From 9d697f9716813e67229fb829ac1f926bd8d6019a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Fri, 12 Oct 2012 14:59:17 +0200 Subject: =?UTF-8?q?[Gr=C3=B6bner]=20Un=20exemple=20explicite=20de=20d?= =?UTF-8?q?=C3=A9composition.?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- chapitres/bases-groebner.tex | 34 +++++++++++++++++++++++++++++++--- 1 file changed, 31 insertions(+), 3 deletions(-) diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex index f99a90a..5932fb9 100644 --- a/chapitres/bases-groebner.tex +++ b/chapitres/bases-groebner.tex @@ -1420,9 +1420,9 @@ relations, $q_d$, est donnée par $f(Z_1) = 0$.) \begin{exemple2}\label{exemple-algebre-de-decomposition-universelle-non-connexe} Si $f = X^3 + X^2 -2 X -1$, la base de Gröbner donnée ci-dessus est -formée des trois relations : $q_3 = Z_1^3 + Z_1^2 - 2 Z_1 - 1$, $q_2 = -Z_2^2 + Z_1 Z_2 + Z_2 + Z_1^2 + Z_1 - 2$ et $q_1 = Z_3 + Z_2 + Z_1 + -1$. +formée des trois relations : $q_3 = Z_1^3 + Z_1^2 - 2 Z_1 - 1$ +(c'est-à-dire $f(Z_1)$), $q_2 = Z_2^2 + Z_1 Z_2 + Z_2 + Z_1^2 + Z_1 - +2$ et $q_1 = Z_3 + Z_2 + Z_1 + 1$. \end{exemple2} \begin{definition2}\label{definition-algebre-de-decomposition-universelle} @@ -1886,6 +1886,34 @@ les polynômes à une variable à coefficients dans $k$, on peut trouver les idéaux maximaux $J_i$ contenant $I$. \end{algorithme2} +\begin{exemple2} +Reprenons l'exemple commencé en +\ref{exemple-algebre-de-decomposition-universelle-non-connexe} +et \ref{remarque-projection-et-ideaux-premiers} : soit $f = X^3 + X^2 +-2 X -1$, dont l'algèbre de décomposition universelle est engendrée +par les relations $q_3 = Z_1^3 + Z_1^2 - 2 Z_1 - 1$, $q_2 = Z_2^2 + +Z_1 Z_2 + Z_2 + Z_1^2 + Z_1 - 2$ et $q_1 = Z_3 + Z_2 + Z_1 + 1$ (qui +en sont une base de Gröbner). Si on considère $(c_1,c_2,c_3) = +(1,-1,0)$, c'est-à-dire qu'on ajoute la relation $Y - Z_1 + Z_2$, +l'idéal $\tilde I$ a alors pour base de Gröbner les éléments +suivants : $Y^6 - 14 Y^4 + 49 Y^2 - 49$, $Z_1 + \frac{3}{14} Y^4 - +\frac{5}{2} Y^2 - \frac{1}{2} Y + 5$, $Z_2 + \frac{3}{14} Y^4 - +\frac{5}{2} Y^2 + \frac{1}{2} Y + 5$ et $Z_3 - \frac{3}{7} Y^4 + 5 Y^2 +- 9$. Le premier polynôme $h(Y) = Y^6 - 14 Y^4 + 49 Y^2 - 49$ de +cette liste, se factorise comme $(Y^3 - 7 Y - 7) \penalty0\, (Y^3 - 7 +Y + 7)$. En appelant $h_1$ et $h_2$ ces deux facteurs (dans l'ordre +où on les a écrits), les deux idéaux maximaux de $\QQ[Y,Z_1,Z_2,Z_3]$ +contenant $\tilde I$ sont $\tilde J_1 = \tilde I + (h_1)$ et $\tilde +J_2 = \tilde I + (h_2)$ (par exemple, $\tilde J_1$ a pour base de +Gröbner $Y^3 - 7 Y - 7$, $Z_1 - Y^2 + Y + 5$, $Z_2 - Y^2 + 2 Y + 5$ et +$Z_3 + 2 Y^2 - 3 Y - 9$), et les deux idéaux maximaux de +$\QQ[Z_1,Z_2,Z_3]$ contenant $I$ sont $J_1 = I + (g_1)$ et $J_2 = I + +(g_2)$ où $g_1 = h_1(c_1 Z_1 + c_2 Z_2 + c_3 Z_3) = h_1(Z_1-Z_2)$ et +de même pour $g_2$. On peut bien sûr en calculer une base de Gröbner, +par exemple pour $J_1$ : $Z_1^3 + Z_1^2 - 2 Z_1 - 1$, $Z_2 + Z_1^2 + +Z_1 - 1$ et $Z_3 - Z_1^2 + 2$. +\end{exemple2} + -- cgit v1.1