From 615b1e0f2f55353dd403ab2ab2af03336fa58eba Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Thu, 28 Feb 2013 23:18:55 +0100 Subject: =?UTF-8?q?Transformation=20en=20LuaTeX=C2=A0:=20correspondance-ga?= =?UTF-8?q?lois.tex?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- chapitres/correspondance-galois.tex | 263 ++++++++++++++++-------------------- config/macros.tex | 14 +- 2 files changed, 132 insertions(+), 145 deletions(-) diff --git a/chapitres/correspondance-galois.tex b/chapitres/correspondance-galois.tex index 131cf63..783e446 100644 --- a/chapitres/correspondance-galois.tex +++ b/chapitres/correspondance-galois.tex @@ -1,31 +1,9 @@ -%%% vim: set textwidth=150: %%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*- +%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*- \ifx\danslelivre\undefined -\documentclass[9pt]{../configuration/smfart} -\input{../configuration/commun} -\input{../configuration/smf} -\input{../configuration/adresse} -\input{../configuration/gadgets} -\input{../configuration/francais} -\input{../configuration/numerotation} -\input{../configuration/formules} -\input{../configuration/encoredesmacros} - -\synctex=1 - -\usepackage{stmaryrd} -\usepackage{graphics} -\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} -%\usepackage{makeidx} -\usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{matrix} -\usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant -%\usepackage{pxfonts} - -%\textwidth13cm % pour pouvoir lire le nom des étiquettes si \usepackage{showkeys} -\textwidth16cm -\hoffset-1.5cm - - +\documentclass[a4paper,9pt]{amsart} +\input{../config/preambule} +\input{../config/macros} +\title{Correspondance de Galois} \externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder \externaldocument{formes-tordues} \externaldocument{verselles} @@ -36,10 +14,6 @@ \externaldocument{artin-schreier-witt} \externaldocument{descente} \externaldocument{produit-tensoriel} -%\makeindex - -\title{Correspondance de Galois} - \begin{document} \maketitle \tableofcontents @@ -59,7 +33,7 @@ Dans ce paragraphe, on fixe un corps $k$ et $Ω$ une clôture algébrique de $k$. Rappelons que si $K$ est un anneau et $A,B$ deux $K$-algèbres, -on note également $\japmath{田}A(B)$ l'ensemble $\Hom_K(A,B)$ des +on note également $田A(B)$ l'ensemble $\Hom_K(A,B)$ des homomorphismes de $K$-algèbres. \subsection{Conjugués d'un élément} @@ -87,17 +61,17 @@ de $k$, contenue dans $Ω$, donc nécessairement égale à $Ω$. \end{démo} Une telle extension est non unique en général. Nous verrons -plus tard qu'elle est unique \ssi $Ω$ est \emph{radiciel} sur $K$. +plus tard qu'elle est unique si et seulement si $Ω$ est \emph{radiciel} sur $K$. \begin{corollaire2}\label{caracterisation-conjugaison} Soient $x,y∈Ω$ et $K$ un sous-corps de $Ω$ contenant $k(x)$. -Les éléments $x$ et $y$ sont conjugués sur $k$ \ssi +Les éléments $x$ et $y$ sont conjugués sur $k$ si et seulement si il existe un $k$-plongement $ι:K→Ω$ tel que $ι(x)=y$. \end{corollaire2} \begin{proposition2} Deux éléments de $Ω$ sont conjugués sur $k$ -\ssi ils ont même polynôme minimal sur $k$. +si et seulement si ils ont même polynôme minimal sur $k$. \end{proposition2} @@ -124,12 +98,12 @@ où $z=y$ (resp. $z=x$). L'ensemble des conjugués sur $k$ d'un élément $x$ de $Ω$ coïncide avec l'ensemble des racines dans $Ω$ de son polynôme minimal $μ_{k,x}$. Cet ensemble est fini, de cardinal inférieur ou égal -à $\deg μ_{k,x}=[k(x):k]$. L'égalité a lieu \ssi +à $\deg μ_{k,x}=[k(x):k]$. L'égalité a lieu si et seulement si $x$ est séparable sur $k$. \end{corollaire2} Le nombre de racines distinctes dans $Ω$ d'un polynôme non nul étant égal au degré -de ce polynôme \ssi ses racines sont simples, la remarque +de ce polynôme si et seulement si ses racines sont simples, la remarque sur le cas d'égalité est évidente. On peut être plus précis. @@ -157,7 +131,7 @@ extension de corps ?] \begin{proposition2}\label{Hom=Aut} Soit $K\bo k$ une extension algébrique. -L'inclusion $\Aut_k(K)→\japmath{田}K(K)$ est une bijection. +L'inclusion $\Aut_k(K)→田K(K)$ est une bijection. En d'autres termes, tout $k$-plongement $ι:K→K$ est surjectif. \end{proposition2} @@ -213,12 +187,12 @@ Les conditions suivantes sont équivalentes : \begin{enumerate} \item pour tout $k$-plongement $ι:K↪Ω$, on a $ι(K)⊆K$ ; \item pour tout $k$-automorphisme $σ$ de $Ω$, on a $σ(K)⊆K$ ; -\item l'inclusion naturelle $\Aut_k(K)=\japmath{田}K(K)↪\japmath{田}K(Ω)$ est une bijection ; +\item l'inclusion naturelle $\Aut_k(K)=田K(K)↪田K(Ω)$ est une bijection ; \item pour tout $x∈K$, le polynôme minimal $μ_{x,k}$ de $x$ sur $k$ est scindé sur $K$ ; \item tout polynôme irréductible de $k[X]$ ayant une racine dans $K$ est scindé sur $K$ ; \item pour tout $x∈K$, les $k$-conjugués de $x$ dans $Ω$ appartiennent à $K$ ; \item pour tout $𝔭∈\Spec(K⊗_k K)$, l'extension résiduelle $κ(𝔭)\bo K$ est triviale ; -\item l'application $\japmath{田}(K⊗_k K)(K)↪\japmath{田}(K⊗_k K)(Ω)$ est une bijection ; +\item l'application $田(K⊗_k K)(K)↪田(K⊗_k K)(Ω)$ est une bijection ; \item l'application $\Aut_k(K) → \Spec(K ⊗_k K)$, $g ↦ 𝔭_g:=\Ker\big(m_g:λ⊗μ\mapsto g(λ)\cdot μ\big)$ est une bijection. \end{enumerate} @@ -240,7 +214,7 @@ et \ref{caracterisation-conjugaison}. % On utilise le fait que $K$ est la réunion de ses sous-$k$-extensions monogènes. (vii)⇔(viii). Notons $A$ la $K$-algèbre $K ⊗_k K$ ; elle est entière sur $K$ (\refext{Alg}{entier sur corps stable par cb}). -L'application noyau $\japmath{田}A(Ω)→\Spec(A)$, $φ ↦ \Ker(φ)$ +L'application noyau $田A(Ω)→\Spec(A)$, $φ ↦ \Ker(φ)$ est donc surjective. En effet, sa fibre au-dessus d'un élément $𝔭$ de $\Spec(A)$ est, par propriété universelle du quotient, en bijection avec l'ensemble $\Hom_K(A/𝔭,Ω)$. Or, l'anneau $A/𝔭$ est intègre @@ -248,10 +222,10 @@ et entier sur $K$ ; c'est donc un corps (\refext{Alg}{polynome-minimal}). D'après \refext{Alg}{plongement-dans-cloture-algebrique}, l'ensemble $\Hom_K(A/𝔭,Ω)$ est donc non vide. Les idéaux premiers de $A$ sont donc tous $K$-rationnels -si et seulement si l'inclusion $\japmath{田}A(K)↪\japmath{田}A(Ω)$ +si et seulement si l'inclusion $田A(K)↪田A(Ω)$ est une bijection. (viii)⇔(iii) Soit $B$ une $K$-algèbre et ${_{[k]}B}$ la $k$-algèbre déduite de $B$ par restriction des scalaires. -L'application $\japmath{田}K({_{[k]}B})→\japmath{田}A(B)$, +L'application $田K({_{[k]}B})→田A(B)$, $ι\mapsto \big(φ_ι:λ⊗μ \mapsto ι(λ)\cdot μ\big)$ est une bijection, d'inverse est $φ\mapsto \big(ι_φ:λ\mapsto φ(λ⊗1_B)\big)$. (Ce résultat est un cas particulier de l'adjonction @@ -261,8 +235,8 @@ si $B → B ′$ est un morphisme de $K$-algèbres, le diagramme \begin{center} \begin{tikzpicture}[auto] \matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=2em,row sep=5ex]{ -|(KB)| \japmath{田}K({_{[k]}B}) & |(KBp)| \japmath{田}K({_{[k]}B′})\\ -|(AB)| \japmath{田}A(B)& |(ABp)| \japmath{田}A(B ′)\\}; +|(KB)| 田K({_{[k]}B}) & |(KBp)| 田K({_{[k]}B′})\\ +|(AB)| 田A(B)& |(ABp)| 田A(B ′)\\}; \draw[->] (KB) -- (KBp); \draw[->] (AB) -- (ABp); \draw[->] (KB) -- (AB); @@ -270,9 +244,9 @@ si $B → B ′$ est un morphisme de $K$-algèbres, le diagramme \end{tikzpicture} \end{center} est commutatif. La conclusion résulte aussitôt en posant $B=K$ et $B ′=Ω$. -(viii)⇔(ix). L'application $G=\japmath{田}K(K) → \japmath{田}A(K)$ +(viii)⇔(ix). L'application $G=田K(K) → 田A(K)$ n'est autre que $g ↦ (λ⊗μ↦g(λ)μ)$. L'application composée -$\japmath{田}K(K) → \japmath{田}A(Ω) ⥲ \Spec(A)$ +$田K(K) → 田A(Ω) ⥲ \Spec(A)$ est celle de l'énoncé. [À vérifier] \XXX Notons que l'injectivité de $G → \Spec(K ⊗_k K)$ est claire : si $g(λ)≠g'(λ)$, l'élément $λ⊗1-1⊗g(λ)$ appartient à $𝔭_g$ mais pas à $𝔭_{g'}$. @@ -394,7 +368,7 @@ Une extension algébrique $K\bo k$ est dite \emph{galoisienne} si elle est normale et séparable. \end{définition2} \begin{lemme2}\label{gal=corps-dec-sep} -Une extension est galoisienne \ssi elle est isomorphe au +Une extension est galoisienne si et seulement si elle est isomorphe au corps de décomposition d'une famille de polynômes séparables. \end{lemme2} @@ -415,7 +389,7 @@ est séparable (\ref{dec-poly-sep=sep}). Soient $K\bo k$ une extension \emph{finie} et $G=\Aut_k(K)$. L'extension $K\bo k$ est galoisienne -\ssi le morphisme +si et seulement si le morphisme $$ K⊗_k K→∏_{g∈G} K=\Hom_{\Ens}(G,K) $$ @@ -654,12 +628,12 @@ suivante (« théorème de Dedekind ») de \ref{indépendance linéaire des automorphismes} : \begin{quote} Soient $k$ un corps, $k'\bo k$ une extension et $A$ une $k$-algèbre. -L'ensemble $\japmath{田}A(k')$ est une partie $k'$-libre de +L'ensemble $田A(k')$ est une partie $k'$-libre de $\Hom_{k\traitdunion\mathrm{ev}}(A,k')$. \end{quote} (On pourra commencer par montrer, en utilisant le théorème chinois -et l'isomorphisme $\japmath{田}A(k')⥲\japmath{田}A_{k'}(k')$ que pour toute partie finie -$U$ de $\japmath{田}A(k')$ l'application $A_{k'}→{k'}^{U}$, $(a⊗1)↦\big(u(a)\big)_{u∈U}$ +et l'isomorphisme $田A(k')⥲田A_{k'}(k')$ que pour toute partie finie +$U$ de $田A(k')$ l'application $A_{k'}→{k'}^{U}$, $(a⊗1)↦\big(u(a)\big)_{u∈U}$ est surjective.) \end{exercice2} @@ -699,26 +673,26 @@ est un isomorphisme. \begin{remarques2}\label{rmqs pseudo-torseurs} \begin{enumerate} -\item Soit $B$ une $A$-algèbre. Notons $\japmath{田}B ∈ \ob \Hom(A\traitdunion\Alg,\Ens)$ -le foncteur de Yoneda : $\japmath{田}B(T)=\Hom_{A\traitdunion\Alg}(B,T)$ +\item Soit $B$ une $A$-algèbre. Notons $田B ∈ \ob \Hom(A\traitdunion\Alg,\Ens)$ +le foncteur de Yoneda : $田B(T)=\Hom_{A\traitdunion\Alg}(B,T)$ pour toute $A$-algèbre test $T$. Si $B$ est muni d'une action de $G$ par $A$-automorphismes, $G$ s'envoie naturellement dans -$\End(\japmath{田}B)$ : si $f ∈ \japmath{田}B(T)$, $g ⋅f:b ↦ f(g^{-1}b)$. -Notons $\japmath{田}B × G ∈ \ob \Hom(A\traitdunion\Alg,\Ens)$ -(resp. $\japmath{田}B ×_{\japmath{田}A} \japmath{田}B$) +$\End(田B)$ : si $f ∈ 田B(T)$, $g ⋅f:b ↦ f(g^{-1}b)$. +Notons $田B × G ∈ \ob \Hom(A\traitdunion\Alg,\Ens)$ +(resp. $田B ×_{田A} 田B$) le foncteur envoyant une $A$-algèbre $T$ sur le produit cartésien (resp. fibré) d'ensembles -$\japmath{田}B(T) × G$ (resp. $\japmath{田}B ×_{\japmath{田}A} -\japmath{田}B$). Ce sont des cas particuliers +$田B(T) × G$ (resp. $田B ×_{田A} +田B$). Ce sont des cas particuliers des notions de coproduit, indicé par $G$, et de produit fibré respectivement dans la catégorie $\Hom(A\traitdunion\Alg,\Ens)$. -L'action de $G$ sur $\japmath{田}B$ induit -un morphisme de foncteurs $\japmath{田}B × G → \japmath{田}B(T) -×_{\japmath{田}A(T)} \japmath{田}B(T)$, correspondant +L'action de $G$ sur $田B$ induit +un morphisme de foncteurs $田B × G → 田B(T) +×_{田A(T)} 田B(T)$, correspondant sur les points à l'application $(y,g) ↦ (g ⋅ y, y)$. Il résulte du lemme de Yoneda \refext{Cat}{lemme-de-yoneda} et du fait que, par définition du produit scalaire -$\japmath{田}(B ⊗_A B)=\japmath{田}B ×_{\japmath{田}A} \japmath{田}B$, +$田(B ⊗_A B)=田B ×_{田A} 田B$, que ce morphisme est un isomorphisme si et seulement si $B$ est un pseudo-$G$-torseur sur $A$. Cette approche permet de définir la notion @@ -1078,7 +1052,7 @@ cardinal au plus $\deg(f)$ des racines de $f$ dans $\dec(f)$. L'extension $\dec(f)\bo K$ est finie et normale (\ref{normal=corps-dec}). Écrivons $f=∏_i f_i^{r_i}$ où les polynômes $f_i$ sont unitaires irréductibles, premiers -entre eux deux-à-deux et posons $f_\red=∏_i f_i$. Le lemme suivant est un corollaire immédiat +entre eux deux-à-deux et posons $f_{\red}=∏_i f_i$. Le lemme suivant est un corollaire immédiat des définitions ainsi que de \ref{dec(f)-sep=>f-red-separable} et \ref{dec-poly-sep=sep}. \begin{lemme2} @@ -1086,18 +1060,18 @@ Les conditions suivantes sont équivalentes : \begin{enumerate} \item l'extension $\dec(f)\bo K$ est séparable ; \item chaque $f_i$ est séparable ; -\item le polynôme $f_\red$ est séparable. +\item le polynôme $f_{\red}$ est séparable. \end{enumerate} -De plus, le polynôme $f$ est séparable \ssi chaque $f_i$ est séparable et de multiplicité -$r_i$ égale à un (\cad $f=f_\red$). +De plus, le polynôme $f$ est séparable si et seulement si chaque $f_i$ est séparable et de multiplicité +$r_i$ égale à un (c'est-à-dire $f=f_{\red}$). \end{lemme2} \begin{définition2} -Si $f_\red$ est séparable, on appelle \emph{groupe de Galois du polynôme $f$} le groupe de Galois de +Si $f_{\red}$ est séparable, on appelle \emph{groupe de Galois du polynôme $f$} le groupe de Galois de l'extension $\dec(f)\bo K$, noté $G_f$ ou $\Gal(f)$. \end{définition2} -Il résulte de la définition que $G_f=G_{f_\red}$. +Il résulte de la définition que $G_f=G_{f_{\red}}$. Le cas crucial est bien entendu celui où $f$ est un polynôme irréductible séparable. Il nous a cependant paru utile de ne pas se limiter à ce cas @@ -1118,7 +1092,7 @@ la convention \refext{Cat}{blabla-unicite-objet-universel}, nous nous autorisons groupe de Galois d'une équation, même si ce dernier n'est pas abélien. Une façon de procéder pour résoudre cette difficulté est de fixer une clôture algébrique de $K$, ou plus généralement toute extension $Ω$ de $K$ sur laquelle $f$ est scindé, -et de considérer le groupe de Galois $\Gal(f,Ω)$ de $f$ « pointė » en $Ω$, \cad +et de considérer le groupe de Galois $\Gal(f,Ω)$ de $f$ « pointė » en $Ω$, c'est-à-dire le groupe de Galois de l'unique corps de décomposition de $f$ dans $Ω$. \subsubsection{}Le fait trivial suivant est d'importance capitale : l'ensemble @@ -1151,19 +1125,19 @@ sur $\dec(f)$ tout entier et, finalement, $g=\Id$. \begin{lemme2}\label{action transitive de Galois si poly irréductible} Le groupe de Galois $G_f$ agit \emph{transitivement} -sur les racines $R_f$ \ssi le polynôme séparable -$f_\red$ est \emph{irréductible}. +sur les racines $R_f$ si et seulement si le polynôme séparable +$f_{\red}$ est \emph{irréductible}. Sous cette hypothèse, $\deg(f)$ divise $\# G_f$. \end{lemme2} \begin{démo} -On peut supposer $f=f_\red$. +On peut supposer $f=f_{\red}$. Si $f$ est irréductible, c'est le polynôme minimal de chacune de ses racines. La conclusion résulte alors de \ref{conjugues=racines}. Réciproquement, il résulte de \emph{loc. cit.} -que deux racines sont conjuguées \ssi elles ont même polynôme +que deux racines sont conjuguées si et seulement si elles ont même polynôme minimal. Ainsi, si $G_f$ agit transitivement sur $R_f$, et $r∈R_f$, $f$ a pour unique diviseur irréductible $μ_{r,k}$. Comme $f$ est supposé séparable, on a $f=μ_{r,k}$ @@ -1177,7 +1151,7 @@ sur un ensemble fini $X$, on a $\#X | \# G$. [À déplacer/modifier : simple copier-coller d'exos à l'X] \XXX -\begin{lemme2}(Lemme de McCoy-\jap{永田}) +\begin{lemme2}(Lemme de McCoy-{\IPAMincho 永田}) Soit $A$ un anneau commutatif. Un polynôme $P ∈ A[X]$ non nul est diviseur de zéro si et seulement si il existe $a ≠ 0$ dans $A$ tel que @@ -1202,7 +1176,7 @@ Enfin, soient $A=∑_0^n \overline{A_i} X^i$ et $B=∑_0^m \overline{B_j} X^j$ les polynômes dans $R[X]$. Par construction, $AB=0$. D'autre part, les coefficients de $A$ (resp. $B$) engendrent l'idéal unité de $R$. -Il résulte du lemme de McCoy-\jap{永田}, que l'anneau $R$ est nul. +Il résulte du lemme de McCoy-{\IPAMincho 永田}, que l'anneau $R$ est nul. \begin{définition2} On dit un polynôme à coefficients dans un anneau $A$ est @@ -1440,10 +1414,10 @@ $\dec(h)$. \subsubsection{}\label{exemple-galois-equation-generique} Soient $d$ un entier et $k$ un corps. Considérons le corps des fractions rationnelles en $d$ indéterminées $L=k(X₁,\dots,X_d)$. Le groupe -symétrique $\got{S}_d$ agit $k$-linéairement sur $L$ +symétrique $\mathfrak{S}_d$ agit $k$-linéairement sur $L$ par permutation des variables : $g(X_i)=X_{g(i)}$ pour tout $1≤i≤d$. -Soit $K:=\Fix_{\got{S}_d}L$. Il résulte du lemme d'Artin que l'extension -$L\bo K$ est galoisienne, de groupe $\got{S}_d$. En particulier, +Soit $K:=\Fix_{\mathfrak{S}_d}L$. Il résulte du lemme d'Artin que l'extension +$L\bo K$ est galoisienne, de groupe $\mathfrak{S}_d$. En particulier, elle est de degré $d!$. D'autre part, notons $σ_j$ ($1≤i≤d$) les fonctions symétriques élémentaires en les $X_i$ : @@ -1455,9 +1429,9 @@ $$ Il en résulte que $L=k(X₁,\dots,X_d)$ est un corps de décomposition du polynôme de droite, de degré $d$, sur le sous-corps $K'=k(σ₁,\dots,σ_d)$ de $L$. D'après \ref{dec-deg-inf-fact-n}, on a donc $[L:K']≤d!$. -Puisque $K'⊆K$ on a $K=K'$, \cad +Puisque $K'⊆K$ on a $K=K'$, c'est-à-dire $$ -\Fix_{\got{S}_d} k(X₁,\dots,X_d)=k(σ₁,\dots,σ_d). +\Fix_{\mathfrak{S}_d} k(X₁,\dots,X_d)=k(σ₁,\dots,σ_d). $$ Remarquons que ce résultat, présenté ici comme un corollaire du lemme d'Artin, se démontre directement sans difficulté. @@ -1465,7 +1439,7 @@ du lemme d'Artin, se démontre directement sans difficulté. Le résultat précédent se paraphrase ainsi : \begin{quote} « Pour tout corps $k$, l'équation \emph{générique} de degré -$d$ sur $k$ est séparable de groupe $\got{S}_d$. » +$d$ sur $k$ est séparable de groupe $\mathfrak{S}_d$. » \end{quote} \subsubsection{Discriminant et $2$-distinguant} Supposons $d≥2$. Soit $𝔄_d$ le groupe alterné, @@ -1476,7 +1450,7 @@ tel que $\Fix_{𝔄_d} k(X₁,\dots,X_d)$ soit le corps de décomposition du polynôme (séparable) $X²-Δ$ (resp. $X²-X-Δ$) si $\car(k)≠2$ (resp. $\car(k)=2$). -\begin{lemme3}\label{construction discriminant et 2-distinguant} +\begin{lemme2}\label{construction discriminant et 2-distinguant} \begin{enumerate} \item Soit $δ_{2'}∈𝐙[X₁,\cdots,X_d]$ l'élément $∏_{1≤i \setmathfont[range={}]{XITS Math} -- cgit v1.2.1