From 71876f686037cda52a56fb1811b4d20ad7f8810b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "Fabrice (Darwin)" Date: Thu, 24 Mar 2011 00:09:43 +0100 Subject: =?UTF-8?q?[AVD,=20corps=20locaux/globaux]=20petite=20r=C3=A9organ?= =?UTF-8?q?isation=20+=20pr=C3=A9cision=20sur=20plan=20ad=C3=A8les/id?= =?UTF-8?q?=C3=A8les=20et=20Riemann-Roch?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- chapitres/Dedekind.tex | 801 ------------------------------------------------- 1 file changed, 801 deletions(-) delete mode 100644 chapitres/Dedekind.tex (limited to 'chapitres/Dedekind.tex') diff --git a/chapitres/Dedekind.tex b/chapitres/Dedekind.tex deleted file mode 100644 index b77fbaf..0000000 --- a/chapitres/Dedekind.tex +++ /dev/null @@ -1,801 +0,0 @@ -\ifx\danslelivre\undefined -\documentclass[9pt]{../configuration/smfart} -\input{../configuration/commun} -\input{../configuration/smf} -\input{../configuration/adresse} -\input{../configuration/gadgets} -\input{../configuration/francais} -\input{../configuration/numerotation} -\input{../configuration/formules} -\input{../configuration/encoredesmacros} -\synctex=1 -\usepackage{stmaryrd} -\usepackage{graphics} -\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} -\usepackage{srcltx} -\usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{matrix} -\usetikzlibrary{calc} - -\title{Anneaux de Dedekind, corps globaux} - -\externaldocument{extensions-algebriques} -\externaldocument{correspondance-galois} -\externaldocument{formes-tordues} -\externaldocument{spectre} -\externaldocument{verselles} -\externaldocument{corps-finis} -\externaldocument{entiers} -\externaldocument{categories} - -%\textwidth16cm -%\hoffset-1.5cm -\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry} - -\begin{document} -\begin{center} -Anneaux de Dedekind, corps globaux -\end{center} -\tableofcontents -\else -\chapter{Anneaux de Dedekind, corps globaux} -\fi - -\section{Anneaux de Dedekind} - -\subsection{} - -\begin{proposition2} -Soit $A$ un anneau intègre de corps des fractions $K$. -Les conditions suivante sont équivalentes : -\begin{enumerate} -\item $A$ est nœthérien, normal, de dimension un ; -\item tout idéal fractionnaire de $A$ est inversible ; -\item $A$ est nœthérien et pour tout idéal maximal $𝔪$ de $A$, -le localisé $A_𝔪$ est un corps ou bien un anneau de valuation -discrète. -\end{enumerate} -\end{proposition2} - -\begin{démo} -AC, diviseurs p. 217. -\end{démo} - -\begin{definition2} -Un anneau de Dedekind \index{anneau de Dedekin}. -\end{definition2} - -\begin{proposition2} -\XXX -Soit $\got{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$. -Il existe un unique sous-ensemble $S_{\got{a}}$ de $\Specmax(A)$ -et une unique famille d'entiers strictement positifs $n_{𝔭}(𝔞)$, $𝔭\in S$, -tels que $$\got{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\got{a})}.$$ -De plus si $\got{a}\subset \got{a'}$ si et seulement si -$n_{𝔭}(\got{a})\leq n_{𝔭}(\got{a}')$ pour tout $𝔭\in \Specmax(A)$, -où l'on pose $n_{𝔭}(\got{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\got{a}')=0$) -pour $𝔭\notin S_{\got{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\got{a}'}$). -\end{proposition2} - -\begin{théorème2}[Krull-Akizuki] %秋月康夫 -Soit $A$ un anneau nœthérien intègre de dimension un -et de corps des fractions $K$. Pour toute extension finie -$L\bo K$, le normalisé $B$ de $A$ dans $L$ est un anneau -de Dedekind. -\end{théorème2} - -\begin{démo} -p. ex. Bourbaki ou [Neukirch], chap.I., §12, p. 77. -\end{démo} - -Corollaire : fermeture intégrale d'un Dedekind est de Dedekind. - -\subsubsection{}Lien entre indices de ramification et décomposition en -produit d'idéaux premiers. - -\section{Corps globaux : définitions et premiers résultats} - -\begin{définition2} -\XXX -Corps global : extension finie de $𝐐$ ou de $𝐅_p(t)$, pour un nombre premier $p$. -\end{définition2} - -\begin{définition2} -\XXX -Adèles ; idèles. -\end{définition2} - - -\begin{proposition2} -\XXX -$k$ est discret dans $A_k$ et $A_k \bo k$ est compact ; de mesure $1$. -\end{proposition2} - -\begin{corollaire2} -\XXX -Formule du produit. -\end{corollaire2} - -\begin{proposition2} -$k^×$ est discret dans $I_k$ et -$I¹_k \bo k^×$ est compact ; de mesure -$…$ en caractéristique nulle. -\end{proposition2} - -Description $Cl(K)$ dans cas corps de fonctions -(\cite[6.94]{suuron1@kato-kurokawa-saito}). - -\subsection{Diviseurs} - -\begin{définition2} -diviseurs, diviseurs effectifs etc. -\end{définition2} - -\subsection{Sorites sur la ramification} - -\begin{proposition2} -\XXX Le composé de deux extensions non ramifiées est non ramifiée. -\end{proposition2} - -\subsection{Différente} - -\begin{définition2} -Différente $𝒟_{L\bo K}$ (via la trace). -\end{définition2} - -Lien avec la définition locale. - -\begin{proposition2} -Critère de ramification via division de $𝒟_{L\bo K}$. -\end{proposition2} - -\begin{corollaire2} -Presque tous les idéaux sont non-ramifiés. -\end{corollaire2} - -Méthodes de calcul. - -\begin{proposition2} -\XXX -Si $B=A[X]/f$, $𝒟_{L\bo K}=\Ann Ω¹_{B\bo A}=(f′(x))$. -Plus généralement, si $L=K(x)$, $x ∈ B$ et $f$ est le polynôme -minimal, on a $𝒟$ divise $(f'(x))$ avec égalité ssi $B=K[x]$. -[Il faut peut-être sans doute supposer $B$ libre sur $A$. -\end{proposition2} - -\begin{démo} -\XXX -Formule -\[ -\frac{1}{f(X)}= ∑ … -\] -\end{démo} - -\begin{proposition2} -\XXX -\[ -\mathrm{d\acute{e}t}(\sigma_i(x_j))^2 -=|\mathrm{d\acute{e}t}(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j))|= \N(𝒟_{K\bo 𝐐}).\] -\end{proposition2} - -\begin{démo} -\XXX -$\big(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j)\big)= {}^t\big(\sigma_i(x_j)\big) \big(\sigma_i(x_j)\big)$. -\end{démo} - -\begin{définition2} -Discriminant $\got{d}_{K/\QQ}$. -\end{définition2} - -Si $𝐐(ζ_n)\bo 𝐐$, le discriminant est $n^{φ(n)}/∏_{p|n} -p^{φ(n)/(p-1)}$. - -\begin{lemme2} -\XXX -Le covolume de $𝒪$ dans $K_𝐑$ est $2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}$. -\end{lemme2} - -\begin{démo} -\XXX -Soient $\sigma^{\RR}_1,\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}$ les plongements -$K↪ \RR$ et $\sigma^{\CC}_1,\sur{\sigma^{\CC}_1},\dots,,\sigma^{\CC}_{r_\CC}, -\sur{\sigma^{\CC}_{r_\CC}}$ les plongements $K↪ \CC$. -Le morphisme -$𝒪_K→ K_{\RR} ≃ \RR^{r_{\CC}}\times \CC^{r_{\CC}}⥲ \RR^{r_{\RR}+2 r_{\CC}}$ -est de la forme -$$x\mapsto (\sigma^{\RR}_1(x),\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}(x), -\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_1(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_1(x),\dots, -\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x)).$$ -Passer de la matrice ayant ces colonnes à -$\big(\sigma_i(x_j)\big)$ se fait par addition, soustraction et $r_{\CC}$ divisions par $2$. -La formule en résulte. -\end{démo} - -variantes en caractéristique $p>0$ : cf. Hasse, chap. 25, différentielles (p. 467). - -Généralités sur discriminant/différente : cf. Serre [CL], [Rosen, chap. 7] - -Diviseur inessentiel : Hasse 25.6, Koch §3.6. - -\begin{théorème2} -\XXX -Riemann-Hurwitz : lien entre genre et degré différente. -\end{théorème2} - -☡ [probablement à déplacer] - -\section{Théorèmes de finitude} - -\subsection{Finitude du groupe de Picard} - -\begin{theoreme2} -\XXX -Soit $K$ un corps de nombres. Le groupe de Picard de l'anneau -des entiers $\mc{O}_K$ de $K$ est fini. -\end{theoreme2} - -\begin{démo} -\XXX -Chaque classe $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ est représentée par un idéal $\got{c}$ de $A$. -Pour borner les possibilités sur $\got{c}$, il suffit de borner $N(\got{c}):=\#(𝒪_K/\got{c})$. -Supposons en effet qu'il existe une constante $\mu_K$ telle que l'on puisse -supposer $N(\got{c})\leq \mu_K$, indépendamment de la classe de $\got{c}$. -Si $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$, $N(\got{c})=\prod N(𝔭)^{n_𝔭}$ si bien qu'à la fois -les $N(𝔭)$ et les $n_𝔭$ sont bornés. Comme $N(𝔭)$ est une puissance du nombre premier -$p=𝔭\cap \ZZ$, et qu'il existe au plus $[L:K]$ idéaux premiers au-dessus de $p$, -il n'y aura qu'un nombre fini de possibilités pour l'idéal $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$. - -Si $\got{c}=(x)$ est principal, $N((x))$ n'est autre que $|N_{K/\QQ}(x)|$ : cela résulte -du lemme \ref{déterminant-norme} ci-dessous. -Admettons un instant le fait suivant : -\begin{quote} -Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout idéal non nul $\got{a}$, il -existe $0\neq x\in \got{a}$ tel que $|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \mathrm{N}(\got{a})$. -\end{quote} -Soit $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ comme plus haut. Soit $\got{a}\in C^{-1}$ un idéal de $\mc{O}_K$. -et $x$ comme dans le lemme. Comme $(x)\subset \got{a}$, il existe -un idéal $\got{c}$ de $\mc{O}_K$ tel que $(x)=\got{c}\got{a}$ -(cela résulte de \ref{décomposition idéaux}). On a alors -$\mathrm{N}(\got{c})\leq \mu_K$. -Démontrons le fait admis. On a vu en \ref{normalisation finie} que $𝒪_K$ est un -$\ZZ$-module de type fini. Il est nécessairement de rang $d=[L:K]$ -car $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ ⥲ K$ (cf. \ref{normalisation et localisation}). -Soit donc $x_1,\dots,x_d$ une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$ et notons -$\Sigma$ l'ensemble de cardinal $d$ des $\QQ$-plongements $K↪ \CC$. -Posons $$\mu_K:=\prod_{\sigma\in \Sigma} \big(\sum_{i=1}^d | \sigma(x_i) | \big).$$ -Soit $\got{a}\neq (0)$ comme plus haut. Il existe un unique entier $m\in \NN$ -tel que -$$ -m^d\leq \mathrm{N}(\got{a}) < (m+1)^d. -$$ -Il résulte alors du «~principe des tiroirs~» qu'il existe -deux éléments distincts de $[0,m]x_1+[0,m]x_2+\cdots [0,m]x_d$ dont la différence -appartient à $\got{a}$. On a fait ce qu'il fallait pour que -$N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\got{a})\mu_K$. CQFD. -\end{démo} - -\begin{théorème2} -\XXX -$\Pic⁰(U) ≃ ∏_{v ∉ U} 𝒪_v^× ∖ k^1_A/k^×$. -\end{théorème2} - -\begin{démo} -Énoncé dans Weil 2. -\end{démo} - -\begin{théorème2} -Soit $K$ un corps de fonctions. -Le groupe des classes d'idéaux de degré $0$ est \emph{fini}. -\end{théorème2} - -\begin{démo} -Cf. p. ex. [Rosen, lemme 5.6] ou [Katô-Saitô], VI.6.4(f) -ou Weil [BNT] IV. th. 7. -\end{démo} - -\subsection{Genre} - -\begin{théorème2} -$𝐀/𝐀(D)+K$ est de dimension finie. -\end{théorème2} - -Remarque : ce quotient est $𝖧¹(C,𝒪(D))$. - -\begin{définition2} -$g=\dim_k(𝐀/𝐀(0)+K)$. -\end{définition2} - -Via différentielles de Weil ; dimension du conoyau -de $K → ⨁_v K_v/O_v$. - -[À voir] - -\subsection{Fonction zêta de Dedekind} - -\begin{définition2} -\XXX - -Corps de nombres : -\[ζ_K=ζ_{𝒪_K}^{\mathrm{Hasse}}.\] -\[\chap{ζ}_K(s)=|D_K|^{\frac{s}{2}}Γ_𝐑(s)^{r_𝐑}Γ_𝐂(s)^{r_𝐂} ζ_K(s),\] -(fonction zêta complétée) où -$Γ_𝐑(s)=π^{-\frac{s}{s}} Γ(\frac{s}{2})$ et $Γ_𝐂(s)=2(2 π)^{-s}Γ(s)$. - -Corps de fonctions : -\[ -ζ_K= ∏_{v} \frac{1}{1-N(v)^{-s}}, -\] -où $v$ parcourt les \emph{places} de $K$. -\[ -\chap{ζ}_K(s)=q^{(g-1)s} ζ_K(s) -\] -\end{définition2} - -\begin{proposition2} -$ζ_K(s)=∑_𝔞 N(𝔞)^{-s}$. -\end{proposition2} - -\begin{exemple2} -$ζ_{𝐐(√-1)}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(√ m)}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7 - - -$ζ_{𝐅_p(t)}(s)=(1-p^{-s})ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)$. - -\end{exemple2} - -\begin{proposition2} -Converge absolument pour $\Re(s)>1$. -Prolongement méromorphe. Équation fonctionnelle. -\end{proposition2} - -\begin{démo} -On se ramène au cas du corps de base. -\end{démo} - -Mieux : - -\begin{théorème2} -Prolongement méromorphe. Équation fonctionnelle. -\end{théorème2} - -Méthode Iwasawa-Tate (\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected@Iwasawa} et \cite{Fourier@Tate}). - - -\begin{théorème2}[Pôle simple en $1$] -\XXX -Soit $K$ un corps de nombres. Pour toute classe $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$, il existe une -constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble -$$ -\{\got{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \got{a}\in -\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\got{a})\leq t\} -$$ -soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty$. -\end{théorème2} - -\begin{démo} -\XXX -Soit $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$. Choisissons un idéal $\got{b_{\mathsf{C}}}\in \mathsf{C}^{-1}$. -La correspondance -$$ -\got{a} \mapsto (\alpha_{\got{a}}):=\got{a}\got{b}_{\mathsf{C}}\subset 𝒪_K -$$ -établit une bijection entre l'ensemble dont on veut estimer la taille et -$$ -\{(\alpha)\subset 𝒪_K,\ \alpha\in \got{b}_{\mathsf{C}}-\{0\},\ -|\mathrm{N}_{K/\QQ}(\alpha)|\leq t \mathrm{N}(\got{b}_{\mathsf{C}})\}. -$$ -Compter les idéaux principaux $(\alpha)$ revient à « compter les $\alpha$ modulo -les unités ». Le groupe des unités pouvant être infini, il faut faire attention. -Négliger les unités revient à considérer l'ensemble -quotient $P(\got{b}_\mathsf{C}):=\got{b}_\mathsf{C} / 𝒪_K^{\times}$, -où $𝒪_K^{\times}$ agit naturellement par multiplication : il classifie -en effet les idéaux principaux contenus dans $\got{b}_\mathsf{C}$. -C'est naturellement un monoïde multiplicatif, à travers lequel -la norme $x\in \got{b}_\mathsf{C}\subset 𝒪_K\mapsto N(x):=|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\in \ZZ$ -se factorise. -Quitte à normaliser $t$, et rajouter l'idéal nul, on veut donc compter -$$ -\{ x \in P(\got{b}_\mathsf{C}),\ N(x)\leq t\}. -$$ -Soit $X_{\got{b}_\mathsf{C}}$ une partie de $ \got{b}_\mathsf{C}$ s'envoyant isomorphiquement sur -$P(\got{b}_\mathsf{C})$ : -$$ -\xymatrix{ -\got{b}_\mathsf{C} \ar@{->>}[r] & P(\got{b}_\mathsf{C}) \\ -X_{\got{b}_\mathsf{C}} \ar@{^(->}[u] \ar[ur]^{\sim} \ar@{^(->}[r] & K_{\RR} -} -$$ -Le sous-ensemble $X_{\got{b}_\mathsf{C}} \cap \{x\in K_{\RR}, N(x)\leq t\}$ de $K_{\RR}$, -dont on veut estimer la taille, est compliqué pour un relèvement -arbitraire. -On va voir, à l'aide du logarithme, qu'il existe une partie -$X\subset K_{\RR}$ (indépendante de $\got{b}_{\mathsf{C}}$), sorte -de domaine fondamental pour l'action de $𝒪_K^{\times}$, telle -que $X_{\got{b}_\mathsf{C}}=\got{b}_\mathsf{C}\cap X$ et $X_t:=\{x\in X, N(x)\leq t\}$ -soit égal à $t^{1/[k:\QQ]} X_{1}$. -Le théorème résultera alors du fait suivant et du fait que $\vol(X_1)\neq 0$. - -\begin{quote} -Soient $Y$ un partie mesurable [OU MIEUX] bornée de $\RR^{n}$ et $B$ un réseau de $\RR^{n}$. -Alors, si $\vol(Y)>0$, -$$ -\#(B\cap aY)\dessusdessous{a→ +\infty}{\sim} \frac{\vol(Y)}{\mathrm{covol}(B)} a^{n}. -$$ -\end{quote} - - -Pour simplifier les notations, posons $\sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}:=\RR^{r_\RR+r_\CC}\coprod -\{\infty\}$ -et posons $\log(x)=\infty$ pour tout $x\in K_{\RR}-K_{\RR}^{\times}$. C'est encore -un morphisme de monoïdes, si l'on pose $v+\infty=\infty$ pour tout $v\in \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$. -On a vu au cours de la démonstration de \ref{Dirichlet-unités} -que $\log:𝒪_K→ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$ a un noyau fini, -nécessairement contenu dans l'ensemble des unités, et que -l'image de celles-ci forme un réseau $\Lambda$ de l'hyperplan $H:=\{\sum x_i = 0\}$. -Ainsi, le logarithme induit une injection : -$P(\got{b}_\mathsf{C})↪ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$. - -Soit $D:=(\underbrace{1,\dots,1}_{r_{\RR}},\underbrace{2,\cdots,2}_{r_\CC})$ un supplémentaire -de $H$ dans $\RR^{r_\RR+r_\CC}$ et $P$ un parallélotope fondamental semi-ouvert -de $\Lambda$ dans $H$, de sorte que l'on a une bijection -$D\oplus P ⥲ \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$ induite par la projection -canonique $D\oplus H=\RR^{r_\RR+r_\CC}↠ \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$. -[FIGURE] -Soit $X\subset K_{\RR}$ la préimage de $D\oplus P\coprod \{\infty\}$ par le -logarithme ; il répond à notre question. En effet, comme -$N(ax)=a^{[K:\QQ]}N(x)$ pour tout $a\geq 0$ et $x\in K_{\RR}$, -la propriété $X_{t}=t^{1/[K:\QQ]}X_1$ est équivalente au fait que pour -tout $a\in \RR$, $aX\subset X$. Or, si $x\in X$, $\log(ax)=\log(x)+ \log(|a|)(1,\cdots,1,2,\cdots,2)$. (On pose $\log(0)v=\infty$.) -Enfin, $X_1$ est mesurable, de volume non nul. -\end{démo} - -\begin{théorème2} -Cas d'un corps de fonctions : -\[ -ζ_K(s)=\frac{P(q^{-s})}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})} -\] -pôle simple en $1$ (et $0$). -\end{théorème2} - -\begin{démo} -Cf. [Rosen] chap. 5. Utilise Riemann-Roch. -Voir aussi [Katô-Saitô], chap. 7. -\end{démo} - -\subsection{Théorème des unités} - -Séparer la « majoration » (notamment la type-finitude) -de la minoration (calcul exact du rang). Cf. p. ex., Artin -Theory of algebraic numbers (cours 1956/7 à Göttingen) §12.2. - -\begin{lemme2} -\XXX -Pour tout corps de nombre $K$ notons $\iota$ l'inclusion canonique -$K↪ K_{\RR}$. Alors, l'image $\iota(𝒪_K)\subset K_\RR$ de l'anneau des entiers -est un \emph{réseau}, \cad un $\ZZ$-module libre de rang $\dim_{\RR} K_\RR(=[K:\QQ])$ -engendré par des éléments $\RR$-linéairement indépendants. -\end{lemme2} - -\begin{proof} -\XXX -On sait déjà que $𝒪_K$ est un $\ZZ$-module libre de rang $[K:\QQ]$ (l'extension -$K/\QQ$ est séparable) ; il en est donc de même de son image par $\iota$. -Comme $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ⥲ K$, il existe une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$ -consitutée d'éléments linéairement indépendants sur $\QQ$. L'image de cette base -par $x\mapsto x\otimes_{\QQ} 1_\RR$, $K→ K_\RR$, est une base -du $\RR$-espace vectoriel $K_\RR$\footnote{Pour une interprétation -à l'aide de discriminants, cf. \emph{infra}.}. -\end{proof} - -\begin{théorème2}[Théorème des unités de Dirichlet] -\XXX -Soit $K$ un corps de nombres. Soient $r_{\RR},r_{\CC}$ les entiers tels que : -$$K\otimes_{\QQ} \RR=:K_{\RR} ≃ _{\RR} \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}.$$ -Alors, le groupe $𝒪_K^{\times}$ des unités de l'anneau des entier $𝒪_K$ -est de type fini, de rang $r_\RR+r_\CC-1$. -\end{théorème2} - -\begin{proof} -\XXX -\emph{Fixons dornénavant un isomorphisme $K_\RR ≃ \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$}. -Les morphismes $\log_{\RR}:\RR^{\times}→ \RR$, $x\mapsto \log(|x|)$ -et $\log_{\CC}:\CC^{\times}→ \RR$, $y\mapsto \log(|y|^2)$ définissent -un morphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite) -$$ -\log:\big(\RR^{r_{\RR}}\times \CC^{r_\CC}\big)^\times→ \RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}. -$$ -Par composition, on en déduit un morphisme noté de même $K_{\RR}^{\times}→ -\RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}⥲ \RR^{r_\RR+r_\CC}$. - - -Soit $u\in 𝒪_K^{\times}$. Sa norme sur $\QQ$, $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)$, -est un entier relatif ; comme il en est de même de $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u^{-1}) -= \mathrm{N}_{K/\QQ}(u)^{-1}$, on a $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\in \{\pm 1\}$. -Ceci ce traduit, sur $\RR$, en l'appartenance -$$ -\log \iota(u)\in H=\{(x_i)\in \RR^{r_\RR+r_\CC},\ \sum x_i=0\}. -$$ -Cela résulte de l'égalité -$\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\otimes_{\QQ} 1_{\RR}=\mathrm{N}_{K_{\RR}/\RR}(u\otimes_{\QQ} 1_{\RR})$, -jointe au fait que sur $K_{\RR}/\RR$ la norme est essentiellement le produit -des coordonnées. Plus précisément, $\mathrm{N}_{(\RR\times \CC)/\RR}(a,b)=a\cdot b\sur{b}$ -(de même avec un nombre arbitaire de facteurs) donc -l'égalité $\mathrm{N}_{(\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC})/\RR}(\iota(u))=\pm 1$ entraîne que -le produit (pondéré) des coordonnées est $\pm 1$. Passant au logarithme -des valeurs absolues, on obtient $0$ en sommant. - -Enfin, l'image inverse par $\log: 𝒪_K^{\times} → \RR^{r_\RR+r_\CC}$ -de toute partie bornée est \emph{finie}. -Soit en effet $E\subset 𝒪_K^{\times}$, ou plus généralement -$E\subset 𝒪_K^{\times}$, telle que $\log(E)\subset \RR^{r_\RR+r_\CC}$ soit -bornée. En particulier, l'image $\iota(E)$ de $E$ dans $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$ -est bornée. -Or, si $e\in E$, les coordonnées de $\iota(e)$, ainsi que leurs conjugués complexes, -sont exactement les racines conjuguées sur $\QQ$ de $e$ dans $\CC$. -Si celles-ci sont bornées en valeur absolue, il en est de même des coefficients -du polynôme minimal de $e$. Comme celui-ci est également à coefficients entiers, -il n'y a qu'un nombre fini de possibilité pour un tel polynôme et finalement -pour $e\in 𝒪_K$. - -Il en résult que $\log(𝒪_K^{\times})$ est un sous-groupe de $\RR^{r_\RR+r_\CC}$ -tel que toute partie bornée soit finie. C'est donc un réseau (\ref{réseau-R^n}), -de rang inférieur à $r_\RR+r_\CC-1$ car il est contenu dans l'hyperplan $H$. - -Il en résulte également que le noyau de $𝒪_K^{\times}→ \RR^{r_\RR+r_\CC}$ est \emph{fini}. - -Les deux lemmes suivants montrent que ce rang est exactement $r_\RR+r_\CC-1$. - -\begin{quote}[Lemme chinois non archimédien] -Pour tout $1\leq k \leq r_{\RR}+r_\CC$, il existe $u\in 𝒪_K^{\times}$ -tel que $\log_i (u)$, la $i$-ième composante de $\log(u)$, soit $<0$ pour tout $i\neq k$. -\end{quote} - -Commençons pas un résultat que nous allons itérer pour produire $u$ comme plus haut. - -\begin{quote} -Il existe une constante $\mu_K$ -telle que pour tout $0\neq \alpha\in 𝒪_K$, il existe $0\neq \beta\in 𝒪_K$ satisfaisant : -$$\left\{ \begin{array}{l} -\log_i(\alpha)>\log_i(\beta),\ i\neq k \\ -\mathrm{N}_{K/\QQ}(\beta)\leq \mu_K -\end{array}\right.$$ -\end{quote} - -Soit $\alpha$ comme ci-dessus. Suppsosons donnés des nombres réels positifs -satisfaisant $c_{i,\alpha}< \exp(\log_i (\alpha))$ pour $i\neq k$. -Pour chaque constante $C_{k,\alpha}>0$, considérons : -$$E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha}):=\{(x_i)_{1\leq i \leq r_\RR+r_\CC}\in \RR^{r_\RR}\times -\CC^{r_\CC},\ -\left\{ \begin{array}{l} -|x_i|^{1\text{ou }2} \leq c_{i,\alpha}, \text{pour } i\neq k\\ -|x_k|^{1\text{ou }2} \leq C_{k,\alpha} -\end{array}\right.\} -$$ -(Ici «~$1\text{ou }2$» vaut $1$ si le facteur correspondant est $\RR$ et $2$ sinon.) - -On muni chaque facteur $\RR$ et $\CC$ de la mesure de Lebesgue usuelle et -le produit est muni de la mesure produit. -L'ensemble précédent est une partie de $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$ qui est -fermée (donc mesurable), symétrique par rapport -à l'origine et convexe. Son volume est -$$2^{r_\RR}\pi^{r_\CC}\big(\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}\big).$$ -Soit $\mu_K>0$ une constante telle que -$$ 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K> 2^{[K:\QQ]} -\mathrm{covol}(\iota(𝒪_K)\subset \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}).$$ -À $\alpha$ fixé, On peut ajuster ces constantes de sorte que -$\mathrm{Vol}(E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha})= 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K$, -\cad $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$. -Il résulte alors du théorème de Minkowski \ref{Minkowski} que pour -ces valeurs, il existe $0\neq \beta\in E\cap 𝒪_K$. Un tel $\beta$ satisfait les -conditions du lemme. - -Démontrons le «~lemme chinois~». -Chosissons $k$ et considérons un $\alpha\in 𝒪_K$ non nul quelconque. En vertu -du résultat précédent, on peut construire une suite de $\beta_m$ dont les -normes sont bornées tels que les $i\neq k$-composantes des logarithmes décroissent -strictement. L'ensemble de idéaux $(\beta_m)$ étant fini (par finitude des normes), il existe -$m'>m$ tel que $(\beta_m)=(\beta_{m'})$. On a alors $\beta_{m'}=\beta_{m} u$ pour -une unité $u\in 𝒪_K^{\times}$. Elle satisfait les conclusions du lemme. - -\begin{quote} -Soit $A$ une matrice telle que les éléments de la diagonale soit $>0$, -ceux hors de la diagonale $<0$ et enfin que la somme des coefficients -sur une ligne soit nulle. -Alors, le rang de $A$ est égal au nombre de colonnes moins $1$. -\end{quote} -\end{proof} - -\begin{théorème2}[F.K. Schmidt] -Structure des $S$-unités dans le cas des corps de fonctions : - -$𝒪_S^×/k^×$ est libre de rang $≤ ♯S-1$. -\end{théorème2} - -\begin{démo} -Cf. p. ex., [Hasse], chap. 29 ou [Rosen, chap. 14] -\end{démo} - -\section{Non-existence d'extensions non ramifiées ; application} - -\subsection{Le théorème de Minkowski} - -\begin{théorème2}[Minkowski] -\XXX -Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $\QQ$ partout -non ramifiée. De façon équivalente, si $A$ est une $\ZZ$-algèbre finie étale -connexe alors $\ZZ⥲ A$. -\end{théorème2} - -\begin{démo} -\XXX -La démonstration consiste en un raffinement de la démonstration de la finitude du -groupe de Picard. -Il suffit de démontrer l'inégalité : -$$ -\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}}\frac{n^n}{n!}, -$$ -où $n=[K:\QQ]$. -Notons avec des $x$ (resp. $y$) les coordonnées réelles (resp. complexes) de $K_{\RR}$. -Soit -$$ -A:=\{x\in K_{\RR}, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+2\big(|y_1|+\cdots+|y_{r_\CC}|\big)\leq n\} -$$ -le sous-ensemble compact, convexe, symmétrique par rapport à l'origine, de $K_\RR$. -L'inégalité arithmético-géométrique montre que tout point -de $A$ a une norme inférieure à $1$. -Admettons que -$$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$ -Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$, -$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA) - \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}},$$ -il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement -de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$. -L'inégalité en résulte immédiatement. - -Effectuons le calcul volumique. Posons -$$ -f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+ -2\big(\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+ -\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\big)\leq t\}\Big)=t^n f_{r_{\RR},r_\CC}(1), -$$ -où $n=r_{\RR}+2r_\CC$. -En utilisant de façon répétée, pour $r_{\RR}>0$, l'égalité -$$ -f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=2\int_0^t f_{r_{\RR-1},r_\CC}(u)\mathrm{d} u= 2\int_0^t u^{n-1} -f_{r_{\RR-1},r_\CC}(1)\mathrm{d} u, -$$ -on trouve : -$$ -f_{r_{\RR},r_\CC}(1)=\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}f_{0,r_\CC}(1). -$$ -Soit -$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}}, -\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+ -\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\leq t\}\Big),$$ -de sorte que l'on ait $f_{0,r_\CC}(t)=g_{r_{\CC}}(t/2)$. -Calculons $g$ : -$$\begin{array}{ll} -g_{r}(1)& =\int_0^1 g_{r-1}(1-u)2\pi u \mathrm{d}u\\ -& = 2\pi g_{r-1}(1) -\underbrace{\int_0^1 (1-u)^{2r-2}u \mathrm{d}u}_{\frac{1}{2r-1}-\frac{1}{2r}}\\ -& = ... \\ -& = \frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}. -\end{array} -$$ -Finalement, -$$f_{r_{\RR},r_\CC}(n)=n^n\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}(\frac{1}{2})^{2r_\CC} -\frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}},$$ -comme annoncé. -\end{démo} - -\subsection{Caractéristique $p>0$} - -\begin{théorème2} -\XXX -Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $𝐅_p(t)$ partout non ramifiée. -\end{théorème2} - -\subsection{Un théorème de Selmer} - -\begin{proposition2}[Selmer] -\XXX -Soit $n ≥ 1$. Le polynôme $f_n(X)=X^n-X-1$ est irréductible dans $𝐐[X]$. -\end{proposition2} - -\begin{démo} -\XXX -Soit $n\geq 2$ un entier et $f_n=X^n-X-1\in \ZZ[X]$. Soient $x_1,\dots,x_n$ -les racines, non nulles, de $f$. Considérons : -$$ -S(f_n):=\sum_1^n(x_i-x_i^{-1}), -$$ -et de même pour tout diviseur potentiel non trivial $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$. -Il est immédiat que si $f_n=g_1 g_2$, on -a $S(f_n)=S(g_1)+S(g_2)$. Comme $S(f_n)$ est symétrique en les -racines, et que $f_n$ est unitaire, on a $(x_1\dots x_n)S(f_n)\in \ZZ$ ; comme le -produit des racines est ici une unité, on a donc $S(f_n)\in \ZZ$ ; -il en est ansi de tout diviseur $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$. -En fait, $S(f_n)=1$ : pour $n\geq 3$, $\sum x_i=\sigma_1=0$ tandis -que $\sum x_i^{-1}=\sigma_{n-1}/\sigma_n=-1$. - -Remarquons maintenant que pour chaque $x_j$, -si l'on écrit $x_j=r e^{i\varphi}$, -on a -$\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)=(r-r^{-1})\cos(\varphi)=\frac{r^2-1}{r}\cos(\varphi)$. -Comme $r^n\cos(\varphi)=r\cos(\varphi)+1$ et $r^n\sin(\varphi)=r\sin(\varphi)$, -en sommant le carré des deux égalités on trouve : -$$\cos(\varphi)=\frac{r^{2n}-r^2-1}{2r}.$$ -En particulier $r\neq 1$ car sinon $\cos(\varphi)=-\frac{1}{2}$ et -les racines primitives cubiques de l'unité seraient des racines de $f_n$, ce -qui n'est pas le cas. -Enfin, comme pour tout $1\neq a>0$, -$(a-1)(a^n-a-1)=1-a+(a-1)(a^n-1)> 1-a$, -on en déduit, en posant $a=r^2$ et en divisant par $a$ l'égalité ci-dessus, -$$ -\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)> \frac{1}{2}\big(|x_i|^{-2}-1\big). -$$ -Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$, -et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire, -$\prod_{j\in J} |x_j|^{-2}=1$ donc, -la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, \cad $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$. -Il s'ensuit que $S(g)>0$ ; comme d'autre par $S(g)\in \ZZ$, -on a $S(g)\geq 1$. Cette inégalité appliquée au quotient $f_n/g$ contredit -l'additivité de $S$ et le fait que $S(f_n)=1$. -CQFD. -\end{démo} - -\begin{théorème2} -\XXX Le groupe de Galois du polynôme $f_n$ -est $𝔖_n$ tout entier. -\end{théorème2} - -\begin{démo} -\XXX -Soient $K_n$ un corps de décomposition de $f_n$ et $A_n$ son anneau -des entiers. Supposons que le nombre premier -$p$ soit ramifié dans $K_n$ ; d'après [sorites] il est alors -ramifié dans le corps de rupture $\QQ[X]/f_n$ de $f_n$ puisque $K_n$ -est le composé de tels corps. -Compte tenu de [calcul différente], $f_n$ et $f_n'$ ont une racine commune -modulo $p$ ; il en est de même de $nf_n=nX^n-nX-n$ et $Xf_n'=nX^n-X$. -Il en résulte que $p$ est premier à $n(n-1)$, -que la racine est congrue à $\frac{n}{n-1}$ modulo $p$ -et enfin qu'elle est au plus double : $f_n''(\frac{n}{n-1})\neq 0$. -Il en résulte [sorites à dégager] que le groupe d'inertie en $p$ -est soit trivial soit engendré par une transposition. -Ainsi, le groupe de Galois de $f_n$ est un sous-groupe transitif -de $𝔖_n$, engendré par des transpositions. C'est $𝔖_n$ tout entier -[facile]. -\end{démo} - -\section{Fonction zêta de Hasse de l'équation homogène $X³+Y³+Z³=0$} - -\begin{théorème2} -\XXX -Soit $D=27$ et posons $\chap{L}(s)=D^{\frac{s}{2}} Γ_𝐂(s) L(E,s)$. -Alors : -\[ -\chap{L}(E,s)=\chap{L}(E,2-s). -\] -\end{théorème2} - -\begin{remarque2} -\XXX -Courbe elliptique à multiplication complexe. -\end{remarque2} - -Cf. cours à Hyères (2008). - -Utilise : - -— $𝐐(j)=𝐐(√3)$ est euclidien ; - -— construction ad hoc caractère de Hecke via sommes de Jacobi ; - -— transformée de Mellin + formule de Poisson pour démontrer équation fonctionnelle. - -\ifx\danslelivre\undefined -\bibliography{../configuration/bibliographie-livre} -\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre} -\end{document} -\fi -- cgit v1.2.1