From 07f825f725fd67b44e67d8baf80875efafc75c5b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "Fabrice (Polytechnique)" Date: Mon, 21 Feb 2011 13:48:00 +0100 Subject: =?UTF-8?q?[Fin,Cons]=20gros=20copi=C3=A9-coll=C3=A9=20Cons=20?= =?UTF-8?q?=E2=A4=B3=20Fin=20(sommes=20de=20Gau=C3=9F,=20hypersurfaces=20d?= =?UTF-8?q?iagonales)?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit À faire : — relire/réécrire cette partie du texte — mieux faire le lien avec [ACF] (réciprocité quadratique) et [Cons] constructibilité ζ_p — rédiger démo Hasse-Davenport, formule pour nombre de points hypersurface diagonale La fonction ζ a proprement parlé sera introduite en [AC] seulement sans doute. --- chapitres/corps-finis.tex | 661 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 657 insertions(+), 4 deletions(-) (limited to 'chapitres/corps-finis.tex') diff --git a/chapitres/corps-finis.tex b/chapitres/corps-finis.tex index 72b8829..9e0ecc9 100644 --- a/chapitres/corps-finis.tex +++ b/chapitres/corps-finis.tex @@ -15,6 +15,7 @@ \usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} \usepackage{srcltx} +\synctex=1 \title{Corps finis} @@ -1313,13 +1314,14 @@ C'est une variante de la méthode d'Euclide pour montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers. Supposons que les $P(n)$, $n ∈ 𝐍$ n'aient qu'un nombre fini de diviseurs premiers $ℓ₁,ℓ₂,…,ℓ_r$. Pour chaque $n ∈ 𝐍$, -l'entier $P(n ℓ₁ℓ₂\ cdots ℓ_r)$ est congru à $P(0)=±1$ -modulo chaque $ℓ_i$. En particulier, il est premier à -chacun d'entre eux. Or, si $n$ est grand, $P(n ℓ₁ℓ₂\ cdots ℓ_r)$ +l'entier $P(n ℓ₁ℓ₂\ cdots ℓ_r)$ est congru à $P(0)$ +modulo chaque $ℓ_i$. Si $P(0)=±1$, il en résulte +que $P(nℓ₁ℓ₂\ cdots ℓ_r)$ est premier à +chacun des $ℓ_i$. Or, si $n$ est grand, $P(n ℓ₁ℓ₂\ cdots ℓ_r)$ est grand (en valeur absolue) donc a un diviseur premier. Absurde. Dans le cas général, on observe que si $a=P(0)$, on a $P(aX)=aQ(X)$ où $Q(0)=1$. Si $Q$ a une racine -modulo $p$, il en est de même de $P$. +modulo un nombre premier $p$, il en est de même de $P$. \end{démo} \begin{corollaire2} @@ -1780,7 +1782,658 @@ $p=7$&$p^n=7$&$h_1 = X + 4$\\ \end{tabular} \end{center} +\section{Hypersurfaces diagonales ; réciprocité quadratique} + +\subsection{Dualité dans les groupes abéliens finis} + +\subsubsection{}Soit $G$ un groupe. Un morphisme $χ∈\Hom(G,𝐔)$, +où $𝐔=\{z∈𝐂, |z|=1\}≅𝐑/𝐙$, est appelé un \emph{caractère} du groupe $G$ ; +on note $\chap{G}$ leur ensemble, qui est naturellement un groupe \emph{abélien} : $(χχ')(g)=χ(g)χ'(g)$. +C'est le \emph{dual} de $G$. + +\subsubsection{}Le lecteur trouvera dans la littérature des variantes : on +aurait pu considérer $\Hom(G,𝐂^×)$ (on parle alors parfois de +\emph{quasi-caractères} ou caractères généralisés), $\Hom(G,E^×)$ (où $E$ est un corps contenant +les racines $\# G$-ème de l'unité, ou bien encore l'ensemble $\Hom(G,𝐐/𝐙)$. +Enfin, si $G$ est un groupe +topologique localement compact, %donc séparé +on pourrait considérer plutôt l'ensemble des caractères \emph{continus}. Muni de la topologie dite \emph{compacte ouverte} +c'est à nouveau un groupe topologique localement compact (dualité +de Pontryagin). Dans le cas des groupes finis, ces notions sont toutes équivalentes. +Par commodité nous préférons voir nos caractères comme à valeurs dans le cercle +unité complexe. + +\subsubsection{}Par composition des fonctions, tout morphisme $H→G$ de groupes +induit un morphisme de groupes abéliens $\chap{G}→\chap{H}$. + +\begin{lemme2}\label{lemme-Q-sur-Z-est-injectif} +Soit $K→G$ une \emph{injection} de groupes abéliens finis. +Le morphisme dual $\chap{G}→\chap{K}$ est une \emph{surjection}. +\end{lemme2} + +On note $K^{\perp}$ son noyau ; en symboles, $K^{\perp}=\{χ∈\chap{G}, χ(K)=\{1\}\}$. +Le morphisme $K^\perp→\chap{G/K}$ est une bijection : +tout caractère de $G$ trivial sur $K$ induit un caractère de $G/K$ et +réciproquement. + +\begin{démo}[Démonstration du lemme] +Soit $χ:K→\mathbf{U}$ un caractère de $K$ ; il faut montrer qu'il s'étend +à $G$, \cad qu'il existe un caractère $χ':G→\mathbf{U}$ dont la restriction +à $K$ soit $χ$. Supposons $K≠G$ sans quoi le résultat est trivial et +considérons $x∈G-K$. Soient $r$ le plus petit entier non nul tel que +$x^r∈K$ et $z$ une racine $r$-ème de $χ(x^r)$ dans $𝐂$. On +a donc $χ(x^{rα})=z^{rα}$ pour tout $α∈ℕ$. +Il en résulte immédiatement que l'application $χ':⟨K,x⟩→\mathbf{U}$, $kx^i\mapsto χ(k)z^i$ +est bien définie ; c'est un caractère du groupe $⟨K,x⟩$. +De proche en proche, on peut donc étendre le caractère initial à $G$ tout entier. +(De façon précise : procéder par récurrence sur l'indice $(G:K)$.) +\end{démo} + +L'énoncé dual est trivial : si $G→H$ est une \emph{surjection}, +le morphisme induit $\chap{H}→\chap{G}$ est une injection. (Cet +énoncé, de nature ensembliste, est vrai sans hypothèse sur $G$ ou $H$.) + +Il en résulte que pour toute suite \emph{exacte} de groupes abéliens finis $1→K→G→H→1$, +la suite $1→\chap{H}→\chap{G}→\chap{K}→1$ est également exacte. En effet, +$K^\perp:=\mathrm{Ker}(\chap{G}→\chap{K})$ est naturellement +en bijection avec $\chap{G/K}$. + +\begin{lemme2} +Soit $G$ un groupe fini abélien. Le morphisme d'évaluation +$G→\chap{\chap{G}}$, $g\mapsto \big(\mathrm{\acute{e}v}_g:χ\mapsto χ(g)\big)$ est un isomorphisme. +\end{lemme2} + +\begin{démo} +On procède à nouveau par récurrence sur $\# G$, en remarquant +que l'énoncé est trivial pour un groupe cyclique (exercice). +Dans le cas général, on considère comme précédemment le diagramme +de suites exactes : +$$ +\xymatrix{ +1 \ar[d] \ar[r] & K \ar[d] \ar[r] & G \ar[d] \ar[r] & H \ar[d] \ar[r] & 1 \ar[d] \\ +1 \ar[r] & \chap{\chap{K}} \ar[r] & \chap{\chap{G}} \ar[r] & \chap{\chap{H}} \ar[r] & 1 +} +$$ +Par hypothèse de récurrence, $K→\chap{\chap{K}}$ et $H→\chap{\chap{H}}$ sont +des isomorphismes ; il en est donc de même de $G→\chap{\chap{G}}$ +(chasse au diagramme). +\end{démo} + +\begin{proposition2} +Tout groupe abélien fini est isomorphe à un produit +de groupes cycliques. +\end{proposition2} + +\begin{démo} +Soit $ω=∏ p_i^{r_i}$ le p.g.c.d des ordres d'éléments de $G$. +Pour tout $i$, il existe un élément $g_i$ d'ordre un multiple de $p_i^{r_i}$ ; +quitte à l'élever à une puissance convenable, on peut le supposer d'ordre +exactement $p_i^{r_i}$. Le produit $g=∏g_i$ est alors d'ordre exactement $ω$. +Soient $ζ_ω$ une racine primitive $ω$-ème de l'unité dans $𝐂$ et $χ:⟨g⟩→\mathbf{U}$ +le caractère défini par $χ(g)=ζ_ω$. Il s'étend en un caractère $χ'$ de $G$. +Son noyau $\Ker(χ')$ est d'indice $ω$ (le cardinal de son image) et $\Ker(χ')⋂⟨g⟩=\{e\}$ +de sorte que $G≅⟨g⟩×\Ker(χ')$. On peut donc démontrer la proposition par +récurrence sur l'ordre du groupe. +\end{démo} + +\begin{corollaire2} +Si $G$ un groupe abélien fini il existe un isomorphisme +entre $G$ et $\chap{G}$. +\end{corollaire2} + +\begin{démo} +Le résultat étant évident pour un groupe cyclique, il suffit de vérifier +que le dual d'un produit $K×K'$ est isomorphe au produit $\chap{K}×\chap{K'}$ +des duaux. C'est immédiat. (Pour les groupes abéliens, le produit cartésien est +la somme directe (comme $𝐙$-module).) +\end{démo} + +\begin{lemme2} +\label{lemme-orthogonalite-caracteres} +Soient $G$ un groupe abélien fini et $g∈G$. +Alors, $∑_{χ∈\chap{G}} χ(g)$ est égal à $0$ si $g≠e$ et $|G|$ sinon. +\end{lemme2} + +\begin{démo} +Le résultat est trivial si $g=e$. Supposons +$g≠e$. Puisque le morphisme $G→\chap{\chap{G}}$ est un +isomorphisme, il est donc injectif : $\mathrm{\acute{e}v}_g≠e$. +En d'autres termes, il existe un caractère $χ'∈\chap{G}$ +tel que $χ'(g)≠1$. Soit $S=∑_χ χ(g)$. On a $χ'(g)S=∑_χ (χ'χ)(g)=S$. +Puisque $χ'(g)≠1$, on a bien $S=0$. +\end{démo} + +\begin{corollaire2} +\label{variante-orthogonalite-caracteres} +Soit $G$ un groupe abélien fini et $χ∈\chap{G}$. +Alors, $∑_{g∈G} χ(g)$ est égal à $0$ si $χ=1$ +et $|G|$ sinon. +\end{corollaire2} + +\begin{démo} +Cela résulte de l'égalité $∑_g χ(g)=∑_g \mathrm{\acute{e}v}_g(χ)$, +du lemme précédent, et du fait que tout caractère de $\chap{G}$ est +de la forme $\mathrm{\acute{e}v}_g$ pour un unique $g∈G$. +\end{démo} + +\subsection{Équation $X^n=g$ dans un groupe abélien fini ; application} + +Pour tout groupe abélien $G$ (en notation multiplicative) et +tout entier $n$, notons $G[n]:=\{g∈G, g^n=1\}$ et $nG=\{g^n, g∈G\}$. +La surjection $G→G/nG$ induit une \emph{injection} +$\chap{G/nG}↪\chap{G}[n]$ : un caractère composé $G→G/nG→\mathbf{U}$ +est tué par $n$. Le premier groupe a pour cardinal $(G:nG)$ ; celui de droite +$(\chap{G}:n\chap{G})$. D'après la proposition ci-dessus, $G≅\chap{G}$, +de sorte que $(\chap{G}:n\chap{G})=(G:nG)$ et, finalement, +$$ +\chap{G/nG}\iso \chap{G}[n]. +$$ + +Soit $g∈G$ et notons $\sur{g}$ son image dans $G/nG$. +Cette image est nulle \ssi pour tout $\sur{χ}∈\chap{G/nG}$, $\sur{χ}(\sur{g})=1$. +Soit $χ$ l'image de $\sur{χ}$ par l'isomorphisme précédent ; on +a par définition $χ(g)=\sur{χ}(\sur{g})$. + +\begin{corollaire2} +Soient $G$ un groupe abélien fini, $g∈G$ et $n$ un entier. +Les conditions suivantes sont équivalentes. +\begin{enumerate} +\item $g∈nG$ ; +\item $\chap{G}[n](g)=\{1\}$. +\end{enumerate} +\end{corollaire2} + +\begin{corollaire2} +Soient $G$ un groupe abélien fini, $g∈G$ et $n$ un entier. Alors, +$$ +N(X^n=g)=∑_{χ∈\chap{G}[n]} χ(g), +$$ +où $N(X^n=g)$ désigne le nombre de solution de l'équation $X^n=g$ dans $G$. +\end{corollaire2} + +\begin{démo} +Le terme de gauche est égal à $0$ si $g∉nG$ ; +il est égal à $\#G[n]$ dans le cas contraire car deux solutions +diffèrent d'un élément de $G[n]$. +Notons $\sur{g}$ l'image de $g$ dans $G/nG$. +Le terme de droite se réécrit +$$ +∑_{\sur{χ}∈\chap{G/nG}} \sur{χ}(\sur{g}). +$$ +D'après \ref{lemme-orthogonalite-caracteres}, cette somme vaut $0$ si $\sur{g}≠e$ +(\cad $g∉nG$) et $\#\chap{G/nG}$ sinon. Puisque $\chap{G/nG}≅\chap{G}[n]≅G[n]$, +l'égalité avec le terme de gauche en résulte. +\end{démo} + + + +\subsubsection{} +Soit $F$ un corps \emph{fini}. Rappelons que le groupe multiplicatif $F^×$ est \emph{cyclique} +(\ref{cyclicite-groupe-multiplicatif-corps}). +%Si $n$ est un entier, la condition $n|d$ +%du paragraphe précédent est équivalente à l'égalité $\#μ_n(F)=n$ ou encore à l'inclusion +%$μ_n(\sur{F})⊂F$. +Fixons un entier $d≥0$, des coefficients $c₀,\dots,c_d,b∈F^×$ et des exposants +$n=(n₀,\dots,n_d)$ tous non nuls. On s'intéresse dorénavant au nombre $N=N(c₀X₀^{n₀}+\cdots+c_d X_d^{n_d}=b)$ +de solution de cette équation dans $F$ et ses sur-corps. On note $A$ la $F$-algèbre $F^{d+1}$. +Soit $L$ la forme linéaire sur $A$ définie par $L(a)=∑_i c_i a_i$, où +$a=(a₀,\dots,a_d)∈F^{d+1}$. +\subsubsection{}L'égalité suivante est tautologique : +$$N=∑_{a∈A\atop L(a)=b} N(X₀^{n₀}=a₀)\cdots N(X_d^{n_d}=a_d).$$ +D'après les résultats des paragraphes précédents, chaque +entier $N(X_i^{n_i}=a_i)$ est égal à la somme +$∑_{χ∈\chap{F^×}[n_i]} χ(a_i)$. + +\begin{quote} +\emph{A priori}, cette formule n'a +de sens que pour $a_i≠0$, elle reste pourtant vraie si l'on décrète que $χ(0)$ +est nul si $χ≠1$ et égal à un sinon. +\end{quote} + +Ainsi, en développant l'expression $\big(∑_{χ₀^{n₀}=1} χ(a₀)\big)\cdots +\big(∑_{χ_d^{n_d}=1} χ(a_d)\big)$ et en sommant sur les $a∈A$ tels que $L(a)=b$, +on trouve : +$$ +(\star)\ N=(\# F)^d+∑_{χ=(χ₀,\dots,χ_d)≠1} \big(∑_{a∈A\atop L(a)=b} χ₀(a₀)\cdots χ_d(a_d)\big), +$$ +où la première somme porte sur les caractères comme ci-dessus, supposés +non tous triviaux. En effet, la contribution de $χ₀=\cdots=χ_d=1$ +est égale au cardinal de l'hyperplan affine $L^{-1}(b)$. + +Par commodité, on notera par la suite $χ₀(a₀)\cdots χ_d(a_d)=:χ(a)$. + +\begin{lemme2} +Si certains des $χ_i$ sont triviaux, mais pas tous, la somme +$$∑_{a∈A\atop L(a)=b} χ₀(a₀)\cdots χ_d(a_d)$$ est \emph{nulle}. +\end{lemme2} + +\begin{démo} +Soit $χ=(χ₀,\dots,χ_d)$ comme dans l'énoncé et considérons +l'algèbre quotient $A↠A'$ de $A$ correspondant aux facteurs non triviaux. +Tautologiquement, $χ(a)=χ'(a')$ où $a'$ est l'image de $a$ dans $A'$ et $χ'$ +est la famille de caractères (tous) non triviaux correspondante. +La somme à évaluer est donc égale à $∑_{a∈A\atop L(a)=b} χ'(a')$. +Elle est égale à $∑_{a'∈A'} \big(χ'(a')\cdot \#\{a∈A,a\mapsto a', L(a)=b\}\big)$. +Puisque pour tout $a'$, $\{a∈A,a\mapsto a', L(a)=b\}$ est un espace +affine non vide (car $A'≠A$) de dimension donc de cardinal indépendants de $a'$, +il suffit de montrer que $∑_{a'∈A'} χ'(a')=0$. +Puisque les constituants de $χ'$ sont tous non triviaux, elle +est égale à $∑_{a'∈{A'}^×} χ'(a')$. D'après +\ref{variante-orthogonalite-caracteres}, cette somme est nulle. +\end{démo} + +\subsubsection{Nouveaux caractères}Soit $A↠A'$ comme dans la démonstration. En passant aux unités, +on obtient un morphisme induit $A^×↠{A'}^×$ d'où une injection +$\chap{{A'}^×}↪\chap{A^×}$. La proposition précédente affirme +que la contribution d'un caractère de l'image est nulle. +En d'autres termes, seuls contribuent les caractères qui ne sont pas induits +par une sous-algèbre quotient \emph{stricte}. +(On a vu en \ref{algebre-diagonalisable} que tous ces quotients sont du type +envisagé dans la démonstration.) + +On note $\chap{A^×}^{\mathrm{nouv}}$ l'\emph{ensemble} de ces caractères (par oppositions +aux \emph{anciens}, provenant d'une plus petite algèbre). +Généralisant quelque peu la notation habituelle, +on pose $\chap{A^×}[n]:=\{χ=(χ₀,\dots,χ_d)∈\chap{A^×}, χ_i^{n_i}=1\}$. +(Si $n₀=\dots=n_d$, on retombe sur la définition précédente.) +Enfin, si $E⊂\chap{A^×}$, on note $E[n]$ (resp. $E^{\mathrm{nouv}}$ resp. +$E^{\mathrm{nouv}}[n]$) son intersection avec le sous-ensemble correspondant +de $\chap{A^×}$. +Remarquons que si $d+1=\dim_F(A)>1$, tout nouveau caractère de $A^×$ est non +trivial. + +\subsubsection{Réécriture de l'égalité ($\star$)} +Si l'on pose $a'=ca$ (\cad $a'_i=c_i a_i$ pour $0≤i≤d$), on a bien sûr +$χ(a)=χ(c)^{-1}χ(a')$, ce qui complique un peu les choses, +mais la condition $L(a)=b$ s'écrit $∑_i a'_i=b$, \cad $\Tr_{A/F}(a')=b$. + +Utilisant cette remarque et le lemme précédent, on peut donc +écrire : + +$$ +N=(\# F)^d+∑_{χ∈\chap{A^×}^{\mathrm{nouv}}[n]\atop χ≠1} χ^{-1}(c)\big( ∑_{a∈A^×\atop \Tr(a)=b} +χ(a)\big). +$$ + +Rappelons que le terme $(\# F)^d$ correspond au caractère $χ=1$. + +Notons $χ_{|F^×}$ la restriction d'un caractère $χ$ de $A^×$ au sous-groupe $F^×$ +plongé diagonalement, de sorte que $χ_{|F^×}(x)=∏_i χ_i(x)$. +En écrivant $a_i=a₀a'_i$ ($0