From 71876f686037cda52a56fb1811b4d20ad7f8810b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "Fabrice (Darwin)" Date: Thu, 24 Mar 2011 00:09:43 +0100 Subject: =?UTF-8?q?[AVD,=20corps=20locaux/globaux]=20petite=20r=C3=A9organ?= =?UTF-8?q?isation=20+=20pr=C3=A9cision=20sur=20plan=20ad=C3=A8les/id?= =?UTF-8?q?=C3=A8les=20et=20Riemann-Roch?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit diff --git a/chapitres/AVD-Dedekind.tex b/chapitres/AVD-Dedekind.tex new file mode 100644 index 0000000..04c1d02 --- /dev/null +++ b/chapitres/AVD-Dedekind.tex @@ -0,0 +1,827 @@ +\ifx\danslelivre\undefined +\documentclass[9pt]{../configuration/smfart} +\input{../configuration/commun} +\input{../configuration/smf} +\input{../configuration/adresse} +\input{../configuration/gadgets} +\input{../configuration/francais} +\input{../configuration/numerotation} +\input{../configuration/formules} +\input{../configuration/encoredesmacros} +\synctex=1 +\usepackage{stmaryrd} +\usepackage{graphics} +\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} +\usepackage{srcltx} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{matrix} +\usetikzlibrary{calc} + +\title{Anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind} + +\externaldocument{extensions-algebriques} +\externaldocument{correspondance-galois} +\externaldocument{formes-tordues} +\externaldocument{spectre} +\externaldocument{verselles} +\externaldocument{corps-finis} +\externaldocument{entiers} +\externaldocument{categories} + + +%\textwidth16cm +%\hoffset-1.5cm +\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry} + +\begin{document} +\begin{center} +Anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind +\end{center} +\tableofcontents +\else +\chapter{Anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind} +\fi + +\section{Anneaux de valuation, places et valeurs absolues : généralités} + +\subsection{Anneaux de valuation} + +\subsubsection{}Relation de domination\index{domination, relation de} entre anneaux locaux + +\begin{théorème2} +Soient $K$ un corps et $A$ un sous-anneau de $K$. +Les conditions suivantes sont équivalentes : +\begin{enumerate} +\item $A$ est maximal pour la relation d'ordre de domination ; +\item pour tout $x ∈ K-\{0\}$, ou bien $x ∈ A$ ou bien $1/x ∈ A$ ; +\item $K=\Frac(A)$ et l'ensemble des idéaux de $A$ est totalement +ordonné pour l'inclusion. +\end{enumerate} +\end{théorème2} + +\begin{définition2} +\XXX +Anneau de valuation \index{anneau de valuation} si +intègre et [...] +\end{définition2} + +\begin{proposition2} +\XXX +Un anneau de valuation est local, intégralement clos +dont tout idéal de type fini est principal. +\end{proposition2} + +\begin{proposition2} +Si $L\bo K$ est une extension. La clôture intégrale +de $A$ dans $L$ est l'intersection des anneaux de valuation +de $L$ contenant $A$. +\end{proposition2} + +\begin{démo} +\XXX +[AC Ch.VI, §1, n.3, Cor.3] +\end{démo} + +\begin{théorème2} +\XXX +Tout $A$-module de type fini sans torsion est libre. +Tout $A$-module sans torsion est plat. +\end{théorème2} + +\begin{démo} +\XXX +[AC. Ch.VI, §3, n.6, Lemme 1] +\end{démo} + +\begin{théorème2} +\XXX +Tout $A$-module de présentation fini de torsion +est isomorphe à un $A$-module de la forme +\[ +A/a₁ ⊕ \cdots ⊕ A/a_n. +\] +\end{théorème2} + +\begin{démo} +\XXX +Gabber-Ramero, Almost, 6.1.14. +\end{démo} + +\subsection{Places} + +\subsubsection{Droite projective}\XXX Si $k$ est un corps, +$\gtilde{k}=k ∪ \{∞\}$ et [...] + +\begin{définition2} +\XXX +Place : $K → \gtilde{k}$. +\end{définition2} + +En conflit avec Weil [BNT]. + +critère d'intégralité en terme de places. + +\subsection{Valuations} +\XXX +Groupe abélien totalement ordonné $Γ$. +Valuation\index{valuation} : $v:A → Γ ∪\{∞\}$. + +\begin{proposition2} +\XXX +Anneau de valuation=place (modulo isom.)=valuation (modulo isom). +\end{proposition2} + +\begin{proposition2} +\XXX +\[\dim(A)=\text{rang convexe}(Γ) ≤ \rang(Γ ⊗ 𝐐).\] +(Bijection explicite.) +\end{proposition2} + +Le rang convexe est appelé hauteur par Bourbaki. + +\begin{démo} +Gabber-Ramero, 6.1.20—6.1.23. +\end{démo} + +\begin{définition2} +\XXX +Rang\index{rang d'une valuation} d'une valuation. +\end{définition2} + +\subsection{Anneaux de valuation discrète} + +\begin{proposition2} +\XXX Un anneau local nœthérien normal de dimension $1$ est un anneau de +valuation discrète. [à énoncer sous forme de conditions équivalentes] +\end{proposition2} + +Deux AVD de même corps des fractions sont égaux. +Un $A$-module de type fini est libre si et seulement si il est sans torsion. +(Cas particulier des résultats précédents.) + +\begin{proposition2} +\XXX +Si $K$ est complet à corps résiduel parfait $k$ et d'égale +caractéristique, $K=k((t))$. +\end{proposition2} + +\begin{démo} +\XXX +Relèvement de Teichmüller ; cf. p. ex. [ANAF] chap. 10, th. 1. +\end{démo} + +Cas d'égale caractéristique. + +\begin{proposition2} +Si corps résiduel fini, c'est une extension finie de $𝐐_p$. +\end{proposition2} + +\begin{démo} +[ANAF], chap. 10, fin §1. +\end{démo} + +\begin{théorème2} +\XXX +Cas général (Witt). +\end{théorème2} + +\begin{démo} +Utiliser si possible les constructions du chapitre sur KASW. +\end{démo} + +\subsection{Valeurs absolues}\XXX +Valeurs absolues\index{valeur absolue}. Corps valué\index{corps valué} +Cas ultramétrique. + +\begin{proposition2} +Toute valeur absolue est équivalente à un valeur absolue +satisfaisant l'inégalité triangulaire. +\end{proposition2} + +La définition n'est pas parfaitement standardisée. % ☡ + +Lien avec valuation de rang $1$ (cas ultramétrique). + +\begin{théorème2} +\XXX +Le théorème d'approximation. +\end{théorème2} + +Cf. Artin [ANAF]. + +\subsection{Exemples} + +Exemple : valuation de Gauß sur $k(X)$ (\cite[VI]{Local@Cassels}). + +\begin{proposition2} +\XXX +Ostrowski. +\end{proposition2} + +\begin{proposition2} +\XXX +$k(X)$. +\end{proposition2} + +\begin{proposition2} +\XXX +Formule du produit [cas particulier ?] +\end{proposition2} + +\begin{théorème2} +\label{théorème de plongement dans Qp} +Soit $K$ une extension de type fini de $𝐐$ et soit $E ⊆ K^×$ +un sous-ensemble fini. Il existe une infinité de nombres premiers $p$ +pour lesquels il existe un plongement $ι:K ↪ 𝐐_p$, tel que pour chaque +$e ∈ E$, $|ι(e)|=1$. +\end{théorème2} + +\begin{démo} +\XXX +Cf. \cite[V.1.1]{Local@Cassels}. +\end{démo} + + +\section{Théorie élémentaire de la ramification} + +Artin [theory of algebraic numbers], §3. Bourbaki, AC. Voir aussi Gabber-Ramero (Almost ring theory). + +\subsection{Prolongement des valuations} + +Valeurs absolues : cf. \cite[VII]{Cassels}. + +\subsection{Hensélisation et complétion} + +\subsection{Indice de ramification} + +\begin{définition2} +indice de ramification +\end{définition2} + +\begin{théorème2} +\XXX +$L\bo K$ extension finie, $K$ valué, $B$ clôture +intégrale de $A=K^+$ dans $L$. +Alors, +\[ +∑_{𝔭 ∈ \Specmax(B)} (Γ_𝔭 : Γ)[κ(𝔭) : κ] ≤ [L:K]. +\] +\end{théorème2} + +\begin{proposition2} +\XXX +Cas galoisien : +\[ +efn ≤ [L:K]. +\]. +Cas hensélien : +\[ +ef ≤ [L:K] +\] +\end{proposition2} + + +\begin{proposition2} +\XXX +Cas d'égalité : valuation discrète et extension séparable. +\end{proposition2} + +\begin{démo} +\XXX +AC, ch.VI, §8, n.5, Cor.1 + +\end{démo} + +\begin{exemple2} +\XXX +Cas inséparable : cf. Gabber-Ramero 6.2.7 (iii). +\end{exemple2} + +\begin{définition2} +\XXX +Extension totalement ramifiée ; extension non ramifiée. +\end{définition2} + +Voir Artin, [ANAF] chap. IV. + +\begin{proposition2} +\XXX +Extension d'Eisenstein. +\end{proposition2} + +Notamment : + +\begin{proposition2} +\XXX Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet, $K$ son corps des fractions, +et $L/K$ une extension séparable de degré $n$. Soit $B$ la normalisation de $A$ dans +$K$ ; on suppose que l'indice de ramification $e=n$ \cad que l'extension +est \emph{totalement ramifiée}. Alors, si $x$ est une uniformisante +de $B$, et $f=\mathrm{Irr}_K(x)$ on a : +\begin{itemize} +\item $f$ est d'Eisenstein \cad unitaire $a_i\in \MM_A$ et le terme constant $a_0\notin \MM_A^2$, +\item $$\begin{array}{l}A[X]/f→ B\\ X\mapsto x\end{array}$$ +est un isomorphisme. En particulier $A[X]/f$ est local. +\end{itemize} +\end{proposition2} + +\begin{proof} +\XXX Écrivons $f=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_n$. Ses coefficients sont entiers sur $A$ +et dans $K$. [...] +Autre argument : comme la valuation $\MM_A$-adique étendue de $x$ est $1/n$, +le polygone de Newton a pour unique pente $-\frac{1}{n}$ (cf. \ref{Newton}). +Il en résulte que $v(a_0)=1$ et que $v(a_i)\geq 1$. +Enfin, $A[X]/f$ est local (cf. $A[X]/f\otimes_A A/\MM_A$) et de corps des fractions +$L$. +\end{proof} + +\subsection{Lemme de Krasner et applications} + +\begin{proposition2} +\XXX +Lemme de Krasner (dans cas valué complet). +\end{proposition2} + +\begin{théorème2} +\XXX +Formule de masse de Krasner-Serre (1978) : +\[ +∑_{L\bo K \text{tot. ramif. deg } n} 1/q^{c(L)}=n. +\] +\end{théorème2} + +\begin{démo} +Serre, Œuvres 115. +\end{démo} + +\begin{corollaire2} +$𝐂_p$ est algébriquement clos. +(Énoncé général.) +\end{corollaire2} + +\begin{démo} +Fontaine-\jap{欧阳}, §3.1 +\end{démo} + +\begin{proposition2} +\XXX +Ax-Sen +\end{proposition2} + +\begin{démo} +Fontaine-\jap{欧阳}, §3.1 +\end{démo} + + +\subsection{Sorites} + +\begin{proposition2} +\XXX +Extension composée de deux extensions nr (modérée) est nr (modérée). +\end{proposition2} + +\subsection{Structure du groupe de Galois} + +\subsubsection{}Supposons $A$ hensélien, $L\bo K$ finie. +On a un accouplement $I× ( Γ_E \bo Γ_K) → μ(λ)$, +où $λ$ est le corps résiduel de $L^+$. + +\begin{théorème2} +Si $κ$ est séparablement clos, $I=\Gal(L\bo K)$ +et $I → \Hom_𝐙(Γ_E \bo Γ_K, μ(κ))$ est surjectif, +de noyau un $p$-groupe. +\end{théorème2} + +\begin{démo} +\XXX +Gabber-Ramero, 6.2.12. +\end{démo} + +Théorie de Kummer : + +\begin{corollaire2} +Si $(p,[L:K])=1$, on a $\Gal(L\bo K) ≃ \Hom_𝐙(Γ_E \bo Γ_K, μ(κ))$. +De plus, si $Γ_E \bo Γ_K=⨁ 𝐙/n_i$, il existe des $a_i ∈ K^×$ +tels que $L=K[a_i^{1/n_i}]$. +\end{corollaire2} + +\subsection{Cas d'un anneau de valuation discrète} + +\begin{théorème2} +\XXX Soit $A$ un anneau de valuation discrète complet de corps des +fractions $K$ et $L\bo K$ une extension finie \emph{séparable}. +La clôture intégrale $B$ de $A$ dans $K$ est un $A$-module +libre de rang $[L:K]$ et est un anneau de valuation discrète +complet. Il existe un entier $e ≥ 1$, divisant $[L:K]$, +tel que la restriction de $v_B$ à $A$ soit égale à $\frac{1}{e}v_A$. +\end{théorème2} + + +\begin{définition2} +\XXX Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet de corps des fractions $K$, +$L/K$ une extension galoisienne totalement ramifiée de groupe $G$ +et $B$ le normalisé de $A$ dans $L$. +Soit $\pi_L$ une uniformisante de $B$. On pose, pour $i\ge -1$, +$$ +G_i:=\{\sigma\in G,\ v_L(\sigma(\pi_L)-\pi_L)\geq i+1\} +$$ +Ce sont les sous-groupes de \emph{ramification} de $G$. Ils forment +une filtration décroissante de $G$. +\end{définition2} + +[généralisation : cas extension résiduelle séparable.] + +\begin{exercice2} +Interprétation géométrique dans le cas d'une courbe affine +et d'un automorphisme : la longueur du lieu des points +fixes (supposés isolés) est la somme des $v_x(g π - π)$. +\end{exercice2} + +\begin{proposition2} +\XXX +Introduisons une filtration décroissante du groupe des unités de $B$, +$B^{\times}=:U^{(0)}_L$, notée $U^{(i)}_L:=1+\MM_B^i$ pour $i\geq 1$. +\begin{enumerate} +\item $G_0⥲ G$, +\item Chaque $G_i$ est un sous-groupe de $G$, indépendant du choix de $\pi_L$, +\item L'application +$$\left\{\begin{array}{l}G_i→ U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\\ \sigma\mapsto +\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\end{array}\right.$$ est indépendante du +choix de $\pi_L$, et induit une injection canonique +$$ +G_i/G_{i+1}↪ U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L. +$$ +\item On a des isomorphismes canoniques : +$$ +\begin{array}{l} + U^{(0)}_L/U^{(1)}_L⥲ k_L^{\times}\\ + U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L⥲ \MM_B^i/\MM_B^{i+1} +\end{array} +$$ +pour tout $i\geq 1$. De plus, $\MM_B^i/\MM_B^{i+1}≃ k_L$, non canoniquement. +\end{enumerate} +\end{proposition2} + +\begin{démo} +\XXX +1) Montrons que l'extension étant totalement ramifiée, $G_0⥲ G$. +Soit $\sigma\in G$. Comme $B$ est local, $\sigma(\MM_B)=\MM_B$ et $\sigma$ +induit donc un automorphisme de $k_L$ sur $k_K$, nécessairement trivial (car +$k_L=k_K$). Ainsi $\sigma(x)=x \mod \MM_B$ pour tout $x$, \cad +$v_L(\sigma(x)-x)\geq 1$ et, en prenant $x=\pi_L$, $\sigma\in G_0$. +Remarquons que comme, d'après la proposition précédente, $B=A[\pi_L]$, +réciproquement, si $\sigma\in G_i$, +pour tout $x\in B$, on a $v_L(\sigma(x)-x)\geq i+1$. + +2) Pour $\sigma,\sigma'\in G_i$, l'égalité +$$\sigma'\sigma(\pi_L)-\pi_L=\sigma'\big(\sigma(\pi_L)-\pi_L\big)+\big(\sigma(\pi_L)-\pi_L\big), +$$ +où deux termes de droite appartiennent à $\MM_L^{i+1}$, suffit à montrer +que $G_i\subset G$ est un sous-groupe. + +3) Montrons que pour chaque $\sigma\in G_i$, la quantité +$\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\in U^{(i)}_L$ est, modulo $U_L^{(i+1)}$, indépendante du choix de +l'uniformisante $\pi_L$. Soit $u\in B^{\times}$ une unité. L'égalité +$$ +\frac{\sigma(u\pi_L)}{u\pi_L}=\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\frac{\sigma(u)}{u}. +$$ +jointe au fait que pour un tel $\sigma$, $\sigma(u)-u\in \MM_L^{i+1}$, et donc +$\frac{\sigma(u)}{u}\in 1+ \MM_L^{i+1}$, montre que modulo $U_L^{(i+1)}$ cette image est +bien indépendante du choix de l'unité $u$. + +Pour tout $\sigma\in G$, $\sigma(\pi_L)$ est une uniformisante. Il en résulte +que pour chaque $\sigma'\in G_i$, +$$ +\frac{\sigma'\big(\sigma(\pi_L)\big)}{\sigma(\pi_L)}= +\frac{\sigma'(\pi_L)}{\pi_L} \mod U^{(i+1)}_L. +$$ +Ainsi, pour $\sigma,\sigma'\in G_i$, +l'égalité +$$ +\frac{\sigma'\sigma(\pi_L)}{\pi_L}=\frac{\sigma'\sigma(\pi_L)}{\sigma(\pi_L)} +\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L} +$$ +entraîne que $G_i→ U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L$ est un morphisme de groupe ; son +noyau est par définition $G_{i+1}$. + +4) L'anneau $B$ étant local, la surjection canonique $B↠ k_L$ induit +un isomorphisme $B^{\times}→ 1+\MM_B→ k_L^{\times}$. +Enfin, +$$ +\begin{array}{l} +U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L→ \MM_B^{i}/\MM_B^{i+1}\\ +1+x\mapsto x +\end{array} +$$ +est un isomorphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite). +Comme $\MM_B$ est principal, le terme de droite est un $k_L$-espace +vectoriel de dimension $1$. +\end{démo} + +\begin{corollaire2} +\XXX +Sous les hypothèses précédentes : +\begin{enumerate} +\item $G_0/G_1$ est cyclique d'ordre premier à la caractéristique de $k_K$, +\item si $\mathrm{car}(k_K)=0$, $G_1=\{1\}$ et $G_0$ est cyclique. +\end{enumerate} +\end{corollaire2} + +\begin{démo} +\XXX +Comme $G_0/G_1$ est isomorphe à un sous-groupe fini de $k^{\times}$, il est cyclique +et d'ordre premier à la caractéristique. + +Enfin, pour $i\geq 1$, $U^{(i)}_L / U^{(i+1)}_L≃ k_L$ n'a pas de sous-groupe +fini si $k_L$ est de caractéristique nulle. En particulier $G_i/G_{i+1}=\{1\}$, +pour tout $i>0$. Comme $G_i=\{1\}$ pour $i\geq N:=\max_{\sigma\in G-\{e\}} v_L(\sigma(\pi_L)- +\pi_L)$, on a bien $G_1=G_2=\cdots = G_N=\{1\}$. +\end{démo} + +\section{Discriminant et différente } + +\begin{définition2} +\XXX +Différente $𝔇_{L\bo K}$. +\end{définition2} + +\begin{proposition2} +\XXX +$𝔇_{L\bo K}=B$ si et seulement si $L\bo K$ est non ramifiée. +\end{proposition2} + +\begin{démo} +Artin [ANAF] chap. V. +\end{démo} + +\begin{proposition2} +Formule de transitivité : $𝔇_{M\bo K}=𝔇_{M\bo L} 𝔇_{L\bo K}$. +\end{proposition2} + +\begin{proposition2}[Euler] +\XXX +$\Tr(x^i/f ′(x))=0$ si $i0$. Comme $G_i=\{1\}$ pour $i\geq N:=\max_{\sigma\in G-\{e\}} v_L(\sigma(\pi_L)- -\pi_L)$, on a bien $G_1=G_2=\cdots = G_N=\{1\}$. -\end{démo} - -\section{Discriminant et différente } - -\begin{définition2} -\XXX -Différente $𝔇_{L\bo K}$. -\end{définition2} - -\begin{proposition2} -\XXX -$𝔇_{L\bo K}=B$ si et seulement si $L\bo K$ est non ramifiée. -\end{proposition2} - -\begin{démo} -Artin [ANAF] chap. V. -\end{démo} - -\begin{proposition2} -Formule de transitivité : $𝔇_{M\bo K}=𝔇_{M\bo L} 𝔇_{L\bo K}$. -\end{proposition2} - -\begin{proposition2}[Euler] -\XXX -$\Tr(x^i/f ′(x))=0$ si $i0$, $ω ∈ Ω¹_{K\bo k}-\{0\}$, -et $ψ₀ ∈ \chap{k}-\{0\}$, $K → \chap{K}$, -\[x ↦ \big( y ↦ ψ₀ ∘ \Res_ω( yx)\big)\] -est un isomorphisme. De plus, tout élément de $\chap{k}$ -est de la forme $y ↦ \exp(\frac{2i π}{p} \Tr_{k \bo 𝐅_p}(λ y))$ pour -un unique élément $λ ∈ k$. -\item Si $K$ est d'inégale caractéristique et $ψ₀ ∈ \chap{𝐐_p}-\{0\}$, -$K → \chap{K}$, -\[x ↦ \big( ψ₀ ∘ \Tr_{K \bo 𝐐_p}(xy)\big)\] -est un isomorphisme. De plus, tout élément de $\chap{𝐐_p}$ -est de la forme $y ↦ \exp(2 i π \{ λ y\})$, pour un unique élément -$λ ∈ 𝐐_p$, où $\{z\}$ désigne un élément de $𝐐$ tel que $z-\{z\} -∈ 𝐙_p$. -\end{enumerate} -\item Si $K=𝐑$, tout élément de $\chap{𝐑}$ est de la forme -\[ -y ↦ \exp(2 i π λ y), -\] -pour un $λ ∈ 𝐑$ bien défini à un entier près : l'application -précédente induit un isomorphisme $𝐑/𝐙 ⥲ \chap{𝐑}$. - -\end{enumerate} -\end{proposition2} - -\subsubsection{}Fixons un caractère non trivial $ψ$ de $K$ -et convenons de noter, pour chaque $x ∈ K$, $ψ_x$ le caractère $y ↦ ψ(xy)$. -Pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ sur $K$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, on pose : -\[ -ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f): x ↦ ∫_K f ψ_x dμ^{\mbox{\minus $+$}}. -\] - -L'exposant « $+$ » est là pour insister sur le fait -qu'il s'agit d'une mesure de Haar sur le groupe \emph{additif} du corps -topologique $K$. - -\begin{remarques2} -Lorsque $K$ est non-archimédien, l'intégrale précédente est -en fait une somme \emph{finie}. - -D'après la proposition \ref{}, si $ψ$ est non trivial, tout caractère -de $K$ est de la forme $ψ_x$, de sorte que l'on pourrait -alternativement considérer la transformée de Fourier $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ comme une -fonction sur $\chap{K}$. -\end{remarques2} - -\begin{proposition2} -\begin{enumerate} -\item La transformation de Fourier envoie $𝒮(K)$ dans $𝒮(K)$. -\item Il existe une constante $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$ telle que -\[ -ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ∘ ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} = c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ⋅ [-1]^*, -\] -où $([-1]^*f)(x)=f(-x)$. -\item Il existe une unique mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ telle que -$c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}=1$. Lorsque $K$ est non-archimédien, c'est l'unique -mesure de Haar pour laquelle le compact $𝒪$ soit -de mesure $q^{n/2}$, où $n$ est le niveau de $ψ$. -[signe devant $n$ ? \XXX] -\end{enumerate} -\end{proposition2} - -On note $ℱ_ψ$ la transformée de Fourier « auto-duale » (relativement -à $ψ$) $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}$. - -\begin{démo} -Cf. [Bushnell-Henniart] 23.1. -\end{démo} - -\begin{exemple2} -\XXX -Si $K=𝐐_p$ c'est bien ce que l'on pense. Cf. [Colmez, F.2.1]. -Lien avec sommes de Gauß. -\end{exemple2} - -\subsection{Théorie multiplicative} - -\subsection{Quasi-caractères} - -\begin{définition2} -Conducteur. -\end{définition2} - -$ω_s=| ⋅ |^s$. - -\begin{proposition2} -Structure des quasi-caractères. -\end{proposition2} - -\begin{démo} -Cf. ex. Tate. -\end{démo} - -\subsubsection{}On note $μ^{\mbox{\minus $×$}}$ l'unique mesure -de Haar sur le groupe multiplicatif de $K$ telle que -le compact $𝒪^×=𝒪-𝔪$ soit de mesure un. - -\begin{lemme2} -Pour chaque $s ∈ 𝐂$ tel que $\Re(s)>0$, la fonction $ω_s$ appartient à $L¹(K^×,μ^{\mbox{\minus $×$}})$. -\end{lemme2} - -Lorsque $f ∈ 𝒮(K)$, chaque $χ ∈ \chap{K^×}$, et chaque $s ∈ 𝐂$ -dans le demi-plan $\Re(s)>0$, on pose -\[ -ζ(s,χ,f)= ∫_{K^×} f χ ω_s d μ^{\mbox{\minus $×$}} -\] - -\begin{proposition2} -Soient $ψ$ un caractère non trivial de $K$ et $χ$ un quasi-caractère de $K^×$. -Il existe une fonction méromorphe $γ(s,χ,ψ)$ telle que, -pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, -\begin{enumerate} -\item la fonction $s ↦ ζ(s,χ,f)$ admet un prolongement méromorphe à $𝐂$ ; -\item l'équation fonctionnelle -\[ -γ(s,χ,ψ)ζ(s,χ,f)=ζ(1-s,χ^{-1},ℱ_ψ(f)). -\] -est satisfaite. -\end{enumerate} -\end{proposition2} - -\begin{démo} -Cf. [Bump] p. 265 pour l'énoncé et [Tate] 2.4.2 pour une démonstration -plus jolie. -\end{démo} - -\begin{exemples2} -Exemples de $γ$. -\end{exemples2} - -\section{Anneaux de valuation discrète tronqués} - -Résultats de Deligne (cf. aussi Hiranouti, Taguti). - -\section{Notes} - -Pour la transformation de Fourier : \cite{Bushnell-Henniart} ; -[Colmez, appendice F]. - - -\ifx\danslelivre\undefined -\bibliography{../configuration/bibliographie-livre} -\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre} -\end{document} -\fi diff --git a/chapitres/Dedekind.tex b/chapitres/Dedekind.tex deleted file mode 100644 index b77fbaf..0000000 --- a/chapitres/Dedekind.tex +++ /dev/null @@ -1,801 +0,0 @@ -\ifx\danslelivre\undefined -\documentclass[9pt]{../configuration/smfart} -\input{../configuration/commun} -\input{../configuration/smf} -\input{../configuration/adresse} -\input{../configuration/gadgets} -\input{../configuration/francais} -\input{../configuration/numerotation} -\input{../configuration/formules} -\input{../configuration/encoredesmacros} -\synctex=1 -\usepackage{stmaryrd} -\usepackage{graphics} -\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} -\usepackage{srcltx} -\usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{matrix} -\usetikzlibrary{calc} - -\title{Anneaux de Dedekind, corps globaux} - -\externaldocument{extensions-algebriques} -\externaldocument{correspondance-galois} -\externaldocument{formes-tordues} -\externaldocument{spectre} -\externaldocument{verselles} -\externaldocument{corps-finis} -\externaldocument{entiers} -\externaldocument{categories} - -%\textwidth16cm -%\hoffset-1.5cm -\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry} - -\begin{document} -\begin{center} -Anneaux de Dedekind, corps globaux -\end{center} -\tableofcontents -\else -\chapter{Anneaux de Dedekind, corps globaux} -\fi - -\section{Anneaux de Dedekind} - -\subsection{} - -\begin{proposition2} -Soit $A$ un anneau intègre de corps des fractions $K$. -Les conditions suivante sont équivalentes : -\begin{enumerate} -\item $A$ est nœthérien, normal, de dimension un ; -\item tout idéal fractionnaire de $A$ est inversible ; -\item $A$ est nœthérien et pour tout idéal maximal $𝔪$ de $A$, -le localisé $A_𝔪$ est un corps ou bien un anneau de valuation -discrète. -\end{enumerate} -\end{proposition2} - -\begin{démo} -AC, diviseurs p. 217. -\end{démo} - -\begin{definition2} -Un anneau de Dedekind \index{anneau de Dedekin}. -\end{definition2} - -\begin{proposition2} -\XXX -Soit $\got{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$. -Il existe un unique sous-ensemble $S_{\got{a}}$ de $\Specmax(A)$ -et une unique famille d'entiers strictement positifs $n_{𝔭}(𝔞)$, $𝔭\in S$, -tels que $$\got{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\got{a})}.$$ -De plus si $\got{a}\subset \got{a'}$ si et seulement si -$n_{𝔭}(\got{a})\leq n_{𝔭}(\got{a}')$ pour tout $𝔭\in \Specmax(A)$, -où l'on pose $n_{𝔭}(\got{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\got{a}')=0$) -pour $𝔭\notin S_{\got{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\got{a}'}$). -\end{proposition2} - -\begin{théorème2}[Krull-Akizuki] %秋月康夫 -Soit $A$ un anneau nœthérien intègre de dimension un -et de corps des fractions $K$. Pour toute extension finie -$L\bo K$, le normalisé $B$ de $A$ dans $L$ est un anneau -de Dedekind. -\end{théorème2} - -\begin{démo} -p. ex. Bourbaki ou [Neukirch], chap.I., §12, p. 77. -\end{démo} - -Corollaire : fermeture intégrale d'un Dedekind est de Dedekind. - -\subsubsection{}Lien entre indices de ramification et décomposition en -produit d'idéaux premiers. - -\section{Corps globaux : définitions et premiers résultats} - -\begin{définition2} -\XXX -Corps global : extension finie de $𝐐$ ou de $𝐅_p(t)$, pour un nombre premier $p$. -\end{définition2} - -\begin{définition2} -\XXX -Adèles ; idèles. -\end{définition2} - - -\begin{proposition2} -\XXX -$k$ est discret dans $A_k$ et $A_k \bo k$ est compact ; de mesure $1$. -\end{proposition2} - -\begin{corollaire2} -\XXX -Formule du produit. -\end{corollaire2} - -\begin{proposition2} -$k^×$ est discret dans $I_k$ et -$I¹_k \bo k^×$ est compact ; de mesure -$…$ en caractéristique nulle. -\end{proposition2} - -Description $Cl(K)$ dans cas corps de fonctions -(\cite[6.94]{suuron1@kato-kurokawa-saito}). - -\subsection{Diviseurs} - -\begin{définition2} -diviseurs, diviseurs effectifs etc. -\end{définition2} - -\subsection{Sorites sur la ramification} - -\begin{proposition2} -\XXX Le composé de deux extensions non ramifiées est non ramifiée. -\end{proposition2} - -\subsection{Différente} - -\begin{définition2} -Différente $𝒟_{L\bo K}$ (via la trace). -\end{définition2} - -Lien avec la définition locale. - -\begin{proposition2} -Critère de ramification via division de $𝒟_{L\bo K}$. -\end{proposition2} - -\begin{corollaire2} -Presque tous les idéaux sont non-ramifiés. -\end{corollaire2} - -Méthodes de calcul. - -\begin{proposition2} -\XXX -Si $B=A[X]/f$, $𝒟_{L\bo K}=\Ann Ω¹_{B\bo A}=(f′(x))$. -Plus généralement, si $L=K(x)$, $x ∈ B$ et $f$ est le polynôme -minimal, on a $𝒟$ divise $(f'(x))$ avec égalité ssi $B=K[x]$. -[Il faut peut-être sans doute supposer $B$ libre sur $A$. -\end{proposition2} - -\begin{démo} -\XXX -Formule -\[ -\frac{1}{f(X)}= ∑ … -\] -\end{démo} - -\begin{proposition2} -\XXX -\[ -\mathrm{d\acute{e}t}(\sigma_i(x_j))^2 -=|\mathrm{d\acute{e}t}(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j))|= \N(𝒟_{K\bo 𝐐}).\] -\end{proposition2} - -\begin{démo} -\XXX -$\big(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j)\big)= {}^t\big(\sigma_i(x_j)\big) \big(\sigma_i(x_j)\big)$. -\end{démo} - -\begin{définition2} -Discriminant $\got{d}_{K/\QQ}$. -\end{définition2} - -Si $𝐐(ζ_n)\bo 𝐐$, le discriminant est $n^{φ(n)}/∏_{p|n} -p^{φ(n)/(p-1)}$. - -\begin{lemme2} -\XXX -Le covolume de $𝒪$ dans $K_𝐑$ est $2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}$. -\end{lemme2} - -\begin{démo} -\XXX -Soient $\sigma^{\RR}_1,\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}$ les plongements -$K↪ \RR$ et $\sigma^{\CC}_1,\sur{\sigma^{\CC}_1},\dots,,\sigma^{\CC}_{r_\CC}, -\sur{\sigma^{\CC}_{r_\CC}}$ les plongements $K↪ \CC$. -Le morphisme -$𝒪_K→ K_{\RR} ≃ \RR^{r_{\CC}}\times \CC^{r_{\CC}}⥲ \RR^{r_{\RR}+2 r_{\CC}}$ -est de la forme -$$x\mapsto (\sigma^{\RR}_1(x),\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}(x), -\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_1(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_1(x),\dots, -\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x)).$$ -Passer de la matrice ayant ces colonnes à -$\big(\sigma_i(x_j)\big)$ se fait par addition, soustraction et $r_{\CC}$ divisions par $2$. -La formule en résulte. -\end{démo} - -variantes en caractéristique $p>0$ : cf. Hasse, chap. 25, différentielles (p. 467). - -Généralités sur discriminant/différente : cf. Serre [CL], [Rosen, chap. 7] - -Diviseur inessentiel : Hasse 25.6, Koch §3.6. - -\begin{théorème2} -\XXX -Riemann-Hurwitz : lien entre genre et degré différente. -\end{théorème2} - -☡ [probablement à déplacer] - -\section{Théorèmes de finitude} - -\subsection{Finitude du groupe de Picard} - -\begin{theoreme2} -\XXX -Soit $K$ un corps de nombres. Le groupe de Picard de l'anneau -des entiers $\mc{O}_K$ de $K$ est fini. -\end{theoreme2} - -\begin{démo} -\XXX -Chaque classe $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ est représentée par un idéal $\got{c}$ de $A$. -Pour borner les possibilités sur $\got{c}$, il suffit de borner $N(\got{c}):=\#(𝒪_K/\got{c})$. -Supposons en effet qu'il existe une constante $\mu_K$ telle que l'on puisse -supposer $N(\got{c})\leq \mu_K$, indépendamment de la classe de $\got{c}$. -Si $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$, $N(\got{c})=\prod N(𝔭)^{n_𝔭}$ si bien qu'à la fois -les $N(𝔭)$ et les $n_𝔭$ sont bornés. Comme $N(𝔭)$ est une puissance du nombre premier -$p=𝔭\cap \ZZ$, et qu'il existe au plus $[L:K]$ idéaux premiers au-dessus de $p$, -il n'y aura qu'un nombre fini de possibilités pour l'idéal $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$. - -Si $\got{c}=(x)$ est principal, $N((x))$ n'est autre que $|N_{K/\QQ}(x)|$ : cela résulte -du lemme \ref{déterminant-norme} ci-dessous. -Admettons un instant le fait suivant : -\begin{quote} -Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout idéal non nul $\got{a}$, il -existe $0\neq x\in \got{a}$ tel que $|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \mathrm{N}(\got{a})$. -\end{quote} -Soit $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ comme plus haut. Soit $\got{a}\in C^{-1}$ un idéal de $\mc{O}_K$. -et $x$ comme dans le lemme. Comme $(x)\subset \got{a}$, il existe -un idéal $\got{c}$ de $\mc{O}_K$ tel que $(x)=\got{c}\got{a}$ -(cela résulte de \ref{décomposition idéaux}). On a alors -$\mathrm{N}(\got{c})\leq \mu_K$. -Démontrons le fait admis. On a vu en \ref{normalisation finie} que $𝒪_K$ est un -$\ZZ$-module de type fini. Il est nécessairement de rang $d=[L:K]$ -car $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ ⥲ K$ (cf. \ref{normalisation et localisation}). -Soit donc $x_1,\dots,x_d$ une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$ et notons -$\Sigma$ l'ensemble de cardinal $d$ des $\QQ$-plongements $K↪ \CC$. -Posons $$\mu_K:=\prod_{\sigma\in \Sigma} \big(\sum_{i=1}^d | \sigma(x_i) | \big).$$ -Soit $\got{a}\neq (0)$ comme plus haut. Il existe un unique entier $m\in \NN$ -tel que -$$ -m^d\leq \mathrm{N}(\got{a}) < (m+1)^d. -$$ -Il résulte alors du «~principe des tiroirs~» qu'il existe -deux éléments distincts de $[0,m]x_1+[0,m]x_2+\cdots [0,m]x_d$ dont la différence -appartient à $\got{a}$. On a fait ce qu'il fallait pour que -$N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\got{a})\mu_K$. CQFD. -\end{démo} - -\begin{théorème2} -\XXX -$\Pic⁰(U) ≃ ∏_{v ∉ U} 𝒪_v^× ∖ k^1_A/k^×$. -\end{théorème2} - -\begin{démo} -Énoncé dans Weil 2. -\end{démo} - -\begin{théorème2} -Soit $K$ un corps de fonctions. -Le groupe des classes d'idéaux de degré $0$ est \emph{fini}. -\end{théorème2} - -\begin{démo} -Cf. p. ex. [Rosen, lemme 5.6] ou [Katô-Saitô], VI.6.4(f) -ou Weil [BNT] IV. th. 7. -\end{démo} - -\subsection{Genre} - -\begin{théorème2} -$𝐀/𝐀(D)+K$ est de dimension finie. -\end{théorème2} - -Remarque : ce quotient est $𝖧¹(C,𝒪(D))$. - -\begin{définition2} -$g=\dim_k(𝐀/𝐀(0)+K)$. -\end{définition2} - -Via différentielles de Weil ; dimension du conoyau -de $K → ⨁_v K_v/O_v$. - -[À voir] - -\subsection{Fonction zêta de Dedekind} - -\begin{définition2} -\XXX - -Corps de nombres : -\[ζ_K=ζ_{𝒪_K}^{\mathrm{Hasse}}.\] -\[\chap{ζ}_K(s)=|D_K|^{\frac{s}{2}}Γ_𝐑(s)^{r_𝐑}Γ_𝐂(s)^{r_𝐂} ζ_K(s),\] -(fonction zêta complétée) où -$Γ_𝐑(s)=π^{-\frac{s}{s}} Γ(\frac{s}{2})$ et $Γ_𝐂(s)=2(2 π)^{-s}Γ(s)$. - -Corps de fonctions : -\[ -ζ_K= ∏_{v} \frac{1}{1-N(v)^{-s}}, -\] -où $v$ parcourt les \emph{places} de $K$. -\[ -\chap{ζ}_K(s)=q^{(g-1)s} ζ_K(s) -\] -\end{définition2} - -\begin{proposition2} -$ζ_K(s)=∑_𝔞 N(𝔞)^{-s}$. -\end{proposition2} - -\begin{exemple2} -$ζ_{𝐐(√-1)}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(√ m)}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7 - - -$ζ_{𝐅_p(t)}(s)=(1-p^{-s})ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)$. - -\end{exemple2} - -\begin{proposition2} -Converge absolument pour $\Re(s)>1$. -Prolongement méromorphe. Équation fonctionnelle. -\end{proposition2} - -\begin{démo} -On se ramène au cas du corps de base. -\end{démo} - -Mieux : - -\begin{théorème2} -Prolongement méromorphe. Équation fonctionnelle. -\end{théorème2} - -Méthode Iwasawa-Tate (\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected@Iwasawa} et \cite{Fourier@Tate}). - - -\begin{théorème2}[Pôle simple en $1$] -\XXX -Soit $K$ un corps de nombres. Pour toute classe $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$, il existe une -constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble -$$ -\{\got{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \got{a}\in -\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\got{a})\leq t\} -$$ -soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty$. -\end{théorème2} - -\begin{démo} -\XXX -Soit $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$. Choisissons un idéal $\got{b_{\mathsf{C}}}\in \mathsf{C}^{-1}$. -La correspondance -$$ -\got{a} \mapsto (\alpha_{\got{a}}):=\got{a}\got{b}_{\mathsf{C}}\subset 𝒪_K -$$ -établit une bijection entre l'ensemble dont on veut estimer la taille et -$$ -\{(\alpha)\subset 𝒪_K,\ \alpha\in \got{b}_{\mathsf{C}}-\{0\},\ -|\mathrm{N}_{K/\QQ}(\alpha)|\leq t \mathrm{N}(\got{b}_{\mathsf{C}})\}. -$$ -Compter les idéaux principaux $(\alpha)$ revient à « compter les $\alpha$ modulo -les unités ». Le groupe des unités pouvant être infini, il faut faire attention. -Négliger les unités revient à considérer l'ensemble -quotient $P(\got{b}_\mathsf{C}):=\got{b}_\mathsf{C} / 𝒪_K^{\times}$, -où $𝒪_K^{\times}$ agit naturellement par multiplication : il classifie -en effet les idéaux principaux contenus dans $\got{b}_\mathsf{C}$. -C'est naturellement un monoïde multiplicatif, à travers lequel -la norme $x\in \got{b}_\mathsf{C}\subset 𝒪_K\mapsto N(x):=|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\in \ZZ$ -se factorise. -Quitte à normaliser $t$, et rajouter l'idéal nul, on veut donc compter -$$ -\{ x \in P(\got{b}_\mathsf{C}),\ N(x)\leq t\}. -$$ -Soit $X_{\got{b}_\mathsf{C}}$ une partie de $ \got{b}_\mathsf{C}$ s'envoyant isomorphiquement sur -$P(\got{b}_\mathsf{C})$ : -$$ -\xymatrix{ -\got{b}_\mathsf{C} \ar@{->>}[r] & P(\got{b}_\mathsf{C}) \\ -X_{\got{b}_\mathsf{C}} \ar@{^(->}[u] \ar[ur]^{\sim} \ar@{^(->}[r] & K_{\RR} -} -$$ -Le sous-ensemble $X_{\got{b}_\mathsf{C}} \cap \{x\in K_{\RR}, N(x)\leq t\}$ de $K_{\RR}$, -dont on veut estimer la taille, est compliqué pour un relèvement -arbitraire. -On va voir, à l'aide du logarithme, qu'il existe une partie -$X\subset K_{\RR}$ (indépendante de $\got{b}_{\mathsf{C}}$), sorte -de domaine fondamental pour l'action de $𝒪_K^{\times}$, telle -que $X_{\got{b}_\mathsf{C}}=\got{b}_\mathsf{C}\cap X$ et $X_t:=\{x\in X, N(x)\leq t\}$ -soit égal à $t^{1/[k:\QQ]} X_{1}$. -Le théorème résultera alors du fait suivant et du fait que $\vol(X_1)\neq 0$. - -\begin{quote} -Soient $Y$ un partie mesurable [OU MIEUX] bornée de $\RR^{n}$ et $B$ un réseau de $\RR^{n}$. -Alors, si $\vol(Y)>0$, -$$ -\#(B\cap aY)\dessusdessous{a→ +\infty}{\sim} \frac{\vol(Y)}{\mathrm{covol}(B)} a^{n}. -$$ -\end{quote} - - -Pour simplifier les notations, posons $\sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}:=\RR^{r_\RR+r_\CC}\coprod -\{\infty\}$ -et posons $\log(x)=\infty$ pour tout $x\in K_{\RR}-K_{\RR}^{\times}$. C'est encore -un morphisme de monoïdes, si l'on pose $v+\infty=\infty$ pour tout $v\in \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$. -On a vu au cours de la démonstration de \ref{Dirichlet-unités} -que $\log:𝒪_K→ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$ a un noyau fini, -nécessairement contenu dans l'ensemble des unités, et que -l'image de celles-ci forme un réseau $\Lambda$ de l'hyperplan $H:=\{\sum x_i = 0\}$. -Ainsi, le logarithme induit une injection : -$P(\got{b}_\mathsf{C})↪ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$. - -Soit $D:=(\underbrace{1,\dots,1}_{r_{\RR}},\underbrace{2,\cdots,2}_{r_\CC})$ un supplémentaire -de $H$ dans $\RR^{r_\RR+r_\CC}$ et $P$ un parallélotope fondamental semi-ouvert -de $\Lambda$ dans $H$, de sorte que l'on a une bijection -$D\oplus P ⥲ \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$ induite par la projection -canonique $D\oplus H=\RR^{r_\RR+r_\CC}↠ \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$. -[FIGURE] -Soit $X\subset K_{\RR}$ la préimage de $D\oplus P\coprod \{\infty\}$ par le -logarithme ; il répond à notre question. En effet, comme -$N(ax)=a^{[K:\QQ]}N(x)$ pour tout $a\geq 0$ et $x\in K_{\RR}$, -la propriété $X_{t}=t^{1/[K:\QQ]}X_1$ est équivalente au fait que pour -tout $a\in \RR$, $aX\subset X$. Or, si $x\in X$, $\log(ax)=\log(x)+ \log(|a|)(1,\cdots,1,2,\cdots,2)$. (On pose $\log(0)v=\infty$.) -Enfin, $X_1$ est mesurable, de volume non nul. -\end{démo} - -\begin{théorème2} -Cas d'un corps de fonctions : -\[ -ζ_K(s)=\frac{P(q^{-s})}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})} -\] -pôle simple en $1$ (et $0$). -\end{théorème2} - -\begin{démo} -Cf. [Rosen] chap. 5. Utilise Riemann-Roch. -Voir aussi [Katô-Saitô], chap. 7. -\end{démo} - -\subsection{Théorème des unités} - -Séparer la « majoration » (notamment la type-finitude) -de la minoration (calcul exact du rang). Cf. p. ex., Artin -Theory of algebraic numbers (cours 1956/7 à Göttingen) §12.2. - -\begin{lemme2} -\XXX -Pour tout corps de nombre $K$ notons $\iota$ l'inclusion canonique -$K↪ K_{\RR}$. Alors, l'image $\iota(𝒪_K)\subset K_\RR$ de l'anneau des entiers -est un \emph{réseau}, \cad un $\ZZ$-module libre de rang $\dim_{\RR} K_\RR(=[K:\QQ])$ -engendré par des éléments $\RR$-linéairement indépendants. -\end{lemme2} - -\begin{proof} -\XXX -On sait déjà que $𝒪_K$ est un $\ZZ$-module libre de rang $[K:\QQ]$ (l'extension -$K/\QQ$ est séparable) ; il en est donc de même de son image par $\iota$. -Comme $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ⥲ K$, il existe une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$ -consitutée d'éléments linéairement indépendants sur $\QQ$. L'image de cette base -par $x\mapsto x\otimes_{\QQ} 1_\RR$, $K→ K_\RR$, est une base -du $\RR$-espace vectoriel $K_\RR$\footnote{Pour une interprétation -à l'aide de discriminants, cf. \emph{infra}.}. -\end{proof} - -\begin{théorème2}[Théorème des unités de Dirichlet] -\XXX -Soit $K$ un corps de nombres. Soient $r_{\RR},r_{\CC}$ les entiers tels que : -$$K\otimes_{\QQ} \RR=:K_{\RR} ≃ _{\RR} \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}.$$ -Alors, le groupe $𝒪_K^{\times}$ des unités de l'anneau des entier $𝒪_K$ -est de type fini, de rang $r_\RR+r_\CC-1$. -\end{théorème2} - -\begin{proof} -\XXX -\emph{Fixons dornénavant un isomorphisme $K_\RR ≃ \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$}. -Les morphismes $\log_{\RR}:\RR^{\times}→ \RR$, $x\mapsto \log(|x|)$ -et $\log_{\CC}:\CC^{\times}→ \RR$, $y\mapsto \log(|y|^2)$ définissent -un morphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite) -$$ -\log:\big(\RR^{r_{\RR}}\times \CC^{r_\CC}\big)^\times→ \RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}. -$$ -Par composition, on en déduit un morphisme noté de même $K_{\RR}^{\times}→ -\RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}⥲ \RR^{r_\RR+r_\CC}$. - - -Soit $u\in 𝒪_K^{\times}$. Sa norme sur $\QQ$, $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)$, -est un entier relatif ; comme il en est de même de $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u^{-1}) -= \mathrm{N}_{K/\QQ}(u)^{-1}$, on a $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\in \{\pm 1\}$. -Ceci ce traduit, sur $\RR$, en l'appartenance -$$ -\log \iota(u)\in H=\{(x_i)\in \RR^{r_\RR+r_\CC},\ \sum x_i=0\}. -$$ -Cela résulte de l'égalité -$\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\otimes_{\QQ} 1_{\RR}=\mathrm{N}_{K_{\RR}/\RR}(u\otimes_{\QQ} 1_{\RR})$, -jointe au fait que sur $K_{\RR}/\RR$ la norme est essentiellement le produit -des coordonnées. Plus précisément, $\mathrm{N}_{(\RR\times \CC)/\RR}(a,b)=a\cdot b\sur{b}$ -(de même avec un nombre arbitaire de facteurs) donc -l'égalité $\mathrm{N}_{(\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC})/\RR}(\iota(u))=\pm 1$ entraîne que -le produit (pondéré) des coordonnées est $\pm 1$. Passant au logarithme -des valeurs absolues, on obtient $0$ en sommant. - -Enfin, l'image inverse par $\log: 𝒪_K^{\times} → \RR^{r_\RR+r_\CC}$ -de toute partie bornée est \emph{finie}. -Soit en effet $E\subset 𝒪_K^{\times}$, ou plus généralement -$E\subset 𝒪_K^{\times}$, telle que $\log(E)\subset \RR^{r_\RR+r_\CC}$ soit -bornée. En particulier, l'image $\iota(E)$ de $E$ dans $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$ -est bornée. -Or, si $e\in E$, les coordonnées de $\iota(e)$, ainsi que leurs conjugués complexes, -sont exactement les racines conjuguées sur $\QQ$ de $e$ dans $\CC$. -Si celles-ci sont bornées en valeur absolue, il en est de même des coefficients -du polynôme minimal de $e$. Comme celui-ci est également à coefficients entiers, -il n'y a qu'un nombre fini de possibilité pour un tel polynôme et finalement -pour $e\in 𝒪_K$. - -Il en résult que $\log(𝒪_K^{\times})$ est un sous-groupe de $\RR^{r_\RR+r_\CC}$ -tel que toute partie bornée soit finie. C'est donc un réseau (\ref{réseau-R^n}), -de rang inférieur à $r_\RR+r_\CC-1$ car il est contenu dans l'hyperplan $H$. - -Il en résulte également que le noyau de $𝒪_K^{\times}→ \RR^{r_\RR+r_\CC}$ est \emph{fini}. - -Les deux lemmes suivants montrent que ce rang est exactement $r_\RR+r_\CC-1$. - -\begin{quote}[Lemme chinois non archimédien] -Pour tout $1\leq k \leq r_{\RR}+r_\CC$, il existe $u\in 𝒪_K^{\times}$ -tel que $\log_i (u)$, la $i$-ième composante de $\log(u)$, soit $<0$ pour tout $i\neq k$. -\end{quote} - -Commençons pas un résultat que nous allons itérer pour produire $u$ comme plus haut. - -\begin{quote} -Il existe une constante $\mu_K$ -telle que pour tout $0\neq \alpha\in 𝒪_K$, il existe $0\neq \beta\in 𝒪_K$ satisfaisant : -$$\left\{ \begin{array}{l} -\log_i(\alpha)>\log_i(\beta),\ i\neq k \\ -\mathrm{N}_{K/\QQ}(\beta)\leq \mu_K -\end{array}\right.$$ -\end{quote} - -Soit $\alpha$ comme ci-dessus. Suppsosons donnés des nombres réels positifs -satisfaisant $c_{i,\alpha}< \exp(\log_i (\alpha))$ pour $i\neq k$. -Pour chaque constante $C_{k,\alpha}>0$, considérons : -$$E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha}):=\{(x_i)_{1\leq i \leq r_\RR+r_\CC}\in \RR^{r_\RR}\times -\CC^{r_\CC},\ -\left\{ \begin{array}{l} -|x_i|^{1\text{ou }2} \leq c_{i,\alpha}, \text{pour } i\neq k\\ -|x_k|^{1\text{ou }2} \leq C_{k,\alpha} -\end{array}\right.\} -$$ -(Ici «~$1\text{ou }2$» vaut $1$ si le facteur correspondant est $\RR$ et $2$ sinon.) - -On muni chaque facteur $\RR$ et $\CC$ de la mesure de Lebesgue usuelle et -le produit est muni de la mesure produit. -L'ensemble précédent est une partie de $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$ qui est -fermée (donc mesurable), symétrique par rapport -à l'origine et convexe. Son volume est -$$2^{r_\RR}\pi^{r_\CC}\big(\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}\big).$$ -Soit $\mu_K>0$ une constante telle que -$$ 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K> 2^{[K:\QQ]} -\mathrm{covol}(\iota(𝒪_K)\subset \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}).$$ -À $\alpha$ fixé, On peut ajuster ces constantes de sorte que -$\mathrm{Vol}(E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha})= 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K$, -\cad $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$. -Il résulte alors du théorème de Minkowski \ref{Minkowski} que pour -ces valeurs, il existe $0\neq \beta\in E\cap 𝒪_K$. Un tel $\beta$ satisfait les -conditions du lemme. - -Démontrons le «~lemme chinois~». -Chosissons $k$ et considérons un $\alpha\in 𝒪_K$ non nul quelconque. En vertu -du résultat précédent, on peut construire une suite de $\beta_m$ dont les -normes sont bornées tels que les $i\neq k$-composantes des logarithmes décroissent -strictement. L'ensemble de idéaux $(\beta_m)$ étant fini (par finitude des normes), il existe -$m'>m$ tel que $(\beta_m)=(\beta_{m'})$. On a alors $\beta_{m'}=\beta_{m} u$ pour -une unité $u\in 𝒪_K^{\times}$. Elle satisfait les conclusions du lemme. - -\begin{quote} -Soit $A$ une matrice telle que les éléments de la diagonale soit $>0$, -ceux hors de la diagonale $<0$ et enfin que la somme des coefficients -sur une ligne soit nulle. -Alors, le rang de $A$ est égal au nombre de colonnes moins $1$. -\end{quote} -\end{proof} - -\begin{théorème2}[F.K. Schmidt] -Structure des $S$-unités dans le cas des corps de fonctions : - -$𝒪_S^×/k^×$ est libre de rang $≤ ♯S-1$. -\end{théorème2} - -\begin{démo} -Cf. p. ex., [Hasse], chap. 29 ou [Rosen, chap. 14] -\end{démo} - -\section{Non-existence d'extensions non ramifiées ; application} - -\subsection{Le théorème de Minkowski} - -\begin{théorème2}[Minkowski] -\XXX -Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $\QQ$ partout -non ramifiée. De façon équivalente, si $A$ est une $\ZZ$-algèbre finie étale -connexe alors $\ZZ⥲ A$. -\end{théorème2} - -\begin{démo} -\XXX -La démonstration consiste en un raffinement de la démonstration de la finitude du -groupe de Picard. -Il suffit de démontrer l'inégalité : -$$ -\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}}\frac{n^n}{n!}, -$$ -où $n=[K:\QQ]$. -Notons avec des $x$ (resp. $y$) les coordonnées réelles (resp. complexes) de $K_{\RR}$. -Soit -$$ -A:=\{x\in K_{\RR}, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+2\big(|y_1|+\cdots+|y_{r_\CC}|\big)\leq n\} -$$ -le sous-ensemble compact, convexe, symmétrique par rapport à l'origine, de $K_\RR$. -L'inégalité arithmético-géométrique montre que tout point -de $A$ a une norme inférieure à $1$. -Admettons que -$$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$ -Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$, -$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA) - \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}},$$ -il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement -de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$. -L'inégalité en résulte immédiatement. - -Effectuons le calcul volumique. Posons -$$ -f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+ -2\big(\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+ -\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\big)\leq t\}\Big)=t^n f_{r_{\RR},r_\CC}(1), -$$ -où $n=r_{\RR}+2r_\CC$. -En utilisant de façon répétée, pour $r_{\RR}>0$, l'égalité -$$ -f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=2\int_0^t f_{r_{\RR-1},r_\CC}(u)\mathrm{d} u= 2\int_0^t u^{n-1} -f_{r_{\RR-1},r_\CC}(1)\mathrm{d} u, -$$ -on trouve : -$$ -f_{r_{\RR},r_\CC}(1)=\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}f_{0,r_\CC}(1). -$$ -Soit -$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}}, -\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+ -\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\leq t\}\Big),$$ -de sorte que l'on ait $f_{0,r_\CC}(t)=g_{r_{\CC}}(t/2)$. -Calculons $g$ : -$$\begin{array}{ll} -g_{r}(1)& =\int_0^1 g_{r-1}(1-u)2\pi u \mathrm{d}u\\ -& = 2\pi g_{r-1}(1) -\underbrace{\int_0^1 (1-u)^{2r-2}u \mathrm{d}u}_{\frac{1}{2r-1}-\frac{1}{2r}}\\ -& = ... \\ -& = \frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}. -\end{array} -$$ -Finalement, -$$f_{r_{\RR},r_\CC}(n)=n^n\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}(\frac{1}{2})^{2r_\CC} -\frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}},$$ -comme annoncé. -\end{démo} - -\subsection{Caractéristique $p>0$} - -\begin{théorème2} -\XXX -Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $𝐅_p(t)$ partout non ramifiée. -\end{théorème2} - -\subsection{Un théorème de Selmer} - -\begin{proposition2}[Selmer] -\XXX -Soit $n ≥ 1$. Le polynôme $f_n(X)=X^n-X-1$ est irréductible dans $𝐐[X]$. -\end{proposition2} - -\begin{démo} -\XXX -Soit $n\geq 2$ un entier et $f_n=X^n-X-1\in \ZZ[X]$. Soient $x_1,\dots,x_n$ -les racines, non nulles, de $f$. Considérons : -$$ -S(f_n):=\sum_1^n(x_i-x_i^{-1}), -$$ -et de même pour tout diviseur potentiel non trivial $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$. -Il est immédiat que si $f_n=g_1 g_2$, on -a $S(f_n)=S(g_1)+S(g_2)$. Comme $S(f_n)$ est symétrique en les -racines, et que $f_n$ est unitaire, on a $(x_1\dots x_n)S(f_n)\in \ZZ$ ; comme le -produit des racines est ici une unité, on a donc $S(f_n)\in \ZZ$ ; -il en est ansi de tout diviseur $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$. -En fait, $S(f_n)=1$ : pour $n\geq 3$, $\sum x_i=\sigma_1=0$ tandis -que $\sum x_i^{-1}=\sigma_{n-1}/\sigma_n=-1$. - -Remarquons maintenant que pour chaque $x_j$, -si l'on écrit $x_j=r e^{i\varphi}$, -on a -$\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)=(r-r^{-1})\cos(\varphi)=\frac{r^2-1}{r}\cos(\varphi)$. -Comme $r^n\cos(\varphi)=r\cos(\varphi)+1$ et $r^n\sin(\varphi)=r\sin(\varphi)$, -en sommant le carré des deux égalités on trouve : -$$\cos(\varphi)=\frac{r^{2n}-r^2-1}{2r}.$$ -En particulier $r\neq 1$ car sinon $\cos(\varphi)=-\frac{1}{2}$ et -les racines primitives cubiques de l'unité seraient des racines de $f_n$, ce -qui n'est pas le cas. -Enfin, comme pour tout $1\neq a>0$, -$(a-1)(a^n-a-1)=1-a+(a-1)(a^n-1)> 1-a$, -on en déduit, en posant $a=r^2$ et en divisant par $a$ l'égalité ci-dessus, -$$ -\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)> \frac{1}{2}\big(|x_i|^{-2}-1\big). -$$ -Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$, -et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire, -$\prod_{j\in J} |x_j|^{-2}=1$ donc, -la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, \cad $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$. -Il s'ensuit que $S(g)>0$ ; comme d'autre par $S(g)\in \ZZ$, -on a $S(g)\geq 1$. Cette inégalité appliquée au quotient $f_n/g$ contredit -l'additivité de $S$ et le fait que $S(f_n)=1$. -CQFD. -\end{démo} - -\begin{théorème2} -\XXX Le groupe de Galois du polynôme $f_n$ -est $𝔖_n$ tout entier. -\end{théorème2} - -\begin{démo} -\XXX -Soient $K_n$ un corps de décomposition de $f_n$ et $A_n$ son anneau -des entiers. Supposons que le nombre premier -$p$ soit ramifié dans $K_n$ ; d'après [sorites] il est alors -ramifié dans le corps de rupture $\QQ[X]/f_n$ de $f_n$ puisque $K_n$ -est le composé de tels corps. -Compte tenu de [calcul différente], $f_n$ et $f_n'$ ont une racine commune -modulo $p$ ; il en est de même de $nf_n=nX^n-nX-n$ et $Xf_n'=nX^n-X$. -Il en résulte que $p$ est premier à $n(n-1)$, -que la racine est congrue à $\frac{n}{n-1}$ modulo $p$ -et enfin qu'elle est au plus double : $f_n''(\frac{n}{n-1})\neq 0$. -Il en résulte [sorites à dégager] que le groupe d'inertie en $p$ -est soit trivial soit engendré par une transposition. -Ainsi, le groupe de Galois de $f_n$ est un sous-groupe transitif -de $𝔖_n$, engendré par des transpositions. C'est $𝔖_n$ tout entier -[facile]. -\end{démo} - -\section{Fonction zêta de Hasse de l'équation homogène $X³+Y³+Z³=0$} - -\begin{théorème2} -\XXX -Soit $D=27$ et posons $\chap{L}(s)=D^{\frac{s}{2}} Γ_𝐂(s) L(E,s)$. -Alors : -\[ -\chap{L}(E,s)=\chap{L}(E,2-s). -\] -\end{théorème2} - -\begin{remarque2} -\XXX -Courbe elliptique à multiplication complexe. -\end{remarque2} - -Cf. cours à Hyères (2008). - -Utilise : - -— $𝐐(j)=𝐐(√3)$ est euclidien ; - -— construction ad hoc caractère de Hecke via sommes de Jacobi ; - -— transformée de Mellin + formule de Poisson pour démontrer équation fonctionnelle. - -\ifx\danslelivre\undefined -\bibliography{../configuration/bibliographie-livre} -\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre} -\end{document} -\fi diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex new file mode 100644 index 0000000..6f6d0bc --- /dev/null +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -0,0 +1,964 @@ +\ifx\danslelivre\undefined +\documentclass[9pt]{../configuration/smfart} +\input{../configuration/commun} +\input{../configuration/smf} +\input{../configuration/adresse} +\input{../configuration/gadgets} +\input{../configuration/francais} +\input{../configuration/numerotation} +\input{../configuration/formules} +\input{../configuration/encoredesmacros} +\synctex=1 +\usepackage{stmaryrd} +\usepackage{graphics} +\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} +\usepackage{srcltx} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{matrix} +\usetikzlibrary{calc} + +\def\minus{\fontsize{5pt}{5pt}\selectfont} + +\title{Corps locaux, corps globaux} + +\externaldocument{extensions-algebriques} +\externaldocument{correspondance-galois} +\externaldocument{formes-tordues} +\externaldocument{spectre} +\externaldocument{verselles} +\externaldocument{corps-finis} +\externaldocument{entiers} +\externaldocument{categories} + +%\textwidth16cm +%\hoffset-1.5cm +\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry} + +\begin{document} +\begin{center} +Corps locaux, corps globaux +\end{center} +\tableofcontents +\else +\chapter{corps locaux, corps globaux} +\fi + +\section{Corps locaux} + +\subsection{Définitions} + +On note $𝐐_{∞}=𝐑$. + +\begin{définition2} +On appelle \emph{corps local} un corps contenant +un sous-corps isomorphe un corps $𝐐_p$ ($p$ premier ou $p=∞$), ou bien un corps de +séries de Laurent $𝐅_p((t))$, et fini sur celui-ci. +\end{définition2} + +\begin{remarque2} +On peut montrer qu'un corps (\cite[I. §3-4]{BNT@Weil}) est localement compact +si et seulement si il peut être muni d'une topologie +non discrète qui en fait un corps topologique localement compact. +\end{remarque2} + +Dans cette section, on fixe un $K$ un corps local. +Lorsque $K$ est non-archimédien, on note $𝒪$ +son anneau des entiers, d'idéal maximal $𝔪$, +et $k$ le corps résiduel $𝒪/𝔪$, dont on note $q$ +le cardinal. + +\begin{définition2} +Soit $K$ un corps local. On note $𝒮(K)$ l'ensemble +des fonctions continues $f:K → 𝐂$ qui satisfont la condition de +décroissante à l'infini suivante : +\begin{itemize} +\item[$K$ non-archimédien :] $f$ est à support compact. +\item[$K$ archimédien :] $f$ est $𝒞^∞$ en tant que fonction +à une ou deux variables réelles et pour toute paire de +polynômes $P,Q$ en ces variables, la fonction +réelle $|P Q(∂) f|$ est bornée. [clarifier \XXX] +\end{itemize} +Cet espace est appelé est \emph{espace de Schwartz} ou +\emph{Bruhat-Schwartz}. +\end{définition2} + +\subsection{Analyse harmonique : théorie additive} + +\subsubsection{} +Caractères : ils sont continus. + +\begin{définition2} +Soit $ψ$ un caractère non trivial du corps $K$, supposé +non-archimédien. +On appelle \emph{niveau} \index{niveau} de $ψ$ le plus petit +entier $n$ tel que $ψ(𝔪^{-n})=1$. +\end{définition2} + +\begin{proposition2} +\begin{enumerate} +\item Si $K$ est non-archimédien, les groupes $K$ et $\chap{K}$ sont isomorphes. +Plus précisément : +\begin{enumerate} +\item Si $K$ est de caractéristique $p>0$, $ω ∈ Ω¹_{K\bo k}-\{0\}$, +et $ψ₀ ∈ \chap{k}-\{0\}$, $K → \chap{K}$, +\[x ↦ \big( y ↦ ψ₀ ∘ \Res_ω( yx)\big)\] +est un isomorphisme. De plus, tout élément de $\chap{k}$ +est de la forme $y ↦ \exp(\frac{2i π}{p} \Tr_{k \bo 𝐅_p}(λ y))$ pour +un unique élément $λ ∈ k$. +\item Si $K$ est d'inégale caractéristique et $ψ₀ ∈ \chap{𝐐_p}-\{0\}$, +$K → \chap{K}$, +\[x ↦ \big( ψ₀ ∘ \Tr_{K \bo 𝐐_p}(xy)\big)\] +est un isomorphisme. De plus, tout élément de $\chap{𝐐_p}$ +est de la forme $y ↦ \exp(2 i π \{ λ y\})$, pour un unique élément +$λ ∈ 𝐐_p$, où $\{z\}$ désigne un élément de $𝐐$ tel que $z-\{z\} +∈ 𝐙_p$. +\end{enumerate} +\item Si $K=𝐑$, tout élément de $\chap{𝐑}$ est de la forme +\[ +y ↦ \exp(2 i π λ y), +\] +pour un $λ ∈ 𝐑$ bien défini à un entier près : l'application +précédente induit un isomorphisme $𝐑/𝐙 ⥲ \chap{𝐑}$. + +\end{enumerate} +\end{proposition2} + +\subsubsection{}Fixons un caractère non trivial $ψ$ de $K$ +et convenons de noter, pour chaque $x ∈ K$, $ψ_x$ le caractère $y ↦ ψ(xy)$. +Pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ sur $K$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, on pose : +\[ +ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f): x ↦ ∫_K f ψ_x dμ^{\mbox{\minus $+$}}. +\] + +L'exposant « $+$ » est là pour insister sur le fait +qu'il s'agit d'une mesure de Haar sur le groupe \emph{additif} du corps +topologique $K$. + +\begin{remarques2} +Lorsque $K$ est non-archimédien, l'intégrale précédente est +en fait une somme \emph{finie}. + +D'après la proposition \ref{}, si $ψ$ est non trivial, tout caractère +de $K$ est de la forme $ψ_x$, de sorte que l'on pourrait +alternativement considérer la transformée de Fourier $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ comme une +fonction sur $\chap{K}$. +\end{remarques2} + +\begin{proposition2} +\begin{enumerate} +\item La transformation de Fourier envoie $𝒮(K)$ dans $𝒮(K)$. +\item Il existe une constante $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$ telle que +\[ +ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ∘ ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} = c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ⋅ [-1]^*, +\] +où $([-1]^*f)(x)=f(-x)$. +\item Il existe une unique mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ telle que +$c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}=1$. Lorsque $K$ est non-archimédien, c'est l'unique +mesure de Haar pour laquelle le compact $𝒪$ soit +de mesure $q^{n/2}$, où $n$ est le niveau de $ψ$. +[signe devant $n$ ? \XXX] +\end{enumerate} +\end{proposition2} + +On note $ℱ_ψ$ la transformée de Fourier « auto-duale » (relativement +à $ψ$) $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}$. + +\begin{démo} +Cf. [Bushnell-Henniart] 23.1. +\end{démo} + +\begin{exemple2} +\XXX +Si $K=𝐐_p$ c'est bien ce que l'on pense. Cf. [Colmez, F.2.1]. +Lien avec sommes de Gauß. +\end{exemple2} + +\subsection{Analyse harmonique : théorie multiplicative} + +\subsubsection{Quasi-caractères} + +\begin{définition2} +Conducteur. +\end{définition2} + +$ω_s=| ⋅ |^s$. + +\begin{proposition2} +Structure des quasi-caractères. +\end{proposition2} + +\begin{démo} +Cf. ex. Tate. +\end{démo} + +\subsubsection{}On note $μ^{\mbox{\minus $×$}}$ l'unique mesure +de Haar sur le groupe multiplicatif de $K$ telle que +le compact $𝒪^×=𝒪-𝔪$ soit de mesure un. + +\begin{lemme2} +Pour chaque $s ∈ 𝐂$ tel que $\Re(s)>0$, la fonction $ω_s$ appartient à $L¹(K^×,μ^{\mbox{\minus $×$}})$. +\end{lemme2} + +Lorsque $f ∈ 𝒮(K)$, chaque $χ ∈ \chap{K^×}$, et chaque $s ∈ 𝐂$ +dans le demi-plan $\Re(s)>0$, on pose +\[ +ζ(s,χ,f)= ∫_{K^×} f χ ω_s d μ^{\mbox{\minus $×$}} +\] + +\begin{proposition2} +Soient $ψ$ un caractère non trivial de $K$ et $χ$ un quasi-caractère de $K^×$. +Il existe une fonction méromorphe $γ(s,χ,ψ)$ telle que, +pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, +\begin{enumerate} +\item la fonction $s ↦ ζ(s,χ,f)$ admet un prolongement méromorphe à $𝐂$ ; +\item l'équation fonctionnelle +\[ +γ(s,χ,ψ)ζ(s,χ,f)=ζ(1-s,χ^{-1},ℱ_ψ(f)). +\] +est satisfaite. +\end{enumerate} +\end{proposition2} + +\begin{démo} +Cf. [Bump] p. 265 pour l'énoncé et [Tate] 2.4.2 pour une démonstration +plus jolie. +\end{démo} + +\begin{exemples2} +Exemples de $γ$. +\end{exemples2} + + +\section{Adèles, idèles} + + + + +\subsection{Corps globaux : définitions} + +\begin{définition2} +\XXX +Corps global : extension finie de $𝐐$ ou de $𝐅_p(t)$, pour un nombre premier $p$. +\end{définition2} + +On note $P_K$ l'ensemble des places et $P_K^∞$ l'ensemble des places +infinies. + + +\subsection{Préliminaires topologiques et autres tribulations} +[à omettre en première lecture] + +\begin{proposition2} +\begin{enumerate} +\item compact et discret implique fini. +\item $G/H$ discret (resp. séparé) ↔ $H$ ouvert (resp. fermé). +\end{proposition2} + +\begin{définition2} +Un morphisme de groupes topologiques est dit être un +quasi-isomorphisme si son noyau et son conoyau sont des groupes +compacts. +\end{définition2} +(Cf. [Katô-Saitô-...], à la terminologie près.) + +\begin{proposition2} +Sorites. +\end{proposition2} + +Mesures produits. + +\subsection{Adèles} + +\subsubsection{}Soit $S ⊆ P_K$ un ensemble fini de places contenant $P_K^∞$. +On note $A_{S,K}$ l'anneau +\[ +∏_{v ∈ S} k_v × ∏_{v ∉ S} 𝔬_v, +\] +muni de la topologie produit. + +\[ +A_K=\colim_S A_{S,K}. +\] +Description de la topologie. + +\begin{proposition2} +\label{adèles et cb} +$L\bo K$ finie. +Alors $A_K ⊗_K L → A_L$ est un isomorphisme. +\end{proposition2} + +\begin{théorème2} +\begin{enumerate} +\item L'inclusion canonique $K → A_K$, où $K$ est muni de la topologie +discrète, est continue et est un quasi-isomorphisme. +\item Si $S ⊆ P_K$ est fini et contient $P_K^∞$, $𝒪_S → ∏_{v ∈ S} K_v$ est un quasi-isomorphisme. +\end{enumerate} +\end{théorème2} + +\begin{démo} +(i) ⇒ (ii). Cf. Saitô, p. 236. +(i). Cas $K=𝐐$ : explicite (p. 237). $K=𝐅_q(X)$ itou (238). +Cas général : cf. \ref{adèles et cb}. +\end{démo} + +\begin{proposition2} +$K$ est dense dans $A_{S,K}$ [ou variante \XXX]. +\end{proposition2} + +Volume de $A_K \bo K$ [trop tôt ?] + +\subsection{Idèles} + +\subsubsection{}$I_{S,K}$ ; $I_K$. + +\subsubsection{}$I_K¹$. + + +\section{Formule de Poisson et théorème de Riemann-Roch} + +\subsection{Transformée de Fourier} + +\subsubsection{$𝒮(A_K)$} + +\subsubsection{caractères additifs ; caractères de Hecke} + + + +\section{Fonctions zêta} + +\subsection{Fonction zêta de Hasse de l'équation projective $X³+Y³+Z³=0$} + + \[⁂\] + + +\begin{corollaire2} +\XXX +Formule du produit. +\end{corollaire2} + +\begin{proposition2} +$k^×$ est discret dans $I_k$ et +$I¹_k \bo k^×$ est compact ; de mesure +$…$ en caractéristique nulle. +\end{proposition2} + +Description $Cl(K)$ dans cas corps de fonctions +(\cite[6.94]{suuron1@kato-kurokawa-saito}). + +\begin{lemme2} +\XXX +Le covolume de $𝒪$ dans $K_𝐑$ est $2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}$. +\end{lemme2} + +\begin{démo} +\XXX +Soient $\sigma^{\RR}_1,\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}$ les plongements +$K↪ \RR$ et $\sigma^{\CC}_1,\sur{\sigma^{\CC}_1},\dots,,\sigma^{\CC}_{r_\CC}, +\sur{\sigma^{\CC}_{r_\CC}}$ les plongements $K↪ \CC$. +Le morphisme +$𝒪_K→ K_{\RR} ≃ \RR^{r_{\CC}}\times \CC^{r_{\CC}}⥲ \RR^{r_{\RR}+2 r_{\CC}}$ +est de la forme +$$x\mapsto (\sigma^{\RR}_1(x),\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}(x), +\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_1(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_1(x),\dots, +\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x)).$$ +Passer de la matrice ayant ces colonnes à +$\big(\sigma_i(x_j)\big)$ se fait par addition, soustraction et $r_{\CC}$ divisions par $2$. +La formule en résulte. +\end{démo} + +variantes en caractéristique $p>0$ : cf. Hasse, chap. 25, différentielles (p. 467). + +Généralités sur discriminant/différente : cf. Serre [CL], [Rosen, chap. 7] + +Diviseur inessentiel : Hasse 25.6, Koch §3.6. + +\begin{théorème2} +\XXX +Riemann-Hurwitz : lien entre genre et degré différente. +\end{théorème2} + +☡ [probablement à déplacer] + +\section{Théorèmes de finitude} + +\subsection{Finitude du groupe de Picard} + +\begin{theoreme2} +\XXX +Soit $K$ un corps de nombres. Le groupe de Picard de l'anneau +des entiers $\mc{O}_K$ de $K$ est fini. +\end{theoreme2} + +\begin{démo} +\XXX +Chaque classe $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ est représentée par un idéal $\got{c}$ de $A$. +Pour borner les possibilités sur $\got{c}$, il suffit de borner $N(\got{c}):=\#(𝒪_K/\got{c})$. +Supposons en effet qu'il existe une constante $\mu_K$ telle que l'on puisse +supposer $N(\got{c})\leq \mu_K$, indépendamment de la classe de $\got{c}$. +Si $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$, $N(\got{c})=\prod N(𝔭)^{n_𝔭}$ si bien qu'à la fois +les $N(𝔭)$ et les $n_𝔭$ sont bornés. Comme $N(𝔭)$ est une puissance du nombre premier +$p=𝔭\cap \ZZ$, et qu'il existe au plus $[L:K]$ idéaux premiers au-dessus de $p$, +il n'y aura qu'un nombre fini de possibilités pour l'idéal $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$. + +Si $\got{c}=(x)$ est principal, $N((x))$ n'est autre que $|N_{K/\QQ}(x)|$ : cela résulte +du lemme \ref{déterminant-norme} ci-dessous. +Admettons un instant le fait suivant : +\begin{quote} +Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout idéal non nul $\got{a}$, il +existe $0\neq x\in \got{a}$ tel que $|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \mathrm{N}(\got{a})$. +\end{quote} +Soit $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ comme plus haut. Soit $\got{a}\in C^{-1}$ un idéal de $\mc{O}_K$. +et $x$ comme dans le lemme. Comme $(x)\subset \got{a}$, il existe +un idéal $\got{c}$ de $\mc{O}_K$ tel que $(x)=\got{c}\got{a}$ +(cela résulte de \ref{décomposition idéaux}). On a alors +$\mathrm{N}(\got{c})\leq \mu_K$. +Démontrons le fait admis. On a vu en \ref{normalisation finie} que $𝒪_K$ est un +$\ZZ$-module de type fini. Il est nécessairement de rang $d=[L:K]$ +car $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ ⥲ K$ (cf. \ref{normalisation et localisation}). +Soit donc $x_1,\dots,x_d$ une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$ et notons +$\Sigma$ l'ensemble de cardinal $d$ des $\QQ$-plongements $K↪ \CC$. +Posons $$\mu_K:=\prod_{\sigma\in \Sigma} \big(\sum_{i=1}^d | \sigma(x_i) | \big).$$ +Soit $\got{a}\neq (0)$ comme plus haut. Il existe un unique entier $m\in \NN$ +tel que +$$ +m^d\leq \mathrm{N}(\got{a}) < (m+1)^d. +$$ +Il résulte alors du «~principe des tiroirs~» qu'il existe +deux éléments distincts de $[0,m]x_1+[0,m]x_2+\cdots [0,m]x_d$ dont la différence +appartient à $\got{a}$. On a fait ce qu'il fallait pour que +$N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\got{a})\mu_K$. CQFD. +\end{démo} + +\begin{théorème2} +\XXX +$\Pic⁰(U) ≃ ∏_{v ∉ U} 𝒪_v^× ∖ k^1_A/k^×$. +\end{théorème2} + +\begin{démo} +Énoncé dans Weil 2. +\end{démo} + +\begin{théorème2} +Soit $K$ un corps de fonctions. +Le groupe des classes d'idéaux de degré $0$ est \emph{fini}. +\end{théorème2} + +\begin{démo} +Cf. p. ex. [Rosen, lemme 5.6] ou [Katô-Saitô], VI.6.4(f) +ou Weil [BNT] IV. th. 7. +\end{démo} + +\subsection{Genre} + +\begin{théorème2} +$𝐀/𝐀(D)+K$ est de dimension finie. +\end{théorème2} + +Remarque : ce quotient est $𝖧¹(C,𝒪(D))$. + +\begin{définition2} +$g=\dim_k(𝐀/𝐀(0)+K)$. +\end{définition2} + +Via différentielles de Weil ; dimension du conoyau +de $K → ⨁_v K_v/O_v$. + +[À voir] + +\subsection{Fonction zêta de Dedekind} + +\begin{définition2} +\XXX + +Corps de nombres : +\[ζ_K=ζ_{𝒪_K}^{\mathrm{Hasse}}.\] +\[\chap{ζ}_K(s)=|D_K|^{\frac{s}{2}}Γ_𝐑(s)^{r_𝐑}Γ_𝐂(s)^{r_𝐂} ζ_K(s),\] +(fonction zêta complétée) où +$Γ_𝐑(s)=π^{-\frac{s}{s}} Γ(\frac{s}{2})$ et $Γ_𝐂(s)=2(2 π)^{-s}Γ(s)$. + +Corps de fonctions : +\[ +ζ_K= ∏_{v} \frac{1}{1-N(v)^{-s}}, +\] +où $v$ parcourt les \emph{places} de $K$. +\[ +\chap{ζ}_K(s)=q^{(g-1)s} ζ_K(s) +\] +\end{définition2} + +\begin{proposition2} +$ζ_K(s)=∑_𝔞 N(𝔞)^{-s}$. +\end{proposition2} + +\begin{exemple2} +$ζ_{𝐐(√-1)}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(√ m)}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7 + + +$ζ_{𝐅_p(t)}(s)=(1-p^{-s})ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)$. + +\end{exemple2} + +\begin{proposition2} +Converge absolument pour $\Re(s)>1$. +Prolongement méromorphe. Équation fonctionnelle. +\end{proposition2} + +\begin{démo} +On se ramène au cas du corps de base. +\end{démo} + +Mieux : + +\begin{théorème2} +Prolongement méromorphe. Équation fonctionnelle. +\end{théorème2} + +Méthode Iwasawa-Tate (\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected@Iwasawa} et \cite{Fourier@Tate}). + + +\begin{théorème2}[Pôle simple en $1$] +\XXX +Soit $K$ un corps de nombres. Pour toute classe $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$, il existe une +constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble +$$ +\{\got{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \got{a}\in +\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\got{a})\leq t\} +$$ +soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty$. +\end{théorème2} + +\begin{démo} +\XXX +Soit $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$. Choisissons un idéal $\got{b_{\mathsf{C}}}\in \mathsf{C}^{-1}$. +La correspondance +$$ +\got{a} \mapsto (\alpha_{\got{a}}):=\got{a}\got{b}_{\mathsf{C}}\subset 𝒪_K +$$ +établit une bijection entre l'ensemble dont on veut estimer la taille et +$$ +\{(\alpha)\subset 𝒪_K,\ \alpha\in \got{b}_{\mathsf{C}}-\{0\},\ +|\mathrm{N}_{K/\QQ}(\alpha)|\leq t \mathrm{N}(\got{b}_{\mathsf{C}})\}. +$$ +Compter les idéaux principaux $(\alpha)$ revient à « compter les $\alpha$ modulo +les unités ». Le groupe des unités pouvant être infini, il faut faire attention. +Négliger les unités revient à considérer l'ensemble +quotient $P(\got{b}_\mathsf{C}):=\got{b}_\mathsf{C} / 𝒪_K^{\times}$, +où $𝒪_K^{\times}$ agit naturellement par multiplication : il classifie +en effet les idéaux principaux contenus dans $\got{b}_\mathsf{C}$. +C'est naturellement un monoïde multiplicatif, à travers lequel +la norme $x\in \got{b}_\mathsf{C}\subset 𝒪_K\mapsto N(x):=|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\in \ZZ$ +se factorise. +Quitte à normaliser $t$, et rajouter l'idéal nul, on veut donc compter +$$ +\{ x \in P(\got{b}_\mathsf{C}),\ N(x)\leq t\}. +$$ +Soit $X_{\got{b}_\mathsf{C}}$ une partie de $ \got{b}_\mathsf{C}$ s'envoyant isomorphiquement sur +$P(\got{b}_\mathsf{C})$ : +$$ +\xymatrix{ +\got{b}_\mathsf{C} \ar@{->>}[r] & P(\got{b}_\mathsf{C}) \\ +X_{\got{b}_\mathsf{C}} \ar@{^(->}[u] \ar[ur]^{\sim} \ar@{^(->}[r] & K_{\RR} +} +$$ +Le sous-ensemble $X_{\got{b}_\mathsf{C}} \cap \{x\in K_{\RR}, N(x)\leq t\}$ de $K_{\RR}$, +dont on veut estimer la taille, est compliqué pour un relèvement +arbitraire. +On va voir, à l'aide du logarithme, qu'il existe une partie +$X\subset K_{\RR}$ (indépendante de $\got{b}_{\mathsf{C}}$), sorte +de domaine fondamental pour l'action de $𝒪_K^{\times}$, telle +que $X_{\got{b}_\mathsf{C}}=\got{b}_\mathsf{C}\cap X$ et $X_t:=\{x\in X, N(x)\leq t\}$ +soit égal à $t^{1/[k:\QQ]} X_{1}$. +Le théorème résultera alors du fait suivant et du fait que $\vol(X_1)\neq 0$. + +\begin{quote} +Soient $Y$ un partie mesurable [OU MIEUX] bornée de $\RR^{n}$ et $B$ un réseau de $\RR^{n}$. +Alors, si $\vol(Y)>0$, +$$ +\#(B\cap aY)\dessusdessous{a→ +\infty}{\sim} \frac{\vol(Y)}{\mathrm{covol}(B)} a^{n}. +$$ +\end{quote} + + +Pour simplifier les notations, posons $\sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}:=\RR^{r_\RR+r_\CC}\coprod +\{\infty\}$ +et posons $\log(x)=\infty$ pour tout $x\in K_{\RR}-K_{\RR}^{\times}$. C'est encore +un morphisme de monoïdes, si l'on pose $v+\infty=\infty$ pour tout $v\in \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$. +On a vu au cours de la démonstration de \ref{Dirichlet-unités} +que $\log:𝒪_K→ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$ a un noyau fini, +nécessairement contenu dans l'ensemble des unités, et que +l'image de celles-ci forme un réseau $\Lambda$ de l'hyperplan $H:=\{\sum x_i = 0\}$. +Ainsi, le logarithme induit une injection : +$P(\got{b}_\mathsf{C})↪ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$. + +Soit $D:=(\underbrace{1,\dots,1}_{r_{\RR}},\underbrace{2,\cdots,2}_{r_\CC})$ un supplémentaire +de $H$ dans $\RR^{r_\RR+r_\CC}$ et $P$ un parallélotope fondamental semi-ouvert +de $\Lambda$ dans $H$, de sorte que l'on a une bijection +$D\oplus P ⥲ \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$ induite par la projection +canonique $D\oplus H=\RR^{r_\RR+r_\CC}↠ \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$. +[FIGURE] +Soit $X\subset K_{\RR}$ la préimage de $D\oplus P\coprod \{\infty\}$ par le +logarithme ; il répond à notre question. En effet, comme +$N(ax)=a^{[K:\QQ]}N(x)$ pour tout $a\geq 0$ et $x\in K_{\RR}$, +la propriété $X_{t}=t^{1/[K:\QQ]}X_1$ est équivalente au fait que pour +tout $a\in \RR$, $aX\subset X$. Or, si $x\in X$, $\log(ax)=\log(x)+ \log(|a|)(1,\cdots,1,2,\cdots,2)$. (On pose $\log(0)v=\infty$.) +Enfin, $X_1$ est mesurable, de volume non nul. +\end{démo} + +\begin{théorème2} +Cas d'un corps de fonctions : +\[ +ζ_K(s)=\frac{P(q^{-s})}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})} +\] +pôle simple en $1$ (et $0$). +\end{théorème2} + +\begin{démo} +Cf. [Rosen] chap. 5. Utilise Riemann-Roch. +Voir aussi [Katô-Saitô], chap. 7. +\end{démo} + +\subsection{Théorème des unités} + +Séparer la « majoration » (notamment la type-finitude) +de la minoration (calcul exact du rang). Cf. p. ex., Artin +Theory of algebraic numbers (cours 1956/7 à Göttingen) §12.2. + +\begin{lemme2} +\XXX +Pour tout corps de nombre $K$ notons $\iota$ l'inclusion canonique +$K↪ K_{\RR}$. Alors, l'image $\iota(𝒪_K)\subset K_\RR$ de l'anneau des entiers +est un \emph{réseau}, \cad un $\ZZ$-module libre de rang $\dim_{\RR} K_\RR(=[K:\QQ])$ +engendré par des éléments $\RR$-linéairement indépendants. +\end{lemme2} + +\begin{proof} +\XXX +On sait déjà que $𝒪_K$ est un $\ZZ$-module libre de rang $[K:\QQ]$ (l'extension +$K/\QQ$ est séparable) ; il en est donc de même de son image par $\iota$. +Comme $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ⥲ K$, il existe une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$ +consitutée d'éléments linéairement indépendants sur $\QQ$. L'image de cette base +par $x\mapsto x\otimes_{\QQ} 1_\RR$, $K→ K_\RR$, est une base +du $\RR$-espace vectoriel $K_\RR$\footnote{Pour une interprétation +à l'aide de discriminants, cf. \emph{infra}.}. +\end{proof} + +\begin{théorème2}[Théorème des unités de Dirichlet] +\XXX +Soit $K$ un corps de nombres. Soient $r_{\RR},r_{\CC}$ les entiers tels que : +$$K\otimes_{\QQ} \RR=:K_{\RR} ≃ _{\RR} \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}.$$ +Alors, le groupe $𝒪_K^{\times}$ des unités de l'anneau des entier $𝒪_K$ +est de type fini, de rang $r_\RR+r_\CC-1$. +\end{théorème2} + +\begin{proof} +\XXX +\emph{Fixons dornénavant un isomorphisme $K_\RR ≃ \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$}. +Les morphismes $\log_{\RR}:\RR^{\times}→ \RR$, $x\mapsto \log(|x|)$ +et $\log_{\CC}:\CC^{\times}→ \RR$, $y\mapsto \log(|y|^2)$ définissent +un morphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite) +$$ +\log:\big(\RR^{r_{\RR}}\times \CC^{r_\CC}\big)^\times→ \RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}. +$$ +Par composition, on en déduit un morphisme noté de même $K_{\RR}^{\times}→ +\RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}⥲ \RR^{r_\RR+r_\CC}$. + + +Soit $u\in 𝒪_K^{\times}$. Sa norme sur $\QQ$, $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)$, +est un entier relatif ; comme il en est de même de $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u^{-1}) += \mathrm{N}_{K/\QQ}(u)^{-1}$, on a $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\in \{\pm 1\}$. +Ceci ce traduit, sur $\RR$, en l'appartenance +$$ +\log \iota(u)\in H=\{(x_i)\in \RR^{r_\RR+r_\CC},\ \sum x_i=0\}. +$$ +Cela résulte de l'égalité +$\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\otimes_{\QQ} 1_{\RR}=\mathrm{N}_{K_{\RR}/\RR}(u\otimes_{\QQ} 1_{\RR})$, +jointe au fait que sur $K_{\RR}/\RR$ la norme est essentiellement le produit +des coordonnées. Plus précisément, $\mathrm{N}_{(\RR\times \CC)/\RR}(a,b)=a\cdot b\sur{b}$ +(de même avec un nombre arbitaire de facteurs) donc +l'égalité $\mathrm{N}_{(\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC})/\RR}(\iota(u))=\pm 1$ entraîne que +le produit (pondéré) des coordonnées est $\pm 1$. Passant au logarithme +des valeurs absolues, on obtient $0$ en sommant. + +Enfin, l'image inverse par $\log: 𝒪_K^{\times} → \RR^{r_\RR+r_\CC}$ +de toute partie bornée est \emph{finie}. +Soit en effet $E\subset 𝒪_K^{\times}$, ou plus généralement +$E\subset 𝒪_K^{\times}$, telle que $\log(E)\subset \RR^{r_\RR+r_\CC}$ soit +bornée. En particulier, l'image $\iota(E)$ de $E$ dans $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$ +est bornée. +Or, si $e\in E$, les coordonnées de $\iota(e)$, ainsi que leurs conjugués complexes, +sont exactement les racines conjuguées sur $\QQ$ de $e$ dans $\CC$. +Si celles-ci sont bornées en valeur absolue, il en est de même des coefficients +du polynôme minimal de $e$. Comme celui-ci est également à coefficients entiers, +il n'y a qu'un nombre fini de possibilité pour un tel polynôme et finalement +pour $e\in 𝒪_K$. + +Il en résult que $\log(𝒪_K^{\times})$ est un sous-groupe de $\RR^{r_\RR+r_\CC}$ +tel que toute partie bornée soit finie. C'est donc un réseau (\ref{réseau-R^n}), +de rang inférieur à $r_\RR+r_\CC-1$ car il est contenu dans l'hyperplan $H$. + +Il en résulte également que le noyau de $𝒪_K^{\times}→ \RR^{r_\RR+r_\CC}$ est \emph{fini}. + +Les deux lemmes suivants montrent que ce rang est exactement $r_\RR+r_\CC-1$. + +\begin{quote}[Lemme chinois non archimédien] +Pour tout $1\leq k \leq r_{\RR}+r_\CC$, il existe $u\in 𝒪_K^{\times}$ +tel que $\log_i (u)$, la $i$-ième composante de $\log(u)$, soit $<0$ pour tout $i\neq k$. +\end{quote} + +Commençons pas un résultat que nous allons itérer pour produire $u$ comme plus haut. + +\begin{quote} +Il existe une constante $\mu_K$ +telle que pour tout $0\neq \alpha\in 𝒪_K$, il existe $0\neq \beta\in 𝒪_K$ satisfaisant : +$$\left\{ \begin{array}{l} +\log_i(\alpha)>\log_i(\beta),\ i\neq k \\ +\mathrm{N}_{K/\QQ}(\beta)\leq \mu_K +\end{array}\right.$$ +\end{quote} + +Soit $\alpha$ comme ci-dessus. Suppsosons donnés des nombres réels positifs +satisfaisant $c_{i,\alpha}< \exp(\log_i (\alpha))$ pour $i\neq k$. +Pour chaque constante $C_{k,\alpha}>0$, considérons : +$$E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha}):=\{(x_i)_{1\leq i \leq r_\RR+r_\CC}\in \RR^{r_\RR}\times +\CC^{r_\CC},\ +\left\{ \begin{array}{l} +|x_i|^{1\text{ou }2} \leq c_{i,\alpha}, \text{pour } i\neq k\\ +|x_k|^{1\text{ou }2} \leq C_{k,\alpha} +\end{array}\right.\} +$$ +(Ici «~$1\text{ou }2$» vaut $1$ si le facteur correspondant est $\RR$ et $2$ sinon.) + +On muni chaque facteur $\RR$ et $\CC$ de la mesure de Lebesgue usuelle et +le produit est muni de la mesure produit. +L'ensemble précédent est une partie de $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$ qui est +fermée (donc mesurable), symétrique par rapport +à l'origine et convexe. Son volume est +$$2^{r_\RR}\pi^{r_\CC}\big(\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}\big).$$ +Soit $\mu_K>0$ une constante telle que +$$ 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K> 2^{[K:\QQ]} +\mathrm{covol}(\iota(𝒪_K)\subset \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}).$$ +À $\alpha$ fixé, On peut ajuster ces constantes de sorte que +$\mathrm{Vol}(E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha})= 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K$, +\cad $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$. +Il résulte alors du théorème de Minkowski \ref{Minkowski} que pour +ces valeurs, il existe $0\neq \beta\in E\cap 𝒪_K$. Un tel $\beta$ satisfait les +conditions du lemme. + +Démontrons le «~lemme chinois~». +Chosissons $k$ et considérons un $\alpha\in 𝒪_K$ non nul quelconque. En vertu +du résultat précédent, on peut construire une suite de $\beta_m$ dont les +normes sont bornées tels que les $i\neq k$-composantes des logarithmes décroissent +strictement. L'ensemble de idéaux $(\beta_m)$ étant fini (par finitude des normes), il existe +$m'>m$ tel que $(\beta_m)=(\beta_{m'})$. On a alors $\beta_{m'}=\beta_{m} u$ pour +une unité $u\in 𝒪_K^{\times}$. Elle satisfait les conclusions du lemme. + +\begin{quote} +Soit $A$ une matrice telle que les éléments de la diagonale soit $>0$, +ceux hors de la diagonale $<0$ et enfin que la somme des coefficients +sur une ligne soit nulle. +Alors, le rang de $A$ est égal au nombre de colonnes moins $1$. +\end{quote} +\end{proof} + +\begin{théorème2}[F.K. Schmidt] +Structure des $S$-unités dans le cas des corps de fonctions : + +$𝒪_S^×/k^×$ est libre de rang $≤ ♯S-1$. +\end{théorème2} + +\begin{démo} +Cf. p. ex., [Hasse], chap. 29 ou [Rosen, chap. 14] +\end{démo} + +\section{Théorème de Minkowski et une application} + +Notation : $K ⊗_𝐐 𝐑 ≃ 𝐑^{r_𝐑(K)}×𝐂^{r_𝐂(K)}$. On note $K_𝐑$ la +$𝐑$-algèbre $K ⊗_𝐐 𝐑$. + +\begin{théorème2}[Minkowski] +Soit $K\bo 𝐐$ une extension finie de degré $d$. +\[ +\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}(K)}\frac{d^d}{d!}. +\] +\end{théorème2} + +\begin{corollaire2} +Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $\QQ$ partout +non ramifiée. De façon équivalente, si $A$ est une $\ZZ$-algèbre finie étale +connexe alors $\ZZ⥲ A$. +\end{corollaire2} + +\begin{démo} +\XXX +%La démonstration consiste en un raffinement de la démonstration de la finitude du +%groupe de Picard. +Notons avec des $x$ (resp. $y$) les coordonnées réelles (resp. complexes) de $K_{\RR}$. +Soit +$$ +A:=\{x\in K_{\RR}, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+2\big(|y_1|+\cdots+|y_{r_\CC}|\big)\leq n\} +$$ +le sous-ensemble compact, convexe, symmétrique par rapport à l'origine, de $K_\RR$. +L'inégalité arithmético-géométrique montre que tout point +de $A$ a une norme inférieure à $1$. +Admettons que +$$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$ +Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$, +$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA) + \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}},$$ +il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement +de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$. +L'inégalité en résulte immédiatement. + +Effectuons le calcul volumique. Posons +$$ +f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+ +2\big(\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+ +\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\big)\leq t\}\Big)=t^n f_{r_{\RR},r_\CC}(1), +$$ +où $n=r_{\RR}+2r_\CC$. +En utilisant de façon répétée, pour $r_{\RR}>0$, l'égalité +$$ +f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=2\int_0^t f_{r_{\RR-1},r_\CC}(u)\mathrm{d} u= 2\int_0^t u^{n-1} +f_{r_{\RR-1},r_\CC}(1)\mathrm{d} u, +$$ +on trouve : +$$ +f_{r_{\RR},r_\CC}(1)=\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}f_{0,r_\CC}(1). +$$ +Soit +$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}}, +\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+ +\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\leq t\}\Big),$$ +de sorte que l'on ait $f_{0,r_\CC}(t)=g_{r_{\CC}}(t/2)$. +Calculons $g$ : +$$\begin{array}{ll} +g_{r}(1)& =\int_0^1 g_{r-1}(1-u)2\pi u \mathrm{d}u\\ +& = 2\pi g_{r-1}(1) +\underbrace{\int_0^1 (1-u)^{2r-2}u \mathrm{d}u}_{\frac{1}{2r-1}-\frac{1}{2r}}\\ +& = ... \\ +& = \frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}. +\end{array} +$$ +Finalement, +$$f_{r_{\RR},r_\CC}(n)=n^n\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}(\frac{1}{2})^{2r_\CC} +\frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}},$$ +comme annoncé. +\end{démo} + +\subsection{Caractéristique $p>0$} + +\begin{théorème2} +\XXX +Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $𝐅_p(t)$ partout non ramifiée. +\end{théorème2} + +\subsection{Un théorème de Selmer} + +\begin{proposition2}[Selmer] +\XXX +Soit $n ≥ 1$. Le polynôme $f_n(X)=X^n-X-1$ est irréductible dans $𝐐[X]$. +\end{proposition2} + +\begin{démo} +\XXX +Soit $n\geq 2$ un entier et $f_n=X^n-X-1\in \ZZ[X]$. Soient $x_1,\dots,x_n$ +les racines, non nulles, de $f$. Considérons : +$$ +S(f_n):=\sum_1^n(x_i-x_i^{-1}), +$$ +et de même pour tout diviseur potentiel non trivial $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$. +Il est immédiat que si $f_n=g_1 g_2$, on +a $S(f_n)=S(g_1)+S(g_2)$. Comme $S(f_n)$ est symétrique en les +racines, et que $f_n$ est unitaire, on a $(x_1\dots x_n)S(f_n)\in \ZZ$ ; comme le +produit des racines est ici une unité, on a donc $S(f_n)\in \ZZ$ ; +il en est ansi de tout diviseur $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$. +En fait, $S(f_n)=1$ : pour $n\geq 3$, $\sum x_i=\sigma_1=0$ tandis +que $\sum x_i^{-1}=\sigma_{n-1}/\sigma_n=-1$. + +Remarquons maintenant que pour chaque $x_j$, +si l'on écrit $x_j=r e^{i\varphi}$, +on a +$\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)=(r-r^{-1})\cos(\varphi)=\frac{r^2-1}{r}\cos(\varphi)$. +Comme $r^n\cos(\varphi)=r\cos(\varphi)+1$ et $r^n\sin(\varphi)=r\sin(\varphi)$, +en sommant le carré des deux égalités on trouve : +$$\cos(\varphi)=\frac{r^{2n}-r^2-1}{2r}.$$ +En particulier $r\neq 1$ car sinon $\cos(\varphi)=-\frac{1}{2}$ et +les racines primitives cubiques de l'unité seraient des racines de $f_n$, ce +qui n'est pas le cas. +Enfin, comme pour tout $1\neq a>0$, +$(a-1)(a^n-a-1)=1-a+(a-1)(a^n-1)> 1-a$, +on en déduit, en posant $a=r^2$ et en divisant par $a$ l'égalité ci-dessus, +$$ +\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)> \frac{1}{2}\big(|x_i|^{-2}-1\big). +$$ +Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$, +et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire, +$\prod_{j\in J} |x_j|^{-2}=1$ donc, +la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, \cad $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$. +Il s'ensuit que $S(g)>0$ ; comme d'autre par $S(g)\in \ZZ$, +on a $S(g)\geq 1$. Cette inégalité appliquée au quotient $f_n/g$ contredit +l'additivité de $S$ et le fait que $S(f_n)=1$. +CQFD. +\end{démo} + +\begin{théorème2} +\XXX Le groupe de Galois du polynôme $f_n$ +est $𝔖_n$ tout entier. +\end{théorème2} + +\begin{démo} +\XXX +Soient $K_n$ un corps de décomposition de $f_n$ et $A_n$ son anneau +des entiers. Supposons que le nombre premier +$p$ soit ramifié dans $K_n$ ; d'après [sorites] il est alors +ramifié dans le corps de rupture $\QQ[X]/f_n$ de $f_n$ puisque $K_n$ +est le composé de tels corps. +Compte tenu de [calcul différente], $f_n$ et $f_n'$ ont une racine commune +modulo $p$ ; il en est de même de $nf_n=nX^n-nX-n$ et $Xf_n'=nX^n-X$. +Il en résulte que $p$ est premier à $n(n-1)$, +que la racine est congrue à $\frac{n}{n-1}$ modulo $p$ +et enfin qu'elle est au plus double : $f_n''(\frac{n}{n-1})\neq 0$. +Il en résulte [sorites à dégager] que le groupe d'inertie en $p$ +est soit trivial soit engendré par une transposition. +Ainsi, le groupe de Galois de $f_n$ est un sous-groupe transitif +de $𝔖_n$, engendré par des transpositions. C'est $𝔖_n$ tout entier +[facile]. +\end{démo} + +\section{Fonction zêta de Hasse de l'équation homogène $X³+Y³+Z³=0$} + +\begin{théorème2} +\XXX +Soit $D=27$ et posons $\chap{L}(s)=D^{\frac{s}{2}} Γ_𝐂(s) L(E,s)$. +Alors : +\[ +\chap{L}(E,s)=\chap{L}(E,2-s). +\] +\end{théorème2} + +\begin{remarque2} +\XXX +Courbe elliptique à multiplication complexe. +\end{remarque2} + +Cf. cours à Hyères (2008). + +Utilise : + +— $𝐐(j)=𝐐(√3)$ est euclidien ; + +— construction ad hoc caractère de Hecke via sommes de Jacobi ; + +— transformée de Mellin + formule de Poisson pour démontrer équation fonctionnelle. + +\section{Notes} + +Pour la transformation de Fourier : \cite{Bushnell-Henniart} ; +[Colmez, appendice F]. + + +\ifx\danslelivre\undefined +\bibliography{../configuration/bibliographie-livre} +\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre} +\end{document} +\fi diff --git a/livre/livre.tex b/livre/livre.tex index 4328ea9..ffac342 100644 --- a/livre/livre.tex +++ b/livre/livre.tex @@ -52,8 +52,8 @@ David Madore et Fabrice Orgogozo \input{../chapitres/KASW} \input{../chapitres/omega} \input{../chapitres/AC} -\input{../chapitres/AVD} -\input{../chapitres/Dedekind} +\input{../chapitres/AVD-Dedekind} +\input{../chapitres/locaux-globaux} \input{../chapitres/Cebotarev} \appendix \input{../chapitres/categories} -- cgit v0.10.2