élément de $\FF_p$
+est un carré dans $\FF_q$.
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+On peut par exemple, pour $a \in \FF_p^\times$, écrire $a^{(q-1)/2} =
+a^{(p^r-1)/2} = (a^{(p-1)/2})^{p^{r-1} + \cdots + p + 1}$, et
+$a^{(p-1)/2}$ vaut $+1$ ou $-1$ selon que $a$ est un carré
+dans $\FF_p$, et la parité de $p^{r-1} + \cdots + p + 1$ est la même
+que celle de $r$, ce qui démontre le résultat.
+
+Une autre démonstration consiste à considérer le polynôme $X^2 - a$ et
+à lui
+appliquer \refext{Fin}{corollaire-scindage-partiel-polynomes-corps-finis}.
+\end{proof}
+
+Mentionnons par ailleurs le résultat combinatoire suivant, qui est une
+application inattendue des propriétés du caractère quadratique sur les
+corps finis :
+\begin{proposition2}\label{matrice-d-hadamard-par-corps-finis}
+Soit $q$ une puissance d'un nombre premier vérifiant $q \equiv
+3 \pmod{4}$. Alors il existe une matrice $M$ de taille $(q+1)\times
+(q+1)$ à coefficients dans $\{\pm 1\}$ telle que deux lignes
+distinctes quelconques de $M$ ont la même valeur en $\frac{1}{2}(q+1)$
+de leurs entrées et une valeur opposée en les $\frac{1}{2}(q+1)$
+autres.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+En notant $\PP^1(\FF_q) = \FF_q \cup \{\infty\}$, on définit une
+fonction $\varphi\colon \PP^1(\FF_q) \times \PP^1(\FF_q) \to \{\pm
+1\}$ par $\varphi(\infty,\infty) = \varphi(x,\infty)
+= \varphi(\infty,y) = +1$ si $x \in \FF_q$ et $y \in \FF_q$, par
+$\varphi(x,x) = -1$ pour tout $x \in \FF_q$, et par $\varphi(x,y) =
+(x-y)^{(q-1)/2}$ (c'est-à-dire $+1$ ou $-1$ selon que $x-y$ est un
+carré ou non dans $\FF_q$, cf. \ref{denombrement-carres-f-q}) si
+$x\neq y$ avec $x,y\in \FF_q$. La matrice indicée par
+$\PP^1(\FF_q) \times \PP^1(\FF_q)$ dont les coefficients sont donnés
+par la fonction $\varphi$ répond à la question : pour le montrer, il
+s'agit de voir que si $x,x' \in \PP^1(\FF_q)$ avec $x\neq x'$ alors il
+existe $\frac{1}{2}(q+1)$ valeurs $y \in \PP^1(\FF_q)$ exactement
+telles que $\varphi(x,y) = \varphi(x',y)$.
+
+Si $x$ vaut $\infty$, il s'agit de voir que $\frac{1}{2}(q+1)$ valeurs
+$y$ vérifient $\varphi(x',y) = -1$, c'est-à-dire (puisque
+$\varphi(x',x')=-1$) que $\frac{1}{2}(q-1)$ éléments $y \in \FF_q$
+sont tels que $x'-y$ ne soit pas un carré dans $\FF_q$, ce qui est
+bien le cas (cf. \ref{denombrement-carres-f-q}). Si $x,x' \in \FF_q$,
+on s'intéresse à $\varphi(x,y)/\varphi(x',y)$. Si $y \in \FF_q$ et
+$y \not\in \{x,x'\}$, cette fonction vaut
+$(\frac{x-y}{x'-y})^{(q-1)/2}$, or l'expression $\frac{x-y}{x'-y}$
+prend toutes les valeurs de $\FF_q$ sauf $0$ et $1$, donc
+$(\frac{x-y}{x'-y})^{(q-1)/2}$ prend $\frac{1}{2}(q-3)$ fois la
+valeur $+1$ ; si $y = \infty$, l'expression
+$\varphi(x,y)/\varphi(x',y)$ vaut $+1$ ; si $y=x$ ou $y=x'$, enfin,
+l'expression $\varphi(x,y)/\varphi(x',y)$ vaut $-(x'-x)^{(q-1)/2}$ et
+$-(x-x')^{(q-1)/2}$ respectivement, et ces valeurs sont opposées
+puisque $q\equiv 3 \pmod{4}$ entraîne $(-1)^{(q-1)/2} = -1$ ; on a
+donc montré que $\varphi(x,y)/\varphi(x',y)$ prend exactement
+$\frac{1}{2}(q+1)$ fois la valeur $+1$ lorsque $y$
+parcourt $\PP^1(\FF_q)$.
+\end{proof}
+
+Une matrice telle que fournie par la
+proposition \ref{matrice-d-hadamard-par-corps-finis}
+s'appelle \emph{matrice d'Hadamard} de taille $q+1$. On conjecture
+qu'il existe une matrice d'Hadamard de toute taille multiple de $4$.
+
+\subsection{Algorithmes de calcul des racines carrées}
+
+\begin{proposition2}\label{tonelli-shanks-pour-3-mod-4}
+Soit $q$ une puissance d'un nombre premier impair. On suppose
+$q \equiv 3 \pmod{4}$. Alors :
+\begin{itemize}
+\item L'élément $-1 \in \FF_q^\times$ n'est pas un carré.
+\item Pour tout $D \in \FF_q^{\times2}$, une racine carrée de $D$ est
+donnée par $D^{(q+1)/4}$. Si $D \in \FF_q^\times$ n'est pas un carré,
+la même expression produit une racine carrée de $-D$.
+\end{itemize}
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Pour ce qui est de la première affirmation, on a $(-1)^{(q-1)/2} = -1$
+car $\frac{1}{2}(q-1)$ est impair (puisque $q-1 \equiv 2 \pmod{4}$).
+
+Pour ce qui est de la seconde, soit $z = D^{(q+1)/4}$ : on a alors
+$z^2 = D^{(q+1)/2} = D^q D^{-(q-1)/2} = \pm D$ où le signe est $+$ si
+$D^{(q-1)/2}=+1$, c'est-à-dire lorsque $D$ est un carré, et $-$ sinon.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}\label{tonelli-shanks-pour-5-mod-8}
+Soit $q$ une puissance d'un nombre premier impair. On suppose
+$q \equiv 5 \pmod{8}$. Alors :
+\begin{itemize}
+\item L'élément $2 \in \FF_q^\times$ n'est pas un carré.
+\item Pour tout $D \in \FF_q^{\times2}$, une racine carrée de $D$ est
+donnée par $D^{(q+3)/8}$ ou par $2^{(q-1)/4}\,D^{(q+3)/8}$ selon que
+$D^{(q-1)/4}$ vaut $+1$ ou $-1$.
+\end{itemize}
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Montrons d'abord que $2$ n'est pas un carré dans $\FF_q$. Pour cela,
+écrivons $q = p^r$ avec $p$ premier : comme $q \equiv 5 \pmod{8}$ et
+que tous les carrés sont congrus à $1$ modulo $8$, on voit que $r$ est
+impair et $p \equiv 5 \pmod{8}$. D'après le
+lemme \ref{carres-extensions-corps-finis}, il s'agit de montrer que
+$2$ n'est pas un carré dans $\FF_p = \ZZ/p\ZZ$. Pour cela,
+considérons d'une part les $\frac{1}{2}(p-1)$ entiers
+$1,2,3,\ldots,\frac{p-1}{2}$, dont le produit est $(\frac{p-1}{2})!$,
+et considérons d'autre part leurs doubles, qui sont congrus modulo $p$
+à $2,4,6,\ldots,\frac{p-1}{2},\penalty-100
+-\frac{p-3}{2},-\frac{p-5}{2},\ldots,-1$ (on a choisi systématiquement
+le représentant de plus petite valeur absolue) ; or $\frac{p-1}{4}$
+(un nombre impair) parmi ces représentants sont négatifs et leurs
+valeurs absolues comptent bien chacun des entiers entre $1$ et
+$\frac{p-1}{2}$ : donc le produit des entiers
+$2,4,6,\ldots,\frac{p-1}{2},\penalty-100
+-\frac{p-3}{2},-\frac{p-5}{2},\ldots,-1$ est $-(\frac{p-1}{2})!$ ;
+mais ce produit est congru modulo $p$ à $2^{(p-1)/2}\,
+(\frac{p-1}{2})!$ puisqu'il s'agit des représentants des doubles des
+entiers $1,2,3,\ldots,\frac{p-1}{2}$. On a donc prouvé que
+$2^{(p-1)/2} \equiv -1 \pmod{p}$, donc que $2$ n'est pas un carré
+modulo $p$, ni dans $\FF_q$.
+
+Passons à la seconde affirmation. Soit $x = D^{(q+3)/8}$ : on a alors
+$x^2 = D^{(q+3)/4} = D \cdot D^{(q-1)/4}$. Notons que $D^{(q-1)/4}$
+ne peut valoir que $+1$ ou $-1$ puisque son carré est $D^{(q-1)/2} =
+1$ (car $D$ est un carré). Si $D^{(q-1)/4} = 1$, on a bien $x^2 = D$
+comme annoncé. Si $D^{(q-1)/4} = -1$, on a $x^2 = -D$ : soit $x' =
+2^{(q-1)/4}\, x$ : on a $x^{\prime2} = 2^{(q-1)/2}\, x^2 = -x^2 = D$
+puisqu'on a démontré que $2^{(q-1)/2} = -1$.
+\end{proof}
+
+L'affirmation que $2$ n'est pas un carré dans $\FF_q$ lorsque
+$q \equiv 5 \pmod{8}$ sera généralisée ultérieurement (on verra
+en \ref{formule-complementaire} que
+$2^{(q-1)/2} = (-1)^{(q^2-1)/8}$ dans $\FF_q$, ce qui peut se montrer
+avec la même technique qu'on a utilisée ci-dessus).
+
+Les techniques de calcul de racines carrées explicitées dans les
+propositions \ref{tonelli-shanks-pour-3-mod-4} et \ref{tonelli-shanks-pour-5-mod-8}
+sont des cas particuliers d'un algorithme plus général appelé
+algorithme de Tonelli-Shanks. Celui-ci est, cependant, d'autant plus
+malcommode que $q$ est congru à $1$ modulo une grande puissance
+de $2$, et par ailleurs on ne dispose plus d'un élément non carré
+aussi évident que $-1$ ou $2$ dans les deux cas étudiés ci-dessus. Il
+vaut donc mieux utiliser d'autres algorithmes de factorisation, comme
+ceux de Cipolla ou de Legendre que nous allons présenter maintenant.
+
+\begin{proposition2}\label{proposition-algorithme-cipolla}
+Soit $q$ une puissance d'un nombre premier impair, et soit
+$D \in \FF_q^{\times2}$. Si $u \in \FF_q$ est un élément quelconque
+tel que $(u^2-4D)^{(q-1)/2} = -1$, alors dans $\FF_q[X]/(X^2-uX+D)$ la
+classe $x$ de $X$ vérifie $x^{q+1} = D$, et $x^{(q+1)/2}$ est une
+racine carrée de $D$ dans $\FF_q$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+L'hypothèse $(u^2-4D)^{(q-1)/2} = -1$, c'est-à-dire que $u^2-4D$ n'est
+pas un carré dans $\FF_q$, implique que le polynôme $X^2 - uX + D$,
+dont le discriminant est $u^2 - 4D$, n'est pas scindé sur $\FF_q$,
+donc est irréductible, donc $\FF' = \FF_q[X]/(X^2-uX+D)$ est un corps,
+isomorphe à $\FF_{q^2}$. L'élément $x$ représenté par $X$
+(c'est-à-dire, la multiplication par $x$ vue comme application
+$\FF_q$-linéaire sur $\FF'$) a pour polynôme minimal $X^2 - uX + D$
+(sur $\FF_q$) dont $x$ est une des deux racines (son conjugué étant
+$x^q = u-x$). La norme $\N_{\FF'\bo\FF_q}(x)$ de $x$ sur $\FF_q$ vaut
+$x^{q+1} = D$ (cf. \refext{Fin}{trace-et-norme-corps-finis}). Enfin,
+$x^{(q+1)/2}$, étant une racine carrée de $D$ dans le corps $\FF'$,
+doit être une des deux racines que cet élément a déjà dans $\FF_q$.
+\end{proof}
+
+\subsubsection{}\label{algorithme-cipolla} La proposition \ref{proposition-algorithme-cipolla}
+conduit à l'\emph{algorithme} suivant, dit de Cipolla, permettant de
+calculer une racine carrée de $D$ dans $\FF_q$ : dans un premier
+temps, choisir un $u$ tel que $u^2 - 4D$ ne soit pas un carré
+dans $\FF_q$ (ce qui se fait simplement en choisissant $u$ au hasard
+et en testant $(u^2-4D)^{(q-1)/2} = -1$ jusqu'à ce que cette condition
+soit vérifiée : on aura en moyenne environ $2$ essais à faire) ; puis,
+calculer $x^{(q+1)/2}$ dans $\FF' = \FF_q[X]/(X^2-uX+D)$
+(c'est-à-dire, calculer le reste de la division euclidienne de
+$X^{(q+1)/2}$ par $X^2-uX+D$) par un algorithme d'exponentiation
+rapide dans ce corps $\FF'$. À ce sujet, les éléments de $\FF'$ se
+représentent par des couples $(c_0,c_1)$ d'éléments de $\FF_q$ (censés
+représenter $c_0 + c_1 x$), et les deux formules nécessaires pour
+appliquer une méthode d'exponentiation rapide, à savoir l'élévation au
+carré et la multipliation par $x$, sont représentées par les deux
+applications
+\[
+(c_0,c_1) \mapsto (c_0^2-Dc_1^2,\; 2 c_0 c_1 + uc_1^2)
+\]
+et
+\[
+(c_0,c_1) \mapsto (-D c_1,\; c_0 + u c_1)
+\]
+L'algorithme de Cipolla consiste donc à partir de $(0,1)$ et à
+appliquer tour à tour la première de ces fonctions puis éventuellement
+la seconde lorsque le chiffre correspondant de l'écriture binaire de
+$\frac{q+1}{2}$ (en partant du deuxième plus significatif, et en
+lisant vers le moins significatif) vaut $1$, jusqu'à avoir lu tous les
+chiffres. Le résultat doit être de la forme $(d,0)$ où $d$ est une
+racine carrée comme recherchée.
+
+\begin{remarque2}
+Dans la situation ci-dessus ($q$ puissance d'un nombre premier impair,
+et $D$ carré dans $\FF_q$), on vient de remarquer que, si
+$(u^2-4D)^{(q-1)/2} = -1$, alors le reste de la division euclidienne
+de $X^{(q+1)/2}$ par $X^2-uX+D$ dans $\FF_q[X]$ vaut $\pm d$ où $d$
+est une racine carrée de $D$. On peut se demander ce qui se produit
+si on applique l'algorithme de Cipolla sans avoir vérifié que
+$(u^2-4D)^{(q-1)/2} = -1$. Lorsque $(u^2-4D)^{(q-1)/2} = +1$, alors
+le reste de $X^{(q+1)/2}$ par $X^2-uX+D$ vaut $\pm X$ : en effet,
+l'hypothèse $(u^2-4D)^{(q-1)/2} = +1$ assure que le polynôme
+$X^2-uX+D$ se factorise sur $\FF_q$ en $(X-a)(X-a')$ pour $a,a'$ deux
+éléments de $\FF_q$ (de somme $u$ et de produit $D$) ; alors le
+théorème chinois assure que $\FF_q[X]/(X^2-uX+D)$ est isomorphe à un
+produit $\FF_q \times \FF_q$ en envoyant la classe $x$ de $X$ sur $a$
+dans le premier facteur et $a'$ dans le second : par conséquent
+$x^{(q-1)/2}$ vaut $\pm 1$ (à savoir $+1$ si $a$ et $a'$ sont tous
+deux des carrés --- ils doivent l'être ensemble puisque leur produit
+est un carré --- et $-1$ si $a$ et $a'$ ne sont pas des carrés), et
+$x^{(q+1)/2}$ vaut alors $\pm x$. Reste enfin le cas où
+$(u^2-4D)^{(q-1)/2} = 0$, c'est-à-dire $u = 2d$ avec $d$ une racine
+carrée de $D$ : alors $X^2-uX+D = (X-d)^2$ ; la valeur de
+$X^{(q+1)/2}$ en $X=d$ est $d^{(q+1)/2} = \pm d$ (le signe $\pm$ étant
+donné par $d^{(q-1)/2}$) et la dérivée de $X^{(q+1)/2}$ en $X=d$ est
+$\pm\frac{q+1}{2}$ : donc le reste de la division euclidienne de
+$X^{(q+1)/2}$ par $(X-d)^2$ vaut $\pm(\frac{q+1}{2}(X-d)+d)
+= \pm\frac{q+1}{2}(X+d)$.
+\end{remarque2}
+
+\begin{proposition2}\label{proposition-algorithme-legendre}
+Soit $q$ une puissance d'un nombre premier impair, et soit
+$D \in \FF_q^{\times2}$. Si $y = a_0 + a_1 x$ (avec
+$a_0,a_1 \in \FF_q$) est un élément quelconque de $\FF_q[X]/(X^2-D)$
+(où on note $x$ la classe de $X$) et qu'on pose $t = y^{(q-1)/2}$
+(dans $\FF_q[X]/(X^2-D)$), noté $t = c_0 + c_1 x$ (avec
+$c_0,c_1 \in \FF_q$), alors une et une seule des affirmations
+suivantes est vraie :
+\begin{itemize}
+\item on a $y=0$ (soit $a_0=a_1=0$),
+\item on a $a_1 \neq 0$ et $a_0/a_1$ est une racine carrée de $D$
+dans $\FF_q$,
+\item on a $t=\pm 1$ (soit $c_1=0$ et $c_0=\pm 1$),
+\item on a $c_0=0$ et $c_1 \neq 0$, et $1/c_1$ est une racine carrée
+de $D$ dans $\FF_q$.
+\end{itemize}
+De plus, les nombres de $y \in \FF_q[X]/(X^2-D)$ vérifiant chacune de
+ces quatre affirmations valent respectivement : $1$, $2(q-1)$,
+$\frac{1}{2}(q-1)^2$ et $\frac{1}{2}(q-1)^2$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Soient $d$ et $-d$ les deux racines carrées de $D$ dans $\FF_q$. Le
+théorème chinois assure que $\FF_q[X]/(X^2-D)$ est isomorphe à un
+produit $\FF_q \times \FF_q$ en envoyant la classe $x$ de $X$ sur $d$
+dans le premier facteur et $-d$ dans le second (soit l'isomorphisme
+$a_0 + a_1 x \mapsto (a_0+a_1 d, a_0-a_1 d)$). Remarquons que $y =
+a_0 + a_1 x$ est nul dans le second facteur $\FF_q$ si et seulement si
+$a_0 - a_1 d = 0$, c'est-à-dire $a_1 = 0$ ou bien $d = a_0/a_1$, et
+nul dans le premier facteur si et seulement si $a_1 = 0$ ou bien $d =
+-a_0/a_1$. On a ainsi réparti les $q^2$ éléments de
+$\FF_q[X]/(X^2-D)$ en $1$ élément nul, $2(q-1)$ éléments $a_0 + a_1 x$
+tels que $a_1 \neq 0$ mais que $a_0/a_1$ soit une racine carrée de $D$
+(il y en a $q-1$ pour lesquels c'est $d$ et $q-1$ pour lesquels
+c'est $-d$) et $(q-1)^2$ éléments non nuls dans chacun des deux
+facteurs chinois (i.e., $a_0+a_1 d \neq 0$ et $a_0-a_1 d \neq 0$). On
+se place à présent dans ce dernier cas.
+
+Pour tout élément non nul $z$ de $\FF_q$ on a $z^{(q-1)/2} = \pm 1$,
+ce nombre valant $+1$ pour $\frac{1}{2}(q-1)$ éléments $z$, et $-1$
+pour les $\frac{1}{2}(q-1)$ autres
+(cf. \ref{denombrement-carres-f-q}). On en déduit que si $t =
+y^{(q-1)/2}$ s'écrit $t = c_0 + c_1 x$, alors chacun des éléments $c_0
++ c_1 d = (a_0 + a_1 d)^{(q-1)/2}$ et $c_0 - c_1 d = (a_0 - a_1
+d)^{(q-1)/2}$ vaut $+1$ ou $-1$. Et chacune des quatre combinaisons
+de signes est réalisée pour $[\frac{1}{2}(q-1)]^2$ éléments (parmi les
+$(q-1)^2$ considérés) de $\FF_q[X]/(X^2-D) \cong \FF_q \times \FF_q$.
+Lorsque $c_0 + c_1 d$ et $c_0 - c_1 d$ sont égaux, ce qui se produit
+dans $\frac{1}{2}(q-1)^2$ cas, on a ainsi $c_1 = 0$ et $c_0 = t = \pm
+1$. Lorsque $c_0 + c_1 d$ et $c_0 - c_1 d$ sont opposés, ce qui se
+produit également dans $\frac{1}{2}(q-1)^2$ cas, on a ainsi $c_0 = 0$
+et $c_1 d = \pm 1$, de sorte que $1/c_1 = \pm d$ est une racine carrée
+de $D$.
+\end{proof}
+
+\subsubsection{}\label{algorithme-legendre} La proposition \ref{proposition-algorithme-legendre}
+conduit à l'\emph{algorithme} suivant, dit de Legendre, permettant de
+calculer une racine carrée de $D$ dans $\FF_q$ : dans un premier
+temps, tirer $y = a_0 + a_1 x$ aléatoirement dans $\FF_q[X]/(X^2-D)$
+(on peut se limiter à $a_1 \neq 0$, puisque le cas où $y \in \FF_q$
+n'est pas susceptible de produire un résultat intéressant). Puis
+calculer $t = y^{(q-1)/2}$ dans $\FF_q[X]/(X^2-D)$ (c'est-à-dire,
+calculer le reste de la division euclidienne de $X^{(q-1)/2}$ par
+$X^2-D$) par un algorithme d'exponentiation rapide dans cet
+anneau $\FF_q[X]/(X^2-D)$. Si le résultat $c_0 + c_1 x$ est de la
+forme $c_1 = 0$ (auquel cas $c_0 = \pm 1$), on doit choisir un
+nouveau $y$ et recommencer, tandis que si $c_0 + c_1 x$ est de la
+forme $c_0 = 0$ alors $1/c_1$ fournit la racine carrée recherchée ;
+quant au petit nombre (du moins si $q$ est grand) de $y$ dans le
+second cas de \ref{proposition-algorithme-legendre-caracteristique-2},
+on peut soit les écarter \emph{a priori} en vérifiant
+avant de commencer si $a_0/a_1$ est une racine carrée de $D$, soit
+plus vraisemblablement les traiter \emph{a posteriori} en renvoyant
+$a_0/a_1$ comme racine carrée (ou d'ailleurs $c_0/c_1$, qui lui est
+égal) si l'on obtient simultanément $c_0 \neq 0$ et $c_1 \neq 0$ (le
+nombre $t$, comme $y$, est nul dans un des facteurs chinois et pas
+dans l'autre).
+
+De même que pour l'algorithme de
+Cipolla (cf. \ref{algorithme-cipolla}), les éléments de
+$\FF_q[X]/(X^2-D)$ se représentent par des couples $(c_0,c_1)$
+d'éléments de $\FF_q$ (censés représenter $c_0 + c_1 x$), et les deux
+formules nécessaires pour appliquer une méthode d'exponentiation
+rapide, à savoir l'élévation au carré et la multipliation par $y = a_0
++ a_1 x$, sont représentées par les deux applications
+\[
+(c_0,c_1) \mapsto (c_0^2+Dc_1^2,\; 2 c_0 c_1)
+\]
+et
+\[
+(c_0,c_1) \mapsto (a_0 c_0 + D a_1 c_1,\; a_0 c_1 + a_1 c_0)
+\]
+L'algorithme de Legendre consiste donc à partir d'un $(c_0,c_1) =
+(a_0,a_1)$ tiré au hasard (avec $a_1 \neq 0$) et à appliquer tour à
+tour la première de ces fonctions puis éventuellement la seconde selon
+ce que vaut le chiffre correspondant de l'écriture binaire de
+$\frac{q-1}{2}$. On procède alors comme expliqué ci-dessus.
+
+\begin{remarque2}
+Si $q \equiv 3 \pmod{4}$ (de sorte que $-1$ n'est pas un carré
+dans $\FF_q$ d'après \ref{tonelli-shanks-pour-3-mod-4}), alors on peut
+choisir $u=0$ dans l'algorithme de Cipolla \ref{algorithme-cipolla}
+comme on peut choisir $y = x$ dans l'algorithme de
+Legendre \ref{algorithme-legendre} : on se convainc alors facilement
+que calculer le premier (calculer $x^{(q+1)/2}$ dans
+$\FF_q[X]/(X^2+D)$) revient à calculer $(-D)^{(q+1)/4} = \pm
+D^{(q+1)/4}$, tandis que le second (calculer $x^{(q-1)/2}$ dans
+$\FF_q[X]/(X^2+D)$) donne $D^{(q-3)/4} x$, de sorte que la racine
+carrée calculée est $D^{(q+1)/4}$. Ainsi, dans le cas $q \equiv
+3 \pmod{4}$, la méthode de calcul de racine carrée exposée
+en \ref{tonelli-shanks-pour-3-mod-4} peut se voir aussi bien comme un
+cas particulier de l'algorithme de Cipolla que de celui de Legendre.
+\end{remarque2}
+
+\subsection{La caractéristique $2$}\label{equations-quadratiques-corps-finis-caracteristique-2}
+
+\subsubsection{} En caractéristique $2$, calculer
+des racines carrées dans $\FF_q = \FF_{2^r}$ est facile : on a
+$x^{2^r} = x$ d'après \refext{Fin}{petit-theoreme-fermat}, donc $x^{2^{r-1}}$
+est une racine carrée de $x$. À la différence du cas où $2$ est
+inversible, cependant, savoir calculer des racines carrées ne permet
+pas de résoudre toutes les équations quadratiques puisqu'on ne peut
+pas écrire $X^2 + bX + c = 0$ sous la forme $(X+\frac{b}{2})^2 +
+(c-\frac{b^2}{4}) = 0$. À la place, si on note $\wp(Z) = Z^2 + Z$,
+l'équation $X^2 + bX + c = 0$, lorsque $b\neq 0$ (le cas $b=0$ ayant
+déjà été traité) peut se réécrire $\wp(X/b)+(c/b^2) = 0$, soit $X =
+b\,\root\wp\of{c/b^2}$ si on note $\root\wp\of E$ une solution (si
+elle existe) de l'équation $Z^2+Z = E$, l'autre solution étant alors
+$\root\wp\of E + 1$ (puisque $\wp(Z+1) = \wp(Z)$).
+
+\begin{definition2}
+Soit $q = 2^r$ une puissance de $2$. On appelle \emph{caractère
+quadratique additif} sur $\FF_q$ la fonction $\tau \colon a \mapsto a
++ a^2 + a^4 + a^8 + \cdots + a^{2^{r-1}}$ (qu'on notera aussi $\tau_r$
+en cas d'ambiguïté). On note $\wp\FF_q$ l'ensemble des éléments de
+$\FF_q$ qui sont dans l'image de la fonction $\wp\colon z \mapsto z^2
++ z$.
+\end{definition2}
+
+On peut aussi considérer $\tau$ comme la trace pour l'extension
+$\FF_q\bo\FF_2$ (cf. \refext{Fin}{trace-et-norme-corps-finis}).
+
+\begin{proposition2}\label{denombrement-artin-schreier-2-f-q}
+Si $q$ est une puissance de $2$, alors le caractère quadratique
+additif $\tau$ ne prend sur $\FF_q$ que les valeurs $0$ et $1$, et on
+a $a \in \wp\FF_q$ si et seulement si $\tau(a) = 0$ ; de plus,
+$\#(\wp\FF_q) = \frac{q}{2}$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+L'application $\wp\colon z \mapsto z^2+z$, vue comme une application
+$\FF_2$-linéaire $\FF_q \to \FF_q$, a pour noyau $\{0,1\}$ (de
+cardinal $2$) puisque $0,1$ sont les deux solutions de $Z^2 + Z = 0$ ;
+et elle a pour image $\wp\FF_q$, donc $2\, \#(\wp\FF_q) = \#\FF_q$ :
+ceci montre la dernière affirmation.
+
+Si $e = \tau(a)$ avec $a \in \FF_q$, alors $\wp(e) = e^2 + e = (a^2 +
+a^4 + \cdots + a^q) + (a + a^2 + \cdots + a^{q/2}) = 0$ puisque $a^{q}
+= a$, donc $e$ vaut $0$ ou $1$.
+
+Si $a = \wp(b)$ avec $b \in \FF_q$, alors $\tau(a) = a + a^2 + \cdots
++ a^{q/2} = (b^2 + b) + (b^4 + b^2) + \cdots + (b^{q} + b^{q/2}) = 0$.
+On a donc montré que sur tout élément de $\wp\FF_q$ le caractère
+quadratique additif $\tau$ vaut $0$ : comme on vient de voir qu'il y a
+$\frac{q}{2}$ tels éléments et que le polynôme $X + X^2 + X^4 + \cdots
++ X^{q/2}$ (de degré $\frac{q}{2}$) n'est pas nul, il ne peut
+s'annuler en aucun autre point de $\FF_q$ : on voit donc que
+réciproquement si $\tau(a) = 0$ alors $a \in \wp\FF_q$.
+\end{proof}
+
+La proposition suivante est l'analogue
+de \ref{proposition-algorithme-cipolla} pour la caractéristique $2$ :
+\begin{proposition2}\label{proposition-algorithme-cipolla-caracteristique-2}
+Soit $q = 2^r$ une puissance de $2$, et soit $E \in \wp\FF_q$. Si
+$v \in \FF_q$ est un élément quelconque tel que $\tau(v/E^2) = 1$,
+alors dans $\FF_q[X]/(X^2+EX+v)$ la classe $x$ de $X$ vérifie $x^q + x
+= E$, et $x + x^2 + x^4 + x^8 + \cdots + x^{q/2}$ est une racine
+de $Z^2+Z+E=0$ dans $\FF_q$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+L'hypothèse $\tau(v/E^2) = 1$, c'est-à-dire que $v/E^2$ n'est pas
+dans $\wp\FF_q$ (cf. \ref{denombrement-artin-schreier-2-f-q}),
+implique que le polynôme $X^2 + EX + v$ n'est pas scindé sur $\FF_q$,
+donc est irréductible, donc $\FF' = \FF_q[X]/(X^2+EX+v)$ est un corps,
+isomorphe à $\FF_{q^2}$. L'élément $x$ représenté par $X$
+(c'est-à-dire, la multiplication par $x$ vue comme application
+$\FF_q$-linéaire sur $\FF'$) a pour polynôme minimal $X^2 + EX + v$
+(sur $\FF_q$) dont $x$ est une des deux racines (son conjugué étant
+$x^q = x + E$). La trace $\Tr_{\FF'\bo\FF_q}(x)$ de $x$ sur $\FF_q$
+vaut $x^q + x = E$ (cf. \refext{Fin}{trace-et-norme-corps-finis}). Enfin, on
+a $(x + x^2 + x^4 + \cdots + x^{q/2})^2 + \penalty-500 (x + x^2 + x^4
++ \cdots + x^{q/2}) =\penalty-500 (x^2 + x^4 + x^8 + \cdots + x^q) +
+(x + x^2 + x^4 + \cdots + x^{q/2}) = x^q + x = E$ ; ainsi, la quantité
+$y = x + x^2 + x^4 + \cdots + x^{q/2}$, étant une racine de $Z^2 + Z +
+E = 0$ dans le corps $\FF'$, doit être une des deux racines que cette
+équation a déjà dans $\FF_q$.
+\end{proof}
+
+La proposition suivante est l'analogue
+de \ref{proposition-algorithme-legendre} pour la caractéristique $2$ :
+\begin{proposition2}\label{proposition-algorithme-legendre-caracteristique-2}
+Soit $q = 2^r$ une puissance de $2$, et soit $E \in \wp\FF_q$. Si $y
+= a_0 + a_1 x$ (avec $a_0,a_1 \in \FF_q$) est un élément quelconque de
+$\FF_q[X]/(X^2+X+E)$ (où on note $x$ la classe de $X$) et qu'on pose
+$t = y + y^2 + y^4 + \cdots + y^{q/2}$ (dans $\FF_q[X]/(X^2+X+E)$),
+noté $t = c_0 + c_1 x$ (avec $c_0,c_1 \in \FF_q$), alors une et une
+seule des affirmations suivantes est vraie :
+\begin{itemize}
+\item on a $t \in \{0,1\}$ (soit $c_1=0$ et $c_0 \in \{0,1\}$),
+\item on a $c_1=1$, et $c_0$ est une racine
+de $Z^2 + Z + E = 0$ dans $\FF_q$.
+\end{itemize}
+De plus, les nombres de $y \in \FF_q[X]/(X^2+X+E)$ vérifiant chacune de
+ces deux affirmations valent chacun $q^2/2$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Soient $e$ et $e+1$ les deux racines de $Z^2 + Z + E = 0$
+dans $\FF_q$. Le théorème chinois assure que $\FF_q[X]/(X^2+X+E)$ est
+isomorphe à un produit $\FF_q \times \FF_q$ en envoyant la classe $x$
+de $X$ sur $e$ dans le premier facteur et $e+1$ dans le second (soit
+l'isomorphisme $a_0 + a_1 x \mapsto (a_0+a_1 e, {(a_0+a_1)}+a_1 e)$).
+
+Pour tout élément non nul $z$ de $\FF_q$ on a $z + z^2 + z^4 + \cdots
++ z^{q/2} \in \{0, 1\}$, ce nombre valant $0$ pour $\frac{q}{2}$
+éléments $z$, et $1$ pour les $\frac{q}{2}$ autres
+(cf. \ref{denombrement-artin-schreier-2-f-q}). On en déduit que si $t
+= y + y^2 + y^4 + \cdots + y^{q/2}$ s'écrit $t = c_0 + c_1 x$, alors
+chacun des éléments $c_0 + c_1 e = \tau(a_0 + a_1 e)$ et $(c_0+c_1) +
+c_1 e = \tau((a_0+a_1) + a_1 e)$ vaut $0$ ou $1$. Et chacune des
+quatre combinaisons de valeurs est réalisée pour $(\frac{q}{2})^2$
+éléments de $\FF_q[X]/(X^2+X+E) \cong \FF_q \times \FF_q$. Lorsque
+$c_0 + c_1 e$ et $(c_0+c_1) + c_1 e$ sont égaux, ce qui se produit
+dans $\frac{q^2}{2}$ cas, on a ainsi $c_1 = 0$ et $c_0 = t \in \{0,
+1\}$. Lorsque $c_0 + c_1 e$ et $(c_0+c_1) + c_1 e$ diffèrent de $1$,
+ce qui se produit également dans $\frac{q^2}{2}$ cas, on a ainsi $c_1
+= 1$ et $c_0 + c_1 e \in \{0, 1\}$, de sorte que $c_0 \in \{e, e+1 \}$
+est une racine de $Z^2 + Z + E = 0$.
+\end{proof}
+
+\subsubsection{}\label{algorithmes-cipolla-legendre-caracteristique-2} On peut tirer des
+propositions \ref{proposition-algorithme-cipolla-caracteristique-2} et \ref{proposition-algorithme-legendre-caracteristique-2}
+des algorithmes, tout à fait analogues à ceux décrits
+en \ref{algorithme-cipolla} et \ref{algorithme-legendre}
+respectivement (et méritant sans doute de s'appeler également des noms
+de Cipolla et Legendre), permettant de résoudre des équations de la
+forme $Z^2 + Z + E = 0$ (et, compte tenu des remarques faites
+en \ref{equations-quadratiques-corps-finis-caracteristique-2}, toutes
+les équations quadratiques).
+
+S'agissant de l'algorithme de Cipolla, on trouve dans un premier temps
+un $v \neq 0$ tel que $v/E^2$ ne soit pas dans l'image de $\wp$, soit
+$\tau(v/E^2) = 1$ (ce qui se fait simplement en choisissant $v$ au
+hasard jusqu'à ce que cette condition soit vérifiée : on aura en
+moyenne $2$ essais à faire), puis on calcule $x + x^2 + \cdots +
+x^{q/2}$ dans $\FF' = \FF_q[X]/(X^2+EX+v)$. Pour cela, on représente
+les éléments de $\FF'$ par des couples $(c_0,c_1)$ d'éléments
+de $\FF_q$ (censés représenter $c_0 + c_1 x$), et la formule
+nécessaire pour l'élévation au carré est représentée par l'application
+\[
+(c_0,c_1) \mapsto (c_0^2 + v c_1^2, E c_1^2)
+\]
+L'algorithme de Cipolla consiste en caractéristique $2$ donc à partir
+de $(0,1)$ et à appliquer $r-1$ fois l'application en question (si $q
+= 2^r$), puis à sommer les éléments en question. Le résultat doit
+être de la forme $(e,0)$ où $e$ est une racine $\wp$-ième comme
+recherchée.
+
+S'agissant de l'algorithme de Legendre, on tire aléatoirement $y$ dans
+$\FF_q[X]/(X^2+X+E)$ et on calcule $t = y + y^2 + \cdots + y^{q/2}$ :
+si le résultat $c_0 + c_1 x$ est de la forme $c_1 = 0$ (auquel cas
+$c_0 \in \{0,1\}$), on doit choisir un nouveau $y$ et recommencer,
+sinon $c_1 = 1$ et $c_0$ est la racine recherchée. De nouveau, on
+représente les éléments de $\FF_q[X]/(X^2+X+E)$ par des couples
+$(c_0,c_1)$ d'éléments de $\FF_q$, et l'élévation au carré est
+représentée par l'application
+\[
+(c_0,c_1) \mapsto (c_0^2 + E c_1^2, c_1^2)
+\]
+L'algorithme de Legendre en caractéristique $2$ consiste donc à partir
+d'un $(c_0,c_1) = (a_0,a_1)$ tiré au hasard et à appliquer $r-1$ fois
+l'application en question (si $q = 2^r$), puis à sommer les éléments
+en question. On procède alors comme on vient d'expliquer.
+
+
+\section{Réciprocité quadratique}
+
+\subsection{Le symbole de Legendre}
+
+\begin{definition2}\label{definition-symbole-legendre}
+Si $p$ est un nombre premier impair et $a$ un entier, on
+appelle \emph{symbole de Legendre} de $a$ modulo $p$, et on note
+$\Legendre{a}{p}$, l'entier valant $0$ si $p|a$, et $1$ si $a$ est un
+carré dans $\FF_p$, et $-1$ si $a$ n'est pas un carré dans $\FF_p$.
+\end{definition2}
+
+Il résulte trivialement de \ref{denombrement-carres-f-q} et
+de \ref{produits-de-non-carres-dans-f-q} que :
+\begin{proposition2}\label{formule-symbole-legendre}
+Si $p$ est un nombre premier impair et $a$ un entier, alors
+\[
+\Legendre{a}{p} \equiv a^{(p-1)/2} \pmod{p}
+\]
+De plus, quels que soient les entiers $a,b$, on a $\Legendre{ab}{p}
+= \Legendre{a}{p} \Legendre{b}{p}$.
+\end{proposition2}
+
+\subsection{Réciprocité quadratique et formule complémentaire}
+
+L'énoncé suivant, qui compare le caractère quadratique de $p$ modulo
+$q$ au caractère quadratique de $q$ modulo $p$, et dont on va donner
+deux démonstrations, porte le nom de \emph{loi de réciprocité
+quadratique} :
+
+\begin{theoreme2}\label{loi-reciprocite-quadratique}
+Soient $p,q$ deux nombres premiers impairs distincts. On a alors :
+\[
+\Legendre{p}{q} \Legendre{q}{p} = (-1)^{(p-1)(q-1)/4}
+\]
+--- c'est-à-dire $\Legendre{q}{p} = \Legendre{p}{q}$ sauf si
+$p,q \equiv 3 \pmod{4}$ auquel cas $\Legendre{q}{p} =
+-\Legendre{p}{q}$.
+\end{theoreme2}
+\begin{proof}[Première démonstration]
+Convenons pour cette démonstration de représenter les éléments de
+$\ZZ/p\ZZ$ par $-\frac{p-1}{2},\ldots,\frac{p-1}{2}$, et de
+dire d'un élément de $(\ZZ/p\ZZ)^\times$ qu'il est « positif »
+lorsqu'il est congru à l'un des $\frac{p-1}{2}$ entiers
+$1,2,3,\ldots,\frac{p-1}{2}$, et « négatif » lorsqu'il est congru à
+l'un des $\frac{p-1}{2}$ entiers $-\frac{p-1}{2},\ldots,-1$. Avec
+cette définition, si $k \in \ZZ$ n'est pas multiple de $p$, son
+« signe » modulo $p$ (c'est-à-dire $+1$ ou $-1$ selon qu'il a un
+résidu positif ou négatif) vaut $(-1)^{\lfloor 2k/p\rfloor}$ où
+$\lfloor\tiret\rfloor$ désigne la fonction partie entière. Remarquons
+d'ores et déjà que pour tout entier $i$ non multiple de $p$ on a
+$\lfloor \frac{2qi}{p}\rfloor + \lfloor \frac{q(p-2i)}{p}\rfloor =
+q-1$ (car $\lfloor\theta\rfloor +
+\lfloor q-\theta\rfloor = q-1$ pour tout
+$\theta \in \RR \setminus \ZZ$), et que cet entier est pair, de sorte
+que $(-1)^{\lfloor 2qi/p\rfloor} = (-1)^{\lfloor q(p-2i)/p\rfloor}$
+(ces deux expressions donnent donc le signe de $qi$ modulo $p$).
+
+Le produit $\prod_{i=1}^{(p-1)/2} \bar\imath$ des éléments positif de
+$(\ZZ/p\ZZ)^\times$ vaut $(\frac{p-1}{2})!$ modulo $p$. Considérons
+maintenant le produit $\prod_{i=1}^{(p-1)/2} q\bar\imath$ : on peut
+manifestement l'écrire comme $q^{(p-1)/2} (\frac{p-1}{2})!$
+modulo $p$. Mais par ailleurs on ne peut pas avoir $q\bar\imath =
+\pm q\bar\imath'$ pour $i,i' \in \{1,\ldots,\frac{p-1}{2}\}$ distincts,
+donc les $q\bar\imath$ s'écrivent $\pm\bar\jmath$ avec $\bar\jmath$
+parcourant $1,2,3,\ldots,\frac{p-1}{2}$ et le signe $\pm$ donné par
+$(-1)^{\lfloor 2qi/p\rfloor} = (-1)^{\lfloor q(p-2i)/p\rfloor}$ comme
+on l'a expliqué ; ainsi, $\prod_{i=1}^{(p-1)/2} q\bar\imath =
+(-1)^{\sum_{i=1}^{(p-1)/2} \lfloor 2qi/p\rfloor}(\frac{p-1}{2})!$, et
+en comparant les deux expressions trouvées et en
+utilisant \ref{formule-symbole-legendre}, on a $\Legendre{q}{p} =
+(-1)^{\sum_{i=1}^{(p-1)/2} \lfloor 2qi/p\rfloor}$ (« lemme
+d'Eisenstein »), ou, mieux, $\Legendre{q}{p} =
+(-1)^{\sum_{m=1}^{(p-1)/2} \lfloor qm/p\rfloor}$ (en appelant $m$ le
+nombre $2i$ ou $p-2i$ selon que $0<i<\frac{p}{4}$ ou
+$\frac{p}{4}<i<\frac{p}{2}$, de sorte que $m$ parcourt aussi les
+entiers de $1$ à $\frac{p-1}{2}$ quand $i$ les parcourt).
+
+Cette dernière expression admet l'interprétation géométrique
+suivante : $\Legendre{q}{p}$ vaut $(-1)^\mu$ avec $\mu$ le nombre de
+points $(m,n)$ à coordonnées entières telles que $0<m<\frac{p}{2}$ et
+$0<n<\frac{q}{p}m$ et (donc) $0<n<\frac{q}{2}$, ou, si l'on préfère,
+le nombre de points à coordonnées entières strictement à l'intérieur
+du triangle du plan dont les sommets sont $(0,0)$, $(\frac{p}{2},0)$
+et $(\frac{p}{2},\frac{q}{2})$. On en déduit que
+$\Legendre{p}{q} \Legendre{q}{p}$ est $(-1)^{\mu+\nu}$ avec $\mu+\nu$
+le nombre de points $(m,n)$ à coordonnées entières vérifiant
+$0<m<\frac{p}{2}$ et $0<n<\frac{q}{2}$ : on a bien $\mu+\nu
+= \frac{(p-1)(q-1)}{4}$.
+\end{proof}
+\begin{proof}[Seconde démonstration]
+Considérons $\FF_{q^r} = \FF_q(\zeta)$ (où $r$ est l'ordre
+multiplicatif de $p$ modulo $q$) l'extension de $\FF_q$ par une racine
+primitive $p$-ième de l'unité $\zeta$, c'est-à-dire le corps de
+décomposition de $\Phi_p(X)$ sur $\FF_q$
+(cf. \refext{Fin}{factorisation-phi-n}) dont on note $\zeta$ une racine. Dans
+ce corps, considérons la somme
+\[
+G = \sum_{i\in\FF_p^\times} \Legendre{i}{p} \zeta^i
+\]
+où on confond abusivement un $i \in \FF_p$ avec un représentant
+quelconque de celui-ci dans $\ZZ$ (puisque $\Legendre{i}{p}$ et
+$\zeta^i$ ne dépendent de la classe de $i$ modulo $p$).
+
+On a alors $G^2
+= \sum_{i,j\in \FF_p^\times} \Legendre{ij}{p} \zeta^{i+j}
+= \sum_{i,t \in \FF_p^\times} \Legendre{t}{p} \zeta^{i(1+t)}$ (en
+posant $t = j/i \in \FF_p^\times$ et en utilisant le fait que
+$\Legendre{i}{p}^2 = 1$) ; comme $\sum_{i\in\FF_p^\times} \zeta^{iu}$
+vaut $-1$ si $u \in \FF_p^\times$ et vaut $p - 1$ si $u = 0$, on en
+déduit (en distinguant selon que $t=-1$ ou non) $G^2
+= \Legendre{-1}{p}(p-1) - \sum_{t\neq 0,-1} \Legendre{t}{p}
+= \Legendre{-1}{p} p$ car $\sum_{t\in\FF_p^\times} \Legendre{t}{p} =
+0$ en vertu de \ref{denombrement-carres-f-q}.
+
+Par ailleurs, $G^q = \Frob_q(G)
+= \sum_{i\in\FF_p^\times} \Legendre{i}{p} \zeta^{qi}
+= \sum_{j\in\FF_p^\times} \Legendre{q}{p} \Legendre{j}{p} \zeta^j$ (en
+posant $j = qi$ et en utilisant de nouveau le fait que
+$\Legendre{q}{p}$ est son inverse), donc $G^q = \Legendre{q}{p} G$, et
+par conséquent $G^{q-1} = \Legendre{q}{p}$.
+
+En écrivant $G^{q-1} = (G^2)^{(q-1)/2}$, on a donc prouvé
+$\Legendre{q}{p} = \Legendre{-1}{p}^{(q-1)/2} p^{(q-1)/2} =
+(-1)^{(p-1)(q-1)/4} \Legendre{p}{q}$ ; cette égalité entre éléments de
+$\{\pm 1\}$ a lieu dans $\FF_{q^r}$ donc dans $\ZZ$ : c'est ce qu'on
+voulait prouver.
+\end{proof}
+
+Pour ce qui est du caractère quadratique de $2$, il est déterminé par
+la proposition suivante souvent appelée « formule complémentaire » :
+\begin{proposition2}\label{formule-complementaire}
+Soit $p$ un nombre premier impair. On a alors :
+\[
+\Legendre{2}{p} = (-1)^{(p^2-1)/8}
+\]
+--- c'est-à-dire $\Legendre{2}{p} = 1$ si $p\equiv 1,7 \pmod{8}$ et
+$\Legendre{2}{p} = -1$ si $p\equiv 3,5 \pmod{8}$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}[Première démonstration]
+Convenons pour cette démonstration de représenter les éléments de
+$\ZZ/p\ZZ$ par $-\frac{p-1}{2},\ldots,\frac{p-1}{2}$, et de
+dire d'un élément de $(\ZZ/p\ZZ)^\times$ qu'il est « positif »
+lorsqu'il est congru à l'un des $\frac{p-1}{2}$ entiers
+$1,2,3,\ldots,\frac{p-1}{2}$, et « négatif » lorsqu'il est congru à
+l'un des $\frac{p-1}{2}$ entiers $-\frac{p-1}{2},\ldots,-1$.
+
+Le produit $\prod_{i=1}^{(p-1)/2} \bar\imath$ des éléments positif de
+$(\ZZ/p\ZZ)^\times$ vaut $(\frac{p-1}{2})!$ modulo $p$. Considérons
+maintenant le produit $\prod_{i=1}^{(p-1)/2} 2\bar\imath$ : on peut
+manifestement l'écrire comme $2^{(p-1)/2} (\frac{p-1}{2})!$
+modulo $p$. Mais par ailleurs on ne peut pas avoir $2\bar\imath =
+\pm 2\bar\imath'$ pour $i,i' \in \{1,\ldots,\frac{p-1}{2}\}$ distincts,
+donc les $2\bar\imath$ s'écrivent $\pm\bar\jmath$ avec $\bar\jmath$
+parcourant $1,2,3,\ldots,\frac{p-1}{2}$ et le signe $\pm$ (donné par
+$(-1)^{\lfloor 4i/p\rfloor}$ si l'on veut) vaut $+$ pour
+$0<i<\frac{p}{4}$ et $-$ pour $\frac{p}{4}<i<\frac{p}{2}$. Le nombre
+de signes $-$ est donc égal au nombre d'entiers entre $\frac{p}{4}$ et
+$\frac{p}{2}$ et il est facile de se convaincre (par exemple en
+considérant séparément chaque cas $1,3,5,7$ modulo $8$) que le signe
+du produit est alors $(-1)^{(p^2-1)/8}$. Ainsi,
+$\prod_{i=1}^{(p-1)/2} 2\bar\imath =
+(-1)^{(p^2-1)/8}(\frac{p-1}{2})!$, et en comparant les deux
+expressions trouvées et en utilisant \ref{formule-symbole-legendre},
+on a $\Legendre{2}{p} = (-1)^{(p^2-1)/8}$.
+
+(Cette démonstration a déjà été donnée, dans un cas particulier,
+en \ref{tonelli-shanks-pour-5-mod-8}.)
+\end{proof}
+\begin{proof}[Seconde démonstration]
+Considérons $\FF_{p^r} = \FF_p(\zeta)$ (où $r$ est l'ordre
+multiplicatif de $8$ modulo $p$) l'extension de $\FF_p$ par une racine
+primitive $8$-ième de l'unité $\zeta$, c'est-à-dire le corps de
+décomposition de $\Phi_8(X)$ sur $\FF_p$
+(cf. \refext{Fin}{factorisation-phi-n}) dont on note $\zeta$ une racine. Dans
+ce corps, considérons la somme
+\[
+G = \zeta - \zeta^3 - \zeta^5 + \zeta^7
+\]
+
+On a alors $G^2 = 4 - 4\zeta^4 = 8$.
+
+Par ailleurs, $G^p = \Frob_p(G) = \zeta^p - \zeta^{3p} - \zeta^{5p}
++ \zeta^{7p}$, donc $G^p = (-1)^{(p^2-1)/8} G$ (en considérant
+séparément les cas $p\equiv 1,7\pmod{8}$ et $p\equiv 3,5\pmod{8}$), et
+par conséquent $G^{p-1} = (-1)^{(p^2-1)/8}$.
+
+En écrivant $G^{p-1} = (G^2)^{(p-1)/2}$, on a donc prouvé
+$(-1)^{(p^2-1)/8} = 8^{(p-1)/2} = \Legendre{8}{p} = \Legendre{2}{p}$ ;
+cette égalité entre éléments de $\{\pm 1\}$ a lieu dans $\FF_{p^r}$
+donc dans $\ZZ$ : c'est ce qu'on voulait prouver.
+\end{proof}
+
+\begin{remarque2}
+L'étude des nombres premiers $p$ pour lesquels $2$ est un \emph{cube}
+est plus délicate et s'insère naturellement dans la « théorie
+non abélienne du corps de classes » (ou « programme de Langlands »).
+On démontre que le nombre de solutions
+dans $𝐅_p$ de l'équation $x³=2$
+est $1+a_p$, où les $a_n$ sont les coefficients
+de la série formelle
+\[
+x∏_{n=1}^∞ \big((1-x^{6n})(1-x^{18n})\big)=∑^∞_{n=1} a_n x^n.
+\]
+% cf. nouveau livre de Katô p. 36. À déplacer ?
+\end{remarque2}
+
+\begin{remarques2}\label{remarque-periodicite-symbole-legendre}
+La loi de réciprocité quadratique et la formule complémentaire (ainsi
+que la formule \ref{formule-symbole-legendre} pour le cas $a=-1$)
+permettent de conclure que $\Legendre{a}{p}$, qui est évidemment une
+fonction périodique de $a$ à $p$ fixé, est aussi, ce qui n'était pas
+évident a priori, une fonction périodique de $p$ à $a$ fixé (au sens
+où il existe un entier $T$ ne dépendant que de $a$ tel que si $p,p'$
+sont premiers impairs et $p \equiv p' \pmod{T}$ alors $\Legendre{a}{p}
+= \Legendre{a}{p'}$) ; plus précisément, il admet pour période $T =
+4|a|$ (cela sera démontré en \ref{proprietes-symbole-jacobi}
+ci-dessous). Ceci peut inciter à vouloir donner un sens à
+$\Legendre{a}{n}$ dans des cas où $n$ n'est plus nécessairement
+premier, en appliquant cette périodicité (par exemple, puisque
+$\Legendre{3}{p} = +1$ pour tout premier $p \equiv 1 \pmod{12}$, on
+est tenté de convenir que $\Legendre{3}{25} = +1$ et $\Legendre{3}{85}
+= +1$ même si $25$ et $85$ ne sont pas premiers et que $3$ n'est même
+pas un carré dans $\ZZ/25\ZZ$ ni $\ZZ/85\ZZ$). Le symbole de Jacobi
+constitue une telle généralisation du symbole de Legendre :
+\end{remarques2}
+
+\subsection{Symboles de Jacobi et de Kronecker}
+
+\begin{definition2}\label{definition-symbole-jacobi}
+Pour tout $a \in \ZZ$ et tout $b \in \NN$ impair, on
+appelle \emph{symbole de Jacobi} de $a$ et $b$, et on note
+$\Legendre{a}{b}$, le symbole défini par $\Legendre{a}{b}
+= \Legendre{a}{p_1}\cdots \Legendre{a}{p_k}$ où $b = p_1\cdots p_k$
+avec $p_i$ des nombres premiers impairs, et où $\Legendre{a}{p_i}$
+désigne alors le symbole de
+Legendre (\ref{definition-symbole-legendre}).
+\end{definition2}
+
+\begin{proposition2}\label{proprietes-symbole-jacobi}
+Le symbole de Jacobi défini en \ref{definition-symbole-jacobi} a les
+propriétés suivantes :
+\begin{itemize}
+\item On a $\Legendre{a}{b} = 0$ si et seulement si $a,b$ sont
+premiers entre eux.
+\item Pour tous $a,a',b \in \ZZ$ avec $b$ positif impair, on a
+$\Legendre{aa'}{b} = \Legendre{a}{b} \Legendre{a'}{b}$.
+\item Pour tous $a,b,b' \in \ZZ$ avec $b,b'$ positifs impairs, on a
+$\Legendre{a}{bb'} = \Legendre{a}{b} \Legendre{a}{b'}$.
+\item À $b$ positif impair fixé, la fonction $\Legendre{a}{b}$ est
+périodique admettant $b$ pour période.
+\item À $a \neq 0$ fixé, la fonction $\Legendre{a}{b}$ est périodique
+admettant $4|a|$ pour période, et même $2|a|$ si $a \equiv 1
+\pmod{4}$ et $|a|$ si $a \equiv 0 \pmod{4}$.
+\item Pour tout $b$ positif impair, on a $\Legendre{-1}{b} =
+(-1)^{(b-1)/2}$.
+\item Pour tout $b$ positif impair, on a $\Legendre{2}{b} =
+(-1)^{(b^2-1)/8}$.
+\item Pour tous $a,b$ positifs impairs, on a
+$\Legendre{a}{b} \Legendre{b}{a} = (-1)^{(a-1)(b-1)/4}$.
+\end{itemize}
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Les deux premières propriétés découlent immédiatement des propriétés
+correspondantes du symbole de Legendre. La troisième propriété est
+une conséquence immédiate de la définition. La quatrième propriété
+(périodicité en $a$) découle de nouveau de la propriété correspondante
+du symbole de Legendre. La propriété suivante (périodicité en $b$)
+sera démontrée en dernier.
+
+Les formules $\Legendre{-1}{b} = (-1)^{(b-1)/2}$, $\Legendre{2}{b} =
+(-1)^{(b^2-1)/8}$ et $\Legendre{a}{b} \Legendre{b}{a} =
+(-1)^{(a-1)(b-1)/4}$ résultent des formules correspondantes pour le
+symbole de Legendre
+(\ref{formule-symbole-legendre}, \ref{formule-complementaire}
+et \ref{loi-reciprocite-quadratique}) et du fait que ces formules sont
+multiplicatives en $b$.
+
+Montrons enfin que $\Legendre{a}{b}$ est périodique en $b$ avec les
+périodes annoncées. Si $a$ est positif impair, on a $\Legendre{a}{b}
+= (-1)^{(a-1)(b-1)/4} \Legendre{b}{a}$ comme on vient de le voir, et
+le membre de droite admet $4a$ pour période ou même $2a$ si $a \equiv
+1 \pmod{4}$ ; si $a = -1$ alors $\Legendre{-1}{b}$ est périodique de
+période $4$ et on en déduit le résultat pour tout $a$ impair. Enfin,
+si $a = 2^v a'$ avec $a'$ impair, on a $\Legendre{a}{b}
+= \Legendre{2}{b}^v \Legendre{a'}{b}$. Pour $v=1$ (cas où $a \equiv
+2 \pmod{4}$), le premier facteur a pour période $8$ et le second admet
+la période $4|a'|$, donc le produit admet la période $8|a'| = 4|a|$ ;
+pour $v=2$, le premier facteur est constant et le second admet la
+période $4|a'|$ donc le produit admet la période $4|a'| = |a|$ ; et
+pour $v\geq 3$, le premier facteur admet la période $8$ et le second
+la période $4|a'|$, donc le produit admet la période $8|a'|$
+donc $|a|$.
+\end{proof}
+
+\begin{remarques2}
+\begin{itemize}
+\item Comme on l'a déjà illustré
+en \ref{remarque-periodicite-symbole-legendre} par l'exemple de
+$\Legendre{3}{25} = +1$ et $\Legendre{3}{85} = +1$, on peut très bien
+avoir $\Legendre{a}{b} = +1$ sans que $a$ soit un carré
+dans $\ZZ/b\ZZ$. En revanche, si $\Legendre{a}{b} = -1$ (avec $b$
+positif impair) alors $a$ n'est pas un carré dans $\ZZ/b\ZZ$ puisque
+$a$ n'est pas un carré modulo l'un des facteurs premiers de $b$.
+Voir cependant \ref{symbole-de-jacobi-et-corps-finis} ci-dessous.
+\item La formule \ref{formule-symbole-legendre} n'est pas valable en
+général pour le symbole de Jacobi, même si $a$ est effectivement un
+carré modulo $b$ (le nombre noté $p$
+en \ref{formule-symbole-legendre}) : par exemple, $\Legendre{11}{35} =
++1$, et de fait $11 \equiv 9^2 \pmod{35}$, pourtant
+$11^{(35-1)/2} \equiv 16 \pmod{35}$.
+\end{itemize}
+\end{remarques2}
+
+La proposition suivante est utile pour certains calculs, mais elle est
+vraie pour des raisons essentiellement triviales :
+\begin{proposition2}\label{symbole-de-jacobi-et-corps-finis}
+Soit $q$ une puissance d'un nombre premier $p$ impair, et $a \in \ZZ$
+non multiple de $p$. Alors $a$ est un carré dans $\FF_q$ si et
+seulement si $\Legendre{a}{q} = +1$ où $\Legendre{a}{q}$ désigne le
+symbole de Jacobi.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Écrivons $q = p^r$. Si $r$ est pair alors $\Legendre{a}{q}
+= \Legendre{a}{p}^2 = +1$, et $a$ est bien un carré dans $\FF_q$
+d'après \ref{carres-extensions-corps-finis}. Si $r$ est impair alors
+$\Legendre{a}{q} = \Legendre{a}{p}^r = \Legendre{a}{p}$, et $a$ est un
+carré dans $\FF_q$ si et seulement s'il l'est dans $\FF_p$ de nouveau
+d'après \ref{carres-extensions-corps-finis}.
+\end{proof}
+
+\begin{remarque2}
+On définit parfois une généralisation encore plus poussée des symboles
+de Legendre et de Jacobi : le \emph{symbole de Kronecker}
+$\Legendre{a}{b}$ défini pour tous $a,b\in\ZZ$. Celui-ci est défini
+en écrivant $b = u p_1\cdots p_k$ avec $u \in \{\pm 1\}$ et $p_i$ des
+nombres premiers (cette fois $p_i=2$ est admis), où $\Legendre{a}{p}$
+désigne le symbole de Legendre (\ref{definition-symbole-legendre}) si
+$p$ est premier impair, et de plus :
+\[\Legendre{a}{2} = \left\{
+\begin{array}{ll}
+0&\textrm{si $a$ est pair}\\
+(-1)^{(a^2-1)/8}&\textrm{si $a$ est impair}\\
+\end{array}
+\right.\]
+\[\Legendre{a}{-1} = \left\{
+\begin{array}{ll}
+1&\textrm{si $a\geq 0$}\\
+-1&\textrm{si $a<0$}\\
+\end{array}
+\right.\]
+et enfin
+\[\Legendre{a}{0} = \left\{
+\begin{array}{ll}
+1&\textrm{si $a = \pm 1$}\\
+0&\textrm{sinon}\\
+\end{array}
+\right.\]
+Le prix à payer pour une telle généralisation est principalement de
+perdre la périodicité de $\Legendre{a}{b}$ par rapport à $b$ lorsque
+$a \equiv -1 \pmod{4}$ (ainsi que la périodicité par rapport à $a$
+lorsque $b \leq 0$). En fait, le choix de $\Legendre{a}{2} =
+(-1)^{(a^2-1)/8}$ (pour $a$ impair) est quelque peu arbitraire, et le
+symbole de Kronecker ne possède pas le caractère naturel du symbole de
+Jacobi. Il vérifie néanmoins les propriétés suivantes dont la
+vérification est laissée au lecteur :
+\begin{itemize}
+\item On a $\Legendre{a}{b} = 0$ si et seulement si $a,b$ sont
+premiers entre eux.
+\item Pour tous $a,a',b \in \ZZ$, on a $\Legendre{aa'}{b}
+= \Legendre{a}{b} \Legendre{a'}{b}$.
+\item Pour tous $a,b,b' \in \ZZ$, on a $\Legendre{a}{bb'}
+= \Legendre{a}{b} \Legendre{a}{b'}$ sauf éventuellement si $a=-1$ et
+$bb'=0$.
+\item À $b>0$ fixé, la fonction $\Legendre{a}{b}$ est périodique
+admettant $4b$ pour période, et même $b$ si $b \not\equiv 2 \pmod{4}$.
+\item À $a \neq 0$ fixé, la fonction $\Legendre{a}{b}$ est périodique
+admettant $4|a|$ pour période si $a \not\equiv -1 \pmod{4}$, et même
+$|a|$ si $a \equiv 0,1 \pmod{4}$.
+\end{itemize}
+\end{remarque2}
+
+
+\section{Factorisation de polynômes sur les corps finis}\label{factorisation-polynomes-corps-finis}
+
+On a vu dans la section \ref{equations-quadratiques-corps-finis}
+comment calculer algorithmiquement des racines carrées (ou, en
+caractéristique $2$, des ``racines $\wp$-ièmes'') dans un corps fini
+et, par conséquent, comment résoudre n'importe quelle équation
+quadratique. On se propose maintenant d'étudier la question plus
+générale de la factorisation des polynômes sur un corps fini.
+
+On peut évidemment supposer unitaire le polynôme $f$ à factoriser.
+Par ailleurs, dans la plupart des réductions qui suivront, notre but
+sera simplement de produire soit une factorisation non triviale $f =
+f_1 f_2$ (avec $\deg f_1, \deg f_2 > 0$) soit une preuve du fait que
+$f$ est irréductible (pour cela on connaît déjà le test de Rabin,
+cf. \refext{Fin}{critere-rabin}). Pour obtenir une factorisation complète, il
+suffira alors d'appliquer récursivement l'algorithme à $f_1$ et $f_2$.
+
+\subsection{Calcul de la partie sans facteur carré}
+
+\subsubsection{}\label{rappels-polynomes-sans-facteurs-carres-corps-finis} Dans
+un premier temps, étudions la question de trouver la partie sans
+facteur carré d'un polynôme : on rappelle qu'un $f \in \FF_q[X]$ est
+dit \emph{sans facteur carré} lorsqu'il n'est divisible par le carré
+d'aucun polynôme autre qu'une constante ou, de façon équivalente, lorsque tous
+les facteurs apparaissent avec multiplicité ($0$ ou) $1$ dans la
+décomposition en facteurs irréductibles de $f$. La \emph{partie sans
+facteur carré} de $f$ est le polynôme de plus grand degré (unitaire,
+disons) divisant $f$ et sans facteur carré, c'est-à-dire, le produit
+de tous les irréductibles unitaires divisant $f$ chacun avec
+multiplicité $1$. Sur un corps parfait (\refext{Alg}{corps-parfait}),
+tous les polynômes irréductibles étant séparables, dire d'un polynôme
+qu'il est « séparable » ou « sans facteur carré » sont équivalents.
+
+Dans ce qui suit, on fait la convention que le pgcd de deux polynômes
+est toujours choisi unitaire. On rappelle qu'on peut le calculer au
+moyen de l'algorithme d'Euclide étendu.
+
+\begin{proposition2}\label{partie-sans-facteur-carre-polynomes-corps-finis}
+Soit $f \in \FF_q[X]$ (où $q = p^r$) unitaire, et soit $f = \prod_i
+h_i^{v_i}$ sa décomposition en facteurs irréductibles (avec $h_i$
+unitaire irréductible). Alors :
+\begin{itemize}
+\item le polynôme $f$ est sans facteur carré si et seulement si
+$\pgcd(f,f') = 1$ ;
+\item si $u = \pgcd(f,f')$, alors $f/u = \prod_{v_i\not\equiv
+0\pmod{p}} h_i$ (autrement dit, $f/u$ est le produit de tous les
+facteurs unitaires irréductibles divisant $f$ et dont la multiplicité
+$v_i$ dans $f$ n'est pas multiple de $p$, chacun avec
+multiplicité $1$) : en particulier, $f/u$ est un facteur de $f$ sans
+facteur carré ;
+\item si $N$ est suffisammment grand, et $N = \deg f$ suffit, alors le polynôme
+$f_1 = f/\pgcd(f,(f/u)^N)$ vaut aussi $u/\pgcd(u,(f/u)^N)$, et $f_1
+= \prod_{v_i \equiv 0\pmod{p}} h_i^{v_i}$ (autrement dit, $f_1$ est la
+partie de la décomposition en facteurs irréductibles de $f$ formée des
+irréductibles dont la multiplicité $v_i$ dans $f$ est multiple
+de $p$) : en particulier, $f_1$ est une puissance $p$-ième dans $\FF_q[X]$.
+\end{itemize}
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Si $f = \prod_i h_i^{v_i}$, on a $f' = \sum_i v_i h_i' h_i^{v_i-1}
+\prod_{j\neq i} h_j^{v_j}$. Fixons un $i_0$ : tous les termes de
+cette somme sont multiples de $h_{i_0}^{v_{i_0}}$, sauf peut-être
+celui où $i = i_0$. Si $v_{i_0} \neq 0$ dans $\FF_q$ (c'est-à-dire si
+$p$ ne divise pas $v_{i_0}$) alors $v_{i_0} h_{i_0}'
+h_{i_0}^{v_{i_0}-1}$ est multiple de $h_{i_0}^{v_{i_0}-1}$ mais pas de
+$h_{i_0}^{v_{i_0}}$ puisque $h_i$ est séparable (car $\FF_q$ est
+parfait) : ainsi, sous cette hypothèse $v_{i_0} \neq 0$, le polynôme
+$f'$ est multiple de $h_{i_0}^{v_{i_0}-1}$ mais pas de
+$h_{i_0}^{v_{i_0}}$. En revanche, si $v_{i_0} = 0$ dans $\FF_q$
+(c'est-à-dire si $p$ divise $v_{i_0}$) alors $f'$ est multiple
+de $h_{i_0}^{v_{i_0}}$. Tout ceci mis prouve que $u = \pgcd(f,f')
+= \prod_i h_i^{v_i - 1 + \rho_i}$ où $\rho_i = 1$ si $p|v_i$ et
+$\rho_0 = 0$ sinon. On a donc $f/u = \prod_i h_i^{1-\rho_i}$. Ceci
+prouve les deux premières affirmations.
+
+La multiplicité de $h_i$ dans $\pgcd(f,(f/u)^N)$ vaut donc $\min(v_i,
+N(1-\rho_i))$, c'est-à-dire $(1-\rho_i)v_i$ si $N$ est supérieur ou
+égal à $\max(v_i)$ (et en particulier s'il est supérieur ou égal à
+$\deg f$). De même, la multiplicité de $h_i$ dans $\pgcd(u,(f/u)^N)$
+vaut $\min(v_i-1+\rho_i, N(1-\rho_i))$, c'est-à-dire
+$(1-\rho_i)(v_i-1)$ si $N$ est supérieur ou égal à $\max(v_i-1)$ (et
+en particulier s'il est supérieur ou égal à $\deg f$). On a donc
+$f/\pgcd(f,(f/u)^N) = u/\pgcd(u,(f/u)^N) = \prod_i h_i^{\rho_i v_i}$,
+ce qui prouve la troisième affirmation.
+\end{proof}
+
+\begin{remarques2}\label{algorithme-partie-sans-facteur-carre-polynomes-corps-finis}
+Cette proposition fournit un algorithme permettant de calculer la
+partie sans facteur carré $\prod_i h_i$ de $f$ : elle est égale à
+$f/u$ fois la partie sans facteur carré de la racine $p$-ième
+de $f_1$. Pour calculer $f_1$, on fait une remarque semblable à celle
+soulevée en \refext{Fin}{remarques-critere-rabin} : il n'est pas nécessaire de
+calculer $(f/u)^N$ en tant que polynôme, mais seulement modulo $f$ (ou
+modulo $u$) puisqu'il s'agit d'appliquer l'algorithme d'Euclide étendu
+pour $\pgcd(f,(f/u)^N)$ (ou $\pgcd(u,(f/u)^N)$), et pour cela on
+applique un algorithme d'exponentiation rapide. Calculer la racine
+$p$-ième de $f_1$ est facile : on sait que $f_1$ s'écrit $\sum_j a_j
+X^{pj}$, et sa racine $p$-ième est alors $\sum_j \root p\of{a_j} X^j$,
+avec $\root p\of{a_j} = a_j^{p^{r-1}}$ si $q = p^r$. Enfin, une fois
+calculée la racine $p$-ième de $f_1$, on applique récursivement le
+même algorithme (le degré ayant décru strictement) pour en calculer la
+partie sans facteur carré.
+
+Mieux que calculer la partie sans facteur carrée de $f$, cette
+proposition fournit déjà parfois une factorisation non triviale de
+celle-ci, lorsque certaines mais pas toutes les multiplicités $v_i$
+des $h_i$ dans $f$ sont multiples de $p$.
+
+Une fois calculée la partie sans facteur carré $f_0$ de $f$, il est
+aisé de calculer la partie $\prod_{v_i=v} h_i$ formée par les facteurs
+irréductibles de multiplicité exactement $v$ : par exemple,
+$\pgcd(f,f_0^v)/\pgcd(f,f_0^{v-1}) = \prod_{v_i \geq v} h_i$ comme on
+le vérifie aisément, donc $\pgcd(f,f_0^v)^2/\penalty0
+(\pgcd(f,f_0^{v+1}) \penalty100\, \pgcd(f,f_0^{v-1})) = \prod_{v_i=v}
+h_i$. (Mais généralement, on cherchera plutôt à trouver tous les
+facteurs irréductibles de $f_0$, et ensuite à calculer leur
+multiplicité dans $f$.)
+\end{remarques2}
+
+On pourra désormais supposer, pour la question de calculer la
+décomposition en facteurs irréductibles d'un polynôme, que celui-ci
+est sans facteur carré.
+
+\subsection{Décomposition en degrés distincts}
+
+\begin{proposition2}\label{decomposition-degres-distincts-polynomes-corps-finis}
+Soit $f \in \FF_q[X]$ unitaire et sans facteur carré, et soit $f
+= \prod_i h_i$ sa décomposition en facteurs irréductibles (avec $h_i$
+unitaire irréductible). On définit par récurrence $f_1 = f$ et
+$f_{r+1} = f_r/g_r$ où $g_r = \pgcd(f_r, X^{q^r}-X)$. Alors $g_r$ est
+le produit $\prod_{\deg h_i = r} h_i$ des facteurs unitaires
+irréductibles de $f$ dont le degré est exactement $r$. (En
+particulier, $g_1$ a toutes les racines de $f$, et $g_r$ n'a aucune
+racine pour $r>1$.)
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+On rappelle la proposition \refext{Fin}{factorisation-x-q-r-x} : le polynôme
+$X^{q^r}-X$ est le produit de tous les polynômes unitaires
+irréductibles sur $\FF_q$ dont le degré divise $r$. De cela il
+résulte que (pour $f_r$ un polynôme quelconque) $\pgcd(f_r,
+X^{q^r}-X)$ est le produit de tous les polynômes unitaires
+irréductibles divisant $f_r$ et dont le degré divise $r$. On montre
+alors par récurrence sur $r$ que $f_r$ est le produit $\prod_{\deg h_i
+\geq r} h_i$ des facteurs unitaires irréductibles de $f$ dont le degré
+est au moins $r$, et que $g_r$ est le produit $\prod_{\deg h_i=r} h_i$
+de ceux dont le degré est exactement $r$.
+\end{proof}
+
+\begin{remarques2}\label{algorithme-decomposition-degres-distincts-polynomes-corps-finis}
+Cette proposition est algorithmique : partant d'un polynôme $f_1 = f$
+unitaire sans facteur carré, on calcule successivement la suite de
+polynômes $g_r = \pgcd(f_r, X^{q^r}-X)$ et les quotients $f_{r+1} =
+f_r / g_r$, ce qui fournit une factorisation $g_1 g_2 g_3 \cdots$
+de $f$ dans laquelle on a la garantie que les facteurs irréductibles
+de chaque $g_r$ sont tous de même degré $r$ (et en particulier, le
+degré de $g_r$ doit être multiple de $r$). On parle
+de \emph{décomposition en degrés distincts} de $f$. De nouveau comme
+en \refext{Fin}{remarques-critere-rabin}, le calcul de $\pgcd(f_r, X^{q^r}-X)$
+par l'algorithme d'Euclide étendu commence par le calcul de $X^{q^r}$
+modulo $f_r$ au moyen d'un algorithme d'exponentiation rapide.
+
+Lorsque $\deg g_r = r$ pour un certain $r$, on a la garantie que ce
+$g_r$ est irréductible. Dans le calcul des $g_r$, on peut s'arrêter
+dès que $\deg f_r < 2r$, et alors $g_r = f_r$ est irréductible (on lui
+a en quelque sorte appliqué le critère de Ben-Or \refext{Fin}{critere-ben-or})
+et tous les autres $g_s$ non calculés valent $1$.
+
+Dans l'application de cet algorithme, rien n'oblige de diviser par les
+pgcd avec $X^{q^r}-X$ dans l'ordre $r=1,2,3,\ldots$ : la seule chose
+nécessaire est que chaque $r$ soit visité après tous ses diviseurs ---
+n'importe quel ordre total prolongeant l'ordre partiel de divisibilité
+convient.
+
+Selon la nature des polynômes à factoriser, il est imaginable qu'il
+soit plus efficace d'appliquer immédiatement l'algorithme qu'on vient
+de décrire à un polynôme non supposé sans facteur carré, sans passer
+au préalable par un algorithme comme
+en \ref{algorithme-partie-sans-facteur-carre-polynomes-corps-finis}.
+Dans ce cas, en divisant un polynôme par son pgcd avec $X^{q^r}-X$ on
+n'a pas la garantie que le quotient n'ait plus aucun facteur de degré
+divisant $r$ : il convient donc d'itérer ce calcul (à $r$ fixé)
+jusqu'à ce que le pgcd vaille $1$).
+
+Si le but est simplement de trouver les racines de $f$, ou de
+déterminer s'il en a, le calcul de $g_1 = \pgcd(f, X^q-X)$ suffit. À
+ce sujet, si $f = X^2 - D$ avec $D\neq 0$ en caractéristique impaire,
+on a $X^{q-1} \equiv D^{(q-1)/2} \pmod{f}$, donc $g_1 = \pgcd(f,
+X^q-X)$ vaut $1$ ou $f$ selon que $D^{(q-1)/2}$ vaut $1$ ou non, et
+ceci fournit une nouvelle démonstration du fait que $D \neq 0$ est un
+carré dans $\FF_q$ (avec $q$ impair) exactement lorsque $D^{(q-1)/2} =
+1$.
+\end{remarques2}
+
+\subsection{Algorithme de Cantor-Zassenhaus}
+
+\subsubsection{} Grâce au travail déjà effectué, on peut maintenant
+supposer, s'il s'agit de factoriser un polynôme $g \in \FF_q[X]$, que
+celui-ci est produit de facteurs irréductibles de même degré : $g =
+h_1 \cdots h_s$ avec $h_i$ unitaire irréductible et $\deg h_i = r$ (et
+$\deg g = rs$). On sait alors que $\FF_q[X]/(g) \cong (\FF_{q^r})^s$,
+même si on ne peut pas expliciter un tel isomorphisme en l'ignorance
+de la décomposition en facteurs irréductibles de $g$. Notre but est
+de produire un élément $u$ de $\FF_q[X]/(g)$ dont l'image dans
+$(\FF_{q^r})^s$ par cet isomorphisme ait certaines composantes nulles,
+mais pas toutes, car alors $\pgcd(g,u)$ (ceci désignant par abus de
+langage le pgcd de $g$ avec un représentant quelconque de $u$ dans
+$\FF_q[X]$) sera multiple de certains des $h_i$ mais non de tous, ce
+qui fournit une factorisation non triviale de $g$. L'algorithme de
+Cantor-Zassenhaus, que nous allons maintenant décrire, fournit un tel
+élément $u$ de la façon suivante (pour $q$ impair) : en partant d'un
+élément $y \in \FF_q[X]/(g)$ tiré au hasard, s'il ne répond pas déjà à
+ce qu'on recherche (c'est-à-dire, si toutes ses composantes dans
+$(\FF_{q^r})^s$ ne sont pas nulles) alors $t = y^{(q^r-1)/2}$ a toutes
+ses composantes égales à $1$ ou $-1$
+d'après \ref{denombrement-carres-f-q}, et si elles ne sont pas égales
+(c'est-à-dire si $t = y^{(q^r-1)/2}$ ne vaut pas $1$ ou $-1$) alors $u
+= t-1$ fournira un élément comme recherché. La proposition suivante
+explicite cette idée :
+
+\begin{proposition2}\label{proposition-algorithme-cantor-zassenhaus}
+Soit $q$ une puissance d'un nombre premier impair, et soit
+$g \in \FF_q[X]$ de degré $rs$, unitaire sans facteur carré dont tous
+les facteurs irréductibles ont le même degré $r$. Si $y$ est un
+élément quelconque de $\FF_q[X]/(g)$ et qu'on pose $t = y^{(q^r-1)/2}$
+(dans $\FF_q[X]/(g)$), alors une et une seule des affirmations
+suivantes est vraie :
+\begin{itemize}
+\item on a $y=0$,
+\item le polynôme $\pgcd(g,y)$ (où par $y$ on entend n'importe quel
+représentant de celui-ci dans $\FF_q[X]$) est différent de $1$ et
+de $g$ (et fournit donc une factorisation non triviale de $g$),
+\item on a $t=\pm 1$,
+\item le polynôme $\pgcd(g,t-1)$ (où par $t-1$ on entend n'importe quel
+représentant de celui-ci dans $\FF_q[X]$) est différent de $1$ et
+de $g$ (et fournit donc une factorisation non triviale de $g$).
+\end{itemize}
+De plus, les nombres de $y \in \FF_q[X]/(g)$ vérifiant chacune de ces
+quatre affirmations valent respectivement : $1$, $q^{rs} - (q^r-1)^s -
+1$, $\frac{1}{2^{s-1}}(q^r-1)^s$ et $(1-\frac{1}{2^{s-1}})(q^r-1)^s$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+L'hypothèse sur $g$ et le théorème chinois assurent l'existence d'un
+isomorphisme d'anneaux $\psi \colon \FF_q[X]/(g) \to (\FF_{q^r})^s$.
+
+Dire que $y$ n'est pas nul (c'est-à-dire si $\psi(y)$ n'est pas nul),
+mais que certaines des composantes de $\psi(y)$ sont néanmoins nulles,
+signifie exactement que certains mais pas tous les $h_i$ divisent $y$
+(c'est-à-dire, n'importe quel représentant de $y$ dans $\FF_q[X]$), ce
+qui signifie encore que le polynôme $\pgcd(g,y)$ est différent de $1$
+et de $g$. On a ainsi réparti les $q^{rs}$ éléments $y$ de
+$\FF_q[X]/(g) \cong (\FF_{q^r})^s$ en $1$ élément nul, $q^{rs} -
+(q^r-1)^s$ dont au moins une composante de $\psi(y)$ est nulle, et
+$(q^r-1)^s$ éléments non nuls dans chacun des $s$ facteurs chinois.
+On se place à présent dans ce dernier cas.
+
+Pour tout élément non nul $z$ de $\FF_{q^r}$ on a $z^{(q^r-1)/2} = \pm
+1$, ce nombre valant $+1$ pour $\frac{1}{2}(q^r-1)$ éléments $z$, et
+$-1$ pour les $\frac{1}{2}(q^r-1)$ autres
+(cf. \ref{denombrement-carres-f-q}). On en déduit que si $t =
+y^{(q^r-1)/2}$, alors chacune des composantes de $\psi(t)$ vaut $+1$
+ou $-1$. Et chacune des $2^s$ combinaisons de signes est réalisée
+pour $\frac{1}{2^s}(q^r-1)^s$ éléments (parmi les $(q^r-1)^s$
+considérés) de $\FF_q[X]/(g) \cong (\FF_{q^r})^s$. Lorsque toutes les
+composantes de $\psi(t)$ sont égales, ce qui se produit dans
+$\frac{1}{2^{s-1}}(q^r-1)^s$ cas, on a ainsi $t = \pm 1$. Dans toute
+autre situation, certaines des composantes de $\psi(t)$ valent $+1$ et
+d'autres valent $-1$, c'est-à-dire que certaines mais pas toutes les
+composantes de $\psi(t-1)$ valent $0$, et ainsi le polynôme
+$\pgcd(g,t-1)$ est différent de $1$ et de $g$.
+\end{proof}
+
+\begin{remarques2}
+La proposition ci-dessus, et sa démonstration, sont rigoureusement
+parallèles à \ref{proposition-algorithme-legendre}, qu'elles
+généralisent. Avant de discuter l'algorithme de Cantor-Zassenhaus qui
+en découle (et dont l'algorithme de Legendre de calcul des racines
+carrées est un cas particulier), décrivons maintenant la proposition
+correspondante en caractéristique $2$
+(généralisant \ref{proposition-algorithme-legendre-caracteristique-2}) :
+\end{remarques2}
+
+\begin{proposition2}\label{proposition-algorithme-cantor-zassenhaus-caracteristique-2}
+Soit $q = 2^r$ une puissance de $2$, et soit $g \in \FF_q[X]$ de
+degré $rs$, unitaire sans facteur carré dont tous les facteurs
+irréductibles ont le même degré $r$. Si $y$ est un élément quelconque
+de $\FF_q[X]/(g)$ et qu'on pose $t = y + y^2 + y^4 + \cdots +
+y^{q^r/2}$ (dans $\FF_q[X]/(g)$), alors une et une seule des
+affirmations suivantes est vraie :
+\begin{itemize}
+\item on a $t \in \{0,1\}$,
+\item le polynôme $\pgcd(g,t)$ (où par $t$ on entend n'importe quel
+représentant de celui-ci dans $\FF_q[X]$) est différent de $1$ et
+de $g$ (et fournit donc une factorisation non triviale de $g$).
+\end{itemize}
+De plus, les nombres de $y \in \FF_q[X]/(g)$ vérifiant chacune de ces
+deux affirmations valent respectivement $\frac{1}{2^{s-1}}q^{rs}$ et
+$(1-\frac{1}{2^{s-1}})q^{rs}$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+L'hypothèse sur $g$ et le théorème chinois assurent l'existence d'un
+isomorphisme d'anneaux $\psi \colon \FF_q[X]/(g) \to (\FF_{q^r})^s$.
+
+Pour tout élément non nul $z$ de $\FF_{q^r}$ on a $z + z^2 + z^4
++ \cdots + z^{q^r/2} \in \{0, 1\}$, ce nombre valant $0$ pour
+$\frac{q^r}{2}$ éléments $z$, et $1$ pour les $\frac{q^r}{2}$ autres
+(cf. \ref{denombrement-artin-schreier-2-f-q}). On en déduit que si $t
+= y + y^2 + y^4 + \cdots + y^{q^r/2}$, alors chacune des composantes
+de $\psi(t)$ vaut $0$ ou $1$. Et chacune des $2^s$ combinaisons de
+signes est réalisée pour $\frac{1}{2^s}q^{rs}$ éléments (parmi les
+$q^{rs}$ au total) de $\FF_q[X]/(g) \cong (\FF_{q^r})^s$. Lorsque
+toutes les composantes de $\psi(t)$ sont égales, ce qui se produit
+dans $\frac{1}{2^{s-1}}q^{rs}$ cas, on a ainsi $t \in \{0,1\}$. Dans
+toute autre situation, certaines des composantes de $\psi(t)$ valent
+$0$ et d'autres valent $1$, c'est-à-dire que certaines mais pas toutes
+les composantes de $\psi(t)$ valent $0$, c'est-à-dire que certains
+mais pas tous les $h_i$ divisent $t$ (c'est-à-dire, n'importe quel
+représentant de $t$ dans $\FF_q[X]$), ce qui signifie encore que le
+polynôme $\pgcd(g,t)$ est différent de $1$ et de $g$.
+\end{proof}
+
+\subsubsection{}\label{algorithme-cantor-zassenhaus} Les
+propositions \ref{proposition-algorithme-cantor-zassenhaus} et \ref{proposition-algorithme-cantor-zassenhaus-caracteristique-2}
+conduisent à l'\emph{algorithme} suivant, dit de Cantor-Zassenhaus,
+permettant de factoriser un polynôme $g \in \FF_q[X]$, dont on a vu
+qu'on pouvait le supposer unitaire, sans facteur carré, et ayant tous
+ses facteurs irréductibles de même degré : dans un premier temps,
+tirer $y$ aléatoirement dans $\FF_q[X]/(g)$. Puis calculer $t =
+y^{(q^r-1)/2}$ dans $\FF_q[X]/(g)$ (c'est-à-dire, calculer le reste de
+la division euclidienne de $X^{(q^r-1)/2}$ par $g$) par un algorithme
+d'exponentiation rapide dans cet anneau $\FF_q[X]/(g)$ ; resp., en
+caractéristique $2$, calculer $t = y + y^2 + \cdots + y^{q^r/2}$. Si
+le résultat vaut $\pm 1$ (resp. $0$ ou $1$ en caractéristique $2$), on
+doit choisir un nouveau $y$ et recommencer ; sinon, calculer
+$\pgcd(g,t-1)$ (resp. $\pgcd(g,t)$ en caractéristique $2$) : ceci
+devrait fournir un facteur non trivial de $g$ ; quant au petit nombre
+(du moins si $q$ ou $s$ est grand) de $y$ situés dans le second cas
+de \ref{proposition-algorithme-cantor-zassenhaus} (problème qui ne se
+pose pas en caractéristique $2$), il peut soit être écarté \emph{a
+priori} en vérifiant avant de commencer si $\pgcd(g,y)$ fournit un
+facteur non trivial, soit plus vraisemblablement être traité \emph{a
+posteriori} en calculant $\pgcd(g,t)$ lorsque $\pgcd(g,t-1)$ n'a pas
+fourni le facteur attendu.
+
+\begin{remarque2}
+En rassemblant
+avec \ref{algorithme-partie-sans-facteur-carre-polynomes-corps-finis} (calcul
+de la partie sans facteur carré)
+et \ref{algorithme-decomposition-degres-distincts-polynomes-corps-finis} (décomposition
+en degrés distincts), l'algorithme de Cantor-Zassenhaus qu'on vient
+d'exposer permet de factoriser n'importe quel polynôme
+$g \in \FF_q[X]$. Sans nous attarder sur la complexité de
+l'algorithme complet, disons simplement qu'elle est polynomiale en
+moyenne, et que seule cette dernière partie (l'algorithme de
+Cantor-Zassenhaus lui-même) utilise un élément de non-déterminisme et
+peut être mauvaise dans le pire cas (on peut imaginer de tirer au
+hasard beaucoup de $y$ avant d'obtenir une factorisation). Il
+convient par ailleurs de signaler que, sans chercher à donner un sens
+précis à cette affirmation, si le polynôme $g$ est aléatoire, tout le
+travail de factorisation sera normalement effectué dans l'étape de
+factorisation en degrés distincts.
+\end{remarque2}
+
+\subsection{Applications}
+
+\subsubsection{} Parmi les nombreuses applications algorithmiques d'un
+algorithme quelconque de factorisation des polynômes sur les corps
+finis, attardons-nous à présent sur deux conséquences particulières,
+portant sur les représentations des corps finis comme des quotients.
+
+\begin{remarque2}\label{remarque-isomorphisme-explicite-corps-finis}
+Tout d'abord, considérons le problème de la conversion d'une
+représentation à une autre d'un corps fini : on rappelle
+(cf. \refext{Fin}{remarques-critere-rabin}) qu'on choisit généralement de
+représenter informatiquement un corps fini $\FF_{q^r}$ comme
+$\FF_q[X]/(h)$ (le plus souvent ici $q=p$ est premier) avec
+$h \in \FF_q[X]$ irréductible de degré $r$ (on peut trouver un tel $h$
+en tirant au hasard des polynômes de bon degré, et en testant leur
+irréductibilité au moyen par exemple du critère de Rabin ou de Ben-Or,
+jusqu'à obtenir un $h$ qui passe le test) ; si $h_1$ et $h_2$ sont
+deux polynômes irréductibles de même degré $r$, alors $\FF_q[X]/(h_1)$
+et $\FF_q[X]/(h_2)$ sont isomorphes (à $\FF_{q^r}$)
+d'après \ref{existence-et-unicite-corps finis} : on souhaite cependant
+parfois relier explicitement ces deux représentations de $\FF_{q^r}$,
+c'est-à-dire, trouver explicitement un isomorphisme
+$\FF_q[X]/(h_1) \buildrel\sim\over\to \FF_q[X]/(h_2)$.
+
+L'algorithme que nous avons vu permet de répondre à cette demande. En
+effet, considérons le problème de factoriser $h_1$ dans $\FF_{q^r}$ vu
+comme $\FF_q[X]/(h_2)$ : on sait par avance que cette factorisation
+comportera $r$ facteurs linéaires, c'est-à-dire qu'il s'agit de
+trouver les $r$ racines de $h_1$ dans $\FF_q[X]/(h_2)$ ; en fait, on
+se contente de trouver \emph{une} racine $\theta$ (les autres
+s'obtenant, de toute façon, par applications successives de $\Frob_q$
+à $\theta$) : l'algorithme de Cantor-Zassenhaus, éventuellement adapté
+pour chercher à casser toujours le facteur de plus petit degré, permet
+de trouver un tel $\theta$. Un isomorphisme
+$\FF_q[X]/(h_1) \buildrel\sim\over\to \FF_q[X]/(h_2)$ est alors fourni
+par $a \mapsto a(\theta)$ (où $a(\theta)$ désigne l'évaluation en
+$\theta$ de n'importe quel représentant dans $\FF_q[X]$ de
+$a \in \FF_q[X]/(h_1)$).
+\end{remarque2}
+
+\begin{exemple2}
+Pour illustrer la remarque précédente, considérons les deux polynômes
+$h_1 = X^4 + X + 1$ et $h_2 = X^4 + X^3 + X^2 + X + 1$ irréductibles
+de degré $4$ sur $\FF_2$. En factorisant $h_1$ dans $\FF_2[X]/(h_2)$,
+on trouve $h_1 = (X-\theta)\,(X-\theta^2)\,(X-\theta^4)\,(X-\theta^8)$
+où $\theta, \theta^2, \theta^4, \theta^8$ sont les quatre racines
+$x^2+x$, $x^3+x+1$, $x^2+x+1$ et $x^3+x$ (ici, $x$ désigne la classe
+de $X$ dans $\FF_2[X]/(h_2)$). L'isomorphisme décrit ci-dessus envoie
+alors, par exemple, la classe de $X^3$ dans $\FF_2[X]/(h_1)$ sur
+$\theta^3 = x^2 \in \FF_2[X]/(h_2)$.
+\end{exemple2}
+
+\begin{remarque2}\label{remarque-tours-corps-finis}
+Un problème apparenté est celui de l'aplatissement des tours de corps
+finis : si $g \in \FF_q[Y]$ est un polynôme irréductible de degré $s$
+sur $\FF_q$, et $h \in \FF_{q^s}[X]$ un polynôme irréductible de
+degré $t$ sur $\FF_{q^s} = \FF_q[Y]/(g)$ dont le ppcm des degrés
+sur $\FF_q$ des coefficients est égal à $s$. On sait alors
+d'après \refext{Fin}{descindage-polynomes-tours-corps-finis} que $f
+= \prod_{i=0}^{s-1} \Frob_q^i(h) \in \FF_q[X]$ est irréductible de
+degré $st$, et que réciproquement
+(cf. \refext{Fin}{scindage-partiel-polynomes-corps-finis}) tout
+$f \in \FF_q[X]$ irréductible de degré $st$ s'obtient de cette forme
+pour un certain $h$ (le polynôme $g$ étant ici fixé) ; par ailleurs,
+l'algorithme de Cantor-Zassenhaus ou tout autre algorithme de
+factorisation des polynômes sur les corps finis permet de calculer $h$
+connaissant $f$ (en factorisant ce dernier dans $\FF_{q^s}[X]$). On a
+alors deux présentations différentes du corps $\FF_{q^{st}}$ : soit
+comme $\FF_q[X]/(f)$ soit comme $\FF_{q^s}[X]/(h)$ où $\FF_{q^s}$ est
+lui-même vu comme $\FF_q[Y]/(g)$. La question se pose de savoir
+comment convertir d'une représentation à l'autre, c'est-à-dire,
+expliciter un isomorphisme entre ces $\FF_q[X]/(f)$ et
+$\FF_{q^s}[X]/(h)$.
+
+Un isomorphisme $\psi \colon \FF_q[X]/(f) \to \FF_{q^s}[X]/(h)$ est
+aisé à décrire : donné $a \in \FF_q[X]$, on définit $\psi(\bar a)$
+comme la classe de $a$ (vu dans $\FF_{q^s}[X]$) modulo $h$,
+c'est-à-dire concrètement le reste de la division euclidienne de $a$
+par $h$ --- il est évident que ceci définit bien un morphisme
+d'anneaux, qui est injectif puisque tout élément de $\FF_q[X]$
+multiple de $h$ dans $\FF_{q^s}[X]$ est multiple de $f$ car ce dernier
+est irréductible, et par comparaison des cardinaux ce $\psi$ et bien
+un isomorphisme. Notons que ce $\psi \colon \FF_q[X]/(f) \to
+(\FF_q[Y]/(g))[X]/(h)$ est uniquement caractérisé comme isomorphisme
+de $\FF_q$-algèbres (les polynômes $f,g,h$ étant fixés) par le fait
+que $\psi(X) = X$.
+
+Pour décrire l'isomorphisme réciproque, considérons la factorisation
+de $g$ dans $\FF_q[X]/(f)$ : il est scindé
+(cf. \refext{Fin}{racines-polynome-minimal-corps-fini}
+ou \refext{Fin}{scindage-partiel-polynomes-corps-finis}), et parmi ses racines
+il en existe exactement une, qu'on notera $z$, que $\psi$ envoie sur
+l'élément $y \in \FF_{q^s}$ classe de $Y$ dans $\FF_q[Y]/(g)$ (puisque
+$y$ est lui-même racine de $g$). Alors $\psi^{-1}$ envoie la classe
+(dans $\FF_{q^s} = \FF_q[Y]/(g)$) de $a \in \FF_q[Y]$ sur $a(z)$, et
+comme il envoie $X$ sur $X$ on peut aisément calculer l'image
+par $\psi^{-1}$ d'un élément quelconque de $\FF_{q^s}[X]/(h)$.
+\end{remarque2}
+
+\begin{exemple2}
+Pour illustrer la remarque précédente, considérons le polynôme $f =
+X^4 + X + 1 \in \FF_2[X]$ : vu dans $\FF_4 = \FF_2[Y]/(g)$ où $g = Y^2
++ Y + 1$ (est le seul polynôme irréductible de degré $2$ sur $\FF_2$),
+le polynôme $f$ se factorise comme $h\, \Frob_2(h)$ où $h = X^2 + X +
+y$ et $\Frob_2(h) = X^2 + X + y+1$. L'isomorphisme $\psi$ envoie, par
+exemple, la classe $x^3$ de $X^3$ dans $\FF_2[X]/(f)$ sur $(y+1)x +
+y \in \FF_4[X]/(h)$ car le reste de la division euclidienne de $X^3$
+par $X^2 + X + y$ (dans $\FF_4[X]$) est $(y+1)X + y$. L'isomorphisme
+réciproque $\psi^{-1}$ envoie $y$ sur $z = x^2 + x$ puisque c'est
+visiblement celle des deux racines $x^2+x, x^2+x+1$ de $g$ dans
+$\FF_2[X]/(f)$ qui s'envoie sur $y$ par $\psi$. On peut alors
+vérifier que $\psi^{-1}((y+1)x + y) = x^3$.
+\end{exemple2}
+
+\subsection{Algorithme de Berlekamp}
+
+\subsubsection{} Dans le même esprit que le critère d'irréductibilité
+de Butler \refext{Fin}{critere-butler} utilise des techniques d'algèbre
+linéaire effective à la place de la factorisation de $X^{q^r}-X$ qui
+sous-tend le critère de Rabin \refext{Fin}{critere-rabin}, on peut mettre
+en \oe{}uvre des techniques d'algèbre linéaire, également fondées sur
+l'étude du sous-$\FF_q$-espace vectoriel $\Ker(\Frob_q - \Id)$
+de $\FF_q[X]/(g)$, pour factoriser un polynôme $g$ (supposé sans
+facteur carré).
+
+\begin{definition2}\label{definition-algebre-berlekamp}
+Si $g \in \FF_q[X]$ est sans facteur carré, on appelle \emph{algèbre
+de Berlekamp} de $g$ le sous-$\FF_q$-espace vectoriel $\Ker(\Frob_q
+- \Id)$ (c'est-à-dire $\{y \in \FF_q[X]/(g) : y^q = y\}$)
+de $\FF_q[X]/(g)$, qui en est une sous-$\FF_q$-algèbre.
+\end{definition2}
+
+On a ainsi vu en \refext{Fin}{critere-butler} que $g$ est irréductible si et
+seulement si son algèbre de Berlekamp se réduit à $\FF_q$ (i.e., est
+de dimension $1$). Le résultat suivant généralise ce fait :
+
+\begin{proposition2}\label{proposition-algorithme-berlekamp}
+Soit $g \in \FF_q[X]$ unitaire sans facteur carré. Alors :
+\begin{itemize}
+\item la dimension $s$ sur $\FF_q$ de l'algèbre de Berlekamp $B_g$ de $g$
+est égale au nombre de facteurs unitaires irréductibles de $g$, et si
+$h_1,\ldots,h_s$ sont ces facteurs irréductibles alors l'isomorphisme
+chinois
+$\psi \colon \FF_q[X]/(g) \buildrel\sim\over\to \FF_q[X]/(h_1) \times \cdots \times \FF_q[X]/(h_s)$
+se restreint en un isomorphisme $B_g \buildrel\sim\over\to (\FF_q)^s$,
+\item de plus, pour tout $y \in B_g$, on a $g
+= \prod_{c\in\FF_q} \pgcd(g, y-c)$.
+\end{itemize}
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Soit $g = h_1\cdots h_s$ la décomposition en facteurs irréductibles
+de $g$. Alors le théorème chinois assure l'existence d'un
+isomorphisme
+$\psi \colon \FF_q[X]/(g) \buildrel\sim\over\to \FF_q[X]/(h_1) \times \cdots \times \FF_q[X]/(h_s)$,
+chacun des facteurs du membre de droite étant un corps $\FF_{q^{\deg
+h_i}}$ puisque $h_i$ est irréductible.
+D'après \refext{Fin}{petit-theoreme-fermat} et \refext{Fin}{unicite-corps-q-elements-pour-inclusion},
+on peut voir $B_g$ comme l'ensemble des éléments $y$ de $\FF_q[X]/(g)$
+tels que chaque composante de $\psi(y)$ soit dans $\FF_q$. Ceci
+montre immédiatement la première affirmation ; quant à la seconde,
+elle résulte de ce que si $y \in \FF_q[X]/(g)$ alors $\pgcd(g,y)$ est
+le produit des $h_i$ tels que $y$ soit multiple de $h_i$ c'est-à-dire
+que la $i$-ième composante de $\psi(y)$ s'annule.
+\end{proof}
+
+\begin{remarques2}\label{algorithme-berlekamp}
+Lorsque $q$ est petit, la
+proposition \ref{proposition-algorithme-berlekamp} fournit telle
+quelle un algorithme de factorisation, dit de Berlekamp, pour les polynômes $g$ sans
+facteur carré dans $\FF_q[X]$ : on utilise des techniques d'algèbre
+linéaire pour trouver une $\FF_q$-base $\tau_1,\ldots,\tau_s$ de
+l'algèbre de Berlekamp $B_g = \Ker(\Frob_q - \Id)$ de $g$, puis, si
+$s>1$ de sorte qu'il y a une factorisation non triviale à effectuer,
+on tire au hasard un élément $y = c_1 \tau_1 + \cdots + c_s \tau_s \in
+B_g$ (avec $c_i \in \FF_q$) et on calcule les $\pgcd(g, y-c)$ pour les
+différents $c \in \FF_q$ : ceci fournira une factorisation non
+triviale de $y$ dès que les composantes de $\psi(y)$ ne sont pas
+toutes égales (où $\psi$ est l'isomorphisme $\psi \colon
+B_g \buildrel\sim\over\to (\FF_q)^s$ déduit de l'isomorphisme
+chinois), ce qui se produit pour $q^s - q$ des $q^s$ éléments $y$
+de $B_g$.
+
+Lorsque $q$ est grand, la proposition ne peut pas servir en tant que
+telle. On peut cependant la combiner avec les mêmes idées
+qu'en \ref{proposition-algorithme-cantor-zassenhaus}
+(resp. \ref{proposition-algorithme-cantor-zassenhaus-caracteristique-2}
+en caractéristique $2$) : une fois tiré $y$ dans $B_g$, on calcule $t
+= y^{(q-1)/2}$ (resp. $t = y + y^2 + y^4 + \cdots + y^{q/2}$ en
+caractéristique $2$), et alors $\pgcd(g,t-1)$ (resp. $\pgcd(g,t)$) a
+une probabilité raisonnable de fournir un facteur non trivial de $g$
+(cf. \ref{algorithme-cantor-zassenhaus}, le rôle de l'algèbre linéaire
+étant essentiellement de pouvoir faire comme si $r=1$).
+\end{remarques2}
+
+
+\ifx\danslelivre\undefined
+\end{document}
+\fi
diff --git a/chapitres/brauer.tex b/chapitres/brauer.tex
new file mode 100644
index 0000000..f159cfc
--- /dev/null
+++ b/chapitres/brauer.tex
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+\ifx\danslelivre\undefined
+\documentclass[9pt]{smfart-moi}
+\input{commun}
+\input{smf}
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+\input{gadgets}
+\input{francais}
+\input{numerotation}
+\input{formules}
+\input{encoredesmacros}
+
+\usepackage{stmaryrd}
+\usepackage{graphics}
+\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
+%\usepackage{makeidx}
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{matrix}
+\usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant
+%\usepackage{pxfonts}
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+\textwidth13cm % pour pouvoir lire le nom des étiquettes si \usepackage{showkeys}
+\externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder
+\externaldocument{categories}
+\externaldocument{entiers}
+\externaldocument{formes-tordues}
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+%\makeindex
+
+\textwidth16cm
+\hoffset-1.5cm
+
+\begin{document}
+\begin{center}
+Algèbres d'Azumaya et groupe de Brauer
+\end{center}
+\tableofcontents
+\else
+\chapter{Algèbres d'Azumaya et groupe de Brauer}
+\fi
+
+\section{Algèbres d'Azumaya}
+
+\subsection{Définition et interprétation cohomologique}
+
+\begin{définition2}\label{definition Azumaya}\index{algèbre
+d'Azumaya}
+Soit $k$ un corps. Une \emph{algèbre
+d'Azumaya}\footnote{D'après le mathématicien japonais
+AZUMAYA Gorô \jap{東屋 五郎}.} sur $k$ est une $k$-algèbre de dimension finie $A$,
+non nécessairement commutative, telle qu'il existe
+une extension finie $K\bo k$ et un $K$-isomorphisme d'algèbres entre $A_K=A⊗_k K$
+et une algèbre de matrices carrées sur $K$. L'entier
+$\sqrt{\dim_k A}$ est le \emph{degré} de $A$
+et on dit que l'extension $K\bo k$ \emph{trivialise} $A$.
+\end{définition2}
+
+En d'autres termes, une $k$-algèbre d'Azumaya de degré $n$
+trivialitée par $K\bo k$ est, au sens de \refext{formes}{formes}, une
+$K\bo k$-forme de la $k$-algèbre $𝐌_n(k)$.
+
+Il résulte immédiatement de la définition que si
+$A$ est une $k$-algèbre d'Azumaya et $k'\bo k$
+est une extension, $A_{k'}=A⊗_k k'$ est une $k'$-algèbre
+d'Azumaya. (Ces conditions sont d'ailleurs équivalentes.)
+
+\begin{lemme2}\label{trivialisation Azu descend au niveau fini}
+Soient $k$ un corps, $Ω$ une clôture algébrique de $k$,
+$r ≥ 0$ un entier et $A$ une $k$-algèbre. Les conditions suivantes sont équivalentes.
+\begin{enumerate}
+\item la $k$-algèbre $A$ est d'Azumaya, de degré $r$ ;
+\item il existe un isomorphisme de $Ω$-algèbres $A_Ω ≃ 𝐌_r(Ω)$ ;
+\item il existe une extension $K\bo k$ et un $K$-isomorphisme $A_K ≃ 𝐌_r(K)$.
+\end{enumerate}
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Les faits non triviaux résultent de \refext{Formes}{formes définies sur kalg}.
+\end{démo}
+
+\subsubsection{}Pour tout entier $n≥1$ et toute extension
+$K\bo k$, notons $\Azu(n,k)$ (resp. $\Azu(n,K\bo k)$)
+l'ensemble des classes de $k$-\emph{isomorphisme} d'algèbres d'Azumaya de degré $n$
+(resp. de degré $n$ et trivialisées par $K\bo k$).
+En vue d'obtenir une description cohomologique des
+\emph{ensembles} $\Azu(n,K\bo k)$, commençons par étudier
+$\Aut_{K\traitdunion\Alg}(𝐌_n(K))$.
+
+\begin{theoreme2}[Skolem-Nœther]\label{Skolem-Noether sur corps}
+Soient $K$ un corps et $n≥1$ un entier.
+Le morphisme $\GL_n(K)→\Aut_{K\traitdunion\Alg}(𝐌_n(K))$,
+$g↦\mathrm{Int}(g)=(m↦gmg^{-1})$
+induit un isomorphisme
+\[
+\PGL_n(K)=\GL_n(K)/K^× ⥲\Aut_{K\traitdunion\Alg}(𝐌_n(K)).
+\]
+\end{theoreme2}
+
+\begin{démo}
+Le centre de $𝐌_n(K)$ étant constitué des matrices scalaires
+l'injectivité est évidente. Il suffit donc de démontrer
+la surjectivité. Notons $e=(e₁,…,e_n)$ la base canonique de $K^n$
+et, pour chaque paire d'indices $1≤i,j≤n$,
+$E_{i,j}$ l'endomorphisme envoyant $e_k$ sur $e_i$ si $j=k$
+ou sur $0$ sinon. On a $E_{i,j}E_{k,l}=δ_j^k E_{i,l}$,
+où $δ$ est le symbole de Kronecker,
+et $∑_i E_{i,i}=\Id_{K^n}$. Fixons un automorphisme $φ ∈ \Aut(\End_K(K^n))$
+et considérons pour chaque $i∈\{1,…,n\}$ les sous-$K$-espaces vectoriels $L_i⊆K^n$ images
+des idempotents orthogonaux $φ(E_{i,i})$. L'application
+$v↦\big(φ(E_{1,1})v,…,φ(E_{n,n})v\big)$ est un isomorphisme
+de $K^n$ sur $L₁ ⊕ \cdots ⊕ L_n$,
+d'inverse $(l₁,…,l_n)↦∑_i φ(E_{i,i})l_i$. D'autre part,
+pour toute paire $(i,j)$, l'endomorphisme
+$φ(E_{j,i})$ de $K^n$ induit une application linéaire $ν_{j,i}:L_i → L_j$.
+Ces applications vérifient les relations
+$ν_{k,j}ν_{j,i}=ν_{k,i}$ et $ν_{i,i}=\Id_{L_i}$.
+Il en résulte que les $ν_{j,i}$
+sont des isomorphismes et que — écrivant $L_φ$ pour $L_1$ —
+l'application $K^n→L_φ^n$, $v ↦ \big(φ(E_{1,1})v,…,φ(E_{1,n})v\big)$,
+est un isomorphisme de $K$-espaces vectoriels,
+d'inverse $ι_φ:(x₁,…,x_n)∈L_φ^n↦∑_i φ(E_{i,1})x_i∈K^n$.
+Pour tout $K$-espace vectoriel $V$,
+et tout endomorphisme $f∈\End_K(K^n)$, notons
+$f_{V,n}$ l'endomorphisme de $V^n$
+\[
+(v₁,…,v_n)↦(a_{11}v₁+a_{12}v₂+\cdots+a_{1n}v_n,…,a_{n1}v₁+a_{n2}v₂+\cdots+a_{nn}v_n)
+\]
+où $(a_{ij})$ est la matrice de $f$ dans la base canonique.
+(C'est l'endomorphisme déduit de l'endomorphisme $\Id_V ⊗_K f$ de
+$V⊗_K K^n$ par l'isomorphisme canonique $V⊗_K K^n ⥲ V^n$,
+$v⊗(λ₁,…,λ_n)↦(λ₁v,…,λ_n v)$.)
+Avec cette notation on a, par construction,
+\[
+φ(f)=ι_φ ∘ f_{L_φ,n}∘ ι_φ^{-1}
+\]
+si $f=E_{i,j}$.
+Il en résulte, par linéarité, que
+cette égalité est valable pour tout $f∈\End_K(K^n)$.
+La conclusion résulte du fait que $L_φ$ est (non canoniquement) isomorphe à $K$
+si bien que $f_{L_φ,n}$ est conjugé à $f$.
+[Écrire un diagramme commutatif à deux carrés ?\XXX]
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}\label{Brn=H1PGLn}
+Soient $K\bo k$ une extension \emph{finie galoisienne} et $n≥1$ un
+entier.
+L'application \refext{Formes}{formes vers H1} induit une bijection
+\[\Azu(n,K\bo k)⥲H¹(K\bo k,\PGL_n(K)).\]
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+Par définition, $\Azu(n,K\bo
+k)=\mathrm{Formes}(\text{algèbre }𝐌_n,K\bo k)$.
+La donnée d'une structure de $k$-algèbre sur un $k$-espace
+vectoriel
+$A$ de rang $n²$ correspond à la donnée d'une application
+$k$-bilinéaire $A×A→A$, dite
+« multiplication » (supposée associative).
+Une telle application correspondant une application
+$k$-linéaire $A⊗_k A→A$,
+c'est-à-dire à un tenseur de type $(1,2)$.
+On peut donc appliquer le théorème général \refext{formes}{formes des
+tenseurs=CG} et le corollaire précédent pour conclure.
+\end{démo}
+
+\begin{remarque2}\label{rang projecteur}
+Si $φ$ est un automorphisme de $𝐌_n(K)$, il résulte du théorème précédent
+que chaque $p_i=φ(E_{i,i})$ est un projecteur de rang un. Cela peut se voir
+directement de la façon suivante. Pour tout projecteur $p$ dans $𝐌_n(K)$,
+posons \[P_p(X)=\det\big(1_{𝐌_n(K)}+(X-1)p\big) ∈ K[X].\] Il est immédiat
+que $P_p(X)=X^r$ où $r$ est le rang de $p$. D'autre part, si $p$ et $p'$ sont
+deux projecteurs orthogonaux (c'est-à-dire $p²={p'}²=1_{𝐌_n(K)}$ et $p
+p'=p'p=0_{𝐌_n(K)}$), on a $P_p P_{p'}=P_{p+p'}$ : cela résulte de la multiplicativité du déterminant.
+D'autre part, les matrices $E_{i,i}$ étant conjuguées dans $𝐌_n(K)$,
+il en est de même des $p_i$. Il en résulte que les $P_{p_i}$ sont tous égaux
+à un même polynôme $P$. Les $p_i$ étant orthogonaux deux-à-deux
+et de somme $1_{𝐌_n(K)}$, on a $P^n=P_{p₁+p₂+\cdots+p_{n}}=P_{1_{𝐌_n(K)}}=X^n$.
+Comme d'autre part $P(1)=1$, on a nécessairement $P(X)=X$. Les projecteurs $φ(E_{i,i})$
+sont de rang un. Insistons sur le fait que l'égalité $\Tr(p)=1_K$ ne suffit pas
+à garantir que le rang de $p$ soit un ; considérer par exemple l'identité
+de $𝐌_3(𝐅₂)$.
+\end{remarque2}
+
+Comme nous le verrons dans l'addendum (§\ref{Addendum Skolem-Noether}),
+une extension du théorème de Skolem-Nœther au cas d'une $k$-algèbre
+$K$ n'étant pas nécessairement un corps, jointe au théorème général
+\refext{Formes}{critère forme étale} permettent de démontrer le théorème
+suivant, dont on trouvera une autre démonstration, plus élémentaire,
+en \ref{seconde démonstration Azumaya étale}.
+
+\begin{théorème2}\label{trivialisation Azumaya étale}
+Toute algèbre d'Azumaya sur un corps $k$ est trivialisée par une extension
+étale.
+\end{théorème2}
+
+
+\begin{remarque2}
+
+Nous verrons en \refext{descente}{dérivations Mn sont intérieures} que
+l'énoncé \ref{Skolem-Noether sur corps} admet un analogue
+différentiel : toute $k$-dérivation de $𝐌_n(k)$
+est intérieure. En d'autres termes, toute application $k$-linéaire
+$δ:𝐌_n(k)→𝐌_n(k)$ satisfaisant les relations $δ(xy)=x δ(y)+y δ(x)$
+est de la forme $m ↦ xm-mx=[x,m]$ pour une matrice $x ∈ 𝐌_n(k)$
+(bien définie à translation par une homothétie près).
+Ceci nous permettra de donner au chapitre \refext{descente}{}
+une description « cohomologique » des $K\bo k$-formes de $𝐌_n$
+quand on ne suppose pas l'extension $K\bo k$ séparable
+mais de la forme $K=k(\sqrt[p]{a₁},…,\sqrt[p]{a_n})$
+où $p>0$ est la caractéristique
+de $k$ et les $a_i$ appartiennent à $k$. (Une telle
+extension est dite « radicielle de hauteur $1$ », \refext{RT}{}.)
+Observons d'ores et déjà que s'il est tentant
+« déduire » du corollaire précédent et de
+l'égalité $k\sep ∩ K=k$ (dans une clôture algébrique commune)
+qu'une $k$-algèbre devenant isomorphe à $𝐌_n$
+après extension (radicielle) des scalaires de $k$ à $K$ est $k$-isomorphe à $𝐌_n$, il n'en est rien.
+On vérifie en effet sans peine que si $k$ est un corps de caractéristique $2$,
+l'algèbre (de quaternions, cf. \ref{})
+$k⊕ ki ⊕ kj ⊕ kij$ où $i²-i=a ∈ k$, $j²=b ∈ k$ et
+$jij^{-1}=i+1$ est isomorphe à $M₂$ dès que $b$ est un carré
+dans $k$. Pourtant si par exemple $k=𝐅₂(t)$, $a=t^{-1}$ et $b=t$
+elle n'est pas $k$-isomorphe à $𝐌₂(k)$. \XXX
+\end{remarque2}
+
+\subsection{$2$-cocycle associé à une algèbre d'Azumaya}\label{Brauer et H2}
+Afin de décrire par des méthodes cohomologiques
+et « collectivement », c'est-à-dire indépendamment du degré,
+les algèbres d'Azumaya sur $k$ trivialisées par une
+extension
+finie galoisienne $K\bo k$ nous allons associer à toute
+classe de $1$-cocycle dans $H¹(K\bo k,\PGL_n(K))$
+une classe de « $2$-cocycle » à valeurs dans le groupe
+\emph{abélien} $K^×$.
+
+\subsubsection{}Considérons la suite exacte de groupes
+\[
+1→K^×→\GL_n(K)→\PGL_n(K)→1,
+\]
+que nous réécrivons $1→A→E\dessusdessous{p}{→}G→1$ pour
+alléger les notations, et un $1$-cocycle $c$ de $Π=\Gal(K\bo
+k)$ à valeurs dans $G$.
+Soit un $C$ un relèvement de $c$ c'est-à-dire une
+application $Π→E$
+satisfaisant $p∘C=c$. Pour toute paire $(σ,τ)∈Π²$, posons
+\begin{equation}\label{construction 2-cobord}
+ΔC(σ,τ)=C(σ)⋅{^ σ C(τ)}⋅C(στ)^{-1}∈E.
+\end{equation}
+Il résulte de l'égalité $c(στ)=c(σ)⋅{^ σ c(τ)}$
+(cf. \refext{formes}{généralités 1-cocycles})
+et du fait que la suite exacte ci-dessus est
+$Π$-équivariante (de sorte que
+$p({^σ e})={^σ p(e)}$ pour tout $e∈E$) que la fonction
+$ΔC:Π²→E$ est à valeur
+dans $A=\Ker(p)$. On vérifie par de simples calculs,
+effectués en détail en \refext{Coho}{}\XXX, les faits
+suivants :
+\begin{enumerate}
+\item La fonction $f=ΔC$ satisfait les relations
+(en notation additive)
+\begin{equation}\label{condition 2-cocycle}
+{^σ f(τ,υ)}-f(στ,υ)+f(σ,τυ)-f(σ,τ)=0
+\end{equation}
+pour tout triplet $(σ,τ,υ)$ d'éléments de $Π$ : cela résulte
+du fait que $E$ est une extension \emph{centrale} de $G$ par
+$A$
+(càd $A$ contenu dans le centre du groupe $E$).
+\item Si $c'$ est un $1$-cocycle cohomologue à $c$,
+c'est-à-dire de la forme $c'(σ)=g^{-1}⋅c(σ)⋅{^σ g}$ pour un
+$g$ dans $G$,
+et $e$ est un relèvement de $g$ dans $E$, on a l'égalité
+$ΔC=ΔC'$ où $C'(σ)=e^{-1}⋅C(σ)⋅{^σ e}$.
+\item Soient $C$ et $C'$ deux relèvements de $c$ à $E$.
+\begin{itemize}
+\item Il existe pour chaque $σ∈Π$ un unique
+$a_σ∈A$ tel que $C'(σ)=a_σ C(σ)$.
+\item Il résulte du fait que l'extension est centrale que
+l'on a,
+pour toute paire $(σ,τ)$ d'éléments de $Π$ (en notation
+multiplicative)
+\begin{equation}\label{2-cocycles cohomologues}
+f'(σ,τ)=a_σ⋅{^σ a_τ}⋅a_{στ}^{-1}⋅f(σ,τ),
+\end{equation}
+où $f'=ΔC'$ et $f= ΔC$.\end{itemize}
+\end{enumerate}
+
+\begin{définition2}\label{définition 2-cocycle}
+Soit $A$ un $Π$-module, c'est-à-dire un groupe abélien muni
+d'une action de $Π$ respectant l'addition.
+Une fonction $f:Π²→A$ satisfaisant les relations
+\ref{condition 2-cocycle}
+est appelée un \emph{$2$-cocycle} à valeurs dans $A$. (Les
+relations ci-dessus
+sont appelées « relations de $2$-cocycle ».) On note
+$Z²(Π,A)$ leur ensemble,
+naturellement muni d'une structure de groupe abélien.
+Deux $2$-cocycles $f$ et $f'$ sont dit \emph{cohomologues}
+s'il existe
+une fonction $a:Π→A$ telle que les relations \ref{2-cocycles
+cohomologues}
+soient satisfaites. C'est une relation d'équivalence
+compatible
+à l'addition des $2$-cocycles, et l'on note $H²(Π,A)$
+le groupe quotient de $Z²(Π,A)$ correspondant.
+\end{définition2}
+
+\subsubsection{}\label{notation H(K/k)}Conformément à l'usage et afin d'alléger les notations,
+nous écrirons souvent $\Gm$ pour désigner le groupe
+multiplicatif $\GL₁$
+ainsi que $H¹(K\bo k,\PGL_n)$ (resp. $H¹(K\bo
+k,\GL_n)$, $H²(K\bo k,\Gm)$) pour désigner l'ensemble
+$H¹(K\bo k,\PGL_n(K))$ (resp.
+$H¹(K\bo k,\GL_n(K))$, le groupe $H²(K\bo k,K^×)$).
+
+\subsubsection{}\label{cobord Brauer}D'après ce qui précède, si $x∈H¹(K\bo k,\PGL_n)$ est la
+classe d'un $1$-cocycle
+$c$, et $C$ est un relèvement de $c$ à $\GL_n(K)$, la classe
+du $2$-cocycle $ΔC$
+dans $H²(K\bo k,\Gm)$ ne dépend ni du choix de $c$, ni du
+choix de $C$.
+En d'autres termes, on a construit une application
+dite « cobord »
+\[
+H¹(K\bo k,\PGL_n)→H²(K\bo k,\Gm),
+\]
+dont on déduit, par \ref{Brn=H1PGLn}, une application
+$δ_{n,K\bo k}:\Azu(n,K\bo k)→H²(K\bo k,\Gm)$.
+C'est une application d'ensembles pointés : $δ$ envoie la
+classe d'isomorphisme de $𝐌_n(k)$ sur la classe d'équivalence du
+$2$-cocycle trivial.
+
+En faisant varier $n$, on obtient une application
+\[
+δ^{\Azu}_{K\bo k}:\Azu(K\bo k)=∐_n \Azu(n,K\bo k)→H²(K\bo
+k,\Gm).
+\]
+Le terme de droite est un groupe (la somme et la différence
+de deux $2$-cocycles à
+valeurs dans un groupe abélien sont des $2$-cocycles). Quant
+au terme
+de gauche, il peut-être muni d'une structure de monoïde
+commutatif en
+posant $[A_n]⋅[B_m]=[A_n⊗_k B_m]∈\Azu(nm,K\bo k)$ où $A_n$
+et $B_m$ sont des
+algèbres d'Azumaya de rang respectivement $n$ et $m$, de
+classes
+d'isomorphisme notées entre crochets.
+Le fait que $A_n⊗B_m$ soit une algèbre d'Azumaya
+résulte des isomorphismes d'algèbres :
+\begin{enumerate}
+\item $𝐌_n(K)⊗_K 𝐌_m(K)⥲𝐌_{nm}(K)$ donné par le
+produit de Kronecker (cf. \refext{Alg}{pdt tens indépendant
+des bases}, démonstration)
+qui est une variante matricielle de l'isomorphisme
+$\End_K(V)⊗_K \End_K(W)⥲\End_K(V⊗W)$,
+caractérisé par $f⊗g↦\big(v⊗w↦f(v)⊗g(w)\big)$ où $V$ et $W$
+sont deux $K$-espaces vectoriels de dimensions finies ;
+\item $(A⊗_k B)⊗_k K⥲A_K ⊗_K B_K$, caractérisé par
+$(a⊗b)⊗λ↦(a⊗λ)⊗(b⊗1)=(a⊗1)⊗(b⊗λ)$ (cf. \refext{Tens}{}).
+\end{enumerate}
+
+\begin{proposition2}\label{multiplicativité cobord Azu}
+L'application $δ_{K\bo k}$ est un morphisme de monoïdes :
+si $A$ et $B$ sont deux algèbres d'Azumaya de rangs
+$n$ et $m$ respectivement, on a l'égalité
+dans $H²(K\bo k,\Gm)$
+\[δ_{nm,K\bo k}([A⊗B])=δ_{n,K\bo k}([A])+δ_{m,K\bo k}([B]).\]
+\end{proposition2}
+
+La démonstration est formelle — il suffit simplement
+de mettre bout à bout les définitions — mais fastidieuse.
+Nous encourageons le lecteur à en omettre la lecture.
+
+\begin{démo}
+{\renewcommand{\Int}{\mathrm{Int}}
+Commençons par rappeler que pour toute $k$-algèbre $C$,
+le groupe $Π$ agit naturellement sur $C_K=C⊗_k K$ par son action sur
+le second facteur. Nous noterons $σ↦σ_C$, $Π→\Aut_K(C_K)$
+cette action. Fixons des isomorphismes $φ:𝐌_n(K)⥲A_K$ et $ψ:𝐌_m(K)⥲B_K$.
+Pour tout $σ∈Π$, notons $a_A(σ)$ (resp. $a_B(σ)$) l'automorphisme
+$φ^{-1}∘σ_A∘φ∘σ_{𝐌_n}^{-1}$ (resp. $ψ^{-1}∘σ_B∘ψ∘σ_{𝐌_m}^{-1}$)
+de $𝐌_n(K)$ (resp. $𝐌_m(K)$). D'après \ref{Skolem-Noether},
+il existe des matrices inversibles $C_A(σ)∈\GL_n(K)$ et $C_B(σ)∈\GL_m(K)$
+telles que $a_A(σ)=\Int(C_A(σ))$ et $a_B(σ)=\Int(C_B(σ))$, où
+$\Int(g)$ désigne la conjugaison $m↦gmg^{-1}$.
+Par définition (\refext{formes}{definition cocycle forme}),
+$C_A$ (resp. $C_B$) est un relèvement à $\GL_n(K)$ (resp. $\GL_m(K)$)
+d'un $1$-cocycle à valeurs dans $\PGL_n(K)$ (resp. $\PGL_m(K)$)
+de classe $[A]$ (resp. $[B]$) dans $H¹(Π,\GL_n)$ (resp. $H¹(Π,\GL_m)$).
+Posons $C=A⊗_k B$ et notons $ξ:𝐌_{nm}(K)→C_K$ l'inverse de l'isomorphisme
+composé
+\[C_K=(A⊗_k B)_K⥲A_K⊗_K B_K⥲𝐌_n(K)⊗_K 𝐌_m(K) ⥲ 𝐌_{nm}(K),\]
+déduit de (i) et (ii) ci-dessus.
+Le premier isomorphisme est $Π$-équivariant si l'on fait
+agir chaque $σ∈Π$ diagonalement sur $A_K⊗_K B_K$,
+c'est-à-dire via $σ_A⊗σ_B$. En d'autres termes, $σ_C$ « correspond » à $σ_A⊗σ_B$.
+Il en résulte que pour chaque $σ∈Π$, l'automorphisme
+$a_C(σ)=ξ^{-1}∘σ_C∘ξ∘σ_{𝐌_{nm}}^{-1}$ est $\Int(C_C(σ))$,
+où $C_C(σ)$ est le produit de Kronecker $C_A(σ)⊗C_B(σ)$ des matrices
+inversibles $C_A(σ)$ et $C_B(σ)$.
+Il résulte de la compatibilité $(g⊗g')(h⊗h')=(gh)⊗(g'h')$ entre produit
+de Kronecker et produit matriciel que l'on a
+\[
+ΔC_C(σ,τ)=ΔC_A(σ,τ)⊗ΔC_B(σ,τ),
+\]
+où $ΔC$ est défini comme en \ref{construction 2-cobord}.
+Les matrices $ΔC_A(σ,τ)$ et $ΔC_B(σ,τ)$ sont ici des matrices scalaires ;
+la matrice $ΔC_C(σ,τ)$ est donc la matrice scalaire dont
+le facteur d'homothétie est le produit des facteurs d'homothétie.
+(En effet, l'isomorphisme (i) ci-dessus
+envoie la matrice $λ\Id_n⊗μ\Id_m$ sur la matrice $λμ\Id_{nm}$.)
+Puisque, par définition, $ΔC_C$ représente le $2$-cocycle associé à $[C]$, on a bien
+l'égalité $[C]=[A]+[B]$, en notation additive.}
+\end{démo}
+
+Cette proposition est un ingrédient essentiel
+qui nous permettra ci-après d'obtenir
+une description cohomologique du \emph{groupe de Brauer},
+que nous allons maintenant définir.
+
+\section{Groupe de Brauer}\label{définition équivalence algèbres
+Azumaya}
+\subsection{Définition}
+\subsubsection{}Soient $k$ un corps et $K\bo k$ une extension.
+Notons $\Br(k)$ (resp. $\Br(K\bo k)$)
+le quotient du monoïde $\Azu(k)$ des classes d'isomorphismes
+de $k$-algèbres d'Azumaya
+(resp. du monoïde $\Azu(K\bo k)$ des classes d'isomorphismes
+de $k$-algèbres
+d'Azumaya trivialisées par $K\bo k$) par la relation
+d'équivalence :
+$A≈B$ s'il existe des entiers $m,n$ et des isomorphismes
+$A⊗_k 𝐌_m(k)≃B⊗_k 𝐌_n(k)$.
+Il résulte de la proposition ci-dessous que les monoïdes
+commutatifs $\Br(k)$ et $\Br(K\bo k)$ sont des
+\emph{groupes}.
+D'autre part, il est évident que $\Br(K\bo k)$
+est le noyau du morphisme d'extension des scalaires
+$\Br(k)→\Br(K)$, $A↦A_K$.
+
+\begin{définition2}\label{définition groupe de Brauer}
+Le groupe $\Br(k)$ est appelé \emph{groupe de
+Brauer}\index{groupe de Brauer}
+de $k$.
+\end{définition2}
+
+\subsection{Structure de groupe et description cohomologique}
+
+\begin{proposition2}
+Soit $A$ une algèbre d'Azumaya sur $k$.
+L'application $k$-bilinéaire
+$A×A→\End_{k\traitdunion\ev}(A)$,
+$(a,b)↦\big(x↦axb\big)$ induit un isomorphisme de
+\emph{$k$-algèbres}
+\[
+A⊗_k A\op⥲\End_{k\traitdunion\ev}(A),
+\]
+où $A⊗_k A\op$ est la $k$-algèbre dont l'espace vectoriel
+sous-jacent
+est $A⊗_k A$ et dont la structure d'algèbre est définie par
+les relations $(a⊗b)(a'⊗b')=(aa')⊗(b'b)$ pour tout
+quadruplet $a,b,a',b'$
+d'éléments de $A$.
+\end{proposition2}
+
+Remarquons que le morphisme $A⊗_k
+A\op→\End_{k\traitdunion\ev}(A)$
+correspond à la structure naturelle de $(A,A)$-bimodule
+sur $A$ (cf. \refext{Tens}{}) et que
+$\End_{k\traitdunion\ev}(A)≃𝐌_n(k)$, où $n=\dim_k(A)$,
+s'envoie
+sur l'unité de $\Br(k)$.
+
+\begin{démo}
+Par construction, l'application $k$-linéaire $f^A:A⊗_k
+A→\End_{k\traitdunion\ev}(A)$
+déduite de $A×A→\End_{k\traitdunion\ev}(A)$ induit un
+morphisme d'algèbres
+$A⊗_k A\op→\End_{k\traitdunion\ev}(A)$, où la structure
+d'anneau sur $\End_{k\traitdunion\ev}(A)$
+est bien entendu donnée par la composition des
+endomorphismes.
+Soit $d$ la dimension de $A$ sur $k$. Puisque
+$\dim_k(A⊗_k A)=d²=\dim_k \End_{k\traitdunion\ev}(A)$,
+il suffit de démontrer que l'application
+linéaire $f^A$ est injective. Soit $K\bo k$ une extension
+trivialisant
+$A$. L'application linéaire ${f^A}_K$ obtenue par extension
+des scalaires s'identifie
+à l'application $f^{A_K}:A_K⊗_K
+A_K→\End_{K\traitdunion\ev}(A_K)$ et $f^A$ est bijective
+si et seulement si ${f^A}_K$ l'est. On se ramène donc
+à démontrer la proposition dans le cas particulier où
+$A=𝐌_n(k)$.
+Le $k$-espace vectoriel $𝐌_n(k)⊗𝐌_n(k)$ est libre de base
+les
+$E_{i,j}⊗E_{s,t}$ ($1≤i,j,s,t≤n$). Considérons des
+coefficients $λ_{i,j}^{s,t}$
+tels que
+$f^{𝐌_n(k)}(∑_{(i,j,s,t)}λ_{i,j}^{s,t}E_{i,j}⊗E_{s,t})=0$
+c'est-à-dire, pour toute matrice $m∈𝐌_n(k)$ :
+\[
+∑_{(i,j,s,t)} λ_{i,j}^{s,t}E_{i,j}mE_{s,t}=0.
+\]
+Si $m=E_{p,q}$, cette relation devient
+$∑_{(i,t)}λ_{i,p}^{q,t}E_{i,t}=0$,
+ou encore $λ_{i,p}^{q,t}=0$ pour toute paire d'indices
+$(i,t)$ car les matrices $E_{i,t}$ sont libres
+sur $k$. Le noyau de $f^{𝐌_n(k)}$ est donc trivial ;
+$f^{𝐌_n(k)}$ est un isomorphisme.
+\end{démo}
+
+\subsubsection{}\label{notations Azu-Brauer}Il résulte de la proposition \ref{multiplicativité cobord
+Azu}
+que l'application $δ^{\Azu}_{K\bo k}$ induit par passage au
+quotient
+un morphisme de groupes $δ^{\Br}_{K\bo k}:\Br(K\bo
+k)→H²(K\bo k,\Gm)$.
+
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row
+sep=5ex]{
+& A \text{ mod. isom.} & A \text{ mod. équiv.}\\
+∐_n H¹(K\bo k,\PGL_n) & \Azu(K\bo k)=∐_n \Azu(n,K\bo k) &
+\Br(K\bo k)\\
+&H²(K\bo k,\Gm)& \\};
+\draw[|->] (diag-1-2) -- (diag-1-3);
+\draw[->] (diag-2-1) -- (diag-3-2);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node{$δ^{\Azu}_{K\bo k}$}
+(diag-3-2);
+\draw[->] (diag-2-3) -- node{$δ^{\Br}_{K\bo k}$} (diag-3-2);
+\draw[<-] (diag-2-1) -- (diag-2-2);
+\draw[<<-] (diag-2-3) -- (diag-2-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+\begin{théorème2}\label{description cohomologique Brauer extension finie}
+Le morphisme $δ^{\Br}_{K\bo k}$ est un \emph{isomorphisme}.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+Injectivité. Soit $b∈\Br(K\bo k)$ dans le noyau de
+$δ^{\Br}_{K\bo k}$.
+Considérons une algèbre d'Azumaya $A$ donc la classe
+d'équivalence
+(au sens de \ref{définition équivalence algèbres Azumaya})
+est $b$ et
+notons $n$ son rang. Par définition de $δ^{\Br}$, on
+a $δ^{\Br}_{K\bo k}(b)=δ_{n,K\bo k}([A])$, qui est donc nul,
+où
+$[A]∈\Azu(n,K\bo k)$ est la classe d'\emph{isomorphisme} de
+$A$.
+Par construction de $δ_{n,K\bo k}$, la nullité de la classe
+de cohomologie
+$δ_{n,K\bo k}([A])$ signifie que si $c:Π→\PGL_n(K)$ un
+$1$-cocycle
+représentant l'image de $[A]$ dans $H¹(K\bo k,\PGL_n)$, et
+$C$ un
+relèvement quelconque dans $\GL_n$, il existe une fonction
+$λ:Π→K^×$
+telle que $ΔC(σ,τ)=λ_σ⋅{^σ λ_τ}⋅λ_{στ}^{-1}$
+(\ref{2-cocycles cohomologues}),
+où $ΔC(σ,τ)=C(σ)⋅{^ σ C(τ)}⋅C(στ)^{-1}∈K^×$
+(\ref{construction
+2-cobord}). Ces deux égalités, valables pour toute paire
+$(σ,τ)$,
+ont pour conséquence que $C':σ↦λ_σ^{-1}C(σ)$, qui est un
+autre relèvement
+de $c$, est un $1$-cocycle à valeurs dans $\GL_n(K)$.
+D'après
+\ref{Hilbert 90}, $C'$ est nécessairement cohomologue au
+cocycle
+trivial. Il en est donc de même de son image $c$ par
+composition
+avec l'application $\GL_n(K)↠\PGL_n(K)$. La classe de $c$
+dans
+$H¹(K\bo k,\PGL_n(K))$ étant triviale, $A$ est $k$-isomorphe
+à $𝐌_n(k)$ (cf. \ref{Brn=H1PGLn}). La classe d'équivalence
+$b$ de $A$ dans $\Br(K\bo k)$ est donc triviale ; puisque
+$δ^{\Br}_{K\bo k}$ est un morphisme de groupes, cela suffit
+pour
+démontrer l'injectivité.
+
+Surjectivité. Soit $n=\# Π=[K:k]$. On va montrer, plus
+précisément,
+que l'application $δ_{n,K\bo k}^{\Azu}:\Azu(n,K\bo
+k)→H²(K\bo k,\Gm)$
+est surjective ou encore, de façon équivalente, que
+l'application
+$δ_{n,K\bo k}:H¹(K\bo k,\PGL_n)→H²(K\bo k,\Gm)$ l'est.
+Par construction (\ref{construction 2-cobord}), cela revient
+à vérifier que tout $2$-cocycle $f:Π→K^×$
+peut s'écrire sous la forme $f(σ,τ)=C(σ)⋅{^σ
+C(τ)}⋅C(στ)^{-1}$
+où $C$ est à valeurs dans $\GL_n(K)$.
+Fixons $f$ ainsi qu'un $K$-espace vectoriel $V$ ayant une
+base $e$ indicée par les éléments de $Π$. Pour tout $σ∈Π$,
+considérons l'automorphisme $C(σ)∈\GL(V)$
+envoyant chaque $e_τ$ sur $f(σ,τ)e_{στ}$.
+Par construction, on a
+\[\big(C(σ)⋅{^σ C(τ)}\big)(e_υ)=C(σ)\big(σ(f(τ,υ))e_{τυ}\big)=\big(f(σ,τυ)⋅σ(f(τ,υ))\big)e_{στυ}. \]
+D'autre part, calculons :
+\[\big(f(σ,τ)C(στ)\big)(e_υ)=\big(f(σ,τ)f(στ,υ)\big)e_{στυ}.\]
+L'application $f$ étant un $2$-cocycle, on a $f(σ,τ)f(στ,υ)=f(σ,τυ)⋅σ(f(τ,υ))$
+(forme multiplicative de \ref{condition 2-cocycle})
+de sorte que $C(σ)⋅{^σ C(τ)}=f(σ,τ)C(στ)$. CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{remarque2}\label{premier bout suite exacte longue}
+Le lecteur remarquera que la démonstration de l'injectivité
+est formelle : avec les notations de \ref{Brauer et H2}, on
+a vérifié
+que la suite $H¹(Π,E)→H¹(Π,G)\dessusdessous{δ}{→}H²(Π,A)$
+est exacte
+au sens où $c∈H¹(Π,G)$ satisfait $δ(c)=0∈H²(Π,A)$ si et
+seulement
+si $c$ est dans l'image de $H¹(Π,E)→H¹(Π,G)$. (Cf.
+\refext{Coho}{}.)
+\end{remarque2}
+
+\begin{remarques2}
+Le théorème précédent peut-être vu comme l'analogue
+abstrait de la description autrefois classique du groupe
+de Brauer $\Br(K\bo k)$, où $K\bo k$ est finie galoisienne
+de groupe $Π$, en termes de « produits croisés ».
+Si $f$ est un $2$-cocycle $Π → K^×$, on munit l'espace vectoriel
+$⨁_{σ∈Π} Ke_σ$ de la structure de $k$-algèbre suivante :
+$e_σ⋅e_τ=f(σ,τ)e_{στ}$ et $e_σ⋅λ=σ(λ)⋅e_σ$, où $σ,τ∈Π$ et
+$λ∈K$. On vérifie sans peine qu'une telle algèbre est
+associative — cela résulte des
+équations \ref{condition 2-cocycle}
+parfois dites « de Nœther » —, \emph{simple}
+(\ref{définition artinien simple primitif}), de centre $k$ et de rang $[K:k]²$.
+Prendre garde au fait que cette description est seulement valable
+dans le groupe de Brauer, c'est-à-dire après passage au quotient
+par la relation d'équivalence (§\ref{définition équivalence algèbres Azumaya}) :
+il existe des algèbres d'Azumaya qui ne sont pas \emph{isomorphes}
+à des produits croisés. Voir \cite{central@Amitsur} pour le premier
+exemple construit ou \cite{BHN@Roquette} (spécialement §7.2) pour une mise en perspective
+historique de ces questions. Enfin, on pourra observer que la construction
+d'une algèbre d'Azumaya produit croisé associé à un $2$-cocycle est très
+semblable à la description générale \refext{Formes}{formes algèbres et cocycles}
+(cf. \cite[29.11]{Involutions@KMRT} pour des détails).
+\end{remarques2}
+
+\begin{exercice2}
+Vérifier la simplicité du produit croisé.
+\end{exercice2}
+
+\section{Algèbres de quaternions}
+
+\subsection{Définition et premières propriétés}
+
+{
+\def\i{\mathsf{i}}
+\def\j{\mathsf{j}}
+\def\k{\mathsf{k}}
+
+\subsubsection{}\label{définition quaternions}Soit $K$ un corps de
+caractéristique différente de deux. Pour toute paire $(a,b)∈K^× × K^×$, considérons
+la $K$-algèbre
+\[
+\quater{a,b}{K}=K⊕K\i⊕K\j⊕K\k
+\]
+caractérisée par les relations
+\[
+\i²=a,\j²=b,\k²=-ab
+\]
+et
+\[
+\i\j=\k=-\j\i.
+\]
+Une telle algèbre est une \emph{algèbre de quaternions}\index{algèbre de
+quaternions} sur $K$. Cette définition généralise celle
+du corps non commutatif $𝐇:=\quater{-1,-1}{𝐑}$ des quaternions de Hamilton.
+Remarquons également que la construction précédente a un sens
+dès que $K$ est un anneau commutatif.
+
+\begin{remarque2}
+La définition précédente n'est la « bonne » que si $K$ est supposé
+de caractéristique différente de deux. Donner la définition dans ce cas
+et modifier les énoncés ci-dessous. \XXX
+\end{remarque2}
+
+Par construction, le sous-anneau $K[\i]$
+d'une $K$-algèbre de quaternions $\quater{a,b}{K}$
+est isomorphe au quotient $K[X]/(X²-a)$. Si $a ∉K²$, cette $K$-algèbre
+de dimension deux est un corps ; dans le cas contraire, elle est isomorphe à $K²$ et
+$\quater{a,b}{K}$ n'est donc pas intègre. De même pour $K[\j]$ et $b$.
+Plus précisément :
+
+\begin{lemme2}\label{critère trivialité algèbre quaternions}
+Si l'un des éléments $a,b$ est un carré dans $K$,
+la $K$-algèbre $\quater{a,b}{K}$ est isomorphe à $𝐌₂(K)$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Supposons $a=α²$ où $α∈K^×$.
+Considérons l'application $K$-linéaire
+envoyant $\i$ sur $\deuxdeux{α}{0}{0}{-α}$,
+$\j$ sur $\deuxdeux{0}{b}{1}{0}$ et $\k$ sur $\deuxdeux{0}{-bα}{α}{0}$.
+C'est un isomorphisme de $K$-espaces vectoriels ; on vérifie par le calcul
+que c'est un morphisme de $K$-algèbres. Le cas $b∈(K^×)²$ est semblable.
+\end{démo}
+
+\subsubsection{}\label{1-cocycle quaternionique}Soit $\quater{a,b}{K}$ une algèbre de quaternions sur $K$.
+Pour toute extension $K'\bo K$, la $K'$-algèbre $\quater{a,b}{K}⊗_K K'$ est naturellement isomorphe
+à $\quater{a,b}{K'}$ : envoyer $μx⊗λ$, où $μ∈K$ et $x∈\{\i,\j,\k\}$ sur $(μλ)x∈K'x$.
+Il résulte donc du lemme précédent qu'une algèbre de quaternions est une algèbre d'Azumaya de
+rang deux : quitte à extraire une racine carrée, elle devient triviale.
+Supposons pour fixer les idées que $a$ ne soit pas un carré et
+que $K$ soit de caractéristique différente de deux. Le corps
+$K_a=K(\sqrt{a})$ est une extension étale quadratique de $K$
+et l'algèbre $\quater{a,b}{K}$ définit donc un élément de
+$H¹(K_a \bo K,\PGL₂(K_a))$ que nous allons maintenant expliciter.
+Soit $φ: 𝐌_2(K_a) ⥲ \quater{a,b}{K}⊗_K K_a$ l'inverse de l'isomorphisme
+défini ci-dessus (\ref{critère trivialité algèbre quaternions}, démonstration).
+La théorie générale des formes nous permet d'associer à $φ$ un $1$-cocycle
+— dont la classe caractérise $\quater{a,b}{K}$ à $K$-isomorphisme près —
+de $Π_a=\Gal(K_a\bo K)$ à valeurs dans le groupe $\PGL₂(K_a)$, ce dernier étant
+muni de l'action évidente de $\Gal(K_a\bo K)$ (cf. \refext{formes}{1.2.4} \emph{sqq.}).
+Notons $τ_a∈ Π_a$ l'unique élément non trivial : $τ_a(α)=-α$ et $τ_a(x)=x$ pour
+$x ∈ K$. Par construction, le $K_a$-automorphisme $c_φ(τ_a)$ de $𝐌₂(K_a)$ envoie les matrices
+$\deuxdeux{1}{0}{0}{-1}$ et $\deuxdeux{0}{-b}{1}{0}$ sur leurs opposées
+et laisse invariantes les matrices $\deuxdeux{1}{0}{0}{1}$ et
+$\deuxdeux{0}{b}{1}{0}$. D'après le théorème de Skolem-Nœther
+(\ref{Skolem-Noether sur corps}), il existe une matrice
+$g=\deuxdeux{x}{y}{z}{w}∈\GL₂(K_a)$, bien définie à un scalaire multiplicatif
+près, telle que $c_φ(τ_a)=g\tiret g^{-1}$.
+Les conditions
+\[
+\deuxdeux{x}{y}{z}{w}⋅\deuxdeux{1}{0}{0}{-1}=-\deuxdeux{1}{0}{0}{-1}⋅\deuxdeux{x}{y}{z}{w}
+\]
+et
+\[
+\deuxdeux{x}{y}{z}{w}⋅\deuxdeux{0}{b}{1}{0}=\deuxdeux{0}{b}{1}{0}⋅\deuxdeux{x}{y}{z}{w}
+\]
+se traduisent respectivement en : $x=w=0$ et $y=bz$.
+Le cocycle $c_φ: Π_a =⟨τ_a⟩→\PGL₂(K_a)$ est donc $τ_a↦\deuxdeux{0}{b}{1}{0}$.
+(L'image de l'identité étant l'identité, par construction.)
+
+Ce cocycle est cohomologue au cocycle trivial si et seulement si
+il existe une matrice $m=\deuxdeux{x}{y}{z}{w}∈\GL₂(K)$ et un scalaire
+$λ ∈ K_a^×$ tels que
+\[
+m \deuxdeux{0}{b}{1}{0}=λ ⋅{^{τ_a} m}.
+\]
+Cette condition se réécrit : $bz=λτ_a(x)$, $λ τ_a(z)=x$, $bw=λ τ_a(y)$, et $λ τ_a(w)=y$.
+En multipliant ces égalités, on obtient $b\N_a(z)=λ\N_a(x)$ et $b\N_a(w)=λ\N_a(z)$, où
+$\N_a$ désigne la norme $t ↦ t ⋅ τ_a(t)$ de $K_a$ à $K$.
+Puisque $z$ et $w$ ne peuvent pas être simultanément nuls ($\det(m)=xw-yz≠0$),
+on a donc nécessairement $b∈\N_a(K_a)$. Réciproquement, si $b=\N_a(β)$, poser
+par exemple $z=1$, $λ=β$, $x=β$, $w=α$ et $y=βτ_a(α)$.
+
+Il résulte du corollaire \ref{Brn=H1PGLn} que l'on a démontré
+la proposition suivante.
+
+\begin{proposition2}\label{caractérisation algèbres quaternions triviales}
+Soient $K$ un corps de caractéristique différente de deux et $a,b$ deux éléments
+non nuls. Si $a$ n'est pas un carré, l'algèbre $\quater{a,b}{K}$ est triviale,
+c'est-à-dire $K$-isomorphe à l'algèbre $𝐌₂(K)$ des matrices $2×2$,
+si et seulement si $b∈\N_{K(\sqrt{a})\bo K}\left(K(\sqrt{a})\right)$.
+\end{proposition2}
+
+On renvoie le lecteur à \cite[2.2]{seisuuron@Saito} pour une démonstration plus
+élémentaire.
+
+\begin{corollaire2}
+Soient $K$ un corps de caractéristique différente de deux et $a,b$ deux éléments
+non nuls de $K$. Les algèbres de quaternions $\quater{a,-a}{K}$ et $\quater{a,1-a}{K}$
+sont triviales.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+En effet, si $a∈{K^×}²$ et $s=x+y\sqrt{a} ∈ K_a=K(\sqrt{a})$, $\N_a(s)=x²-ay²$
+de sorte que $-a$ et $1-a$ appartiennent à $\N_a(K_a)$.
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}\label{algèbre quaternions finie est triviale}
+Soit $𝐅$ un corps fini de caractéristique $p≠2$. Toute algèbre de quaternions
+sur $𝐅$ est triviale.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+En effet, on a vu en \refext{Fin}{trace-et-norme-corps-finis} que pour toute extension finie $𝐅'\bo 𝐅$,
+la norme $\N_{𝐅'\bo 𝐅}$ est surjective.
+\end{démo}
+
+Pour une généralisation, cf. \ref{corps gauche fini est commutatif}.
+
+\begin{remarque2}
+On vérifie comme ci-dessus que deux cocycles $τ_a ↦ \deuxdeux{0}{b}{1}{0}$ et
+$τ_a ↦ \deuxdeux{0}{b'}{1}{0}$ sont cohomologues (\refext{formes}{généralités
+1-cocycles}) lorsque $b{b'}^{-1}∈\N_a(K_a)$.
+Il en résulte que, pour tout $λ∈K_a^×$, les $K$-algèbres $\quater{a,b}{K}$
+et $\quater{a,b\N_a(λ)}{K}$ sont isomorphes. En particulier,
+$\quater{a,b}{K}≃\quater{a,bc²}{K}$ pour tout $c∈K^×$. On en déduit
+aisément que la seule $𝐑$-algèbre de quaternions non-triviale
+est $𝐇=\quater{-1,-1}{𝐑}$. Pour une généralisation au cas des corps $p$-adiques,
+cf. \refext{p-adiques}{}. \XXX
+\end{remarque2}
+
+\begin{corollaire2}\label{critère quadratique de trivialité quaternionique}
+Soit $K$ un corps de caractéristique différente de deux et $a,b$ deux éléments
+non nuls de $K$. L'algèbre de quaternions $\quater{a,b}{K}$ est triviale
+si et seulement si la forme quadratique $aX²+bY²-Z²$ a un zéro non trivial.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+L'équivalence dans le cas où $a$ est un carré dans $K$ est évidente : l'algèbre de quaternion
+est triviale et la forme a un zéro non trivial.
+Supposons donc $a$ non carré. D'après \ref{caractérisation algèbres quaternions triviales},
+il faut montrer l'équivalence entre l'existence d'une solution à l'équation
+$z²-ax²=b$ et l'existence d'un zéro non trivial à l'équation $ax²+by²-z²=0$.
+Or, sous l'hypothèse que $a$ n'est pas un carré, toute solution
+de la seconde équation satisfait l'inégalité $y≠0$. L'équivalence
+est alors claire en divisant par $y$.
+\end{démo}
+
+Tout corps fini étant $C₁$ (\refext{C1}{theoreme-chevalley-warning}), ce critère
+donne une seconde démonstration du corollaire (\ref{algèbre quaternions finie est triviale}) précédent.
+
+\subsubsection{}\label{2-cocycle quaternionique}Il résulte immédiatement
+des calculs de \ref{1-cocycle quaternionique} et de la définition
+du cobord (\ref{cobord Brauer}) que la classe de $\quater{a,b}{K}$
+dans $\Br(K_a \bo K)$ est représentée par le $2$-cocycle
+$c_{a,b}:Π_a → K_a^×$, envoyant $(τ_a,τ_a)$ sur $b$ et les trois autres couples de $Π_a²$
+sur $1$.
+
+\begin{corollaire2}\label{produit tensoriel algèbres quaternions}
+Soient $K$ un corps de caractéristique différente de deux et $a,b,b ′$ trois éléments
+non nuls de $K$. Dans le groupe de Brauer $\Br(K(\sqrt{a})\bo K)$, on a
+l'égalité :
+\[
+[\quater{a,b}{K}] ⋅ [\quater{a,b ′}{K}]=[\quater{a,b b ′}{K}].
+\]
+En particulier, $\quater{a,b}{K} ⊗_K \quater{a,b}{K}$ est isomorphe
+à $𝐌₄(K)$.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+Le premier point résulte de \ref{multiplicativité cobord Azu} :
+la classe du produit tensoriel est représentée par le $2$-cocycle
+$Π_a → K_a^×$ envoyant $(τ_a,τ_a)$ sur $b ⋅ b ′$ et trivial ailleurs.
+On a vu que ce cocycle représente l'algèbre de quaternion $\quater{a,b b ′}{K}$.
+Enfin, si $b b ′=b²$, il résulte du critère \ref{critère trivialité algèbre
+quaternions} que $\quater{a,b b ′}{K}$ est triviale. Pour des raisons
+de rang, le produit tensoriel des algèbres de quaternions de l'énoncé est alors
+isomorphe à $𝐌₄(K)$.
+\end{démo}
+
+\subsubsection{}\label{notations quaternions=H2mu2}L'argument ci-dessus et le fait que le noyau
+de l'élévation au carré $K_a^× → K_a^×$ soit le sous-groupe $\{±1\} ⊆ K^×$
+pourrait conduire le lecteur à penser que le cocycle $c_{a,b}$ introduit
+ci-dessus, dont la classe est d'ordre (au plus) deux, est cohomologue à un cocycle
+à valeurs dans $\{±1\}$, autrement dit que sa classe
+$[c_{a,b}] ∈ H²(K_a\bo K, K_a^×)$ appartiendrait à l'image
+de l'application naturelle $H²(K_a\bo K, \{±1\}) → H²(K_a\bo K, K_a^×)$.
+Il n'en est rien en général mais signalons dès maintenant que ce
+résultat est vrai « à la limite », c'est-à-dire après passage
+à une extension galoisienne suffisamment grande\footnote{Plus précisément,
+son image dans $H²(K,\Gm):=\colim H²(K_α \bo K,K_α^×)$
+appartient à l'image de $H²(K,μ₂):=\colim H²(K_α\bo K, \{±1\})$. Cette image
+coïncide avec la $2$-torsion de $H²(K,\Gm)$. Cf. \emph{infra}.\XXX}.
+
+Nous allons donner ici une démonstration \emph{ad hoc} de ce fait
+dans le cas particulier qui nous occupe ; un énoncé général sera donné
+en \ref{H2mun=Brn}. Supposons que $b²$ n'appartient pas à $K_a$ sans quoi il n'y a rien
+à démontrer (cf. \ref{caractérisation algèbres quaternions triviales}).
+L'extension $K_{a,b}=K(\sqrt{a},\sqrt{b})$ de $K$ est alors galoisienne
+de groupe $Π_{a,b}$ isomorphe au groupe de Klein\footnote{Cf. \ref{groupe de Klein et quaternions} \emph{infra}
+pour d'autres liens entre les quaternions et ce groupe.}
+$V₄=𝐙/2× 𝐙/2$. Nous notons $τ_a$ et $τ_b$ les générateurs définis
+par les conditions $τ_a(\sqrt{a})=-\sqrt{a}$
+(resp. $τ_b(\sqrt{b})=-\sqrt{b}$) et $τ_a(\sqrt{b})=\sqrt{b}$ (resp.
+$τ_b(\sqrt{a})=\sqrt{a}$) et posons $τ_c=τ_a τ_b$.
+
+Notons également $c ′_{a,b}$ le $2$-cocycle de $Π_{a,b}$ à valeurs dans $K_{a,b}^×$
+déduit de $c_{a,b}$ par composition avec la surjection canonique $Π_{a,b} ↠ Π_a$.
+Explicitement, $c ′_{a,b}$ est la fonction de $Π²_{a,b}$ dans $K_{a,b}^×$
+valant $b$ en $(τ_a,τ_a),(τ_a,τ_c),(τ_c,τ_a)$ et $(τ_c,τ_c)$
+et $1$ sinon. Enfin, considérons la fonction $c^∪_{a,b}:Π²_{a,b} → \{±1\}$
+valant $-1$ en $(τ_a,τ_b),(τ_a,τ_c),(τ_c,τ_b)$ et $(τ_c,τ_c)$
+et $1$ sinon. On vérifie immédiatement par le calcul que c'est un $2$-cocycle.
+
+Donnons brièvement une interprétation moins \emph{ad hoc} de ce cocycle.
+
+\subsubsection{digression : (cup-)produit}\label{cup-produit I}
+
+Soient $Π$ un groupe et $A$,$B$ deux $Π$-modules, c'est-à-dire deux groupes
+abéliens munis d'une action respectant l'addition de $Π$. Supposons également donné
+un « accouplement » $Π$-équivariant $A ⊗_𝐙 B → C$, où $C$ est un troisième
+$Π$-module. En d'autres termes, on se donne une application bilinéaire $φ:A×B → C$
+telle que $φ(g(a),g(b))=g(φ(a,b))$ pour tous $(a,b,g) ∈ A×B×G$.
+Étant donné deux classes de $1$-cocycles $c₁ ∈ H¹(Π,A)$ et $c₂ ∈ H¹(Π,B)$
+on note $c₁ ∪_φ c₂$, ou bien $c₁ ∪ c₂$, $c₁ ⋅ c₂$,
+la classe de $2$-cocycles à valeurs dans $C$,
+\[
+c₁ ∪_φ c₂=\Big[(g₁,g₂) ↦ φ \big(-γ₁(g₁) ⊗ g₁ γ₂(g₂)\big)\Big]
+\]
+où $c₁=[γ₁]$ et $c₂=[γ₂]$. Cette notation n'a de sens qu'après avoir
+vérifié, comme il est aisé de le faire, que la classe ainsi définie
+ne dépend pas du choix des représentants $γ₁$ et $γ₂$.
+
+Reprenons les notations de \ref{notations quaternions=H2mu2} et posons
+de plus $μ₂=\{±1\}$. Notons $(a) ∈ H¹(Π_{a,b}, μ₂)=\Hom(Π_{a,b}, μ₂)$
+(resp. $(b)$) le morphisme défini par $(a)(σ)=\frac{σ(\sqrt{a})}{\sqrt{a}}$
+(resp. $(b)(σ)=\frac{σ(\sqrt{b})}{\sqrt{b}}$).
+Le $2$-cocycle $c^∪_{a,b}$ n'est autre que le produit $(a) ∪ (b)$.
+
+\begin{lemme2}\label{quaternions=H2mu2}
+Les $2$-cocycles $c ′_{a,b}$ et $c^∪_{a,b}$, considérés comme
+étant à valeurs dans $K_{a,b}^×$, sont \emph{cohomologues}.
+En d'autres termes, la classe de l'algèbre $\quater{a,b}{K}$
+dans $\Br(K_{a,b}\bo K) ⥲ H²(K_{a,b}\bo K,\Gm)$ est le produit
+$(a)(b) ∈ H²(K_{a,b}\bo K, μ₂)$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Par définition (\ref{2-cocycles cohomologues}), il faut vérifier qu'il existe
+une fonction $λ: Π_{a,b} → K_{a,b}^×$ telle $c ′_{a,b}(σ,τ)=λ_σ ⋅ {^τ λ_τ} ⋅ λ_{σ τ}^{-1} ⋅ c^∪_{a,b}(σ,τ)$.
+Écrivons pour simplifier $λ_a$ pour $λ_{τ_a}$, $\N_a$ pour $\tiret ⋅ {^{τ_a} (\tiret)}$, etc.
+On vérifie immédiatement en les écrivant que ces seize équations se
+réécrivent : $λ_1=1$, $\N_a(λ_a)=b$, $\N_b(λ_b)=1$, $λ_c=-λ_a ⋅ {^{τ_a} λ_b}=λ_b ⋅ {^{τ_b} λ_a}$.
+Il suffit de poser $λ_a=\sqrt{b}$ et $λ_b=1$.
+\end{démo}
+
+\begin{exercice2}
+Sous les hypothèses de \ref{produit tensoriel algèbres quaternions},
+construire un isomorphisme explicite
+\[\quater{a,b}{K} ⊗_K \quater{a,b ′}{K} ⥲ \quater{a,b b ′}{K} ⊗_K 𝐌₂(K).\]
+(Voir \cite[1.5.2]{Gille-Szamuely}.)
+\end{exercice2}
+
+\subsection{Quaternions inversibles, norme spinorielle}\label{quaternions inversibles}
+
+Dans ce paragraphe, $A$ désigne un anneau commutatif dans lequel
+$2$ est inversible.
+
+\subsubsection{Quaternions inversibles, groupe de Klein et groupe
+quaternionique}\label{groupe de Klein et quaternions}
+
+Notons $𝐇^×(A)$ le groupe des \emph{quaternions inversibles}
+à coefficients dans $A$, c'est-à-dire l'ensembles des éléments
+inversibles pour la multiplication de la $A$-algèbre non nécessairement commutative
+\[𝐇(A)=A⊕A\i⊕A\j⊕A\k\] où $\i²=\j²=\k²=-1$ et $\i\j=\k=-\j\i$.
+Si $A$ est un corps, on a donc $𝐇(A)=\quater{-1,-1}{A}$ (cf. \ref{définition quaternions}).
+Notons $N: 𝐇(A) → A$ l'application « norme »
+— ou plus précisément « norme \emph{réduite} », cf. \emph{infra}
+\ref{définition norme et trace réduites} dans le cas où
+$A$ est un corps — envoyant un quaternion
+$q=x+y\i+z\j+w\k$ sur $q⋅\sur{q}=x²+y²+z²+w²$, où $\sur{q}$ est le \emph{quaternion
+conjugué} $x-y\i-z\j-w\k$.
+Un calcul immédiat montre que la norme est multiplicative
+si bien que $𝐇^×(A)$ est l'ensemble des éléments de $𝐇(A)$ de norme
+inversible dans $A$. Considérons le cas $A=𝐙$ ; comme
+$𝐙^×=\{±1\}$ et les solutions dans $𝐙⁴$ de l'équation $x²+y²+z²+w²=1$
+sont les huit solutions évidentes, le groupe $𝐇^×(𝐙)$
+est isomorphe au groupe \emph{quaternionique} d'ordre huit, que nous noterons $Q₈$.
+Notons $\{1,s_\i,s_\j,s_\k,t,ts_\i,ts_\j,ts_\k\}$
+ses éléments, correspondant respectivement aux
+éléments $\{1,\i,\j,\k,-1,-\i,-\j,-\k\}$ de $𝐇^×(𝐙)$.
+Observons que $t$ est central et que les relations
+$t²=1$, $s²_\i=s²_\j=s²_\k=s_\i s_\j s_\k=t$
+sont satisfaites.
+Rappelons que l'on appelle \emph{groupe de Klein}, noté $V_4$,
+le groupe $\{±1\}²$ dont nous écrirons $\{1,v_\i,v_\j,v_\k\}$ les éléments.
+Ils satisfont les relations $v_\i²=v_\j²=v_\k²=1=v_\i v_\j v_\k$,
+qui permettent de voir $V₄$ soit comme le quotient $\{±1\}³$ par la droite
+$⟨(-1,-1,-1)⟩$ soit comme le sous-groupe de $\{±1\}³$ constitué des éléments
+dont le produit des coordonnées est égal à $1$.
+Le groupe $Q₈$ est une \emph{extension} de ce groupe par $⟨t⟩≃\{±1\}$ : on a une suite exacte
+\[1→⟨t⟩→Q₈→V₄→1,\]
+où $s_μ∈Q₈$ ($μ∈\{\i,\j,\k\}$) est envoyé sur $v_μ∈V₄$ et $t$
+sur $\Id$. (« Suite exacte » : le morphisme $Q₈→V₄$ est surjectif et
+que $\Ker(Q₈→V₄)=⟨t⟩$.).
+
+
+\subsubsection{Quaternions et groupe orthogonal}\label{quaternions et SO3}
+
+Soit $q$ un quaternion \emph{imaginaire}, c'est-à-dire de la forme
+$a\i+b\j+c\k$ de sorte que $\sur{q}=-q$, et réciproquement.
+Considérons un quaternion inversible $r$. Il résulte du fait
+que $r^{-1}$ et $\sur{r}$ différent par multiplication d'un élément du centre
+de $𝐇^×(A)$ (spécifiquement : la norme de $r$ ou son inverse) et de la formule $\sur{xy}=\sur{y}\sur{x}$
+— on dit que l'involution $x ↦ \sur{x}$ est un « anti-automorphisme » —
+que l'on a $\sur{rqr^{-1}}=-rqr^{-1}$ : l'action de $𝐇^×(A)$
+par conjugaison sur $𝐇(A)$ préserve le $A$-module $\Im 𝐇(A)$ libre de rang $3$
+des quaternions imaginaires. On en déduit un morphisme
+$𝐇^×(A) → \GL₃(A)$. Comme d'autre part on a l'égalité $N(rqr^{-1})=N(q)$,
+cette action préserve la forme quadratique euclidienne naturelle sur $\Im 𝐇(A)$,
+$q=a\i+b\j+c\k ↦ N(q)=a²+b²+c²$, si bien que le morphisme précédent
+se factorise à travers un morphisme $𝐇^×(A) → \mathrm{O}₃(A)$.
+
+Le noyau de ce morphisme est $\Gm(A)=A^×$, plongé
+dans $𝐇^×(A)$ par $a↦a⋅1$, car le centre de $𝐇(A)$ est $A$.
+
+\begin{proposition2}\label{H vers special orthogonal}
+L'image du morphisme $𝐇^×(A) → \mathrm{O}₃(A)$ est contenue
+dans $\mathrm{SO}₃(A)$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Il suffit de vérifier l'égalité $\det(q ↦ rqr^{-1})=1$,
+ou encore $\det(q ↦ rq\sur{r})=N(r)³$. Pour cela on peut par exemple
+écrire explicitement la matrice de $q ↦ \frac{1}{N(r)}rq\sur{r}$ dans la base
+$\{\i,\j,\k\}$ de $\Im 𝐇(A)$ et en calculer le déterminant.
+Si $r=x₁+x_\i \i + x_\j \j + x_\k \k$, on trouve
+\[
+\frac{1}{x₁²+x_\i²+x_\j²+x_\k²}\troistrois{x₁²+x_\i²-x_\j²-x_\k²}{2x₁x_\k+2 x_\i x_\j}{-2x₁ x_\j+2 x_\i x_\k}
+{-2x₁ x_\k+2 x_\i x_\j}{x₁²-x_\i²+x_\j²-x_\k²}{2x₁x_\i+2 x_\j x_\k}
+{2x₁x_\j+2 x_\i x_\k}{-2x₁ x_\i+2 x_\j x_\k}{x₁²-x_\i²-x_\j²+x_\k²}
+\]
+pour la matrice, de déterminant un. Remarquons en passant que
+la trace de cette matrice vaut $\frac{4x₁²}{x₁²+x_\i²+x_\j²+x_\k²}-1$.
+
+Alternativement on peut constater que si l'on écrit
+$r=a+b\i+c\j+d\k$, l'égalité à démontrer est une égalité entre
+deux fonctions polynômiales \emph{à coefficients dans $𝐙$}.
+Il suffit donc de vérifier l'égalité pour des paramètres réels (cas $A=𝐑$), c'est-à-dire
+dans le cas des quaternions usuels. Dans ce cas, $𝐇^×(𝐑)≃𝐑^4-\{0\}$ est
+un espace topologique connexe si bien que son image par l'application continue
+« action par conjugaison » est un sous-groupe connexe de $\Orth₃(𝐑)$. Un
+tel groupe est nécessairement contenu dans $\SOrth₃(𝐑)$.
+\end{démo}
+
+Nous utiliserons en \refext{versel}{} le théorème suivant.
+
+\begin{théorème2}\label{parametrisation Euler-Hamilton-Cayley}
+Soit $K$ est un \emph{anneau} dans lequel $2$ est inversible.
+Le morphisme $c:𝐇^×(K) → \SOrth₃(K)$ est \emph{surjectif}.
+Si de plus toute somme de quatre carrés de $K$ est un carré,
+le morphisme $𝐇^{N=1}(K) → \SOrth₃(K)$ est également surjectif.
+\end{théorème2}
+
+Le groupe $𝐇^{N=1}$ est aussi appelé \emph{groupe spin},
+noté $\mathrm{Spin}₃$ ; c'est un revêtement double de $\SOrth₃$.
+
+Dans les deux paragraphes suivants nous allons donner deux démonstrations,
+radicalement différentes, de ce théorème.
+
+\subsubsection{Paramétrisation d'Euler, transformation de Cayley et norme spinorielle}\label{norme
+spinorielle}
+
+Supposons un instant $K=𝐑$.
+Le théorème \ref{parametrisation Euler-Hamilton-Cayley},
+qui est paramétrisation rationnelle du groupe spécial orthogonal
+$\mathrm{SO}₃(𝐑)$, est dans ce cas dû à Euler (cf. \cite{Problema@Euler}).
+Elle généralise la paramétrisation rationnelle de $\SOrth₂(𝐑) ≃ S¹$
+par $𝐑$, envoyant $t ∈ 𝐑$ sur
+\[
+\frac{1-it}{1+it}=\frac{1-t²}{1+t²}+i\frac{2t}{1+t²}.
+\]
+L'analogue de la suite $\Gm → 𝐇^× → \SOrth₃$ est ici
+$1 → 𝐑^× → 𝐂^× → \mathbf{U} → 1$, où $𝐂^× → \mathbf{U}=\{z:|z|=1\}$
+est $x ↦ \frac{x}{\sur{x}}$. La surjectivité de cette flèche est évidente mais
+il est intéressant de constater qu'il existe une section « rationnelle »,
+envoyant $z ∈ \mathbf{U}$ sur $x=1+z$.
+
+Considérons en effet une matrice $3×3$ à coefficients dans $K$, notée $A$, antisymétrique
+($\transpose{A}=-A$). La matrice $1+A$ est alors inversible et commute
+à $1-A$ ; un calcul immédiat montre que le quotient
+\[
+\frac{1-A}{1+A}
+\]
+appartient à $\Orth₃(K)$. Cette application des matrices antisymétriques
+vers le groupe orthogonal est appelée \emph{transformation de
+Cayley}\index{transformation de Cayley}, introduite
+dans \cite{determinants@Cayley}.
+Réciproquement, si $m$ appartient à $\SOrth₃(K)$, l'équation
+$\frac{1-A}{1+A}=m$ est résoluble dès lors que $1+m$ est inversible :
+$A=(1+m)^{-1}(1-m)$.
+Remarquons que $m$ étant spéciale orthogonale, on a l'égalité
+\[
+\det(X-m)=X³-\Tr(m)X²+\Tr(m)X-1
+\]
+d'où, en considérant $X=-1$,
+\[
+\det(m+1)=-2\big(\Tr(m)+1\big).
+\]
+Écrivons $A$ sous la forme
+\[
+A=\troistrois{0}{-x_\k}{x_\j}{x_\k}{0}{-x_\i}{-x_\j}{x_\i}{0}.
+\]
+Calculons la transformée de Cayley de $A$ :
+on a
+\[
+(1+A)^{-1}=\frac{1}{1+x_\i²+x_\j²+x_\k²}
+\left( \begin {array}{ccc}
+1+x_\i^{2} & -x_\k+x_\j x_\i & x_\k x_\i+x_\j\\
+x_\k+ x_\j x_\i& 1 + x_\j² &-x_\i+x_\j x_\k\\
+x_\k x_\i-x_\j & x_\j x_\k +x_\i& 1+x_\k²
+\end {array}
+\right),
+\]
+expression que l'on peut obtenir en appliquant par exemple la formule de Cramer,
+exprimant l'inverse d'une matrice en terme du déterminant et de la transposée de
+sa comatrice ; en multipliant cette matrice par $1-A$,
+on obtient la matrice $c(1+x_\i \i + x_\j \j + x_\k \k)$
+(cf. \ref{H vers special orthogonal}, démonstration).
+
+Il n'est maintenant pas difficile d'achever la démonstration du théorème.
+Commençons par quelques notations : pour chaque $μ∈\{1,\i,\j,\k\}$, notons $V_μ(K)$
+(resp. $V′_μ(K)$) le sous-ensemble de $𝐇^×(K)$ constitué des quaternions
+inversibles $q=x_1+x_\i \i + x_\j \j + x_\k \k$ tels que $x_μ$ soit non nul
+(resp. égal à un). Les quatre ensembles $V_μ$ recouvrent $𝐇^×(K)$. Posons $g_1=\diag(1,1,1)$, $g_\i=\diag(1,-1,-1)$ $g_\j=\diag(-1,1,-1)$
+et $g_\k=\diag(-1,-1,1)$ (cf. \refext{verselles}{notations
+Witt non 2} pour une interprétation géométrique).
+Pour chaque $μ$, considérons la fonction
+$u_μ:m ↦ \Tr(g_μ ⋅ m) +1=-½\det(m+g_μ)$.
+Remarquons que $g_1+g_\i+g_\j+g_\k=0$ de sorte que
+$u_1+u_\i+u_\j+u_\k$ est la fonction constante de valeur $4 ≠ 0$.
+En particulier, les quatre sous-ensembles $U_μ=\{m:u_μ(m)≠0\}$ recouvrent
+$\mathrm{SO}₃$ où, pour alléger les notations, nous ne précisons plus le corps $K$.
+Comme observé ci-dessus dans le cas particulier
+$μ=1$, on a :
+\[
+u_μ(c(x_1+x_\i \i + x_\j \j + x_\k \k))=\frac{4{x_μ}²}{{x_1}²+{x_\i}²+{x_\j}²+{x_\k}²}
+\]
+de sorte que $c(V_μ)$ est contenu dans $U_μ$.
+La commutativité du diagramme
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+V₁′& 𝔄₁ \\ U₁& \\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$c$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$A ↦ \frac{1-A}{1+A}$} node[sloped,swap]{$∼$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$1+x_\i \i + x_\j \j + x_\k \k ↦
+\troistrois{0}{-x_\k}{x_\j}{x_\k}{0}{-x_\i}{-x_\j}{x_\i}{0}$} node{$∼$} (diag-1-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+où $𝔄₁$ est l'ensemble matrices antisymétriques
+$A$ telles que $\det(1+A)≠0$ montre que $V₁′$ se \emph{surjecte}
+sur $U₁$. Le même argument, obtenu en remplaçant $1=g₁$ par $g_μ$, permet
+de montrer que l'image de $V ′ _μ$ par $c$ est exactement $U_μ$.
+
+Ceci achève la démonstration de la surjectivité du morphisme $𝐇^× → \SOrth₃$.
+Si l'inclusion ${K^×}²⊆ N(𝐇^×(K))$ est une égalité, il existe pour chaque
+$q ∈ 𝐇^×(K)$ un scalaire $λ ∈ K^×$ tel que $q/λ ∈ 𝐇^{N=1}$.
+La surjectivité du morphisme $𝐇^{N=1} → \SOrth₃$ dans ce cas en découle.
+
+\paragraph{Norme spinorielle}
+Soit $m ∈ \SOrth₃(K)$. D'après ce qui précède, cette matrice possède
+un relèvement $q$ dans $𝐇^×(K)$, bien défini à multiplication par un scalaire près.
+La norme de ce relèvement est donc bien définie à multiplication par un carré près.
+La classe dans $K^×/{K^×}²$ ainsi obtenue s'appelle la \emph{norme
+spinorielle}\index{norme spinorielle} de $m$, notée $\NSpin(m)$.
+Il résulte des calculs précédents et du fait que si $x_μ ∈ K$ est non nul
+la classe de $\frac{4{x_μ}²}{{x_1}²+{x_\i}²+{x_\j}²+{x_\k}²}$
+dans $K^×/{K^×}²$ coïncide avec la classe du dénominateur
+${x_1}²+{x_\i}²+{x_\j}²+{x_\k}²=N(x_1+x_\i \i + x_\j \j + x_\k \k)$
+que si $m∈U_μ(K)$, on a l'égalité
+\[
+\NSpin(m)=u_μ(m).
+\]
+
+Il n'est pas difficile de vérifier que la norme spinorielle
+n'est autre que le morphisme $\SOrth₃(K)=H⁰(K,\SOrth₃) → H¹(K,μ₂)=K^×/{K^×}²$
+déduit de la suite exacte $1 → μ₂ → \mathrm{Spin}₃=𝐇^{N=1} → \SOrth₃ → 1$.
+\XXX
+
+\begin{exercice3}
+Montrer que si $m ∈ \SOrth₃(K)$, $\det\big((1+g_μm)(1+m)^{-1}\big)$ est un carré
+en utilisant la transformation de Cayley.
+\end{exercice3}
+
+\begin{exercice3}
+Soit $𝒫$ l'ensemble des projecteurs orthogonaux de rang $1$
+de $K^{\{1,\i,\j,\k\}}$. Montrer que $𝒫 ⥲ \SOrth₃(K)$.
+(cf. matrice de la transformation de Cayley ou, mieux,
+interprétation conceptuelle). Montrer
+que l'application $𝐇^× → 𝒫$, $(x₁,x_\i,x_\j,x_\k) ↦ \frac{1}{∑
+x_μ²}\big(x_μ x_ν \big)$ a $4$ sections sur les ouverts
+[...]. En déduire une nouvelle démonstration de la surjection
+de $𝐇^×(K) → \SOrth₃(K)$. \XXX
+\end{exercice3}
+
+\subsubsection{Seconde démonstration du théorème \ref{parametrisation
+Euler-Hamilton-Cayley} par décomposition en réflexions}
+Nous supposons maintenant que $K$ est un \emph{corps}.
+Il est bien connu (\cite{}) que tout élément du groupe
+$\mathrm{SO}₃(K)=\mathrm{SO}(\Im 𝐇(K))$, et plus généralement
+du groupe spécial orthogonal d'une forme quadratique non dégénérée,
+est produit d'un nombre \emph{pair} de réflexions, c'est-à-dire d'éléments $s_r$ de la forme
+$q↦q-\frac{2⟨r,q⟩}{⟨r,r⟩}r$ où $⟨\tiret,\tiret⟩$ est le produit scalaire $⟨x,y⟩=½(x\sur{y}+y\sur{x})$ associé
+à la forme quadratique $x↦N(x)=x \sur{x}$ sur $\Im 𝐇(K)$.
+Il résulte de la formule dite du « produit triple »
+\[
+⟨r,r⟩q-2⟨r,q⟩r=-r\sur{q}r,
+\]
+valable pour toute paire d'éléments $q,r$ de $𝐇(K)$,
+et dont la vérification est triviale,
+que
+\[
+s_r(q)=-r ⋅ \sur{q} ⋅ \frac{r}{N(r)}=-r ⋅ \sur{q} ⋅ \sur{r}^{-1}.\]
+Si $q$ est un quaternion imaginaire on a donc
+\[
+s_r(q)=rq\sur{r}^{-1}.
+\]
+Tout élément de $\mathrm{SO}₃(K)$, composé de tels éléments, s'écrit donc sous la forme
+$q↦rqr′$ où $r,r′$ appartiennent à $𝐇^×(K)$ :
+\[
+s_{r₁} ∘ \cdots ∘ s_{r_n}=\left(q↦(r₁\cdots
+r_n)q (\sur{r_n \cdots r₁})^{-1}\right).\]
+
+Considérons maintenant le plongement naturel
+de $\mathrm{O}₃(K)=\mathrm{O}(\Im 𝐇(K))$ dans $\mathrm{O}₄(K)=\mathrm{O}(𝐇(K))$,
+envoyant une isométrie de $\Im 𝐇(K)$ sur l'unique isométrie de $𝐇(K)$
+la prolongeant agissant trivialement sur le centre $K⋅1$ de $𝐇(K)$.
+(Remarquons que $𝐇(K)=\Im 𝐇(K) ⊥ \mbox{$K⋅1$}$.) Ce plongement préserve le
+déterminant. Une variante immédiate de l'argument précédent montre que
+tout élément de $\mathrm{SO}(𝐇(K))$ est également de la forme
+$q↦rqr′$ avec $r,r ′ ∈𝐇^×(K)$. Ne pouvant utiliser l'égalité $-\sur{q}=q$, on utilise l'identité
+\[
+(q↦-r₁\sur{q}r₁) ∘ (q↦-r₂\sur{q}r₂)=(q↦r₁qr₁) ∘ (q↦\sur{r₂}q\sur{r₂}).
+\]
+Il en résulte qu'un élément de $\mathrm{SO}(\Im 𝐇(K))$
+est la restriction d'une isométrie $f:q↦rqr'$ de $𝐇(K)$ avec $f(1)=1$.
+On a donc $rr'=1$, c'est-à-dire $r'=r^{-1}$ : tout élément de $\mathrm{SO}(\Im 𝐇(K))$
+est bien une conjugaison par un quaternion.
+
+\section{Torsion du groupe de Brauer « absolu », cohomologie profinie}
+
+% un lemme H⁰ ↠ H⁰ avait été rédigé en b634263c9e1abc045e808288f2d926cb7082b19f
+% mais devrait être absorbé par considérations générales.
+
+\subsection{Motivation}Nous souhaitons donner ici une description cohomologique du groupe
+de Brauer généralisant le théorème \ref{description cohomologique Brauer
+extension finie} au cas d'une extension galoisienne non nécessairement finie.
+Ceci nous permettra également de formaliser le « passage à la limite »
+évoqué en \ref{notations quaternions=H2mu2} et d'obtenir une description
+cohomologique de la torsion du groupe de Brauer d'un corps.
+
+\subsection{Généralités}
+
+\subsubsection{Colimites}Il s'agit de cas particuliers de la théorie
+générale, exposée en \refext{Cat}{definition-systeme-inductif} \emph{et seq}.
+
+Soit $I$ un \emph{ensemble ordonné filtrant}\index{ensemble ordonné filtrant}, c'est-à-dire un ensemble partiellement
+ordonné tel que pour toute paire $i,j ∈ I$, il existe $k ∈ I$ tel que
+$i ≤ k$ et $j ≤ k$. L'exemple essentiel dans ce chapitre
+est l'ensemble $I_{K\bo k}$ des sous-extensions \emph{finies
+galoisiennes} $k ′ \bo k$, ordonnées par l'inclusion, d'une extension
+galoisienne $K\bo k$ non nécessairement finie.
+
+Un \emph{système inductif}\index{système inductif} en groupes abéliens indicé par $I$ est la donnée :
+\begin{itemize}
+\item pour chaque $i ∈ I$ d'un groupe abélien $M_i$ ;
+\item pour chaque couple $i ≤ j$ d'un morphisme $φ_{ij}:M_i → M_j$ tel
+que, pour tout triplet $i ≤ j ≤ k$, on ait :
+\[
+φ_{jk}∘ φ_{ij}=φ_{ik}.
+\]
+\end{itemize}
+
+On appelle \emph{colimite} du système inductif, ou encore \emph{limite
+inductive}, l'ensemble quotient noté $\colim_I (M_i)$ de
+$∐_{i ∈ I} M_i$ par la relation d'équivalence : $m_i ∼ m_j$
+si il existe $k ≥i,j$ tel que $φ_{ik}(m_i)=φ_{jk}(m_j)$.
+C'est naturellement un groupe abélien si l'on munit $\colim_I (M_i)$
+de l'addition suivante : la somme de la classe de $m_i ∈ M_i$
+et de la classe de $m_j ∈ M_j$ est la classe de la somme
+$φ_{ik}(m_i)+φ_{jk}(m_j)$ où $k$ est l'un quelconque
+des indices supérieurs à $i$ et $j$.
+On remarque immédiatement que $\colim_I (M_i)$ reçoit naturellement
+les groupes $M_i$. À titre d'exercice, le lecteur pourra vérifier
+que la colimite ainsi définie est universelle pour cette propriété,
+en un sens qu'il lui faudra trouver (\refext{Cat}{}). Il pourra également
+vérifier que $\colim_I (M_i)$ est isomorphe au quotient
+de la somme directe $⨁_{i ∈ I} M_i$ par le sous-groupe engendré
+par les éléments de la forme $m_j-φ_{ij}(m_i)$.
+
+\subsubsection{Cas particuliers et l'exemple du groupe de Brauer}
+Les faits suivants sont immédiats :
+\begin{enumerate}
+\item Si $I$ a un plus grand élément $ι$, la colimite est naturellement isomorphe à $M_ι$.
+\item Soit $M$ un groupe et $(M_i)$ une collection de sous-groupes tels
+que $M_i ⊆ M_j$ lorsque $i ≤ j$. La colimite du système inductif
+associé — les flèches de transition $φ_{ij}$ étant les inclusions —
+est naturellement en bijection avec la réunion $⋃_i M_i ⊆ M$.
+En particulier, si $(M_i)$ est un système inductif constant de valeur $M$ et à flèches
+de transitions égales à l'identité de $M$, la colimite s'identifie
+naturellement à $M$.
+\end{enumerate}
+
+Soit maintenant $K\bo k$ une extension galoisienne non nécessairement finie.
+Rappelons que l'on note $\Br(K\bo k)$ le noyau $\Br(k) → \Br(K)$.
+Pour $k ′ ∈ I_{K\bo k}$ variable, les sous-groupes $\Br(k ′\bo k)$
+de $\Br(K\bo k)$ définissent naturellement un système inductif.
+
+\begin{lemme2}
+Le morphisme canonique $\colim_{k ′ ∈ I_{K \bo k}} \Br(k ′ \bo k) → \Br(K\bo k)$
+est un isomorphisme.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+D'après le cas particulier (ii) ci-dessus, il suffit de vérifier que $⋃_{k ′} \Br(k ′ \bo k)=\Br(K\bo k)$.
+Rappelons qu'un élément de $\Br(K\bo k)$ est la classe d'équivalence
+d'une algèbre d'Azumaya trivialisée par l'extension des scalaires $\tiret ⊗_k K$.
+D'après \ref{trivialisation Azu descend au niveau fini}, une telle
+trivialisation se descend à une extension finie, que l'on peut bien sûr supposer
+galoisienne.
+\end{démo}
+
+\subsubsection{Cohomologie}\label{cohomologie profinie}
+Soit $K\bo k$ une extension galoisienne non nécessairement finie de groupe de
+Galois noté $Π_{k}$. Pour $k ′ ∈ I_{K\bo k}$, son sous-groupe
+$Π_{k ′}=\Gal(K\bo k ′)$ est d'indice fini. Considérons un groupe abélien $A$ muni d'une action de $Π_{k}$.
+Pour chaque $k ′$, notons $A_{k ′}$ l'ensemble
+des points fixes $\Fix_{Π_{k ′}}(A)$, naturellement muni d'une action du groupe \emph{fini}
+$Π_{k ′\bo k}=Π_K/Π_{k ′}$. Nous dirons que l'action de $Π_k$ sur $A$ est \emph{admissible} si on a
+l'égalité :
+\[
+A=⋃_{k ′ } A_{k ′}.
+\]
+(Pour une interprétation de cette condition en termes topologiques, cf. \refext{Krull}{}.)
+Nous avons défini en \refext{Formes}{généralités 1-cocycles}
+(resp. \ref{définition 2-cocycle}) les zéroïème et premier (resp. second)
+groupes de cohomologie $H⁰(Π_{k′\bo k},A_{k ′})$ et $H¹(Π_{k ′\bo k},A_{k ′})$
+(resp. $H²(Π_{k ′\bo k},A_{k ′})$). Comme indiqué dans \emph{loc. cit.},
+il s'agit de cas particuliers de constructions générales présentées
+dans l'appendice \refext{Coho}{}. Lorsque le corps $k'$ est contenu dans $k ″$,
+le morphisme de restriction $Π_{k ″\bo k} ↠ Π_{k ′ \bo k}$
+et l'inclusion $A_{k ′} ⊆ A_{k ″}$ induit des morphismes
+dits d'\emph{inflation} $ H^i(Π_{k ′ \bo k},A_{k ′}) → H^i(Π_{k ″\bo k},A_{k ″})$
+pour chaque $i$ : si $c ′:Π_{k ′ \bo k}^i → A_{k ′}$ est un $i$-cocycle,
+le morphisme composé $c ″ : Π_{k ″ \bo k}^i ↠ Π_{k ′ \bo k}^i
+\dessusdessous{c}{→} A_{k ′} ↪ A_{k ″}$ est également un $i$-cocycle
+et sa classe ne dépend que de la classe de $c ′$.
+Les groupes de cohomologies forment alors un ensemble inductif. On pose :
+\[
+H^i(K \bo k,A):=\colim_{k ′ ∈ I_{K\bo k}} H^i(Π_{k ′\bo k},A_{k ′}).
+\]
+
+Si $K\bo k$ est \emph{finie}, on a $H^i(K\bo k,A)=H^i(\Gal(K\bo k),A)$
+car $I_{K\bo k}$ a un plus grand élément. Ceci est conforme
+à la convention de notation \ref{notation H(K/k)}. Lorsque $K$ est une clôture
+séparable de $k$, on note plutôt $H^i(k,A)$ ces groupes. (Le choix de deux clôtures
+séparables mène à des groupes isomorphes.)
+
+Considérons maintenant le cas du groupe multiplicatif $\Gm$, c'est-à-dire $A=K^×$.
+On a $A_{k ′}={k ′}^×$ de sorte que la condition d'admissibilité est satisfaite.
+\begin{lemme2}
+Les isomorphismes $δ^{\Br}_{k ′ \bo k}:\Br(k ′\bo k) ⥲ H²(k ′\bo k,\Gm)$, pour $k ′
+∈ I_{K\bo k}$ sont compatibles avec les morphismes des systèmes inductifs.
+En conséquence, ils induisent un \emph{isomorphisme}
+\[
+\Br(K\bo k) ⥲ H²(K\bo k,\Gm).
+\]
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Par construction (\ref{notations Azu-Brauer}), il suffit de vérifier deux compatibilités :
+celle des cobords $H¹(k ′ \bo k,\PGL_n) → H²(k ′\bo k,\Gm)$
+et celle des isomorphismes $\Azu(n,k ′\bo k)⥲H¹(k ′\bo k,\PGL_n)$. La première est un fait général
+qui résulte immédiatement de la construction \ref{construction 2-cobord}.
+et de la définition ci-dessus des morphismes d'inflation.
+Considérons maintenant la seconde compatibilité.
+Fixons une algèbre d'Azumaya $A$ sur $k$ de rang $n$ et un isomorphisme
+$φ ′: 𝐌_n(k ′) ⥲ A_{k ′}$. Notons $φ ″$ l'unique isomorphisme faisant
+commuter le diagramme
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+𝐌_n(k ′) ⊗_{k ′} k ″ & A_{k ′} ⊗_{k ′} k ″ \\
+𝐌_n(k ″) & A_{k ″} \\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$φ ′ ⊗_{k ′} k ″$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node{$φ ″$} (diag-2-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+dont les flèches verticales sont les isomorphismes canoniques.
+D'après \refext{Formes}{definition cocycle forme}, la classe de
+$A$ dans $H¹(k ′ \bo k,\Aut(𝐌_n))$ (resp. $H¹(k ″ \bo k,\Aut(𝐌_n))$)
+est représentée par le $1$-cocycle
+$c ′_{φ ′}: σ ′ ↦ {φ ′}^{-1} σ ′ φ {σ ′}^{-1}$
+(resp.
+$c ″_{φ ″}: σ ″ ↦ {φ ″}^{-1} σ ″ φ {σ ″}^{-1}$).
+Pour conclure, il faut vérifier que si $σ ″ ∈ Π_{k ″\bo k}$
+est d'image $σ ′$ dans $Π_{k ′ \bo k}$ et que
+${φ ′}^{-1} σ ′ φ {σ ′}^{-1}$ est la conjugaison par une matrice
+inversible $g$, alors ${φ ″}^{-1} σ ″ φ {σ ″}^{-1}$ est également la conjugaison
+par la matrice $g$. Cela résulte du fait qu'un $k ″$-automorphisme de $𝐌_n(k ″)$
+est caractérisé par son action sur $𝐌_n(k ′)$.
+\end{démo}
+
+\subsection{Suites exactes}
+
+Conservons les notations de \ref{cohomologie profinie}.
+Soit
+\[
+0 → A → B → C → 0
+\]
+une suite exacte de $Π_k$-modules admissibles.
+Comme nous l'avons signalé au cours de la démonstration précédente,
+les morphismes $1$-cobords $H¹(k ′ \bo k,C_{k ′}) → H²(k ′ \bo k,A_{k ′})$
+sont compatibles aux morphismes d'inflation de sorte qu'ils induisent
+un morphisme, également appelé $1$-cobord,
+\[
+δ¹_{K\bo k}:H¹(K \bo k,C) → H²(K \bo k,A).
+\]
+
+\begin{proposition2}
+La suite
+\[
+H¹(K \bo k,C) \dessusdessous{δ¹_{K\bo k}}{→} H²(K \bo k,A) → H²(K \bo k,B)
+→ H²(K \bo k,C)
+\]
+est \emph{exacte}.
+\end{proposition2}
+
+Si $K\bo k$ est fini, un énoncé de même nature a été
+démontré et utilisé en \ref{description cohomologique Brauer extension finie} ;
+cf. \ref{premier bout suite exacte longue}.
+
+\begin{démo}
+Cas où $K\bo k$ est finie. Nous ne traitons que le cas de l'exactitude
+en $H²(K\bo k,B)$, les autres cas étant semblables. (Voir aussi
+\refext{Coho}{} pour la démonstration complète d'un énoncé plus général.)
+Soit $c$ un $2$-cocycle à valeurs dans $B$. Notons $\sur{c}$ le $2$-cocycle
+qui s'en déduit par composition à droite avec la surjection $B ↠ C$.
+Il faut montrer que si la classe $[\sur{c}] ∈ H²(K\bo k,C)$ est triviale,
+$c$ est cohomologue à un cocycle à valeurs dans $A$. Par hypothèse
+(cf. \ref{2-cocycles cohomologues}), il existe une famille $(γ_σ)_{σ}$ d'éléments de $C$ tels que
+pour chaque paire $(σ,τ)∈ Π_{K\bo k}²$, on ait $\sur{c}(σ,τ)=γ_σ+{^σ γ_τ} - γ_{σ τ}$.
+Soit $(β_σ)_{σ}$ un relèvement arbitraire de la famille $γ$ dans $B$.
+Par construction le $2$-cocycle $(σ,τ) ↦ c(σ,τ)-\big(β_σ+{^σ β_τ} - β_{σ
+τ}\big)$ est à valeurs dans $A=\Ker(B → C)$. Il est cohomologue à $c$. CQFD.
+
+Cas général : passage à la limite.
+Signalons immédiatement une difficulté : \emph{le passage aux points fixes ne préserve pas nécessairement
+les surjections.} En d'autres termes, pour $k ′ ∈ I_{K\bo k}$, il n'est pas vrai en général
+que le morphisme $B_{k ′} → C_{k ′}$ déduit de la \emph{surjection} $B ↠ C$ soit également surjectif.
+Soit $x$ un élément de la colimite $H²(K\bo k,B)$ dont l'image est nulle dans
+$H²(K\bo k,C)$. Soit $x_{k ′} ∈ H²(k ′\bo k,B_{k ′})$ d'image $x$. L'image de
+$x_{k ′}$ dans $H²(k ′\bo k,C_{k ′})$ n'est pas nécessairement nulle mais le
+devient après application d'un morphisme d'inflation $H²(k ′\bo k,C_{k ′}) → H²(k ″\bo k,C_{k ″})$
+pour $k ″$ assez grand. Quitte à remplacer $x_{k ′}$ par son image dans
+$H²(k″\bo k,B_{k ″})$, on peut supposer que l'image de $x_{k ′}$ dans $H²(k ′ \bo k,C_{k ′})$ est nulle.
+Notons $c_{k ′}$ un $2$-cocycle représentant cette classe. Comme précédemment,
+il existe une famille ${γ_σ}_{σ ∈ Π_{k ′ \bo k}} ∈ C_{k ′}$ telle
+que $\sur{c_{k ′}}(σ,τ)=γ_σ+{^σ γ_τ} - γ_{σ τ}$. Bien que $B$ se surjecte
+sur $C$, on ne peut \emph{a priori} pas relever $γ$ dans $B_{k ′}$. Cependant,
+la famille $γ$ étant \emph{finie} et on a l'égalité $B=⋃ B_{k ″}$, où $k ″$ parcourt
+les extensions galoisiennes de $k$ contenant $k$. Il en résulte qu'il existe
+un corps $k ″$ comme précédemment tel que les $γ_σ$ appartient à l'image de
+$B_{k ″}$. Quitte à remplacer à nouveau $k ′$ par $k ″$, on constate donc
+que l'on peut supposer l'existe d'un relèvement dans $B_{k ′}$ des $γ_σ$.
+On conclut alors comme dans le cas fini.
+\end{démo}
+
+\subsection{Description cohomologique de la $n$-torsion du groupe $\Br(k)$}
+
+Soient $k$ un corps, $k\sep$ une clôture séparable de $k$ et $n$ un entier
+inversible sur $k$. Sous cette hypothèse, l'élévation à la puissance $n$,
+$x ↦ x^n$, ${k\sep}^× → {k\sep}^×$, est \emph{surjective}. Son noyau est l'ensemble
+$μ_n(k\sep)$, de cardinal $n$, des racines de l'unité.
+La proposition précédente montre que l'injection
+naturelle $H²(k, μ_n) → \Ker(H²(k,\Gm) \dessusdessous{[n]}{→} H²(k,\Gm))$
+est un isomorphisme. D'après \ref{description cohomologique Brauer extension finie},
+le terme de droite s'identifie naturellement à la $n$-torsion $\Br_n(k)$
+du groupe de Brauer.
+
+On a donc démontré le théorème ci-dessous.
+
+\begin{théorème2}\label{H2mun=Brn}
+Soient $k$ un corps et $n$ un entier inversible sur $k$.
+Le morphisme cobord induit un isomorphisme
+\[
+H²(k, μ_n) ⥲ \Br_n(k),
+\]
+\end{théorème2}
+
+\section{Algèbres simples centrales, corps gauches}
+
+\subsection{Conventions}Dans ce paragraphe, on entendra par « anneau »
+un anneau unitaire non nécessairement commutatif, et par
+« corps » (resp. « corps gauche ») un anneau commutatif (resp.
+non nécessairement commutatif) unitaire dans lequel tout
+élément non nul est inversible. Sauf mention du contraire,
+les modules sur un anneau le sont à gauche. En particulier, si $D$ est un corps gauche,
+un « $D$-espace vectoriel » est un $D$-module à gauche.
+Enfin, si $A$ est un anneau, $M$ un $A$-module (à gauche)
+et $x∈M$, on note $\Ann_A(M)$ (resp. $\Ann_A(m)$)
+l'ensemble $\{a ∈ A: am=0 \text{ pour tout }m ∈ M\}$
+(resp. $\{a ∈ A: ax=0\}$). C'est un idéal bilatère (resp. à gauche) de $A$,
+appelé \emph{annulateur} de $M$ (resp. de $x$).
+
+\subsection{Lemme de Schur, théorème de densité de Jacobson-Chevalley}
+
+\begin{définition2}
+Soit $A$ un anneau. Un $A$-module $M$ est dit \emph{simple}\index{module
+simple} s'il est non nul et ne possède pas de sous-module non trivial, c'est-à-dire
+différent de $\{0\}$ et de $M$.
+\end{définition2}
+
+On dit aussi parfois que $M$ est \emph{irréductible}.
+
+\begin{théorème2}[Lemme de Schur]\label{lemme de Schur}
+Soient $A$ un anneau et $M$ un $A$-module simple. L'anneau
+$D=\End_{A\traitdunion\categ{Mod}}(M)$ est un \emph{corps gauche}.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+Soit $φ ∈ D$ un élément non nul. L'ensemble $\Im(φ)$ est un sous-$A$-module de
+$M$, non nul. Par simplicité de $M$ on a nécessairement $\Im(φ)=M$ : $φ$
+est surjectif. De même, $\Ker(φ)≠M$ donc $\Ker(φ)=\{0\}$ : $φ$ est injectif.
+Finalement $φ$ est une application $A$-linéaire bijective donc inversible.
+\end{démo}
+
+Un tel module $M$ est naturellement muni d'une structure de $D$-espace
+vectoriel : pour tout $φ ∈ D$ et tout $m ∈ M$, on pose $φ⋅m=φ(m)$.
+Par définition, cette action de $D$ commute à l'action de $A$ par homothéties.
+Prendre garde au fait que les homothéties sont pas nécessairement
+$A$-linéaires car $A$ n'est pas supposé commutatif : $A$ s'envoie
+dans $\End_D(M)$ mais en général pas dans $\End_A(M)$.
+
+\begin{théorème2}\label{densité Jacobson-Chevalley}
+Soient $A$ un anneau, $M$ un $A$-module simple,
+$D=\End_A(M)$ le corps gauche des endomorphismes de $M$
+et $n≥1$ un entier. Pour toute famille \emph{libre sur $D$} d'éléments $x₁,…,x_n$
+de $M$ et tout choix d'éléments $y₁,…,y_n$ dans $M$,
+il existe un $a∈A$ tel que $a⋅x_i=y_i$ pour chaque $i∈\{1,…,n\}$.
+\end{théorème2}
+
+On dit parfois que l'image du morphisme
+$A → \End_D(M)$ est « dense ». Si $M$ est de dimension finie sur $D$,
+cela revient à dire qu'elle est surjective. D'autre part, son noyau est
+$\Ann_A(M)$. Cela nous permettra ci-après de montrer
+dans des cas particuliers importants que le morphisme
+$A → \End_D(M)$ est un isomorphisme.
+
+Commençons par deux lemmes.
+
+\begin{lemme2}
+Soient $M$ un $A$-module simple et $x₁,x₂$ deux éléments
+tels que $\Ann_A(x₁)$ soit contenu dans $\Ann_A(x₂)$. Alors,
+$x₂∈Dx₁$.
+\end{lemme2}
+
+Remarquons que la réciproque est trivialement vraie.
+
+\begin{démo}
+Commençons par observer que si $x₁=0$, $\Ann_A(x₁)=A$ si bien que
+$\Ann_A(x₂)=0$, ce qui est équivalent à la nullité de $x₂$. Or le résultat
+est trivial si $x₂=0$. On peut donc supposer $x₁$ et $x₂$ non nuls.
+Le module $M$ étant simple on a alors $Ax₁=M$ et $Ax₂=M$.
+Il résulte de l'hypothèse que l'application ensembliste $φ$ envoyant
+chaque $ax₁$ sur $ax₂$, et en particulier $x₁$ sur
+$x₂$, est bien définie : si $ax₁=a'x₁$,
+on a $a-a'∈\Ann_A(x₁)⊆\Ann_A(x₂)$ de sorte que $(a-a')x₂=0$, c'est-à-dire
+$ax₂=a'x₂$. Cette application est trivialement $A$-linéaire ; elle appartient
+donc à $D$ et $x₂=φ⋅x₁$.
+\end{démo}
+
+Plus généralement :
+
+\begin{lemme2}
+Soient $M$ un $A$-module simple, $n≥2$ un entier et
+$x₁,…,x_n$ des éléments de $M$. Les conditions suivantes sont
+équivalentes.
+\begin{enumerate}
+\item $\Ann_A(x₁)∩ \cdots ∩ \Ann_A(x_{n-1}) ⊆ \Ann_A(x_n)$ ;
+\item $x_n∈Dx₁+\cdots+Dx_{n-1}$.
+\end{enumerate}
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Si $n=2$, c'est l'énoncé précédent.
+Dans le cas général, on procède par récurrence.
+Supposons $n>2$ et considérons $J=⋂_1^{n-2}\Ann_A(x_i)$. C'est un idéal (à
+gauche) de $A$. Si $Jx_{n-1}=\{0\}$, c'est-à-dire $J⊆\Ann_A(x_{n-1})$, l'hypothèse
+(i) se réécrit $J⊆\Ann_A(x_n)$ de sorte que l'on peut appliquer l'hypothèse
+de récurrence à la famille $x₁,…,x_{n-2},x_n$. De façon semblable,
+si $Jx_n=\{0\}$, on a $J⊆\Ann_A(x_n)$ et l'on peut conclure par récurrence,
+sans même utiliser l'hypothèse (i).
+On peut donc supposer, par simplicité de $M$, que l'on a $Jx_{n-1}=M=Jx_{n}$.
+(Remarquons que pour tout idéal $K$ de $A$ et tout élément $m$ de $M$,
+$Km=\{km:k∈K\}$ est un sous-$A$-module de $M$.)
+L'application $φ:M → M$, \mbox{$j⋅x_{n-1} ↦ j⋅x_n$} ($j∈J$) est bien définie par
+hypothèse et appartient à $D$ par construction. L'annulateur de
+l'élément $x_n-φ(x_{n-1})$ contient $J=⋂_1^{n-2} \Ann_A(x_i)$. Par récurrence,
+on a donc $x_n-φ(x_{n-1})∈Dx₁+\cdots+Dx_{n-2}$. Ceci montre l'implication (i)⇒(ii).
+L'implication réciproque est triviale.
+\end{démo}
+
+\begin{démo}[Démonstration du théorème \ref{densité Jacobson-Chevalley}]
+On procède par récurrence sur $n$. Si $n=1$ le résultat est trivial
+car $Ax₁=M$. Supposons $n≥2$. Par hypothèse de récurrence, il existe $b∈A$
+tel que $bx₁=y₁$, $bx₂=y₂$,…, $bx_{n-1}=y_{n-1}$. Puisque $x_n$ n'est pas
+combinaison linéaire à coefficients dans $D$ des $x₁,…,x_{n-1}$, il résulte
+du lemme précédent que l'intersection $⋂_1^{n-1}\Ann_A(x_i)$ n'est pas contenue
+dans $\Ann_A(x_{n})$ : le sous-$A$-module $\left(⋂_1^{n-1}\Ann_A(x_i)\right)x_n$
+de $M$ est non nul. Puisqu'il est alors égal à $M$, il existe un élément $j$ de
+cette intersection tel que $jx_n=y_n$. L'élément $a=b+j$ répond à la question.
+\end{démo}
+
+\subsection{Le théorème de Wedderburn}
+
+\begin{définition2}\label{définition artinien simple primitif} Un anneau $A$ est dit :
+\begin{enumerate}
+\item \emph{artinien} (à gauche) si toute suite décroissante d'idéaux (à gauche) est stationnaire ;
+\item \emph{simple} s'il ne possède pas d'idéaux bilatères non triviaux ;
+\item \emph{primitif} (à gauche) s'il existe un $A$-module simple $M$ tel que
+$\Ann_A(M)=\{0\}$. (Un tel module est dit \emph{fidèle simple}.)
+\end{enumerate}
+\end{définition2}
+
+% primitif, cf. Lam, p. 172.
+
+Par exemple, $A$ une algèbre de dimension finie sur un corps
+(non nécessairement commutatif) est un anneau artinien.
+Cela résulte du fait que les idéaux à gauche
+de $A$ sont naturellement des espaces vectoriels sur ce corps,
+de dimension finie.
+
+Soient $k$ un corps commutatif et $V$ un $k$-espace vectoriel
+de dimension finie. On vérifie aisément que les idéaux à droite
+(resp. gauche) de $A=\End_k(V)$ sont les endomorphismes d'image contenue
+dans (resp. de noyau contenant) un sous-espace fixé de $V$.
+Il en résulte que les idéaux bilatères de $A$ sont triviaux.
+Cet énoncé ce généralise au cas non commutatif, dont nous donnons
+une démonstration \emph{ad hoc} calculatoire.
+
+\begin{proposition2}\label{simplicité Mn}
+Soient $D$ un corps gauche et $n≥1$ un entier.
+L'anneau $𝐌_n(D)$ est artinien simple.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+L'anneau $A=M_n(D)$ étant naturellement un $D$-espace vectoriel de dimension
+finie, égale à $n²$, il est artinien. Montrons qu'il est simple. Soit $I$ un
+idéal bilatère non nul de $A$. Pour toute matrice $m=(a_{ij})∈A$, et tout
+quadruplet d'indices $α,β,α′,β′$, on a
+\[
+E_{α,β′}⋅m⋅E_{α′,β}=m_{β′,α′} E_{α,β}.
+\]
+Si $m$ est non nulle et dans $I$, il en résulte que $I$ contient
+une matrice de la forme $λ E_{α,β}$ où $λ ∈D-\{0\}$. L'anneau
+$D$ étant un corps gauche, un tel $λ$ est inversible : $I$ contient une matrice
+$E_{α,β}$. Il résulte de l'égalité
+\[λ_{i,j}E_{i,j}=(λ_{i,j}E_{i,α})⋅E_{α,β}⋅E_{β,j}\]
+que l'idéal bilatère engendré par une telle matrice est $A$ tout entier. CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{théorème2}[Artin-Wedderburn]\label{Artin-Wedderbun}
+Soit $A$ un anneau. Les conditions suivantes sont équivalentes.
+\begin{enumerate}
+\item $A$ est artinien (à gauche) simple.
+\item $A$ est artinien (à gauche) primitif.
+\item $A$ est isomorphe à $\End_D(M)$ où $D$ est un corps gauche et $M$ un
+$D$-espace vectoriel de dimension finie.
+\end{enumerate}
+\end{théorème2}
+
+On peut paraphraser (iii) en disant que $A$ est isomorphe à une algèbre de
+matrices sur un corps gauche.
+
+Il résulte de ce théorème qu'un anneau simple artinien à gauche est artinien
+à droite.
+
+\begin{démo}
+(i) ⇒ (ii). $A$ étant artinien (à gauche), il existe un idéal à gauche non nul minimal $I$. Le $A$-module $I$ est, par
+construction, irréductible. L'annulateur de $I$, comme de tout $A$-module,
+étant un idéal bilatère, on a donc $\Ann_A(I)=\{0\}$.
+(ii) ⇒ (iii). Il résulte du théorème \ref{densité Jacobson-Chevalley} que
+l'application injective $A → \End_D(M)$, car $\Ann_A(M)=0$, où $D$ est le
+corps gauche $\End_A(M)$, est surjective. (iii) ⇒ (i) C'est l'objet
+de la proposition précédente.
+\end{démo}
+
+Signalons la variante suivante, qui s'incrit naturellement dans
+le thème azumayen.
+
+\begin{théorème2}[Wedderburn]\label{Wedderburn}
+Soit $k$ un corps. Toute $k$-algèbre simple de dimension finie est $k$-isomorphe à une algèbre
+de matrices sur un corps gauche $D$ de dimension finie sur $k$.
+De plus, si $k$ est algébriquement clos, $D=k$.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+Soit $M$ un $A$-module fidèle simple. Le corps gauche $D=\End_A(M)$ est naturellement
+une $k$-algèbre — qui plus est de dimension finie — :
+on envoie $λ ∈ k$ sur l'homothétie de $M$ correspondante.
+Il résulte comme ci-dessus de \ref{densité Jacobson-Chevalley} que l'application
+naturelle $A → \End_D(M)$ est un isomorphisme d'anneaux ; il est $k$-linéaire
+par construction. D'autre part $\End_D(M)$ est isomorphe à $𝐌_n(D)$ où
+$n=\dim_D (M)$. Enfin, on remarque que tout corps gauche de dimension finie contenant $k$ est égal à $k$ :
+si $d∈D$, les $d^i$ ($i∈𝐍$) sont $k$-linéairement dépendants de sorte que la
+sous-$k$-algèbre \emph{commutative} $k[d]$ de $D$ est une \emph{extension} finie de
+$k$. On a donc $k[d]=k$, c'est-à-dire $d∈k$, et, finalement, $D=k$. CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}\label{Azumaya=Mn(corps gauche)}
+Soit $k$ un corps. Toute $k$-algèbre d'Azumaya est
+isomorphe à une algèbre de matrices $𝐌_r(D)$ où $D$ est un corps gauche sur $k$.
+De plus, le centre de $D$ est $k$.
+\end{proposition2}
+
+Rappelons que le \emph{centre} d'un anneau $B$ est l'ensemble
+\[Z(B)=\{b∈B:b'b=bb' \text{pour tout }b'∈B\}.\]
+
+\begin{démo}
+Montrons le premier point. Compte tenu du théorème précédent, il suffit de démontrer qu'une $k$-algèbre
+d'Azumaya est un anneau simple. Soient $A$ une telle algèbre, $I$ un idéal
+bilatère et $k' \bo k$ une extension trivialisant $A$, c'est-à-dire telle
+que $A_{k'}≃ 𝐌_n(k')$. L'anneau $𝐌_n(k')$ étant simple (\ref{simplicité Mn}),
+il en est de même de $A_{k'}=A⊗_k k'$, qui lui est isomorphe. L'idéal
+image de $I_{k'}$ par l'application \emph{injective} (cf. p. ex. \refext{Alg}{changement de base k-algèbre})
+$I_{k'}→ A_{k'}$, est donc égal à $\{0\}$ ou $A_{k'}$.
+Ceci ne peut se produire que si $I=\{0\}$ ou $I=A$, par exemple pour des raisons
+de dimension, celle-ci étant préservée par extension des scalaires.
+(Voir aussi \emph{op. cit.}, §5 pour un argument semblable.)
+
+La démonstration du second point est semblable :
+on remplace $I$ par le centre $Z(A)$ de $A$
+et utilise fait que le centre de $A_{k'}$, isomorphe à une algèbre de matrices
+sur $k'$, est égal à $k'$. Remarquons que l'on utilise simplement le fait
+que $Z(A)$ s'envoie dans $Z(A_{k'})$ mais pas un éventuel isomorphisme
+entre $Z(A)_{k'}$ et $Z(A_{k'})$.
+\end{démo}
+
+Réciproquement :
+
+\begin{proposition2}\label{corps gauche central est Azumaya}
+Un corps gauche fini sur son centre $k$ est une $k$-algèbre
+d'Azumaya.
+\end{proposition2}
+
+Il en résulte que $\dim_k D$ est un carré.
+
+\begin{démo}
+Soit $D$ un corps gauche de centre $k$ et soit $k'\bo k$ une extension.
+Nous allons montrer que l'anneau $D_{k'}=D⊗_k k'$ est un anneau simple.
+Considérant alors le cas particulier où $k'$ est une
+clôture algébrique de $k$ et où $\dim_k D=\dim_{k'} D_{k'}$ est fini,
+l'existence d'un $k'$-isomorphisme $D_{k'}≃𝐌_r(k')$ est conséquence
+du théorème \ref{Wedderburn}.
+
+Soit $𝒥$ un idéal bilatère de $D_{k'}$. Choisissons une base $(e_i)_{i∈I}$ de
+$k'$ sur $k$. La famille $e′_i=1⊗e_i$ ($i∈I$) est une base du $D$-espace
+vectoriel (à gauche) $D_{k'}$. Nous dirons qu'un élément $x$ du $D$-espace vectoriel
+(à gauche) $𝒥$ est \emph{primordial} (relativement à cette base)
+si, écrivant $x=∑_i d_i⋅e′_i$, l'ensemble $S(x)=\{i∈I:d_i≠0\}$ est minimal parmi les
+$S(y)$, pour $y∈𝒥-\{0\}$, et s'il existe un indice $i$ tel que
+$d_i=1$. On vérifie facilement les deux faits suivants :
+\begin{enumerate}
+\item $𝒥$ est engendré en tant que $D$-espace
+vectoriel par ses éléments primitifs ;
+\item deux éléments $x,y∈𝒥$ tels que $S(x)=S(y)$ sont proportionnels : il existe
+$d∈D^×$ tel que $y=dx$.
+\end{enumerate}
+Supposons $𝒥$ non nul et considérons en un élément primordial $x=∑_i d_i ⋅
+e′_i$. Pour tout $d∈D$, l'élément $x'=x⋅d$ appartient à l'idéal \emph{bilatère}
+$𝒥$ de $D_{k'}$. Dans la base $(e′_i)$, il s'écrit $x'=∑_i (d_i d)⋅e′_i$.
+Si $d$ est non nul, $S(x')=S(x)$ de sorte qu'il existe d'après (ii) un
+élément $d'∈D$ tel que $x'=d′⋅x=∑_i (d'd_i)⋅e′_i$. L'indépendance $D$-linéaire des
+$e′_i$ force les égalités $d'd_i=d_i d$. Comme on a supposé d'autre part que
+l'un des coefficients de $x$ est égal à l'unité $1$ de $D$, on a $d=d'$ et $d d_i=d_i d$ pour
+tout $i$. Ceci étant vrai pour chaque $d∈D-\{0\}$, les coefficients $d_i$
+appartiennent au centre de $D$, supposé réduit à $k$.
+Ainsi, $x=1 ⊗ (∑_i d_i e_i)=1 ⊗ λ′$ où $λ′$ appartient
+à $k'$ : l'élément $x$ appartient à $k'$ (vu dans $D_{k'}$).
+D'après (i), l'idéal $𝒥$ est donc engendré sur $D$ par son intersection avec $k'$ ;
+celle-ci est soit $\{0\}$ soit $k'$. Dans le premier cas $𝒥$ est nul ; dans le
+second $𝒥=D_{k'}$. CQFD.
+\end{démo}
+
+Les propositions relient le groupe de Brauer d'un corps $k$ aux corps gauches
+finis de centre $k$. Il en résulte par exemple que si tout tel corps gauche
+est égal à $k$, le groupe de Braueur de $k$ est trivial. Cette remarque est à la base du critère
+\ref{} ci-dessous.
+
+\subsection{Existence d'une trivialisation étale}\label{seconde démonstration Azumaya étale}
+À titre d'application des résultats précédents, nous donnons ici une
+démonstration du fait que toute algèbre d'Azumaya est trivalisée par une extension étale
+(\ref{trivialisation Azumaya étale}).
+
+Le résultat clef est le suivant.
+
+\begin{proposition2}
+Soit $D$ un corps gauche fini sur son centre $k$.
+Si $D≠k$, il existe un sous-corps commutatif $k'$ de $D$ tel que l'extension
+$k' \bo k$ soit étale et non triviale.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Raisonnons par l'absurde et supposons $k$ infini sans quoi le résultat est
+trivial. (Toute extension finie d'un corps fini est étale.) Pour tout $x∈D$, l'extension $k(x)\bo k$ est
+radicielle ; il existe $e∈𝐍$ tel que $x^{p^e}∈k$ où $p$ est l'exposant
+caractéristique de $k$ (cf. \refext{Alg}{caractérisation extension radicielle}).
+La dimension de $D$ sur $k$ étant finie et l'élévation
+à la puissance $p$ étant additive, il existe un exposant $e$ tel que
+la condition précédente soit satisfaite pour tout $x∈D$.
+Soit $(d_i)_{1≤i≤s}$ une base de $D$ sur $k$ telle que $d₁=1$.
+Il existe une famille de polynômes $P_i$ à coefficients dans $k$
+tels que si $x=∑₁^s x_i d_i∈D$, on ait
+\[
+x^{p^e}=∑_i P_i(x₁,…,x_s)d_i.
+\]
+Par hypothèse, on a $P_i(x₁,…,x_s)=0$ pour tout $s$-uplet
+de $k$ et tout indice $i>1$. Puisque $k$ est supposé infini, la nullité des \emph{fonctions}
+$P_{i}$ ($i>1$) entraîne la nullité des \emph{polynômes} $P_{i}$ ($i>1$).
+
+D'autre par les polynômes précédents sont « universels » au sens où
+si l'on étend les scalaires de $k$ à $k'$ et que l'on considère la base $d'_i=d_i ⊗_k
+k'$ de $D_{k'}$, l'égalité $(∑_i x_i' d'_i)^{p^e}=∑_i P_i(x'₁,…,x'_s)d'_i$
+reste vraie. D'après ce qui précède on a donc ${x'}^{p^e}∈k'$ pour tout
+$x'∈D_{k'}$. Or $D$ est une algèbre d'Azumaya (\ref{corps gauche central est
+Azumaya}) donc il existe $k'\bo k$
+tel que $D_{k'}$ soit isomorphe à $𝐌_r(k')$ pour un $r$ convenable.
+Dans $𝐌_r(k')$, où $r>1$, il existe quantité d'idempotents hors du centre, par exemple
+la matrice $x'=E_{1,1}$ ; ils ne satisfont pas la condition ${x'}^{p^e}∈k'$.
+\end{démo}
+
+Cette démonstration est due à Emil Artin.
+
+\begin{corollaire2}
+Une algèbre d'Azumaya sur un corps séparablement clos
+est triviale.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+Soit $k$ le corps en question. Toute $k$-algèbre d'Azumaya
+est isomorphe à une algèbre $𝐌_r(D)$ où $D$ est un corps gauche
+de centre $k$. D'après ce qui précède, $D=k$.
+\end{démo}
+
+\section{Trivialité du groupe de Brauer d'un corps $C₁$}
+
+\subsection{Norme et trace réduites}
+\subsubsection{}
+Soient $A$ une algèbre d'Azumaya de rang $n≥1$ et
+$K\bo k$ une extension étale la trivialisant.
+À tout $K$-isomorphisme $φ:A_K⥲𝐌_n(K)$, on peut
+associer des applications composées
+$A↪A_K\dessusdessous{φ}{→}𝐌_n(K)\dessusdessous{\det}{→}K$
+et $A↪A_K\dessusdessous{φ}{→}𝐌_n(K)\dessusdessous{\Tr}{→}K$.
+Il résulte du théorème de Skolem-Nœther et de l'invariance
+du déterminant et de la trace par conjugaison, que ces applications
+— multiplicative et additive respectivement — ne dépendent
+pas du choix de l'isomorphisme $φ$ mais seulement de l'extension
+$K\bo k$. Nous les noterons momentanément $\Nrd_{A}^{K\bo k}$
+et $\Trd_{A}^{K\bo k}$ respectivement.
+
+\begin{lemme2}
+Soit $ι:K→K'$ une extension. On a
+$\Nrd_{A}^{K'\bo k}=ι∘\Nrd_{A}^{K\bo k}$ et $\Trd_{A}^{K'\bo k}=ι∘\Trd_{A}^{K\bo k}$
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Choisissons un $K$-isomorphisme $φ:A_K⥲𝐌_n(K)$
+et considérons le $K'$-isomorphisme $φ':A_{K'}⥲𝐌_n(K')$ qui s'en déduit
+par extension des scalaires de $K$ à $K'$ et des isomorphismes
+canoniques $A_K⊗_K K'⥲A_{K'}$ et $𝐌_n(K)⊗_K K'⥲𝐌_n(K')$.
+La première formule résulte du fait que les composés $ι∘\det:𝐌_n(K)→K'$
+et $𝐌_n(K)→𝐌_n(K)⊗_K K'→𝐌_n(K')\dessusdessous{\det}{→}K'$ coïncident.
+De même pour la trace.
+\end{démo}
+
+\subsubsection{}Soit maintenant $L$ une extension de $K$, finie galoisienne
+sur $k$. D'après le lemme précédent, on a pour tout
+$σ∈\Gal(L\bo k)$ l'égalité $\Nrd_A^{L\bo k}=σ∘\Nrd_A^{L\bo k}$,
+de même pour la trace. Il en résulte que les applications
+$\Nrd_A^{L\bo k}$ et $\Trd_A^{L\bo k}$ sont à valeurs
+dans le corps de base $k=\Fix_{\Gal(L\bo k)}(L)$. D'autre part, il résulte
+de ce même lemme que $\Nrd_A^{L\bo k}=ι∘\Nrd_A^{K\bo k}$ et
+$\Trd_A^{L\bo k}=ι∘\Trd_A^{K\bo k}$ — où $ι$ est l'inclusion de $K$ dans $L$ —
+si bien que ces applications sont également à valeurs dans $k$ et indépendantes
+du choix de l'extension étale trivialisant $A$.
+
+\begin{définition2}\label{définition norme et trace réduites}
+Pour toute algèbre d'Azumaya $A$ sur $k$, on note $\Nrd_A$ et $\Trd_A$
+ces applications, appelées respectivement \emph{norme réduite}\index{norme
+réduite} et \emph{trace réduite}\index{trace réduite}.
+\end{définition2}
+
+Remarquons que si $A=𝐌_n$ ces applications ne sont autres que
+le déterminant et la trace usuels.
+
+Pour mémoire :
+
+\begin{lemme2}
+Pour toute paire $a,b∈A$, on a :
+\[
+\Nrd_A(ab)=\Nrd_A(a)\Nrd_A(b)
+\]
+et
+\[
+\Trd_A(a+b)=\Trd_A(a)+\Trd_A(b).
+\]
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Résulte des formules analogues pour les algèbres de matrices.
+\end{démo}
+
+Le lemme suivant est le point clef pour établir un lien entre
+la possibilité pour $A$ d'être un corps (non nécessairement commutatif)
+et les propriétés arithmétiques de $k$.
+
+\begin{lemme2}\label{norme réduite de degré n carré en n variables}
+Soient $A$ une $k$-algèbre d'Azumaya de degré $n$ et $e₁,…,e_{n²}$ une base
+de $A$ comme $k$-espace vectoriel.
+L'application
+\[f_e:k^{n²}→k,\]
+\[(λ₁,…,λ_{n²})↦\Nrd_A(λ₁e₁+\cdots+λ_{n²}e_{n²})\]
+est polynomiale, homogène de degré $n$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Soient $K\bo k$ une extension étale trivialisant $A$ et $φ:A_K⥲𝐌_n(K)$
+un $K$-isomorphisme. Notons $e'₁,…,e'_{n²}$ l'image de la base $e$ de $A$
+dans $𝐌_n(K)$. L'application $(λ₁,…,λ_{n²})↦\det(λ₁e'₁+\cdots+λ_{n²}e'_{n²})$ est polynomiale,
+homogène de degré $n$. Ceci entraîne le résultat annoncé.
+\end{démo}
+
+\begin{remarque2}
+On laisse le soin au lecteur de définir, pour tout $a∈A$, un « polynôme caractéristique
+réduit » $\mathrm{Prd}_A(a,X)=X^n-\Trd_A(a)X^{n-1}+\cdots+(-1)^n\Nrd_A(a)$.
+Cf. Bourbaki, VIII, §12.
+\end{remarque2}
+
+\subsection{Formes normiques sur un corps gauche}
+
+\subsubsection{}Soit $D$ un corps gauche fini sur son centre $k$. Il résulte de
+la proposition \ref{corps gauche central est Azumaya} que $D$ est une
+$k$-algèbre d'Azumaya. Notons $d$ son rang, en tant qu'algèbre d'Azumaya,
+de sorte que $\dim_k D=d²$. On peut donc utiliser les résultats du paragraphe
+précédent et considérer la norme réduite $\N_D:D → k$. C'est un morphisme
+multiplicatif ; elle envoie donc $D^×=D-\{0\}$ dans $k^×$. En effet, si $x∈D-\{0\}$,
+il existe $y∈D$ tel que $xy=1=yx$. En appliquant la norme réduite, on obtient
+l'égalité dans $k$ : $\N_D(x)\N_D(y)=1$. En d'autres termes, $\N_D(x)$ n'est
+nul que si $x=0$. On a vu en \ref{norme réduite de degré n carré en n variables}
+que la norme réduite « est », modulo le choix d'une base de $D$ sur $k$,
+un polynôme homogène en $n=d²$ variables de degré $d$.
+Supposons un instant que $D≠k$, c'est-à-dire que l'on a l'inégalité
+stricte $d>1$ ; on a alors $n>d$. L'absence de zéro
+non trivial de la norme réduite sur $D$ montre que le
+corps $k$ n'est pas un corps $C₁$ (\refext{C1}{definition-corps-c-r}).
+De cette constatation et du théorème \ref{Azumaya=Mn(corps gauche)},
+on tire le théorème suivant.
+
+\begin{théorème2}\label{Br(C1)=trivial}
+Le groupe de Brauer d'un corps $C₁$ est trivial.
+\end{théorème2}
+
+\begin{remarque2}\label{remarque Gille-Szamuely}
+On utilise ici de manière cruciale la théorie d'Artin-Wedderburn
+qui ramène l'étude du groupe de Brauer d'un corps, tel qu'on l'a défini,
+aux corps gauches sur ce corps. Dans le même esprit, il est possible
+de donner une démonstration légèrement différente
+du théorème \ref{trivialisation Azumaya étale}
+qui ne s'appuie pas sur le théorème de Skolem-Nœther général
+mais uniquement sur une variante du fait — utilisé en
+\refext{Formes}{critère formes étales} — qu'une $k$-algèbre de type finie non nulle géométriquement réduite a un point
+dans une extension étale. Nous renvoyons le lecteur à
+\cite{Gille-Szamuely}, 2.2.5 pour une telle démonstration
+ainsi d'ailleurs que de passionants développements sur les thèmes
+entrelacés des algèbres d'Azumaya et de la cohomologie galoisienne.
+\end{remarque2}
+
+\begin{corollaire2}\label{corps gauche fini est commutatif}
+Tout corps gauche fini est commutatif.
+\end{corollaire2}
+
+Cet énoncé généralise le corollaire \ref{algèbre quaternions finie est
+triviale}
+
+\begin{démo}
+En effet, tout corps fini est $C₁$ (\refext{C1}{theoreme-chevalley-warning}).
+\end{démo}
+
+
+\section{Addendum : Skolem-Nœther sur un anneau commutatif quelconque et
+une application}\label{Addendum Skolem-Noether}
+
+Dans ce paragraphe, on fait usage du produit tensoriel
+de modules sur un anneau qui n'est pas nécessairement un corps.
+En cas de besoin, le lecteur pourra se reporter à \refext{Tens}{}.
+
+\subsection{Skolem-Nœther (II)}
+
+\subsubsection{}Soient $A$ un anneau commutatif, $n≥1$ un entier
+et $φ$ un automorphisme de la $A$-algèbre
+$𝐌_n(A)$.
+La démonstration du théorème \ref{Skolem-Noether sur corps}
+s'applique \emph{mutatis mutandis} (remplacer « $K$-espace vectoriel »
+par « $A$-module ») au présent cadre : on
+a construit un isomorphisme explicite $L_φ^n ⥲ A^n$,
+où $L_φ$ est le sous-$A$-module image du projecteur (endomorphisme
+idempotent) $φ(E_{1,1})$ de $A^n$,
+de telle sorte que l'on ait égalité
+$φ(f)=ι_φ ∘ f_{L_φ,n} ∘ ι_φ^{-1}$
+pour tout $f ∈ 𝐌_n(A)$. Réciproquement, pour tout $A$-module $L$
+muni d'un isomorphisme $ι:L^n ⥲ A^n$, l'application
+$f ↦ ι ∘ f_{L,n} ∘ ι^{-1}$ est un automorphisme $φ_{L,ι}$
+de $𝐌_n(A)$. Observons au passage que si $A$ est un anneau principal,
+$L_φ$ est alors nécessairement libre de rang $1$ si bien
+que tout automorphisme de $𝐌_n(A)$ est intérieur.
+
+Résumons :
+
+\begin{théorème2}
+Pour tout anneau commutatif $A$ et tout entier $n$, notons
+$ℒ_n(A)$ l'ensemble des paires $(L,ι)$ où $L$ est un sous-$A$-module
+de $A^n$ et $ι$ un isomorphisme $L^n ⥲ A^n$ prolongeant l'inclusion $L⊆A^n$
+du premier facteur. Les applications $Φ_A:\Aut_A(𝐌_n(A))→ℒ_n(A)$, $φ↦(L_φ,ι_φ)$
+et $ℒ_A:ℒ_n(A) → \Aut_A(𝐌_n(A))$, $(L,ι)↦\big(f ↦ ι ∘ f_{L,n} ∘ ι^{-1}\big)$
+sont des bijections inverses l'une de l'autre.
+\end{théorème2}
+
+En termes plus abtraits, on a construit des isomorphismes
+naturels (\refext{Categ}{definition-isomorphisme-naturel})
+inverses l'un de l'autre entre les \emph{foncteurs}
+$\Aut(𝐌_n)$ et $ℒ_n$.
+
+\subsubsection{}Afin de lier cette description
+de $\Aut(𝐌_n)$ à « $\GL_n/\Gm$ » — expression à laquelle
+nous ne donnerons pas de sens précis —
+nous allons réécrire la donnée $(L_φ⊆A^n, ι_φ:L_φ^n ⥲ A^n)$
+en terme d'un seul module.
+À cette fin, considérons le sous-$A$-module $M_φ$ de $𝐌_n(A)$ constitué
+des matrices de vecteurs colonnes
+$(φ(E_{1,1})v,…,φ(E_{n,1})v)$ où $v$ parcourt $A^n$,
+ou bien $L_φ$, le résultat étant le même%\footnote{On vérifie
+%sans peine que pour tout $A$-module $L$, l'application
+%naturelle $\Hom_{A\traitdunion\categ{Mod}}(L^n,A^n) →
+%\Hom_{A\traitdunion\categ{Mod}}(L,𝐌_n(A))$
+%associant à $ι$ l'application linéaire $λ:l ↦
+%\big(ι(l₁),ι(l₂),…,ι(l_n)\big)$,
+%où $l_i ∈ L^n$ a une unique composante non nulle égale à $l$ en position $i$,
+%est un isomorphisme. Si $ι=ι_φ$,
+%on vérifie immédiatement que l'application $λ$ est
+%d'image $M_φ$.}
+.
+De façon équivalente, $M_φ$ est l'image du projecteur $p_φ:𝐌_n(A)→𝐌_n(A)$,
+$\big(v₁,…,v_n\big)↦\big(φ(E_{1,1})v₁,…,φ(E_{n,1})v₁\big)$.
+Il en résulte que $M_φ$ est un facteur
+direct du $A$-module $𝐌_n(A)$, libre de rang $n²$.
+Dans la base canonique $E_{i,j}$ de $𝐌_n(A)$, convenablement
+ordonnée, la matrice de $p_φ$
+est triangulaire par blocs, avec pour diagonale
+la matrice $φ(E_{1,1})$ de taille $n×n$ et la matrice nulle de taille
+$(n²-n)×(n²-n)$. Il en résulte que le polynôme
+$P_{p_φ}(X)=\det\big(\Id_{𝐌_{n}(A)}+(X-1)p_φ\big)$
+est égal à $P_{φ(E_{1,1})}(X)=\det(\Id_{A^n}+(X-1)φ(E_{1,1}))$.
+D'autre part, il résulte de \ref{rang projecteur} que $P_{φ(E_{1,1})}=X$ :
+l'argument donné n'utilisait pas l'hypothèse que l'anneau des coefficients
+soit un corps. Nous dirons donc que $p_φ$ est un \emph{projecteur de
+rang un}.
+
+\subsubsection{}Soient $\mathrm{pr}_i$ les applications « $i$-ième vecteur colonne »
+de $𝐌_n(A)$ dans $A^n$ et $\mathrm{pr}_{i|M_φ}$ leurs restrictions
+à $M_φ$. L'application $\mathrm{pr}_{1|M_φ}$
+induit un isomorphisme sur son image $L_φ$ dont l'inverse est
+l'application $L_φ → M_φ$ envoyant $l$ sur $(φ(E_{1,1})l,…,φ(E_{n,1})l)$.
+On peut donc reconstruire $L_φ$ à partir de $M_φ$ ; l'égalité
+\[
+(ι_φ:L_φ^n ⥲ A^n)=∑_i \mathrm{pr}_{i|M_φ} ∘ {\mathrm{pr}_{1|M_φ}}^{-1}
+\]
+montre comment reconstruire $ι_φ$. (Par construction,
+le terme de droite prolonge l'inclusion $L⊆A^n$.)
+
+Pour tout anneau $A$, notons $𝐏⁰(𝐌_n)(A)$,
+l'ensemble des sous-$A$-modules $M$ de $𝐌_n(A)$
+tels que l'application « image » (cf. \ref{Skolem-Noether abstrait cas corps}
+\emph{infra} pour une justification de cette terminologie)
+\[I_M := ∑_i \mathrm{pr}_{i|M}:M^n → A^n\] soit un isomorphisme.
+L'application \[M↦(L_M=\Im \mathrm{pr}_{1|M}, ι_M=∑_i \mathrm{pr}_{i|M} ∘
+{\mathrm{pr}_{1|M}}^{-1})\] est une bijection entre
+$\mathbf{P}⁰(𝐌_n)(A)$ et $ℒ_n(A)$. Il en résulte que les foncteurs
+$\Aut(𝐌_n)$ et $𝐏⁰(𝐌_n)$ sont isomorphes. (Si $A → B$ un morphisme de
+$k$-algèbres, l'application $𝐏⁰(𝐌_n)(A) → 𝐏⁰(𝐌_n)(B)$ envoie $M⊆𝐌_n(A)$
+sur l'image de $M_B=M ⊗_A A$ dans $𝐌_n(B)$ par l'application canonique.)
+
+\subsubsection{}\label{Skolem-Noether abstrait cas corps}Supposons un instant que $A$ soit un corps, que nous noterons plutôt $K$.
+Un sous-$K$-module de $𝐌_n(K)$ tel que $I_M$ soit un isomorphisme
+n'est autre qu'une droite de $𝐌_n(K)$ engendrée par une matrice
+\emph{inversible}, c'est-à-dire un élément de $\PGL_n(K)=\GL_n(K)/K^×$.
+En effet, $M$ est nécessairement de dimension un
+car $M^n≃K^n$, et, si $M=\{λm:λ ∈ K\}$, où $m$ est une matrice $n×n$
+de vecteurs colonnes $(v₁,…,v_n)$, l'application $I_M$
+envoie $(λ₁m,λ₂m,…,λ_nm)$ sur $∑_i λ_i v_i$. C'est un isomorphisme
+si et seulement si les $v_i$ forment une base de $K^n$.
+On retrouve donc le théorème de Skolem-Nœther sous sa forme usuelle.
+
+\subsection{Seconde démonstration du théorème \ref{trivialisation Azumaya étale} (esquisse)}
+
+Fixons un entier $n$.
+Le foncteur $𝐏⁰(𝐌_n):k\traitdunion\Alg → \Ens$ étant isomorphe au foncteur $\Aut(𝐌_n)$,
+il est représentable par une $k$-algèbre (\refext{formes}{foncteur des
+automorphismes tenseur}), que nous noterons $R$.
+D'après le théorème général \refext{formes}{critère forme étale},
+il suffit de démontrer que la $k$-algèbre $R$ est géométriquement réduite.
+Nous allons pour cela exhiber d'une part une $k$-algèbre $R'$,
+géométriquement réduite pour des raisons évidentes, et d'autre part
+un $k$-plongement de $R$ dans $R'$.
+(En termes géométriques, nous allons « recouvrir » $𝐏⁰(𝐌_n)$ par
+des ouverts d'un espace affine.)
+Pour toute paire d'indices $(i,j)∈\{1,…,n\}²$,
+et tout anneau $A$, posons
+\[𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)(A)=\{M∈𝐏⁰(𝐌_n)(A): \mathrm{pr}_{ij|M}:M ⥲ A\},\]
+où $\mathrm{pr}_{ij}$ est l'application $𝐌_n(A) ↠ A$
+« coefficient $(i,j)$ de la matrice » et
+$\mathrm{pr}_{ij|M}$ sa restriction à $M$.
+Si $A$ est un corps, cela revient à regarder les droites comme ci-dessus
+dont un élément a sa coordonnée en position $(i,j)$ inversible.
+
+Le point clef est que la collection des morphismes de foncteurs $\{𝐏⁰_{ij}(𝐌_n) → 𝐏⁰(𝐌_n)\}$
+est \emph{Zariski-couvrante}
+au sens suivant : pour toute $k$-algèbre $A$, et tout $M∈𝐏⁰(𝐌_n)(A)$,
+il existe des éléments $a₁,…,a_r$ de $A$ tels que
+\begin{enumerate}
+\item $(a₁,…,a_r)=A$ ;
+\item pour chaque $\alpha$, le sous-module
+$M_α⊆𝐌_n(A[a_α^{-1}])$, image de $M$ par l'application
+canonique $𝐏⁰(𝐌_n)(A) → 𝐏⁰(𝐌_n)(A[a_α^{-1}])$,
+appartient à l'image de l'application
+\[∐_{i,j} 𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)(A[a_α^{-1}]) → 𝐏⁰(𝐌_n)(A[a_α^{-1}]).\]
+\end{enumerate}
+
+Pour la définition des $A$-algèbres $A[a^{-1}]$, cf. \refext{Spec}{Spec-localisation}.
+
+Fixons $M$ et vérifions l'assertion précédente.
+Il résulte de la proposition \ref{image projecteur est localement libre} ci-dessous
+et du fait expliqué plus haut que $M$ est l'image d'un projecteur
+de rang un, que l'on peut supposer $M$ \emph{libre}. (On utilise implicitement
+le fait que si $(a₁,…,a_r)=A$ et $(a'₁,…,a'_s)=A$, alors $(a₁a'₁,…,a_r
+a'_s)=A$.) Dans le cas libre, on a $M=Am$ où $m ∈ 𝐌_n(A)$.
+La matrice $m$ est nécessairement inversible (cf. \ref{Skolem-Noether abstrait
+cas corps}). On ne peut pas en déduire que l'un des coefficients de $m$ est
+inversible mais il en résulte cependant que les coefficients d'une colonne
+quelconque (par exemple la première) engendre l'idéal unité de $A$.
+(Calculer le déterminant en développant le long de cette colonne.)
+Si l'on inverse l'un quelconque de ces coefficients, disons $a_{i1}$,
+l'application $\mathrm{pr}_{i1|M}:M → A$ est un isomorphisme.
+Ceci achève la démonstration du fait que les sous-foncteurs
+$𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)$ recouvrent $𝐏⁰(𝐌_n)$ .
+
+Chacun d'eux est représentable : si l'on pose
+\[
+R_{ij}=k[t,x_{αβ}:1≤ α,β ≤n]/(x_{ij}-1,\det(x_{αβ})t-1),
+\]
+pour toute $k$-algèbre $A$, l'application $R_{ij}^\japmath{田}(A) → 𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)(A)$
+envoyant $f:R_{ij}→A$ sur la droite $A⋅(f(x_{αβ}))⊆𝐌_n(A)$
+est une bijection fonctorielle (cf. \ref{Skolem-Noether abstrait cas corps}).
+D'après le lemme de Yoneda, l'inclusion $𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)↪𝐏⁰(𝐌_n)$
+correspond à un morphisme de $k$-algèbres $R → R_{ij}$.
+Faisant varier les indices, on en déduit un morphisme
+$R→R'=∏_{1≤i,j≤n}R_{ij}$. Pour montrer que la $k$-algèbre
+$R'$ est géométriquement réduite, il est suffisant (et nécessaire)
+de le vérifier pour chacun des facteurs. Comme pour toute extension $K\bo k$,
+l'anneau $R_{ij} ⊗_k K$ est isomorphe à l'anneau
+$K[t,x_{αβ}:1≤ α,β ≤n]/(x_{ij}-1,\det(x_{αβ})t-1)$,
+il suffit de démontrer que $R_{i,j}$
+est réduit. Notons $c$ le polynôme $\det(x_{αβ})$ évalué en $x_{ij}=1$.
+C'est un élément \emph{non nul} de l'anneau $C$
+des polynômes en les $n²-1$ variables restantes.
+Or, on vérifie immédiatement, par exemple à l'aide de l'algorithme de division
+euclidienne, que l'application $C[t]/(t⋅c-1) → \Frac(C)$
+envoyant $t$ sur $c^{-1}$ est une injection.
+Ainsi, $R_{ij} ≃ C[t]/(t⋅c-1)$ est intègre donc en particulier réduit.
+
+Pour conclure, il nous suffit de montrer que l'application $R→R'$
+déduite du lemme Yoneda est injective. C'est un résultat général,
+qui fait l'objet de la proposition \ref{famille Z-couvrante et injectivité} ci-dessous.
+
+\begin{proposition2}\label{image projecteur est localement libre}
+Soient $A$ un anneau, $N$ un entier et $p=(a_{i,j}) ∈ 𝐌_N(A)$ un projecteur de rang un
+c'est-à-dire tel que $\det(\Id_{A^N}+(X-1)p)=X$.
+Notons $M⊆A^N$ l'image de $p$.
+\begin{enumerate}
+\item On a $∑_{i=1}^N a_{i,i}=1_A$ et donc $(a_{1,1},a_{2,2},…,a_{N,N})=A$.
+\item Pour chaque $i$, l'image de la matrice $p$ vue dans $𝐌_N(A[a_{i,i}^{-1}])$
+est un $A[a_{i,i}^{-1}]$-module libre de rang un.
+\item Cet image coïncide avec l'image de $M ⊗_A A[a_{i,i}^{-1}]$ dans
+$A[a_{i,i}^{-1}]^N$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Le premier point n'est autre que l'égalité $\Tr(p)=1_A$, qui découle
+de l'égalité $\det(X\Id_{A^N}-p)=X^{N-1}(X-1)$ (réécriture
+de $\det(\Id_{A^N}+(X-1)p)=X$). Le troisième point est évident.
+Pour le second, on se ramène à vérifier que si $p$ est un projecteur de rang un
+tel que $a_{1,1}$ soit inversible, alors $p(A)=A⋅p(e₁)$.
+Le coefficient $a_{1,1}$ étant inversible, les vecteurs $p(e₁),e₂,…,e_N$
+forment une base de $A^N$. Dans cette base, la matrice de $p$ est triangulaire
+supérieure avec un bloc $1×1$ égal à $1$ sur la diagonale
+et un autre bloc diagonal, noté $q$, de taille $(n-1)×(n-1)$,
+qui est une matrice idempotente. Son polynôme caractéristique est $X^{n-1}$.
+Des égalités $q²=q$ et $q^{N-1}=0$ (Cayley-Hamilton) on tire $q=0$ et, finalement,
+le fait que la matrice de $p$ dans cette nouvelle base ait ses
+toutes ses lignes sauf la première nulles. Il en résulte que $p(A)=A⋅p(e₁)$.
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}\label{famille Z-couvrante et injectivité}
+Soit $A → A_i$ ($1≤i≤N$) une famille finie de $k$-algèbre
+telle que les foncteurs $A_i^\japmath{田} → A^\japmath{田}$ correspondants soient Zariski-couvrants.
+Alors, l'application $A → ∏_i A_i$ est \emph{injective}.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Considérons l'identité $\Id∈\Hom_k(A,A)=A^\japmath{田}(A)$.
+Par hypothèse, il existe une famille d'éléments $(a₁,…,a_r)$
+engendrant l'idéal unité de $A$ tels que pour chaque $α∈\{1,…,r\}$
+l'application canonique $A → A[a_α^{-1}]$ — qui n'est autre que l'image de l'identité
+par l'application $A^\japmath{田}(A) →A^\japmath{田}(A[a_α^{-1}])$ —
+se factorise à travers $A → A_{i_α}$ pour un indice $i_α ∈ \{1,…,N\}$
+convenable. Soit maintenant $a$ dans le noyau de $A → ∏_i A_i$.
+Il résulte de ce qui précède que $a$ appartient également
+au noyau de l'application canonique $A → ∏_α A[a_α^{-1}]$.
+Or, si $(a₁,…,a_r)=A$, cette application est injective.
+Ainsi $a=0$ et $A → ∏_i A_i$ est injective (cf. \refext{Spec}{} \XXX).
+CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{remarque2}
+Pour une démonstration de même nature du théorème \ref{trivialisation Azumaya étale}
+reposant sur la théorie de Wedderburn cf. \cite[2.2.5]{Gille-Szamuely} (voir
+également \ref{remarque Gille-Szamuely} \emph{supra}).
+\end{remarque2}
+
+\section{Références bibliographiques}
+
+Skolem-Nœther : Jean Lannes  Bourbaki AC, II, §5, ex. 21. Voir aussi A, VIII,
+§1, ex. 9.
+\cite{BNT@Weil}, chap. IX, etc.
+Applications algébriques de la cohomologie des groupes II : théorie
+des algèbres simples. (Serre, sém. Cartan 1950).
+
+Arithmétique des algèbres de quaternions (LNM 800), M.-F. Vignéras.
+
+Norme spinorielle : cf. Jean Lannes.
+
+« Halmilton's quaternions » [en allemand] de Koecher, Remmert dans « Numbers ».
+
+« The book of involution » p. 25—.
+
+\ifx\danslelivre\undefined
+\bibliography{bibliographie-livre}
+\bibliographystyle{style-bib-livre}
+\end{document}
+\fi
diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
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+\ifx\danslelivre\undefined
+\documentclass[9pt]{smfart-moi}
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+\input{commun}
+\input{smf}
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+
+\externaldocument{correspondance-galois}
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+
+\title{Algorithmes de calcul}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\setcounter{tocdepth}{1}
+\tableofcontents
+\else
+\chapter{Algorithmes de calcul}
+\fi
+
+
+\section{Algorithmes généraux}
+
+Nous nous attachons dans ce chapitre à présenter certaines des
+techniques permettant de calculer, de façon effective, le groupe de
+Galois d'un polynôme. Dans un premier temps, nous exposerons
+certaines techniques complètement générales prouvant que le problème
+(de déterminer le groupe de Galois d'un polynôme, disons, sur $\QQ$)
+est au moins théoriquement algorithmique (c'est-à-dire, décidable au
+sens de Church-Turing), même si ces algorithmes tout à fait généraux
+sont inutilisables dans la pratique en raison de leur complexité.
+
+\subsection{La méthode de Kronecker}
+
+Le résultat suivant, dû à Kronecker, ramène la détermination d'un
+groupe de Galois à la factorisation d'un polynôme.
+
+\begin{proposition2}
+Soit $f = X^d + a_1 X^{d-1} + \cdots + a_d \in K[X]$ un polynôme
+(unitaire, de degré $d$) séparable à coefficients dans un corps $K$,
+et $\xi_1,\ldots,\xi_d$ ses racines dans son corps de décomposition
+noté $L$ (de sorte que $f = \prod_{i=1}^d (X-\xi_i)$). On définit
+la \emph{résolvante de Kronecker} de $f$ comme
+\[
+s = \prod_{\sigma\in\mathfrak{S}_d}
+\Big(X-\sum_{i=1}^d Y_i \xi_{\sigma(i)}\Big)
+\in L[X, Y_1,\ldots,Y_d]
+\]
+Ce polynôme $s$ est, en fait, à coefficients dans $K$, et il est
+invariant par $\mathfrak{S}_d$ agissant par permutation sur les
+variables $Y_1,\ldots,Y_d$. Soit $h$ un facteur irréductible
+quelconque de $s$ dans $K[X, Y_1,\ldots,Y_d]$, choisi unitaire comme
+polynôme en $X$ ; et soit $S_h$ le sous-groupe $S_h$ de
+$\mathfrak{S}_d$ formé des permutations $\sigma\in\mathfrak{S}_d$
+(permutant les $Y_i$) qui laissent $h$ invariant. Alors $S_h$ est
+conjugué, dans $\mathfrak{S}_d$, au groupe de Galois $G = \Gal(L/K)$
+de $f$ sur $K$ vu comme un groupe de permutations sur $\{\xi_i\}$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Remarquons tout d'abord que les facteurs $X-\sum_{i=1}^d Y_i
+\xi_{\sigma(i)}$, étant linéaires, sont irréductibles dans
+$L[X,Y_1,\ldots,Y_d]$, donc l'expression définissant $s$ donne
+exactement sa décomposition en facteurs irréductibles dans
+$L[X,Y_1,\ldots,Y_d]$. La même chose vaudra pour n'importe quel
+produit de tels facteurs (et en particulier pour le polynôme $g$
+défini ci-dessous).
+
+Le polynôme $s$ est, par construction, totalement invariant par
+n'importe quelle permutation $\sigma\in\mathfrak{S}_d$ des $\xi_i$, et
+notamment par l'action du groupe de Galois $G \leq \mathfrak{S}_d$
+de $f$. Il s'ensuit que $s$ est à coefficients dans le corps fixe par
+$G$ dans $L$, c'est-à-dire $K$ ; cette même remarque prouve aussi que
+le polynôme $g$ défini par $g = \prod_{\sigma\in G}
+\big(X-\sum_{i=1}^d Y_i \xi_{\sigma(i)}\big)$ est aussi à coefficients
+dans $K$ (et c'est manifestement un facteur de $s$). Ici, on a
+identifié $G$ à un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ au moyen de la
+numérotation choisie pour les racines, c'est-à-dire en posant
+$\xi_{\sigma(i)} = \sigma(\xi_i)$.
+
+Comme $\sum_{i=1}^d Y_i \xi_{\sigma(i)} = \sum_{i=1}^d
+Y_{\sigma^{-1}(i)} \xi_i$, on peut encore réécrire $s$ comme $s =
+\prod_{\sigma\in\mathfrak{S}_d} \big(X-\sum_{i=1}^d Y_{\sigma(i)}
+\xi_{i}\big)$, donc $s$ est bien invariant par l'action
+de $\mathfrak{S}_d$ qui permute les variables $Y_1,\ldots,Y_d$. Pour
+ce qui est de $g$, il est pour la même raison fixé au moins par
+l'action de $G$ sur les $Y_i$ (soulignons on a identifié $G$ à un
+sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$). Pour montrer qu'il n'est pas fixé
+par plus (c'est-à-dire que $S_g = G$ exactement), on observe que si un
+$\tau\in \mathfrak{S}_d$ laisse $g$ invariant (en agissant par
+permutation sur les $Y_i$), il doit permuter les facteurs
+irréductibles de $g$ dans $L[X,Y_1,\ldots,Y_d]$, et notamment il
+envoie $X-\sum_{i=1}^d Y_i \xi_i$ sur $X-\sum_{i=1}^d Y_i
+\xi_{\tau^{-1}(i)}$ ce qui prouve que $\tau \in G$.
+
+Dans $L[X,Y_1,\ldots,Y_d]$, on a signalé que les facteurs
+irréductibles de $s$ sont donnés exactement par les $X-\sum_{i=1}^d
+Y_i \xi_{\sigma(i)}$. En particulier, la factorisation de $h$ doit
+être donnée par un sous-ensemble de ces facteurs ; quitte à permuter
+les variables $Y_i$ (ce qui revient à conjuguer le sous-groupe $S_h$ à
+l'intérieur de $\mathfrak{S}_d$), on peut supposer que $h$ comporte le
+facteur $X-\sum_{i=1}^d Y_i \xi_i$ (correspondant à $\sigma = \Id$).
+On cherche alors à prouver que $S_h = G$. Étant donné que $h$ est à
+coefficients dans $K$, il est invariant par l'action de $G$ agissant
+sur les $\xi_i$ : puisque $h$ comporte le facteur $X-\sum_{i=1}^d Y_i
+\xi_i$, il est aussi divisible par tous les facteurs $X-\sum_{i=1}^d
+Y_i \xi_{\sigma(i)}$ avec $\sigma \in G$, c'est-à-dire que $g$ divise
+$h$ (dans $L[X,Y_1,\ldots,Y_d]$ mais donc aussi dans
+$K[X,Y_1,\ldots,Y_d]$, où ces deux polynômes vivent). Or $h$ était
+supposé irréductible (dans $K[X,Y_1,\ldots,Y_d]$), et tous deux sont
+unitaires, donc $g=h$ et $S_h=S_g=G$.
+\end{proof}
+
+\begin{remarques2}
+\begin{itemize}
+\item La démonstration ci-dessus décrit exactement la décomposition en
+ facteurs irréductibles de $s$ dans $K[X,Y_1,\ldots,Y_d]$ : ce sont
+ les $\tau(g) = \prod_{\sigma\in G\tau^{-1}} \big(X-\sum_{i=1}^d Y_i
+ \xi_{\sigma(i)}\big)$, où $G\tau^{-1}$ parcourt les classes à gauche
+ de $G$ dans $\mathfrak{S}_d$.
+\item Si on sait déjà que le groupe de Galois de $G$ est contenu dans
+ un certain sous-groupe $\mathfrak{G}$ de $\mathfrak{S}_d$, l'énoncé
+ reste vrai en utilisant la résolvante $s_{\mathfrak{G}} =
+ \prod_{\sigma\in\mathfrak{G}} \Big(X-\sum_{i=1}^d Y_i
+ \xi_{\sigma(i)}\Big) \in L[X, Y_1,\ldots,Y_d]$ au lieu de $s$ (ceci
+ ne possède d'intérêt algorithmique, toutefois, que si on sait
+ exprimer comme éléments de $K$ les polynômes
+ $\mathfrak{G}$-invariants des $\xi_i$, cf. ci-dessous).
+
+ Toutefois, il faut se garder de croire que le fait que le
+ $s_{\mathfrak{G}}$ défini ci-dessus soit dans $K[X,Y_1,\ldots,Y_d]$
+ suffise à impliquer que $\mathfrak{G}$ contienne le (ou un conjugué
+ du) groupe de Galois de $G$. En effet, si $\mathfrak{G}$ est
+ l'intersection de tous les conjugués $\sigma G \sigma^{-1}$ de $G$
+ dans $\mathfrak{S}_d$, alors $s_{\mathfrak{G}}$ est le pgcd des
+ $s_{\sigma G \sigma^{-1}}$ qui appartiennent tous à
+ $K[X,Y_1,\ldots,Y_d]$, donc il est bien à coefficients dans $K$, et
+ pourtant ce $\mathfrak{G}$ peut être strictement plus petit que tout
+ conjugué $\sigma G \sigma^{-1}$ de $G$. \XXX (Je ne dis pas des
+ bêtises, là ?)
+\item Le calcul explicite de $s$ est, au moins en principe,
+ algorithmique à partir de la connaissance de $f$ : on peut, par
+ exemple, calculer le polynôme « universel »
+\[
+\Upsilon := \prod_{\sigma\in\mathfrak{S}_d}
+\Big(X-\sum_{i=1}^d Y_i Z_{\sigma(i)}\Big)
+\in \ZZ[X,Y_1,\ldots,Y_d,Z_1,\ldots,Z_d]
+\]
+qui est totalement symétrique dans les variables $Z_1,\ldots,Z_d$ et
+s'écrit donc, et de façon algorithmique, comme polynôme (à
+coefficients dans $\ZZ[X,Y_1,\ldots,Y_d]$) dans les fonctions
+symétriques élémentaires $\sigma_j$ en les $Z_i$ (soit
+$\sigma_1=Z_1+\cdots+Z_d$, $\sigma_2=\sum_{\alpha<\beta} Z_\alpha
+Z_\beta$, ..., $\sigma_d=Z_1\cdots Z_n$) ; en substituant $(-1)^i a_i$
+(les coefficients de $f$, au signe près) à $\sigma_i$ dans $\Upsilon$
+on obtient précisément le polynôme $s$.
+\end{itemize}
+\end{remarques2}
+
+\begin{exemple2}
+Soit $f = X^3 + X^2 - 2 X - 1$
+(cf. \refext{ExG}{exemple-galois-cubique-cyclique}). On peut alors
+vérifier que
+\[
+\begin{array}{r@{}l}
+s =& \phantom{\cdot}\Big(X^3 + (Y_1+Y_2+Y_3) X^2\\
+& \mskip25mu + \big(-2(Y_1^2+Y_2^2+Y_3^2) + 3(Y_1Y_2 + Y_2Y_3 + Y_3Y_1)\big) X\\
+& \mskip25mu + \big(-(Y_1^3+Y_2^3+Y_3^3) - 3(Y_1^2 Y_2 + Y_2^2 Y_3 + Y_3^1 Y_1)\\
+& \mskip50mu + 4(Y_1 Y_2^2 + Y_2 Y_3^2 + Y_3 Y_1^2) + Y_1 Y_2 Y_3\big)\Big)\\
+& \cdot\Big(X^3 + (Y_1+Y_2+Y_3) X^2\\
+& \mskip25mu + \big(-2(Y_1^2+Y_2^2+Y_3^2) + 3(Y_1Y_2 + Y_2Y_3 + Y_3Y_1)\big) X\\
+& \mskip25mu + \big(-(Y_1^3+Y_2^3+Y_3^3) + 4(Y_1^2 Y_2 + Y_2^2 Y_3 + Y_3^1 Y_1)\\
+& \mskip50mu - 3(Y_1 Y_2^2 + Y_2 Y_3^2 + Y_3 Y_1^2) + Y_1 Y_2 Y_3\big)\Big)\\
+\end{array}
+\]
+L'existence de cette factorisation prouve que le groupe de Galois
+de $f$ est contenu dans $\ZZ/3\ZZ$ opérant cycliquement sur les
+racines ; et le fait que ces deux facteurs soient irréductibles est
+équivalent au fait que le groupe de Galois de $f$ n'est pas
+strictement plus petit (c'est-à-dire, que $f$ n'est pas scindé).
+\end{exemple2}
+
+Il résulte de ce qui précède que, dès lors que le corps $K$ est tel
+qu'on sache algorithmiquement faire des calculs dans $K$ et factoriser
+en irréductibles les polynômes à plusieurs variables à coefficients
+dans $K$, il est également possible algorithmiquement de calculer le
+groupe de Galois d'un polynôme à coefficients dans $K$. La
+proposition suivante justifie que c'est le cas pour $\QQ$ ainsi que
+pour tout corps pour lequel on sait (faire des calculs et) factoriser
+les polynômes à une seule indéterminée.
+
+\begin{proposition2}
+Les problèmes suivants sont résolubles algorithmiquement (i.e.,
+décidables au sens de Church-Turing) :
+\begin{itemize}
+\item Décomposer un élément de $\QQ[X]$ en facteurs irréductibles.
+\item Décomposer un élément de $K[T_1,\ldots,T_n]$ en facteurs
+ irréductibles, en supposant algorithmiques les opérations dans $K$
+ et le fait de décomposer un élément de $K[X]$ en facteurs
+ irréductibles.
+\end{itemize}
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Commençons par considérer le problème de la factorisation dans
+$\ZZ[X]$. On peut supposer que le polynôme $f$ à factoriser est
+primitif (c'est-à-dire de contenu $1$, le contenu étant le pgcd de ses
+coefficients), ce qui écarte les facteurs constants. Il s'agit alors,
+pour chaque $k > 0$ inférieur au degré de $f$, de décider si $f$
+possède un facteur de degré $k$ et le cas échéant de le calculer. On
+calcule $f(0),\ldots,f(k)$ et, pour chaque choix $(d_0,\ldots,d_k)$ de
+diviseurs des entiers $(f(0),\ldots,f(k))$, on calcule l'unique
+polynôme $g \in \QQ[X]$ de degré $k$ tel que $g(0) = d_0$, ..., $g(k)
+= d_k$ (polynôme interpolateur de Lagrange), et, si $g \in \ZZ[X]$, on
+teste si $g$ divise $f$. Si un diviseur de $f$ existe, il sera
+nécessairement trouvé par cet algorithme.
+
+Le cas de $\QQ[X]$ découle de $\ZZ[X]$ : si $f \in \QQ[X]$, on peut
+écrire $f = c f_1$ où $c \in \QQ$ et $f_1 \in\ZZ[X]$ est primitif.
+Les facteurs irréductibles de $f$ sont alors ceux de $f_1$. \XXX
+
+Montrons maintenant que la connaissance d'un algorithme de
+factorisation pour une seule variable permet, en principe, de
+factoriser les polynômes à plusieurs variables. Donné $f \in
+K[T_1,\ldots,T_n]$, on choisit $e$ un entier strictement supérieur au
+degré de $f$ dans n'importe laquelle des variables $T_i$ et on calcule
+$S_e(f) := f(X,X^e,X^{e^2},\ldots,X^{e^{n-1}}) \in K[X]$. Si $f$
+possède un facteur $g$ non-trivial, alors manifestement $S_e(g)$
+divise $S_e(f)$. Supposant qu'on sait factoriser le polynôme univarié
+$S_e(f)$, on peut vérifier pour chacun de ses facteurs s'il est
+susceptible de s'écrire sous la forme $S_e(g)$ avec $g$ de degré
+inférieur à $e$ en chaque variable : le polynôme $g$ se retrouve de
+façon unique en remplaçant chaque monôme $X^{i_0 + i_1 e + i_2 e^2 +
+ \cdots + i_{n-1} e^{n-1}}$ (l'exposant étant écrit en base $e$) par
+$T_1^{i_0} \cdots T_n^{i_{n-1}}$ ; on teste alors si $g$ divise $f$.
+Si un diviseur de $f$ existe, il sera nécessairement trouvé par cet
+algorithme.
+\end{proof}
+
+\XXX --- Faut-il mentionner ici le fait qu'une extension algébrique
+finie séparable (par un polynôme explicite) d'un corps dans lequel on
+sait algorithmiquement factoriser les polynômes possède la même
+propriété ? (Cf.  Fried \& Jarden, lemme 19.2.2.) En revanche, sans
+supposer l'extension séparable, ce n'est pas vrai en général :
+cf. Fröhlich \& Shepherdson, « Effective Procedures in Field Theory »,
+\textit{Phil. Trans. R. Soc. A} \textbf{248} (1956) 407--432,
+théorème 7.27.
+
+\subsection{Factorisations successives}
+
+\XXX À écrire : on peut calculer le groupe de Galois d'un polynôme en
+factorisant successivement dans tous les corps de rupture possibles.
+
+
+\section{La notion de résolvante}
+
+\subsection{Polynômes invariants}
+
+La proposition suivante assure que pour chaque sous-groupe $H$ de
+$\mathfrak{S}_d$ on peut trouver un polynôme $P$ en $d$ variables
+$Z_1,\ldots,Z_d$ tel que les permutations des variables $Z_i$ laissant
+$P$ invariant soient exactement celles appartenant à $P$ :
+\begin{proposition2}
+Soit $H$ un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ et soit $K$ un corps : si
+on fait opérer $\mathfrak{S}_d$ sur $K[Z_1,\ldots,Z_d]$ ou
+$K(Z_1,\ldots,Z_d)$ par $\sigma(P(Z_1,\ldots,Z_d)) =
+P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)})$, alors il existe $P \in
+K[Z_1,\ldots,Z_d]$ tel que $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = H$. De plus,
+lorsque c'est le cas, le corps $E := \Fix_H K(Z_1,\ldots,Z_d)$ est
+engendré sur corps $F := \Fix_{\mathfrak{S}_d} K(Z_1,\ldots,Z_d)$ des
+fonctions rationnelles totalement symétriques par l'unique élément $P$
+(autrement dit, $E = F(P)$).
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Pour la première affirmation, on considère le polynôme
+\[
+P := \sum_{\sigma \in H} Z_{\sigma(1)} Z_{\sigma(2)}^2 \cdots Z_{\sigma(d)}^d
+\]
+Manifestement, il comporte bien $\#H$ monômes distincts, il est
+invariant par $H$, et toute permutation $\sigma$ des variables le
+laissant invariant doit envoyer $Z_1 Z_2^2 \cdots Z_d^d$ sur un des
+monômes $Z_{\sigma(1)} Z_{\sigma(2)}^2 \cdots Z_{\sigma(d)}^d$ de
+sorte que $\sigma \in H$.
+
+Supposons maintenant $P \in K(Z_1,\ldots,Z_d)$ tel que
+$\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = H$.
+
+Le lemme d'Artin (\refext{CG}{lemme-d-Artin}) assure que
+$K(Z_1,\ldots,Z_d)$ est une extension galoisienne de $F =
+\Fix_{\mathfrak{S}_d} K(Z_1,\ldots,Z_d)$ de groupe de
+Galois $\mathfrak{S}_d$, et d'après la correspondance de Galois
+(\refext{CG}{correspondance Galois finie}), l'extension intermédiaire
+$E = \Fix_H K(Z_1,\ldots,Z_d)$ est séparable de degré
+$(\mathfrak{S}_d:H) = d!/\#H$ sur $F$.
+
+L'hypothèse que $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = H$ entraîne que l'orbite
+de $P$ par $\mathfrak{S}_d$ est de cardinal $d!/\#H$, c'est-à-dire,
+que $P$ a $d!/\#H$ conjugués, donc ce nombre est son degré sur $F$.
+Il s'ensuit que $F(P)$ est inclus dans $E$ et que leurs degrés sur $F$
+sont égaux, donc $E = F(P)$.
+\end{proof}
+
+\begin{remarques2}
+La démonstration donnée ci-dessus est constructive, mais le polynôme
+$P = \sum_{\sigma \in H} Z_{\sigma(1)} Z_{\sigma(2)}^2 \cdots
+Z_{\sigma(d)}^d$ ainsi construit est généralement très loin d'être
+optimal ! Lorsqu'on cherche à trouver un polynôme tel que décrit
+ci-dessus, pour construire une résolvante
+(cf. \ref{definition-resolvante} plus bas), il convient généralement
+d'essayer de symétriser un monôme de petit degré.
+
+Deux cas particuliers sont fréquemment importants : d'une part,
+lorsque $H$ est le stabilisateur d'une partie $A$ de cardinal $r$ de
+$\{1,\ldots,d\}$ (peu importe laquelle, les sous-groupes
+correspondants sont de toute façon conjugués), un polynôme $P$ évident
+comme ci-dessus est donné par $\sum_{i \in A} Z_i$. D'autre part,
+lorsque $H$ est le stabilisateur d'un $r$-uplet $(i_1,\ldots,i_r)$
+d'éléments de $\{1,\ldots,d\}$ (de nouveau, les sous-groupes
+correspondants sont conjugués), si le corps $K$ a au moins $r+1$
+éléments et que $c_1,\ldots,c_r \in K$ sont deux à deux distincts et
+non nuls, alors $c_1 Z_{i_1} + \cdots + c_r Z_{i_r}$ fournit un
+polynôme comme proposé.
+\end{remarques2}
+
+\subsection{Résolvantes}
+
+\begin{definition2}\label{definition-resolvante}
+Soit $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ un polynôme en $d$ variables à
+coefficients dans un corps $K$, et soit $f = X^d + a_1 X^{d-1} +
+\cdots + a_d \in K[X]$ un polynôme (unitaire, de degré $d$) séparable
+à coefficients dans le même corps $K$ : si $\xi_1,\ldots,\xi_d$ sont
+les racines de $f$ dans son corps de décomposition noté $L$ (de sorte
+que $f = \prod_{i=1}^d (X-\xi_i)$). On définit la \emph{résolvante
+ relativement à $P$} de $f$ comme
+\[
+R_P(f) = \prod_{\sigma\in\mathfrak{S}_d/H}
+(X-P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)}))
+\in L[X]
+\]
+où $H = \Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = \{\sigma\in\mathfrak{S}_d :
+F(Z_{\sigma(1)}, \ldots, Z_{\sigma(d)}) = F(Z_1,\ldots,Z_d)\}$ est le
+stabilisateur de $F$ pour l'action de $\mathfrak{S}_d$ opérant sur
+$K[Z_1,\ldots,Z_d]$ par permutation des variables ; ce polynôme
+$R_P(f)$ est, en fait, à coefficients dans $K$.
+
+Avec les notations $P,H$ du paragraphe précédent, on appelle
+\emph{résolvante générale relativement à $P$} le polynôme
+\[
+R_P = \prod_{\sigma\in\mathfrak{S}_d/H}
+(X-P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}))
+\in K[X,Z_1,\ldots,Z_d]
+\]
+totalement symétrique dans les variables $Z_1,\ldots,Z_d$.
+
+Avec les notations $P,f$ introduites ci-dessus, si $\mathfrak{G}$ est
+un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ contenant le groupe de Galois
+$\Gal(L/K)$ de $f$ (vu comme un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ par la
+numérotation $\xi_1,\ldots,\xi_d$ choisie sur les racines), on définit
+la \emph{résolvante dans $\mathfrak{G}$ relativement à $P$} de $f$
+comme
+\[
+R_{\mathfrak{G},P}(f) = \prod_{\sigma\in\mathfrak{G}/H}
+(X-P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})) \in L[X]
+\]
+où $H = \Stab_{\mathfrak{G}}(F) = \{\sigma\in\mathfrak{G} :
+F(Z_{\sigma(1)}, \ldots, Z_{\sigma(d)}) = F(Z_1,\ldots,Z_d)\}$ est le
+stabilisateur de $F$ dans $\mathfrak{G}$ ; l'hypothèse que
+$\mathfrak{G}$ contient $\Gal(L/K)$ assure ce polynôme
+$R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est, en fait, à coefficients dans $K$.
+\end{definition2}
+
+Le fait que $R_P(f)$ et $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ sont à coefficients
+dans $K$ est clair puisqu'ils sont invariants par $\Gal(L/K)$ (en
+effet, $\Gal(L/K)$ opère en permutant les $\xi_i$, donc les facteurs
+de $R_P(f)$, et aussi, grâce à l'hypothèse que $\Gal(L/K) \leq
+\mathfrak{G}$, de $R_{\mathfrak{G},P}(f)$).
+
+Le fait que la résolvante générale $R_P$ est un polynôme totalement
+symétrique dans les $Z_1,\ldots,Z_d$ n'est pas moins clair : on le
+considérera donc, généralement, comme polynôme dans les fonctions
+symétriques élémentaires $\sigma_j$ en les $Z_i$ ; ceci permet de
+considérer $R_P(f)$ comme l'évaluation de $R_P$ en remplaçant
+$\sigma_i$ par $(-1)^i a_i$ (et ceci démontre de nouveau que $R_P(f)
+\in K[X]$). On pourrait définir de façon évidente une résolvante
+générale $R_{\mathfrak{G},P}$ dans un sous-groupe $\mathfrak{G}$
+de $\mathfrak{S}_d$, mais le polynôme ainsi défini n'est pas
+totalement symétrique dans les $Z_i$.
+
+\begin{exemples2}
+\begin{itemize}
+\item Si $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ est un polynôme totalement
+ symétrique en $Z_1,\ldots,Z_d$, alors $H :=
+ \Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = \mathfrak{S}_d$, si bien que $R_P$ est
+ simplement le polynôme linéaire $X - P(Z_1,\ldots,Z_d)$ et, pour
+ chaque $f \in K[X]$, le polynôme $R_P(f)$ vaut simplement $X-c$ où
+ $c$ est la valeur $P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ obtenue en remplaçant
+ $\sigma_i$ par $(-1)^i a_i$ dans une écriture de $P$ au moyen des
+ fonctions symétriques élémentaires $\sigma_i$ des $Z_i$.
+\item Si $K$ est de caractéristique $\neq 2$ et si $P = \prod_{i<j}
+ (Z_i-Z_j)$ (cf. \refext{CG}{construction discriminant et
+ 2-distinguant}), alors $H = \mathfrak{A}_d$, et $R_P = X^2 -
+ \Delta_{2'}$ avec les notations de \refext{CG}{definition
+ discriminant et 2-distinguant}, c'est-à-dire que $R_P(f) = X^2 -
+ \Delta(f)$ où $\Delta(f)$ est le discriminant de $f$. En
+ particulier, la proposition \refext{CG}{caracterisation groupe Gal
+ alterne} assure que $f$ (un polynôme séparable quelconque) est
+ inclus dans le groupe alterné $\mathfrak{A}_d$ si et seulement si
+ $R_P(f)$ est scindé sur $K$.
+\item Considérons (pour $d=4$) le polynôme $P = Z_1 Z_3 + Z_2 Z_4 \in
+ \QQ[Z_1,\ldots,Z_4]$. On a alors $H = \{\Id, (1\,3), (2\,4),
+ (1\,3)(2\,4), \penalty-100 (1\,2)(3\,4), (1\,4)(2\,3), (1\,2\,3\,4),
+ (1\,4\,3\,2)\}$ (groupe diédral du carré ont les sommets sont
+ cycliquement numérotés $1,2,3,4$), et l'ensemble des classes à
+ gauche $\mathfrak{S}_4/H$ a trois éléments, les deux autres images
+ correspondantes de $P$ étant $P' = Z_1 Z_2 + Z_3 Z_4$ et $P'' = Z_1
+ Z_4 + Z_2 Z_3$. Le polynôme $R_P = (X-P)(X-P')(X-P'')$ s'écrit $X^3
+ - \sigma_2 X^2 + (\sigma_1 \sigma_3 - 4 \sigma_4) X - \sigma_1 ^2
+ \sigma_4 - \sigma_3^2 + 4 \sigma_2 \sigma_4$ : c'est-à-dire que si
+ $f = X^4 + a_1 X^3 + a_2 X^2 + a_3 X + a_4$ alors $R_P(f) = X^3 -
+ a_2 X^2 + (a_1 a_3 - 4 a_4) X - a_1 ^2 a_4 - a_3^2 + 4 a_2 a_4$.
+ Remarquons notamment que si $f$ est de la forme $X^4 + a_2 X^2 +
+ a_4$ (c'est-à-dire $a_1 = a_3 = 0$) alors $R_P(f) = X^3 - a_2 X^2 -
+ 4 a_4 X + 4 a_2 a_4$ se factorise comme $(X - a_2)\, (X^2 - 4 a_4)$
+ dans $K[X]$.
+\item Si $P = Z_1$, alors $H$ est le fixateur de $1$
+ dans $\mathfrak{S}_d$, et $\mathfrak{S}_d/H$ s'identifie à
+ $\{1,\ldots,d\}$, si bien que $R_P(f)$ est simplement le polynôme
+ $f$ lui-même.
+\end{itemize}
+\end{exemples2}
+
+La proposition suivante justifie l'intérêt porté à la notion de
+résolvante pour le calcul de groupes de Galois :
+
+\begin{proposition2}
+Soit $f = X^d + a_1 X^{d-1} + \cdots + a_d \in K[X]$ un polynôme
+(unitaire, de degré $d$) séparable à coefficients dans un corps $K$
+dont le groupe de Galois est contenu dans un sous-groupe
+$\mathfrak{G}$ de $\mathfrak{S}_d$, et soit $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$
+dont on note $H = \Stab_{\mathfrak{G}}(P)$ le stabilisateur dans
+$\mathfrak{G}$ opérant en permutant les indéterminées $Z_i$. Alors :
+\begin{itemize}
+\item si le groupe de Galois $G$ de $f$ est contenu dans un conjugué
+ de $H$ (à l'intérieur de $\mathfrak{G}$), alors
+ $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ admet une racine dans $K$,
+\item et réciproquement, \emph{en supposant que
+ $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est séparable}, si $R_{\mathfrak{G},P}(f)$
+ admet une racine dans $K$, le groupe de Galois $G$ de $f$ est
+ contenu dans un conjugué de $H$.
+\end{itemize}
+Plus précisément, en supposant $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ séparable, le
+groupe de Galois de ce dernier est isomorphe à $G/(G \cap
+\bigcap_{\sigma\in\mathfrak{G}} \sigma H \sigma^{-1})$ opérant sur
+l'ensemble $\mathfrak{G}/H$ des classes à gauche de $H$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Supposons d'abord que $G$ est contenu dans un conjugué $\sigma H
+\sigma^{-1}$ (pour $\sigma \in \mathfrak{G}$) de $H$. Alors, comme le
+polynôme $P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)})$ est invariant par
+$\sigma H \sigma^{-1}$ (opérant en permutant les variables), l'élément
+$P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$ de $L$ est invariant
+par $G$, donc appartient à $K$, de sorte que $R_{\mathfrak{G},P}(f)$
+admet cette racine dans $K$.
+
+Montrons maintenant la dernière affirmation : comme les racines
+$P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$ de
+$R_{\mathfrak{G},P}(f)$, donc le corps de décomposition de ce dernier,
+sont contenues dans $L$, le groupe de Galois
+de $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est un quotient de $G$, et il s'agit de
+comprendre l'action de $G$ sur $\mathscr{R} :=
+\{P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)}) : \sigma\in\mathfrak{G}\}$
+(le groupe de Galois de $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ sera le quotient de
+$G$ par le noyau de cette action). Posons $X = \mathfrak{G}/H$ : on
+définit une application $X \to \mathscr{R}$ envoyant $\sigma H$ sur
+$P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$ : celle-ci est bien
+définie (car si $\tau \in H$ alors
+$P(\xi_{\sigma\tau(1)},\ldots,\xi_{\sigma\tau(d)}) =
+P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$ vu que $P$ est invariant
+par $\tau$). Cette application est une surjection par définition
+de $\mathscr{R}$, et une bijection car l'hypothèse de séparabilité
+de $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ assure que $\mathscr{R}$ et $X$ ont même
+cardinal. Enfin, elle transporte l'action de $G$ sur $X$ par
+multiplication à gauche en l'action naturelle de $G$
+sur $\mathscr{R}$. Ceci montre bien l'affirmation recherchée : le
+noyau de l'action de $G$ sur $X$ par multiplication à gauche est $G/(G
+\cap \bigcap_{\sigma\in\mathfrak{G}} \sigma H \sigma^{-1})$.
+
+Enfin, dans le cas particulier où $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ admet une
+racine dans $K$, avec les notations ci-dessus ceci signifie que $G$
+fixe un élément $\sigma H$ de $X = \mathfrak{G}/H$, c'est-à-dire que
+$G \leq \sigma H\sigma^{-1}$.
+\end{proof}
+
+\XXX --- vérifier que je ne me suis pas trompé dans la latéralité des
+actions des trucs les uns sur les autres.
+
+On peut également signaler, toujours sous l'hypothèse que
+$R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est séparable, qu'il est scindé sur $K$ si et
+seulement si le groupe de Galois $G$ de $f$ est inclus dans
+$\bigcap_{\sigma \in \mathfrak{G}} \sigma H \sigma^{-1}$ (le plus
+grand sous-groupe distingué de $\mathfrak{G}$ contenu dans $H$).
+
+
+\section{Notions sur les sous-groupes transitifs de $\mathfrak{S}_n$}
+
+\subsection{Généralités}
+
+\begin{definition2}
+On appelle \emph{groupe de permutations} sur $n$ objets (ou \emph{de
+ degré $n$}) un sous-groupe du groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$ sur
+$n$ objets, considéré à conjugaison près dans $\mathfrak{S}_n$. De
+façon équivalente, un groupe de permutations sur $n$ objets est un
+groupe muni d'une action fidèle sur un ensemble de $n$ objets
+(généralement identifiés à $\{1,\ldots,n\}$), la notion d'isomorphisme
+considéré étant celle des ensembles munis d'une action de groupe.
+\end{definition2}
+
+\begin{definition2}\label{definitions-groupes-de-permutations}
+Un groupe de permutation $G$ de degré $n$ est dit :
+\begin{itemize}
+\item\emph{transitif} lorsque l'action sur les $n$ objets est
+ transitive (c'est-à-dire que si $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ alors il
+ existe $\sigma \in G$ tel que $\sigma(i)=j$) ;
+\item\emph{régulier} lorsque les $n$ objets forment un espace
+ principal homogène, c'est-à-dire lorsque l'action est simplement
+ transitive (c'est-à-dire que si $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ alors il
+ existe un unique $\sigma \in G$ tel que $\sigma(i)=j$, ou de façon
+ équivalente, lorsque $G$ est transitif et que le stabilisateur d'un
+ point est trivial) ;
+\item\emph{primitif} lorsque $G$ est transitif et que les seules
+ partitions $\mathscr{B}$ de $\{1,\ldots,n\}$ préservées par $G$ (au
+ sens que si $B \in \mathscr{B}$ et $\sigma \in G$ alors
+ $\sigma(B) \in \mathscr{B}$) sont $\mathscr{B} = \{\{1,\ldots,n\}\}$
+ et $\mathscr{B} = \{\{1\},\ldots,\{n\}\}$ ;
+\item\emph{$k$-transitif} (pour $1 \leq k \leq n$) lorsque l'action
+ sur les $k$-uplets d'éléments deux-à-deux distincts de
+ $\{1,\ldots,n\}$ est transitive, autrement dit si $(i_1,\ldots,i_k)$
+ sont deux-à-deux distincts et $(j_1,\ldots,j_k)$ de même, alors il
+ existe $\sigma\in G$ tel que $j_t = \sigma(i_t)$ pour tout $t$.
+\end{itemize}
+Une partition $\mathscr{B}$ de $\{1,\ldots,n\}$ préservée par $G$
+(dans le sens précisé après la définition de « primitif » ci-dessus)
+s'appelle un \emph{système de blocs} pour $G$, et il est dit trivial
+lorsque $\mathscr{B}$ est $ \{\{1,\ldots,n\}\}$ ou
+$\{\{1\},\ldots,\{n\}\}$ : ainsi, un groupe de permutations transitif
+est dit primitif lorsqu'il n'admet pas de système de blocs
+non-trivial.
+\end{definition2}
+
+Toutes ces définitions sont faites pour un groupe de permutations,
+mais on se permettra, bien sûr, de les appliquer à une action de
+groupe (au moins une action fidèle, et parfois même quand elle ne
+l'est pas) pour dire que le groupe de permutations que cette action
+définit a la propriété correspondante : par exemple, on dit qu'un
+groupe $G$ opère primitivement sur un ensemble fini $X$ lorsque le
+sous-groupe de $\mathfrak{S}(X)$ image de $G$ par l'action en question
+est primitif, autrement dit lorsque $X$ n'admet pas de système de
+blocs non-trivial pour cette action.
+
+\begin{remarques2}\label{remarques-idiotes-groupes-de-permutations}
+\begin{itemize}
+\item Un groupe de permutations $k$-transitif est $\ell$-transitif
+ pour tout $\ell\leq k$ (et « transitif » signifie
+ « $1$-transitif »).
+\item Un groupe de permutations ne préservant aucune partition de
+ $\{1,\ldots,n\}$ est nécessairement transitif, donc primitif (car la
+ décomposition en orbites forme un système de blocs, qui n'est
+ trivial que pour une action transitive ou bien une action triviale),
+ à la seule exception de l'action triviale sur $n=2$ éléments, qui ne
+ préserve aucune partition non triviale mais n'est néanmoins pas
+ primitive par convention.
+\item Les blocs (c'est-à-dire les éléments de $\mathscr{B}$) d'un
+ système de blocs pour un groupe de permutations $G$ forment
+ eux-mêmes un $G$-ensemble sous l'action de $G$ (en définissant pour
+ $B \in \mathscr{B}$ et $\sigma\in G$ l'action $\sigma B$ comme
+ l'image $\sigma(B)$ de $B$ par $\sigma$). Lorsque $G$ opère
+ transitivement sur les objets, il opère aussi transitivement sur les
+ blocs, qui sont donc tous de même cardinal.
+\item Si $n$ est premier, tout groupe de permutations transitif de
+ degré $n$ est primitif (puisqu'on vient d'expliquer que les blocs
+ d'un système de blocs sont tous de même cardinal). C'est-à-dire
+ que, dans ce cas, « transitif » et « primitif » sont équivalents.
+\item On rappelle que si $G$ est un groupe de permutations transitif,
+ alors les stabilisateurs des éléments de $\{1,\ldots,n\}$ sont
+ conjugués dans $G$. Si $U$ est le stabilisateur d'un point $i$,
+ alors le $G$-ensemble $\{1,\ldots,n\}$ est isomorphe au $G$-ensemble
+ $G/U$ des classes à gauche de $U$ dans $G$ (sur lequel $G$ opère par
+ multiplication à gauche), en particulier $U$ est d'indice $n$
+ dans $G$. Par ailleurs, $G$ est $k$-transitif (pour $k\geq 2$)
+ lorsque $U$ est $(k-1)$-transitif sur les $n-1$ points restants
+ $\{1,\ldots,n\}\setminus\{i\}$.
+\item En particulier, dire qu'un groupe de permutations $G$ est
+ régulier signifie que l'action de $G$ sur les objets est isomorphe à
+ l'action de $G$ sur lui-même par multiplication à gauche. En
+ particulier, dans ce cas, le degré $n$ (le nombre d'objets) est égal
+ à l'ordre $\#G$ du groupe.
+\end{itemize}
+\end{remarques2}
+
+\begin{proposition2}
+Un groupe de permutations $2$-transitif est primitif.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Supposons par l'absurde qu'il existe un système de blocs $\mathscr{B}$
+non-trivial pour $G$. Alors il existe dans $\mathscr{B}$ deux blocs
+$B,B' \in \mathscr{B}$ distincts, et les blocs (qui ont tous le même
+cardinal) ne peuvent pas être des singletons donc il existe $x,x''\in
+B$. Si $x' \in B'$, l'action de $G$ ne peut pas envoyer le couple
+$(x,x'')$ sur $(x,x')$ (car $x,x''$ appartiennent au même bloc $B$, ce
+qui n'est pas le cas de $x,x'$).
+\end{proof}
+
+\begin{exemples2}\label{exemples-groupes-de-permutations}
+\begin{itemize}
+\item Pour chaque $n\geq 1$, le groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$
+ tout entier est un groupe de permutations de degré $n$ : il est
+ $n$-transitif (et c'est manifestement le seul groupe de permutations
+ $n$-transitif de degré $n$) et, en particulier, primitif. Il n'est
+ pas régulier (dès que $n \geq 3$).
+\item Pour chaque $n\geq 1$, le groupe alterné $\mathfrak{A}_n$ est un
+ groupe de permutations de degré $n$ : il est $(n-2)$-transitif
+ si $n\geq 3$ et, en particulier, primitif si $n\geq 4$. Il n'est
+ pas régulier (dès que $n \geq 4$).
+\item L'action à gauche d'un groupe fini $G$ sur lui-même définit un
+ groupe de permutations régulier (de degré $\#G$, donc). Dès que $G$
+ admet un sous-groupe $U$ non-trivial (autrement dit, dès que $G$
+ n'est pas cyclique d'ordre premier), le système de blocs
+ $\mathscr{B} = \{gU : g\in G\}$ montre que ce groupe de permutations
+ n'est pas primitif (et réciproquement, si $G$ est cyclique d'ordre
+ premier, il est clair que l'action régulière est primitive).
+\item Si $U$ est un sous-groupe d'un groupe fini $G$, l'ensemble des
+ classes à gauche de $U$ dans $G$, sous l'action de $G$ par
+ multiplication à gauche, définit un groupe de permutations transitif
+ dont le degré est l'indice de $U$ dans $G$, dès lors que le cœur
+ normal de $U$, c'est-à-dire l'intersection $N = \bigcap_{\sigma\in
+ G} \sigma U \sigma^{-1}$ des conjugués de $U$, est trivial
+ (lorsque ce n'est pas le cas, $N$ est le noyau de l'action sur les
+ clases à gauche, et alors $G/N$ sera un groupe de permutations
+ transitif en opérant sur les classes à gauche de $U/N$). Autrement
+ dit, la donnée d'un groupe de permutations transitif équivaut à
+ celle de la donnée d'un groupe fini $G$ et d'une classe de
+ conjugaison de sous-groupes ne contenant aucun sous-groupe
+ distingué de $G$.
+\item Si $\FF$ est un corps fini, l'action du groupe $\PGL_2(\FF)$ sur
+ $\PP^1(\FF)$ est $3$-transitive (et, en particulier, primitive), car
+ trois points distincts quelconques de $\PP^1(\FF)$ peuvent être
+ envoyés sur $0,\infty,1$ par l'action d'un élément de $\PGL_2(\FF)$
+ (qui est alors uniquement déterminé). Par ailleurs, pour tout $n
+ \geq 2$, l'action de $\PGL_n(\FF)$ sur $\PP^{n-1}(\FF)$ est
+ $2$-transitive (car deux points distincts quelconques de
+ $\PP^{n-1}(\FF)$ peuvent être complétés en une base projective de ce
+ dernier, et $\PGL_n(\FF)$ opère de façon simplement transitive sur
+ ces dernières). \XXX donner une référence pour les définitions.
+\end{itemize}
+\end{exemples2}
+
+\begin{definition2}
+Si $\mathscr{B}$ est un système de blocs pour un groupe de
+permutations transitif $G$, l'action de $G$ sur $\mathscr{B}$ donnée
+par $\sigma B = \sigma(B)$
+(cf. \ref{remarques-idiotes-groupes-de-permutations}) est appelée
+l'\emph{action sur les blocs}, le noyau $N = \bigcap_{\sigma\in G}
+\sigma U \sigma^{-1}$, où $U = \Stab_G(B)$ est le stabilisateur d'un
+bloc quelconque, est appelé le \emph{groupe de base} de $G$ pour le
+système de blocs $\mathscr{B}$, et si $N = \{1\}$, on dit que le
+groupe de permutations $G$ est une \emph{inflation} du groupe de
+permutations (isomorphe à $G$ comme groupe abstrait) défini par
+l'action sur les blocs (l'hypothèse $N=\{1\}$ signifiant justement que
+cette action est fidèle).
+\end{definition2}
+
+\begin{proposition2}
+Soit $G$ un groupe de permutations transitif et $U$ le stabilisateur
+d'un point. Si $V$ est un sous-groupe quelconque de $U$, alors
+l'action de $G$ par multiplication à gauche sur les classes à gauche
+de $V$ est fidèle et transitive, et admet le système de blocs
+$\mathscr{B} = \{\{guV : u\in U\} : g\in G\}$ ; le groupe de
+permutations ainsi défini est une inflation de $G$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Le fait que l'action de $G$ sur les classes à gauche de $V$ soit
+transitive est trivial, et le fait qu'elle soit fidèle résulte du fait
+qu'elle l'est déjà pour $U$ (on a $\bigcap_{\sigma\in G} \sigma V
+\sigma^{-1} \subseteq \bigcap_{\sigma\in G} \sigma U \sigma^{-1}$).
+Si les ensembles $\{guV : u\in U\}$ et $\{g'uV : u\in U\}$
+s'intersectent, alors $guV = g'u'V$ pour certains $u,u'\in U$, auquel
+cas $gU = g'U$, et réciproquement lorsque $gU = g'U$ alors $\{guV :
+u\in U\} = \{g'uV : u\in U\}$ : l'ensemble $\mathscr{B}$ forme donc
+bien une partition de $G/V$, qui est visiblement un système de blocs,
+et le stabilisateur du bloc $\{uV : u\in U\}$ est $U$, ce qui montre
+tout ce qui était annoncé.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}\label{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal}
+Soit $G$ un groupe de permutations transitif et $V$ le stabilisateur
+d'un point. Alors $G$ est primitif si et seulement si $V$ est un
+sous-groupe maximal de $G$ (c'est-à-dire, qu'il n'existe pas de
+sous-groupe strictement compris entre $V$ et $G$ pour l'inclusion).
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Pour simplifier les notations, on peut supposer qu'on a affaire à
+l'action de $G$ sur les classes à gauche de $V$. Si $V$ n'est pas
+maximal et si $U$ est un sous-groupe strictement compris entre $V$
+et $G$, alors $\mathscr{B} = \{\{guV : u \in U\} : g\in G\}$ définit
+un système de blocs non-trivial (cf. la proposition précédente) qui
+montre que l'action de $G$ sur les classes à gauche de $V$ n'est pas
+primitive. Réciproquement, si $V$ est maximal et si $\mathscr{B}$ est
+un système de blocs, en appelant $U$ le stabilisateur du bloc
+contenant $V$, le sous-groupe $U$ contient $V$, donc doit être égal
+soit à $G$ soit à $V$, ce qui montre que le système de blocs est
+trivial (dans le premier cas $\#\mathscr{B} = 1$ et dans le second le
+bloc contenant $V$ ne contient que $V$).
+\end{proof}
+
+\begin{remarques2}
+Le groupe de Galois $\Gal(f)$ d'un polynôme séparable irréductible $f$
+(sur un corps $K$) opère transitivement sur les racines de $f$
+(\refext{CG}{action transitive de Galois si poly irréductible}), donc
+définit un groupe de permutations transitif de degré $\deg f$.
+
+Dans cette situation, la
+proposition \ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal}
+montre que $\Gal(f)$ est primitif (comme groupe de permutation des
+racines de $f$) si et seulement si l'extension de rupture $K(x) \bo K$
+définie par une racine $x$ quelconque de $f$ ne contient aucun corps
+intermédiaire entre $K$ et $K(x)$ (puisque la correspondance de Galois
+fait correspondre ce corps $K(x)$ au stabilisateur d'un point
+dans $\Gal(f)$). Dans le cas contraire, si $E$ est un corps
+intermédiaire entre $K$ et $K(x)$, le système de blocs défini par $E$
+est tel que le bloc contenant $x$ est $\{\sigma(x) : \sigma \in
+\Gal(\dec(f)/E)\}$.
+\end{remarques2}
+
+\begin{proposition2}\label{critere-primitivite-par-connexite}
+Soit $G$ un groupe de permutations transitif de degré $n$ et $X$
+l'ensemble des $n$ objets sur lesquels il opère. Alors $G$ est
+primitif si et seulement si pour chaque orbite $R$ de $G$ agissant sur
+l'ensemble $\mathscr{P}_2(X)$ des parties à deux éléments de $X$, le
+graphe $(X,R)$ (dont l'ensemble des sommets est $X$, deux sommets
+$x,y$ étant adjacents lorsque $\{x,y\} \in R$) est connexe.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Si $R$ est une orbite de $\mathscr{P}_2(X)$ sous l'action de $G$,
+considérons l'ensemble $\mathscr{B}$ des composantes connexes de $X$.
+Tout élément $\sigma \in G$ définit un automorphisme du graphe $(X,R)$
+(c'est-à-dire une permutation de $X$ préservant la relation
+d'adjacence) puisque si $\{x,y\} \in R$ on a $\{\sigma(x),\sigma(y)\}
+\in R$ vu que $R$ est une orbite : par conséquent, l'image par
+$\sigma$ d'une composante connexe de $(X,R)$ est encore une composante
+connexe de $(X,R)$ : ceci montre que $\mathscr{B}$ est un système de
+blocs pour $G$ (opérant sur $X$). Comme $R$ contient au moins une
+paire $\{x,y\}$, les blocs ne sont pas des singletons : ainsi, si
+$(X,R)$ a au moins deux composantes connexes, $G$ admet un système de
+blocs non trivial, et n'est donc pas primitif.
+
+Réciproquement, supposons maintenant qu'il existe un système de blocs
+$\mathscr{B}$ non trivial pour $G$. Soient $x,y \in X$ appartenant à
+un même bloc $B$ pour $\mathscr{B}$, et soit $R$ l'orbite de $\{x,y\}
+\in \mathscr{P}_2(X)$ sous l'action de $G$. Alors $R$ ne contient
+aucune paire $\{x,z\}$ avec $x\in B$ et $z\not\in B$ : c'est-à-dire
+que dans le graphe $(X,R)$, les sommets appartenant à $B$ ne sont
+jamais reliés aux autres sommets (et il en existe, vu que $B$ n'est
+pas le seul bloc) : ce graphe n'est donc pas trivial.
+\end{proof}
+
+Ce critère de primitivité est pratique car il s'avère souvent plus
+simple à appliquer que la définition ou la
+proposition \ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal}.
+
+\begin{exemple2}
+Le groupe $\mathfrak{S}_m$ opère primitivement sur les parties à $k$
+éléments de $\{1,\ldots,m\}$, sauf si $m=2k$ auquel cas il admet le
+système de blocs non trivial formé de toutes les façons de
+partitionner $m$ éléments en deux ensembles de $k$, mais il opère
+primitivement sur ces objets (blocs).
+
+En revanche, l'action de $\mathfrak{S}_m$ sur les $k$-uplets
+d'éléments distincts de $\{1,\ldots,m\}$, bien que transitive, n'est
+pas primitive : elle admet pour système de blocs non trivial la
+partition de $\{1,\ldots,m\}^k$ définie par la relation d'équivalence
+qui identifie deux $k$-uplets lorsque les ensembles à $k$ éléments
+qu'ils définissent sont les mêmes. (Cette action de $\mathfrak{S}_m$
+est donc une inflation de son action sur les parties à $k$ éléments.)
+\end{exemple2}
+\begin{proof}
+Si $x,y,x',y'$ sont des parties à $k$ éléments de $\{1,\ldots,m\}$, la
+condition pour qu'il existe $\sigma\in\mathfrak{S}_m$ tel que
+$\sigma(x)=x'$ et $\sigma(y)=y'$ est simplement que $\#(x\cap y) =
+\#(x'\cap y')$ (condition évidemment nécessaire, et suffisante car
+lorsque c'est le cas on peut choisir arbitrairement l'image des
+éléments de $x\cap y$, de $x\setminus y$, de $y\setminus x$ et de
+$\{1,\ldots,m\}\setminus(x\cup y)$ pour construire $\sigma$). Ainsi,
+les différents graphes considérés dans la
+proposition \ref{critere-primitivite-par-connexite} sont les graphes
+sur l'ensemble $\mathscr{P}_k(\{1,\ldots,m\})$ des parties à $k$
+éléments de $\{1,\ldots,m\}$ dans lesquels on a relié deux parties
+lorsque leur intersection est de cardinal $\ell$ (un paramètre du
+graphe, prenant les valeurs entre $0$ et $k-1$ incluses). On veut
+donc prouver que pour $k<\frac{1}{2}m$ (le cas $k>\frac{1}{2}m$ s'en
+déduisant par passage au complémentaire des parties considérées), ce
+graphe est connexe.
+
+Si $x \subset \{1,\ldots,m\}$ est une partie à $k$ éléments, et $i \in
+x$ et $j \not\in x$, on montre que $x$ est reliée à $x' := (x\setminus
+\{i\}) \cup \{j\}$ : en effet, en choisissant $\ell$ des $k-1$
+éléments de $x\setminus\{i\}$ et en les complétant arbitrairement avec
+$k-\ell$ éléments de l'ensemble $\{1,\ldots,m\} \setminus
+(x\cup\{j\})$ (de cardinal $m-k-1$), ce qui est possible car $m-2k-1
+\geq 0$, on obtient une partie $y$ de $\{1,\ldots,m\}$ qui est
+d'intersection $\ell$ avec $x$ aussi bien qu'avec $x'$, ce qui montre
+que $x$ et $x'$ sont reliés dans le graphe considéré. Il est alors
+évident qu'en remplaçant un par un tous les éléments de $x$ souhaités
+par d'autres, on peut relier deux parties quelconques.
+
+Pour $m=2k$, un raisonnement analogue amène à considérer les graphes
+dont les sommets sont l'ensemble des manières de partitionner
+$\{1,\ldots,m\}$ en deux parties de cardinal $k$, deux telles
+partitions $\{u,\hat u\}$ et $\{v,\hat v\}$ étant reliées par une
+arête lorsque $\#(u\cap v) \in \{\ell,k-\ell\}$ (où $\ell$ est, de
+nouveau, un paramètre du graphe, prenant les valeurs entre $1$ et
+$k-1$ incluses). Si $\{u,\hat u\}$ est une telle partition et $i \in
+u$ et $j \in \hat u$, on veut montrer que $\{u,\hat u\}$ est relié à
+$\{u',\hat u'\}$ où $u' = (u\setminus\{i\})\cup\{j\}$ et $\hat u' =
+(\hat u\setminus\{j\})\cup\{i\}$ est son complémentaire ; en
+choisissant $\ell$ des $k-1$ éléments de $u\setminus\{i\}$ et en les
+complétant arbitrairement avec $k-\ell$ éléments de l'ensemble $\hat
+u\setminus\{j\}$ (de cardinal $m-k-1$), ce qui est possible car
+$m-2k+\ell-1 = \ell-1 \geq 0$, on obtient une partie $v$ de
+$\{1,\ldots,m\}$ qui est d'intersection $\ell$ avec $u$ aussi bien
+qu'avec $u'$, ce qui montre que $\{u,\hat u\}$ et $\{u',\hat u'\}$
+sont reliés dans le graphe considéré, et de nouveau il est alors clair
+que le graphe est connexe.
+\end{proof}
+
+\begin{remarques2}
+Ceci signifie (compte tenu
+de \ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal})
+que pour tout $k$, le stabilisateur d'une partie à $k$ éléments de
+$\{1,\ldots,m\}$ est un sous-groupe maximal de $\mathfrak{S}_m$, sauf
+lorsque $k = \frac{1}{2}m$ auquel cas il faut le remplacer par le
+stabilisateur d'une partition de $\{1,\ldots,m\}$ en deux parties de
+$k$ éléments. Il faut se garder de croire qu'on a ainsi construit
+tous les sous-groupes maximaux de $\mathfrak{S}_m$ (autres que
+$\mathfrak{A}_m$) : par exemple, pour $m=5$, les sous-groupes maximaux
+de $\mathfrak{S}_5$ sont, outre $\mathfrak{A}_5$, le stabilisateur
+d'un point (définissant l'action primitive de $\mathfrak{S}_5$
+naturelle sur cinq objets) et celui d'une partie à deux éléments
+(définissant l'action primitive de $\mathfrak{S}_5$ les parties à deux
+éléments des cinq objets naturels), mais aussi les conjugués du
+sous-groupe à $20$ éléments donné par toutes les applications affines
+$t \mapsto at+b$ (pour $a \in (\ZZ/5\ZZ)^\times$ et $b \in \ZZ/5\ZZ$)
+de $\{1,\ldots,5\}$ vu comme $\ZZ/5\ZZ$ --- ceci définissant l'action
+de $\mathfrak{S}_5$ sur les $6$ façons de considérer $\{1,\ldots,5\}$
+comme une droite affine sur $\FF_5$.
+\end{remarques2}
+
+\subsection{Groupes de permutations primitifs}
+
+Dans cette section, $G$ désignera généralement un groupe de
+permutations primitif (cf. \ref{definitions-groupes-de-permutations}),
+et $U$ le stabilisateur d'un point
+(d'après \ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal},
+il s'agit donc d'un sous-groupe maximal de $G$ ne contenant aucun
+sous-groupe distingué de $G$).
+
+Commençons par éclaircir certaines propriétés générales des groupes de
+permutations :
+
+\begin{proposition2}\label{sous-groupe-distingue-d-un-primitif-est-transitif}
+Si $G$ est un groupe de permutations primitif et $N \unlhd G$ un
+sous-groupe distingué autre que $\{1\}$, alors $N$ est transitif
+(comme groupe de permutations), et $NU = G$ où on a noté $U$ le
+stabilisateur d'un point dans $G$ (et $NU = \{nu : n \in N, u\in
+U\}$).
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Notons $U$ le stabilisateur d'un point dans $G$ : comme $G$ est
+primitif, il s'agit d'un sous-groupe maximal.
+
+Il s'agit de montrer que pour tout $g$, la classe à gauche $gU$ peut
+aussi s'écrire $nU$ avec $n \in N$. Remarquons que $NU = UN$ (en
+effet, si $n \in N$ et $u \in U$ alors $un \in uN = Nu$ peut aussi
+s'écrire $un'$ pour un certain $n'\in N$, ce qui montre $NU = UN$), et
+ceci est donc un sous-groupe de $G$ (le sous-groupe engendré par $U$
+et $N$). Par maximalité de $U$, on a donc soit $NU \leq U$ soit $NU =
+G$. Le premier cas signifie $N \leq U$, ce qui ne peut pas se
+produire car $U$ ne contient aucun sous-groupe distingué (puisqu'il
+s'agit du stabilisateur d'un point dans une action fidèle). Le second
+cas permet d'écrire tout $g \in G$ comme $g = nu$ avec $n \in N$ et
+$u \in U$, auquel cas $gU = nuU = nU$, comme on le voulait.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}\label{centralisateur-d-un-sous-groupe-distingue-dans-un-groupe-primitif}
+Soit $G$ est un groupe de permutations primitif et $N \unlhd G$ un
+sous-groupe distingué autre que $\{1\}$ : alors son centralisateur
+$C_G(N) := \{g\in G : (\forall n\in N) gng^{-1} = n\}$ vérifie soit
+$C_G(N) = \{1\}$ soit $C_G(N)$ est régulier (comme groupe de
+permutations).
+
+En particulier, $\#C_G(N)$ est égal au nombre de points sur lesquels
+$G$ opère (c'est-à-dire $(G:U)$ si $U$ est le stabilisateur d'un
+point).
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Le sous-groupe $C_G(N)$ est lui-même distingué. Supposons
+$C_G(N) \neq \{1\}$. Alors la proposition précédente montre que $N$
+et $C_G(N)$ sont transitifs. L'ensemble des points fixes d'un élément
+de $C_G(N)$ est stable par $N$ : mais comme $N$ est transitif, ceci ne
+peut se produire que si cet ensemble est vide ou plein. On a donc
+prouvé que $C_G(N)$ opère transitivement et sans point fixe
+non-trivial, c'est-à-dire qu'il est régulier.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}\label{sous-groupes-distingues-commutant-dans-un-groupe-primitif}
+Soit $G$ un groupe de permutations primitif, et soient $N_1,N_2 \unlhd
+G$ deux sous-groupes distingués de $G$ autres que $\{1\}$ tels que
+tout élément de $N_1$ commute avec tout élément de $N_2$ (soit
+$N_2 \leq C_G(N_1)$). Alors $N_2$ est exactement le centralisateur
+$C_G(N_1)$ de $N_1$ (et vice versa).
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Les deux propositions précédentes montrent que $N_2$ est transitif et
+que $C_G(N_1)$ est régulier. Mais $N_2 \leq C_G(N_1)$, et le seul
+d'un groupe de permutations régulier qui soit transitif est le groupe
+tout entier, donc $N_2 = C_G(N_1)$.
+\end{proof}
+
+Pour aller plus loin dans l'analyse, on va examiner certaines des
+propriétés des sous-groupes distingués minimaux d'un groupe fini $G$ :
+autrement dit, les sous-groupes distingués autres que $\{1\}$ et qui
+ne contiennent pas d'autre sous-groupe distingué (du groupe $G$ tout
+entier) que $\{1\}$ et eux-mêmes. Dans les quelques énoncés suivants,
+$G$ n'est plus nécessairement un groupe de permutations.
+
+\begin{proposition2}\label{sous-groupes-distingues-minimaux-commutent}
+Soit $G$ un groupe fini et $N_1$ et $N_2$ deux sous-groupes distingués
+minimaux distincts de $G$. Alors $N_1 \cap N_2 = \{1\}$ et tout
+élément de $N_1$ commute avec tout élément de $N_2$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Le sous-groupe $N_1 \cap N_2$ est distingué dans $G$, et par
+minimalité de $N_1$ ou de $N_2$ il doit donc être égal à $\{1\}$.
+Mais tout commutateur $n_1 n_2 n_1^{-1} n_2^{-1}$ d'un élément $n_1$
+de $N_1$ et d'un élément $n_2$ de $N_2$ appartient à $N_1 \cap N_2$,
+donc vaut $1$, ce qu'on voulait prouver.
+\end{proof}
+
+En particulier, dans le contexte de cette proposition, on a $N_1 N_2 =
+N_1 \times N_2$. Plus généralement :
+
+\begin{lemme2}\label{sous-groupes-distingues-minimaux-sont-en-produit-direct}
+Soient $N_1,\ldots,N_\ell$ des sous-groupes distingués minimaux d'un
+groupe fini $G$. Alors il existe
+$i_1,\ldots,i_r \in \{1,\ldots,\ell\}$ (et on peut choisir $i_1$
+arbitrairement et $i_2$ arbitrairement dès que $N_{i_2} \neq N_{i_1}$)
+tels que $N_{i_1},\ldots,N_{i_r}$ soient en produit direct dans $G$
+(c'est-à-dire que le groupe qu'ils engendrent soit le produit direct)
+et que chacun des $N_i$ soit inclus dans ce produit direct.
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+On construit par récurrence une suite $i_1, i_2, \ldots, i_r$, de
+sorte que $N_{i_1},\ldots,N_{i_r}$ soient en produit direct de la
+façon suivante. On peut choisir $i_1$ arbitrairement, et $i_2$ de
+sorte que $N_{i_1}$ et $N_{i_2}$ soient distincts.
+
+Supposant les $n_j$ pour $j<t$ déjà connus, s'il existe $i$ tel que
+$N_i$ ne soit pas contenu dans $N_{i_1} \cdots N_{i_{t-1}}$ (qui est
+un produit direct), on définit $i_t$ comme ce $i$, sinon on arrête la
+récurrence. Comme tout élément de $N_{i_t}$ commute à tous les
+éléments de $N_{i_j}$ pour $j<i$ (d'après la proposition précédente),
+il commute à tous les éléments du produit $N_{i_1} \cdots
+N_{i_{t-1}}$ ; comme de plus $N_{i_t}$ n'est pas inclus dans
+$N_{i_1} \cdots N_{i_{t-1}}$ et qu'il est minimal, on a $N_{i_i} \cap
+N_{i_1} \cdots N_{i_{t-1}} = \{1\}$ (car c'est un sous-groupe
+distingué de $G$ strictement inclus dans $N_{i_t}$). Donc
+$N_{i_1} \cdots N_{i_t}$ sont encore en produit direct, ce qui
+justifie de continuer la récurrence.
+
+Une fois construits $N_{i_1},\ldots,N_{i_r}$, on voit que leur produit
+(qui est direct par la récurrence faite) contient chacun des $N_i$,
+sans quoi on aurait continué la récurrence.
+\end{proof}
+
+On rappelle qu'un sous-groupe $K$ d'un groupe $G$ est
+dit \emph{caractéristique} lorsque $K$ est laissé stable par tout
+automorphisme de $G$ (en particulier, $K$ est laissé stable par les
+automorphismes intérieurs, c'est-à-dire qu'il est distingué dans $G$).
+
+\begin{proposition2}\label{caracteristique-dans-normal-est-normal}
+Si $K$ est un sous-groupe caractéristique de $N$ qui est lui-même un
+sous-groupe distingué d'un groupe $G$, alors $K$ est un sous-groupe
+distingué de $G$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Pour tout $g \in G$, l'automorphisme intérieur $x \mapsto gxg^{-1}$
+défini par $g$ laisse $N$ stable, donc définit un automorphisme
+de $N$, qui n'est plus nécessairement intérieur mais qui doit
+néanmoins laisser $K$ stable, c'est-à-dire $gKg^{-1} = K$, ce qui
+montre que $K \unlhd G$.
+\end{proof}
+
+On dit qu'un groupe $G$ est \emph{caractéristiquement simple} lorsque
+tout sous-groupe caractéristique de $G$ est égal à $\{1\}$ ou $G$.
+
+\begin{proposition2}\label{structure-groupes-caracteristiquement-simples}
+Si $G$ est un groupe fini caractéristiquement simple, alors $G$ est
+isomorphe à un produit $H^r$ de copies d'un groupe simple $H$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Soit $H$ un sous-groupe distingué minimal de $G$. Pour tout
+automorphisme $\varphi$ de $H$, le sous-groupe $\varphi(H)$ est lui
+aussi distingué minimal. Appliquant le
+lemme \ref{sous-groupes-distingues-minimaux-sont-en-produit-direct} à
+l'ensemble de tous les $\varphi(H)$ pour $\varphi$ un automorphisme
+de $G$, on en déduit qu'il existe $\varphi_1,\ldots,\varphi_r$ de tels
+automorphismes (et on peut prendre $\varphi_1 = \Id_G$, ce qu'on fera)
+de sorte que $\varphi_1(H),\ldots,\varphi_r(H)$ soient en produit
+direct et que ce produit direct contienne $\varphi(H)$ pour tout
+automorphisme $\varphi$ de $G$. Par conséquent, ce produit est stable
+par tout automorphisme de $G$, et comme $G$ a été supposé
+caractéristiquement simple, on a $\varphi_1(H)\cdots\varphi_r(H) = G$,
+c'est-à-dire $G \cong H^r$.
+
+Enfin, $H$ est simple : en effet, si $N$ en est un sous-groupe
+distingué, $N$ est encore un sous-groupe distingué de $H^r \cong G$,
+et par minimalité de $H$, on a $N=\{1\}$ ou $N=H$.
+\end{proof}
+
+\begin{corollaire2}\label{structure-sous-groupes-distingues-minimaux}
+Si $N$ est un sous-groupe distingué minimal d'un groupe fini $G$,
+alors $N$ est isomorphe à un produit $H^r$ de copies d'un groupe
+simple $H$.
+\end{corollaire2}
+\begin{proof}
+La proposition \ref{caracteristique-dans-normal-est-normal} montre que
+$N$ est caractéristiquement simple, et la
+proposition \ref{structure-groupes-caracteristiquement-simples}
+s'applique alors.
+\end{proof}
+
+\begin{definition2}
+Le \emph{socle} d'un groupe fini $G$ est le produit de ses
+sous-groupes distingués minimaux (il est évidemment distingué
+dans $G$ ; d'après le
+lemme \ref{sous-groupes-distingues-minimaux-sont-en-produit-direct},
+il s'agit du produit direct de certains d'entre eux ; et d'après la
+proposition \ref{structure-sous-groupes-distingues-minimaux}, il
+s'agit d'un produit direct de sous-groupes simples de $G$).
+\end{definition2}
+
+En revenant au cas d'un groupe de permutations primitif, on peut
+affirmer :
+\begin{proposition2}\label{dichotomie-socle-d-un-groupe-primitif}
+Soit $G \neq \{1\}$ un groupe de permutations primitif. Alors soit
+$G$ a un unique sous-groupe distingué minimal (qui est alors le socle
+de $G$), soit $G$ a exactement deux sous-groupes distingués minimaux,
+chacun égal au centralisateur de l'autre, et ils sont isomorphes et
+non-abéliens (et le socle de $G$ est alors leur produit direct).
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+D'après la
+proposition \ref{sous-groupes-distingues-minimaux-commutent} et la
+proposition \ref{sous-groupes-distingues-commutant-dans-un-groupe-primitif},
+si $G$ a deux sous-groupes distingués minimaux distincts $N_1,N_2$,
+chacun est le centralisateur de l'autre, et il y en a donc exactement
+deux. Comme ces sous-groupes ne contiennent pas leur centralisateur,
+ils ne sont pas abéliens.
+
+Reste à montrer que $N_1 \cong N_2$. On sait
+d'après \ref{centralisateur-d-un-sous-groupe-distingue-dans-un-groupe-primitif}
+que $N_1,N_2$ sont tous deux réguliers. On définit alors un morphisme
+$\varphi\colon N_1 \to N_2$ de la façon suivante : une fois fixé
+arbitrairement un point $x_0$ (de l'ensemble sur lequel $G$ opère
+naturellement), si $n_1 \in N_1$, comme $N_2$ est régulier, il existe
+un unique $n_2 \in N_2$ tel que $n_2 x_0 = n_1 x_0$, et on pose
+$\varphi(n_1) = n_2$. Il est facile de vérifier que $\varphi$ est
+bien un morphisme, et même un isomorphisme.
+\end{proof}
+
+\subsection{Construction de quelques actions primitives}
+
+Nous allons définir et décrire quelques actions de groupes importantes
+qui, dans certains cas, seront primitives, et qui constitueront les
+classes énumérées par le théorème de O'Nan-Scott.
+
+\subsubsection{Groupes de permutations de type affine}\label{groupe-de-permutations-type-affine} Soit $V
+= \FF_p^d$ un espace vectoriel de dimension finie $d\geq 1$ sur un
+corps fini premier $\mathbb{F}_p$, et notons $\AGL(V) = \AGL_d(\FF_p)$
+le groupe affine $V$, c'est-à-dire le produit semi-direct
+$V \rtimes \GL(V)$ du groupe linéaire $\GL(V) = \GL_d(\FF_p)$ de cet
+espace vectoriel par $V$ lui-même vu comme groupe des translations (et
+sur lequel $\GL(V)$ opère naturellement). Plus généralement, si
+$G_0 \leq \GL(V)$ est un sous-groupe quelconque de $\GL(V)$
+(c'est-à-dire un groupe opérant linéairement sur $V$), on peut
+construire le produit semi-direct $G = V \rtimes G_0$, et tout
+sous-groupe $G$ tel que $V \leq G \leq \AGL(V)$ peut s'écrire sous
+cette forme avec $G_0$ le stabilisateur de $0 \in V$. Un groupe de
+permutations isomorphe (en tant que groupe opérant sur un ensemble) à
+un tel $G$ opérant sur $V$ s'appelle \emph{groupe de permutations de
+type affine}. Le groupe $G$ (opérant sur $V$) est toujours transitif,
+et il est primitif précisément lorsque $V$ est irréductible sous
+l'action de $G_0$, c'est-à-dire lorsque $V$ ne possède pas de
+sous-espace stable par $G_0$ autre que $\{0\}$ et $V$ (en effet, si
+$G$ admet un système de blocs, le bloc contenant $0$ est un
+sous-espace vectoriel de $V$ puisque toute translation doit l'envoyer
+sur un autre bloc, et il est alors stable par $G_0$ ; et
+réciproquement, si $W$ est un sous-espace vectoriel de $V$ stable
+par $G_0$, l'ensemble des translatés de $W$ constitue un sytème de
+blocs) ; ceci équivaut encore au fait que le sous-groupe distingué $V$
+de $G$ soit un sous-groupe distingué minimal (puisqu'un sous-groupe de
+$V$ est distingué dans $G$ précisément à condition qu'il soit stable
+par $G_0$).
+
+Dans cette situation (où $V$ est suppposé irréductible sous $G_0$,
+c'est-à-dire $G$ primitif), d'après la
+proposition \ref{dichotomie-socle-d-un-groupe-primitif}, on peut alors
+affirmer que $V$ est l'unique sous-groupe distingué minimal de $G$, et
+il est donc son socle. On verra dans le cadre du théorème de
+O'Nan-Scott que cette situation est la seule pour laquelle un groupe
+de permutations primitif possède un socle abélien (i.e., il est
+automatiquement de type affine). Par ailleurs, dans cette situation,
+le socle est régulier ($V$ opère sur lui-même par translation).
+
+\subsubsection{Groupes de permutations de type diagonal}\label{groupe-de-permutations-type-diagonal} La
+construction qui va suivre, plus délicate que la précédente, possède
+néanmoins quelques similarités. On peut l'imaginer intuitivement en
+pensant que l'ensemble $\Omega$ ci-dessous est une sorte d'analogue de
+l'espace projectif de dimension $r-1$ sur un groupe $T$ non-abélien :
+il s'agit de $T^r$ quotienté par l'action à droite de $T$ (sur toutes
+les composantes), qu'on va munir d'une action à gauche de $T^r \cdot
+(\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$.
+
+Soit $T$ un groupe simple non-abélien, et $r\geq 2$. On considère
+l'action sur $\Xi := T^r$ des trois groupes suivants : (a) $T^r$
+lui-même, par multiplication à gauche (donc régulièrement), (b) le
+groupe symétrique $\mathfrak{S}_r$, opérant par permutation sur les
+coordonnées, et (c) le groupe $\Aut(T)$ des automorphismes de $T$,
+opérant de la même façon sur toutes les coordonnées. Notons que les
+actions de $\mathfrak{S}_r$ et $\Aut(T)$ sur $T^r$ commutent. Les
+trois actions en question engendrent (en tant que sous-groupes de
+$\mathfrak{S}(\Xi)$) une action sur $\Xi$ de $T^r \rtimes
+(\mathfrak{S}_r \times \Aut(T))$.
+
+Cette action n'est pas primitive : elle possède au moins le système de
+blocs $\Omega$ constitué des ensembles $\{(v_1 t, \ldots, v_r t) : t
+\in T\}$ (pour $v_1,\ldots,v_r \in T$), c'est-à-dire que $\Omega$ est
+l'ensemble des classes à gauche $(v_1,\ldots,v_r)\Delta$ de la
+diagonale $\Delta := \{(t, \ldots, t) : t \in T\}$ dans $T^r$.
+L'action de $T^r \rtimes (\mathfrak{S}_r \times \Aut(T))$ sur les
+blocs n'est plus fidèle : si $\upsilon \in \Aut(T)$ est
+l'automorphisme intérieur $x \mapsto u x u^{-1}$, alors $\upsilon$
+agit sur le bloc $(v_1,\ldots,v_r)\Delta$ de la même manière que
+$(u,\ldots,u)$. Autrement dit, le sous-groupe de $T^r \rtimes
+(\mathfrak{S}_r \times \Aut(T))$ formé des $(u^{-1},\ldots,u^{-1})
+\upsilon$ pour $\upsilon\colon x\mapsto uxu^{-1} \in \Int(T)$, opère
+trivialement sur $\Omega$. Notons $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times
+\Out(T))$ le quotient de $T^r \rtimes (\mathfrak{S}_r \times \Aut(T))$
+par ce sous-groupe (la notation rappelle que ce groupe a un
+sous-groupe distingué qu'on identifiera à $T^r$, le quotient par lequel est
+$\mathfrak{S}_r \times \Out(T)$, où $\Out(T) = \Aut(T) / \Int(T)$ est
+le groupe des automorphismes modulo les automorphismes intérieurs).
+L'action de $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$ sur $\Omega$
+est maintenant fidèle (on voit facilement qu'un élément qui opèrerait
+trivialement devrait avoir une composante triviale dans
+$\mathfrak{S}_r$ en la faisant agir sur $(1,\ldots,1,v,1,\ldots,1)$,
+puis dans $\Out(T)$, et enfin devrait être l'élément neutre) : ceci
+permet de considérer $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$ comme
+le groupe des permutations de $\Omega$ engendré par (a) l'action de
+$T^r$ par translation à gauche, (b) l'action de $\mathfrak{S}_r$ par
+permutation des coordonnées, et (c) l'action de $\Aut(T)$ (sachant que
+celle de $\Int(T)$ est déjà incluse grâce à (a)) opérant de la même
+façon sur toutes les coordonnées.
+
+Si $G$ est n'importe quel sous-groupe tel que $T^r \leq G \leq T^r
+\cdot (\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$, alors l'action de $G$ est
+transitive (puisque déjà celle de $T^r$ l'est, par définition même
+de $\Omega$). Remarquons que la donnée de $G$ est équivalente à celle
+de son image $G_0$ dans $\mathfrak{S}_r \times \Out(T)$. Un groupe de
+permutations isomorphe (en tant que groupe opérant sur un ensemble) à
+un tel $G$ opérant sur $\Omega$ s'appelle \emph{groupe de permutations
+ de type diagonal}.
+
+Le stabilisateur dans $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$ de
+$\Delta$ en tant que point de $\Omega$ est l'image dans $T^r \cdot
+(\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$ de son stabilisateur en tant que
+partie de $\Xi$, qui vaut $T \rtimes (\mathfrak{S}_r \times \Aut(T))$
+avec l'action triviale de $\mathfrak{S}_r$ sur $T$, c'est-à-dire
+$\mathfrak{S}_r \times (T\rtimes\Aut(T))$ ; l'image de ce sous-groupe
+dans $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$ est donc
+$\mathfrak{S}_r \times \Aut(T)$. Par conséquent, le stabilisateur de
+$\Delta \in \Omega$ sous l'action de $G$ est l'image réciproque
+$\tilde G_0 \leq \mathfrak{S}_r \times \Aut(T)$ de l'image $G_0 \leq
+\mathfrak{S}_r \times \Out(T)$ de $G$.
+
+\begin{proposition2}
+Avec les notations qui précèdent (i.e., $T$ est un groupe simple
+non-abélien, $T^r \leq G \leq T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times
+\Out(T))$ opérant sur l'ensemble $\Omega$ des classes à gauche de la
+diagonale dans $T^r$), le groupe de permutations $G$ est primitif si
+et seulement si $r=2$ \emph{ou} l'image de $G$ (c'est-à-dire, de
+$G_0$) dans $\mathfrak{S}_r$ est primitive.
+
+Dans les deux cas (où $G$ est primitif), le socle de $G$ est $T^r$ (et
+en particulier, il n'est pas régulier). Plus précisément si l'image
+de $G$ dans $\mathfrak{S}_r$ n'est pas primitive, $T^r$ est l'unique
+sous-groupe distingué minimal de $G$ (c'est donc le socle de $G$) ;
+dans le cas contraire ($r=2$ et l'image de $G$ dans $\mathfrak{S}_2$
+est triviale), $G$ a deux sous-groupes distingués minimaux distincts,
+à savoir $T \times 1$ et $1 \times T$ (et le socle de $G$ vaut donc de
+nouveau $T^r$).
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Soit $S$ l'image de $G$ dans $\mathfrak{S}_r$. Montrons dans un
+premier temps que $r > 2$ et que $S$ n'est pas primitif
+sur $\{1,\ldots,r\}$, alors $G$ ne l'est pas sur $\Omega$. Soit
+$\mathscr{S}$ un système de blocs non-trivial pour $S$, qu'on
+considérera comme une relation d'équivalence $\equiv_{\mathscr{S}}$
+sur $\{1,\ldots,r\}$. Considérons la relation d'équivalence
+$\equiv_{\mathscr{B}}$ sur $\Omega$ définie par
+$(v_1,\ldots,v_r)\Delta \mathrel{\equiv_{\mathscr{B}}}
+(v'_1,\ldots,v'_r)\Delta$ si et seulement si $v_i v_j^{-1} = v'_i
+{v'_j}^{-1}$ pour tous $i,j$ tels que $i \mathrel{\equiv_{\mathscr{S}}}
+j$ (il est clair que cette relation est bien définie, c'est-à-dire que
+$v_i v_j^{-1}$ ne dépend que de $(v_1,\ldots,v_r)\Delta$). Cette
+relation d'équivalence est préservée par (a) l'action de $T^r$ par
+translation à gauche, (b) l'action de $S$ par permutation des
+coordonnées, et (c) l'action de $\Aut(T)$ opérant de la même façon sur
+toutes les coordonnées : elle est donc préservée par $G$. Il est
+clair que $\equiv_{\mathscr{B}}$ est non-triviale car
+$\equiv_{\mathscr{S}}$ l'est. L'ensemble $\mathscr{B}$ des classes
+d'équivalences définit un système de blocs pour $G$ (dans $\Omega$),
+ce qui montre que $G$ n'est pas primitif.
+
+Supposons réciproquement que $G$ n'est pas primitif, et soit
+$\mathscr{B}$ un système de blocs non-trivial pour $G$ agissant
+sur $\Omega$. Considérons l'ensemble des $r$-uplets
+$(v_1,\ldots,v_r)$ tels que $(v_1,\ldots,v_r)\Delta$ appartienne au
+même bloc de $\mathscr{B}$ que $\Delta$ (autrement dit, le
+stabilisateur du bloc de $\Delta$ pour l'action de $T^r$) : il s'agit
+d'un sous-groupe $M$ de $T^r$, contenant la diagonale. Pour chaque
+$i$, soit $M_i$ le sous-groupe de $M$ formé des éléments
+$(v_1,\ldots,v_r)$ de $M$ tels que $v_i = 1$. On définit une relation
+d'équivalence $\equiv_{\mathscr{S}}$ sur $\{1,\ldots,r\}$ par
+$i \mathrel{\equiv_{\mathscr{S}}} j$ lorsque $M_i = M_j$ (en tant que
+sous-groupes de $M$).
+
+Montrons que $\equiv_{\mathscr{S}}$ est préservée par $S$. Si $\sigma
+\in S$, il existe $\lambda \in \Aut(T)$ tel que $(\sigma,\lambda)$
+appartienne à l'image réciproque $\tilde G_0 \leq \mathfrak{S}_r
+\times \Aut(T)$ de l'image $G_0 \leq \mathfrak{S}_r \times \Out(T)$
+de $G$ ; c'est encore dire que la permutation $(v_1,\ldots,v_r)\Delta
+\mapsto (\lambda(v_{\sigma^{-1}(1)}), \ldots,
+\lambda(v_{\sigma^{-1}(r)}))\Delta$ de $\Omega$ appartient à $G$.
+Supposons $M_i = M_j$. Si $(v_1,\ldots,v_r) \in M$ appartient à
+$M_{\sigma^{-1}(i)}$, c'est-à-dire $v_{\sigma^{-1}(i)} = 1$, alors
+$(\lambda(v_{\sigma^{-1}(1)}), \ldots, \lambda(v_{\sigma^{-1}(r)}))$
+appartient à $M_i$, c'est-à-dire à $M_j$, donc $v_{\sigma^{-1}(j)} =
+1$, autrement dit $(v_1,\ldots,v_r) \in M_{\sigma^{-1}(j)}$. On a
+donc prouvé $M_{\sigma^{-1}(i)} = M_{\sigma^{-1}(j)}$ : ceci montre
+bien que $\equiv_{\mathscr{S}}$ est préservée par $S$.
+
+Reste à vérifier que $\equiv_{\mathscr{S}}$ n'est pas triviale. Si
+tous les $M_i$ sont égaux, cela signifie que lorsque $(v_1,\ldots,v_r)
+\in M$ on a $v_i = 1$ pour un $i$ exactement lorsque $v_i = 1$ pour
+tout $i$ : mais quitte à diviser à droite par l'élément diagonal
+$(v_i,\ldots,v_i)$ (on rappelle que $M$ contient la diagonale), on
+voit que cela implique que $M$ est réduit à la diagonale, et les blocs
+de $\mathscr{B}$ sont des singletons. À l'inverse, si tous les $M_i$
+sont distincts, le lemme \ref{lemme-a-la-con-sous-groupes-de-produits}
+permet de conclure que $M = T^r$ et l'unique bloc de $\mathscr{B}$ est
+$\Omega$ tout entier.
+
+Reste la dernière affirmation. Si $N$ est un sous-groupe distingué
+minimal de $G$, alors en particulier $N$ est distingué dans $T^r$, et
+le lemme \ref{lemme-a-la-con-sous-groupes-distingues-de-produits}
+montre qu'on peut l'écrire $N_1\times \cdots \times N_r$, où chaque
+$N_i$ vaut soit $1$ soit $T$ : si $S$ est transitif (notamment si $S$
+est primitif), on doit avoir $N_1=\ldots=N_r$, ce qui montre que $T^r$
+est l'unique sous-groupe distingué minimal de $G$ ; si $S$ est
+trivial, en revanche (et automatiquement $r=2$), $T\times 1$ et
+$1\times T$ sont les sous-groupes distingués minimaux de $G$.
+\end{proof}
+
+\begin{lemme2}\label{lemme-a-la-con-sous-groupes-distingues-de-produits}
+Soit $T$ un groupe simple fini non abélien. Alors tout sous-groupe
+distingué $N$ de $T^r$ est de la forme $N_1\times \cdots \times N_r$,
+où chaque $N_i$ vaut soit $1$ soit $T$. En particulier, les
+sous-groupes distingués minimaux de $T^r$ sont les $T_i :=
+1\times\cdots\times 1 \times T \times 1 \times \cdots \times 1$, et
+les seuls sous-groupes distingués maximaux sont les
+$T\times\cdots\times T \times 1 \times T \times\cdots\times T$.
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+On procède par récurrence sur $r$. Considérons l'image $\pi_r(N)$ de
+$N$ par la projection $\pi_r$ sur la dernière coordonnée : si
+$\pi_r(N) = 1$, on peut identifier $N$ à son image dans $T^{r-1}$ (par
+la projection sur les $r-1$ premières coordonnées) et l'hypothèse
+récurrence permet immédiatement de conclure. Dans le second cas, il
+existe $(t_1,\ldots,t_r) \in N$ tel que $t_r \neq 1$. On a alors
+aussi $(t_1,\ldots,xt_r x^{-1}) \in N$ pour tout $x \in T$ puisque $N$
+est distingué, donc $(1,\ldots,1, xt_r x^{-1}t_r^{-1}) \in N$. Comme
+$T$ n'est pas abélien, ceci prouve qu'il existe $z\in T$ différent
+de $1$ tel que $(1,\ldots,1,z) \in N$. L'ensemble des $z \in T$ tels
+que $(1,\ldots,1,z) \in N$ est un sous-groupe de $T$, manifestement
+distingué, dont on vient de voir qu'il n'est pas réduit à $1$ : c'est
+donc $T$ tout entier, et on vient de prouver que $(1,\ldots,1,z) \in
+N$ pour tout $z \in T$. Ceci prouve que le morphisme $\pi_r \colon N
+\to T$ a une section ; et si on note $N' = \{(t_1,\ldots,t_r)\in N :
+t_r = 1\}$ le noyau de $\pi_r$, qui est manifestement distingué
+dans $T^r$ et peut s'identifier à un sous-groupe distingué de
+$T^{r-1}$, l'hypothèse de récurrence montre que $N'$ s'écrit sous la
+forme $N_1\times \cdots \times N_{r-1}$ avec chaque $N_i$ valant $1$
+ou $T$. Comme la suite exacte courte $1\to N' \to N
+\buildrel\pi_r\over\to T \to 1$ est scindée d'après ce qu'on a dit, on
+a $N = N_1\times \cdots \times N_{r-1} \times T$, ce qui conclut.
+\end{proof}
+
+\begin{lemme2}\label{lemme-a-la-con-sous-groupes-de-produits}
+Soit $T$ un groupe simple fini non abélien, et $M$ un sous-groupe de
+$T^r$, contenant le sous-groupe diagonal $\{(t,\ldots,t) : t\in T\}$.
+Soit $M_i$ le sous-groupe de $M$ formé des éléments $(t_1,\ldots,t_r)$
+de $M$ tels que $t_i = 1$. Si les $M_i$ sont deux à deux distincts,
+alors $M = T^r$.
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+On procède par récurrence sur $r$. Considérons l'image $M^*$ de $M$
+par la projection sur les $r-1$ premières coordonnées (identifiée à un
+sous-groupe de $T^{r-1}$) : manifestement, $M^*$ contient le
+sous-groupe diagonal de $T^{r-1}$, et si $M_i^*$ (pour $1\leq i\leq
+r-1$) désigne le sous-groupe de $M^*$ formé des éléments
+$(t_1,\ldots,t_{r-1})$ de $M^*$ tels que $t_i = 1$, il s'agit bien de
+l'image de $M_i$ sur $T^{r-1}$ par les premières coordonnées. De
+plus, si on avait $M_i^* = M_j^*$ alors on aurait $M_i = M_j$ (car
+tout $(t_1,\ldots,t_r) \in M$ tel que $t_i = 1$ vérifierait
+$(t_1,\ldots,t_{r-1}) \in M_i^* = M_j^*$ donc $t_j = 1$). L'hypothèse
+de récurrence s'applique donc et assure $M^* = T^{r-1}$. Par
+ailleurs, la projection $M \to M^* = T^{r-1}$ sur les $r-1$ premières
+coordonnées ne peut pas être un isomorphisme car le
+lemme \ref{lemme-a-la-con-sous-groupes-distingues-de-produits}
+ci-dessus appliqué à l'image de $M_r$ (sous-groupe distingué de $M$)
+par cet isomorphisme aboutirait à une contradiction. Il existe donc
+un élément non trivial de $M$ dans le noyau $K$ de $M \to M^*$,
+c'est-à-dire de la forme $(1,\ldots,1,z)$ avec $z\neq 1$. Puisque $M$
+contient la diagonale, on a $(x,\ldots,x,xz) \in M$ pour tout $x \in
+T$, donc $(1,\ldots,1,xzx^{-1}) \in K$, et comme $T$ est simple, les
+$xzx^{-1}$ pour $x\in T$ engendrent $T$. Ainsi, en fait,
+$(1,\ldots,1,z) \in M$ pour tout $z\in T$, et comme on sait déjà que
+l'image $M^*$ de $M$ sur les $r-1$ premières coordonnées
+vaut $T^{r-1}$, il est désormais clair que $M = T^r$.
+\end{proof}
+
+\subsubsection{Groupes de permutation de type presque simple}\label{groupe-de-permutations-type-presque-simple} Soit $T$
+un groupe simple. Un groupe $G$ tel que $T = \Int(T) \leq G \leq
+\Aut(T)$ est dit \emph{presque simple}. La donnée d'un sous-groupe
+maximal $U$ de $G$ permet
+(cf. \ref{remarques-idiotes-groupes-de-permutations} et
+\ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal}) de
+considérer $G$ comme un groupe de permutations primitif (en opérant
+sur les classes à gauche de $U$) : un tel groupe de permutations est
+dit \emph{presque simple}. Son socle est alors $T$, et il n'est pas
+régulier.
+
+\subsubsection{Produits en couronne} Si $K$ est un groupe fini, et $S$ un
+groupe de permutations dont on notera $\Gamma$ l'ensemble sur lequel
+il opère, on définit le \emph{produit en couronne} $K \wr_\Gamma S$
+(ou parfois $K \wr S$ lorsque $\Gamma$ est évident) de la façon
+suivante : il s'agit du produit semidirect $K^\Gamma \rtimes S$, où
+$K^\Gamma$ désigne l'ensemble des fonctions $\Gamma \to K$ et $S$
+opère sur $K^\Gamma$ par $(\sigma \cdot f)(i) = f(\sigma^{-1}(i))$
+pour $\sigma \in S$, $f\in K^\Gamma$ et $i \in \Gamma$.
+
+La définition précédente construit $K \wr_\Gamma S$ comme un groupe
+abstrait. Si $K$ est lui-même un groupe de permutation sur un
+ensemble $\Delta$, on peut considérer l'action de $K \wr_\Gamma S$ sur
+$\Delta \times \Gamma$ définie par $(f,\sigma)\cdot (x,i) = (f(i)(x),
+\sigma(i))$ lorsque $f\in K^\Gamma$ et $\sigma \in S$ : cette action
+possède un système de blocs évident donné par $\{\{(x,i) : x \in
+\Delta\} : i \in \Gamma\}$, qui s'identifie à $\Gamma$, l'action de $K
+\wr_\Gamma S$ étant alors celle de $S$ : on dit qu'il s'agit de
+l'\emph{action imprimitive} (ou parfois de l'\emph{action standard})
+du produit en couronne.
+
+On va définir maintenant une autre action de $K \wr_\Gamma S$ qui sera
+souvent primitive. Pour cela, soit $\Omega = \Delta^\Gamma$
+l'ensemble des fonctions $\Gamma \to \Delta$. On construit une action
+de $K \wr_\Gamma S$ sur $\Omega$ en définissant $(f,\sigma)\cdot w$
+comme la fonction $i \mapsto f(\sigma^{-1}(i)) (w(\sigma^{-1}(i)))$.
+Cette action est appelée l'\emph{action produit} du produit en
+couronne.
+
+\begin{proposition2}
+Soit $K$ un groupe de permutations sur un ensemble $\Delta$ et $S$ un
+groupe de permutations sur un ensemble $\Gamma$. Alors le produit en
+couronne $K \wr_\Gamma S$, muni de son action produit sur $\Omega =
+\Delta^\Gamma$ (définie plus haut) est primitif si et seulement si :
+\begin{itemize}
+\item $S$ est transitif (sur $\Gamma$),
+\item $K$ est primitif (sur $\Delta$), et
+\item $K$ n'est pas régulier (sur $\Delta$).
+\end{itemize}
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Montrons que les trois conditions énumérées sont nécessaires pour que
+l'action produit du produit en couronne soit primitive. Si $S$ n'est
+pas transitif sur $\Gamma$, soit $\Gamma_0 \subsetneq \Gamma$ une
+orbite de $S$ : on considère la relation d'équivalence $\equiv$ sur
+$\Omega = \Delta^\Gamma$ définie par $w \equiv w'$ lorsque $w(i) =
+w'(i)$ pour tout $i \in \Gamma_0$ : lorsque c'est le cas, on a
+manifestement $(f,\sigma)\cdot w \equiv (f,\sigma)\cdot w'$ pour tout
+$(f,\sigma) \in K \wr_\Gamma S$, ce qui montre que l'ensemble
+$\mathscr{B}$ des classes d'équivalence pour $\equiv$ constitue un
+système de blocs pour $K \wr_\Gamma S$, qui est non-trivial car
+$\Gamma_0$ n'est ni $\varnothing$ ni $\Gamma$. Si $K$ n'est pas
+primitif sur $\Delta$, soit $\mathscr{K}$ un système de blocs
+non-trivial pour celui-ci (ou la décomposition en orbites si $K$ n'est
+même pas transitif) : on définit une relation d'équivalence $\equiv$
+sur $\Omega = \Delta^\Gamma$ en posant $w \equiv w'$ lorsque $w(i)
+\mathrel{\equiv_{\mathscr{K}}} w'(i)$ pour tout $i$ (où $x
+\mathrel{\equiv_{\mathscr{K}}} x'$ signifie que $x,x' \in \Delta$
+appartiennent au même $\mathscr{K}$-bloc) ; de nouveau, on a
+$(f,\sigma)\cdot w \equiv (f,\sigma)\cdot w'$ pour tout $(f,\sigma)
+\in K \wr_\Gamma S$. Enfin, si $K$ est régulier sur $\Delta$ (de
+sorte qu'une fois fixé $x_0 \in \Delta$, tout $x\in \Delta$ peut
+s'écrire $k\cdot x_0$ pour un unique $k\in K$), on définit une
+relation d'équivalence $\equiv$ sur $\Omega = \Delta^\Gamma$ en posant
+$w \equiv w'$ lorsqu'il existe $x_0,x'_0 \in \Delta$ et $g\in
+K^\Gamma$ tels que $w(i) = g(i)\cdot x_0$ et $w'(i) = g(i)\cdot x'_0$
+pour tout $i\in\Gamma$ (autrement dit, $w'$ se déduit de $w$ par une
+« translation à droite »\footnote{Si $\Delta$ est un espace principal
+ homogène sous $K$, on appelle \emph{translation à droite} envoyant
+ $x_0 \in\Delta$ sur $x_1 \in\Delta$ l'application $k\cdot x_0
+ \mapsto k\cdot x_1$. Le groupe des translations à droite de
+ $\Delta$ est isomorphe à $K$ mais de façon non canonique (le choix
+ d'une origine $x_0$ dans $\Delta$ permet d'identifier la translation
+ envoyant $x_0$ sur $x_1$ à la multiplication à droite par $x_0^{-1}
+ x_1$, mais le changement de choix de $x_0$ change cette
+ identification par un automorphisme intérieur de $K$).}) : de
+nouveau, on a $(f,\sigma)\cdot w \equiv (f,\sigma)\cdot w'$ pour tout
+$(f,\sigma) \in K \wr_\Gamma S$.
+
+Réciproquement, supposons vérifiées ces trois conditions, et montrons
+que l'action de $K \wr_\Gamma S$ sur $\Omega = \Delta^\Gamma$ est
+primitive. La transitivité ne faisant aucun doute (puisque déjà
+$K^\Gamma$ est transitif sur $\Delta^\Gamma$), on veut montrer que le
+stabilisateur $U$ dans $K \wr_\Gamma S$ d'un élément (quelconque) de
+$\Omega$ est un sous-groupe maximal de $K \wr_\Gamma S$. Choisissons
+l'élément constant de valeur $x_0$, où $x_0 \in\Delta$. Le
+stabilisateur $U$ est donc l'ensemble des $(f,\sigma) \in K \wr_\Gamma
+S$ tels que $f(i) \in V$ pour tout $i$, où $V$ est le (sous-groupe
+maximal de $K$) stabilisateur de $x_0$ dans $\Delta$. Soit $H$ un
+sous-groupe de $K \wr_\Gamma S$ contenant strictement $U$ : on veut
+montrer que $H = K \wr_\Gamma S$.
+
+Tout d'abord, $H$ contient un élément $(f,\sigma)$ non contenu dans
+$U$, et, comme $\sigma$ (c'est-à-dire $(1,\sigma)$) appartient à $U$,
+l'élément $f \in K^\Gamma$ lui-même (c'est-à-dire $(f,\sigma)$)
+appartient à $H$ et non à $V^\Gamma$. Il existe donc $i_0$ tel que
+$f(i_0) \not\in V$.
+
+Le sous-groupe $V$ de $K$ est égal à son normalisateur $N_K(V)$ : en
+effet, $V \trianglelefteq N_K(V)$, et comme $V$ est maximal on doit
+avoir $N_K(V) = V$ ou $N_K(V) = K$. Or la seconde possibilité
+impliquerait $V \trianglelefteq K$, mais on
+sait (\ref{exemples-groupes-de-permutations}) que $V$ ne peut pas
+contenir de sous-groupe distingué autre que $\{1\}$, donc on aurait
+$V=\{1\}$, c'est-à-dire que $K$ serait régulier, ce qu'on a exclu.
+Reste donc $N_K(V) = V$.
+
+On a donc $f(i_0) \not\in N_K(V)$, c'est-à-dire qu'il existe $v \in V$
+tel que $f(i_0)\, v\, f(i_0)^{-1} \not\in V$. Définissons $g \colon
+\Gamma \to K$ par $g(i_0) = v$ et $g(i) = 1$ pour tout $i\neq i_0$ :
+ainsi, $g \in V^\Gamma \leq U \leq H$. Le commutateur $h = f g f^{-1}
+g^{-1}$ appartient à $H$ et vaut $1$ en tout $i \neq i_0$ tandis qu'en
+$i_0$ on a $h(i_0) \not\in V$. Comme $V$ est maximal, $h(i_0)$ et $V$
+engendrent $K$, donc $H$ contient toute fonction $h\colon \Gamma \to
+K$ telle que $h(i) = 1$ pour $i \neq i_0$. Comme $S$ est (qui est
+contenu dans $U$ donc dans $H$) est transitif sur $\Gamma$, pour tout
+$i_1 \in \Gamma$, il est encore vrai que $H$ contient toute fonction
+$h\colon \Gamma \to K$ telle que $h(i) = 1$ pour $i \neq i_1$. Or ces
+fonctions engendrent manifestement $K^\Gamma$, et comme $H$ contient
+aussi $S$, on a prouvé $H = K \wr_\Gamma S$.
+\end{proof}
+
+\subsection{Le théorème de O'Nan-Scott}
+
+Cette section fait suite à la précédente.
+
+Le théorème de O'Nan-Scott établit une sorte de classification des
+groupes de permutations primitifs. Nous nous contenterons dans cet
+ouvrage d'énoncer et de discuter ce théorème, pour la démonstration
+duquel nous renvoyons le lecteur à \cite[chap. 4]{Dixon-Mortimer}.
+
+\begin{theoreme2}
+Soit $G$ un groupe de permutations dont on note $\Omega$ l'ensemble
+sur lequel il opère. Alors l'une des affirmations suivantes est
+vraie :
+\begin{itemize}
+\item $G$ est un groupe de permutations de type affine, tel que décrit
+ à la section \ref{groupe-de-permutations-type-affine}. Ceci se
+ produit si et seulement si le socle de $G$ est abélien, et dans ce
+ cas le socle est régulier.
+\item $G$ est presque simple
+ (cf. \ref{groupe-de-permutations-type-presque-simple}), c'est-à-dire
+ qu'on a $T \leq G \leq \Aut(T)$ pour un certain groupe simple fini
+ non-abélien $T$ (sans affirmation particulière sur la façon dont $G$
+ opère). Dans ce cas, le socle de $G$ est $T$, et il n'est pas
+ régulier.
+\item $G$ est un groupe de permutation de type diagonal, tel que
+ décrit à la section \ref{groupe-de-permutations-type-diagonal} (avec
+ $r\geq 2$ dans les notations de cette section). Dans ce cas, le
+ socle de $G$ est $T^r$ (avec les notations en question) où $T$ est
+ un groupe simple fini non-abélien et $r\geq 2$, et le degré
+ $\#\Omega$ de $G$ est $(\#T)^{r-1}$. Si $r\geq 3$ alors $G$ a un
+ unique sous-groupe distingué minimal qui est son socle.
+\item $G$ est un sous-groupe d'un produit en couronne $K \wr_\Gamma
+ \mathfrak{S}(\Gamma)$ muni de son action produit sur
+ $\Delta^\Gamma$, où $K$ est un groupe de permutation primitif
+ sur $\Delta$ d'un des deux types précédents, et le socle de $G$ est
+ $H^\Gamma$ où $H$ est le socle de $K$. Dans ce cas, le socle en
+ question n'est pas régulier.
+\item $G$ est un sous-groupe d'un produit en couronne $K \wr_\Gamma
+ \mathfrak{S}(\Gamma)$ muni de son action produit sur
+ $\Delta^\Gamma$, où $K$ est un groupe de permutation primitif
+ sur $\Delta$ du type diagonal avec $r=2$ ayant deux sous-groupes
+ distingués minimaux $N_1,N_2$ (isomorphes) distincts, et le socle de
+ $G$ est isomorphe à $N_1^\Gamma$. Ceci se produit si et seulement
+ si le socle de $G$ est régulier mais non abélien.
+\end{itemize}
+\end{theoreme2}
+
+\XXX --- Il est tout pourri mon énoncé, et probablement faux...
+
+\subsection{Un théorème de Jordan}
+
+On veut démontrer :
+
+\begin{theoreme2}\label{Jordan}
+Soit $G$ un sous-groupe transitif de $𝔖_n$ qui contient un $p$-cycle
+pour un nombre premier $p$ strictement compris entre $\frac{n}{2}$ et $n-2$.
+Alors $G$ contient $𝔄_n$.
+\end{theoreme2}
+
+Nous ferons usage de la terminologie suivante :
+
+\begin{dfn2}
+Soit $X$ un ensemble fini. Un sous-groupe $G$ de $𝔖_X$ agissant
+transitivement sur $X$ est dit \emph{primitif} si les seuls sous-ensembles
+$Y\subset X$ tels que pour tout $g\in G$, $g(Y)\cap Y\in\{\vide,Y\}$
+sont $\vide,X$, et les singletons.
+\end{dfn2}
+De façon équivalente, on demande qu'il n'y ait pas de
+partition\footnote{En particulier, par définition,
+chaque constituant est non vide.}
+$\{Y_1,\dots,Y_s\}$ de $X$ avec $\#X>s>1$, stable
+sous l'action de $G$ (au sens où, pour tout $i$, il existe
+un indice $j$ tel que $g(Y_i)=Y_j$).
+
+Établissons quelques lemmes généraux.
+
+\begin{lemme2}
+Un groupe transitif agissant sur un ensemble d'ordre premier est primitif.
+\end{lemme2}
+
+\begin{lemme2}
+Soient $G$ un groupe agissant transitivement sur un ensemble fini $X$,
+$H$ un sous-groupe de $G$ et $P$ une orbite de $H$. Supposons que $H$
+agit transitivement sur $P$ et que $\# X < 2 \# P$. Alors,
+$G$ agit également transitivement sur $X$.
+\end{lemme2}
+
+Ainsi, sous l'hypothèse du théorème de Jordan ci-dessus, $G$ est un sous-groupe
+primitif de $𝔖_n$ contenant un $p$-cycle.
+
+\begin{lemme2}
+Soient $G$ un sous-groupe $f$-transitif de $𝔖_X$, $C$ un sous-groupe
+de $G$ tel que le cardinal de $F=\mathrm{Fix}(C)\subset X$ soit égal à $f$.
+Alors, si $C$ est conjugué and $G_F$ à tout sous-groupe de $G_F$ conjugué
+\emph{dans $G$} à $C$, le normalisateur de $C$ dans $G$ agit $f$-transitivement
+sur $F$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{lemme2}
+Soit $X=F\cup P$ une partition de $X$ telle que $\# P>1$ et $2\#P>\#X$.
+Supposons que $G$ soit un sous-groupe primitif de $𝔖_X$ tel que $G_F$ agisse
+transitivement sur $P$. Alors, l'action de $G$ est doublement transitive.
+(C'est-à-dire : $G$ est transitif et pour chaque $x$, $G_x$ agit
+transitivement sur $X-x$.)
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+Faisons le par récurrence sur $f$. Le cas $f=1$ est tautologique.
+\begin{itemize}
+\item Si $\alpha$ et $\beta$ sont deux éléments distincts de $F$,
+il existe un $g\in G$ tel que $\alpha\in g(F)$ mais $\beta\notin g(F)$.
+En effet, considérons $\displaystyle E=\cap_{g\in G: \alpha \in g(F)} g(F)$ et
+remarquons que si $g'(E)\cap E\neq \vide$, alors $g'(E)=E$.
+(Commencer par le voir dans le cas $\alpha\in g'(E)$.)
+
+\item Le sous-groupe $H=\langle G_F, gG_F g^{-1}\rangle$ agit transitivement
+sur $P\cup g(P)$. (Rappel : $2\#P>\#X$.)
+
+\item Soit $F'=F\cap g(F)$, \cad l'ensemble des éléments qui
+sont fixes par tout élément de $H$. On conclut en utilisant l'hypothèse de récurrence.
+\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{theoreme2}[Camille Jordan, 1870]
+Soit $G$ un sous-groupe primitif de $𝔖_X$, où $\#X=n=p+f$, $p$ est premier
+et $f\geq 3$. Si $G$ contient un cycle de longueur $p$ alors $G$
+contient $𝔄_n$.
+\end{theoreme2}
+
+\begin{proof}[Démonstration dans le cas où $2p>n$.]
+La démonstration du théorème est divisée en quelques étapes :
+$G$ est primitif, doublement transitif, $f$-transitif, puis contient $𝔄_n$.
+Nous n'utiliserons que le cas $2p>n$ (cf. \ref{Jordan}), hypothèse que
+nous supposons satisfaite.
+En particulier, $G$ est primitif. Notons $c$ un cycle de longueur $p$
+dans $G$, et $F$ (resp. $P=X-F$) l'ensemble des points fixes de $c$ ;
+on a donc $\#F=f$ (resp. $\#P=p$).
+Notons $G_F=G\cap 𝔖_F\subset 𝔖_X$ le sous-groupe de $G$ agissant trivialement
+sur $F$, et de même pour divers sous-groupes et sous-ensembles.\\
+Par récurrence sur $f$, on voit que $G$ est $f$-transitif.\\
+Soient $C=\langle c \rangle$ le sous-groupe d'ordre $p$ et $N$ son
+normalisateur dans $G$. On démontre les faits suivants :
+\begin{itemize}
+\item Le sous-groupe $N$ est $f$-transitif sur $F$ (rappelons
+que $C$ est un $p$-Sylow) et donc $N ↠ 𝔖_F$, via le morphisme
+de restriction, bien défini ici.
+\item pour tout $\pi\in P$, $N_{\pi}:=\mathrm{Stab}_N(\pi)$ satisfait
+$N_{\pi}↠ 𝔖_F$. En effet, $N=N_{\pi} G_F$ car $G_F$ agit
+transitivement sur $P$ et $N$ agit sur $P$.
+\item Pour tout $\pi\in P$, l'image de $N_{\pi}$ dans $𝔖_{P}$
+est isomorphe à un sous-groupe de $\Aut(C)$ et est donc abélienne.
+\item Soit $D$ le groupe dérivé de $N_{\pi}$ ; on a vu que l'image
+de $D→ 𝔖_P$ est le groupe trivial $\{1\}$. Il en résulte que $D↠ A_F$.
+\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\section{Groupe de Galois d'un polynôme de degré quatre}
+
+Soient $k$ un corps et $f=X⁴-c₁X³+c₂X²-c₃X+c₄∈k[X]$ un polynôme
+irréductible séparable. Soient $Ω$ une clôture séparable et
+$R=\{x₁,x₂,x₃,x₄\}$ les racines de $f$ dans $Ω$. Le groupe de Galois
+$G$ correspondant est naturellement un sous-groupe transitif de
+$𝔖_R$. Il est donc naturel d'étudier ces sous-groupes. D'autre part,
+il est évident que l'inclusion $G⊆𝔖_R$ est une égalité \ssi $G$ n'est
+contenu dans aucun sous-groupe maximal (strict) de $𝔖_R$.
+
+\begin{proposition}\label{sous-groupes maximaux et transitifs de S4}
+\begin{enumerate}
+\item Les sous-groupes maximaux de $𝔖₄$ sont $𝔄₄$, les stabilisateurs
+des points (isomorphes au groupe $𝔖₃$) et les $2$-Sylow de $𝔖₄$
+(isomorphes au groupe diédral $D₄$).
+\item Les sous-groupes transitifs de $𝔖₄$ sont $𝔖₄$, $𝔄₄$,
+les $2$-Sylow, et ses sous-groupes d'ordre $4$, isomorphes
+à $C₄$ ou $V₄=𝐙/2×𝐙/2$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition}
+
+\begin{démo}
+\begin{enumerate}
+\item Le cardinal $d$ d'un sous-groupe strict $H$ de $𝔖₄$ appartient à l'ensemble
+$\{12,8,6,4,3,2,1\}$. Étudions les différentes possibilités.
+\begin{itemize}
+\item [$d=12$.] $H$ est d'indice deux, donc distingué
+dans $𝔖₄$ ; $H=𝔄₄$.
+\item [$d=8$.] $H$ est un $2$-Sylow. Pour chaque énumération des côtés d'un
+carré, le groupe des isométries du carré, plongé dans $𝔖₄$, est un sous-groupe
+d'ordre huit, maximal car non contenu dans $𝔄₄$.
+Tous les $2$-Sylow étant conjugués, $H$ est l'un de ces groupes.
+\item [$d=6$.] Un groupe d'ordre $6$ n'agit pas transitivement.
+Ses orbites ne peuvent être de cardinal $2$ (sans quoi $H$ serait
+contenu dans un sous-groupe isomorphe à $𝔖₂×𝔖₂$ de $𝔖₄$, de cardinal $4$).
+Il existe donc une orbite ponctuelle : $H$ est le stabilisateur d'un
+point.
+\item [$d∈\{4,3,2,1\}$.] Un sous-groupe d'ordre deux ou quatre est contenu dans
+un $2$-Sylow donc non maximal. Un sous-groupe cyclique d'ordre trois est
+engendré par un $3$-cycle, contenu dans $𝔄₄$, donc non maximal également.
+\end{itemize}
+\item Un sous-groupe transitif $H$ de $𝔖₄$ est de cardinal $d$ divisible par
+$4$ ; on a donc $d∈\{24,12,8,4\}$. On vérifie immédiatement que les différentes
+possibilités sont celles de l'énoncé.
+\end{enumerate}
+\end{démo}
+
+Le théorème suivant est une généralisation de la proposition
+\ref{Gal(deg 3)=cyclique}.
+
+\begin{théorème}
+Soient $k$ un corps, $Ω$ une clôture séparable et $f=X⁴-c₁X³+c₂X²-c₃X+c₄∈k[X]$
+un polynôme séparable. Soient $R=\{x₁,x₂,x₃,x₄\}$ les racines de $f$ dans $Ω$ et
+$G⊆𝔖_R$ le groupe de Galois de $f$ correspondant.
+\begin{enumerate}
+\item $G⊆𝔄_R$ \ssi $\car(k)≠2$ et $Δ(f)$ est de la forme $x²$ ou $\car(k)=2$ et
+$Δ₂(f)$ est de la forme $x²+x$ ;
+\item $G$ est contenu dans le stabilisateur d'une racine \ssi
+$f$ a une racine dans $k$ ;
+\item $G$ est contenu dans un $2$-Sylow de $𝔖_R$ \ssi la \emph{résolvante
+cubique}
+\[
+g=\big(Y-(x₁x₃+x₂x₄)\big)\big(Y-(x₁x₂+x₃x₄)\big)\big(Y-(x₁x₄+x₂x₃)\big)=
+Y³-c₂Y²+(c₁c₃-4c₄)Y-(c₃²-4c₂c₄+c₁²c₄)
+\]
+a une racine dans $k$. Le discriminant du polynôme $g$ est égal
+au discriminant, non nul, de $f$. En caractéristique deux, les
+pseudo-discriminants coïncident également.
+\end{enumerate}
+\end{théorème}
+
+
+\begin{démo}
+(i) Mis que pour mémoire (cf. \refext{CG}{caracterisation groupe Gal alterne}).
+(ii) Évident.
+(iii) L'égalité des discriminants résulte de la formule
+\[
+(x_ix_j+x_k x_l)-(x_ix_k+x_j x_l)=(x_i-x_l)(x_j-x_k).
+\]
+L'égalité des pseudo-discriminants en caractéristique deux
+résulte immédiatement de \refext{CG}{exemples discriminants} ou bien
+d'un calcul direct comme dans le cas du discriminant.
+
+Les expressions $X₁X₃+X₂X₄$, $X₁X₂+X₃X₄$ et $X₁X₄+X₂X₃$
+forment une orbite sous l'action de $𝔖₄$ sur $𝐙[X₁,X₂,X₃,X₄]$ dont les
+stabilisateurs sont précisément les $2$-Sylow (diédraux) de $𝔖₄$.
+Considérons le $2$-Sylow $D=⟨(1234),(12)(34)⟩$,
+correspondant à la numérotation $(1,2,3,4)$ des côtés d'un carré.
+Si $G⊆D$ (où l'on identifie $𝔖_R$ et $𝔖₄$), il agit trivialement sur $x₁x₃+x₂x₄$ qui appartient
+donc à $k$ et est une racine de $g$.
+Réciproquement, si $G$ n'est contenu
+dans aucun $2$-Sylow, il agit sans point fixe donc transitivement sur le
+sous-ensemble à trois éléments
+$\{X₁X₃+X₂X₄,X₁X₂+X₃X₄,X₁X₄+X₂X₃\}$ de
+$𝐙[X₁,X₂,X₃,X₄]$ et, \emph{a fortiori},
+sur le sous-ensemble (à trois éléments
+par séparabilité de $g$) $\{x₁x₃+x₂x₄,x₁x₂+x₃x₄,x₁x₄+x₂x₃\}$
+de $Ω$. Le polynôme $g$ n'a donc pas de racine dans $k$.
+\end{démo}
+
+Pour un complément, cf. \cite{Generic@JLY}, th. 2.2.3.
+
+\subsection{Exercices}
+\begin{exercice2}
+Soient $L=k(R)$ le corps de décomposition de $f$ et
+$K$ le corps de décomposition de $g$ contenu dans $L$.
+Montrer que
+\[
+G≃\left\{
+\begin{array}{ll}
+𝔖₄ & \textrm{si } [K:k]=6 \\
+𝔄₄ & \textrm{si } [K:k]=3 \\
+D₄ \textrm{ ou } 𝐙/4 & \textrm{si } [K:k]=2\\
+V₄ & \textrm{si } [K:k]=1 \\
+\end{array}
+\right.
+\]
+\end{exercice2}
+
+
+\begin{exercice2}
+Montrer qu'il existe une infinité d'entiers $n$ tel que
+le polynôme $f_n=X⁴-nX-1$ soit irréductible et que
+le corps $𝐐_{f_n}=𝐐[X]/(f_n)$ n'ait pas de sous-extension
+non-triviale.
+(Indication : il suffit de vérifier que $G_f≃𝔖₄$.)
+\end{exercice2}
+
+\section{Groupe de Galois d'un polynôme de degré cinq}
+
+\ifx\danslelivre\undefined
+\bibliography{bibliographie-livre}
+\bibliographystyle{style-bib-livre}
+\end{document}
+\fi
diff --git a/chapitres/categories.tex b/chapitres/categories.tex
new file mode 100644
index 0000000..141f2bc
--- /dev/null
+++ b/chapitres/categories.tex
@@ -0,0 +1,3045 @@
+\ifx\danslelivre\undefined
+\documentclass[10pt]{smfart-moi}
+\usepackage{stmaryrd}
+\usepackage{wasysym}
+\usepackage{graphics}
+\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{matrix}
+\usetikzlibrary{calc}
+\input{commun}
+\input{smf}
+\input{adresse}
+\input{gadgets}
+\input{francais}
+\input{numerotation}
+\input{formules}
+\input{encoredesmacros}
+
+\title{Catégories}
+\setcounter{tocdepth}{2}
+%\setcounter{secnumdepth}{2}
+%\newtheorem*{propsansnum}{Proposition}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\tableofcontents
+\else
+\chapter{Catégories}
+\fi
+
+\section{Catégories et foncteurs}
+
+\subsection{Catégories, objets et morphismes}
+
+\begin{definition2}\label{definition-categorie}
+Une \emph{catégorie} $\categ{C}$ est la donnée
+\begin{itemize}
+\item d'un ensemble $\ob\categ{C}$ appelé ensemble des \emph{objets}
+ de $\categ{C}$,
+\item pour tous objets $X,Y \in \ob\categ{C}$, d'un ensemble
+ $\Hom_{\categ{C}}(X,Y)$ appelé ensemble des \emph{morphismes} (ou
+ \emph{flèches}) \emph{de source $X$ et de cible $Y$} (ou \emph{...de
+ but $Y$}) dans $\categ{C}$,
+\item pour tout objet $X \in \ob\categ{C}$, d'un morphisme $\Id_X
+ \in \Hom_{\categ{C}}(X,X)$ appelé \emph{identité sur $X$},
+\item pour tous objets $X,Y,Z \in \ob\categ{C}$, d'une application
+ d'ensembles
+\[
+\Hom_{\categ{C}}(X,Y) \times \Hom_{\categ{C}}(Y,Z) \to \Hom_{\categ{C}}(X,Z)
+\]
+notée $(u,v) \mapsto v\circ u$ et appelée \emph{composition} des morphismes,
+\end{itemize}
+vérifiant les deux conditions suivantes :
+\begin{itemize}
+\item pour tous objets $X,Y \in \ob\categ{C}$ et tout morphisme $u
+ \in \Hom_{\categ{C}}(X,Y)$, on a $u\circ\Id_X = u$ et $\Id_Y\circ u
+ = u$,
+\item pour tous objets $X,Y,Z,T \in \ob\categ{C}$ et tous
+ morphismes $u,v,w$ dans $\Hom_{\categ{C}}(X,Y), \penalty-500
+ \Hom_{\categ{C}}(Y,Z), \penalty-500 \Hom_{\categ{C}}(Z,T)$
+ respectivement, on a $(w\circ v) \circ u = w \circ (v\circ u)$.
+\end{itemize}
+\end{definition2}
+
+Lorsque $X,Y \in \ob\categ{C}$, on écrira généralement $\Hom(X,Y)$
+plutôt que $\Hom_{\categ{C}}(X,Y)$ si aucune ambiguïté ne peut en
+résulter. Par ailleurs, pour indiquer que $u$ est un morphisme de $X$
+vers $Y$, plutôt que d'écrire $u \in \Hom(X,Y)$, on notera
+généralement $u \colon X \to Y$. Enfin, la composée $v \circ u$ de
+deux morphismes sera souvent notée $vu$ lorsque cette écriture ne
+cause pas de confusion.
+
+\begin{remarque2}\label{blabla-univers}
+On souhaite pouvoir parler (\ref{exemples-basiques-categories}
+ci-dessous) de la catégorie des ensembles, des groupes, des anneaux,
+etc. Malheureusement, avec la définition \ref{definition-categorie}
+telle qu'elle est écrite, les ensembles, groupes, anneaux, etc., ne
+forment pas une catégorie car la collection de tous les ensembles (ou
+groupes, anneaux, etc.) ne constitue pas un ensemble. Il existe
+plusieurs manières de contourner ce problème.
+
+L'une consiste à modifier la définition \ref{definition-categorie}
+pour admettre que $\ob\categ{C}$ soit une \emph{classe} plutôt qu'un
+ensemble (tout en exigeant que les $\Hom(X,Y)$, eux, soient bien des
+ensembles). Ceci implique soit de se placer dans une théorie des
+ensembles telle que celle de Gödel-Bernays, dans laquelle les classes
+sont des objets légitimes ; soit, dans le cadre usuel de
+Zermelo-Fraenkel, de considérer que « la classe des ensembles
+ vérifiant $P$ » est une convention de langage pour parler de la
+propriété $P$ elle-même, auquel cas il faut considérer que toute
+affirmation faisant intervenir une catégorie est un simple patron
+duquel peuvent se dérouler des affirmations sur les ensembles, les
+groupes, les anneaux, etc. Lorsqu'on adopte cette solution, les
+catégories $\categ{C}$ pour lesquelles $\ob\categ{C}$ est
+effectivement un ensemble s'appellent \emph{petites} catégories.
+
+Une autre solution consiste à concéder qu'on ne peut pas réellement
+parler de la catégorie des ensembles, des groupes, etc., mais
+seulement des ensembles, groupes, etc., appartenant à un ensemble
+$\mathfrak{U}$ (dit \emph{univers}) possédant des propriétés de
+clôture suffisantes pour que toutes les constructions qu'on souhaite
+mener soient réalisables dans $\mathfrak{U}$ : les affirmations sur la
+catégorie des groupes (par exemple) étant alors à comprendre comme des
+affirmations sur la catégorie des $\mathfrak{U}$-groupes pour tout
+univers $\mathfrak{U}$ (éventuellement supposé suffisamment gros pour
+contenir des données précédemment choisies : par exemple, pour parler
+du foncteur $\Hom \colon \categ{C}\op \times \categ{C} \to \Ens$ qui
+sera défini plus bas, on a besoin de choisir un univers assez étendu
+pour y mettre tous les $\Hom_{\categ{C}}(X,Y)$ avec $X$ et $Y$ deux
+objets de $\categ{C}$). Cela implique à son tour soit de prendre une
+définition d'un univers suffisamment large pour que \emph{toutes} les
+constructions de la théorie des ensembles soient menables dedans, mais
+alors l'existence de « suffisamment » d'univers doit faire l'objet
+d'axiomes supplémentaires\footnote{Par exemple, le fait que tout
+ cardinal soit majoré par un cardinal inaccessible $\kappa$, ce qui
+ permet de considérer les ensembles $\mathfrak{V}_\kappa$ d'ensembles
+ de rang $<\kappa$ (ou, ce qui est ici équivalent, héréditairement de
+ cardinal $<\kappa$) comme des univers.}, soit de prendre une
+définition plus étroite permettant d'exhiber effectivement des
+univers\footnote{Par exemple, on pourrait appeler « univers »
+ l'ensemble $\mathfrak{V}_\kappa$ des ensembles de rang $<\kappa$
+ (ou, ce qui est ici équivalent, héréditairement de
+ cardinal $<\kappa$), où $\kappa$ est un cardinal tel que $\kappa =
+ \beth_\kappa$ (avec $\beth_0 = \aleph_0$, $\beth_{\alpha+1} =
+ 2^{\beth_\alpha}$ et $\beth_\delta = \lim_{\alpha<\delta}
+ \beth_\alpha$ si $\delta$ est limite), et de cofinalité assez
+ grande, disons $>2^{\aleph_0}$ : de cette façon, on peut prouver
+ dans ZFC que tout ensemble est contenu dans un univers (et les
+ univers sont totalement ordonnés pour l'inclusion), et toutes les
+ constructions de la théorie des ensembles sont faisables dans un
+ univers à l'exception de l'utilisation, complètement inexistante
+ dans la pratique mathématique non-ensembliste, de l'axiome du
+ remplacement sur une formule à quantificateurs non bornés
+ (non $\Delta_0$) appliqué un ensemble de base de cardinal supérieur
+ à $2^{\aleph_0}$.}, auquel cas on doit théoriquement vérifier que
+cette définition plus étroite suffit à mener toutes les constructions
+souhaitées.
+
+On supposera dorénavant qu'une de ces solutions a été adoptée,
+permettant de parler sans plus de précision de la catégorie des
+ensembles, des groupes, des anneaux, etc., comme on va le faire
+ci-dessous. Eu égard à la simplicité des énoncés et des constructions
+sur les catégories, toutes ces solutions conviendront autant pour ce
+qui va suivre.
+\end{remarque2}
+
+\begin{exemples2}\label{exemples-basiques-categories}
+La \emph{catégorie des ensembles} (notée $\Ens$) est la catégorie dont
+les objets sont les ensembles, les morphismes $X \to Y$ étant les
+applications d'ensembles de $X$ vers $Y$.
+
+On définit de même la catégorie des groupes, des groupes abéliens, des
+$A$-modules (pour $A$ un anneau fixé), des anneaux, etc., comme la
+catégorie dont les objets sont les structures considérées, les
+morphismes étant les morphismes (habituellement définis) entre ces
+structures.
+\end{exemples2}
+
+\begin{exemples2}\label{exemples-debiles-categories}
+La \emph{catégorie vide}, notée $\varnothing$ ou $\categ{0}$, est la
+catégorie n'ayant aucun objet (et par conséquent, aucun morphisme).
+La \emph{catégorie triviale}, ou \emph{catégorie singleton}, notée
+$\categ{1}$, est la catégorie ayant un unique objet et pour seul
+morphisme l'identité sur cet objet.
+
+On notera encore $\vec{\categ{2}}$ pour la catégorie
+$\astrosun\to\leftmoon$ ayant exactement deux objets $\astrosun$
+et $\leftmoon$, et exactement trois morphismes, à savoir l'identité
+sur $\astrosun$, l'identité sur $\leftmoon$, et un unique morphisme
+$\astrosun\to\leftmoon$, la composition des morphismes étant définie
+de l'unique manière possible. (La notation $\vec{\categ{2}}$ est
+utilisée pour différencier cette catégorie de la catégorie $\categ{2}$
+ayant exactement deux objets et pour seuls morphismes les identités
+sur ces objets.)
+\end{exemples2}
+
+\begin{exemples2}\label{exemple-categorie-ensemble-preordonne}
+Si $I$ est un ensemble (partiellement) ordonné, ou même simplement
+préordonné (c'est-à-dire muni d'une relation symétrique et transitive,
+dite préordre), alors on peut faire de $I$ une catégorie dont les
+objets sont les éléments de $I$, en convenant qu'il existe une unique
+flèche de $i$ vers $j$ lorsque $i \leq j$, l'identité et la composée
+étant définies de l'unique manière possible.
+
+Un cas particulier de cet exemple est obtenu lorsque l'ensemble
+ordonné $I$ est muni de l'ordre trivial, c'est-à-dire qu'on n'a $i
+\leq j$ que lorsque $i = j$ : la catégorie ainsi construite a donc
+pour objets les éléments de $I$ et pour seuls morphismes l'identité
+d'un objet. Une telle catégorie est dite \emph{discrète}, et on
+identifiera parfois un ensemble avec la catégorie discrète ayant cet
+ensemble pour ensemble d'objets (ceci est cohérent avec les
+conventions de notations pour les
+exemples \ref{exemples-debiles-categories}).
+\end{exemples2}
+
+\begin{definition2}\label{definition-categorie-connexe}
+Une catégorie $\categ{C}$ non vide est dite \emph{(faiblement)
+ connexe} lorsque pour tous objets $X,Y$ de $\categ{C}$, il existe
+une suite finie $X_1,\ldots,X_{2n+1}$ d'objets, avec $X_1 = X$ et
+$X_{2n+1} = Y$, et deux suites finies $f_1,\ldots,f_n$ et
+$g_1,\ldots,g_n$ de morphismes, avec $f_k \colon X_{2k-1} \to X_{2k}$
+et $g_k \colon X_{2k+1} \to X_{2k}$, c'est-à-dire
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=2.5em]{
+X_1&X_2&X_3&\;\cdots\;&X_{2n-1}&X_{2n}&X_{2n+1}\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$f_1$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-1-3) -- node[swap]{$g_1$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-1-3) -- node{$f_2$} (diag-1-4);
+\draw[->] (diag-1-5) -- node[swap]{$g_{n-1}$} (diag-1-4);
+\draw[->] (diag-1-5) -- node{$f_n$} (diag-1-6);
+\draw[->] (diag-1-7) -- node[swap]{$g_n$} (diag-1-6);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+Une catégorie $\categ{C}$ non vide est dite \emph{fortement connexe}
+lorsque pour tous objets $X,Y$ de $\categ{C}$, on a
+$\Hom_{\categ{C}}(X,Y) \neq \varnothing$.
+\end{definition2}
+
+\begin{definition2}
+Un morphisme $u\colon X\to Y$ dans une catégorie est dit
+\emph{isomorphisme} lorsqu'il existe un morphisme $v\colon Y\to X$ tel
+que $v\circ u = \Id_X$ et $u\circ v = \Id_Y$ : un tel morphisme est
+dit \emph{réciproque} de~$u$. Lorsqu'il existe un isomorphisme entre
+deux objets $X$ et $Y$, on dit qu'ils sont \emph{isomorphes}. On
+notera $\Isom_{\categ{C}}(X,Y)$ (ou simplement $\Isom(X,Y)$) le
+sous-ensemble de $\Hom(X,Y)$ formé des isomorphismes.
+
+Un morphisme d'un objet $X$ vers lui-même s'appelle
+\emph{endomorphisme} de cet objet : lorsque ce morphisme est un
+isomorphisme, on parle d'\emph{automorphisme} de l'objet. On notera
+parfois $\End(X) = \Hom(X,X)$ et $\Aut(X) = \Isom(X,X)$.
+\end{definition2}
+
+On vérifie immédiatement que, dans les conditions de cette définition,
+le morphisme réciproque $v$ de~$u$ est défini uniquement, et il est
+lui-même un isomorphisme, dont $u$ est la réciproque.
+
+On remarquera également que, pour tout objet $X$ d'une catégorie
+$\categ{C}$, l'ensemble $\End_{\categ{C}}(X)$ des endomorphismes
+de $X$ est un monoïde (pour la loi donnée par la composition des
+morphismes) dont le sous-ensemble $\Aut_{\categ{C}}(X)$ des
+automorphismes est un groupe.
+
+\begin{exemple2}\label{exemple-categorie-groupe-groupoide}
+Si une catégorie $\categ{G}$ admet un unique objet $\bullet$ et que
+tous les morphismes de $\categ{G}$ sont des isomorphismes, alors
+$\Aut_{\categ{G}}(\bullet)$ est un groupe ; et réciproquement, pour
+tout groupe $G$ on peut considérer une catégorie ayant un seul
+objet $\bullet$ et pour laquelle $\Hom_{\categ{G}}(\bullet, \bullet) =
+G$.
+
+En généralisant cet exemple, on appelle \emph{groupoïde} une catégorie
+dans laquelle tous les morphismes sont des isomorphismes.
+\end{exemple2}
+
+\begin{definition2}
+Un morphisme $u\colon X\to Y$ dans une catégorie est dit
+\emph{monomorphisme} (resp. \emph{épimorphisme}) lorsque pour tout
+objet $T$ l'application $\Hom(T,X) \to \Hom(T,Y)$ (donnée par $f
+\mapsto u\circ f$) de composition à gauche par $u$ est injective
+(resp. l'application $\Hom(Y,T) \to \Hom(X,T)$ donnée par $f \mapsto
+f\circ u$ de composition à droite par $u$ est injective).
+\end{definition2}
+
+\begin{definition2}
+Un objet $\top$ d'une catégorie $\categ{C}$ est appelé \emph{objet
+ terminal} (ou \emph{objet final}) de $\categ{C}$ lorsque, pour tout
+objet $X$ de $\categ{C}$, il existe un \emph{unique} morphisme $X \to
+\top$ (c'est-à-dire que l'ensemble $\Hom_{\categ{C}}(X, \top)$ est un
+singleton). Un objet $\bot$ de $\categ{C}$ est appelé \emph{objet
+ initial} lorsque, pour tout objet $X$, il existe un \emph{unique}
+morphisme $\bot \to X$ (c'est-à-dire que l'ensemble
+$\Hom_{\categ{C}}(\bot, X)$ est un singleton).
+\end{definition2}
+
+Un objet terminal, ou initial, n'a notamment pas d'autre endomorphisme
+que l'identité. Deux objets initiaux, ou deux objets terminaux, dans
+une catégorie, sont toujours isomorphes (puisqu'il existe un unique
+morphisme de l'un vers l'autre dans chaque sens, et que la composée
+dans chaque sens est l'unique endomorphisme d'un des objets,
+c'est-à-dire l'identité), et cet isomorphisme est bien sûr unique ;
+réciproquement, il est clair qu'un objet isomorphe à un objet terminal
+(resp. initial) est lui-même terminal (resp. initial).
+
+Dans la catégorie des ensembles, il existe un objet initial, qui est
+l'ensemble vide, ainsi qu'un objet terminal, à savoir un singleton
+quelconque. Dans la catégorie des anneaux, il existe un objet
+initial, à savoir l'anneau $\ZZ$ des entiers, et un objet terminal, à
+savoir l'anneau nul (dans lequel $0=1$).
+
+Un objet d'une catégorie peut être à la fois initial et terminal :
+dans la catégorie des groupes, ou dans celle des groupes abéliens, le
+groupe trivial (dont le seul élément est l'élément neutre) constitue à
+la fois un objet initial et un objet terminal ; de même, dans la
+catégorie des $A$-modules, où $A$ est un anneau quelconque, le module
+nul est à la fois initial et terminal.
+
+\begin{remarque2}\label{blabla-unicite-objet-universel}
+Une catégorie peut posséder plusieurs objets terminaux : par exemple,
+dans la catégorie des ensembles, tout singleton est terminal. Il est
+pourtant fréquent de parler de \emph{l}'objet terminal de la catégorie
+pour désigner n'importe lequel d'entre eux : cet abus de langage est
+justifié car non seulement les objets terminaux sont isomorphes mais,
+de plus, l'isomorphisme entre eux est unique et, en fait, tout
+morphisme entre deux objets terminaux est un isomorphisme ; ainsi,
+dans n'importe quelle affirmation catégorique, ou n'importe quel
+diagramme commutatif, dans lequel intervient un objet terminal, le
+remplacer par un autre (et composer les flèches en provenant ou y
+aboutissant par l'unique isomorphisme entre les deux objets terminaux
+en question) produira une affirmation également valable ou un
+diagramme également commutatif --- ce qui permet bien d'ignorer la
+différence entre les deux objets en question.
+
+Ces remarques valent bien sûr également pour un objet initial ; mais,
+de façon plus importante, elles valent aussi dans une certaine mesure
+pour les solutions de tous les autres problèmes « universels » qu'on
+sera amené à considérer plus loin (objet représentant un foncteur,
+limites et colimites, foncteurs adjoints, etc.), puisque ceux-ci
+peuvent se ramener à rechercher des objets terminaux (ou initiaux)
+dans des catégories construites pour le problème : c'est ce qui
+justifie qu'on se permette, par exemple, de parler \emph{du} produit
+de deux groupes plutôt que d'\emph{un} produit, car deux produits sont
+non seulement isomorphes mais même isomorphes de façon unique si l'on
+impose que l'isomorphisme soit compatible aux projections sur les deux
+facteurs.
+
+Le même abus de langage fait qu'on notera parfois une égalité entre
+deux objets d'une catégorie alors qu'il s'agit, en fait, d'un
+isomorphisme, à condition que l'isomorphisme en question soit défini
+de façon unique (compte tenu de certaines données définissant
+l'objet), ce qui promet notamment qu'il ne puisse pas y avoir de doute
+quant à l'isomorphisme faisant commuter un diagramme. (Par ailleurs,
+il s'agira normalement d'isomorphismes naturels entre des
+constructions fonctorielles, cf. \ref{definition-isomorphisme-naturel}
+plus bas, un exemple typique serait l'abus de langage d'écrire
+$(X\times Y) \times Z = X \times(Y\times Z)$.)
+
+En revanche, lorsqu'un objet (par exemple, une clôture algébrique d'un
+corps $k$) n'est défini qu'à isomorphisme près, sans que cet
+isomorphisme soit unique (compte tenu de certaines données, par
+exemple le plongement de $k$ dans le corps lorsqu'il s'agit de définir
+une clôture algébrique de $k$), on ne devrait pas, en principe,
+utiliser l'article défini pour désigner l'objet en question.
+\end{remarque2}
+
+\begin{definition2}
+Si $\categ{C}$ est une catégorie, une \emph{sous-catégorie}
+de $\categ{C}$ est la donnée d'un ensemble d'objets de $\categ{C}$ et
+d'un ensemble de morphismes de $\categ{C}$ tels que ces objets et ces
+morphismes (considérés comme des morphismes de même source et de même
+but que dans $\categ{C}$, et avec les mêmes identités et la même
+composition) forment une catégorie. Une sous-catégorie $\categ{D}$
+d'une catégorie $\categ{C}$ telle que, pour tous objets $X$ et $Y$
+de $\categ{D}$, le sous-ensemble $\Hom_{\categ{D}}(X,Y)$ de
+$\Hom_{\categ{C}}(X,Y)$ soit $\Hom_{\categ{C}}(X,Y)$ tout entier, est
+appelée \emph{sous-catégorie pleine} de $\categ{C}$.
+\end{definition2}
+
+Par exemple, la catégorie des groupes abéliens forme une
+sous-catégorie pleine de celle des groupes.
+
+\begin{definition2}
+Si $\categ{C}$ est une catégorie, la \emph{catégorie opposée}
+à $\categ{C}$, notée $\categ{C}\op$, est la catégorie dont les objets
+sont les mêmes que ceux de $\categ{C}$ (soit $\ob(\categ{C}\op) =
+\ob(\categ{C})$) mais dont les flèches sont inversées, c'est-à-dire
+que pour $X,Y$ deux objets, $\Hom_{\categ{C}\op}(Y,X) =
+\Hom_{\categ{C}}(X,Y)$ et, si $u\in\Hom_{\categ{C}}(X,Y)$ et
+$v\in\Hom_{\categ{C}}(Y,Z)$ sont deux morphismes dans $\categ{C}$,
+alors la composée $u\circ v$ de $u\in\Hom_{\categ{C}\op}(Y,X)$ et
+$v\in\Hom_{\categ{C}\op}(Z,Y)$ dans $\categ{C}\op$ est définie comme
+la composée $v\circ u$ dans $\categ{C}$. On identifie de façon
+évidente $(\categ{C}\op)\op$ avec $\categ{C}$.
+\end{definition2}
+
+\begin{definition2}
+Si $(\categ{C})_{i\in I}$ est une famille de catégories, la
+\emph{catégorie produit} des $\categ{C}_i$, notée $\prod_{i\in I}
+\categ{C}_i$, est la catégorie dont les objets sont les familles
+$(X_i)_{i\in I}$ avec $X_i \in \ob\categ{C}_i$, autrement dit $\ob
+\prod_{i\in I} \categ{C}_i = \prod_{i\in I} \ob \categ{C}_i$, et dont
+les flèches $(X_i) \to (Y_i)$ sont les familles $(u_i)_{i\in I}$ avec
+$u_i\colon X_i \to Y_i$ pour chaque $i$, autrement dit
+$\Hom_{\prod_{i\in I} \categ{C}_i} ((X_i),(Y_i)) = \prod_{i\in I}
+\Hom_{\categ{C}_i} (X_i, Y_i)$.
+
+Lorsque $(\categ{C}_i)$ est la famille constante de valeur $\categ{C}$
+(une catégorie quelconque), la catégorie produit se note $\categ{C}^I$
+et s'appelle catégorie puissance, ou catégorie des familles indicées
+par $I$ d'objets de $\categ{C}$.
+\end{definition2}
+
+\begin{definition2}\label{definition-categorie-au-dessus}
+Si $\categ{C}$ est une catégorie et $S$ un objet de $\categ{C}$, on
+appelle \emph{catégorie des objets de $\categ{C}$ au-dessus de $S$},
+et on note $\categ{C}\downarrow S$, la catégorie dont les objets sont
+les morphismes $X \to S$, avec $X$ un objet de $\categ{C}$, les
+morphismes de $h\colon X \to S$ vers $h'\colon X' \to S$ (vus comme deux
+objets de $\categ{C} \downarrow S$) étant les morphismes $u\colon X
+\to X'$ dans $\categ{C}$ tels que $h = h'\circ u$. Dualement, si $T$
+est un objet de $\categ{C}$, on a la catégorie $T\uparrow\categ{C}$
+des \emph{objets sous $T$} dont les objets sont les morphismes $T \to
+X$ avec $X$ un objet de $\categ{C}$.
+\end{definition2}
+
+(On verra en \ref{definition-categorie-au-dessus-generalisation} une
+généralisation de cette définition.)
+
+La catégorie $\categ{C}\downarrow S$ possède un objet terminal, à
+savoir l'identité $S \to S$ (et si $\categ{C}$ possède un objet
+initial $\top$ alors $\categ{C}\downarrow S$ en a aussi un, à savoir
+l'unique flèche $\top \to S$). Dualement, $T\uparrow\categ{C}$
+possède un objet initial $\Id_T\colon T \to T$ (et a un objet terminal
+si $\categ{C}$ en a un).
+
+\begin{exemple2}
+Si $I$ est un ensemble, la catégorie $\Ens\downarrow I$ des ensembles
+sur $I$ peut être identifiée à la catégorie $\Ens^I$ des familles
+d'ensembles indicées par $I$ en identifiant un objet $h\colon X\to I$
+dans $\Ens\downarrow I$ avec la famille $(X_i)_{i \in I}$ où $X_i =
+h^{-1}(\{i\})$ : en effet, la donnée d'une application $f\colon X \to
+Y$ qui composée à $\psi\colon Y \to I$ égale $h\colon X\to I$ équivaut
+précisément à la donnée pour chaque $i \in I$ d'une application $f_i
+\colon X_i \to Y_i$ (où $Y_i = \psi^{-1}(\{i\})$ et $X_i =
+h^{-1}(\{i\})$). La formulation vague « peut être identifiée » sera
+rendue plus précise plus bas (\ref{definition-equivalence-categories})
+par l'introduction de la notion d'équivalence de catégories.
+\end{exemple2}
+
+
+
+\subsection{Foncteurs}
+
+\begin{definition2}\label{definition-foncteur}
+Soient $\categ{C}$ et $\categ{D}$ deux catégories : on appelle
+\emph{foncteur (covariant)} de $\categ{C}$ dans $\categ{D}$, et on
+note $F\colon \categ{C} \to \categ{D}$ la donnée d'une application
+$\ob\categ{C} \to \ob\categ{D}$ (également notée $F$), et pour tous
+objets $X,Y \in \ob\categ{C}$, d'une application
+$\Hom_{\categ{C}}(X,Y) \to \Hom_{\categ{D}}(F(X), F(Y))$ (également
+notée $F$), telle que si $X$ est un objet de $\categ{C}$ alors
+$F(\Id_X) = \Id_{F(X)}$, et si $X,Y,Z$ sont trois objets
+de $\categ{C}$ et $u\colon X\to Y$ et $v\colon Y\to Z$ deux morphismes
+dans $\categ{C}$, alors $F(v\circ u) = F(v)\circ F(u)$.
+\end{definition2}
+
+\begin{exemples2}
+Si $\categ{C}$ est une catégorie de structures algébriques telle que
+groupes, groupes abéliens, $A$-modules (pour $A$ un anneau fixé),
+anneaux, etc., on dispose d'un foncteur $F\colon \categ{C} \to \Ens$
+vers la catégorie $\Ens$ des ensembles, qui à tout objet $X$
+de $\categ{C}$ associe son ensemble sous-jacent, et à tout morphisme
+$X \to Y$ associe l'application en question sur les ensembles
+sous-jacents. Ce foncteur s'appelle \emph{foncteur d'oubli} (de la
+structure en question vers les ensembles). On peut également définir
+des foncteurs d'oubli partiels, par exemple de la catégorie des
+anneaux vers la catégorie des groupes abéliens en ne retenant que la
+structure de groupe abélien pour l'addition (en oubliant la
+multiplication).
+\end{exemples2}
+
+Lorsque $F \colon \categ{C} \to \categ{D}$ est un foncteur, si $X$ et
+$Y$ sont deux objets isomorphes de $\categ{C}$ alors $F(X)$ et $F(Y)$
+sont eux aussi isomorphes (puisque si $u\colon X \to Y$ et $v \colon Y
+\to X$ vérifient $v\circ u = \Id_X$ et $u\circ v = \Id_Y$ alors $F(u)
+\colon F(X) \to F(Y)$ et $F(v)\colon F(Y) \to F(X)$ vérifient
+$F(v)\circ F(u) = \Id_{F(X)}$ et $F(u) \circ F(v) = \Id_{F(Y)}$).
+Cette observation justifie l'intérêt des définitions suivantes :
+
+\begin{definition2}
+On dit qu'un foncteur $F \colon \categ{C} \to \categ{D}$ est
+\emph{fidèle} (resp. \emph{plein}, resp. \emph{pleinement fidèle})
+lorsque pour tous objets $X,Y \in \ob\categ{C}$ l'application
+$\Hom_{\categ{C}}(X,Y) \to \Hom_{\categ{D}}(F(X),F(Y))$ est injective
+(resp. surjective, resp. bijective).
+\end{definition2}
+
+Ainsi, si $\categ{D}$ est une sous-catégorie d'une
+catégorie $\categ{C}$, le foncteur d'inclusion $\categ{D} \to
+\categ{C}$ (envoyant un objet de $\categ{D}$ sur le même objet vu
+comme objet de $\categ{C}$, et un morphisme dans $\categ{D}$ sur le
+même morphisme vu dans $\categ{C}$) est toujours fidèle ; il est plein
+exactement lorsque $\categ{D}$ est une sous-catégorie pleine
+de $\categ{C}$.
+
+\begin{definition2}
+On dit qu'un foncteur $F \colon \categ{C} \to \categ{D}$ est
+\emph{essentiellement injectif} (resp. \emph{essentiellement
+ surjectif}) lorsque pour deux objets $X,Y \in \ob \categ{C}$, si
+$F(X)$ et $F(Y)$ sont isomorphes alors $X$ et $Y$ le sont (resp. pour
+tout objet $Y$ de $\categ{D}$, il existe $X \in \ob\categ{C}$ tel que
+$Y$ soit isomorphe à $F(X)$).
+\end{definition2}
+
+\begin{proposition2}\label{pleinement-fidele-est-essentiellement-injectif}
+Un foncteur pleinement fidèle est essentiellement injectif. Plus
+précisément, si $F$ est pleinement fidèle, alors $F$ établit une
+bijection entre isomorphismes $X \buildrel\sim\over\to Y$ et
+isomorphismes $F(X) \buildrel\sim\over\to F(Y)$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Supposons $F \colon \categ{C} \to \categ{D}$ un foncteur pleinement
+fidèle. Si, pour $X,Y \in \ob\categ{C}$ deux objets, $F(X)$ et $F(Y)$
+sont isomorphes, alors il existe $u'\colon F(X) \to F(Y)$ et $v'\colon
+F(Y) \to F(X)$ tels que $v'\circ u' = \Id_{F(X)}$ et $u'\circ v' =
+\Id_{F(Y)}$, alors puisque $F$ est plein on peut trouver $u\colon X
+\to Y$ et $v\colon Y\to X$ tels que $u' = F(u)$ et $v' = F(v)$, et
+puisque $F(v\circ u) = v'\circ u' = \Id_{F(X)} = F(\Id_X)$, le
+foncteur $F$ étant fidèle, on a $v\circ u = \Id_X$, et de même $u\circ
+v = \Id_Y$. Donc $X$ et $Y$ sont isomorphes.
+\end{proof}
+
+En fait, la définition de foncteur essentiellement injectif n'a
+réellement d'intérêt que comme conséquence de la pleine fidélité comme
+donnée par la proposition ci-dessus. Il n'y aurait guère d'intérêt à
+définir les foncteurs \emph{essentiellement bijectifs} (à la fois
+essentiellement injectifs et essentiellement surjectifs). En
+revanche, d'après la proposition ci-dessus, la propriété suivante est
+plus forte :
+
+\begin{definition2}\label{definition-equivalence-categories}
+Une \emph{équivalence de catégories} est un foncteur pleinement fidèle
+et essentiellement surjectif.
+\end{definition2}
+
+(On verra en \ref{equivalence-categories} que cette notion donne bien
+une relation d'équivalence.)
+
+\begin{definition2}
+Si $F\colon \categ{C} \to \categ{D}$ et $G\colon \categ{D} \to
+\categ{E}$ sont deux foncteurs (covariants), on définit leur
+\emph{composée}, notée $G\circ F$ ou simplement $GF$ (ou parfois
+$G\boxempty F$ pour des raisons qui apparaîtront plus loin), comme le
+foncteur $\categ{C} \to \categ{E}$ envoyant un objet $X$
+de $\categ{C}$ sur $G(F(X))$ et un morphisme $u\colon X\to Y$
+dans $\categ{C}$ sur $G(F(u)) \colon G(F(X)) \to G(F(Y))$.
+
+On définit également le \emph{foncteur identité} sur une
+catégorie $\categ{C}$ quelconque comme le foncteur envoyant tout
+objet $X \in \ob\categ{C}$ sur lui-même et toute flèche $u \colon X\to
+Y$ de $\categ{C}$ sur elle-même. On le note $\Id_{\categ{c}}$.
+
+Enfin, si $\categ{C}$ et $\categ{D}$ sont deux catégories, et $Y$ un
+objet de $\categ{D}$, on définit le \emph{foncteur constant}
+$\categ{C} \to \categ{D}$ de valeur $Y$ comme le foncteur associant
+$Y$ à tout objet de $\categ{C}$, et $\Id_Y$ à tout morphisme de $X$.
+On peut le noter $\Delta(X)$ ou parfois simplement $X$ (dans les cas
+où cette dernière notation ne peut pas prêter à confusion).
+\end{definition2}
+
+Pour généraliser la définition \ref{definition-categorie-au-dessus},
+on peut poser :
+\begin{definition2}\label{definition-categorie-au-dessus-generalisation}
+Si $\categ{E},\categ{C},\categ{D}$ sont trois catégories, et
+$T\colon\categ{E}\to\categ{C}$ et $S\colon\categ{D}\to\categ{C}$ deux
+foncteurs, on définit la \emph{catégorie des objets sous $T$ et
+ sur $S$}, notée $T\uparrow\categ{C}\downarrow S$, comme la catégorie
+dont les objets sont des triplets $(X,Y,h)$ avec $X$ un objet
+de $\categ{E}$, $Y$ un objet de $\categ{D}$, et $h\colon T(X) \to
+S(Y)$ un morphisme de $\categ{C}$, les morphismes $(X,Y,h) \to
+(X',Y',h')$ étant définis comme les paires de morphismes $(u,v)$ avec
+$u\colon X\to X'$ (un morphisme dans $\categ{E}$) et $v\colon Y\to Y'$
+(un morphisme dans $\categ{D}$) telles que $S(v)\circ h = h'\circ
+T(u)$, c'est-à-dire faisant commuter le diagramme suivant :
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+T(X)&T(X')\\S(Y)&S(Y')\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$h$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$h'$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$T(u)$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node{$S(v)$} (diag-2-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+Lorsque $T$ ou $S$ (mais pas les deux simultanément) est le foncteur
+identité sur $\categ{C}$, on pourra l'omettre dans la notation (on
+écrira donc simplement $\categ{C}\downarrow S$ ou $T\uparrow
+\categ{C}$ selon le cas) ; lorsque $T$ ou $S$ est un objet
+de $\categ{C}$, on donnera un sens à $T \uparrow \categ{C} \downarrow
+S$ en identifiant cet objet de $\categ{C}$ au foncteur constant
+$\categ{1} \to \categ{C}$ (partant de la catégorie singleton) de
+valeur l'objet en question.
+\end{definition2}
+
+On vérifie que ces conventions recouvrent les définitions déjà
+faites : par exemple, si $S$ est un objet de $\categ{C}$, identifié au
+foncteur constant $\categ{1} \to \categ{C}$ de valeur cet objet, et si
+$T\colon \categ{C}\to \categ{C}$ est le foncteur identité, alors
+$\categ{C} \downarrow S$ est la catégorie dont les objets sont les
+morphismes $X \to S$ dans $\categ{C}$.
+
+Lorsque $T$ et $S$ sont tous les deux le foncteur identité
+sur $\categ{C}$, la catégorie
+$\Id_{\categ{C}}\uparrow\categ{C}\downarrow \Id_{\categ{C}}$ s'appelle
+\emph{catégorie des flèches} de $\categ{C}$ : ses objets sont les
+flèches $X \to Y$ dans $\categ{C}$, un morphisme de $X\to Y$
+vers $X'\to Y'$ dans la catégorie des flèches étant la donnée de deux
+morphismes $u\colon X\to X'$ et $v\colon Y\to Y'$ faisant commuter le
+diagramme évident. Comme on le verra plus loin, cette catégorie des
+flèches peut également se définir comme la catégorie de foncteurs
+$\Hom(\vec{\categ{2}}, \categ{C})$, où $\vec{\categ{2}} =
+(\astrosun\to\leftmoon)$ désigne la catégorie ayant deux objets, et
+une unique flèche hors des identités sur ces objets.
+
+Remarquons que tout foncteur $F\colon \categ{C} \to \categ{D}$ définit
+de façon évidente un foncteur $\categ{C}\op \to \categ{D}\op$.
+
+\begin{definition2}
+Un \emph{foncteur contravariant} d'une catégorie $\categ{C}$ vers une
+catégorie $\categ{D}$ est un foncteur (covariant) de la
+catégorie $\categ{C}\op$ vers $\categ{D}$.
+
+Si $G$ est un foncteur covariant de $\categ{D}$ vers $\categ{E}$ et
+$F$ un foncteur contravariant de $\categ{C}$ vers $\categ{D}$, on
+définit la composée $G\circ F$ comme le foncteur contravariant défini
+par la composée de $F \colon \categ{C}\op \to \categ{D}$ et de $G
+\colon \categ{D} \to \categ{E}$.
+
+Si $G$ est un foncteur contravariant de $\categ{D}$ vers $\categ{E}$
+et $F$ un foncteur covariant (resp. contravariant) de $\categ{C}$
+vers $\categ{D}$, on définit la composée $G\circ F$ comme le foncteur
+contravariant (resp. covariant) défini par la composée de
+$\categ{C}\op \to \categ{D}\op$ (resp. $\categ{C} \to \categ{D}\op$)
+déduit évidemment de $F$, et de $G \colon \categ{D}\op \to \categ{E}$.
+\end{definition2}
+
+Ainsi, la composée d'un foncteur covariant et d'un foncteur
+contravariant constitue un foncteur contravariant, tandis que la
+composée de deux foncteurs contravariant (comme évidemment de deux
+foncteurs covariants) constitue un foncteur covariant.
+
+\begin{exemple2}
+Si $A$ est un anneau (commutatif), l'application qui à un $A$-module
+$M$ associe son dual $M^\vee = \Hom_{A\traitdunion\categ{Mod}}(M,A)$ et
+à un morphisme $u \colon M \to N$ (qu'on peut voir comme un morphisme
+dans l'autre sens dans la catégorie opposée à celle des $A$-modules)
+associe sa transposée $u^\vee \colon N^\vee \to M^\vee$ (définie par
+$u^\vee(\lambda) = \lambda\circ u$ pour toute forme linéaire $\lambda
+\in N^\vee$) constitue un foncteur contravariant de la catégorie
+$A\traitdunion\categ{Mod}$ des $A$-modules vers elle-même (le
+\emph{foncteur dual}).
+
+La composée de ce foncteur contravariant avec lui-même est le
+\emph{foncteur bidual}, covariant, qui à un $A$-module $M$ associe son
+bidual $M^{\vee\vee}$ et à un morphisme $u \colon M\to N$ associe sa
+bitransposée $u^{\vee\vee} \colon M^{\vee\vee} \to N^{\vee\vee}$.
+\end{exemple2}
+
+\begin{definition2}
+Si $(\categ{C}_i)_{i\in I}$ est une famille de catégories, un
+\emph{foncteur (covariant) à plusieurs variables} des catégories
+$\categ{C}_i$ vers une catégorie $\categ{D}$ est un foncteur
+$\prod_{i\in I} \categ{C}_i \to \categ{D}$. On définit de façon
+évidente un foncteur à plusieurs variables, covariante en certaines et
+contravariantes en d'autres.
+
+Lorsque $F$ est un foncteur à plusieurs variables (de variances
+quelconques) depuis des catégories $\categ{C}_i$ (pour $i\in I$) vers
+une catégorie $\categ{D}$ et que $A_i$ sont des objets
+de $\categ{C}_i$ pour certains $i$ (disons pour $i\in J$ avec $J
+\subseteq I$), on définit l'\emph{application partielle} de $F$ à
+ces $A_i$ comme le foncteur du reste des variables (depuis les
+$\categ{C}_i$ avec $i \in I\setminus J$) vers $\categ{D}$ qui envoie
+une famille $(X_i)_{i\in I\setminus J}$ d'objets vers $F((A_i)_{i\in
+ J},(X_i)_{i \not\in J})$ et une famille $(u_i)_{i\in I\setminus J}$
+de morphismes vers $F((\Id_{A_i})_{i\in J},(u_i)_{i \not\in J})$.
+\end{definition2}
+
+\begin{exemple2}
+Si $\categ{C}$ est une catégorie quelconque, le foncteur $\categ{C}\op
+\times \categ{C} \to \Ens$ qui à un couple d'objets $(X,Y)$ associe
+$\Hom_{\categ{C}}(X,Y)$, et à un couple de flèches $(u,v)$ avec $u \in
+\Hom_{\categ{C}}(X',X)$ (qu'on peut voir comme $u \in
+\Hom_{\categ{C}\op}(X,X')$) et $v \in \Hom_{\categ{C}}(Y,Y')$ associe
+l'application d'ensembles $\Hom_{\categ{C}}(X,Y) \to
+\Hom_{\categ{C}}(X',Y')$ donnée par $f \mapsto v\circ f \circ u$,
+constitue un foncteur à deux variables, toutes deux de $\categ{C}$,
+contravariant en la première et covariant en la seconde, et à valeurs
+dans les ensembles. Ce foncteur s'appelle (ou se note) le
+\emph{foncteur $\Hom$} pour la catégorie $\categ{C}$.
+
+L'application partielle de ce foncteur $\Hom$ à un objet $A$
+de $\categ{C}$ en la première variable définit un foncteur
+$\Hom(A,\tiret)$ covariant de $\categ{C}$ vers $\categ{C}$ envoyant un
+objet $Y$ sur $\Hom(A,Y)$ et une flèche $v\colon Y\to Y'$ sur
+$\Hom(A,Y) \to \Hom(A,Y')$ donné par $f \mapsto v\circ f$.
+L'application partielle de $\Hom$ à un objet $B$ de $\categ{C}$ en la
+seconde variable définit un foncteur $\Hom(\tiret,B)$ contravariant
+de $\categ{C}$ vers $\categ{C}$ envoyant un objet $X$ sur $\Hom(X,B)$
+et une flèche $u\colon X'\to X$ (dans $\categ{C}$) sur $\Hom(X,B) \to
+\Hom(X',B)$ donné par $f \mapsto f\circ u$.
+\end{exemple2}
+
+\begin{remarque2}
+Dans la définition du foncteur $\Hom \colon \categ{C}\op \times
+\categ{C} \to \Ens$ intervient implicitement le choix d'une catégorie
+d'ensembles (par exemple, si on a adopté une solution aux difficultés
+ensemblistes consistant à parler d'univers, cela signifie que pour
+chaque univers $\mathfrak{U}$ contenant tous les $\Hom(X,Y)$ avec
+$X,Y$ objets de $\categ{C}$, on a un foncteur $\Hom_{\mathfrak{U}}
+\colon \categ{C}\op \times \categ{C} \to \Ens_{\mathfrak{U}}$
+aboutissant dans les ensembles appartenant à $\mathfrak{U}$) : toute
+affirmation ou définition raisonnable faisant intervenir ce foncteur
+ne doit, évidemment, pas dépendre du choix de cette catégorie $\Ens$.
+(Par exemple, dans la
+définition \ref{definition-foncteur-representable} plus bas, il est
+trivial que le fait qu'un foncteur soit représentable ne change pas
+lorsqu'on le considère à valeurs dans une catégorie d'ensembles plus
+grosse ; de même, le lemme de Yoneda (\ref{lemme-de-yoneda}) sera
+vrai pour n'importe quel choix de $\Ens$.)
+\end{remarque2}
+
+
+\subsection{Transformations naturelles}
+
+\begin{definition2}\label{definition-transformation-naturelle}
+Soient $F,G\colon \categ{C} \to \categ{D}$ deux foncteurs (covariants)
+entre les deux mêmes catégories. Une \emph{transformation naturelle},
+ou simplement un \emph{morphisme (fonctoriel)}, $h$, de $F$ vers $G$
+(noté $h\colon F \to G$) est la donnée pour tout objet $X \in
+\ob\categ{C}$ d'un morphisme $h(X)$ (ou $h_X$) de source $F(X)$ et
+but $G(X)$, tel que pour tout morphisme $z \colon X \to Y$
+dans $\categ{C}$ le diagramme suivant commute :
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+F(X)&F(Y)\\G(X)&G(Y)\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$h(X)$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$h(Y)$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$F(z)$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node{$G(z)$} (diag-2-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+--- autrement dit, $G(z)\circ h(X) = h(Y)\circ F(z)$.
+\end{definition2}
+
+\begin{exemple2}
+Si $A$ est un anneau (commutatif), on a défini le foncteur bidual, qui
+à un $A$-module $M$ associe son bidual $M^{\vee\vee}$ et à un
+morphisme $u \colon M\to N$ associe sa bitransposée $u^{\vee\vee}
+\colon M^{\vee\vee} \to N^{\vee\vee}$. La donnée pour tout $M$ de
+l'application $A$-linéaire $M \to M^{\vee\vee}$ envoyant $x \in M$ sur
+$\lambda \mapsto \lambda(x)$ (application $A$-linéaire $M^\vee \to A$,
+donc élément de $M^{\vee\vee}$) constitue une transformation naturelle
+du foncteur identité vers ce foncteur bidual.
+\end{exemple2}
+
+Étant donné que les foncteurs contravariants, et les foncteurs à
+plusieurs variables, ont été définis à l'aide des foncteurs covariants
+à une seule variable, on obtient du même coup la définition de
+transformations naturelles entre tels foncteurs.
+
+\begin{exemple2}
+On peut définir un foncteur $R\colon \Ens\op\times\Ens \to \Ens$, qui
+à deux ensembles $X,Y$ associe l'ensemble $R(X,Y)$ des relations entre
+$X$ et $Y$, c'est-à-dire les parties de $X\times Y$, et qui à deux
+applications $(u,v)$ avec $u\colon X'\to X$ et $v\colon Y\to Y'$,
+associe l'application $R(X,Y) \to R(X',Y')$ envoyant $\rho \subseteq
+X\times Y$ sur $R(u,v)(\rho) = \{(x',y') \in X'\times Y' : (\exists y
+\in Y) \, \penalty-500 ((u(x'),y)\in \rho \land y'=v(y))\}$. Alors la
+donnée, pour deux ensembles $X,Y$, de l'application $\Hom(X,Y) \to
+R(X,Y)$ envoyant une application $f \colon X \to Y$ sur son graphe
+$\Gamma_f \subseteq X\times Y$, constitue une transformation naturelle du
+foncteur $\Hom$ (contravariant en sa première variable et covariant en
+la seconde) vers le foncteur $R$.
+\end{exemple2}
+
+\begin{definition2}
+Si $F,G,H\colon \categ{C} \to \categ{D}$ sont trois foncteurs et
+$u\colon F \to G$ et $v\colon G \to H$ deux transformations
+naturelles, on définit leur \emph{composée} (« verticale »), notée
+$v\circ u\colon F \to H$ (ou simplement $vu$), comme la transformation
+naturelle qui à un objet $X$ de~$\categ{C}$ associe le morphisme $v(X)
+\circ u(X) \colon F(X) \to H(X)$ (dans~$\categ{D}$).
+
+On définit également la \emph{transformation identité} du foncteur
+$F\colon \categ{C} \to \categ{D}$, qu'on note $\Id_F$, comme la
+transformation naturelle associant à un objet $X$ de~$\categ{C}$ le
+morphisme identité $\Id_{F(X)}\colon F(X) \to F(X)$.
+\end{definition2}
+
+La terminologie de « composée verticale » fait référence à la façon
+suivante de présenter les flèches impliquées dans la situation :
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+\categ{C}&\categ{D}\\};
+\draw[->] (diag-1-1) to [out=80,in=100] node [auto=false] (F) {} node [pos=0.45] {$\scriptstyle F$} (diag-1-2);
+%\draw[->] (diag-1-1) to node [auto=false] (G) {} node [pos=0.25,auto=false,fill=white,draw] {$\scriptstyle G$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-1-1) to node [auto=false] (G) {} node [pos=0.25] {$\scriptstyle G$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-1-1) to [out=-80,in=-100] node [auto=false] (H) {} node [pos=0.45,swap] {$\scriptstyle H$} (diag-1-2);
+\draw[->] (F) -- node{$\scriptstyle u$} (G);
+\draw[->] (G) -- node{$\scriptstyle v$} (H);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+Le diagramme commutatif utilisé pour prouver que $v\circ u$ est une
+transformation naturelle s'obtient en empilant les diagrammes de $v$
+et de~$u$ :
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+F(X)&F(Y)\\G(X)&G(Y)\\H(X)&H(Y)\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$u(X)$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$u(Y)$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node[swap]{$v(X)$} (diag-3-1);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node{$v(Y)$} (diag-3-2);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$F(z)$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node{$G(z)$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-3-1) -- node{$H(z)$} (diag-3-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+On verra plus loin une autre composition, « horizontale », sur les
+transformations naturelles.
+
+Il est évident que la composition (« verticale ») des transformations
+naturelles est associative et que l'identité est neutre à gauche et à
+droite, c'est-à-dire que, si $\categ{C}$ et $\categ{D}$ sont deux
+catégories, on peut munir l'ensemble $\Hom(\categ{C},\categ{D})$ des
+foncteurs $\categ{C}\to\categ{D}$ d'une structure de catégorie dont
+les morphismes sont les transformations naturelles et la composition
+et les identités celles que nous venons de définir. En particulier,
+on a la notion d'isomorphisme entre foncteurs :
+
+\begin{definition2}\label{definition-isomorphisme-naturel}
+On appelle \emph{isomorphisme naturel} (ou simplement
+\emph{isomorphisme} de foncteurs) une transformation naturelle $u
+\colon F\to G$ entre foncteurs $F,G\colon \categ{C} \to \categ{D}$
+pour laquelle il existe une transformation naturelle $v\colon G\to F$
+telle que $v\circ u = \Id_F$ et $u\circ v = \Id_G$ : la transformation
+$v$ est dite \emph{réciproque} de~$u$. Lorsqu'il existe un
+isomorphisme entre deux foncteurs, on dit qu'ils sont
+\emph{isomorphes}.
+\end{definition2}
+
+On vérifie immédiatement que, dans les conditions de cette définition,
+la transformation réciproque $v$ de~$u$ est définie uniquement, et
+elle est elle-même un isomorphisme, dont $u$ est la réciproque.
+
+\begin{proposition2}\label{isomorphismes-naturels}
+Une transformation naturelle $u\colon F \to G$ entre foncteurs
+$F,G\colon \categ{C} \to \categ{D}$ est un isomorphisme naturel si et
+seulement si pour tout objet $X$ de~$\categ{C}$ le morphisme $u(X)
+\colon F(X) \to G(X)$ est un isomorphisme.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+L'implication « seulement si » est évidente : si $v$ est la
+transformation réciproque de~$u$, alors $v(X)$ définit l'isomorphisme
+réciproque de~$u(X)$ pour tout~$X$. Supposons maintenant que $u(X)$
+soit un isomorphisme pour tout~$X$ : en appelant $v(X)$ sa réciproque,
+il s'agit de montrer qu'on a bien défini une transformation naturelle,
+c'est-à-dire que si $z\colon X\to Y$ est un morphisme dans~$\categ{C}$
+alors $v(Y)\circ G(z) = F(z)\circ v(X)$. Or cette égalité résulte de
+$G(z)\circ u(X) = u(Y)\circ F(z)$ en composant par $v(Y)$ à gauche et
+par $u(X)$ à droite.
+\end{proof}
+
+Les notions de composition de transformations naturelles, de
+transformation naturelle identité et d'isomorphisme naturel, que nous
+avons énoncées pour des foncteurs covariants d'une seule variable, se
+transportent immédiatement à des foncteurs de plusieurs variables (de
+variances quelconques) puisque ces derniers peuvent être considérés
+comme des foncteurs depuis une catégorie produit idoine.
+
+\begin{exemple2}
+Dans la catégorie des ensembles, le foncteur $F\colon (X,Y,Z) \mapsto
+\Hom(X\times Y,Z)$, contravariant en ses deux premières variables et
+covariant en la troisième, qui à trois ensembles $X,Y,Z$ fait
+correspondre l'ensemble des applications $X\times Y \to Z$ (et à trois
+applications $u\colon X'\to X$, $v\colon Y'\to Y$ et $w\colon Z\to Z'$
+fait correspondre $\Hom(X\times Y,Z) \to \Hom(X'\times Y',Z')$ donné
+par $f \mapsto w\circ f\circ (u\times v)$), et le foncteur $G \colon
+(X,Y,Z) \mapsto \Hom(X, \Hom(Y,Z))$, également contravariant en ses
+deux premières variables et covariant en la troisième, qui à trois
+ensembles $X,Y,Z$ fait correspondre l'ensemble des applications $X \to
+\Hom(Y,Z)$ (et à trois applications $u\colon X'\to X$, $v\colon Y'\to
+Y$ et $w\colon Z\to Z'$ fait correspondre $\Hom(X,\Hom(Y,Z)) \to
+\Hom(X',\Hom(Y',Z'))$ donné par $f \mapsto (x' \mapsto w\circ f(u(x))
+\circ v)$), sont isomorphes : un isomorphisme est donné par la
+transformation naturelle $h$ qui à un trois ensembles $X,Y,Z$ fait
+correspondre la bijection $\Hom(X\times Y,Z) \to \Hom(X,\Hom(Y,Z))$
+donnée par $f \mapsto (x \mapsto f(x,\tiret))$.
+\end{exemple2}
+
+\begin{definition2}\label{composition-horizontale-transformations-naturelles}
+Si $F,F'\colon \categ{C} \to \categ{D}$ et $G,G'\colon \categ{D} \to
+\categ{E}$ sont des foncteurs et $u\colon F \to F'$ et $v\colon G \to
+G'$ deux transformations naturelles, on définit la \emph{composée
+ horizontale} de ces dernières, qu'on pourra noter $v\boxempty
+u\colon G\circ F \to G'\circ F'$, comme la transformation naturelle qui
+à un objet $X$ de~$\categ{C}$ associe le morphisme $G'(u(X)) \circ
+v(F(X)) = v(F'(X)) \circ G(u(X)) \colon G(F(X)) \to G'(F'(X))$
+(dans~$\categ{E}$).
+\end{definition2}
+
+(La notation $v\boxempty u$ est introduite pour ce chapitre : elle
+sera redéfinie selon le besoin.)
+
+L'égalité $G'(u(X)) \circ v(F(X)) = v(F'(X)) \circ G(u(X))$ affirmée dans la définition ci-dessus traduit la
+commutativité du diagramme suivant qui résulte de la naturalité
+de $v$ :
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+G(F(X))&G(F'(X))\\G'(F(X))&G'(F'(X))\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$v(F(X))$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$v(F'(X))$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$G(u(X))$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node{$G'(u(X))$} (diag-2-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+La terminologie de « composée horizontale » fait référence à la façon
+suivante de présenter les flèches impliquées dans la situation :
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=5em,row sep=5ex]{
+\categ{C}&\categ{D}&\categ{E}\\};
+\draw[->] (diag-1-1) to [out=40,in=140] node [auto=false] (F) {} node {$\scriptstyle F$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-1-1) to [out=-40,in=-140] node [auto=false] (F') {} node [swap] {$\scriptstyle F'$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-1-2) to [out=40,in=140] node [auto=false] (G) {} node {$\scriptstyle G$} (diag-1-3);
+\draw[->] (diag-1-2) to [out=-40,in=-140] node [auto=false] (G') {} node [swap] {$\scriptstyle G'$} (diag-1-3);
+\draw[->] (F) -- node{$\scriptstyle u$} (F');
+\draw[->] (G) -- node{$\scriptstyle v$} (G');
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+Le diagramme commutatif utilisé pour prouver que $v\boxempty u$ est
+une transformation naturelle s'obtient en empilant le diagramme de $v$
+transformé par $G$ et celui de~$u$ appliqué à $F(z)$ :
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=5em,row sep=5ex]{
+G(F(X))&G(F(Y))\\G(F'(X))&G(F'(Y))\\G'(F'(X))&G'(F'(Y))\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$G(u(X))$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$G(u(Y))$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node[swap]{$v(F'(X))$} (diag-3-1);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node{$v(F'(Y))$} (diag-3-2);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$G(F(z))$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node{$G(F'(z))$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-3-1) -- node{$G'(F'(z))$} (diag-3-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+(on peut également utiliser $G'(F(z))$ au lieu de $G(F'(z))$ comme
+ligne médiane).
+
+Un cas particulier important de la composition horizontale des
+transformations naturelles est celui où l'une des transformations est
+l'identité sur un foncteur :
+\begin{itemize}
+\item Si $F,F'\colon \categ{C} \to \categ{D}$ et $G\colon \categ{D}
+ \to \categ{E}$ sont des foncteurs et $h\colon F \to F'$ une
+ transformation naturelle, on définit $G\boxempty h = \Id_G\boxempty
+ h$, également notée $Gh$ si aucune confusion ne peut en résulter (on
+ trouve également la notation $G\circ h$, même si elle est peu
+ souhaitable). Il s'agit de la transformation naturelle qui à tout
+ objet $X$ de $\categ{C}$ associe $G(h(X))$ (c'est-à-dire l'image du
+ morphisme $h(X)$ par le foncteur $G$).
+\item Si $F\colon \categ{C} \to \categ{D}$ et $G,G'\colon \categ{D}
+ \to \categ{E}$ sont des foncteurs et $h\colon G \to G'$ une
+ transformation naturelle, on définit $h\boxempty F = h\boxempty
+ \Id_F$, également notée $hF$ si aucune confusion nee peut en
+ résulter (on trouve également la notation $h \circ F$, même si elle
+ est peu souhaitable). Il s'agit de la transformation naturelle qui
+ à tout objet $X$ de $\categ{C}$ associe $h(F(X))$ (c'est-à-dire le
+ morphisme associé par la transformation naturelle $h$ à
+ l'objet $F(X)$).
+\end{itemize}
+Ces deux cas particuliers permettent de retrouver le cas général,
+puisque l'égalité contenue dans la
+définition \ref{composition-horizontale-transformations-naturelles}
+stipule que, avec les notations de cette dernière, on a $v\boxempty u
+= (G'\boxempty u) \circ (v\boxempty F) = (v\boxempty F') \circ
+(G\boxempty u)$. La proposition qui suit généralise ce fait :
+
+\begin{proposition2}\label{composition-croisee-transformations-naturelles}
+Si $F,F',F''\colon \categ{C} \to \categ{D}$ et $G,G',G''\colon
+\categ{D} \to \categ{E}$ sont des foncteurs et $u\colon F \to F'$,
+$u'\colon F' \to F''$ et $v\colon G \to G'$, $v'\colon G' \to G''$ des
+transformations naturelles, on a $(v'\circ v) \boxempty (u'\circ u) =
+(v'\boxempty u') \circ (v\boxempty u)$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Pour tout objet $X$ de~$\categ{C}$, on a le diagramme commutatif
+suivant (dont les lignes sont obtenues en appliquant $G,G',G''$ à
+$u,u'$, et les colonnes sont données par $v,v'$ en
+$F(X),F'(X),F''(X)$) :
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+G(F(X))&G(F'(X))&G(F''(X))\\G'(F(X))&G'(F'(X))&G'(F''(X))\\
+G''(F(X))&G''(F'(X))&G''(F''(X))\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-1-3) -- (diag-2-3);
+\draw[->] (diag-2-1) -- (diag-3-1);
+\draw[->] (diag-2-2) -- (diag-3-2);
+\draw[->] (diag-2-3) -- (diag-3-3);
+\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-3-1) -- (diag-3-2);
+\draw[->] (diag-1-2) -- (diag-1-3);
+\draw[->] (diag-2-2) -- (diag-2-3);
+\draw[->] (diag-3-2) -- (diag-3-3);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[pos=0.3,sloped]{$\scriptstyle(v\boxempty u)(X)$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node[pos=0.3,sloped]{$\scriptstyle(v'\boxempty u')(X)$} (diag-3-3);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+La diagonale supérieure gauche est, par définition, $(v\boxempty
+u)(X)$ et la diagonale inférieure droite est, de même, $(v'\boxempty
+u')(X)$ : or la diagonale de l'ensemble du carré est $((v'\circ
+v)\boxempty (u'\circ u))(X)$, qui vaut donc aussi $((v'\boxempty
+u')(X)) \circ ((v\boxempty u)(X))$ : ceci montre la relation annoncée.
+\end{proof}
+
+On peut voir la proposition précédente de la façon suivante : si
+$\categ{C},\categ{D},\categ{E}$ sont trois catégories, et
+$\Hom(\categ{C},\categ{D})$, $\Hom(\categ{D},\categ{E})$ et
+$\Hom(\categ{C},\categ{E})$ les \emph{catégories} de foncteurs entre
+ces catégories (les morphismes étant les transformations naturelles),
+alors on a un \emph{foncteur} $\boxempty \colon
+\Hom(\categ{C},\categ{D}) \times \Hom(\categ{D},\categ{E}) \to
+\Hom(\categ{C},\categ{E})$ (covariant dans ses deux variables), qui
+envoie un couple $(F,G)$ de foncteurs sur le foncteur composé $G\circ
+F$ (également noté $G\boxempty F$ dans ce contexte), et un couple
+$(u,v)$ de transformations naturelles sur la composée horizontale
+$v\boxempty u$ de celles-ci.
+
+En particulier, si deux foncteurs $F,F'\colon \categ{C}\to\categ{D}$
+sont isomorphes et que deux foncteurs $G,G'\colon
+\categ{D}\to\categ{E}$ sont isomorphes, alors les composées $G\circ F$
+et $G'\circ F'$ sont également isomorphes (l'isomorphisme en question
+étant donné par la composée horizontale des deux isomorphismes censés
+exister par hypothèse).
+
+\begin{exemple2}
+Si $T\colon\categ{E}\to\categ{C}$ et $S\colon\categ{D}\to\categ{C}$
+sont deux foncteurs, en introduisant la catégorie $\categ{P} =
+T\uparrow\categ{C}\downarrow S$ définie
+en \ref{definition-categorie-au-dessus-generalisation}, on a deux
+foncteurs $\Pi_{\categ{E}}\colon \categ{P} \to \categ{E}$ et
+$\Pi_{\categ{D}}\colon \categ{P} \to \categ{D}$ envoyant un objet
+$(X,Y,h)$ de $\categ{P}$ (avec $h\colon T(X) \to S(Y)$) sur $X$ et $Y$
+respectivement, et une flèche $(u,v)\colon (X,Y,h)\to (X',Y',h')$
+(avec $u\colon X\to X'$ dans $\categ{E}$ et $v\colon Y\to Y'$
+dans $\categ{D}$) sur $u$ et $v$ respectivement ; on a aussi une
+transformation naturelle $q\colon T\circ \Pi_{\categ{E}} \to S\circ
+\Pi_{\categ{D}}$, qui à chaque objet $(X,Y,h)$ de $\categ{P}$ associe
+le morphisme $h\colon T(X)\to S(Y)$.
+
+On peut vérifier que, donnée une autre catégorie $\categ{B}$ et des
+foncteurs $A_{\categ{E}}\colon \categ{B} \to \categ{E}$ et
+$A_{\categ{D}} \colon \categ{B} \to \categ{D}$ ainsi qu'une
+transformation naturelle $b\colon T\circ A_{\categ{E}} \to S\circ
+A_{\categ{D}}$, il existe un unique foncteur $Z \colon \categ{B} \to
+\categ{P}$ tel que $A_{\categ{E}} = \Pi_{\categ{E}}\circ Z$ et
+$A_{\categ{D}} = \Pi_{\categ{D}}\circ Z$ et $b = h\boxempty Z$
+(concrètement, $Z$ est défini en envoyant un objet $B \in
+\ob\categ{B}$ sur l'objet $(A_{\categ{E}}(B), A_{\categ{D}}(B), b(B))$
+de $\categ{P}$, et un morphisme $\beta\colon B \to B'$ sur
+$(A_{\categ{E}}(\beta), A_{\categ{D}}(\beta'))$).
+\end{exemple2}
+
+Le lemme suivant assure, notamment, que la composition à gauche ou à
+droite d'une transformation naturelle par une équivalence de catégorie
+est une opération simplifiable (la composition à droite d'une
+transformation naturelle par un foncteur admettant un quasi-inverse à
+droite est simplifiable, comme l'est la composition à gauche par un
+foncteur admettant un quasi-inverse à gauche) :
+
+\begin{lemme2}\label{lemme-simplification-foncteurs}
+\begin{enumerate}
+\item Soient $\categ{B},\categ{C},\categ{D}$ des catégories,
+ $F\colon\categ{D} \to\categ{C}$, $G\colon\categ{C}\to\categ{D}$ et
+ $B,B'\colon\categ{C}\to\categ{B}$ des foncteurs, et $z_1,z_2\colon
+ B\to B'$ des transformations naturelles. On suppose que les
+ foncteurs $\Id_{\categ{C}}$ et $F\circ G$ sont isomorphes : alors
+ $z_1 \boxempty F = z_2 \boxempty F$ implique $z_1 = z_2$.
+\item Soient $\categ{C},\categ{D},\categ{E}$ des catégories,
+ $F\colon\categ{D} \to\categ{C}$, $G\colon\categ{C}\to\categ{D}$ et
+ $E,E'\colon\categ{E}\to\categ{D}$ des foncteurs, et $z_1,z_2\colon
+ E\to E'$ des transformations naturelles. On suppose que les
+ foncteurs $\Id_{\categ{D}}$ et $G\circ F$ sont isomorphes : alors $F
+ \boxempty z_1 = F \boxempty z_2$ implique $z_1 = z_2$.
+\end{enumerate}
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+Pour plus de clarté, on notera, dans cette démonstration, $F\boxempty
+G$ plutôt que $F\circ G$, la composée des foncteurs.
+
+Montrons la première affirmation : si $z_1 \boxempty F = z_2 \boxempty
+F$ alors $z_1 \boxempty F \boxempty G = z_2 \boxempty F \boxempty G$.
+En appelant $e\colon \Id_{\categ{C}} \buildrel\sim\over\to F\boxempty
+G$ un isomorphisme comme on en a supposé l'existence, on a donc $(z_1
+\boxempty F \boxempty G) \circ (B\boxempty e) = (z_2 \boxempty F
+\boxempty G) \circ (B\boxempty e)$. Mais $(z_i \boxempty F \boxempty
+G) \circ (B\boxempty e) = z_i \boxempty e = (B'\boxempty e) \circ
+z_i$. Comme $B'\boxempty e$ est un isomorphisme (de réciproque
+$B'\boxempty(e^{-1})$), on en déduit bien $z_1 = z_2$.
+
+La seconde affirmation est tout à fait analogue : si $F\boxempty z_1 =
+F\boxempty z_2$ alors $G\boxempty F\boxempty z_1 = G\boxempty
+F\boxempty z_2$ donc, en appelant $h\colon \Id_{\categ{D}}
+\buildrel\sim\over\to G\boxempty F$ un isomorphisme, comme on a
+$(G\boxempty F\boxempty z_i) \circ (h\boxempty E) = h\boxempty z_i =
+(h\boxempty E') \circ z_i$, et comme $h\boxempty E'$ est un
+isomorphisme, on en déduit $z_1 = z_2$.
+\end{proof}
+
+\begin{lemme2}\label{lemme-passage-transformations-naturelles-foncteur-fidele}
+Soit $F\colon\categ{D}\to\categ{C}$ un foncteur \emph{fidèle}, et soit
+$G\colon \categ{C}\to\categ{D}$ un foncteur quelconque. Si $e\colon
+\Id_{\categ{C}} \to F\circ G$ est une transformation naturelle et que,
+pour chaque objet $X$ de $\categ{D}$, on a un morphisme $h(X) \colon X
+\to G(F(X))$ vérifiant $F(h(X)) = e(F(X))$, alors $h$ est une
+transformation naturelle.
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+Si $z\colon X\to Y$ est un morphisme dans $\categ{D}$, puisque $e$ est
+une transformation naturelle, on a $F(G(F(z)))\circ e(F(X)) =
+e(F(Y))\circ F(z)$, c'est-à-dire $F(G(F(z)))\circ F(h(X)) =
+F(h(Y))\circ F(z)$, ce qui assure, puisque $F$ est fidèle, que
+$G(F(z)) \circ h(X) = h(Y) \circ z$, ce qui permet bien d'affirmer que
+$h$ est une transformation naturelle.
+\end{proof}
+
+On peut maintenant revenir sur la notion d'équivalence de catégories,
+déjà introduite :
+\begin{proposition2}\label{equivalence-categories}
+Un foncteur $F\colon \categ{D}\to\categ{C}$ est une équivalence de
+catégories si et seulement si il existe $G\colon
+\categ{C}\to\categ{D}$ tel que $G\circ F \cong \Id_{\categ{D}}$ et
+$F\circ G \cong \Id_{\categ{C}}$.
+\end{proposition2}
+
+Utilise fonction de choix sur l'univers. \XXX
+
+\begin{proof}
+Montrons d'abord l'implication « si » : supposons que $h\colon
+\Id_{\categ{D}} \to \penalty1000 {G\circ F}$ et $h^{-1}\colon {G\circ
+ F} \to \penalty1000 \Id_{\categ{D}}$ soient des isomorphismes
+naturels réciproques et de même $e\colon \Id_{\categ{C}} \to F\circ G$
+et $e^{-1}\colon F\circ G \to \Id_{\categ{C}}$. Pour tout morphisme
+$z\colon X\to Y$ dans $\categ{D}$, la naturalité de $h$ assure que
+$G(F(z))\circ h(X) = h(Y)\circ z$, c'est-à-dire $G(F(z)) = h(Y) \circ
+z \circ h^{-1}(X)$. Or l'application $\Hom(X,Y) \to
+\Hom(G(F(X)),G(F(Y)))$ donnée par $z \mapsto h(Y) \circ z \circ
+h^{-1}(X)$ est une bijection (de réciproque $z \mapsto h^{-1}(Y) \circ
+z \circ h(X)$) : on a donc montré que $G\circ F\colon \Hom(X,Y) \to
+\Hom(G(F(X)),G(F(Y)))$ est une bijection. Il s'ensuit au moins que
+$F$ est fidèle ; et par symétrie de la situation, $G$ l'est également.
+Pour voir que $F$ est plein, considérons un morphisme $t\colon F(X)
+\to F(Y)$ : alors le morphisme $z = h^{-1}(Y)\circ G(t) \circ h(X)$
+vérifie $G(F(z)) = G(t)$, et comme on vient de voir que $G$ est
+fidèle, on a $t = F(z)$, ce qui montre que $F$ est plein. Enfin, $F$
+est essentiellement surjectif puisque tout objet $Y$ de $\categ{C}$
+est isomorphe à $F(X)$ avec $X = G(Y)$ (par $e(Y)\colon Y
+\buildrel\sim\over\to F(G(Y))$).
+
+Montrons maintenant l'implication « seulement si » : soit donc $F$ un
+foncteur pleinement fidèle et essentiellement surjectif.
+
+Pour tout objet $X$ de $\categ{C}$, choisissons un objet $G(X)$
+de $\categ{D}$ tel que $X$ soit isomorphe à $F(G(X))$, et $e(X) \colon
+X \buildrel\sim\over\to F(G(X))$ un tel isomorphisme, de réciproque
+notée $e(X)^{-1}$. Pour tout morphisme $z\colon X\to Y$
+dans $\categ{D}$, définissons $G(z)$ comme antécédent de $e(Y)\circ z
+\circ e(X)^{-1}$ par $F\colon \Hom(G(X),G(Y)) \to \Hom(F(G(X)),
+F(G(Y)))$ (on utilise le fait que $F$ est plein), de sorte qu'on a
+$F(G(z)) = e(Y) \circ z \circ e(X)^{-1}$.
+
+Pour voir que $G$ est un foncteur, on veut voir d'une part que
+$G(\Id_X) = \Id_{G(X)}$ pour tout objet $X$ de $\categ{D}$ : or $e(X)
+\circ \Id_X \circ e(X)^{-1} = \Id_{F(G(X))}$ donc $F(G(\Id_X)) =
+F(\Id_{G(X)})$, donc (puisque $F$ est fidèle) on a bien $G(\Id_X) =
+\Id_{G(X)}$. D'autre part, on veut voir que si $z_1\colon X_0 \to
+X_1$ et $z_2 \colon X_1 \to X_2$ alors $G(z_2 \circ z_1) = G(z_2)
+\circ G(z_1)$ : or $e(X_2) \circ (z_2 \circ z_1) \circ e(X_0)^{-1}
+\penalty-1000 = \penalty-2000 (e(X_2) \circ z_2 \circ e(X_1)^{-1})
+\penalty-500 \circ \penalty-1000 (e(X_1) \circ z_1 \circ
+e(X_0)^{-1})$, ce qui montre $F(G(z_2 \circ z_1)) = F(G(z_2)) \circ
+F(G(z_1))$, donc (puisque $F$ est fidèle) on a bien $G(z_2 \circ z_1)
+= G(z_2) \circ G(z_1)$.
+
+Étant désormais acquis que $G$ est un foncteur, le fait que $F(G(z))
+\circ e(X) = e(Y) \circ z$ pour tout morphisme $z\colon X\to Y$
+de $\categ{D}$ montre que $e$ définit bien une transformation
+naturelle $\Id_{\categ{D}} \to F\circ G$, qui est
+(d'après \ref{isomorphismes-naturels}) un isomorphisme.
+
+Enfin, si $X$ est un objet de $\categ{D}$, on appelle $h(X) \colon X
+\to G(F(X))$ l'antécédent de $e(F(X))\colon F(X) \to F(G(F(X)))$ par
+$F\colon \Hom(X,G(F(X))) \to \Hom(F(X),F(G(F(X))))$ (cet antécédent
+existe puisque $F$ est plein). D'après le
+lemme \ref{lemme-passage-transformations-naturelles-foncteur-fidele},
+$h$ est une transformation naturelle. Comme chaque $h(X)$ est un
+isomorphisme (puisque $F(h(X)) = e(F(X))$ l'est, et en utilisant de
+nouveau le fait que $F$ est pleinement fidèle), $h$ est un
+isomorphisme naturel (toujours d'après \ref{isomorphismes-naturels}).
+\end{proof}
+
+Cette démonstration prend plus de sens en remarquant que $G$ est, à
+isomorphisme près, uniquement déterminé par $F$ --- on dit qu'ils sont
+\emph{quasi-inverses} ---, et aussi que tout foncteur isomorphe à un
+foncteur pleinement fidèle est lui-même pleinement fidèle.
+
+On pourra désormais dire que deux catégories sont équivalentes quand
+il existe une équivalence de catégories de l'une vers l'autre : la
+proposition assure qu'il s'agit bien d'une relation d'équivalence.
+
+Lorsque deux foncteurs $F\colon \categ{D} \to \categ{C}$ et $G\colon
+\categ{C} \to \categ{D}$ sont quasi-inverses, il n'existe pas de
+cohérence automatique particulière entre un isomorphisme $h\colon
+\Id_{\categ{D}} \buildrel\sim\over\to G\circ F$ et un isomorphisme
+$e\colon \Id_{\categ{C}} \buildrel\sim\over\to F\circ G$. Cependant,
+on verra plus loin en \ref{equivalence-est-adjonction-inversible}, en
+réinterprétant les foncteurs quasi-inverses comme des adjoints, que
+les conditions $G \boxempty e = h \boxempty G$ et $e \boxempty F = F
+\boxempty h$ sont équivalentes, et que pour tout isomorphisme $h\colon
+\Id_{\categ{D}} \buildrel\sim\over\to G\circ F$ il existe un unique
+$e\colon \Id_{\categ{C}} \buildrel\sim\over\to F\circ G$ (\emph{dans
+ la mesure où} il existe un isomorphisme $\Id_{\categ{C}}
+\buildrel\sim\over\to F\circ G$, c'est-à-dire que $F$ et $G$ sont bien
+quasi-inverses) vérifiant ces conditions équivalentes, et de même pour
+tout $e$ il existe un unique $h$ vérifiant ces conditions.
+
+
+\subsection{Foncteurs représentables, lemme de Yoneda}
+
+\begin{definition2}\label{definition-foncteur-representable}
+Soit $\categ{C}$ une catégorie : un foncteur $F \colon \categ{C}\op
+\to \Ens$ contravariant de la catégorie $\categ{C}$ vers la catégorie
+des ensembles est dit \emph{représentable} par un objet $X$
+de $\categ{C}$ lorsqu'il existe un isomorphisme $h \colon
+\Hom(\tiret,X) \buildrel\sim\over\to F$ (pour être plus précis, on
+devrait dire que $F$ est représentable par l'objet $X$ et
+l'isomorphisme $h$ --- ou, comme on le verra
+en \ref{foncteur-representable-element}, par l'élément $h(X)(\Id_X)
+\in F(X)$). Un foncteur $F \colon \categ{C} \to \Ens$ covariant de
+$\categ{C}$ vers les ensembles est dit représentable par un objet $X$
+lorsqu'il existe $h \colon \Hom(X,\tiret) \buildrel\sim\over\to F$.
+\end{definition2}
+
+\begin{exemple2}
+Si $A$ est un anneau (commutatif), le foncteur covariant d'oubli $F$
+de la catégorie des $A$-modules vers celle des ensembles, c'est-à-dire
+le foncteur qui à un $A$-module $M$ associe l'ensemble sous-jacent à
+$M$ et à une application $A$-linéaire entre $A$-modules associe
+l'application ensembliste sous-jacente, est représentable par le
+$A$-module $A$ lui-même, l'isomorphisme $h\colon \Hom(A,\tiret) \to F$
+étant (par exemple) celui qui, pour un $A$-module $M$ donné, envoie
+une application linéaire $\ell\colon A\to M$ sur l'élément $h(A)(\ell)
+= \ell(1)$ de (l'ensemble sous-jacent à) $M$, l'application linéaire
+$\ell$ pouvant se reconstruire à partir de $s = \ell(1)$ comme
+$\ell(a) = ax$. De façon plus informelle, ceci traduit le fait que
+les applications $A$-linéaires $A \to M$ correspondent bijectivement
+(et \emph{naturellement}) aux éléments de $M$.
+\end{exemple2}
+
+Plus généralement, il existe de nombreuses structures algébriques
+telles que le foncteur d'oubli vers la catégorie des ensembles soit
+représentable : dans la catégorie des groupes ou des groupes abéliens,
+il l'est par le groupe $\ZZ$, dans la catégorie des monoïdes par le
+monoïde $\NN$, dans la catégorie des anneaux par l'anneau $\ZZ[s]$
+(des polynômes à coefficients entiers et à une indéterminée ici
+notée $s$), dans la catégorie des $k$-algèbres (pour $k$ un corps ou
+plus généralement un anneau) par la $k$-algèbre $k[s]$.
+
+\begin{proposition2}[lemme de Yoneda]\label{lemme-de-yoneda}
+Soit $\categ{C}$ une catégorie :
+\begin{itemize}
+\item Quels que soient l'objet $X$ de $\categ{C}$ et le foncteur $F
+ \colon \categ{C}\op \to \Ens$, l'application ensembliste
+ $\Hom(\Hom(\tiret,X),F) \to F(X)$ envoyant une transformation
+ naturelle $h\colon \Hom(\tiret, X) \to F$ sur l'élément $h(X)(\Id_X)
+ \in F(X)$, est une bijection.
+\item Si on note $\yone \colon \categ{C} \to \Hom(\categ{C}\op,
+ \Ens)$ le foncteur covariant (de la catégorie $\categ{C}$ vers la
+ catégorie des foncteurs contravariants de $\categ{C}$ vers les
+ ensembles) envoyant un objet $X$ de $\categ{C}$ sur le foncteur
+ (contravariant) $\Hom(\tiret,X)$ qu'il représente, et un morphisme
+ $z\colon X \to Y$ dans $\categ{C}$ sur la transformation naturelle
+ $\Hom(\tiret,X) \to \Hom(\tiret,Y)$ donnée (pour tout objet $T$
+ de $\categ{C}$) par la composition à gauche par $z$ (soit
+ $z\circ\tiret \colon \Hom(T,X) \to \Hom(T,Y)$), alors ce foncteur
+ $\yone$ est pleinement fidèle.
+\end{itemize}
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Pour prouver le premier point, nous allons exhiber la bijection
+réciproque. Si $s \in F(X)$, on définit une transformation naturelle
+$h\colon \Hom(\tiret,X) \to F$ qui, pour un objet $T$ de $\categ{C}$,
+envoie l'élément $z\colon T\to X$ de $\Hom(T,X)$ sur l'élément
+$h(T)(z) = F(z)(s)$ de $F(T)$ ; pour vérifier que $h$ est bien une
+transformation naturelle, il s'agit de voir que si $t\colon T\to T'$
+et $z\colon T'\to X$ sont deux morphismes dans $\categ{C}$, alors
+$F(t)(F(z)(s)) = F(z\circ t)(s)$, ce qui est bien le cas.
+Manifestement, $h(X)(\Id_X) = s$ ; et réciproquement, si $h\colon
+\Hom(\tiret,X) \to F$ est une transformation naturelle quelconque,
+alors la naturalité de $h$ appliquée à un morphisme $z\colon T\to X$
+donne $h(T)(z) = F(z)(h(\Id_X))$ pour tout objet $T$ de $\categ{C}$,
+donc $h$ est bien la transformation naturelle qu'on a construite à
+partir de $s \in F(X)$.
+
+Prouvons le second point : donnés deux objets $X$ et $Y$
+de $\categ{C}$, le foncteur $\yone$ envoie un morphisme $z\colon
+X\to Y$ sur la transformation naturelle $z\circ\colon \Hom(\tiret,X)
+\to \Hom(\tiret,Y)$ de composition à gauche par $z$. Or le point
+précédent, appliqué au foncteur $F = \Hom(\tiret,Y)$, assure que
+l'application $\Hom(\Hom(\tiret,X),\Hom(\tiret,Y)) \to \Hom(X,Y)$
+envoyant une transformation naturelle $h\colon \Hom(\tiret,X) \to
+\Hom(\tiret,Y)$ sur $h(X)(\Id_X)$, est bijective, et cette application
+envoie la transformation naturelle « composition à gauche par $z$ »
+sur $z$, donc est la réciproque de l'application du
+foncteur $\yone$. Ceci prouve bien que $\yone$ est
+pleinement fidèle.
+\end{proof}
+
+Le lemme de Yoneda permet donc de voir toute catégorie $\categ{C}$
+comme une sous-catégorie pleine de la catégorie $\Hom(\categ{C}\op,
+\Ens)$ (des foncteurs contravariants de $\categ{C}$ vers les
+ensembles), à savoir justement la sous-catégorie pleine dont les
+objets sont les $\yone(X) = \Hom(\tiret,X)$. La catégorie $\categ{C}$ est donc
+équivalente à celle des foncteurs représentables (i.e., ceux
+isomorphes à un $\Hom(\tiret,X)$). L'usage du lemme de Yoneda permet
+par exemple d'affirmer que deux objets $X$ et $Y$ d'une catégorie sont
+isomorphes lorsque les foncteurs contravariants $\yone(X) = \Hom(\tiret,X)$
+et $\yone(Y) = \Hom(\tiret,Y)$ qu'ils représentent sont eux-mêmes isomorphes.
+
+On peut évidemment aussi appliquer le lemme de Yoneda à la catégorie
+opposée, c'est-à-dire « en inversant les flèches » : par exemple, ceci
+permet d'affirmer que deux objets $X$ et $Y$ d'une catégorie sont
+isomorphes lorsque les foncteurs covariants $\yoneDA(X) = \Hom(X,\tiret)$
+et $\yoneDA(Y) = \Hom(Y,\tiret)$ qu'ils représentent sont isomorphes. On a préféré
+citer le lemme de Yoneda sous la forme de \ref{lemme-de-yoneda}
+ci-dessus de façon à mettre en évidence un plongement de la catégorie
+$\categ{C}$ elle-même (plutôt que sa catégorie opposée) ; en
+contrepartie, on doit la plonger dans la catégorie des foncteurs
+contravariants.
+
+\begin{convention2}\label{notation-yoneda}
+Lorsque $\categ{C}$ est une catégorie, on notera $\yone \colon
+\categ{C} \to \Hom(\categ{C}\op,\Ens)$ le foncteur $X \mapsto
+\Hom(\tiret,X)$ introduit en \ref{lemme-de-yoneda}, et $\yoneDA \colon
+\categ{C}\op \to \Hom(\categ{C},\Ens)$ le foncteur $X \mapsto
+\Hom(X,\tiret)$. On notera également $X_\yone = \yone(X) =
+\Hom(\tiret,X)$ et $X^\yoneDA = \yoneDA(X) = \Hom(X,\tiret)$.
+\end{convention2}
+
+\begin{corollaire2}\label{yoneda-corollaire-isomorphismes}
+Si $Y,Y'$ sont deux objets d'une catégorie $\categ{D}$ tels que les
+foncteurs $\Hom(\tiret,Y),\Hom(\tiret,Y')\colon \categ{D}\op\to\Ens$
+soient isomorphes, alors $Y,Y'$ eux-mêmes sont isomorphes : plus
+précisément, pour tout isomorphisme $\varphi\colon \Hom(\tiret,Y)
+\buildrel\sim\over\to \Hom(\tiret,Y')$ il existe un unique $h\colon Y
+\buildrel\sim\over\to Y'$ tel que $\varphi = \yone(h)$.
+
+Si $G,G'\colon \categ{C} \to \categ{D}$ sont deux foncteurs tels que
+les foncteurs $\Hom(\tiret,G(\tiret)),\Hom(\tiret,G'(\tiret)) \colon
+\categ{D}\op \times \categ{C} \to \Ens$ soient isomorphes, alors
+$G,G'$ eux-mêmes sont isomorphes : plus précisément, pour tout
+isomorphisme $\varphi\colon \Hom(\tiret,G(\tiret))
+\buildrel\sim\over\to \Hom(\tiret,G'(\tiret))$ il existe un unique
+$h\colon G \buildrel\sim\over\to G'$ tel que $\varphi(\tiret,Y) =
+\yone(h(Y))$ pour tout objet $Y$ de $\categ{C}$.
+\end{corollaire2}
+\begin{proof}
+La première affirmation est une conséquence immédiate du lemme de
+Yoneda (le foncteur $\yone$ étant pleinement fidèle, il établit une
+bijection (cf. \ref{pleinement-fidele-est-essentiellement-injectif})
+entre isomorphismes $Y \buildrel\sim\over\to Y'$ et isomorphismes
+$\Hom(\tiret,Y) \buildrel\sim\over\to \Hom(\tiret,Y')$.
+
+La seconde affirmation s'en déduit : si $\varphi\colon
+\Hom(\tiret,G(\tiret)) \buildrel\sim\over\to \Hom(\tiret,G'(\tiret))$
+est un isomorphisme, alors pour chaque objet $Y$ de $\categ{C}$,
+l'isomorphisme $\varphi(\tiret,Y)\colon \Hom(\tiret,G(Y))
+\buildrel\sim\over\to \Hom(\tiret,G'(Y))$ (naturel en la première
+variable, anonyme) provient, d'après la première partie du corollaire,
+d'un (unique) isomorphisme $h(Y)\colon G(Y) \buildrel\sim\over\to
+G'(Y)$ par application du foncteur $\yone$ de Yoneda. La naturalité
+de $\varphi$ en la seconde variable ($Y$) et la fidélité de $\yone$
+montrent alors immédiatement que $h$ est naturel, donc on a bien un
+isomorphisme naturel $h\colon G \buildrel\sim\over\to G'$, qui
+visiblement était le seul possible puisque chaque $\varphi(\tiret,Y)$
+détermine $h(Y)$.
+\end{proof}
+
+\subsubsection{}\label{foncteur-representable-element} Le lemme
+de Yoneda a notamment comme conséquence que dans la
+définition \ref{definition-foncteur-representable}, la donnée de
+l'isomorphisme $h \colon \Hom(\tiret,X) \buildrel\sim\over\to F$
+attestant qu'un foncteur contravariant $F$ est représentable peut se
+réduire à la donnée de l'élément $s = h(X)(\Id_X) \in F(X)$. Ainsi,
+on peut dire qu'un foncteur $F$ est représentable par un objet $X$ et
+un élément $s \in F(X)$ lorsque, pour tout objet $T$ de $\categ{C}$,
+l'application $\Hom(T,X) \to F(T)$ envoyant $z$ sur $F(z)(s)$ est une
+bijection ; c'est-à-dire encore que l'objet $X$ muni de l'élément $s
+\in F(X)$ a la \emph{propriété universelle} que pour tout objet $T$ et
+tout $t \in F(T)$, il existe un unique $z\colon T \to X$ tel que
+$F(z)(s) = t$.
+
+En inversant les flèches, on obtient la définition analogue pour un
+foncteur covariant : le foncteur covariant $F \colon \categ{C} \to
+\Ens$ est dit représentable par un objet $X$ et un élément $s \in
+F(X)$ lorsque, pour tout objet $T$ et tout $t \in F(T)$, il existe un
+unique $z\colon X \to T$ tel que $F(z)(s) = t$.
+
+Avec cette définition, le foncteur d'oubli de la catégorie des groupes
+(ou des groupes abéliens) vers les ensembles est représentable par le
+groupe $\ZZ$ et l'élément $s = 1$ de celui-ci ; le foncteur d'oubli de
+la catégorie des anneaux vers les ensembles est représentable par
+l'anneau $\ZZ[s]$ et l'élément $s$ de celui-ci, etc.
+
+\begin{proposition2}\label{unicite-objet-representant-foncteur}
+Si un foncteur $F$ contravariant d'une catégorie $\categ{C}$ vers les
+ensembles est représentable par un objet $X$ de $\categ{C}$ et un
+élément $s \in F(X)$, et aussi par un objet $X'$ de $\categ{C}$ et un
+élément $s' \in F(X')$, alors $X$ et $X'$ sont isomorphes par un
+isomorphisme dont l'image par $F$ envoie $s'$ sur $s$, cet
+isomorphisme étant uniquement déterminé par cette condition.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Le fait que $F$ soit représenté par $X$ et $s \in F(X)$ permet
+d'affirmer qu'il existe un unique morphisme $z\colon X' \to X$ tel que
+$F(z)(s) = s'$, et symétriquement il existe un unique morphisme
+$z'\colon X \to X'$ tel que $F(z')(s') = s$. On a alors $F(z\circ
+z')(s) = s$ donc $z\circ z' = \Id_X$, et de même $z'\circ z =
+\Id_{X'}$. Ainsi, $z$ et $z'$ sont bien des isomorphismes réciproques
+dont les images par $F$ envoient bien $s$ sur $s'$ et réciproquement,
+et ils sont uniquement déterminés (même comme simples morphismes) par
+ces conditions.
+\end{proof}
+
+Pour mieux mettre en lumière cette démonstration, si l'on préfère, on
+peut faire intervenir, donné un foncteur $F \colon \categ{C}\op \to
+\Ens$, la catégorie dont les objets sont les couples $(X,s)$ avec $X$
+un objet de $\categ{C}$ et $s$ un élément de (l'ensemble) $F(X)$, un
+morphisme de $(T,t)$ vers $(X,s)$ étant la donnée d'un morphisme
+$z\colon T \to X$ dans $\categ{C}$ tel que $F(z)(s) = t$ (et la
+composition des flèches provenant de celle de $\categ{C}$) : avec
+cette définition, un objet $X$ (ou plus exactement, une
+donnée $(X,s)$) représentant $F$ est un objet initial de la catégorie
+en question, et l'unicité qu'on vient d'affirmer n'est autre que
+l'unicité --- à isomorphisme unique près --- de l'objet universel.
+Les remarques faites en \ref{blabla-unicite-objet-universel} plus haut
+justifie qu'on parle, dans ce cas de \emph{l}'objet représentant le
+foncteur $F$. On peut évidemment faire les mêmes remarques pour la
+représentation des foncteurs covariants.
+
+
+
+\section{Limites et colimites}
+
+\subsection{Définition de la limite}
+
+\begin{definition2}\label{definition-systeme-projectif}
+Si $\categ{I}$ est une catégorie, un \emph{système projectif indicé
+ par $\categ{I}$} dans une catégorie $\categ{C}$ est un foncteur
+$\categ{I} \to \categ{C}$ ; la catégorie $\categ{C}^{\categ{I}}$ des
+systèmes projectifs de $\categ{C}$ indicés par $\categ{I}$ n'est autre
+que la catégorie des foncteurs $\categ{I} \to \categ{C}$. On appelle
+\emph{foncteur diagonal} $\Delta \colon \categ{C} \to
+\categ{C}^{\categ{I}}$ le foncteur envoyant un objet $X$
+de $\categ{C}$ sur le foncteur $\Delta(X)$ constant de valeur $X$
+(envoyant tout objet $i$ de $\categ{I}$ sur $X$ et tout morphisme $i
+\to j$ de $\categ{I}$ sur $\Id_X$) et un morphisme $z\colon X \to Y$
+de $\categ{C}$ sur la transformation naturelle $\Delta(z) \colon
+\Delta(X) \to \Delta(Y)$ qui à tout objet $i$ de $\categ{I}$ associe
+le morphisme $z\colon X\to Y$ lui-même.
+\end{definition2}
+
+Certains auteurs définissent les systèmes projectifs comme des
+foncteurs contravariants plutôt que covariants : quitte à remplacer la
+catégorie d'indices par son opposée, on voit que cela ne fait pas de
+différence.
+
+\begin{definition2}
+Si $P$ est un système projectif de $\categ{C}$ indicé par $\categ{I}$,
+un objet $X$ de $\categ{C}$ représentant le foncteur contravariant (de
+$\categ{C}$ vers les ensembles)
+$\Hom_{\categ{C}^{\categ{I}}}(\Delta(\tiret),P)$, muni de l'élément $s
+\in \Hom_{\categ{C}^{\categ{I}}}(\Delta(X),P)$ (une transformation
+naturelle $\Delta(X) \to P$) témoignant de ce fait, est appelé
+\emph{limite} (ou \emph{limite projective}) du système projectif $P$,
+et se note $\prlim P$ (ou $\prlim_{i\in\categ{I}} P(i)$).
+\end{definition2}
+
+Autrement dit, une limite du système projectif $P$ est la donnée d'un
+objet $X$ de $\categ{C}$ et d'une transformation naturelle $s\colon
+\Delta(X) \to P$ tels que pour tout objet $T$ de $\categ{C}$ et toute
+transformation naturelle $t\colon \Delta(T) \to P$ il existe un unique
+morphisme $z \colon T\to X$ pour lequel $t = s\circ \Delta(z)$.
+
+Les transformations naturelles $t\colon \Delta(T) \to P$ s'appellent
+parfois les \emph{cônes} de \emph{sommet $T$} et de \emph{base $P$} :
+on peut donc dire, informellement, que la limite de $P$ est le sommet
+universel d'un cône de base $P$.
+
+Plutôt que de dire que la limite d'un système projectif $P \colon
+\categ{I} \to \categ{C}$ « existe » dans la catégorie $\categ{C}$, on
+préfère généralement (en pensant à
+$\Hom_{\categ{C}^{\categ{I}}}(\Delta(\tiret),P)$ lui-même comme étant
+la limite) dire qu'elle \emph{est représentable} dans $\categ{C}$. Le
+fait que cette terminologie soit cohérente avec la philosophie du
+lemme de Yoneda sera démontré dans la
+proposition \ref{limites-et-yoneda} plus bas.
+
+On peut également souhaiter voir la limite d'un système projectif
+comme un objet terminal dans une certaine catégorie : pour cela, si $P
+\colon \categ{I} \to \categ{C}$ est un système projectif, on introduit
+la catégorie (qu'on peut décrire comme $\Delta \uparrow
+\Hom(\categ{I},\categ{C}) \downarrow P$ avec les notations
+de \ref{definition-categorie-au-dessus-generalisation}) dont les
+objets sont les cônes de base $P$, c'est-à-dire les données formées
+d'un objet $X$ de $\categ{C}$ et d'une transformation
+naturelle $s\colon \Delta(X) \to P$, les morphismes de $(T,t)$
+vers $(X,s)$ étant les morphismes $z\colon T \to X$ dans $\categ{C}$
+tels que $t = s\circ \Delta(z)$. Alors une limite de $P$ n'est autre
+qu'un objet terminal dans la catégorie en question : il s'agit du cône
+terminal de base $P$.
+
+La proposition \ref{unicite-objet-representant-foncteur} ou, compte
+tenu de la description qu'on vient de faire de la limite comme un
+objet terminal, l'unicité de l'objet terminal, permettent de dire que
+la limite --- comme toute solution de problème universel --- est
+unique à isomorphisme près, cet isomorphisme étant unique compte tenu
+des contraintes imposées (en l'occurrence, les morphismes $P(i)$).
+Les remarques faites en \ref{blabla-unicite-objet-universel} plus haut
+justifie qu'on parle, donc, de \emph{la} limite d'un système projectif
+(plutôt que simplement d'\emph{une} limite).
+
+Plus concrètement, un système projectif $P$ est la donnée pour chaque
+objet $i$ de $\categ{I}$ d'un objet $P(i)$ de $\categ{C}$ et pour
+chaque morphisme $i \to j$ de $\categ{I}$ d'un morphisme correspondant
+$P(i\to j)$ de $\categ{C}$ de façon compatible aux identités et à la
+composition ; la limite d'un tel système est la donnée (« cône ») d'un
+objet $X$ de $\categ{C}$ et pour chaque objet $i$ de $\categ{I}$ d'un
+morphisme $s(i)\colon X \to P(i)$, de façon à commuter aux morphismes
+$P(i\to j)$ imposés par le système, de sorte que pour n'importe quelle
+autre donnée (« cône ») d'un objet $T$ et d'une collection compatible
+$t$ de morphismes $t(i)\colon T\to P(i)$ il existe un unique morphisme
+$z\colon T\to X$ pour lequel on ait $t(i) = s(i) \circ z$ pour
+tout $i$.
+
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+&&P(i)\\T&X&\\&&P(j)\\};
+\draw[->] (diag-2-1) to [out=60,in=180] node{$\scriptstyle t(i)$} (diag-1-3);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node[auto=false,above left=-.5ex]{$\scriptstyle s(i)$} (diag-1-3);
+\draw[->] (diag-2-1) to [out=300,in=180] node[swap]{$\scriptstyle t(j)$} (diag-3-3);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node[swap,auto=false,below left=-.5ex]{$\scriptstyle s(j)$} (diag-3-3);
+\draw[->] (diag-1-3) -- node{$\scriptstyle P(i\to j)$} (diag-3-3);
+\draw[->,dotted] (diag-2-1) -- node{$\scriptstyle z$} (diag-2-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+\subsection{Cas particuliers de limites}
+
+Le foncteur identité $\Id_{\categ{C}}\colon \categ{C} \to \categ{C}$
+d'une catégorie $\categ{C}$ possède une limite si et seulement si la
+catégorie $\categ{C}$ admet un objet initial $\bot$, auquel cas la
+limite est justement cet objet $\bot$, muni de la transformation
+naturelle $\Delta(\bot) \to \Id_{\categ{C}}$ qui à chaque objet $i$
+de $\categ{C}$ associe l'unique morphisme $\bot \to i$.
+
+Lorsque la catégorie d'indice $\categ{I}$ possède un objet
+initial $\bot$, alors tout système projectif $P$ indicé
+par $\categ{I}$ (à valeurs dans n'importe quelle catégorie) admet une
+limite, à savoir $P(\bot)$, muni des morphismes $s(i) \colon P(\bot)
+\to P(i)$ déduits de $\bot \to i$ (unique morphisme ayant cette source
+et ce but) par application de $P$. En effet, donné tout autre
+objet $T$ et toute autre collection compatible de morphismes $t(i)
+\colon T \to P(i)$, on a notamment un $z = t(\bot) \colon T \to
+P(\bot)$, qui vérifie $t(i) = s(i) \circ z$ par hypothèse, et qui est
+manifestement le seul à pouvoir le vérifier (puisque notamment ceci
+implique $t(\bot) = z$).
+
+\subsubsection{Limites indicées par un ensemble (pré)ordonné}\label{limite-indices-ensemble-preordonne}
+Lorsque la catégorie d'indice $\categ{I}$ est un ensemble
+(pré)ordonné $I$, considéré comme une catégorie en décrétant qu'il y a
+une seule flèche $j \to i$ lorsque $i \leq j$ (on notera que la
+convention faite ici, habituelle pour les systèmes projectifs, est
+l'opposée de celle faite
+en \ref{exemple-categorie-ensemble-preordonne}), on obtient la notion
+de limite projective indicée par l'ensemble (pré)ordonné $I$. La
+donnée du système est donc celle d'une famille $(P_i)$ d'objets
+de $\categ{C}$ et d'une famille $f_{ij} \colon P_j \to P_i$ de
+flèches, indicée par les couples $(i,j)$ tels que $i \leq j$, et
+vérifiant $f_{ij} \circ f_{jk} = f_{ik}$ lorsque $i\leq j \leq k$ ; la
+limite d'un tel système est alors la donnée d'un objet $X$
+de $\categ{C}$ ainsi que pour chaque $i$ d'un morphisme $p_i \colon X
+\to P_i$ tels que $f_{ij} \circ p_j = p_i$ pour tous $i\leq j$ et tels
+que pour toute autre donnée d'un objet $T$ et de morphismes $t_i
+\colon T \to P_i$ vérifiant la même relation $f_{ij} \circ t_j = t_i$
+il existe un unique $z \colon T \to X$ vérifiant $t_i = p_i \circ z$
+pour chaque $i$.
+
+Un cas particulier\label{limite-produit} est obtenu lorsque l'ensemble ordonné $I$ est muni
+de l'ordre trivial, c'est-à-dire qu'on n'a $i \leq j$ que lorsque $i =
+j$, la catégorie n'ayant donc que les morphismes identité : un système
+projectif indicé par $I$ n'est alors qu'une famille indicée par $I$
+d'objets $P_i$, et la limite porte dans ce cas aussi le nom de
+\emph{produit}, et se note $\prod_{i \in I} P_i$.
+Autrement dit, le produit d'une famille $(P_i)$
+d'objets de $\categ{C}$ est la donnée d'un objet $X$ de $\categ{C}$
+ainsi que pour chaque $i$ d'un morphisme $p_i \colon X \to P_i$ tels
+que pour toute donnée d'un objet $T$ de $\categ{C}$ et d'un morphisme
+$t_i \colon T \to P_i$ pour chaque $i \in I$ il existe un unique $z
+\colon T \to X$ vérifiant $t_i = p_i\circ z$ pour chaque $i$.
+
+\begin{exemple3}
+Dans la catégorie des ensembles, le produit d'une famille $(P_i)$
+d'ensembles est le produit cartésien usuel $X = \prod_{i\in I} P_i$ :
+les applications $s_i \colon X \to P_i$ dont il est muni étant les
+projections sur les différents facteurs.
+
+Toujours dans la catégorie des ensembles, la limite d'un système
+projectif $((P_i),(f_{ij}))$ indicé par un ensemble ordonné (ou
+simplement préordonné) $I$ est le sous-ensemble $X$ de $\prod_{i\in I}
+P_i$ formé des $(x_i) \in \prod_{i\in I} P_i$ tels quel $f_{ij}(x_j) =
+x_i$ pour tous $i\in j$. (On verra dans la
+proposition \ref{limites-ensembles} comment construire de façon plus
+générale les limites dans les ensembles.)
+
+Ces descriptions fonctionnent encore dans différentes catégories de
+structures algébriques : groupes, groupes abéliens, $A$-modules,
+anneaux, etc. : le produit (ou, en fait, plus généralement, toute
+limite projective) dans la catégorie des groupes a pour ensemble
+sous-jacent le produit (ou plus généralement la limite) des ensembles
+sous-jacents des facteurs du produit (ou de la limite). (On
+expliquera plus loin une raison pour laquelle, comme on vient de le
+décrire, le foncteur d'oubli de ces catégories algébriques vers la
+catégorie des ensembles préserve les limites.)
+\end{exemple3}
+
+\subsubsection{Points fixes}
+Lorsque la catégorie $\categ{I}$ a un unique objet $\bullet$ et que
+l'ensemble des morphismes $\bullet \to \bullet$ forme un groupe $G$
+(cf. exemple \ref{exemple-categorie-groupe-groupoide}), la donnée d'un
+système projectif indicé par $\categ{I}$ dans une
+catégorie $\categ{C}$ équivaut à celle d'un objet $P = P_\bullet$
+de $\categ{C}$ ainsi que d'une \emph{action} de $G$ sur $P$,
+c'est-à-dire d'un morphisme de groupe $\varphi\colon G \to
+\Aut_{\categ{C}}(P)$. La limite d'un tel système se note $\Fix_G(P)$
+(certains auteurs utilisent $P^G$) et s'appelle objet des points fixes
+pour l'action donnée de $G$ sur $P$ : il s'agit donc de la donnée d'un
+objet $X$ de $\categ{C}$ et d'un morphisme $s\colon X \to P$ tel que
+$g s = s$ pour tout $g \in G$ (en notant, par abus de langage, $g s$
+pour $\varphi(g)\circ s$) et tel que pour tout autre morphisme $t
+\colon T \to P$ vérifiant $g t = t$ pour tout $g\in G$ il existe un
+unique $z \colon T \to X$ pour lequel $t = s \circ z$. Dans la
+catégorie des ensembles, on a bien $\Fix_G(P) = \{x \in P : (\forall
+g\in G) \, gx = x\}$ (sous-entendu muni de l'inclusion $s \colon
+\Fix_G(P) \to P$ de cet ensemble dans l'ensemble $P$ tout entier).
+
+\subsubsection{Égalisateurs}\label{egalisateur}
+Lorsque la catégorie $\categ{I}$ est la catégorie
+$\tikz[auto,baseline=(o1.base)]{\node(o1) at (0,0) {$\astrosun$};
+ \node(o2) at (3.5em,0) {$\leftmoon$}; \draw[->] (o1) to
+ [out=15,in=165] (o2); \draw[->] (o1) to [out=-15,in=-165]
+ (o2);}$ ayant deux objets $\astrosun$ et $\leftmoon$ et
+seulement deux flèches du premier vers le second, c'est-à-dire
+$\Hom(\astrosun, \astrosun) = \{\Id_{\astrosun}\}$, $\Hom(\leftmoon,
+\leftmoon) = \{\Id_{\leftmoon}\}$, $\Hom(\leftmoon, \astrosun) =
+\varnothing$ et $\Hom(\astrosun, \leftmoon) = \{\star_1, \star_2\}$,
+alors la donnée d'un système projectif indicé par $\categ{I}$ dans une
+catégorie $\categ{C}$ équivaut à la donnée de deux morphismes
+$f_1,f_2\colon P_{\astrosun} \to P_{\leftmoon}$ entre les deux mêmes
+objets $P_{\astrosun},P_{\leftmoon}$ de $\categ{C}$. Une limite d'un
+tel système est la donnée d'un objet $X$ et d'un morphisme
+$s_{\astrosun} \colon X \to P_{\astrosun}$ (ou souvent, on dira que
+$s_{\astrosun}$ lui-même est l'égalisateur) vérifiant $f_1 \circ
+s_{\astrosun} = f_2 \circ s_{\astrosun}$ (les deux constituant la
+donnée de $s_{\leftmoon} \colon X \to P_{\leftmoon}$) tels que pour
+tout objet $T$ et tout morphisme $t_{\astrosun} \colon T \to
+P_{\astrosun}$ vérifiant $f_1 \circ t_{\astrosun} = f_2 \circ
+t_{\astrosun}$ il existe un unique $z\colon T\to X$ vérifiant
+$t_{\astrosun} = s_{\astrosun} \circ z$ : on dit alors que $X$, et le
+morphisme $s_{\astrosun}\colon X\to P_{\astrosun}$ donné avec lui,
+s'appelle un \emph{égalisateur} des deux morphismes $f_1,f_2$.
+
+Plus généralement, l'égalisateur d'une famille quelconque $(f_i)_{i\in
+ I}$ de morphismes $P_{\astrosun} \to P_{\leftmoon}$ dans une
+catégorie $\categ{C}$ est la limite du système projectif indicé par la
+catégorie $\categ{I}$ ayant deux objets $\astrosun$ et $\leftmoon$ et,
+outre les identités sur ceux-ci, exactement une flèche $\star_i \colon
+\astrosun \to \leftmoon$ pour chaque $i\in I$, et qui envoie
+$\astrosun$ sur $P_{\astrosun}$ et $\leftmoon$ sur $P_{\leftmoon}$ et
+chaque $\star_i$ sur $f_i$ ; c'est-à-dire que l'égalisateur est la
+donnée d'un objet $X$ de $\categ{C}$ et d'un morphisme
+$s_{\astrosun}\colon X \to P_{\astrosun}$ pour lequel $s_{\leftmoon} =
+f_i \circ s_{\astrosun}$ ne dépend pas de $i$ et tel que pour toute
+autre donnée d'un morphisme $t_{\astrosun} \colon T \to P_{\astrosun}$
+où $f_i \circ t_{\astrosun}$ ne dépende pas de $i$, il existe un
+unique $z\colon T\to X$ vérifiant $t_{\astrosun} = s_{\astrosun} \circ
+z$.
+
+\begin{exemple3}
+Dans la catégorie des ensembles, l'égalisateur d'une famille
+$f_i\colon P_{\astrosun} \to P_{\leftmoon}$ d'applications entre deux
+mêmes ensembles n'est autre que le sous-ensemble $X$
+de $P_{\astrosun}$ formé des $x \in P_{\astrosun}$ tels que $f_i(x)$
+soit une fonction constante de $i$, l'application $s_{\astrosun}\colon
+X \to P_{\astrosun}$ étant alors simplement l'inclusion.
+
+De nouveau, cette construction fonctionne encore dans diverses
+catégories de structures algébriques : groupes, anneaux, etc.
+\end{exemple3}
+
+\subsubsection{Produits fibrés}\label{limite-produit-fibre}
+
+Lorsque la catégorie $\categ{I}$ est la catégorie
+$\tikz[auto,baseline=(o1.base)]{\node(o1) at (0,0) {$\star_1$};
+ \node(o0) at (3em,0) {$\bullet$}; \node(o2) at (6em,0) {$\star_2$};
+ \draw[->] (o1) -- (o0); \draw[->] (o2) -- (o0);}$ ayant trois objets
+$\star_1,\star_2,\bullet$ et, outre les identités, exactement une
+flèche $\star_i \to \bullet$ pour chaque $i \in \{1,2\}$, un système
+projectif indicé par $\categ{I}$ dans une catégorie $\categ{I}$ est la
+donnée de trois objets $P_1,P_2,S$ de $\categ{C}$ ainsi que deux
+morphismes $f_1\colon P_1\to S$ et $f_2\colon P_2\to S$. La limite
+d'un tel système est la donnée d'un objet $X$ de $\categ{C}$ ainsi que
+de deux morphismes $p_1 \colon X \to P_1$ et $p_2 \colon X \to P_2$
+(et, si on veut, $p_S \colon X \to S$) vérifiant $f_1\circ p_1 = p_S =
+f_2\circ p_2$ et tels que pour toute donnée d'un autre objet $T$ et de
+morphismes $t_1\colon T \to P_1$ et $t_2\colon T\to P_2$ vérifiant
+$f_1\circ t_1 = f_2 \circ t_2$ il existe un unique $z\colon T \to X$
+pour lequel $t_1 = p_1\circ z$ et $t_2 = p_2\circ z$ :
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+T&[-2em]&\\&X&P_1\\&P_2&S\\};
+\draw[->] (diag-2-2) -- node{$p_2$} (diag-3-2);
+\draw[->] (diag-2-3) -- node{$f_1$} (diag-3-3);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node{$p_1$} (diag-2-3);
+\draw[->] (diag-3-2) -- node{$f_2$} (diag-3-3);
+\draw[->] (diag-1-1) to [out=0,in=135] node{$t_1$} (diag-2-3);
+\draw[->] (diag-1-1) to [swap,out=270,in=135] node{$t_2$} (diag-3-2);
+\draw[->,dotted] (diag-1-1) -- node{$z$} (diag-2-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+Dans ces conditions, l'objet $X$ muni des deux morphismes $p_1$ et
+$p_2$ est appelé \emph{produit fibré} de $P_1$ et $P_2$ au-dessus
+de $S$ par les morphismes $f_1$ et $f_2$ : on le note $P_1 \times_S
+P_2$ ; on dit encore parfois que $p_2\colon P_1 \times_S P_2 \to P_2$
+est le \emph{tiré en arrière} de $f_1\colon P_1 \to S$ par $f_2 \colon
+P_2 \to S$.
+
+On peut facilement vérifier que, si on suppose exister le produit $P_1
+\times P_2$ des objets $P_1$ et $P_2$, dont on notera $\pi_1\colon P_1
+\times P_2 \to P_1$ et $\pi_2\colon P_1\times P_2 \to P_2$ les
+morphismes dont il est muni, alors l'unique application $e\colon P_1
+\times_S P_2 \to P_1 \times P_2$ telle que $p_1 = \pi_1\circ e$ et
+$p_2 = \pi_2\circ e$ est l'égalisateur des morphismes $f_1\circ \pi_1$
+et $f_2\circ \pi_2$ : cette remarque permettant de comprendre le
+produit fibré $P_1 \times_S P_2$ à partir du produit simple $P_1
+\times P_2$ et de l'égalisateur de deux morphismes $P_1 \times P_2 \to
+S$ est un cas particulier d'un résultat général qui sera démontré
+en \ref{limites-par-produits-et-egalisateurs} plus bas.
+
+On peut également vérifier que le morphisme $p_S\colon P_1\times_S P_2
+\to S$ (égal à la fois à $f_1\circ p_1$ et $f_2\circ p_2$) est le
+produit, dans la catégorie $\categ{C}\downarrow S$, des morphismes
+$f_1$ et $f_2$ vus comme des objets de $\categ{C}\downarrow S$.
+
+Ces résultats se généralisent aisément aux produits fibrés d'une
+famille quelconque d'objets au-dessus d'un objet $S$.
+
+\subsection{Fonctorialité des limites}
+
+\begin{proposition2}
+Soient $P,P' \colon \categ{I} \to \categ{C}$ deux systèmes projectifs
+ayant mêmes catégories d'indice et de valeurs, et soit $h\colon P \to
+P'$ un isomorphisme entre eux. Alors un objet $X$ de $\categ{C}$ muni
+d'un morphisme $s\colon \Delta(X) \to P$ est limite de $P$ si et
+seulement si $X$ muni de $h\circ s\colon \Delta(X) \to P'$ est limite
+de $P'$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Supposons que $P$ admette une limite donnée par $X$ muni de $s\colon
+\Delta(X) \to P$, et on va montrer que ce même $X$ muni de $h\circ s
+\colon \Delta(X) \to P'$ est limite de $P'$. Si $t\colon \Delta(T)
+\to P'$ est un morphisme, alors, en notant $h^{-1}$ la réciproque
+de $h$, on a une flèche $h^{-1}\circ t \colon \Delta(T) \to P$, et
+d'après la propriété universelle de $(X,s)$, il existe un unique
+$z\colon T \to X$ tel que $h^{-1} \circ t = s \circ \Delta(z)$,
+c'est-à-dire $t = h\circ s \circ \Delta(z)$, ce qu'on voulait
+démontrer.
+
+Pour montrer l'implication réciproque, il suffit d'utiliser la
+symétrie de la situation en appliquant ce qui précède à $h^{-1}$ avec
+$h\circ s$ et $h^{-1}\circ (h\circ s) = s$.
+\end{proof}
+
+\subsubsection{}\label{introduction-fonctorialite-limites-indices}
+On se demande maintenant, si on dispose d'un système projectif
+$P\colon \categ{I} \to \categ{C}$ et d'un foncteur $V\colon
+\categ{I}'\to \categ{I}$, ce qu'on peut dire des limites de $P$ et $P
+\circ V$ l'une par rapport à l'autre. Remarquons que si les deux
+limites existent, disons que $X$ muni de $s\colon
+\Delta_{\categ{I}}(X) \to P$ soit limite de $P$ et $X'$ muni de
+$s'\colon \Delta_{\categ{I}'}(X') \to P\circ V$ limite de $P\circ V$,
+alors en appliquant la propriété universelle de $s'$ au morphisme
+$s\boxempty V \colon \Delta_{\categ{I}'}(X) \to P\circ V$, on voit
+qu'il existe un morphisme uniquement défini $\varsigma \colon X \to
+X'$ tel que $s\boxempty V = s' \circ \Delta_{\categ{I}'}(\varsigma)$.
+On va définir une propriété sur $V$ qui assure que (1) l'existence
+d'une quelconque des limites garantit celle de l'autre et (2) lorsque
+c'est le cas, le morphisme $\varsigma$ en question est un
+isomorphisme.
+
+\begin{definition2}\label{definition-foncteur-initial}
+Un foncteur $V\colon \categ{I}' \to \categ{I}$ est dit \emph{initial}
+lorsque, pour chaque $i \in \ob\categ{I}$, la catégorie
+$V\uparrow\categ{I}\downarrow i$ (définie
+en \ref{definition-categorie-au-dessus-generalisation}) est non vide
+et (faiblement) connexe (cf. \ref{definition-categorie-connexe}).
+Autrement dit, cela signifie que pour chaque objet $i$
+de $\categ{I}$ : (a) il existe un objet $i'$ de $\categ{I}'$ et un
+morphisme $V(i') \to i$ (dans $\categ{I}$), et (b) pour deux telles
+données $V(i') \to i$ et $V(i'') \to i$, il est possible de les
+compléter en un diagramme
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=2.5em,row sep=5ex]{
+V(i')&V(i'_2)&V(i'_3)&\;\vphantom{V(i')}\cdots\;&V(i'_{2n-1})&V(i'_{2n})&V(i'')\\
+i&i&i&\;\vphantom{i}\cdots\;&i&i&i\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-1-3) -- (diag-2-3);
+\draw[->] (diag-1-5) -- (diag-2-5);
+\draw[->] (diag-1-6) -- (diag-2-6);
+\draw[->] (diag-1-7) -- (diag-2-7);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$\scriptstyle V(\alpha_1)$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-1-3) -- node[swap]{$\scriptstyle V(\beta_1)$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-1-3) -- node{$\scriptstyle V(\alpha_2)$} (diag-1-4);
+\draw[->] (diag-1-5) -- node[swap]{$\scriptstyle V(\beta_{n-1})$} (diag-1-4);
+\draw[->] (diag-1-5) -- node{$\scriptstyle V(\alpha_n)$} (diag-1-6);
+\draw[->] (diag-1-7) -- node[swap]{$\scriptstyle V(\beta_n)$} (diag-1-6);
+\draw[double] (diag-2-1) -- (diag-2-2);
+\draw[double] (diag-2-3) -- (diag-2-2);
+\draw[double] (diag-2-3) -- (diag-2-4);
+\draw[double] (diag-2-5) -- (diag-2-4);
+\draw[double] (diag-2-5) -- (diag-2-6);
+\draw[double] (diag-2-7) -- (diag-2-6);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\end{definition2}
+
+L'intérêt des foncteurs initiaux est la propriété suivante, qui
+s'exprime intuitivement en disant que les cônes sur $P\circ V$ et les
+cônes sur $P$ de même sommet se correspondent bijectivement, et
+surtout la propriété sur les limites qui en découlera :
+
+\begin{proposition2}\label{prolongement-cones-foncteur-initial}
+Soit $\categ{C}$ une catégorie et $P\colon \categ{I} \to \categ{C}$ un
+système projectif indicé par une catégorie $\categ{I}$. Soit $V\colon
+\categ{I}' \to \categ{I}$ un foncteur initial. Alors pour toute
+transformation naturelle $t\colon \Delta_{\categ{I}'}(T) \to P\circ V$
+(où $T$ est un objet de $\categ{C}$ et $\Delta_{\categ{I}'}(T)$ le
+foncteur constant $\categ{I}'\to \categ{C}$ de valeur $T$), il existe
+une unique transformation naturelle $\hat t \colon
+\Delta_{\categ{I}}(T) \to P$ vérifiant $t = \hat t\boxempty V$.
+
+De plus, si $\hat t_1\colon \Delta_{\categ{I}}(T_1) \to P$ et $\hat
+t_2\colon \Delta_{\categ{I}}(T_2) \to P$ sont deux transformations
+naturelles, et si on pose $t_1 = \hat t_1 \boxempty V$ et $t_2 = \hat
+t_2 \boxempty V$, alors un morphisme $z\colon T_1 \to T_2$ de
+$\categ{C}$ vérifie $t_1 = t_2 \circ \Delta_{\categ{I}'}(z)$ si et
+seulement si $\hat t_1 = \hat t_2 \circ \Delta_{\categ{I}}(z)$.
+
+(Ces deux affirmations se résument en disant que le foncteur de la
+catégorie $\Delta_{\categ{I}} \uparrow \Hom(\categ{I},\categ{C})
+\downarrow P$ des cônes de base $P$ vers la catégorie
+$\Delta_{\categ{I}'} \uparrow \Hom(\categ{I}',\categ{C}) \downarrow
+P\circ V$ des cônes de base $P\circ V$, qui à un cône $(T,\hat t)$
+(c'est-à-dire un objet $T$ de $\categ{C}$ et un morphisme $\hat
+t\colon \Delta_{\categ{I}}(T) \to P$) associe $(T, \hat t\boxempty
+V)$, et à un morphisme $z\colon (T_1, \hat t_1) \to (T_2, \hat t_2)$
+(c'est-à-dire un morphisme $z\colon T_1 \to T_2$ tel que $\hat t_1 =
+\hat t_2\circ \Delta_{\categ{I}}(z)$) associe $z\colon (T_1, \hat
+t_1\boxempty V) \to (T_2, \hat t_2\boxempty V)$, est un isomorphisme
+de catégories.)
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Pour plus de clarté, on notera, dans cette démonstration, $P\boxempty
+V$ plutôt que $P\circ V$, la composée des foncteurs.
+
+Montrons d'abord l'affirmation sur les objets $(T,t)$.
+
+Pour chaque objet $i$ de $\categ{I}$, l'hypothèse faite sur $V$ assure
+qu'il existe un morphisme $V(i') \to i$ : choisissons un tel morphisme
+$\gamma'$, et posons $\hat t(i) = P(\gamma')\circ t(i')$ (comme cela
+est imposé par la condition recherchée). L'hypothèse de connexité de
+$V\uparrow\categ{I}\downarrow i$ assure que $\hat t(i)$ ne dépend pas
+du $V(i') \to i$ choisi : si $\gamma'' \colon V(i'') \to i$ est un
+autre tel choix, on a $P(\gamma'')\circ t(i'') = P(\gamma') \circ
+t(i')$, comme l'atteste le diagramme suivant
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=5em,row sep=5ex]{
+T&T\\P(V(i'))&P(V(i''))\\P(i)&P(i)\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$\scriptstyle t(i')$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node[swap]{$\scriptstyle P(\gamma')$} (diag-3-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$\scriptstyle t(i'')$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node{$\scriptstyle P(\gamma'')$} (diag-3-2);
+\draw[double] (diag-1-1) -- (diag-1-2);
+\draw[draw=none] (diag-2-1) to node [pos=0.5,auto=false] (mid) {$\cdots$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- (mid);
+\draw[->] (diag-2-2) -- (mid);
+\draw[double] (diag-3-1) -- (diag-3-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+En particulier, lorsque $i = V(i')$ pour un certain objet $i'$
+de $\categ{I}'$, on peut choisir $\gamma' = \Id_{V(i')}$ et on a $\hat
+t (V(i')) = t(i')$. Par ailleurs, si $\varphi\colon i_1 \to i_2$ est
+un morphisme de $\categ{I}$, alors une fois choisi $\gamma'_1\colon
+V(i') \to i_1$ comme ci-dessus, on peut considérer la composée
+$\gamma'_2 \colon V(i') \buildrel{\gamma'_1}\over\to i_1
+\buildrel\varphi\over\to i_2$ et la remarque faite ci-dessus assure
+que $P(\varphi)\circ \hat t(i_1) = \hat t(i_2)$ : c'est-à-dire que
+$\hat t$ est bien une transformation naturelle. On a déjà remarqué
+que pour tout $i'$ on a $t(V(i')) = t(i')$, c'est-à-dire $\hat t
+\boxempty V = t$. Enfin, comme la condition $\hat t(i) =
+P(\gamma')\circ t(i')$ (lorsque $\gamma'\colon V(i') \to i$ est un
+morphisme), était imposée par le fait que $\hat t$ soit une
+transformation naturelle $\Delta_{\categ{I}}(T) \to P$ vérifiant
+$t(i') = \hat t(V(i'))$, le $\hat t$ qu'on vient de construire était
+le seul possible.
+
+Montrons maintenant l'affirmation sur les morphismes $(T_1,t_1) \to
+(T_2,t_2)$. Avec les notations de l'énoncé, si $z$ vérifie $\hat t_1
+= \hat t_2 \circ \Delta_{\categ{I}}(z)$, on a évidemment $(\hat
+t_1\boxempty V) = (\hat t_2 \boxempty V) \, \circ \,
+(\Delta_{\categ{I}}(z) \boxempty V)$, c'est-à-dire $t_1 = t_2 \circ
+\Delta_{\categ{I}'}(z)$. Réciproquement, si cette dernière égalité
+est vraie, alors $\hat t_1$ et $\hat t_2 \circ \Delta_{\categ{I}}(z)$
+sont deux transformations naturelles $\Delta_{\categ{I}}(T) \to P$
+dont la $\boxempty$-composition à droite par $V$ donne le même $t_1 =
+t_2 \circ \Delta_{\categ{I}'}(z) \colon \Delta_{\categ{I}'}(T) \to
+P\boxempty V$, et d'après ce qu'on vient de prouver, cela implique
+$\hat t_1 = \hat t_2 \circ \Delta_{\categ{I}}(z)$.
+\end{proof}
+
+\begin{corollaire2}\label{limites-indices-foncteur-initial}
+Soit $\categ{C}$ une catégorie et $P\colon \categ{I} \to \categ{C}$ un
+système projectif indicé par une catégorie $\categ{I}$. Soit $V\colon
+\categ{I}' \to \categ{I}$ un foncteur
+initial (cf. \ref{definition-foncteur-initial}). Alors :
+\begin{itemize}
+\item le système projectif $P$ a une limite si et seulement si $P\circ
+ V$ en a une,
+\item lorsque c'est le cas, si $X$ muni de $s \colon
+ \Delta_{\categ{I}}(X) \to P$ est limite de $P$ et $X'$ muni de $s'
+ \colon \Delta_{\categ{I}'}(X) \to P \circ V$ est limite de $P\circ
+ V$, alors l'unique morphisme $\varsigma \colon X \to X'$ tel que
+ $s\boxempty V = s' \circ \Delta_{\categ{I}'}(\varsigma)$
+ (cf. \ref{introduction-fonctorialite-limites-indices}) est un
+ isomorphisme ;
+\item plus précisément, un objet $X$ de $\categ{C}$ muni d'un
+ morphisme $s\colon \Delta_{\categ{I}}(X) \to P$ est limite de $P$ si
+ et seulement si ce même $X$ muni de $s\boxempty V\colon
+ \Delta_{\categ{I}'}(X) \to P\circ V$ est limite de $P\circ V$,
+\item de façon équivalente, un objet $X$ de $\categ{C}$ muni d'un
+ morphisme $s'\colon \Delta_{\categ{I}'}(X) \to P\circ V$ est limite
+ de $P\circ V$ si et seulement si ce même $X$ muni de l'unique $\hat
+ s'\colon \Delta_{\categ{I}}(X) \to P$ tel que $s' = \hat s'\boxempty
+ V$ (dont l'existence est garantie par la
+ proposition \ref{prolongement-cones-foncteur-initial}) est limite
+ de $P\circ V$.
+\end{itemize}
+\end{corollaire2}
+\begin{proof}
+Le lemme \ref{prolongement-cones-foncteur-initial} assure que la
+catégorie des cônes $\hat t\colon \Delta_{\categ{I}}(X) \to P$ sur $P$
+et celle des cônes $t\colon \Delta_{\categ{I}'}(X) \to P\boxempty V$
+sont isomorphes par le foncteur envoyant $\hat t$ sur $t = \hat t
+\boxempty V$. Comme la limite de $P$ et celle de $P\circ V$ sont
+définies comme les objets terminaux de ces deux catégories, toutes les
+affirmations énoncées sont claires.
+\end{proof}
+
+Une façon de prouver qu'un foncteur est initial est d'utiliser la
+proposition suivante :
+
+\begin{proposition2}\label{foncteur-presque-quasi-inverse-initial}
+Soient $V\colon \categ{I}\to\categ{I}'$ et $V'\colon
+\categ{I}\to\categ{I}'$ deux foncteurs et soit $k\colon V\circ V' \to
+\Id_{\categ{I}}$ une transformation naturelle : alors $V$ est un
+foncteur initial.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Si $i$ est un objet de $\categ{I}$, on dispose d'une flèche $k(i)
+\colon V(i') \to i$ où $i' = V'(i)$. Si $\lambda\colon V(i'') \to i$
+est un autre morphisme avec $i''$ un objet de $\categ{I}'$, la
+naturalité de $k$ montre $k(i)\circ V(V'(\lambda)) = \lambda\circ
+k(V(i''))$. Autrement dit, le diagramme suivant commute :
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+V(i'')&V(V'(V(i'')))&V(i')\\
+i&i&i\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$\scriptstyle \lambda$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-1-3) -- node{$\scriptstyle k(i)$} (diag-2-3);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node[swap]{$\scriptstyle k(V(i''))$} (diag-1-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$\scriptstyle V(V'(\lambda))$} (diag-1-3);
+\draw[double] (diag-2-2) -- (diag-2-1);
+\draw[double] (diag-2-2) -- (diag-2-3);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\end{proof}
+
+En particulier, une équivalence de catégories est un foncteur initial
+(cf. la proposition \ref{equivalence-categories} et les commentaires
+qui suivent sa démonstration).
+
+\subsection{Existence de limites}
+
+Il n'est évidemment pas vrai que tout foncteur $P \colon \categ{I} \to
+\categ{C}$ admette une limite : par exemple, dans toute catégorie
+n'admettant pas d'objet initial (et il est facile d'en donner : celle
+des ensembles non vides par exemple), le foncteur identité n'admet pas
+de limite.
+
+Dans la catégorie des ensembles, cependant, toutes les limites
+existent, à ceci près qu'il faut tenir compte des difficultés sur la
+taille des objets signalées plus haut en \ref{blabla-univers} :
+
+\begin{proposition2}\label{limites-ensembles}
+Soit $\Ens$ la catégorie des ensembles, et $\categ{I}$ une catégorie
+« petite » en ce sens qu'elle appartient à $\ob\Ens$ en tant
+qu'ensemble\footnote{Selon la solution adoptée pour les problèmes
+ ensemblistes, cela peut signifier que $\categ{I}$ est un ensemble
+ plutôt qu'une classe propre, ou bien que $\categ{I}$ appartient à
+ l'univers $\mathfrak{U}$ sous-entendu par $\Ens$. Concrètement, on
+ a besoin de pouvoir former $\prod_i P_i$ pour toute famille $P_i$
+ d'objets de $\Ens$ indicée par les objets ou par les flèches
+ de $\categ{I}$.}, ou même simplement équivalente à une catégorie
+« petite » : alors tout système projectif $P\colon \categ{I} \to
+\categ{Ens}$ admet une limite.
+
+Plus précisément, si $\categ{I}$ est une catégorie « petite » et
+$P\colon\categ{I} \to\Ens$ un foncteur, alors $\prlim P$ peut être
+décrit comme l'ensemble des familles $(x_i)$, indicées par les
+objets $i$ de $\categ{I}$, d'éléments de $P(i)$, « compatibles » au
+sens que si $u\colon j \to i$ est une flèche dans $\categ{I}$, alors
+$P(u)(x_j) = x_i$, muni du morphisme $s\colon \Delta_{\categ{I}}(X)
+\to P$ envoyant, pour chaque objet $i$ de $\categ{I}$, la famille
+$(x_j)_{j \in \ob\categ{I}}$ sur $x_i$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{proof}
+En supposant que $\categ{I}$ est petite, soit $Q = \prod_{i \in
+ \ob\categ{I}} P(i)$ le produit des $P(i)$ pour tout objet $i$
+de $\categ{I}$, et $X$ le sous-ensemble de $Q$ formé des familles
+$(x_i) \in Q$ telles que pour toute flèche $u\colon j \to i$
+de $\categ{I}$ on ait $x_i = P(u)(x_j)$. Enfin, appelons $s(i)\colon X
+\to P(i)$ l'application envoyant $(x_i) \in X$ sur $x_i \in P(i)$. La
+définition de $X$ (comme sous-ensemble de $Q$) fait que $s$ est bien
+une transformation naturelle $\Delta(X) \to P$. Si $t \colon
+\Delta(T) \to P$ est une autre transformation naturelle, alors on peut
+définir une application $T \to Q$ par $\tau \mapsto (t(i)(\tau))_{i
+ \in \ob\categ{I}}$ pour tout $\tau \in T$ : le fait que $t$ soit
+naturelle garantit précisément que la famille $(t(i)(\tau))$ tombe en
+fait dans $X$, c'est-à-dire qu'on a défini une application $z\colon T
+\to X$, qui vérifie $t = s \circ \Delta(z)$ par construction, et qui
+était la seule à pouvoir vérifier cette relation. Ceci prouve bien
+que $X$ est la limite recherchée.
+
+Si $\categ{I}$ est seulement supposée équivalente à une petite
+catégorie $\categ{I}_0$, le
+corollaire \ref{limites-indices-foncteur-initial}
+(cf. \ref{foncteur-presque-quasi-inverse-initial} et la remarque qui
+suit) permet de conclure.
+\end{proof}
+
+L'hypothèse que $\categ{I}$ soit petite ne peut évidemment pas être
+omise dans cette proposition : si $I$ est une catégorie qui n'est pas
+petite et qui n'a pas d'autre morphismes que les identités sur les
+objets (c'est-à-dire, selon les conventions ensemblistes faites, une
+classe propre vue comme une catégorie, ou bien un ensemble
+n'appartenant pas à l'univers provisoirement choisi), alors le produit
+du système projectif défini par le foncteur constant $\categ{I} \to
+\Ens$ envoyant chaque élément sur l'ensemble à deux éléments serait en
+bijection avec l'ensemble des parties (des objets) de $\categ{I}$.
+
+\begin{proposition2}\label{limites-point-par-point}
+Soient $\categ{H}$ et $\categ{C}$ deux catégories, et $\Hom(\categ{H},
+\categ{C})$ la catégorie des foncteurs $\categ{H} \to \categ{C}$.
+Soit enfin $\categ{I}$ une catégorie d'indices et soit $P \colon
+\categ{I} \to \Hom(\categ{H}, \categ{C})$ un système projectif indicé
+par $\categ{I}$ à valeurs dans $\Hom(\categ{H}, \categ{C})$. On
+suppose que, pour tout objet $a$ de $\categ{H}$, le système projectif
+$P(a) \colon \categ{I} \to \categ{C}$ (obtenu par application
+partielle à $a$ de $P$ vu comme foncteur de deux variables $\categ{I}
+\times \categ{H} \to \categ{C}$) admet une limite $L(a)$, munie d'un
+morphisme $s(a)\colon \Delta(L(a)) \to P(a)$ (de foncteurs $\categ{I}
+\to \categ{C}$) : alors il existe une unique façon de faire de $L$ un
+foncteur $\categ{H} \to \categ{C}$ de façon que les morphismes
+$s(a)\colon \Delta(L(a)) \to P(a)$ donnés avec les limites $L(a)$
+constituent une transformation naturelle $s\colon \Delta(L) \to P$, et
+le foncteur $L$ ainsi constitué (et muni de la transformation
+naturelle $s$) est la limite du système projectif $P$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+À tout morphisme $\varphi\colon a \to b$ dans $\categ{H}$, on doit
+associer un morphisme $L(\varphi)\colon L(a) \to L(b)$ de façon à
+faire commuter le diagramme (traduisant la naturalité de $s$) :
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+\Delta(L(a))&\Delta(L(b))\\P(a)&P(b)\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$s(a)$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$s(b)$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$\Delta(L(\varphi))$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node{$P(\varphi)$} (diag-2-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+Le morphisme diagonal de ce diagramme est déterminé comme $P(\varphi)
+\circ s(a)$, et d'après la propriété universelle de $L(b)$ comme
+limite de $P(b)$, il existe un unique morphisme, qu'on peut noter
+$L(\varphi)$, tel que $s(b) \circ \Delta(L(\varphi)) = P(\varphi)
+\circ s(a)$, c'est-à-dire que ce diagramme commute. La fonctorialité
+de $L$ est alors facile : le fait que $L(\Id_a) = \Id_{L(a)}$ pour
+tout objet $a$ de $\categ{H}$ est évident, et si $\varphi\colon a\to
+b$ et $\psi\colon b\to c$ sont deux morphismes de $\categ{H}$, on a
+$P(\psi\circ\varphi) \circ s(a) = P(\psi)\circ P(\varphi) \circ s(a)$,
+et d'après l'unicité dans la propriété universelle de $L(c)$, on en
+déduit $L(\psi\circ\varphi) = L(\psi) \circ L(\varphi)$.
+
+Montrons à présent que $L$ ainsi construit, muni du $s\colon \Delta(L)
+\to P$ qui l'accompagne, est bien la limite de $P$. Pour cela, soit
+$T \colon \categ{H} \to \categ{C}$ et $t\colon \Delta(T) \to P$ : on
+veut montrer qu'il existe un unique $z\colon L \to T$ tel que $t =
+s\circ \Delta(z)$. En particulier, on devra avoir $t(a) = s(a)\circ
+\Delta(z(a))$ pour tout objet $a$ de $\categ{H}$ : or la propriété
+universelle de $L(a)$ assure qu'il existe bien un unique $z(a)\colon
+T(a) \to L(a)$ pour laquelle cette égalité vaut. Il reste simplement
+à vérifier que ces morphismes $z(a)$ définissent bien une
+transformation naturelle $T \to L$ : si $\varphi\colon a\to b$ est un
+morphisme dans $\categ{H}$, dans le diagramme suivant
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+\Delta(T(a))&\Delta(T(b))\\\Delta(L(a))&\Delta(L(b))\\P(a)&P(b)\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$\Delta(z(a))$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$\Delta(z(b))$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node[swap]{$s(a)$} (diag-3-1);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node{$s(b)$} (diag-3-2);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$\Delta(T(\varphi))$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node{$\Delta(L(\varphi))$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-3-1) -- node{$P(\varphi)$} (diag-3-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+le carré d'en bas est commutatif par construction, le rectangle
+omettant la ligne du milieu est commutatif par naturalité de $t$, et
+comme il y a unicité dans la définition de $z$, le carré d'en haut
+commute, donc $z$ est bien naturelle.
+\end{proof}
+
+Pour paraphraser ce résultat, si $P\colon \categ{I} \times \categ{H}
+\to \categ{C}$ est un foncteur, et si $\prlim_{i \in \categ{I}}
+P(i,a)$ existe pour tout objet $a$ de $\categ{H}$, alors $\prlim_{i
+ \in \categ{I}} P(i,\tiret)$ existe et vaut $a \mapsto \prlim_{i \in
+ \categ{I}} P(i,a)$ sur les objets de $\categ{H}$. On résume souvent
+ce fait en affirmant que « les limites dans les catégories de foncteur
+ se calculent point par point » (ou « ...commutent à l'évaluation »).
+(\XXX Il n'est probablement pas vrai que la seule existence de
+$\prlim_{i \in \categ{I}} P(i,\tiret)$ suffise à entraîner celle des
+$\prlim_{i \in \categ{I}} P(i,a)$ ou quelque chose comme ça : trouver
+un contre-exemple éclairant !)
+
+\begin{proposition2}\label{limites-et-yoneda}
+Soient $\categ{I}$ et $\categ{C}$ deux catégories, la
+catégorie $\categ{I}$ étant « petite » au sens
+de \ref{limites-ensembles}, et $P\colon \categ{I} \to \categ{C}$ un
+système projectif. Alors :
+\begin{itemize}
+\item le foncteur $\yone\circ P\colon \categ{I} \to
+ \Hom(\categ{C}\op, \Ens)$ qui à un objet $i$ de $\categ{I}$ associe
+ $\Hom(\tiret, P(i))$, admet une limite $L$ dans $\Hom(\categ{C}\op,
+ \Ens)$,
+\item le foncteur $L$ est représentable si et seulement si la limite
+ de $P$ existe dans $\categ{C}$, et
+\item lorsque c'est le cas, si $X$, muni de $s\colon \Delta(X) \to P$,
+ est cette limite, alors $\yone(X) = \Hom(\tiret,X)$, muni de
+ $\yone\boxempty s \colon \Delta(\yone(X)) \to \yone\circ P$,
+ est limite de $\yone\circ P$ (dans $\Hom(\categ{C}\op, \Ens)$).
+\end{itemize}
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+La première affirmation résulte de la
+proposition \ref{limites-point-par-point}, la
+proposition \ref{limites-ensembles} assurant que chacun des systèmes
+$\Hom(A, P(i))\colon \categ{I} \to \Ens$ admettent une limite $L(A)$.
+
+Montrons de même la troisième affirmation : plus exactement, si $X$
+muni de $s\colon \Delta(X) \to P$ est limite de $P$, on veut voir que
+$L = \yone(X)$ muni de $\yone\boxempty s$ est limite
+de $\yone\circ P$. Toujours
+d'après \ref{limites-point-par-point}, il suffit pour cela de montrer
+que pour tout objet $A$ de $\categ{C}$ (tantôt vu comme un objet
+de $\categ{C}\op$), l'ensemble $\yone(X)(A) = \Hom(A,X)$, muni de
+$(\yone\boxempty s)(A)$ (c'est-à-dire la transformation naturelle
+$\Delta_I(\yone(X)(A)) \to (\yone\circ P)(A)$ qui à chaque
+objet $i$ de $\categ{I}$ associe l'application $\Hom(A,X) \to
+\Hom(A,P(i))$ envoyant $z\colon A\to X$ sur $s(i)\circ z$), est limite
+de $(\yone\circ P)(A)$. D'après \ref{limites-ensembles}, ceci
+signifie que $(\yone\boxempty s)(A)$ devrait identifier l'ensemble des
+morphismes $A\to X$ avec l'ensemble des familles compatibles de
+morphismes $A \to P(i)$ ; mais de telles familles compatibles sont
+précisément la donnée d'une transformation naturelle $\Delta(A) \to
+P$, et la transformation naturelle $\Delta(A) \to P$ résultant de
+l'application de $(\yone\boxempty s)(A)$ à un $z\colon A\to X$ s'écrit
+encore comme $s\circ \Delta(z)$ : l'affirmation est donc équivalente
+au fait que $X$ muni de $s$ soit limite de $P$.
+
+Le paragraphe précédent prouve le « seulement si » de la seconde
+affirmation (puisque si $L$ est isomorphe à $\yone(X)$, comme on
+vient de voir que $\yone(X)$ est une limite, $L$ en est aussi
+une).
+
+Réciproquement, on souhaite montrer, donné un objet $X$ de $\categ{C}$
+et un morphisme $s\colon \Delta(X) \to P$, que si $L = \yone(X)$
+muni de $\yone\boxempty s$ est limite de $\yone\circ P$,
+alors $X$ muni de $s$ est limite de $P$. Mais si $t\colon \Delta(T)
+\to P$ est un autre morphisme, alors on peut appliquer la définition
+de la limite à $\yone\boxempty t \colon \Delta(\yone(T)) \to
+\yone\circ P$ : il existe un unique $\hat z\colon \yone(T)
+\to \yone(X)$ tel que $\yone\boxempty t =
+(\yone\boxempty s) \circ \Delta(z)$ ; or le lemme de Yoneda
+\ref{lemme-de-yoneda} assure que les morphismes $\hat z\colon
+\yone(T) \to \yone(X)$ s'identifient (par le
+foncteur $\yone$) aux morphismes $z\colon T \to X$, la condition
+$\yone\boxempty t = (\yone\boxempty s) \circ \Delta(\hat z)$
+devenant alors $t = s \circ \Delta(z)$ : on voit qu'il existe bien un
+unique telle $z$, et on a ainsi prouvé que $X$ muni de $s$ est limite
+de $P$.
+
+Le paragraphe précédent prouve le « si » de la seconde affirmation
+(puisque $L$ et $\yone(X)$ sont isomorphes).
+\end{proof}
+
+La proposition précédente se résume généralement par l'affirmation
+(quelque peu elliptique) : $\yone(\prlim_{i\in \categ{I}} P(i)) =
+\prlim_{i\in \categ{I}} \yone(P(i))$ --- tout en retenant que,
+d'après \ref{limites-point-par-point}, on a aussi $(\prlim_{i\in
+ \categ{I}} \yone(P(i)))(T) = \prlim_{i\in \categ{I}}
+(\yone(P(i))(T))$.
+
+L'énoncé suivant, qui explique comment les coproduits et les
+égalisateurs de deux flèches permettent de construire toutes les
+limites, est moins intéressant pour lui-même que parce qu'il illustre
+la manière dont les résultats précédents permettent de ramener des
+affirmations au cas des ensembles.
+
+\begin{proposition2}\label{limites-par-produits-et-egalisateurs}
+Soit $P\colon \categ{I} \to \categ{C}$ un système projectif. Si les
+produits indicés par l'ensemble des objets ou l'ensemble des flèches
+de $\categ{I}$ sont représentables dans $\categ{C}$, ainsi que
+l'égalisateur de deux morphismes quelconques (cf. \ref{egalisateur}),
+alors la limite de $P$ est représentable dans $\categ{C}$.
+
+Plus précisément, si l'objet $Q$ de $\categ{C}$, muni des morphismes
+$q_i\colon Q \to P(i)$ est le produit des $P(i)$ pour $i\in
+\ob\categ{I}$ et que $R$ muni des morphismes $r_{i\to j}\colon R \to
+P(i)$ est le produit des $P(i)$ pour $i\to j$ parcourant les flèches
+de $\categ{I}$, et si $f,g$ désignent les deux morphismes $Q \to R$
+uniquement définies par les conditions $r_{i\to j} \circ f = q_i$ et
+$r_{i\to j} \circ g = P(i\to j) \circ q_j$, alors l'égalisateur de
+$f,g$ est représentable dans $\categ{C}$ si et seulement si la limite
+de $P$ l'est : si $e\colon X \to Q$ est l'égalisateur de $f,g$, alors
+la donnée pour chaque objet $i$ de $\categ{I}$ de la flèche $s_i = q_i
+\circ e$ constitue une transformation naturelle $s\colon \Delta(X) \to
+P$, et $X$ muni de ce $s$ est limite de $P$, et réciproquement, si un
+objet $X$ muni de $s\colon \Delta(X) \to P$ est limite de $P$, alors
+ce même $X$ muni de l'unique $e\colon X \to Q$ tel que $s_i = q_i\circ
+e$ pour tout $i$ est l'égalisateur de $f,g$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+On va montrer la seconde affirmation. Supposons dans un premier temps
+que $\categ{I}$ soit « petite ».
+
+Pour tout objet $T$ de $\categ{C}$, on a une bijection entre
+$\Hom(T,Q)$ et $\prod_{i\in\ob\categ{I}} \Hom(T,P(i))$, naturelle
+en $T$, en envoyant $t \colon T \to Q$ sur la famille $(q_i\circ
+t)_{i\in \ob\categ{I}}$, et de même entre $\Hom(T,R)$ et $\prod_{i \to
+ j} \Hom(T,P(i))$ en envoyant $t \colon T \to R$ sur $(r_{i\to j}
+\circ t)_{i \to j}$. Pour tout objet $T$ de $\categ{C}$, la limite
+$L(T)$ de $\Hom(T,P(\tiret))\colon \categ{I} \to \Ens$ (munie de $\hat
+s(T)\colon \Delta(L(T)) \to \Hom(T, P(\tiret))$) existe et peut être
+décrite d'après \ref{limites-ensembles} comme le sous-ensemble de
+$\prod_{i\in\ob\categ{I}} \Hom(T,P(i))$ formé des familles
+$(x_i)_{i\in \ob\categ{I}}$ (avec $x_i\colon T \to P(i)$) qui
+vérifient $P(i\to j) \circ x_i = x_j$ pour tout morphisme $i\to j$
+dans $\categ{I}$ (et où $\hat s(T)_i$ envoie chaque telle famille
+$(x_j)_{j \in\ob\categ{I}}$ sur $x_i$). En composant avec les
+bijections qu'on vient d'expliciter, on voit que $L(T)$ peut aussi se
+définir comme la partie de $\Hom(T,Q)$ formée des $t \colon T\to Q$
+tels que $P(i\to j) \circ q_i\circ t = q_j \circ t$ pour tout $i\to
+j$, c'est-à-dire que $r_{i\to j}\circ g \circ t = r_{i\to j} \circ f
+\circ t$ pour tous $i\to j$, ou encore simplement que $g\circ t =
+f\circ t$ : autrement dit, $L(T)$, muni de son inclusion $\hat e(T)
+\colon L(T) \to \Hom(T,Q)$ (qui vérifie $\hat s(T)_i = q_i \circ \hat
+e(T)$), est l'égalisateur de ${f\circ}, {g\circ} \colon \Hom(T,Q) \to
+\Hom(T,R)$.
+
+D'après \ref{limites-point-par-point}, il existe une unique façon de
+faire de $L$ un foncteur $\categ{C}\op \to \Ens$ de façon que $\hat e$
+soit une transformation naturelle, et alors $\hat s_i = q_i \circ \hat
+e$ en est aussi une (par rapport à la variable $T$
+dans $\categ{C}\op$, la naturalité par rapport à $i$ dans $\categ{I}$
+étant déjà connue) ; et $L$ muni de $\hat s \colon \Delta(L) \to
+\yone \circ P$ est limite de $\yone\circ P$, et $L$ muni de
+$\hat e \colon L \to \yone(Q)$ est égalisateur de
+$\yone(f),\yone(g)$. D'après \ref{limites-et-yoneda}, ce
+foncteur $L$ est représentable exactement lorsque $P$ a une limite
+dans $\categ{C}$, ou exactement lorsque $f,g$ ont un égalisateur
+dans $\categ{C}$, donc toutes ces conditions sont équivalentes ; si
+$e\colon X \to Q$ est l'égalisateur de $f,g$, alors, quitte à
+identifier $L$ à $\yone(X)$ (en composant par un isomorphisme),
+on a $\yone(e) = \hat e$, et la collection de morphismes $s_i$
+définie par $\yone(s_i) = \hat s_i$ vérifie $s_i = q_i \circ e$
+et $X$ muni de ces $s_i$ est limite de $P$ ; réciproquement, si
+$s_i\colon X \to P(i)$ témoignent du fait que $X$ est limite
+des $P(i)$, alors, quitte à identifier $L$ à $\yone(X)$, on a
+$\yone(s)_i = \hat s_i$, et le $e\colon X\to Q$ défini par
+$\yone(e) = \hat e$ vérifie $s_i = q_i \circ e$ pour tout $i$, et
+ce $e\colon X\to Q$ est l'égalisateur de $f,g$.
+
+L'hypothèse que $\categ{I}$ soit « petite » n'est pas essentielle.
+Pour le voir, et si les choix faits pour résoudre les difficultés
+ensemblistes le permettent (il suffit de trouver un univers
+suffisamment gros), on peut par exemple supposer la catégorie $\Ens$
+suffisamment grosse pour qu'elle le devienne (or la catégorie $\Ens$
+n'intervient pas dans la conclusion). On peut aussi faire comme si
+une telle catégorie suffisamment grosse existait et constater en
+déroulant la démonstration que celle-ci ne dépend pas vraiment, en
+fait, de son existence en tant qu'ensemble. Enfin, on peut examiner
+plus finement l'utilisation des propositions
+\ref{limites-ensembles} et \ref{limites-et-yoneda} dans ce qu'on vient
+de dire : puisque $\prod_{i\in\ob\categ{I}} \Hom(T,P(i))$ existe dans
+les ensembles (c'est $\Hom(T,Q)$, qui est supposé exister) et de même
+$\prod_{i \to j} \Hom(T,P(i))$, on n'a pas besoin de supposer
+$\categ{I}$ petite dans \ref{limites-ensembles} pour voir que
+$\Hom(T,P(\tiret))$ a une limite ; et la démonstration faite de la
+partie utilisée de \ref{limites-et-yoneda} (à savoir que si un
+foncteur représentable est une limite de foncteurs représentables,
+alors les objets représentés sont aussi un cône limite) n'utilise pas
+d'hypothèse de petitesse (puisque tous les foncteurs impliqués sont
+déjà représentés et que les limites d'ensembles déjà supposées
+exister).
+\end{proof}
+
+Cette démonstration, décrite ici de façon fastidieuse, peut être
+résumée en disant que « la proposition \ref{limites-ensembles} décrit
+ les limites dans les ensembles comme un égalisateur de deux flèches,
+ par conséquent ceci vaut encore d'après
+ \ref{limites-point-par-point} pour une limite de foncteurs
+ représentables, et d'après \ref{limites-et-yoneda} ceci s'applique à
+ n'importe quelle catégorie ».
+
+L'intérêt des considérations ensemblistes à la fin de la démonstration
+ci-dessus est très douteux puisque, si tant est que les limites non
+« petites » présentent une utilité, l'hypothèse d'existence du produit
+des $P(i)$ suffit généralement à imposer que $\categ{I}$ soit
+petite...
+
+\subsection{Colimites}
+
+\begin{definition2}\label{definition-systeme-inductif}
+Si $\categ{I}$ est une catégorie, un \emph{système inductif indicé
+ par $\categ{I}$} dans une catégorie $\categ{C}$ est un foncteur
+$\categ{I} \to \categ{C}$. La \emph{colimite} (ou \emph{limite
+ inductive}) d'un tel système $F \colon \categ{I} \to \categ{C}$
+n'est autre que la limite, si elle existe, du système projectif
+$F\op\colon \categ{I}\op \to \categ{C}\op$ qui s'en déduit en
+inversant le sens des flèches : elle se note $\colim F$ (ou
+$\colim_{i\in\categ{I}} F(i)$).
+\end{definition2}
+
+Autrement dit, une colimite du système inductif $F$ est la donnée d'un
+objet $X$ de $\categ{C}$ et d'une transformation naturelle $s\colon F
+\to \Delta(X)$ tels que pour tout objet $T$ de $\categ{C}$ et toute
+transformation naturelle $t\colon F \to \Delta(T)$ il existe un unique
+morphisme $z \colon X\to T$ pour lequel $t = \Delta(z) \circ s$. Les
+transformations naturelles $t\colon F \to \Delta(T)$ s'appellent
+parfois les \emph{cocônes} de \emph{(co)sommet $T$} et de
+\emph{(co)base $F$} : la colimite est donc l'objet initial dans la
+catégorie des cocônes de base $F$.
+
+Plus concrètement, un système inductif $F$ est la donnée pour chaque
+objet $i$ de $\categ{I}$ d'un objet $F(i)$ de $\categ{C}$ et pour
+chaque morphisme $i \to j$ de $\categ{I}$ d'un morphisme correspondant
+$F(i\to j)$ de $\categ{C}$ de façon compatible aux identités et à la
+composition ; la colimite d'un tel système est la donnée (« cocône »)
+d'un objet $X$ de $\categ{C}$ et pour chaque objet $i$ de $\categ{I}$
+d'un morphisme $s(i)\colon F(i) \to X$, de façon à commuter aux
+morphismes $F(i\to j)$ imposés par le système, de sorte que pour
+n'importe quelle autre donnée (« cocône ») d'un objet $T$ et d'une
+collection compatible $t$ de morphismes $t(i)\colon F(i) \to T$ il
+existe un unique morphisme $z\colon X\to T$ pour lequel on ait $t(i) =
+z \circ s(i)$ pour tout $i$.
+
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+F(i)&&\\&X&T\\F(j)&&\\};
+\draw[->] (diag-1-1) to [out=0,in=120] node{$\scriptstyle t(i)$} (diag-2-3);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[auto=false,above right=-.5ex]{$\scriptstyle s(i)$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-3-1) to [out=0,in=240] node[swap]{$\scriptstyle t(j)$} (diag-2-3);
+\draw[->] (diag-3-1) -- node[swap,auto=false,below right=-.5ex]{$\scriptstyle s(j)$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$\scriptstyle F(i\to j)$} (diag-3-1);
+\draw[->,dotted] (diag-2-2) -- node{$\scriptstyle z$} (diag-2-3);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+(De même que pour les systèmes projectifs, on pourrait définir les
+systèmes inductifs comme des foncteurs contravariants plutôt que
+covariants : de nouveau, quitte à remplacer la catégorie d'indices par
+son opposée, on voit que cela ne fait pas de différence.)
+
+Les résultats concernant les limites se traduisent, en passant à la
+catégorie opposée, en des résultats duaux sur les limites. Il faut
+toutefois prendre garde à quelques subtilités d'ordre mathématique ou
+simplement terminologique :
+
+\subsubsection{} La notion duale de celle de produit d'une famille
+d'objets (définie en \ref{limite-produit}) est celle de
+\emph{coproduit} d'une famille $F_i$, qui se note $\coprod_{i \in I}
+F_i$ : concrètement, le coproduit des $F_i$ est donc un objet $X$ muni
+d'un morphisme $s_i\colon F_i \to X$ pour chaque $i$ et tel que pour
+toute autre donnée d'un objet $T$ et d'un morphisme $t_i \colon F_i
+\to T$ pour chaque $i$ il existe un unique morphisme $z\colon X \to T$
+vérifiant $t_i = z \circ s_i$ pour chaque $i$. On peut aussi définit
+la notion duale de celle de produit
+fibré (\ref{limite-produit-fibre}), qui est celle de \emph{somme
+ amalgamée} (ou \emph{coproduit amalgamé}), notée $F_1 \amalg_G F_2$
+pour le cas de deux morphismes $G \to F_1$ et $G \to F_2$.
+
+La notion duale de la notion d'égalisateur (\ref{egalisateur}) est
+celle de coégalisateur : le coégalisateur d'une famille de morphismes
+$f_i\colon F_{\astrosun} \to F_{\leftmoon}$ est un morphisme
+$s_{\leftmoon}\colon F_{\leftmoon} \to X$ (ou l'objet $X$ muni de ce
+morphisme) tel que tous les $s_{\leftmoon}\circ f_i$ soient égaux et
+que pour toute donnée d'un autre morphisme $t_{\leftmoon}\colon
+F_{\leftmoon} \to T$ tel que tous les $t_{\leftmoon}\circ f_i$ soient
+égaux il existe un unique $z\colon X \to T$ vérifiant $t_{\leftmoon} =
+z \circ s_{\leftmoon}$.
+
+\subsubsection{} Lorsque $I$ est un ensemble (pré)ordonné, on définit
+la notion de système inductif indicé par $I$ comme indicé par la
+catégorie $\categ{I}$ dont les objets sont les éléments de $I$ et où
+on convient qu'il y a une seule flèche $i \to j$ lorsque $i \leq j$ :
+il s'agit ici de la même convention que faite
+en \ref{exemple-categorie-ensemble-preordonne}, qui est l'opposée de
+celle faite en \ref{limite-indices-ensemble-preordonne} pour les
+limites projectives. La raison de ce choix, qui permet de le retenir,
+est qu'on souhaite obtenir des limites et colimites intéressantes
+indicées par l'ensemble $\NN$ des entiers naturels, muni de son ordre
+usuel (il s'agit donc que la catégorie par laquelle on indice ces
+limites et colimites --- puisqu'on a choisi de parler de limites et
+colimites pour des foncteurs covariants --- n'ait pas d'objet initial
+dans le cas des limites, et n'ait pas d'objet terminal dans le cas des
+colimites ; ainsi, on doit inverser l'ordre dans un cas par rapport à
+l'autre) ; dans tous les cas, on tâchera de rappeler la convention
+utilisée pour éviter toute confusion.
+
+\subsubsection{} La notion duale de celle de foncteur initial (donnée
+en \ref{definition-foncteur-initial}) est celle, sans doute plus
+utilisée, de foncteur \emph{final}. Autrement dit, un foncteur
+$V\colon \categ{I}' \to \categ{I}$ est dit final lorsque, pour chaque
+$i \in \ob\categ{I}$, la catégorie $i\uparrow\categ{I}\downarrow V$
+est non vide et (faiblement) connexe
+(cf. \ref{definition-categorie-connexe}). Autrement dit, cela
+signifie que pour chaque objet $i$ de $\categ{I}$ : (a) il existe un
+objet $i'$ de $\categ{I}'$ et un morphisme $i \to V(i')$
+(dans $\categ{I}$), et (b) pour deux telles données $i \to V(i')$ et
+$i \to V(i'')$, il est possible de les compléter par une succession de
+flèches $V(i') \rightarrow \leftarrow V(i'')$ au-dessous de l'identité
+sur $i$. L'énoncé dual de \ref{limites-indices-foncteur-initial}
+affirme alors essentiellement que si $V$ est un foncteur final, un
+système projectif $F$ possède une limite inductive si et seulement si
+$F \circ V$ en possède une, auquel cas ces limites sont isomorphes.
+
+\subsubsection{} Les colimites « petites » dans la catégorie des
+ensembles existent au même titre que les limites
+(proposition \ref{limites-ensembles}), et elles admettent une
+description comme le quotient de la réunion disjointe des ensembles
+$F(i)$ par la relation d'équivalence engendrée par tous les couples
+$(x, F(i \to j)(x))$ (où $i \to j$ est un morphisme de $\categ{I}$ et
+$x$ un élément de l'ensemble $F(i)$). On peut déduire cette
+description du dual de la
+proposition \ref{limites-par-produits-et-egalisateurs} et d'une
+description des coproduits dans la catégorie des ensembles (qui sont
+les sommes disjointes) ainsi que des coégalisateurs (le coégalisateur
+d'une famille d'applications $f_i\colon F_{\astrosun} \to
+F_{\leftmoon}$ entre ensembles est le quotient de $F_{\leftmoon}$ par
+la relation d'équivalence engendrée par tous les couples $(f_i(x),
+f_j(x))$).
+
+Néanmoins, cette description, et de façon générale les colimites
+d'ensembles, ne possède que beaucoup moins d'intérêt que la
+description duale des limites. La raison en est que si les limites
+dans les ensembles permettent de décrire les limites dans n'importe
+quelle catégorie par le moyen des propositions
+\ref{limites-point-par-point} et \ref{limites-et-yoneda}, il n'en va
+pas de même des colimites : s'il est vrai que le résultat dual de
+\ref{limites-point-par-point} permet essentiellement d'identifier
+$(\colim_{i\in \categ{I}} \yone(F(i)))(T)$ avec $\colim_{i\in
+ \categ{I}} (\yone(F(i))(T))$ si $F\colon \categ{I} \to \categ{C}$
+est un système inductif (et plus généralement pour $F\colon \categ{I}
+\times \categ{H} \to \categ{C}$, d'identifier $\colim_{i\in \categ{I}}
+F(i,\tiret)$ avec $a \mapsto \colim_{i\in \categ{I}} F(i,a)$ si le
+second existe), en revanche il n'est généralement pas vrai que
+$\colim_{i\in \categ{I}} \yone(F(i))$ coïncide avec
+$\yone(\colim_{i\in \categ{I}} F(i))$, même lorsque les deux ont un
+sens. Même dans le cas très simple du coproduit $F_1 \amalg F_2$
+(c'est-à-dire, de la réunion disjointe) de deux ensembles $F_1$ et
+$F_2$ (qu'on pourra imaginer réduits à un singleton), l'ensemble
+$\Hom(T,F_1\amalg F_2)$ des applications de $T$ vers $F_1 \amalg F_2$
+n'est pas (pour tout ensemble $T$) la réunion disjointe des ensembles
+$\Hom(T,F_1)$ et $\Hom(T,F_2)$. En revanche, il est vrai (par la
+définition même du coproduit) que $\Hom(F_1\amalg F_2, T)$ peut être
+(naturellement en $T$) identifié avec le produit de $\Hom(F_1,T)$ et
+$\Hom(F_2,T)$, c'est-à-dire que $\yoneDA(F_1\amalg F_2) =
+\Hom(F_1\amalg F_2,\tiret)$ est produit de $\yoneDA(F_1) =
+\Hom(F_1,\tiret)$ et de $\yoneDA(F_2) = \Hom(F_2,\tiret)$. Plus
+généralement l'utilisation du lemme de Yoneda permet de décrire les
+colimites dans une catégorie quelconque au moyen des \emph{limites}
+dans la catégorie des ensembles (puisque les colimites sont des
+limites dans la catégorie opposée et que la
+proposition \ref{limites-et-yoneda} décrit les limites de n'importe
+quelle catégorie au moyen des limites dans les ensembles) : le
+résultat suivant est dual de \ref{limites-et-yoneda} :
+
+\begin{proposition2}\label{colimites-et-yoneda}
+Soient $\categ{I}$ et $\categ{C}$ deux catégories, la
+catégorie $\categ{I}$ étant « petite » au sens
+de \ref{limites-ensembles}, et $F\colon \categ{I} \to \categ{C}$ un
+système inductif. Alors :
+\begin{itemize}
+\item le foncteur $\yoneDA\circ F\op\colon \categ{I}\op \to
+ \Hom(\categ{C}, \Ens)$ qui à un objet $i$ de $\categ{I}$ associe
+ $\Hom(F(i), \tiret)$, admet une limite $L$ dans $\Hom(\categ{C},
+ \Ens)$,
+\item le foncteur $L$ est représentable si et seulement si la colimite
+ de $F$ existe dans $\categ{C}$, et
+\item lorsque c'est le cas, si $X$, muni de $s\colon F \to
+ \Delta_{\categ{I}}(X)$, est cette colimite, alors $\yoneDA(X) =
+ \Hom(X,\tiret)$, muni de $\yoneDA\boxempty s \colon
+ \Delta_{\categ{I}\op}(\yoneDA(X)) \to \yoneDA\circ F\op$, est limite
+ de $\yoneDA\circ F\op$ (dans $\Hom(\categ{C}, \Ens)$).
+\end{itemize}
+\end{proposition2}
+
+\subsection{Colimites filtrantes}
+
+\begin{definition2}\label{definition-categorie-filtrante}
+Une catégorie $\categ{I}$ est dite \emph{filtrante} lorsqu'elle
+vérifie les trois conditions suivantes :
+\begin{itemize}
+\item $\categ{I}$ est non vide,
+\item pour tous objets $i,j$ de $\categ{I}$, il existe un objet $k$ et
+ des morphismes $i\to k$ et $j\to k$,
+\item pour tous morphismes $u,v\colon i \to j$ de $\categ{I}$ ayant
+ même source et même but, il existe un morphisme $w\colon j\to k$
+ de $\categ{I}$ tel que $w\circ u = w\circ v$.
+\end{itemize}
+\end{definition2}
+
+\begin{proposition2}
+Une catégorie $\categ{I}$ est filtrante si et seulement si tout
+système inductif $F\colon \categ{D} \to \categ{I}$ fini (c'est-à-dire,
+indicé par une catégorie $\categ{D}$ finie) est la base d'un cocône $F
+\to \Delta(k)$ (cf. les remarques suivant la
+définition \ref{definition-systeme-inductif}).
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Les conditions trois de la
+définition \ref{definition-categorie-filtrante} traduisent précisément
+le fait que tout système inductif $F\colon \categ{D} \to \categ{I}$
+soit la base d'un cocône lorsque $\categ{D}$ vaut respectivement l'une
+des catégories : $\varnothing$, $\categ{2}$ et $\vec{\categ{2}}$. Il
+est donc clair que si tout système inductif fini à valeurs
+dans $\categ{I}$ est la base d'un cocône, alors $\categ{I}$ est
+filtrante.
+
+Réciproquement, supposons $\categ{I}$ filtrante, et soit $F\colon
+\categ{D} \to \categ{I}$ un système inductif fini. Si $\ob\categ{D} =
+\{d_1,\ldots,d_m\}$ alors en appliquant plusieurs fois la seconde
+condition de \ref{definition-categorie-filtrante} (ou bien la première
+si $m=0$), on voit qu'il existe un objet $k_0$ de $\categ{I}$ et des
+morphismes $u_{0,i}\colon F(d_i) \to k_0$ (auxquels on ne demande
+aucune relation de compatibilité particulière sinon qu'ils aient la
+même cible $k_0$). Supposons maintenant que
+$\delta_1,\ldots,\delta_n$ soient les morphismes de $\categ{D}$ : on
+construit par récurrence des objets $k_1,\ldots,k_r$ de $\categ{I}$,
+chacun muni de morphismes $u_{j,i}\colon F(d_i) \to k_i$ vérifiant
+$u_{j',i'} \circ F(\delta_{j}) = u_{j',i}$, pour tous $j'\geq j$, si
+$\delta_j \colon d_i \to d_{i'}$. Si $k_{j-1}$ et les $u_{j-1,i}$
+sont déjà construits, alors en appliquant la troisième condition
+de \ref{definition-categorie-filtrante} aux morphismes
+$u_{j-1,i}\colon F(d_i) \to k_{j-1}$ et $u_{j-1,i'}\circ
+F(\delta_j)\colon F(d_i) \to k_{j-1}$ où $\delta_j\colon d_i \to
+d_{i'}$, on obtient un morphisme $w\colon k_{j-1} \to k_j$ tel que si
+on pose $u_{j,i} = w\circ u_{j-1,i}$ alors on a $u_{j,i'} \circ
+F(\delta_j) = u_{j,i}$, et en fait $u_{j',i'} \circ F(\delta_j) =
+u_{j',i}$ pour tous $j'\geq j$. Les $u_{r,i}\colon F(d_i) \to k_r$
+constituent bien un cocône comme recherché.
+\end{proof}
+
+
+
+\section{Foncteurs adjoints}
+
+\subsection{Définition, unité et coünité}
+
+\begin{definition2}\label{definition-foncteurs-adjoints}
+Soient $\categ{C}$ et $\categ{D}$ deux catégories. Une
+\emph{adjonction de foncteur} entre $\categ{C}$ et $\categ{D}$ est la
+donnée d'un foncteur $F\colon \categ{D}\to\categ{C}$ (appelé membre
+gauche de l'adjonction, ou \emph{adjoint à gauche} de $G$), d'un
+foncteur $G\colon \categ{C}\to\categ{D}$ (appelé membre droit de
+l'adjonction, ou \emph{adjoint à droite} de $F$) et d'un isomorphisme
+naturel (l'adjonction proprement dite) $\theta\colon
+\Hom_{\categ{C}}(F \tiret, \tiret) \buildrel\sim\over\to
+\Hom_{\categ{D}}(\tiret, G\tiret)$ entre les foncteurs
+(contravariants en $X$ et covariants en $Y$, et à valeurs dans $\Ens$)
+$(X,Y) \mapsto \Hom_{\categ{C}}(F(X), Y)$ et $(X,Y) \mapsto
+\Hom_{\categ{D}}(X, G(Y))$.
+
+On note $F\dashv G$ et on dit que $F$ et $G$ sont des foncteurs
+adjoints (respectivement à gauche et à droite) l'un de l'autre : pour
+spécifier la transformation naturelle $\theta$ on peut noter $F
+\buildrel\theta\over\dashv G$ ou $\theta\colon F\dashv G$.
+\end{definition2}
+
+Le corollaire \ref{yoneda-corollaire-isomorphismes} justifie qu'on
+parle parfois de \emph{l}'adjoint --- à gauche ou à droite --- d'un
+foncteur : par exemple, si $F$ et $F'$ sont deux adjoints à gauche
+d'un même foncteur $G$, alors $\Hom(F\tiret,\tiret)$ et
+$\Hom(F'\tiret,\tiret)$ sont isomorphes (tous deux étant isomorphes à
+$\Hom(\tiret,G\tiret)$), par conséquent $F$ et $F'$ eux-mêmes le sont
+en vertu du corollaire cité.
+
+L'exemple d'adjonction suivant est archétypique et illustre le slogan
+« l'adjoint à gauche d'un foncteur d'oubli est un foncteur ``objet
+ libre'' » :
+
+\begin{exemple2}\label{exemple-adjonction-groupe-abelien-libre}
+Soit $\ZZ\traitdunion\categ{Mod}$ la catégorie des groupes abéliens et
+$\Ens$ la catégorie des ensembles. Soit $G\colon
+\ZZ\traitdunion\categ{Mod} \to \Ens$ le foncteur d'oubli (qui envoie
+un groupe abélien sur son ensemble sous-jacent et un morphisme de
+groupes abéliens sur l'application d'ensembles sous-jacente), et soit
+$F\colon \Ens \to \ZZ\traitdunion\categ{Mod}$ le foncteur qui à un
+ensemble $X$ associe le groupe abélien $\ZZ^{(X)}$ (groupe abélien
+libre sur $X$) des applications $X \to \ZZ$ à support fini
+(c'est-à-dire, nulles sauf sur un nombre fini d'éléments de $X$) et à
+une application ensembliste $h\colon X' \to X$ associe le morphisme
+$F(h)\colon \ZZ^{(X')} \to \ZZ^{(X)}$ envoyant $\alpha\colon X'\to\ZZ$
+à support fini sur $x \mapsto \sum_{x'\buildrel h\over\mapsto x}
+\alpha(x')$ (la somme étant prise sur l'ensemble des $x' \in X'$ tels
+que $h(x')=x$). Soit enfin, si $X$ est un ensemble et $Y$ un groupe
+abélien, $\theta(X,Y) \colon
+\Hom_{\ZZ\traitdunion\categ{Mod}}(\ZZ^{(X)}, Y) \to \Hom_{\Ens}(X, Y)$
+l'application ensembliste qui à une application un morphisme $u\colon
+\ZZ^{(X)}\to Y$ de groupes abéliens associe l'application $x\mapsto
+u(\delta_x)$ où $\delta_x \colon X \to \ZZ$ vaut $1$ en $x$ et $0$
+ailleurs. L'application $\theta(X,Y)$ est bijective, c'est-à-dire que
+la donnée d'un morphisme $u\colon \ZZ^{(X)}\to Y$ est déterminée
+uniquement par sa valeur sur les $\delta_x$, valeurs qui peuvent être
+arbitraires (ou, si $v\colon X\to G(Y)$ est une application ensembliste
+quelconque, on peut construire un morphisme $u\colon \ZZ^{(X)} \to Y$
+de groupes abéliens par $u(\alpha) = \sum_{x\in X} \alpha(x) \, v(x)$,
+qui vérifie $u(\delta_x) = v(x)$, et qui est le seul possible). La
+naturalité de $\theta$ par rapport à la variable $Y$ est évidente ;
+par rapport à la variable $X$ elle découle de ce que si $h\colon X'\to
+X$ est une application ensembliste, alors $F(h)(\delta_x) =
+\delta_{h(x)}$. On peut donc dire que le foncteur « groupe abélien
+ libre » $F$ est adjoint à gauche du foncteur d'oubli $G$.
+\end{exemple2}
+
+\begin{definition2}\label{definition-unite-adjonction}
+Avec les notations de la
+définition \ref{definition-foncteurs-adjoints}, la transformation
+naturelle $\eta\colon \Id_{\categ{D}} \to G\circ F$ définie par les
+morphismes $\eta(X) = \theta(X,F(X))(\Id_{F(X)}) \colon X \to
+G(F(X))$, s'appelle l'\emph{unité} de l'adjonction $\theta\colon F
+\dashv G$. La transformation naturelle $\varepsilon\colon F\circ G
+\to \Id_{\categ{C}}$ définie par $\varepsilon(Y) = \theta(G(Y),Y)^{-1}
+(\Id_{G(Y)}) \colon F(G(Y)) \to Y$ s'appelle \emph{coünité} de
+l'adjonction.
+\end{definition2}
+
+Pour se convaincre que $\eta$ défini comme ci-dessus est effectivement
+une transformation naturelle, on vérifie que le diagramme requis
+(cf. \ref{definition-transformation-naturelle}) est commutatif si
+$z\colon X \to X'$ :
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+X&X'\\G(F(X))&G(F(X'))\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$\scriptstyle \eta(X) = \theta(X,F(X))(\Id_{F(X)})$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$\scriptstyle \eta(X') = \theta(X',F(X'))(\Id_{F(X')})$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$\scriptstyle z$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node{$\scriptstyle G(F(z))$} (diag-2-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+or ceci vient de la commutativité du diagramme suivant (qui traduit
+une partie de la naturalité de $\theta$) :
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto,
+ elem/.style={rectangle,draw=black!50,text height=1.5ex,text depth=.5ex},
+ isin/.style={pos=0.5,auto=false,sloped,allow upside down}]
+ % Le "allow upside down" est essentiel pour ne pas que les signes ∈ se
+ % retrouvent dans le mauvais sens !
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+\Hom(F(X),F(X))&\Hom(F(X),F(X'))&\Hom(F(X'),F(X'))\\
+\Hom(X,G(F(X)))&\Hom(X,G(F(X')))&\Hom(X',G(F(X')))\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$\scriptstyle \theta(X,F(X))$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$\scriptstyle \theta(X,F(X'))$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-1-3) -- node{$\scriptstyle \theta(X',F(X''))$} (diag-2-3);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$\scriptstyle F(z)\circ\tiret$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-1-3) -- node[swap]{$\scriptstyle \tiret\circ F(z)$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node{$\scriptstyle G(F(z))\circ\tiret$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-2-3) -- node[swap]{$\scriptstyle \tiret\circ z$} (diag-2-2);
+\node[elem](elem-1-1) at ($ (diag-1-1)+(2em,4ex) $) {$\scriptstyle\Id_{F(X)}$};
+\node[elem](elem-1-2) at ($ (diag-1-2)+(0,4ex) $) {$\scriptstyle F(z)$};
+\node[elem](elem-1-3) at ($ (diag-1-3)+(-2em,4ex) $) {$\scriptstyle\Id_{F(X')}$};
+\draw[draw=none] (elem-1-1) to node [isin] {$\scriptscriptstyle\in$} (diag-1-1);
+\draw[draw=none] (elem-1-2) to node [isin] {$\scriptscriptstyle\in$} (diag-1-2);
+\draw[draw=none] (elem-1-3) to node [isin] {$\scriptscriptstyle\in$} (diag-1-3);
+\node[elem](elem-2-1) at ($ (diag-2-1)+(2em,-4ex) $) {$\scriptstyle\eta(X)$};
+\node[elem](elem-2-2) at ($ (diag-2-2)+(0,-4ex) $) {$\scriptstyle G(F(z))\circ \eta(X) = \eta(X') \circ z$};
+\node[elem](elem-2-3) at ($ (diag-2-3)+(-2em,-4ex) $) {$\scriptstyle\eta(X')$};
+\draw[draw=none] (elem-2-1) to node [isin] {$\scriptscriptstyle\in$} (diag-2-1);
+\draw[draw=none] (elem-2-2) to node [isin] {$\scriptscriptstyle\in$} (diag-2-2);
+\draw[draw=none] (elem-2-3) to node [isin] {$\scriptscriptstyle\in$} (diag-2-3);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+La naturalité de $\varepsilon$ se démontre de façon analogue.
+
+\begin{proposition2}\label{propriete-universelle-unite-adjonction}
+Avec les notations des définitions
+\ref{definition-foncteurs-adjoints} et \ref{definition-unite-adjonction},
+pour chaque objet $X$ de $\categ{D}$, le morphisme $\eta(X)$ possède
+la propriété universelle suivante : pour tout morphisme $v\colon X \to
+G(Y)$ (avec $Y$ un objet de $\categ{C}$), il existe un \emph{unique}
+morphisme $u \colon F(X) \to Y$ tel que $v = G(u) \circ \eta(X)$. Ce
+$u$ est donné explicitement par $u = \theta(X,Y)^{-1}(v)$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Pour tout morphisme $u \colon F(X) \to Y$, la relation de naturalité
+de $\theta$ par rapport à la seconde variable, soit $\theta(X,Y)
+(u\circ \tiret) = G(u) \circ \theta(X,F(X))(\tiret)$, donne en
+particulier $\theta(X,Y)(u) = G(u) \circ \eta(X)$. Autrement dit,
+$\theta(X,Y)(u) = v$ équivaut à $v = G(u) \circ \eta(X)$, ce qui
+prouve l'énoncé souhaité.
+\end{proof}
+
+\begin{lemme2}\label{lemme-naturalite-adjonction-partielle}
+Soient $F\colon\categ{D}\to\categ{C}$ et
+$G\colon\categ{C}\to\categ{D}$ deux foncteurs, et $\eta\colon
+\Id_{\categ{D}} \to G\circ F$ une transformation naturelle. Si pour
+tous objets $X,Y$ de $\categ{D},\categ{C}$ respectivement, et tout
+morphisme $u\colon F(X)\to Y$, on pose $\theta(X,Y)(u) = G(u) \circ
+\eta(X)$, alors $\theta$ constitue une transformation naturelle (dans
+les deux variables $X$ et $Y$) entre les foncteurs $(X,Y) \mapsto
+\Hom_{\categ{C}}(F(X), Y)$ et $(X,Y) \mapsto \Hom_{\categ{D}}(X,
+G(Y))$ (vus comme des foncteurs $\categ{D} \times \categ{C}\op \to
+\Ens$).
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+Le fait que $\theta$ soit naturel en sa seconde variable $Y$ est clair
+puisque $G$ est un foncteur (si $z\colon Y\to Y'$ alors $G(z\circ u)
+\circ \eta(X) = G(z) \circ G(u) \circ \eta(X)$). Pour montrer la
+naturalité en la première variable, il s'agit de voir que si $z \colon
+X' \to X$ est un morphisme, alors $G(u\circ F(z)) \circ \eta(X') =
+G(u) \circ \eta(X) \circ z$ : or on a $G(F(z))\circ \eta(X') = \eta(X)
+\circ z$ d'après la naturalité de $\eta$.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}\label{adjonction-determinee-par-unite}
+Les foncteurs $F\colon\categ{D}\to\categ{C}$ et
+$G\colon\categ{C}\to\categ{D}$ étant fixés, la donnée d'une adjonction
+$\theta\colon F\dashv G$ équivaut à celle de son unité $\eta\colon
+\Id_{\categ{D}} \to G\circ F$. Et pour qu'un foncteur $F \colon
+\categ{D}\to\categ{C}$ soit adjoint à gauche d'un foncteur $G \colon
+\categ{C}\to\categ{D}$, il faut et il suffit qu'il existe une
+transformation naturelle $\eta\colon \Id_{\categ{D}} \to G\circ F$
+(l'unité de l'adjonction)
+telle que pour chaque objet $X$ de $\categ{C}$, le morphisme $\eta(X)$
+possède la propriété universelle exprimée dans la
+proposition \ref{propriete-universelle-unite-adjonction} (l'adjonction
+elle-même étant donnée par la formule du
+lemme \ref{lemme-naturalite-adjonction-partielle}).
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Le fait que $\theta$ détermine $\eta$ résulte de sa définition
+($\eta(X) = \theta(X,F(X))(\Id_{F(X)})$ pour tout objet
+$X$ de $\categ{D}$). Le fait que $\eta$ détermine $\theta$ résulte de
+ce que, d'après \ref{propriete-universelle-unite-adjonction} (ou
+cf. également sa démonstration), on a $\theta(X,Y)(u) = G(u) \circ
+\eta(X)$ (pour tous objets $X,Y$ de $\categ{D},\categ{C}$
+respectivement, et tout morphisme $u\colon F(X)\to Y$).
+
+Supposons maintenant donnés deux foncteurs $F \colon
+\categ{D}\to\categ{C}$ et $G \colon \categ{C}\to\categ{D}$, et une
+transformation naturelle $\eta\colon \Id_{\categ{D}} \to G\circ F$
+vérifiant la propriété
+universelle \ref{propriete-universelle-unite-adjonction}. Pour tous
+objets $X,Y$ de $\categ{D},\categ{C}$ respectivement, et tout
+morphisme $u\colon F(X)\to Y$, on pose $\theta(X,Y)(u) = G(u) \circ
+\eta(X)$ : il s'agit de montrer que ceci définit bien un isomorphisme
+naturel $\theta\colon \Hom_{\categ{C}}(F \tiret, \tiret)
+\buildrel\sim\over\to \Hom_{\categ{D}}(\tiret, G\tiret)$. Le fait que
+$\theta(X,Y)$ soit (pour $X,Y$ fixés) une bijection entre
+$\Hom_{\categ{C}}(F(X), Y)$ et $\Hom_{\categ{D}}(X, G(Y))$ est
+précisément la propriété universelle qui a été supposée de $\eta$. Et
+le fait que $\theta$ soit une transformation naturelle est justement
+le contenu du lemme \ref{lemme-naturalite-adjonction-partielle}.
+\end{proof}
+
+Les propositions
+\ref{propriete-universelle-unite-adjonction} et \ref{adjonction-determinee-par-unite},
+portant sur l'unité $\eta$ d'une adjonction, ont évidemment des
+analogues portant sur la coünité. Plus précisément, la donnée d'une
+adjonction $\theta\colon F\dashv G$ équivaut à la donnée d'une
+transformation naturelle $\varepsilon \colon F\circ G \to
+\Id_{\categ{C}}$ vérifiant la propriété universelle suivante : pour
+tout morphisme $u\colon F(X) \to Y$ (avec $X$ un objet
+de $\categ{D}$), il existe un \emph{unique} morphisme $v \colon X \to
+G(Y)$ tel que $u = \varepsilon(Y) \circ F(v)$.
+
+\begin{exemple2}
+Dans l'exemple
+d'adjonction \ref{exemple-adjonction-groupe-abelien-libre} donné plus
+haut, l'unité $\eta$ est la donnée, pour chaque ensemble $X$, de
+l'application ensembliste $\eta_X\colon x \mapsto \delta_x$ de $X$
+vers l'ensemble sous-jacent $G(F(X))$ au groupe abélien libre $F(X) =
+\ZZ^{(X)}$ de base $X$, qui à chaque élément $x \in X$ associe
+l'élément de base $\delta_x$ correspondant de $\ZZ^{(X)}$. La
+propriété universelle \ref{propriete-universelle-unite-adjonction}
+affirme alors que toute application ensembliste $v \colon X \to G(Y)$
+(où $G(Y)$ est l'ensemble sous-jacent à un groupe abélien $Y$) se
+factorise de façon unique comme $G(u) \circ \eta_X$. Il s'agit de la
+propriété universelle du groupe abélien libre.
+
+Dans ce même exemple, la coünité $\varepsilon$ est la donnée, pour
+chaque groupe abélien $Y$, du morphisme $\varepsilon_Y \colon F(G(Y))
+\to Y$ de groupes abéliens envoyant une somme formelle $\alpha =
+\sum_{y\in Y} \alpha(y)\,\delta_y$ d'éléments de $Y$ sur la somme
+$\sum_{y\in Y} \alpha(y)\,y$ dans $Y$.
+\end{exemple2}
+
+\begin{proposition2}\label{identites-triangulaires-adjonction}
+Étant donnée une adjonction $F\dashv G$ entre foncteurs
+$F\colon\categ{D}\to\categ{C}$ et $G\colon\categ{C}\to\categ{D}$,
+l'unité $\eta\colon \Id_{\categ{D}} \to G\boxempty F$ et la coünité
+$\varepsilon \colon F\boxempty G \to \Id_{\categ{C}}$ (où on a noté
+par $\boxempty$ la composition des foncteurs) sont reliées par
+$(G\boxempty\varepsilon) \circ (\eta\boxempty G) = \Id_G$
+(c'est-à-dire, pour tout objet $Y$ de $\categ{C}$, que
+$G(\varepsilon(Y)) \circ \eta(G(Y)) = \Id_{G(Y)}$) ; sous l'hypothèse
+que $\eta$ est bien l'unité d'une adjonction $F\dashv G$, cette
+égalité caractérise la coünité $\varepsilon$ (\XXX --- mais
+caractérise-t-elle l'unité si on sait que $\varepsilon$ est la coünité
+d'une adjonction ?). On a aussi $(\varepsilon\boxempty F) \circ
+(F\boxempty\eta) = \Id_F$, et sous l'hypothèse que $\varepsilon$ est
+la coünité d'une adjonction, cette égalité caractérise l'unité.
+
+Enfin, étant donnés deux foncteurs $F\colon\categ{D}\to\categ{C}$ et
+$G\colon\categ{C}\to\categ{D}$ (dont on ne suppose pas \emph{a priori}
+qu'ils sont adjoints), les identités $(G\boxempty\varepsilon) \circ
+(\eta\boxempty G) = \Id_G$ et $(\varepsilon\boxempty F) \circ
+(F\boxempty\eta) = \Id_F$ conjointement garantissent de deux
+transformations naturelles $\eta\colon \Id_{\categ{D}} \to G\boxempty
+F$ et $\varepsilon \colon F\boxempty G \to \Id_{\categ{C}}$ qu'elles
+forment l'unité et la coünité d'une adjonction $F \dashv G$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Pour montrer la première affirmation, il suffit d'appliquer la
+proposition \ref{propriete-universelle-unite-adjonction} avec $v =
+\Id_{G(Y)}$ : on voit alors que $u = \theta(G(Y),Y)^{-1}(\Id_{G(Y)}) =
+\varepsilon(Y)$ vérifie $G(\varepsilon(Y)) \circ \eta(G(Y)) =
+\Id_{G(Y)}$. Comme la proposition citée garantit l'unicité de $u$
+sous ces conditions, l'identité $(\varepsilon\boxempty F) \circ
+(F\boxempty\eta) = \Id_F$ caractérise bien $\varepsilon$. Le cas de
+l'identité $(\varepsilon\boxempty F) \circ (F\boxempty\eta) = \Id_F$
+est dual.
+
+Supposons maintenant que deux transformations naturelles $\eta\colon
+\Id_{\categ{D}} \to G\boxempty F$ et $\varepsilon \colon F\boxempty G
+\to \Id_{\categ{C}}$ vérifient $(G\boxempty\varepsilon) \circ
+(\eta\boxempty G) = \Id_G$ et $(\varepsilon\boxempty F) \circ
+(F\boxempty\eta) = \Id_F$. Pour tous objets $X,Y$ de
+$\categ{D},\categ{C}$ respectivement, on pose $\theta(X,Y)(u) = G(u)
+\circ \eta(X)$ pour tout morphisme $u\colon F(X)\to Y$, et
+$\theta^\$(X,Y)(v) = \varepsilon(Y) \circ F(v)$ : alors le
+lemme \ref{lemme-naturalite-adjonction-partielle} assure que $\theta$
+est une transformation naturelle $\Hom_{\categ{C}}(F(\tiret), \tiret)
+\to \Hom_{\categ{D}}(\tiret, G(\tiret))$, et dualement $\theta^\$$ en
+est une $\Hom_{\categ{D}}(\tiret, G(\tiret)) \to
+\Hom_{\categ{C}}(F(\tiret), \tiret)$. Si $u \colon F(X) \to Y$, alors
+on a $(\theta^\$(X,Y) \circ \theta(X,Y))(u) = \varepsilon(Y) \circ
+F(G(u)) \circ F(\eta(X))$ et par la naturalité de $\varepsilon$ ceci
+vaut encore $u \circ \varepsilon_{F(X)} \circ F(\eta(X))$, ce qui par
+hypothèse égale $u$ : on a donc prouvé $\theta^\$ \circ \theta =
+\Id_{\Hom_{\categ{C}}(F(\tiret), \tiret)}$, et dualement $\theta \circ
+\theta^\$ = \Id_{\Hom_{\categ{D}}(\tiret, G(\tiret))}$. Ainsi,
+$\theta$ et $\theta^\$$ sont bien des isomorphismes naturels
+réciproques, et $\theta$ définit bien une adjonction (dont
+$\eta$ et $\varepsilon$ sont respectivement l'unité et la coünité).
+\end{proof}
+
+En particulier, on voit que si une adjonction $F \dashv G$ possède la
+propriété que sa coünité (disons) $\varepsilon$ soit un isomorphisme
+naturel, alors on peut dire de son unité $\eta$ que $\eta\boxempty G$
+et $F\boxempty\eta$ sont des isomorphismes (réciproques de
+$G\boxempty\varepsilon$ et $\varepsilon\boxempty F$ respectivement).
+
+Il se peut très bien que la coünité ou l'unité d'une adjonction soit
+un isomorphisme sans que l'autre le soit : par exemple, si $G$ est le
+foncteur (pleinement fidèle) d'inclusion de la catégorie des groupes
+dans la catégorie des groupes abéliens, alors $G$ admet pour adjoint à
+gauche le foncteur $F$ qui envoie un groupe $\Gamma$ sur son
+abélianisé $\Gamma/\Gamma'$ (c'est-à-dire le quotient de $\Gamma$ par
+le sous-groupe distingué $\Gamma'$ engendré par les commutateurs
+$xyx^{-1}y^{-1}$) avec pour unité le morphisme $\eta(\Gamma)$
+surjection canonique de $\Gamma$ sur $\Gamma/\Gamma'$, la coünité
+$\varepsilon$ étant alors l'isomorphisme $\Gamma/\Gamma'
+\buildrel\sim\over\to \Gamma$ si $\Gamma$ est un groupe abélien, alors
+que l'unité $\eta$ n'est un isomorphisme que sur les groupes abéliens.
+
+En revanche, si $\eta$ \emph{et} $\varepsilon$ sont des isomorphismes,
+on a affaire à des foncteurs quasi-inverses
+(cf. \ref{equivalence-categories} et la remarque qui suit), et on
+obtient une seconde adjonction de sens réciproque à partir de la
+première :
+\begin{proposition2}\label{adjonction-inversible-est-equivalence}
+Soit $\theta\colon F \dashv G$ une adjonction de foncteurs (avec $F
+\colon \categ{D}\to\categ{C}$ et $G \colon \categ{C}\to\categ{D}$)
+dont l'unité $\eta \colon \Id_{\categ{D}} \to G\circ F$ et la coünité
+$\varepsilon\colon F\circ G \to \Id_{\categ{C}}$ sont toutes deux des
+isomorphismes. Alors il existe une adjonction $\xi\colon G \dashv F$
+dont l'unité est l'isomorphisme $\varepsilon^{-1}$ réciproque de
+$\varepsilon$ et la coünité l'isomorphisme $\eta^{-1}$ réciproque
+de $\eta$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+D'après la proposition \ref{identites-triangulaires-adjonction}, on a
+$(G\boxempty\varepsilon) \circ (\eta\boxempty G) = \Id_G$ et
+$(\varepsilon\boxempty F) \circ (F\boxempty\eta) = \Id_F$ ce qui,
+compte tenu du fait que tous les facteurs sont des isomorphismes,
+équivaut à $ (\eta^{-1} \boxempty G) \circ
+(G\boxempty\varepsilon^{-1}) = \Id_G$ et $(F\boxempty\eta^{-1}) \circ
+(\varepsilon^{-1}\boxempty F) = \Id_F$ : toujours d'après la même
+proposition, ceci permet d'affirmer que les transformations naturelles
+$\varepsilon^{-1} \colon G\circ F \to \Id_{\categ{D}}$ et $\eta^{-1}
+\colon \Id_{\categ{C}} \to F\circ G$ sont respectivement l'unité et la
+coünité d'une adjonction $\xi\colon G \dashv F$.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}\label{equivalence-est-adjonction-inversible}
+Soient $F\colon \categ{D}\to\categ{C}$ et $G\colon
+\categ{C}\to\categ{D}$ deux foncteurs quasi-inverses. Alors $F$ est
+adjoint à gauche et à droite de $G$.
+
+Plus précisément, si $e\colon \Id_{\categ{C}} \buildrel\sim\over\to
+F\circ G$ est un isomorphisme naturel (et qu'on suppose toujours qu'il
+existe un isomorphisme naturel $\Id_{\categ{D}} \buildrel\sim\over\to
+G\circ F$), alors $e$ est l'unité d'une adjonction $\xi \colon G
+\dashv F$, tandis que $e^{-1}$ est la coünité d'une adjonction $\theta
+\colon F \dashv G$.
+
+De plus, dans ces conditions et avec ces notations, les conditions
+suivantes sur une transformation naturelle $h\colon \Id_{\categ{D}}
+\to G\circ F$ sont équivalentes :
+\begin{itemize}
+\item $h \boxempty G = G \boxempty e$,
+\item $F \boxempty h = e \boxempty F$,
+\item $h$ est l'unité de l'adjonction $\theta$ (dont $e^{-1}$ est la coünité),
+\item $h$ est la réciproque de la coünité de l'adjonction $\xi$ (dont
+ $e$ est l'unité) ;
+\end{itemize}
+il existe un unique $h$ vérifiant ces conditions, et il s'agit d'un
+isomorphisme naturel.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Si $e\colon \Id_{\categ{C}} \buildrel\sim\over\to F\circ G$ est un
+isomorphisme naturel, où $F\colon \categ{D}\to\categ{C}$ et $G\colon
+\categ{C}\to\categ{D}$ sont deux foncteurs quasi-inverses, alors si on
+appelle (pour $X$ un objet quelconque de $\categ{D}$) $h(X) \colon X
+\to G(F(X))$ l'antécédent de $e(F(X))\colon F(X) \to F(G(F(X)))$ par
+$F\colon \Hom(X,G(F(X))) \to \Hom(F(X),F(G(F(X))))$ (cet antécédent
+existe puisque $F$ est plein), le
+lemme \ref{lemme-passage-transformations-naturelles-foncteur-fidele}
+montre que $h$ est une transformation naturelle : cette transformation
+naturelle vérifie $h \boxempty G = G \boxempty e$. Comme chaque
+$h(X)$ est un isomorphisme (puisque $F(h(X)) = e(F(X))$ l'est, et en
+utilisant le fait que $F$ est pleinement fidèle), $h$ est un
+isomorphisme naturel. Pour tout morphisme $v \colon X \to G(Y)$, il
+existe un unique $u\colon F(X) \to Y$ (à savoir l'unique antécédent
+par $G$ de $v\circ h(X)^{-1}\colon G(F(X)) \to G(Y)$) tel que $v =
+G(u) \circ h(X)$ : on a donc prouvé sur $h$ la propriété universelle
+de l'unité d'une adjonction (cf. la
+proposition \ref{propriete-universelle-unite-adjonction}), et d'après
+la proposition \ref{adjonction-determinee-par-unite}, $h$ est l'unité
+d'une adjonction $\theta\colon F\vdash G$, dont l'égalité $h \boxempty
+G = G \boxempty e$ (soit $ (G \boxempty e^{-1}) \circ (h \boxempty G)
+= \Id_G$) assure alors d'après la
+proposition \ref{identites-triangulaires-adjonction} que $e^{-1}$ est
+la coünité, donc vérifie $(e^{-1}\boxempty F) \circ (F\boxempty h) =
+\Id_F$ c'est-à-dire $F\boxempty h = e \boxempty F$. Les deux égalités
+$(h^{-1} \boxempty G) \circ (G \boxempty e) = \Id_G$ et $(F\boxempty
+h^{-1}) \circ (e\boxempty F) \circ = \Id_F$ montrent alors (toujours
+d'après \ref{identites-triangulaires-adjonction}) qu'il existe une
+adjonction $\xi\colon G\dashv F$ dont $e$ est l'unité et $h^{-1}$ la
+coünité.
+
+Il reste enfin à démontrer que toute transformation naturelle $h'$
+vérifiant l'une des quatre conditions dont on veut prouver
+l'équivalence est, en fait, la transformation naturelle $h$ qu'on a
+construite (et qui vérifie les quatre). Pour ce qui est des deux
+premières, on utilise le lemme \ref{lemme-simplification-foncteurs} :
+si on a $h\boxempty G = h'\boxempty G$ ou bien $F\boxempty h =
+F\boxempty h'$ alors $h = h'$. Pour ce qui est des deux
+dernières\footnote{Notons que l'énoncé de ces conditions sous-entend
+ que $\theta,\xi$ sont bien définies, ce qui est justifié par la
+ proposition \ref{adjonction-determinee-par-unite}.}, l'une ou
+l'autre implique trivialement que $h' = h$ puisque $h$ est bien
+l'unité de $\theta$ et aussi la réciproque de la coünité de $\xi$.
+\end{proof}
+
+
+\tableofcontents
+\ifx\danslelivre\undefined
+\bibliography{bibliographie-livre}
+\bibliographystyle{style-bib-livre}
+\end{document}
+\fi
+
diff --git a/chapitres/cohomologie-groupes.tex b/chapitres/cohomologie-groupes.tex
new file mode 100644
index 0000000..c9ab5f1
--- /dev/null
+++ b/chapitres/cohomologie-groupes.tex
@@ -0,0 +1,740 @@
+\ifx\danslelivre\undefined
+\documentclass[9pt]{smfart-moi}
+\input{commun}
+\input{smf}
+\input{adresse}
+\input{gadgets}
+\input{francais}
+\input{numerotation}
+\input{formules}
+\input{encoredesmacros}
+
+\usepackage{stmaryrd}
+\usepackage{graphics}
+\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
+%\usepackage{makeidx}
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{matrix}
+\usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant
+%\usepackage{pxfonts}
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+\textwidth13cm % pour pouvoir lire le nom des étiquettes si \usepackage{showkeys}
+\externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder
+\externaldocument{categories}
+\externaldocument{entiers}
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+%\makeindex
+
+\title{Ensembles simpliciaux et cohomologie des groupes}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\tableofcontents
+\else
+\chapter{Ensembles simpliciaux et cohomologie des groupes}
+\fi
+
+\section{Ensembles simpliciaux et leur cohomologie}
+
+\section{Cohomologie des groupes finis}
+
+Il faut au moins qu'il y ait les résultats suivants,
+copiés-collés depuis le livre de Serre.
+
+ection{Extensions}
+
+\begin{defi}
+Soient $A$ et $G$ deux groupes. On dit que $E$ est une
+\emph{extension} de $G$ par $A$ si l'on a une suite exacte
+$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & A \ar[r] & E \ar[r] & G \ar[r] &
+\{1\}}$$
+avec $A$ normal dans $E$.
+\end{defi}
+\rmq Dans ce \S, on suppose $A$ commutatif.
+
+\bigskip Toute extension $E$ de $G$ par $A$ d\'{e}finit une
+action de
+$G$ sur $A$ de la mani\`{e}re suivante: remarquons d'abord
+que $E$
+agit sur $A$ par automorphismes int\'{e}rieurs (puisque $A$
+est
+normal dans $E$); on a un homomorphisme
+$$\left\{\!\!\begin{array}{rcl}
+E & \longrightarrow & \Aut(A)\\
+e & \longmapsto & \Int(e)_{|A},\\
+\end{array}\right.$$
+qui passe au quotient $G$: en effet, si $s\in G$, on choisit
+$e\in
+E$ qui rel\`{e}ve $s$; alors $\Int(e)$ ne d\'{e}pend pas du
+choix du
+rel\`{e}vement de $s$; changer $e$ en $e'$ au dessus de $s$
+revient
+en effet \`{a} le multiplier par un \'{e}l\'{e}ment $a$ de
+$A$, or
+$a$ agit trivialement sur $A$ par automorphismes
+int\'{e}rieurs
+puisque $A$ est ab\'{e}lien. Donc $G$ agit sur $A$:
+$$\xymatrix{ E
+\ar[rr] \ar[rd] && \Aut(A) \\ & G \ar[ur]}$$
+
+On va donc consid\'{e}rer $A$ comme un $G$-module; les lois
+de
+groupe \'{e}tant \'{e}crites multiplicativement, la loi
+d'action de
+$G$ sur $A$ sera \'{e}crite ${}^s\!a$ pour $a\in A$ et $s\in
+G$. On
+va associer \`{a} toute extension de $G$ par $A$ une classe
+de
+cohomologie de $H^2(G,A)$ qui d\'{e}termine cette extension
+\`{a}
+isomorphisme pr\`{e}s. Et l'on verra que tout
+\'{e}l\'{e}ment de
+$H^2(G,A)$ peut \^{e}tre obtenu ainsi, cf. th. \ref{th4.3}.
+
+Soit $E$ une extension de $G$ par $A$; on a une surjection
+$\pi$
+de $E$ sur $G$.
+
+\begin{defi}
+Une \emph{section} $h$ de $\pi$ est une application de $G$
+dans
+$E$ telle que $\pi\circ h=\Id_G$.
+$$\xymatrix{E \ar[d]_\pi \\ G \ar@/_0.5cm/[u]_h}$$
+\end{defi}\label{section}
+
+Au-dessus de $s\in G$, on choisit un point dans la fibre
+$\pi^{-1}(s)$. Tout \'{e}l\'{e}ment $e\in E$ s'\'{e}crit
+alors de
+mani\`{e}re unique $ah(x)$, avec $a\in A$ et $x\in G$ (en
+fait
+$x=\pi(e)$).
+
+Cherchons \`{a} mettre sous la forme $ch(z)$
+l'\'{e}l\'{e}ment
+$ah(x)bh(y)$. On a
+$$ah(x)bh(y)=ah(x)bh(x)^{-1}h(x)h(y).$$
+L'action de $x\in G$ sur $A$ est donn\'{e}e par l'action de
+l'automorphisme int\'{e}rieur d'un \'{e}l\'{e}ment de $E$
+au-dessus
+de $x$, par exemple $h(x)$. Donc $h(x)bh(x)^{-1}={}^xb$ (qui
+est
+dans $A$, puisque $A$ est normal). Posons
+$$h(x)h(y)=f_h(x,y)h(xy).$$ On a
+$f_h(x,y)\in A$ puisque $h(x)h(y)$ et $h(xy)$ ont m\^{e}me
+image
+dans $G$ par $\pi$. On a finalement obtenu:
+$$ah(x)bh(y)=a\,{}^xbf_h(x,y)h(xy)$$ avec
+$a\,{}^xbf_h(x,y)\in A$.
+
+\bigskip Nous allons maintenant voir comment $f_h$ varie
+avec $h$.
+Soient donc $h$ et $h'$ deux sections de $\pi$
+($h,h':G\rightarrow
+E$). Alors $h(s)$ et $h'(s)$ diff\`{e}rent par un
+\'{e}l\'{e}ment de
+$A$. Posons $h'(s)=l(s)h(s)$; l'application $l$ est une
+$1$-cocha\^{i}ne de $G$ \`{a} valeurs dans $A$. Calculons
+$f_{h'}$
+\`{a} l'aide de $l$ et de $f_h$. On a
+$$h'(s)h'(t)=f_{h'}(s,t)h'(st)=f_{h'}(s,t)l(st)h(st),$$
+mais
+\begin{eqnarray*}
+h'(s)h'(t) & = & l(s)h(s)l(t)h(t)\\
+{} & = & l(s)h(s)l(t)h(s)^{-1}h(s)h(t)\\
+{} & = & l(s)\,{}^sl(t)f_h(s,t)h(st),
+\end{eqnarray*}
+d'o\`{u} l'on tire
+\begin{eqnarray*}
+f_{h'}(s,t) & = & l(s)\,{}^sl(t)f_h(s,t)l(st)^{-1}\\
+{} & = & f_h(s,t)\,{}^sl(t)l(s)l(st)^{-1},
+\end{eqnarray*}
+car $A$ est commutatif. Or, en notation multiplicative, on a
+$$dl(s,t)={}^sl(t)l(s)l(st)^{-1}.$$
+D'o\`{u}
+$$f_{h'}=f_h\,dl.$$
+Donc, quand $h$ varie, $f_h$ ne change que par
+multiplication par un
+cobord. On peut donc associer \`{a} $E$ la classe de
+cohomologie de
+$f_h$ dans $H^2(G,A)$; appelons $e$ cette classe. Quand
+trouve-t-on
+$e=0$? Cela signifie (en notation multiplicative) qu'il
+existe une
+section $h$ telle que $f_h(s,t)=1$ pour tous $s,t\in G$,
+i.e. que
+$h$ est un homomorphisme.
+
+\begin{defi}
+Une extension $E$ de $G$ par $A$ est dite \emph{triviale}
+s'il
+existe un homomorphisme $h:G\rightarrow E$ telle que
+$\pi\circ
+h=\Id_G$ (ou, de fa\c{c}on \'{e}quivalente, si $e=0$).
+\end{defi}
+
+Examinons une telle extension: tout \'{e}l\'{e}ment de $E$
+s'\'{e}crit $ah(s)$ de mani\`{e}re unique et
+$ah(s)bh(t)=a\,{}^sbh(st)$. Donc on conna\^{i}t $E$ d\`{e}s
+qu'on
+conna\^{i}t $A$, $G$ et l'action de $G$ sur $A$. Le groupe
+$E$ est
+isomorphe au groupe des couples $(a,s)$ avec $a\in A$ et
+$s\in G$,
+muni de la loi
+$$(a,s)(b,t)=(a\,{}^sb,st).$$
+
+On appelle un tel $E$ un \emph{produit
+semi-direct}\label{semidirect1} de $G$ par $A$. On vient de
+voir: la
+classe nulle de $H^2(G,A)$ correspond \`{a} l'extension
+triviale de
+$G$ par $A$, qui est le produit semi-direct de $G$ par $A$
+d\'{e}fini par l'action de $G$ sur $A$.
+
+\begin{thm}
+L'application $f_h$ est un $2$-cocycle de $G$ \`{a} valeurs
+dans
+$A$.
+\end{thm}
+
+Il faut v\'{e}rifier que $f_h$ appartient au noyau de $d$,
+l'homomorphisme de cobord. L'\'{e}criture est ici
+multiplicative; il
+faut donc voir que
+$$df_h(u,v,w)=1$$ pour tous $u,v,w\in G$; or $df_h$
+s'\'{e}crit
+$$df_h(u,v,w)={}^u\!f_h(v,w)f_h(u,vw)f_h(uv,w)^{-1}f_h(u,v)^{-1}.$$
+Nous allons \'{e}crire $h(u)h(v)h(w)$ sous la forme
+$ah(uvw)$ avec
+$a\in A$ de deux mani\`{e}res diff\'{e}rentes en utilisant
+l'associativit\'{e}
+de la loi de groupe dans $E$.\\
+On a $$\big(h(u)h(v)\big)h(w)=f_h(u,v)f_h(uv,w)h(uvw)$$ et
+$$h(u)\big(h(v)h(w)\big)={}^u\!f_h(v,w)f_h(u,vw)h(uvw)$$
+d'o\`{u}
+$${}^u\!f_h(v,w)f_h(u,vw)=f_h(u,v)f_h(uv,w)$$
+ce qui est bien
+$$df_h(u,v,w)=1.\eqno\square$$
+
+Nous allons enfin voir:
+
+\begin{thm}\label{th4.3}
+Toute classe de cohomologie de $H^2(G,A)$ correspond \`{a}
+une
+extension de $G$ par $A$.
+\end{thm}
+
+On va reconstruire la situation pr\'{e}c\'{e}dente: soit
+$f\in
+Z^2(G,A)$. D\'{e}finissons $E$ ensemblistement par
+$E=A\times G$. On
+d\'{e}finit la loi de $E$ par
+$$(a,s)(b,t)=\big(a\,{}^sbf(s,t),st\big).$$
+Tout d'abord $E$ est un groupe:\\
+$\bullet$ La loi est associative: le calcul fait ci-dessus
+pour voir
+que $f_h$ est un $2$-cocycle \`{a} partir de
+l'associativit\'{e} de
+la loi de $E$ se reprend \`{a} l'envers.\\
+$\bullet$ Si $\varepsilon=f(1,1)^{-1}$, alors
+l'\'{e}l\'{e}ment
+$(\varepsilon,1)$ est \'{e}l\'{e}ment neutre. En effet,
+$$(a,s)(\varepsilon,1)=\big(a{}^s\!\varepsilon
+f(s,1),s\big)$$
+or $f$ est un $2$-cocycle donc $df=1$ et
+$$df(s,1,1)={}^s\!f(1,1)f(s,1)^{-1}f(s,1)f(s,1)$$
+donc
+$$1=df(s,1,1)={}^s\!\varepsilon^{-1}f(s,1)^{-1}$$
+et $(\varepsilon,1)$ est bien \'{e}l\'{e}ment neutre.\\
+$\bullet$ On fait de m\^{e}me le calcul de l'inverse.\\
+On a un homomorphisme surjectif \'{e}vident de $E$ dans $G$:
+$$\left\{\!\!
+\begin{array}{rcl}
+E & \longrightarrow & G\\
+(a,s) & \longmapsto & s
+\end{array}\right.$$
+et l'application
+$$\left\{\!\!
+\begin{array}{rcl}
+A & \longrightarrow & E\\
+a & \longmapsto & (a\varepsilon ,1)
+\end{array}\right.$$
+est un homorphisme (car $A$ est ab\'{e}lien) \'{e}videmment
+injectif.
+
+Finalement on a bien:
+$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & A \ar[r] & E \ar[r] & G \ar[r] &
+\{1\}.}\eqno\square$$
+
+\bigskip{\it Interpr\'{e}tation de $H^1(G,A)$ en termes
+d'extensions.} Soit $E$ une extension triviale de $G$ par
+$A$.
+Choisissons une section $h:G\rightarrow E$ qui soit un
+homomorphisme
+(ce qui identifie $E$ au produit semi-direct $G.A$). Soit
+$h'$ une
+autre section; on peut \'{e}crire $h'$ de fa\c{c}on unique
+comme
+$h'=l.h$, o\`{u} $l$ est une $1$-cocha\^{i}ne $G\rightarrow
+A$. On a
+$f_{h'}=f_h.dl=dl$ puisque $f_h=1$. Pour que $h'$ soit un
+homomorphisme, il faut et il suffit que $f_{h'}=1$, i.e. que
+$dl=1$,
+autrement dit que $l$ soit un $1$-cocycle.
+
+D'autre part, si on conjugue $h$ par un \'{e}l\'{e}ment $a$
+de $A$,
+on obtient une section qui est un homomorphisme. Soit $h'$
+cette
+section. A quoi cela correspond-il en termes de $l$? On a
+$$h'(x)=ah(x)a^{-1}=l(x)h(x)$$
+avec $l(x)=a{}^x\!a^{-1}$. Donc $l=df_a$ (o\`{u} $f_a$ est
+l'\'{e}l\'{e}ment de $C^0(G,A)$ correspondant \`{a} $a$).
+Donc $l$
+doit \^{e}tre un cobord. D'o\`{u}:
+
+\begin{thm}
+Les classes de conjugaison (par les \'{e}l\'{e}ments de $A$,
+ou de
+$G$) des sections de $E$ qui sont des homomorphismes
+correspondent
+bijectivement aux \'{e}l\'{e}ments du groupe de cohomologie
+$H^1(G,A)$.
+\end{thm}
+
+[Noter que cette correspondance \emph{d\'{e}pend} du choix
+de $h$.
+Une fa\c{c}on plus intrins\`{e}que de s'exprimer consiste
+\`{a} dire
+que l'ensemble des classes de sections-homomorphismes est un
+espace
+principal homog\`{e}ne (\og torseur\fg) sous l'action de
+$H^1(G,A)$.]
+
+\begin{coro}
+Pour que les sections de $\pi$ qui sont des homomorphismes
+soient
+conjugu\'{e}es, il faut et il suffit que $H^1(G,A)=\{0\}$.
+\end{coro}
+
+\section{Groupes finis: un crit\`{e}re de
+nullit\'{e}}\label{4.3}
+
+Soit $G$ un groupe \`{a} $m$ \'{e}l\'{e}ments et soit $A$ un
+$G$-module.
+
+\begin{thm}
+Soient $n\geqslant 1$ et $x\in H^n(G,A)$. On a $mx=0$.
+\end{thm}
+
+Soit $f\in Z^n(G,A)$ un $n$-cocycle repr\'{e}sentant $x$. Il
+faut
+construire $F\in
+C^{n-1}(G,A)$ tel que $dF=mf$.\\
+Prenons $F_1(s_1,\dots,s_{n-1})=\sum_{s\in
+G}{f(s_1,\dots,s_{n-1},s)}$. Comme $f\in Z^n(G,A)$, on a
+$df=0$.
+Or
+$$\begin{array}{rcl}
+df(s_1,\dots,s_{n+1}) & = &
+\displaystyle
+s_1f(s_2,\dots,s_{n+1})-f(s_1s_2,s_3,\dots,s_{n+1})+\cdots\\
+{} & {} & {}\\
+{} & {} &
+\hfill{{}
++(-1)^nf(s_1,\dots,s_ns_{n+1})+(-1)^{n+1}f(s_1,\dots,s_n)}
+\\
+{} & = & 0.
+\end{array}$$
+Donc
+$$\begin{array}{rcl}
+\displaystyle \sum_{s_{n+1}\in G}{df(s_1,\dots,s_{n+1})} & =
+&
+s_1F_1(s_2,\dots,s_n)-F_1(s_1s_2,\dots,s_n)+\cdots\\
+{} & {} & \hfill{{}
++(-1)^nF_1(s_1,\dots,s_{n-1})+(-1)^{n+1}mf(s_1,\dots,s_n).}
+\end{array}$$
+
+On a utilis\'{e} le fait que si $s_{n+1}$ parcourt $G$,
+$s_ns_{n+1}$
+aussi ($s_n$ \'{e}tant fix\'{e}). On a ainsi obtenu
+$$(-1)^nmf(s_1,\dots,s_n)=dF_1(s_1,\dots,s_n).$$
+On pose donc $F=(-1)^n F_1$ qui v\'{e}rifie $dF=mf$,
+d'o\`{u} le
+r\'{e}sultat.~\findem
+
+\begin{coro}
+Si l'application $a\mapsto ma$ est un automorphisme de $A$
+($m$
+\'{e}tant l'ordre de $G$) alors $H^n(G,A)=\{0\}$ pour tout
+$n\geqslant 1$.
+\end{coro}
+
+En effet, $x\mapsto mx$ est alors un automorphisme de
+$C^n(G,A)$ qui
+commute \`{a} $d$. Donc c'est un automorphisme de $H^n(G,A)$
+par
+passage au quotient. Or c'est dans ce cas l'application
+nulle
+d'o\`{u} $H^n(G,A)=\{0\}$.~\findem
+
+\begin{coro}
+Si $G$ et $A$ sont finis d'ordres premiers entre eux alors
+$H^n(G,A)=\{0\}$ pour tout $n\geqslant 1$.
+\end{coro}
+
+En effet $a\mapsto ma$ est alors un automorphisme de
+$A$.~\findem
+
+\begin{coro}
+Si $G$ et $A$ sont finis d'ordres premiers entre eux alors:
+\begin{enumerate}
+\item[(1)] Toute extension $E$ de $G$ par $A$ est triviale.
+
+\item[(2)] Deux homomorphismes sections de $G\rightarrow E$
+sont
+conjugu\'{e}s par un \'{e}l\'{e}ment de $A$.
+\end{enumerate}
+\end{coro}
+
+On a $H^n(G,A)=\{0\}$ si $n\geqslant 1$. Le cas $n=2$ donne
+$(1)$ et
+le cas $n=1$ donne $(2)$ d'apr\`{e}s l'\'{e}tude faite en
+\ref{extensions}.~\findem
+
+\section{Extensions de groupes d'ordres premiers entre
+eux}\label{4.4}
+
+Nous allons \'{e}tendre certains r\'{e}sultats sur les
+extensions
+d'un groupe $G$ par un groupe $A$ commutatif au cas o\`{u}
+$A$ est
+r\'{e}soluble ou m\^{e}me quelconque.
+
+\begin{thm}[Zassenhaus]\label{Zassen}
+Soient $A$ et $G$ deux groupes finis d'ordres premiers entre
+eux et
+consid\'{e}rons une extension $\{1\}\rightarrow A\rightarrow
+E\rightarrow G\rightarrow \{1\}$. Alors:
+\begin{enumerate}
+\item[(1)] Il existe un sous-groupe de $E$
+(\emph{suppl\'{e}mentaire
+de $A$}) qui se projette isomorphiquement sur $G$ ($E$ est
+produit
+semi-direct).
+
+\item[(2)] Si $A$ ou $G$ est r\'{e}soluble, deux tels
+sous-groupes
+sont conjugu\'{e}s par un \'{e}l\'{e}ment de $A$ (ou de $E$,
+cela
+revient au m\^{e}me).
+\end{enumerate}
+\end{thm}
+
+On raisonne par r\'{e}currence sur $|E|$; on peut supposer
+$A$ et
+$G$ distincts de $\{1\}$.
+
+{\it Premier cas: $A$ est r\'{e}soluble.} On d\'{e}montre
+d'abord le
+
+\begin{lemme}\label{4.4.2}
+Soit $X$ un groupe r\'{e}soluble non r\'{e}duit \`{a}
+$\{1\}$. Il
+existe un nombre premier $p$ et un $p$-sous-groupe $Y$ de
+$X$
+distinct de $\{1\}$ tel que $Y$ soit ab\'{e}lien
+\'{e}l\'{e}mentaire
+et caract\'{e}ristique.
+\end{lemme}
+
+On rappelle qu'un $p$-groupe ab\'{e}lien est dit
+\emph{\'{e}l\'{e}mentaire} si ses \'{e}l\'{e}ments distincts
+de $1$
+sont d'ordre $p$ et qu'un sous-groupe d'un groupe $X$ est
+caract\'{e}ristique s'il est stable par tout automorphisme
+de $X$.
+
+\bigskip {\it D\'{e}monstration du lemme. } Soient $D^i(X)$
+les d\'{e}riv\'{e}s successifs de $X$. Comme $X$ est
+r\'{e}soluble,
+il existe $i$ tel que $D^i(X)$ est distinct de $\{1\}$ et
+$D^{i+1}(X)$ est r\'{e}duit \`{a} $\{1\}$. Alors $D^i(X)$
+est un
+sous-groupe de $X$ ab\'{e}lien et diff\'{e}rent de $\{1\}$.
+De plus,
+il est caract\'{e}ristique. Soit alors $p$ divisant l'ordre
+de
+$D^i(X)$ et soit $Y$ le groupe des \'{e}l\'{e}ments de
+$D^i(X)$
+d'ordre divisant $p$. Alors $Y$ est ab\'{e}lien,
+diff\'{e}rent de
+$\{1\}$, caract\'{e}ristique (un automorphisme de $X$
+transforme un
+\'{e}l\'{e}ment d'ordre $p$ en un autre de m\^{e}me ordre)
+et est un
+$p$-groupe \'{e}l\'{e}mentaire.~\findem
+
+\bigskip {\it Retour \`{a} la d\'{e}monstration du
+th\'{e}or\`{e}me. }
+Appliquons le lemme avec $X=A$ et $Y=A'$ et remarquons que
+$A'$ est
+normal dans $E$: un automorphisme int\'{e}rieur de $E$
+restreint
+\`{a} $A$ est un automorphisme de $A$ (car $A$ est normal
+dans $E$)
+et
+laisse donc $A'$, qui est caract\'{e}ristique, invariant.\\
+Si $A=A'$, alors $A$ est ab\'{e}lien et le th\'{e}or\`{e}me
+est
+connu. Sinon, comme $A'$ est normal dans $E$, on peut passer
+au
+quotient par $A'$ et on obtient la suite exacte
+$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & A/A' \ar[r] & E/A' \ar[r] & G
+\ar[r] & \{1\}}.$$
+La situation se d\'{e}crit par le diagramme suivant:
+$$\xymatrix{& E \ar[d]\\ & E/A' \ar[d]\\ G \ar@{.>}[uur]
+\ar@{.>}[ur] \ar[r] & E/A}$$
+Comme $E/A'$ est de cardinal strictement inf\'{e}rieur \`{a}
+celui
+de $E$, l'hypoth\`{e}se de r\'{e}currence entra\^{i}ne que
+$G$ se
+rel\`{e}ve en un sous-groupe $G'$ de $E/A'$. Soit $E'$
+l'image
+r\'{e}ciproque de $G'$ par la projection $E\rightarrow
+E/A'$. Alors
+on a la suite exacte
+$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & A' \ar[r] & E' \ar[r] & G' \ar[r]
+& \{1\}}.$$
+Or $A'$ est ab\'{e}lien. D'apr\`{e}s le \S\ \ref{4.3}, on
+peut donc
+relever $G'$ en un sous-groupe de $E'$. On obtient ainsi un
+rel\`{e}vement de $G$ dans $E$.
+
+Montrons que deux tels rel\`{e}vements $G'$ et $G''$ sont
+conjugu\'{e}s par un \'{e}l\'{e}ment de $A$. On a
+$$E=A.G'\;\mbox{ et }\; E=A.G''.$$
+L'hypoth\`{e}se de r\'{e}currence, appliqu\'{e}e \`{a}
+$E/A'$,
+montre qu'il existe $a\in A$ tel que $aG'a^{-1}$ et $G''$
+aient
+m\^{e}me image dans $E/A'$. Quitte \`{a} remplacer $G'$ par
+$aG'a^{-1}$, on peut donc supposer que $A'.G'=A'.G''$. La
+conjugaison par un \'{e}l\'{e}ment de $A$ de $G'$ et $G''$
+r\'{e}sulte alors du cas ab\'{e}lien (cf. \S\ \ref{4.3}),
+appliqu\'{e} \`{a} $A'.G'=A'.G''$.
+
+\bigskip
+{\it Deuxi\`{e}me cas: assertion $(1)$ dans le cas
+g\'{e}n\'{e}ral.}
+Soit $p$ premier divisant l'ordre de $A$ et soit $S$ un
+$p$-Sylow de
+$A$ (cf. \S\ \ref{2.2}). Soit $E'$ le normalisateur dans $E$
+de $S$.
+D'apr\`{e}s le \S\ \ref{2.3}, on a $E=A.E'$. Soit $A'=E'\cap
+A$;
+$A'$ est normal dans $E'$ et l'on a la suite exacte
+$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & A' \ar[r] & E' \ar[r] & G \ar[r]
+& \{1\}}.$$
+Distinguons deux cas:\\
+$\bullet$ Si $|E'|<|E|$, l'hypoth\`{e}se de r\'{e}currence
+permet de
+relever $G$ dans $E'$, donc dans $E$.\\
+$\bullet$ Si $|E'|=|E|$ alors $S$ est normal dans $E$ donc
+aussi
+dans $A$. On passe au quotient:
+$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & A/S \ar[r] & E/S \ar[r] & G
+\ar[r] & \{1\}}$$
+avec $E/S$ de cardinal strictement inf\'{e}rieur \`{a} celui
+de $E$.
+Par l'hypoth\`{e}se de r\'{e}currence, $G$ se rel\`{e}ve en
+$G_1$ de
+$E/S$. Soit $E_1$ l'image r\'{e}ciproque de $G_1$ par la
+projection
+$E\rightarrow E/S$. On a la suite exacte
+$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & S \ar[r] & E_1 \ar[r] & G \ar[r]
+&\{1\}.}$$
+Or $S$ est un $p$-groupe donc est r\'{e}soluble et l'on est
+ramen\'{e} au premier cas.
+
+\bigskip
+{\it Troisi\`{e}me cas: assertion $(2)$ lorsque $G$ est
+r\'{e}soluble.} Soient $G$ et $G'$ deux rel\`{e}vements de
+$G$ dans
+$E$. On a
+$$E=A.G'\;\mbox{ et }\; E=A.G''.$$
+Soient $p$ un nombre premier et $I$ un sous-groupe
+ab\'{e}lien
+normal diff\'{e}rent de $\{1\}$ de $G$ (cf. lemme
+\ref{4.4.2}) et
+soit $\widetilde{I}$ son image r\'{e}ciproque dans $E$ par
+la
+projection $E\rightarrow G$. Soient $I'=\widetilde{I}\cap
+G'$ et
+$I''=\widetilde{I}\cap G''$. On a
+$$A.I'=A.I''\; (=\widetilde{I}).$$
+Les groupes $I'$ et $I''$ sont des $p$-Sylow de
+$\widetilde{I}$; il
+existe donc $x\in \widetilde{I}$ tel que $I''=xI'x^{-1}$; si
+on
+\'{e}crit $x$ sous la forme $ay$ avec $a\in A$ et $y\in I'$,
+on a
+$I''=aI'a^{-1}$. Quitte \`{a} remplacer $I'$ par
+$aI'a^{-1}$, on
+peut
+donc supposer $I''=I'$.\\
+Soit $N$ le normalisateur de $I'=I''$ dans $E$. On a
+$G'\subset N$
+et $G''\subset N$. Si $N$ est distinct de $E$,
+l'hypoth\`{e}se de
+r\'{e}currence appliqu\'{e}e \`{a} $N$ montre que $G'$ et
+$G''$ sont
+conjugu\'{e}s. Si $N=E$, autrement dit si $I'$ est normal
+dans $E$,
+l'hypoth\`{e}se de r\'{e}currence appliqu\'{e}e \`{a} $E/I'$
+montre
+qu'il existe $a\in A$ tel que $I'.aG'a^{-1}=I'.G''$. Puisque
+$I'$
+est normal et contenu \`{a} la fois dans $G'$ et $G''$, cela
+entra\^{i}ne
+$$aG'a^{-1}=G'',$$
+d'o\`{u} le r\'{e}sultat.~\findem
+
+\bigskip\rmq L'hypoth\`{e}se \og $A$ ou $G$ est
+r\'{e}soluble\fg\ faite
+dans $(2)$ est automatiquement satisfaite d'apr\`{e}s le
+th\'{e}or\`{e}me de Feit-Thompson (cf. \S\ \ref{grpe resol})
+disant
+que tout groupe d'ordre impair est r\'{e}soluble.
+
+\section{Rel\`{e}vements d'homomorphismes}\label{4.5}\label{obstruction relèvement morphisme}
+
+Soient $\{1\}\rightarrow A\rightarrow
+E\stackrel{\pi}{\rightarrow}
+\Phi\rightarrow\{1\}$ une suite exacte , $G$ un groupe et
+$\varphi$
+un homomorphisme de $G$ dans $\Phi$. Peut-on relever
+$\varphi$ en un
+homomorphisme $\psi$ de $G$ dans $E$?
+$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & A \ar[r] & E \ar[r]^{\pi} & \Phi
+\ar[r] & \{1\}\\
+{} & {} & {} & G \ar[u]_\varphi \ar@{.>}[ul]^\psi}$$ La
+question
+\'{e}quivaut \`{a} celle du rel\`{e}vement de $G$ dans une
+extension
+$E_\varphi$ de $G$ par $A$ associ\'{e}e \`{a} $\varphi$,
+d\'{e}finie
+de la fa\c{c}on suivante:
+$$E_\varphi=\{(g,e)\in G\times E\ |\
+\varphi(g)=\pi(e)\}$$ muni de la loi de groupe habituelle
+pour le
+produit cart\'{e}sien. Alors $A$ se plonge dans $E_\varphi$
+par
+$a\mapsto (1,a)$ et $E_\varphi$ se projette sur $G$ par
+$(g,e)\mapsto g$.
+$$\xymatrix{E_\varphi \ar[r] \ar[d] & E \ar[d]^\pi\\ G
+\ar[r]^\varphi & \Phi}$$
+On a la suite exacte
+$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & A \ar[r] & E_\varphi \ar[r] & G
+\ar[r] & \{1\}}.$$
+(on dit parfois que $E_\varphi$ est \emph{l'image
+r\'{e}ciproque}
+(\og pull-back\fg) de l'extension $E$ par l'homomorphisme
+$\varphi$).
+
+Voyons l'\'{e}quivalence des deux probl\`{e}mes. Soit $\psi$
+un
+rel\`{e}vement de $\varphi$. Alors l'ensemble
+$G_\psi=\{(g,\psi(g)),\ g\in G\}$
+est un sous-groupe de $E_\varphi$ qui est un rel\`{e}vement
+de $G$.\\
+Soit maintenant $G'$ un rel\`{e}vement de $G$. Alors $G'$
+est
+form\'{e} de couples $(g,e)$ avec $g\in G$ et $e\in E$,
+chaque $g\in
+G$ apparaissant dans un et un seul couple. Alors $\psi$
+d\'{e}fini
+par $\psi(g)=e$ est un homomorphisme
+qui rel\`{e}ve $\varphi$.\\
+De plus, deux rel\`{e}vements $\psi'$ et $\psi''$ sont
+conjugu\'{e}s
+par $a\in A$ si et seulement si $G_{\psi'}$ et $G_{\psi''}$
+sont
+conjugu\'{e}s par $(1,a)\in E_\varphi$. Le \S\ \ref{4.4}
+donne alors
+le
+
+\begin{thm}
+Soit $\{1\}\rightarrow A\rightarrow E \rightarrow
+\Phi\rightarrow\{1\}$ une suite exacte et soit $\varphi$ un
+homomorphisme d'un groupe $G$ dans le groupe $\Phi$.
+Supposons $G$
+et $A$ finis d'ordres premiers entre eux. Alors:
+\begin{enumerate}
+\item[(1)] Il existe un homomorphisme $\psi$ de $G$ dans $E$
+qui
+rel\`{e}ve $\varphi$.
+
+\item[(2)] Si $G$ ou $A$ est r\'{e}soluble, deux tels
+homomorphismes
+sont conjugu\'{e}s par un \'{e}l\'{e}ment de $A$.
+\end{enumerate}
+\end{thm}
+
+\App On se donne un homomorphisme $\varphi: G\rightarrow
+\mathbf{GL}_n(\ZM/p\ZM)$ o\`{u} $p$ ne divise pas l'ordre de
+$G$. On
+va voir qu'\emph{on peut relever $\varphi$ en
+$\varphi_\alpha:
+G\rightarrow \mathbf{GL}_n(\ZM/p^\alpha\ZM)$ pour tout
+$\alpha
+\geqslant 1$}.
+
+Commen\c{c}ons par relever $\varphi$ en $\varphi_2$. On a la
+suite
+exacte
+$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & A \ar[r] &
+\mathbf{GL}_n(\ZM/p^2\ZM) \ar[r] & \mathbf{GL}_n(\ZM/p\ZM)
+\ar[r] & \{1\}}$$
+o\`{u} $A$ est form\'{e} des matrices de la forme $1+pX$
+avec $X$
+matrice $n\times n$ modulo $p$ et o\`{u} l'application de
+$\mathbf{GL}_n(\ZM/p^2\ZM)$ dans $\mathbf{GL}_n(\ZM/p\ZM)$
+est la
+r\'{e}duction modulo $p$. Le groupe $A$ est alors isomorphe
+\`{a}
+$\MM_n(\ZM/p\ZM)$ qui est un $p$-groupe ab\'{e}lien. On peut
+donc
+appliquer le th\'{e}or\`{e}me pr\'{e}c\'{e}dent et relever
+$\varphi$
+en
+$\varphi_2$ de mani\`{e}re essentiellement unique.\\
+Le m\^{e}me argument permet de relever $\varphi_\alpha$ en
+$\varphi_{\alpha+1}$. On a la suite exacte
+$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & A \ar[r] &
+\mathbf{GL}_n(\ZM/p^{\alpha +1}\ZM) \ar[r] &
+\mathbf{GL}_n(\ZM/p^{\alpha}\ZM) \ar[r] & \{1\}\\
+&& G \ar[u]^{\varphi_{\alpha +1}}
+\ar[ur]_{\varphi_{\alpha}}}.$$ On
+peut passer \`{a} la limite projective: comme $\varprojlim
+{(\ZM/p^\alpha\ZM)}=\ZM_p$, on obtient une
+repr\'{e}sentation
+$$\varphi_\infty: \xymatrix{G \ar[r] & \mathbf{GL}_n(\ZM_p)\
+\ar@{^{(}->}[r] & \mathbf{GL}_n(\QM_p)}.$$
+Or $\QM_p$ est de caract\'{e}ristique $0$: ainsi, \`{a}
+partir d'une
+repr\'{e}sentation en caract\'{e}ristique $p$, on en obtient
+une en
+caract\'{e}risque $0$.
+
+
+
+
+
+\section{Cohomologie continue des groupes profinis}
+
+\ifx\danslelivre\undefined
+\bibliography{bibliographie-livre}
+\bibliographystyle{style-bib-livre}
+\end{document}
+\fi
diff --git a/chapitres/corps-c1.tex b/chapitres/corps-c1.tex
new file mode 100644
index 0000000..a772f34
--- /dev/null
+++ b/chapitres/corps-c1.tex
@@ -0,0 +1,1220 @@
+\ifx\danslelivre\undefined
+\documentclass[9pt]{smfart-moi}
+\usepackage{stmaryrd}
+\usepackage{wasysym}
+\usepackage{graphics}
+\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
+\input{commun}
+\input{smf}
+\input{adresse}
+%\input{gadgets}
+\input{francais}
+\input{numerotation}
+\input{formules}
+\input{encoredesmacros}
+\usepackage{srcltx}
+
+\title{Corps $C_1$}
+
+\externaldocument{extensions-algebriques}
+\externaldocument{corps-finis}
+\externaldocument{correspondance-galois}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\tableofcontents
+\else
+\chapter{Corps $C_1$}
+\fi
+
+\section{Généralités}
+
+\subsection{Corps $C_r$ et $C'_r$}
+
+\begin{definition2}\label{definition-corps-c-r}
+Un corps $k$ est dit $C_r$ lorsqu'il vérifie la propriété suivante :
+si $P \in k[X_1,\ldots,X_n]$ est un polynôme homogène de degré $d>0$
+en $n$ variables à coefficients dans $k$ et que $n > d^r$, alors $P$ a
+un zéro non trivial (dans $k$), c'est-à-dire qu'il existe
+$x_1,\ldots,x_n$ dans $k$, non tous nuls, tels que $P(x_1,\ldots,x_n)
+= 0$.
+
+Un corps $k$ est dit $C'_r$ lorsqu'il vérifie la propriété suivante :
+si $P_1,\ldots,P_s \in k[X_1,\ldots,X_n]$ sont des polynômes homogènes
+de degrés respectivement $d_1,\ldots,d_s>0$ en $n$ variables
+(communes) sur $k$, et que $n > d_1^r + \cdots + d_s^r$, alors
+$P_1,\ldots,P_s$ ont un zéro commun non trivial (dans $k$),
+c'est-à-dire qu'il existe $x_1,\ldots,x_n$ dans $k$, non tous nuls,
+tels que $P_i(x_1,\ldots,x_n) = 0$ pour tout $i$.
+\end{definition2}
+
+\begin{remarques2}
+\begin{itemize}
+\item Il est trivial que la propriété $C'_r$ implique la
+propriété $C_r$ (la réciproque est vraie sous une hypothèse technique,
+voir \ref{plusieurs-polynomes-degres-differents-sur-corps-c-r}
+ci-dessous). Par ailleurs, la propriété $C_r$ est d'autant plus forte
+que $r$ est petit.
+\item Les corps $C_0$ sont les corps algébriquement clos : cela
+résulte du fait que, pour $a_d\neq 0$, le polynôme $a_0 X_0^d + a_1
+X_0^{d-1} X_1 + \cdots + a_d X_1^d \in k[X_0,X_1]$ (homogène de
+degré $d$) a un zéro non trivial si et seulement si le polynôme $a_0 +
+a_1 X + \cdots + a_d X^d \in k[X]$ a un zéro. On va voir
+en \ref{les-corps-algebriquement-clos-sont-c-prime-0} que les corps
+algébriquement clos sont même $C'_0$, c'est-à-dire que les propriétés
+$C_0$ et $C'_0$ sont en fait équivalentes.
+\item Tous les corps vérifient les deux propriétés ci-dessus (même
+pour $r=0$) si les polynômes intervenant sont de degré $1$,
+c'est-à-dire, sont des formes linéaires (car l'intersection des noyaux
+des $P_i$ est de dimension $> n-s \geq 0$).
+\end{itemize}
+\end{remarques2}
+
+\begin{definition2}\label{definition-forme-normique}
+On dit qu'un polynôme homogène $P \in k[X_1,\ldots,X_n]$ de degré $d$
+en $n$ variables est une \emph{forme normique d'ordre $r$} (et de
+degré $d$) lorsque le nombre $n$ de variables vaut exactement $d^r$ et
+que $P$ n'a pas de zéro non trivial (sur $k$).
+\end{definition2}
+
+Autrement dit, une forme normique d'ordre $r$ est un polynôme homogène
+dont le nombre de variables est le plus grand possible pour ne pas
+réfuter le fait que $k$ soit $C_r$. La notion de forme normique
+d'ordre $r$ n'est intéressante que lorsque $k$ est un corps $C_r$.
+
+La proposition suivante explique le choix du mot « normique » :
+
+\begin{proposition2}\label{extension-non-triviale-donne-forme-normique-d-ordre-1}
+Soit $K$ une extension de degré $d$ fini d'un corps $k$, et
+$a_1,\ldots,a_d$ une base de $K$ comme $k$-espace vectoriel. Alors la
+fonction $x_1,\ldots,x_d \mapsto \N_{K\bo k}(x_1 a_1 + \cdots + x_d
+a_d)$ est une forme normique d'ordre $1$ et de degré $d$ sur $k$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+La fonction $x_1,\ldots,x_d \mapsto \N_{K\bo k}(x_1 a_1 + \cdots + x_d
+a_d)$ s'écrit comme (la fonction associée à) un polynôme de degré $d$
+en $d$ variables en l'explicitant comme un déterminant. Si $c\in K$
+vérifie $\N_{K\bo k}(c) = 0$, alors $c=0$ : ceci prouve qu'on a bien
+affaire à une forme normique d'ordre $1$.
+\end{proof}
+
+Introduisons temporairement la notation suivante : si $f$ est un
+polynôme homogène de degré $d$ en $n$ variables et $g$ un polynôme
+homogène de degré $e$ en $m$ variables, on note $f(g|g|g|\ldots|g)$ le
+polynôme de degré $de$ en $mn$ variables (non spécifiées) obtenu en
+substituant à chacune des $n$ variables de $f$ le polynôme $g$
+appliqué à un nouveau jeu de $m$ variables (parmi $mn$ au total) ; la
+barre « $|$ » signifie donc qu'on introduit de nouvelles variables.
+
+Plus généralement, si $f$ est un polynôme homogène de degré $d$ en $n$
+variables et $g_1,\ldots,g_s$ (avec $s\leq n$) des polynômes homogènes
+chacun de degré $e$ en $m$ variables (communes), on note
+$f(g_1,\ldots,g_s\,|\, g_1,\ldots,g_s\,| \ldots |\,
+g_1,\ldots,g_s \,|\, 0,\ldots,0)$ le polynôme de degré $de$ en
+$m\lfloor \frac{n}{s}\rfloor$ variables (où $\lfloor\tiret\rfloor$
+désigne la fonction partie entière) obtenu en substituant à chacun des
+$\lfloor \frac{n}{s}\rfloor$ premiers blocs de $s$ variables de $f$
+les polynômes $g_1,\ldots,g_s$ appliqués à un nouveau jeu de $m$
+variables, et $0$ aux variables restantes (au nombre de
+$n-s\lfloor \frac{n}{s}\rfloor$, soit le reste de la division
+euclidienne de $n$ par $s$) : formellement, il s'agit donc du polynôme
+$f (g_1(Z_{1,1},\ldots,Z_{1,n}),\ldots,\penalty500
+g_s(Z_{1,1},\ldots,Z_{1,n}),\penalty-100
+g_1(Z_{2,1},\ldots,Z_{2,n}),\ldots,\penalty500 g_s(Z_{\lfloor
+\frac{n}{s}\rfloor,1},\ldots,Z_{\lfloor \frac{n}{s}\rfloor,n}), \penalty-100
+0,\ldots,0)$ en des variables $Z_{i,j}$ pour $1 \leq i \leq \lfloor
+\frac{n}{s}\rfloor$ et $1 \leq j \leq m$.
+
+Cette notation permet de démontrer très facilement le lemme suivant :
+\begin{lemme2}\label{grandissement-degres-formes-normiques}
+Soit $k$ un corps admettant une forme normique d'ordre $r$ et de degré
+$d>1$ (en $d^r$ variables). Alors $k$ admet des formes normiques
+d'ordre $r$ et de degrés arbitrairement grands.
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+Si $f$ est une forme normique d'ordre $r$ et de degré $d$, alors en
+définissant $f^{(1)} = f$ et par récurrence $f^{(\ell+1)} =
+f^{(\ell)}(f|f|\ldots|f)$, on voit que $f^{(\ell)}$ est un polynôme
+homogène de degré $d^\ell$ en $d^{r\ell}$ variables et il est clair
+(par récurrence sur $\ell$) que $f^{(\ell)}$ ne peut s'annuler que
+lorsque toutes ses variables s'annulent.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}\label{plusieurs-polynomes-meme-degre-sur-corps-c-r}
+Soit $k$ un corps $C_r$. Si $P_1,\ldots,P_s \in k[X_1,\ldots,X_n]$
+sont des polynômes homogènes \emph{de même degré} $d>0$ en $n$
+variables (communes) sur $k$, et que $n > s d^r$, alors
+$P_1,\ldots,P_s$ ont un zéro commun non trivial (dans $k$).
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Si $k$ est algébriquement clos, le résultat découle
+de \ref{les-corps-algebriquement-clos-sont-c-prime-0} ci-dessous.
+
+Sinon, la
+proposition \ref{extension-non-triviale-donne-forme-normique-d-ordre-1}
+assure que $k$ admet une forme normique $\Phi^{(0)}$ d'ordre $1$ et de
+degré disons $N_0 = D_0$. D'après le
+lemme \ref{grandissement-degres-formes-normiques}, on peut supposer
+$N_0 \geq s$ (on imposera éventuellement d'autres contraintes sur
+$N_0$ ci-dessous).
+
+Définissons alors par récurrence sur $\ell$ des polynômes homogènes
+$\Phi^{(\ell)}$ de degré $D_\ell$ en $N_\ell$ variables, en posant
+$\Phi^{(\ell+1)} = \Phi^{(\ell)}(P_1,\ldots,P_s\,|\,
+P_1,\ldots,P_s\,| \ldots |\, P_1,\ldots,P_s \,|\, 0,\ldots,0)$ (avec
+la notation expliquée plus haut). Ainsi, $N_{\ell+1} =
+n\lfloor\frac{N_\ell}{s}\rfloor$ et $D_\ell = D_0 d^\ell$. Si l'on
+parvient à prouver que $N_\ell > D_\ell^r$ pour un certain $\ell$, le
+fait que $k$ soit $C_r$ entraînera que $\Phi^{(\ell)}$ a un zéro non
+trivial, or il est clair par récurrence sur $\ell$ que ceci entraîne
+que $P_1,\ldots,P_s$ ont un zéro commun non trivial.
+
+Il suffit donc pour conclure d'établir, à partir de l'hypothèse $n > s
+d^r$, que $\frac{N_\ell}{D_\ell^r}$ tend vers $+\infty$
+(quand $\ell\to+\infty$). Posons $\alpha = \frac{n}{sd^r}$, de sorte
+que $\alpha>1$. Remarquons d'abord que la suite $N_\ell$ est
+strictement croissante, au moins si $N_0$ est choisi assez grand (par
+exemple, si $N_\ell > \frac{n}{\frac{n}{s}-1}$, alors $\lfloor
+x\rfloor > x-1$ donne $N_{\ell+1} - N_\ell > (\frac{n}{s}-1) N_\ell -
+n > 0$, donc en choisissant $N_0 > \frac{n}{\frac{n}{s}-1}$ on a
+$N_\ell$ strictement croissante et vérifiant toujours cette égalité) ;
+puisqu'il s'agit d'une suite d'entiers naturels, on a $N_\ell \to
++\infty$. Posant $u_\ell = \frac{N_\ell}{D_\ell^r}
+= \frac{N_\ell}{D_0 d^{r \ell}}$, on a donc montré $d^{r\ell}
+u_\ell \to +\infty$. Or $u_{\ell+1} > \alpha (u_\ell - \frac{s}{D_0
+d^{r\ell}})$ (toujours en appliquant $\lfloor x\rfloor > x-1$), donc
+$u_{\ell+1} > \alpha (1- \frac{s}{D_0 d^{r\ell} u_\ell}) u_\ell$ ; et
+on vient de voir que le terme entre parenthèses tend vers $1$, de
+sorte que si on choisit $1<\alpha'<\alpha$, on a $u_{\ell+1} > \alpha'
+u_\ell$ à partir d'un certain rang. Ceci montre $u_\ell \to +\infty$
+comme souhaité.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}\label{extension-finie-de-corps-c-r}
+Soit $k$ un corps $C_r$ (resp. $C'_r$), et $K$ une extension finie
+de $k$. Alors $K$ est un corps $C_r$ (resp. $C'_r$).
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Soit $t$ le degré de $K$ sur $k$, et $a_1,\ldots,a_t$ une base de $K$
+comme $k$-espace vectoriel.
+
+Considérons d'abord le cas $C_r$ : soit $P \in K[X_1,\ldots,X_n]$ un
+polynôme homogène de degré $d$ en $n > d^r$ variables. On définit $t$
+polynômes $Q_1,\ldots,Q_t$ homogènes à coefficients dans $k$, tous de
+degré $d$, en $nt$ variables communes $X_{j,v}$ (pour $j$ allant de
+$1$ à $n$ et $v$ de $1$ à $t$), par $P(x_{1,1} a_1 + \cdots + x_{1,d}
+a_d,\,\ldots\penalty-100\,, x_{n,1} a_1 + \cdots + x_{n,d} a_d) =
+Q_1(x_{1,1},\ldots,x_{n,d}) \, a_1 + \cdots +
+Q_t(x_{1,1},\ldots,x_{n,d}) \, a_t$. Puisque $nt > d^r\,t$, la
+proposition \ref{plusieurs-polynomes-meme-degre-sur-corps-c-r}
+garantit que les $Q_v$ ont un zéro commun non trivial, qui fournit un
+zéro non trivial de $P$.
+
+La démonstration dans le cas $C'_r$ est semblable en utilisant
+directement la définition : soient $P_1,\ldots,P_s \in
+K[X_1,\ldots,X_n]$ des polynômes homogènes de degrés $d_1,\ldots,d_s$
+en $n > d_1^r + \cdots + d_s^r$ variables. On définit $st$ polynômes
+$Q_{1,1},\ldots,Q_{s,t}$ homogènes à coefficients dans $k$, avec
+$Q_{i,v}$ de degré $d_i$, en $nt$ variables communes $X_{j,v}$ (pour
+$j$ allant de $1$ à $n$ et $v$ de $1$ à $t$), par $P_i(x_{1,1} a_1
++ \cdots + x_{1,d} a_d,\,\ldots\penalty-100\,, x_{n,1} a_1 + \cdots +
+x_{n,d} a_d) = Q_{i,1}(x_{1,1},\ldots,x_{n,d}) \, a_1 + \cdots +
+Q_{i,t}(x_{1,1},\ldots,x_{n,d}) \, a_t$. Puisque $nt > \sum_i
+d_i^r\,t$, la définition d'un corps $C'_r$ garantit que les $Q_{i,v}$
+ont un zéro commun non trivial, qui fournit un zéro non trivial
+des $P_i$.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}\label{extension-algebrique-de-corps-c-r}
+Soit $k$ un corps $C_r$ (resp. $C'_r$), et $K$ une extension
+algébrique de $k$. Alors $K$ est un corps $C_r$ (resp. $C'_r$).
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Soit $P \in K[X_1,\ldots,X_n]$ un polynôme homogène de degré $d>0$ en
+$n > d^r$ variables. Soit $K_0$ le sous-corps de $K$ engendré par $k$
+et par les coefficients de $P$ : étant engendré par un nombre fini
+d'éléments algébriques sur $k$, il est de degré fini sur lui
+(cf. \ref{Alg}{multiplicativité degré}). La
+proposition \ref{extension-finie-de-corps-c-r} s'applique donc, et il
+existe $x_1,\ldots,x_n$ dans $K_0$, et \textit{a fortiori} dans $K$,
+tels que $P(x_1,\ldots,x_n) = 0$. Le cas $C'_r$ est tout à fait
+analogue.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}\label{plusieurs-polynomes-degres-differents-sur-corps-c-r}
+Soit $k$ un corps $C_r$. On fait l'hypothèse qu'il existe sur $k$ des
+formes normiques d'ordre $r$ et de tout degré $d>0$. Si
+$P_1,\ldots,P_s \in k[X_1,\ldots,X_n]$ sont des polynômes homogènes de
+degrés $d_1,\ldots,d_s>0$ en $n$ variables (communes) sur $k$, et que
+$n > d_1^r + \cdots + d_s^r$, alors $P_1,\ldots,P_s$ ont un zéro
+commun non trivial (dans $k$) : autrement dit, $k$ est $C'_r$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Dans ce qui suit, la variable $i$ parcourra les entiers de $1$ à $s$,
+la variable $j$ les entiers de $1$ à $n$, et les variables $u_i$ (pour
+$1\leq i \leq s$) les entiers de $1$ à $d_i^r$.
+
+Soit $D = d_1 d_2 \cdots d_s$, et pour chaque $i$ soit $f_i$ une forme
+normique d'ordre $r$ et de degré $D/d_i$ donc en $D^r/d_i^r$
+variables. On considère d'abord, pour chaque $i$, des variables
+$Z_{i,j,u_1,\ldots,\widehat{u_i},\ldots,u_s}$ (où $\widehat{u_i}$
+signifie que l'indice $u_i$ a été omis) au nombre de $n D^r/d_i^r$ et,
+en ces variables, le polynôme homogène $g_i = f_i(P_i|P_i|\ldots|P_i)$
+de degré $D$ : on rappelle qu'il est explicitement défini comme
+$g_i(Z_{i,\ldots}) = f_i(p_{i,\ldots})$ où
+$p_{i,u_1,\ldots,\widehat{u_i},\ldots,u_s}$ s'obtient en appliquant
+$P_i$ aux $n$ variables $Z_{i,j,u_1,\ldots,\widehat{u_i},\ldots,u_s}$
+(ici seul $j$ varie), et où $f_i$ est ensuite appliqué aux $D^r/d_i^r$
+variables $p_{i,\ldots}$.
+
+Soient maintenant $n D^r$ nouvelles variables $Z'_{j,u_1,\ldots,u_s}$
+(cette fois l'indice $u_i$ est présent mais l'indice $i$ ne l'est
+plus), et pour chaque $i$ soient $h_{i,u_i}$ les $d_i^r$ polynômes
+obtenus en appliquant $g_i$ aux $D^r/d_i^r$ variables
+$Z_{i,j,u_1,\ldots,\widehat{u_i},\ldots,u_s} = Z'_{j,u_1,\ldots,u_s}$
+(la valeur de $u_i$ est précisée dans l'indice sur $h_{i,u_i}$ et
+prend $d_i^r$ valeurs possibles). On obtient ainsi au total
+$\sum_{i=1}^s d_i^r$ polynômes $h_{i,u_i}$, tous de degré $D$, en $n
+D^r$ variables communes $Z'_{\ldots}$. Puisque $n D^r > (\sum_i
+d_i^r) D^r$, la
+proposition \ref{plusieurs-polynomes-meme-degre-sur-corps-c-r} assure
+que les $h_{i,u_i}$ ont un zéro commun non trivial
+$z'_{j,u_1,\ldots,u_s}$. En fixant arbitrairement les valeurs
+$u_1,\ldots,u_s$, les $n$ valeurs $z'_{j,u_1,\ldots,u_s}$ définissent
+un zéro commun des $g_i$ donc des $P_i$, et il existe $u_1,\ldots,u_s$
+tels que toutes les valeurs $z'_{j,u_1,\ldots,u_s}$ ne soient pas
+simultanément nulles. Ceci fournit le zéro commun recherché
+des $P_i$.
+\end{proof}
+
+\begin{corollaire2}
+Un corps $C_1$ admettant une extension algébrique de chaque degré
+$d>0$ est $C'_1$.
+\end{corollaire2}
+\begin{proof}
+Cela découle immédiatement
+de \ref{plusieurs-polynomes-degres-differents-sur-corps-c-r}, compte
+tenu de la
+proposition \ref{extension-non-triviale-donne-forme-normique-d-ordre-1}.
+\end{proof}
+
+\subsubsection{Corps fortement $C_r$}\label{corps-fortement-c-r} Dans
+tout ce qui précède, nous avons utilisé les polynômes homogènes de
+degré $>0$. Si on remplace ceux-ci par les polynômes sans terme
+constant, on obtient une théorie analogue à celle des corps $C_r$,
+celle des corps \emph{fortement} $C_r$ :
+
+\begin{definition2}\label{definition-corps-fortement-c-r}
+Un corps $k$ est dit fortement $C_r$ (resp. fortement $C'_r$)
+lorsqu'il vérifie la propriété suivante : si $P \in k[X_1,\ldots,X_n]$
+est un polynôme de degré au plus $d$ sans terme constant en $n$
+variables (resp. si $P_1,\ldots,P_s \in k[X_1,\ldots,X_n]$ sont des
+polynômes de degrés au plus respectivement $d_1,\ldots,d_s$ sans
+termes constants en $n$ variables communes) et que $n > d^r$ (resp. $n
+> d_1^r + \cdots + d_s^r$), alors $P$ a un zéro non trivial
+(resp. $P_1,\ldots,P_s$ ont un zéro commun non trivial).
+
+On dit qu'un polynôme sans terme constant $P \in k[X_1,\ldots,X_n]$ de
+degré $d$ (\XXX exactement ?) en $n$ variables est une \emph{faible
+forme normique d'ordre $r$} (et de degré $d$) lorsque le nombre $n$ de
+variables vaut exactement $d^r$ et que $P$ n'a pas de zéro non
+trivial.
+\end{definition2}
+
+Les résultats suivants admettent des démonstrations rigoureusement
+parallèles dans la théorie des corps fortement $C_r$ que dans celle
+des corps $C_r$, et nous nous contentons donc de les énoncer :
+
+\begin{proposition2}\label{plusieurs-polynomes-meme-degre-sur-corps-fortement-c-r}
+Soit $k$ un corps fortement $C_r$. Si $P_1,\ldots,P_s \in
+k[X_1,\ldots,X_n]$ sont des polynômes sans termes constants de degrés
+majorés par un \emph{même} $d$ en $n$ variables communes sur $k$, et
+si $n > s d^r$, alors $P_1,\ldots,P_s$ ont un zéro commun non trivial
+(dans $k$).
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Cf. \ref{plusieurs-polynomes-meme-degre-sur-corps-c-r}.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}
+Soit $k$ un corps fortement $C_r$ (resp. fortement $C'_r$), et $K$ une
+extension finie de $k$. Alors $K$ est un corps fortement $C_r$
+(resp. fortement $C'_r$). (\XXX Ce résultat est peut-être faux ---
+Lang est obscur dans sa façon de dire les choses --- mais je ne
+comprends pas où la démonstration échoue. À vérifier soigneusement,
+donc.)
+\end{proposition2}
+
+\begin{proposition2}\label{plusieurs-polynomes-degres-differents-sur-corps-fortement-c-r}
+Soit $k$ un corps fortement $C_r$. On fait l'hypothèse qu'il existe
+sur $k$ des faibles formes normiques d'ordre $r$ et de tout degré
+$d>0$. Si $P_1,\ldots,P_s \in k[X_1,\ldots,X_n]$ sont des polynômes
+sans termes constants de degrés au plus $d_1,\ldots,d_s$ en $n$
+variables (communes) sur $k$, et si $n > d_1^r + \cdots + d_s^r$,
+alors $P_1,\ldots,P_s$ ont un zéro commun non trivial (dans $k$) :
+autrement dit, $k$ est fortement $C'_r$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Cf. \ref{plusieurs-polynomes-degres-differents-sur-corps-c-r}.
+\end{proof}
+
+\begin{corollaire2}
+Un corps fortement $C_1$ admettant une extension algébrique de chaque
+degré $d>0$ est fortement $C'_1$.
+\end{corollaire2}
+
+\subsection{Les corps algébriquement clos}
+
+Nous montrons à présent que les corps algébriquement clos sont $C'_0$
+(et même fortement $C'_0$ \XXX), c'est-à-dire l'énoncé suivant :
+
+\begin{proposition2}\label{les-corps-algebriquement-clos-sont-c-prime-0}
+Si $k$ est algébriquement clos et si $P_1,\ldots,P_s \in
+k[X_1,\ldots,X_n]$ sont des polynômes homogènes de degrés non nuls (ou
+simplement sans termes constants \XXX) en $n$ variables (communes)
+sur $k$, et que $n > s$, alors $P_1,\ldots,P_s$ ont un zéro commun non
+trivial (dans $k$).
+\end{proposition2}
+
+Pour cela, on admettra provisoirement les deux lemmes suivants, dont
+la démonstration utilise des résultats qui seront démontrés
+ultérieurement (le Nullstellensatz et la théorie du degré de transcendance) :
+
+\begin{lemme2}\label{nullstellensatz-faible-provisoire}
+Si $k$ est algébriquement clos et si $P_1,\ldots,P_s \in
+k[X_1,\ldots,X_n]$ sans termes constants sont tels que
+$P_1,\ldots,P_s$ n'aient pas de zéro commun non trivial (dans $k$),
+alors pour tout $1 \leq j \leq n$ il existe $r_j$ tel que $X_j^{r_j}$
+appartienne à l'idéal de $k[X_1,\ldots,X_n]$ engendré par
+$P_1,\ldots,P_s$.
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+L'hypothèse que $P_1,\ldots,P_s$ n'aient pas de zéro commun non
+trivial donne $x_j = 0$ pour tout $(x_1,\ldots,x_s)$ tel que
+$P_i(x_1,\ldots,x_s) = 0$ pour tout $i$. Le Nullstellensatz \XXX{}
+permet alors de conclure que $X_j$ est dans le radical de l'idéal
+engendré par les $P_1,\ldots,P_s$, c'est-à-dire précisément qu'il
+existe $r_j$ tel que $X_j^{r_j}$ appartienne à cet idéal.
+\end{proof}
+
+\begin{lemme2}\label{degre-transcendance-enonce-provisoire}
+Si $k$ est un corps et si $P_1,\ldots,P_s \in k(X_1,\ldots,X_n)$ sont
+tels que $k(X_1,\ldots,X_n)$ soit un $k(P_1,\ldots,P_s)$-espace
+vectoriel de dimension finie, alors $s \geq n$.
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+L'hypothèse entraîne \XXX{} que $\degtr_k k(P_1,\ldots,P_s) = \degtr_k
+k(X_1,\ldots,X_n) = n$. On en déduit $s \geq n$.
+\end{proof}
+
+\begin{lemme2}\label{dimension-enonce-provisoire}
+Si $k$ est un corps et si $P_1,\ldots,P_s \in k[X_1,\ldots,X_n]$ sont
+tels que $k[X_1,\ldots,X_n]$ soit un $k[P_1,\ldots,P_s]$-module de
+type fini, alors $s \geq n$.
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+Appelons $A = k[P_1,\ldots,P_s]$ et $K = k(P_1,\ldots,P_s)$ le
+sous-anneau de $k[X_1,\ldots,X_n]$ et le sous-corps de
+$k(X_1,\ldots,X_n)$ respectivement engendrés par les $P_i$.
+
+L'hypothèse que $k[X_1,\ldots,X_n]$ soit engendré linéairement sur $A$
+par un nombre fini d'éléments assure à plus forte raison que ces mêmes
+éléments engendrent $K[X_1,\ldots,X_n]$ linéairement sur $K$ (où
+$K[X_1,\ldots,X_n]$ désigne le sous-anneau de $k(X_1,\ldots,X_n)$
+engendrée par $K$ et par $X_1,\ldots,X_n$). Autrement dit,
+$K[X_1,\ldots,X_n]$ est un $K$-espace vectoriel de dimension finie.
+Or c'est également un anneau intègre (puisque c'est un sous-anneau du
+corps $k(X_1,\ldots,X_n)$) : et un anneau intègre de dimension finie
+sur un corps est lui-même un corps (\refext{Alg}{fini integre=corps}). Ainsi,
+$K[X_1,\ldots,X_n]$ est le corps $K(X_1,\ldots,X_n)$, qui coïncide
+donc avec $k(X_1,\ldots,X_n)$ (étant contenu dedans). On a donc
+prouvé que $k(X_1,\ldots,X_n)$ est un $K$-espace vectoriel de
+dimension finie. Le lemme \ref{degre-transcendance-enonce-provisoire}
+donne la conclusion souhaitée.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Démonstration de la proposition \ref{les-corps-algebriquement-clos-sont-c-prime-0}]
+Posons $A = k[P_1,\ldots,P_s]$.
+
+Le lemme \ref{nullstellensatz-faible-provisoire} assure que pour
+chaque $j$ il existe $r_j$ tel que $X_j^{r_j}$ appartienne à l'idéal
+engendré par $P_1,\ldots,P_s$ dans $k[X_1,\ldots,X_n]$. Si on appelle
+$r$ la somme des $r_j$, alors tout monôme $q$ de degré total au moins
+$r$ comporte nécessairement un facteur $X_j^{r_j}$ pour un certain
+$j$, et appartient donc à l'idéal engendré par les $P_i$, c'est-à-dire
+s'écrit $q = h_1 P_1 + \cdots + h_s P_s$ pour certains
+$h_1,\ldots,h_s \in k[X_1,\ldots,X_n]$. Dans une telle écriture, si
+on remplace chaque $h_i$ par sa composante homogène de degré total
+$\deg q - \deg P_j$ (définie comme la somme des monômes ayant ce degré
+total), alors on a toujours $q = h_1 P_1 + \cdots + h_s P_s$ (puisque
+les monômes de degré $\deg q$ sont inchangés), et on a $\deg h_i
+< \deg q$. Cette égalité peut se voir comme $q = g(X_1,\ldots,X_n)$
+où $g \in A[T_1,\ldots,T_n]$ et $\deg g < \deg q$ (où par $\deg g$ on
+désigne son degré total en les indéterminées $T_1,\ldots,T_n$).
+
+On peut itérer ce procédé : tant qu'il subsiste dans $g$ des monômes
+de degré $\geq r$, on peut les réécrire comme combinaison linéaire
+sur $A$ des monômes de degré strictement plus petit qu'eux, et en
+itérant ce processus (qui termine vu que le degré de $g$ décroît
+strictement à chaque étape tant qu'il est au moins égal à $r$), on
+finit par arriver à $\deg g < r$. On a donc prouvé que $q =
+g(X_1,\ldots,X_n)$ où $g \in A[T_1,\ldots,T_n]$ et $\deg g < r$.
+
+On vient de voir que tout monôme en les $X_1,\ldots,X_n$ s'écrit comme
+combinaison linéaire à coefficients dans $A$ des monômes de degré
+$<r$. Comme il n'y a qu'un nombre fini de monômes de degré $<r$, le
+$A$-module $k[X_1,\ldots,X_n]$ est de type fini. Le
+lemme \ref{dimension-enonce-provisoire} permet de conclure.
+\end{proof}
+
+
+\section{Polynômes sur les corps finis}
+
+\subsection{Le théorème de Chevalley-Warning}
+
+Les corps finis possèdent la propriété qu'un polynôme homogène dont le
+degré est strictement plus grand que le nombre de variables a un zéro
+non trivial :
+\begin{theoreme2}[Chevalley-Warning]\label{theoreme-chevalley-warning}
+Soit $P \in \FF[X_1,\ldots,X_n]$ un polynôme homogène (ou même
+seulement sans terme constant) de degré $d>0$ en $n$ variables sur un
+corps fini $\FF$, et on suppose $n > d$. Alors $P$ a un zéro non
+trivial, c'est-à-dire qu'il existe $x_1,\ldots,x_n$ dans $\FF$, non
+tous nuls, tels que $P(x_1,\ldots,x_n) = 0$.
+
+Autrement dit : les corps finis sont $C_1$ (et même fortement $C_1$).
+\end{theoreme2}
+\begin{proof}
+Soit $q = \#\FF$, de sorte que $\FF = \FF_q$, et soit $p$ la
+caractéristique de $\FF$.
+
+Considérons la somme $S = \sum_{(x_0,\ldots,x_n) \in \FF^{n+1}}
+P(x_0,\ldots,x_n)^{q-1}$. Puisque $t^{q-1}$ (pour $t \in \FF$) vaut
+$0$ ou $1$ selon que $t$ est nul ou non, cette somme est égale
+(modulo $p$) au nombre de $(x_0,\ldots,x_n) \in \FF^{n+1}$ tels que
+$P(x_0,\ldots,x_n) \neq 0$. Si on montre que $S = 0$ (dans $\FF$),
+cela prouvera que ce nombre est multiple de $p$, donc que le nombre de
+$(x_0,\ldots,x_n)$ tels que $P(x_0,\ldots,x_n) = 0$ est lui aussi
+multiple de $p$ ; comme $P(0,\ldots,0) = 0$, ceci montrera l'existence
+de $(x_0,\ldots,x_n) \neq 0$ tels que $P(x_0,\ldots,x_n) = 0$, la
+conclusion souhaitée.
+
+Le polynôme $P(X_0,\ldots,X_n)^{q-1}$ est de degré $d(q-1)$. Pour
+montrer que $S=0$ il suffit de montrer que
+$\sum_{(x_0,\ldots,x_n) \in \FF^{n+1}} X_0^{s_0} \cdots X_n^{s_n} = 0$
+pour $c_{s_0,\ldots,s_n}\, X_0^{s_0} \cdots X_n^{s_n}$ (avec
+$s_0+\cdots+s_n \leq d(q-1)$) parcourant les monômes apparaissant dans
+ce polynôme. Or ceci s'écrit encore $(\sum_{x\in\FF} x^{s_0})\cdots
+(\sum_{x\in\FF} x^{s_n})$ : il suffit de montrer qu'un des facteurs
+est nul. Mais $s_0+\cdots+s_n \leq d(q-1) < (n+1)(q-1)$ entraîne
+qu'un des $s_i$ doit être $<q-1$, auquel cas $\sum_{x\in\FF} x^{s_i} =
+0$ d'après le lemme \refext{Fin}{somme-x-s-dans-f-q}.
+\end{proof}
+
+La borne fournie par le théorème \ref{theoreme-chevalley-warning} est
+optimale :
+\begin{proposition2}\label{existence-forme-normique-corps-finis}
+Soit $\FF$ un corps fini. Alors, pour tout $d$, il existe un polynôme
+homogène de degré $d$ en $d$ variables ne s'annulant qu'en
+$(0,\ldots,0) \in \FF^d$, c'est-à-dire une forme normique d'ordre $1$
+et de degré $d$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+On sait que $\FF$ a une extension $\FF'$ de degré $d$
+(cf. \refext{Fin}{existence-polynome-irreductible-tout-degre-corps-finis}) :
+on applique
+alors \ref{extension-non-triviale-donne-forme-normique-d-ordre-1}.
+\end{proof}
+
+\begin{corollaire2}
+Soient $P_1,\ldots,P_s \in \FF[X_1,\ldots,X_n]$ des polynômes
+homogènes de degrés respectivement $d_1,\ldots,d_s>0$ en $n$ variables
+sur un corps fini $\FF$, et on suppose $n > d_1 + \cdots + d_s$.
+Alors $P_1,\ldots,P_s$ ont un zéro non trivial commun.
+
+Autrement dit, les corps finis sont (fortement ? \XXX) $C'_1$.
+\end{corollaire2}
+\begin{proof}
+Cela découle immédiatement
+de \ref{plusieurs-polynomes-degres-differents-sur-corps-c-r}, compte
+tenu de la proposition \ref{existence-forme-normique-corps-finis}.
+\end{proof}
+
+\subsection{Géométries finies et coniques}
+
+Rappelons d'abord quelques généralités sur la géométrie projective
+plane (dans un premier temps, le corps $\FF$ sera quelconque).
+
+\begin{definition2}
+Si $\FF$ est un corps, on appelle \emph{plan projectif} sur $\FF$ et
+on note $\PP^2(\FF)$ la donnée combinatoire suivante :
+\begin{itemize}
+\item les \emph{points} de $\PP^2(\FF)$ sont les triplets $(x,y,z)$
+d'éléments de $\FF$ modulo la relation d'équivalence $(x,y,z) \sim
+(x',y',z')$ lorsqu'il existe $t \in \FF^\times$ tel que $x'=tx, y'=ty,
+z'=tz$ (on note parfois $(x:y:z)$ la classe d'équivalence de $(x,y,z)$
+pour $\sim$, et on dit que $x,y,z$ sont des coordonnés projectives, ou
+homogènes, du point en question) ;
+\item les \emph{droites} de $\PP^2(\FF)$ sont des données (identiques)
+de triplets $(u,v,z)$ d'éléments de $\FF$ modulo la relation
+d'équivalence $(u,v,w) \sim (u',v',w')$ lorsqu'il existe
+$t \in \FF^\times$ tel que $u'=tu, v'=tv, w'=tw$ (la classe
+d'équivalence de $(u,v,w)$ sera souvent appelée « droite d'équation
+$uX+vY+wZ=0$ ») ;
+\item la relation d'\emph{incidence} relie un point $(x:y:z)$ à une
+droite définie par le triplet $(u,v,w)$ lorsque $ux+vy+wz=0$ (on dit
+souvent que le point est \emph{sur} la droite, ou que cette
+dernière \emph{passe} par le point).
+\end{itemize}
+On dit que des points $P_i$ de $\PP^2(\FF)$ sont \emph{alignés} (sur
+une droite $d$) lorsque les $P_i$ sont tous incidents à $d$ ; on dit
+que des droites $d_i$ de $\PP^2(\FF)$ sont \emph{concourantes} (en un
+point $P$) lorsque les $d_i$ sont toutes incidentes à $P$ (on dit
+encore que $P$ est l'intersection des droites $d_i$).
+\end{definition2}
+
+\begin{remarques2}
+\begin{itemize}
+\item Le plan projectif $\PP^2(\FF)$ ainsi défini est évidemment isomorphe
+(en tant qu'objet combinatoire, c'est-à-dire qu'il existe une
+bijection entre points et points et entre droites et droites
+préservant la relation d'incidence) avec l'espace projectif $\PP(E)$
+sur un quelconque espace vectoriel $E$ de dimension $3$ sur $\FF$, les
+points de $\PP(E)$ étant définis comme les droites vectorielles
+(sous-espaces vectoriels de dimension $1$) de $E$ et les droites de
+$\PP(E)$ comme les plans vectoriels (sous-espaces vectoriels de
+dimension $2$) de $E$, la relation d'incidence étant donnée par
+l'inclusion d'une droite vectorielle dans un plan vectoriel. Plus
+précisément, si $e_x,e_y,e_z$ est une base de $E$, on peut identifier
+le point $(x:y:z)$ de $\PP^2(\FF)$ avec la droite vectorielle
+engendrée par $x e_x + y e_y + z e_z$ dans $E$, et la droite
+d'équation $ux+vy+wz = 0$ de $\PP^2(\FF)$ avec le plan vectoriel noyau
+de la forme linéaire $x e_x + y e_y + z e_z \mapsto ux+vy+wz$.
+\item De cette remarque il résulte que toute bijection linéaire de
+$\FF^3$ sur lui-même définit un automorphisme de $\PP^2(\FF)$
+(c'est-à-dire une bijection de points sur points et droites sur
+droites préservant la relation d'incidence) : on les
+appelle \emph{transformations projectives} sur $\FF$ (planes, ou de
+$\PP^2(\FF)$). Ce ne sont généralement pas les seules : si $\FF$ est
+un corps fini ayant $q$ éléments, alors $(x:y:z) \mapsto
+(x^q:y^q:z^q)$ est un automorphisme de $\PP^2(\FF)$ qui n'est pas une
+transformation projective sur $\FF$.
+\item Lorsque $P,Q,R$ sont trois points de $\PP^2(\FF)$ non alignés,
+il existe une transformation projective envoyant $P,Q,R$ sur
+$(1:0:0)$, $(0:1:0)$ et $(0:0:1)$ respectivement (en effet, des
+coordonnées projectives quelconques de $P,Q,R$ définissent une base
+de $\FF^3$, et on peut la ramener à la base canonique par une
+bijection linéaire). De façon moins évidente, si $P,Q,R,S$ sont
+quatre points dont trois quelconques ne sont jamais alignés, on peut
+les ramener à $(1:0:0)$, $(0:1:0)$, $(0:0:1)$ et $(1:1:1)$
+respectivement (en effet, une fois ramenés $P,Q,R$ aux coordonnées
+prescrites, si des coordonnées projectives de $S$ sont
+$(x_S:y_S:z_S)$, toutes non nulles par l'hypothèse sur les
+alignements, on peut appliquer la transformation projective
+$(x:y:z) \mapsto (x/x_S : y/y_S : z/z_S)$ donnée par une application
+linéaire diagonale).
+\item Les droites de $\PP(E)$, si $E$ est un espace vectoriel de
+dimension $3$, peuvent se voir comme les points de $\PP(E^\vee)$ où
+$E^\vee$ est l'espace vectoriel dual de $E$ (en voyant une droite de
+$\PP(E)$ comme un plan vectoriel de $E$ ou comme la droite vectorielle
+des formes linéaires ayant ce plan pour noyau, ce qui définit un point
+de $\PP(E^\vee)$), et de même les points de $\PP(E^\vee)$ peuvent se
+voir comme des droites de $\PP(E)$ : le fait que cette identification
+préserve la relation d'incidence s'appelle \emph{principe de dualité
+projective}. Lorsque $E$ est $\FF^3$, espace vectoriel pour lequel on
+dispose d'un isomorphisme standard avec son dual, la dualité
+projective correspondante envoie le point $(u:v:w)$ sur la droite
+d'équation $uX+vY+wZ = 0$.
+\item Il résulte par exemple des formules de Cramer que
+la droite passant par les points $(x_1:y_1:z_1)$ et $(x_2:y_2:z_2)$
+peut être définie par l'équation $ux+vy+wz=0$ avec $u = y_1z_2 -
+z_1y_2$, $v = z_1x_2 - x_1z_2$ et $w = x_1y_2 - y_1x_2$ (la condition
+que ces trois nombres ne soient pas tous nuls étant justement celle
+que les points donnés ne soient pas confondus). La condition que
+trois points $(x_1:y_1:z_1)$, $(x_2:y_2:z_2)$ et $(x_3:y_3:z_3)$
+soient alignés équivaut au fait que le déterminant
+$\left|\begin{matrix}x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2\\
+x_3&y_3&z_3\\\end{matrix}\right|$ soit nul. On a des formules duales
+pour l'intersection de deux droites distinctes et la concurrence de
+trois droites.
+\item Si $\FF$ est un corps fini ayant $q$ éléments, le nombre
+de points de $\PP^2(\FF)$ est $q^2+q+1$, et c'est aussi le nombre de
+droites. Le nombre de points sur une droite quelconque est $q+1$, et
+c'est aussi le nombre de droites par un point quelconque.
+\end{itemize}
+\end{remarques2}
+
+\begin{proposition2}
+Les points et droites de $\PP^2(\FF)$ vérifient les axiomes suivants :
+\begin{enumerate}
+\item Il existe une unique droite passant par deux points distincts donnés.
+\item Il existe un unique point d'intersection à deux droites
+distinctes données.
+\item Il existe au moins quatre points tels que trois quelconques
+d'entre eux ne soient jamais alignés.
+\item Si $A,B,C$ sont trois points alignés, et $A',B',C'$ trois autres
+points alignés, et si on note $A''$ (resp. $B''$, resp. $C''$)
+l'intersection des droites $BC'$ et $CB'$ (resp. $AC'$ et $CA'$,
+resp. $AB'$ et $BA'$) --- ce qui sous-entend que $B$ est distinct de
+$C'$ et $C$ de $B'$ et que la droite $BC'$ est distincte de la droite
+$CB'$ (resp...) --- alors les points $A'',B'',C''$ sont
+alignés. \emph{(Théorème de Pappus.)}
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+La première affirmation est claire, ainsi que la seconde (qui en est
+la duale). La troisième est mise en évidence par les points
+$(1:0:0)$, $(0:1:0)$, $(0:0:1)$ et $(1:1:1)$. Reste à montrer le
+théorème de Pappus.
+
+Les droites $ABC$ et $A'B'C'$ ne peuvent pas être identiques : on peut
+donc supposer, pour simplfier les calculs, que la première s'écrit
+$x=0$ et la seconde $y=0$. Si l'un des points $A',B',C'$ est situé
+sur la droite $ABC$, ou un des points $A,B,C$ sur la droite $A'B'C'$,
+alors le théorème est clair (si $A'$ est sur $ABC$ alors
+$B''=C''=A$) : on peut donc supposer ce cas exclu. Écrivant alors
+$A=(0:1:a)$, $B=(0:1:b)$, $C=(0:1:c)$ et $A'=(1:0:a')$, $B'=(1:0:b')$,
+$C'=(1:0:c')$, on obtient les coordonnées $A''=(b-c:b'-c':bb'-cc')$,
+$B''=(c-a:c'-a':cc'-aa')$ et $C''=(a-b:a'-b':aa'-bb')$. Le théorème
+de Pappus énonce alors l'annulation du déterminant
+\[
+\left|
+\begin{matrix}
+b-c&b'-c'&bb'-cc'\\
+c-a&c'-a'&cc'-aa'\\
+a-b&a'-b'&aa'-bb'\\
+\end{matrix}
+\right|
+\]
+--- qui se vérifie aisément.
+\end{proof}
+
+\begin{definition2}
+On appelle \emph{conique} d'équation $Q=0$ de $\PP^2(\FF)$ la donnée
+d'une certaine forme quadratique non nulle $Q$ sur $\FF^3$
+(c'est-à-dire un polynôme homogène de degré $2$), où on identifie les
+coniques d'équation $Q=0$ et $cQ=0$ pour $c \in \FF^\times$ ; on
+appelle ensemble des points de la conique (noté $C(\FF)$) l'ensemble
+des points $(x:y:z)$ vérifiant $Q(x,y,z) = 0$ ; la conique d'équation
+$Q=0$ est dite \emph{intègre} lorsque le polynôme $Q$ (vu dans
+$\FF[X,Y,Z]$) est irréductible, et \emph{géométriquement intègre}
+(ou \emph{lisse}, cf. \ref{coniques-lisses} plus bas) lorsque $Q$ est
+irréductible vu sur la clôture algébrique de $\FF$.
+
+Si $(x_0:y_0:z_0)$ est un point de la conique $Q=0$, on dit qu'il
+s'agit d'un point \emph{lisse} (ou \emph{régulier}) sur celle-ci
+lorsque les trois quantités $u = \frac{\partial Q}{\partial
+x}(x_0,y_0,z_0)$, $v = \frac{\partial Q}{\partial y}(x_0,y_0,z_0)$ et
+$w = \frac{\partial Q}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)$ ne sont pas toutes
+nulles : dans ce cas, la droite d'équation $ux+vy+wz = 0$ est
+appelée \emph{droite tangente} à la conique par le point considéré.
+(Si le point $(x_0:y_0:z_0)$ n'est pas lisse, toute droite pourra être
+considérée comme tangente.)
+\end{definition2}
+
+En général, la donnée de l'ensemble de ses points ne détermine pas la
+conique, c'est-à-dire la forme quadratique $Q$ même à multiplication
+près par une constante (ainsi, sur $\RR$, les coniques d'équation $X^2
++ Y^2 + Z^2 = 0$ et $X^2 + Y^2 + 2 Z^2 = 0$ ne sont pas égales bien
+qu'elles aient le même ensemble de points, à savoir l'ensemble vide).
+
+\begin{proposition2}\label{coniques-lisses}
+Tout point d'une conique géométriquement intègre est lisse sur
+celle-ci.
+
+Réciproquement, si tout point d'une conique est lisse sur un corps
+algébriquement clos, alors cette conique est (géométriquement)
+intègre.
+
+S'il existe un point $P$ d'une conique $C$ tel que $C$ soit lisse en
+$C$ et que la droite $d$ tangente à $C$ en $P$ ne soit pas contenue
+dans $C$, alors $C$ est lisse.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Pour la première affirmation, on peut se ramener au cas où le point
+est $(0:0:1)$, auquel cas l'équation de la conique doit s'écrire $a
+X^2 + b Y^2 + c' XY + b' XZ + a' YZ = 0$ (il n'y a pas de terme
+en $Z^2$). Si le point n'est pas lisse, l'hypothèse d'annulation des
+dérivées partielles signifie que $b'=0$ et $a'=0$ : l'équation de la
+conique s'écrit donc $a X^2 + b Y^2 + c' XY = 0$. Le polynôme $a T^2
++ c' T + b$ (de degré $\leq 2$) se factorise dans $\FF\alg[T]$ en deux
+facteurs de degré $\leq 1$, donc quitte à ré-homogénéiser, le polynôme
+homogène $Q = a X^2 + c' X Y + b Y^2$ de degré $2$ se factorise
+dans $\FF\alg[X,Y]$ en deux facteurs homogènes de degré $1$. Ceci
+montre que la conique n'est pas géométriquement irréductible.
+
+Pour ce qui est de la deuxième affirmation, si l'équation de la
+conique est $Q=0$ et que $Q$ est réductible comme produit de deux
+facteurs de degré $1$, ces facteurs définissent deux droites (non
+nécessairement distinctes). Considérant un point d'intersection de
+ces deux droites, qu'on peut supposer être $(0:0:1)$, les deux droites
+doivent s'écrire $uX + vY = 0$ et $u'X + v'Y = 0$ (pour $u$ et $v$ non
+tous deux nuls, et de même pour $u'$ et $v'$), auquel cas la conique
+s'écrit $uu' X^2 + (uv'+u'v) XY + vv' Y^2 = 0$, et le point $(0:0:1)$
+n'est pas lisse.
+
+Si $C$ est une conique qui n'est pas lisse, on vient de voir que,
+quitte à remplacer le corps $\FF$ par sa clôture
+algébrique $\FF\alg$, l'équation $Q=0$ de la conique se factorise
+comme $Q = \ell_1 \ell_2$ avec $\ell_1,\ell_2$ deux formes linéaires
+dans les variables $X,Y,Z$. Si $\ell_1,\ell_2$ sont proportionnelles
+(on peut supposer qu'il s'agit de $X$ et que la conique est alors
+d'équation $X^2 = 0$), la conique n'a aucun point lisse ; si elle ne
+le sont pas (on peut supposer qu'il s'agit de $X$ et $Y$, et la
+conique est alors d'équation $XY = 0$), les points lisses de $C$ sont
+exactement ceux qui sont sur une des deux droites d'équation $\ell_1 =
+0$ et $\ell_2 = 0$ mais pas sur l'autre, et la tangente en un tel
+point est la droite sur laquelle il se trouve, qui est contenue
+dans $C$ (et la définition de la tangente assure qu'elle est définie
+sur $\FF$ si $P$ l'est). Il s'ensuit que si une conique a un point
+lisse $P$ dont la tangente $d$ \emph{n'est pas} contenue dans $C$,
+alors $C$ est lisse, ce qu'on voulait prouver.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}
+La conique d'équation $Q=0$, où $Q$ est une forme quadratique (en
+trois variables) sur un corps $\FF$ de caractéristique $\neq 2$, est
+lisse si et seulement si la forme bilinéaire associée à $Q$ est
+non-dégénérée (c'est-à-dire, de rang $3$).
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Soit $\varphi$ la forme bilinéaire associée à $Q$. Si $Q$ se
+factorise comme un produit $\ell_1 \ell_2$ de formes linéaires, alors
+on a $\varphi(v,v') = \frac{1}{2}(\ell_1(v)\,\ell_2(v')
++ \ell_1(v')\,\ell_2(v))$ pour tous $v,v' \in \FF^3$ : donc tout
+vecteur situé dans le noyau de $\ell_1$ et de $\ell_2$ est dans celui
+de $\varphi$, et la forme $\varphi$ a pour rang au plus $2$.
+Réciproquement, si $v \neq 0$ est tel que $\varphi(v,v') = 0$ pour
+tout $v'$, alors on a $Q(v+v') = Q(v')$ pour tout $v'$, donc les
+dérivées partielles de $Q$ s'annulent en $v$, et $v$ représente un
+point de $C$ qui n'est pas lisse.
+\end{proof}
+
+\begin{exemples2}
+\item La conique d'équation $X^2 = 0$ (sur un corps quelconque) est
+réductible (car $X^2 = X\times X$), et n'est lisse en aucun de ces
+points. On qualifiera cette conique de \emph{droite double}.
+\item La conique d'équation $XY = 0$ (sur un corps quelconque) est
+réductible, et n'est pas lisse au point $(0:0:1)$ tandis qu'elle est
+lisse en n'importe quel autre point ($(1:0:z)$ ou $(0:1:z)$). On
+qualifiera cette conique de \emph{réunion de deux droites rationnelles
+distinctes} (à savoir $X=0$ et $Y=0$).
+\item La conique d'équation $X^2 - Y^2 = 0$ est réductible (comme
+$(X-Y)(X+Y)$) et n'est pas lisse au point $(0:0:1)$, tandis qu'elle
+est lisse en tout autre point ($(1:1:z)$ ou $(1:-1:z)$) en
+caractéristique $\neq 2$. En caractéristique $\neq 2$, il s'agit de
+nouveau de la réunion de deux droites rationnelles distinctes, tandis
+qu'en caractéristique $2$ il s'agit d'une droite double (pour la
+droite d'équation $X=Y$).
+\item La conique d'équation $X^2 + Y^2 = 0$ sur un corps tel que $-1$
+ne soit pas un carré (par exemple $\RR$) est irréductible, mais elle
+est géométriquement réductible (car $X^2+Y^2 = (X+iY)(X-iY)$ si $i$
+est une racine carrée de $-1$). Elle n'est pas lisse au point
+$(0:0:1)$, qui est son seul point sur le corps considéré. On
+qualifiera cette conique de \emph{réunion de deux droites conjuguées}.
+\item La conique d'équation $Y^2 - t X^2$ sur le corps $\FF_2(t)$ est
+irréductible mais géométriquement réductible. Elle ne possède aucun
+point sur le corps $\FF_2(t)$.
+\item La conique d'équation $X^2 + Y^2 - Z^2 = 0$ est une conique
+lisse sur tout corps de caractéristique $\neq 2$ puisque la forme
+bilinéaire associée n'est pas dégénérée (en caractéristique $2$, il
+s'agit d'une droite double).
+\end{exemples2}
+
+\begin{proposition2}\label{intersection-droite-conique}
+\begin{itemize}
+\item Trois points situés sur une même conique lisse ne sont jamais
+alignés.
+\item Une droite $d$ rencontre une conique lisse $C$ en un unique point
+si et seulement si elle lui est tangente à ce point.
+\end{itemize}
+Autrement dit, une droite $d$ rencontre une conique lisse $C$ en zéro,
+un ou deux points, la possibilité « un » se produisant exactement
+lorsque la droite est tangente à la conique au point en question.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Si $\ell$ est une forme linéaire (sur $\FF^3$, où $\FF$ est le corps
+sur lequel $C$ est définie), les points d'intersection de $C$ avec la
+droite $\ell=0$ sont les points vérifiant $\ell=0$ et $Q=0$ où $Q$ est
+l'équation de $C$. On peut supposer que $\ell$ est la forme
+linéaire $Z$, auquel cas ces points sont ceux vérifiant $\tilde Q =
+0$ où $\tilde Q$ est la forme quadratique dans les variables $X$ et
+$Y$ obtenue en substituant $0$ à la variable $Z$ dans $Q$. Si $\tilde
+Q = a X^2 + c' XY + b Y^2$, comme le polynôme $a T^2 + c' T + b$ a au
+plus deux racines distinctes dans $\FF$, l'intersection considérée a
+au plus deux éléments. De plus, en supposant que $P = (0:1:0)$ soit
+dans l'intersection considérée, c'est-à-dire $b=0$, il s'agit de
+l'unique point d'intersection si et seulement si la racine est double,
+c'est-à-dire qu'on a aussi $c'=0$, ce qui signifie justement que la
+droite $d$ d'équation $Z=0$ est la tangente en $P = (0:1:0)$ à la
+conique d'équation $a X^2 + c Z^2 + c' XY + b' XZ + a' YZ = 0$.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}\label{parametrage-conique}
+Soit $P$ un point sur une conique lisse $C$ sur un corps $\FF$. Alors
+il y a une bijection entre les points de $C$ et les droites
+de $\PP^2(\FF)$ passant par $P$, associant à un point $Q$ de $C$ la
+droite $PQ$ si $Q \neq P$, ou bien la tangente à $C$ en $P$ si $Q=P$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+C'est une conséquence immédiate de la
+proposition \ref{intersection-droite-conique}.
+\end{proof}
+
+\begin{corollaire2}\label{denombrement-coniques-corps-finis}
+Si $C$ est une conique lisse sur un corps $\FF$ \emph{fini} ayant $q$
+éléments, alors $\#C(\FF) = q+1$. Dualement, il existe $q+1$ droites
+tangentes à $C$.
+\end{corollaire2}
+\begin{proof}
+Le théorème \ref{theoreme-chevalley-warning} montre que $C(\FF)$ n'est
+pas vide : soit $P$ un de ses points. La
+proposition \ref{parametrage-conique} montre alors que $C(\FF)$ est en
+bijection avec l'ensemble des droites passant par $P$ dans
+$\PP^2(\FF)$. Ces dernières sont au nombre de $q+1$ (par exemple
+parce qu'elles sont en bijection, de la même façon, avec les points de
+n'importe quelle droite ne passant pas par $P$).
+
+La seconde affirmation est évidente puisque chaque point de $C$
+définit une unique tangente, et que toute tangente à $C$ est tangente
+en un unique point.
+\end{proof}
+
+\begin{exemple2}
+Sur $\FF_7$, les solutions non triviales de l'équation $X^2 + Y^2 +
+Z^2 = 0$ sont, à proportionalité près, l'une des huit solutions
+$(1:2:3)$, $(1:2:4)$, $(1:3:2)$, $(1:3:5)$, $(1:4:2)$, $(1:4:5)$,
+$(1:5:3)$ et $(1:5:4)$.
+\end{exemple2}
+
+\subsubsection{}\label{points-interieurs-coniques} Les droites
+tangentes à une conique lisse $C$ donnée de
+$\PP^2(\FF)$, où $\FF$ est un corps de caractéristique $\neq 2$,
+forment elles-mêmes une conique lisse, notée $C^\vee$, dans
+$\PP^{2\vee}(\FF)$. Ceci peut se voir avec des coordonnées : si $C$ a
+pour équation $a X^2 + b Y^2 + c Z^2 = 0$ (ce qu'on peut toujours
+faire, quitte à diagonaliser la forme quadratique qui donne son
+équation), dire que la droite $UX + VY + WZ = 0$ lui est tangente
+signifie que $U,V,W$ vérifient $\frac{1}{a} U^2 + \frac{1}{b} V^2
++ \frac{1}{c} W^2 = 0$, qui définit alors l'équation de $C^\vee$.
+
+Si $P$ est un point de $\PP^2(\FF)$ (toujours avec $\FF$ de
+caractéristique $\neq 2$) non situé sur une conique lisse $C$, les
+tangentes à $C$ passant par $P$ peuvent se voir comme l'intersection
+de la conique $C^\vee$ et de la droite $P^\vee$
+dans $\PP^{2\vee}(\FF)$ : il y en a donc (sur $\FF$) soit $2$ soit $0$
+selon que le polynôme de degré $2$ définissant cette intersection a
+$2$ ou $0$ racines sur $\FF$ (le cas d'une racine double correspondant
+à la situation où $P$ est sur $C$, ce qu'on a exclu). On dira que $P$
+est \emph{extérieur} ou \emph{intérieur} à la conique $C$ selon qu'il
+existe $2$ ou $0$ tangentes à $C$ passant par $P$. (Sur le corps
+$\RR$ des réels, la notion ainsi définie est bien celle qu'on a
+l'habitude de désigner par là, au moins dans le cas où on pense à une
+ellipse --- c'est-à-dire que la conique ne croise pas la droite à
+l'infini. La terminologie est cependant désagréable en général :
+ainsi, sur un corps algébriquement clos, une conique n'a jamais
+d'intérieur. On se contentera de l'utiliser ci-dessous dans le cas
+d'un corps fini.)
+
+\begin{corollaire2}\label{denombrement-points-interieurs-coniques-corps-finis}
+Si $C$ est une conique lisse sur un corps $\FF$ \emph{fini} ayant $q$
+éléments, avec $q$ \emph{impair}, alors il existe $\frac{1}{2}(q^2-q)$
+points intérieurs à $C$ (au sens de \ref{points-interieurs-coniques},
+c'est-à-dire par lesquels ne passe aucune tangente à $C$), et
+$\frac{1}{2}(q^2+q)$ points extérieurs.
+
+Dualement, et sans hypothèse sur $q$, sur les $q^2 + q + 1$ droites
+de $\PP^2(\FF_q)$, outre les $q+1$ qui sont tangentes à $C$, il en
+existe $\frac{1}{2}(q^2-q)$ qui ne rencontrent pas $C$, et
+$\frac{1}{2}(q^2+q)$ qui la rencontrent en deux points distincts.
+\end{corollaire2}
+\begin{proof}
+La conique $C$ a $q+1$ tangentes
+(cf. \ref{denombrement-coniques-corps-finis}). Chacune de ces
+tangentes comporte, outre le point de tangence, $q$ points extérieurs
+à $C$. De cette manière, chaque point extérieur à $C$ a été compté
+deux fois puisqu'il est situé sur $2$ tangentes distinctes. On a donc
+$\frac{1}{2}q(q+1)$ points extérieurs, et comme il y a $q^2$ points
+non situés sur $C$ (soit $q^2+q+1$ points au total dont $q+1$ sont
+sur $C$), on en déduit le nombre de points intérieurs annoncé.
+
+L'énoncé dual se montre soit de même : par chaque point de $C$ passent
+$q$ droites outre la tangente au point en question, chacune de ces $q$
+droites coupe $C$ en deux points distincts, et chaque droite coupant
+$C$ en deux points distincts a ainsi été comptée deux fois. Si $q$
+est impair, on peut aussi obtenir ce résultat en appliquant ce qui
+précède à la conique $C^\vee$.
+\end{proof}
+
+Sur un corps fini de caractéristique $2$, la situation est très
+différente : on va voir en \ref{ovales-et-hyperovales} ci-dessous que
+par tout point non situé sur une conique lisse passe
+exactement \emph{une} tangente à celle-ci, exceptée pour un point par
+lequel passent \emph{toutes} les tangentes. (Il faut imaginer que la
+conique duale de n'importe quelle conique lisse serait une droite
+double.)
+
+\begin{definition2}\label{definition-ovale-hyperovale}
+On appelle \emph{ovale} (resp. \emph{hyperovale}) de $\PP^2(\FF_q)$ un
+ensemble de $q+1$ (resp. $q+2$) points de $\PP^2(\FF_q)$ dont trois
+quelconques ne sont jamais alignés. On appelle \emph{tangente} à un
+ovale (en un point $P$ de celui-ci) une droite qui ne rencontre
+l'ovale qu'en un seul point (à savoir $P$).
+\end{definition2}
+
+On a vu
+en \ref{intersection-droite-conique}, \ref{denombrement-coniques-corps-finis}
+que les coniques lisses sont des ovales, et que la notion de tangence
+qu'on vient de définir recouvre bien la notion de tangence à une
+conique. On verra en \ref{segre-ovale-est-conique} une réciproque de
+cette affirmation en caractéristique impaire.
+
+\begin{proposition2}\label{tangente-ovale}
+Si $E$ est un ovale de $\PP^2(\FF_q)$, il existe une unique tangente à
+$E$ par chaque point de $E$.
+
+Si $E$ est un hyperovale, toute droite rencontre $E$ en exactement
+$0$ ou $2$ points.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Soit $P$ un point de $E$. Pour chacun des $q$ points $Q$ de $E$
+distinct de $P$, la droite $PQ$ rencontre $E$ en exactement deux
+points, $P$ et $Q$, et ces droites $PQ$ sont deux à deux distinctes.
+Il passe $q+1$ droites par $P$, donc la dernière droite $d$ passant
+par $P$ dans $\PP^2(\FF_q)$ ne rencontre $E$ qu'en $P$ et est donc
+l'unique tangente à $E$ en $P$.
+
+Le raisonnement de la seconde partie est analogue : si $P$ est
+sur $E$, pour chacun des $q+1$ points $Q$ de $E$ distinct de $P$, la
+droite $PQ$ rencontre $E$ en exactement deux points, $P$ et $Q$, et
+ces droites $PQ$ sont deux à deux distinctes. Il passe $q+1$ droites
+par $P$, donc chacune rencontre $E$ en exactement un point autre
+que $P$. Ainsi, toute droite de $\PP^2(\FF_q)$ qui rencontre $E$ le
+rencontre en exactement deux points.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}\label{ovales-et-hyperovales}
+Si $q$ est pair, et $E$ un ovale de $\PP^2(\FF_q)$, alors toutes les
+tangentes à $E$ se coupent en un unique point. Si $N$ est point en
+question, alors $E \cup \{N\}$ est un hyperovale. (Et si $A'$ est un
+hyperovale et $N$ un point quelconque de $A'$, alors $E =
+A'\setminus\{N\}$ définit un ovale dont toutes les tangentes se
+coupent en $N$.)
+
+Si $q$ est impair, il n'existe pas d'hyperovale dans $\PP^2(\FF_q)$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Soit $E$ un ovale de $\PP^2(\FF_q)$ : notons $n_i$ le nombre de points
+non situés sur $E$ qui appartiennent à exactement $i$ tangentes à $E$
+(cf. \ref{tangente-ovale}). Comme il y a $q^2$ points non situés
+sur $E$, on a $\sum_{i=0}^{q+1} n_i = q^2$. Comme chacune des $q+1$
+tangentes à $E$ contient $q+1$ points dont $q$ ne sont pas situés
+sur $E$, on a $\sum_{i=0}^{q+1} i\, n_i = q(q+1)$. Comme chaque paire
+de tangentes distinctes définit un unique point d'intersection situé
+en-dehors de $E$, on a $\sum_{i=0}^{q+1} {i \choose 2} \, n_i =
+{q+1 \choose 2}$. En combinant linéairement ces formules, on a
+$\sum_{i=0}^{q+1} (i-1) (q+1-i) \, n_i = 0$. Puisque $q$ est pair,
+$\#E$ est impair, donc, si $R$ est un point non situé sur $E$, il doit
+exister une droite passant par $R$ ne contenant qu'un seul point
+de $E$, c'est-à-dire une tangente à $E$ : ceci prouve $n_0 = 0$. La
+somme $\sum_{i=0}^{q+1} (i-1) (q+1-i) \, n_i$ est donc une somme de
+nombres positifs, donc tous les termes sont nuls, et seuls $n_1$ et
+$n_{q+1}$ peuvent être non nuls. Comme $n_1 + n_{q+1} = q^2$ et $n_1
++ (q+1) n_{q+1} = q^2+q$ d'après ce qu'on a vu, on a $n_1 = q^2-1$ et
+$n_{q+1} = 1$ : il existe bien un unique point situé à l'intersection
+de toutes les tangentes à $E$. Il est alors évident qu'en ajoutant ce
+point $N$ à l'ovale, trois points ne seront jamais alignés,
+c'est-à-dire que $E \cup \{N\}$ est un hyperovale. La remarque entre
+parenthèses est également évidente.
+
+Si $q$ est impair, en revanche, s'il existait un hyperovale $E$, alors
+pour $R$ un point non situé sur $E$, chacune des $q+1$ droites passant
+par $R$ doit rencontrer $E$ en $0$ ou $2$ points
+d'après \ref{tangente-ovale} : ceci montre que le cardinal de $E$ est
+pair, une contradiction.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}\label{centre-de-l-ovale-inscrit}
+Soit $E$ un ovale de $\PP^2(\FF_q)$ avec $q$ impair, et $P,Q,R$ trois
+points distincts de $E$, et soient $A,B,C$ les intersections
+respectives des tangentes à $E$ en $Q,R$, en $P,R$ et en $P,Q$
+(c'est-à-dire que $BC,AC,AB$ sont les tangentes à $E$ en $P,Q,R$
+respectivement). Alors les droites $AP$, $BQ$ et $CR$ sont
+concourantes en un point $S$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+On peut supposer $P=(1:0:0)$, $Q=(0:1:0)$ et $R=(0:0:1)$. Les
+équations des droites $BC$, $AC$ et $AB$ (dont aucune ne coïncide avec
+une des droites $QR$, $PR$ ni $PQ$) peuvent alors s'écrire
+respectivement $Y+aZ=0$, $Z+bX=0$ et $X+cY=0$, où les nombres $a,b,c$
+sont dans $\FF_q^\times$. On a alors $A=(-c:1:bc)$, $B=(ac:-a:1)$ et
+$C=(1:ab:-b)$.
+
+Soit $T=(x:y:z)$ un point de l'ovale $E$ distinct de $P,Q,R$ (de sorte
+que $x,y,z$ sont tous les trois non nuls), et considérons les trois
+produits $\xi = \prod_{T \in E \setminus\{P,Q,R\}} (z/y)$, $\eta
+= \prod_{T \in E \setminus\{P,Q,R\}} (x/z)$ et $\zeta = \prod_{T \in
+E \setminus\{P,Q,R\}} (y/x)$ (les rapports $z/y$, $x/z$ et $y/x$ sont
+bien définis et ne dépendent que de $T$ et non des coordonnées le
+représentant). On a visiblement $\xi\eta\zeta = \prod_{T \in
+E \setminus\{P,Q,R\}} 1 = 1$. Cependant, le rapport $z/y$ est
+déterminé par la droite $TP$ (d'équation $zY-yZ=0$), et quand $T$
+parcourt $E \setminus\{P,Q,R\}$, la droite $TP$ d'équation parcourt
+toutes les droites passant par $P$ exceptée la tangente $BC$ à $E$
+par $P$ (pour laquelle ce rapport $z/y$ vaudrait $-\frac{1}{a}$) et
+les droites $PQ$ et $PR$ (pour lesquelles ce rapport $z/y$ vaudrait
+$0$ et $\infty$). Autrement dit, $\xi$ est le produit de tous les
+éléments de $\FF_q^\times$ différents de $-\frac{1}{a}$,
+c'est-à-dire $a$ (le produit de tous les éléments de $\FF_q^\times$
+est $-1$ car chaque $t \in \FF_q^\times$ vérifie $t \cdot t^{-1} = 1$,
+avec $t \neq t^{-1}$ sauf si $t = -1$). De même, $\eta = b$ et $\zeta
+= c$. On a donc prouvé $abc = 1$.
+
+Les droites $AP,BQ,CR$ concourent alors en $(c:1:bc) = (ac:a:1) =
+(1:ab:b)$.
+\end{proof}
+
+\begin{lemme2}\label{comparaison-ovale-conique-trois-points-deux-tangentes}
+Soit $E$ un ovale de $\PP^2(\FF_q)$ avec $q$ impair, et $P,Q,R$ trois
+points distincts de $E$. Si une conique $D$ passe par $P,Q,R$ et a
+les mêmes droites tangentes que $E$ en $P,Q$, alors elle a aussi la
+même tangente que $E$ en $R$.
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+On reprend les notations de la démonstration de la
+proposition \ref{centre-de-l-ovale-inscrit} : comme $D$ passe
+par $P,Q,R$, son équation s'écrit $c' XY + b' XZ + a' YZ = 0$ pour
+certaines constantes $a',b',c'$. Les tangentes à $D$ par $P,Q,R$ ont
+alors pour équations $c'Y + b'Z = 0$, $a'Z + c'X = 0$ et $b'X + a'Y =
+0$ respectivement : les quantités $a,b,c$ introduites dans la
+démonstration précédente vérifient alors $a = b'/c'$ et $b = c'/a'$
+d'après l'égalité des tangentes à $E$ et $D$ en $P$ et $Q$ : du fait
+que $abc = 1$ on déduit $c = a'/b'$, ce qui démontre l'égalité des
+tangentes en $R$.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}[B. Segre]\label{segre-ovale-est-conique}
+Soit $E$ un ovale de $\PP^2(\FF_q)$ avec $q$ impair : alors $E$ est
+(l'ensemble des points sur $\FF_q$ d')une conique lisse.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+On reprend les notations de la démonstration de la
+proposition \ref{centre-de-l-ovale-inscrit} ; pour simplifier les
+calculs, on peut encore choisir $(1:1:1)$ comme coordonnées pour le
+point $S$ intersection commune de $AP$, $BQ$ et $CR$. Alors on a
+$a=b=c=1$, et les tangentes à $E$ par $P$, $Q$ et $R$ ont
+respectivement pour équations $Y+Z=0$ et $Z+X=0$ et $X+Y=0$. On veut
+montrer que $E$ coïncide avec la conique $D$ d'équation $XY+XZ+YZ=0$.
+
+Soit $T = (x:y:z)$ un point quelconque de $E$ distinct de $P,Q,R$. La
+conique $D'_s$ d'équation $XY+XZ+YZ + sZ^2 = 0$ passe par $P$ et $Q$
+et y a les même tangentes que $E$. En choisissant $s$ de sorte que la
+conique $D'_s$ passe par $T$, on déduit du
+lemme \ref{comparaison-ovale-conique-trois-points-deux-tangentes} que
+$D'_s$ et $E$ ont même tangente en $T$. Cette tangente est $(y+z)X +
+(x+z)Y + (y+x+2sz)Z = 0$. La conique $D''_t$ d'équation $XY+XZ+YZ +
+tX^2 = 0$ passe par $Q$ et $R$ et y a les mêmes tangentes que $E$. En
+choisissant $t$ de sorte que $D''_t$ passe par $T$ on déduit de même
+que $D''_t$ et $E$ ont même tangente en $T$. Cette tangente est
+$(y+z+2tx)X + (x+z)Y + (y+x)Z = 0$. En comparant les deux équations
+trouvées pour la même tangente à $E$ en $T$, on trouve $s=t=0$ : donc
+$D'_s = D''_t = D$, et le point $T$ est situé sur $D$, ce qu'on
+voulait prouver.
+\end{proof}
+
+\begin{remarque2}
+On peut se demander s'il existe un résultat analogue en
+caractéristique $2$ qui affirmerait que tout hyperovale s'obtient
+comme réunion d'une conique et de l'unique point d'intersection de
+toutes ses tangentes (cf. \ref{ovales-et-hyperovales}). Il n'en est
+rien : il existe des hyperovales « irréguliers » : l'exemple le plus
+simple connu (hyperovale de Lunelli-Sce) est celui de l'ensemble des
+points de $\PP^2(\FF_{16})$ de la forme $(0:1:0)$ ou $(1:0:0)$ ou bien
+$(x:f(x):1)$ avec $x\in \FF_{16}$ et $f(x) = x^{12} + x^{10}
++ \gamma^{11} x^8 + x^6 + \gamma^2 x^4 + \gamma^9 x^2$, où $\gamma$
+(élément primitif) est solution de $\gamma^4 = \gamma + 1$.
+\end{remarque2}
+
+
+\section{Polynômes sur les fractions rationnelles}
+
+\subsection{Le théorème de Tsen}
+
+\begin{theoreme2}\label{theoreme-tsen}
+Soit $k$ un corps $C_r$. Alors le corps $k(T)$ des fractions
+rationnelles en une indéterminée sur $k$ est $C_{r+1}$. (Marche aussi
+fortement ? Oui, si j'en crois Nagata. Marche aussi
+avec $C'$ ? \XXX)
+\end{theoreme2}
+\begin{proof}
+Soit $P \in k(T)[X_1,\ldots,X_n]$ un polynôme homogène de degré $d$ en
+$n$ variables avec $n > d^{r+1}$. Quitte à chasser les dénominateurs,
+on peut supposer $P \in k[T,X_1,\ldots,X_n]$, c'est-à-dire que les
+coefficients de $P$ sont dans $k[T]$. Soit $M$ un majorant des degrés
+de ces éléments de $k[T]$ (disons, le degré de $P$ en $T$), et soit
+$N$ un entier naturel qui sera choisi suffisamment grand : on
+introduit $n(N+1)$ variables $Y_{j\ell}$ avec $1\leq j \leq n$ et
+$0\leq\ell\leq N$, et on pose $x_j = \sum_{\ell=0}^N Y_{j\ell}
+T^\ell$. Alors $f(x_1,\ldots,x_n)$ s'écrit comme un polynôme de degré
+$Nd+M$ en $T$, dont les coefficients, qu'on appellera
+$f_\ell(Y_{\cdots})$, sont des polynômes homogènes de degré $d$.
+L'annulation de $f(x_1,\ldots,x_n)$ revient donc à un système de
+$Nd+M+1$ équations $f_\ell(Y_{\cdots}) = 0$, toutes homogènes de
+degré $d$, en les $n(N+1)$ variables $Y_{j\ell}$ : lorsque $n(N+1) >
+d^r (Nd+M+1)$, ce qui compte tenu de $n > d^{r+1}$ se produit bien
+pour $N$ assez grand, la propriété $C_r$ assure que ce système a une
+solution non triviale.
+\end{proof}
+
+La réciproque suivante montre que le théorème précédent en un
+certain sens optimal :
+\begin{proposition2}\label{reciproque-tsen}
+Soit $k$ tel que le corps $k(T)$ soit $C_{r+1}$. Alors $k$ est $C_r$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Soit $P \in k[X_1,\ldots,X_n]$ homogène de degré $d>0$ tel que $n >
+d^r$. Définissons un polynôme homogène de degré $d$ en $dn$ variables
+par $Q = f(P|P|\cdots|P)$, où $f(U_0,\ldots,U_{d-1}) = U_0 + U_1 T
++ \cdots + U_{d-1} T^{d-1}$, c'est-à-dire $Q =
+P(Z_{0,1},\ldots,Z_{0,n}) + P(Z_{1,1},\ldots,Z_{1,n})\,T + \cdots +
+P(Z_{d-1,1},\ldots,Z_{d-1,n})\, T^{d-1}$ (en les variables
+$Z_{\ell,j}$). Puisque $dn > d^{r+1}$, la condition $C_{r+1}$
+signifie que $Q$ a un zéro non trivial $(z_{\ell,j})$. Quitte à
+chasser les dénominateurs, on peut supposer $(z_{\ell,j}) \in k[T]$,
+et quitte à diviser par $T$ on peut supposer que tous ne sont pas
+multiples de $T$. En évaluant $Q(z_{\cdots})$ en $T=0$, on trouve
+$P(z_{0,1}(0),\ldots,z_{0,n}(0)) = 0$ : si tous les $Z_{0,\ell}(0)$
+sont nuls, alors $P(z_{0,1},\ldots,z_{0,})$ est multiple de $T^d$, et
+en en divisant $Q(z_{\cdots})$ par $T$ et en l'évaluant en $T=0$, on
+trouve ensuite $P(z_{1,1}(0),\ldots,z_{1,n}(0)) = 0$, et ainsi de
+suite. Comme tous les $z_{\ell,j}(0)$ ne peuvent pas être nuls, il
+doit exister $\ell$ tel que $P(z_{\ell,1}(0),\ldots,z_{\ell,n}(0)) =
+0$ avec $z_{\ell,1}(0),\ldots,z_{\ell,n}(0)$ non tous nuls. Ceci
+montre que $k$ est $C_r$.
+\end{proof}
+
+En admettant la notion de degré de transcendance (une extension $K$
+d'un corps $k$ est de degré de transcendance $\delta$, notée $\degtr_k
+K = \delta$, lorsque $K$ est algébrique sur un sous-corps
+$k(t_1,\ldots,t_\delta)$, où $t_1,\ldots,t_\delta$ sont algébriquement
+indépendants sur $k$ c'est-à-dire que $k(t_1,\ldots,t_\delta)$ est
+isomorphe au corps $k(T_1,\ldots,T_\delta)$ des fractions rationnelles
+en autant d'indéterminées par un isomorphisme envoyant $t_\iota$ sur
+$T_\iota$), on peut énoncer :
+\begin{corollaire2}
+Soit $k$ un corps $C_r$, et $K$ un corps tel que $\degtr_k K
+= \delta$. Alors $K$ est $C_{r+\delta}$.
+\end{corollaire2}
+\begin{proof}
+Soient $t_1,\ldots,t_\delta$ algébriquement indépendants dans $K$ tels
+que $K$ soit algébrique sur $k(t_1,\ldots,t_\delta)$. Le
+théorème \ref{theoreme-tsen} appliqué $\delta$ fois successivement
+assure que $k(t_1,\ldots,t_\delta)$ est $C_{r+\delta}$, et la
+proposition \ref{extension-algebrique-de-corps-c-r} permet de conclure
+que $K$ l'est.
+\end{proof}
+
+
+\ifx\danslelivre\undefined
+\end{document}
+\fi
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+\ifx\danslelivre\undefined
+\documentclass[9pt]{smfart-moi}
+\usepackage{stmaryrd}
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+\usepackage{graphics}
+\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
+\input{commun}
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+\usepackage{srcltx}
+
+\title{Corps finis}
+
+\externaldocument{extensions-algebriques}
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+
+\begin{document}
+\maketitle
+\tableofcontents
+\else
+\chapter{Corps finis}
+\fi
+
+\section{Propriétés élémentaires}
+
+\subsection{Caractéristique}
+
+Soit $k$ un corps. Le noyau de l'unique morphisme d'anneaux $𝐙→k$ est
+un idéal premier de $𝐙$. On rappelle que la \emph{caractéristique} de
+$k$ désigne le générateur positif ou nul de cet idéal : on le note
+$\car k$. C'est un nombre premier (souvent noté $p$) ou bien $0$.
+Lorsque $\car k$ est un nombre premier $p>0$, l'image de $\ZZ\to k$
+est isomorphe à $\ZZ/p\ZZ$.
+
+Pour tout nombre premier $p$, on note $𝐅_p$ le quotient $𝐙/p𝐙$. C'est
+un corps (car c'est un anneau intègre fini) de caractéristique $p$ à
+$p$ éléments. Pour tout corps $k$ de caractéristique $p$, l'image de
+$\ZZ \to k$ est un sous-corps de $k$ isomorphe à $\FF_p$, qui est le
+plus petit sous-corps de $k$ (car les sous-corps de $k$ sont eux aussi
+de caractéristique $p$) et que l'on appelle \emph{corps premier}
+de $k$.
+
+On appelle par ailleurs \emph{exposant caractéristique} \index{exposant
+caractéristique} de $k$ l'entier valant $1$ si $\car k= 0$ et valant $\car k$ sinon.
+
+\begin{lemme2}\label{structures-sur-corps-premier}
+Soit $p$ un nombre premier.
+
+Un groupe abélien $M$ peut être munie d'une structure d'espace
+vectoriel sur le corps $\FF_p$ exactement lorsque tout élément $x\in
+M$ vérifie $px = 0$, auquel cas cette structure de $\FF_p$-espace
+vectoriel est unique.
+
+Un anneau $A$ non nécessairement commutatif peut-être muni d'une
+structure de $𝐅_p$-algèbre non nécessairement commutative si et
+seulement si l'image de $p$ dans $A$ par le morphisme canonique (et
+unique) $𝐙→A$ est nulle. Cette structure est alors unique.
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+Pour ce qui est de la première affirmation, tout $\FF_p$-espace
+vectoriel doit manifestement vérifier $px = 0$ pour tout $x$, et si un
+groupe abélien $M$ vérifie cette condition, on peut alors poser $\bar
+k\cdot x = k x$, pour tous $k \in \ZZ$, dont on note $\bar k \in
+\FF_p$ la classe modulo $p$, et tout $x \in M$, ce qui définit une
+structure de $\FF_p$ espace vectoriel sur $M$, qui était la seule
+possible car $\bar k = k\cdot \bar 1$ dans $\FF_p$.
+
+En particulier, toute $\FF_p$-algèbre non nécessairement
+commutative $A$ doit vérifier $p 1_A = 0$, c'est-à-dire que l'image de
+$p$ par le morphisme $\ZZ \to A$ est nulle ; et si cette condition est
+satisfaite dans un anneau non nécessairement commutatif $A$ alors $p x
+= p 1_A x = 0$ pour tout $x \in A$ donc on vient de voir qu'il y a une
+unique façon de mettre sur $A$ une structure de $\FF_p$-espace
+vectoriel, qui est clairement une structure de $\FF_p$-algèbre non
+nécessairement commutative.
+\end{proof}
+
+\begin{lemme2}\label{anneaux-a-p-elements}
+Soit $A$ un anneau non nécessairement commutatif ayant $p$ éléments,
+où $p$ est un nombre premier. Alors il existe un unique isomorphisme
+entre $\FF_p$ et $A$.
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+L'image du morphisme d'anneaux $\ZZ \to A$ est un sous-anneau de $A$
+dont le cardinal doit diviser $p$ ; comme $0_A \neq 1_A$ (sans quoi
+$A$ serait l'anneau nul, qui a un seul élément, ce qui n'est pas le
+cas), ce cardinal est $p$, c'est-à-dire que $\ZZ \to A$ est surjectif.
+Il définit donc un isomorphisme $\ZZ/n\ZZ \buildrel\sim\over\to A$
+avec $n$ le générateur positif de son noyau, et en comparant les
+cardinaux on voit que $n=p$, de sorte qu'on a un isomorphisme $\FF_p
+\buildrel\sim\over\to A$, qui était visiblement le seul possible.
+\end{proof}
+
+On peut donc parler \emph{du} corps fini ayant $p$ éléments, et il n'y
+a pas de problème à identifier $\FF_p$ au corps premier de n'importe
+quel corps de caractéristique $p$.
+
+\begin{proposition2}
+Soit $F$ un corps fini. Alors, la caractéristique de $F$ est un
+nombre premier $p>0$ et le cardinal de $F$ est une puissance de $p$.
+\end{proposition2}
+\begin{démo}[Démonstration de la proposition]
+Le morphisme $𝐙→F$ n'est pas injectif car $F$ est fini donc
+$\car(F)≠0$. D'autre part, si $p=\car(F)$, le
+lemme \ref{structures-sur-corps-premier} assure que $F$ un
+$\FF_p$-espace vectoriel (de façon unique). Si $r=\dim_{\FF_p}(F)$
+(nécessairement finie), on a $\# F=p^r$.
+\end{démo}
+
+Il est fréquent, lorsqu'on a affaire à un corps fini, de noter $p$ sa
+caractéristique et $q$ son nombre d'éléments (qui en est donc une
+puissance), à tel point que ces notations sont parfois utilisées, si
+cela ne cause pas de confusion, sans avoir été introduites. En
+particulier, une expression telle que « soit $F$ un corps fini de
+ cardinal $p^r$ » sous-entendra toujours que $p$ est un nombre
+premier et $r>0$ un entier naturel non nul.
+
+\begin{remarque2}
+On peut montrer que tout corps gauche fini est commutatif (théorème de
+Wedderburn ; nous en donnerons une démonstration en \ref{Wedderburn}),
+ou même que toute algèbre à division alternative mais non
+nécessairement associative est un corps fini.
+\end{remarque2}
+
+\subsection{Le morphisme de Frobenius}
+
+\begin{proposition2}[petit théorème de Fermat]\label{petit-theoreme-fermat}
+Soit $F$ un corps fini ayant $q$ éléments. Alors tout élément $x$
+de $F$ vérifie $x^q = x$. Plus précisément, les racines du polynôme
+$X^q-X$ dans $F$ sont tous les éléments de $F$, chacun avec
+multiplicité $1$ : on a
+\[
+X^q - X = \prod_{a \in F} (X-a)
+\]
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Le groupe multiplicatif $F^×$ des inversibles de $F$ est
+d'ordre $q-1$, donc si $x \neq 0$ on a $x^{q-1} = 1$ donc $x^q = x$ ;
+le cas $x=0$ est trivial. Pour ce qui est de la seconde affirmation,
+on vient de montrer que $\prod_{a \in F} (X-a)$ divise $X^q-X$, et
+comme ces deux polynômes sont unitaires et de même degré, ils sont
+égaux.
+\end{proof}
+
+\begin{corollaire2}\label{unicite-corps-q-elements-pour-inclusion}
+Si $K$ est un corps de caractéristique $p>0$, alors pour toute
+puissance $q = p^r$ de $p$, il existe au plus un sous-corps de $K$
+ayant $q$ éléments.
+\end{corollaire2}
+\begin{proof}
+Si $F$ est un sous-corps de $K$ à $q$ éléments, alors la
+proposition \ref{petit-theoreme-fermat} montre que $F$ est exactement
+l'ensemble des racines de $X^q-X$ (dans $F$ donc dans $K$), ce qui
+prouve l'unicité.
+\end{proof}
+
+Autrement dit, un corps à $q$ éléments est unique comme sous-corps de
+n'importe quel sur-corps. On va voir
+en \ref{existence-et-unicite-corps finis} qu'il est également unique à
+isomorphisme près (mais pas à isomorphisme unique près).
+
+\begin{proposition2}\label{morphisme-de-frobenius}
+Soient $p$ un nombre premier et $A$ une $𝐅_p$-algèbre. L'application
+$\Frob|_A\colon A→A$ donnée par $a↦a^p$ est un \emph{endomorphisme} de $A$.
+\end{proposition2}
+\begin{démo}
+Seule l'identité $\Frob|_A(x+y)=\Frob|_A(x)+\Frob|_A(y)$ n'est pas
+évidente. Elle résulte de la formule du binôme de Newton et de la
+congruence $\frac{p!}{i!(p-i)!}≡0\pmod{p}$ pour tout $0<i<p$.
+\end{démo}
+
+Ce morphisme est le \emph{Frobenius}\index{Frobenius} de $A$ (ou
+\emph{Frobenius absolu}), souvent noté $\Frob|_A$ (ou parfois
+$\Frob_A$) ou simplement $\Frob$. Lorsque cela ne semble pas prêter à
+confusion, on notera $A^p⊆A$ son image.
+
+Lorsque $k$ est un corps, $\Frob|_k$ est injectif puisque son noyau
+est nul ; par conséquent, lorsque $F$ est un corps fini, $\Frob|_F$
+est bijectif, et on en déduit que les corps finis sont parfaits
+(\refext{Alg}{corps-parfait}). En fait, puisque $\Frob^r(x) =
+x^{p^r}$, lorsque $F$ est un corps fini ayant $q = p^r$ éléments, la
+proposition \ref{petit-theoreme-fermat} se traduit par $(\Frob|_F)^r =
+\Id_F$ (on verra plus loin que l'ordre de $\Frob|_F$ est
+exactement $r$).
+
+\begin{lemme2}\label{sous-corps-a-q-elements}
+Soient $p$ un nombre premier et $q=p^r$ une puissance de $p$. Soit
+$K$ un corps de caractéristique $p$ sur lequel le polynôme $X^q-X$ est
+scindé. Alors l'ensemble $\Fix(\Frob^r_K)$ des racines du polynômes
+$X^q-X$ dans $K$ est un sous-corps de $K$ à $q$ éléments (dont on a vu
+l'unicité en \ref{unicite-corps-q-elements-pour-inclusion}).
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+L'ensemble des racines de $X^q-X$ est un sous-corps de $K$ puisque
+c'est l'ensemble $\Fix(\Frob^r_K)$ des points fixes du morphisme de
+corps $\Frob^r_K$. Comme la dérivée du polynôme $X^q-X$ est $-1$, les
+racines de ce polynôme sont toutes simples et il y en a, dans $K$ où
+il est supposé scindé, exactement $q$ : ainsi, $\Fix(\Frob^r_K)$ est
+bien un sous-corps de $K$ à $q$ éléments.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}\label{existence-et-unicite-corps finis}
+Soit $q=p^r$ une puissance d'un nombre premier. Il existe un corps à
+$q$ éléments, unique à isomorphisme près. Un tel corps est un corps
+de décomposition (\refext{Alg}{décomposition}) du polynôme
+$X^q-X∈𝐅_p[X]$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+L'existence se déduit du lemme \ref{sous-corps-a-q-elements} appliqué
+à une clôture algébrique $K$ de $\FF_p$ ou simplement à un corps de
+décomposition sur $\FF_p$ de $X^q-X$. L'unicité se déduit de même :
+tout corps fini $F$ à $q$ éléments se plonge dans la clôture
+algébrique de $\FF_p$ (car $F$ est algébrique sur $\FF_p$) ou
+simplement dans un corps de décomposition sur $\FF_p$ de $X^q-X$ (car
+$F$ est engendré par les racines de ce polynôme) et la
+proposition \ref{unicite-corps-q-elements-pour-inclusion} montre alors
+l'unicité de $F$ dans ce sur-corps qui ne dépendait pas de $F$. La
+dernière affirmation est claire compte tenu
+de \ref{unicite-corps-q-elements-pour-inclusion}.
+\end{proof}
+
+(On verra en \refext{ACF}{remarque-isomorphisme-explicite-corps-finis} une
+façon d'obtenir un isomorphisme explicite entre des présentations
+différentes d'un même corps fini.)
+
+Dès lors que $q$ est une puissance stricte d'un nombre premier,
+l'isomorphisme n'est plus unique puisque $\Frob\colon x \mapsto x^p$
+constitue sur un corps fini à $q$ éléments un automorphisme différent
+de l'identité.
+
+On se permettra pourtant de noter, lorsque $q = p^r$ est une puissance
+d'un nombre premier, par $\FF_q$ le corps fini à $q$ éléments,
+celui-ci étant défini à isomorphisme non unique près ; ou encore, si
+un corps contient un sous-corps ayant $q$ éléments (nécessairement
+unique en tant que sous-corps, comme on l'a expliqué), on notera
+$\FF_q$ ce sous-corps.
+
+Si $q = p^r$, on notera par ailleurs $\Frob_q = (\Frob)^r \colon x
+\mapsto x^q$ l'élévation à la puissance $q$ dans n'importe quel corps
+de caractéristique $p$ : si le corps en question contient $\FF_q$,
+alors $\FF_q$ est exactement l'ensemble des points fixes de $\Frob_q$,
+et le morphisme $\Frob_q$, non content d'être $\FF_p$-linéaire, est en
+fait $\FF_q$-linéaire. Plus généralement, on définit $\Frob_q =
+(\Frob)^r \colon x \mapsto x^q$ dans n'importe quelle $\FF_q$-algèbre.
+
+\subsubsection{} Les trois lemmes suivants, qui doivent être considérés
+comme un tout, ont pour vocation à clarifier le comportement des
+polynômes $X^q - X$ lorsque $q$ est remplacé par une certaine
+puissance de lui-même.
+
+\begin{lemme2}\label{lemme-divisibilite-x-q-r-x}
+Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels non nuls tels que $m|n$.
+Alors :
+\begin{itemize}
+\item pour tout entier $q>1$, l'entier $q^m-1$ divise $q^n-1$,
+\item le polynôme $X^m-1$ divise $X^n-1$ (dans $\ZZ[X]$ ou, par
+conséquent, $A[X]$ pour n'importe quel anneau $A$),
+\item pour tout entier $q>1$, le polynôme $X^{q^m}-X$ divise
+$X^{q^n}-X$ (de même).
+\end{itemize}
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+Le premier point découle de ce que $q^n-1 = (q^m-1)(q^{n-m} + q^{n-2m}
++ \cdots + q^{2m} + q^m + 1)$, comme on le voit en dévelopant. Le
+second découle de même de ce que $X^n-1 = (X^m-1)(X^{n-m} + X^{n-2m}
++ \cdots + X^{2m} + X^m + 1)$. Le troisième point découle des deux
+premiers : puisque $q^m-1$ divise $q^n-1$, le polynôme $X^{q^m-1} - 1$
+divise $X^{q^n-1} - 1$, et par conséquent $X^{q^m} - X$ divise
+$X^{q^n} - X$.
+\end{proof}
+
+\begin{lemme2}\label{lemme-non-divisibilite-x-q-r-x}
+Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels non nuls et $r$ le reste de la
+division euclidienne de $m$ par $n$ ; on suppose $r>0$. Alors :
+\begin{itemize}
+\item pour tout entier $q>1$, le reste de la division euclidienne de
+$q^m-1$ par $q^n-1$ est $q^r-1$,
+\item il existe $g$ dans $\ZZ[X]$ tel que $X^m-1 = (X^n-1) g + (X^r-1)$,
+\item pour tout entier $q>1$, il existe $g$ dans $\ZZ[X]$ tel que
+$X^{q^m}-X = (X^{q^n}-X) g + (X^{q^r}-X)$.
+\end{itemize}
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+Écrivons $m = kn+r$ : le lemme \ref{lemme-divisibilite-x-q-r-x} montre
+que $q^{kn} \equiv 1 \pmod{q^n-1}$, et par conséquent $q^m - 1 \equiv
+q^r -1 \pmod{q^n-1}$ ; puisque $0 < q^r - 1 < q^n - 1$, on a le
+premier point annoncé. Le second est rigoureusement analogue. Le
+troisième découle des deux premiers : puisque $q^r - 1$ est le reste
+de la division euclidienne de $q^m - 1$ par $q^n - 1$, on peut écrire
+$X^{q^m-1} - 1 = (X^{q^n-1}-1) g + (X^{q^r-1}-1)$, donc $X^{q^m} - X
+= (X^{q^n}-X) g + (X^{q^r}-X)$.
+\end{proof}
+
+\begin{lemme2}\label{lemme-pgcd-x-q-r-x}
+Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels non nuls et $d$ leur pgcd.
+Alors :
+\begin{itemize}
+\item pour tout entier $q>1$, les entiers $q^m-1$ et $q^n-1$ ont pour
+pgcd $q^d-1$ (concrètement, il existe $u,v$ entiers tels que $(q^m-1)u
++ (q^n-1)v = q^d-1$),
+\item les polynômes $X^m-1$ et $X^n-1$ de $\ZZ[X]$ engendrent l'idéal
+$(X^d-1)$ de $\ZZ[X]$ (concrètement, il existe $u,v$ de $\ZZ[X]$ tels
+que $(X^m-1)u + (X^n-1)v = X^d-1$),
+\item pour tout entier $q>1$, les polynômes $X^{q^m}-X$ et $X^{q^n}-X$
+de $\ZZ[X]$ engendrent l'idéal $(X^{q^d}-X)$ de $\ZZ[X]$
+(concrètement, il existe $u,v$ de $\ZZ[X]$ tels que $(X^{q^m}-X) u +
+(X^{q^n}-X) v = X^{q^d}-X$.
+\end{itemize}
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+Avant toute chose, \ref{lemme-divisibilite-x-q-r-x} assure bien que
+$q^d-1$ divise $q^m-1$ et $q^n-1$, que $X^d-1$ divise bien $X^m-1$ et
+$X^n-1$, et que $X^{q^d}-X$ divise bien $X^{q^m}-X$ et $X^{q^n}-X$.
+(Ceci justifie notamment que dire « il existe $u,v$ de $\ZZ[X]$ tels
+que $(X^m-1)u + (X^n-1)v = X^d-1$ » traduise bien le fait que $X^m-1$
+et $X^n-1$ engendrent l'idéal $(X^d-1)$, et pas un idéal plus gros, et
+de même pour les autres points.)
+
+Montrons le premier point par récurrence sur $n$. Si $n=d$, tout est
+clair. Sinon, soit $r$ le reste de la division euclidienne de $m$
+par $n$, qui vérifie bien sûr $r>0$. Alors le reste de la division
+euclidienne de $q^m-1$ par $q^n-1$ vaut $q^r-1$
+d'après \ref{lemme-non-divisibilite-x-q-r-x}. Par conséquent,
+$\pgcd(q^m-1,q^n-1) = \pgcd(q^n-1,q^r-1)$. Comme $n$ et $r$ sont
+premiers entre eux, l'hypothèse de récurrence permet de conclure que
+ceci vaut $q^d-1$, ce qu'on voulait prouver.
+
+Montrons le second point par récurrence sur $n$. Si $n=d$, tout est
+clair. Sinon, soit $r$ le reste de la division euclidienne de $m$
+par $n$, qui vérifie bien sûr $r>0$. Alors on peut écrire $X^m-1 =
+(X^n-1) g + (X^r-1)$ d'après \ref{lemme-non-divisibilite-x-q-r-x}.
+Comme $n$ et $r$ sont premiers entre eux, l'hypothèse de récurrence
+permet de trouver une écriture $X^d-1 = (X^n-1)u + (X^r-1)v$ ; en
+remplaçant $X^r-1$ par $X^m-1 - (X^n-1) g$, on trouve bien une
+écriture $X^d-1 = (X^m-1)u' + (X^n-1)v'$ comme souhaitée.
+
+Le troisième point se démontre encore par récurrence sur $n$.
+Si $n=d$, tout est clair. Sinon, soit $r$ le reste de la division
+euclidienne de $m$ par $n$, qui vérifie bien sûr $r>0$. Alors on peut
+écrire $X^{q^m}-X = (X^{q^n}-X) g + (X^{q^r}-X)$
+d'après \ref{lemme-non-divisibilite-x-q-r-x}. Comme $n$ et $r$ sont
+premiers entre eux, l'hypothèse de récurrence permet de trouver une
+écriture $X^{q^d}-X = (X^{q^n}-X)u + (X^{q^r}-X)v$ ; en remplaçant
+$X^{q^r}-X$ par $X^{q^m}-X - (X^{q^n}-X) g$, on trouve bien une
+écriture $X^{q^d}-X = (X^{q^m}-X)u' + (X^{q^n}-X)v'$ comme souhaitée.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}\label{inclusions-corps-finis}
+Si $q = p^r$ et $q' = p^{\prime r'}$, on a $\FF_q \subseteq \FF_{q'}$
+(au sens où $\FF_{q'}$ contient un sous-corps à $q$ éléments, qui est
+alors unique et isomorphe à $\FF_q$) si et seulement si $p = p'$ et
+$r|r'$. Le degré de l'extension $\FF_{q'} \bo \FF_q$ est alors $r'/r$.
+
+Si $q = p^r$ et $q' = p^{r'}$ avec $\pgcd(r,r') = r_0$, alors $\FF_q
+\cap \FF_{q'} = \FF_{q_0}$ où $q_0 = p^{r_0}$ dans n'importe quel
+corps contenant des sous-corps ayant $q$ et $q'$ éléments.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Si $\FF_q \subseteq \FF_{q'}$ où $q = p^r$ et $q' = p^{\prime r'}$, on
+doit nécessairement avoir $p = p'$ car ce sont les caractéristiques de
+ces deux corps. Par ailleurs, $\FF_{q'}$ est un espace vectoriel de
+dimension finie sur $\FF_q$, donc en notant $s$ sa dimension, on a $q'
+= q^s$, c'est-à-dire $r' = rs$ et $r|r'$ comme annoncé.
+
+Réciproquement, si $p = p'$ et $r|r'$, alors $q' = q^s$ où $s = r'/r$
+est entier, donc le lemme \ref{lemme-divisibilite-x-q-r-x} montre que
+$X^{q'} - X$ est multiple de $X^q - X$ (dans $\ZZ[X]$ et en
+particulier dans $\FF_{q'}[X]$), et comme $X^{q'}-X$ est scindé sur
+$\FF_{q'}$, le polynôme $X^q-X$ l'est aussi, ce qui montre que
+$\FF_q \subseteq
+\FF_{q'}$ d'après \ref{sous-corps-a-q-elements}.
+
+La seconde affirmation est alors claire : $\FF_q \cap \FF_{q'}$ est un
+corps fini qui contient le corps fini à $p^{r_1}$ éléments si et
+seulement si $r_1 | r$ et $r_1 | r'$, c'est-à-dire si et seulement si
+$r_1 | r_0$ où $r_0 = \pgcd(r,r')$ --- autrement dit, il s'agit
+justement de $\FF_{q_0}$.
+\end{proof}
+
+\section{Polynômes irréductibles}
+
+\subsection{Polynômes minimaux et éléments conjugués}
+
+Lorsque $x \in \FF_{q^r}$, on rappelle que le \emph{polynôme minimal}
+(\refext{Alg}{polynome-minimal}) de $x$ sur $\FF_q$ (lequel est un
+sous-corps de $\FF_{q^r}$ d'après \ref{inclusions-corps-finis}) est le
+polynôme unitaire $h \in \FF_q[X]$ engendrant l'idéal dans $\FF_q[X]$
+des polynômes $f$ tels que $f(x) = 0$, et que c'est l'unique polynôme
+unitaire irréductible dans $\FF_q[X]$ s'annulant en $x$ ; son degré
+est le degré $s = [\FF_q(x) : \FF_q]$ de $x$ sur $\FF_q$, qui divise
+le degré $r = [\FF_{q^r} : \FF_q]$ de l'extension. De plus, dans ces
+conditions, on a $\FF_q(x) \cong \FF_q[X]/(h) \cong \FF_{q^s}$ : en
+particulier, d'après \ref{petit-theoreme-fermat}, l'élément $x$
+vérifie $x^{q^s} = x$, et $h(X) | (X^{q^s}-X)$. Réciproquement, on
+rappelle que si $h \in \FF_q[X]$ est un polynôme irréductible
+quelconque alors $\FF_q[X]/(h)$ est un corps, et la classe $x$ de $X$
+modulo $h$ (c'est-à-dire dans $\FF_q[X]/(h) = \FF_q(x)$) a $h$ pour
+polynôme minimal.
+
+\begin{proposition2}\label{racines-polynome-minimal-corps-fini}
+Lorsque $x \in \FF_{q^r}$ a pour polynôme minimal $h$ sur $\FF_q$ et
+degré $s$ (divisant $r$), alors le polynôme $h$ est scindé sur
+$\FF_{q^r}$ et ses racines sont $x, x^q, x^{q^2}, \ldots,
+x^{q^{s-1}}$ :
+\[
+h(X) = \prod_{i=0}^{s-1} (X-\Frob_q^i(x))
+\]
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Puisque $h \in \FF_q[X]$ et que $\Frob_q$ est un automorphisme de
+$\FF_{q^r}$ fixant $\FF_q$, on a $h(\Frob_q^i(x)) =
+\Frob_q^i(h(x)) = 0$ pour tout $i$, c'est-à-dire que les $x^{q^i}$
+sont racines de $h$. Montrons maintenant que $x, x^q, \ldots,
+x^{q^{s-1}}$ sont deux à deux distincts, c'est-à-dire que l'ordre de
+$\Frob_q$ agissant sur $x$ (qui doit diviser $s$, comme on l'a
+expliqué) est exactement $s$ : or si on a $x^{q^t} = x$ pour $t \leq
+s$, on a $x \in \FF_{q^t}$ donc le degré $s$ de $x$ sur $\FF_q$
+diviserait $t$, ce qui n'est possible que pour $t=s$. Finalement, on
+a trouvé $s$ racines distinctes dans $\FF_{q^r}$ pour un
+polynôme ($h$) de degré $s$, c'est-à-dire que ce polynôme est scindé
+avec la décomposition annoncée.
+\end{proof}
+
+Le phénomène qu'on vient de mettre en évidence, bien particulier aux
+corps finis, et qui traduira le fait que leur groupe de Galois absolu
+est abélien, est que pour tout polynôme irréductible $h \in
+\FF_q[X]$, le polynôme $h$ est scindé sur n'importe quel corps qui
+en contient une racine, autrement dit, \emph{le corps de
+rupture $\FF_q[X]/(h)$ de $h$ en est un corps de décomposition}. En
+particulier, en utilisant \ref{inclusions-corps-finis}, $\FF_{q^r}$
+est un corps de décomposition de $h$ (supposé irréductible !) pour
+tout multiple $r$ du degré de $h$. Si $h$ n'est pas supposé
+irréductible, il découle de ce qui vient d'être dit que \emph{son
+corps de décompossition est $\FF_{q^r}$ où $r$ est le plus petit
+commun multiple des degrés des facteurs irréductibles de $h$}.
+
+De plus, on vient de voir que l'ordre de $\Frob_q$ agissant sur $x$
+--- ou, par conséquent, sur $\FF_q(x)$ --- est exactement le degré $s$
+de $x$ sur $\FF_q$. En utilisant le théorème de l'élément
+primitif (\refext{Alg}{element-primitif}), on peut conclure que
+$\Frob_q$ agissant sur $\FF_{q^r}$ est d'ordre exactement $r$ ; on
+fournira toutefois
+en \ref{existence-polynome-irreductible-tout-degre-corps-finis} une
+démonstration plus simple du théorème de l'élément primitif dans le
+cas particulier des corps finis.
+
+\begin{corollaire2}\label{elements-conjugues-corps-finis}
+Soient $x,x' \in \FF_{q^r}$. Les conditions suivantes sont
+équivalentes :
+\begin{enumerate}
+\item les polynômes minimaux de $x$ et $x'$ sur $\FF_q$ sont égaux,
+\item le polynôme minimal de $x$ s'annule en $x'$,
+\item tout polynôme $f \in \FF_q[X]$ à coefficient dans $\FF_q$
+ s'annulant en $x$ s'annule aussi en $x'$,
+\item il existe $i$ (qu'on peut supposer compris entre $0$ et $r-1$)
+ tel que $x' = x^{q^i}$.
+\end{enumerate}
+\end{corollaire2}
+\begin{proof}
+L'équivalence entre les deux premières conditions (qui n'a rien de
+particulier au cas des corps finis) résulte du fait que le polynôme
+minimal d'un élément sur $\FF_q$ est l'unique polynôme unitaire
+irréductible sur $\FF_q$ s'annulant en cet élément. L'équivalence
+avec la troisième résulte de ce que les polynômes de $\FF_q[X]$
+s'annulant en un élément de $\FF_{q^r}$ sont exactement les multiples
+du polynôme minimal de cet élément.
+
+Enfin, la proposition précédente montre que, quel que soit $x \in
+\FF_{q^r}$, les autres racines de son polynôme minimal sont justement
+les $x^{q^i}$ (pour $i$ qu'on peut supposer entre $0$ et $r-1$) : il y
+a donc équivalence entre (ii) et (iv).
+\end{proof}
+
+Des éléments $x,x' \in \FF_{q^r}$ vérifiant les conditions
+équivalentes énoncées dans le
+corollaire \ref{elements-conjugues-corps-finis} sont dits
+\emph{conjugués sur $\FF_q$}. La première condition montre qu'il
+s'agit bien d'une relation d'équivalence, et la seconde, que tout
+élément de $\FF_{q^r}$ a un nombre de conjugués sur $\FF_q$ égal à son
+degré sur $\FF_q$. (Cette définition et ces propriétés seront
+généralisées plus tard dans le cadre d'une extension de corps plus
+générale : cf. \refext{CG}{conjugues=racines}.)
+
+La proposition suivante généralise la dernière affirmation
+de \ref{petit-theoreme-fermat} :
+\begin{proposition2}\label{factorisation-x-q-r-x}
+La décomposition en facteurs irréductibles du polynôme $X^{q^r} - X$
+dans $\FF_q[X]$ est donnée comme le produit de tous les polynômes
+unitaires irréductibles de $\FF_q[X]$ de degré divisant $r$, chacun
+apparaissant avec multiplicité $1$.
+
+Notamment, la somme des degrés de tous les polynômes unitaires
+irréductibles de $\FF_q[X]$ de degré divisant $r$ vaut $q^r$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Si $h \in \FF_q[X]$ est irréductible de degré $s$ avec $s|r$, alors
+il est scindé à racines simples dans $\FF_{q^r}$ d'après
+\ref{racines-polynome-minimal-corps-fini} et les remarques qui
+suivent : il s'ensuit que $h$ divise $X^{q^r} - X$ (dans
+$\FF_{q^r}[X]$ donc dans $\FF_q[X]$). Comme tous les polynômes
+unitaires irréductibles de degré divisant $r$ dans $\FF_q[X]$ sont
+deux à deux premiers entre eux, le fait que $X^{q^r}-X$ soit multiple
+de chacun d'eux implique qu'il est multiple de leur produit. Pour
+conclure, il reste donc à montrer l'égalité des degrés, c'est-à-dire
+la dernière affirmation de l'énoncé : or cela se voit en écrivant
+$q^r$ (le cardinal de $\FF_{q^r}$) comme somme des cardinaux de chaque
+classe de conjugaison d'éléments sur $\FF_q$ (chacune étant associée à
+un unique polynôme minimal, dont elle a un cardinal égal au degré).
+\end{proof}
+
+\begin{exemple2}\label{irreductibles-sur-f16}
+Le polynôme $X^{16}-X$ se factorise sur $\FF_2$ comme : $X^{16}-X =
+X(X+1)\penalty-100 (X^2+X+1)\penalty-100 (X^4+X+1)\penalty0
+(X^4+X^3+1)\penalty-50 (X^4+X^3+X^2+X+1)$.
+\end{exemple2}
+
+\subsubsection{}\label{definition-fonction-de-Moebius} On appelle \emph{fonction de Möbius} la fonction $\mu \colon \NN \to
+\ZZ$ définie par $\mu(n) = 0$ si $n$ est multiple du carré d'un entier
+autre que $1$ et $\mu(n) = (-1)^t$ si $n = p_1\cdots p_t$ avec
+$p_1,\ldots,p_t$ des nombres premiers deux à deux distincts (ainsi,
+$\mu(1) = 1$, $\mu(2) = -1$, $\mu(3) = -1$, $\mu(4) = 0$, $\mu(5) =
+-1$, $\mu(6) = 1$, $\mu(7) = -1$, $\mu(8) = 0$, $\mu(9) = 0$, $\mu(10)
+= 1$). On admet le résultat suivant :
+\begin{proposition2}[théorème d'inversion de Möbius]
+Si $\Gamma$ est un groupe abélien et que $f\colon \NN_{>0} \to \Gamma$
+est une fonction quelconque, alors les deux formules suivantes sont
+équivalentes pour une fonction $g\colon \NN_{>0} \to \Gamma$ :
+\[
+g(n) = \sum_{d|n} f(d)
+\]
+\[
+f(n) = \sum_{d|n} \mu\big(\frac{n}{d}\big)\, g(d)
+\]
+\end{proposition2}
+
+\begin{corollaire2}\label{denombrement-polynomes-irreductibles-corps-finis}
+Le nombre de polynômes unitaires irréductibles de degré $n$
+sur $\FF_q$ vaut
+\[
+\frac{1}{n} \sum_{d|n} \mu\big(\frac{n}{d}\big)\, q^d
+\]
+Où $\mu$ est la fonction de Möbius. Lorsque $n \to +\infty$ (à $q$
+fixé), ce nombre vaut $\frac{1}{n} q^n + O(q^{n/2})$.
+\end{corollaire2}
+\begin{proof}
+Pour ce qui est de la première affirmation, en notant $M(n)$ le nombre
+--- qu'on cherche à calculer --- d'unitaires irréductibles de
+degré $n$ sur $\FF_q$, la formule d'inversion de Möbius montre qu'il
+suffit de prouver $q^n = \sum_{d|n} d\,M(d)$ : or c'est justement la
+deuxième affirmation de l'énoncé de la
+proposition \ref{factorisation-x-q-r-x}.
+
+Pour ce qui est de l'estimation asymptotique, remarquons que dans la
+somme exacte, le terme $d=n$ vaut $\frac{1}{n} q^n$, le terme
+$d=\frac{n}{2}$, s'il existe (c'est-à-dire, si $n$ est pair), vaut
+$-\frac{1}{n} q^{n/2}$, et tous les autres termes, dont le nombre est
+au plus $n$, sont chacun $O(q^{n/3})$ --- leur somme est donc
+bien $O(q^{n/2})$.
+\end{proof}
+
+Même sans utiliser la formule d'inversion de Möbius, on peut au moins
+démontrer, dans le même esprit que cette estimation asymptotique :
+\begin{corollaire2}\label{existence-polynome-irreductible-tout-degre-corps-finis}
+Sur $\FF_q$, il existe au moins un polynôme irréductible de chaque
+degré $r$. De façon équivalente, dans $\FF_{q^r}$, il existe un
+élément de degré $r$ sur $\FF_q$.
+\end{corollaire2}
+\begin{proof}
+Le nombre d'éléments de $\FF_{q^r}$ de degré $<r$ est majoré par la
+somme des cardinaux des $\FF_{q^s}$ pour $s|r$, or chacun est de
+cardinal $\leq q^{r/2}$ et leur nombre est $\leq r$, par conséquent
+cette somme de cardinaux est inférieure ou égale à $r q^{r/2}$. Pour
+avoir la conclusion souhaitée, il suffit d'avoir $q^r > r q^{r/2}$,
+soit $q^{r/2} > r$, ce qui se produit dès que $2^r > r^2$, donc dès
+que $r > 4$. Pour les valeurs plus petites de $r$, on constate que
+$q^4 > q^2 + q$ et $q^3 > q$ et $q^2 > q$ (et $q > 0$...) pour tout $q
+\geq 2$.
+\end{proof}
+
+On verra en \ref{cyclicite-groupe-multiplicatif-corps} un résultat
+plus fin : l'existence d'éléments ou de polynômes \emph{primitifs}.
+
+Avec les remarques qui
+suivent \ref{racines-polynome-minimal-corps-fini}, ceci montre
+notamment que $\Frob_q$ agissant sur $\FF_{q^r}$ est d'ordre
+exactement $r$.
+
+\subsection{Critères d'irréductibilité}
+
+\begin{proposition2}[critère d'irréductibilité de Rabin]\label{critere-rabin}
+Un polynôme $h \in \FF_q[X]$ de degré $r$ est irréductible si et
+seulement si il vérifie la conjonction des deux conditions
+suivantes :
+\begin{itemize}
+\item le polynôme $h$ divise $X^{q^r}-X$,
+\item le polynôme $h$ est premier avec $X^{q^s}-X$ pour tout $s$
+diviseur strict de $r$ (ou simplement les diviseurs immédiats de $r$,
+c'est-à-dire les $r/\ell$ avec $\ell$ diviseur premier de $r$).
+\end{itemize}
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Si $h$ est irréductible de degré $r$, alors,
+d'après \ref{factorisation-x-q-r-x}, $h$ divise $X^{q^r}-X$, et s'il
+divise $X^{q^s}-X$ pour $s|r$, on doit avoir $r|s$, ce qui n'est
+possible que pour $s=r$ et la seconde condition est démontrée
+($h$ étant supposé irréductible, s'il ne divise pas $X^{q^s}-X$, il
+est premier avec lui).
+
+Réciproquement, si $h$ vérifie les deux conditions annoncées, et si
+$h_1$ en est un facteur irréductible, le degré $r_1$ de $h_1$ doit
+diviser $r$ d'après la première condition (toujours en
+utilisant \ref{factorisation-x-q-r-x}), et il ne peut pas être un
+diviseur strict de $r$ d'après la seconde condition (qui assure que
+$h_1$ ne divise pas $X^{q^s}-X$) : donc $r_1=r$ et $h_1=h$. Ceci
+montre que $h$ est irréductible.
+
+Le fait qu'il suffise de tester la seconde condition pour les
+diviseurs $s$ de la forme $r/\ell$ avec $\ell$ premier résulte de ce
+que $X^{q^s}-X$ divise $X^{q^{s'}}-X$ si $s|s'$.
+\end{proof}
+
+\begin{remarques2}\label{remarques-critere-rabin}
+\begin{itemize}
+\item On ne peut pas se contenter de vérifier l'une des deux conditions
+énoncées : l'exemple du polynôme $X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+1 =
+(X^3+X^2+1)\penalty-100 (X^3+X+1) \in \FF_2[X]$, qui n'est pas
+irréductible mais vérifie la première condition (il divise déjà
+$X^8-X$) montre que la première condition, seule, n'assure pas
+l'irréductibilité ; et l'exemple du polynôme $X^5 + X^4 + 1 =
+(X^2+X+1)\penalty-100 (X^3+X+1) \in \FF_2[X]$, qui n'est pas
+irréductible mais est premier à $X^2-X$ montre que la seconde
+condition, seule, n'est pas non plus suffisante. On peut aussi donner
+l'exemple de $X^6 + X^5 + X = X (X^2+X+1) (X^3+X+1) \in \FF_2[X]$, qui
+n'est pas irréductible bien qu'il vérifie la première condition et
+aussi la seconde condition dans laquelle on a affaibli « $h$ est
+premier avec $X^{q^s}-X$ » en « $h$ ne divise pas $X^{q^s}-X$ » (pour
+tout diviseur $s$ de $r$, soit ici $s \in \{1,2,3\}$).
+\item Le critère de Rabin fournit un \emph{algorithme} permettant de
+tester l'irréductibilité d'un polynôme $h \in \FF_q[X]$ de degré $r$
+en un nombre raisonnable (i.e., polynomial\footnote{On peut par
+exemple montrer qu'il s'effectue en au pire $O(r^{2+\varepsilon})$
+opérations pour tout $\varepsilon>0$, où la constante impliquée par
+le $O$ dépend de $\varepsilon$ et $q$.} en $r$) d'opérations
+dans $\FF_q$ : en effet, la première condition du critère s'exprime
+également comme $X^{q^r} \equiv X \pmod{h}$, ce qui se teste en
+calculant $X^{q^r}$ dans $\FF_q[X]/(h)$ au moyen d'un algorithme
+d'exponentiation rapide, et la seconde condition, pour un $s$ donné,
+peut se tester au moyen de l'algorithme d'Euclide étendu (pour
+calculer le pgcd), dont la première étape consiste à calculer le reste
+de la division euclidienne de $X^{q^s}-X$ par $h$, ce qui peut de
+nouveau se faire en travaillant dans $\FF_q[X]/(h)$.
+\item Une fois qu'on dispose d'un algorithme permettant de tester
+l'irréductibilité d'un polynôme $h \in \FF_q[X]$ de degré $r$ donné,
+il est possible de \emph{générer} des polynômes irréductibles de
+de